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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Motivation</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2404.01347v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx3.1" title="In Pseudo-codes of Algorithms">\thesubsection SupCalc</a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx3.2" title="In Pseudo-codes of Algorithms">\thesubsection FUSP</a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx3.3" title="In Pseudo-codes of Algorithms">\thesubsection InUSP</a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document"> <section class="ltx_section" id="sectionx1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section">Motivation</h2> <div class="ltx_para" id="sectionx1.p1"> The use of uncertain data in the modern world is increasing day by day. In most of the cases, the database is not static. New increments are added to the database gradually and hence the set of frequent sequences may change. After each increment, running existing algorithms from scratch that can mine frequent sequences in static uncertain databases, is very expensive in terms of time and memory. Therefore it has become inevitable to design an efficient technique that can maintain and update the set of frequent sequences when the database grows incrementally. Few scenarios described below reflect the importance of finding frequent interesting sequences from the incremental uncertain database. <ul class="ltx_itemize" id="sectionx1.I1"> <li class="ltx_item" id="sectionx1.I1.i1" style="list-style-type:none;"> • <div class="ltx_para" id="sectionx1.I1.i1.p1"> The novel coronavirus SARS-CoV-2 causes the coronavirus disease of 2019 (COVID-19) which was first seen in China in late 2019. Researchers from the whole world are working on it as the world is expecting to face a huge economic recession with losing a lot of people. If we see the nature of the symptoms of this disease, then it is clear that the symptoms have the nature of the sequential occurrences. Besides, some of the symptoms of this disease are mostly related to other common diseases. So, considering the nature of the symptoms, it can be said that finding weighted frequent sequences of the symptoms of the corona patients can be helpful to predict whether someone is infected or not. Besides, it will be possible to take proper treatment for an infected patient by predicting the next stage of infection based on weighted frequent sequences of symptoms. For example, let at a particular stage of infection, a patient may have mild pain. From the database of symptoms, it has been seen that a patient having mild pain would have serious breathing problems afterward. So it’ll be helpful to take proper precautions for the patient. Moreover, the spreading of the virus is so rapid that we neither can decide from a static database nor find the frequent sequences from scratch every time we get new data. As a consequence, an efficient algorithm to find weighted frequent sequences from incremental databases is very much needed. It can play an important role to determine how the symptoms change with time, how they vary from one region/country to another. Furthermore, so far the technology is not capable enough to give the reports of the patients for the symptoms with precise value. So, the symptoms are measured with some probability values. Let us consider a database of medical reports from coronavirus patients. Each tuple represents reports from an individual patient. For example, <math alttext="\{(fever:0.4),(cough:0.5),(ache\ in\ throat:0.7,breathing\ problem:0.9)\}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1b"><mo id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.1" stretchy="false">{</mo><mrow id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.2"><mo id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.2.2">f</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.2.3">e</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.2.4">v</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.2.5">e</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.2.6">r</mi><mo id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.2.7" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mn id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.2.8">0.4</mn><mo id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.2.9" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.3">,</mo><mrow id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.4"><mo id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.4.1" stretchy="false">(</mo><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.4.2">c</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.4.3">o</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.4.4">u</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.4.5">g</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.4.6">h</mi><mo id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.4.7" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mn id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.4.8">0.5</mn><mo id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.4.9" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.5">,</mo><mrow id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6"><mo id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.2">a</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.3">c</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.4">h</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.5">e</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.6">i</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.7">n</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.8">t</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.9">h</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.10">r</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.11">o</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.12">a</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.13">t</mi><mo id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.14" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mn id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.15">0.7</mn><mo id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.16">,</mo><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.17">b</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.18">r</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.19">e</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.20">a</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.21">t</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.22">h</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.23">i</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.24">n</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.25">g</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.26">p</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.27">r</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.28">o</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.29">b</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.30">l</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.31">e</mi><mi id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.32">m</mi><mo id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.33" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mn id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.34">0.9</mn><mo id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.6.35" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1.7" stretchy="false">}</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1c">\{(fever:0.4),(cough:0.5),(ache\ in\ throat:0.7,breathing\ problem:0.9)\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx1.I1.i1.p1.1.m1.1d">{ ( italic_f italic_e italic_v italic_e italic_r : 0.4 ) , ( italic_c italic_o italic_u italic_g italic_h : 0.5 ) , ( italic_a italic_c italic_h italic_e italic_i italic_n italic_t italic_h italic_r italic_o italic_a italic_t : 0.7 , italic_b italic_r italic_e italic_a italic_t italic_h italic_i italic_n italic_g italic_p italic_r italic_o italic_b italic_l italic_e italic_m : 0.9 ) }</annotation></semantics></math> may indicate the symptoms of a coronavirus patient. </div> </li> <li class="ltx_item" id="sectionx1.I1.i2" style="list-style-type:none;"> • <div class="ltx_para" id="sectionx1.I1.i2.p1"> Mining social network behavior can be another example of uncertain data. Consider each entry <math alttext="\{(student:0.9),(photographer:0.7,cyclist:0.3),(tourist:0.7)\}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1b"><mo id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.1" stretchy="false">{</mo><mrow id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.2"><mo id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.2.1" stretchy="false">(</mo><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.2.2">s</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.2.3">t</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.2.4">u</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.2.5">d</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.2.6">e</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.2.7">n</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.2.8">t</mi><mo id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.2.9" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mn id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.2.10">0.9</mn><mo id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.2.11" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.3">,</mo><mrow id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4"><mo id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.1" stretchy="false">(</mo><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.2">p</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.3">h</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.4">o</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.5">t</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.6">o</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.7">g</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.8">r</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.9">a</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.10">p</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.11">h</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.12">e</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.13">r</mi><mo id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.14" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mn id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.15">0.7</mn><mo id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.16">,</mo><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.17">c</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.18">y</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.19">c</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.20">l</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.21">i</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.22">s</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.23">t</mi><mo id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.24" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mn id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.25">0.3</mn><mo id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.4.26" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.5">,</mo><mrow id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.6"><mo id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.6.2">t</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.6.3">o</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.6.4">u</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.6.5">r</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.6.6">i</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.6.7">s</mi><mi id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.6.8">t</mi><mo id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.6.9" lspace="0.278em" rspace="0.278em">:</mo><mn id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.6.10">0.7</mn><mo id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.6.11" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1.7" stretchy="false">}</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1c">\{(student:0.9),(photographer:0.7,cyclist:0.3),(tourist:0.7)\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx1.I1.i2.p1.1.m1.1d">{ ( italic_s italic_t italic_u italic_d italic_e italic_n italic_t : 0.9 ) , ( italic_p italic_h italic_o italic_t italic_o italic_g italic_r italic_a italic_p italic_h italic_e italic_r : 0.7 , italic_c italic_y italic_c italic_l italic_i italic_s italic_t : 0.3 ) , ( italic_t italic_o italic_u italic_r italic_i italic_s italic_t : 0.7 ) }</annotation></semantics></math> indicates that a particular user is estimated (with some uncertainty) as a student after analyzing his 1st week’s behavior, as a photographer or a cyclist after analyzing his 2nd week’s behavior and so on. After collecting data of few months from a certain group of users we can find the frequent sequence of behaviors among them. These patterns can be helpful to suggest a user any group, event, customized promotions or offers, etc. After a few months, we collect data about more users and we need to find the updated status of frequent behaviors. Thus the database becomes incremental and challenging. </div> </li> <li class="ltx_item" id="sectionx1.I1.i3" style="list-style-type:none;"> • <div class="ltx_para" id="sectionx1.I1.i3.p1"> The traffic management system is being automated to identify vehicles as well as breaking of traffic rules and to analyze the behavior of the drivers. Several methods like Automatic Number Plate Recognition, Speed Recognition, Vehicle Type Recognition, Trajectory Analysis are used which produce uncertain data. We can mine different patterns like “Going to road A first and then road B is a frequent behavior of 10% of the cars”. These patterns can be helpful in planning and monitoring traffic routes. </div> </li> </ul> Few other applications are TNFR (Tumor Necrosis Factor Receptor) disease analysis, DNA sequencing (micro level information with uncertainty), mining in crime data, weather data, fashion trend <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[rahman2019mining_uWSeq]</cite>, and vehicle recognition data <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[muzammal2011mining_uSeq1st]</cite>; WSN (Wireless Sensor Network) data monitoring <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[zhao2013mining_uncertainSeq]</cite>; social network behavior analysis <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[ahmed2016mining]</cite> etc where a benefit of mining weighted frequent sequential patterns is to discover more meaningful hidden knowledge. </div> </section> <section class="ltx_section" id="sectionx2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section">Proof of lemmas</h2> <div class="ltx_para" id="sectionx2.p1"> {lemma} The <math alttext="expSup^{cap}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.1.m1.1"><semantics id="sectionx2.p1.1.m1.1a"><mrow id="sectionx2.p1.1.m1.1.1" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.1a" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.4" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.4.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.1b" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.5" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.1c" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.6" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.6.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.1d" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.cmml"><mi id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.2" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.2" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.1" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.3" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.1a" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.4" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.1.m1.1b"><apply id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1"><times id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.2">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.3">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.4">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.5">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.6">𝑢</ci><apply id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.1.cmml" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.2.cmml" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.2">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.cmml" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3"><times id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.1.m1.1.1.7.3.4">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.1.m1.1c">expSup^{cap}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.1.m1.1d">italic_e italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> of a sequence is always greater than or equal to the actual expected support of that sequence. {pf} To keep the proof less complicated, we consider a sequence <math alttext="\alpha=<(i_{0})(i_{1})....(i_{m})>" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="sectionx2.p1.2.m2.1"><semantics id="sectionx2.p1.2.m2.1a"><mrow id="sectionx2.p1.2.m2.1b"><mi id="sectionx2.p1.2.m2.1.1">α</mi><mo id="sectionx2.p1.2.m2.1.2" rspace="0em">=</mo><mo id="sectionx2.p1.2.m2.1.3" lspace="0em"><</mo><mrow id="sectionx2.p1.2.m2.1.4"><mo id="sectionx2.p1.2.m2.1.4.1" stretchy="false">(</mo><msub id="sectionx2.p1.2.m2.1.4.2"><mi id="sectionx2.p1.2.m2.1.4.2.2">i</mi><mn id="sectionx2.p1.2.m2.1.4.2.3">0</mn></msub><mo id="sectionx2.p1.2.m2.1.4.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mrow id="sectionx2.p1.2.m2.1.5"><mo id="sectionx2.p1.2.m2.1.5.1" stretchy="false">(</mo><msub id="sectionx2.p1.2.m2.1.5.2"><mi id="sectionx2.p1.2.m2.1.5.2.2">i</mi><mn id="sectionx2.p1.2.m2.1.5.2.3">1</mn></msub><mo id="sectionx2.p1.2.m2.1.5.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mi id="sectionx2.p1.2.m2.1.6" mathvariant="normal">…</mi><mo id="sectionx2.p1.2.m2.1.7" lspace="0em" rspace="0.167em">.</mo><mrow id="sectionx2.p1.2.m2.1.8"><mo id="sectionx2.p1.2.m2.1.8.1" stretchy="false">(</mo><msub id="sectionx2.p1.2.m2.1.8.2"><mi id="sectionx2.p1.2.m2.1.8.2.2">i</mi><mi id="sectionx2.p1.2.m2.1.8.2.3">m</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.2.m2.1.8.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="sectionx2.p1.2.m2.1.9">></mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.2.m2.1c">\alpha=<(i_{0})(i_{1})....(i_{m})></annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.2.m2.1d">italic_α = < ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) … . ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) ></annotation></semantics></math> where each event/itemset consists of a single item, <math alttext="i_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.3.m3.1"><semantics id="sectionx2.p1.3.m3.1a"><msub id="sectionx2.p1.3.m3.1.1" xref="sectionx2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.3.m3.1.1.2" xref="sectionx2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">i</mi><mi id="sectionx2.p1.3.m3.1.1.3" xref="sectionx2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.3.m3.1b"><apply id="sectionx2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.3.m3.1.1.2">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.3.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.3.m3.1c">i_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.3.m3.1d">italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. According to the definitions, <math alttext="\forall i_{k}\in\alpha:maxPr(i_{k})\geq maxPr_{S}(i_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.4.m4.2"><semantics id="sectionx2.p1.4.m4.2a"><mrow id="sectionx2.p1.4.m4.2.2" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.1" rspace="0.167em" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.1.cmml">∀</mo><msub id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.2" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.2.2" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.2.2.cmml">i</mi><mi id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.2.3" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow><mo id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.1" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.1.cmml">∈</mo><mi id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.3" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.3.cmml">:</mo><mrow id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.4" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.2a" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.5" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.5.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.2b" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.6" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.6.cmml">P</mi><mo id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.2c" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.7" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.7.cmml">r</mi><mo id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.2d" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mi id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.3" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml">≥</mo><mrow id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.3" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.2" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.4" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.4.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.2a" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.5" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.5.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.2b" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.6" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.6.cmml">P</mi><mo id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.2c" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.7" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.7.cmml"><mi id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.7.2" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.7.2.cmml">r</mi><mi id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.7.3" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.7.3.cmml">S</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.2d" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.1" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">i</mi><mi id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.4.m4.2b"><apply id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2"><ci id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.3">:</ci><apply id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4"><in id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.1.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.1"></in><apply id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.1">for-all</csymbol><apply id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.2.2">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.4.3">𝛼</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2"><geq id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.3"></geq><apply id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1"><times id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.4">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.5">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.6">𝑃</ci><ci id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.7">𝑟</ci><apply id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2"><times id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.2"></times><ci id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.4">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.5">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.6.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.6">𝑃</ci><apply id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.7.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.7.1.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.7">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.7.2.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.7.2">𝑟</ci><ci id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.7.3.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.7.3">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.4.m4.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.4.m4.2c">\forall i_{k}\in\alpha:maxPr(i_{k})\geq maxPr_{S}(i_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.4.m4.2d">∀ italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_α : italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ≥ italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. <math alttext="\Rightarrow maxPr({i_{0}})\times\sum_{\forall S\in(DB|{i_{0}})}maxPr_{S}(i_{1}% )\geq\sum_{\forall S\in DB}maxPr_{S}({\textless{}(i_{0})(i_{1})}\textgreater{})" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.5.m5.4"><semantics id="sectionx2.p1.5.m5.4a"><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.4.4" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.cmml"><mi id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.5" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.5.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.6" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.6.cmml">⇒</mo><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.4" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.2a" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.5" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.5.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.2b" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.6" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.6.cmml">P</mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.2c" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.7" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.7.cmml">r</mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.2d" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mn id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.3" rspace="0.055em" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.3.cmml">×</mo><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.cmml"><msub id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.2.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.3.cmml"><mo id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.3.1" rspace="0.167em" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.3.1.cmml">∀</mo><mi id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.3.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.3.2.cmml">S</mi></mrow><mo id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">B</mi></mrow><mo fence="false" id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mn id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub></mrow><mo id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.4" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.4.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.2a" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.5" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.5.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.2b" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.6" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.6.cmml">P</mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.2c" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.7" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.7.cmml"><mi id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.7.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.7.2.cmml">r</mi><mi id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.7.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.7.3.cmml">S</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.2d" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mn id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.7" rspace="0.111em" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.7.cmml">≥</mo><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.cmml"><msub id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.2.1" rspace="0.167em" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.2.1.cmml">∀</mo><mi id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.2.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.2.2.cmml">S</mi></mrow><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3.3.cmml">B</mi></mrow></mrow></msub><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.4" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.4.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.2a" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.5" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.5.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.2b" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.6" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.6.cmml">P</mi><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.2c" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.7" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.7.cmml"><mi id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.7.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.7.2.cmml">r</mi><mi id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.7.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.7.3.cmml">S</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.2d" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.cmml">(</mo><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mn id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">i</mi><mn id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mo id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.5.m5.4b"><apply id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4"><and id="sectionx2.p1.5.m5.4.4a.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4"></and><apply id="sectionx2.p1.5.m5.4.4b.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4"><ci id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.6.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.6">⇒</ci><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.5.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.5">absent</csymbol><apply id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2"><times id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.3"></times><apply id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1"><times id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.4">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.5">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.6">𝑃</ci><ci id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.7">𝑟</ci><apply id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><cn id="sectionx2.p1.5.m5.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" 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xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2"><times id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐷</ci><ci id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="sectionx2.p1.5.m5.1.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1"><times id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.4">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.5">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.6">𝑃</ci><apply id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.7.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.7">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.7.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.7.2">𝑟</ci><ci id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.7.3.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.7.3">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.1.2">𝑖</ci><cn id="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.5.m5.4.4c.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4"><geq id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.7.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.7"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx2.p1.5.m5.3.3.2.cmml" id="sectionx2.p1.5.m5.4.4d.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4"></share><apply id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3"><apply id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2">subscript</csymbol><sum id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.2"></sum><apply id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3"><in id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.1"></in><apply id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.2.1">for-all</csymbol><ci id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.2.2">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3"><times id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3.2">𝐷</ci><ci id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.2.3.3.3">𝐵</ci></apply></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1"><times id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.4">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.5">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.6">𝑃</ci><apply id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.7.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.7">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.7.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.7.2">𝑟</ci><ci id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.7.3.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.7.3">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1"><times id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑖</ci><cn id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2">𝑖</ci><cn id="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="sectionx2.p1.5.m5.4.4.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.5.m5.4c">\Rightarrow maxPr({i_{0}})\times\sum_{\forall S\in(DB|{i_{0}})}maxPr_{S}(i_{1}% )\geq\sum_{\forall S\in DB}maxPr_{S}({\textless{}(i_{0})(i_{1})}\textgreater{})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.5.m5.4d">⇒ italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) × ∑ start_POSTSUBSCRIPT ∀ italic_S ∈ ( italic_D italic_B | italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ≥ ∑ start_POSTSUBSCRIPT ∀ italic_S ∈ italic_D italic_B end_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( < ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) > )</annotation></semantics></math> <math alttext="\Rightarrow maxPr({\alpha_{m-1}})\times\sum_{\forall S\in(DB|\alpha_{m-1})}% maxPr_{S}(i_{m})\geq\sum_{\forall S\in DB}maxPr_{S}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.6.m6.4"><semantics id="sectionx2.p1.6.m6.4a"><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.4.4" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.cmml"><mi id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.4" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.4.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.5" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.5.cmml">⇒</mo><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.3" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.4" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.2a" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.5" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.5.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.2b" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.6" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.6.cmml">P</mi><mo id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.2c" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.7" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.7.cmml">r</mi><mo id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.2d" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.3" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.3" rspace="0.055em" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.3.cmml">×</mo><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.cmml"><msub id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.2.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.3.cmml"><mo id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.3.1" rspace="0.167em" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.3.1.cmml">∀</mo><mi id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.3.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.3.2.cmml">S</mi></mrow><mo id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">B</mi></mrow><mo fence="false" id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.3" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.4" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.4.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.2a" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.5" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.5.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.2b" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.6" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.6.cmml">P</mi><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.2c" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.7" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.7.cmml"><mi id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.7.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.7.2.cmml">r</mi><mi id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.7.3" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.7.3.cmml">S</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.2d" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.1.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mi id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.6" rspace="0.111em" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.6.cmml">≥</mo><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.cmml"><msub id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.2.1" rspace="0.167em" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.2.1.cmml">∀</mo><mi id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.2.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.2.2.cmml">S</mi></mrow><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.3" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.3.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.3.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.3.1" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.3.3" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.3.3.cmml">B</mi></mrow></mrow></msub><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2" 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id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.1d" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.7.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.7.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.6.m6.2.2" xref="sectionx2.p1.6.m6.2.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.7.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.6.m6.4b"><apply id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4"><and id="sectionx2.p1.6.m6.4.4a.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4"></and><apply id="sectionx2.p1.6.m6.4.4b.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4"><ci id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.5.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.5">⇒</ci><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.4.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.4">absent</csymbol><apply id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2"><times id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.3"></times><apply id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1"><times id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.4">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.5">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.6">𝑃</ci><ci id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.7">𝑟</ci><apply id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3"><minus id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="sectionx2.p1.6.m6.3.3.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2"><apply id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><sum id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.2.2"></sum><apply id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1"><in id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.2"></in><apply id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.3.1">for-all</csymbol><ci id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.3.2">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2"><times id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐷</ci><ci id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3"><minus id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></minus><ci id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑚</ci><cn id="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="sectionx2.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1"><times id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.4">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.2.1.5.cmml" 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id="sectionx2.p1.6.m6.4.4c.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4"><geq id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.6.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.6"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx2.p1.6.m6.4.4.2.cmml" id="sectionx2.p1.6.m6.4.4d.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4"></share><apply id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7"><apply id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1">subscript</csymbol><sum id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.2"></sum><apply id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3"><in id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.1"></in><apply id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.1.3.2.1.cmml" 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xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.5">𝑃</ci><apply id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.6.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.6.1.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.6">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.6.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.6.2">𝑟</ci><ci id="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.6.3.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.4.4.7.2.6.3">𝑆</ci></apply><ci id="sectionx2.p1.6.m6.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.6.m6.2.2">𝛼</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.6.m6.4c">\Rightarrow maxPr({\alpha_{m-1}})\times\sum_{\forall S\in(DB|\alpha_{m-1})}% maxPr_{S}(i_{m})\geq\sum_{\forall S\in DB}maxPr_{S}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.6.m6.4d">⇒ italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) × ∑ start_POSTSUBSCRIPT ∀ italic_S ∈ ( italic_D italic_B | italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) end_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) ≥ ∑ start_POSTSUBSCRIPT ∀ italic_S ∈ italic_D italic_B end_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math> <math alttext="\Rightarrow expSup^{cap}(\alpha)\geq expSup(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.7.m7.2"><semantics id="sectionx2.p1.7.m7.2a"><mrow id="sectionx2.p1.7.m7.2.3" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.2" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.2.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.3.cmml">⇒</mo><mrow id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.cmml"><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.2" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.2.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.1" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.3" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.1a" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.4" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.4.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.1b" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.5" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.1c" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.6" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.6.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.1d" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.cmml"><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.2" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.2" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.1" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.3" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.1a" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.4" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.1e" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.8.2" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.cmml"><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.8.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.7.m7.1.1" xref="sectionx2.p1.7.m7.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.8.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.5" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.5.cmml">≥</mo><mrow id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.cmml"><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.2" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.2.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.1" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.3" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.1a" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.4" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.4.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.1b" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.5" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.1c" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.6" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.6.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.1d" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.7" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.7.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.1e" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.8.2" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.cmml"><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.8.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.7.m7.2.2" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.8.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.7.m7.2b"><apply id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3"><and id="sectionx2.p1.7.m7.2.3a.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3"></and><apply id="sectionx2.p1.7.m7.2.3b.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3"><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.3">⇒</ci><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.2">absent</csymbol><apply id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4"><times id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.1.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.1"></times><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.2">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.3">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.4.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.4">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.5.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.5">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.6.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.6">𝑢</ci><apply id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.1.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.2.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.2">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3"><times id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.7.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.1.1">𝛼</ci></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.7.m7.2.3c.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3"><geq id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.5.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.5"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx2.p1.7.m7.2.3.4.cmml" id="sectionx2.p1.7.m7.2.3d.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3"></share><apply id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6"><times id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.1.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.1"></times><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.2.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.2">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.3.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.3">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.4.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.4">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.5.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.5">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.6.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.6">𝑢</ci><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.7.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.3.6.7">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.7.m7.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.7.m7.2.2">𝛼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.7.m7.2c">\Rightarrow expSup^{cap}(\alpha)\geq expSup(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.7.m7.2d">⇒ italic_e italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) ≥ italic_e italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p ( italic_α )</annotation></semantics></math> <math alttext="\therefore" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.8.m8.1"><semantics id="sectionx2.p1.8.m8.1a"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="sectionx2.p1.8.m8.1.1" xref="sectionx2.p1.8.m8.1.1b.cmml"><mtext id="sectionx2.p1.8.m8.1.1a" xref="sectionx2.p1.8.m8.1.1b.cmml">\therefore</mtext></merror><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.8.m8.1b"><ci id="sectionx2.p1.8.m8.1.1b.cmml" xref="sectionx2.p1.8.m8.1.1"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="sectionx2.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.8.m8.1.1"><mtext id="sectionx2.p1.8.m8.1.1a.cmml" xref="sectionx2.p1.8.m8.1.1">\therefore</mtext></merror></ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.8.m8.1c">\therefore</annotation></semantics></math> The equality holds only when each item has same existential probability for its all positions in whole database. Otherwise, <math alttext="expSup^{cap}(\alpha)>expSup(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.9.m9.2"><semantics id="sectionx2.p1.9.m9.2a"><mrow id="sectionx2.p1.9.m9.2.3" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.2" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.2.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.1" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.3" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.1a" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.4" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.4.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.1b" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.5" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.1c" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.6" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.6.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.1d" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.cmml"><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.2" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.2" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.1" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.3" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.1a" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.4" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.1e" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.8.2" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.8.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.9.m9.1.1" xref="sectionx2.p1.9.m9.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.8.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.1" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.1.cmml">></mo><mrow id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.2" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.2.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.1" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.3" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.1a" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.4" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.4.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.1b" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.5" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.1c" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.6" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.6.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.1d" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.7" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.7.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.1e" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.8.2" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.cmml"><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.8.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.9.m9.2.2" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.8.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.9.m9.2b"><apply id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3"><gt id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.1"></gt><apply 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id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.2.7.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.9.m9.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3"><times id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.2">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.3">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.4">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.5.cmml" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.5">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.6.cmml" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.6">𝑢</ci><ci id="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.7.cmml" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.3.3.7">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.9.m9.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.9.m9.2.2">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.9.m9.2c">expSup^{cap}(\alpha)>expSup(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.9.m9.2d">italic_e italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) > italic_e italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p ( italic_α )</annotation></semantics></math> always be true. \boxed {lemma} For any sequence <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.10.m10.1"><semantics id="sectionx2.p1.10.m10.1a"><mi id="sectionx2.p1.10.m10.1.1" xref="sectionx2.p1.10.m10.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.10.m10.1b"><ci id="sectionx2.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.10.m10.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.10.m10.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.10.m10.1d">italic_α</annotation></semantics></math>, the value of <math alttext="expSup^{cap}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.11.m11.1"><semantics id="sectionx2.p1.11.m11.1a"><mrow id="sectionx2.p1.11.m11.1.2" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.2" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.2.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.1" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.3" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.1a" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.4" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.4.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.1b" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.5" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.1c" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.6" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.6.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.1d" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.cmml"><mi id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.2" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.2" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.1" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.3" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.1a" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.4" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.1e" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.8.2" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.8.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.11.m11.1.1" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.8.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.11.m11.1b"><apply id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2"><times id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.2">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.3">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.4">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.5">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.6.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.6">𝑢</ci><apply id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.1.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.2.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.2">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3"><times id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.2.7.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.11.m11.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.11.m11.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.11.m11.1c">expSup^{cap}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.11.m11.1d">italic_e italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math> is always less than or equal to the <math alttext="expSupport^{top}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.12.m12.1"><semantics id="sectionx2.p1.12.m12.1a"><mrow id="sectionx2.p1.12.m12.1.2" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.2" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.2.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.3" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1a" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.4" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.4.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1b" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.5" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1c" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.6" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.6.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1d" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.7" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.7.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1e" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.8" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.8.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1f" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.9" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.9.cmml">o</mi><mo id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1g" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.10" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.10.cmml">r</mi><mo id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1h" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.cmml"><mi id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.2" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.2.cmml">t</mi><mrow id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.2" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.2.cmml">t</mi><mo id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.1" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.3" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.3.cmml">o</mi><mo id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.1a" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.4" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1i" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.12.2" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.12.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.12.m12.1.1" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.12.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.12.m12.1b"><apply id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2"><times id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.2">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.3">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.4">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.5">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.6.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.6">𝑢</ci><ci id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.7.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.7">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.8.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.8">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.9.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.9">𝑜</ci><ci id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.10.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.10">𝑟</ci><apply id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.1.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.2.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.2">𝑡</ci><apply id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3"><times id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.2">𝑡</ci><ci id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.3">𝑜</ci><ci id="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.2.11.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.12.m12.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.12.m12.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.12.m12.1c">expSupport^{top}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.12.m12.1d">italic_e italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p italic_p italic_o italic_r italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_t italic_o italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math> which is used as an upper bound of expected support in uWSequence <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[rahman2019mining_uWSeq]</cite> and can be equivalently defined as <math alttext="expSupport^{top}(\alpha)=maxPr(\alpha_{m-1})\times maxPr(i_{m})\times sup_{i_{% m}}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.13.m13.3"><semantics id="sectionx2.p1.13.m13.3a"><mrow id="sectionx2.p1.13.m13.3.3" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.cmml"><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.2" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.2.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.3" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1a" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.4" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.4.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1b" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.5" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1c" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.6" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.6.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1d" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.7" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.7.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1e" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.8" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.8.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1f" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.9" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.9.cmml">o</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1g" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.10" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.10.cmml">r</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1h" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.cmml"><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.2" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.2.cmml">t</mi><mrow id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.2" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.2.cmml">t</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.1" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.3" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.3.cmml">o</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.1a" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.4" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1i" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.12.2" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.cmml"><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.12.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.1.1" xref="sectionx2.p1.13.m13.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.12.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.3" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1" 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xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.7.cmml">r</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.2d" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mrow id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.2" rspace="0.222em" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.3" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.4" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.4.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.3a" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.5" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.5.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.3b" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.6" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.6.cmml">P</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.3c" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.7" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.7.cmml">r</mi><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.3d" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.1" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.1.2" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.1.2.cmml">i</mi><mi id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.1.3" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.1.3.cmml">m</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.3" rspace="0.222em" 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id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.3"></eq><apply id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4"><times id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.1"></times><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.2">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.3">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.4.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.4">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.5.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.5">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.6.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.6">𝑢</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.7.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.7">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.8.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.8">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.9.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.9">𝑜</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.10.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.10">𝑟</ci><apply id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.1.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.2.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.2">𝑡</ci><apply id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3"><times id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.2">𝑡</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.3">𝑜</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.4.11.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.13.m13.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2"><times id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.3.cmml" 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id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.5">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.6">𝑃</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.7">𝑟</ci><apply id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><ci id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑚</ci><cn id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.2.2.1.1.1.1.3">𝑚</ci></apply><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.4">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.5">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.6.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.6">𝑃</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.7.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.7">𝑟</ci><apply id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.1.2">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.2.2.1.1.3">𝑚</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.2.4">𝑠</ci></apply><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.4">𝑢</ci><apply id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.5.1.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.5.2.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.5.2">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.5.3.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.5.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.5.3">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.5.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.5.3.2">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.5.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.13.m13.3.3.2.5.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.13.m13.3c">expSupport^{top}(\alpha)=maxPr(\alpha_{m-1})\times maxPr(i_{m})\times sup_{i_{% m}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.13.m13.3d">italic_e italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p italic_p italic_o italic_r italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_t italic_o italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) = italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) × italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) × italic_s italic_u italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> where <math alttext="sup_{i_{m}}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.14.m14.1"><semantics id="sectionx2.p1.14.m14.1a"><mrow id="sectionx2.p1.14.m14.1.1" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.2" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.2.cmml">s</mi><mo id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.1" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.3" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.3.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.1a" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.2" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.2.cmml">p</mi><msub id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.3" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.3.2" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.3.2.cmml">i</mi><mi id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.3.3" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.3.3.cmml">m</mi></msub></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.14.m14.1b"><apply id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1"><times id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.1"></times><ci id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.2">𝑠</ci><ci id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.3">𝑢</ci><apply id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.1.cmml" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.2">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.3.2">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.14.m14.1.1.4.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.14.m14.1c">sup_{i_{m}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.14.m14.1d">italic_s italic_u italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the support count of <math alttext="i_{m}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.15.m15.1"><semantics id="sectionx2.p1.15.m15.1a"><msub id="sectionx2.p1.15.m15.1.1" xref="sectionx2.p1.15.m15.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.15.m15.1.1.2" xref="sectionx2.p1.15.m15.1.1.2.cmml">i</mi><mi id="sectionx2.p1.15.m15.1.1.3" xref="sectionx2.p1.15.m15.1.1.3.cmml">m</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.15.m15.1b"><apply id="sectionx2.p1.15.m15.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.15.m15.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.15.m15.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.15.m15.1.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.15.m15.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.15.m15.1.1.2">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.15.m15.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.15.m15.1.1.3">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.15.m15.1c">i_{m}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.15.m15.1d">italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. {pf} According to definitions, <math alttext="\forall S,\forall i_{k}\in\alpha:maxPr_{S}(i_{k})\leq maxPr(i_{k})" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.16.m16.4"><semantics id="sectionx2.p1.16.m16.4a"><mrow id="sectionx2.p1.16.m16.4.4" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.3.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.16.m16.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.16.m16.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.16.m16.1.1.1.1.1.1.1" rspace="0.167em" xref="sectionx2.p1.16.m16.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∀</mo><mi id="sectionx2.p1.16.m16.1.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.16.m16.1.1.1.1.1.1.2.cmml">S</mi></mrow><mo id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.3" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.1" rspace="0.167em" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.1.cmml">∀</mo><msub id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.2" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">i</mi><mi id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">k</mi></msub></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.3" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.3.cmml">∈</mo><mi id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.4" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.4.cmml">α</mi></mrow><mo id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.5" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.5.cmml">:</mo><mrow id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.3" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.2" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.4" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.4.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.2a" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.5" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.5.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.2b" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.6" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.6.cmml">P</mi><mo id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.2c" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.7" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.7.cmml"><mi id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.7.2" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.7.2.cmml">r</mi><mi id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.7.3" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.7.3.cmml">S</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.2d" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">i</mi><mi id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.3" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.3.cmml">≤</mo><mrow id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.3" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.2" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.4" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.4.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.2a" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.5" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.5.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.2b" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.6" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.6.cmml">P</mi><mo id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.2c" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.7" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.7.cmml">r</mi><mo id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.2d" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.1" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml">i</mi><mi id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.16.m16.4b"><apply id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4"><ci id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.5.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.5">:</ci><apply id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2"><in id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.3"></in><list id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2"><apply id="sectionx2.p1.16.m16.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.16.m16.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.1.1.1.1.1.1.1">for-all</csymbol><ci id="sectionx2.p1.16.m16.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.1.1.1.1.1.1.2">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.1">for-all</csymbol><apply id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑘</ci></apply></apply></list><ci id="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.2.2.2.4">𝛼</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4"><leq id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.3"></leq><apply id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1"><times id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.4">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.5">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.6">𝑃</ci><apply id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.7.1.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.7">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.7.2.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.7.2">𝑟</ci><ci id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.7.3.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.7.3">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.3.3.3.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2"><times id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.2"></times><ci id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.4">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.5">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.6.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.6">𝑃</ci><ci id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.7.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.7">𝑟</ci><apply id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.16.m16.4.4.4.2.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.16.m16.4c">\forall S,\forall i_{k}\in\alpha:maxPr_{S}(i_{k})\leq maxPr(i_{k})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.16.m16.4d">∀ italic_S , ∀ italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_α : italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) ≤ italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> <math alttext="\Rightarrow\sum maxPr_{S}(i_{m})\leq maxPr(i_{m})\times sup_{i_{m}}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.17.m17.2"><semantics id="sectionx2.p1.17.m17.2a"><mrow id="sectionx2.p1.17.m17.2.2" xref="sectionx2.p1.17.m17.2.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.17.m17.2.2.4" xref="sectionx2.p1.17.m17.2.2.4.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.17.m17.2.2.5" rspace="0.111em" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.17.m17.2.2.5.cmml">⇒</mo><mrow id="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1" xref="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.4" xref="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.2a" xref="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.5" xref="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.5.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.2b" xref="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.6" xref="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.6.cmml">P</mi><mo id="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.2c" xref="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.7" xref="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.7.2" xref="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.7.2.cmml">r</mi><mi id="sectionx2.p1.17.m17.1.1.1.1.7.3" 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id="sectionx2.p1.17.m17.2.2.2.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.17.m17.2.2.2.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.17.m17.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.17.m17.2.2.2.4.3">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.17.m17.2.2.2.4.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.17.m17.2.2.2.4.3.2">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.17.m17.2.2.2.4.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.17.m17.2.2.2.4.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.17.m17.2c">\Rightarrow\sum maxPr_{S}(i_{m})\leq maxPr(i_{m})\times sup_{i_{m}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.17.m17.2d">⇒ ∑ italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) ≤ italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) × italic_s italic_u italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> <math alttext="\Rightarrow maxPr(\alpha_{m-1})\times\sum maxPr_{S}(i_{m})\leq maxPr(\alpha_{m% -1})\times maxPr(i_{m})\times sup_{i_{m}}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.18.m18.4"><semantics id="sectionx2.p1.18.m18.4a"><mrow id="sectionx2.p1.18.m18.4.4" xref="sectionx2.p1.18.m18.4.4.cmml"><mi id="sectionx2.p1.18.m18.4.4.6" xref="sectionx2.p1.18.m18.4.4.6.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.18.m18.4.4.7" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.18.m18.4.4.7.cmml">⇒</mo><mrow id="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2" xref="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.4" xref="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.2a" xref="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.5" xref="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.5.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.2b" xref="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.6" xref="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.6.cmml">P</mi><mo id="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.2c" xref="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.7" xref="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.7.cmml">r</mi><mo id="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.2d" xref="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.18.m18.1.1.1.1.1.1.1.2" 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id="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.3" xref="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.2" xref="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.4" xref="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.4.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.2a" xref="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.5" xref="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.5.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.2b" xref="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.6" xref="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.6.cmml">P</mi><mo id="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.2c" xref="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.7" xref="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.7.cmml"><mi id="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.7.2" xref="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.7.2.cmml">r</mi><mi id="sectionx2.p1.18.m18.2.2.2.2.1.7.3" 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id="sectionx2.p1.18.m18.4.4.4.2" xref="sectionx2.p1.18.m18.4.4.4.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.18.m18.4.4.4.2.2" xref="sectionx2.p1.18.m18.4.4.4.2.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1" xref="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.1.4" xref="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.1.4.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.1.2a" xref="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.1.5" xref="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.1.5.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.1.2b" xref="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.18.m18.3.3.3.1.1.1.1.6" 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cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.18.m18.4.4.4.5.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.18.m18.4.4.4.5.3">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.18.m18.4.4.4.5.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.18.m18.4.4.4.5.3.2">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.18.m18.4.4.4.5.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.18.m18.4.4.4.5.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.18.m18.4c">\Rightarrow maxPr(\alpha_{m-1})\times\sum maxPr_{S}(i_{m})\leq maxPr(\alpha_{m% -1})\times maxPr(i_{m})\times sup_{i_{m}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.18.m18.4d">⇒ italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) × ∑ italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_i start_POSTSUBSCRIPT italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) ≤ italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_m - 1 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id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.2" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.2.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.3" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1a" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.4" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.4.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1b" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.5" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1c" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.6" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.6.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1d" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.7" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.7.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1e" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.8" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.8.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1f" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.9" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.9.cmml">o</mi><mo id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1g" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.10" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.10.cmml">r</mi><mo id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1h" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.cmml"><mi id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.2" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.2.cmml">t</mi><mrow id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.2" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.2.cmml">t</mi><mo id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.1" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.3" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.3.cmml">o</mi><mo id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.1a" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.4" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1i" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.12.2" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.cmml"><mo id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.12.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.19.m19.2.2" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.12.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.19.m19.2b"><apply id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3"><and id="sectionx2.p1.19.m19.2.3a.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3"></and><apply id="sectionx2.p1.19.m19.2.3b.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3"><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.3">⇒</ci><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.2">absent</csymbol><apply id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4"><times id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.1.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.1"></times><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.2">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.3">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.4.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.4">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.5.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.5">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.6.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.6">𝑢</ci><apply id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7.1.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7.2.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7.2">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7.3.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7.3"><times id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.7.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.19.m19.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.1.1">𝛼</ci></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.19.m19.2.3c.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3"><leq id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.5.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx2.p1.19.m19.2.3.4.cmml" id="sectionx2.p1.19.m19.2.3d.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3"></share><apply id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6"><times id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.1"></times><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.2.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.2">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.3.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.3">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.4.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.4">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.5.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.5">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.6.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.6">𝑢</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.7.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.7">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.8.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.8">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.9.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.9">𝑜</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.10.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.10">𝑟</ci><apply id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.1.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.2.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.2">𝑡</ci><apply id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3"><times id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.2">𝑡</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.3">𝑜</ci><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.3.6.11.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.19.m19.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.19.m19.2.2">𝛼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.19.m19.2c">\Rightarrow expSup^{cap}(\alpha)\leq expSupport^{top}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.19.m19.2d">⇒ italic_e italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) ≤ italic_e italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p italic_p italic_o italic_r italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_t italic_o italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math> \boxed {lemma} For any sequence <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.20.m20.1"><semantics id="sectionx2.p1.20.m20.1a"><mi id="sectionx2.p1.20.m20.1.1" xref="sectionx2.p1.20.m20.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.20.m20.1b"><ci id="sectionx2.p1.20.m20.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.20.m20.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.20.m20.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.20.m20.1d">italic_α</annotation></semantics></math>, the value of <math alttext="wgt^{cap}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.21.m21.1"><semantics id="sectionx2.p1.21.m21.1a"><mrow id="sectionx2.p1.21.m21.1.2" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.2" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.1" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.3" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.3.cmml">g</mi><mo id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.1a" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.cmml"><mi id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.2" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.2.cmml">t</mi><mrow id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.2" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.1" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.3" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.1a" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.4" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.1b" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.5.2" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.21.m21.1.1" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.21.m21.1b"><apply id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2"><times id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.2">𝑤</ci><ci id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.3">𝑔</ci><apply id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.1.cmml" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.2">𝑡</ci><apply id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3"><times id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.2.4.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.21.m21.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.21.m21.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.21.m21.1c">wgt^{cap}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.21.m21.1d">italic_w italic_g italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math> is always greater than or equal to the sWeight value of its all super sequences. {pf} Let us assume that <math alttext="\alpha\subset\alpha^{{}^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.22.m22.1"><semantics id="sectionx2.p1.22.m22.1a"><mrow id="sectionx2.p1.22.m22.1.1" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.22.m22.1.1.2" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.22.m22.1.1.1" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1.1.cmml">⊂</mo><msup id="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.2" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.3" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.3a" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.3.1" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.3.1.cmml">′</mo></msup></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.22.m22.1b"><apply id="sectionx2.p1.22.m22.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1"><subset id="sectionx2.p1.22.m22.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1.1"></subset><ci id="sectionx2.p1.22.m22.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.3"><ci id="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.22.m22.1.1.3.3.1">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.22.m22.1c">\alpha\subset\alpha^{{}^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.22.m22.1d">italic_α ⊂ italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for some sequence <math alttext="\alpha^{{}^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.23.m23.1"><semantics id="sectionx2.p1.23.m23.1a"><msup id="sectionx2.p1.23.m23.1.1" xref="sectionx2.p1.23.m23.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.23.m23.1.1.2" xref="sectionx2.p1.23.m23.1.1.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.23.m23.1.1.3" xref="sectionx2.p1.23.m23.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.23.m23.1.1.3a" xref="sectionx2.p1.23.m23.1.1.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.23.m23.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.23.m23.1.1.3.1.cmml">′</mo></msup></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.23.m23.1b"><apply id="sectionx2.p1.23.m23.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.23.m23.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.23.m23.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.23.m23.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.23.m23.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.23.m23.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.23.m23.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.23.m23.1.1.3"><ci id="sectionx2.p1.23.m23.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.23.m23.1.1.3.1">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.23.m23.1c">\alpha^{{}^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.23.m23.1d">italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="mxW_{S}(\alpha)\geq sWeight(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.24.m24.2"><semantics id="sectionx2.p1.24.m24.2a"><mrow id="sectionx2.p1.24.m24.2.3" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.2" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.1" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.3" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.1a" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.4" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.4.cmml"><mi id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.4.2" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.4.2.cmml">W</mi><mi id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.4.3" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.4.3.cmml">S</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.1b" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.5.2" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.24.m24.1.1" xref="sectionx2.p1.24.m24.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.1" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.1.cmml">≥</mo><mrow id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.2" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.3" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.3.cmml">W</mi><mo id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1a" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.4" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.4.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1b" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.5" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.5.cmml">i</mi><mo id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1c" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.6" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.6.cmml">g</mi><mo id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1d" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.7" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.7.cmml">h</mi><mo id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1e" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.8" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.8.cmml">t</mi><mo id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1f" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.9.2" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.cmml"><mo id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.9.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.24.m24.2.2" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.9.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.24.m24.2b"><apply id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3"><geq id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.1"></geq><apply id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2"><times id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.2">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.3">𝑥</ci><apply id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.4.1.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.4.2">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.2.4.3">𝑆</ci></apply><ci id="sectionx2.p1.24.m24.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3"><times id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.2">𝑠</ci><ci id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.3">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.4">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.5.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.5">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.6.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.6">𝑔</ci><ci id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.7.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.7">ℎ</ci><ci id="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.8.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.3.3.8">𝑡</ci><ci id="sectionx2.p1.24.m24.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.24.m24.2.2">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.24.m24.2c">mxW_{S}(\alpha)\geq sWeight(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.24.m24.2d">italic_m italic_x italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_α ) ≥ italic_s italic_W italic_e italic_i italic_g italic_h italic_t ( italic_α )</annotation></semantics></math> from Definition LABEL:def:mxw. The equality holds when the weights of all item in <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.25.m25.1"><semantics id="sectionx2.p1.25.m25.1a"><mi id="sectionx2.p1.25.m25.1.1" xref="sectionx2.p1.25.m25.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.25.m25.1b"><ci id="sectionx2.p1.25.m25.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.25.m25.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.25.m25.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.25.m25.1d">italic_α</annotation></semantics></math> are equal. Similarly, <math alttext="mxW_{S}(\alpha^{{}^{\prime}})\geq sWeight(\alpha^{{}^{\prime}})" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.26.m26.2"><semantics id="sectionx2.p1.26.m26.2a"><mrow id="sectionx2.p1.26.m26.2.2" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.4" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.2a" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.5" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.5.cmml"><mi id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.5.2" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.5.2.cmml">W</mi><mi id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.5.3" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.5.3.cmml">S</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.2b" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.3a" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">′</mo></msup></msup><mo id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.3" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.3.cmml">≥</mo><mrow id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.3" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.3.cmml">s</mi><mo id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.4" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.4.cmml">W</mi><mo id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2a" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.5" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.5.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2b" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.6" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.6.cmml">i</mi><mo id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2c" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.7" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.7.cmml">g</mi><mo id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2d" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.8" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.8.cmml">h</mi><mo id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2e" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.9" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.9.cmml">t</mi><mo id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2f" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.3a" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">′</mo></msup></msup><mo id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.26.m26.2b"><apply id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2"><geq id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.3"></geq><apply id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1"><times id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.4">𝑥</ci><apply id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.5.1.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.5.2.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.5.2">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.5.3.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.5.3">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.1.1.1.1.1.1.3.1">′</ci></apply></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2"><times id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.2"></times><ci id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.3">𝑠</ci><ci id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.4">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.5">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.6.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.6">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.7.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.7">𝑔</ci><ci id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.8.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.8">ℎ</ci><ci id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.9.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.9">𝑡</ci><apply id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.3"><ci id="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.26.m26.2.2.2.1.1.1.3.1">′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.26.m26.2c">mxW_{S}(\alpha^{{}^{\prime}})\geq sWeight(\alpha^{{}^{\prime}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.26.m26.2d">italic_m italic_x italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) ≥ italic_s italic_W italic_e italic_i italic_g italic_h italic_t ( italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Now, if the weights of all items in database are not equal, then <math alttext="mxW_{DB}(DB|\alpha)\geq mxW_{DB}(DB|\alpha^{{}^{\prime}})" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.27.m27.2"><semantics id="sectionx2.p1.27.m27.2a"><mrow id="sectionx2.p1.27.m27.2.2" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.4" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.2a" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.cmml"><mi id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.2" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.2.cmml">W</mi><mrow id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3.2" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3.1" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3.3" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.2b" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">B</mi></mrow><mo fence="false" id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.3" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.3.cmml">≥</mo><mrow id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.3" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.2" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.4" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.2a" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.cmml"><mi id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.2" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.2.cmml">W</mi><mrow id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3.2" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3.1" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3.3" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.2b" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">B</mi></mrow><mo fence="false" id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.1.cmml">|</mo><msup id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.3a" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.3.1" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">′</mo></msup></msup></mrow><mo id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.27.m27.2b"><apply id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2"><geq id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.3"></geq><apply id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1"><times id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.4">𝑥</ci><apply id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.1.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.2.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.2">𝑊</ci><apply id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3"><times id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3.2">𝐷</ci><ci id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.5.3.3">𝐵</ci></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2"><times id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2.2">𝐷</ci><ci id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐵</ci></apply><ci id="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.1.1.1.1.1.1.3">𝛼</ci></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2"><times id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.2"></times><ci id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.4">𝑥</ci><apply id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.1.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.2.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.2">𝑊</ci><apply id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3"><times id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3.2">𝐷</ci><ci id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.5.3.3">𝐵</ci></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2"><times id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐷</ci><ci id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.3"><ci id="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.27.m27.2.2.2.1.1.1.3.3.1">′</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.27.m27.2c">mxW_{DB}(DB|\alpha)\geq mxW_{DB}(DB|\alpha^{{}^{\prime}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.27.m27.2d">italic_m italic_x italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_D italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_D italic_B | italic_α ) ≥ italic_m italic_x italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_D italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_D italic_B | italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> must hold since <math alttext="DB|\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.28.m28.1"><semantics id="sectionx2.p1.28.m28.1a"><mrow id="sectionx2.p1.28.m28.1.1" xref="sectionx2.p1.28.m28.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2" xref="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2.2" xref="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2.1" xref="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2.3" xref="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2.3.cmml">B</mi></mrow><mo fence="false" id="sectionx2.p1.28.m28.1.1.1" xref="sectionx2.p1.28.m28.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="sectionx2.p1.28.m28.1.1.3" xref="sectionx2.p1.28.m28.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.28.m28.1b"><apply id="sectionx2.p1.28.m28.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.28.m28.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.28.m28.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.28.m28.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2"><times id="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2.2">𝐷</ci><ci id="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.28.m28.1.1.2.3">𝐵</ci></apply><ci id="sectionx2.p1.28.m28.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.28.m28.1.1.3">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.28.m28.1c">DB|\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.28.m28.1d">italic_D italic_B | italic_α</annotation></semantics></math> contains all frequent items of <math alttext="DB|\alpha^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.29.m29.1"><semantics id="sectionx2.p1.29.m29.1a"><mrow id="sectionx2.p1.29.m29.1.1" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2.2" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2.1" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2.3" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2.3.cmml">B</mi></mrow><mo fence="false" id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.1" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.1.cmml">|</mo><msup id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.3" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.3.2" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.3.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.3.3" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.29.m29.1b"><apply id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2"><times id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2.2">𝐷</ci><ci id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="sectionx2.p1.29.m29.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.29.m29.1.1.3.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.29.m29.1c">DB|\alpha^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.29.m29.1d">italic_D italic_B | italic_α start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Moreover, it is straightforward that <math alttext="mxW_{S}(\alpha^{{}^{\prime}})" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.30.m30.1"><semantics id="sectionx2.p1.30.m30.1a"><mrow id="sectionx2.p1.30.m30.1.1" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.3" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.2" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.4" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.2a" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.5" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.5.cmml"><mi id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.5.2" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.5.2.cmml">W</mi><mi id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.5.3" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.5.3.cmml">S</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.2b" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.3a" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.3.1.cmml">′</mo></msup></msup><mo id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.30.m30.1b"><apply id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1"><times id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.4">𝑥</ci><apply id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.5.1.cmml" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.5.2.cmml" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.5.2">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.5.3.cmml" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.5.3">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.3"><ci id="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.30.m30.1.1.1.1.1.3.1">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.30.m30.1c">mxW_{S}(\alpha^{{}^{\prime}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.30.m30.1d">italic_m italic_x italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> is always greater than or equal to <math alttext="mxW_{S}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.31.m31.1"><semantics id="sectionx2.p1.31.m31.1a"><mrow id="sectionx2.p1.31.m31.1.2" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.2" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.1" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.3" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.1a" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.4" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.4.cmml"><mi id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.4.2" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.4.2.cmml">W</mi><mi id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.4.3" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.4.3.cmml">S</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.1b" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.5.2" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.31.m31.1.1" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.31.m31.1b"><apply id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2"><times id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.2">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.3">𝑥</ci><apply id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.4.1.cmml" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.4.2">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.31.m31.1.2.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.2.4.3">𝑆</ci></apply><ci id="sectionx2.p1.31.m31.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.31.m31.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.31.m31.1c">mxW_{S}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.31.m31.1d">italic_m italic_x italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math>. Nevertheless, when <math alttext="mxW_{S}(\alpha^{{}^{\prime}})>mxW_{S}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.32.m32.2"><semantics id="sectionx2.p1.32.m32.2a"><mrow id="sectionx2.p1.32.m32.2.2" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.3" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.2" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.4" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.2a" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.5" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.5.cmml"><mi id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.5.2" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.5.2.cmml">W</mi><mi id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.5.3" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.5.3.cmml">S</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.2b" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.3a" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">′</mo></msup></msup><mo id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.2" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.2.cmml">></mo><mrow id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.2" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.1" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.3" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.1a" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.4" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.4.cmml"><mi id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.4.2" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.4.2.cmml">W</mi><mi id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.4.3" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.4.3.cmml">S</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.1b" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.5.2" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.cmml"><mo id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.5.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.32.m32.1.1" xref="sectionx2.p1.32.m32.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.5.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.32.m32.2b"><apply id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2"><gt id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.2"></gt><apply id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1"><times id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.4">𝑥</ci><apply id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.5.1.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.5">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.5.2.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.5.2">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.5.3.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.5.3">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.3"><ci id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.1.1.1.1.3.1">′</ci></apply></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3"><times id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.2">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.3">𝑥</ci><apply id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.4.1.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.4.2">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.2.2.3.4.3">𝑆</ci></apply><ci id="sectionx2.p1.32.m32.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.32.m32.1.1">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.32.m32.2c">mxW_{S}(\alpha^{{}^{\prime}})>mxW_{S}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.32.m32.2d">italic_m italic_x italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) > italic_m italic_x italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math>, the item with maximum weight in <math alttext="\alpha^{{}^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.33.m33.1"><semantics id="sectionx2.p1.33.m33.1a"><msup id="sectionx2.p1.33.m33.1.1" xref="sectionx2.p1.33.m33.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.33.m33.1.1.2" xref="sectionx2.p1.33.m33.1.1.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.33.m33.1.1.3" xref="sectionx2.p1.33.m33.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.33.m33.1.1.3a" xref="sectionx2.p1.33.m33.1.1.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.33.m33.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.33.m33.1.1.3.1.cmml">′</mo></msup></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.33.m33.1b"><apply id="sectionx2.p1.33.m33.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.33.m33.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.33.m33.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.33.m33.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.33.m33.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.33.m33.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.33.m33.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.33.m33.1.1.3"><ci id="sectionx2.p1.33.m33.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.33.m33.1.1.3.1">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.33.m33.1c">\alpha^{{}^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.33.m33.1d">italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> must come from the projected database, <math alttext="DB|\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.34.m34.1"><semantics id="sectionx2.p1.34.m34.1a"><mrow id="sectionx2.p1.34.m34.1.1" xref="sectionx2.p1.34.m34.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2" xref="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2.2" xref="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2.1" xref="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2.3" xref="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2.3.cmml">B</mi></mrow><mo fence="false" id="sectionx2.p1.34.m34.1.1.1" xref="sectionx2.p1.34.m34.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="sectionx2.p1.34.m34.1.1.3" xref="sectionx2.p1.34.m34.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.34.m34.1b"><apply id="sectionx2.p1.34.m34.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.34.m34.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.34.m34.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.34.m34.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2"><times id="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2.2">𝐷</ci><ci id="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.34.m34.1.1.2.3">𝐵</ci></apply><ci id="sectionx2.p1.34.m34.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.34.m34.1.1.3">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.34.m34.1c">DB|\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.34.m34.1d">italic_D italic_B | italic_α</annotation></semantics></math> and thus <math alttext="mxW_{S}(\alpha^{{}^{\prime}})\leq mxW_{DB}(DB|\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.35.m35.2"><semantics id="sectionx2.p1.35.m35.2a"><mrow id="sectionx2.p1.35.m35.2.2" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.4" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.2a" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.5" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.5.cmml"><mi id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.5.2" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.5.2.cmml">W</mi><mi id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.5.3" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.5.3.cmml">S</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.2b" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.3a" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">′</mo></msup></msup><mo id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.3" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.3.cmml">≤</mo><mrow id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2" 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id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">B</mi></mrow><mo fence="false" id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><mo id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" 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xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.5.3">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.1.1.1.1.1.1.3.1">′</ci></apply></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2"><times id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.2"></times><ci id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.4">𝑥</ci><apply id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.5.1.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.5.2.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.5.2">𝑊</ci><apply id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.5.3.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.5.3"><times id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.5.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.5.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.5.3.2">𝐷</ci><ci id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.5.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.5.3.3">𝐵</ci></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2"><times id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐷</ci><ci id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.2.3">𝐵</ci></apply><ci id="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.35.m35.2.2.2.1.1.1.3">𝛼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.35.m35.2c">mxW_{S}(\alpha^{{}^{\prime}})\leq mxW_{DB}(DB|\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.35.m35.2d">italic_m italic_x italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) ≤ italic_m italic_x italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_D italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_D italic_B | italic_α )</annotation></semantics></math>. <math alttext="\therefore\max(mxW_{S}(\alpha^{{}^{\prime}}),mxW_{DB}(DB|\alpha^{{}^{\prime}})% )\leq\max(mxW_{S}(\alpha),mxW_{DB}(DB|\alpha))" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.36.m36.7"><semantics id="sectionx2.p1.36.m36.7a"><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.7.7" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.cmml"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.4" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.4b.cmml"><mtext id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.4a" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.4b.cmml">\therefore</mtext></merror><mo id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.3" lspace="0.167em" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.1.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.1.1.cmml">max</mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2a" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.3.cmml">⁡</mo><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.3.cmml"><mo id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.4" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.2a" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.5" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.5.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.5.2.cmml">W</mi><mi id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.5.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.5.3.cmml">S</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.2b" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3a" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">′</mo></msup></msup><mo id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.4" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.4" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.2a" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.2.cmml">W</mi><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.2b" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">B</mi></mrow><mo fence="false" id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">|</mo><msup id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3a" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.3.3.1.cmml">′</mo></msup></msup></mrow><mo id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.5" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.5.cmml">≤</mo><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.3.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.3.3.cmml">max</mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2a" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.3.cmml">⁡</mo><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.3.cmml"><mo id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.3.cmml">(</mo><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.1a" xref="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.4" xref="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.4.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.4.2.cmml">W</mi><mi id="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.4.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.4.3.cmml">S</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.1b" xref="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.5.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.5.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.36.m36.2.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.2.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.5.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.36.m36.6.6.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.4" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.3.cmml">,</mo><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.3.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.4" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.2a" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.5" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.5.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.5.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.5.2.cmml">W</mi><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.5.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.5.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.5.3.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.5.3.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.5.3.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.5.3.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.5.3.3.cmml">B</mi></mrow></msub><mo id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.2b" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.1.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.1.1.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">B</mi></mrow><mo fence="false" id="sectionx2.p1.36.m36.7.7.4.2.2.2.1.1.1.1" 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xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.4"><mtext id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.4a.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.4">\therefore</mtext></merror></ci><apply id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2"><max id="sectionx2.p1.36.m36.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.1.1"></max><apply id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1"><times id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.4">𝑥</ci><apply id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.5.2">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.5.3">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">′</ci></apply></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2"><times id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.2"></times><ci id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.3">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.4">𝑥</ci><apply id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.1.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.2.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.2">𝑊</ci><apply id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3"><times id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3.2">𝐷</ci><ci id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.5.3.3">𝐵</ci></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><times id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝐷</ci><ci id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝐵</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.36.m36.5.5.2.2.2.2.2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci 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italic_D italic_B | italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) ) ≤ roman_max ( italic_m italic_x italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_α ) , italic_m italic_x italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_D italic_B end_POSTSUBSCRIPT ( italic_D italic_B | italic_α ) )</annotation></semantics></math> <math alttext="\Rightarrow" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.37.m37.1"><semantics id="sectionx2.p1.37.m37.1a"><mo id="sectionx2.p1.37.m37.1.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.37.m37.1.1.cmml">⇒</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.37.m37.1b"><ci id="sectionx2.p1.37.m37.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.37.m37.1.1">⇒</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.37.m37.1c">\Rightarrow</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.37.m37.1d">⇒</annotation></semantics></math> <math alttext="wgt^{cap}(\alpha^{{}^{\prime}})\leq wgt^{cap}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.38.m38.2"><semantics id="sectionx2.p1.38.m38.2a"><mrow id="sectionx2.p1.38.m38.2.2" xref="sectionx2.p1.38.m38.2.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1" xref="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.3" xref="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.3.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.2" xref="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.4" xref="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.4.cmml">g</mi><mo id="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.2a" xref="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.5" xref="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.5.cmml"><mi id="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.5.2" xref="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.5.2.cmml">t</mi><mrow id="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.5.3" xref="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.5.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.5.3.2" xref="sectionx2.p1.38.m38.2.2.1.5.3.2.cmml">c</mi><mo 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id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2"><and id="sectionx2.p1.39.m39.2.2a.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2"></and><apply id="sectionx2.p1.39.m39.2.2b.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2"><ci id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.4">⇒</ci><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.3">absent</csymbol><apply id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1"><times id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.3">𝑠</ci><ci id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.4">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.5">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.6">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.7">𝑔</ci><ci id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.8.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.8">ℎ</ci><ci id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.9.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.9">𝑡</ci><apply id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.1.1.1.3"><ci id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.1.1.1.3.1">′</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.39.m39.2.2c.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2"><leq id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx2.p1.39.m39.2.2.1.cmml" id="sectionx2.p1.39.m39.2.2d.cmml" 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xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.6.4.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.39.m39.2.2.6.4.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.2.2.6.4.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.39.m39.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.39.m39.1.1">𝛼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.39.m39.2c">\Rightarrow sWeight(\alpha^{{}^{\prime}})\leq wgt^{cap}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.39.m39.2d">⇒ italic_s italic_W italic_e italic_i italic_g italic_h italic_t ( italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) ≤ italic_w italic_g italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math> Again, if the weights of all items are equal, then <math alttext="wgt^{cap}(\alpha^{{}^{\prime}})=sWeight(\alpha^{{}^{\prime}})=sWeight(\alpha)=% wgt^{cap}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.40.m40.4"><semantics id="sectionx2.p1.40.m40.4a"><mrow id="sectionx2.p1.40.m40.4.4" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.3" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.3.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.2" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.4" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.4.cmml">g</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.2a" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.cmml"><mi id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.2" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.2.cmml">t</mi><mrow id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.2" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.1" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.3" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.1a" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.4" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.2b" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.3a" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">′</mo></msup></msup><mo id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.4" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.4.cmml">=</mo><mrow id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.3" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.3.cmml">s</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.4" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.4.cmml">W</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2a" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.5" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.5.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2b" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.6" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.6.cmml">i</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2c" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.7" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.7.cmml">g</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2d" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.8" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.8.cmml">h</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2e" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.9" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.9.cmml">t</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2f" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.3a" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.3.1.cmml">′</mo></msup></msup><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.5" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.5.cmml">=</mo><mrow id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.cmml"><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.2" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.2.cmml">s</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.1" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.3" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.3.cmml">W</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.1a" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.4" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.4.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.1b" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.5" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.5.cmml">i</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.1c" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.6" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.6.cmml">g</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.1d" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.7" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.7.cmml">h</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.1e" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.8" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.8.cmml">t</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.1f" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.9.2" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.cmml"><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.9.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.1.1" xref="sectionx2.p1.40.m40.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.9.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.6.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.7" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.7.cmml">=</mo><mrow id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.cmml"><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.2" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.1" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.3" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.3.cmml">g</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.1a" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.cmml"><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.2" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.2.cmml">t</mi><mrow id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.2" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.1" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.3" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.1a" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.4" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.1b" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.5.2" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.cmml"><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.5.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.40.m40.2.2" xref="sectionx2.p1.40.m40.2.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.5.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.40.m40.4b"><apply id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4"><and id="sectionx2.p1.40.m40.4.4a.cmml" 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id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.5.3.4">𝑝</ci></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.3"><ci id="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.3.3.1.1.1.1.3.1">′</ci></apply></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2"><times id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.2"></times><ci id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.3">𝑠</ci><ci id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.4">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.5">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.6.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.6">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.7.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.7">𝑔</ci><ci id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.8.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.8">ℎ</ci><ci id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.9.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.9">𝑡</ci><apply id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.2.1.1.1.3"><ci 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xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.1.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.2">𝑡</ci><apply id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3"><times id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.4.4.8.4.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.40.m40.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.40.m40.2.2">𝛼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.40.m40.4c">wgt^{cap}(\alpha^{{}^{\prime}})=sWeight(\alpha^{{}^{\prime}})=sWeight(\alpha)=% wgt^{cap}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.40.m40.4d">italic_w italic_g italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) = italic_s italic_W italic_e italic_i italic_g italic_h italic_t ( italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT ) = italic_s italic_W italic_e italic_i italic_g italic_h italic_t ( italic_α ) = italic_w italic_g italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math> Therefore, we can conclude that the value of <math alttext="wgt^{cap}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.41.m41.1"><semantics id="sectionx2.p1.41.m41.1a"><mrow id="sectionx2.p1.41.m41.1.2" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.2" 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id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.1b" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.5.2" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.41.m41.1.1" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.41.m41.1b"><apply id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2"><times id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.2">𝑤</ci><ci id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.3">𝑔</ci><apply id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4.1.cmml" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4.2">𝑡</ci><apply id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4.3"><times id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.2.4.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.41.m41.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.41.m41.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.41.m41.1c">wgt^{cap}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.41.m41.1d">italic_w italic_g italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math> is always greater or equal to the value of <math alttext="sWeight(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.42.m42.1"><semantics id="sectionx2.p1.42.m42.1a"><mrow id="sectionx2.p1.42.m42.1.2" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.2" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.2.cmml">s</mi><mo id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.3" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.3.cmml">W</mi><mo id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1a" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.4" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.4.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1b" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.5" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.5.cmml">i</mi><mo id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1c" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.6" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.6.cmml">g</mi><mo id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1d" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.7" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.7.cmml">h</mi><mo id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1e" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.8" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.8.cmml">t</mi><mo id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1f" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.9.2" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.9.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.42.m42.1.1" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.9.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.42.m42.1b"><apply id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2"><times id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.2">𝑠</ci><ci id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.3">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.4">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.5">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.6.cmml" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.6">𝑔</ci><ci id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.7.cmml" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.7">ℎ</ci><ci id="sectionx2.p1.42.m42.1.2.8.cmml" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.2.8">𝑡</ci><ci id="sectionx2.p1.42.m42.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.42.m42.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.42.m42.1c">sWeight(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.42.m42.1d">italic_s italic_W italic_e italic_i italic_g italic_h italic_t ( italic_α )</annotation></semantics></math> or <math alttext="sWeight(\alpha^{{}^{\prime}})" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.43.m43.1"><semantics id="sectionx2.p1.43.m43.1a"><mrow id="sectionx2.p1.43.m43.1.1" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.3" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.4" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.4.cmml">W</mi><mo id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2a" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.5" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.5.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2b" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.6" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.6.cmml">i</mi><mo id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2c" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.7" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.7.cmml">g</mi><mo id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2d" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.8" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.8.cmml">h</mi><mo id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2e" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.9" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.9.cmml">t</mi><mo id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2f" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.3a" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.3.1.cmml">′</mo></msup></msup><mo id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.43.m43.1b"><apply id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1"><times id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.3">𝑠</ci><ci id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.4">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.5">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.6">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.7">𝑔</ci><ci id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.8.cmml" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.8">ℎ</ci><ci id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.9.cmml" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.9">𝑡</ci><apply id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.3"><ci id="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.43.m43.1.1.1.1.1.3.1">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.43.m43.1c">sWeight(\alpha^{{}^{\prime}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.43.m43.1d">italic_s italic_W italic_e italic_i italic_g italic_h italic_t ( italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> which is true for all cases. \boxed {definition} As we said before, upper bound of weighted expected support is <math alttext="wExpSup^{cap}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.44.m44.1"><semantics id="sectionx2.p1.44.m44.1a"><mrow id="sectionx2.p1.44.m44.1.2" xref="sectionx2.p1.44.m44.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.44.m44.1.2.2" xref="sectionx2.p1.44.m44.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.44.m44.1.2.1" xref="sectionx2.p1.44.m44.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.44.m44.1.2.3" xref="sectionx2.p1.44.m44.1.2.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx2.p1.44.m44.1.2.1a" xref="sectionx2.p1.44.m44.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.44.m44.1.2.4" xref="sectionx2.p1.44.m44.1.2.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.44.m44.1.2.1b" xref="sectionx2.p1.44.m44.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.44.m44.1.2.5" xref="sectionx2.p1.44.m44.1.2.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.44.m44.1.2.1c" xref="sectionx2.p1.44.m44.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.44.m44.1.2.6" xref="sectionx2.p1.44.m44.1.2.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.44.m44.1.2.1d" xref="sectionx2.p1.44.m44.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.44.m44.1.2.7" xref="sectionx2.p1.44.m44.1.2.7.cmml">u</mi><mo 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italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math> defined as, <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="equation1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="wExpSup^{cap}(\alpha)=expSup^{cap}(\alpha)\times wgt^{cap}({\alpha})" class="ltx_Math" display="block" id="equation1.m1.3"><semantics id="equation1.m1.3a"><mrow id="equation1.m1.3.4" xref="equation1.m1.3.4.cmml"><mrow id="equation1.m1.3.4.2" xref="equation1.m1.3.4.2.cmml"><mi id="equation1.m1.3.4.2.2" xref="equation1.m1.3.4.2.2.cmml">w</mi><mo id="equation1.m1.3.4.2.1" xref="equation1.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="equation1.m1.3.4.2.3" xref="equation1.m1.3.4.2.3.cmml">E</mi><mo id="equation1.m1.3.4.2.1a" xref="equation1.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="equation1.m1.3.4.2.4" 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id="equation1.m1.3.4.3.2.2.7.3.3.cmml" xref="equation1.m1.3.4.3.2.2.7.3.3">𝑎</ci><ci id="equation1.m1.3.4.3.2.2.7.3.4.cmml" xref="equation1.m1.3.4.3.2.2.7.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="equation1.m1.2.2.cmml" xref="equation1.m1.2.2">𝛼</ci></apply><ci id="equation1.m1.3.4.3.2.3.cmml" xref="equation1.m1.3.4.3.2.3">𝑤</ci></apply><ci id="equation1.m1.3.4.3.3.cmml" xref="equation1.m1.3.4.3.3">𝑔</ci><apply id="equation1.m1.3.4.3.4.cmml" xref="equation1.m1.3.4.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="equation1.m1.3.4.3.4.1.cmml" xref="equation1.m1.3.4.3.4">superscript</csymbol><ci id="equation1.m1.3.4.3.4.2.cmml" xref="equation1.m1.3.4.3.4.2">𝑡</ci><apply id="equation1.m1.3.4.3.4.3.cmml" xref="equation1.m1.3.4.3.4.3"><times id="equation1.m1.3.4.3.4.3.1.cmml" xref="equation1.m1.3.4.3.4.3.1"></times><ci id="equation1.m1.3.4.3.4.3.2.cmml" xref="equation1.m1.3.4.3.4.3.2">𝑐</ci><ci id="equation1.m1.3.4.3.4.3.3.cmml" xref="equation1.m1.3.4.3.4.3.3">𝑎</ci><ci id="equation1.m1.3.4.3.4.3.4.cmml" xref="equation1.m1.3.4.3.4.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="equation1.m1.3.3.cmml" xref="equation1.m1.3.3">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="equation1.m1.3c">wExpSup^{cap}(\alpha)=expSup^{cap}(\alpha)\times wgt^{cap}({\alpha})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="equation1.m1.3d">italic_w italic_E italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) = italic_e italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) × italic_w italic_g italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1">(1)</td> </tr></tbody> </table> {lemma} The value of <math alttext="wExpSup^{cap}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.45.m1.1"><semantics id="sectionx2.p1.45.m1.1a"><mrow id="sectionx2.p1.45.m1.1.2" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.2" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.3" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1a" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.4" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1b" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.5" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1c" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.6" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1d" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.7" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1e" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.cmml"><mi id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.2" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.2" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.1" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.3" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.1a" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.4" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1f" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.9.2" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.9.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.45.m1.1.1" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.9.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.45.m1.1b"><apply id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2"><times id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.2">𝑤</ci><ci id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.3">𝐸</ci><ci id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.4">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.5">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.6.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.6">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.7.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.7">𝑢</ci><apply id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.1.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.2.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.2">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3"><times id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.2.8.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.45.m1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.45.m1.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.45.m1.1c">wExpSup^{cap}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.45.m1.1d">italic_w italic_E italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math> is always greater than or equal to actual weighted expected support of a sequence <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.46.m2.1"><semantics id="sectionx2.p1.46.m2.1a"><mi id="sectionx2.p1.46.m2.1.1" xref="sectionx2.p1.46.m2.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.46.m2.1b"><ci id="sectionx2.p1.46.m2.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.46.m2.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.46.m2.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.46.m2.1d">italic_α</annotation></semantics></math>, <math alttext="WES(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.47.m3.1"><semantics id="sectionx2.p1.47.m3.1a"><mrow id="sectionx2.p1.47.m3.1.2" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.47.m3.1.2.2" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.2.2.cmml">W</mi><mo id="sectionx2.p1.47.m3.1.2.1" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.47.m3.1.2.3" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.2.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx2.p1.47.m3.1.2.1a" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.47.m3.1.2.4" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.2.4.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.47.m3.1.2.1b" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.47.m3.1.2.5.2" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.47.m3.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.47.m3.1.1" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.47.m3.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.47.m3.1b"><apply id="sectionx2.p1.47.m3.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.2"><times id="sectionx2.p1.47.m3.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.47.m3.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.2.2">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.47.m3.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.2.3">𝐸</ci><ci id="sectionx2.p1.47.m3.1.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.2.4">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.47.m3.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.47.m3.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.47.m3.1c">WES(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.47.m3.1d">italic_W italic_E italic_S ( italic_α )</annotation></semantics></math>. Hence, using the <math alttext="wExpSup^{cap}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.48.m4.1"><semantics id="sectionx2.p1.48.m4.1a"><mrow id="sectionx2.p1.48.m4.1.1" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.2" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.1" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.3" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.1a" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.4" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.1b" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.5" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.1c" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.6" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.1d" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.7" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.1e" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.cmml"><mi id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.2" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.2" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.1" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.3" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.1a" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.4" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.48.m4.1b"><apply id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1"><times id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.1"></times><ci id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.2">𝑤</ci><ci id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.3">𝐸</ci><ci id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.4">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.5">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.6">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.7">𝑢</ci><apply id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.1.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.2.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.2">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3"><times id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.48.m4.1.1.8.3.4">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.48.m4.1c">wExpSup^{cap}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.48.m4.1d">italic_w italic_E italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> value of any sequence as the upper bound of weighted expected support in mining patterns, it may generate some false positive frequent patterns. {pf} Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx2" title="Proof of lemmas">Proof of lemmas</a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx2" title="Proof of lemmas">Proof of lemmas</a> has showed that for a sequence <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.49.m5.1"><semantics id="sectionx2.p1.49.m5.1a"><mi id="sectionx2.p1.49.m5.1.1" xref="sectionx2.p1.49.m5.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.49.m5.1b"><ci id="sectionx2.p1.49.m5.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.49.m5.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.49.m5.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.49.m5.1d">italic_α</annotation></semantics></math>, <math alttext="expSup^{cap}(\alpha)\geq expSup(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.50.m6.2"><semantics id="sectionx2.p1.50.m6.2a"><mrow id="sectionx2.p1.50.m6.2.3" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.2" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.2.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.1" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.3" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.1a" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.4" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.4.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.1b" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.5" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.1c" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.6" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.6.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.1d" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.cmml"><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.2" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.2" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.1" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.3" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.1a" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.4" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.1e" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.8.2" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.8.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.50.m6.1.1" xref="sectionx2.p1.50.m6.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.8.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.1" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.1.cmml">≥</mo><mrow id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.2" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.2.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.1" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.3" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.1a" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.4" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.4.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.1b" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.5" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.1c" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.6" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.6.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.1d" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.7" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.7.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.1e" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.8.2" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.cmml"><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.8.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.50.m6.2.2" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.8.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.50.m6.2b"><apply id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3"><geq id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.1"></geq><apply id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2"><times id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.2">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.3">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.4">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.5">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.6.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.6">𝑢</ci><apply id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.1.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.2.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.2">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3"><times id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.2.7.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.50.m6.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3"><times id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.2">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.3">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.4">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.5.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.5">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.6.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.6">𝑢</ci><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.7.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.3.3.7">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.50.m6.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.50.m6.2.2">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.50.m6.2c">expSup^{cap}(\alpha)\geq expSup(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.50.m6.2d">italic_e italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) ≥ italic_e italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p ( italic_α )</annotation></semantics></math> and <math alttext="wgt^{cap}(\alpha)\geq sWeight(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.51.m7.2"><semantics id="sectionx2.p1.51.m7.2a"><mrow id="sectionx2.p1.51.m7.2.3" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.2" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.1" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.3" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.3.cmml">g</mi><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.1a" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.cmml"><mi id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.2" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.2.cmml">t</mi><mrow id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.2" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.1" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.3" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.1a" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.4" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.1b" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.5.2" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.5.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.51.m7.1.1" xref="sectionx2.p1.51.m7.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.5.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.1" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.1.cmml">≥</mo><mrow id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.2" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.3" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.3.cmml">W</mi><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1a" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.4" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.4.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1b" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.5" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.5.cmml">i</mi><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1c" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.6" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.6.cmml">g</mi><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1d" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.7" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.7.cmml">h</mi><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1e" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.8" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.8.cmml">t</mi><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1f" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.9.2" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.cmml"><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.9.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.51.m7.2.2" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.9.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.51.m7.2b"><apply id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3"><geq id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.1"></geq><apply id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2"><times id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.2">𝑤</ci><ci id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.3">𝑔</ci><apply id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.1.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.2">𝑡</ci><apply id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3"><times id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.2.4.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.51.m7.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3"><times id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.2">𝑠</ci><ci id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.3">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.4">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.5.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.5">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.6.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.6">𝑔</ci><ci id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.7.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.7">ℎ</ci><ci id="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.8.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.3.3.8">𝑡</ci><ci id="sectionx2.p1.51.m7.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.51.m7.2.2">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation 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xref="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.2.6.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.2.1d" xref="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.2.7" xref="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.2.7.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.2.1e" xref="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.2.8.2" xref="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.2.8.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.52.m8.3.3" xref="sectionx2.p1.52.m8.3.3.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.2.8.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.1" rspace="0.222em" xref="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.1.cmml">×</mo><mi id="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.3" xref="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.2.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="sectionx2.p1.52.m8.4.5.6.1" 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id="sectionx2.p1.53.m9.2.3.4.8.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.53.m9.2.3.4.8.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.53.m9.2.3.4.8.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.53.m9.2.3.4.8.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.53.m9.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.53.m9.1.1">𝛼</ci></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.53.m9.2.3c.cmml" xref="sectionx2.p1.53.m9.2.3"><geq id="sectionx2.p1.53.m9.2.3.5.cmml" xref="sectionx2.p1.53.m9.2.3.5"></geq><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx2.p1.53.m9.2.3.4.cmml" id="sectionx2.p1.53.m9.2.3d.cmml" xref="sectionx2.p1.53.m9.2.3"></share><apply id="sectionx2.p1.53.m9.2.3.6.cmml" xref="sectionx2.p1.53.m9.2.3.6"><times id="sectionx2.p1.53.m9.2.3.6.1.cmml" xref="sectionx2.p1.53.m9.2.3.6.1"></times><ci id="sectionx2.p1.53.m9.2.3.6.2.cmml" xref="sectionx2.p1.53.m9.2.3.6.2">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.53.m9.2.3.6.3.cmml" xref="sectionx2.p1.53.m9.2.3.6.3">𝐸</ci><ci id="sectionx2.p1.53.m9.2.3.6.4.cmml" xref="sectionx2.p1.53.m9.2.3.6.4">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.53.m9.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.53.m9.2.2">𝛼</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.53.m9.2c">\Rightarrow wExpSup^{cap}(\alpha)\geq WES(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.53.m9.2d">⇒ italic_w italic_E italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) ≥ italic_W italic_E italic_S ( italic_α )</annotation></semantics></math> <math alttext="\therefore" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.54.m10.1"><semantics id="sectionx2.p1.54.m10.1a"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="sectionx2.p1.54.m10.1.1" xref="sectionx2.p1.54.m10.1.1b.cmml"><mtext id="sectionx2.p1.54.m10.1.1a" xref="sectionx2.p1.54.m10.1.1b.cmml">\therefore</mtext></merror><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.54.m10.1b"><ci id="sectionx2.p1.54.m10.1.1b.cmml" xref="sectionx2.p1.54.m10.1.1"><merror class="ltx_ERROR undefined undefined" id="sectionx2.p1.54.m10.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.54.m10.1.1"><mtext id="sectionx2.p1.54.m10.1.1a.cmml" xref="sectionx2.p1.54.m10.1.1">\therefore</mtext></merror></ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.54.m10.1c">\therefore</annotation></semantics></math> The value of <math alttext="wExpSup^{cap}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.55.m11.1"><semantics id="sectionx2.p1.55.m11.1a"><mrow id="sectionx2.p1.55.m11.1.2" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.2" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.3" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1a" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.4" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1b" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.5" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1c" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.6" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1d" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.7" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1e" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.cmml"><mi id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.2" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.2" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.1" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.3" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.1a" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.4" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1f" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.9.2" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.9.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.55.m11.1.1" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.9.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.55.m11.1b"><apply id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2"><times id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.2">𝑤</ci><ci id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.3">𝐸</ci><ci id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.4">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.5">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.6.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.6">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.7.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.7">𝑢</ci><apply id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.1.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.2.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.2">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3"><times id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.2.8.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.55.m11.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.55.m11.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.55.m11.1c">wExpSup^{cap}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.55.m11.1d">italic_w italic_E italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math> is always greater than or equal to the value of <math alttext="WES(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.56.m12.1"><semantics id="sectionx2.p1.56.m12.1a"><mrow id="sectionx2.p1.56.m12.1.2" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.56.m12.1.2.2" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.2.2.cmml">W</mi><mo id="sectionx2.p1.56.m12.1.2.1" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.56.m12.1.2.3" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.2.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx2.p1.56.m12.1.2.1a" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.56.m12.1.2.4" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.2.4.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.56.m12.1.2.1b" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.56.m12.1.2.5.2" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.56.m12.1.2.5.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.56.m12.1.1" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.56.m12.1.2.5.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.56.m12.1b"><apply id="sectionx2.p1.56.m12.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.2"><times id="sectionx2.p1.56.m12.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.56.m12.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.2.2">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.56.m12.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.2.3">𝐸</ci><ci id="sectionx2.p1.56.m12.1.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.2.4">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.56.m12.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.56.m12.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.56.m12.1c">WES(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.56.m12.1d">italic_W italic_E italic_S ( italic_α )</annotation></semantics></math> for any sequence <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.57.m13.1"><semantics id="sectionx2.p1.57.m13.1a"><mi id="sectionx2.p1.57.m13.1.1" xref="sectionx2.p1.57.m13.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.57.m13.1b"><ci id="sectionx2.p1.57.m13.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.57.m13.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.57.m13.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.57.m13.1d">italic_α</annotation></semantics></math>. As a result, some patterns might be introduced as frequent patterns due to its higher value of <math alttext="wExpSup^{cap}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.58.m14.1"><semantics id="sectionx2.p1.58.m14.1a"><mrow id="sectionx2.p1.58.m14.1.1" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.2" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.1" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.3" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.1a" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.4" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.1b" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.5" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.1c" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.6" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.1d" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.7" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.1e" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.cmml"><mi id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.2" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.2" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.1" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.3" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.1a" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.4" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.58.m14.1b"><apply id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1"><times id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.1"></times><ci id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.2">𝑤</ci><ci id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.3">𝐸</ci><ci id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.4">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.5">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.6">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.7">𝑢</ci><apply id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.1.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.2.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.2">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3"><times id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.58.m14.1.1.8.3.4">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.58.m14.1c">wExpSup^{cap}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.58.m14.1d">italic_w italic_E italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> being not actually weighted frequent. \boxed {lemma} If the value of <math alttext="wExpSup^{cap}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.59.m15.1"><semantics id="sectionx2.p1.59.m15.1a"><mrow id="sectionx2.p1.59.m15.1.1" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.2" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.1" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.3" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.1a" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.4" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.1b" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.5" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.1c" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.6" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.1d" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.7" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.1e" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.cmml"><mi id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.2" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.2" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.1" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.3" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.1a" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.4" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.59.m15.1b"><apply id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1"><times id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.1"></times><ci id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.2">𝑤</ci><ci id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.3">𝐸</ci><ci id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.4">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.5">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.6">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.7">𝑢</ci><apply id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.1.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.2.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.2">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3"><times id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.59.m15.1.1.8.3.4">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.59.m15.1c">wExpSup^{cap}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.59.m15.1d">italic_w italic_E italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for a sequence, <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.60.m16.1"><semantics id="sectionx2.p1.60.m16.1a"><mi id="sectionx2.p1.60.m16.1.1" xref="sectionx2.p1.60.m16.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.60.m16.1b"><ci id="sectionx2.p1.60.m16.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.60.m16.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.60.m16.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.60.m16.1d">italic_α</annotation></semantics></math> is below the minimum weighted expected support threshold minWES, the value of WES for that sequence and its all super sequences must not satisfy. In other words, the sequence <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.61.m17.1"><semantics id="sectionx2.p1.61.m17.1a"><mi id="sectionx2.p1.61.m17.1.1" xref="sectionx2.p1.61.m17.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.61.m17.1b"><ci id="sectionx2.p1.61.m17.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.61.m17.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.61.m17.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.61.m17.1d">italic_α</annotation></semantics></math> and its all super sequences must not be frequent if the value of <math alttext="wExpSup^{cap}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.62.m18.1"><semantics id="sectionx2.p1.62.m18.1a"><mrow id="sectionx2.p1.62.m18.1.2" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.2" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.3" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1a" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.4" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1b" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.5" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1c" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.6" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1d" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.7" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1e" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.cmml"><mi id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.2" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.2" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.1" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.3" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.1a" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.4" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1f" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.9.2" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.9.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.62.m18.1.1" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.9.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.62.m18.1b"><apply id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2"><times id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.2">𝑤</ci><ci id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.3">𝐸</ci><ci id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.4">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.5">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.6.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.6">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.7.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.7">𝑢</ci><apply id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.1.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.2.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.2">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3"><times id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.2.8.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.62.m18.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.62.m18.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.62.m18.1c">wExpSup^{cap}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.62.m18.1d">italic_w italic_E italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math> does not satisfy the threshold. Thus, it does not generate any false negative patterns. {pf} Assume that <math alttext="\alpha\subseteq\alpha^{{}^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.63.m19.1"><semantics id="sectionx2.p1.63.m19.1a"><mrow id="sectionx2.p1.63.m19.1.1" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.63.m19.1.1.2" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.63.m19.1.1.1" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1.1.cmml">⊆</mo><msup id="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.2" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.3" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.3a" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.3.1" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.3.1.cmml">′</mo></msup></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.63.m19.1b"><apply id="sectionx2.p1.63.m19.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1"><subset id="sectionx2.p1.63.m19.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1.1"></subset><ci id="sectionx2.p1.63.m19.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.3"><ci id="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.63.m19.1.1.3.3.1">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.63.m19.1c">\alpha\subseteq\alpha^{{}^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.63.m19.1d">italic_α ⊆ italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for some sequence <math alttext="\alpha^{{}^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.64.m20.1"><semantics id="sectionx2.p1.64.m20.1a"><msup id="sectionx2.p1.64.m20.1.1" xref="sectionx2.p1.64.m20.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.64.m20.1.1.2" xref="sectionx2.p1.64.m20.1.1.2.cmml">α</mi><msup id="sectionx2.p1.64.m20.1.1.3" xref="sectionx2.p1.64.m20.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.64.m20.1.1.3a" xref="sectionx2.p1.64.m20.1.1.3.cmml"></mi><mo id="sectionx2.p1.64.m20.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.64.m20.1.1.3.1.cmml">′</mo></msup></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.64.m20.1b"><apply id="sectionx2.p1.64.m20.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.64.m20.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.64.m20.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.64.m20.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.64.m20.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.64.m20.1.1.2">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.64.m20.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.64.m20.1.1.3"><ci id="sectionx2.p1.64.m20.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.64.m20.1.1.3.1">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.64.m20.1c">\alpha^{{}^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.64.m20.1d">italic_α start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Recall that, expSup(<math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.65.m21.1"><semantics id="sectionx2.p1.65.m21.1a"><mi id="sectionx2.p1.65.m21.1.1" xref="sectionx2.p1.65.m21.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.65.m21.1b"><ci id="sectionx2.p1.65.m21.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.65.m21.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.65.m21.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.65.m21.1d">italic_α</annotation></semantics></math>) = <math alttext="\sum_{\forall S\in DB}maxPr_{S}(\alpha)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.66.m22.1"><semantics id="sectionx2.p1.66.m22.1a"><mrow id="sectionx2.p1.66.m22.1.2" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.cmml"><msub id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.2" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.2.cmml">∑</mo><mrow id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.2" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.2.1" rspace="0.167em" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.2.1.cmml">∀</mo><mi id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.2.2" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.2.2.cmml">S</mi></mrow><mo id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.1" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3.2" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3.1" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3.3" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3.3.cmml">B</mi></mrow></mrow></msub><mrow id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.2" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.1" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.3" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.1a" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.4" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.1b" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.5" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.5.cmml">P</mi><mo id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.1c" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.6" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.6.cmml"><mi id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.6.2" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.6.2.cmml">r</mi><mi id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.6.3" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.6.3.cmml">S</mi></msub><mo id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.1d" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.7.2" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.7.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.66.m22.1.1" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.7.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.66.m22.1b"><apply id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2"><apply id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1">subscript</csymbol><sum id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.2"></sum><apply id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3"><in id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.1"></in><apply id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.2"><csymbol cd="latexml" id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.2.1">for-all</csymbol><ci id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.2.2">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3"><times id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3.2">𝐷</ci><ci id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.1.3.3.3">𝐵</ci></apply></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2"><times id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.2">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.4">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.5">𝑃</ci><apply id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.6.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.6.1.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.6.2.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.6.2">𝑟</ci><ci id="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.6.3.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.2.2.6.3">𝑆</ci></apply><ci id="sectionx2.p1.66.m22.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.66.m22.1.1">𝛼</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.66.m22.1c">\sum_{\forall S\in DB}maxPr_{S}(\alpha)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.66.m22.1d">∑ start_POSTSUBSCRIPT ∀ italic_S ∈ italic_D italic_B end_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_S end_POSTSUBSCRIPT ( italic_α )</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[rahman2019mining_uWSeq]</cite>. By definition, <math alttext="expSup(\alpha)\geq expSup(\alpha^{\prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.67.m23.2"><semantics id="sectionx2.p1.67.m23.2a"><mrow id="sectionx2.p1.67.m23.2.2" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.2" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.2.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.1" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.3" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.1a" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.4" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.4.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.1b" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.5" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.1c" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.6" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.6.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.1d" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.7" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.7.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.1e" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.8.2" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.cmml"><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.8.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.67.m23.1.1" xref="sectionx2.p1.67.m23.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.8.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.2" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.2.cmml">≥</mo><mrow id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.3" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.3.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.2" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.4" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.2a" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.5" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.2b" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.6" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.2c" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.7" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.2d" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.8" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.8.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.2e" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.67.m23.2b"><apply id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2"><geq id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.2"></geq><apply id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3"><times id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.2">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.3">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.4">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.5.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.5">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.6.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.6">𝑢</ci><ci id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.7.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.3.7">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.67.m23.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1"><times id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.3">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.4">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.5">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.6">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.7">𝑢</ci><ci id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.8.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.8">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.67.m23.2.2.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.67.m23.2c">expSup(\alpha)\geq expSup(\alpha^{\prime})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.67.m23.2d">italic_e italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p ( italic_α ) ≥ italic_e italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p ( italic_α start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Again, <math alttext="expSup^{cap}(\alpha)\geq expSup(\alpha)\Rightarrow" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.68.m24.2"><semantics id="sectionx2.p1.68.m24.2a"><mrow id="sectionx2.p1.68.m24.2.3" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.2" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.2.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.1" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.3" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.1a" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.4" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.4.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.1b" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.5" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.1c" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.6" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.6.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.1d" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7.cmml"><mi id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7.2" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7.3" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7.3.2" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7.3.1" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7.3.3" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7.3.1a" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7.3.4" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.7.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.1e" xref="sectionx2.p1.68.m24.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow 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end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. Moreover, <math alttext="wgt^{cap}(\alpha)\geq sWeight(\alpha^{\prime})." class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.70.m26.2"><semantics id="sectionx2.p1.70.m26.2a"><mrow id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.2" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.3" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.3.cmml">g</mi><mo id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.1a" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.cmml"><mi id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.2" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.2.cmml">t</mi><mrow id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.2" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.1" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.3" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.1a" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.4" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.1b" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.5.2" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.5.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.70.m26.1.1" xref="sectionx2.p1.70.m26.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.5.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.2" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.2.cmml">≥</mo><mrow id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.3.cmml">s</mi><mo id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.4" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.4.cmml">W</mi><mo id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.2a" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.5" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.5.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.2b" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.6" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.6.cmml">i</mi><mo id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.2c" 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xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.3">𝑔</ci><apply id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.1.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.2.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.2">𝑡</ci><apply id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3"><times id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.3.4.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.70.m26.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1"><times id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.3">𝑠</ci><ci id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.4">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.5">𝑒</ci><ci id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.6">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.7">𝑔</ci><ci id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.8.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.8">ℎ</ci><ci id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.9.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.9">𝑡</ci><apply id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.70.m26.2.2.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.70.m26.2c">wgt^{cap}(\alpha)\geq sWeight(\alpha^{\prime}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.70.m26.2d">italic_w italic_g italic_t start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) ≥ italic_s italic_W italic_e italic_i italic_g italic_h italic_t ( italic_α start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math> Now, <math alttext="wExpSup^{cap}(\alpha)=expSup^{cap}(\alpha)\times wgt^{cap}(\alpha)\geq expSup(% \alpha^{\prime})\times sWeight(\alpha^{\prime})=WES(\alpha^{\prime})" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.71.m27.6"><semantics id="sectionx2.p1.71.m27.6a"><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.6.6" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.cmml"><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.1" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.1a" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.4" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.1b" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.5" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.1c" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.6" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.1d" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.7" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.1e" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8.cmml"><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8.3.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8.3.1" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8.3.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8.3.1a" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8.3.4" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.8.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.1f" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.9.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.cmml"><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.9.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.1.1" xref="sectionx2.p1.71.m27.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.9.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.6" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.6.cmml">=</mo><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.2.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.1" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.1a" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.4" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.4.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.1b" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.5" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.1c" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.6" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.6.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.1d" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7.cmml"><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7.3.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7.3.1" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7.3.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7.3.1a" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7.3.4" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.7.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.1e" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.8.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.8.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.2.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.2.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.8.2.2" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.1" rspace="0.222em" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.1.cmml">×</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.2.3.cmml">w</mi></mrow><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.1" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.3.cmml">g</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.1a" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4.cmml"><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4.2.cmml">t</mi><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4.3.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4.3.1" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4.3.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4.3.1a" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4.3.4" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.4.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.1b" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.5.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.cmml"><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.5.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.3.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.3.3.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.5.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.7.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.8" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.8.cmml">≥</mo><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.3.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.4" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.2a" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.5" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.2b" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.6" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.2c" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.7" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.2d" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.8" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.8.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.2e" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.2" rspace="0.222em" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.4.4.1.1.3.cmml">s</mi></mrow><mo id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.4" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.4.cmml">W</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.3a" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.5" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.5.cmml">e</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.3b" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.6" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.6.cmml">i</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.3c" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.7" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.7.cmml">g</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.3d" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.8" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.8.cmml">h</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.3e" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.9" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.9.cmml">t</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.3f" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.2.1" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.2.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.2.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.2.1.1.cmml">(</mo><msup id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.2.1.1" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.2.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.2.1.1.2" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.2.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.2.1.1.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.2.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.2.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.71.m27.5.5.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.9" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.9.cmml">=</mo><mrow id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.3" xref="sectionx2.p1.71.m27.6.6.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.71.m27.6.6.3.3" 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start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) = italic_W italic_E italic_S ( italic_α start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math> So, if <math alttext="wExpSup^{cap}(\alpha)<minWES" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.72.m28.1"><semantics id="sectionx2.p1.72.m28.1a"><mrow id="sectionx2.p1.72.m28.1.2" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.2" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.1" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.3" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.1a" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.4" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.1b" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.5" 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id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.3.1a" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.3.4" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup><mo id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.1f" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.9.2" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.cmml"><mo id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.9.2.1" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx2.p1.72.m28.1.1" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.9.2.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.1" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.2" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.1" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.3" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.3.cmml">i</mi><mo id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.1a" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.4" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.4.cmml">n</mi><mo id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.1b" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.5" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.5.cmml">W</mi><mo id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.1c" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.6" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.6.cmml">E</mi><mo id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.1d" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.7" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.7.cmml">S</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.72.m28.1b"><apply id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2"><lt id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.1"></lt><apply id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2"><times id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.1"></times><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.2">𝑤</ci><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.3">𝐸</ci><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.4.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.4">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.5.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.5">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.6.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.6">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.7.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.7">𝑢</ci><apply id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.1.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.2.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.2">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.3.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.3"><times id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.2.8.3.4">𝑝</ci></apply></apply><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3"><times id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.2">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.3">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.4">𝑛</ci><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.5.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.5">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.6.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.6">𝐸</ci><ci id="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.7.cmml" xref="sectionx2.p1.72.m28.1.2.3.7">𝑆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.72.m28.1c">wExpSup^{cap}(\alpha)<minWES</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.72.m28.1d">italic_w italic_E italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_α ) < italic_m italic_i italic_n italic_W italic_E italic_S</annotation></semantics></math> holds, then <math alttext="WES(\alpha^{\prime})<minWES" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.73.m29.1"><semantics id="sectionx2.p1.73.m29.1a"><mrow id="sectionx2.p1.73.m29.1.1" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.cmml"><mrow id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.3.cmml">W</mi><mo id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.4" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.4.cmml">E</mi><mo id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.2a" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.5" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.2b" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.2" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.2.cmml"><</mo><mrow id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.2" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.1" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.3" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.3.cmml">i</mi><mo id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.1a" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.4" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.4.cmml">n</mi><mo id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.1b" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.5" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.5.cmml">W</mi><mo id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.1c" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.6" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.6.cmml">E</mi><mo id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.1d" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.7" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.7.cmml">S</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.73.m29.1b"><apply id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1"><lt id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.2"></lt><apply id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1"><times id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.2"></times><ci id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.3">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.4">𝐸</ci><ci id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.5">𝑆</ci><apply id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.1.2">𝛼</ci><ci id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply></apply><apply id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3"><times id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.2">𝑚</ci><ci id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.3">𝑖</ci><ci id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.4">𝑛</ci><ci id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.5.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.5">𝑊</ci><ci id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.6.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.6">𝐸</ci><ci id="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.7.cmml" xref="sectionx2.p1.73.m29.1.1.3.7">𝑆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.73.m29.1c">WES(\alpha^{\prime})<minWES</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.73.m29.1d">italic_W italic_E italic_S ( italic_α start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) < italic_m italic_i italic_n italic_W italic_E italic_S</annotation></semantics></math> must hold for any <math alttext="\alpha^{\prime}\supseteq\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.74.m30.1"><semantics id="sectionx2.p1.74.m30.1a"><mrow id="sectionx2.p1.74.m30.1.1" xref="sectionx2.p1.74.m30.1.1.cmml"><msup id="sectionx2.p1.74.m30.1.1.2" xref="sectionx2.p1.74.m30.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx2.p1.74.m30.1.1.2.2" xref="sectionx2.p1.74.m30.1.1.2.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx2.p1.74.m30.1.1.2.3" xref="sectionx2.p1.74.m30.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="sectionx2.p1.74.m30.1.1.1" xref="sectionx2.p1.74.m30.1.1.cmml">⊇</mo><mi id="sectionx2.p1.74.m30.1.1.3" xref="sectionx2.p1.74.m30.1.1.3.cmml">α</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.74.m30.1b"><apply id="sectionx2.p1.74.m30.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.74.m30.1.1"><subset id="sectionx2.p1.74.m30.1.1a.cmml" xref="sectionx2.p1.74.m30.1.1"></subset><ci id="sectionx2.p1.74.m30.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.74.m30.1.1.3">𝛼</ci><apply id="sectionx2.p1.74.m30.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.74.m30.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.74.m30.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx2.p1.74.m30.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.74.m30.1.1.2.2.cmml" xref="sectionx2.p1.74.m30.1.1.2.2">𝛼</ci><ci id="sectionx2.p1.74.m30.1.1.2.3.cmml" xref="sectionx2.p1.74.m30.1.1.2.3">′</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.74.m30.1c">\alpha^{\prime}\supseteq\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.74.m30.1d">italic_α start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⊇ italic_α</annotation></semantics></math>. Therefore, upper bound, <math alttext="wExpSup^{cap}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx2.p1.75.m31.1"><semantics id="sectionx2.p1.75.m31.1a"><mrow id="sectionx2.p1.75.m31.1.1" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.cmml"><mi id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.2" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.1" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.3" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.1a" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.4" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.1b" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.5" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.1c" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.6" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.1d" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.7" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.1e" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.cmml"><mi id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.2" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.cmml"><mi id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.2" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.1" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.3" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.1a" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.4" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx2.p1.75.m31.1b"><apply id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1"><times id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.1.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.1"></times><ci id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.2.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.2">𝑤</ci><ci id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.3.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.3">𝐸</ci><ci id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.4.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.4">𝑥</ci><ci id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.5.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.5">𝑝</ci><ci id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.6.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.6">𝑆</ci><ci id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.7.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.7">𝑢</ci><apply id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.1.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8">superscript</csymbol><ci id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.2.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.2">𝑝</ci><apply id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3"><times id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.1.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.1"></times><ci id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.2.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.3.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.4.cmml" xref="sectionx2.p1.75.m31.1.1.8.3.4">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx2.p1.75.m31.1c">wExpSup^{cap}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx2.p1.75.m31.1d">italic_w italic_E italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> could be able to find out the complete set of frequent patterns. \boxed </div> </section> <section class="ltx_section" id="sectionx3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section">Pseudo-codes of Algorithms</h2> <section class="ltx_subsection" id="sectionx3.1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> \thesubsection SupCalc</h3> <div class="ltx_para" id="sectionx3.1.p1"> \algrenewcommand\alglinenumber\algrenewcommand\alglinenumber{algorithm} [tbh] Procedure of SupCalc {algorithmic}[1] \Statex\RequireDB: initial database, candidateTrie: stores candidate patterns \EnsureCalculated weighted expected supports for all patterns \Statex\ProcedureSupCalc<math alttext="DB" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.1.m1.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1" xref="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1.1" xref="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.1.p1.1.m1.1b"><apply id="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1"><times id="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1.2">𝐷</ci><ci id="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.1.m1.1.1.3">𝐵</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.1.m1.1c">DB</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.1.m1.1d">italic_D italic_B</annotation></semantics></math>, candidateTrie \ForAll<math alttext="{\alpha=<e1,e2,e3,...,en>}\in{DB}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="sectionx3.1.p1.2.m2.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.2.m2.1a"><mrow id="sectionx3.1.p1.2.m2.1b"><mi id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.2">α</mi><mo id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.3" rspace="0em">=</mo><mo id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.4" lspace="0em"><</mo><mi id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.5">e</mi><mn id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.6">1</mn><mo id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.7">,</mo><mi id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.8">e</mi><mn id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.9">2</mn><mo id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.10">,</mo><mi id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.11">e</mi><mn id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.12">3</mn><mo id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.13">,</mo><mi id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.1" mathvariant="normal">…</mi><mo id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.14">,</mo><mi id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.15">e</mi><mi id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.16">n</mi><mo id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.17" rspace="0em">></mo><mo id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.18" lspace="0em">∈</mo><mi id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.19">D</mi><mi id="sectionx3.1.p1.2.m2.1.20">B</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.2.m2.1c">{\alpha=<e1,e2,e3,...,en>}\in{DB}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.2.m2.1d">italic_α = < italic_e 1 , italic_e 2 , italic_e 3 , … , italic_e italic_n > ∈ italic_D italic_B</annotation></semantics></math> \Comment<math alttext="e_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.3.m3.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.3.m3.1a"><msub id="sectionx3.1.p1.3.m3.1.1" xref="sectionx3.1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.3.m3.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">e</mi><mi id="sectionx3.1.p1.3.m3.1.1.3" xref="sectionx3.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.1.p1.3.m3.1b"><apply id="sectionx3.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx3.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx3.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.3.m3.1.1.2">𝑒</ci><ci id="sectionx3.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.3.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.3.m3.1c">e_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.3.m3.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is an itemset/event \State<math alttext="ar\leftarrow\ " class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.4.m4.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.4.m4.1a"><mrow id="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1" xref="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">a</mi><mo id="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2.1" xref="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.1" rspace="0.778em" stretchy="false" xref="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">←</mo><mi id="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.3" xref="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.1.p1.4.m4.1b"><apply id="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1"><ci id="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.1">←</ci><apply id="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2"><times id="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2.1"></times><ci id="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2.2">𝑎</ci><ci id="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.2.3">𝑟</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.4.m4.1.1.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.4.m4.1c">ar\leftarrow\ </annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.4.m4.1d">italic_a italic_r ←</annotation></semantics></math>the array of size equals to the number of events in <math alttext="|\alpha|" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.5.m5.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.5.m5.1a"><mrow id="sectionx3.1.p1.5.m5.1.2.2" xref="sectionx3.1.p1.5.m5.1.2.1.cmml"><mo id="sectionx3.1.p1.5.m5.1.2.2.1" stretchy="false" xref="sectionx3.1.p1.5.m5.1.2.1.1.cmml">|</mo><mi id="sectionx3.1.p1.5.m5.1.1" xref="sectionx3.1.p1.5.m5.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx3.1.p1.5.m5.1.2.2.2" stretchy="false" xref="sectionx3.1.p1.5.m5.1.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.1.p1.5.m5.1b"><apply id="sectionx3.1.p1.5.m5.1.2.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.5.m5.1.2.2"><abs id="sectionx3.1.p1.5.m5.1.2.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.5.m5.1.2.2.1"></abs><ci id="sectionx3.1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.5.m5.1.1">𝛼</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.5.m5.1c">|\alpha|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.5.m5.1d">| italic_α |</annotation></semantics></math> which is initialized as 1 \State<math alttext="wgt\_sum,itm\_cnt\leftarrow" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.6.m6.2"><semantics id="sectionx3.1.p1.6.m6.2a"><mrow id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.cmml"><mrow id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.3.cmml"><mrow id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">g</mi><mo id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1a" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.4" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1b" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.5" mathvariant="normal" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.5.cmml">_</mi><mo id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1c" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.6" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.6.cmml">s</mi><mo id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1d" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.7" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1e" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.8" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.8.cmml">m</mi></mrow><mo id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.3" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.2" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.1" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.3" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.3.cmml">t</mi><mo id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.1a" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.4" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.4.cmml">m</mi><mo id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.1b" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.5" mathvariant="normal" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.5.cmml">_</mi><mo id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.1c" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.6" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.6.cmml">c</mi><mo id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.1d" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.7" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.7.cmml">n</mi><mo id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.1e" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.8" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.8.cmml">t</mi></mrow></mrow><mo id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.3" stretchy="false" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.3.cmml">←</mo><mi id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.4" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.4.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.1.p1.6.m6.2b"><apply id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2"><ci id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.3">←</ci><list id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2"><apply id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1"><times id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.2">𝑤</ci><ci id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.3">𝑔</ci><ci id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.4">𝑡</ci><ci id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.5">_</ci><ci id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.6">𝑠</ci><ci id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.7">𝑢</ci><ci id="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.8.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.1.1.1.1.1.8">𝑚</ci></apply><apply id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2"><times id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.1"></times><ci id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.2">𝑖</ci><ci id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.3">𝑡</ci><ci id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.4.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.4">𝑚</ci><ci id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.5">_</ci><ci id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.6.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.6">𝑐</ci><ci id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.7.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.7">𝑛</ci><ci id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.8.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.2.2.2.8">𝑡</ci></apply></list><csymbol cd="latexml" id="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.4.cmml" xref="sectionx3.1.p1.6.m6.2.2.4">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.6.m6.2c">wgt\_sum,itm\_cnt\leftarrow</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.6.m6.2d">italic_w italic_g italic_t _ italic_s italic_u italic_m , italic_i italic_t italic_m _ italic_c italic_n italic_t ←</annotation></semantics></math> 0 and 0 \Comment<math alttext="wgt\_sum" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.7.m7.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.7.m7.1a"><mrow id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.1" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.3" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.3.cmml">g</mi><mo id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.1a" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.4" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.1b" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.5" mathvariant="normal" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.5.cmml">_</mi><mo id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.1c" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.6" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.6.cmml">s</mi><mo id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.1d" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.7" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.1e" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.8" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.8.cmml">m</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.1.p1.7.m7.1b"><apply id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1"><times id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.1"></times><ci id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.2">𝑤</ci><ci id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.3">𝑔</ci><ci id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.4.cmml" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.4">𝑡</ci><ci id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.5.cmml" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.5">_</ci><ci id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.6.cmml" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.6">𝑠</ci><ci id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.7.cmml" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.7">𝑢</ci><ci id="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.8.cmml" xref="sectionx3.1.p1.7.m7.1.1.8">𝑚</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.7.m7.1c">wgt\_sum</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.7.m7.1d">italic_w italic_g italic_t _ italic_s italic_u italic_m</annotation></semantics></math> - sum of items’ weights and <math alttext="itm\_cnt" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.8.m8.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.8.m8.1a"><mrow id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.1" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.3" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.1a" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.4" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.4.cmml">m</mi><mo id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.1b" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.5" mathvariant="normal" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.5.cmml">_</mi><mo id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.1c" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.6" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.6.cmml">c</mi><mo id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.1d" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.7" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.7.cmml">n</mi><mo id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.1e" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.8" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.8.cmml">t</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.1.p1.8.m8.1b"><apply id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1"><times id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.1"></times><ci id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.2">𝑖</ci><ci id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.3">𝑡</ci><ci id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.4.cmml" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.4">𝑚</ci><ci id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.5.cmml" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.5">_</ci><ci id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.6.cmml" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.6">𝑐</ci><ci id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.7.cmml" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.7">𝑛</ci><ci id="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.8.cmml" xref="sectionx3.1.p1.8.m8.1.1.8">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.8.m8.1c">itm\_cnt</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.8.m8.1d">italic_i italic_t italic_m _ italic_c italic_n italic_t</annotation></semantics></math> - their counts in a pattern \StateTrieTraverse(<math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.9.m9.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.9.m9.1a"><mi id="sectionx3.1.p1.9.m9.1.1" xref="sectionx3.1.p1.9.m9.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.1.p1.9.m9.1b"><ci id="sectionx3.1.p1.9.m9.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.9.m9.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.9.m9.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.9.m9.1d">italic_α</annotation></semantics></math>, null, candidateTrie.root, ar, wgt_sum, itm_cnt) \EndFor\EndProcedure\Statex\ProcedureTrieTraverse<math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.10.m10.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.10.m10.1a"><mi id="sectionx3.1.p1.10.m10.1.1" xref="sectionx3.1.p1.10.m10.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.1.p1.10.m10.1b"><ci id="sectionx3.1.p1.10.m10.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.10.m10.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.10.m10.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.10.m10.1d">italic_α</annotation></semantics></math>, cur_itmset, cur_node, ar, wgt_sum, itm_cnt \ForAll<math alttext="node\in cur\_node.descendents" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.11.m11.2"><semantics id="sectionx3.1.p1.11.m11.2a"><mrow id="sectionx3.1.p1.11.m11.2.2.2" xref="sectionx3.1.p1.11.m11.2.2.3.cmml"><mrow id="sectionx3.1.p1.11.m11.1.1.1.1" xref="sectionx3.1.p1.11.m11.1.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx3.1.p1.11.m11.1.1.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.11.m11.1.1.1.1.2.cmml"><mi 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id="sectionx3.1.p1.12.m12.1.1.2.7.cmml" xref="sectionx3.1.p1.12.m12.1.1.2.7">𝑑</ci><ci id="sectionx3.1.p1.12.m12.1.1.2.8.cmml" xref="sectionx3.1.p1.12.m12.1.1.2.8">𝑔</ci><ci id="sectionx3.1.p1.12.m12.1.1.2.9.cmml" xref="sectionx3.1.p1.12.m12.1.1.2.9">𝑒</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="sectionx3.1.p1.12.m12.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.12.m12.1.1.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.12.m12.1c">cur\_edge\leftarrow</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.12.m12.1d">italic_c italic_u italic_r _ italic_e italic_d italic_g italic_e ←</annotation></semantics></math> edge label between current child node and cur_node \State<math alttext="cur\_ar\leftarrow" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.13.m13.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.13.m13.1a"><mrow id="sectionx3.1.p1.13.m13.1.1" xref="sectionx3.1.p1.13.m13.1.1.cmml"><mrow id="sectionx3.1.p1.13.m13.1.1.2" 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id="sectionx3.1.p1.13.m13.1.1.2.6.cmml" xref="sectionx3.1.p1.13.m13.1.1.2.6">𝑎</ci><ci id="sectionx3.1.p1.13.m13.1.1.2.7.cmml" xref="sectionx3.1.p1.13.m13.1.1.2.7">𝑟</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="sectionx3.1.p1.13.m13.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.13.m13.1.1.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.13.m13.1c">cur\_ar\leftarrow</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.13.m13.1d">italic_c italic_u italic_r _ italic_a italic_r ←</annotation></semantics></math> the array of size ar initialized as 0 \ForAll <math alttext="e_{k}\in\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.14.m14.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.14.m14.1a"><mrow id="sectionx3.1.p1.14.m14.1.1" xref="sectionx3.1.p1.14.m14.1.1.cmml"><msub id="sectionx3.1.p1.14.m14.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.14.m14.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.14.m14.1.1.2.2" xref="sectionx3.1.p1.14.m14.1.1.2.2.cmml">e</mi><mi 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encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.14.m14.1c">e_{k}\in\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.14.m14.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ∈ italic_α</annotation></semantics></math> \IfS-Extension Is TRUE \State<math alttext="cur\_itmset\leftarrow cur\_edge" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.15.m15.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.15.m15.1a"><mrow id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.cmml"><mrow id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.2" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.1" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.3" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.3.cmml">u</mi><mo id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.1a" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.4" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.4.cmml">r</mi><mo id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.1b" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.5" mathvariant="normal" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.5.cmml">_</mi><mo id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.1c" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.6" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.6.cmml">i</mi><mo id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.1d" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.7" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.7.cmml">t</mi><mo id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.1e" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.8" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.8.cmml">m</mi><mo id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.1f" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.9" xref="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.9.cmml">s</mi><mo id="sectionx3.1.p1.15.m15.1.1.2.1g" 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xref="sectionx3.1.p1.19.m19.1.1.3.3.3.3">𝑢</ci><ci id="sectionx3.1.p1.19.m19.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="sectionx3.1.p1.19.m19.1.1.3.3.3.4">𝑟</ci><ci id="sectionx3.1.p1.19.m19.1.1.3.3.3.5.cmml" xref="sectionx3.1.p1.19.m19.1.1.3.3.3.5">_</ci><ci id="sectionx3.1.p1.19.m19.1.1.3.3.3.6.cmml" xref="sectionx3.1.p1.19.m19.1.1.3.3.3.6">𝑒</ci><ci id="sectionx3.1.p1.19.m19.1.1.3.3.3.7.cmml" xref="sectionx3.1.p1.19.m19.1.1.3.3.3.7">𝑑</ci><ci id="sectionx3.1.p1.19.m19.1.1.3.3.3.8.cmml" xref="sectionx3.1.p1.19.m19.1.1.3.3.3.8">𝑔</ci><ci id="sectionx3.1.p1.19.m19.1.1.3.3.3.9.cmml" xref="sectionx3.1.p1.19.m19.1.1.3.3.3.9">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.19.m19.1c">\leftarrow mxSup\times p_{cur\_edge}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.19.m19.1d">← italic_m italic_x italic_S italic_u italic_p × italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_c italic_u italic_r _ italic_e italic_d italic_g italic_e end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> \Comment<math alttext="p_{cur\_edge}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.20.m20.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.20.m20.1a"><msub id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.2" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.3" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.3.cmml">u</mi><mo id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1a" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.4" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.4.cmml">r</mi><mo id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1b" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.5" mathvariant="normal" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.5.cmml">_</mi><mo id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1c" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.6" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.6.cmml">e</mi><mo id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1d" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.7" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.7.cmml">d</mi><mo id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1e" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.8" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.8.cmml">g</mi><mo id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1f" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.9" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.9.cmml">e</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.1.p1.20.m20.1b"><apply id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.2">𝑝</ci><apply id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3"><times id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.1"></times><ci id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.3">𝑢</ci><ci id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.4.cmml" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.4">𝑟</ci><ci id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.5.cmml" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.5">_</ci><ci id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.6.cmml" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.6">𝑒</ci><ci id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.7.cmml" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.7">𝑑</ci><ci id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.8.cmml" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.8">𝑔</ci><ci id="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.9.cmml" xref="sectionx3.1.p1.20.m20.1.1.3.9">𝑒</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.20.m20.1c">p_{cur\_edge}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.20.m20.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_c italic_u italic_r _ italic_e italic_d italic_g italic_e end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the existential probability of <math alttext="cur\_edge" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.21.m21.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.21.m21.1a"><mrow id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.3" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.3.cmml">u</mi><mo id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1a" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.4" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.4.cmml">r</mi><mo id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1b" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.5" mathvariant="normal" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.5.cmml">_</mi><mo id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1c" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.6" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.6.cmml">e</mi><mo id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1d" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.7" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.7.cmml">d</mi><mo id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1e" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.8" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.8.cmml">g</mi><mo id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1f" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.9" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.9.cmml">e</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.1.p1.21.m21.1b"><apply id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1"><times id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.1"></times><ci id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.2">𝑐</ci><ci id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.3">𝑢</ci><ci id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.4.cmml" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.4">𝑟</ci><ci id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.5.cmml" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.5">_</ci><ci id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.6.cmml" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.6">𝑒</ci><ci id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.7.cmml" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.7">𝑑</ci><ci id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.8.cmml" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.8">𝑔</ci><ci id="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.9.cmml" xref="sectionx3.1.p1.21.m21.1.1.9">𝑒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.21.m21.1c">cur\_edge</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.21.m21.1d">italic_c italic_u italic_r _ italic_e italic_d italic_g italic_e</annotation></semantics></math> in <math alttext="e_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.22.m22.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.22.m22.1a"><msub id="sectionx3.1.p1.22.m22.1.1" xref="sectionx3.1.p1.22.m22.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.22.m22.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.22.m22.1.1.2.cmml">e</mi><mi id="sectionx3.1.p1.22.m22.1.1.3" xref="sectionx3.1.p1.22.m22.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.1.p1.22.m22.1b"><apply id="sectionx3.1.p1.22.m22.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.22.m22.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx3.1.p1.22.m22.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.22.m22.1.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx3.1.p1.22.m22.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.22.m22.1.1.2">𝑒</ci><ci id="sectionx3.1.p1.22.m22.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.22.m22.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.22.m22.1c">e_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.22.m22.1d">italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> \EndIf\If <math alttext="cur\_itmset\notin e_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.23.m23.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.23.m23.1a"><mrow id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.cmml"><mrow id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.2" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.3" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.3.cmml">u</mi><mo id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1a" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.4" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.4.cmml">r</mi><mo id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1b" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.5" mathvariant="normal" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.5.cmml">_</mi><mo id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1c" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.6" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.6.cmml">i</mi><mo id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1d" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.7" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.7.cmml">t</mi><mo id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1e" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.8" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.8.cmml">m</mi><mo id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1f" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.9" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.9.cmml">s</mi><mo id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1g" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.10" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.10.cmml">e</mi><mo id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1h" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.11" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.11.cmml">t</mi></mrow><mo id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.1" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.1.cmml">∉</mo><msub id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.3" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.3.2" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.3.2.cmml">e</mi><mi id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.3.3" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.1.p1.23.m23.1b"><apply id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1"><notin id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.1"></notin><apply id="sectionx3.1.p1.23.m23.1.1.2.cmml" 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id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.1"></times><apply id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.2"><times id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.2.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.2.1"></times><ci id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.2.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.2.2">𝑎</ci><apply id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.2.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><ci id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.2.3.2">𝑟</ci><ci id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.2">𝑝</ci><apply id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3"><times id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.3">𝑢</ci><ci id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.4">𝑟</ci><ci id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.5.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.5">_</ci><ci id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.6.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.6">𝑒</ci><ci id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.7.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.7">𝑑</ci><ci id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.8.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.8">𝑔</ci><ci id="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.9.cmml" xref="sectionx3.1.p1.31.m31.1.1.3.3.3.9">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.31.m31.1c">\leftarrow ar_{k}\times p_{cur\_edge}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.31.m31.1d">← italic_a italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT × italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_c italic_u italic_r _ italic_e italic_d italic_g italic_e end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> \Comment<math alttext="p_{cur\_edge}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.32.m32.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.32.m32.1a"><msub id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.2" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.3" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.3.cmml">u</mi><mo id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1a" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.4" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.4.cmml">r</mi><mo id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1b" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.5" mathvariant="normal" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.5.cmml">_</mi><mo id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1c" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.6" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.6.cmml">e</mi><mo id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1d" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.7" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.7.cmml">d</mi><mo id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1e" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.8" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.8.cmml">g</mi><mo id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1f" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.9" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.9.cmml">e</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.1.p1.32.m32.1b"><apply id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1">subscript</csymbol><ci id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.2">𝑝</ci><apply id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3"><times id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.1"></times><ci id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.3">𝑢</ci><ci id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.4.cmml" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.4">𝑟</ci><ci id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.5.cmml" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.5">_</ci><ci id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.6.cmml" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.6">𝑒</ci><ci id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.7.cmml" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.7">𝑑</ci><ci id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.8.cmml" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.8">𝑔</ci><ci id="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.9.cmml" xref="sectionx3.1.p1.32.m32.1.1.3.9">𝑒</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.32.m32.1c">p_{cur\_edge}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.32.m32.1d">italic_p start_POSTSUBSCRIPT italic_c italic_u italic_r _ italic_e italic_d italic_g italic_e end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the existential probability of <math alttext="cur\_edge" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.33.m33.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.33.m33.1a"><mrow id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.3" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.3.cmml">u</mi><mo id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1a" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.4" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.4.cmml">r</mi><mo id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1b" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.5" mathvariant="normal" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.5.cmml">_</mi><mo id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1c" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.6" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.6.cmml">e</mi><mo id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1d" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.7" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.7.cmml">d</mi><mo id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1e" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.8" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.8.cmml">g</mi><mo id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1f" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.9" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.9.cmml">e</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.1.p1.33.m33.1b"><apply id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1"><times id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.1"></times><ci id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.2">𝑐</ci><ci id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.3">𝑢</ci><ci id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.4.cmml" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.4">𝑟</ci><ci id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.5.cmml" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.5">_</ci><ci id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.6.cmml" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.6">𝑒</ci><ci id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.7.cmml" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.7">𝑑</ci><ci id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.8.cmml" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.8">𝑔</ci><ci id="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.9.cmml" xref="sectionx3.1.p1.33.m33.1.1.9">𝑒</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.1.p1.33.m33.1c">cur\_edge</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.33.m33.1d">italic_c italic_u italic_r _ italic_e italic_d italic_g italic_e</annotation></semantics></math> in <math alttext="e_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.34.m34.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.34.m34.1a"><msub id="sectionx3.1.p1.34.m34.1.1" xref="sectionx3.1.p1.34.m34.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.34.m34.1.1.2" xref="sectionx3.1.p1.34.m34.1.1.2.cmml">e</mi><mi id="sectionx3.1.p1.34.m34.1.1.3" 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0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.1.p1.37.m37.1d">← 0</annotation></semantics></math> \EndIf\EndIf\EndFor\State<math alttext="mxSup\leftarrow\max^{|\alpha|}_{i=1}cur\_ar_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.1.p1.38.m38.1"><semantics id="sectionx3.1.p1.38.m38.1a"><mrow id="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2" xref="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2.cmml"><mrow id="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2.2" xref="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2.2.cmml"><mi id="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2.2.2" xref="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2.2.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2.2.1" xref="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2.2.3" xref="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2.2.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2.2.1a" xref="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2.2.4" xref="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2.2.4.cmml">S</mi><mo id="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2.2.1b" xref="sectionx3.1.p1.38.m38.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi 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alttext="freqItms,maxPrs,sWgts\leftarrow Determine(\textit{pDB},\textit{minWES})" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.2.p1.4.m4.5"><semantics id="sectionx3.2.p1.4.m4.5a"><mrow id="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5.cmml"><mrow id="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5.3.3" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5.3.4.cmml"><mrow id="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.1" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.3" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.3.cmml">r</mi><mo id="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.1a" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.4" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.4.cmml">e</mi><mo id="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.1b" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi 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id="sectionx3.2.p1.4.m4.1.1" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.1.1a.cmml">pDB</mtext><mo id="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5.5.11.2.2" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5.5.11.1.cmml">,</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="sectionx3.2.p1.4.m4.2.2" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.2.2a.cmml">minWES</mtext><mo id="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5.5.11.2.3" stretchy="false" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5.5.11.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.2.p1.4.m4.5b"><apply id="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5.cmml" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5"><ci id="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5.4.cmml" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5.4">←</ci><list id="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5.3.4.cmml" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5.3.3"><apply id="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1"><times id="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.1"></times><ci id="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.3.3.1.1.1.2">𝑓</ci><ci 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xref="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5.5.10">𝑒</ci><interval closure="open" id="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5.5.11.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.5.5.5.11.2"><ci id="sectionx3.2.p1.4.m4.1.1a.cmml" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="sectionx3.2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.1.1">pDB</mtext></ci><ci id="sectionx3.2.p1.4.m4.2.2a.cmml" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="sectionx3.2.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.4.m4.2.2">minWES</mtext></ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.2.p1.4.m4.5c">freqItms,maxPrs,sWgts\leftarrow Determine(\textit{pDB},\textit{minWES})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.2.p1.4.m4.5d">italic_f italic_r italic_e italic_q italic_I italic_t italic_m italic_s , italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r italic_s , italic_s italic_W italic_g italic_t italic_s ← italic_D italic_e italic_t italic_e italic_r italic_m italic_i italic_n italic_e ( pDB , minWES )</annotation></semantics></math> \CommentList of frequent items, their maxPr, and weights \ForAll<math alttext="{\beta}\in{freqItms}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.2.p1.5.m5.1"><semantics id="sectionx3.2.p1.5.m5.1a"><mrow id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.2" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.1" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.2" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml">f</mi><mo id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.3" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml">r</mi><mo id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1a" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.4" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.4.cmml">e</mi><mo id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1b" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.5" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.5.cmml">q</mi><mo id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1c" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.6" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.6.cmml">I</mi><mo id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1d" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.7" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.7.cmml">t</mi><mo id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1e" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.8" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.8.cmml">m</mi><mo id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1f" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.9" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.9.cmml">s</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.2.p1.5.m5.1b"><apply id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1"><in id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.1"></in><ci id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.2">𝛽</ci><apply id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3"><times id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.1"></times><ci id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.2">𝑓</ci><ci id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.3">𝑟</ci><ci id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.4.cmml" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.4">𝑒</ci><ci id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.5.cmml" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.5">𝑞</ci><ci id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.6.cmml" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.6">𝐼</ci><ci id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.7.cmml" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.7">𝑡</ci><ci id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.8.cmml" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.8">𝑚</ci><ci id="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.9.cmml" xref="sectionx3.2.p1.5.m5.1.1.3.9">𝑠</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.2.p1.5.m5.1c">{\beta}\in{freqItms}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.2.p1.5.m5.1d">italic_β ∈ italic_f italic_r italic_e italic_q italic_I italic_t italic_m italic_s</annotation></semantics></math> \State<math alttext="\textit{candidateTrie}\leftarrow FUWSP(DB|{\beta},\beta,maxPrs_{\beta},sWgts_{% \beta},sWgts_{\beta},1)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.2.p1.6.m6.4"><semantics id="sectionx3.2.p1.6.m6.4a"><mrow id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.3" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.3a.cmml">candidateTrie</mtext><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.2" stretchy="false" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.2.cmml">←</mo><mrow id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.3" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.3.cmml">F</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.2" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.4" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.4.cmml">U</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.2a" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.5" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.5.cmml">W</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.2b" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.6" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.2c" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.7" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.7.cmml">P</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.2d" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.2" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.1" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.3" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.3.cmml">B</mi></mrow><mo fence="false" id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.4" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.4.cmml">|</mo><mrow id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.1.1" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.1.1.cmml">β</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.4" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.2.2" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.2.2.cmml">β</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.5" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1b" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">P</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1c" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.6" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">r</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1d" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.7" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.7.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.7.2" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml">s</mi><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.7.3" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml">β</mi></msub></mrow><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.6" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">s</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">W</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1a" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml">g</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1b" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.5" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.5.cmml">t</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1c" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.6" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.6.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.6.2" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.6.2.cmml">s</mi><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.6.3" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.6.3.cmml">β</mi></msub></mrow><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.7" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">W</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1a" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.4" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml">g</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1b" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.5" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.5.cmml">t</mi><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1c" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.6" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.6.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.6.2" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.6.2.cmml">s</mi><mi id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.6.3" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.6.3.cmml">β</mi></msub></mrow><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.8" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml">,</mo><mn id="sectionx3.2.p1.6.m6.3.3" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mo id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.2.p1.6.m6.4b"><apply id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4"><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.2">←</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.3a.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.3">candidateTrie</mtext></ci><apply id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1"><times id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.2"></times><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.3">𝐹</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.4.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.4">𝑈</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.5.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.5">𝑊</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.6.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.6">𝑆</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.7.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.7">𝑃</ci><apply id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.4.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.4">conditional</csymbol><apply id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5"><times id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.1"></times><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.2">𝐷</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.5.3">𝐵</ci></apply><list id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3"><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.1.1">𝛽</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.2.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.2.2">𝛽</ci><apply id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><times id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑚</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑎</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑥</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.5">𝑃</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.6">𝑟</ci><apply id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.7.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.7">subscript</csymbol><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.7.2">𝑠</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.1.1.1.7.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2"><times id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑠</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.3">𝑊</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.4.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.4">𝑔</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.5.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.5">𝑡</ci><apply id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.6.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.6.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.6.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.6.2">𝑠</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.6.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.2.2.2.6.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3"><times id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑠</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑊</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.4">𝑔</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.5.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.5">𝑡</ci><apply id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.6.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.6.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.6">subscript</csymbol><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.6.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.6.2">𝑠</ci><ci id="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.6.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.4.4.1.1.1.1.3.3.3.6.3">𝛽</ci></apply></apply><cn id="sectionx3.2.p1.6.m6.3.3.cmml" type="integer" xref="sectionx3.2.p1.6.m6.3.3">1</cn></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.2.p1.6.m6.4c">\textit{candidateTrie}\leftarrow FUWSP(DB|{\beta},\beta,maxPrs_{\beta},sWgts_{% \beta},sWgts_{\beta},1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.2.p1.6.m6.4d">candidateTrie ← italic_F italic_U italic_W italic_S italic_P ( italic_D italic_B | italic_β , italic_β , italic_m italic_a italic_x italic_P italic_r italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT , italic_s italic_W italic_g italic_t italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT , italic_s italic_W italic_g italic_t italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT , 1 )</annotation></semantics></math> \EndFor\StateCall SupCalc(DB, candidateTrie) \StateFS <math alttext="\leftarrow" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.2.p1.7.m7.1"><semantics id="sectionx3.2.p1.7.m7.1a"><mo id="sectionx3.2.p1.7.m7.1.1" stretchy="false" xref="sectionx3.2.p1.7.m7.1.1.cmml">←</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.2.p1.7.m7.1b"><ci id="sectionx3.2.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.7.m7.1.1">←</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.2.p1.7.m7.1c">\leftarrow</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.2.p1.7.m7.1d">←</annotation></semantics></math> Remove false positives and find frequent patterns from candidateTrie \EndProcedure\Statex\ProcedureFUWSP<math alttext="DB|{\alpha},\ \alpha,\ maxPr_{\alpha},\ mxW_{\alpha},\ sWgt_{\alpha},\ |\alpha|" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.2.p1.8.m8.5"><semantics id="sectionx3.2.p1.8.m8.5a"><mrow id="sectionx3.2.p1.8.m8.5.5.2" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.5.5.3.cmml"><mrow id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.cmml"><mrow id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.5" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.5.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.5.2" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.5.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.5.1" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.5.3" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.5.3.cmml">B</mi></mrow><mo fence="false" id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.4" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.4.cmml">|</mo><mrow id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.4.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.1.1" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.4" rspace="0.667em" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.4.cmml">,</mo><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.2.2" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.2.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.5" rspace="0.667em" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1a" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.4" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1b" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.5" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.5.cmml">P</mi><mo id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1c" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.6" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.6.2" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.6.2.cmml">r</mi><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.6.3" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.1.1.1.6.3.cmml">α</mi></msub></mrow><mo id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.6" rspace="0.667em" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2.1" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2.3" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2.3.cmml">x</mi><mo id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2.1a" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2.4" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2.4.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2.4.2" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2.4.2.cmml">W</mi><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2.4.3" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.2.2.2.4.3.cmml">α</mi></msub></mrow><mo id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.7" rspace="0.667em" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.4.cmml">,</mo><mrow id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.2" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml">s</mi><mo id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.1" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.3" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.3.cmml">W</mi><mo id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.1a" 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id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3"><times id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.2">𝑠</ci><ci id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.3">𝑊</ci><ci id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.4">𝑔</ci><apply id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.5.cmml" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.5.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.5">subscript</csymbol><ci id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.5.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.5.2">𝑡</ci><ci id="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.5.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.8.m8.4.4.1.1.3.3.3.5.3">𝛼</ci></apply></apply></list></apply><apply id="sectionx3.2.p1.8.m8.5.5.2.2.1.cmml" 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id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.1.1.1" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.1.1.1.1" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.1.1.1.1.2" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mo id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.1.1.1.1.1" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.1.1.1.1.1.cmml">∪</mo><mi id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.1.1.1.1.3" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.1.1.1.1.3.cmml">β</mi></mrow><mo id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.2" stretchy="false" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.2.cmml">←</mo><mrow id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.cmml"><mrow id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.2" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.1" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.3" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.1a" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.4" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.1b" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.5" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.5.cmml">P</mi><mo id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.1c" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.6" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.6.cmml"><mi id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.6.2" xref="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.6.2.cmml">r</mi><mi id="sectionx3.2.p1.12.m12.3.3.3.2.6.3" 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id="sectionx3.2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.15.m15.1.1.1.1.1.1.3">𝛽</ci></apply></apply><apply id="sectionx3.2.p1.15.m15.3.3.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.15.m15.3.3.3"><times id="sectionx3.2.p1.15.m15.3.3.3.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.15.m15.3.3.3.3"></times><apply id="sectionx3.2.p1.15.m15.2.2.2.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.15.m15.2.2.2.1"><times id="sectionx3.2.p1.15.m15.2.2.2.1.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.15.m15.2.2.2.1.2"></times><apply id="sectionx3.2.p1.15.m15.2.2.2.1.1.cmml" xref="sectionx3.2.p1.15.m15.2.2.2.1.1"><times id="sectionx3.2.p1.15.m15.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.2.p1.15.m15.2.2.2.1.1.2"></times><ci id="sectionx3.2.p1.15.m15.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.2.p1.15.m15.2.2.2.1.1.3">𝑒</ci><ci id="sectionx3.2.p1.15.m15.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="sectionx3.2.p1.15.m15.2.2.2.1.1.4">𝑥</ci><ci id="sectionx3.2.p1.15.m15.2.2.2.1.1.5.cmml" xref="sectionx3.2.p1.15.m15.2.2.2.1.1.5">𝑝</ci><ci id="sectionx3.2.p1.15.m15.2.2.2.1.1.6.cmml" 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start_POSTSUBSCRIPT italic_β end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> \State<math alttext="FUWSP(DB|{(\alpha\cup\beta))},(\alpha\cup\beta),maxPr_{\alpha\cup\beta},\max(% mxW_{\alpha},sWgts_{\beta}),sWgt_{\alpha\cup\beta},|\alpha\cup\beta|)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="sectionx3.2.p1.18.m18.1"><semantics id="sectionx3.2.p1.18.m18.1a"><mrow id="sectionx3.2.p1.18.m18.1b"><mi id="sectionx3.2.p1.18.m18.1.2">F</mi><mi id="sectionx3.2.p1.18.m18.1.3">U</mi><mi id="sectionx3.2.p1.18.m18.1.4">W</mi><mi id="sectionx3.2.p1.18.m18.1.5">S</mi><mi id="sectionx3.2.p1.18.m18.1.6">P</mi><mrow id="sectionx3.2.p1.18.m18.1.7"><mo id="sectionx3.2.p1.18.m18.1.7.1" stretchy="false">(</mo><mi id="sectionx3.2.p1.18.m18.1.7.2">D</mi><mi id="sectionx3.2.p1.18.m18.1.7.3">B</mi><mo fence="false" id="sectionx3.2.p1.18.m18.1.7.4" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mrow id="sectionx3.2.p1.18.m18.1.7.5"><mo id="sectionx3.2.p1.18.m18.1.7.5.1" stretchy="false">(</mo><mi 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\algrenewcommand\alglinenumber\algrenewcommand\alglinenumber{algorithm} [htb] Procedure of uWSInc+ {algorithmic}[1] \Statex\RequireDB: initial database, <math alttext="\Delta{DB}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.3.p1.1.m1.1"><semantics id="sectionx3.3.p1.1.m1.1a"><mrow id="sectionx3.3.p1.1.m1.1.1" xref="sectionx3.3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.3.p1.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx3.3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="sectionx3.3.p1.1.m1.1.1.1" xref="sectionx3.3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.1.m1.1.1.3" xref="sectionx3.3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx3.3.p1.1.m1.1.1.1a" xref="sectionx3.3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.1.m1.1.1.4" xref="sectionx3.3.p1.1.m1.1.1.4.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.3.p1.1.m1.1b"><apply id="sectionx3.3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.1.m1.1.1"><times id="sectionx3.3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" 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id="sectionx3.3.p1.2.m2.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.3.p1.2.m2.1d">italic_μ</annotation></semantics></math>: buffer ratio, wgt_fct: weight factor\EnsureFS: set of frequent patterns \Statex\ProcedureInitialMining<math alttext="DB" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.3.p1.3.m3.1"><semantics id="sectionx3.3.p1.3.m3.1a"><mrow id="sectionx3.3.p1.3.m3.1.1" xref="sectionx3.3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.3.p1.3.m3.1.1.2" xref="sectionx3.3.p1.3.m3.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="sectionx3.3.p1.3.m3.1.1.1" xref="sectionx3.3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.3.m3.1.1.3" xref="sectionx3.3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.3.p1.3.m3.1b"><apply id="sectionx3.3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.3.m3.1.1"><times id="sectionx3.3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.3.m3.1.1.1"></times><ci id="sectionx3.3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" 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id="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.5" xref="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.5.cmml">T</mi><mo id="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.1c" xref="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.6" xref="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.6.cmml">r</mi><mo id="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.1d" xref="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.7" xref="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.7.cmml">i</mi><mo id="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.1e" xref="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.8" xref="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.8.cmml">e</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.3.p1.21.m21.1b"><apply id="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1"><times id="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.1"></times><ci id="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.2">𝑠</ci><ci id="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.3.p1.21.m21.1.1.3">𝑒</ci><ci 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id="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.1" xref="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.3" xref="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.3.cmml">f</mi><mo id="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.1a" xref="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.4" xref="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.4.cmml">s</mi><mo id="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.1b" xref="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.5" xref="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.5.cmml">T</mi><mo id="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.1c" xref="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.6" xref="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.6.cmml">r</mi><mo id="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.1d" xref="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.7" xref="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.7.cmml">i</mi><mo id="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.1e" xref="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.22.m22.1.1.8" 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xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml">μ</mi><mo id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.2.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml">×</mo><mi id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.2.4" mathvariant="normal" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.2.4.cmml">Δ</mi></mrow><mo id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.1" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.3" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.1a" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.4" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.4.2" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.4.2.cmml">B</mi><mi id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.4.3" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.1b" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.5" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.5.cmml">S</mi><mo id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.1c" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.6" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.6.cmml">i</mi><mo id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.1d" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.7" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.7.cmml">z</mi><mo id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.1e" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.8" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.2.8.cmml">e</mi></mrow><mo id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.1.cmml">×</mo><mi id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.3" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.2.3.cmml">W</mi></mrow><mo id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.1" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.3" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.3.cmml">A</mi><mo id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.1a" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.4" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.4.2" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.4.2.cmml">M</mi><msup id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.4.3" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.4.3.cmml"><mi id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.4.3a" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.4.3.cmml"></mi><mo id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.4.3.1" xref="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.2.4.3.1.cmml">′</mo></msup></msup></mrow><mo id="sectionx3.3.p1.23.m23.1.1.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" 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alttext="lfsTrie\leftarrow FUWS(\Delta{DB}_{i},2\times min\_Sup\times\mu,\textit{wgt\_% fct})" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.3.p1.24.m24.3"><semantics id="sectionx3.3.p1.24.m24.3a"><mrow id="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3" xref="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.cmml"><mrow id="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4" xref="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4.cmml"><mi id="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4.2" xref="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4.2.cmml">l</mi><mo id="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4.1" xref="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4.3" xref="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4.3.cmml">f</mi><mo id="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4.1a" xref="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4.4" xref="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4.4.cmml">s</mi><mo id="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4.1b" xref="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4.5" xref="sectionx3.3.p1.24.m24.3.3.4.5.cmml">T</mi><mo 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italic_μ , wgt_fct )</annotation></semantics></math> \StateCall SupCalc(<math alttext="\Delta{DB}_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.3.p1.25.m25.1"><semantics id="sectionx3.3.p1.25.m25.1a"><mrow id="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1" xref="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1.1" xref="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1.3" xref="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1.1a" xref="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1.4" xref="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1.4.2" xref="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1.4.2.cmml">B</mi><mi id="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1.4.3" xref="sectionx3.3.p1.25.m25.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.3.p1.25.m25.1b"><apply 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xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.2.5.cmml">W</mi><mo id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.2.1c" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.2.6" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.2.6.cmml">E</mi><mo id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.2.1d" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.2.7" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.2.7.cmml">S</mi></mrow><mo id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.1" stretchy="false" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.1.cmml">←</mo><mrow id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.cmml"><mrow id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.cmml"><mrow id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.cmml"><mrow id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.cmml"><mrow id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mrow id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2" 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id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.2.1c" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.2.6" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.2.6.cmml">s</mi><mo id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.2.1d" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.2.7" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.2.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.2.1e" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.2.8" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.2.8.cmml">p</mi></mrow><mo id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml">×</mo><mi id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="sectionx3.3.p1.27.m27.1.1.3.2.2.2.2.1" 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id="sectionx3.3.p1.28.m28.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="sectionx3.3.p1.28.m28.1.1.1.1.1.2.3">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx3.3.p1.28.m28.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.3.p1.28.m28.1.1.1.1.1.3"><times id="sectionx3.3.p1.28.m28.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.28.m28.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="sectionx3.3.p1.28.m28.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.28.m28.1.1.1.1.1.3.2">𝑆</ci><ci id="sectionx3.3.p1.28.m28.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx3.3.p1.28.m28.1.1.1.1.1.3.3">𝐹</ci><ci id="sectionx3.3.p1.28.m28.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="sectionx3.3.p1.28.m28.1.1.1.1.1.3.4">𝑆</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.3.p1.28.m28.1c">\alpha\in(FS\lor SFS)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.3.p1.28.m28.1d">italic_α ∈ ( italic_F italic_S ∨ italic_S italic_F italic_S )</annotation></semantics></math> stored into seqTrie \If<math alttext="wExpSup(\alpha)<(minWES\times\mu" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="sectionx3.3.p1.29.m29.1"><semantics id="sectionx3.3.p1.29.m29.1a"><mrow id="sectionx3.3.p1.29.m29.1b"><mi id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.2">w</mi><mi id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.3">E</mi><mi id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.4">x</mi><mi id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.5">p</mi><mi id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.6">S</mi><mi id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.7">u</mi><mi id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.8">p</mi><mrow id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.9"><mo id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.9.1" stretchy="false">(</mo><mi id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.1">α</mi><mo id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.9.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.10"><</mo><mrow id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.11"><mo id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.11.1" stretchy="false">(</mo><mi id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.11.2">m</mi><mi id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.11.3">i</mi><mi id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.11.4">n</mi><mi id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.11.5">W</mi><mi id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.11.6">E</mi><mi id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.11.7">S</mi><mo id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.11.8" lspace="0.222em" rspace="0.222em">×</mo><mi id="sectionx3.3.p1.29.m29.1.11.9">μ</mi></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.3.p1.29.m29.1c">wExpSup(\alpha)<(minWES\times\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.3.p1.29.m29.1d">italic_w italic_E italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p ( italic_α ) < ( italic_m italic_i italic_n italic_W italic_E italic_S × italic_μ</annotation></semantics></math>) \StateDelete pattern <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.3.p1.30.m30.1"><semantics id="sectionx3.3.p1.30.m30.1a"><mi id="sectionx3.3.p1.30.m30.1.1" xref="sectionx3.3.p1.30.m30.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.3.p1.30.m30.1b"><ci id="sectionx3.3.p1.30.m30.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.30.m30.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.3.p1.30.m30.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.3.p1.30.m30.1d">italic_α</annotation></semantics></math> from seqTrie \If<math alttext="wExpSup(\alpha)\geq LWES" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.3.p1.31.m31.1"><semantics id="sectionx3.3.p1.31.m31.1a"><mrow id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.cmml"><mrow id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.cmml"><mi id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.2" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.3" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1a" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.4" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1b" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.5" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1c" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.6" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1d" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.7" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1e" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.8" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.8.cmml">p</mi><mo id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1f" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.9.2" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.cmml"><mo id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.9.2.1" stretchy="false" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.1" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.1.cmml">α</mi><mo id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.9.2.2" stretchy="false" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.1" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.1.cmml">≥</mo><mrow id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.cmml"><mi id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.2" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.1" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.3" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.3.cmml">W</mi><mo id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.1a" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.4" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.4.cmml">E</mi><mo id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.1b" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.5" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.5.cmml">S</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.3.p1.31.m31.1b"><apply id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2"><geq id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.1"></geq><apply id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2"><times id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.1"></times><ci id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.2">𝑤</ci><ci id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.3.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.3">𝐸</ci><ci id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.4.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.4">𝑥</ci><ci id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.5.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.5">𝑝</ci><ci id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.6.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.6">𝑆</ci><ci id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.7.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.7">𝑢</ci><ci id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.8.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.2.8">𝑝</ci><ci id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.1">𝛼</ci></apply><apply id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3"><times id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.1"></times><ci id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.2">𝐿</ci><ci id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.3.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.3">𝑊</ci><ci id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.4.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.4">𝐸</ci><ci id="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.5.cmml" xref="sectionx3.3.p1.31.m31.1.2.3.5">𝑆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.3.p1.31.m31.1c">wExpSup(\alpha)\geq LWES</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.3.p1.31.m31.1d">italic_w italic_E italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p ( italic_α ) ≥ italic_L italic_W italic_E italic_S</annotation></semantics></math> \StateInsert pattern <math alttext="\alpha" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.3.p1.32.m32.1"><semantics id="sectionx3.3.p1.32.m32.1a"><mi id="sectionx3.3.p1.32.m32.1.1" xref="sectionx3.3.p1.32.m32.1.1.cmml">α</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.3.p1.32.m32.1b"><ci id="sectionx3.3.p1.32.m32.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.32.m32.1.1">𝛼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.3.p1.32.m32.1c">\alpha</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.3.p1.32.m32.1d">italic_α</annotation></semantics></math> into pfsTrie \EndIf\EndIf\EndFor\ForAll<math alttext="\beta\in PFS" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.3.p1.33.m33.1"><semantics id="sectionx3.3.p1.33.m33.1a"><mrow id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.cmml"><mi id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.2" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.2.cmml">β</mi><mo id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.1" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.2" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.1" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.3" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.3.cmml">F</mi><mo id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.1a" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.4" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.4.cmml">S</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.3.p1.33.m33.1b"><apply id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1"><in id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.1"></in><ci id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.2">𝛽</ci><apply id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3"><times id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.1"></times><ci id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.3">𝐹</ci><ci id="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.4.cmml" xref="sectionx3.3.p1.33.m33.1.1.3.4">𝑆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.3.p1.33.m33.1c">\beta\in PFS</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.3.p1.33.m33.1d">italic_β ∈ italic_P italic_F italic_S</annotation></semantics></math> stored into pfsTrie \If<math alttext="wExpSup(\beta)\geq(minWES\times\mu)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.3.p1.34.m34.2"><semantics id="sectionx3.3.p1.34.m34.2a"><mrow id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.cmml"><mrow id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.cmml"><mi id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.2" 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xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.8" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.8.cmml">p</mi><mo id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.1f" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.9.2" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.cmml"><mo id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.9.2.1" stretchy="false" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="sectionx3.3.p1.34.m34.1.1" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.1.1.cmml">β</mi><mo id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.9.2.2" stretchy="false" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.2" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.2.cmml">≥</mo><mrow id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.1.1" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.1.1.1" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.1.1.1.cmml"><mrow 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id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.2">𝑤</ci><ci id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.3.cmml" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.3">𝐸</ci><ci id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.4.cmml" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.4">𝑥</ci><ci id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.5.cmml" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.5">𝑝</ci><ci id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.6.cmml" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.6">𝑆</ci><ci id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.7.cmml" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.7">𝑢</ci><ci id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.8.cmml" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.3.8">𝑝</ci><ci id="sectionx3.3.p1.34.m34.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.1.1">𝛽</ci></apply><apply id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.1.1"><times id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.34.m34.2.2.1.1.1.2"><times 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id="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.1" xref="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.3" xref="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.3.cmml">F</mi><mo id="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.1a" xref="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.4" xref="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.4.cmml">S</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.3.p1.39.m39.1b"><apply id="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1"><in id="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.1"></in><ci id="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.2">𝛾</ci><apply id="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3"><times id="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.1"></times><ci id="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.3">𝐹</ci><ci id="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.4.cmml" xref="sectionx3.3.p1.39.m39.1.1.3.4">𝑆</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.3.p1.39.m39.1c">\gamma\in LFS</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.3.p1.39.m39.1d">italic_γ ∈ italic_L italic_F italic_S</annotation></semantics></math> stored into lfsTrie \If<math alttext="wExpSup(\gamma)\geq(minWES\times\mu)" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.3.p1.40.m40.2"><semantics id="sectionx3.3.p1.40.m40.2a"><mrow id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.cmml"><mrow id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.cmml"><mi id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.2" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.1" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.3" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.1a" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.4" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.1b" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.5" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.1c" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.6" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.1d" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.7" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.1e" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.8" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.8.cmml">p</mi><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.1f" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.9.2" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.cmml"><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.9.2.1" stretchy="false" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="sectionx3.3.p1.40.m40.1.1" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.1.1.cmml">γ</mi><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.9.2.2" stretchy="false" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.2" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.2.cmml">≥</mo><mrow id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.2" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.1" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.3" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.1a" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.4" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.4.cmml">n</mi><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.1b" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.5" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.5.cmml">W</mi><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.1c" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.6" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.6.cmml">E</mi><mo id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.1d" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.7" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.7.cmml">S</mi></mrow><mo 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xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.4">𝑥</ci><ci id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.5.cmml" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.5">𝑝</ci><ci id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.6.cmml" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.6">𝑆</ci><ci id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.7.cmml" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.7">𝑢</ci><ci id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.8.cmml" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.3.8">𝑝</ci><ci id="sectionx3.3.p1.40.m40.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.1.1">𝛾</ci></apply><apply id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1"><times id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2"><times id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.40.m40.2.2.1.1.1.2.2">𝑚</ci><ci 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)</annotation></semantics></math> \StateInsert <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.3.p1.41.m41.1"><semantics id="sectionx3.3.p1.41.m41.1a"><mi id="sectionx3.3.p1.41.m41.1.1" xref="sectionx3.3.p1.41.m41.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.3.p1.41.m41.1b"><ci id="sectionx3.3.p1.41.m41.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.41.m41.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.3.p1.41.m41.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.3.p1.41.m41.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> into seqTrie \ElsIf<math alttext="wExpSup(\gamma)\geq LWES)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="sectionx3.3.p1.42.m42.1"><semantics id="sectionx3.3.p1.42.m42.1a"><mrow id="sectionx3.3.p1.42.m42.1b"><mi id="sectionx3.3.p1.42.m42.1.2">w</mi><mi id="sectionx3.3.p1.42.m42.1.3">E</mi><mi id="sectionx3.3.p1.42.m42.1.4">x</mi><mi 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alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.3.p1.43.m43.1"><semantics id="sectionx3.3.p1.43.m43.1a"><mi id="sectionx3.3.p1.43.m43.1.1" xref="sectionx3.3.p1.43.m43.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx3.3.p1.43.m43.1b"><ci id="sectionx3.3.p1.43.m43.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.43.m43.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.3.p1.43.m43.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.3.p1.43.m43.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> into pfsTrie \EndIf\EndFor\State<math alttext="FS\leftarrow seqTrie.find\_frequent\_patterns(\textit{minWES})" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx3.3.p1.44.m44.3"><semantics id="sectionx3.3.p1.44.m44.3a"><mrow id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.3.cmml"><mrow id="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.cmml"><mrow id="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.2" 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id="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1"><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.1">←</ci><apply id="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.2"><times id="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.2.2">𝐹</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.2.3">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.3.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.3"><times id="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.3.2">𝑠</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.3.3">𝑒</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.2.2.1.1.3.4.cmml" 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id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.6.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.6">_</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.7.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.7">𝑓</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.8.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.8">𝑟</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.9.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.9">𝑒</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.10.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.10">𝑞</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.11.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.11">𝑢</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.12.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.12">𝑒</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.13.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.13">𝑛</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.14.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.14">𝑡</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.15.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.15">_</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.16.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.16">𝑝</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.17.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.17">𝑎</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.18.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.18">𝑡</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.19.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.19">𝑡</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.20.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.20">𝑒</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.21.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.21">𝑟</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.22.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.22">𝑛</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.23.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.23">𝑠</ci><ci id="sectionx3.3.p1.44.m44.1.1a.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.3.3.2.2.24.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="sectionx3.3.p1.44.m44.1.1.cmml" xref="sectionx3.3.p1.44.m44.1.1">minWES</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx3.3.p1.44.m44.3c">FS\leftarrow seqTrie.find\_frequent\_patterns(\textit{minWES})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx3.3.p1.44.m44.3d">italic_F italic_S ← italic_s italic_e italic_q italic_T italic_r italic_i italic_e . italic_f italic_i italic_n italic_d _ italic_f italic_r italic_e italic_q italic_u italic_e italic_n italic_t _ italic_p italic_a italic_t italic_t italic_e italic_r italic_n italic_s ( minWES )</annotation></semantics></math> \EndProcedure </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="sectionx4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section">Example Simulation</h2> <div class="ltx_para" id="sectionx4.p1"> Let us consider Table LABEL:tab:initDB as the initial database DB and increments shown in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4" title="Example Simulation">Example Simulation</a>. For this simulation, support threshold, min_sup=20%, buffer ratio, <math alttext="\mu" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p1.1.m1.1"><semantics id="sectionx4.p1.1.m1.1a"><mi id="sectionx4.p1.1.m1.1.1" xref="sectionx4.p1.1.m1.1.1.cmml">μ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p1.1.m1.1b"><ci id="sectionx4.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p1.1.m1.1.1">𝜇</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p1.1.m1.1c">\mu</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p1.1.m1.1d">italic_μ</annotation></semantics></math>=0.7 and wgt_fct = 1.0. As a result, the minimum weighted expected support threshold for frequent sequences, minWES = 1.05 and for semi-frequent sequences, <math alttext="minWES^{{}^{\prime}}=0.74" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p1.2.m2.1"><semantics id="sectionx4.p1.2.m2.1a"><mrow id="sectionx4.p1.2.m2.1.1" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.1" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.1a" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.4" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.4.cmml">n</mi><mo id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.1b" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.5" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.5.cmml">W</mi><mo id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.1c" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.6" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.6.cmml">E</mi><mo id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.1d" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.cmml"><mi id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.2" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.2.cmml">S</mi><msup id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.3" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.3.cmml"><mi id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.3a" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.3.cmml"></mi><mo id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.3.1" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.3.1.cmml">′</mo></msup></msup></mrow><mo id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.1" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.3" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0.74</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p1.2.m2.1b"><apply id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1"><eq id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2"><times id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.1"></times><ci id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑚</ci><ci id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.3">𝑖</ci><ci id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.4.cmml" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.4">𝑛</ci><ci id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.5.cmml" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.5">𝑊</ci><ci id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.6.cmml" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.6">𝐸</ci><apply id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.cmml" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.1.cmml" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7">superscript</csymbol><ci id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.2.cmml" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.2">𝑆</ci><apply id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.3.cmml" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.3"><ci id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.3.1.cmml" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.2.7.3.1">′</ci></apply></apply></apply><cn id="sectionx4.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="sectionx4.p1.2.m2.1.1.3">0.74</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p1.2.m2.1c">minWES^{{}^{\prime}}=0.74</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p1.2.m2.1d">italic_m italic_i italic_n italic_W italic_E italic_S start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT = 0.74</annotation></semantics></math>. The detailed simulations of FUWS on DB in Table LABEL:tab:initDB has been shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4" title="Example Simulation">Example Simulation</a> where we compared the value of <math alttext="wExpSup^{cap}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p1.3.m3.1"><semantics id="sectionx4.p1.3.m3.1a"><mrow id="sectionx4.p1.3.m3.1.1" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.2" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.1" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.3" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.1a" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.4" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.1b" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.5" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.1c" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.6" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.1d" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.7" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.1e" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.cmml"><mi id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.2" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.cmml"><mi id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.2" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.1" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.3" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.1a" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.4" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p1.3.m3.1b"><apply id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1"><times id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.2">𝑤</ci><ci id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.3">𝐸</ci><ci id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.4">𝑥</ci><ci id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.5.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.5">𝑝</ci><ci id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.6.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.6">𝑆</ci><ci id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.7.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.7">𝑢</ci><apply id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.1.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8">superscript</csymbol><ci id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.2.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.2">𝑝</ci><apply id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3"><times id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.1.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.1"></times><ci id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.2.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.3.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.4.cmml" xref="sectionx4.p1.3.m3.1.1.8.3.4">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p1.3.m3.1c">wExpSup^{cap}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p1.3.m3.1d">italic_w italic_E italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for a sequence with <math alttext="minWES^{{}^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p1.4.m4.1"><semantics id="sectionx4.p1.4.m4.1a"><mrow id="sectionx4.p1.4.m4.1.1" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.2" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.1" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.3" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.1a" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.4" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.4.cmml">n</mi><mo id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.1b" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.5" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.5.cmml">W</mi><mo id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.1c" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.6" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.6.cmml">E</mi><mo id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.1d" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.cmml"><mi id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.2" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.2.cmml">S</mi><msup id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.3" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.3.cmml"><mi id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.3a" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.3.cmml"></mi><mo id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.3.1" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.3.1.cmml">′</mo></msup></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p1.4.m4.1b"><apply id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1"><times id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.2">𝑚</ci><ci id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.3">𝑖</ci><ci id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.4">𝑛</ci><ci id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.5.cmml" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.5">𝑊</ci><ci id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.6.cmml" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.6">𝐸</ci><apply id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.cmml" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.1.cmml" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7">superscript</csymbol><ci id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.2.cmml" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.2">𝑆</ci><apply id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.3.cmml" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.3"><ci id="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.3.1.cmml" xref="sectionx4.p1.4.m4.1.1.7.3.1">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p1.4.m4.1c">minWES^{{}^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p1.4.m4.1d">italic_m italic_i italic_n italic_W italic_E italic_S start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to find out the candidates of frequent and semi-frequent sequences together. The semi-frequent sequences will be used in our incremental techniques later. </div> <figure class="ltx_figure" id="sectionx4.fig1"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1">\includegraphics</div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> [width=]figs/projection_flow.pdf </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering">Figure \thefigure: FUWS simulation for Initial Database, DB in Table LABEL:tab:initDB</figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="sectionx4.p2"> FUWS algorithm processes DB in the way that has been described in Algorithm <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx3" title="Pseudo-codes of Algorithms">Pseudo-codes of Algorithms</a>. The preprocessed database has been shown as pDB in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4" title="Example Simulation">Example Simulation</a>. The FUWS algorithm uses pDB to find the potential candidates. An item is called s-extendable (or i-extendable) when the the value of <math alttext="wExpSup^{cap}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.1.m1.1"><semantics id="sectionx4.p2.1.m1.1a"><mrow id="sectionx4.p2.1.m1.1.1" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.2" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.1" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.3" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.1a" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.4" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.1b" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.5" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.1c" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.6" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.1d" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.7" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.1e" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.cmml"><mi id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.2" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.cmml"><mi id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.2" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.1" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.3" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.1a" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.4" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.1.m1.1b"><apply id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1"><times id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.2">𝑤</ci><ci id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.3">𝐸</ci><ci id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.4">𝑥</ci><ci id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.5.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.5">𝑝</ci><ci id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.6.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.6">𝑆</ci><ci id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.7.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.7">𝑢</ci><apply id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.1.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8">superscript</csymbol><ci id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.2.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.2">𝑝</ci><apply id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3"><times id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.1.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.1"></times><ci id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.2.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.3.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.4.cmml" xref="sectionx4.p2.1.m1.1.1.8.3.4">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.1.m1.1c">wExpSup^{cap}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.1.m1.1d">italic_w italic_E italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for the sequence extension (or itemset extension) of a prefix by that item satisfies the threshold <math alttext="minWES^{{}^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.2.m2.1"><semantics id="sectionx4.p2.2.m2.1a"><mrow id="sectionx4.p2.2.m2.1.1" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.2" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.1" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.3" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.1a" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.4" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.4.cmml">n</mi><mo id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.1b" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.5" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.5.cmml">W</mi><mo id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.1c" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.6" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.6.cmml">E</mi><mo id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.1d" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.cmml"><mi id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.2" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.2.cmml">S</mi><msup id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.3" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.3.cmml"><mi id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.3a" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.3.cmml"></mi><mo id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.3.1" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.3.1.cmml">′</mo></msup></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.2.m2.1b"><apply id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1"><times id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.2">𝑚</ci><ci id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.3">𝑖</ci><ci id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.4">𝑛</ci><ci id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.5.cmml" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.5">𝑊</ci><ci id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.6.cmml" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.6">𝐸</ci><apply id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.cmml" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.1.cmml" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7">superscript</csymbol><ci id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.2.cmml" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.2">𝑆</ci><apply id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.3.cmml" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.3"><ci id="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.3.1.cmml" xref="sectionx4.p2.2.m2.1.1.7.3.1">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.2.m2.1c">minWES^{{}^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.2.m2.1d">italic_m italic_i italic_n italic_W italic_E italic_S start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. First of all, it finds out extendable items considering the prefix pattern which is empty initially. Thus the resulting super sequences are <math alttext="\textless{}(a)\textgreater{}:2.24,\textless{}(b)\textgreater{}:1.40,\textless{% }(c)\textgreater{}:1.80" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.3.m3.8"><semantics id="sectionx4.p2.3.m3.8a"><mrow id="sectionx4.p2.3.m3.8.8" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.cmml"><mrow id="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.1" xref="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.1.1.2" xref="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.3.m3.1.1" xref="sectionx4.p2.3.m3.1.1.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mo id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.5" rspace="0.278em" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.5.cmml">:</mo><mrow id="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1" xref="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.2.cmml"><mn id="sectionx4.p2.3.m3.3.3" xref="sectionx4.p2.3.m3.3.3.cmml">2.24</mn><mo id="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.2" xref="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.2.cmml">,</mo><mrow id="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1" xref="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.1.2" xref="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.3.m3.2.2" xref="sectionx4.p2.3.m3.2.2.cmml">b</mi><mo id="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow></mrow><mo id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.6" rspace="0.278em" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.6.cmml">:</mo><mrow id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.2.cmml"><mn id="sectionx4.p2.3.m3.5.5" xref="sectionx4.p2.3.m3.5.5.cmml">1.40</mn><mo id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.2" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.2.cmml">,</mo><mrow id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.1" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.1.1.2" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.3.m3.4.4" xref="sectionx4.p2.3.m3.4.4.cmml">c</mi><mo id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow></mrow><mo id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.7" rspace="0.278em" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.7.cmml">:</mo><mn id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.8" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.8.cmml">1.80</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.3.m3.8b"><apply id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8"><and id="sectionx4.p2.3.m3.8.8a.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8"></and><apply id="sectionx4.p2.3.m3.8.8b.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8"><ci id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.5.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.5">:</ci><apply id="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.6.6.1.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.1.1">𝑎</ci></apply><list id="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1"><cn id="sectionx4.p2.3.m3.3.3.cmml" type="float" xref="sectionx4.p2.3.m3.3.3">2.24</cn><apply id="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.1.1.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.2.2">𝑏</ci></apply></list></apply><apply id="sectionx4.p2.3.m3.8.8c.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8"><ci id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.6.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.6">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4.p2.3.m3.7.7.2.cmml" id="sectionx4.p2.3.m3.8.8d.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8"></share><list id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.2.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1"><cn id="sectionx4.p2.3.m3.5.5.cmml" type="float" xref="sectionx4.p2.3.m3.5.5">1.40</cn><apply id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.1.1.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p2.3.m3.4.4.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.4.4">𝑐</ci></apply></list></apply><apply id="sectionx4.p2.3.m3.8.8e.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8"><ci id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.7.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.7">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4.p2.3.m3.8.8.3.cmml" id="sectionx4.p2.3.m3.8.8f.cmml" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8"></share><cn id="sectionx4.p2.3.m3.8.8.8.cmml" type="float" xref="sectionx4.p2.3.m3.8.8.8">1.80</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.3.m3.8c">\textless{}(a)\textgreater{}:2.24,\textless{}(b)\textgreater{}:1.40,\textless{% }(c)\textgreater{}:1.80</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.3.m3.8d">< ( italic_a ) > : 2.24 , < ( italic_b ) > : 1.40 , < ( italic_c ) > : 1.80</annotation></semantics></math> where the real numbers associated with each item denotes the value of <math alttext="wExpSup^{cap}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.4.m4.1"><semantics id="sectionx4.p2.4.m4.1a"><mrow id="sectionx4.p2.4.m4.1.1" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.2" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.2.cmml">w</mi><mo id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.1" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.3" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.3.cmml">E</mi><mo id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.1a" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.4" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.4.cmml">x</mi><mo id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.1b" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.5" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.5.cmml">p</mi><mo id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.1c" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.6" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.6.cmml">S</mi><mo id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.1d" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.7" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.1e" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.cmml"><mi id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.2" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.2.cmml">p</mi><mrow id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.cmml"><mi id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.2" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.1" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.3" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.1a" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.4" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.4.cmml">p</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.4.m4.1b"><apply id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1"><times id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.2">𝑤</ci><ci id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.3">𝐸</ci><ci id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.4">𝑥</ci><ci id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.5.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.5">𝑝</ci><ci id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.6.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.6">𝑆</ci><ci id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.7.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.7">𝑢</ci><apply id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.1.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8">superscript</csymbol><ci id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.2.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.2">𝑝</ci><apply id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3"><times id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.1.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.1"></times><ci id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.2.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.2">𝑐</ci><ci id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.3.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.4.cmml" xref="sectionx4.p2.4.m4.1.1.8.3.4">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.4.m4.1c">wExpSup^{cap}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.4.m4.1d">italic_w italic_E italic_x italic_p italic_S italic_u italic_p start_POSTSUPERSCRIPT italic_c italic_a italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> for the respective super patterns. It projects the database recursively while considering newly generated super pattern as prefix pattern and finds out extendable items following the same process. In Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4" title="Example Simulation">Example Simulation</a>, an edge label indicates an extendable item and the edge type indicates the extension type such that solid lines are for s-extensions and dashed lines are for i-extensions. In this example, FUWS algorithm considers <math alttext="\textless{}(a)\textgreater{}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.5.m5.2"><semantics id="sectionx4.p2.5.m5.2a"><mrow id="sectionx4.p2.5.m5.2.2.1" xref="sectionx4.p2.5.m5.2.2.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.5.m5.2.2.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.5.m5.2.2.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.5.m5.2.2.1.1.2" xref="sectionx4.p2.5.m5.2.2.2.cmml"><mo id="sectionx4.p2.5.m5.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.5.m5.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.5.m5.1.1" xref="sectionx4.p2.5.m5.1.1.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.5.m5.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.5.m5.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.5.m5.2.2.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.5.m5.2.2.2.1.cmml">></mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.5.m5.2b"><apply id="sectionx4.p2.5.m5.2.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.5.m5.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.5.m5.2.2.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.5.m5.2.2.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.5.m5.1.1">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.5.m5.2c">\textless{}(a)\textgreater{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.5.m5.2d">< ( italic_a ) ></annotation></semantics></math> as first prefix pattern and it projects pDB accordingly. After that, the algorithm finds i-extendable items which is <math alttext="\textless{}(\_c)\textgreater{}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.6.m6.1"><semantics id="sectionx4.p2.6.m6.1a"><mrow id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">_</mi><mo id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></mrow><mo id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.6.m6.1b"><apply id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1"><times id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.2">_</ci><ci id="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p2.6.m6.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.6.m6.1c">\textless{}(\_c)\textgreater{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.6.m6.1d">< ( _ italic_c ) ></annotation></semantics></math> and s-extendable items for the prefix pattern <math alttext="\textless{}(a)\textgreater{}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.7.m7.2"><semantics id="sectionx4.p2.7.m7.2a"><mrow id="sectionx4.p2.7.m7.2.2.1" xref="sectionx4.p2.7.m7.2.2.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.7.m7.2.2.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.7.m7.2.2.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.7.m7.2.2.1.1.2" xref="sectionx4.p2.7.m7.2.2.2.cmml"><mo id="sectionx4.p2.7.m7.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.7.m7.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.7.m7.1.1" xref="sectionx4.p2.7.m7.1.1.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.7.m7.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.7.m7.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.7.m7.2.2.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.7.m7.2.2.2.1.cmml">></mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.7.m7.2b"><apply id="sectionx4.p2.7.m7.2.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.7.m7.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.7.m7.2.2.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.7.m7.2.2.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.7.m7.1.1">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.7.m7.2c">\textless{}(a)\textgreater{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.7.m7.2d">< ( italic_a ) ></annotation></semantics></math> which are <math alttext="\textless{}(a)\textgreater{},\textless{}(b)\textgreater{}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.8.m8.4"><semantics id="sectionx4.p2.8.m8.4a"><mrow id="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2" xref="sectionx4.p2.8.m8.4.4.3.cmml"><mrow id="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.1" xref="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.2" xref="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.8.m8.1.1" xref="sectionx4.p2.8.m8.1.1.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.1.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mo id="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.3" xref="sectionx4.p2.8.m8.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.1" xref="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.2" xref="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.8.m8.2.2" xref="sectionx4.p2.8.m8.2.2.cmml">b</mi><mo id="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.2.1.cmml">></mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.8.m8.4b"><list id="sectionx4.p2.8.m8.4.4.3.cmml" xref="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2"><apply id="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.8.m8.3.3.1.1.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p2.8.m8.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.8.m8.1.1">𝑎</ci></apply><apply id="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.8.m8.4.4.2.2.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p2.8.m8.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.8.m8.2.2">𝑏</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.8.m8.4c">\textless{}(a)\textgreater{},\textless{}(b)\textgreater{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.8.m8.4d">< ( italic_a ) > , < ( italic_b ) ></annotation></semantics></math> and <math alttext="\textless{}(c)\textgreater{}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.9.m9.2"><semantics id="sectionx4.p2.9.m9.2a"><mrow id="sectionx4.p2.9.m9.2.2.1" xref="sectionx4.p2.9.m9.2.2.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.9.m9.2.2.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.9.m9.2.2.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.9.m9.2.2.1.1.2" xref="sectionx4.p2.9.m9.2.2.2.cmml"><mo id="sectionx4.p2.9.m9.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.9.m9.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.9.m9.1.1" xref="sectionx4.p2.9.m9.1.1.cmml">c</mi><mo id="sectionx4.p2.9.m9.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.9.m9.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.9.m9.2.2.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.9.m9.2.2.2.1.cmml">></mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.9.m9.2b"><apply id="sectionx4.p2.9.m9.2.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.9.m9.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.9.m9.2.2.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.9.m9.2.2.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p2.9.m9.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.9.m9.1.1">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.9.m9.2c">\textless{}(c)\textgreater{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.9.m9.2d">< ( italic_c ) ></annotation></semantics></math>. Consequently, newly generated super patterns are <math alttext="\textless{}(a)(a)\textgreater{}:2.25,\textless{}(a)(b)\textgreater{}:1.08,% \textless{}(a)(c)\textgreater{}:0.90" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.10.m10.11"><semantics id="sectionx4.p2.10.m10.11a"><mrow id="sectionx4.p2.10.m10.11.11" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.cmml"><mrow id="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1" xref="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1" xref="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.2.2" xref="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.10.m10.1.1" xref="sectionx4.p2.10.m10.1.1.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.1" xref="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.3.2" xref="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.10.m10.2.2" xref="sectionx4.p2.10.m10.2.2.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mo id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.5" rspace="0.278em" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.5.cmml">:</mo><mrow id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.2.cmml"><mn id="sectionx4.p2.10.m10.5.5" xref="sectionx4.p2.10.m10.5.5.cmml">2.25</mn><mo id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.2" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.2.cmml">,</mo><mrow id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.2.2" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.10.m10.3.3" xref="sectionx4.p2.10.m10.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.1" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.3.2" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.10.m10.4.4" xref="sectionx4.p2.10.m10.4.4.cmml">b</mi><mo id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow></mrow><mo id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.6" rspace="0.278em" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.6.cmml">:</mo><mrow id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.2.cmml"><mn id="sectionx4.p2.10.m10.8.8" xref="sectionx4.p2.10.m10.8.8.cmml">1.08</mn><mo id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.2" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.2.cmml">,</mo><mrow id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.2.2" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.10.m10.6.6" xref="sectionx4.p2.10.m10.6.6.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.1" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.3.2" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.10.m10.7.7" xref="sectionx4.p2.10.m10.7.7.cmml">c</mi><mo id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow></mrow><mo id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.7" rspace="0.278em" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.7.cmml">:</mo><mn id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.8" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.8.cmml">0.90</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.10.m10.11b"><apply id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11"><and id="sectionx4.p2.10.m10.11.11a.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11"></and><apply id="sectionx4.p2.10.m10.11.11b.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11"><ci id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.5.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.5">:</ci><apply id="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1"><times id="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.9.9.1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p2.10.m10.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.1.1">𝑎</ci><ci id="sectionx4.p2.10.m10.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.2.2">𝑎</ci></apply></apply><list id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1"><cn id="sectionx4.p2.10.m10.5.5.cmml" type="float" xref="sectionx4.p2.10.m10.5.5">2.25</cn><apply id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1"><times id="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p2.10.m10.3.3.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx4.p2.10.m10.4.4.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.4.4">𝑏</ci></apply></apply></list></apply><apply id="sectionx4.p2.10.m10.11.11c.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11"><ci id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.6.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.6">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4.p2.10.m10.10.10.2.cmml" id="sectionx4.p2.10.m10.11.11d.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11"></share><list id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.2.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1"><cn id="sectionx4.p2.10.m10.8.8.cmml" type="float" xref="sectionx4.p2.10.m10.8.8">1.08</cn><apply id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1"><times id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p2.10.m10.6.6.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.6.6">𝑎</ci><ci id="sectionx4.p2.10.m10.7.7.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.7.7">𝑐</ci></apply></apply></list></apply><apply id="sectionx4.p2.10.m10.11.11e.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11"><ci id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.7.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.7">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4.p2.10.m10.11.11.3.cmml" id="sectionx4.p2.10.m10.11.11f.cmml" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11"></share><cn id="sectionx4.p2.10.m10.11.11.8.cmml" type="float" xref="sectionx4.p2.10.m10.11.11.8">0.90</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.10.m10.11c">\textless{}(a)(a)\textgreater{}:2.25,\textless{}(a)(b)\textgreater{}:1.08,% \textless{}(a)(c)\textgreater{}:0.90</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.10.m10.11d">< ( italic_a ) ( italic_a ) > : 2.25 , < ( italic_a ) ( italic_b ) > : 1.08 , < ( italic_a ) ( italic_c ) > : 0.90</annotation></semantics></math> and <math alttext="\textless{}(ac)\textgreater{}:1.13" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.11.m11.1"><semantics id="sectionx4.p2.11.m11.1a"><mrow id="sectionx4.p2.11.m11.1.1" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">c</mi></mrow><mo id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mo id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.2" rspace="0.278em" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.2.cmml">:</mo><mn id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.3" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.3.cmml">1.13</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.11.m11.1b"><apply id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1"><ci id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.2">:</ci><apply id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1"><times id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑐</ci></apply></apply><cn id="sectionx4.p2.11.m11.1.1.3.cmml" type="float" xref="sectionx4.p2.11.m11.1.1.3">1.13</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.11.m11.1c">\textless{}(ac)\textgreater{}:1.13</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.11.m11.1d">< ( italic_a italic_c ) > : 1.13</annotation></semantics></math>. Then again it considers each super patterns as prefix pattern individually and tries to find out longer patterns by following the same process recursively. In this example, as the algorithm does not find any extendable item for these patterns, so it backtracks to project the database considering <math alttext="\textless{}(b)\textgreater{}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.12.m12.2"><semantics id="sectionx4.p2.12.m12.2a"><mrow id="sectionx4.p2.12.m12.2.2.1" xref="sectionx4.p2.12.m12.2.2.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.12.m12.2.2.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.12.m12.2.2.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.12.m12.2.2.1.1.2" xref="sectionx4.p2.12.m12.2.2.2.cmml"><mo id="sectionx4.p2.12.m12.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.12.m12.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.12.m12.1.1" xref="sectionx4.p2.12.m12.1.1.cmml">b</mi><mo id="sectionx4.p2.12.m12.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.12.m12.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.12.m12.2.2.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.12.m12.2.2.2.1.cmml">></mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.12.m12.2b"><apply id="sectionx4.p2.12.m12.2.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.12.m12.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.12.m12.2.2.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.12.m12.2.2.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p2.12.m12.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.12.m12.1.1">𝑏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.12.m12.2c">\textless{}(b)\textgreater{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.12.m12.2d">< ( italic_b ) ></annotation></semantics></math> as next 1-length prefix pattern. Again, there is no extendable items for <math alttext="\textless{}(b)\textgreater{}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.13.m13.2"><semantics id="sectionx4.p2.13.m13.2a"><mrow id="sectionx4.p2.13.m13.2.2.1" xref="sectionx4.p2.13.m13.2.2.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.13.m13.2.2.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.13.m13.2.2.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.13.m13.2.2.1.1.2" xref="sectionx4.p2.13.m13.2.2.2.cmml"><mo id="sectionx4.p2.13.m13.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.13.m13.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.13.m13.1.1" xref="sectionx4.p2.13.m13.1.1.cmml">b</mi><mo id="sectionx4.p2.13.m13.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.13.m13.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.13.m13.2.2.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.13.m13.2.2.2.1.cmml">></mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.13.m13.2b"><apply id="sectionx4.p2.13.m13.2.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.13.m13.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.13.m13.2.2.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.13.m13.2.2.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p2.13.m13.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.13.m13.1.1">𝑏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.13.m13.2c">\textless{}(b)\textgreater{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.13.m13.2d">< ( italic_b ) ></annotation></semantics></math>. Then it takes <math alttext="\textless{}(c)\textgreater{}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.14.m14.2"><semantics id="sectionx4.p2.14.m14.2a"><mrow id="sectionx4.p2.14.m14.2.2.1" xref="sectionx4.p2.14.m14.2.2.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.14.m14.2.2.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.14.m14.2.2.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.14.m14.2.2.1.1.2" xref="sectionx4.p2.14.m14.2.2.2.cmml"><mo id="sectionx4.p2.14.m14.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.14.m14.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.14.m14.1.1" xref="sectionx4.p2.14.m14.1.1.cmml">c</mi><mo id="sectionx4.p2.14.m14.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.14.m14.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.14.m14.2.2.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.14.m14.2.2.2.1.cmml">></mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.14.m14.2b"><apply id="sectionx4.p2.14.m14.2.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.14.m14.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.14.m14.2.2.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.14.m14.2.2.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p2.14.m14.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.14.m14.1.1">𝑐</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.14.m14.2c">\textless{}(c)\textgreater{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.14.m14.2d">< ( italic_c ) ></annotation></semantics></math> as next prefix pattern and finds out only one extendable item which is <math alttext="\textless{}(a)\textgreater{}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.15.m15.2"><semantics id="sectionx4.p2.15.m15.2a"><mrow id="sectionx4.p2.15.m15.2.2.1" xref="sectionx4.p2.15.m15.2.2.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.15.m15.2.2.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.15.m15.2.2.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.15.m15.2.2.1.1.2" xref="sectionx4.p2.15.m15.2.2.2.cmml"><mo id="sectionx4.p2.15.m15.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.15.m15.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.15.m15.1.1" xref="sectionx4.p2.15.m15.1.1.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.15.m15.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.15.m15.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.15.m15.2.2.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.15.m15.2.2.2.1.cmml">></mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.15.m15.2b"><apply id="sectionx4.p2.15.m15.2.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.15.m15.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.15.m15.2.2.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.15.m15.2.2.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p2.15.m15.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.15.m15.1.1">𝑎</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.15.m15.2c">\textless{}(a)\textgreater{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.15.m15.2d">< ( italic_a ) ></annotation></semantics></math>. The algorithm repeats the same process for <math alttext="\textless{}(c)(a)\textgreater{}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.16.m16.3"><semantics id="sectionx4.p2.16.m16.3a"><mrow id="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1" xref="sectionx4.p2.16.m16.3.3.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.16.m16.3.3.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1" xref="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.2.2" xref="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.16.m16.1.1" xref="sectionx4.p2.16.m16.1.1.cmml">c</mi><mo id="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.1" xref="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.3.2" xref="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.16.m16.2.2" xref="sectionx4.p2.16.m16.2.2.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.16.m16.3.3.2.1.cmml">></mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.16.m16.3b"><apply id="sectionx4.p2.16.m16.3.3.2.cmml" xref="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.16.m16.3.3.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.2">expectation</csymbol><apply id="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1"><times id="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.16.m16.3.3.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p2.16.m16.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.16.m16.1.1">𝑐</ci><ci id="sectionx4.p2.16.m16.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.16.m16.2.2">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.16.m16.3c">\textless{}(c)(a)\textgreater{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.16.m16.3d">< ( italic_c ) ( italic_a ) ></annotation></semantics></math>. Also no extendable items are found for prefix pattern <math alttext="\textless{}(c)(a)\textgreater{}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.17.m17.3"><semantics id="sectionx4.p2.17.m17.3a"><mrow id="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1" xref="sectionx4.p2.17.m17.3.3.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.17.m17.3.3.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1" xref="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.2.2" xref="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.17.m17.1.1" xref="sectionx4.p2.17.m17.1.1.cmml">c</mi><mo id="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.1" xref="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.3.2" xref="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.17.m17.2.2" xref="sectionx4.p2.17.m17.2.2.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.17.m17.3.3.2.1.cmml">></mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.17.m17.3b"><apply id="sectionx4.p2.17.m17.3.3.2.cmml" xref="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.17.m17.3.3.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.2">expectation</csymbol><apply id="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1"><times id="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.17.m17.3.3.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p2.17.m17.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.17.m17.1.1">𝑐</ci><ci id="sectionx4.p2.17.m17.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.17.m17.2.2">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.17.m17.3c">\textless{}(c)(a)\textgreater{}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.17.m17.3d">< ( italic_c ) ( italic_a ) ></annotation></semantics></math>. As there is no unexplored patterns, the recursive process terminates. It stores all potential candidate patterns into USeqTrie. To remove false positive patterns from candidate pattern set, the algorithm scans the database DB to calculate the actual weighted expected support WES for all candidates. Finally, it finds out frequent and semi-frequent sequences by comparing the values of WES with minWES and <math alttext="minWES^{{}^{\prime}}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.18.m18.1"><semantics id="sectionx4.p2.18.m18.1a"><mrow id="sectionx4.p2.18.m18.1.1" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.2" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.2.cmml">m</mi><mo id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.1" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.3" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.3.cmml">i</mi><mo id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.1a" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.4" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.4.cmml">n</mi><mo id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.1b" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.5" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.5.cmml">W</mi><mo id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.1c" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.6" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.6.cmml">E</mi><mo id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.1d" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.cmml"><mi id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.2" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.2.cmml">S</mi><msup id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.3" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.3.cmml"><mi id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.3a" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.3.cmml"></mi><mo id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.3.1" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.3.1.cmml">′</mo></msup></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.18.m18.1b"><apply id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1"><times id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.2">𝑚</ci><ci id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.3">𝑖</ci><ci id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.4">𝑛</ci><ci id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.5.cmml" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.5">𝑊</ci><ci id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.6.cmml" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.6">𝐸</ci><apply id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.cmml" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.1.cmml" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7">superscript</csymbol><ci id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.2.cmml" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.2">𝑆</ci><apply id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.3.cmml" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.3"><ci id="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.3.1.cmml" xref="sectionx4.p2.18.m18.1.1.7.3.1">′</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.18.m18.1c">minWES^{{}^{\prime}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.18.m18.1d">italic_m italic_i italic_n italic_W italic_E italic_S start_POSTSUPERSCRIPT start_FLOATSUPERSCRIPT ′ end_FLOATSUPERSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The resultant FS: <math alttext="\textless{}(a)\textgreater{}:2.24,\textless{}(b)\textgreater{}:1.4,\textless{}% (c)\textgreater{}:1.8" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.19.m19.8"><semantics id="sectionx4.p2.19.m19.8a"><mrow id="sectionx4.p2.19.m19.8.8" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.cmml"><mrow id="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.1" xref="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.1.1.2" xref="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.19.m19.1.1" xref="sectionx4.p2.19.m19.1.1.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mo id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.5" rspace="0.278em" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.5.cmml">:</mo><mrow id="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1" xref="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.2.cmml"><mn id="sectionx4.p2.19.m19.3.3" xref="sectionx4.p2.19.m19.3.3.cmml">2.24</mn><mo id="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.2" xref="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.2.cmml">,</mo><mrow id="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.1" xref="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.1.1.2" xref="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.19.m19.2.2" xref="sectionx4.p2.19.m19.2.2.cmml">b</mi><mo id="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow></mrow><mo id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.6" rspace="0.278em" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.6.cmml">:</mo><mrow id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.2.cmml"><mn id="sectionx4.p2.19.m19.5.5" xref="sectionx4.p2.19.m19.5.5.cmml">1.4</mn><mo id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.2" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.2.cmml">,</mo><mrow id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.1" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.1.1.2" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.19.m19.4.4" xref="sectionx4.p2.19.m19.4.4.cmml">c</mi><mo id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow></mrow><mo id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.7" rspace="0.278em" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.7.cmml">:</mo><mn id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.8" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.8.cmml">1.8</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.19.m19.8b"><apply id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8"><and id="sectionx4.p2.19.m19.8.8a.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8"></and><apply id="sectionx4.p2.19.m19.8.8b.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8"><ci id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.5.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.5">:</ci><apply id="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.6.6.1.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p2.19.m19.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.1.1">𝑎</ci></apply><list id="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1"><cn id="sectionx4.p2.19.m19.3.3.cmml" type="float" xref="sectionx4.p2.19.m19.3.3">2.24</cn><apply id="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.1.1.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p2.19.m19.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.2.2">𝑏</ci></apply></list></apply><apply id="sectionx4.p2.19.m19.8.8c.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8"><ci id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.6.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.6">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4.p2.19.m19.7.7.2.cmml" id="sectionx4.p2.19.m19.8.8d.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8"></share><list id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.2.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1"><cn id="sectionx4.p2.19.m19.5.5.cmml" type="float" xref="sectionx4.p2.19.m19.5.5">1.4</cn><apply id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.1.1.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p2.19.m19.4.4.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.4.4">𝑐</ci></apply></list></apply><apply id="sectionx4.p2.19.m19.8.8e.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8"><ci id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.7.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.7">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4.p2.19.m19.8.8.3.cmml" id="sectionx4.p2.19.m19.8.8f.cmml" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8"></share><cn id="sectionx4.p2.19.m19.8.8.8.cmml" type="float" xref="sectionx4.p2.19.m19.8.8.8">1.8</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.19.m19.8c">\textless{}(a)\textgreater{}:2.24,\textless{}(b)\textgreater{}:1.4,\textless{}% (c)\textgreater{}:1.8</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.19.m19.8d">< ( italic_a ) > : 2.24 , < ( italic_b ) > : 1.4 , < ( italic_c ) > : 1.8</annotation></semantics></math> and SFS: <math alttext="\textless{}(a)(a)\textgreater{}:1.03,\textless{}(a,c)\textgreater{}:1.02" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p2.20.m20.7"><semantics id="sectionx4.p2.20.m20.7a"><mrow id="sectionx4.p2.20.m20.7.7" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.cmml"><mrow id="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1" xref="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1" xref="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.2.2" xref="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.20.m20.1.1" xref="sectionx4.p2.20.m20.1.1.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.1" xref="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.3.2" xref="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.20.m20.2.2" xref="sectionx4.p2.20.m20.2.2.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mo id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.4" rspace="0.278em" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.4.cmml">:</mo><mrow id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.2.cmml"><mn id="sectionx4.p2.20.m20.5.5" xref="sectionx4.p2.20.m20.5.5.cmml">1.03</mn><mo id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.2" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.2.cmml">,</mo><mrow id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.1" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.1.1.2" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p2.20.m20.3.3" xref="sectionx4.p2.20.m20.3.3.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.1.1.2.2" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="sectionx4.p2.20.m20.4.4" xref="sectionx4.p2.20.m20.4.4.cmml">c</mi><mo id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow></mrow><mo id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.5" rspace="0.278em" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.5.cmml">:</mo><mn id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.6" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.6.cmml">1.02</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p2.20.m20.7b"><apply id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7"><and id="sectionx4.p2.20.m20.7.7a.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7"></and><apply id="sectionx4.p2.20.m20.7.7b.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7"><ci id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.4.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.4">:</ci><apply id="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1"><times id="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.6.6.1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p2.20.m20.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.1.1">𝑎</ci><ci id="sectionx4.p2.20.m20.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.2.2">𝑎</ci></apply></apply><list id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.2.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1"><cn id="sectionx4.p2.20.m20.5.5.cmml" type="float" xref="sectionx4.p2.20.m20.5.5">1.03</cn><apply id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.1.2">expectation</csymbol><interval closure="open" id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.1.1.1.1.2"><ci id="sectionx4.p2.20.m20.3.3.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.3.3">𝑎</ci><ci id="sectionx4.p2.20.m20.4.4.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.4.4">𝑐</ci></interval></apply></list></apply><apply id="sectionx4.p2.20.m20.7.7c.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7"><ci id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.5.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.5">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4.p2.20.m20.7.7.2.cmml" id="sectionx4.p2.20.m20.7.7d.cmml" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7"></share><cn id="sectionx4.p2.20.m20.7.7.6.cmml" type="float" xref="sectionx4.p2.20.m20.7.7.6">1.02</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p2.20.m20.7c">\textless{}(a)(a)\textgreater{}:1.03,\textless{}(a,c)\textgreater{}:1.02</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p2.20.m20.7d">< ( italic_a ) ( italic_a ) > : 1.03 , < ( italic_a , italic_c ) > : 1.02</annotation></semantics></math>. </div> <figure class="ltx_table" id="sectionx4.4"> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="sectionx4.2.2"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="sectionx4.2.2.3.1"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.2.2.3.1.1">Increment</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.2.2.3.1.2">Id</th> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.2.2.3.1.3">Sequence</th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="sectionx4.1.1.1"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_tt" id="sectionx4.1.1.1.1"> \multirow4*<math alttext="\Delta DB_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1a"><mrow id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.1" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.1a" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.4" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.4.2" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.4.2.cmml">B</mi><mn id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.4.3" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1b"><apply id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1"><times id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.2">Δ</ci><ci id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.3">𝐷</ci><apply id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.4.2">𝐵</ci><cn id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="sectionx4.1.1.1.1.m1.1.1.4.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1c">\Delta DB_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.1.1.1.1.m1.1d">roman_Δ italic_D italic_B start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_tt" id="sectionx4.1.1.1.2">7</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_tt" id="sectionx4.1.1.1.3">(c:0.6, a:0.7)(a: 0.8)(f:0.9, a:0.6)</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="sectionx4.2.2.4.1"> <td class="ltx_td ltx_border_l ltx_border_r" id="sectionx4.2.2.4.1.1"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.2.2.4.1.2">8</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.2.2.4.1.3">(c:0.6, a:0.4)(c:0.8)(a:0.6)(f:0.5)(g:0.4, c:0.7)</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="sectionx4.2.2.5.2"> <td class="ltx_td ltx_border_l ltx_border_r" id="sectionx4.2.2.5.2.1"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.2.2.5.2.2">9</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.2.2.5.2.3">(f:0.8)(a:0.3)(c:0.9)(d:0.9)(f:0.5, a:0.7, d:0.4)</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="sectionx4.2.2.6.3"> <td class="ltx_td ltx_border_l ltx_border_r" id="sectionx4.2.2.6.3.1"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.2.2.6.3.2">10</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.2.2.6.3.3">(c:0.7)(a:0.1)(a:0.8, c:0.6, d:0.8)</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="sectionx4.2.2.2"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_tt" id="sectionx4.2.2.2.1"> \multirow3* <math alttext="\Delta DB_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1"><semantics id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1a"><mrow id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.1" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.3" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.1a" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.4" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.4.2" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.4.2.cmml">B</mi><mn id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.4.3" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1b"><apply id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1"><times id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.2">Δ</ci><ci id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.3">𝐷</ci><apply id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.4.2">𝐵</ci><cn id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="sectionx4.2.2.2.1.m1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1c">\Delta DB_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.2.2.2.1.m1.1d">roman_Δ italic_D italic_B start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_tt" id="sectionx4.2.2.2.2">11</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_tt" id="sectionx4.2.2.2.3">(f:0.1)(f:0.3, c:0.7)(a:0.9)(d:0.9)(f:0.2, g:0.1)</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="sectionx4.2.2.7.4"> <td class="ltx_td ltx_border_l ltx_border_r" id="sectionx4.2.2.7.4.1"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.2.2.7.4.2">12</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.2.2.7.4.3">(a:0.2, c:0.1)(b:0.8)(f:0.4, e:0.4)(g:0.1)(e:0.5, g:0.2)</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="sectionx4.2.2.8.5"> <td class="ltx_td ltx_border_b ltx_border_l ltx_border_r" id="sectionx4.2.2.8.5.1"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.2.2.8.5.2">13</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_b ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.2.2.8.5.3">(c:0.6)(a:0.9)(d:0.6)(e:0.6)(a:0.5, e:0.4, c:0.1)</td> </tr> </tbody> </table> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering">Table \thetable: Increments, <math alttext="\Delta DB_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.4.4.m1.1"><semantics id="sectionx4.4.4.m1.1b"><mrow id="sectionx4.4.4.m1.1.1" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.4.4.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="sectionx4.4.4.m1.1.1.1" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.4.4.m1.1.1.3" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx4.4.4.m1.1.1.1b" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx4.4.4.m1.1.1.4" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx4.4.4.m1.1.1.4.2" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1.4.2.cmml">B</mi><mi id="sectionx4.4.4.m1.1.1.4.3" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.4.4.m1.1c"><apply id="sectionx4.4.4.m1.1.1.cmml" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1"><times id="sectionx4.4.4.m1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.4.4.m1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1.2">Δ</ci><ci id="sectionx4.4.4.m1.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1.3">𝐷</ci><apply id="sectionx4.4.4.m1.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.4.4.m1.1.1.4.1.cmml" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx4.4.4.m1.1.1.4.2.cmml" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1.4.2">𝐵</ci><ci id="sectionx4.4.4.m1.1.1.4.3.cmml" xref="sectionx4.4.4.m1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.4.4.m1.1d">\Delta DB_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.4.4.m1.1e">roman_Δ italic_D italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> <figure class="ltx_table" id="sectionx4.33"> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="sectionx4.31.27"> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="sectionx4.31.27.28.1"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.31.27.28.1.1">Inc.</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" colspan="2" id="sectionx4.31.27.28.1.2">uWSInc</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" colspan="2" id="sectionx4.31.27.28.1.3">uWSInc+</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="sectionx4.7.3.3"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.5.1.1.1"> \multirow7* <math alttext="\Delta DB_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1"><semantics id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1a"><mrow id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.1" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.3" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.1a" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.4" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.4.2" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.4.2.cmml">B</mi><mn id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.4.3" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1b"><apply id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1"><times id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.2">Δ</ci><ci id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.3">𝐷</ci><apply id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.4.2">𝐵</ci><cn id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="sectionx4.5.1.1.1.m1.1.1.4.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1c">\Delta DB_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.5.1.1.1.m1.1d">roman_Δ italic_D italic_B start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.7.3.3.4"> \multirow5*FS:</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.6.2.2.2"><math alttext="<(a)>:4.56" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2"><semantics id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2a"><mrow id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.cmml"><mrow id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.1" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.2" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.6.2.2.2.m1.1.1" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mo id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.2" rspace="0.278em" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.2.cmml">:</mo><mn id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.3" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.3.cmml">4.56</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2b"><apply id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.cmml" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2"><ci id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.2.cmml" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.2">:</ci><apply id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.2.cmml" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.1.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.6.2.2.2.m1.1.1.cmml" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.1.1">𝑎</ci></apply><cn id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.3.cmml" type="float" xref="sectionx4.6.2.2.2.m1.2.2.3">4.56</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2c"><(a)>:4.56</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.6.2.2.2.m1.2d">< ( italic_a ) > : 4.56</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.7.3.3.5"> \multirow3*LFS:</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.7.3.3.3"><math alttext="<(a)>:2.32,<(c)>:2.7,<(d)>:1.53,<(f)>:1.98," class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8"><semantics id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8a"><mrow id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.1.1" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.7.3.3.3.m1.1.1" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow><mo id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.6" rspace="0.278em" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.6.cmml">:</mo><mrow id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.1" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.2.cmml"><mn id="sectionx4.7.3.3.3.m1.3.3" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.3.3.cmml">2.32</mn><mo id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.1.2" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.2.cmml">,</mo><mrow id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.1.1.1" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.7.3.3.3.m1.2.2" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.2.2.cmml">c</mi><mo id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.1.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.2.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow></mrow><mo id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.7" rspace="0.278em" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.7.cmml">:</mo><mrow id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.1" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.2.cmml"><mn id="sectionx4.7.3.3.3.m1.5.5" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.5.5.cmml">2.7</mn><mo id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.1.2" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.2.cmml">,</mo><mrow id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.1.1.1" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.1.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.7.3.3.3.m1.4.4" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.4.4.cmml">d</mi><mo id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.1.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.3.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow></mrow><mo id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.8" rspace="0.278em" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.8.cmml">:</mo><mrow id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.4.1" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.4.2.cmml"><mn id="sectionx4.7.3.3.3.m1.7.7" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.7.7.cmml">1.53</mn><mo id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.4.1.2" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.4.2.cmml">,</mo><mrow id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.4.1.1.1" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.4.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.4.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx4.7.3.3.3.m1.8.8.1.1.4.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow 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ltx_align_left ltx_border_r" id="sectionx4.8.4.4.1"><math alttext="<(a)(a)>:1.90" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.8.4.4.1.m1.3"><semantics id="sectionx4.8.4.4.1.m1.3a"><mrow id="sectionx4.8.4.4.1.m1.3.3" xref="sectionx4.8.4.4.1.m1.3.3.cmml"><mrow id="sectionx4.8.4.4.1.m1.3.3.1.1" xref="sectionx4.8.4.4.1.m1.3.3.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.8.4.4.1.m1.3.3.1.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.8.4.4.1.m1.3.3.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.8.4.4.1.m1.3.3.1.1.1" xref="sectionx4.8.4.4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.8.4.4.1.m1.3.3.1.1.1.2.2" xref="sectionx4.8.4.4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.8.4.4.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.8.4.4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.8.4.4.1.m1.1.1" xref="sectionx4.8.4.4.1.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.8.4.4.1.m1.3.3.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.8.4.4.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="sectionx4.8.4.4.1.m1.3.3.1.1.1.1" 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ltx_align_left ltx_border_r" id="sectionx4.9.5.5.2"><math alttext="<(a)(f)>:0.99,<(ac)>:0.97,<(c)(a)>:1.83," class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.9.5.5.2.m1.7"><semantics id="sectionx4.9.5.5.2.m1.7a"><mrow id="sectionx4.9.5.5.2.m1.7.7.1" xref="sectionx4.9.5.5.2.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.9.5.5.2.m1.7.7.1.1" xref="sectionx4.9.5.5.2.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.9.5.5.2.m1.7.7.1.1.1.1" xref="sectionx4.9.5.5.2.m1.7.7.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.9.5.5.2.m1.7.7.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.9.5.5.2.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.9.5.5.2.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="sectionx4.9.5.5.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.9.5.5.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2" xref="sectionx4.9.5.5.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.9.5.5.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.9.5.5.2.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.9.5.5.2.m1.1.1" xref="sectionx4.9.5.5.2.m1.1.1.cmml">a</mi><mo 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id="sectionx4.13.9.9.5"> \multirow2*FS:</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.13.9.9.2"><math alttext="<(a)>:4.56,<(a)(a)>:1.9,<(a,c)>:1.99," class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.13.9.9.2.m1.8"><semantics id="sectionx4.13.9.9.2.m1.8a"><mrow id="sectionx4.13.9.9.2.m1.8.8.1" xref="sectionx4.13.9.9.2.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.13.9.9.2.m1.8.8.1.1" xref="sectionx4.13.9.9.2.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.13.9.9.2.m1.8.8.1.1.1.1" xref="sectionx4.13.9.9.2.m1.8.8.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.13.9.9.2.m1.8.8.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.13.9.9.2.m1.8.8.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.13.9.9.2.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx4.13.9.9.2.m1.8.8.1.1.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.13.9.9.2.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.13.9.9.2.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.13.9.9.2.m1.1.1" xref="sectionx4.13.9.9.2.m1.1.1.cmml">a</mi><mo 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id="sectionx4.14.10.10.1.m1.8.8.2.2.cmml" xref="sectionx4.14.10.10.1.m1.8.8.2.1"><cn id="sectionx4.14.10.10.1.m1.4.4.cmml" type="float" xref="sectionx4.14.10.10.1.m1.4.4">4.50</cn><apply id="sectionx4.14.10.10.1.m1.8.8.2.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.14.10.10.1.m1.8.8.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.14.10.10.1.m1.8.8.2.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.14.10.10.1.m1.8.8.2.1.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="sectionx4.14.10.10.1.m1.8.8.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.14.10.10.1.m1.8.8.2.1.1.1.1"><times id="sectionx4.14.10.10.1.m1.8.8.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.14.10.10.1.m1.8.8.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.14.10.10.1.m1.2.2.cmml" xref="sectionx4.14.10.10.1.m1.2.2">𝑐</ci><ci id="sectionx4.14.10.10.1.m1.3.3.cmml" xref="sectionx4.14.10.10.1.m1.3.3">𝑎</ci></apply></apply></list></apply><apply id="sectionx4.14.10.10.1.m1.9.9c.cmml" xref="sectionx4.14.10.10.1.m1.9.9"><ci id="sectionx4.14.10.10.1.m1.9.9.6.cmml" xref="sectionx4.14.10.10.1.m1.9.9.6">:</ci><share 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xref="sectionx4.14.10.10.1.m1.9.9"></share><cn id="sectionx4.14.10.10.1.m1.9.9.8.cmml" type="float" xref="sectionx4.14.10.10.1.m1.9.9.8">1.98</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.14.10.10.1.m1.9c"><(c)>:4.50,<(c)(a)>:1.83,<(f)>:1.98</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.14.10.10.1.m1.9d">< ( italic_c ) > : 4.50 , < ( italic_c ) ( italic_a ) > : 1.83 , < ( italic_f ) > : 1.98</annotation></semantics></math></td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="sectionx4.16.12.12"> <th class="ltx_td ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r" id="sectionx4.16.12.12.3"></th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.16.12.12.4"> \multirow2*SFS:</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.15.11.11.1"> \multirow2*<math alttext="<(c)(a)>:1.4" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.15.11.11.1.m1.3"><semantics id="sectionx4.15.11.11.1.m1.3a"><mrow 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ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_t" id="sectionx4.16.12.12.2"><math alttext="<(c)(d)>:1.23,<(b)>:1.4,<(c)(f)>:1.25,<(d)>:1.53" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.16.12.12.2.m1.13"><semantics id="sectionx4.16.12.12.2.m1.13a"><mrow id="sectionx4.16.12.12.2.m1.13.13" xref="sectionx4.16.12.12.2.m1.13.13.cmml"><mrow id="sectionx4.16.12.12.2.m1.10.10.1.1" xref="sectionx4.16.12.12.2.m1.10.10.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.16.12.12.2.m1.10.10.1.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.16.12.12.2.m1.10.10.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.16.12.12.2.m1.10.10.1.1.1" xref="sectionx4.16.12.12.2.m1.10.10.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.16.12.12.2.m1.10.10.1.1.1.2.2" xref="sectionx4.16.12.12.2.m1.10.10.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.16.12.12.2.m1.10.10.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.16.12.12.2.m1.10.10.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.16.12.12.2.m1.1.1" xref="sectionx4.16.12.12.2.m1.1.1.cmml">c</mi><mo id="sectionx4.16.12.12.2.m1.10.10.1.1.1.2.2.2" 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ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r ltx_border_tt" id="sectionx4.18.14.14.1"> \multirow8* <math alttext="\Delta DB_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.18.14.14.1.m1.1"><semantics id="sectionx4.18.14.14.1.m1.1a"><mrow id="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1" xref="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1.1" xref="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1.3" xref="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1.1a" xref="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1.4" xref="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1.4.2" xref="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1.4.2.cmml">B</mi><mn id="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1.4.3" xref="sectionx4.18.14.14.1.m1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml 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id="sectionx4.18.14.14.1.m1.1d">roman_Δ italic_D italic_B start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> </th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_tt" id="sectionx4.19.15.15.3"> \multirow5*FS:</td> <td class="ltx_td ltx_border_r ltx_border_tt" id="sectionx4.19.15.15.4"></td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_tt" id="sectionx4.19.15.15.5"> \multirow3*LFS:</td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r ltx_border_tt" id="sectionx4.19.15.15.2"><math alttext="<(a)>:1.6,<(a)(d)>:1.15,<(b)>:0.8,<(c)>:1.26," class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9"><semantics id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9a"><mrow id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.1.1" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" 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id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.2" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.2.cmml">,</mo><mrow id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.19.15.15.2.m1.2.2" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.2.2.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.2.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1" 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id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.2" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.2.cmml">,</mo><mrow id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.1" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.19.15.15.2.m1.5.5" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.5.5.cmml">b</mi><mo id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.2.1.cmml">></mo></mrow></mrow><mo id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.8" rspace="0.278em" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.8.cmml">:</mo><mrow id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.2.cmml"><mn id="sectionx4.19.15.15.2.m1.8.8" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.8.8.cmml">0.8</mn><mo id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1.2" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.2.cmml">,</mo><mrow id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1.1.1" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1.1.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1.1.1.1.2" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.19.15.15.2.m1.7.7" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.7.7.cmml">c</mi><mo id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1.1.1.1.2.2" stretchy="false" 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id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.1.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.19.15.15.2.m1.1.1.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.1.1">𝑎</ci></apply><list id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.2.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1"><cn id="sectionx4.19.15.15.2.m1.4.4.cmml" type="float" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.4.4">1.6</cn><apply id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.2">expectation</csymbol><apply id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1"><times id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.1.1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.19.15.15.2.m1.2.2.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.2.2">𝑎</ci><ci id="sectionx4.19.15.15.2.m1.3.3.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.3.3">𝑑</ci></apply></apply></list></apply><apply id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1c.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1"><ci id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.7.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.7">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.2.cmml" id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1d.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1"></share><list id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1"><cn id="sectionx4.19.15.15.2.m1.6.6.cmml" type="float" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.6.6">1.15</cn><apply id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.1.1.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.19.15.15.2.m1.5.5.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.5.5">𝑏</ci></apply></list></apply><apply id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1e.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1"><ci id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.8.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.8">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.3.cmml" id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1f.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1"></share><list id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.2.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1"><cn id="sectionx4.19.15.15.2.m1.8.8.cmml" type="float" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.8.8">0.8</cn><apply id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.19.15.15.2.m1.9.9.1.1.4.1.1.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.19.15.15.2.m1.7.7.cmml" 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ltx_th ltx_th_row ltx_border_l ltx_border_r" id="sectionx4.21.17.17.3"></th> <td class="ltx_td ltx_border_r" id="sectionx4.21.17.17.4"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_border_r" id="sectionx4.20.16.16.1"><math alttext="<(a)>:6.16" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.20.16.16.1.m1.2"><semantics id="sectionx4.20.16.16.1.m1.2a"><mrow id="sectionx4.20.16.16.1.m1.2.2" xref="sectionx4.20.16.16.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="sectionx4.20.16.16.1.m1.2.2.1.1" xref="sectionx4.20.16.16.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.20.16.16.1.m1.2.2.1.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.20.16.16.1.m1.2.2.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.20.16.16.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="sectionx4.20.16.16.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.20.16.16.1.m1.2.2.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.20.16.16.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.20.16.16.1.m1.1.1" xref="sectionx4.20.16.16.1.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.20.16.16.1.m1.2.2.1.1.1.2.2" stretchy="false" 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id="sectionx4.28.24.24.2"><math alttext="<(a,c)>:2.05,<(b)>:2.2,<(c)(d)>:2.12" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.28.24.24.2.m1.10"><semantics id="sectionx4.28.24.24.2.m1.10a"><mrow id="sectionx4.28.24.24.2.m1.10.10" xref="sectionx4.28.24.24.2.m1.10.10.cmml"><mrow id="sectionx4.28.24.24.2.m1.8.8.1.1" xref="sectionx4.28.24.24.2.m1.8.8.1.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.28.24.24.2.m1.8.8.1.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.28.24.24.2.m1.8.8.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.28.24.24.2.m1.8.8.1.1.1.2" xref="sectionx4.28.24.24.2.m1.8.8.1.1.1.1.cmml"><mo id="sectionx4.28.24.24.2.m1.8.8.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.28.24.24.2.m1.8.8.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.28.24.24.2.m1.1.1" xref="sectionx4.28.24.24.2.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="sectionx4.28.24.24.2.m1.8.8.1.1.1.2.2" xref="sectionx4.28.24.24.2.m1.8.8.1.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="sectionx4.28.24.24.2.m1.2.2" xref="sectionx4.28.24.24.2.m1.2.2.cmml">c</mi><mo 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id="sectionx4.31.27.27.1.m1.11.11.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.31.27.27.1.m1.11.11.3.1.1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.31.27.27.1.m1.5.5.cmml" xref="sectionx4.31.27.27.1.m1.5.5">𝑐</ci><ci id="sectionx4.31.27.27.1.m1.6.6.cmml" xref="sectionx4.31.27.27.1.m1.6.6">𝑎</ci><ci id="sectionx4.31.27.27.1.m1.7.7.cmml" xref="sectionx4.31.27.27.1.m1.7.7">𝑑</ci></apply></apply></list></apply><apply id="sectionx4.31.27.27.1.m1.11.11e.cmml" xref="sectionx4.31.27.27.1.m1.11.11"><ci id="sectionx4.31.27.27.1.m1.11.11.7.cmml" xref="sectionx4.31.27.27.1.m1.11.11.7">:</ci><share href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4.31.27.27.1.m1.11.11.3.cmml" id="sectionx4.31.27.27.1.m1.11.11f.cmml" xref="sectionx4.31.27.27.1.m1.11.11"></share><cn id="sectionx4.31.27.27.1.m1.11.11.8.cmml" type="float" xref="sectionx4.31.27.27.1.m1.11.11.8">0.77</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.31.27.27.1.m1.11c"><(e)>:0.77,<(f)(c)>:1.03,<(c)(a)(d)>:0.77</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.31.27.27.1.m1.11d">< ( italic_e ) > : 0.77 , < ( italic_f ) ( italic_c ) > : 1.03 , < ( italic_c ) ( italic_a ) ( italic_d ) > : 0.77</annotation></semantics></math></td> </tr> </tbody> </table> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering">Table \thetable: Simulation for Increments, <math alttext="\Delta DB_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.33.29.m1.1"><semantics id="sectionx4.33.29.m1.1b"><mrow id="sectionx4.33.29.m1.1.1" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.33.29.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="sectionx4.33.29.m1.1.1.1" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.33.29.m1.1.1.3" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx4.33.29.m1.1.1.1b" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx4.33.29.m1.1.1.4" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx4.33.29.m1.1.1.4.2" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1.4.2.cmml">B</mi><mi id="sectionx4.33.29.m1.1.1.4.3" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.33.29.m1.1c"><apply id="sectionx4.33.29.m1.1.1.cmml" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1"><times id="sectionx4.33.29.m1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.33.29.m1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1.2">Δ</ci><ci id="sectionx4.33.29.m1.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1.3">𝐷</ci><apply id="sectionx4.33.29.m1.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.33.29.m1.1.1.4.1.cmml" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx4.33.29.m1.1.1.4.2.cmml" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1.4.2">𝐵</ci><ci id="sectionx4.33.29.m1.1.1.4.3.cmml" xref="sectionx4.33.29.m1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.33.29.m1.1d">\Delta DB_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.33.29.m1.1e">roman_Δ italic_D italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="sectionx4.p3"> After 1st increment, <math alttext="\Delta DB_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p3.1.m1.1"><semantics id="sectionx4.p3.1.m1.1a"><mrow id="sectionx4.p3.1.m1.1.1" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.p3.1.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="sectionx4.p3.1.m1.1.1.1" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.1.m1.1.1.3" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx4.p3.1.m1.1.1.1a" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx4.p3.1.m1.1.1.4" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx4.p3.1.m1.1.1.4.2" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1.4.2.cmml">B</mi><mn id="sectionx4.p3.1.m1.1.1.4.3" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p3.1.m1.1b"><apply id="sectionx4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1"><times id="sectionx4.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1.2">Δ</ci><ci id="sectionx4.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1.3">𝐷</ci><apply id="sectionx4.p3.1.m1.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.p3.1.m1.1.1.4.1.cmml" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx4.p3.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1.4.2">𝐵</ci><cn id="sectionx4.p3.1.m1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="sectionx4.p3.1.m1.1.1.4.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p3.1.m1.1c">\Delta DB_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p3.1.m1.1d">roman_Δ italic_D italic_B start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the updated value of minWES is 1.74. The uWSInc algorithm scans the <math alttext="\Delta DB_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p3.2.m2.1"><semantics id="sectionx4.p3.2.m2.1a"><mrow id="sectionx4.p3.2.m2.1.1" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.p3.2.m2.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="sectionx4.p3.2.m2.1.1.1" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.2.m2.1.1.3" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx4.p3.2.m2.1.1.1a" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx4.p3.2.m2.1.1.4" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx4.p3.2.m2.1.1.4.2" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1.4.2.cmml">B</mi><mn id="sectionx4.p3.2.m2.1.1.4.3" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p3.2.m2.1b"><apply id="sectionx4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1"><times id="sectionx4.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1.2">Δ</ci><ci id="sectionx4.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1.3">𝐷</ci><apply id="sectionx4.p3.2.m2.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.p3.2.m2.1.1.4.1.cmml" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx4.p3.2.m2.1.1.4.2.cmml" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1.4.2">𝐵</ci><cn id="sectionx4.p3.2.m2.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="sectionx4.p3.2.m2.1.1.4.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p3.2.m2.1c">\Delta DB_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p3.2.m2.1d">roman_Δ italic_D italic_B start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and updates the weighted expected support values for patterns in FS and SFS which are found in DB. As a result, FS and SFS are updated as shown in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4" title="Example Simulation">Example Simulation</a>. The second approach, uWSInc+ runs FUWS and finds the locally frequent set for <math alttext="\Delta DB_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p3.3.m3.1"><semantics id="sectionx4.p3.3.m3.1a"><mrow id="sectionx4.p3.3.m3.1.1" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.p3.3.m3.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="sectionx4.p3.3.m3.1.1.1" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.3.m3.1.1.3" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx4.p3.3.m3.1.1.1a" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx4.p3.3.m3.1.1.4" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx4.p3.3.m3.1.1.4.2" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1.4.2.cmml">B</mi><mn id="sectionx4.p3.3.m3.1.1.4.3" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p3.3.m3.1b"><apply id="sectionx4.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1"><times id="sectionx4.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1.2">Δ</ci><ci id="sectionx4.p3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1.3">𝐷</ci><apply id="sectionx4.p3.3.m3.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.p3.3.m3.1.1.4.1.cmml" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx4.p3.3.m3.1.1.4.2.cmml" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1.4.2">𝐵</ci><cn id="sectionx4.p3.3.m3.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="sectionx4.p3.3.m3.1.1.4.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p3.3.m3.1c">\Delta DB_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p3.3.m3.1d">roman_Δ italic_D italic_B start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, LFS, using 0.96 as LWES. Users can set different local threshold LWES based on the size and nature of increments, distribution of items, etc. In this simulation, let us assume that <math alttext="LWES=2\times min\_sup\times|\Delta DB_{i}|\times WAM\times\mu\times wgt\_fct" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p3.4.m4.1"><semantics id="sectionx4.p3.4.m4.1a"><mrow id="sectionx4.p3.4.m4.1.1" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.2" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml">L</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.1" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.3" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.3.cmml">W</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.1a" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.4" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.4.cmml">E</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.1b" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.5" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.5.cmml">S</mi></mrow><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.2" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">2</mn><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">×</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">m</mi></mrow><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">n</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.5" mathvariant="normal" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml">_</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1c" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.6" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.6.cmml">s</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1d" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.cmml">u</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1e" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.8" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.8.cmml">p</mi></mrow><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mrow id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">B</mi><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2a" rspace="0.222em" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.4" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.4.cmml">W</mi></mrow><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">A</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2a" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.4" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.4.cmml">M</mi></mrow><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.2" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.3" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">μ</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.2a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">×</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.4" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.4.cmml">w</mi></mrow><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.2" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.3" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.3.cmml">g</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.2a" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.4" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.2b" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.5" mathvariant="normal" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.5.cmml">_</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.2c" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.6" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.6.cmml">f</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.2d" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.7" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.7.cmml">c</mi><mo id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.2e" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.8" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.8.cmml">t</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p3.4.m4.1b"><apply id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1"><eq id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.2"></eq><apply id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3"><times id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.1"></times><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.2">𝐿</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.3">𝑊</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.4.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.4">𝐸</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.5.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.3.5">𝑆</ci></apply><apply id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1"><times id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.2"></times><apply id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1"><times id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.2"></times><apply id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1"><times id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1"><times id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3"><times id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><cn id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.2">2</cn><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑚</ci></apply><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.4">𝑛</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.5">_</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.6.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.6">𝑠</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.7">𝑢</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.8.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.8">𝑝</ci></apply><apply id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">Δ</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝐷</ci><apply id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝐵</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.4">𝑊</ci></apply><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3">𝐴</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.1.4">𝑀</ci></apply><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.3">𝜇</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.1.4">𝑤</ci></apply><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.3">𝑔</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.4">𝑡</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.5.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.5">_</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.6.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.6">𝑓</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.7.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.7">𝑐</ci><ci id="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.8.cmml" xref="sectionx4.p3.4.m4.1.1.1.8">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p3.4.m4.1c">LWES=2\times min\_sup\times|\Delta DB_{i}|\times WAM\times\mu\times wgt\_fct</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p3.4.m4.1d">italic_L italic_W italic_E italic_S = 2 × italic_m italic_i italic_n _ italic_s italic_u italic_p × | roman_Δ italic_D italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | × italic_W italic_A italic_M × italic_μ × italic_w italic_g italic_t _ italic_f italic_c italic_t</annotation></semantics></math> for <math alttext="\Delta DB_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p3.5.m5.1"><semantics id="sectionx4.p3.5.m5.1a"><mrow id="sectionx4.p3.5.m5.1.1" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.p3.5.m5.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="sectionx4.p3.5.m5.1.1.1" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.5.m5.1.1.3" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx4.p3.5.m5.1.1.1a" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx4.p3.5.m5.1.1.4" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx4.p3.5.m5.1.1.4.2" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1.4.2.cmml">B</mi><mi id="sectionx4.p3.5.m5.1.1.4.3" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p3.5.m5.1b"><apply id="sectionx4.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1"><times id="sectionx4.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1.2">Δ</ci><ci id="sectionx4.p3.5.m5.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1.3">𝐷</ci><apply id="sectionx4.p3.5.m5.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.p3.5.m5.1.1.4.1.cmml" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx4.p3.5.m5.1.1.4.2.cmml" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1.4.2">𝐵</ci><ci id="sectionx4.p3.5.m5.1.1.4.3.cmml" xref="sectionx4.p3.5.m5.1.1.4.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p3.5.m5.1c">\Delta DB_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p3.5.m5.1d">roman_Δ italic_D italic_B start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. By scanning <math alttext="\Delta DB_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p3.6.m6.1"><semantics id="sectionx4.p3.6.m6.1a"><mrow id="sectionx4.p3.6.m6.1.1" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.p3.6.m6.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="sectionx4.p3.6.m6.1.1.1" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.6.m6.1.1.3" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx4.p3.6.m6.1.1.1a" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx4.p3.6.m6.1.1.4" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx4.p3.6.m6.1.1.4.2" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1.4.2.cmml">B</mi><mn id="sectionx4.p3.6.m6.1.1.4.3" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p3.6.m6.1b"><apply id="sectionx4.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1"><times id="sectionx4.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1.2">Δ</ci><ci id="sectionx4.p3.6.m6.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1.3">𝐷</ci><apply id="sectionx4.p3.6.m6.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.p3.6.m6.1.1.4.1.cmml" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx4.p3.6.m6.1.1.4.2.cmml" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1.4.2">𝐵</ci><cn id="sectionx4.p3.6.m6.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="sectionx4.p3.6.m6.1.1.4.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p3.6.m6.1c">\Delta DB_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p3.6.m6.1d">roman_Δ italic_D italic_B start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, it updates the WES for FS, SFS, and PFS which are found in initial database DB. After that FS, SFS and PFS have been updated according to the updated minWES and LWES. The results are shown in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4" title="Example Simulation">Example Simulation</a>. From Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4" title="Example Simulation">Example Simulation</a>, we can see that new pattern <(c)(a)> and <(f)> appear in FS and <math alttext="<(b)>" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p3.7.m7.2"><semantics id="sectionx4.p3.7.m7.2a"><mrow id="sectionx4.p3.7.m7.2.2.1" xref="sectionx4.p3.7.m7.2.2.2.cmml"><mo fence="true" id="sectionx4.p3.7.m7.2.2.1.2" rspace="0em" xref="sectionx4.p3.7.m7.2.2.2.1.cmml"><</mo><mrow id="sectionx4.p3.7.m7.2.2.1.1.2" xref="sectionx4.p3.7.m7.2.2.2.cmml"><mo id="sectionx4.p3.7.m7.2.2.1.1.2.1" stretchy="false" xref="sectionx4.p3.7.m7.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="sectionx4.p3.7.m7.1.1" xref="sectionx4.p3.7.m7.1.1.cmml">b</mi><mo id="sectionx4.p3.7.m7.2.2.1.1.2.2" stretchy="false" xref="sectionx4.p3.7.m7.2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo fence="true" id="sectionx4.p3.7.m7.2.2.1.3" lspace="0em" xref="sectionx4.p3.7.m7.2.2.2.1.cmml">></mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p3.7.m7.2b"><apply id="sectionx4.p3.7.m7.2.2.2.cmml" xref="sectionx4.p3.7.m7.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="sectionx4.p3.7.m7.2.2.2.1.cmml" xref="sectionx4.p3.7.m7.2.2.1.2">expectation</csymbol><ci id="sectionx4.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.7.m7.1.1">𝑏</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p3.7.m7.2c"><(b)></annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p3.7.m7.2d">< ( italic_b ) ></annotation></semantics></math>, <(d)>, <(c)(d)> and <(c)(f)> appear in SFS of uWSInc+ but not in uWSInc. This pattern <(d)>, <(c)(d)> and <(c)(f)> might be frequent later after few increments. The uWSInc+ might be able to find them which uWSInc could never do. Similarly for the second increment <math alttext="\Delta DB_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="sectionx4.p3.8.m8.1"><semantics id="sectionx4.p3.8.m8.1a"><mrow id="sectionx4.p3.8.m8.1.1" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1.cmml"><mi id="sectionx4.p3.8.m8.1.1.2" mathvariant="normal" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1.2.cmml">Δ</mi><mo id="sectionx4.p3.8.m8.1.1.1" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="sectionx4.p3.8.m8.1.1.3" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1.3.cmml">D</mi><mo id="sectionx4.p3.8.m8.1.1.1a" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="sectionx4.p3.8.m8.1.1.4" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1.4.cmml"><mi id="sectionx4.p3.8.m8.1.1.4.2" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1.4.2.cmml">B</mi><mn id="sectionx4.p3.8.m8.1.1.4.3" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="sectionx4.p3.8.m8.1b"><apply id="sectionx4.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1"><times id="sectionx4.p3.8.m8.1.1.1.cmml" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1.1"></times><ci id="sectionx4.p3.8.m8.1.1.2.cmml" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1.2">Δ</ci><ci id="sectionx4.p3.8.m8.1.1.3.cmml" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1.3">𝐷</ci><apply id="sectionx4.p3.8.m8.1.1.4.cmml" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="sectionx4.p3.8.m8.1.1.4.1.cmml" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="sectionx4.p3.8.m8.1.1.4.2.cmml" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1.4.2">𝐵</ci><cn id="sectionx4.p3.8.m8.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="sectionx4.p3.8.m8.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="sectionx4.p3.8.m8.1c">\Delta DB_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="sectionx4.p3.8.m8.1d">roman_Δ italic_D italic_B start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, the uWSInc and uWSInc+ algorithms use FS, SFS, and PFS which are updated after 1st increment and follow the same process to generate new FS, SFS, and PFS. The results are shown in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2404.01347v1#sectionx4" title="Example Simulation">Example Simulation</a>. Finally, we can see that two patterns <(c)(a)>, <(d)> and <(f)>, have become frequent after this increment which are found by uWSInc+ but not uWSInc. This makes the difference between our two approaches clear as uWSInc+ can find them but uWSInc cannot. </div> </section> </article> </div> <footer class="ltx_page_footer"> <div class="ltx_page_logo">Generated on Thu May 2 18:32:35 2024 by <a class="ltx_LaTeXML_logo" href="http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/">LaTeXML<img alt="Mascot Sammy" src="data:image/png;base64,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"/></a> </div></footer> </div> </body> </html>