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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Causal Feature Learning in the Social Sciences</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2503.12784v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S1" title="In Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S2" title="In Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>Preliminaries and Notation</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S3" title="In Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>Causal Feature Learning</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S3.SS1" title="In 3 Causal Feature Learning ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.1 </span>Preliminaries and Assumptions</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S3.SS2" title="In 3 Causal Feature Learning ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2 </span>Causal Coarsening Theorem (CCT)</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S3.SS3" title="In 3 Causal Feature Learning ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.3 </span>Approximate Partitions</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S4" title="In Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Social Science Applications</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S4.SS1" title="In 4 Social Science Applications ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.1 </span>The NSW Dataset</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S4.SS2" title="In 4 Social Science Applications ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.2 </span>Causal Feature Learning Detects Heterogeneous Causal Effects</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S4.SS2.SSS1" title="In 4.2 Causal Feature Learning Detects Heterogeneous Causal Effects ‣ 4 Social Science Applications ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.2.1 </span>Rationale behind heterogeneity detection by CFL</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S4.SS3" title="In 4 Social Science Applications ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.3 </span>The Voting Dataset</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S4.SS3.SSS1" title="In 4.3 The Voting Dataset ‣ 4 Social Science Applications ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4.3.1 </span>CFL as Dimensionality Reduction Technique:</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S5" title="In Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">5 </span>Conclusion</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A1" title="In Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">A </span>Proof of Theorem <span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A2" title="In Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">B </span>Appendix: The Redlining Dataset</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A3" title="In Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">C </span>Appendix: Implementation of Binning Technique</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_appendix"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A4" title="In Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">D </span>Appendix: Tables and Figures</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Causal Feature Learning in the Social Sciences</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname"> Jingzhou Huang </span><span class="ltx_author_notes">Department of Economics and Quantitative Theory and Methods, Emory University.</span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Jiuyao Lu </span><span class="ltx_author_notes">Department of Statistics and Data Science, The Wharton School, University of Pennsylvania.</span></span> <span class="ltx_author_before"> </span><span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Alexander Williams Tolbert </span><span class="ltx_author_notes">Department of Quantitative Theory and Methods, Emory University.</span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id1.id1">Variable selection poses a significant challenge in causal modeling, particularly within the social sciences, where constructs often rely on inter-related factors such as age, socioeconomic status, gender, and race. Indeed, it has been argued that such attributes must be modeled as macro-level abstractions of lower-level manipulable features, in order to preserve the modularity assumption essential to causal inference (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Mossé et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib32" title="">2025</a>)</cite>). This paper accordingly extends the theoretical framework of Causal Feature Learning (CFL). Empirically, we apply the CFL algorithm to diverse social science datasets, evaluating how CFL-derived macrostates compare with traditional microstates in downstream modeling tasks.</p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.4">When an individual is discriminated against, their worse treatment is partly explained by the fact that they possess a protected attribute, such as race or gender (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Thomsen (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib42" title="">2018</a>)</cite>). Where explanation is understood causally, we arrive at a causal fairness constraint, which restricts causal pathways between individuals’ protected attributes and their treatment <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Loi et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib31" title="">2023</a>)</cite>. Causal algorithmic fairness criteria provide different ways of making this constraint precise (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Kilbertus et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib27" title="">2017</a>); Kusner et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib29" title="">2017</a>); Barocas et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib2" title="">2023</a>)</cite>). For example, <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p1.4.1">counterfactual fairness</span> compares the distribution of a predictor <math alttext="\hat{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.p1.1.m1.1a"><mover accent="true" id="S1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="S1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.1.m1.1b"><apply id="S1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1"><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1.1">^</ci><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1.2">𝑌</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.1.m1.1c">\hat{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_Y end_ARG</annotation></semantics></math>, given an individual’s features <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.p1.2.m2.1a"><mi id="S1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.2.m2.1b"><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.2.m2.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.2.m2.1d">italic_x</annotation></semantics></math> and their protected attribute <math alttext="a" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.3.m3.1"><semantics id="S1.p1.3.m3.1a"><mi id="S1.p1.3.m3.1.1" xref="S1.p1.3.m3.1.1.cmml">a</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.3.m3.1b"><ci id="S1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1">𝑎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.3.m3.1c">a</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.3.m3.1d">italic_a</annotation></semantics></math> (e.g. a race or gender), to the counterfactual distribution of the predictor, where that individual’s protected attribute takes a different attribute <math alttext="a^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.4.m4.1"><semantics id="S1.p1.4.m4.1a"><msup id="S1.p1.4.m4.1.1" xref="S1.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.4.m4.1.1.2" xref="S1.p1.4.m4.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S1.p1.4.m4.1.1.3" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.4.m4.1b"><apply id="S1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S1.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.4.m4.1c">a^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.4.m4.1d">italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Kusner et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib29" title="">2017</a>)</cite>):<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote1"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">1</span>For comparison between metric fairness criteria (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Dwork et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib11" title="">2012</a>)</cite>) and causal criteria, see (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">(Plečko and Bareinboim, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib35" title="">2024</a>, pp.90-97)</cite>). For comparison between so-called “statistical” criteria and causal criteria, see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Glymour and Herington (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib16" title="">2019</a>); Beigang (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib4" title="">2023</a>)</cite>.</span></span></span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx1"> <tbody id="S1.E1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P(\text{do}(a)\,\hat{Y}=y\,|\,x,a)=P(\text{do}(a^{\prime})\,\hat% {Y}=y\,|\,x,a)." class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E1.m1.6"><semantics id="S1.E1.m1.6a"><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mtext id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2a.cmml">do</mtext><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.E1.m1.1.1" xref="S1.E1.m1.1.1.cmml">a</mi><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1a" lspace="0.170em" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">Y</mi><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.4.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo fence="false" id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.448em" rspace="0.448em" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.2.2" xref="S1.E1.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E1.m1.3.3" xref="S1.E1.m1.3.3.cmml">a</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.3" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.3.cmml">P</mi><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3a.cmml">do</mtext><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2a" lspace="0.170em" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml">Y</mi><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">y</mi><mo fence="false" id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.1" lspace="0.448em" rspace="0.448em" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml"><mi id="S1.E1.m1.4.4" xref="S1.E1.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.3.2.1" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S1.E1.m1.5.5" xref="S1.E1.m1.5.5.cmml">a</mi></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E1.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E1.m1.6b"><apply id="S1.E1.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1"><eq id="S1.E1.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.3"></eq><apply id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1"><times id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.2"></times><ci id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1"><eq id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2a.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2"><mtext id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.2">do</mtext></ci><ci id="S1.E1.m1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.1.1">𝑎</ci><apply id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.4"><ci id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.4.1">^</ci><ci id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑌</ci></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><ci id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑦</ci><list id="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S1.E1.m1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.2.2">𝑥</ci><ci id="S1.E1.m1.3.3.cmml" xref="S1.E1.m1.3.3">𝑎</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2"><times id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.2"></times><ci id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.3">𝑃</ci><apply id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1"><eq id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2"></eq><apply id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1"><times id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3"><mtext id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3">do</mtext></ci><apply id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4"><ci id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.1">^</ci><ci id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.4.2">𝑌</ci></apply></apply><apply id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.1">conditional</csymbol><ci id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑦</ci><list id="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S1.E1.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.3.3.2"><ci id="S1.E1.m1.4.4.cmml" xref="S1.E1.m1.4.4">𝑥</ci><ci id="S1.E1.m1.5.5.cmml" xref="S1.E1.m1.5.5">𝑎</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E1.m1.6c">\displaystyle P(\text{do}(a)\,\hat{Y}=y\,|\,x,a)=P(\text{do}(a^{\prime})\,\hat% {Y}=y\,|\,x,a).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E1.m1.6d">italic_P ( do ( italic_a ) over^ start_ARG italic_Y end_ARG = italic_y | italic_x , italic_a ) = italic_P ( do ( italic_a start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) over^ start_ARG italic_Y end_ARG = italic_y | italic_x , italic_a ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p1.5">Of course, estimating the quantities that feature in causal criteria, e.g. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S1.E1" title="In 1 Introduction ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), requires substantive assumptions, but this is a general feature of causal inference, and theorists have developed methods for handling uncertainty about the underlying causal structure (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Russell et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib37" title="">2017</a>)</cite>). A more basic problem for causal notions of fairness is to clarify the sense in which an individual’s race, gender, or other protected attribute can <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p1.5.1">cause</span> their worse treatment.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">An initial challenge contended that protected attributes cannot cause outcomes, because they are not manipulable (cf. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Holland (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib19" title="">1986</a>)</cite>, p. 946; <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Greiner and Rubin (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib18" title="">2011</a>)</cite>, pp. 1-2; <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Glymour and Glymour (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib17" title="">2014</a>)</cite>; <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Sen and Wasow (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib38" title="">2016</a>)</cite>, p. 504). However, the impossibility of intervening on protected attributes is not necessarily a problem (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Pearl (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib34" title="">2018</a>)</cite>). After all, it is impossible to intervene on people’s smoking habits, but we can estimate the effects of smoking (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">(Weinberger, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib45" title="">2022</a>, p. 1268)</cite>). A more recent challenge contends that protected attributes like race cannot be modeled as causes of worse treatment, because the constitutive relations between these attributes and individuals’ other features violate the <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p2.1.1">modularity assumption</span> essential to causal inference, which requires the ability to isolate causal effects (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Kohler-Hausmann (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib28" title="">2018</a>); Hu and Kohler-Hausmann (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib20" title="">2020</a>); Hu (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib21" title="">2022</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib22" title="">2024</a>)</cite>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">In reply, theorists have suggested that modularity can be preserved, if the constitutive relations between race and other attributes are modeled using the framework of causal abstraction (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Mossé et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib32" title="">2025</a>)</cite>), i.e. protected attributes like race are modeled as macrostates, which correspond systematically to the states of micro-variables that constitute them. While this answers the modularity worry in theory, the approach is empirically untested. Heterogeneity among micro-variables is a general obstacle to the construction of macrostates <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Spirtes and Scheines (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib39" title="">2004</a>)</cite>, and theorists have given principled reasons for thinking that this problem may arise for macrostates corresponding to protected attributes (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Tolbert (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib43" title="">2024a</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib44" title="">b</a>)</cite>). In sum, it is an open empirical question whether one can construct protected attributes like age, race, and gender as macrostates, in a way that preserves the causal profile of the corresponding micro-variables.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.1">Variable selection poses a significant challenge in causal modeling, particularly within the social sciences, which rely heavily on causal inference (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">(Imbens, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib25" title="">2024</a>, p. 650)</cite>), and which often study complex, inter-related factors such as age, socioeconomic status, gender, and race. At the same time, the practical impossibility of experimentation often requires that researchers working in the social sciences rely on merely observational data (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">(Gangl, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib13" title="">2010</a>, pp. 25-29)</cite>), which in general greatly under-determines the underlying causal structure, as formalized in the so-called “causal hierarchy theorems” (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Ibeling and Icard (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib23" title="">2021</a>); Bareinboim et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib1" title="">2022</a>)</cite>).<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote2"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">2</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">2</span>We follow much of the algorithmic fairness literature in using Structural Causal Models. See <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Ibeling and Icard (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib24" title="">2024</a>)</cite> for a partial equivalence between this framework and potential outcomes. See <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Pearl (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib33" title="">2010</a>)</cite> for a defense of Structural Causal Models in sociology.</span></span></span> Some have proposed that social scientists conjecture causal structure using qualitative data, for example by relying on ethnographies that describe how existing social practices produce outcomes of interest (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">(Steel, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib40" title="">2004</a>, pp. 67-70)</cite>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.7">Other fields, including healthcare, genetics, and climatology, have turned to <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S1.p5.7.1">Causal Feature Learning</span> (CFL) (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Chalupka et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib6" title="">2014</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib7" title="">2016a</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib8" title="">2016b</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib9" title="">2017</a>)</cite>), which addresses the variable selection challenge by identifying features that sustain causal relationships under various manipulations. CFL operates by partitioning the data into clusters of macrostates that encapsulate the essential causal dynamics among microstates. This allows the data to determine how variables are constructed, uncovering latent structures that predefined categories may overlook. Formally, CFL seeks to identify a partition of the microstates into macrostates such that for each macrostate, the causal effect on the outcome is preserved. That is, given a set of microstate causes <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.1.m1.1"><semantics id="S1.p5.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p5.1.m1.1.1" xref="S1.p5.1.m1.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.1.m1.1b"><ci id="S1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.1.m1.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.1.m1.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math> and microstate effects <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.2.m2.1"><semantics id="S1.p5.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p5.2.m2.1.1" xref="S1.p5.2.m2.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.2.m2.1b"><ci id="S1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.2.m2.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.2.m2.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math>, CFL aims to find a partition <math alttext="\Pi(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.3.m3.1"><semantics id="S1.p5.3.m3.1a"><mrow id="S1.p5.3.m3.1.2" xref="S1.p5.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S1.p5.3.m3.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.p5.3.m3.1.2.2.cmml">Π</mi><mo id="S1.p5.3.m3.1.2.1" xref="S1.p5.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p5.3.m3.1.2.3.2" xref="S1.p5.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S1.p5.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p5.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p5.3.m3.1.1" xref="S1.p5.3.m3.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="S1.p5.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p5.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.3.m3.1b"><apply id="S1.p5.3.m3.1.2.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.2"><times id="S1.p5.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.2.1"></times><ci id="S1.p5.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.2.2">Π</ci><ci id="S1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.3.m3.1c">\Pi(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.3.m3.1d">roman_Π ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> such that for any two microstates <math alttext="x_{1},x_{2}\in\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.4.m4.2"><semantics id="S1.p5.4.m4.2a"><mrow id="S1.p5.4.m4.2.2" xref="S1.p5.4.m4.2.2.cmml"><mrow id="S1.p5.4.m4.2.2.2.2" xref="S1.p5.4.m4.2.2.2.3.cmml"><msub id="S1.p5.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S1.p5.4.m4.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p5.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p5.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S1.p5.4.m4.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p5.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p5.4.m4.2.2.2.2.3" xref="S1.p5.4.m4.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.p5.4.m4.2.2.2.2.2" xref="S1.p5.4.m4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.p5.4.m4.2.2.2.2.2.2" xref="S1.p5.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S1.p5.4.m4.2.2.2.2.2.3" xref="S1.p5.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S1.p5.4.m4.2.2.3" xref="S1.p5.4.m4.2.2.3.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p5.4.m4.2.2.4" xref="S1.p5.4.m4.2.2.4.cmml">𝒳</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.4.m4.2b"><apply id="S1.p5.4.m4.2.2.cmml" xref="S1.p5.4.m4.2.2"><in id="S1.p5.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S1.p5.4.m4.2.2.3"></in><list id="S1.p5.4.m4.2.2.2.3.cmml" xref="S1.p5.4.m4.2.2.2.2"><apply id="S1.p5.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p5.4.m4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S1.p5.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.4.m4.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S1.p5.4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p5.4.m4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.4.m4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p5.4.m4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p5.4.m4.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S1.p5.4.m4.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.4.m4.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply></list><ci id="S1.p5.4.m4.2.2.4.cmml" xref="S1.p5.4.m4.2.2.4">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.4.m4.2c">x_{1},x_{2}\in\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.4.m4.2d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∈ caligraphic_X</annotation></semantics></math>, if <math alttext="x_{1}\sim x_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.5.m5.1"><semantics id="S1.p5.5.m5.1a"><mrow id="S1.p5.5.m5.1.1" xref="S1.p5.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S1.p5.5.m5.1.1.2" xref="S1.p5.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p5.5.m5.1.1.2.2" xref="S1.p5.5.m5.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S1.p5.5.m5.1.1.2.3" xref="S1.p5.5.m5.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.p5.5.m5.1.1.1" xref="S1.p5.5.m5.1.1.1.cmml">∼</mo><msub id="S1.p5.5.m5.1.1.3" xref="S1.p5.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p5.5.m5.1.1.3.2" xref="S1.p5.5.m5.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S1.p5.5.m5.1.1.3.3" xref="S1.p5.5.m5.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.5.m5.1b"><apply id="S1.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.p5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1.1">similar-to</csymbol><apply id="S1.p5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p5.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S1.p5.5.m5.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.5.m5.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="S1.p5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S1.p5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S1.p5.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p5.5.m5.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.5.m5.1c">x_{1}\sim x_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.5.m5.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> under <math alttext="\Pi(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.6.m6.1"><semantics id="S1.p5.6.m6.1a"><mrow id="S1.p5.6.m6.1.2" xref="S1.p5.6.m6.1.2.cmml"><mi id="S1.p5.6.m6.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.p5.6.m6.1.2.2.cmml">Π</mi><mo id="S1.p5.6.m6.1.2.1" xref="S1.p5.6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p5.6.m6.1.2.3.2" xref="S1.p5.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S1.p5.6.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p5.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p5.6.m6.1.1" xref="S1.p5.6.m6.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="S1.p5.6.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p5.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.6.m6.1b"><apply id="S1.p5.6.m6.1.2.cmml" xref="S1.p5.6.m6.1.2"><times id="S1.p5.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S1.p5.6.m6.1.2.1"></times><ci id="S1.p5.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S1.p5.6.m6.1.2.2">Π</ci><ci id="S1.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p5.6.m6.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.6.m6.1c">\Pi(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.6.m6.1d">roman_Π ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math>, then for any macrostate <math alttext="y\in\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.7.m7.1"><semantics id="S1.p5.7.m7.1a"><mrow id="S1.p5.7.m7.1.1" xref="S1.p5.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S1.p5.7.m7.1.1.2" xref="S1.p5.7.m7.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S1.p5.7.m7.1.1.1" xref="S1.p5.7.m7.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p5.7.m7.1.1.3" xref="S1.p5.7.m7.1.1.3.cmml">𝒴</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.7.m7.1b"><apply id="S1.p5.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.p5.7.m7.1.1"><in id="S1.p5.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S1.p5.7.m7.1.1.1"></in><ci id="S1.p5.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S1.p5.7.m7.1.1.2">𝑦</ci><ci id="S1.p5.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S1.p5.7.m7.1.1.3">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.7.m7.1c">y\in\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.7.m7.1d">italic_y ∈ caligraphic_Y</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx2"> <tbody id="S1.E2"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P(Y\mid\operatorname{do}(x_{1}))=P(Y\mid\operatorname{do}(x_{2}))." class="ltx_Math" display="inline" id="S1.E2.m1.3"><semantics id="S1.E2.m1.3a"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Y</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E2.m1.1.1" xref="S1.E2.m1.1.1.cmml">do</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">P</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml">Y</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.E2.m1.2.2" xref="S1.E2.m1.2.2.cmml">do</mi><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S1.E2.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.E2.m1.3b"><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1"><eq id="S1.E2.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1"><times id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝑌</ci><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S1.E2.m1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.1.1">do</ci><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2"><times id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.2"></times><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.3">𝑃</ci><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2">conditional</csymbol><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3">𝑌</ci><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1"><ci id="S1.E2.m1.2.2.cmml" xref="S1.E2.m1.2.2">do</ci><apply id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.E2.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.E2.m1.3c">\displaystyle P(Y\mid\operatorname{do}(x_{1}))=P(Y\mid\operatorname{do}(x_{2})).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.E2.m1.3d">italic_P ( italic_Y ∣ roman_do ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) = italic_P ( italic_Y ∣ roman_do ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S1.p5.8">This equivalence ensures that the macrostates derived from <math alttext="\Pi(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.8.m1.1"><semantics id="S1.p5.8.m1.1a"><mrow id="S1.p5.8.m1.1.2" xref="S1.p5.8.m1.1.2.cmml"><mi id="S1.p5.8.m1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S1.p5.8.m1.1.2.2.cmml">Π</mi><mo id="S1.p5.8.m1.1.2.1" xref="S1.p5.8.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p5.8.m1.1.2.3.2" xref="S1.p5.8.m1.1.2.cmml"><mo id="S1.p5.8.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p5.8.m1.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S1.p5.8.m1.1.1" xref="S1.p5.8.m1.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="S1.p5.8.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p5.8.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.8.m1.1b"><apply id="S1.p5.8.m1.1.2.cmml" xref="S1.p5.8.m1.1.2"><times id="S1.p5.8.m1.1.2.1.cmml" xref="S1.p5.8.m1.1.2.1"></times><ci id="S1.p5.8.m1.1.2.2.cmml" xref="S1.p5.8.m1.1.2.2">Π</ci><ci id="S1.p5.8.m1.1.1.cmml" xref="S1.p5.8.m1.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.8.m1.1c">\Pi(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.8.m1.1d">roman_Π ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> maintain the causal relationships necessary for accurate causal inference. However, CFL assumes that all variables are discrete, and is not directly applicable to many social scientific data sets. It is an open question how this theoretical framework can be extended to the continuous setting.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1">This paper provides answers to these theoretical and empirical questions. On the theory side, we show that a simple binning technique immediately extends the Causal Coarsening Theorem (CCT) of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Chalupka et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib9" title="">2017</a>)</cite> to the continuous setting:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.1.1.1">Theorem 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.2.2"> </span>(Extended CCT, informal)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem1.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem1.p1.1.1">A partition of continuous variables based purely on observational data can be refined into the partition defined by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S1.E2" title="In 1 Introduction ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>); the subset of distributions for which this fails has Lebesgue measure zero.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.p7.1">Because equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S1.E2" title="In 1 Introduction ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> is a strict requirement, the partition guaranteed by the CCT may be trivial when each micro-state has a distinctive effect. Further, a natural question is whether non-trivial partitions exit, for which equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S1.E2" title="In 1 Introduction ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> holds only approximately. We show that this is indeed the case:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.1.1.1">Theorem 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.2.2"> </span>(Regularity, informal)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem2.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem2.p1.2.2">There always exist partition on micro-states <math alttext="\Pi(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml">Π</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.1" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2"><times id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.2.2">Π</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1c">\Pi(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.1.1.m1.1d">roman_Π ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Pi(\mathcal{Y})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml">Π</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.1" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.3.2" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝒴</mi><mo id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2"><times id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.1"></times><ci id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.2.2">Π</ci><ci id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1.1">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1c">\Pi(\mathcal{Y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem2.p1.2.2.m2.1d">roman_Π ( caligraphic_Y )</annotation></semantics></math> for which the equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S1.E2" title="In 1 Introduction ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> holds approximately.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p8"> <p class="ltx_p" id="S1.p8.1">After making theoretical extensions to the framework of CFL, we apply the extended CFL algorithm to diverse social science datasets, evaluating how CFL-derived macrostates compare with traditional microstates in downstream modeling tasks.<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote3"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">3</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">3</span>See <a class="ltx_ref ltx_href" href="https://github.com/Rorn001/causal-learning.git" title="">https://github.com/Rorn001/causal-learning.git</a> for replication code and data</span></span></span> We show that CFL reliably reduces dimensionality while detecting heterogeneity in the effects of macrostates.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p9"> <p class="ltx_p" id="S1.p9.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p9.1.1">Roadmap:</span> Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S2" title="2 Preliminaries and Notation ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> introduces the definitions and notation that feature in the paper. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S3" title="3 Causal Feature Learning ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a> introduces the framework of Causal Feature Learning and shows the above theorems. Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S4" title="4 Social Science Applications ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> applies the CFL algorithm to several social scientific datasets.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span>Preliminaries and Notation</h2> <div class="ltx_para" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.4">We follow standard notation and terminology from the causal inference literature. Let <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.p1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.p1.1.m1.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.1.m1.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.1.m1.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math> represent the set of <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p1.4.1">microstates</span>, with <math alttext="x\in\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.p1.2.m2.1.1.1" xref="S2.p1.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S2.p1.2.m2.1.1.3.cmml">𝒳</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1"><in id="S2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.2.m2.1.1.3">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.2.m2.1c">x\in\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.2.m2.1d">italic_x ∈ caligraphic_X</annotation></semantics></math> denoting the individual covariates or features of interest in a dataset. These microstates represent the most granular elements in the data, such as age, education, income, or other social indicators in the context of social sciences. Let <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.3.m3.1"><semantics id="S2.p1.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p1.3.m3.1.1" xref="S2.p1.3.m3.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.3.m3.1b"><ci id="S2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p1.3.m3.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.3.m3.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.3.m3.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math> represent the set of <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p1.4.2">outcomes</span>, with <math alttext="y\in\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.4.m4.1"><semantics id="S2.p1.4.m4.1a"><mrow id="S2.p1.4.m4.1.1" xref="S2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S2.p1.4.m4.1.1.1" xref="S2.p1.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S2.p1.4.m4.1.1.3.cmml">𝒴</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.4.m4.1b"><apply id="S2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.1"><in id="S2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.1.2">𝑦</ci><ci id="S2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.p1.4.m4.1.1.3">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.4.m4.1c">y\in\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.4.m4.1d">italic_y ∈ caligraphic_Y</annotation></semantics></math> denoting the observed effects or responses (e.g., voting behavior, income after a treatment, etc.).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.p2.5">Additionally, we assume the presence of treatment variables, where the intervention <math alttext="\operatorname{do}(\mathcal{X}=x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.1.m1.2"><semantics id="S2.p2.1.m1.2a"><mrow id="S2.p2.1.m1.2.2.1" xref="S2.p2.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.cmml">do</mi><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.1a" xref="S2.p2.1.m1.2.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1" xref="S2.p2.1.m1.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝒳</mi><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.1.m1.2b"><apply id="S2.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1"><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1">do</ci><apply id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1"><eq id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝒳</ci><ci id="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p2.1.m1.2.2.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.1.m1.2c">\operatorname{do}(\mathcal{X}=x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.1.m1.2d">roman_do ( caligraphic_X = italic_x )</annotation></semantics></math> sets the microstate <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.p2.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.2.m2.1b"><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.2.m2.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.2.m2.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math> to a specific value <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.p2.3.m3.1a"><mi id="S2.p2.3.m3.1.1" xref="S2.p2.3.m3.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.3.m3.1b"><ci id="S2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.3.m3.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.3.m3.1d">italic_x</annotation></semantics></math> through a treatment or policy intervention. Our primary goal is to develop methodologies that construct <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.5.1">macrostates</span> from the microstates. A <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p2.5.2">macrostate</span> is a coarser, aggregated version of the microstates, grouped in such a way that the underlying causal structure is preserved. Formally, a macrostate is a partition <math alttext="\Pi(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.4.m4.1"><semantics id="S2.p2.4.m4.1a"><mrow id="S2.p2.4.m4.1.2" xref="S2.p2.4.m4.1.2.cmml"><mi id="S2.p2.4.m4.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S2.p2.4.m4.1.2.2.cmml">Π</mi><mo id="S2.p2.4.m4.1.2.1" xref="S2.p2.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.4.m4.1.2.3.2" xref="S2.p2.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S2.p2.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p2.4.m4.1.1" xref="S2.p2.4.m4.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="S2.p2.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.4.m4.1b"><apply id="S2.p2.4.m4.1.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.2"><times id="S2.p2.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.2.1"></times><ci id="S2.p2.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.2.2">Π</ci><ci id="S2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p2.4.m4.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.4.m4.1c">\Pi(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.4.m4.1d">roman_Π ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> of the set of microstates into clusters, where each cluster summarizes multiple microstates while maintaining their causal effect on the outcome variable <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.5.m5.1"><semantics id="S2.p2.5.m5.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p2.5.m5.1.1" xref="S2.p2.5.m5.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.5.m5.1b"><ci id="S2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p2.5.m5.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.5.m5.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.5.m5.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.p3.4">In this paper, we extend the Causal Feature Learning (CFL) framework to automatically construct these macrostates, particularly when dealing with both discrete and continuous microstates. The goal is to find partitions of <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.1.m1.1"><semantics id="S2.p3.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.1.m1.1b"><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.1.m1.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.1.m1.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math> into macrostates that preserve the causal relationships necessary for accurate causal inference, specifically ensuring that for any two microstates <math alttext="x_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.2.m2.1"><semantics id="S2.p3.2.m2.1a"><msub id="S2.p3.2.m2.1.1" xref="S2.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.2.m2.1.1.2" xref="S2.p3.2.m2.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S2.p3.2.m2.1.1.3" xref="S2.p3.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.2.m2.1b"><apply id="S2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.2.m2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S2.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p3.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.2.m2.1c">x_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.2.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="x_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.3.m3.1"><semantics id="S2.p3.3.m3.1a"><msub id="S2.p3.3.m3.1.1" xref="S2.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.p3.3.m3.1.1.2" xref="S2.p3.3.m3.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S2.p3.3.m3.1.1.3" xref="S2.p3.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.3.m3.1b"><apply id="S2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.p3.3.m3.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S2.p3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p3.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.3.m3.1c">x_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.3.m3.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> in the same partition, their causal effect on microstate effect <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.4.m4.1"><semantics id="S2.p3.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.p3.4.m4.1.1" xref="S2.p3.4.m4.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.4.m4.1b"><ci id="S2.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p3.4.m4.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.4.m4.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.4.m4.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math> remains equivalent under manipulation:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P(Y\mid\operatorname{do}(x_{1}))=P(Y\mid\operatorname{do}(x_{2}))." class="ltx_Math" display="block" id="S2.Ex1.m1.3"><semantics id="S2.Ex1.m1.3a"><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Y</mi><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.1.1.cmml">do</mi><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">P</mi><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml">Y</mi><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.2.2" xref="S2.Ex1.m1.2.2.cmml">do</mi><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1a" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.Ex1.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Ex1.m1.3b"><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1"><eq id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1"><times id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝑌</ci><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S2.Ex1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.1.1">do</ci><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2"><times id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.2"></times><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.3">𝑃</ci><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2">conditional</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3">𝑌</ci><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1"><ci id="S2.Ex1.m1.2.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.2.2">do</ci><apply id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Ex1.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Ex1.m1.3c">P(Y\mid\operatorname{do}(x_{1}))=P(Y\mid\operatorname{do}(x_{2})).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Ex1.m1.3d">italic_P ( italic_Y ∣ roman_do ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) = italic_P ( italic_Y ∣ roman_do ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p3.5">This ensures that the derived macrostates are both informative and causally consistent with the microstates they summarize.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span>Causal Feature Learning</h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.1">This section provides an overview of the CFL framework, and shows Theorem 1.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.1 </span>Preliminaries and Assumptions</h3> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S3.Thmdefinition1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition1.1.1.1">Definition 3.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition1.2.2"> </span>(Microstates)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition1.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmdefinition1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmdefinition1.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmdefinition1.p1.5.5">Let <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math> denote the set of microstate causes and <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S3.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math> the set of microstate effects. The variable <math alttext="z" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S3.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S3.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S3.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.1.1">𝑧</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.1c">z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.1d">italic_z</annotation></semantics></math> denotes a confounder influencing both <math alttext="x\in\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">𝒳</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1"><in id="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.1"></in><ci id="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.3">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1c">x\in\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1d">italic_x ∈ caligraphic_X</annotation></semantics></math> and <math alttext="y\in\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1" xref="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">𝒴</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1"><in id="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.1"></in><ci id="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.2">𝑦</ci><ci id="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.3">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1c">y\in\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1d">italic_y ∈ caligraphic_Y</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_asm" id="Thmasm1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmasm1.1.1.1">Assumption 1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmasm1.2.2"> </span>(Discrete Macrostates)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmasm1.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmasm1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmasm1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmasm1.p1.1.1">All macrostates are discretized into a finite number of states, denoted by <math alttext="\mathcal{I}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmasm1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmasm1.p1.1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmasm1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmasm1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">ℐ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmasm1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmasm1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmasm1.p1.1.1.m1.1.1">ℐ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmasm1.p1.1.1.m1.1c">\mathcal{I}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmasm1.p1.1.1.m1.1d">caligraphic_I</annotation></semantics></math>. This ensures a finite state space, facilitating the application of clustering methods for data partitioning.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_asm" id="Thmasm2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmasm2.1.1.1">Assumption 2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmasm2.2.2"> </span>(Smoothness)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmasm2.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmasm2.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmasm2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmasm2.p1.4.4">The conditional distribution <math alttext="P(\mathcal{Y}\mid\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒴</mi><mo id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒳</mi></mrow><mo id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1"><times id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.2"></times><ci id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝒴</ci><ci id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmasm2.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝒳</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1c">P(\mathcal{Y}\mid\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmasm2.p1.1.1.m1.1d">italic_P ( caligraphic_Y ∣ caligraphic_X )</annotation></semantics></math> may exhibit discontinuities at the boundaries of observational states. However, a continuous density function <math alttext="f:\mathcal{X}\times\mathcal{Y}\to\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.1" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">:</mo><mrow id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mrow id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml">𝒳</mi><mo id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.1.cmml">×</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml">𝒴</mi></mrow><mo id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">ℝ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1"><ci id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.1">:</ci><ci id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑓</ci><apply id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3"><ci id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.1">→</ci><apply id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2"><times id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.1.cmml" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.1"></times><ci id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2.cmml" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.2">𝒳</ci><ci id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3.cmml" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.2.3">𝒴</ci></apply><ci id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="Thmasm2.p1.2.2.m2.1.1.3.3">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1c">f:\mathcal{X}\times\mathcal{Y}\to\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmasm2.p1.2.2.m2.1d">italic_f : caligraphic_X × caligraphic_Y → blackboard_R</annotation></semantics></math> exists such that <math alttext="P(y\mid x)=f(x,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3"><semantics id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3a"><mrow id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.cmml"><mrow id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.cmml"><mi id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.3" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.3.cmml">P</mi><mo id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.2" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.2" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.cmml"><mi id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.2" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.2.cmml">f</mi><mo id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.1" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.3.1.cmml"><mo id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmasm2.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2.2" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmasm2.p1.3.3.m3.2.2" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.2.2.cmml">y</mi><mo id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3b"><apply id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.cmml" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3"><eq id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.2.cmml" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.2"></eq><apply id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.cmml" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1"><times id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.2.cmml" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.2"></times><ci id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.3.cmml" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.3">𝑃</ci><apply id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.2">𝑦</ci><ci id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.cmml" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3"><times id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.1"></times><ci id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.2.cmml" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.2">𝑓</ci><interval closure="open" id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.3.1.cmml" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.3.3.3.3.2"><ci id="Thmasm2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.1.1">𝑥</ci><ci id="Thmasm2.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmasm2.p1.3.3.m3.2.2">𝑦</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3c">P(y\mid x)=f(x,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmasm2.p1.3.3.m3.3d">italic_P ( italic_y ∣ italic_x ) = italic_f ( italic_x , italic_y )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmasm2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmasm2.p1.4.4.m4.1a"><mi id="Thmasm2.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmasm2.p1.4.4.m4.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmasm2.p1.4.4.m4.1b"><ci id="Thmasm2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmasm2.p1.4.4.m4.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmasm2.p1.4.4.m4.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmasm2.p1.4.4.m4.1d">italic_f</annotation></semantics></math> is piecewise continuous.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S3.Thmdefinition2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition2.1.1.1">Definition 3.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition2.2.2"> </span>(Partitions)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition2.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmdefinition2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmdefinition2.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmdefinition2.p1.2.2">The observational partition <math alttext="\Pi_{o}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.2" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml">o</mi></msub><mo id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.1" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2"><times id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.2.2.3">𝑜</ci></apply><ci id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1c">\Pi_{o}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> with respect to <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmdefinition2.p1.2.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmdefinition2.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmdefinition2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition2.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S3.Thmdefinition2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.2.2.m2.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition2.p1.2.2.m2.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition2.p1.2.2.m2.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math> is induced by the equivalence relation:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="x_{1}\sim x_{2}\iff\text{for all }y\in\mathcal{Y},\ P\left(Y\mid x_{1}\right)=% P\left(Y\mid x_{2}\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex2.m1.1"><semantics id="S3.Ex2.m1.1a"><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">∼</mo><msub id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.cmml">⇔</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2a.cmml">for all </mtext><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒴</mi></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3" rspace="0.667em" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml">P</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">P</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">∣</mo><msub id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2.m1.1b"><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.3">iff</csymbol><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.1">similar-to</csymbol><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.2.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.4.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><in id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></in><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2a.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">for all </mtext></ci><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑦</ci></apply><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝒴</ci></apply><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2"><eq id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"></eq><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><times id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2"></times><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3">𝑃</ci><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2">𝑌</ci><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><times id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"></times><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑃</ci><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2">𝑌</ci><apply id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m1.1c">x_{1}\sim x_{2}\iff\text{for all }y\in\mathcal{Y},\ P\left(Y\mid x_{1}\right)=% P\left(Y\mid x_{2}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⇔ for all italic_y ∈ caligraphic_Y , italic_P ( italic_Y ∣ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_P ( italic_Y ∣ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.Thmdefinition2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmdefinition2.p1.4.2">The fundamental causal partition <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.2" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.1" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.1" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2"><times id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1c">\Pi_{c}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition2.p1.3.1.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> with respect to <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition2.p1.4.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmdefinition2.p1.4.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmdefinition2.p1.4.2.m2.1.1" xref="S3.Thmdefinition2.p1.4.2.m2.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition2.p1.4.2.m2.1b"><ci id="S3.Thmdefinition2.p1.4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.4.2.m2.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition2.p1.4.2.m2.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition2.p1.4.2.m2.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math> is induced by the equivalence relation:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="x_{1}\sim x_{2}\iff\text{for all }y\in\mathcal{Y},\ P\left(Y\mid\operatorname{% do}\left(x_{1}\right)\right)=P\left(Y\mid\operatorname{do}\left(x_{2}\right)% \right)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex3.m1.3"><semantics id="S3.Ex3.m1.3a"><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.cmml"><msub id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.1.cmml">∼</mo><msub id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml">⇔</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2a.cmml">for all </mtext><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">y</mi></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒴</mi></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.3" rspace="0.667em" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.3.cmml">P</mi><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">Y</mi><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.1.1.cmml">do</mi><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">P</mi><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">Y</mi><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">∣</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.2.2.cmml">do</mi><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1a" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3.m1.3b"><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3">iff</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.1">similar-to</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.4.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1"><in id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"></in><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2a.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2">for all </mtext></ci><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3">𝑦</ci></apply><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.1.1.3">𝒴</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2"><eq id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.3"></eq><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1"><times id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.2"></times><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.3">𝑃</ci><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑌</ci><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1">do</ci><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><times id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2"></times><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3">𝑃</ci><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑌</ci><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><ci id="S3.Ex3.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.2.2">do</ci><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3.m1.3c">x_{1}\sim x_{2}\iff\text{for all }y\in\mathcal{Y},\ P\left(Y\mid\operatorname{% do}\left(x_{1}\right)\right)=P\left(Y\mid\operatorname{do}\left(x_{2}\right)% \right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m1.3d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⇔ for all italic_y ∈ caligraphic_Y , italic_P ( italic_Y ∣ roman_do ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) = italic_P ( italic_Y ∣ roman_do ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.Thmdefinition2.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmdefinition2.p1.6.2">The confounding partition <math alttext="\Pi_{P(X\mid Z)}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2"><semantics id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2a"><mrow id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.cmml"><msub id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.2" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.2.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Z</mi></mrow><mo id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.1" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.3.2" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.2" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.2.cmml">𝒳</mi><mo id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2b"><apply id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3"><times id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.1"></times><apply id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.3.2.2">Π</ci><apply id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1"><times id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑍</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2.2">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2c">\Pi_{P(X\mid Z)}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition2.p1.5.1.m1.2d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_P ( italic_X ∣ italic_Z ) end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> with respect to <math alttext="\mathcal{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition2.p1.6.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmdefinition2.p1.6.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmdefinition2.p1.6.2.m2.1.1" xref="S3.Thmdefinition2.p1.6.2.m2.1.1.cmml">𝒵</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition2.p1.6.2.m2.1b"><ci id="S3.Thmdefinition2.p1.6.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition2.p1.6.2.m2.1.1">𝒵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition2.p1.6.2.m2.1c">\mathcal{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition2.p1.6.2.m2.1d">caligraphic_Z</annotation></semantics></math> is induced by the equivalence relation:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="x_{1}\sim x_{2}\iff\text{for all }z\in\mathcal{Z},\ P\left(x_{1}\mid z\right)=% P\left(x_{2}\mid z\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex4.m1.1"><semantics id="S3.Ex4.m1.1a"><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">∼</mo><msub id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.cmml">⇔</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2a.cmml">for all </mtext><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝒵</mi></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3" rspace="0.667em" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml">P</mi><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">P</mi><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex4.m1.1b"><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3">iff</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.1">similar-to</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.2.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.4.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1"><in id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></in><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2a.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">for all </mtext></ci><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑧</ci></apply><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝒵</ci></apply><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2"><eq id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"></eq><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><times id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2"></times><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3">𝑃</ci><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑧</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><times id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"></times><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑃</ci><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex4.m1.1c">x_{1}\sim x_{2}\iff\text{for all }z\in\mathcal{Z},\ P\left(x_{1}\mid z\right)=% P\left(x_{2}\mid z\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex4.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⇔ for all italic_z ∈ caligraphic_Z , italic_P ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_z ) = italic_P ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_z ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S3.Thmdefinition3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition3.1.1.1">Definition 3.3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition3.2.2"> </span>(Macrostate Manipulation)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition3.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmdefinition3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmdefinition3.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmdefinition3.p1.7.7">The operation <math alttext="do(I=i)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml">o</mi><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.2a" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1"><times id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.2"></times><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.3">𝑑</ci><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.4">𝑜</ci><apply id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1"><eq id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1c">do(I=i)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1d">italic_d italic_o ( italic_I = italic_i )</annotation></semantics></math> on a macrostate <math alttext="I" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1.1.cmml">I</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1.1">𝐼</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1c">I</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1d">italic_I</annotation></semantics></math> is defined by manipulating the underlying microstate to a value <math alttext="x_{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1a"><msub id="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml">k</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1c">x_{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="X(x_{k})=i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.3.cmml">X</mi><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">=</mo><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1"><eq id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.2"></eq><apply id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1"><times id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.3">𝑋</ci><apply id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1c">X(x_{k})=i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition3.p1.4.4.m4.1d">italic_X ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_i</annotation></semantics></math>. Formally, <math alttext="do(I=i)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.4" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.4.cmml">o</mi><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.2a" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1"><times id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.2"></times><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.3">𝑑</ci><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.4.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.4">𝑜</ci><apply id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1"><eq id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1c">do(I=i)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition3.p1.5.5.m5.1d">italic_d italic_o ( italic_I = italic_i )</annotation></semantics></math> is expressed as <math alttext="do(X(x_{k})=i)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">d</mi><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.4" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.4.cmml">o</mi><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.2a" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">X</mi><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1"><times id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.2"></times><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.3">𝑑</ci><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.4.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.4">𝑜</ci><apply id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1"><eq id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.3">𝑋</ci><apply id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply></apply><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1c">do(X(x_{k})=i)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition3.p1.6.6.m6.1d">italic_d italic_o ( italic_X ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_i )</annotation></semantics></math> for <math alttext="I=i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">I</mi><mo id="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml">i</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1b"><apply id="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1"><eq id="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1.1"></eq><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1.2">𝐼</ci><ci id="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1c">I=i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition3.p1.7.7.m7.1d">italic_I = italic_i</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.2 </span>Causal Coarsening Theorem (CCT)</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.1"><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Chalupka et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib9" title="">2017</a>)</cite> prove that the causal partition will (almost always) be a coarsening of the observational partition, which justifies applying clustering algorithm to observed data to uncover the underlying causal structure.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem3.1.1.1">Theorem 3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem3.2.2"> </span>(Causal Coarsening Theorem)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem3.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem3.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem3.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem3.p1.5.5">Consider the set of joint distributions <math alttext="P(X,Y,Z)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3"><semantics id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.2" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml">P</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.1" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.3.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.3" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.3.cmml">Z</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3b"><apply id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4"><times id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.1"></times><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.2">𝑃</ci><vector id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.4.3.2"><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.1.1">𝑋</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.2.2">𝑌</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3.3">𝑍</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3c">P(X,Y,Z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.1.1.m1.3d">italic_P ( italic_X , italic_Y , italic_Z )</annotation></semantics></math> that induce a fixed causal partition <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><msub id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2"><times id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.1"></times><apply id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.2.2">Π</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1c">\Pi_{c}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.2.2.m2.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> and a fixed confounding partition <math alttext="\Pi_{P(X\mid Z)}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2"><semantics id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.cmml"><msub id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.2.2.cmml">Π</mi><mrow id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Z</mi></mrow><mo id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.1" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.cmml">𝒳</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2b"><apply id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3"><times id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.1"></times><apply id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.3.2.2">Π</ci><apply id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1"><times id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.2"></times><ci id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">𝑍</ci></apply></apply></apply><ci id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2.2">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2c">\Pi_{P(X\mid Z)}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.3.3.m3.2d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_P ( italic_X ∣ italic_Z ) end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math>. The subset of distributions where <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.cmml"><msub id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2"><times id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.1"></times><apply id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.2.2">Π</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1c">\Pi_{c}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.4.4.m4.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> is not a coarsening of <math alttext="\Pi_{o}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.cmml"><msub id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.2.3" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.2.3.cmml">o</mi></msub><mo id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.1" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.3.2" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2"><times id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.1"></times><apply id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.2.2">Π</ci><ci id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.2.2.3">𝑜</ci></apply><ci id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1c">\Pi_{o}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem3.p1.5.5.m5.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> has Lebesgue measure zero. </span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="S3.Thmremark1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmremark1.1.1.1">Remark 3.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmremark1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmremark1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmremark1.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmremark1.p1.6.6">Analogous to partitioning <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmremark1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmremark1.p1.1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmremark1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmremark1.p1.1.1.m1.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmremark1.p1.1.1.m1.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math>, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Chalupka et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib9" title="">2017</a>)</cite> define the observational partition <math alttext="\Pi_{o}(\mathcal{Y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.2" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.2.3" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.2.3.cmml">o</mi></msub><mo id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.1" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2"><times id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.2.2.3">𝑜</ci></apply><ci id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1.1">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1c">\Pi_{o}(\mathcal{Y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmremark1.p1.2.2.m2.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_Y )</annotation></semantics></math> and causal partition <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{Y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.cmml"><msub id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.2" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.2.3" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.1" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.3.2" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2"><times id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1.1">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1c">\Pi_{c}(\mathcal{Y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmremark1.p1.3.3.m3.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_Y )</annotation></semantics></math> of <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmremark1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmremark1.p1.4.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmremark1.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S3.Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.4.4.m4.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmremark1.p1.4.4.m4.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmremark1.p1.4.4.m4.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math>. They used the same teniniques stated above to prove the following statement: The subset of distributions where <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{Y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.cmml"><msub id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.2" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.2.3" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.1" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.3.2" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.1" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.1.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2"><times id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.1"></times><apply id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1.1">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1c">\Pi_{c}(\mathcal{Y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmremark1.p1.5.5.m5.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_Y )</annotation></semantics></math> is not a coarsening of <math alttext="\Pi_{o}(\mathcal{Y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.cmml"><msub id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.2" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.2.3" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.2.3.cmml">o</mi></msub><mo id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.1" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.3.2" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2"><times id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.1"></times><apply id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.2.2.3">𝑜</ci></apply><ci id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1.1">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1c">\Pi_{o}(\mathcal{Y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmremark1.p1.6.6.m6.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_Y )</annotation></semantics></math> has Lebesgue measure zero.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.7">Instead of considering point mass of the conditional distribution <math alttext="Y\mid X" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml">X</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.3">𝑋</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.1.m1.1c">Y\mid X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.1.m1.1d">italic_Y ∣ italic_X</annotation></semantics></math>, we consider the probability of <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.2.m2.1b"><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.2.m2.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.2.m2.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math> falling into certain interval while conditioning on <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p2.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.3.m3.1b"><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.3.m3.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.3.m3.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math>. More formally, we discretize <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p2.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.4.m4.1b"><ci id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.4.m4.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.4.m4.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math> into <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p2.5.m5.1a"><mi id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.5.m5.1b"><ci id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.5.m5.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.5.m5.1d">italic_m</annotation></semantics></math> bins of the form <math alttext="(a_{k},a_{k+1}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.6.m6.2"><semantics id="S3.SS2.p2.6.m6.2a"><mrow id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mi id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.4" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3.1" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3.3" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.6.m6.2b"><interval closure="open-closed" id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2"><apply id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.2">𝑎</ci><apply id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3"><plus id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3.1"></plus><ci id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.6.m6.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.6.m6.2c">(a_{k},a_{k+1}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.6.m6.2d">( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, where <math alttext="k=1,2,\dots,m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.7.m7.4"><semantics id="S3.SS2.p2.7.m7.4a"><mrow id="S3.SS2.p2.7.m7.4.5" xref="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.2" xref="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.1" xref="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.3.2" xref="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.3.1.cmml"><mn id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.3.2.1" xref="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.SS2.p2.7.m7.2.2" xref="S3.SS2.p2.7.m7.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.3.2.2" xref="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p2.7.m7.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.p2.7.m7.3.3.cmml">…</mi><mo id="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.3.2.3" xref="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p2.7.m7.4.4" xref="S3.SS2.p2.7.m7.4.4.cmml">m</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.7.m7.4b"><apply id="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.4.5"><eq id="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.1"></eq><ci id="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.2">𝑘</ci><list id="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.4.5.3.2"><cn id="S3.SS2.p2.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.7.m7.1.1">1</cn><cn id="S3.SS2.p2.7.m7.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.7.m7.2.2">2</cn><ci id="S3.SS2.p2.7.m7.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.3.3">…</ci><ci id="S3.SS2.p2.7.m7.4.4.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m7.4.4">𝑚</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.7.m7.4c">k=1,2,\dots,m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.7.m7.4d">italic_k = 1 , 2 , … , italic_m</annotation></semantics></math>. Such discretization induces the observational partition and causal partition for continuous variables.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S3.Thmdefinition4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition4.1.1.1">Definition 3.4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition4.2.2"> </span>(Partitions with Binning)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition4.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmdefinition4.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmdefinition4.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1">For continuous macrostates, the observational partition <math alttext="\Pi_{o}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.2" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml">o</mi></msub><mo id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.1" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2"><times id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.2.2.3">𝑜</ci></apply><ci id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1c">\Pi_{o}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> is induced by the equivalence relation:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx3"> <tbody id="S3.Ex5"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle x_{1}\sim x_{2}\iff" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex5.m1.1"><semantics id="S3.Ex5.m1.1a"><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.2.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.1.cmml">∼</mo><msub id="S3.Ex5.m1.1.1.2.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.cmml">⇔</mo><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m1.1b"><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1">iff</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.1">similar-to</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex5.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex5.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5.m1.1c">\displaystyle x_{1}\sim x_{2}\iff</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⇔</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\text{ for all bins }(a_{k},a_{k+1}]," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex5.m2.1"><semantics id="S3.Ex5.m2.1a"><mrow id="S3.Ex5.m2.1.1.1" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.4a.cmml">for all bins </mtext><mo id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m2.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m2.1b"><apply id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1"><times id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.3"></times><ci id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.4a.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.4"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.4">for all bins </mtext></ci><interval closure="open-closed" id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑎</ci><apply id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3"><plus id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></plus><ci id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5.m2.1c">\displaystyle\text{ for all bins }(a_{k},a_{k+1}],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.m2.1d">for all bins ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex6"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P\left(a_{k}<\mathcal{Y}\leq a_{k+1}\mid x_{1}\right)=P\left(a_{% k}<\mathcal{Y}\leq a_{k+1}\mid x_{2}\right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex6.m1.1"><semantics id="S3.Ex6.m1.1a"><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo fence="true" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">P</mi><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mrow id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo fence="true" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m1.1b"><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><leq id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></leq><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒴</ci><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.3">𝑃</ci><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><leq id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></leq><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">𝒴</ci><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m1.1c">\displaystyle P\left(a_{k}<\mathcal{Y}\leq a_{k+1}\mid x_{1}\right)=P\left(a_{% k}<\mathcal{Y}\leq a_{k+1}\mid x_{2}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m1.1d">italic_P ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT < caligraphic_Y ≤ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_P ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT < caligraphic_Y ≤ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.Thmdefinition4.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1">Analogously, the causal partition <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.2" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.1" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.1" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2"><times id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1c">\Pi_{c}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition4.p1.2.1.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> with binning is induced by the equivalence relation:</span></p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx4"> <tbody id="S3.Ex7"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle x_{1}\sim x_{2}\iff" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex7.m1.1"><semantics id="S3.Ex7.m1.1a"><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex7.m1.1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.2.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.1.cmml">∼</mo><msub id="S3.Ex7.m1.1.1.2.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.3.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex7.m1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.cmml">⇔</mo><mi id="S3.Ex7.m1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3.cmml"></mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m1.1b"><apply id="S3.Ex7.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1">iff</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex7.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.1">similar-to</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex7.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.3.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex7.m1.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex7.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.1.1.3">absent</csymbol></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m1.1c">\displaystyle x_{1}\sim x_{2}\iff</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⇔</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\text{ for all bins }(a_{k},a_{k+1}]," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex7.m2.1"><semantics id="S3.Ex7.m2.1a"><mrow id="S3.Ex7.m2.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.4a.cmml">for all bins </mtext><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.1" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m2.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m2.1b"><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1"><times id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.3"></times><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.4a.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.4"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.4">for all bins </mtext></ci><interval closure="open-closed" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.2">𝑎</ci><apply id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3"><plus id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.1"></plus><ci id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m2.1.1.1.1.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m2.1c">\displaystyle\text{ for all bins }(a_{k},a_{k+1}],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m2.1d">for all bins ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex8"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\ P\left(a_{k}<\mathcal{Y}\leq a_{k+1}\mid\operatorname{do}(x_{1}% )\right)=P\left(a_{k}<\mathcal{Y}\leq a_{k+1}\mid\operatorname{do}(x_{2})% \right)." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex8.m1.3"><semantics id="S3.Ex8.m1.3a"><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo fence="true" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.cmml">do</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">P</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.2.cmml">a</mi><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo fence="true" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.cmml">do</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1a" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">⁡</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex8.m1.3b"><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.3"></eq><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑎</ci><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><leq id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></leq><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒴</ci><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1"><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1">do</ci><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2"><times id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.2"></times><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.3">𝑃</ci><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1"><times id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.3"></times><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.2">𝑎</ci><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.4.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><leq id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></leq><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">𝒴</ci><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1"><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2">do</ci><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex8.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex8.m1.3c">\displaystyle\ P\left(a_{k}<\mathcal{Y}\leq a_{k+1}\mid\operatorname{do}(x_{1}% )\right)=P\left(a_{k}<\mathcal{Y}\leq a_{k+1}\mid\operatorname{do}(x_{2})% \right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex8.m1.3d">italic_P ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT < caligraphic_Y ≤ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ∣ roman_do ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) ) = italic_P ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT < caligraphic_Y ≤ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ∣ roman_do ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.2">The binning process involves partitioning continuous variables into discrete intervals, allowing CFL to apply in scenarios where variables are not naturally categorical. The choice of the number of bins <math alttext="m" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml">m</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1">𝑚</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.1.m1.1c">m</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.1.m1.1d">italic_m</annotation></semantics></math> and the binning thresholds <math alttext="(a_{k},a_{k+1}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.2.m2.2"><semantics id="S3.SS2.p3.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.4" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.1" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.2.m2.2b"><interval closure="open-closed" id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2"><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.2">𝑎</ci><apply id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3"><plus id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.1"></plus><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.2.m2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.2.m2.2c">(a_{k},a_{k+1}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.2.m2.2d">( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math> can be guided by statistical methods such as equal-width binning, equal-frequency binning, or more sophisticated techniques like entropy-based binning to optimize the preservation of causal relationships. With the binning technique, the Causal Coarsening Theorem extends to continuous variables straightaway:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem4.1.1.1">Theorem 4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem4.2.2"> </span>(Extended Causal Coarsening Theorem)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem4.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem4.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem4.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem4.p1.5.5">Consider the set of joint distributions <math alttext="P(X,Y,Z)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3"><semantics id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.2" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml">P</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.1" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.2.3" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.3" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.3.cmml">Z</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3b"><apply id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4"><times id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.1"></times><ci id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.2">𝑃</ci><vector id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.4.3.2"><ci id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.1.1">𝑋</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.2.2">𝑌</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3.3">𝑍</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3c">P(X,Y,Z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.1.1.m1.3d">italic_P ( italic_X , italic_Y , italic_Z )</annotation></semantics></math> that induce a fixed causal partition <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><msub id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2.3" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.1" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2"><times id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.1"></times><apply id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2.2">Π</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1c">\Pi_{c}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.2.2.m2.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> and a fixed confounding partition <math alttext="\Pi_{P(X\mid Z)}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2"><semantics id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.cmml"><msub id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.2.2.cmml">Π</mi><mrow id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Z</mi></mrow><mo id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.1" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.cmml">𝒳</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2b"><apply id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3"><times id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.1"></times><apply id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.3.2.2">Π</ci><apply id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1"><times id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.2"></times><ci id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3">𝑍</ci></apply></apply></apply><ci id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2.2">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2c">\Pi_{P(X\mid Z)}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.3.3.m3.2d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_P ( italic_X ∣ italic_Z ) end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math>. Under the binning technique defined in Definition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S3.Thmdefinition4" title="Definition 3.4 (Partitions with Binning). ‣ 3.2 Causal Coarsening Theorem (CCT) ‣ 3 Causal Feature Learning ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.4</span></a>, the subset of distributions where <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.cmml"><msub id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.2.3" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.1" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2"><times id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.1"></times><apply id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.2.2">Π</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1c">\Pi_{c}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.4.4.m4.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> is not a coarsening of <math alttext="\Pi_{o}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.cmml"><msub id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.2" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.2.3" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.2.3.cmml">o</mi></msub><mo id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.1" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.3.2" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2"><times id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.1"></times><apply id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.2.2">Π</ci><ci id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.2.2.3">𝑜</ci></apply><ci id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1c">\Pi_{o}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem4.p1.5.5.m5.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> has Lebesgue measure zero. </span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.1">The full proof is relegated to Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A1" title="Appendix A Proof of Theorem 4 ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A</span></a>. Here we include a sketch:</p> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.SS2.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof Sketch.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.1.p1.6">Define the following probabilities:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx5"> <tbody id="S3.Ex9"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\alpha_{k,x,z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex9.m1.3"><semantics id="S3.Ex9.m1.3a"><msub id="S3.Ex9.m1.3.4" xref="S3.Ex9.m1.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.3.4.2" xref="S3.Ex9.m1.3.4.2.cmml">α</mi><mrow id="S3.Ex9.m1.3.3.3.5" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.3.5.1" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex9.m1.3.3.3.5.2" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex9.m1.3.3.3.3" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.3.cmml">z</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex9.m1.3b"><apply id="S3.Ex9.m1.3.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.4.2">𝛼</ci><list id="S3.Ex9.m1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.5"><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.Ex9.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.3.3.3.3">𝑧</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex9.m1.3c">\displaystyle\alpha_{k,x,z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex9.m1.3d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_x , italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\triangleq P(\alpha_{k}<\mathcal{Y}\leq\alpha_{k+1}\mid x,z)," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex9.m2.3"><semantics id="S3.Ex9.m2.3a"><mrow id="S3.Ex9.m2.3.3.1" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.2.cmml">≜</mo><mrow id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">α</mi><mrow id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo fence="true" id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo></mrow><mo id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex9.m2.1.1" xref="S3.Ex9.m2.1.1.cmml">x</mi></mrow><mo id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex9.m2.2.2" xref="S3.Ex9.m2.2.2.cmml">z</mi><mo id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex9.m2.3.3.1.2" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex9.m2.3b"><apply id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1"><ci id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.2">≜</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1"><times id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.3">𝑃</ci><interval closure="open" id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><ci id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">bra</csymbol><apply id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><leq id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></leq><ci id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝒴</ci><apply id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛼</ci><apply id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m2.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex9.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m2.1.1">𝑥</ci></apply><ci id="S3.Ex9.m2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m2.2.2">𝑧</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex9.m2.3c">\displaystyle\triangleq P(\alpha_{k}<\mathcal{Y}\leq\alpha_{k+1}\mid x,z),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex9.m2.3d">≜ italic_P ( italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT < caligraphic_Y ≤ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_x , italic_z ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex10"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\beta_{x,z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex10.m1.2"><semantics id="S3.Ex10.m1.2a"><msub id="S3.Ex10.m1.2.3" xref="S3.Ex10.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.3.2" xref="S3.Ex10.m1.2.3.2.cmml">β</mi><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.2.4" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.cmml">z</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex10.m1.2b"><apply id="S3.Ex10.m1.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.3.2">𝛽</ci><list id="S3.Ex10.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.2.2">𝑧</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex10.m1.2c">\displaystyle\beta_{x,z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex10.m1.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x , italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\triangleq P(x\mid z)," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex10.m2.1"><semantics id="S3.Ex10.m2.1a"><mrow id="S3.Ex10.m2.1.1.1" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.2.cmml">≜</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m2.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex10.m2.1b"><apply id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1"><ci id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.2">≜</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑧</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex10.m2.1c">\displaystyle\triangleq P(x\mid z),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex10.m2.1d">≜ italic_P ( italic_x ∣ italic_z ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.Ex11"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex11.m1.1"><semantics id="S3.Ex11.m1.1a"><msub id="S3.Ex11.m1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.1.1.3.cmml">z</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex11.m1.1b"><apply id="S3.Ex11.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex11.m1.1c">\displaystyle\gamma_{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex11.m1.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\triangleq P(z)." class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex11.m2.2"><semantics id="S3.Ex11.m2.2a"><mrow id="S3.Ex11.m2.2.2.1" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.1.cmml">≜</mo><mrow id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.2.cmml">P</mi><mo id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.1" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex11.m2.1.1" xref="S3.Ex11.m2.1.1.cmml">z</mi><mo id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex11.m2.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex11.m2.2b"><apply id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1"><ci id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.1">≜</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3"><times id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m2.2.2.1.1.3.2">𝑃</ci><ci id="S3.Ex11.m2.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m2.1.1">𝑧</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex11.m2.2c">\displaystyle\triangleq P(z).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex11.m2.2d">≜ italic_P ( italic_z ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.1.p1.5">Fixing <math alttext="\beta_{x,z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.1.m1.2"><semantics id="S3.SS2.1.p1.1.m1.2a"><msub id="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.3" xref="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.3.2" xref="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.3.2.cmml">β</mi><mrow id="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.2.2.4" xref="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml">z</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.1.m1.2b"><apply id="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.3.2">𝛽</ci><list id="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="S3.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.1.m1.1.1.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.1.m1.2.2.2.2">𝑧</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.1.m1.2c">\beta_{x,z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.1.m1.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x , italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> directly fixes <math alttext="\Pi_{P(X\mid Z)}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.cmml"><msub id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.2" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Z</mi></mrow><mo id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.1" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.2" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.2.cmml">𝒳</mi><mo id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2b"><apply id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3"><times id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.1"></times><apply id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.3.2.2">Π</ci><apply id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1"><times id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑍</ci></apply></apply></apply><ci id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.2.m2.2.2">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2c">\Pi_{P(X\mid Z)}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.2.m2.2d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_P ( italic_X ∣ italic_Z ) end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math>, and fixing <math alttext="\alpha_{k,x,z}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3"><semantics id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3a"><msub id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.4" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.4.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.4.2" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.4.2.cmml">α</mi><mrow id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.3.5" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.3.5.1" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.3.5.2" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.3.3" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.3.3.cmml">z</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3b"><apply id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.4.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.4.2">𝛼</ci><list id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.3.4.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.3.5"><ci id="S3.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.2.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.3.m3.3.3.3.3">𝑧</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3c">\alpha_{k,x,z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.3.m3.3d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_x , italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> directly fixes <math alttext="\Pi_{P(Y\mid X,Z)}(\mathcal{Y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4"><semantics id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4a"><mrow id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.cmml"><msub id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.2" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.2.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.2.2.cmml">Π</mi><mrow id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.5" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.5.cmml">P</mi><mo id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.4" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.2" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.3.2" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml">X</mi><mo id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.3.2.1" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.1.p1.4.m4.2.2.2.2" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml">Z</mi></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.1" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.3.2" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.cmml"><mo id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.4" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.4.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4b"><apply id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5"><times id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.1"></times><apply id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.2.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.2.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.5.2.2">Π</ci><apply id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3"><times id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.4.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.4"></times><ci id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.5.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.5">𝑃</ci><apply id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.2">𝑌</ci><list id="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.3.3.3.3.1.1.3.2"><ci id="S3.SS2.1.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.1.1.1.1">𝑋</ci><ci id="S3.SS2.1.p1.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.2.2.2.2">𝑍</ci></list></apply></apply></apply><ci id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.4.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.4.m4.4.4">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4c">\Pi_{P(Y\mid X,Z)}(\mathcal{Y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.4.m4.4d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_P ( italic_Y ∣ italic_X , italic_Z ) end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_Y )</annotation></semantics></math>, effectively fixing <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.cmml"><msub id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.2" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.2.3" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.1" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.3.2" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2"><times id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.1"></times><apply id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.1.p1.5.m5.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1c">\Pi_{c}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.1.p1.5.m5.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.2.p2.5">The conditions <math alttext="O(x_{1})=O(x_{2})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2"><semantics id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2a"><mrow id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml">O</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.3" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.3" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml">O</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.2" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2b"><apply id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2"><eq id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.3"></eq><apply id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1"><times id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.3">𝑂</ci><apply id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2"><times id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.2"></times><ci id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.3">𝑂</ci><apply id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.2.2.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2c">O(x_{1})=O(x_{2})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.2.p2.1.m1.2d">italic_O ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_O ( italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> can be expressed as equations based on <math alttext="(\alpha,\beta,\gamma)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.2.p2.2.m2.3"><semantics id="S3.SS2.2.p2.2.m2.3a"><mrow id="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.4.2" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.4.1.cmml"><mo id="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.cmml">α</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.4.2.2" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.2.p2.2.m2.2.2" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.4.2.3" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.3" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.3.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.4.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.4.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.2.p2.2.m2.3b"><vector id="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.4.2"><ci id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1">𝛼</ci><ci id="S3.SS2.2.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.2.2">𝛽</ci><ci id="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.3.3">𝛾</ci></vector></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.2.p2.2.m2.3c">(\alpha,\beta,\gamma)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.2.p2.2.m2.3d">( italic_α , italic_β , italic_γ )</annotation></semantics></math>, which turn out to impose polynomial constraints on the joint distribution <math alttext="P[\gamma;\alpha,\beta]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3"><semantics id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3a"><mrow id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.cmml"><mi id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.2" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.2.cmml">P</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.1" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.3.2" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS2.2.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.3.2.2" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.SS2.2.p2.3.m3.2.2" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.3.2.3" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.3" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.3.cmml">β</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3b"><apply id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4"><times id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.1"></times><ci id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.2">𝑃</ci><list id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.4.3.2"><ci id="S3.SS2.2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.1.1">𝛾</ci><ci id="S3.SS2.2.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.3.3">𝛽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3c">P[\gamma;\alpha,\beta]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.2.p2.3.m3.3d">italic_P [ italic_γ ; italic_α , italic_β ]</annotation></semantics></math>. These constraints are non-trivial, as demonstrated by constructing specific examples where they do not hold. Therefore, the subset of <math alttext="P[\gamma;\alpha,\beta]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3"><semantics id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3a"><mrow id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.cmml"><mi id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.2" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.2.cmml">P</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.1" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.3.2" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS2.2.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.1.1.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.3.2.2" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.SS2.2.p2.4.m4.2.2" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.2.2.cmml">α</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.3.2.3" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.3" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.3.cmml">β</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3b"><apply id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4"><times id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.1"></times><ci id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.2">𝑃</ci><list id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.4.3.2"><ci id="S3.SS2.2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.1.1">𝛾</ci><ci id="S3.SS2.2.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.3.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.4.m4.3.3">𝛽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3c">P[\gamma;\alpha,\beta]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.2.p2.4.m4.3d">italic_P [ italic_γ ; italic_α , italic_β ]</annotation></semantics></math> violating the theorem’s conditions is of Lebesgue measure zero. Consequently, the subset of joint distributions <math alttext="P(X,Y,Z)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3"><semantics id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3a"><mrow id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.cmml"><mi id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.2" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.2.cmml">P</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.1" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.3.2" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.2.p2.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.1.1.cmml">X</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.3.2.2" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.2.p2.5.m5.2.2" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.3.2.3" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.3" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.3.cmml">Z</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3b"><apply id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4"><times id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.1"></times><ci id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.2">𝑃</ci><vector id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.4.3.2"><ci id="S3.SS2.2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.1.1">𝑋</ci><ci id="S3.SS2.2.p2.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.2.2">𝑌</ci><ci id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.3.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.5.m5.3.3">𝑍</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3c">P(X,Y,Z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.2.p2.5.m5.3d">italic_P ( italic_X , italic_Y , italic_Z )</annotation></semantics></math> that violate the theorem is also of measure zero. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="S3.Thmremark2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmremark2.1.1.1">Remark 3.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmremark2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmremark2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmremark2.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmremark2.p1.7.7">Analogously, we could define the observational partition <math alttext="\Pi_{o}(\mathcal{Y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><msub id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.2" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.2.3" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml">o</mi></msub><mo id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.1" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.3.2" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2"><times id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.1"></times><apply id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.2.2.3">𝑜</ci></apply><ci id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1.1">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1c">\Pi_{o}(\mathcal{Y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmremark2.p1.1.1.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_Y )</annotation></semantics></math> and causal partition <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{Y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><msub id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.2" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.2.3" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.1" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2"><times id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.1"></times><apply id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1.1">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1c">\Pi_{c}(\mathcal{Y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmremark2.p1.2.2.m2.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_Y )</annotation></semantics></math> of <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmremark2.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S3.Thmremark2.p1.3.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmremark2.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmremark2.p1.3.3.m3.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmremark2.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S3.Thmremark2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.3.3.m3.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmremark2.p1.3.3.m3.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmremark2.p1.3.3.m3.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math> with the binning technique. The same argument applies to the <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{Y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.cmml"><msub id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.2" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.2.3" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.1" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.3.2" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.1.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2"><times id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.1"></times><apply id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1.1">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1c">\Pi_{c}(\mathcal{Y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmremark2.p1.4.4.m4.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_Y )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Pi_{o}(\mathcal{Y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.cmml"><msub id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.2" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.2.3" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.2.3.cmml">o</mi></msub><mo id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.1" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.3.2" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.1" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.1.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2"><times id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.1"></times><apply id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.2.2.3">𝑜</ci></apply><ci id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1.1">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1c">\Pi_{o}(\mathcal{Y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmremark2.p1.5.5.m5.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_Y )</annotation></semantics></math>, ensuring that the subset of distributions where <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{Y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.cmml"><msub id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.2" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.2.3" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.1" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.3.2" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.1" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.1.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2"><times id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.1"></times><apply id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1.1">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1c">\Pi_{c}(\mathcal{Y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmremark2.p1.6.6.m6.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_Y )</annotation></semantics></math> is not a coarsening of <math alttext="\Pi_{o}(\mathcal{Y})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.cmml"><msub id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.2" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.2.3" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.2.3.cmml">o</mi></msub><mo id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.1" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.3.2" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.1" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.1.cmml">𝒴</mi><mo id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1b"><apply id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2"><times id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.1"></times><apply id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.2.2">Π</ci><ci id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.2.2.3">𝑜</ci></apply><ci id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1.1">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1c">\Pi_{o}(\mathcal{Y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmremark2.p1.7.7.m7.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_Y )</annotation></semantics></math> also has Lebesgue measure zero.</span></p> </div> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.3 </span>Approximate Partitions</h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.5">The causal coarsening theorem says that the causal partition refines the observational one. But it provides no guarantee regarding the size of the partition. At the extreme, if each state <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.1.m1.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.1.m1.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.1.m1.1d">italic_x</annotation></semantics></math> has a distinctive effect <math alttext="y" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p1.2.m2.1a"><mi id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml">y</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.2.m2.1b"><ci id="S3.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.2.m2.1.1">𝑦</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.2.m2.1c">y</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.2.m2.1d">italic_y</annotation></semantics></math>, the partition will be trivial: no two states <math alttext="x,y^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.3.m3.2"><semantics id="S3.SS3.p1.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1" xref="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1.2" xref="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.2.cmml">,</mo><msup id="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1" xref="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.3.cmml">′</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.3.m3.2b"><list id="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1"><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.1.1">𝑥</ci><apply id="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.2">𝑦</ci><ci id="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.3.m3.2.2.1.1.3">′</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.3.m3.2c">x,y^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.3.m3.2d">italic_x , italic_y start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> will belong to the same equivalence class. A natural question, then, is whether one can find a partition <math alttext="\Pi(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p1.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.4.m4.1.2" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.2.cmml">Π</mi><mo id="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.1" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.3.2" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.2"><times id="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.1"></times><ci id="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.2.2">Π</ci><ci id="S3.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.4.m4.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.4.m4.1c">\Pi(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.4.m4.1d">roman_Π ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> which ensures that states <math alttext="x\in\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS3.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.3.cmml">𝒳</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1"><in id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.1"></in><ci id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.5.m5.1.1.3">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.5.m5.1c">x\in\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.5.m5.1d">italic_x ∈ caligraphic_X</annotation></semantics></math> have effects which are individually close to the average within their cell:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bigg{|}P(y|x)-\sum_{x^{\prime}\sim X}P(y\,|\,x^{\prime})\bigg{|}<\epsilon." class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.Ex12.m1.1"><semantics id="S3.Ex12.m1.1a"><mrow id="S3.Ex12.m1.1b"><mo fence="false" id="S3.Ex12.m1.1.1" maxsize="210%" minsize="210%" rspace="0.167em">|</mo><mi id="S3.Ex12.m1.1.2">P</mi><mrow id="S3.Ex12.m1.1.3"><mo id="S3.Ex12.m1.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex12.m1.1.3.2">y</mi><mo fence="false" id="S3.Ex12.m1.1.3.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><mi id="S3.Ex12.m1.1.3.4">x</mi><mo id="S3.Ex12.m1.1.3.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.1.4" rspace="0.055em">−</mo><munder id="S3.Ex12.m1.1.5"><mo id="S3.Ex12.m1.1.5.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.1.5.3"><msup id="S3.Ex12.m1.1.5.3.2"><mi id="S3.Ex12.m1.1.5.3.2.2">x</mi><mo id="S3.Ex12.m1.1.5.3.2.3">′</mo></msup><mo id="S3.Ex12.m1.1.5.3.1">∼</mo><mi id="S3.Ex12.m1.1.5.3.3">X</mi></mrow></munder><mi id="S3.Ex12.m1.1.6">P</mi><mrow id="S3.Ex12.m1.1.7"><mo id="S3.Ex12.m1.1.7.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.Ex12.m1.1.7.2">y</mi><mo fence="false" id="S3.Ex12.m1.1.7.3" lspace="0.170em" rspace="0.337em" stretchy="false">|</mo><msup id="S3.Ex12.m1.1.7.4"><mi id="S3.Ex12.m1.1.7.4.2">x</mi><mo id="S3.Ex12.m1.1.7.4.3">′</mo></msup><mo id="S3.Ex12.m1.1.7.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex12.m1.1.8" maxsize="210%" minsize="210%">|</mo><mo id="S3.Ex12.m1.1.9" lspace="0.167em"><</mo><mi id="S3.Ex12.m1.1.10">ϵ</mi><mo id="S3.Ex12.m1.1.11" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex12.m1.1c">\bigg{|}P(y|x)-\sum_{x^{\prime}\sim X}P(y\,|\,x^{\prime})\bigg{|}<\epsilon.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex12.m1.1d">| italic_P ( italic_y | italic_x ) - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∼ italic_X end_POSTSUBSCRIPT italic_P ( italic_y | italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) | < italic_ϵ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.14">The objective is to maximize the minimum value of <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.6.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p1.6.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.6.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p1.6.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.6.m1.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.6.m1.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.6.m1.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math> for which the above holds for all pairs <math alttext="(x,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.7.m2.2"><semantics id="S3.SS3.p1.7.m2.2a"><mrow id="S3.SS3.p1.7.m2.2.3.2" xref="S3.SS3.p1.7.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.7.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.7.m2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.SS3.p1.7.m2.2.3.2.2" xref="S3.SS3.p1.7.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p1.7.m2.2.2" xref="S3.SS3.p1.7.m2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S3.SS3.p1.7.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.7.m2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.7.m2.2b"><interval closure="open" id="S3.SS3.p1.7.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m2.2.3.2"><ci id="S3.SS3.p1.7.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m2.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.SS3.p1.7.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.7.m2.2.2">𝑦</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.7.m2.2c">(x,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.7.m2.2d">( italic_x , italic_y )</annotation></semantics></math> (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Beckers et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib3" title="">2019</a>)</cite>). This may be relaxed to hold on average over all pairs <math alttext="(x,y)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.8.m3.2"><semantics id="S3.SS3.p1.8.m3.2a"><mrow id="S3.SS3.p1.8.m3.2.3.2" xref="S3.SS3.p1.8.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.8.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.8.m3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p1.8.m3.1.1" xref="S3.SS3.p1.8.m3.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.SS3.p1.8.m3.2.3.2.2" xref="S3.SS3.p1.8.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p1.8.m3.2.2" xref="S3.SS3.p1.8.m3.2.2.cmml">y</mi><mo id="S3.SS3.p1.8.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.8.m3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.8.m3.2b"><interval closure="open" id="S3.SS3.p1.8.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.8.m3.2.3.2"><ci id="S3.SS3.p1.8.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.8.m3.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.SS3.p1.8.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.8.m3.2.2">𝑦</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.8.m3.2c">(x,y)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.8.m3.2d">( italic_x , italic_y )</annotation></semantics></math> (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Rischel and Weichwald (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib36" title="">2021</a>)</cite>),<span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote4"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">4</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">4</span>For a very general statement of the objective, see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">(Geiger et al., <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib14" title="">2024</a>, p. 18)</cite>.</span></span></span> but here we consider a different relaxation: we can require that the average effects across any <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.9.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p1.9.m4.1a"><mi id="S3.SS3.p1.9.m4.1.1" xref="S3.SS3.p1.9.m4.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.9.m4.1b"><ci id="S3.SS3.p1.9.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.9.m4.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.9.m4.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.9.m4.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-fraction of the variables in a cell be <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.10.m5.1"><semantics id="S3.SS3.p1.10.m5.1a"><mi id="S3.SS3.p1.10.m5.1.1" xref="S3.SS3.p1.10.m5.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.10.m5.1b"><ci id="S3.SS3.p1.10.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.10.m5.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.10.m5.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.10.m5.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-close to the average effects across the cell as a whole. In other words, where <math alttext="W_{x}=\{x^{\prime}:x\sim x^{\prime}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.11.m6.2"><semantics id="S3.SS3.p1.11.m6.2a"><mrow id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.cmml"><msub id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.4" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.4.2" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.4.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.4.3" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.4.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.3" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.3.1.cmml">{</mo><msup id="S3.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.4" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.3.1.cmml">:</mo><mrow id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.1" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.1.cmml">∼</mo><msup id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.3.2" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.3.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.3.3" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.3.3.cmml">′</mo></msup></mrow><mo id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.11.m6.2b"><apply id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2"><eq id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.3"></eq><apply id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.4.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.4.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.4.3">𝑥</ci></apply><apply id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S3.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.1.1.1.1.1.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.1">similar-to</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci><apply id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.11.m6.2.2.2.2.2.3.3">′</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.11.m6.2c">W_{x}=\{x^{\prime}:x\sim x^{\prime}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.11.m6.2d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT = { italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT : italic_x ∼ italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math>, and similarly for <math alttext="W_{y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.12.m7.1"><semantics id="S3.SS3.p1.12.m7.1a"><msub id="S3.SS3.p1.12.m7.1.1" xref="S3.SS3.p1.12.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.12.m7.1.1.2" xref="S3.SS3.p1.12.m7.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS3.p1.12.m7.1.1.3" xref="S3.SS3.p1.12.m7.1.1.3.cmml">y</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.12.m7.1b"><apply id="S3.SS3.p1.12.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.12.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.12.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.12.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.12.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.12.m7.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS3.p1.12.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.12.m7.1.1.3">𝑦</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.12.m7.1c">W_{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.12.m7.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we require that for disjoint <math alttext="A,B\subseteq W_{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.13.m8.2"><semantics id="S3.SS3.p1.13.m8.2a"><mrow id="S3.SS3.p1.13.m8.2.3" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.2.2" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.2.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.13.m8.1.1" xref="S3.SS3.p1.13.m8.1.1.cmml">A</mi><mo id="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.2.2.1" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p1.13.m8.2.2" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.2.cmml">B</mi></mrow><mo id="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.1" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.1.cmml">⊆</mo><msub id="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.3" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.3.2" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.3.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.3.3" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.3.3.cmml">x</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.13.m8.2b"><apply id="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.3"><subset id="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.1"></subset><list id="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.2.2"><ci id="S3.SS3.p1.13.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.13.m8.1.1">𝐴</ci><ci id="S3.SS3.p1.13.m8.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.2">𝐵</ci></list><apply id="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.3.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.13.m8.2.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.13.m8.2c">A,B\subseteq W_{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.13.m8.2d">italic_A , italic_B ⊆ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="\epsilon<\nicefrac{{|A|}}{{|W_{x}|}},\nicefrac{{|B|}}{{|W_{y}|}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p1.14.m9.4"><semantics id="S3.SS3.p1.14.m9.4a"><mrow id="S3.SS3.p1.14.m9.4.5" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.2" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.1" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.3.2" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.3.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.cmml"><mpadded id="S3.SS3.p1.14.m9.1.1.1.3" voffset="0.3em" xref="S3.SS3.p1.14.m9.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.14.m9.1.1.1.3.1" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.SS3.p1.14.m9.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS3.p1.14.m9.1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S3.SS3.p1.14.m9.1.1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S3.SS3.p1.14.m9.1.1.1.3.2" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.SS3.p1.14.m9.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mpadded><mpadded id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.3" lspace="-0.1em" width="-0.15em" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.3a" stretchy="true" symmetric="true" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.3.cmml">/</mo></mpadded><mrow id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.2" lspace="0.222em" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.1" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.1.2" mathsize="70%" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.1.3" mathsize="71%" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.1.3.cmml">x</mi></msub><mo id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.3" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.3.2.1" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.3.1.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.cmml"><mpadded id="S3.SS3.p1.14.m9.3.3.1.3" voffset="0.3em" xref="S3.SS3.p1.14.m9.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.14.m9.3.3.1.3.1" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.SS3.p1.14.m9.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS3.p1.14.m9.3.3.1.1" mathsize="70%" xref="S3.SS3.p1.14.m9.3.3.1.1.cmml">B</mi><mo id="S3.SS3.p1.14.m9.3.3.1.3.2" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.SS3.p1.14.m9.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mpadded><mpadded id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.3" lspace="-0.1em" width="-0.15em" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.3.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.3a" stretchy="true" symmetric="true" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.3.cmml">/</mo></mpadded><mrow id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.2" lspace="0.222em" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.1" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.1.2" mathsize="70%" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.1.3" mathsize="71%" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.1.3.cmml">y</mi></msub><mo id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.3" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p1.14.m9.4b"><apply id="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.5"><lt id="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.1"></lt><ci id="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.2">italic-ϵ</ci><list id="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.5.3.2"><apply id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2"><divide id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.3"></divide><apply id="S3.SS3.p1.14.m9.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.1.1.1.3"><abs id="S3.SS3.p1.14.m9.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.1.1.1.3.1"></abs><ci id="S3.SS3.p1.14.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.1.1.1.1">𝐴</ci></apply><apply id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1"><abs id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.2"></abs><apply id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.2.2.2.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4"><divide id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.3"></divide><apply id="S3.SS3.p1.14.m9.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.3.3.1.3"><abs id="S3.SS3.p1.14.m9.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.3.3.1.3.1"></abs><ci id="S3.SS3.p1.14.m9.3.3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.3.3.1.1">𝐵</ci></apply><apply id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1"><abs id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.2"></abs><apply id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p1.14.m9.4.4.2.1.1.3">𝑦</ci></apply></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p1.14.m9.4c">\epsilon<\nicefrac{{|A|}}{{|W_{x}|}},\nicefrac{{|B|}}{{|W_{y}|}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p1.14.m9.4d">italic_ϵ < / start_ARG | italic_A | end_ARG start_ARG | italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT | end_ARG , / start_ARG | italic_B | end_ARG start_ARG | italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT | end_ARG</annotation></semantics></math>,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bigg{|}\sum_{x^{\prime}\in A,y^{\prime}\in B}P(x^{\prime}|y^{\prime})-\sum_{x% ^{\prime\prime}\in W_{x},y^{\prime\prime}\in W_{y}}P(x^{\prime\prime}|y^{% \prime\prime})\bigg{|}<\epsilon" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.Ex13.m1.4"><semantics id="S3.Ex13.m1.4a"><mrow id="S3.Ex13.m1.4b"><mo fence="false" id="S3.Ex13.m1.4.5" maxsize="210%" minsize="210%">|</mo><munder id="S3.Ex13.m1.4.6"><mo id="S3.Ex13.m1.4.6.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2"><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1"><msup id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.2.2">x</mi><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.2.3">′</mo></msup><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.1">∈</mo><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.1.3">A</mi></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.3">,</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.2"><msup id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.2.2"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.2.2.2">y</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.2.2.3">′</mo></msup><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.2.1">∈</mo><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.2.2.2.3">B</mi></mrow></mrow></munder><mi id="S3.Ex13.m1.4.7">P</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.4.8"><mo id="S3.Ex13.m1.4.8.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.Ex13.m1.4.8.2"><mi id="S3.Ex13.m1.4.8.2.2">x</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.8.2.3">′</mo></msup><mo fence="false" id="S3.Ex13.m1.4.8.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msup id="S3.Ex13.m1.4.8.4"><mi id="S3.Ex13.m1.4.8.4.2">y</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.8.4.3">′</mo></msup><mo id="S3.Ex13.m1.4.8.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.9" rspace="0.055em">−</mo><munder id="S3.Ex13.m1.4.10"><mo id="S3.Ex13.m1.4.10.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2"><mrow id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1"><msup id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.2"><mi id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.2.2">x</mi><mo id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.2.3">′′</mo></msup><mo id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.1">∈</mo><msub id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3"><mi id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.2">W</mi><mi id="S3.Ex13.m1.3.3.1.1.1.3.3">x</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.3">,</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2"><msup id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.2"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.2.2">y</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.2.3">′′</mo></msup><mo id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.1">∈</mo><msub id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.3"><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.3.2">W</mi><mi id="S3.Ex13.m1.4.4.2.2.2.3.3">y</mi></msub></mrow></mrow></munder><mi id="S3.Ex13.m1.4.11">P</mi><mrow id="S3.Ex13.m1.4.12"><mo id="S3.Ex13.m1.4.12.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.Ex13.m1.4.12.2"><mi id="S3.Ex13.m1.4.12.2.2">x</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.12.2.3">′′</mo></msup><mo fence="false" id="S3.Ex13.m1.4.12.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msup id="S3.Ex13.m1.4.12.4"><mi id="S3.Ex13.m1.4.12.4.2">y</mi><mo id="S3.Ex13.m1.4.12.4.3">′′</mo></msup><mo id="S3.Ex13.m1.4.12.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex13.m1.4.13" maxsize="210%" minsize="210%">|</mo><mo id="S3.Ex13.m1.4.14" lspace="0.167em"><</mo><mi id="S3.Ex13.m1.4.15">ϵ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex13.m1.4c">\bigg{|}\sum_{x^{\prime}\in A,y^{\prime}\in B}P(x^{\prime}|y^{\prime})-\sum_{x% ^{\prime\prime}\in W_{x},y^{\prime\prime}\in W_{y}}P(x^{\prime\prime}|y^{% \prime\prime})\bigg{|}<\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex13.m1.4d">| ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ italic_A , italic_y start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ italic_B end_POSTSUBSCRIPT italic_P ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | italic_y start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_P ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT | italic_y start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) | < italic_ϵ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p2.4">As we now show, the existence of such partitions over <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p2.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.1.m1.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.1.m1.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math> (and <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p2.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.2.m2.1b"><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.2.m2.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.2.m2.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math>), and their relationship to the “randomness” of the effects of <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p2.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.3.m3.1b"><ci id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.3.m3.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.3.m3.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math> on <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p2.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.4.m4.1b"><ci id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.4.m4.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.4.m4.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math>, follow from a result of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Csaba and Pluhár (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib10" title="">2014</a>)</cite>, who show (roughly) that a weighted graph can be partitioned into similarly sized cells, which have relatively stable average weights into each other. We first introduce the relevant notion of a partition:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S3.Thmdefinition5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition5.1.1.1">Definition 3.5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition5.2.2"> </span>(Weighted graphs)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition5.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmdefinition5.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmdefinition5.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmdefinition5.p1.5.5">A weighted graph <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math> is a set of vertices <math alttext="V(G)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2" xref="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.2" xref="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml">V</mi><mo id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.1" xref="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.cmml">G</mi><mo id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2"><times id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.2.2">𝑉</ci><ci id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1c">V(G)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1d">italic_V ( italic_G )</annotation></semantics></math> and a set of undirected edges <math alttext="E(G)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2" xref="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.2" xref="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml">E</mi><mo id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.1" xref="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.3.2" xref="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.cmml">G</mi><mo id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2"><times id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.1"></times><ci id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.2.2">𝐸</ci><ci id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1c">E(G)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1d">italic_E ( italic_G )</annotation></semantics></math>, along with a weight function assigning a weight <math alttext="w_{e}\in\mathbb{R}^{\geq 0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml">w</mi><mi id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.2.3.cmml">e</mi></msub><mo id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.cmml"></mi><mo id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.1" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.1.cmml">≥</mo><mn id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3.cmml">0</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1"><in id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.1"></in><apply id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.2.2">𝑤</ci><ci id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.2.3">𝑒</ci></apply><apply id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3"><geq id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.1"></geq><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.2">absent</csymbol><cn id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1.1.3.3.3">0</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1c">w_{e}\in\mathbb{R}^{\geq 0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition5.p1.4.4.m4.1d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT italic_e end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT ≥ 0 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> to each edge <math alttext="e\in E" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1" xref="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">e</mi><mo id="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">E</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1"><in id="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1.1"></in><ci id="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1.2">𝑒</ci><ci id="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1.1.3">𝐸</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1c">e\in E</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition5.p1.5.5.m5.1d">italic_e ∈ italic_E</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S3.Thmdefinition6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition6.2.1.1">Definition 3.6</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition6.3.2"> </span>(<math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition6.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmdefinition6.1.m1.1b"><mi id="S3.Thmdefinition6.1.m1.1.1" xref="S3.Thmdefinition6.1.m1.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition6.1.m1.1c"><ci id="S3.Thmdefinition6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.1.m1.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition6.1.m1.1d">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition6.1.m1.1e">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-regularity)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition6.4.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmdefinition6.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmdefinition6.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6">Let <math alttext="A,B" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.2"><semantics id="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.2.3.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.2.3.2.1" xref="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.2.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.2.2.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.2b"><list id="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.2.3.2"><ci id="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1">𝐴</ci><ci id="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.2.2">𝐵</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.2c">A,B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.2d">italic_A , italic_B</annotation></semantics></math> be disjoint subsets of <math alttext="V(G)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml">V</mi><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.1" xref="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.3.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.cmml">G</mi><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2"><times id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.2.2">𝑉</ci><ci id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1">𝐺</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1c">V(G)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1d">italic_V ( italic_G )</annotation></semantics></math>. The pair <math alttext="(A,B)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2"><semantics id="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2.3.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.1.1.cmml">A</mi><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2.3.2.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2.2.cmml">B</mi><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2b"><interval closure="open" id="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2.3.2"><ci id="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.1.1">𝐴</ci><ci id="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2.2">𝐵</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2c">(A,B)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition6.p1.3.3.m3.2d">( italic_A , italic_B )</annotation></semantics></math> is <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition6.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmdefinition6.p1.4.4.m4.1a"><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmdefinition6.p1.4.4.m4.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition6.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S3.Thmdefinition6.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.4.4.m4.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition6.p1.4.4.m4.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition6.p1.4.4.m4.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-regular if for every <math alttext="A^{\prime}\subseteq B,B^{\prime}\subseteq B" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2"><semantics id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2a"><mrow id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.3.cmml"><mrow id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.2.cmml">A</mi><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">⊆</mo><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">B</mi></mrow><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.3" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.cmml"><msup id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2.2.cmml">B</mi><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1.cmml">⊆</mo><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.3" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.3.cmml">B</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2b"><apply id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.3a.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1"><subset id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1"></subset><apply id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.2">𝐴</ci><ci id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3">𝐵</ci></apply><apply id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2"><subset id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.1"></subset><apply id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2.2">𝐵</ci><ci id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2.2.2.2.3">𝐵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2c">A^{\prime}\subseteq B,B^{\prime}\subseteq B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition6.p1.5.5.m5.2d">italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⊆ italic_B , italic_B start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ⊆ italic_B</annotation></semantics></math> with <math alttext="\epsilon<\nicefrac{{|A^{\prime}|}}{{|A|}},\nicefrac{{|B^{\prime}|}}{{|B|}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4"><semantics id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4a"><mrow id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.5" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.5.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.5.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.5.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.5.1" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.5.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.5.3.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.5.3.1.cmml"><mrow id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.2.2" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.2.2.cmml"><mpadded id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.1.1.1.1" voffset="0.3em" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.1.1.1.1.2" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">A</mi><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.3" mathsize="71%" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mpadded><mpadded id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.2.2.3" lspace="-0.1em" width="-0.15em" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.2.2.3a" stretchy="true" symmetric="true" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.2.2.3.cmml">/</mo></mpadded><mrow id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.2.2.2.3" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.2.2.2.3.1" lspace="0.222em" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.2.2.2.1" mathsize="70%" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.2.2.2.1.cmml">A</mi><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.2.2.2.3.2" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.5.3.2.1" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.5.3.1.cmml">,</mo><mrow id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.4" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.4.cmml"><mpadded id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.3.3.1.1" voffset="0.3em" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.3.3.1.1.2" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><msup id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.2.cmml">B</mi><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.3" mathsize="71%" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.3.3.1.1.1.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.3.3.1.1.3" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mpadded><mpadded id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.4.3" lspace="-0.1em" width="-0.15em" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.4.3.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.4.3a" stretchy="true" symmetric="true" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.4.3.cmml">/</mo></mpadded><mrow id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.4.2.3" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.4.2.2.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.4.2.3.1" lspace="0.222em" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.4.2.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.4.2.1" mathsize="70%" xref="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.4.2.1.cmml">B</mi><mo id="S3.Thmdefinition6.p1.6.6.m6.4.4.2.3.2" maxsize="70%" minsize="70%" 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id="S3.Ex14.m1.8.8.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.8.8.4.4.2.1"></abs><ci id="S3.Ex14.m1.7.7.3.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.7.7.3.1">𝐴</ci></apply><apply id="S3.Ex14.m1.8.8.4.5.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.8.8.4.5.2"><abs id="S3.Ex14.m1.8.8.4.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex14.m1.8.8.4.5.2.1"></abs><ci id="S3.Ex14.m1.8.8.4.2.cmml" xref="S3.Ex14.m1.8.8.4.2">𝐵</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.Ex14.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex14.m1.9.9.1.1.3">italic-ϵ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex14.m1.9c">\bigg{|}\frac{w(A^{\prime},B^{\prime})}{|A^{\prime}||B^{\prime}|}-\frac{w(A,B)% }{|A||B|}\bigg{|}<\epsilon.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex14.m1.9d">| divide start_ARG italic_w ( italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_B start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) end_ARG start_ARG | italic_A start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | | italic_B start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | end_ARG - divide start_ARG italic_w ( italic_A , italic_B ) end_ARG start_ARG | italic_A | | italic_B | end_ARG | < italic_ϵ .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S3.Thmdefinition7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition7.2.1.1">Definition 3.7</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition7.3.2"> </span>(<math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition7.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmdefinition7.1.m1.1b"><mi id="S3.Thmdefinition7.1.m1.1.1" xref="S3.Thmdefinition7.1.m1.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition7.1.m1.1c"><ci id="S3.Thmdefinition7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition7.1.m1.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition7.1.m1.1d">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition7.1.m1.1e">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-regular partitions)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition7.4.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmdefinition7.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmdefinition7.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4">A weighted graph <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math> has an <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition7.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmdefinition7.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S3.Thmdefinition7.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmdefinition7.p1.2.2.m2.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition7.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S3.Thmdefinition7.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition7.p1.2.2.m2.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition7.p1.2.2.m2.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition7.p1.2.2.m2.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-regular partition if its vertex set <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition7.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S3.Thmdefinition7.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S3.Thmdefinition7.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmdefinition7.p1.3.3.m3.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition7.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S3.Thmdefinition7.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition7.p1.3.3.m3.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition7.p1.3.3.m3.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition7.p1.3.3.m3.1d">italic_V</annotation></semantics></math> can be participated clusters <math alttext="W_{0},\dots,W_{\ell}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3"><semantics id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3a"><mrow id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml"><msub id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.2.2.1.1" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.cmml">W</mi><mn id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.3" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.4" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.2" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3.cmml">ℓ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3b"><list id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2"><apply id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2">𝑊</ci><cn id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3">0</cn></apply><ci id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.1.1">…</ci><apply id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2">𝑊</ci><ci id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3">ℓ</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3c">W_{0},\dots,W_{\ell}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition7.p1.4.4.m4.3d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_W start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, such that</span></p> <ul class="ltx_itemize" id="S3.I1"> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i1.p1.2.1">The clusters </span><math alttext="W_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1a"><msub id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1c">W_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i1.p1.2.2"> are equal in size (plus or minus one), and </span><math alttext="\epsilon>\nicefrac{{|W_{i}|}}{{|V|}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.3.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.3.1" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.3.1.cmml">></mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.cmml"><mpadded id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1" voffset="0.3em" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.2" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2" mathsize="70%" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3" mathsize="71%" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.3" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mpadded><mpadded id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3" lspace="-0.1em" width="-0.15em" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3a" stretchy="true" symmetric="true" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml">/</mo></mpadded><mrow id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.1" lspace="0.222em" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1" mathsize="70%" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.cmml">V</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.2" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2b"><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.3"><gt id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.3.1"></gt><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.3.2">italic-ϵ</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2"><divide id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.3"></divide><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1"><abs id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.3"><abs id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.3.1"></abs><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.2.2.2.1">𝑉</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2c">\epsilon>\nicefrac{{|W_{i}|}}{{|V|}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.2d">italic_ϵ > / start_ARG | italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | end_ARG start_ARG | italic_V | end_ARG</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i1.p1.2.3">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">•</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i2.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i2.p1.3.1">All but at most </span><math alttext="\epsilon\ell^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℓ</mi><mn id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1"><times id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.1"></times><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.2">italic-ϵ</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.2">ℓ</ci><cn id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1c">\epsilon\ell^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1d">italic_ϵ roman_ℓ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i2.p1.3.2"> of the pairs </span><math alttext="(W_{i},W_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.4" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml">W</mi><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.2.3" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2"><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.2.2">𝑊</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.2.2.3">𝑗</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2c">(W_{i},W_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2d">( italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i2.p1.3.3"> are </span><math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i2.p1.3.4">-regular.</span></p> </div> </li> </ul> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p3.1">The upper bound on the number of clusters needed to provide a partition of this kind depends on how “random” the graph is, in the following sense:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S3.Thmdefinition8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition8.1.1.1">Definition 3.8</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition8.2.2"> </span>(Quasi-randomness)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmdefinition8.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmdefinition8.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmdefinition8.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmdefinition8.p1.5.5">A weighted graph <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition8.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmdefinition8.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.Thmdefinition8.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmdefinition8.p1.1.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition8.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.Thmdefinition8.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.1.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition8.p1.1.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition8.p1.1.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math> with vertex set <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition8.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmdefinition8.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S3.Thmdefinition8.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmdefinition8.p1.2.2.m2.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition8.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S3.Thmdefinition8.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.2.2.m2.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition8.p1.2.2.m2.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition8.p1.2.2.m2.1d">italic_V</annotation></semantics></math> is <math alttext="(D,\beta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2"><semantics id="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2.3.2" xref="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.1.1.cmml">D</mi><mo id="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2.3.2.2" xref="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2.2" xref="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2.2.cmml">β</mi><mo id="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2b"><interval closure="open" id="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2.3.2"><ci id="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.1.1">𝐷</ci><ci id="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2.2">𝛽</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2c">(D,\beta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition8.p1.3.3.m3.2d">( italic_D , italic_β )</annotation></semantics></math>-quasi-random if for any disjoint <math alttext="A,B\subseteq V" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2"><semantics id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2a"><mrow id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3" xref="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.cmml"><mrow id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.2.2" xref="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.2.1.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.1.1.cmml">A</mi><mo id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.2.2.1" xref="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.2" xref="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.2.cmml">B</mi></mrow><mo id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.1" xref="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml">⊆</mo><mi id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.3" xref="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.3.cmml">V</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2b"><apply id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3"><subset id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.1"></subset><list id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.2.2"><ci id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.1.1">𝐴</ci><ci id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.2">𝐵</ci></list><ci id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2.3.3">𝑉</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2c">A,B\subseteq V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition8.p1.4.4.m4.2d">italic_A , italic_B ⊆ italic_V</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\beta<\nicefrac{{|A|}}{{|V|}},\nicefrac{{|B|}}{{|V|}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.4"><semantics id="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.4a"><mrow id="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.4.5" xref="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.4.5.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.4.5.2" xref="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.4.5.2.cmml">β</mi><mo id="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.4.5.1" xref="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.4.5.1.cmml"><</mo><mrow id="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.4.5.3.2" xref="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.4.5.3.1.cmml"><mrow id="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.2.2" xref="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.2.2.cmml"><mpadded id="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.1.1.1.3" voffset="0.3em" xref="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.1.1.1.3.1" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.1.1.1.1" mathsize="70%" xref="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.1.1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.1.1.1.3.2" maxsize="70%" minsize="70%" xref="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mpadded><mpadded id="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.2.2.3" lspace="-0.1em" width="-0.15em" xref="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.2.2.3a" stretchy="true" symmetric="true" xref="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.2.2.3.cmml">/</mo></mpadded><mrow id="S3.Thmdefinition8.p1.5.5.m5.2.2.2.3" 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xref="S3.Ex15.m1.6.6.2.4">𝑤</ci><interval closure="open" id="S3.Ex15.m1.6.6.2.5.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.6.6.2.5.2"><ci id="S3.Ex15.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.5.5.1.1">𝑉</ci><ci id="S3.Ex15.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.6.6.2.2">𝑉</ci></interval></apply><apply id="S3.Ex15.m1.8.8.4.cmml" xref="S3.Ex15.m1.8.8.4"><times id="S3.Ex15.m1.8.8.4.3.cmml" xref="S3.Ex15.m1.8.8.4.3"></times><apply id="S3.Ex15.m1.8.8.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.8.8.4.4.2"><abs id="S3.Ex15.m1.8.8.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.8.8.4.4.2.1"></abs><ci id="S3.Ex15.m1.7.7.3.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.7.7.3.1">𝑉</ci></apply><apply id="S3.Ex15.m1.8.8.4.5.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.8.8.4.5.2"><abs id="S3.Ex15.m1.8.8.4.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex15.m1.8.8.4.5.2.1"></abs><ci id="S3.Ex15.m1.8.8.4.2.cmml" xref="S3.Ex15.m1.8.8.4.2">𝑉</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex15.m1.9.9.1.1c.cmml" xref="S3.Ex15.m1.9.9.1"><lt id="S3.Ex15.m1.9.9.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex15.m1.9.9.1.1.5"></lt><share href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S3.Ex15.m1.9.9.1.1.4.cmml" id="S3.Ex15.m1.9.9.1.1d.cmml" xref="S3.Ex15.m1.9.9.1"></share><ci id="S3.Ex15.m1.9.9.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex15.m1.9.9.1.1.6">𝐷</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex15.m1.9c">\frac{1}{D}<\frac{w(A,B)}{|A||B|}\bigg{/}\frac{w(V,V)}{|V||V|}<D,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex15.m1.9d">divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_D end_ARG < divide start_ARG italic_w ( italic_A , italic_B ) end_ARG start_ARG | italic_A | | italic_B | end_ARG / divide start_ARG italic_w ( italic_V , italic_V ) end_ARG start_ARG | italic_V | | italic_V | end_ARG < italic_D ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.Thmdefinition8.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmdefinition8.p1.8.3">where <math alttext="w(A,B)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2"><semantics id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2a"><mrow id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3" xref="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.2" xref="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.2.cmml">w</mi><mo id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.1" xref="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.3.2" xref="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.1.1" xref="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.1.1.cmml">A</mi><mo id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.2" xref="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.2.cmml">B</mi><mo id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2b"><apply id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3"><times id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.1"></times><ci id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.2">𝑤</ci><interval closure="open" id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.1.1">𝐴</ci><ci id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2.2">𝐵</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2c">w(A,B)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition8.p1.6.1.m1.2d">italic_w ( italic_A , italic_B )</annotation></semantics></math> denote the sum of the weights of all edges with one endpoint in <math alttext="A" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition8.p1.7.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmdefinition8.p1.7.2.m2.1a"><mi id="S3.Thmdefinition8.p1.7.2.m2.1.1" xref="S3.Thmdefinition8.p1.7.2.m2.1.1.cmml">A</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition8.p1.7.2.m2.1b"><ci id="S3.Thmdefinition8.p1.7.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.7.2.m2.1.1">𝐴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition8.p1.7.2.m2.1c">A</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition8.p1.7.2.m2.1d">italic_A</annotation></semantics></math> and the other in <math alttext="B" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmdefinition8.p1.8.3.m3.1"><semantics id="S3.Thmdefinition8.p1.8.3.m3.1a"><mi id="S3.Thmdefinition8.p1.8.3.m3.1.1" xref="S3.Thmdefinition8.p1.8.3.m3.1.1.cmml">B</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmdefinition8.p1.8.3.m3.1b"><ci id="S3.Thmdefinition8.p1.8.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmdefinition8.p1.8.3.m3.1.1">𝐵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmdefinition8.p1.8.3.m3.1c">B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmdefinition8.p1.8.3.m3.1d">italic_B</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p4.6">In other words, <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p4.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math> is <math alttext="(D,\beta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.2.m2.2"><semantics id="S3.SS3.p4.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.cmml">D</mi><mo id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p4.2.m2.2.2" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.2.cmml">β</mi><mo id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.3.2"><ci id="S3.SS3.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.1.1">𝐷</ci><ci id="S3.SS3.p4.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.2.m2.2.2">𝛽</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.2.m2.2c">(D,\beta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.2.m2.2d">( italic_D , italic_β )</annotation></semantics></math> quasi-random when subsets <math alttext="A,B" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.3.m3.2"><semantics id="S3.SS3.p4.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS3.p4.3.m3.2.3.2" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.3.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p4.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p4.3.m3.1.1.cmml">A</mi><mo id="S3.SS3.p4.3.m3.2.3.2.1" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.cmml">B</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.3.m3.2b"><list id="S3.SS3.p4.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.3.2"><ci id="S3.SS3.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.1.1">𝐴</ci><ci id="S3.SS3.p4.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p4.3.m3.2.2">𝐵</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.3.m3.2c">A,B</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.3.m3.2d">italic_A , italic_B</annotation></semantics></math> of sizes at least <math alttext="\beta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p4.4.m4.1a"><mi id="S3.SS3.p4.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p4.4.m4.1.1.cmml">β</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.4.m4.1b"><ci id="S3.SS3.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.4.m4.1.1">𝛽</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.4.m4.1c">\beta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.4.m4.1d">italic_β</annotation></semantics></math> (relative to <math alttext="V" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.5.m5.1"><semantics id="S3.SS3.p4.5.m5.1a"><mi id="S3.SS3.p4.5.m5.1.1" xref="S3.SS3.p4.5.m5.1.1.cmml">V</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.5.m5.1b"><ci id="S3.SS3.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.5.m5.1.1">𝑉</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.5.m5.1c">V</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.5.m5.1d">italic_V</annotation></semantics></math>) have an average edge density which is equal to that of the overall graph, up to a <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p4.6.m6.1"><semantics id="S3.SS3.p4.6.m6.1a"><mi id="S3.SS3.p4.6.m6.1.1" xref="S3.SS3.p4.6.m6.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p4.6.m6.1b"><ci id="S3.SS3.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p4.6.m6.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p4.6.m6.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p4.6.m6.1d">italic_D</annotation></semantics></math> multiplicative factor. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Csaba and Pluhár (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib10" title="">2014</a>)</cite> show (p. 5):</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="S3.Thmlemma1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmlemma1.1.1.1">Lemma 3.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmlemma1.2.2"> </span>(Weighted Regularity Lemma)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmlemma1.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmlemma1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmlemma1.p1.14"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmlemma1.p1.14.14">Let <math alttext="D>1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1"><gt id="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1"></gt><ci id="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1c">D>1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1d">italic_D > 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="\beta,\epsilon\in(0,1)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4"><semantics id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4a"><mrow id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.cmml"><mrow id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.2.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.2.1.cmml"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.3" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.3.cmml">β</mi><mo id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.2.2.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.4" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.4.cmml">ϵ</mi></mrow><mo id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.3.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.3.1.cmml">(</mo><mn id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.3.2.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.2.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4b"><apply id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5"><in id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.1"></in><list id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.2.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.2.2"><ci id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.3.3">𝛽</ci><ci id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.4.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.4">italic-ϵ</ci></list><interval closure="open" id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.3.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4.5.3.2"><cn id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1">0</cn><cn id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.2.2">1</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4c">\beta,\epsilon\in(0,1)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmlemma1.p1.2.2.m2.4d">italic_β , italic_ϵ ∈ ( 0 , 1 )</annotation></semantics></math> such that <math alttext="0<\beta\ll\epsilon\ll 1/D" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1a"><mrow id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mn id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><</mo><mi id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.4" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.4.cmml">β</mi><mo id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.5" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.5.cmml">≪</mo><mi id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.6" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.6.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.7" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.7.cmml">≪</mo><mrow id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8.cmml"><mn id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8.1.cmml">/</mo><mi id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8.3" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8.3.cmml">D</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1"><and id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1a.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1"></and><apply id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1b.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1"><lt id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.3"></lt><cn id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.2">0</cn><ci id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.4.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.4">𝛽</ci></apply><apply id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1c.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.5.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.5">much-less-than</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.4.cmml" id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1d.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1"></share><ci id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.6.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.6">italic-ϵ</ci></apply><apply id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1e.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.7.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.7">much-less-than</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.6.cmml" id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1f.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1"></share><apply id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8"><divide id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8.1"></divide><cn id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8.2.cmml" type="integer" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8.2">1</cn><ci id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8.3.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.8.3">𝐷</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1c">0<\beta\ll\epsilon\ll 1/D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1d">0 < italic_β ≪ italic_ϵ ≪ 1 / italic_D</annotation></semantics></math> and let <math alttext="L\geq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">≥</mo><mn id="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1"><geq id="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1"></geq><ci id="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1c">L\geq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1d">italic_L ≥ 1</annotation></semantics></math>. If <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S3.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1a"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1b"><ci id="S3.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1d">italic_G</annotation></semantics></math> is a weighted <math alttext="(D,\beta)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2"><semantics id="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2a"><mrow id="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2.3.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.1.1.cmml">D</mi><mo id="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2.3.2.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2.2.cmml">β</mi><mo id="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2b"><interval closure="open" id="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2.3.2"><ci id="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.1.1">𝐷</ci><ci id="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2.2.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2.2">𝛽</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2c">(D,\beta)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmlemma1.p1.6.6.m6.2d">( italic_D , italic_β )</annotation></semantics></math>-quasi-random graph on <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmlemma1.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S3.Thmlemma1.p1.7.7.m7.1a"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.7.7.m7.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.7.7.m7.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmlemma1.p1.7.7.m7.1b"><ci id="S3.Thmlemma1.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.7.7.m7.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmlemma1.p1.7.7.m7.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmlemma1.p1.7.7.m7.1d">italic_n</annotation></semantics></math> vertices with <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1"><semantics id="S3.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1a"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1b"><ci id="S3.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1d">italic_n</annotation></semantics></math> sufficiently large depending on <math alttext="\epsilon,L" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.2"><semantics id="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.2a"><mrow id="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.2.3.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.2.3.1.cmml"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.1.1.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.2.3.2.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.2.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.2.2.cmml">L</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.2b"><list id="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.2.3.2"><ci id="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.1.1">italic-ϵ</ci><ci id="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.2.2.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.2.2">𝐿</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.2c">\epsilon,L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmlemma1.p1.9.9.m9.2d">italic_ϵ , italic_L</annotation></semantics></math>, then <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmlemma1.p1.10.10.m10.1"><semantics id="S3.Thmlemma1.p1.10.10.m10.1a"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.10.10.m10.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.10.10.m10.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmlemma1.p1.10.10.m10.1b"><ci id="S3.Thmlemma1.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.10.10.m10.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmlemma1.p1.10.10.m10.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmlemma1.p1.10.10.m10.1d">italic_G</annotation></semantics></math> admits a weighted <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmlemma1.p1.11.11.m11.1"><semantics id="S3.Thmlemma1.p1.11.11.m11.1a"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.11.11.m11.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.11.11.m11.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmlemma1.p1.11.11.m11.1b"><ci id="S3.Thmlemma1.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.11.11.m11.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmlemma1.p1.11.11.m11.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmlemma1.p1.11.11.m11.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-regular partition into sets <math alttext="W_{0},\dots,W_{\ell}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3"><semantics id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3a"><mrow id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.3.cmml"><msub id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.2.2.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.2.cmml">W</mi><mn id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.3" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.3" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.1.1.cmml">…</mi><mo id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.4" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.2.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.2.2.cmml">W</mi><mi id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.2.3.cmml">ℓ</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3b"><list id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.3.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2"><apply id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.2">𝑊</ci><cn id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.2.2.1.1.3">0</cn></apply><ci id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.1.1">…</ci><apply id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.2.2">𝑊</ci><ci id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3.3.2.2.3">ℓ</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3c">W_{0},\dots,W_{\ell}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmlemma1.p1.12.12.m12.3d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , … , italic_W start_POSTSUBSCRIPT roman_ℓ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="L\leq\ell\leq C_{e,L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2"><semantics id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2a"><mrow id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.2.cmml">L</mi><mo id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.3" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.4" mathvariant="normal" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.4.cmml">ℓ</mi><mo id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.5" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.5.cmml">≤</mo><msub id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.6" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.6.cmml"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.6.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.6.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.2.2.4" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.1.1.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.cmml">e</mi><mo id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.2.2.4.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.2.2.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2b"><apply id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3"><and id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3a.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3"></and><apply id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3b.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3"><leq id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.3.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.3"></leq><ci id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.2">𝐿</ci><ci id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.4.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.4">ℓ</ci></apply><apply id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3c.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3"><leq id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.5.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.4.cmml" id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3d.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3"></share><apply id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.6.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.6.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.6">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.6.2.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.3.6.2">𝐶</ci><list id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.2.2.4"><ci id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.1.1.1.1">𝑒</ci><ci id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2c">L\leq\ell\leq C_{e,L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmlemma1.p1.13.13.m13.2d">italic_L ≤ roman_ℓ ≤ italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_e , italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for some constant <math alttext="C_{e,L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2"><semantics id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2a"><msub id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.3" xref="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.3.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.3.2.cmml">C</mi><mrow id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.2.2.4" xref="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.1.1.1.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.1.1.1.1.cmml">e</mi><mo id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.2.2.4.1" xref="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.2.2.2" xref="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.2.2.2.cmml">L</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2b"><apply id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.3.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.3.2">𝐶</ci><list id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.2.2.4"><ci id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.1.1.1.1">𝑒</ci><ci id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2.2.2.2">𝐿</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2c">C_{e,L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmlemma1.p1.14.14.m14.2d">italic_C start_POSTSUBSCRIPT italic_e , italic_L end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p5.1">The desired result follows immediately:</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theorem" id="Thmtheorem5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem5.1.1.1">Theorem 5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmtheorem5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="Thmtheorem5.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmtheorem5.p1.13"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmtheorem5.p1.13.13">For micro-causes <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.1.1.m1.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math> and effects <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.2.2.m2.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math>, let <math alttext="W_{x},W_{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2"><semantics id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml"><msub id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></msub><mo id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.3" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.cmml">W</mi><mi id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">Y</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2b"><list id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2"><apply id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2">𝑊</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3">𝑌</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2c">W_{x},W_{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.3.3.m3.2d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_Y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for <math alttext="x\in\mathcal{X},Y\in\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2"><semantics id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.3.cmml"><mrow id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml">𝒳</mi></mrow><mo id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.3" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.1" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.3" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.3.cmml">𝒴</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2b"><apply id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.3a.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1"><in id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1"></in><ci id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3">𝒳</ci></apply><apply id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2"><in id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.1"></in><ci id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.2">𝑌</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2.2.2.2.3">𝒴</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2c">x\in\mathcal{X},Y\in\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.4.4.m4.2d">italic_x ∈ caligraphic_X , italic_Y ∈ caligraphic_Y</annotation></semantics></math> denote the equivalence classes of <math alttext="x" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1a"><mi id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.cmml">x</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1.1">𝑥</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1c">x</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.5.5.m5.1d">italic_x</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.6.6.m6.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math> under partitions <math alttext="\Pi(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.2.cmml">Π</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.1" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.3.2" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2"><times id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.1"></times><ci id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.2.2">Π</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1c">\Pi(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.7.7.m7.1d">roman_Π ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Pi(\mathcal{Y})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.2.cmml">Π</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.1" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.3.2" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1.cmml">𝒴</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2"><times id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.1"></times><ci id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.2.2">Π</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1.1">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1c">\Pi(\mathcal{Y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.8.8.m8.1d">roman_Π ( caligraphic_Y )</annotation></semantics></math>. There exist partitions <math alttext="\Pi(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.2.cmml">Π</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.1" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.3.2" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2"><times id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.1"></times><ci id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.2.2">Π</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1c">\Pi(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.9.9.m9.1d">roman_Π ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\Pi(\mathcal{Y})" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.2" mathvariant="normal" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.2.cmml">Π</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.1" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.3.2" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1.cmml">𝒴</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1b"><apply id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2"><times id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.1"></times><ci id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.2.2">Π</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1.1">𝒴</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1c">\Pi(\mathcal{Y})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.10.10.m10.1d">roman_Π ( caligraphic_Y )</annotation></semantics></math> which are <math alttext="\epsilon" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1a"><mi id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1.1.cmml">ϵ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1b"><ci id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1.1">italic-ϵ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1c">\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.11.11.m11.1d">italic_ϵ</annotation></semantics></math>-regular, in the sense that for all <math alttext="A,\subseteq W_{x},B\subseteq W_{y}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1"><semantics id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1b"><mi id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.1">A</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.2">,</mo><mo id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.3" lspace="0em">⊆</mo><msub id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.4"><mi id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.4.2">W</mi><mi id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.4.3">x</mi></msub><mo id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.5">,</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.6">B</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.7">⊆</mo><msub id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.8"><mi id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.8.2">W</mi><mi id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1.8.3">y</mi></msub></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1c">A,\subseteq W_{x},B\subseteq W_{y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.12.12.m12.1d">italic_A , ⊆ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_B ⊆ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> with <math alttext="\epsilon<\nicefrac{{|A|}}{{|W_{x}|}},\nicefrac{{|B|}}{{|W_{y}|}}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4"><semantics id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4a"><mrow id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.2" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.2.cmml">ϵ</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.1" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.1.cmml"><</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.3.2" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.3.1.cmml"><mrow id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.cmml"><mpadded id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.3" voffset="0.3em" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.3.1" maxsize="70%" minsize="70%" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.1" mathsize="70%" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.1.cmml">A</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.3.2" maxsize="70%" minsize="70%" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mpadded><mpadded id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.3" lspace="-0.1em" width="-0.15em" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.3.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.3a" stretchy="true" symmetric="true" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.3.cmml">/</mo></mpadded><mrow id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.2.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.2" lspace="0.222em" maxsize="70%" minsize="70%" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.1.2" mathsize="70%" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.1.3" mathsize="71%" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.1.3.cmml">x</mi></msub><mo id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.3" maxsize="70%" minsize="70%" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow><mo id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.3.2.1" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.3.1.cmml">,</mo><mrow id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.cmml"><mpadded id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.3.3.1.3" voffset="0.3em" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.3.3.1.2.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.3.3.1.3.1" maxsize="70%" minsize="70%" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.3.3.1.2.1.cmml">|</mo><mi id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.3.3.1.1" mathsize="70%" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.3.3.1.1.cmml">B</mi><mo id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.3.3.1.3.2" maxsize="70%" minsize="70%" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.3.3.1.2.1.cmml">|</mo></mpadded><mpadded id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.3" lspace="-0.1em" width="-0.15em" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.3.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.3a" stretchy="true" symmetric="true" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.3.cmml">/</mo></mpadded><mrow id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.2.cmml"><mo id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.2" lspace="0.222em" maxsize="70%" minsize="70%" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.2.1.cmml">|</mo><msub id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.1" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.1.cmml"><mi id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.1.2" mathsize="70%" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.1.3" mathsize="71%" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.1.3.cmml">y</mi></msub><mo id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.3" maxsize="70%" minsize="70%" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.2.1.cmml">|</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4b"><apply id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5"><lt id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.1"></lt><ci id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.2">italic-ϵ</ci><list id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.3.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.5.3.2"><apply id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2"><divide id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.3"></divide><apply id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.3"><abs id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.3.1"></abs><ci id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.1.1.1.1">𝐴</ci></apply><apply id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1"><abs id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.2"></abs><apply id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.1.2">𝑊</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.2.2.2.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></apply><apply id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4"><divide id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.3"></divide><apply id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.3.3.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.3.3.1.3"><abs id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.3.3.1.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.3.3.1.3.1"></abs><ci id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.3.3.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.3.3.1.1">𝐵</ci></apply><apply id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1"><abs id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.2.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.2"></abs><apply id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.1.2.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.1.2">𝑊</ci><ci id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.1.3.cmml" xref="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4.4.2.1.1.3">𝑦</ci></apply></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4c">\epsilon<\nicefrac{{|A|}}{{|W_{x}|}},\nicefrac{{|B|}}{{|W_{y}|}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmtheorem5.p1.13.13.m13.4d">italic_ϵ < / start_ARG | italic_A | end_ARG start_ARG | italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT | end_ARG , / start_ARG | italic_B | end_ARG start_ARG | italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT | end_ARG</annotation></semantics></math>,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bigg{|}\sum_{x^{\prime}\in A,y^{\prime}\in B}P(x^{\prime}|y^{\prime})-\sum_{x% ^{\prime\prime}\in W_{x},y^{\prime\prime}\in W_{y}}P(x^{\prime\prime}|y^{% \prime\prime})\bigg{|}<\epsilon" class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.Ex16.m1.4"><semantics id="S3.Ex16.m1.4a"><mrow id="S3.Ex16.m1.4b"><mo fence="false" id="S3.Ex16.m1.4.5" maxsize="210%" minsize="210%">|</mo><munder id="S3.Ex16.m1.4.6"><mo id="S3.Ex16.m1.4.6.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.2.2.2.2"><mrow id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1"><msup id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2"><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.2">x</mi><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.2.3">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.1">∈</mo><mi id="S3.Ex16.m1.1.1.1.1.1.3">A</mi></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.2.2.2.2.3">,</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.2.2.2.2.2"><msup id="S3.Ex16.m1.2.2.2.2.2.2"><mi id="S3.Ex16.m1.2.2.2.2.2.2.2">y</mi><mo id="S3.Ex16.m1.2.2.2.2.2.2.3">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m1.2.2.2.2.2.1">∈</mo><mi id="S3.Ex16.m1.2.2.2.2.2.3">B</mi></mrow></mrow></munder><mi id="S3.Ex16.m1.4.7">P</mi><mrow id="S3.Ex16.m1.4.8"><mo id="S3.Ex16.m1.4.8.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.Ex16.m1.4.8.2"><mi id="S3.Ex16.m1.4.8.2.2">x</mi><mo id="S3.Ex16.m1.4.8.2.3">′</mo></msup><mo fence="false" id="S3.Ex16.m1.4.8.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msup id="S3.Ex16.m1.4.8.4"><mi id="S3.Ex16.m1.4.8.4.2">y</mi><mo id="S3.Ex16.m1.4.8.4.3">′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m1.4.8.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.4.9" rspace="0.055em">−</mo><munder id="S3.Ex16.m1.4.10"><mo id="S3.Ex16.m1.4.10.2" movablelimits="false">∑</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.4.4.2.2"><mrow id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.1"><msup id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.1.2"><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.1.2.2">x</mi><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.1.2.3">′′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.1.1">∈</mo><msub id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.1.3"><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.1.3.2">W</mi><mi id="S3.Ex16.m1.3.3.1.1.1.3.3">x</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex16.m1.4.4.2.2.3">,</mo><mrow id="S3.Ex16.m1.4.4.2.2.2"><msup id="S3.Ex16.m1.4.4.2.2.2.2"><mi id="S3.Ex16.m1.4.4.2.2.2.2.2">y</mi><mo id="S3.Ex16.m1.4.4.2.2.2.2.3">′′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m1.4.4.2.2.2.1">∈</mo><msub id="S3.Ex16.m1.4.4.2.2.2.3"><mi id="S3.Ex16.m1.4.4.2.2.2.3.2">W</mi><mi id="S3.Ex16.m1.4.4.2.2.2.3.3">y</mi></msub></mrow></mrow></munder><mi id="S3.Ex16.m1.4.11">P</mi><mrow id="S3.Ex16.m1.4.12"><mo id="S3.Ex16.m1.4.12.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.Ex16.m1.4.12.2"><mi id="S3.Ex16.m1.4.12.2.2">x</mi><mo id="S3.Ex16.m1.4.12.2.3">′′</mo></msup><mo fence="false" id="S3.Ex16.m1.4.12.3" rspace="0.167em" stretchy="false">|</mo><msup id="S3.Ex16.m1.4.12.4"><mi id="S3.Ex16.m1.4.12.4.2">y</mi><mo id="S3.Ex16.m1.4.12.4.3">′′</mo></msup><mo id="S3.Ex16.m1.4.12.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mo fence="false" id="S3.Ex16.m1.4.13" maxsize="210%" minsize="210%">|</mo><mo id="S3.Ex16.m1.4.14" lspace="0.167em"><</mo><mi id="S3.Ex16.m1.4.15">ϵ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex16.m1.4c">\bigg{|}\sum_{x^{\prime}\in A,y^{\prime}\in B}P(x^{\prime}|y^{\prime})-\sum_{x% ^{\prime\prime}\in W_{x},y^{\prime\prime}\in W_{y}}P(x^{\prime\prime}|y^{% \prime\prime})\bigg{|}<\epsilon</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex16.m1.4d">| ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ italic_A , italic_y start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ italic_B end_POSTSUBSCRIPT italic_P ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT | italic_y start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) - ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT , italic_y start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT ∈ italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_y end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_P ( italic_x start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT | italic_y start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT ) | < italic_ϵ</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS3.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p6.7">Indeed, let <math alttext="G" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p6.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p6.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p6.1.m1.1.1.cmml">G</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p6.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.1.m1.1.1">𝐺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p6.1.m1.1c">G</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p6.1.m1.1d">italic_G</annotation></semantics></math> be a bipartite graph, with vertices corresponding to microstates <math alttext="\mathcal{X},\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p6.2.m2.2"><semantics id="S3.SS3.p6.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS3.p6.2.m2.2.3.2" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.3.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.p6.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.p6.2.m2.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="S3.SS3.p6.2.m2.2.3.2.1" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.cmml">𝒴</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p6.2.m2.2b"><list id="S3.SS3.p6.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.3.2"><ci id="S3.SS3.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m2.1.1">𝒳</ci><ci id="S3.SS3.p6.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.2.m2.2.2">𝒴</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p6.2.m2.2c">\mathcal{X},\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p6.2.m2.2d">caligraphic_X , caligraphic_Y</annotation></semantics></math>. Define <math alttext="w_{(x,y)}=P(y|x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p6.3.m3.3"><semantics id="S3.SS3.p6.3.m3.3a"><mrow id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.cmml"><msub id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.3" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.3.2" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.3.2.cmml">w</mi><mrow id="S3.SS3.p6.3.m3.2.2.2.4" xref="S3.SS3.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS3.p6.3.m3.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.p6.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.3.m3.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S3.SS3.p6.3.m3.2.2.2.4.2" xref="S3.SS3.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p6.3.m3.2.2.2.2" xref="S3.SS3.p6.3.m3.2.2.2.2.cmml">y</mi><mo id="S3.SS3.p6.3.m3.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></msub><mo id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.2" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.3" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.3.cmml">P</mi><mo id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.2" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mo fence="false" id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p6.3.m3.3b"><apply id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3"><eq id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.2"></eq><apply id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.3.2">𝑤</ci><interval closure="open" id="S3.SS3.p6.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m3.2.2.2.4"><ci id="S3.SS3.p6.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m3.1.1.1.1">𝑥</ci><ci id="S3.SS3.p6.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m3.2.2.2.2">𝑦</ci></interval></apply><apply id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1"><times id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.2"></times><ci id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.3">𝑃</ci><apply id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.2">𝑦</ci><ci id="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.3.m3.3.3.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p6.3.m3.3c">w_{(x,y)}=P(y|x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p6.3.m3.3d">italic_w start_POSTSUBSCRIPT ( italic_x , italic_y ) end_POSTSUBSCRIPT = italic_P ( italic_y | italic_x )</annotation></semantics></math>. Then apply Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S3.Thmlemma1" title="Lemma 3.1 (Weighted Regularity Lemma). ‣ 3.3 Approximate Partitions ‣ 3 Causal Feature Learning ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a> to obtain the desired partition. Note that Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#Thmtheorem5" title="Theorem 5. ‣ 3.3 Approximate Partitions ‣ 3 Causal Feature Learning ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> is in fact equivalent to Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S3.Thmlemma1" title="Lemma 3.1 (Weighted Regularity Lemma). ‣ 3.3 Approximate Partitions ‣ 3 Causal Feature Learning ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a>, restricted to bipartite graphs. For any such graph, we may scale down edge weights by a constant <math alttext="C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p6.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p6.4.m4.1a"><mi id="S3.SS3.p6.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p6.4.m4.1.1.cmml">C</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p6.4.m4.1b"><ci id="S3.SS3.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.4.m4.1.1">𝐶</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p6.4.m4.1c">C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p6.4.m4.1d">italic_C</annotation></semantics></math> (the maximum edge weight), view the resulting weights as probabilities <math alttext="P(y|x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p6.5.m5.1"><semantics id="S3.SS3.p6.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mo fence="false" id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">|</mo><mi id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p6.5.m5.1b"><apply id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1"><times id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.2"></times><ci id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.2">𝑦</ci><ci id="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.5.m5.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p6.5.m5.1c">P(y|x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p6.5.m5.1d">italic_P ( italic_y | italic_x )</annotation></semantics></math>, apply Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#Thmtheorem5" title="Theorem 5. ‣ 3.3 Approximate Partitions ‣ 3 Causal Feature Learning ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a>, and then obtain an <math alttext="\epsilon^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p6.6.m6.1"><semantics id="S3.SS3.p6.6.m6.1a"><msup id="S3.SS3.p6.6.m6.1.1" xref="S3.SS3.p6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS3.p6.6.m6.1.1.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.SS3.p6.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS3.p6.6.m6.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p6.6.m6.1b"><apply id="S3.SS3.p6.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.6.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.6.m6.1.1.2">italic-ϵ</ci><ci id="S3.SS3.p6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.6.m6.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p6.6.m6.1c">\epsilon^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p6.6.m6.1d">italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-regular partition, for <math alttext="\epsilon^{\prime}=\epsilon/C" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p6.7.m7.1"><semantics id="S3.SS3.p6.7.m7.1a"><mrow id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.cmml"><msup id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.2" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.2.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.1" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3.2.cmml">ϵ</mi><mo id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3.1" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3.3.cmml">C</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p6.7.m7.1b"><apply id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1"><eq id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.2.2">italic-ϵ</ci><ci id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.2.3">′</ci></apply><apply id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3"><divide id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3.2">italic-ϵ</ci><ci id="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p6.7.m7.1.1.3.3">𝐶</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p6.7.m7.1c">\epsilon^{\prime}=\epsilon/C</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p6.7.m7.1d">italic_ϵ start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_ϵ / italic_C</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p7.1">Lemma <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S3.Thmlemma1" title="Lemma 3.1 (Weighted Regularity Lemma). ‣ 3.3 Approximate Partitions ‣ 3 Causal Feature Learning ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.1</span></a> generalizes Szemerédi’s Regularity Lemma (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Szemerédi (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib41" title="">1975</a>)</cite>), and a significant literature explores the algorithmic side of this lemma, e.g. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Fox et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib12" title="">2017</a>)</cite>. Nonetheless, it what follows, we deploy a straightforward generalization of the CFL algorithm, which we find reliably reduces dimensionality while detecting heterogeneous effects of macro-states.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4 </span>Social Science Applications</h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.1">This section presents empirical results from applying the CFL algorithm to two prominent social science datasets: the National Supported Work (NSW) dataset and the Voting dataset. We demonstrate how CFL-derived macrostates enhance causal inference, uncover the heterogeneity in causal effects, and reduce the dimensionality of the causal analysis. In Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A2" title="Appendix B Appendix: The Redlining Dataset ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">B</span></a>, using the redlining dataset with census data, We also show that CFL can be incorporated with the canonical causal inference technique, such as propensity score matching, to combat issues due to the nature of the observational dataset. Appendix <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A3" title="Appendix C Appendix: Implementation of Binning Technique ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">C</span></a> presents the results from binning implementation on the NSW dataset.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.p2.1.1">Algorithmic Preliminaries:</span> The CFL algorithm constitutes a conditional density estimation by a neural network and a partition of the dataset by clustering observations based on the estimated conditional probability. Common clustering techniques are KMeans and DBSCAN (Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise), the first of which allows controlling for the number of clusters as a hyperparameter, while the second of which tunes the number of clusters as a model parameter (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">CFL (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib5" title="">2022</a>)</cite>). We use KMeans for our clustering tasks in this paper allowing for more flexible visualization and a better understanding of the algorithm, though the aim of the CFL algorithm is to identify the optimal number of macrostate without supervision.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.1 </span>The NSW Dataset</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p1.1">The National Supported Work (NSW) dataset is a cornerstone in evaluating the effectiveness of job training programs. Originally utilized to assess the impact of a randomized labor training program on participants’ future earnings in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">LaLonde (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib30" title="">1986</a>)</cite>, this dataset provides a robust framework for testing the validity of the CFL algorithm in social science data. By deriving macrostates from socioeconomic indicators, we aim to construct variables that better capture the causal pathways influencing earnings outcomes.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F1"> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 1: </span>Clustering of NSW Participants Based on Education, Age, and Treatment Assignment</figcaption><div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F1.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="88" id="S4.F1.sf1.g1" src="extracted/6281701/figs/nsw_cluster_2.png" width="192"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">(a) </span>2 clusters</figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F1.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="88" id="S4.F1.sf2.g1" src="extracted/6281701/figs/nsw_cluster_3.png" width="269"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">(b) </span>3 clusters</figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F1.sf3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="77" id="S4.F1.sf3.g1" src="extracted/6281701/figs/nsw_cluster_4.png" width="299"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">(c) </span>4 clusters</figcaption> </figure> </div> </div> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS1.p2.1.1">Clustering Analysis:</span> Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S4.F1.sf3" title="In Figure 1 ‣ 4.1 The NSW Dataset ‣ 4 Social Science Applications ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1c</span></a> compares global (sample) averages and local (within-macrostate) averages of covariates across clusters constructed by the CFL algorithm. The variable <span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="S4.SS1.p2.1.2">‘treat’</span> is a treatment indicator. Varaible <span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="S4.SS1.p2.1.3">‘age’</span> and <span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="S4.SS1.p2.1.4">‘education’</span> are integers representing participants’ age and years of education, respectively. The outcome variable measures the change in income between pre- and post-treatment periods.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p3.1">With two clusters, CFL partitions the sample into one macrostate predominantly composed of younger, treated individuals and another macrostate composed of older, untreated individuals. The local averages of education remain close to the global average, whereas the local averages of treatment and age differ significantly from global ones, suggesting that they drive the clustering process.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS1.p4.1">As the number of clusters increases, CFL refines the partitioning, introducing greater granularity. While education initially plays a limited role in defining macrostate, it becomes more influential in the three- and four-cluster cases. A cluster primarily composed of untreated individuals remains stable across different specifications, whereas other groups are further divided into subgroups with distinct characteristics.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.2 </span>Causal Feature Learning Detects Heterogeneous Causal Effects</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p1.1">Heterogeneity in causal effects is a prevalent phenomenon in social sciences, where the impact of an intervention varies across different subpopulations. The CFL algorithm facilitates the identification of such heterogeneity by uncovering macrostates that segment the population based on underlying causal mechanisms.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F2"> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 2: </span>Distribution of Treated and Untreated Units Across Clusters with Kernel Density Estimates</figcaption><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="300" id="S4.F2.g1" src="extracted/6281701/figs/nsw_3d.png" width="500"/> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS2.p2.1.1">Cluster Distribution Across Ages:</span> Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S4.F2" title="Figure 2 ‣ 4.2 Causal Feature Learning Detects Heterogeneous Causal Effects ‣ 4 Social Science Applications ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> illustrates the distribution of treated and untreated units across age and education-based clusters. The CFL algorithm partitions the NSW participants into distinct subgroups based on these covariates and treatment status. Notably, younger participants (under 20 years old) predominantly cluster within the treated group, suggesting that CFL identifies them as having a comparable likelihood of achieving similar earnings outcomes, regardless of treatment status. A bifurcation around age 20 suggests a threshold beyond which treatment effects become more pronounced. For younger participants, the similarity in outcome probabilities between treated and untreated groups implies that external factors, such as baseline earning ability, may overshadow the treatment effect. This finding highlights the presence of heterogeneous treatment effects, with age acting as a moderating factor. Conversely, older participants exhibit a more balanced distribution between treated and untreated groups, suggesting that the treatment effect is sufficiently strong for CFL to distinguish between them.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p3.3">We can test the validity of the heterogeneity detected by CFL, from a more canonical perspective, by considering the following regression:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx6"> <tbody id="S4.Ex17"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}\text{Treat}_{i}+\beta_{2}\mathds{1}[% age_{i}>\overline{age}]+\beta_{3}\text{Treat}_{i}\mathds{1}[age_{i}>\overline{% age}]+\epsilon_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex17.m1.2"><semantics id="S4.Ex17.m1.2a"><mrow id="S4.Ex17.m1.2.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex17.m1.2.2.4" xref="S4.Ex17.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.4.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.4.2.cmml">Y</mi><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.4.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.2.2.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex17.m1.2.2.2.4" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.4.2.cmml">β</mi><mn id="S4.Ex17.m1.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.4.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.cmml"><msub id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.2.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.2.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.2.2.cmml">β</mi><mn id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.2.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3.cmml"><mtext id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3.2a.cmml">Treat</mtext><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.3a" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">β</mi><mn id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mn id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.4.cmml">𝟙</mn><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2a" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">g</mi><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">></mo><mover accent="true" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">g</mi><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1a" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml">e</mi></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.3b" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.cmml"><msub id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.3.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.3.2.cmml">β</mi><mn id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.3.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.3.3.cmml">3</mn></msub><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4.cmml"><mtext id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4.2a.cmml">Treat</mtext><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.2a" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mn id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.5" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.5.cmml">𝟙</mn><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.2b" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">g</mi><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1a" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.cmml">e</mi><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">></mo><mover accent="true" id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml">a</mi><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml">g</mi><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1a" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.4" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.4.cmml">e</mi></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">¯</mo></mover></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex17.m1.2.2.2.3c" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><msub id="S4.Ex17.m1.2.2.2.6" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.6.cmml"><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.2.6.2" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.6.2.cmml">ϵ</mi><mi id="S4.Ex17.m1.2.2.2.6.3" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.6.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex17.m1.2b"><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2"><eq id="S4.Ex17.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.3"></eq><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.4.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.4.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2"><plus id="S4.Ex17.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.3"></plus><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.4.2">𝛽</ci><cn id="S4.Ex17.m1.2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.4.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5"><times id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.1"></times><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.2">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.2.2">𝛽</ci><cn id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.2.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.2.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3.2a.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3.2"><mtext id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3.2">Treat</mtext></ci><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.5.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3.2">𝛽</ci><cn id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><cn id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.4">1</cn><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1"><gt id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></gt><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑔</ci><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.4.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑔</ci><ci id="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2"><times id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.2"></times><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.3.2">𝛽</ci><cn id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.3.3">3</cn></apply><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4.2a.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4.2"><mtext id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4.2">Treat</mtext></ci><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.4.3">𝑖</ci></apply><cn id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.5.cmml" type="integer" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.5">1</cn><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1"><gt id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.1"></gt><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑔</ci><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.2">𝑒</ci><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.4.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3"><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.1">¯</ci><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2"><times id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.2">𝑎</ci><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.3">𝑔</ci><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.4">𝑒</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex17.m1.2.2.2.6.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex17.m1.2.2.2.6.1.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.6">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.6.2.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.6.2">italic-ϵ</ci><ci id="S4.Ex17.m1.2.2.2.6.3.cmml" xref="S4.Ex17.m1.2.2.2.6.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex17.m1.2c">\displaystyle Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}\text{Treat}_{i}+\beta_{2}\mathds{1}[% age_{i}>\overline{age}]+\beta_{3}\text{Treat}_{i}\mathds{1}[age_{i}>\overline{% age}]+\epsilon_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex17.m1.2d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_β start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT Treat start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + italic_β start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT blackboard_1 [ italic_a italic_g italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT > over¯ start_ARG italic_a italic_g italic_e end_ARG ] + italic_β start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT Treat start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT blackboard_1 [ italic_a italic_g italic_e start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT > over¯ start_ARG italic_a italic_g italic_e end_ARG ] + italic_ϵ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p3.2">The interaction term coefficient, <math alttext="\beta_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.p3.1.m1.1a"><msub id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">β</mi><mn id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">3</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.2">𝛽</ci><cn id="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.1.m1.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.1.m1.1c">\beta_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.1.m1.1d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, captures the heterogeneity in treatment effects on earnings changes between individuals below and above the sample’s average age. Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A4.T1" title="Table A1 ‣ Appendix D Appendix: Tables and Figures ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A1</span></a> shows that <math alttext="\beta_{3}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.SS2.p3.2.m2.1a"><msub id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.cmml">β</mi><mn id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml">3</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.p3.2.m2.1b"><apply id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.2">𝛽</ci><cn id="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.p3.2.m2.1.1.3">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.p3.2.m2.1c">\beta_{3}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.p3.2.m2.1d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT 3 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is large and statistically significant, indicating that younger individuals exhibit a weaker response to treatment, while older individuals experience significantly greater earnings gains post-treatment. These findings align with CFL clustering results shown above.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p4.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS2.p4.1.1">Implications of Asymmetric Clustering:</span> The persistence of this asymmetric distribution, even as the number of clusters increases in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S4.F2" title="Figure 2 ‣ 4.2 Causal Feature Learning Detects Heterogeneous Causal Effects ‣ 4 Social Science Applications ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, reinforces the notion that the detected heterogeneity is not an artifact of inadequate clustering granularity. Instead, it reflects genuine variations in treatment effects across different age groups. The younger cohort may inherently possess characteristics that mitigate the treatment’s impact leading to similar outcome distributions irrespective of treatment status.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.p5.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS2.p5.1.1">Heterogeneity vs. Bias Considerations:</span> The asymmetric clustering in the NSW example raises important considerations regarding heterogeneity and potential biases. If the treatment assignment is not well randomized, it becomes challenging to discern whether the observed differences in treatment effects across subgroups indicate true heterogeneity or merely reflect biased sampling. For example, if younger people with inherently higher baseline earning ability, which could be unobservable, are more likely to remain untreated, the similar outcome distributions in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S4.F2" title="Figure 2 ‣ 4.2 Causal Feature Learning Detects Heterogeneous Causal Effects ‣ 4 Social Science Applications ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a> between treated and untreated young individuals could stem from this confounding relationship rather than the treatment’s heterogeneous effectiveness.</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S4.SS2.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">4.2.1 </span>Rationale behind heterogeneity detection by CFL</h4> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="S4.Thmlemma1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmlemma1.1.1.1">Lemma 4.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmlemma1.2.2"> </span>(Heterogeneity on Average)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmlemma1.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmlemma1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmlemma1.p1.8"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmlemma1.p1.8.8">Assume randomized treatment, and let Y be an outcome of interest, <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1d">italic_D</annotation></semantics></math> be a treatment dummy variable, and <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S4.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math> be a random vector for covariates. Further assume that the expectations of two variables are unequal as long as the distributions are unequal. If there exists some <math alttext="i,j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.2"><semantics id="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.2.3.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml"><mi id="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.2.3.2.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.2.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.2.2.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.2b"><list id="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.2.3.2"><ci id="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.2.2">𝑗</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.2c">i,j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmlemma1.p1.3.3.m3.2d">italic_i , italic_j</annotation></semantics></math> such that <math alttext="(D=1,X=x_{j})\sim(D=0,x=x_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2"><semantics id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2a"><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.3.cmml">∼</mo><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2b"><apply id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.3">similar-to</csymbol><apply id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1"><eq id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2"><eq id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.2">𝑥</ci><apply id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2.2.2.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2c">(D=1,X=x_{j})\sim(D=0,x=x_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmlemma1.p1.4.4.m4.2d">( italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ∼ ( italic_D = 0 , italic_x = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="(D=1,X=x_{i})\not\sim(D=0,X=x_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2"><semantics id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2a"><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.3.cmml">≁</mo><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.2.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow 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xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.1.1"><eq id="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.5.5.m5.2.2.2.1.1.1.1.1"></eq><ci 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id="S4.Thmlemma1.p1.7.7.m7.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.7.7.m7.2.2.2.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma1.p1.7.7.m7.2.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.7.7.m7.2.2.2.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmlemma1.p1.7.7.m7.2.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.7.7.m7.2.2.2.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmlemma1.p1.7.7.m7.2.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.7.7.m7.2.2.2.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmlemma1.p1.7.7.m7.2c">(D=1,X=x_{i})\sim(D=1,X=x_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmlemma1.p1.7.7.m7.2d">( italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) ∼ ( italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> and <math alttext="(D=0,X=x_{i})\not\sim(D=0,X=x_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2"><semantics id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2a"><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2" 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xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.2.1.1.1.1"><eq id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.2.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.2.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.2.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma1.p1.8.8.m8.2.2.2.1.1.2.2"><eq 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italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, this implies the heterogeneity of treatment effect.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.SS2.SSS1.4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.1.p1.3">Heterogeneity arises when</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx7"> <tbody id="S4.Ex18"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}[Y\mid D=1,X=x_{j}]-\mathbb{E}[Y\mid D=0,X=x_{j}]\neq% \mathbb{E}[Y\mid D=1,X=x_{i}]-\mathbb{E}[Y\mid D=0,X=x_{i}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex18.m1.4"><semantics id="S4.Ex18.m1.4a"><mrow id="S4.Ex18.m1.4.4" xref="S4.Ex18.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.2.2.2" 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xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.2.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.4.4.5" xref="S4.Ex18.m1.4.4.5.cmml">≠</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.4.4.4" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.3" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.2" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.4.4.4.3" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.3" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.2" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex18.m1.4b"><apply id="S4.Ex18.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4"><neq id="S4.Ex18.m1.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.5"></neq><apply id="S4.Ex18.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2"><minus id="S4.Ex18.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.3"></minus><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2"><times id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.2"></times><ci id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex18.m1.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4"><minus id="S4.Ex18.m1.4.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.3"></minus><apply id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1"><times id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.2"></times><ci id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2"><times id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.2"></times><ci id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex18.m1.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex18.m1.4c">\displaystyle\mathbb{E}[Y\mid D=1,X=x_{j}]-\mathbb{E}[Y\mid D=0,X=x_{j}]\neq% \mathbb{E}[Y\mid D=1,X=x_{i}]-\mathbb{E}[Y\mid D=0,X=x_{i}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex18.m1.4d">blackboard_E [ italic_Y ∣ italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ] - blackboard_E [ italic_Y ∣ italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ] ≠ blackboard_E [ italic_Y ∣ italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ] - blackboard_E [ italic_Y ∣ italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.1.p1.1">for some <math alttext="i,j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.2.3.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.2.3.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.2.2.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.2b"><list id="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.2.3.2"><ci id="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.2.2">𝑗</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.2c">i,j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.2d">italic_i , italic_j</annotation></semantics></math>. If</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx8"> <tbody id="S4.Ex19"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P(Y\mid D=1,X=x_{j})-P(Y\mid D=0,X=x_{j})\neq P(Y\mid D=1,X=x_{i% })-P(Y\mid D=0,X=x_{i})," class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex19.m1.1"><semantics id="S4.Ex19.m1.1a"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.5" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.5.cmml">≠</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex19.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex19.m1.1b"><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1"><neq id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.5"></neq><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.3"></minus><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.2"></times><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.2.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4"><minus id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.3"></minus><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1"><times id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.2"></times><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2"><times id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.2"></times><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex19.m1.1.1.1.1.4.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex19.m1.1c">\displaystyle P(Y\mid D=1,X=x_{j})-P(Y\mid D=0,X=x_{j})\neq P(Y\mid D=1,X=x_{i% })-P(Y\mid D=0,X=x_{i}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex19.m1.1d">italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ≠ italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.1.p1.2">this can imply the previous inequality, but the converse may not necessarily be true. Thus, if CFL can detect some <math alttext="i,j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.2"><semantics id="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.2a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.2.3.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.2.3.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.2.2.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.2b"><list id="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.2.3.2"><ci id="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.2.2">𝑗</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.2c">i,j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.1.p1.2.m1.2d">italic_i , italic_j</annotation></semantics></math> such that the above inequality holds, CFL will manifest heterogeneity. There are two cases where this will hold:</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2">1. For some <math alttext="j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS2.SSS1.2.p2.1.m1.1a"><mi id="S4.SS2.SSS1.2.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.1.m1.1.1.cmml">j</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.1.m1.1b"><ci id="S4.SS2.SSS1.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.1.m1.1.1">𝑗</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.1.m1.1c">j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.1.m1.1d">italic_j</annotation></semantics></math>, <math alttext="(D=1,X=x_{j})\sim(D=0,x=x_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2"><semantics id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.3.cmml">∼</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2b"><apply id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.3">similar-to</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" 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xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2c">(D=1,X=x_{j})\sim(D=0,x=x_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.2.m2.2d">( italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ∼ ( italic_D = 0 , italic_x = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, which means they are clustered into one macrostate, so that</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P(Y\mid D=1,X=x_{j})=P(Y\mid D=0,X=x_{j})," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex20.m1.1"><semantics id="S4.Ex20.m1.1a"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex20.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex20.m1.1b"><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1"><eq id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex20.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex20.m1.1c">P(Y\mid D=1,X=x_{j})=P(Y\mid D=0,X=x_{j}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex20.m1.1d">italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.5">but for some <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.3.m1.1"><semantics id="S4.SS2.SSS1.2.p2.3.m1.1a"><mi id="S4.SS2.SSS1.2.p2.3.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.3.m1.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.3.m1.1b"><ci id="S4.SS2.SSS1.2.p2.3.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.3.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.3.m1.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.3.m1.1d">italic_i</annotation></semantics></math>, <math alttext="(D=1,X=x_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1"><semantics id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1"><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.3" stretchy="false">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1b"><apply id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1c">(D=1,X=x_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.4.m2.1d">( italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is not in the same equivalence class as <math alttext="(D=0,X=x_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1"><semantics id="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1"><mo id="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.1.2" 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id="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1c">(D=0,X=x_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.5.m3.1d">( italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, so</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P(Y\mid D=1,X=x_{i})\neq P(Y\mid D=0,X=x_{i})," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex21.m1.1"><semantics id="S4.Ex21.m1.1a"><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow 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xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex21.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex21.m1.1b"><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1"><neq id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.3"></neq><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex21.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex21.m1.1c">P(Y\mid D=1,X=x_{i})\neq P(Y\mid D=0,X=x_{i}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex21.m1.1d">italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) ≠ italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.2.p2.6">meaning that treatment has no effect on some subpopulation but has an effect on others.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.3.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2">2. For some <math alttext="i,j" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.2"><semantics id="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.2a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.2.3.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.2.3.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.2.2.cmml">j</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.2b"><list id="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.2.3.2"><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.1.1">𝑖</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.2.2">𝑗</ci></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.2c">i,j</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.1.m1.2d">italic_i , italic_j</annotation></semantics></math>, <math alttext="(D=1,X=x_{i})\sim(D=1,X=x_{j})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2"><semantics id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.3.cmml">∼</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2b"><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.3">similar-to</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1"><eq id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.2"><eq id="S4.SS2.SSS1.3.p3.2.m2.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" 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xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex22.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1"></eq><ci 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class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4">but <math alttext="(D=0,X=x_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1"><semantics id="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1.1.1"><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1.1.1.2" stretchy="false">(</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">D</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.3.m1.1.1.1.1.2.2" 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encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1b"><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.2">𝐷</ci><cn id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1c">(D=0,X=x_{j})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.4.m2.1d">( italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, so</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.Ex23"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P(Y\mid D=0,X=x_{i})\neq P(Y\mid D=0,X=x_{j})," class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex23.m1.1"><semantics id="S4.Ex23.m1.1a"><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.3.cmml">≠</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex23.m1.1.1.1.2" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex23.m1.1b"><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1"><neq id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.3"></neq><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1"><times id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex23.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex23.m1.1c">P(Y\mid D=0,X=x_{i})\neq P(Y\mid D=0,X=x_{j}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex23.m1.1d">italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) ≠ italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.6">meaning that <math alttext="P(Y\mid D=1,X)-P(Y\mid D=0,X)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6"><semantics id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml"><mn id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.2.2.cmml">X</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.3.cmml">P</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.3.1.cmml"><mn id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.3.3.cmml">0</mn><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.4.4" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.4.4.cmml">X</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6b"><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6"><minus id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.3"></minus><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1"><times id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.2"></times><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1"><eq id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><list id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.5.5.1.1.1.1.3.2"><cn id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.1.1">1</cn><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.2.2">𝑋</ci></list></apply></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2"><times id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.2"></times><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.3">𝑃</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1"><eq id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><list id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6.6.2.1.1.1.3.2"><cn id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.3.3">0</cn><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.4.4.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.4.4">𝑋</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6c">P(Y\mid D=1,X)-P(Y\mid D=0,X)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.5.m1.6d">italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 1 , italic_X ) - italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 0 , italic_X )</annotation></semantics></math> is not constant across all values of <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.6.m2.1"><semantics id="S4.SS2.SSS1.3.p3.6.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.6.m2.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.6.m2.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.6.m2.1b"><ci id="S4.SS2.SSS1.3.p3.6.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.3.p3.6.m2.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.6.m2.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.3.p3.6.m2.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.4.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.4.p4.1">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p1.1">The assumption that unequal distribution implies unequal expectation may not always be true in the above lemma, so in this case, the CFL algorithm may not be valid to manifest heterogeneity on average. However, though heterogeneity on average is a common way to define the heterogeneous treatment effect, it is a summary statistic of the distribution, and the treatment can still be heterogeneous on the distribution level, if not on the expected level. Therefore, we can propose that it is sufficient for a treatment to be heterogeneous if it is heterogeneous on the distribution level according to the next lemma.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="S4.Thmlemma2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmlemma2.1.1.1">Lemma 4.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmlemma2.2.2"> </span>(Heterogeneity on Distribution)<span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmlemma2.3.3">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmlemma2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmlemma2.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3">Assume randomized treatment, and let Y be an outcome of interest, <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1d">italic_D</annotation></semantics></math> be a treatment dummy variable, and <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S4.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math> be a random vector for covariates. Heterogeneous treatment effect exists if <math alttext="P(Y\mid D=1,X=x_{j})-P(Y\mid D=0,X=x_{j})\neq P(Y\mid D=1,X=x_{i})-P(Y\mid D=0% ,X=x_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4"><semantics id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4a"><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml"><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.5" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.5.cmml">≠</mo><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.cmml"><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi 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id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2"><times id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2"></times><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3">𝑃</ci><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.2.2.2.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4"><minus id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.3"></minus><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1"><times id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.2"></times><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2"><times id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.2"></times><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.3">𝑃</ci><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4c">P(Y\mid D=1,X=x_{j})-P(Y\mid D=0,X=x_{j})\neq P(Y\mid D=1,X=x_{i})-P(Y\mid D=0% ,X=x_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmlemma2.p1.3.3.m3.4d">italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) ≠ italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) - italic_P ( italic_Y ∣ italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p2.1">These arguments are similar and can account for the heterogeneity detected by CFL in the NSW dataset, where a portion of untreated young individuals are clustered into the same macrostate as the treated young individuals.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="S4.Thmremark1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmremark1.1.1.1">Remark 4.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmremark1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmremark1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmremark1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmremark1.p1.1.1">Randomized treatment is a necessary condition for the validity of CFL in detecting heterogeneity.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p3.1">Note that if the treatment is not randomly assigned, under the potential outcome framework, we can write a formal decomposition to show the existence of selection bias that will contaminate the detection of heterogeneity by CFL:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx9"> <tbody id="S4.Ex24"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}[Y(1)\mid D=1,X=x_{j}]-\mathbb{E}[Y(0)" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex24.m1.2"><semantics id="S4.Ex24.m1.2a"><mrow id="S4.Ex24.m1.2b"><mi id="S4.Ex24.m1.2.3">𝔼</mi><mrow id="S4.Ex24.m1.2.4"><mo id="S4.Ex24.m1.2.4.1" stretchy="false">[</mo><mi id="S4.Ex24.m1.2.4.2">Y</mi><mrow id="S4.Ex24.m1.2.4.3"><mo id="S4.Ex24.m1.2.4.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.Ex24.m1.1.1">1</mn><mo id="S4.Ex24.m1.2.4.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.2.4.4" lspace="0em" rspace="0.167em">∣</mo><mi id="S4.Ex24.m1.2.4.5">D</mi><mo id="S4.Ex24.m1.2.4.6">=</mo><mn id="S4.Ex24.m1.2.4.7">1</mn><mo id="S4.Ex24.m1.2.4.8">,</mo><mi id="S4.Ex24.m1.2.4.9">X</mi><mo id="S4.Ex24.m1.2.4.10">=</mo><msub id="S4.Ex24.m1.2.4.11"><mi id="S4.Ex24.m1.2.4.11.2">x</mi><mi id="S4.Ex24.m1.2.4.11.3">j</mi></msub><mo id="S4.Ex24.m1.2.4.12" stretchy="false">]</mo></mrow><mo id="S4.Ex24.m1.2.5">−</mo><mi id="S4.Ex24.m1.2.6">𝔼</mi><mrow id="S4.Ex24.m1.2.7"><mo id="S4.Ex24.m1.2.7.1" stretchy="false">[</mo><mi id="S4.Ex24.m1.2.7.2">Y</mi><mrow id="S4.Ex24.m1.2.7.3"><mo id="S4.Ex24.m1.2.7.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.Ex24.m1.2.2">0</mn><mo id="S4.Ex24.m1.2.7.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex24.m1.2c">\displaystyle\mathbb{E}[Y(1)\mid D=1,X=x_{j}]-\mathbb{E}[Y(0)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex24.m1.2d">blackboard_E [ italic_Y ( 1 ) ∣ italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ] - blackboard_E [ italic_Y ( 0 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mid D=0,X=x_{j}]\neq" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex24.m2.1"><semantics id="S4.Ex24.m2.1a"><mrow id="S4.Ex24.m2.1b"><mo id="S4.Ex24.m2.1.1" rspace="0.167em">∣</mo><mi id="S4.Ex24.m2.1.2">D</mi><mo id="S4.Ex24.m2.1.3">=</mo><mn id="S4.Ex24.m2.1.4">0</mn><mo id="S4.Ex24.m2.1.5">,</mo><mi id="S4.Ex24.m2.1.6">X</mi><mo id="S4.Ex24.m2.1.7">=</mo><msub id="S4.Ex24.m2.1.8"><mi id="S4.Ex24.m2.1.8.2">x</mi><mi id="S4.Ex24.m2.1.8.3">j</mi></msub><mo id="S4.Ex24.m2.1.9" stretchy="false">]</mo><mo id="S4.Ex24.m2.1.10">≠</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex24.m2.1c">\displaystyle\mid D=0,X=x_{j}]\neq</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex24.m2.1d">∣ italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ] ≠</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex25"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}[Y(1)\mid D=1,X=x_{i}]-\mathbb{E}[Y(0)\mid D=0,X=x_{i}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex25.m1.4"><semantics id="S4.Ex25.m1.4a"><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4" xref="S4.Ex25.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.1.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.1.2" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex25.m1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.2.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.2.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex25.m1.2.2" xref="S4.Ex25.m1.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex25.m1.4b"><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4"><minus id="S4.Ex25.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.3"></minus><apply id="S4.Ex25.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1"><times id="S4.Ex25.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S4.Ex25.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.Ex25.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.1.1">1</cn></apply><ci id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2"><times id="S4.Ex25.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.2"></times><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.Ex25.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.2.2">0</cn></apply><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex25.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex25.m1.4c">\displaystyle\mathbb{E}[Y(1)\mid D=1,X=x_{i}]-\mathbb{E}[Y(0)\mid D=0,X=x_{i}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex25.m1.4d">blackboard_E [ italic_Y ( 1 ) ∣ italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ] - blackboard_E [ italic_Y ( 0 ) ∣ italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p3.2">Plus and minus the unobserved term:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx10"> <tbody id="S4.Ex26"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Rightarrow" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex26.m1.1"><semantics id="S4.Ex26.m1.1a"><mo id="S4.Ex26.m1.1.1" stretchy="false" xref="S4.Ex26.m1.1.1.cmml">⇒</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex26.m1.1b"><ci id="S4.Ex26.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex26.m1.1.1">⇒</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex26.m1.1c">\displaystyle\Rightarrow</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex26.m1.1d">⇒</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}[Y(1)\mid D=1,X=x_{j}]-\mathbb{E}[Y(0)\mid D=1,X=x_{j}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex26.m2.4"><semantics id="S4.Ex26.m2.4a"><mrow id="S4.Ex26.m2.4.4" xref="S4.Ex26.m2.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex26.m2.3.3.1" xref="S4.Ex26.m2.3.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex26.m2.3.3.1.3" xref="S4.Ex26.m2.3.3.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex26.m2.3.3.1.2" xref="S4.Ex26.m2.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex26.m2.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex26.m2.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex26.m2.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex26.m2.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex26.m2.3.3.1.1.1.1.2" 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1,X=x_{j}]-\mathbb{E}[Y(0)\mid D=0,X=x_{j}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex27.m1.4"><semantics id="S4.Ex27.m1.4a"><mrow id="S4.Ex27.m1.4.4" xref="S4.Ex27.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.3.3.1" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex27.m1.3.3.1a" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex27.m1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex27.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo 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id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex27.m1.2.2" xref="S4.Ex27.m1.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" 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id="S4.Ex27.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex27.m1.2.2">0</cn></apply><ci id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex27.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex27.m1.4c">\displaystyle\phantom{\mathbb{E}[Y(1)\mid D=1,X=x_{j}]}+\mathbb{E}[Y(0)\mid D=% 1,X=x_{j}]-\mathbb{E}[Y(0)\mid D=0,X=x_{j}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex27.m1.4d">+ blackboard_E [ italic_Y ( 0 ) ∣ italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ] - blackboard_E [ italic_Y ( 0 ) ∣ italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex28"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\neq\mathbb{E}[Y(1)\mid D=1,X=x_{i}]-\mathbb{E}[Y(0)\mid D=1,X=x_% {i}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex28.m1.4"><semantics id="S4.Ex28.m1.4a"><mrow id="S4.Ex28.m1.4.4" xref="S4.Ex28.m1.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.4.4.4" xref="S4.Ex28.m1.4.4.4.cmml"></mi><mo id="S4.Ex28.m1.4.4.3" xref="S4.Ex28.m1.4.4.3.cmml">≠</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.4.4.2" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.cmml"><mrow id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex28.m1.1.1" xref="S4.Ex28.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex28.m1.4.4.2.3" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.3" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex28.m1.2.2" xref="S4.Ex28.m1.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex28.m1.4.4.2.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi 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ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\phantom{\mathbb{E}[Y(1)\mid D=1,X=x_{i}]}+\mathbb{E}[Y(0)\mid D=% 1,X=x_{i}]-\mathbb{E}[Y(0)\mid D=0,X=x_{i}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex29.m1.4"><semantics id="S4.Ex29.m1.4a"><mrow id="S4.Ex29.m1.4.4" xref="S4.Ex29.m1.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1a" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" 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id="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex29.m1.4b"><apply id="S4.Ex29.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex29.m1.4.4"><minus id="S4.Ex29.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.4.4.3"></minus><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1"><plus id="S4.Ex29.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1"></plus><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1"><times id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" 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id="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.Ex29.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex29.m1.2.2">0</cn></apply><ci id="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex29.m1.4.4.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex29.m1.4c">\displaystyle\phantom{\mathbb{E}[Y(1)\mid D=1,X=x_{i}]}+\mathbb{E}[Y(0)\mid D=% 1,X=x_{i}]-\mathbb{E}[Y(0)\mid D=0,X=x_{i}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex29.m1.4d">+ blackboard_E [ italic_Y ( 0 ) ∣ italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ] - blackboard_E [ italic_Y ( 0 ) ∣ italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p3.3">Rearrange:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx11"> <tbody id="S4.Ex30"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\Rightarrow" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex30.m1.1"><semantics id="S4.Ex30.m1.1a"><mo id="S4.Ex30.m1.1.1" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m1.1.1.cmml">⇒</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex30.m1.1b"><ci id="S4.Ex30.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex30.m1.1.1">⇒</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex30.m1.1c">\displaystyle\Rightarrow</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex30.m1.1d">⇒</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)\mid D=1,X=x_{j}]\underbrace{+\mathbb{E}[Y(0)% \mid D=1,X=x_{j}]-\mathbb{E}[Y(0)\mid D=0,X=x_{j}]}_{\text{Selection Bias}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex30.m2.7"><semantics id="S4.Ex30.m2.7a"><mrow id="S4.Ex30.m2.7.7" xref="S4.Ex30.m2.7.7.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.7.7.3" xref="S4.Ex30.m2.7.7.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex30.m2.7.7.2" xref="S4.Ex30.m2.7.7.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.2" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex30.m2.5.5" xref="S4.Ex30.m2.5.5.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex30.m2.6.6" xref="S4.Ex30.m2.6.6.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">D</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.7.7.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.7.7.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.7.7.2a" xref="S4.Ex30.m2.7.7.2.cmml">⁢</mo><munder id="S4.Ex30.m2.7.7.4" xref="S4.Ex30.m2.7.7.4.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.Ex30.m2.4.4" xref="S4.Ex30.m2.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m2.4.4.4" xref="S4.Ex30.m2.4.4.4.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.cmml"><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3a" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.cmml">+</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.3" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.2" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex30.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex30.m2.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.4.4.4.5" 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xref="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex30.m2.2.2.2.2" xref="S4.Ex30.m2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex30.m2.4.4.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo 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id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex31.m1.5.5" xref="S4.Ex31.m1.5.5.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex31.m1.6.6" xref="S4.Ex31.m1.6.6.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">D</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3" 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xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.3" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.2" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.4.4.4.5" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.5.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.3" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.2" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.2" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.1" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.3" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex31.m1.4.4.5" xref="S4.Ex31.m1.4.4.5.cmml">⏟</mo></munder><mtext id="S4.Ex31.m1.7.7.1.3.2" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.3.2a.cmml">Selection Bias</mtext></munder></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex31.m1.7b"><apply id="S4.Ex31.m1.7.7.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7"><neq id="S4.Ex31.m1.7.7.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.2"></neq><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex31.m1.7.7.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.3">absent</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.7.7.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1"><plus id="S4.Ex31.m1.7.7.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.2"></plus><apply id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1"><times id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.Ex31.m1.5.5.cmml" type="integer" xref="S4.Ex31.m1.5.5">1</cn></apply><apply id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><times id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1"></times><ci id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.Ex31.m1.6.6.cmml" type="integer" xref="S4.Ex31.m1.6.6">0</cn></apply><ci id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝐷</ci></apply></apply><cn id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex31.m1.7.7.1.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.7.7.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.3">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4"><ci id="S4.Ex31.m1.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.5">⏟</ci><apply id="S4.Ex31.m1.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4"><minus id="S4.Ex31.m1.4.4.4.5.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.5"></minus><apply id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3"><times id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.2"></times><ci id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.Ex31.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex31.m1.1.1.1.1">0</cn></apply><ci id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4"><times id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.2"></times><ci id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.Ex31.m1.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex31.m1.2.2.2.2">0</cn></apply><ci id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><cn id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2"><eq id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.2">𝑋</ci><apply id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.Ex31.m1.4.4.4.4.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.Ex31.m1.7.7.1.3.2a.cmml" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.3.2"><mtext id="S4.Ex31.m1.7.7.1.3.2.cmml" mathsize="70%" xref="S4.Ex31.m1.7.7.1.3.2">Selection Bias</mtext></ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex31.m1.7c">\displaystyle\neq\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)\mid D=1,X=x_{i}]+\underbrace{\mathbb{E}[% Y(0)\mid D=1,X=x_{i}]-\mathbb{E}[Y(0)\mid D=0,X=x_{i}]}_{\text{Selection Bias}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex31.m1.7d">≠ blackboard_E [ italic_Y ( 1 ) - italic_Y ( 0 ) ∣ italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ] + under⏟ start_ARG blackboard_E [ italic_Y ( 0 ) ∣ italic_D = 1 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ] - blackboard_E [ italic_Y ( 0 ) ∣ italic_D = 0 , italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ] end_ARG start_POSTSUBSCRIPT Selection Bias end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS2.SSS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.SS2.SSS1.p4.1">Therefore, there could be no heterogeneity e.g. if <math alttext="P(Y(1)-Y(0)\mid D=1,x=x_{j})=P(Y(1)-Y(0)\mid D=1,x=x_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6"><semantics id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6a"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">(</mo><mn id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">D</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.3.cmml">P</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.cmml">1</mn><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml"><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">(</mo><mn id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.4.4" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.4.4.cmml">0</mn><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">D</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><msub id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3.2" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3.3" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6b"><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6"><eq id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.3"></eq><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1"><times id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.2"></times><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1">1</cn></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1">conditional</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><times id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1"></times><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.2.2">0</cn></apply><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝐷</ci></apply></apply><cn id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2"><eq id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.5.5.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2"><times id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.2"></times><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.3">𝑃</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1"><eq id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2"><minus id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.1"></minus><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.3.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.1">conditional</csymbol><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2"><times id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.1"></times><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.4.4.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.4.4">0</cn></apply><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.2.3.3">𝐷</ci></apply></apply><cn id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2"><eq id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6.6.2.1.1.1.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6c">P(Y(1)-Y(0)\mid D=1,x=x_{j})=P(Y(1)-Y(0)\mid D=1,x=x_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS2.SSS1.p4.1.m1.6d">italic_P ( italic_Y ( 1 ) - italic_Y ( 0 ) ∣ italic_D = 1 , italic_x = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_P ( italic_Y ( 1 ) - italic_Y ( 0 ) ∣ italic_D = 1 , italic_x = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>, but different degrees of selection biases across values of covariate will still result in the above inequality that manifests heterogeneity empirically through CFL. In other words, randomized treatment is a necessary condition for the validity of CFL in detecting heterogeneity.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_subsection" id="S4.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">4.3 </span>The Voting Dataset</h3> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p1.5">The Voting dataset, derived from the study by <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Gerber et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib15" title="">2009</a>)</cite>, examines the “persuasion effect” of offering a free subscription to the Washington Post (more liberal) or Washington Times (more conservative) on post-treatment political preference. In this randomized controlled trial, <math alttext="n=3347" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.p1.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml">3347</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.1.m1.1b"><apply id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1"><eq id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.1.m1.1.1.3">3347</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.1.m1.1c">n=3347</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.1.m1.1d">italic_n = 3347</annotation></semantics></math> individuals were assigned to receive either Washington Times (<math alttext="Times_{i}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.p1.2.m2.1a"><mrow id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">T</mi><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.1" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.1a" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.4" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.4.cmml">m</mi><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.1b" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.5" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.5.cmml">e</mi><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.1c" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.6" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.6.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.6.2" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.6.2.cmml">s</mi><mi id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.6.3" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.6.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.2.m2.1b"><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1"><eq id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2"><times id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.1"></times><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.2">𝑇</ci><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.3">𝑖</ci><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.4.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.4">𝑚</ci><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.5.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.5">𝑒</ci><apply id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.6.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.6.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.6">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.6.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.6.2">𝑠</ci><ci id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.6.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.2.6.3">𝑖</ci></apply></apply><cn id="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.2.m2.1c">Times_{i}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.2.m2.1d">italic_T italic_i italic_m italic_e italic_s start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math>), Washington Post (<math alttext="Post_{i}=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.p1.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml">P</mi><mo id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.1" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml">o</mi><mo id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.1a" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.4" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.4.cmml">s</mi><mo id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.1b" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.5" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.5.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.5.2" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.5.2.cmml">t</mi><mi id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.5.3" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.5.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.3.m3.1b"><apply id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1"><eq id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2"><times id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.1"></times><ci id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.2">𝑃</ci><ci id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.3">𝑜</ci><ci id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.4.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.4">𝑠</ci><apply id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.5.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.5.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.5.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.5.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.5.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.2.5.3">𝑖</ci></apply></apply><cn id="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.3.m3.1c">Post_{i}=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.3.m3.1d">italic_P italic_o italic_s italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = 1</annotation></semantics></math>), or control (<math alttext="treat_{i}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.4.m4.1"><semantics id="S4.SS3.p1.4.m4.1a"><mrow id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.2" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.1" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.3" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml">r</mi><mo id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.1a" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.4" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.4.cmml">e</mi><mo id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.1b" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.5" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.5.cmml">a</mi><mo id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.1c" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.6" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.6.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.6.2" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.6.2.cmml">t</mi><mi id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.6.3" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.6.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.1" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.4.m4.1b"><apply id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1"><eq id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2"><times id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.1"></times><ci id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.3">𝑟</ci><ci id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.4.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.4">𝑒</ci><ci id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.5.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.5">𝑎</ci><apply id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.6.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.6.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.6">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.6.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.6.2">𝑡</ci><ci id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.6.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.2.6.3">𝑖</ci></apply></apply><cn id="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.p1.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.4.m4.1c">treat_{i}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.4.m4.1d">italic_t italic_r italic_e italic_a italic_t start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>). The outcome variable <math alttext="Y_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.p1.5.m5.1"><semantics id="S4.SS3.p1.5.m5.1a"><msub id="S4.SS3.p1.5.m5.1.1" xref="S4.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.p1.5.m5.1.1.2" xref="S4.SS3.p1.5.m5.1.1.2.cmml">Y</mi><mi id="S4.SS3.p1.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS3.p1.5.m5.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.p1.5.m5.1b"><apply id="S4.SS3.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m5.1.1.2">𝑌</ci><ci id="S4.SS3.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.p1.5.m5.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.p1.5.m5.1c">Y_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.p1.5.m5.1d">italic_Y start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> we focused on is the broad policy index constructed by the authors to estimate the political attitude after the treatment, with higher index values indicating a more conservative stance. This dataset also includes a rich set of covariates encompassing demographic information, baseline political preferences, and historical voter turnout. <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Jun and Lee (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib26" title="">2023</a>)</cite> utilized this dataset to explore persuasion effects, and we extend their analysis by applying the CFL algorithm to derive macrostates that may better capture the causal influence of the treatment on voting behavior.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.SS3.p2.1.1">Clustering Analysis and Downstream Implementation:</span> As depicted in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A4.F1" title="Figure A1 ‣ Appendix D Appendix: Tables and Figures ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A1</span></a>, the CFL algorithm identifies distinct clusters among the Voting dataset participants based on the same covariates in the analysis of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">Gerber et al. (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#bib.bib15" title="">2009</a>)</cite>, including gender (<span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="S4.SS3.p2.1.2">Bfemale</span>), age (<span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="S4.SS3.p2.1.3">reportedage</span>), voting history (<span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="S4.SS3.p2.1.4">Bvoted2001/02/04</span>), the source of sampling (<span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="S4.SS3.p2.1.5">Bconsumer</span>), baseline political preference (<span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="S4.SS3.p2.1.6">Bpreferrepub/dem</span>), and baseline exposure to similar types of papers (<span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="S4.SS3.p2.1.7">Bgetsmag</span>). By excluding the treatment dummy, Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A4.F1" title="Figure A1 ‣ Appendix D Appendix: Tables and Figures ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A1</span></a> presents a coarsened covariate space constructed by above variables.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.p3.1">Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A4.T2" title="Table A2 ‣ Appendix D Appendix: Tables and Figures ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A2</span></a> summarizes the treatment effects of receiving Washington Post and Times, using the same regression specification in the original paper except that all covariates are replaced by cluster indicators. While the original paper concluded that, though not significant, receiving either type of paper lead to more support liberal attitude (both effects are negative), results in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A4.T2" title="Table A2 ‣ Appendix D Appendix: Tables and Figures ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A2</span></a> show that receiving the more liberal paper lead to more liberal post-treatment political attitude, and receiving the more conservative paper lead to more conservative political attitude. Despite this difference, which signifies different parts of the variations in data that the constructed macrostates and the original microstates respectively account for, they are still very similar in relative magnitude and significance level of coefficients, especially in the case of receiving the more liberal paper.</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S4.SS3.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">4.3.1 </span>CFL as Dimensionality Reduction Technique:</h4> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="S4.Thmlemma3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmlemma3.1.1.1">Lemma 4.3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmlemma3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmlemma3.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmlemma3.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmlemma3.p1.5.5">Let <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmlemma3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.Thmlemma3.p1.1.1.m1.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1" xref="S4.Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmlemma3.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S4.Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma3.p1.1.1.m1.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmlemma3.p1.1.1.m1.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmlemma3.p1.1.1.m1.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math> be the random vector for all relevant covariates such that the unconfoundedness assumption <math alttext="D\perp\!\!\!\perp(Y(1),Y(0))\mid X" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1b"><mi id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.1">D</mi><mpadded id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1c" width="0.250em"><mo id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.2">⟂</mo></mpadded><mo id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.3">⟂</mo><mrow id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.4"><mo id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.4.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.4.2">Y</mi><mrow id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.4.3"><mo id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.4.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.4.3.2">1</mn><mo id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.4.3.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.4.4">,</mo><mi id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.4.5">Y</mi><mrow id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.4.6"><mo id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.4.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.4.6.2">0</mn><mo id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.4.6.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.4.7" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.5" lspace="0em" rspace="0.167em">∣</mo><mi id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1.6">X</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1d">D\perp\!\!\!\perp(Y(1),Y(0))\mid X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmlemma3.p1.2.2.m2.1e">italic_D ⟂ ⟂ ( italic_Y ( 1 ) , italic_Y ( 0 ) ) ∣ italic_X</annotation></semantics></math> holds, then the observational coarsening, <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmlemma3.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S4.Thmlemma3.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S4.Thmlemma3.p1.3.3.m3.1.1" xref="S4.Thmlemma3.p1.3.3.m3.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmlemma3.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S4.Thmlemma3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma3.p1.3.3.m3.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmlemma3.p1.3.3.m3.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmlemma3.p1.3.3.m3.1d">italic_M</annotation></semantics></math>, of the covariate space of <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Thmlemma3.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S4.Thmlemma3.p1.4.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.Thmlemma3.p1.4.4.m4.1.1" xref="S4.Thmlemma3.p1.4.4.m4.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Thmlemma3.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S4.Thmlemma3.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.Thmlemma3.p1.4.4.m4.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmlemma3.p1.4.4.m4.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmlemma3.p1.4.4.m4.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math> by CFL also satisfy <math alttext="D\perp\!\!\!\perp Y(\cdot)\mid M" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1b"><mi id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1.1">D</mi><mpadded id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1c" width="0.250em"><mo id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1.2">⟂</mo></mpadded><mo id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1.3">⟂</mo><mi id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1.4">Y</mi><mrow id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1.5"><mo id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1.5.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1.5.2" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1.5.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1.6" lspace="0em" rspace="0.167em">∣</mo><mi id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1.7">M</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1d">D\perp\!\!\!\perp Y(\cdot)\mid M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Thmlemma3.p1.5.5.m5.1e">italic_D ⟂ ⟂ italic_Y ( ⋅ ) ∣ italic_M</annotation></semantics></math></span></p> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S4.SS3.SSS1.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.SSS1.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.3">With the unconfoundedness assumption, the independence of the potential outcomes, <math alttext="(Y(1),Y(0))" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.3.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.3.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">(</mo><mn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.4" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">(</mo><mn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.5" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4b"><interval closure="open" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2"><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1"><times id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.3.3.1.1.2">𝑌</ci><cn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.1.1">1</cn></apply><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2"><times id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4.4.2.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.2.2">0</cn></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4c">(Y(1),Y(0))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.1.m1.4d">( italic_Y ( 1 ) , italic_Y ( 0 ) )</annotation></semantics></math>, and the treatment <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.2.m2.1a"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.2.m2.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.2.m2.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.2.m2.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.2.m2.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.2.m2.1d">italic_D</annotation></semantics></math> conditional on all confounders <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.3.m3.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.3.m3.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.3.m3.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.3.m3.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.3.m3.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math>, which is a vector of all relevant covariates, ensures the recovery of the average treatment effect. We can formally write the unconfoundedness assumption as:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx12"> <tbody id="S4.Ex32"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle D\perp\!\!\!\perp(Y(1),Y(0))\mid X" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex32.m1.1"><semantics id="S4.Ex32.m1.1a"><mrow id="S4.Ex32.m1.1b"><mi id="S4.Ex32.m1.1.1">D</mi><mpadded id="S4.Ex32.m1.1c" width="0.250em"><mo id="S4.Ex32.m1.1.2">⟂</mo></mpadded><mo id="S4.Ex32.m1.1.3">⟂</mo><mrow id="S4.Ex32.m1.1.4"><mo id="S4.Ex32.m1.1.4.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex32.m1.1.4.2">Y</mi><mrow id="S4.Ex32.m1.1.4.3"><mo id="S4.Ex32.m1.1.4.3.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.Ex32.m1.1.4.3.2">1</mn><mo id="S4.Ex32.m1.1.4.3.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.1.4.4">,</mo><mi id="S4.Ex32.m1.1.4.5">Y</mi><mrow id="S4.Ex32.m1.1.4.6"><mo id="S4.Ex32.m1.1.4.6.1" stretchy="false">(</mo><mn id="S4.Ex32.m1.1.4.6.2">0</mn><mo id="S4.Ex32.m1.1.4.6.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.1.4.7" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex32.m1.1.5" lspace="0em" rspace="0.167em">∣</mo><mi id="S4.Ex32.m1.1.6">X</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex32.m1.1d">\displaystyle D\perp\!\!\!\perp(Y(1),Y(0))\mid X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex32.m1.1e">italic_D ⟂ ⟂ ( italic_Y ( 1 ) , italic_Y ( 0 ) ) ∣ italic_X</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4">Recall that CFL conducts observational partition of the covariate space by the following equivalence relation: for any <math alttext="x_{i},x_{j}\in\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.2.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.3.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.4" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.4.cmml">𝒳</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2b"><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2"><in id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.3"></in><list id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.2"><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.4.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci 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class="ltx_Math" display="block" id="S4.Ex33.m1.1"><semantics id="S4.Ex33.m1.1a"><mrow id="S4.Ex33.m1.1.1.1" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4.cmml"><msub id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.cmml"><mi id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4.1" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4.1.cmml">∼</mo><msub id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">x</mi><mn id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.3.cmml">⇔</mo><mrow id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mrow id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1" 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xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1"><in id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></in><apply id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">for-all</csymbol><ci id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑦</ci></apply><ci id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝒴</ci></apply><apply id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2"><eq id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.3"></eq><apply id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><times id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.2"></times><ci id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"><eq id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.3">𝑋</ci></apply><apply id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><times id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2"></times><ci id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1"><eq id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.2.3">𝑋</ci></apply><apply id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑥</ci><ci id="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex33.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex33.m1.1c">x_{1}\sim x_{2}\iff\forall y\in\mathcal{Y},\ P\left(Y\mid X=x_{i}\right)=P% \left(Y\mid X=x_{j}\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex33.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ⇔ ∀ italic_y ∈ caligraphic_Y , italic_P ( italic_Y ∣ italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_P ( italic_Y ∣ italic_X = italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.20">Suppose <math alttext="\{x_{i}\}_{i=1}^{\infty}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1a"><msubsup id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.3.cmml">∞</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1b"><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1">subscript</csymbol><set id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1"><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3"><eq id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><infinity id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1c">\{x_{i}\}_{i=1}^{\infty}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.5.m1.1d">{ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is the sequence of all possible values in <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.6.m2.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.6.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.6.m2.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.6.m2.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.6.m2.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.6.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.6.m2.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.6.m2.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.6.m2.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\{x_{ik}\}_{k=1}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1a"><msubsup id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.2.cmml">k</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.3.cmml">n</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1b"><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1">subscript</csymbol><set id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1"><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></set><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3"><eq id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.2">𝑘</ci><cn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1c">\{x_{ik}\}_{k=1}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.7.m3.1d">{ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_k = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is a subsequence that includes all the representatives of <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.8.m4.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.8.m4.1a"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.8.m4.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.8.m4.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.8.m4.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.8.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.8.m4.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.8.m4.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.8.m4.1d">italic_n</annotation></semantics></math> equivalent classes. Define a new random vector <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.9.m5.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.9.m5.1a"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.9.m5.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.9.m5.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.9.m5.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.9.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.9.m5.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.9.m5.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.9.m5.1d">italic_M</annotation></semantics></math> such that <math alttext="M=\begin{bmatrix}\mathbf{1}[x\in[x_{i1}]]&\mathbf{1}[x\in[x_{i2}]]&\cdots&% \mathbf{1}[x\in[x_{in-1}]]\end{bmatrix}^{\top}." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.2.cmml">M</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><msup id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.3.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.2.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.cmml"><mtr id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1a" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.cmml"><mtd id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1b" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝟏</mn><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mtd><mtd id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1c" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml"><mn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml">𝟏</mn><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml">x</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></mrow></msub><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mtd><mtd id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1d" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.4.1" mathvariant="normal" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml">⋯</mi></mtd><mtd id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1e" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml"><mn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.3.cmml">𝟏</mn><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">x</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mtable><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.3.2.cmml">⊤</mo></msup></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2b"><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1"><eq id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.1"></eq><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.2">𝑀</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.3.1">matrix</csymbol><matrix id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1"><matrixrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1a.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1"><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><cn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><in id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></in><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1"><times id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.2"></times><cn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.3">1</cn><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1"><in id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.2"></in><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.3">𝑥</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.4.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.4.1">⋯</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1"><times id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.2"></times><cn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.3">1</cn><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1"><in id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.2"></in><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.3">𝑥</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><times id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑖</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.1.1.1.1.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></apply><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2.2.1.1.3.2">top</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2c">M=\begin{bmatrix}\mathbf{1}[x\in[x_{i1}]]&\mathbf{1}[x\in[x_{i2}]]&\cdots&% \mathbf{1}[x\in[x_{in-1}]]\end{bmatrix}^{\top}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.10.m6.2d">italic_M = [ start_ARG start_ROW start_CELL bold_1 [ italic_x ∈ [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i 1 end_POSTSUBSCRIPT ] ] end_CELL start_CELL bold_1 [ italic_x ∈ [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i 2 end_POSTSUBSCRIPT ] ] end_CELL start_CELL ⋯ end_CELL start_CELL bold_1 [ italic_x ∈ [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n - 1 end_POSTSUBSCRIPT ] ] end_CELL end_ROW end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math> This random vector is a coarsening of the original covariate space, and all the equivalence classes are mutually exclusive and jointly exhaustively. In other words, if <math alttext="x\in[x_{i1}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.3.cmml">x</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1b"><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1"><in id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.2"></in><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.3">𝑥</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1c">x\in[x_{i1}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.11.m7.1d">italic_x ∈ [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i 1 end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, then <math alttext="\mathbf{1}[x\in[x_{i1}]]=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.3.cmml">𝟏</mn><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml">∈</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" 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cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1"><in id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.2"></in><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1c">\mathbf{1}[x\in[x_{i1}]]=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.12.m8.1d">bold_1 [ italic_x ∈ [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i 1 end_POSTSUBSCRIPT ] ] = 1</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathbf{1}[x\in[x_{ik}]]=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.cmml"><mn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.3.cmml">𝟏</mn><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.2" 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id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1"><in id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.2"></in><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" 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id="S4.SS3.SSS1.1.p1.13.m9.1d">bold_1 [ italic_x ∈ [ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ] ] = 0</annotation></semantics></math> for <math alttext="k\neq 1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1b"><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1"><neq id="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1.1"></neq><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1c">k\neq 1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.14.m10.1d">italic_k ≠ 1</annotation></semantics></math>. Within each equivalence class <math alttext="[x_{ik}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1b"><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.2">𝑥</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3"><times id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1c">[x_{ik}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.15.m11.1d">[ italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_k end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>, the conditional distribution of <math alttext="Y(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1b"><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2"><times id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1c">Y(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.16.m12.1d">italic_Y ( ⋅ )</annotation></semantics></math> given <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.17.m13.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.17.m13.1a"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.17.m13.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.17.m13.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.17.m13.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.17.m13.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.17.m13.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.17.m13.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.17.m13.1d">italic_X</annotation></semantics></math> is constant. This implies <math alttext="Y(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1b"><apply id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2"><times id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1c">Y(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.18.m14.1d">italic_Y ( ⋅ )</annotation></semantics></math> is independent of <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.19.m15.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.19.m15.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.19.m15.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.19.m15.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.19.m15.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.19.m15.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.19.m15.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.19.m15.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.19.m15.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math> given <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.20.m16.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.1.p1.20.m16.1a"><mi id="S4.SS3.SSS1.1.p1.20.m16.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.20.m16.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.20.m16.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.1.p1.20.m16.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.1.p1.20.m16.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.20.m16.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.1.p1.20.m16.1d">italic_M</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx13"> <tbody id="S4.Ex34"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P(Y(\cdot)\mid X,M)=P(Y(\cdot)\mid M)\Rightarrow Y(\cdot)\perp\!% \!\!\perp X\mid M." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex34.m1.5"><semantics id="S4.Ex34.m1.5a"><mrow id="S4.Ex34.m1.5b"><mi id="S4.Ex34.m1.5.6">P</mi><mrow id="S4.Ex34.m1.5.7"><mo id="S4.Ex34.m1.5.7.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex34.m1.5.7.2">Y</mi><mrow id="S4.Ex34.m1.5.7.3"><mo id="S4.Ex34.m1.5.7.3.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S4.Ex34.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S4.Ex34.m1.5.7.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex34.m1.5.7.4" lspace="0em" rspace="0.167em">∣</mo><mi id="S4.Ex34.m1.2.2">X</mi><mo id="S4.Ex34.m1.5.7.5">,</mo><mi id="S4.Ex34.m1.3.3">M</mi><mo id="S4.Ex34.m1.5.7.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex34.m1.5.8">=</mo><mi id="S4.Ex34.m1.5.9">P</mi><mrow id="S4.Ex34.m1.5.10"><mo id="S4.Ex34.m1.5.10.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex34.m1.5.10.2">Y</mi><mrow id="S4.Ex34.m1.5.10.3"><mo id="S4.Ex34.m1.5.10.3.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S4.Ex34.m1.4.4" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S4.Ex34.m1.5.10.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex34.m1.5.10.4" lspace="0em" rspace="0.167em">∣</mo><mi id="S4.Ex34.m1.5.10.5">M</mi><mo id="S4.Ex34.m1.5.10.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex34.m1.5.11" stretchy="false">⇒</mo><mi id="S4.Ex34.m1.5.12">Y</mi><mrow id="S4.Ex34.m1.5.13"><mo id="S4.Ex34.m1.5.13.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S4.Ex34.m1.5.5" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S4.Ex34.m1.5.13.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mpadded id="S4.Ex34.m1.5c" width="0.250em"><mo id="S4.Ex34.m1.5.14">⟂</mo></mpadded><mo id="S4.Ex34.m1.5.15">⟂</mo><mi id="S4.Ex34.m1.5.16">X</mi><mo id="S4.Ex34.m1.5.17" lspace="0em" rspace="0.167em">∣</mo><mi id="S4.Ex34.m1.5.18">M</mi><mo id="S4.Ex34.m1.5.19" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex34.m1.5d">\displaystyle P(Y(\cdot)\mid X,M)=P(Y(\cdot)\mid M)\Rightarrow Y(\cdot)\perp\!% \!\!\perp X\mid M.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex34.m1.5e">italic_P ( italic_Y ( ⋅ ) ∣ italic_X , italic_M ) = italic_P ( italic_Y ( ⋅ ) ∣ italic_M ) ⇒ italic_Y ( ⋅ ) ⟂ ⟂ italic_X ∣ italic_M .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.SSS1.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.11">By the law of total probability for conditional probability in continuous case:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx14"> <tbody id="S4.Ex35"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P(Y(\cdot)\mid D,M)=\int P(Y(\cdot)\mid D,X,M)\,P(X\mid D,M)\,dX" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex35.m1.12"><semantics id="S4.Ex35.m1.12a"><mrow id="S4.Ex35.m1.12.12" xref="S4.Ex35.m1.12.12.cmml"><mrow id="S4.Ex35.m1.10.10.1" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.10.10.1.3" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex35.m1.10.10.1.2" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.Ex35.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.Ex35.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.2.2" xref="S4.Ex35.m1.2.2.cmml">D</mi><mo id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex35.m1.3.3" xref="S4.Ex35.m1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex35.m1.12.12.4" xref="S4.Ex35.m1.12.12.4.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex35.m1.12.12.3" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.cmml"><mrow id="S4.Ex35.m1.12.12.3a" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.cmml"><mo id="S4.Ex35.m1.12.12.3.3" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.3.cmml">∫</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.4" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.4.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.3" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.Ex35.m1.4.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.Ex35.m1.4.4.cmml">⋅</mo><mo id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.5.5" xref="S4.Ex35.m1.5.5.cmml">D</mi><mo id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex35.m1.6.6" xref="S4.Ex35.m1.6.6.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex35.m1.7.7" xref="S4.Ex35.m1.7.7.cmml">M</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.3a" lspace="0.170em" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.5" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.5.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.3b" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.2" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.1" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.3.2" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex35.m1.8.8" xref="S4.Ex35.m1.8.8.cmml">D</mi><mo id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex35.m1.9.9" xref="S4.Ex35.m1.9.9.cmml">M</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.3c" lspace="0.170em" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.6" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.6.cmml"><mo id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.6.1" rspace="0em" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.6.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.6.2" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.6.2.cmml">X</mi></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex35.m1.12b"><apply id="S4.Ex35.m1.12.12.cmml" xref="S4.Ex35.m1.12.12"><eq id="S4.Ex35.m1.12.12.4.cmml" xref="S4.Ex35.m1.12.12.4"></eq><apply id="S4.Ex35.m1.10.10.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1"><times id="S4.Ex35.m1.10.10.1.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.2"></times><ci id="S4.Ex35.m1.10.10.1.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex35.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.1.1">⋅</ci></apply><list id="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.10.10.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.Ex35.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.2.2">𝐷</ci><ci id="S4.Ex35.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.3.3">𝑀</ci></list></apply></apply><apply id="S4.Ex35.m1.12.12.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3"><int id="S4.Ex35.m1.12.12.3.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.3"></int><apply id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2"><times id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.3.cmml" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.3"></times><ci id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.4.cmml" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.4">𝑃</ci><apply id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex35.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex35.m1.4.4">⋅</ci></apply><list id="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.11.11.2.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.Ex35.m1.5.5.cmml" xref="S4.Ex35.m1.5.5">𝐷</ci><ci id="S4.Ex35.m1.6.6.cmml" xref="S4.Ex35.m1.6.6">𝑋</ci><ci id="S4.Ex35.m1.7.7.cmml" xref="S4.Ex35.m1.7.7">𝑀</ci></list></apply><ci id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.5.cmml" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.5">𝑃</ci><apply id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.2">𝑋</ci><list id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.2.1.1.3.2"><ci id="S4.Ex35.m1.8.8.cmml" xref="S4.Ex35.m1.8.8">𝐷</ci><ci id="S4.Ex35.m1.9.9.cmml" xref="S4.Ex35.m1.9.9">𝑀</ci></list></apply><apply id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.6.cmml" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.6"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.6.1.cmml" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.6.1">differential-d</csymbol><ci id="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.6.2.cmml" xref="S4.Ex35.m1.12.12.3.2.6.2">𝑋</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex35.m1.12c">\displaystyle P(Y(\cdot)\mid D,M)=\int P(Y(\cdot)\mid D,X,M)\,P(X\mid D,M)\,dX</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex35.m1.12d">italic_P ( italic_Y ( ⋅ ) ∣ italic_D , italic_M ) = ∫ italic_P ( italic_Y ( ⋅ ) ∣ italic_D , italic_X , italic_M ) italic_P ( italic_X ∣ italic_D , italic_M ) italic_d italic_X</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.6">Since <math alttext="Y(\cdot)\perp\!\!\!\perp D\mid X" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1b"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1.2">Y</mi><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1.3"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mpadded id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1c" width="0.250em"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1.4">⟂</mo></mpadded><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1.5">⟂</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1.6">D</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1.7" lspace="0em" rspace="0.167em">∣</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1.8">X</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1d">Y(\cdot)\perp\!\!\!\perp D\mid X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.1.m1.1e">italic_Y ( ⋅ ) ⟂ ⟂ italic_D ∣ italic_X</annotation></semantics></math>, we have <math alttext="P(Y(\cdot)\mid D,X,M)=P(Y(\cdot)\mid X,M)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9"><semantics id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.cmml">D</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.3.3.cmml">X</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.3.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.4.4" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.4.4.cmml">M</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.3" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.3" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.3.cmml">P</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.5.5" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.5.5.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.6.6" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.6.6.cmml">X</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.7.7" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.7.7.cmml">M</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9b"><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9"><eq id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.3"></eq><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1"><times id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.2"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2"><times id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.1.1">⋅</ci></apply><list id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.8.8.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.2.2">𝐷</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.3.3">𝑋</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.4.4.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.4.4">𝑀</ci></list></apply></apply><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2"><times id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.2"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.3">𝑃</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2"><times id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.5.5.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.5.5">⋅</ci></apply><list id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9.9.2.1.1.1.3.2"><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.6.6.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.6.6">𝑋</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.7.7.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.7.7">𝑀</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9c">P(Y(\cdot)\mid D,X,M)=P(Y(\cdot)\mid X,M)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.2.m2.9d">italic_P ( italic_Y ( ⋅ ) ∣ italic_D , italic_X , italic_M ) = italic_P ( italic_Y ( ⋅ ) ∣ italic_X , italic_M )</annotation></semantics></math>. Since <math alttext="Y(\cdot)\perp\!\!\!\perp X\mid M" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1b"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1.2">Y</mi><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1.3"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1.1" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mpadded id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1c" width="0.250em"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1.4">⟂</mo></mpadded><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1.5">⟂</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1.6">X</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1.7" lspace="0em" rspace="0.167em">∣</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1.8">M</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1d">Y(\cdot)\perp\!\!\!\perp X\mid M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.3.m3.1e">italic_Y ( ⋅ ) ⟂ ⟂ italic_X ∣ italic_M</annotation></semantics></math>, we have <math alttext="P(Y(\cdot)\mid X,M)=P(Y(\cdot)\mid M)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6"><semantics id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.2.2.cmml">X</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.3" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.3" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.3.cmml">P</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.4.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.4.4.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6b"><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6"><eq id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.3"></eq><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1"><times id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.2"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2"><times id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.1.1">⋅</ci></apply><list id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.5.5.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.2.2">𝑋</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.3.3">𝑀</ci></list></apply></apply><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2"><times id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.2"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.3">𝑃</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2"><times id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.4.4.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.4.4">⋅</ci></apply><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6.6.2.1.1.1.3">𝑀</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6c">P(Y(\cdot)\mid X,M)=P(Y(\cdot)\mid M)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.4.m4.6d">italic_P ( italic_Y ( ⋅ ) ∣ italic_X , italic_M ) = italic_P ( italic_Y ( ⋅ ) ∣ italic_M )</annotation></semantics></math>. Additionally, since <math alttext="P[Y(\cdot)\mid M]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2"><semantics id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.3" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.3.cmml">P</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2b"><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2"><times id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.2"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.3">𝑃</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2"><times id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.1.1">⋅</ci></apply><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2.2.1.1.1.3">𝑀</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2c">P[Y(\cdot)\mid M]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.5.m5.2d">italic_P [ italic_Y ( ⋅ ) ∣ italic_M ]</annotation></semantics></math> does not depend on <math alttext="X" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.6.m6.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.2.p2.6.m6.1a"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.6.m6.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.6.m6.1.1.cmml">X</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.6.m6.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.6.m6.1.1">𝑋</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.6.m6.1c">X</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.6.m6.1d">italic_X</annotation></semantics></math>, it can be factored out of the integral. Substituting all these into the integral: </p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx15"> <tbody id="S4.Ex36"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P(Y(\cdot)\mid D,M)=P(Y(\cdot)\mid M)\int P(X\mid D,M)\,dX." class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex36.m1.7"><semantics id="S4.Ex36.m1.7a"><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.Ex36.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.Ex36.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex36.m1.2.2" xref="S4.Ex36.m1.2.2.cmml">D</mi><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex36.m1.3.3" xref="S4.Ex36.m1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.4" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mi id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.4" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.4.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.3" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.Ex36.m1.4.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.Ex36.m1.4.4.cmml">⋅</mo><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.3" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.3.cmml">M</mi></mrow><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.3a" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mstyle displaystyle="true" id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2a" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml">∫</mo><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml"><mi id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.3" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.2" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S4.Ex36.m1.5.5" xref="S4.Ex36.m1.5.5.cmml">D</mi><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex36.m1.6.6" xref="S4.Ex36.m1.6.6.cmml">M</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.2a" lspace="0.170em" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.4" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.4.cmml"><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.4.1" rspace="0em" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.4.2" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.4.2.cmml">X</mi></mrow></mrow></mrow></mstyle></mrow></mrow><mo id="S4.Ex36.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex36.m1.7b"><apply id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1"><eq id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.4"></eq><apply id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1"><times id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex36.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.1.1">⋅</ci></apply><list id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.Ex36.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.2.2">𝐷</ci><ci id="S4.Ex36.m1.3.3.cmml" xref="S4.Ex36.m1.3.3">𝑀</ci></list></apply></apply><apply id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3"><times id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.3"></times><ci id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.4.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.4">𝑃</ci><apply id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex36.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex36.m1.4.4">⋅</ci></apply><ci id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.2.1.1.1.3">𝑀</ci></apply><apply id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2"><int id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.2"></int><apply id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1"><times id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.2"></times><ci id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.2">𝑋</ci><list id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.Ex36.m1.5.5.cmml" xref="S4.Ex36.m1.5.5">𝐷</ci><ci id="S4.Ex36.m1.6.6.cmml" xref="S4.Ex36.m1.6.6">𝑀</ci></list></apply><apply id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.4.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.4.1.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.4.2.cmml" xref="S4.Ex36.m1.7.7.1.1.3.2.1.4.2">𝑋</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex36.m1.7c">\displaystyle P(Y(\cdot)\mid D,M)=P(Y(\cdot)\mid M)\int P(X\mid D,M)\,dX.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex36.m1.7d">italic_P ( italic_Y ( ⋅ ) ∣ italic_D , italic_M ) = italic_P ( italic_Y ( ⋅ ) ∣ italic_M ) ∫ italic_P ( italic_X ∣ italic_D , italic_M ) italic_d italic_X .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.10">The integral <math alttext="\int P(X\mid D,M)\,dX" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3"><semantics id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.2.cmml">∫</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.3.cmml">P</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.1.1.cmml">D</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.2.2.cmml">M</mi></mrow></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.2a" lspace="0.170em" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.4" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.4.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.4.1" rspace="0em" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.4.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.4.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.4.2.cmml">X</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3b"><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3"><int id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.2"></int><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1"><times id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.2"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.3">𝑃</ci><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.2">𝑋</ci><list id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.1.1.1.3.2"><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.1.1">𝐷</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.2.2">𝑀</ci></list></apply><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.4.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.4"><csymbol cd="latexml" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.4.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.4.1">differential-d</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.4.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3.3.1.4.2">𝑋</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3c">\int P(X\mid D,M)\,dX</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.7.m1.3d">∫ italic_P ( italic_X ∣ italic_D , italic_M ) italic_d italic_X</annotation></semantics></math> equals 1 by the definition of probability distributions. Therefore, this shows that <math alttext="Y(\cdot)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1a"><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.cmml"><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1b"><apply id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2"><times id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.1"></times><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1.1">⋅</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1c">Y(\cdot)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.8.m2.1d">italic_Y ( ⋅ )</annotation></semantics></math> is independent of <math alttext="D" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.9.m3.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.2.p2.9.m3.1a"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.9.m3.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.9.m3.1.1.cmml">D</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.9.m3.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.9.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.9.m3.1.1">𝐷</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.9.m3.1c">D</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.9.m3.1d">italic_D</annotation></semantics></math> given <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.10.m4.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.2.p2.10.m4.1a"><mi id="S4.SS3.SSS1.2.p2.10.m4.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.10.m4.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.10.m4.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.2.p2.10.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.2.p2.10.m4.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.10.m4.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.10.m4.1d">italic_M</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx16"> <tbody id="S4.Ex37"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P(Y(\cdot)\mid D,M)=P(Y(\cdot)\mid M)\Rightarrow D\perp\!\!\!% \perp Y(\cdot)\mid M." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S4.Ex37.m1.4"><semantics id="S4.Ex37.m1.4a"><mrow id="S4.Ex37.m1.4b"><mi id="S4.Ex37.m1.4.5">P</mi><mrow id="S4.Ex37.m1.4.6"><mo id="S4.Ex37.m1.4.6.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex37.m1.4.6.2">Y</mi><mrow id="S4.Ex37.m1.4.6.3"><mo id="S4.Ex37.m1.4.6.3.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S4.Ex37.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S4.Ex37.m1.4.6.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex37.m1.4.6.4" lspace="0em" rspace="0.167em">∣</mo><mi id="S4.Ex37.m1.2.2">D</mi><mo id="S4.Ex37.m1.4.6.5">,</mo><mi id="S4.Ex37.m1.3.3">M</mi><mo id="S4.Ex37.m1.4.6.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex37.m1.4.7">=</mo><mi id="S4.Ex37.m1.4.8">P</mi><mrow id="S4.Ex37.m1.4.9"><mo id="S4.Ex37.m1.4.9.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S4.Ex37.m1.4.9.2">Y</mi><mrow id="S4.Ex37.m1.4.9.3"><mo id="S4.Ex37.m1.4.9.3.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S4.Ex37.m1.4.4" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S4.Ex37.m1.4.9.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex37.m1.4.9.4" lspace="0em" rspace="0.167em">∣</mo><mi id="S4.Ex37.m1.4.9.5">M</mi><mo id="S4.Ex37.m1.4.9.6" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex37.m1.4.10" stretchy="false">⇒</mo><mi id="S4.Ex37.m1.4.11">D</mi><mpadded id="S4.Ex37.m1.4c" width="0.250em"><mo id="S4.Ex37.m1.4.12">⟂</mo></mpadded><mo id="S4.Ex37.m1.4.13">⟂</mo><mi id="S4.Ex37.m1.4.14">Y</mi><mrow id="S4.Ex37.m1.4.15"><mo id="S4.Ex37.m1.4.15.1" stretchy="false">(</mo><mo id="S4.Ex37.m1.4.15.2" lspace="0em" rspace="0em">⋅</mo><mo id="S4.Ex37.m1.4.15.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S4.Ex37.m1.4.16" lspace="0em" rspace="0.167em">∣</mo><mi id="S4.Ex37.m1.4.17">M</mi><mo id="S4.Ex37.m1.4.18" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex37.m1.4d">\displaystyle P(Y(\cdot)\mid D,M)=P(Y(\cdot)\mid M)\Rightarrow D\perp\!\!\!% \perp Y(\cdot)\mid M.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex37.m1.4e">italic_P ( italic_Y ( ⋅ ) ∣ italic_D , italic_M ) = italic_P ( italic_Y ( ⋅ ) ∣ italic_M ) ⇒ italic_D ⟂ ⟂ italic_Y ( ⋅ ) ∣ italic_M .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS1.2.p2.12">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS1.p1.1">Therefore, the coarsening of the covariate space does not affect the conditional independence between the outcome and treatment, which then ensures that selection bias disappears:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx17"> <tbody id="S4.Ex38"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y\mid D=1,M]-\mathbb{E}[Y\mid D=0,M]]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex38.m1.5"><semantics id="S4.Ex38.m1.5a"><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5" xref="S4.Ex38.m1.5.5.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.5.5.3" xref="S4.Ex38.m1.5.5.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mn id="S4.Ex38.m1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex38.m1.2.2" xref="S4.Ex38.m1.2.2.cmml">M</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2.3" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml">D</mi></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml"><mn id="S4.Ex38.m1.3.3" xref="S4.Ex38.m1.3.3.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.Ex38.m1.4.4" xref="S4.Ex38.m1.4.4.cmml">M</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex38.m1.5b"><apply id="S4.Ex38.m1.5.5.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5"><times id="S4.Ex38.m1.5.5.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.2"></times><ci id="S4.Ex38.m1.5.5.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex38.m1.5.5.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex38.m1.5.5.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1"><minus id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.3"></minus><apply id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1"><times id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.2"></times><ci id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><list id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><cn id="S4.Ex38.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex38.m1.1.1">1</cn><ci id="S4.Ex38.m1.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.2.2">𝑀</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2"><times id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.2"></times><ci id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1"><eq id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><ci id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2.2">𝑌</ci><ci id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><list id="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex38.m1.5.5.1.1.1.2.1.1.1.3.2"><cn id="S4.Ex38.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.Ex38.m1.3.3">0</cn><ci id="S4.Ex38.m1.4.4.cmml" xref="S4.Ex38.m1.4.4">𝑀</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex38.m1.5c">\displaystyle\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y\mid D=1,M]-\mathbb{E}[Y\mid D=0,M]]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex38.m1.5d">blackboard_E [ blackboard_E [ italic_Y ∣ italic_D = 1 , italic_M ] - blackboard_E [ italic_Y ∣ italic_D = 0 , italic_M ] ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex39"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex39.m1.1"><semantics id="S4.Ex39.m1.1a"><mo id="S4.Ex39.m1.1.1" xref="S4.Ex39.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex39.m1.1b"><eq id="S4.Ex39.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex39.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex39.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}[\underbrace{\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)\mid D=1,M]}_{\text{% ATT}}]+\mathbb{E}[\underbrace{\mathbb{E}[Y(0)\mid D=1,M]-\mathbb{E}[Y(0)\mid D% =0,M]}_{\mathbb{E}[Y(0)\mid M]-\mathbb{E}[Y(0)\mid M]=0}]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex39.m2.19"><semantics id="S4.Ex39.m2.19a"><mrow id="S4.Ex39.m2.19.19" xref="S4.Ex39.m2.19.19.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m2.18.18.1" xref="S4.Ex39.m2.18.18.1.cmml"><mi id="S4.Ex39.m2.18.18.1.3" xref="S4.Ex39.m2.18.18.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex39.m2.18.18.1.2" xref="S4.Ex39.m2.18.18.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex39.m2.18.18.1.1.1" xref="S4.Ex39.m2.18.18.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex39.m2.18.18.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex39.m2.18.18.1.1.2.1.cmml">[</mo><munder id="S4.Ex39.m2.18.18.1.1.1.1" xref="S4.Ex39.m2.18.18.1.1.1.1.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.Ex39.m2.5.5" xref="S4.Ex39.m2.5.5.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m2.5.5.5" xref="S4.Ex39.m2.5.5.5.cmml"><mi id="S4.Ex39.m2.5.5.5.7" xref="S4.Ex39.m2.5.5.5.7.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex39.m2.5.5.5.6" xref="S4.Ex39.m2.5.5.5.6.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex39.m2.5.5.5.5.1" xref="S4.Ex39.m2.5.5.5.5.2.cmml"><mo id="S4.Ex39.m2.5.5.5.5.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex39.m2.5.5.5.5.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex39.m2.5.5.5.5.1.1" 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xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.2" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2.2" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2.1" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex39.m2.15.15.2.2" xref="S4.Ex39.m2.15.15.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" 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xref="S4.Ex39.m2.8.8.3.3">𝑀</ci></list></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.cmml" xref="S4.Ex39.m2.13.13.8.8"><times id="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.2"></times><ci id="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.3.cmml" xref="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1"><eq id="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.1"></eq><apply id="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.2.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.2.2"><times id="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.2.2.1"></times><ci id="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.2.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.Ex39.m2.9.9.4.4.cmml" type="integer" xref="S4.Ex39.m2.9.9.4.4">0</cn></apply><ci id="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.2.3">𝐷</ci></apply><list id="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.13.13.8.8.1.1.1.3.2"><cn id="S4.Ex39.m2.10.10.5.5.cmml" type="integer" xref="S4.Ex39.m2.10.10.5.5">0</cn><ci id="S4.Ex39.m2.11.11.6.6.cmml" xref="S4.Ex39.m2.11.11.6.6">𝑀</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex39.m2.17.17.4.cmml" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4"><eq id="S4.Ex39.m2.17.17.4.5.cmml" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.5"></eq><apply id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.cmml" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4"><minus id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.3.cmml" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.3"></minus><apply id="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1"><times id="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.2"></times><ci id="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.3.cmml" xref="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.1.1.2"><times id="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.Ex39.m2.14.14.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex39.m2.14.14.1.1">0</cn></apply><ci id="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex39.m2.16.16.3.3.1.1.1.1.3">𝑀</ci></apply></apply></apply><apply id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2"><times id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.2"></times><ci id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.3.cmml" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.3">𝔼</ci><apply id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2"><times id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.Ex39.m2.15.15.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex39.m2.15.15.2.2">0</cn></apply><ci id="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.4.2.1.1.1.3">𝑀</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S4.Ex39.m2.17.17.4.6.cmml" type="integer" xref="S4.Ex39.m2.17.17.4.6">0</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex39.m2.19c">\displaystyle\mathbb{E}[\underbrace{\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)\mid D=1,M]}_{\text{% ATT}}]+\mathbb{E}[\underbrace{\mathbb{E}[Y(0)\mid D=1,M]-\mathbb{E}[Y(0)\mid D% =0,M]}_{\mathbb{E}[Y(0)\mid M]-\mathbb{E}[Y(0)\mid M]=0}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex39.m2.19d">blackboard_E [ under⏟ start_ARG blackboard_E [ italic_Y ( 1 ) - italic_Y ( 0 ) ∣ italic_D = 1 , italic_M ] end_ARG start_POSTSUBSCRIPT ATT end_POSTSUBSCRIPT ] + blackboard_E [ under⏟ start_ARG blackboard_E [ italic_Y ( 0 ) ∣ italic_D = 1 , italic_M ] - blackboard_E [ italic_Y ( 0 ) ∣ italic_D = 0 , italic_M ] end_ARG start_POSTSUBSCRIPT blackboard_E [ italic_Y ( 0 ) ∣ italic_M ] - blackboard_E [ italic_Y ( 0 ) ∣ italic_M ] = 0 end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="S4.Ex40"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex40.m1.1"><semantics id="S4.Ex40.m1.1a"><mo id="S4.Ex40.m1.1.1" xref="S4.Ex40.m1.1.1.cmml">=</mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex40.m1.1b"><eq id="S4.Ex40.m1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m1.1.1"></eq></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex40.m1.1c">\displaystyle=</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex40.m1.1d">=</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\underbrace{\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)\mid M]}_{\text{ATE}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.Ex40.m2.3"><semantics id="S4.Ex40.m2.3a"><munder id="S4.Ex40.m2.3.4" xref="S4.Ex40.m2.3.4.cmml"><munder accentunder="true" id="S4.Ex40.m2.3.3" xref="S4.Ex40.m2.3.3.cmml"><mrow id="S4.Ex40.m2.3.3.3" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.3.3.3.5" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.5.cmml">𝔼</mi><mo id="S4.Ex40.m2.3.3.3.4" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.2" stretchy="false" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.2" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.1" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.3.2" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.1" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.2" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.2.cmml">Y</mi><mo id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.1" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.3.2" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml"><mo id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml">(</mo><mn id="S4.Ex40.m2.2.2.2.2" xref="S4.Ex40.m2.2.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.1" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml">∣</mo><mi id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.3" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml">M</mi></mrow></mrow><mo id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.3" stretchy="false" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S4.Ex40.m2.3.3.4" xref="S4.Ex40.m2.3.3.4.cmml">⏟</mo></munder><mtext id="S4.Ex40.m2.3.4.2" xref="S4.Ex40.m2.3.4.2a.cmml">ATE</mtext></munder><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.Ex40.m2.3b"><apply id="S4.Ex40.m2.3.4.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.Ex40.m2.3.4.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.4">subscript</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3"><ci id="S4.Ex40.m2.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.4">⏟</ci><apply id="S4.Ex40.m2.3.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3"><times id="S4.Ex40.m2.3.3.3.4.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.4"></times><ci id="S4.Ex40.m2.3.3.3.5.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.5">𝔼</ci><apply id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1"><minus id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.1"></minus><apply id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2"><times id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.1"></times><ci id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.Ex40.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.Ex40.m2.1.1.1.1">1</cn></apply><apply id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3"><csymbol cd="latexml" id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.1">conditional</csymbol><apply id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2"><times id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.1"></times><ci id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.2.2">𝑌</ci><cn id="S4.Ex40.m2.2.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.Ex40.m2.2.2.2.2">0</cn></apply><ci id="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.3.3.3.1.1.3.3">𝑀</ci></apply></apply></apply></apply></apply><ci id="S4.Ex40.m2.3.4.2a.cmml" xref="S4.Ex40.m2.3.4.2"><mtext id="S4.Ex40.m2.3.4.2.cmml" mathsize="70%" xref="S4.Ex40.m2.3.4.2">ATE</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.Ex40.m2.3c">\displaystyle\underbrace{\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)\mid M]}_{\text{ATE}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.Ex40.m2.3d">under⏟ start_ARG blackboard_E [ italic_Y ( 1 ) - italic_Y ( 0 ) ∣ italic_M ] end_ARG start_POSTSUBSCRIPT ATE end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS1.p1.2">In other words, the treatment is still as if randomized after controlling for all the macrostates created by the CFL algorithm.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="S4.Thmremark2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmremark2.1.1.1">Remark 4.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S4.Thmremark2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S4.Thmremark2.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.Thmremark2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S4.Thmremark2.p1.1.1">Under the unconfoundedness assumption, the observational partition reduces the dimensionality of the covariate space while preserving the causal structure in the data.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S4.SS3.SSS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.SS3.SSS1.p2.7">Let there are <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.p2.1.m1.1a"><mi id="S4.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.p2.1.m1.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p2.1.m1.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.p2.1.m1.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.p2.1.m1.1d">italic_p</annotation></semantics></math> continuous covariates in <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.p2.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS3.SSS1.p2.2.m2.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p2.2.m2.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.p2.2.m2.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.p2.2.m2.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math>, which would have a dimension of <math alttext="\mathbb{R}^{p}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1a"><msup id="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml">p</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1b"><apply id="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1.1.3">𝑝</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1c">\mathbb{R}^{p}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.p2.3.m3.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. By assumption of CFL, we have finite macrostate, or equivalence classes in the original covariate space, so the coarsened covariate space, <math alttext="\mathcal{M}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.p2.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.cmml">ℳ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.p2.4.m4.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p2.4.m4.1.1">ℳ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.p2.4.m4.1c">\mathcal{M}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.p2.4.m4.1d">caligraphic_M</annotation></semantics></math>, will have a dimension of <math alttext="2^{n-1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1a"><msup id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.cmml"><mn id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2" xref="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2.cmml">2</mn><mrow id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3" xref="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.2" xref="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.1" xref="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.3" xref="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1b"><apply id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1">superscript</csymbol><cn id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.2">2</cn><apply id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3"><minus id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.1"></minus><ci id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1c">2^{n-1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.p2.5.m5.1d">2 start_POSTSUPERSCRIPT italic_n - 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> where <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.p2.6.m6.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.p2.6.m6.1a"><mi id="S4.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.p2.6.m6.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p2.6.m6.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.p2.6.m6.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.p2.6.m6.1d">italic_n</annotation></semantics></math> is finite as each random variable in the random vector <math alttext="M" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.SS3.SSS1.p2.7.m7.1"><semantics id="S4.SS3.SSS1.p2.7.m7.1a"><mi id="S4.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1" xref="S4.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.cmml">M</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.SS3.SSS1.p2.7.m7.1b"><ci id="S4.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1.cmml" xref="S4.SS3.SSS1.p2.7.m7.1.1">𝑀</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.SS3.SSS1.p2.7.m7.1c">M</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.SS3.SSS1.p2.7.m7.1d">italic_M</annotation></semantics></math> is binary.</p> </div> </section> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">5 </span>Conclusion</h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">Our work extends the theoretical foundation of CFL for macrostate construction. To handle continuous variables, we developed a principled binning strategy and introduced extended definitions of the observational and causal partitions. Our central theoretical contribution, the Extended Causal Coarsening Theorem, demonstrates that under mild conditions the causal partition is almost surely a coarsening of the observational partition—even when outcomes are discretized into a finite number of bins. Our empirical analyses of social science datasets show that CFL-derived macrostates effectively reduce dimensionality, uncover heterogeneous treatment effects, and preserve essential causal structures.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="Sx1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section">Acknowledgments</h2> <div class="ltx_para" id="Sx1.p1"> <p class="ltx_p" id="Sx1.p1.1">We gratefully acknowledge the insightful feedback provided by our colleagues, particularly Frederick Eberhardt and Milan Mossé, whose suggestions significantly enhanced this work.</p> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Bareinboim et al. 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(2017)</span> <span class="ltx_bibblock"> Niki Kilbertus, Mateo Rojas Carulla, Giambattista Parascandolo, Moritz Hardt, Dominik Janzing, and Bernhard Schölkopf. </span> <span class="ltx_bibblock">Avoiding discrimination through causal reasoning. </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib27.1.1">Advances in Neural Information Processing Systems (NIPS)</em>, 30, 2017. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib28"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Kohler-Hausmann (2018)</span> <span class="ltx_bibblock"> Issa Kohler-Hausmann. </span> <span class="ltx_bibblock">Eddie murphy and the dangers of counterfactual causal thinking about detecting racial discrimination. </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib28.1.1">Northwestern University Law Review</em>, 113(5):1163–1228, 2018. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib29"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Kusner et al. 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(2023)</span> <span class="ltx_bibblock"> Michele Loi, Francesco Nappo, and Eleonora Viganò. </span> <span class="ltx_bibblock">How i would have been differently treated. discrimination through the lens of counterfactual fairness. </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib31.1.1">Res Publica</em>, 29(2):185–211, 2023. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib32"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Mossé et al. (2025)</span> <span class="ltx_bibblock"> Milan Mossé, Kara Schechtman, Frederick Eberhardt, and Thomas Icard. </span> <span class="ltx_bibblock">Modeling discrimination with causal abstraction, 2025. </span> <span class="ltx_bibblock">URL <a class="ltx_ref ltx_url ltx_font_typewriter" href="https://arxiv.org/abs/2501.08429" title="">https://arxiv.org/abs/2501.08429</a>. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib33"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Pearl (2010)</span> <span class="ltx_bibblock"> Judea Pearl. </span> <span class="ltx_bibblock">The foundations of causal inference. </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib33.1.1">Sociological Methodology</em>, 40(1):75–149, 2010. </span> <span class="ltx_bibblock">doi: <span class="ltx_ref ltx_nolink ltx_Url ltx_ref_self">https://doi.org/10.1111/j.1467-9531.2010.01228.x</span>. </span> <span class="ltx_bibblock">URL <a class="ltx_ref ltx_url ltx_font_typewriter" href="https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1111/j.1467-9531.2010.01228.x" title="">https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1111/j.1467-9531.2010.01228.x</a>. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib34"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Pearl (2018)</span> <span class="ltx_bibblock"> Judea Pearl. </span> <span class="ltx_bibblock">Does obesity shorten life? or is it the soda? on non-manipulable causes. </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib34.1.1">Journal of Causal Inference</em>, 6(2):20182001, 2018. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib35"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Plečko and Bareinboim (2024)</span> <span class="ltx_bibblock"> Drago Plečko and Elias Bareinboim. </span> <span class="ltx_bibblock">Causal fairness analysis. </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib35.1.1">Foundations and Trends in Machine Learning</em>, 17(3):304–589, 2024. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib36"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Rischel and Weichwald (2021)</span> <span class="ltx_bibblock"> Eigil F. 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Szemerédi. </span> <span class="ltx_bibblock">On sets of integers containing no <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="bib.bib41.1.m1.1"><semantics id="bib.bib41.1.m1.1a"><mi id="bib.bib41.1.m1.1.1" xref="bib.bib41.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="bib.bib41.1.m1.1b"><ci id="bib.bib41.1.m1.1.1.cmml" xref="bib.bib41.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="bib.bib41.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="bib.bib41.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math> elements in arithmetic progression. </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib41.2.1">Acta Arith.</em>, 27:299–345, 1975. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib42"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Thomsen (2018)</span> <span class="ltx_bibblock"> Frej Klem Thomsen. </span> <span class="ltx_bibblock">Direct discrimination. </span> <span class="ltx_bibblock">In Kasper Lippert-Rasmussen, editor, <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib42.1.1">Routledge Handbook of Discrimination</em>, pages 19–29. Routledge, 2018. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib43"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Tolbert (2024a)</span> <span class="ltx_bibblock"> Alexander Williams Tolbert. </span> <span class="ltx_bibblock">Causal agnosticism about race: Variable selection problems in causal inference. </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib43.1.1">Philosophy of Science</em>, pages 1–11, 2024a. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib44"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Tolbert (2024b)</span> <span class="ltx_bibblock"> Alexander Williams Tolbert. </span> <span class="ltx_bibblock">Restricted racial realism: Heterogeneous effects and the instability of race. </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib44.1.1">Philosophy of the Social Sciences</em>, page 00483931241299884, 2024b. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib45"> <span class="ltx_tag ltx_role_refnum ltx_tag_bibitem">Weinberger (2022)</span> <span class="ltx_bibblock"> Naftali Weinberger. </span> <span class="ltx_bibblock">Signal manipulation and the causal analysis of racial discrimination. </span> <span class="ltx_bibblock"><em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib45.1.1">Ergo</em>, 2022. </span> </li> </ul> </section> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> <section class="ltx_appendix" id="A1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix A </span>Proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#Thmtheorem4" title="Theorem 4 (Extended Causal Coarsening Theorem). ‣ 3.2 Causal Coarsening Theorem (CCT) ‣ 3 Causal Feature Learning ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a> </h2> <div class="ltx_para" id="A1.p1"> <p class="ltx_p" id="A1.p1.3">To establish the Extended Causal Coarsening Theorem (CCT), we demonstrate that the set of joint distributions <math alttext="P(X,Y,Z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.1.m1.3"><semantics id="A1.p1.1.m1.3a"><mrow id="A1.p1.1.m1.3.4" xref="A1.p1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="A1.p1.1.m1.3.4.2" xref="A1.p1.1.m1.3.4.2.cmml">P</mi><mo id="A1.p1.1.m1.3.4.1" xref="A1.p1.1.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p1.1.m1.3.4.3.2" xref="A1.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="A1.p1.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.p1.1.m1.1.1" xref="A1.p1.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="A1.p1.1.m1.3.4.3.2.2" xref="A1.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.p1.1.m1.2.2" xref="A1.p1.1.m1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="A1.p1.1.m1.3.4.3.2.3" xref="A1.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.p1.1.m1.3.3" xref="A1.p1.1.m1.3.3.cmml">Z</mi><mo id="A1.p1.1.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="A1.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.1.m1.3b"><apply id="A1.p1.1.m1.3.4.cmml" xref="A1.p1.1.m1.3.4"><times id="A1.p1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="A1.p1.1.m1.3.4.1"></times><ci id="A1.p1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="A1.p1.1.m1.3.4.2">𝑃</ci><vector id="A1.p1.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="A1.p1.1.m1.3.4.3.2"><ci id="A1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p1.1.m1.1.1">𝑋</ci><ci id="A1.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="A1.p1.1.m1.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.p1.1.m1.3.3.cmml" xref="A1.p1.1.m1.3.3">𝑍</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.1.m1.3c">P(X,Y,Z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.1.m1.3d">italic_P ( italic_X , italic_Y , italic_Z )</annotation></semantics></math> violating the coarsening conditions has Lebesgue measure zero. This ensures that, almost surely, the causal partition <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.2.m2.1"><semantics id="A1.p1.2.m2.1a"><mrow id="A1.p1.2.m2.1.2" xref="A1.p1.2.m2.1.2.cmml"><msub id="A1.p1.2.m2.1.2.2" xref="A1.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p1.2.m2.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="A1.p1.2.m2.1.2.2.3" xref="A1.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.p1.2.m2.1.2.1" xref="A1.p1.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p1.2.m2.1.2.3.2" xref="A1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.p1.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p1.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p1.2.m2.1.1" xref="A1.p1.2.m2.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="A1.p1.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p1.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.2.m2.1b"><apply id="A1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.2"><times id="A1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.2.1"></times><apply id="A1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.2.2.2">Π</ci><ci id="A1.p1.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.p1.2.m2.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.2.m2.1c">\Pi_{c}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.2.m2.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> is a coarsening of the observational partition <math alttext="\Pi_{o}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p1.3.m3.1"><semantics id="A1.p1.3.m3.1a"><mrow id="A1.p1.3.m3.1.2" xref="A1.p1.3.m3.1.2.cmml"><msub id="A1.p1.3.m3.1.2.2" xref="A1.p1.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p1.3.m3.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="A1.p1.3.m3.1.2.2.3" xref="A1.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml">o</mi></msub><mo id="A1.p1.3.m3.1.2.1" xref="A1.p1.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p1.3.m3.1.2.3.2" xref="A1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="A1.p1.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p1.3.m3.1.1" xref="A1.p1.3.m3.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="A1.p1.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p1.3.m3.1b"><apply id="A1.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="A1.p1.3.m3.1.2"><times id="A1.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="A1.p1.3.m3.1.2.1"></times><apply id="A1.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="A1.p1.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p1.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p1.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p1.3.m3.1.2.2.2">Π</ci><ci id="A1.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p1.3.m3.1.2.2.3">𝑜</ci></apply><ci id="A1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.p1.3.m3.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p1.3.m3.1c">\Pi_{o}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p1.3.m3.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math>. The proof is similar to the proof of Theorem <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#Thmtheorem3" title="Theorem 3 (Causal Coarsening Theorem). ‣ 3.2 Causal Coarsening Theorem (CCT) ‣ 3 Causal Feature Learning ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p2"> <p class="ltx_p" id="A1.p2.1">We begin by defining the following probabilities:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_table" id="A1.Ex41"> <tbody id="A1.Ex41X"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\alpha_{k,x,z}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3"><semantics id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3a"><msub id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.4" xref="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.4.2" xref="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.4.2.cmml">α</mi><mrow id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.3.3.5" xref="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.3.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41X.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.3.3.5.1" xref="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex41X.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.3.3.5.2" xref="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.3.3.3" xref="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.3.3.3.cmml">z</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3b"><apply id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.4.cmml" xref="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.4.2.cmml" xref="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.4.2">𝛼</ci><list id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.3.3.5"><ci id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41X.2.1.1.m1.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex41X.2.1.1.m1.2.2.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3.3.3.3">𝑧</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3c">\displaystyle\alpha_{k,x,z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex41X.2.1.1.m1.3d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_x , italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\triangleq P(a_{k}<y\leq a_{k+1}\mid X=x,Z=z)," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1"><semantics id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1a"><mrow id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml">≜</mo><mrow id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mrow id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo fence="true" id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo></mrow><mo id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">X</mi></mrow><mo id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mi id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Z</mi><mo id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mi id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">z</mi></mrow></mrow><mo id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1b"><apply id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1"><ci id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.2">≜</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">bra</csymbol><apply id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><leq id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></leq><ci id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><apply id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑋</ci></apply><ci id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑍</ci><ci id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1c">\displaystyle\triangleq P(a_{k}<y\leq a_{k+1}\mid X=x,Z=z),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex41X.3.2.2.m1.1d">≜ italic_P ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT < italic_y ≤ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_X = italic_x , italic_Z = italic_z ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex41Xa"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\beta_{x,z}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2"><semantics id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2a"><msub id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.3" xref="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.3.2" xref="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.3.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.2.2.4" xref="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml">z</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2b"><apply id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.3.cmml" xref="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.3.2">𝛽</ci><list id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.2.2.4"><ci id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.1.1.1.1">𝑥</ci><ci id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2.2.2.2">𝑧</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2c">\displaystyle\beta_{x,z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex41Xa.2.1.1.m1.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x , italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\triangleq P(X=x\mid Z=z)," class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1"><semantics id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1a"><mrow id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml">≜</mo><mrow id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">∣</mo><mi id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">Z</mi></mrow><mo id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">z</mi></mrow><mo id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1b"><apply id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1"><ci id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.2">≜</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><and id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1a.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"></and><apply id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1b.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></eq><ci id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><apply id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1">conditional</csymbol><ci id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">𝑍</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1c.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1d.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"></share><ci id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.6">𝑧</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1c">\displaystyle\triangleq P(X=x\mid Z=z),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex41Xa.3.2.2.m1.1d">≜ italic_P ( italic_X = italic_x ∣ italic_Z = italic_z ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex41Xb"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\gamma_{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1"><semantics id="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1a"><msub id="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1.1" xref="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1.1.2" xref="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mi id="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1.1.3" xref="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1.1.3.cmml">z</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1b"><apply id="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1.1.2">𝛾</ci><ci id="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1c">\displaystyle\gamma_{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex41Xb.2.1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\triangleq P(Z=z)." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1"><semantics id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1a"><mrow id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml">≜</mo><mrow id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Z</mi><mo id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">z</mi></mrow><mo id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1b"><apply id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1"><ci id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.2">≜</ci><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.3">absent</csymbol><apply id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑍</ci><ci id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑧</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1c">\displaystyle\triangleq P(Z=z).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex41Xb.3.2.2.m1.1d">≜ italic_P ( italic_Z = italic_z ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p2.2">These definitions allow us to express the joint distribution as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex42"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P(X=x,a_{k}<y\leq a_{k+1},Z=z)=\gamma_{z}\cdot\beta_{x,z}\cdot\alpha_{k,x,z}." class="ltx_math_unparsed" display="block" id="A1.Ex42.m1.5"><semantics id="A1.Ex42.m1.5a"><mrow id="A1.Ex42.m1.5b"><mi id="A1.Ex42.m1.5.6">P</mi><mrow id="A1.Ex42.m1.5.7"><mo id="A1.Ex42.m1.5.7.1" stretchy="false">(</mo><mi id="A1.Ex42.m1.5.7.2">X</mi><mo id="A1.Ex42.m1.5.7.3">=</mo><mi id="A1.Ex42.m1.5.7.4">x</mi><mo id="A1.Ex42.m1.5.7.5">,</mo><msub id="A1.Ex42.m1.5.7.6"><mi id="A1.Ex42.m1.5.7.6.2">a</mi><mi id="A1.Ex42.m1.5.7.6.3">k</mi></msub><mo id="A1.Ex42.m1.5.7.7"><</mo><mi id="A1.Ex42.m1.5.7.8">y</mi><mo id="A1.Ex42.m1.5.7.9">≤</mo><msub id="A1.Ex42.m1.5.7.10"><mi id="A1.Ex42.m1.5.7.10.2">a</mi><mrow id="A1.Ex42.m1.5.7.10.3"><mi id="A1.Ex42.m1.5.7.10.3.2">k</mi><mo id="A1.Ex42.m1.5.7.10.3.1">+</mo><mn id="A1.Ex42.m1.5.7.10.3.3">1</mn></mrow></msub><mo id="A1.Ex42.m1.5.7.11">,</mo><mi id="A1.Ex42.m1.5.7.12">Z</mi><mo id="A1.Ex42.m1.5.7.13">=</mo><mi id="A1.Ex42.m1.5.7.14">z</mi><mo id="A1.Ex42.m1.5.7.15" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="A1.Ex42.m1.5.8">=</mo><msub id="A1.Ex42.m1.5.9"><mi id="A1.Ex42.m1.5.9.2">γ</mi><mi id="A1.Ex42.m1.5.9.3">z</mi></msub><mo id="A1.Ex42.m1.5.10" lspace="0.222em" rspace="0.222em">⋅</mo><msub id="A1.Ex42.m1.5.11"><mi id="A1.Ex42.m1.5.11.2">β</mi><mrow id="A1.Ex42.m1.2.2.2.4"><mi id="A1.Ex42.m1.1.1.1.1">x</mi><mo id="A1.Ex42.m1.2.2.2.4.1">,</mo><mi id="A1.Ex42.m1.2.2.2.2">z</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex42.m1.5.12" lspace="0.222em" rspace="0.222em">⋅</mo><msub id="A1.Ex42.m1.5.13"><mi id="A1.Ex42.m1.5.13.2">α</mi><mrow id="A1.Ex42.m1.5.5.3.5"><mi id="A1.Ex42.m1.3.3.1.1">k</mi><mo id="A1.Ex42.m1.5.5.3.5.1">,</mo><mi id="A1.Ex42.m1.4.4.2.2">x</mi><mo id="A1.Ex42.m1.5.5.3.5.2">,</mo><mi id="A1.Ex42.m1.5.5.3.3">z</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex42.m1.5.14" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex42.m1.5c">P(X=x,a_{k}<y\leq a_{k+1},Z=z)=\gamma_{z}\cdot\beta_{x,z}\cdot\alpha_{k,x,z}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex42.m1.5d">italic_P ( italic_X = italic_x , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT < italic_y ≤ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_Z = italic_z ) = italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x , italic_z end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_x , italic_z end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p3"> <p class="ltx_p" id="A1.p3.9">By fixing <math alttext="\beta_{x,z}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.1.m1.2"><semantics id="A1.p3.1.m1.2a"><msub id="A1.p3.1.m1.2.3" xref="A1.p3.1.m1.2.3.cmml"><mi id="A1.p3.1.m1.2.3.2" xref="A1.p3.1.m1.2.3.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.p3.1.m1.2.2.2.4" xref="A1.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.p3.1.m1.1.1.1.1" xref="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.p3.1.m1.2.2.2.4.1" xref="A1.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.p3.1.m1.2.2.2.2" xref="A1.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml">z</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.1.m1.2b"><apply id="A1.p3.1.m1.2.3.cmml" xref="A1.p3.1.m1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.1.m1.2.3.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.2.3.2">𝛽</ci><list id="A1.p3.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p3.1.m1.2.2.2.4"><ci id="A1.p3.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.1.m1.1.1.1.1">𝑥</ci><ci id="A1.p3.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p3.1.m1.2.2.2.2">𝑧</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.1.m1.2c">\beta_{x,z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.1.m1.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x , italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, we determine the distribution of <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.2.m2.1"><semantics id="A1.p3.2.m2.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p3.2.m2.1.1" xref="A1.p3.2.m2.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.2.m2.1b"><ci id="A1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.p3.2.m2.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.2.m2.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.2.m2.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math> given <math alttext="\mathcal{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.3.m3.1"><semantics id="A1.p3.3.m3.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p3.3.m3.1.1" xref="A1.p3.3.m3.1.1.cmml">𝒵</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.3.m3.1b"><ci id="A1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.p3.3.m3.1.1">𝒵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.3.m3.1c">\mathcal{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.3.m3.1d">caligraphic_Z</annotation></semantics></math>, thereby fixing the confounding partition <math alttext="\Pi_{P(X\mid Z)}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.4.m4.2"><semantics id="A1.p3.4.m4.2a"><mrow id="A1.p3.4.m4.2.3" xref="A1.p3.4.m4.2.3.cmml"><msub id="A1.p3.4.m4.2.3.2" xref="A1.p3.4.m4.2.3.2.cmml"><mi id="A1.p3.4.m4.2.3.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.p3.4.m4.2.3.2.2.cmml">Π</mi><mrow id="A1.p3.4.m4.1.1.1" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p3.4.m4.1.1.1.3" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="A1.p3.4.m4.1.1.1.2" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">Z</mi></mrow><mo id="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="A1.p3.4.m4.2.3.1" xref="A1.p3.4.m4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p3.4.m4.2.3.3.2" xref="A1.p3.4.m4.2.3.cmml"><mo id="A1.p3.4.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p3.4.m4.2.3.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p3.4.m4.2.2" xref="A1.p3.4.m4.2.2.cmml">𝒳</mi><mo id="A1.p3.4.m4.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p3.4.m4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.4.m4.2b"><apply id="A1.p3.4.m4.2.3.cmml" xref="A1.p3.4.m4.2.3"><times id="A1.p3.4.m4.2.3.1.cmml" xref="A1.p3.4.m4.2.3.1"></times><apply id="A1.p3.4.m4.2.3.2.cmml" xref="A1.p3.4.m4.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.4.m4.2.3.2.1.cmml" xref="A1.p3.4.m4.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.4.m4.2.3.2.2.cmml" xref="A1.p3.4.m4.2.3.2.2">Π</ci><apply id="A1.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1"><times id="A1.p3.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.2"></times><ci id="A1.p3.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p3.4.m4.1.1.1.1.1.1.3">𝑍</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.p3.4.m4.2.2.cmml" xref="A1.p3.4.m4.2.2">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.4.m4.2c">\Pi_{P(X\mid Z)}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.4.m4.2d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_P ( italic_X ∣ italic_Z ) end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math>. Similarly, fixing <math alttext="\alpha_{k,x,z}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.5.m5.3"><semantics id="A1.p3.5.m5.3a"><msub id="A1.p3.5.m5.3.4" xref="A1.p3.5.m5.3.4.cmml"><mi id="A1.p3.5.m5.3.4.2" xref="A1.p3.5.m5.3.4.2.cmml">α</mi><mrow id="A1.p3.5.m5.3.3.3.5" xref="A1.p3.5.m5.3.3.3.4.cmml"><mi id="A1.p3.5.m5.1.1.1.1" xref="A1.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="A1.p3.5.m5.3.3.3.5.1" xref="A1.p3.5.m5.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="A1.p3.5.m5.2.2.2.2" xref="A1.p3.5.m5.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="A1.p3.5.m5.3.3.3.5.2" xref="A1.p3.5.m5.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="A1.p3.5.m5.3.3.3.3" xref="A1.p3.5.m5.3.3.3.3.cmml">z</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.5.m5.3b"><apply id="A1.p3.5.m5.3.4.cmml" xref="A1.p3.5.m5.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.5.m5.3.4.1.cmml" xref="A1.p3.5.m5.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.5.m5.3.4.2.cmml" xref="A1.p3.5.m5.3.4.2">𝛼</ci><list id="A1.p3.5.m5.3.3.3.4.cmml" xref="A1.p3.5.m5.3.3.3.5"><ci id="A1.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p3.5.m5.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="A1.p3.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p3.5.m5.2.2.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.p3.5.m5.3.3.3.3.cmml" xref="A1.p3.5.m5.3.3.3.3">𝑧</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.5.m5.3c">\alpha_{k,x,z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.5.m5.3d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_x , italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> specifies the causal relationship between <math alttext="\mathcal{X}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.6.m6.1"><semantics id="A1.p3.6.m6.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p3.6.m6.1.1" xref="A1.p3.6.m6.1.1.cmml">𝒳</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.6.m6.1b"><ci id="A1.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="A1.p3.6.m6.1.1">𝒳</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.6.m6.1c">\mathcal{X}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.6.m6.1d">caligraphic_X</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.7.m7.1"><semantics id="A1.p3.7.m7.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p3.7.m7.1.1" xref="A1.p3.7.m7.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.7.m7.1b"><ci id="A1.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="A1.p3.7.m7.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.7.m7.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.7.m7.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math> given <math alttext="\mathcal{Z}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.8.m8.1"><semantics id="A1.p3.8.m8.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p3.8.m8.1.1" xref="A1.p3.8.m8.1.1.cmml">𝒵</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.8.m8.1b"><ci id="A1.p3.8.m8.1.1.cmml" xref="A1.p3.8.m8.1.1">𝒵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.8.m8.1c">\mathcal{Z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.8.m8.1d">caligraphic_Z</annotation></semantics></math>, effectively fixing the causal partition <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p3.9.m9.1"><semantics id="A1.p3.9.m9.1a"><mrow id="A1.p3.9.m9.1.2" xref="A1.p3.9.m9.1.2.cmml"><msub id="A1.p3.9.m9.1.2.2" xref="A1.p3.9.m9.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p3.9.m9.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.p3.9.m9.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="A1.p3.9.m9.1.2.2.3" xref="A1.p3.9.m9.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.p3.9.m9.1.2.1" xref="A1.p3.9.m9.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p3.9.m9.1.2.3.2" xref="A1.p3.9.m9.1.2.cmml"><mo id="A1.p3.9.m9.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p3.9.m9.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p3.9.m9.1.1" xref="A1.p3.9.m9.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="A1.p3.9.m9.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p3.9.m9.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p3.9.m9.1b"><apply id="A1.p3.9.m9.1.2.cmml" xref="A1.p3.9.m9.1.2"><times id="A1.p3.9.m9.1.2.1.cmml" xref="A1.p3.9.m9.1.2.1"></times><apply id="A1.p3.9.m9.1.2.2.cmml" xref="A1.p3.9.m9.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p3.9.m9.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p3.9.m9.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p3.9.m9.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p3.9.m9.1.2.2.2">Π</ci><ci id="A1.p3.9.m9.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p3.9.m9.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A1.p3.9.m9.1.1.cmml" xref="A1.p3.9.m9.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p3.9.m9.1c">\Pi_{c}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p3.9.m9.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p4"> <p class="ltx_p" id="A1.p4.7">Next, consider the observational partition <math alttext="\Pi_{o}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.1.m1.1"><semantics id="A1.p4.1.m1.1a"><mrow id="A1.p4.1.m1.1.2" xref="A1.p4.1.m1.1.2.cmml"><msub id="A1.p4.1.m1.1.2.2" xref="A1.p4.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p4.1.m1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="A1.p4.1.m1.1.2.2.3" xref="A1.p4.1.m1.1.2.2.3.cmml">o</mi></msub><mo id="A1.p4.1.m1.1.2.1" xref="A1.p4.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p4.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.p4.1.m1.1.2.cmml"><mo id="A1.p4.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p4.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p4.1.m1.1.1" xref="A1.p4.1.m1.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="A1.p4.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p4.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.1.m1.1b"><apply id="A1.p4.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.1.2"><times id="A1.p4.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.1.2.1"></times><apply id="A1.p4.1.m1.1.2.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p4.1.m1.1.2.2.2">Π</ci><ci id="A1.p4.1.m1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p4.1.m1.1.2.2.3">𝑜</ci></apply><ci id="A1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p4.1.m1.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.1.m1.1c">\Pi_{o}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.1.m1.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math>, which groups together treatment variables <math alttext="x_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.2.m2.1"><semantics id="A1.p4.2.m2.1a"><msub id="A1.p4.2.m2.1.1" xref="A1.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="A1.p4.2.m2.1.1.2" xref="A1.p4.2.m2.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p4.2.m2.1.1.3" xref="A1.p4.2.m2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.2.m2.1b"><apply id="A1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.2.m2.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A1.p4.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.p4.2.m2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.2.m2.1c">x_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.2.m2.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="x_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.3.m3.1"><semantics id="A1.p4.3.m3.1a"><msub id="A1.p4.3.m3.1.1" xref="A1.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="A1.p4.3.m3.1.1.2" xref="A1.p4.3.m3.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p4.3.m3.1.1.3" xref="A1.p4.3.m3.1.1.3.cmml">2</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.3.m3.1b"><apply id="A1.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.p4.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.3.m3.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A1.p4.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.p4.3.m3.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.3.m3.1c">x_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.3.m3.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> if and only if they induce the same distribution over <math alttext="\mathcal{Y}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.4.m4.1"><semantics id="A1.p4.4.m4.1a"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p4.4.m4.1.1" xref="A1.p4.4.m4.1.1.cmml">𝒴</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.4.m4.1b"><ci id="A1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.p4.4.m4.1.1">𝒴</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.4.m4.1c">\mathcal{Y}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.4.m4.1d">caligraphic_Y</annotation></semantics></math>. Formally, <math alttext="x_{1}\sim x_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.5.m5.1"><semantics id="A1.p4.5.m5.1a"><mrow id="A1.p4.5.m5.1.1" xref="A1.p4.5.m5.1.1.cmml"><msub id="A1.p4.5.m5.1.1.2" xref="A1.p4.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="A1.p4.5.m5.1.1.2.2" xref="A1.p4.5.m5.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p4.5.m5.1.1.2.3" xref="A1.p4.5.m5.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.p4.5.m5.1.1.1" xref="A1.p4.5.m5.1.1.1.cmml">∼</mo><msub id="A1.p4.5.m5.1.1.3" xref="A1.p4.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p4.5.m5.1.1.3.2" xref="A1.p4.5.m5.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p4.5.m5.1.1.3.3" xref="A1.p4.5.m5.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.5.m5.1b"><apply id="A1.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="A1.p4.5.m5.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.p4.5.m5.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.5.m5.1.1.1">similar-to</csymbol><apply id="A1.p4.5.m5.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p4.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p4.5.m5.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="A1.p4.5.m5.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.p4.5.m5.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A1.p4.5.m5.1.1.3.cmml" xref="A1.p4.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p4.5.m5.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p4.5.m5.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="A1.p4.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.p4.5.m5.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.5.m5.1c">x_{1}\sim x_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.5.m5.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> under <math alttext="\Pi_{o}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.6.m6.1"><semantics id="A1.p4.6.m6.1a"><mrow id="A1.p4.6.m6.1.2" xref="A1.p4.6.m6.1.2.cmml"><msub id="A1.p4.6.m6.1.2.2" xref="A1.p4.6.m6.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p4.6.m6.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.p4.6.m6.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="A1.p4.6.m6.1.2.2.3" xref="A1.p4.6.m6.1.2.2.3.cmml">o</mi></msub><mo id="A1.p4.6.m6.1.2.1" xref="A1.p4.6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p4.6.m6.1.2.3.2" xref="A1.p4.6.m6.1.2.cmml"><mo id="A1.p4.6.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p4.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p4.6.m6.1.1" xref="A1.p4.6.m6.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="A1.p4.6.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p4.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.6.m6.1b"><apply id="A1.p4.6.m6.1.2.cmml" xref="A1.p4.6.m6.1.2"><times id="A1.p4.6.m6.1.2.1.cmml" xref="A1.p4.6.m6.1.2.1"></times><apply id="A1.p4.6.m6.1.2.2.cmml" xref="A1.p4.6.m6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p4.6.m6.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p4.6.m6.1.2.2.2">Π</ci><ci id="A1.p4.6.m6.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p4.6.m6.1.2.2.3">𝑜</ci></apply><ci id="A1.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="A1.p4.6.m6.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.6.m6.1c">\Pi_{o}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.6.m6.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> if <math alttext="\forall\text{ bin }(a_{k},a_{k+1}]" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.7.m7.2"><semantics id="A1.p4.7.m7.2a"><mrow id="A1.p4.7.m7.2.2" xref="A1.p4.7.m7.2.2.cmml"><mo id="A1.p4.7.m7.2.2.3" rspace="0.167em" xref="A1.p4.7.m7.2.2.3.cmml">∀</mo><mrow id="A1.p4.7.m7.2.2.2" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.cmml"><mtext id="A1.p4.7.m7.2.2.2.4" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.4a.cmml"> bin </mtext><mo id="A1.p4.7.m7.2.2.2.3" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="A1.p4.7.m7.1.1.1.1.1.1" xref="A1.p4.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p4.7.m7.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.p4.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mi id="A1.p4.7.m7.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.p4.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.4" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.1" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.3" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.7.m7.2b"><apply id="A1.p4.7.m7.2.2.cmml" xref="A1.p4.7.m7.2.2"><csymbol cd="latexml" id="A1.p4.7.m7.2.2.3.cmml" xref="A1.p4.7.m7.2.2.3">for-all</csymbol><apply id="A1.p4.7.m7.2.2.2.cmml" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2"><times id="A1.p4.7.m7.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.3"></times><ci id="A1.p4.7.m7.2.2.2.4a.cmml" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.4"><mtext id="A1.p4.7.m7.2.2.2.4.cmml" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.4"> bin </mtext></ci><interval closure="open-closed" id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2"><apply id="A1.p4.7.m7.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.7.m7.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.7.m7.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.7.m7.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.7.m7.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.7.m7.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="A1.p4.7.m7.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p4.7.m7.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.2">𝑎</ci><apply id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3"><plus id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.1"></plus><ci id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.p4.7.m7.2.2.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.7.m7.2c">\forall\text{ bin }(a_{k},a_{k+1}]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.7.m7.2d">∀ bin ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ]</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex43"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="P(a_{k}<y\leq a_{k+1}\mid x_{1})=P(a_{k}<y\leq a_{k+1}\mid x_{2})." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex43.m1.1"><semantics id="A1.Ex43.m1.1a"><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" 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xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo fence="true" id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo></mrow><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mn id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">P</mi><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mrow id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo fence="true" id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo></mrow><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mn id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msub></mrow><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex43.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex43.m1.1b"><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1"><eq id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">bra</csymbol><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><leq id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></leq><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑥</ci><cn id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">1</cn></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2"><times id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.3">𝑃</ci><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1"><times id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2">bra</csymbol><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><leq id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></leq><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2">𝑥</ci><cn id="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex43.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex43.m1.1c">P(a_{k}<y\leq a_{k+1}\mid x_{1})=P(a_{k}<y\leq a_{k+1}\mid x_{2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex43.m1.1d">italic_P ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT < italic_y ≤ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_P ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT < italic_y ≤ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p4.8">Expanding <math alttext="P(Y\mid X)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.8.m1.1"><semantics id="A1.p4.8.m1.1a"><mrow id="A1.p4.8.m1.1.1" xref="A1.p4.8.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.p4.8.m1.1.1.3" xref="A1.p4.8.m1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="A1.p4.8.m1.1.1.2" xref="A1.p4.8.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p4.8.m1.1.1.1.1" xref="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">Y</mi><mo id="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">∣</mo><mi id="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">X</mi></mrow><mo id="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.8.m1.1b"><apply id="A1.p4.8.m1.1.1.cmml" xref="A1.p4.8.m1.1.1"><times id="A1.p4.8.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.8.m1.1.1.2"></times><ci id="A1.p4.8.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.p4.8.m1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.8.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.1">conditional</csymbol><ci id="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.2">𝑌</ci><ci id="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p4.8.m1.1.1.1.1.1.3">𝑋</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.8.m1.1c">P(Y\mid X)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.8.m1.1d">italic_P ( italic_Y ∣ italic_X )</annotation></semantics></math> using the law of total probability:</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="A4.EGx18"> <tbody id="A1.Ex44"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle P(a_{k}<y\leq a_{k+1}\mid X=x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex44.m1.1"><semantics id="A1.Ex44.m1.1a"><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mrow id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo fence="true" id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo></mrow><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">X</mi></mrow><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mi id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex44.m1.1b"><apply id="A1.Ex44.m1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1"><times id="A1.Ex44.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex44.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">bra</csymbol><apply id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><leq id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></leq><ci id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><apply id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.1.4">𝑋</ci></apply><ci id="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex44.m1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex44.m1.1c">\displaystyle P(a_{k}<y\leq a_{k+1}\mid X=x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex44.m1.1d">italic_P ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT < italic_y ≤ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_X = italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{z}P(a_{k}<y\leq a_{k+1}\mid X=x,Z=z)\cdot P(Z=z\mid X=x)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex44.m2.2"><semantics id="A1.Ex44.m2.2a"><mrow id="A1.Ex44.m2.2.2" xref="A1.Ex44.m2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex44.m2.2.2.4" xref="A1.Ex44.m2.2.2.4.cmml"></mi><mo id="A1.Ex44.m2.2.2.3" xref="A1.Ex44.m2.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex44.m2.2.2.2" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex44.m2.2.2.2.3" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.3.cmml"><munder id="A1.Ex44.m2.2.2.2.3a" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex44.m2.2.2.2.3.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.3.2.cmml">∑</mo><mi id="A1.Ex44.m2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.3.3.cmml">z</mi></munder></mstyle><mrow id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mrow id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo fence="true" id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo></mrow><mo id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">X</mi></mrow><mo id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mi id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" 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id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">Z</mi><mo id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4.2" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4.2.cmml">z</mi><mo id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4.1" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4.1.cmml">∣</mo><mi id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4.3" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4.3.cmml">X</mi></mrow><mo id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.5" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.6" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.6.cmml">x</mi></mrow><mo id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex44.m2.2b"><apply id="A1.Ex44.m2.2.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2"><eq id="A1.Ex44.m2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex44.m2.2.2.4.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.4">absent</csymbol><apply id="A1.Ex44.m2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2"><apply id="A1.Ex44.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex44.m2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.3">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex44.m2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.3.2"></sum><ci id="A1.Ex44.m2.2.2.2.3.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.3.3">𝑧</ci></apply><apply id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2"><times id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.3"></times><apply id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1"><ci id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.2">⋅</ci><apply id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci><apply id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><eq id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><ci id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">bra</csymbol><apply id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><leq id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></leq><ci id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑦</ci><apply id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑎</ci><apply id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><plus id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></plus><ci id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑘</ci><cn id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑋</ci></apply><ci id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑍</ci><ci id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑧</ci></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.1.1.1.1.1.3">𝑃</ci></apply><apply id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1"><and id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1a.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1"></and><apply id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1b.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1"><eq id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.3"></eq><ci id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.2">𝑍</ci><apply id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4.1">conditional</csymbol><ci id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4.2">𝑧</ci><ci id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4.3.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4.3">𝑋</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1c.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1"><eq id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.5.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.4.cmml" id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1d.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1"></share><ci id="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex44.m2.2.2.2.2.2.1.1.6">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex44.m2.2c">\displaystyle=\sum_{z}P(a_{k}<y\leq a_{k+1}\mid X=x,Z=z)\cdot P(Z=z\mid X=x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex44.m2.2d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT italic_P ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT < italic_y ≤ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_X = italic_x , italic_Z = italic_z ) ⋅ italic_P ( italic_Z = italic_z ∣ italic_X = italic_x )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex45"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\sum_{z}P(a_{k}<y\leq a_{k+1}\mid X=x,Z=z)\cdot\frac{P(X=x\mid Z% =z)P(Z=z)}{P(X=x)}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex45.m1.4"><semantics id="A1.Ex45.m1.4a"><mrow id="A1.Ex45.m1.4.4" xref="A1.Ex45.m1.4.4.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.4.4.3" xref="A1.Ex45.m1.4.4.3.cmml"></mi><mo id="A1.Ex45.m1.4.4.2" xref="A1.Ex45.m1.4.4.2.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.4.4.1" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex45.m1.4.4.1.2" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.2.cmml"><munder id="A1.Ex45.m1.4.4.1.2a" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.4.4.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.2.2.cmml">∑</mo><mi id="A1.Ex45.m1.4.4.1.2.3" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.2.3.cmml">z</mi></munder></mstyle><mrow id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.3" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">P</mi><mo id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.2" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo fence="true" id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" rspace="0em" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">y</mi><mo id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">≤</mo><msub id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">a</mi><mrow id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mn id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo fence="true" id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" lspace="0em" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">∣</mo></mrow><mo id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" lspace="0em" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">X</mi></mrow><mo id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mi id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">x</mi></mrow><mo id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Z</mi><mo id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mi id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">z</mi></mrow></mrow><mo id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.2" rspace="0.222em" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.2.cmml">⋅</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex45.m1.3.3" xref="A1.Ex45.m1.3.3.cmml"><mfrac id="A1.Ex45.m1.3.3a" xref="A1.Ex45.m1.3.3.cmml"><mrow id="A1.Ex45.m1.2.2.2" xref="A1.Ex45.m1.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.2.2.2.4" xref="A1.Ex45.m1.2.2.2.4.cmml">P</mi><mo id="A1.Ex45.m1.2.2.2.3" xref="A1.Ex45.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.4.1" xref="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml">∣</mo><mi id="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml">Z</mi></mrow><mo id="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.5" xref="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mi id="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.6" xref="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml">z</mi></mrow><mo id="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.3" 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id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply><ci id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝑋</ci></apply><ci id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2"><eq id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></eq><ci id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑍</ci><ci id="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex45.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑧</ci></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex45.m1.3.3.cmml" xref="A1.Ex45.m1.3.3"><divide id="A1.Ex45.m1.3.3.4.cmml" xref="A1.Ex45.m1.3.3"></divide><apply id="A1.Ex45.m1.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.2"><times id="A1.Ex45.m1.2.2.2.3.cmml" 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href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" id="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1d.cmml" xref="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1"></share><ci id="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.6.cmml" xref="A1.Ex45.m1.1.1.1.1.1.1.6">𝑧</ci></apply></apply><ci id="A1.Ex45.m1.2.2.2.5.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.2.5">𝑃</ci><apply id="A1.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.2.2.1"><eq id="A1.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.1"></eq><ci id="A1.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.2">𝑍</ci><ci id="A1.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex45.m1.2.2.2.2.1.1.3">𝑧</ci></apply></apply><apply id="A1.Ex45.m1.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex45.m1.3.3.3"><times id="A1.Ex45.m1.3.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex45.m1.3.3.3.2"></times><ci id="A1.Ex45.m1.3.3.3.3.cmml" xref="A1.Ex45.m1.3.3.3.3">𝑃</ci><apply id="A1.Ex45.m1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex45.m1.3.3.3.1.1"><eq id="A1.Ex45.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex45.m1.3.3.3.1.1.1.1"></eq><ci id="A1.Ex45.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex45.m1.3.3.3.1.1.1.2">𝑋</ci><ci id="A1.Ex45.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex45.m1.3.3.3.1.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex45.m1.4c">\displaystyle=\sum_{z}P(a_{k}<y\leq a_{k+1}\mid X=x,Z=z)\cdot\frac{P(X=x\mid Z% =z)P(Z=z)}{P(X=x)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex45.m1.4d">= ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT italic_P ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT < italic_y ≤ italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ∣ italic_X = italic_x , italic_Z = italic_z ) ⋅ divide start_ARG italic_P ( italic_X = italic_x ∣ italic_Z = italic_z ) italic_P ( italic_Z = italic_z ) end_ARG start_ARG italic_P ( italic_X = italic_x ) end_ARG</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> <tbody id="A1.Ex46"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\frac{\sum_{z}\gamma_{z}\cdot\beta_{x,z}\cdot\alpha_{k,x,z}}{% \sum_{z}\gamma_{z}\cdot\beta_{x,z}}." class="ltx_Math" display="inline" id="A1.Ex46.m1.8"><semantics id="A1.Ex46.m1.8a"><mrow id="A1.Ex46.m1.8.8.1" xref="A1.Ex46.m1.8.8.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex46.m1.8.8.1.1" xref="A1.Ex46.m1.8.8.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.8.8.1.1.2" xref="A1.Ex46.m1.8.8.1.1.2.cmml"></mi><mo id="A1.Ex46.m1.8.8.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.8.8.1.1.1.cmml">=</mo><mstyle displaystyle="true" id="A1.Ex46.m1.7.7" xref="A1.Ex46.m1.7.7.cmml"><mfrac id="A1.Ex46.m1.7.7a" xref="A1.Ex46.m1.7.7.cmml"><mrow id="A1.Ex46.m1.5.5.5" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.cmml"><msub id="A1.Ex46.m1.5.5.5.6" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.6.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.5.5.5.6.2" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.6.2.cmml">∑</mo><mi id="A1.Ex46.m1.5.5.5.6.3" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.6.3.cmml">z</mi></msub><mrow id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.cmml"><msub id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.2" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.2.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.2.2" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.2.2.cmml">γ</mi><mi id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.2.3" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.2.3.cmml">z</mi></msub><mo id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.3" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.3.2" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.3.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.Ex46.m1.2.2.2.2.2.4" xref="A1.Ex46.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex46.m1.2.2.2.2.2.4.1" xref="A1.Ex46.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex46.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex46.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">z</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.4" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.4.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.4.2" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.4.2.cmml">α</mi><mrow id="A1.Ex46.m1.5.5.5.5.3.5" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.5.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.3.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex46.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex46.m1.5.5.5.5.3.5.1" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex46.m1.4.4.4.4.2.2" xref="A1.Ex46.m1.4.4.4.4.2.2.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex46.m1.5.5.5.5.3.5.2" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex46.m1.5.5.5.5.3.3" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.5.3.3.cmml">z</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mrow id="A1.Ex46.m1.7.7.7" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.cmml"><msub id="A1.Ex46.m1.7.7.7.3" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.3.cmml"><mo id="A1.Ex46.m1.7.7.7.3.2" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.3.2.cmml">∑</mo><mi id="A1.Ex46.m1.7.7.7.3.3" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.3.3.cmml">z</mi></msub><mrow id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.cmml"><msub id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.2" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.2.2" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.2.2.cmml">γ</mi><mi id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.2.3" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.2.3.cmml">z</mi></msub><mo id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.3" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.3.2" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.3.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.Ex46.m1.7.7.7.2.2.4" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex46.m1.6.6.6.1.1.1" xref="A1.Ex46.m1.6.6.6.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.Ex46.m1.7.7.7.2.2.4.1" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex46.m1.7.7.7.2.2.2" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.2.2.2.cmml">z</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></mstyle></mrow><mo id="A1.Ex46.m1.8.8.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex46.m1.8.8.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex46.m1.8b"><apply id="A1.Ex46.m1.8.8.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.8.8.1"><eq id="A1.Ex46.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.8.8.1.1.1"></eq><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex46.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.8.8.1.1.2">absent</csymbol><apply id="A1.Ex46.m1.7.7.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7"><divide id="A1.Ex46.m1.7.7.8.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7"></divide><apply id="A1.Ex46.m1.5.5.5.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5"><apply id="A1.Ex46.m1.5.5.5.6.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.6"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.5.5.5.6.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.6">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex46.m1.5.5.5.6.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.6.2"></sum><ci id="A1.Ex46.m1.5.5.5.6.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.6.3">𝑧</ci></apply><apply id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7"><ci id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.1">⋅</ci><apply id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.2.2">𝛾</ci><ci id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.2.3">𝑧</ci></apply><apply id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.3.2">𝛽</ci><list id="A1.Ex46.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.2.2.2.2.2.4"><ci id="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.1.1.1.1.1.1">𝑥</ci><ci id="A1.Ex46.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.2.2.2.2.2.2">𝑧</ci></list></apply><apply id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.4.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.4.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.4.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.7.4.2">𝛼</ci><list id="A1.Ex46.m1.5.5.5.5.3.4.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.5.3.5"><ci id="A1.Ex46.m1.3.3.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.3.3.3.3.1.1">𝑘</ci><ci id="A1.Ex46.m1.4.4.4.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.4.4.4.4.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.Ex46.m1.5.5.5.5.3.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.5.5.5.5.3.3">𝑧</ci></list></apply></apply></apply><apply id="A1.Ex46.m1.7.7.7.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7"><apply id="A1.Ex46.m1.7.7.7.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.7.7.7.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.3">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex46.m1.7.7.7.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.3.2"></sum><ci id="A1.Ex46.m1.7.7.7.3.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.3.3">𝑧</ci></apply><apply id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4"><ci id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.1">⋅</ci><apply id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.2.2">𝛾</ci><ci id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.2.3">𝑧</ci></apply><apply id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.4.3.2">𝛽</ci><list id="A1.Ex46.m1.7.7.7.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.2.2.4"><ci id="A1.Ex46.m1.6.6.6.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex46.m1.6.6.6.1.1.1">𝑥</ci><ci id="A1.Ex46.m1.7.7.7.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex46.m1.7.7.7.2.2.2">𝑧</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex46.m1.8c">\displaystyle=\frac{\sum_{z}\gamma_{z}\cdot\beta_{x,z}\cdot\alpha_{k,x,z}}{% \sum_{z}\gamma_{z}\cdot\beta_{x,z}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex46.m1.8d">= divide start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x , italic_z end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_x , italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x , italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p4.9">Therefore, the equivalence condition <math alttext="x_{1}\sim x_{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.9.m1.1"><semantics id="A1.p4.9.m1.1a"><mrow id="A1.p4.9.m1.1.1" xref="A1.p4.9.m1.1.1.cmml"><msub id="A1.p4.9.m1.1.1.2" xref="A1.p4.9.m1.1.1.2.cmml"><mi id="A1.p4.9.m1.1.1.2.2" xref="A1.p4.9.m1.1.1.2.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p4.9.m1.1.1.2.3" xref="A1.p4.9.m1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.p4.9.m1.1.1.1" xref="A1.p4.9.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><msub id="A1.p4.9.m1.1.1.3" xref="A1.p4.9.m1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p4.9.m1.1.1.3.2" xref="A1.p4.9.m1.1.1.3.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p4.9.m1.1.1.3.3" xref="A1.p4.9.m1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.9.m1.1b"><apply id="A1.p4.9.m1.1.1.cmml" xref="A1.p4.9.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.p4.9.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.9.m1.1.1.1">similar-to</csymbol><apply id="A1.p4.9.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.9.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.9.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p4.9.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.9.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p4.9.m1.1.1.2.2">𝑥</ci><cn id="A1.p4.9.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.p4.9.m1.1.1.2.3">1</cn></apply><apply id="A1.p4.9.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.p4.9.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.9.m1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p4.9.m1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.9.m1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p4.9.m1.1.1.3.2">𝑥</ci><cn id="A1.p4.9.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.p4.9.m1.1.1.3.3">2</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.9.m1.1c">x_{1}\sim x_{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.9.m1.1d">italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ∼ italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> imposes:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex47"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{\sum_{z}\gamma_{z}\cdot\beta_{x_{1},z}\cdot\alpha_{k,x_{1},z}}{\sum_{z}% \gamma_{z}\cdot\beta_{x_{1},z}}=\frac{\sum_{z}\gamma_{z}\cdot\beta_{x_{2},z}% \cdot\alpha_{k,x_{2},z}}{\sum_{z}\gamma_{z}\cdot\beta_{x_{2},z}}." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex47.m1.15"><semantics id="A1.Ex47.m1.15a"><mrow id="A1.Ex47.m1.15.15.1" xref="A1.Ex47.m1.15.15.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex47.m1.15.15.1.1" xref="A1.Ex47.m1.15.15.1.1.cmml"><mfrac id="A1.Ex47.m1.7.7" xref="A1.Ex47.m1.7.7.cmml"><mrow id="A1.Ex47.m1.5.5.5" xref="A1.Ex47.m1.5.5.5.cmml"><msub 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xref="A1.Ex47.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex47.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex47.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex47.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">z</mi></mrow></msub><mo id="A1.Ex47.m1.5.5.5.7.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex47.m1.5.5.5.7.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.Ex47.m1.5.5.5.7.4" xref="A1.Ex47.m1.5.5.5.7.4.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.5.5.5.7.4.2" xref="A1.Ex47.m1.5.5.5.7.4.2.cmml">α</mi><mrow id="A1.Ex47.m1.5.5.5.5.3.3" xref="A1.Ex47.m1.5.5.5.5.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.3.3.3.3.1.1" xref="A1.Ex47.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex47.m1.5.5.5.5.3.3.2" xref="A1.Ex47.m1.5.5.5.5.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex47.m1.5.5.5.5.3.3.1" xref="A1.Ex47.m1.5.5.5.5.3.3.1.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.5.5.5.5.3.3.1.2" xref="A1.Ex47.m1.5.5.5.5.3.3.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.Ex47.m1.5.5.5.5.3.3.1.3" xref="A1.Ex47.m1.5.5.5.5.3.3.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex47.m1.5.5.5.5.3.3.3" xref="A1.Ex47.m1.5.5.5.5.3.4.cmml">,</mo><mi id="A1.Ex47.m1.4.4.4.4.2.2" xref="A1.Ex47.m1.4.4.4.4.2.2.cmml">z</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mrow id="A1.Ex47.m1.7.7.7" xref="A1.Ex47.m1.7.7.7.cmml"><msub id="A1.Ex47.m1.7.7.7.3" xref="A1.Ex47.m1.7.7.7.3.cmml"><mo id="A1.Ex47.m1.7.7.7.3.2" xref="A1.Ex47.m1.7.7.7.3.2.cmml">∑</mo><mi id="A1.Ex47.m1.7.7.7.3.3" xref="A1.Ex47.m1.7.7.7.3.3.cmml">z</mi></msub><mrow id="A1.Ex47.m1.7.7.7.4" xref="A1.Ex47.m1.7.7.7.4.cmml"><msub id="A1.Ex47.m1.7.7.7.4.2" xref="A1.Ex47.m1.7.7.7.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.7.7.7.4.2.2" xref="A1.Ex47.m1.7.7.7.4.2.2.cmml">γ</mi><mi id="A1.Ex47.m1.7.7.7.4.2.3" xref="A1.Ex47.m1.7.7.7.4.2.3.cmml">z</mi></msub><mo id="A1.Ex47.m1.7.7.7.4.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex47.m1.7.7.7.4.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.Ex47.m1.7.7.7.4.3" xref="A1.Ex47.m1.7.7.7.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.7.7.7.4.3.2" xref="A1.Ex47.m1.7.7.7.4.3.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.Ex47.m1.7.7.7.2.2.2" xref="A1.Ex47.m1.7.7.7.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex47.m1.7.7.7.2.2.2.1" 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id="A1.Ex47.m1.14.14.7.3.3" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.3.3.cmml">z</mi></msub><mrow id="A1.Ex47.m1.14.14.7.4" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.cmml"><msub id="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.2" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.2.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.2.2" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.2.2.cmml">γ</mi><mi id="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.2.3" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.2.3.cmml">z</mi></msub><mo id="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.3" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.3.2" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.3.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2.1" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2.1.cmml"><mi id="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2.1.2" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2.1.3" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2.2" 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id="A1.Ex47.m1.9.9.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.9.2.2.2.2"><apply id="A1.Ex47.m1.9.9.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.9.2.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex47.m1.9.9.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.9.2.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex47.m1.9.9.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex47.m1.9.9.2.2.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="A1.Ex47.m1.9.9.2.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex47.m1.9.9.2.2.2.2.1.3">2</cn></apply><ci id="A1.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.8.8.1.1.1.1">𝑧</ci></list></apply><apply id="A1.Ex47.m1.12.12.5.7.4.cmml" xref="A1.Ex47.m1.12.12.5.7.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex47.m1.12.12.5.7.4.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.12.12.5.7.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex47.m1.12.12.5.7.4.2.cmml" xref="A1.Ex47.m1.12.12.5.7.4.2">𝛼</ci><list id="A1.Ex47.m1.12.12.5.5.3.4.cmml" xref="A1.Ex47.m1.12.12.5.5.3.3"><ci id="A1.Ex47.m1.10.10.3.3.1.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.10.10.3.3.1.1">𝑘</ci><apply id="A1.Ex47.m1.12.12.5.5.3.3.1.cmml" 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id="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.2.cmml" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.2.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.2.2.cmml" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.2.2">𝛾</ci><ci id="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.2.3.cmml" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.2.3">𝑧</ci></apply><apply id="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.3.cmml" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.3.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.3.2.cmml" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.4.3.2">𝛽</ci><list id="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2"><apply id="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex47.m1.14.14.7.2.2.2.1.3">2</cn></apply><ci id="A1.Ex47.m1.13.13.6.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex47.m1.13.13.6.1.1.1">𝑧</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex47.m1.15c">\frac{\sum_{z}\gamma_{z}\cdot\beta_{x_{1},z}\cdot\alpha_{k,x_{1},z}}{\sum_{z}% \gamma_{z}\cdot\beta_{x_{1},z}}=\frac{\sum_{z}\gamma_{z}\cdot\beta_{x_{2},z}% \cdot\alpha_{k,x_{2},z}}{\sum_{z}\gamma_{z}\cdot\beta_{x_{2},z}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex47.m1.15d">divide start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG = divide start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p4.13">Rearranging terms leads to the polynomial constraints:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="A1.Ex48"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\sum_{z_{1},z_{2}}\gamma_{z_{1}}\gamma_{z_{2}}\left(\beta_{x_{1},z_{1}}\cdot% \alpha_{k,x_{1},z_{1}}\cdot\beta_{x_{2},z_{2}}-\beta_{x_{2},z_{1}}\cdot\alpha_% {k,x_{2},z_{1}}\cdot\beta_{x_{1},z_{2}}\right)=0\quad\forall\text{ bin }(a_{k}% ,a_{k+1}]." class="ltx_Math" display="block" id="A1.Ex48.m1.18"><semantics id="A1.Ex48.m1.18a"><mrow id="A1.Ex48.m1.18.18.1" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.cmml"><munder id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.2.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.2.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">z</mi><mn id="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex48.m1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex48.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex48.m1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.2.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.Ex48.m1.2.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex48.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow></munder><mrow id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.cmml"><msub id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><msub id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.3.3.2.cmml">z</mi><mn id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.3.3.3" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.3.3.3.cmml">1</mn></msub></msub><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.4" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.4.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.4.2.cmml">γ</mi><msub id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.4.3" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.4.3.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.4.3.2.cmml">z</mi><mn id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.4.3.3" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.4.3.3.cmml">2</mn></msub></msub><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.2a" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.Ex48.m1.4.4.2.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex48.m1.3.3.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.3.3.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.Ex48.m1.3.3.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex48.m1.4.4.2.2.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex48.m1.4.4.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.4.4.2.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.4.4.2.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.Ex48.m1.4.4.2.2.2.3" xref="A1.Ex48.m1.4.4.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow></msub><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mrow id="A1.Ex48.m1.7.7.3.3" xref="A1.Ex48.m1.7.7.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.5.5.1.1" xref="A1.Ex48.m1.5.5.1.1.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.3" xref="A1.Ex48.m1.7.7.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex48.m1.6.6.2.2.1" xref="A1.Ex48.m1.6.6.2.2.1.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.6.6.2.2.1.2" xref="A1.Ex48.m1.6.6.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.Ex48.m1.6.6.2.2.1.3" xref="A1.Ex48.m1.6.6.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.4" xref="A1.Ex48.m1.7.7.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.2" xref="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.2.2" xref="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.2.3" xref="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow></msub><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.4" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.Ex48.m1.9.9.2.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex48.m1.8.8.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.8.8.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.8.8.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.8.8.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.Ex48.m1.8.8.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.8.8.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex48.m1.9.9.2.2.3" xref="A1.Ex48.m1.9.9.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex48.m1.9.9.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.9.9.2.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.9.9.2.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.Ex48.m1.9.9.2.2.2.3" xref="A1.Ex48.m1.9.9.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow></msub></mrow><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.Ex48.m1.11.11.2.2" xref="A1.Ex48.m1.11.11.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex48.m1.10.10.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.10.10.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.10.10.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.10.10.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.Ex48.m1.10.10.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.10.10.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex48.m1.11.11.2.2.3" xref="A1.Ex48.m1.11.11.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex48.m1.11.11.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.11.11.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.11.11.2.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.11.11.2.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.Ex48.m1.11.11.2.2.2.3" xref="A1.Ex48.m1.11.11.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow></msub><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">α</mi><mrow id="A1.Ex48.m1.14.14.3.3" xref="A1.Ex48.m1.14.14.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.12.12.1.1" xref="A1.Ex48.m1.12.12.1.1.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.3" xref="A1.Ex48.m1.14.14.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex48.m1.13.13.2.2.1" xref="A1.Ex48.m1.13.13.2.2.1.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.13.13.2.2.1.2" xref="A1.Ex48.m1.13.13.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.Ex48.m1.13.13.2.2.1.3" xref="A1.Ex48.m1.13.13.2.2.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.4" xref="A1.Ex48.m1.14.14.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.2" xref="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.2.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.2.2" xref="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.2.3" xref="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow></msub><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.4" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.Ex48.m1.16.16.2.2" xref="A1.Ex48.m1.16.16.2.3.cmml"><msub id="A1.Ex48.m1.15.15.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.15.15.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.15.15.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.15.15.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.Ex48.m1.15.15.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.15.15.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.Ex48.m1.16.16.2.2.3" xref="A1.Ex48.m1.16.16.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex48.m1.16.16.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.16.16.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.16.16.2.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.16.16.2.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.Ex48.m1.16.16.2.2.2.3" xref="A1.Ex48.m1.16.16.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.2.cmml"><mn id="A1.Ex48.m1.17.17" xref="A1.Ex48.m1.17.17.cmml">0</mn><mspace id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.2" width="1.167em" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.2.cmml"></mspace><mrow id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.3" rspace="0.167em" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.3.cmml">∀</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.cmml"><mtext id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.4" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.4a.cmml"> bin </mtext><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.3" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">a</mi><mi id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">k</mi></msub><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.4" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml">a</mi><mrow id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="A1.Ex48.m1.18.18.1.2" lspace="0em" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.Ex48.m1.18b"><apply id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1"><eq id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.3"></eq><apply id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1"><apply id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.2.2"></sum><list id="A1.Ex48.m1.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.2.2.2.2"><apply id="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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id="A1.Ex48.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.3.3.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A1.Ex48.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A1.Ex48.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.4.4.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.4.4.2.2.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.Ex48.m1.4.4.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.4.4.2.2.2.3">1</cn></apply></list></apply><apply id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝛼</ci><list id="A1.Ex48.m1.7.7.3.4.cmml" xref="A1.Ex48.m1.7.7.3.3"><ci id="A1.Ex48.m1.5.5.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.5.5.1.1">𝑘</ci><apply id="A1.Ex48.m1.6.6.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.6.6.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.6.6.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.6.6.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.6.6.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.6.6.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="A1.Ex48.m1.6.6.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.6.6.2.2.1.3">1</cn></apply><apply id="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.7.7.3.3.2.3">1</cn></apply></list></apply><apply id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.2.4.2">𝛽</ci><list id="A1.Ex48.m1.9.9.2.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.2.2"><apply id="A1.Ex48.m1.8.8.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.8.8.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.8.8.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.8.8.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.8.8.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.8.8.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A1.Ex48.m1.8.8.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.8.8.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex48.m1.9.9.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.9.9.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.9.9.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.9.9.2.2.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.Ex48.m1.9.9.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.9.9.2.2.2.3">2</cn></apply></list></apply></apply><apply id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.1">⋅</ci><apply id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝛽</ci><list id="A1.Ex48.m1.11.11.2.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.11.11.2.2"><apply id="A1.Ex48.m1.10.10.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.10.10.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.10.10.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.10.10.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.10.10.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.10.10.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A1.Ex48.m1.10.10.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.10.10.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex48.m1.11.11.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.11.11.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.11.11.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.11.11.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.11.11.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.11.11.2.2.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.Ex48.m1.11.11.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.11.11.2.2.2.3">1</cn></apply></list></apply><apply id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝛼</ci><list id="A1.Ex48.m1.14.14.3.4.cmml" xref="A1.Ex48.m1.14.14.3.3"><ci id="A1.Ex48.m1.12.12.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.12.12.1.1">𝑘</ci><apply id="A1.Ex48.m1.13.13.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.13.13.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.13.13.2.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.13.13.2.2.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.13.13.2.2.1.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.13.13.2.2.1.2">𝑥</ci><cn id="A1.Ex48.m1.13.13.2.2.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.13.13.2.2.1.3">2</cn></apply><apply id="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.2.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.14.14.3.3.2.3">1</cn></apply></list></apply><apply id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.1.1.1.1.1.3.4.2">𝛽</ci><list id="A1.Ex48.m1.16.16.2.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.16.16.2.2"><apply id="A1.Ex48.m1.15.15.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.15.15.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.15.15.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.15.15.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.15.15.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.15.15.1.1.1.2">𝑥</ci><cn id="A1.Ex48.m1.15.15.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.15.15.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="A1.Ex48.m1.16.16.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.16.16.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.16.16.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.16.16.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.16.16.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.16.16.2.2.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.Ex48.m1.16.16.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.16.16.2.2.2.3">2</cn></apply></list></apply></apply></apply></apply></apply><list id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1"><cn id="A1.Ex48.m1.17.17.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.17.17">0</cn><apply id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.3">for-all</csymbol><apply id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2"><times id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.3"></times><ci id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.4a.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.4"><mtext id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.4.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.4"> bin </mtext></ci><interval closure="open-closed" id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2"><apply id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">𝑎</ci><ci id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.2">𝑎</ci><apply id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3"><plus id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3.1"></plus><ci id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3.2">𝑘</ci><cn id="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="A1.Ex48.m1.18.18.1.1.2.1.1.2.2.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></interval></apply></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.Ex48.m1.18c">\sum_{z_{1},z_{2}}\gamma_{z_{1}}\gamma_{z_{2}}\left(\beta_{x_{1},z_{1}}\cdot% \alpha_{k,x_{1},z_{1}}\cdot\beta_{x_{2},z_{2}}-\beta_{x_{2},z_{1}}\cdot\alpha_% {k,x_{2},z_{1}}\cdot\beta_{x_{1},z_{2}}\right)=0\quad\forall\text{ bin }(a_{k}% ,a_{k+1}].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.Ex48.m1.18d">∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ) = 0 ∀ bin ( italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k end_POSTSUBSCRIPT , italic_a start_POSTSUBSCRIPT italic_k + 1 end_POSTSUBSCRIPT ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="A1.p4.12">These constraints define a system of polynomial equations in the parameters <math alttext="\gamma_{z}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.10.m1.1"><semantics id="A1.p4.10.m1.1a"><msub id="A1.p4.10.m1.1.1" xref="A1.p4.10.m1.1.1.cmml"><mi id="A1.p4.10.m1.1.1.2" xref="A1.p4.10.m1.1.1.2.cmml">γ</mi><mi id="A1.p4.10.m1.1.1.3" xref="A1.p4.10.m1.1.1.3.cmml">z</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.10.m1.1b"><apply id="A1.p4.10.m1.1.1.cmml" xref="A1.p4.10.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.10.m1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.10.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.10.m1.1.1.2.cmml" xref="A1.p4.10.m1.1.1.2">𝛾</ci><ci id="A1.p4.10.m1.1.1.3.cmml" xref="A1.p4.10.m1.1.1.3">𝑧</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.10.m1.1c">\gamma_{z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.10.m1.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, <math alttext="\beta_{x,z}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.11.m2.2"><semantics id="A1.p4.11.m2.2a"><msub id="A1.p4.11.m2.2.3" xref="A1.p4.11.m2.2.3.cmml"><mi id="A1.p4.11.m2.2.3.2" xref="A1.p4.11.m2.2.3.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.p4.11.m2.2.2.2.4" xref="A1.p4.11.m2.2.2.2.3.cmml"><mi id="A1.p4.11.m2.1.1.1.1" xref="A1.p4.11.m2.1.1.1.1.cmml">x</mi><mo id="A1.p4.11.m2.2.2.2.4.1" xref="A1.p4.11.m2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="A1.p4.11.m2.2.2.2.2" xref="A1.p4.11.m2.2.2.2.2.cmml">z</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.11.m2.2b"><apply id="A1.p4.11.m2.2.3.cmml" xref="A1.p4.11.m2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.11.m2.2.3.1.cmml" xref="A1.p4.11.m2.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.11.m2.2.3.2.cmml" xref="A1.p4.11.m2.2.3.2">𝛽</ci><list id="A1.p4.11.m2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p4.11.m2.2.2.2.4"><ci id="A1.p4.11.m2.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.11.m2.1.1.1.1">𝑥</ci><ci id="A1.p4.11.m2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p4.11.m2.2.2.2.2">𝑧</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.11.m2.2c">\beta_{x,z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.11.m2.2d">italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x , italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\alpha_{k,x,z}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p4.12.m3.3"><semantics id="A1.p4.12.m3.3a"><msub id="A1.p4.12.m3.3.4" xref="A1.p4.12.m3.3.4.cmml"><mi id="A1.p4.12.m3.3.4.2" xref="A1.p4.12.m3.3.4.2.cmml">α</mi><mrow id="A1.p4.12.m3.3.3.3.5" xref="A1.p4.12.m3.3.3.3.4.cmml"><mi id="A1.p4.12.m3.1.1.1.1" xref="A1.p4.12.m3.1.1.1.1.cmml">k</mi><mo id="A1.p4.12.m3.3.3.3.5.1" xref="A1.p4.12.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="A1.p4.12.m3.2.2.2.2" xref="A1.p4.12.m3.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="A1.p4.12.m3.3.3.3.5.2" xref="A1.p4.12.m3.3.3.3.4.cmml">,</mo><mi id="A1.p4.12.m3.3.3.3.3" xref="A1.p4.12.m3.3.3.3.3.cmml">z</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p4.12.m3.3b"><apply id="A1.p4.12.m3.3.4.cmml" xref="A1.p4.12.m3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p4.12.m3.3.4.1.cmml" xref="A1.p4.12.m3.3.4">subscript</csymbol><ci id="A1.p4.12.m3.3.4.2.cmml" xref="A1.p4.12.m3.3.4.2">𝛼</ci><list id="A1.p4.12.m3.3.3.3.4.cmml" xref="A1.p4.12.m3.3.3.3.5"><ci id="A1.p4.12.m3.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p4.12.m3.1.1.1.1">𝑘</ci><ci id="A1.p4.12.m3.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p4.12.m3.2.2.2.2">𝑥</ci><ci id="A1.p4.12.m3.3.3.3.3.cmml" xref="A1.p4.12.m3.3.3.3.3">𝑧</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p4.12.m3.3c">\alpha_{k,x,z}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p4.12.m3.3d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_x , italic_z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p5"> <p class="ltx_p" id="A1.p5.3">The set of joint distributions <math alttext="P(X,Y,Z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p5.1.m1.3"><semantics id="A1.p5.1.m1.3a"><mrow id="A1.p5.1.m1.3.4" xref="A1.p5.1.m1.3.4.cmml"><mi id="A1.p5.1.m1.3.4.2" xref="A1.p5.1.m1.3.4.2.cmml">P</mi><mo id="A1.p5.1.m1.3.4.1" xref="A1.p5.1.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p5.1.m1.3.4.3.2" xref="A1.p5.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="A1.p5.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p5.1.m1.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.p5.1.m1.1.1" xref="A1.p5.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="A1.p5.1.m1.3.4.3.2.2" xref="A1.p5.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.p5.1.m1.2.2" xref="A1.p5.1.m1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="A1.p5.1.m1.3.4.3.2.3" xref="A1.p5.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.p5.1.m1.3.3" xref="A1.p5.1.m1.3.3.cmml">Z</mi><mo id="A1.p5.1.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="A1.p5.1.m1.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p5.1.m1.3b"><apply id="A1.p5.1.m1.3.4.cmml" xref="A1.p5.1.m1.3.4"><times id="A1.p5.1.m1.3.4.1.cmml" xref="A1.p5.1.m1.3.4.1"></times><ci id="A1.p5.1.m1.3.4.2.cmml" xref="A1.p5.1.m1.3.4.2">𝑃</ci><vector id="A1.p5.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="A1.p5.1.m1.3.4.3.2"><ci id="A1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p5.1.m1.1.1">𝑋</ci><ci id="A1.p5.1.m1.2.2.cmml" xref="A1.p5.1.m1.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.p5.1.m1.3.3.cmml" xref="A1.p5.1.m1.3.3">𝑍</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p5.1.m1.3c">P(X,Y,Z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p5.1.m1.3d">italic_P ( italic_X , italic_Y , italic_Z )</annotation></semantics></math> that violate the condition <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p5.2.m2.1"><semantics id="A1.p5.2.m2.1a"><mrow id="A1.p5.2.m2.1.2" xref="A1.p5.2.m2.1.2.cmml"><msub id="A1.p5.2.m2.1.2.2" xref="A1.p5.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p5.2.m2.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.p5.2.m2.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="A1.p5.2.m2.1.2.2.3" xref="A1.p5.2.m2.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.p5.2.m2.1.2.1" xref="A1.p5.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p5.2.m2.1.2.3.2" xref="A1.p5.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.p5.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p5.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p5.2.m2.1.1" xref="A1.p5.2.m2.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="A1.p5.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p5.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p5.2.m2.1b"><apply id="A1.p5.2.m2.1.2.cmml" xref="A1.p5.2.m2.1.2"><times id="A1.p5.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.p5.2.m2.1.2.1"></times><apply id="A1.p5.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.p5.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p5.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p5.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p5.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p5.2.m2.1.2.2.2">Π</ci><ci id="A1.p5.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p5.2.m2.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.p5.2.m2.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p5.2.m2.1c">\Pi_{c}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p5.2.m2.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> being a coarsening of <math alttext="\Pi_{o}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p5.3.m3.1"><semantics id="A1.p5.3.m3.1a"><mrow id="A1.p5.3.m3.1.2" xref="A1.p5.3.m3.1.2.cmml"><msub id="A1.p5.3.m3.1.2.2" xref="A1.p5.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p5.3.m3.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.p5.3.m3.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="A1.p5.3.m3.1.2.2.3" xref="A1.p5.3.m3.1.2.2.3.cmml">o</mi></msub><mo id="A1.p5.3.m3.1.2.1" xref="A1.p5.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p5.3.m3.1.2.3.2" xref="A1.p5.3.m3.1.2.cmml"><mo id="A1.p5.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p5.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p5.3.m3.1.1" xref="A1.p5.3.m3.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="A1.p5.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p5.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p5.3.m3.1b"><apply id="A1.p5.3.m3.1.2.cmml" xref="A1.p5.3.m3.1.2"><times id="A1.p5.3.m3.1.2.1.cmml" xref="A1.p5.3.m3.1.2.1"></times><apply id="A1.p5.3.m3.1.2.2.cmml" xref="A1.p5.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p5.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p5.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p5.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p5.3.m3.1.2.2.2">Π</ci><ci id="A1.p5.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p5.3.m3.1.2.2.3">𝑜</ci></apply><ci id="A1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.p5.3.m3.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p5.3.m3.1c">\Pi_{o}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p5.3.m3.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> corresponds to the solutions of these polynomial equations. In the space of all possible joint distributions, these equations define an algebraic variety of lower dimension.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p6"> <p class="ltx_p" id="A1.p6.13">We then verify that the polynomial constraints are non-trivial, i.e., not all <math alttext="\{\gamma\}_{z\in\mathcal{Z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p6.1.m1.1"><semantics id="A1.p6.1.m1.1a"><msub id="A1.p6.1.m1.1.2" xref="A1.p6.1.m1.1.2.cmml"><mrow id="A1.p6.1.m1.1.2.2.2" xref="A1.p6.1.m1.1.2.2.1.cmml"><mo id="A1.p6.1.m1.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="A1.p6.1.m1.1.2.2.1.cmml">{</mo><mi id="A1.p6.1.m1.1.1" xref="A1.p6.1.m1.1.1.cmml">γ</mi><mo id="A1.p6.1.m1.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="A1.p6.1.m1.1.2.2.1.cmml">}</mo></mrow><mrow id="A1.p6.1.m1.1.2.3" xref="A1.p6.1.m1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.p6.1.m1.1.2.3.2" xref="A1.p6.1.m1.1.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="A1.p6.1.m1.1.2.3.1" xref="A1.p6.1.m1.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p6.1.m1.1.2.3.3" xref="A1.p6.1.m1.1.2.3.3.cmml">𝒵</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p6.1.m1.1b"><apply id="A1.p6.1.m1.1.2.cmml" xref="A1.p6.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.1.m1.1.2.1.cmml" xref="A1.p6.1.m1.1.2">subscript</csymbol><set id="A1.p6.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p6.1.m1.1.2.2.2"><ci id="A1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p6.1.m1.1.1">𝛾</ci></set><apply id="A1.p6.1.m1.1.2.3.cmml" xref="A1.p6.1.m1.1.2.3"><in id="A1.p6.1.m1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.p6.1.m1.1.2.3.1"></in><ci id="A1.p6.1.m1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.p6.1.m1.1.2.3.2">𝑧</ci><ci id="A1.p6.1.m1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.p6.1.m1.1.2.3.3">𝒵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p6.1.m1.1c">\{\gamma\}_{z\in\mathcal{Z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p6.1.m1.1d">{ italic_γ } start_POSTSUBSCRIPT italic_z ∈ caligraphic_Z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> satiafies these constraints. We first consider <math alttext="\gamma_{z}=1/K" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p6.2.m2.1"><semantics id="A1.p6.2.m2.1a"><mrow id="A1.p6.2.m2.1.1" xref="A1.p6.2.m2.1.1.cmml"><msub id="A1.p6.2.m2.1.1.2" xref="A1.p6.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="A1.p6.2.m2.1.1.2.2" xref="A1.p6.2.m2.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mi id="A1.p6.2.m2.1.1.2.3" xref="A1.p6.2.m2.1.1.2.3.cmml">z</mi></msub><mo id="A1.p6.2.m2.1.1.1" xref="A1.p6.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.p6.2.m2.1.1.3" xref="A1.p6.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="A1.p6.2.m2.1.1.3.2" xref="A1.p6.2.m2.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.2.m2.1.1.3.1" xref="A1.p6.2.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="A1.p6.2.m2.1.1.3.3" xref="A1.p6.2.m2.1.1.3.3.cmml">K</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p6.2.m2.1b"><apply id="A1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.p6.2.m2.1.1"><eq id="A1.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="A1.p6.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="A1.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="A1.p6.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p6.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p6.2.m2.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="A1.p6.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="A1.p6.2.m2.1.1.2.3">𝑧</ci></apply><apply id="A1.p6.2.m2.1.1.3.cmml" xref="A1.p6.2.m2.1.1.3"><divide id="A1.p6.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p6.2.m2.1.1.3.1"></divide><cn id="A1.p6.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.p6.2.m2.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.p6.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="A1.p6.2.m2.1.1.3.3">𝐾</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p6.2.m2.1c">\gamma_{z}=1/K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p6.2.m2.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT = 1 / italic_K</annotation></semantics></math> for all <math alttext="z" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p6.3.m3.1"><semantics id="A1.p6.3.m3.1a"><mi id="A1.p6.3.m3.1.1" xref="A1.p6.3.m3.1.1.cmml">z</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p6.3.m3.1b"><ci id="A1.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.p6.3.m3.1.1">𝑧</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p6.3.m3.1c">z</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p6.3.m3.1d">italic_z</annotation></semantics></math>. If such <math alttext="\{\gamma\}_{z\in\mathcal{Z}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p6.4.m4.1"><semantics id="A1.p6.4.m4.1a"><msub id="A1.p6.4.m4.1.2" xref="A1.p6.4.m4.1.2.cmml"><mrow id="A1.p6.4.m4.1.2.2.2" xref="A1.p6.4.m4.1.2.2.1.cmml"><mo id="A1.p6.4.m4.1.2.2.2.1" stretchy="false" xref="A1.p6.4.m4.1.2.2.1.cmml">{</mo><mi id="A1.p6.4.m4.1.1" xref="A1.p6.4.m4.1.1.cmml">γ</mi><mo id="A1.p6.4.m4.1.2.2.2.2" stretchy="false" xref="A1.p6.4.m4.1.2.2.1.cmml">}</mo></mrow><mrow id="A1.p6.4.m4.1.2.3" xref="A1.p6.4.m4.1.2.3.cmml"><mi id="A1.p6.4.m4.1.2.3.2" xref="A1.p6.4.m4.1.2.3.2.cmml">z</mi><mo id="A1.p6.4.m4.1.2.3.1" xref="A1.p6.4.m4.1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p6.4.m4.1.2.3.3" xref="A1.p6.4.m4.1.2.3.3.cmml">𝒵</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p6.4.m4.1b"><apply id="A1.p6.4.m4.1.2.cmml" xref="A1.p6.4.m4.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.4.m4.1.2.1.cmml" xref="A1.p6.4.m4.1.2">subscript</csymbol><set id="A1.p6.4.m4.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p6.4.m4.1.2.2.2"><ci id="A1.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="A1.p6.4.m4.1.1">𝛾</ci></set><apply id="A1.p6.4.m4.1.2.3.cmml" xref="A1.p6.4.m4.1.2.3"><in id="A1.p6.4.m4.1.2.3.1.cmml" xref="A1.p6.4.m4.1.2.3.1"></in><ci id="A1.p6.4.m4.1.2.3.2.cmml" xref="A1.p6.4.m4.1.2.3.2">𝑧</ci><ci id="A1.p6.4.m4.1.2.3.3.cmml" xref="A1.p6.4.m4.1.2.3.3">𝒵</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p6.4.m4.1c">\{\gamma\}_{z\in\mathcal{Z}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p6.4.m4.1d">{ italic_γ } start_POSTSUBSCRIPT italic_z ∈ caligraphic_Z end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> do not satisfy the constraints, then the constraints are non-trivial. If the constraints are satisfied in this case, there exists <math alttext="z_{1}^{+},z_{2}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p6.5.m5.2"><semantics id="A1.p6.5.m5.2a"><mrow id="A1.p6.5.m5.2.2.2" xref="A1.p6.5.m5.2.2.3.cmml"><msubsup id="A1.p6.5.m5.1.1.1.1" xref="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.2.2" xref="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.2.3" xref="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.3" xref="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="A1.p6.5.m5.2.2.2.3" xref="A1.p6.5.m5.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="A1.p6.5.m5.2.2.2.2" xref="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.2.2" xref="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p6.5.m5.2b"><list id="A1.p6.5.m5.2.2.3.cmml" xref="A1.p6.5.m5.2.2.2"><apply id="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p6.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p6.5.m5.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p6.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p6.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><plus id="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p6.5.m5.1.1.1.1.3"></plus></apply><apply id="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p6.5.m5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p6.5.m5.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p6.5.m5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p6.5.m5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><plus id="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p6.5.m5.2.2.2.2.3"></plus></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p6.5.m5.2c">z_{1}^{+},z_{2}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p6.5.m5.2d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\left(\beta_{x_{1},z_{1}^{+}}\cdot\alpha_{k,x_{1},z_{1}^{+}}\cdot\beta_{x_{2},% z_{2}^{+}}-\beta_{x_{2},z_{1}^{+}}\cdot\alpha_{k,x_{2},z_{1}^{+}}\cdot\beta_{x% _{1},z_{2}^{+}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p6.6.m6.15"><semantics id="A1.p6.6.m6.15a"><mrow id="A1.p6.6.m6.15.15.1" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.cmml"><mo id="A1.p6.6.m6.15.15.1.2" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.cmml"><mrow id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.cmml"><msub id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.2" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.2.2" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.p6.6.m6.2.2.2.2" xref="A1.p6.6.m6.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.p6.6.m6.1.1.1.1.1" xref="A1.p6.6.m6.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.1.1.1.1.1.2" xref="A1.p6.6.m6.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p6.6.m6.1.1.1.1.1.3" xref="A1.p6.6.m6.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.p6.6.m6.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.6.m6.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="A1.p6.6.m6.2.2.2.2.2" xref="A1.p6.6.m6.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.p6.6.m6.2.2.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.6.m6.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.6.m6.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.6.m6.2.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.6.m6.2.2.2.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow></msub><mo id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.3" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.3.2" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mrow id="A1.p6.6.m6.5.5.3.3" xref="A1.p6.6.m6.5.5.3.4.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.3.3.1.1" xref="A1.p6.6.m6.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="A1.p6.6.m6.5.5.3.3.3" xref="A1.p6.6.m6.5.5.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.p6.6.m6.4.4.2.2.1" xref="A1.p6.6.m6.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.4.4.2.2.1.2" xref="A1.p6.6.m6.4.4.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p6.6.m6.4.4.2.2.1.3" xref="A1.p6.6.m6.4.4.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.p6.6.m6.5.5.3.3.4" xref="A1.p6.6.m6.5.5.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="A1.p6.6.m6.5.5.3.3.2" xref="A1.p6.6.m6.5.5.3.3.2.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.5.5.3.3.2.2.2" xref="A1.p6.6.m6.5.5.3.3.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.6.m6.5.5.3.3.2.2.3" xref="A1.p6.6.m6.5.5.3.3.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.6.m6.5.5.3.3.2.3" xref="A1.p6.6.m6.5.5.3.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow></msub><mo id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.4" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.4.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.4.2" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.4.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.p6.6.m6.7.7.2.2" xref="A1.p6.6.m6.7.7.2.3.cmml"><msub id="A1.p6.6.m6.6.6.1.1.1" xref="A1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.2" xref="A1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.3" xref="A1.p6.6.m6.6.6.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.p6.6.m6.7.7.2.2.3" xref="A1.p6.6.m6.7.7.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="A1.p6.6.m6.7.7.2.2.2" xref="A1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.2.2" xref="A1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="A1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.3" xref="A1.p6.6.m6.7.7.2.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow></msub></mrow><mo id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.1" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.cmml"><msub id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.2" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.2.2" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.p6.6.m6.9.9.2.2" xref="A1.p6.6.m6.9.9.2.3.cmml"><msub id="A1.p6.6.m6.8.8.1.1.1" xref="A1.p6.6.m6.8.8.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.8.8.1.1.1.2" xref="A1.p6.6.m6.8.8.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p6.6.m6.8.8.1.1.1.3" xref="A1.p6.6.m6.8.8.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.p6.6.m6.9.9.2.2.3" xref="A1.p6.6.m6.9.9.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="A1.p6.6.m6.9.9.2.2.2" xref="A1.p6.6.m6.9.9.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.9.9.2.2.2.2.2" xref="A1.p6.6.m6.9.9.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.6.m6.9.9.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.6.m6.9.9.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.6.m6.9.9.2.2.2.3" xref="A1.p6.6.m6.9.9.2.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow></msub><mo id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.3" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.3.2" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.3.2.cmml">α</mi><mrow id="A1.p6.6.m6.12.12.3.3" xref="A1.p6.6.m6.12.12.3.4.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.10.10.1.1" xref="A1.p6.6.m6.10.10.1.1.cmml">k</mi><mo id="A1.p6.6.m6.12.12.3.3.3" xref="A1.p6.6.m6.12.12.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.p6.6.m6.11.11.2.2.1" xref="A1.p6.6.m6.11.11.2.2.1.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.11.11.2.2.1.2" xref="A1.p6.6.m6.11.11.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p6.6.m6.11.11.2.2.1.3" xref="A1.p6.6.m6.11.11.2.2.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.p6.6.m6.12.12.3.3.4" xref="A1.p6.6.m6.12.12.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="A1.p6.6.m6.12.12.3.3.2" xref="A1.p6.6.m6.12.12.3.3.2.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.12.12.3.3.2.2.2" xref="A1.p6.6.m6.12.12.3.3.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.6.m6.12.12.3.3.2.2.3" xref="A1.p6.6.m6.12.12.3.3.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.6.m6.12.12.3.3.2.3" xref="A1.p6.6.m6.12.12.3.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow></msub><mo id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.4" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.4.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.4.2" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.3.4.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.p6.6.m6.14.14.2.2" xref="A1.p6.6.m6.14.14.2.3.cmml"><msub id="A1.p6.6.m6.13.13.1.1.1" xref="A1.p6.6.m6.13.13.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.13.13.1.1.1.2" xref="A1.p6.6.m6.13.13.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p6.6.m6.13.13.1.1.1.3" xref="A1.p6.6.m6.13.13.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.p6.6.m6.14.14.2.2.3" xref="A1.p6.6.m6.14.14.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="A1.p6.6.m6.14.14.2.2.2" xref="A1.p6.6.m6.14.14.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p6.6.m6.14.14.2.2.2.2.2" xref="A1.p6.6.m6.14.14.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.6.m6.14.14.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.6.m6.14.14.2.2.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="A1.p6.6.m6.14.14.2.2.2.3" xref="A1.p6.6.m6.14.14.2.2.2.3.cmml">+</mo></msubsup></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="A1.p6.6.m6.15.15.1.3" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p6.6.m6.15b"><apply id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.cmml" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1"><minus id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.1.cmml" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.1"></minus><apply id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.cmml" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2"><ci id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.1">⋅</ci><apply id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p6.6.m6.15.15.1.1.2.2.2">𝛽</ci><list id="A1.p6.6.m6.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p6.6.m6.2.2.2.2"><apply id="A1.p6.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p6.6.m6.1.1.1.1.1"><csymbol 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id="A1.p6.6.m6.15c">\left(\beta_{x_{1},z_{1}^{+}}\cdot\alpha_{k,x_{1},z_{1}^{+}}\cdot\beta_{x_{2},% z_{2}^{+}}-\beta_{x_{2},z_{1}^{+}}\cdot\alpha_{k,x_{2},z_{1}^{+}}\cdot\beta_{x% _{1},z_{2}^{+}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p6.6.m6.15d">( italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is positive. And there also exists <math alttext="z_{1}^{-},z_{2}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p6.7.m7.2"><semantics id="A1.p6.7.m7.2a"><mrow id="A1.p6.7.m7.2.2.2" xref="A1.p6.7.m7.2.2.3.cmml"><msubsup id="A1.p6.7.m7.1.1.1.1" xref="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.2.2" xref="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.2.3" xref="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.3" xref="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="A1.p6.7.m7.2.2.2.3" xref="A1.p6.7.m7.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="A1.p6.7.m7.2.2.2.2" xref="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.2.2" xref="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p6.7.m7.2b"><list id="A1.p6.7.m7.2.2.3.cmml" xref="A1.p6.7.m7.2.2.2"><apply id="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p6.7.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p6.7.m7.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p6.7.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p6.7.m7.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><minus id="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p6.7.m7.1.1.1.1.3"></minus></apply><apply id="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p6.7.m7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p6.7.m7.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p6.7.m7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p6.7.m7.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><minus id="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p6.7.m7.2.2.2.2.3"></minus></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p6.7.m7.2c">z_{1}^{-},z_{2}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p6.7.m7.2d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\left(\beta_{x_{1},z_{1}^{-}}\cdot\alpha_{k,x_{1},z_{1}^{-}}\cdot\beta_{x_{2},% z_{2}^{-}}-\beta_{x_{2},z_{1}^{-}}\cdot\alpha_{k,x_{2},z_{1}^{-}}\cdot\beta_{x% _{1},z_{2}^{-}}\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p6.8.m8.15"><semantics id="A1.p6.8.m8.15a"><mrow id="A1.p6.8.m8.15.15.1" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.cmml"><mo id="A1.p6.8.m8.15.15.1.2" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.cmml">(</mo><mrow id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.cmml"><mrow id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.cmml"><msub id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.2" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.2.2" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.2.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.p6.8.m8.2.2.2.2" xref="A1.p6.8.m8.2.2.2.3.cmml"><msub id="A1.p6.8.m8.1.1.1.1.1" xref="A1.p6.8.m8.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.1.1.1.1.1.2" xref="A1.p6.8.m8.1.1.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p6.8.m8.1.1.1.1.1.3" xref="A1.p6.8.m8.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.p6.8.m8.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.8.m8.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="A1.p6.8.m8.2.2.2.2.2" xref="A1.p6.8.m8.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.p6.8.m8.2.2.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.8.m8.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.8.m8.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.8.m8.2.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.8.m8.2.2.2.2.2.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow></msub><mo id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.3" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.3.2" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.3.2.cmml">α</mi><mrow id="A1.p6.8.m8.5.5.3.3" xref="A1.p6.8.m8.5.5.3.4.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.3.3.1.1" xref="A1.p6.8.m8.3.3.1.1.cmml">k</mi><mo id="A1.p6.8.m8.5.5.3.3.3" xref="A1.p6.8.m8.5.5.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.p6.8.m8.4.4.2.2.1" xref="A1.p6.8.m8.4.4.2.2.1.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.4.4.2.2.1.2" xref="A1.p6.8.m8.4.4.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p6.8.m8.4.4.2.2.1.3" xref="A1.p6.8.m8.4.4.2.2.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="A1.p6.8.m8.5.5.3.3.4" xref="A1.p6.8.m8.5.5.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="A1.p6.8.m8.5.5.3.3.2" xref="A1.p6.8.m8.5.5.3.3.2.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.5.5.3.3.2.2.2" xref="A1.p6.8.m8.5.5.3.3.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.8.m8.5.5.3.3.2.2.3" xref="A1.p6.8.m8.5.5.3.3.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.8.m8.5.5.3.3.2.3" xref="A1.p6.8.m8.5.5.3.3.2.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow></msub><mo id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.4" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.4.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.4.2" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.2.4.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.p6.8.m8.7.7.2.2" xref="A1.p6.8.m8.7.7.2.3.cmml"><msub id="A1.p6.8.m8.6.6.1.1.1" xref="A1.p6.8.m8.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.6.6.1.1.1.2" xref="A1.p6.8.m8.6.6.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p6.8.m8.6.6.1.1.1.3" xref="A1.p6.8.m8.6.6.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.p6.8.m8.7.7.2.2.3" xref="A1.p6.8.m8.7.7.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="A1.p6.8.m8.7.7.2.2.2" xref="A1.p6.8.m8.7.7.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.7.7.2.2.2.2.2" xref="A1.p6.8.m8.7.7.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.8.m8.7.7.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.8.m8.7.7.2.2.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="A1.p6.8.m8.7.7.2.2.2.3" xref="A1.p6.8.m8.7.7.2.2.2.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow></msub></mrow><mo id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.1" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.3" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.3.cmml"><msub id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.3.2" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.3.2.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.3.2.2" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.3.2.2.cmml">β</mi><mrow id="A1.p6.8.m8.9.9.2.2" xref="A1.p6.8.m8.9.9.2.3.cmml"><msub id="A1.p6.8.m8.8.8.1.1.1" xref="A1.p6.8.m8.8.8.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.8.8.1.1.1.2" xref="A1.p6.8.m8.8.8.1.1.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p6.8.m8.8.8.1.1.1.3" xref="A1.p6.8.m8.8.8.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.p6.8.m8.9.9.2.2.3" xref="A1.p6.8.m8.9.9.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="A1.p6.8.m8.9.9.2.2.2" xref="A1.p6.8.m8.9.9.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.9.9.2.2.2.2.2" xref="A1.p6.8.m8.9.9.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.8.m8.9.9.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.8.m8.9.9.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.8.m8.9.9.2.2.2.3" xref="A1.p6.8.m8.9.9.2.2.2.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow></msub><mo id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.3.1.cmml">⋅</mo><msub id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.3.3" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.3.3.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.3.3.2" xref="A1.p6.8.m8.15.15.1.1.3.3.2.cmml">α</mi><mrow id="A1.p6.8.m8.12.12.3.3" xref="A1.p6.8.m8.12.12.3.4.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.10.10.1.1" xref="A1.p6.8.m8.10.10.1.1.cmml">k</mi><mo id="A1.p6.8.m8.12.12.3.3.3" xref="A1.p6.8.m8.12.12.3.4.cmml">,</mo><msub id="A1.p6.8.m8.11.11.2.2.1" xref="A1.p6.8.m8.11.11.2.2.1.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.11.11.2.2.1.2" xref="A1.p6.8.m8.11.11.2.2.1.2.cmml">x</mi><mn id="A1.p6.8.m8.11.11.2.2.1.3" xref="A1.p6.8.m8.11.11.2.2.1.3.cmml">2</mn></msub><mo id="A1.p6.8.m8.12.12.3.3.4" xref="A1.p6.8.m8.12.12.3.4.cmml">,</mo><msubsup id="A1.p6.8.m8.12.12.3.3.2" xref="A1.p6.8.m8.12.12.3.3.2.cmml"><mi id="A1.p6.8.m8.12.12.3.3.2.2.2" xref="A1.p6.8.m8.12.12.3.3.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.8.m8.12.12.3.3.2.2.3" xref="A1.p6.8.m8.12.12.3.3.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.8.m8.12.12.3.3.2.3" 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z_{2}^{-}}-\beta_{x_{2},z_{1}^{-}}\cdot\alpha_{k,x_{2},z_{1}^{-}}\cdot\beta_{x% _{1},z_{2}^{-}}\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p6.8.m8.15d">( italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_k , italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ⋅ italic_β start_POSTSUBSCRIPT italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is negative. Without loss of generality, we assume that <math alttext="z_{1}^{+}\neq z_{1}^{-}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p6.9.m9.1"><semantics id="A1.p6.9.m9.1a"><mrow id="A1.p6.9.m9.1.1" xref="A1.p6.9.m9.1.1.cmml"><msubsup id="A1.p6.9.m9.1.1.2" xref="A1.p6.9.m9.1.1.2.cmml"><mi id="A1.p6.9.m9.1.1.2.2.2" xref="A1.p6.9.m9.1.1.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.9.m9.1.1.2.2.3" xref="A1.p6.9.m9.1.1.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.9.m9.1.1.2.3" xref="A1.p6.9.m9.1.1.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="A1.p6.9.m9.1.1.1" xref="A1.p6.9.m9.1.1.1.cmml">≠</mo><msubsup id="A1.p6.9.m9.1.1.3" xref="A1.p6.9.m9.1.1.3.cmml"><mi id="A1.p6.9.m9.1.1.3.2.2" xref="A1.p6.9.m9.1.1.3.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.9.m9.1.1.3.2.3" xref="A1.p6.9.m9.1.1.3.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.9.m9.1.1.3.3" xref="A1.p6.9.m9.1.1.3.3.cmml">−</mo></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p6.9.m9.1b"><apply id="A1.p6.9.m9.1.1.cmml" xref="A1.p6.9.m9.1.1"><neq id="A1.p6.9.m9.1.1.1.cmml" xref="A1.p6.9.m9.1.1.1"></neq><apply id="A1.p6.9.m9.1.1.2.cmml" xref="A1.p6.9.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.9.m9.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p6.9.m9.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="A1.p6.9.m9.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p6.9.m9.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.9.m9.1.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p6.9.m9.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.9.m9.1.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p6.9.m9.1.1.2.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.p6.9.m9.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.p6.9.m9.1.1.2.2.3">1</cn></apply><plus id="A1.p6.9.m9.1.1.2.3.cmml" xref="A1.p6.9.m9.1.1.2.3"></plus></apply><apply id="A1.p6.9.m9.1.1.3.cmml" xref="A1.p6.9.m9.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.9.m9.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p6.9.m9.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="A1.p6.9.m9.1.1.3.2.cmml" xref="A1.p6.9.m9.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.9.m9.1.1.3.2.1.cmml" xref="A1.p6.9.m9.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.9.m9.1.1.3.2.2.cmml" xref="A1.p6.9.m9.1.1.3.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.p6.9.m9.1.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.p6.9.m9.1.1.3.2.3">1</cn></apply><minus id="A1.p6.9.m9.1.1.3.3.cmml" xref="A1.p6.9.m9.1.1.3.3"></minus></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p6.9.m9.1c">z_{1}^{+}\neq z_{1}^{-}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p6.9.m9.1d">italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ≠ italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then we set <math alttext="\gamma_{z}=1/K" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p6.10.m10.1"><semantics id="A1.p6.10.m10.1a"><mrow id="A1.p6.10.m10.1.1" xref="A1.p6.10.m10.1.1.cmml"><msub id="A1.p6.10.m10.1.1.2" xref="A1.p6.10.m10.1.1.2.cmml"><mi id="A1.p6.10.m10.1.1.2.2" xref="A1.p6.10.m10.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mi id="A1.p6.10.m10.1.1.2.3" xref="A1.p6.10.m10.1.1.2.3.cmml">z</mi></msub><mo id="A1.p6.10.m10.1.1.1" xref="A1.p6.10.m10.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="A1.p6.10.m10.1.1.3" xref="A1.p6.10.m10.1.1.3.cmml"><mn id="A1.p6.10.m10.1.1.3.2" xref="A1.p6.10.m10.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.10.m10.1.1.3.1" xref="A1.p6.10.m10.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="A1.p6.10.m10.1.1.3.3" xref="A1.p6.10.m10.1.1.3.3.cmml">K</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p6.10.m10.1b"><apply id="A1.p6.10.m10.1.1.cmml" xref="A1.p6.10.m10.1.1"><eq id="A1.p6.10.m10.1.1.1.cmml" xref="A1.p6.10.m10.1.1.1"></eq><apply id="A1.p6.10.m10.1.1.2.cmml" xref="A1.p6.10.m10.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.10.m10.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p6.10.m10.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.10.m10.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p6.10.m10.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="A1.p6.10.m10.1.1.2.3.cmml" xref="A1.p6.10.m10.1.1.2.3">𝑧</ci></apply><apply id="A1.p6.10.m10.1.1.3.cmml" xref="A1.p6.10.m10.1.1.3"><divide id="A1.p6.10.m10.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p6.10.m10.1.1.3.1"></divide><cn id="A1.p6.10.m10.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.p6.10.m10.1.1.3.2">1</cn><ci id="A1.p6.10.m10.1.1.3.3.cmml" xref="A1.p6.10.m10.1.1.3.3">𝐾</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p6.10.m10.1c">\gamma_{z}=1/K</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p6.10.m10.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z end_POSTSUBSCRIPT = 1 / italic_K</annotation></semantics></math> for all <math alttext="z\notin\{z_{1}^{+},z_{1}^{-}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p6.11.m11.2"><semantics id="A1.p6.11.m11.2a"><mrow id="A1.p6.11.m11.2.2" xref="A1.p6.11.m11.2.2.cmml"><mi id="A1.p6.11.m11.2.2.4" xref="A1.p6.11.m11.2.2.4.cmml">z</mi><mo id="A1.p6.11.m11.2.2.3" xref="A1.p6.11.m11.2.2.3.cmml">∉</mo><mrow id="A1.p6.11.m11.2.2.2.2" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.3.cmml"><mo id="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.3.cmml">{</mo><msubsup id="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1" xref="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.2.2" xref="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.2.3" xref="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.3" xref="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.4" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.2.2" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.3" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p6.11.m11.2b"><apply id="A1.p6.11.m11.2.2.cmml" xref="A1.p6.11.m11.2.2"><notin id="A1.p6.11.m11.2.2.3.cmml" xref="A1.p6.11.m11.2.2.3"></notin><ci id="A1.p6.11.m11.2.2.4.cmml" xref="A1.p6.11.m11.2.2.4">𝑧</ci><set id="A1.p6.11.m11.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.2"><apply id="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply><plus id="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="A1.p6.11.m11.1.1.1.1.1.3"></plus></apply><apply id="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply><minus id="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="A1.p6.11.m11.2.2.2.2.2.3"></minus></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p6.11.m11.2c">z\notin\{z_{1}^{+},z_{1}^{-}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p6.11.m11.2d">italic_z ∉ { italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT , italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math> and set <math alttext="\gamma_{z_{1}^{+}}=\frac{3}{2K}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p6.12.m12.1"><semantics id="A1.p6.12.m12.1a"><mrow id="A1.p6.12.m12.1.1" xref="A1.p6.12.m12.1.1.cmml"><msub id="A1.p6.12.m12.1.1.2" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2.cmml"><mi id="A1.p6.12.m12.1.1.2.2" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2.2.cmml">γ</mi><msubsup id="A1.p6.12.m12.1.1.2.3" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.2.2" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.2.3" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.3" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.3.cmml">+</mo></msubsup></msub><mo id="A1.p6.12.m12.1.1.1" xref="A1.p6.12.m12.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="A1.p6.12.m12.1.1.3" xref="A1.p6.12.m12.1.1.3.cmml"><mn id="A1.p6.12.m12.1.1.3.2" xref="A1.p6.12.m12.1.1.3.2.cmml">3</mn><mrow id="A1.p6.12.m12.1.1.3.3" xref="A1.p6.12.m12.1.1.3.3.cmml"><mn id="A1.p6.12.m12.1.1.3.3.2" xref="A1.p6.12.m12.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.p6.12.m12.1.1.3.3.1" xref="A1.p6.12.m12.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.p6.12.m12.1.1.3.3.3" xref="A1.p6.12.m12.1.1.3.3.3.cmml">K</mi></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p6.12.m12.1b"><apply id="A1.p6.12.m12.1.1.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1"><eq id="A1.p6.12.m12.1.1.1.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1.1"></eq><apply id="A1.p6.12.m12.1.1.2.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.12.m12.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.12.m12.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.2.3">1</cn></apply><plus id="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1.2.3.3"></plus></apply></apply><apply id="A1.p6.12.m12.1.1.3.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1.3"><divide id="A1.p6.12.m12.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1.3"></divide><cn id="A1.p6.12.m12.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.p6.12.m12.1.1.3.2">3</cn><apply id="A1.p6.12.m12.1.1.3.3.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1.3.3"><times id="A1.p6.12.m12.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1.3.3.1"></times><cn id="A1.p6.12.m12.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.p6.12.m12.1.1.3.3.2">2</cn><ci id="A1.p6.12.m12.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.p6.12.m12.1.1.3.3.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p6.12.m12.1c">\gamma_{z_{1}^{+}}=\frac{3}{2K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p6.12.m12.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 3 end_ARG start_ARG 2 italic_K end_ARG</annotation></semantics></math> and <math alttext="\gamma_{z_{1}^{-}}=\frac{1}{2K}" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p6.13.m13.1"><semantics id="A1.p6.13.m13.1a"><mrow id="A1.p6.13.m13.1.1" xref="A1.p6.13.m13.1.1.cmml"><msub id="A1.p6.13.m13.1.1.2" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2.cmml"><mi id="A1.p6.13.m13.1.1.2.2" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2.2.cmml">γ</mi><msubsup id="A1.p6.13.m13.1.1.2.3" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.cmml"><mi id="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.2.2" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.2.2.cmml">z</mi><mn id="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.2.3" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.2.3.cmml">1</mn><mo id="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.3" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.3.cmml">−</mo></msubsup></msub><mo id="A1.p6.13.m13.1.1.1" xref="A1.p6.13.m13.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="A1.p6.13.m13.1.1.3" xref="A1.p6.13.m13.1.1.3.cmml"><mn id="A1.p6.13.m13.1.1.3.2" xref="A1.p6.13.m13.1.1.3.2.cmml">1</mn><mrow id="A1.p6.13.m13.1.1.3.3" xref="A1.p6.13.m13.1.1.3.3.cmml"><mn id="A1.p6.13.m13.1.1.3.3.2" xref="A1.p6.13.m13.1.1.3.3.2.cmml">2</mn><mo id="A1.p6.13.m13.1.1.3.3.1" xref="A1.p6.13.m13.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="A1.p6.13.m13.1.1.3.3.3" xref="A1.p6.13.m13.1.1.3.3.3.cmml">K</mi></mrow></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p6.13.m13.1b"><apply id="A1.p6.13.m13.1.1.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1"><eq id="A1.p6.13.m13.1.1.1.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1.1"></eq><apply id="A1.p6.13.m13.1.1.2.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.13.m13.1.1.2.1.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.13.m13.1.1.2.2.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2.2">𝛾</ci><apply id="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.1.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2.3">superscript</csymbol><apply id="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.2.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.2.1.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.2.2.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.2.2">𝑧</ci><cn id="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.2.3">1</cn></apply><minus id="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.3.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1.2.3.3"></minus></apply></apply><apply id="A1.p6.13.m13.1.1.3.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1.3"><divide id="A1.p6.13.m13.1.1.3.1.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1.3"></divide><cn id="A1.p6.13.m13.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.p6.13.m13.1.1.3.2">1</cn><apply id="A1.p6.13.m13.1.1.3.3.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1.3.3"><times id="A1.p6.13.m13.1.1.3.3.1.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1.3.3.1"></times><cn id="A1.p6.13.m13.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="A1.p6.13.m13.1.1.3.3.2">2</cn><ci id="A1.p6.13.m13.1.1.3.3.3.cmml" xref="A1.p6.13.m13.1.1.3.3.3">𝐾</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p6.13.m13.1c">\gamma_{z_{1}^{-}}=\frac{1}{2K}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p6.13.m13.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_z start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 italic_K end_ARG</annotation></semantics></math>. This is an example that violates the constraints.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A1.p7"> <p class="ltx_p" id="A1.p7.3">Since the polynomial constraints are non-trivial, this variety has Lebesgue measure zero. Consequently, the subset of distributions <math alttext="P(X,Y,Z)" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p7.1.m1.3"><semantics id="A1.p7.1.m1.3a"><mrow id="A1.p7.1.m1.3.4" xref="A1.p7.1.m1.3.4.cmml"><mi id="A1.p7.1.m1.3.4.2" xref="A1.p7.1.m1.3.4.2.cmml">P</mi><mo id="A1.p7.1.m1.3.4.1" xref="A1.p7.1.m1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p7.1.m1.3.4.3.2" xref="A1.p7.1.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="A1.p7.1.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p7.1.m1.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="A1.p7.1.m1.1.1" xref="A1.p7.1.m1.1.1.cmml">X</mi><mo id="A1.p7.1.m1.3.4.3.2.2" xref="A1.p7.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.p7.1.m1.2.2" xref="A1.p7.1.m1.2.2.cmml">Y</mi><mo id="A1.p7.1.m1.3.4.3.2.3" xref="A1.p7.1.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="A1.p7.1.m1.3.3" xref="A1.p7.1.m1.3.3.cmml">Z</mi><mo id="A1.p7.1.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="A1.p7.1.m1.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p7.1.m1.3b"><apply id="A1.p7.1.m1.3.4.cmml" xref="A1.p7.1.m1.3.4"><times id="A1.p7.1.m1.3.4.1.cmml" xref="A1.p7.1.m1.3.4.1"></times><ci id="A1.p7.1.m1.3.4.2.cmml" xref="A1.p7.1.m1.3.4.2">𝑃</ci><vector id="A1.p7.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="A1.p7.1.m1.3.4.3.2"><ci id="A1.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="A1.p7.1.m1.1.1">𝑋</ci><ci id="A1.p7.1.m1.2.2.cmml" xref="A1.p7.1.m1.2.2">𝑌</ci><ci id="A1.p7.1.m1.3.3.cmml" xref="A1.p7.1.m1.3.3">𝑍</ci></vector></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p7.1.m1.3c">P(X,Y,Z)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p7.1.m1.3d">italic_P ( italic_X , italic_Y , italic_Z )</annotation></semantics></math> that do not satisfy the coarsening condition is of measure zero. Thus, with probability one (in the sense of Lebesgue measure), the causal partition <math alttext="\Pi_{c}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p7.2.m2.1"><semantics id="A1.p7.2.m2.1a"><mrow id="A1.p7.2.m2.1.2" xref="A1.p7.2.m2.1.2.cmml"><msub id="A1.p7.2.m2.1.2.2" xref="A1.p7.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p7.2.m2.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.p7.2.m2.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="A1.p7.2.m2.1.2.2.3" xref="A1.p7.2.m2.1.2.2.3.cmml">c</mi></msub><mo id="A1.p7.2.m2.1.2.1" xref="A1.p7.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p7.2.m2.1.2.3.2" xref="A1.p7.2.m2.1.2.cmml"><mo id="A1.p7.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p7.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p7.2.m2.1.1" xref="A1.p7.2.m2.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="A1.p7.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p7.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p7.2.m2.1b"><apply id="A1.p7.2.m2.1.2.cmml" xref="A1.p7.2.m2.1.2"><times id="A1.p7.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A1.p7.2.m2.1.2.1"></times><apply id="A1.p7.2.m2.1.2.2.cmml" xref="A1.p7.2.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p7.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p7.2.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p7.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p7.2.m2.1.2.2.2">Π</ci><ci id="A1.p7.2.m2.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p7.2.m2.1.2.2.3">𝑐</ci></apply><ci id="A1.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="A1.p7.2.m2.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p7.2.m2.1c">\Pi_{c}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p7.2.m2.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_c end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math> is a coarsening of the observational partition <math alttext="\Pi_{o}(\mathcal{X})" class="ltx_Math" display="inline" id="A1.p7.3.m3.1"><semantics id="A1.p7.3.m3.1a"><mrow id="A1.p7.3.m3.1.2" xref="A1.p7.3.m3.1.2.cmml"><msub id="A1.p7.3.m3.1.2.2" xref="A1.p7.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="A1.p7.3.m3.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="A1.p7.3.m3.1.2.2.2.cmml">Π</mi><mi id="A1.p7.3.m3.1.2.2.3" xref="A1.p7.3.m3.1.2.2.3.cmml">o</mi></msub><mo id="A1.p7.3.m3.1.2.1" xref="A1.p7.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="A1.p7.3.m3.1.2.3.2" xref="A1.p7.3.m3.1.2.cmml"><mo id="A1.p7.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="A1.p7.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="A1.p7.3.m3.1.1" xref="A1.p7.3.m3.1.1.cmml">𝒳</mi><mo id="A1.p7.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="A1.p7.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A1.p7.3.m3.1b"><apply id="A1.p7.3.m3.1.2.cmml" xref="A1.p7.3.m3.1.2"><times id="A1.p7.3.m3.1.2.1.cmml" xref="A1.p7.3.m3.1.2.1"></times><apply id="A1.p7.3.m3.1.2.2.cmml" xref="A1.p7.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A1.p7.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="A1.p7.3.m3.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="A1.p7.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="A1.p7.3.m3.1.2.2.2">Π</ci><ci id="A1.p7.3.m3.1.2.2.3.cmml" xref="A1.p7.3.m3.1.2.2.3">𝑜</ci></apply><ci id="A1.p7.3.m3.1.1.cmml" xref="A1.p7.3.m3.1.1">𝒳</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A1.p7.3.m3.1c">\Pi_{o}(\mathcal{X})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A1.p7.3.m3.1d">roman_Π start_POSTSUBSCRIPT italic_o end_POSTSUBSCRIPT ( caligraphic_X )</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix B </span>Appendix: The Redlining Dataset</h2> <div class="ltx_para" id="A2.p1"> <p class="ltx_p" id="A2.p1.1">The Historic Redlining Indicator (HRI) is a measure of the mortgage investment risk of neighborhoods across the nation based on the residential security grades provided by The Home Owners’ Loan Corporation (HOLC). A higher HRI score means greater redlining of the census tract. Using the 2010 and 2020 HRI datasets, we merged them with the US census dataset to investigate the impact of redlining on multiple socioeconomic outcomes.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.p2"> <p class="ltx_p" id="A2.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A2.p2.1.1">Clustering on Balanced Pseudo-Population after PSM:</span> Though randomized treatment is necessary for analysis using CFL, we can balance the data and create a pseudo-population using the propensity score matching. We define the treated group as those census tracts with an increase in the intensity of redlining, the HRI score, from 2010 to 2020, and untreated if the HRI score remains the same or decreases. Out of 11348 census tracts (an intersection of 2010 and 2020 census tracts), 487 are treated. Currently, we choose two outcomes, changes in the proportion below the poverty line and changes in the median house value (in 2020 dollars), and 9 baseline covariates in 2010, including pubic school enrollment rate, average income, unemployment rate, the proportion of male, proportion of 3 racial groups (black, Asian, white), total housing units, and proportion of bachelor degrees, for the analysis. We used PSM with the nearest neighbor matching without replacement to create a pseudo-population such that each treated unit has a matched untreated unit (964 units). Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A4.F4" title="Figure A4 ‣ Appendix D Appendix: Tables and Figures ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A4</span></a> and <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A4.F4" title="Figure A4 ‣ Appendix D Appendix: Tables and Figures ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A4</span></a> present the balance of covariates and distribution of the propensity to treatment after propensity score matching. The estimated ATE and bootstrapped SE for two outcomes are 0.0028 [0.0128] (poverty rate) and -22599 [14928] (median house value). In other words, assume selection on observables, increase in redlining of a census tract increase the proportion of families below the poverty line, and lower the house value in the area, though both are insignificant.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A2.p3"> <p class="ltx_p" id="A2.p3.1">After implementing CFL on the pseudo-population, there are two major observations. From Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A4.F5" title="Figure A5 ‣ Appendix D Appendix: Tables and Figures ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A5</span></a>, we can see that, since the treatment is insignificant in both cases, CFL does not separate clusters primarily based on the treatment. However, CFL preserves the balance of treatment within each cluster. Though the distribution of the treated units and untreated units within each cluster is still similar to each other, the level of certain covariates is different between clusters, e.g. some are more skewed/sparse than others, indicating that different compositions of covariates across clusters are still related to the level of the outcome as shown in figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A4.F2.sf2" title="In Figure A2 ‣ Appendix D Appendix: Tables and Figures ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A2b</span></a>.</p> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix C </span>Appendix: Implementation of Binning Technique</h2> <div class="ltx_para" id="A3.p1"> <p class="ltx_p" id="A3.p1.1">Here, we implement quantile binning, which is also known as equal frequency binning, in the example of the NSW dataset. We first apply an arbitrary number of bins, for example, 10 bins, by assigning a value to all observations in the same bin. We repeat the same CFL algorithm with the only change being the discretization of the outcome variable. Note that the variable is only discretized for the training of the CFL algorithm and construction of the macrostates; the original values of the variable should be retained for the rest of the analyzes.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A3.p2"> <p class="ltx_p" id="A3.p2.1">When the number of clusters is two, we almost replicate the distribution as in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S4.F2" title="Figure 2 ‣ 4.2 Causal Feature Learning Detects Heterogeneous Causal Effects ‣ 4 Social Science Applications ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, indicating that the amount of information on the causal relationship between the treatment, covariate, and outcome is not significantly compromised when we have a small number of clusters. When we increase the number of clusters to four, the results are less replicable as the CFL algorithm does not categorize a group of all untreated observations as in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#S4.F2" title="Figure 2 ‣ 4.2 Causal Feature Learning Detects Heterogeneous Causal Effects ‣ 4 Social Science Applications ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. While we increase the number of clusters, during which the CFL algorithm creates more subgroups that capture more nuanced interaction between variables, a smaller number of bins eliminates some essential information entailed in a larger number of clusters.</p> </div> <div class="ltx_para" id="A3.p3"> <p class="ltx_p" id="A3.p3.1">To verify this, we increase the number of bins and observe which bins we can obtain a distribution close enough to the one without the binning. If such a number of bins exist, it suggests that the same causal information relationship could be preserved while we discretize the variable and do not violate the assumption of discrete macrostate. As Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.12784v1#A4.T3" title="Table A3 ‣ Appendix D Appendix: Tables and Figures ‣ Causal Feature Learning in the Social Sciences"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">A3</span></a> shows, when we increase the number of bins, there are some cases where the CFL algorithm captures the group with only untreated units (value 0 in the table). As the algorithm includes randomness when constructing macrostates, the likelihood of successful construction of this particular macrostate increases as the number of bins increases.</p> </div> </section> <section class="ltx_appendix" id="A4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_appendix"> <span class="ltx_tag ltx_tag_appendix">Appendix D </span>Appendix: Tables and Figures</h2> <figure class="ltx_table" id="A4.T1"> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table A1: </span>NSW Regression Results: Heterogeneity Identification</figcaption> <div class="ltx_inline-block ltx_align_center ltx_transformed_outer" id="A4.T1.4" style="width:260.2pt;height:91.9pt;vertical-align:-0.0pt;"><span class="ltx_transformed_inner" style="transform:translate(2.7pt,-0.9pt) scale(1.02098054893347,1.02098054893347) ;"> <table class="ltx_tabular ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="A4.T1.4.4"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="A4.T1.2.2.2"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_column ltx_th_row ltx_border_tt ltx_border_tt" id="A4.T1.2.2.2.3"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A4.T1.2.2.2.3.1">Variable</span></th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt ltx_border_tt" id="A4.T1.2.2.2.4"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A4.T1.2.2.2.4.1">Coef.</span></th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt ltx_border_tt" id="A4.T1.2.2.2.5"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A4.T1.2.2.2.5.1">Std. Err.</span></th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt ltx_border_tt" id="A4.T1.2.2.2.6"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A4.T1.2.2.2.6.1">t</span></th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt ltx_border_tt" id="A4.T1.2.2.2.2"> <span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A4.T1.2.2.2.2.1">P</span> <math alttext=">" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.T1.1.1.1.1.m1.1"><semantics id="A4.T1.1.1.1.1.m1.1a"><mo id="A4.T1.1.1.1.1.m1.1.1" xref="A4.T1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml">></mo><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.T1.1.1.1.1.m1.1b"><gt id="A4.T1.1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.T1.1.1.1.1.m1.1.1"></gt></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.T1.1.1.1.1.m1.1c">></annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.T1.1.1.1.1.m1.1d">></annotation></semantics></math> <math alttext="|\textbf{t}|" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.T1.2.2.2.2.m2.1"><semantics id="A4.T1.2.2.2.2.m2.1a"><mrow id="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.2.2" xref="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.2.1.cmml"><mo id="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.2.2.1" stretchy="false" xref="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.2.1.1.cmml">|</mo><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.1" xref="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.1a.cmml">t</mtext><mo id="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.2.2.2" stretchy="false" xref="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.2.1.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.T1.2.2.2.2.m2.1b"><apply id="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.2.2"><abs id="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.2.1.1.cmml" xref="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.2.2.1"></abs><ci id="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.1a.cmml" xref="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_bold" id="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.1.cmml" xref="A4.T1.2.2.2.2.m2.1.1">t</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.T1.2.2.2.2.m2.1c">|\textbf{t}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.T1.2.2.2.2.m2.1d">| t |</annotation></semantics></math> </th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="A4.T1.4.4.5.1"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_t" id="A4.T1.4.4.5.1.1">Intercept</th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="A4.T1.4.4.5.1.2">2790.36</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="A4.T1.4.4.5.1.3">476.31</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="A4.T1.4.4.5.1.4">5.85</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="A4.T1.4.4.5.1.5">0.00</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T1.4.4.6.2"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row" id="A4.T1.4.4.6.2.1">treat</th> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="A4.T1.4.4.6.2.2">-409.66</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="A4.T1.4.4.6.2.3">742.27</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="A4.T1.4.4.6.2.4">-0.55</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="A4.T1.4.4.6.2.5">0.58</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T1.3.3.3"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row" id="A4.T1.3.3.3.1"><math alttext="\text{age}_{\text{dummy}}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.T1.3.3.3.1.m1.1"><semantics id="A4.T1.3.3.3.1.m1.1a"><msub id="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1" xref="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1.cmml"><mtext id="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1.2" xref="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1.2a.cmml">age</mtext><mtext id="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1.3" xref="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1.3a.cmml">dummy</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.T1.3.3.3.1.m1.1b"><apply id="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1.2a.cmml" xref="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1.2"><mtext id="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1.2">age</mtext></ci><ci id="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1.3"><mtext id="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="A4.T1.3.3.3.1.m1.1.1.3">dummy</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.T1.3.3.3.1.m1.1c">\text{age}_{\text{dummy}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.T1.3.3.3.1.m1.1d">age start_POSTSUBSCRIPT dummy end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math></th> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="A4.T1.3.3.3.2">-1670.13</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="A4.T1.3.3.3.3">721.93</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="A4.T1.3.3.3.4">-2.31</td> <td class="ltx_td ltx_align_center" id="A4.T1.3.3.3.5">0.02</td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T1.4.4.4"> <th class="ltx_td ltx_align_left ltx_th ltx_th_row ltx_border_bb ltx_border_bb" id="A4.T1.4.4.4.1"><math alttext="\text{age}_{\text{dummy}}\times\text{treat}" class="ltx_Math" display="inline" id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1"><semantics id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1a"><mrow id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.cmml"><msub id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2.cmml"><mtext id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2.2" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2.2a.cmml">age</mtext><mtext id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2.3" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2.3a.cmml">dummy</mtext></msub><mo id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.1.cmml">×</mo><mtext id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.3" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.3a.cmml">treat</mtext></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1b"><apply id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.cmml" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1"><times id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.1"></times><apply id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2.2a.cmml" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2.2"><mtext id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2.2">age</mtext></ci><ci id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2.3a.cmml" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2.3"><mtext id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.2.3">dummy</mtext></ci></apply><ci id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.3"><mtext id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.3.cmml" xref="A4.T1.4.4.4.1.m1.1.1.3">treat</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1c">\text{age}_{\text{dummy}}\times\text{treat}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="A4.T1.4.4.4.1.m1.1d">age start_POSTSUBSCRIPT dummy end_POSTSUBSCRIPT × treat</annotation></semantics></math></th> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_bb" id="A4.T1.4.4.4.2">2889.34</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_bb" id="A4.T1.4.4.4.3">1125.78</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_bb" id="A4.T1.4.4.4.4">2.56</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_bb ltx_border_bb" id="A4.T1.4.4.4.5">0.01</td> </tr> </tbody> </table> </span></div> </figure> <figure class="ltx_table" id="A4.T2"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table A2: </span>Effects of Washington Post and Times for Different Clusters</figcaption><div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <div class="ltx_inline-block ltx_figure_panel ltx_transformed_outer" id="A4.T2.1" style="width:225.5pt;height:217.6pt;vertical-align:-0.0pt;"><span class="ltx_transformed_inner" style="transform:translate(-36.4pt,35.2pt) scale(0.755714884346077,0.755714884346077) ;"> <table class="ltx_tabular ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="A4.T2.1.1"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.1.1"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_th_row ltx_border_tt ltx_border_tt" id="A4.T2.1.1.1.1.1"># Cluster</th> <th class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt ltx_border_tt" id="A4.T2.1.1.1.1.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.1.1.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.1.1.2.1.1" style="width:113.8pt;">Post Effect</span> </span> </th> <th class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt ltx_border_tt" id="A4.T2.1.1.1.1.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.1.1.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.1.1.3.1.1" style="width:113.8pt;">Times Effect</span> </span> </th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.2.1"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_t" id="A4.T2.1.1.2.1.1">3</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_t" id="A4.T2.1.1.2.1.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.2.1.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.2.1.2.1.1" style="width:113.8pt;">-0.0733</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_t" id="A4.T2.1.1.2.1.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.2.1.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.2.1.3.1.1" style="width:113.8pt;">0.0112</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.3.2"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_th ltx_th_row" id="A4.T2.1.1.3.2.1"></th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.3.2.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.3.2.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.3.2.2.1.1" style="width:113.8pt;">(0.0475)</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.3.2.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.3.2.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.3.2.3.1.1" style="width:113.8pt;">(0.0469)</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.4.3"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_th ltx_th_row" id="A4.T2.1.1.4.3.1" style="padding-bottom:8.61108pt;"></th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.4.3.2" style="padding-bottom:8.61108pt;"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.4.3.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.4.3.2.1.1" style="width:113.8pt;">[0.1230]</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.4.3.3" style="padding-bottom:8.61108pt;"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.4.3.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.4.3.3.1.1" style="width:113.8pt;">[0.8118]</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.5.4"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row" id="A4.T2.1.1.5.4.1">4</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.5.4.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.5.4.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.5.4.2.1.1" style="width:113.8pt;">-0.0742</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.5.4.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.5.4.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.5.4.3.1.1" style="width:113.8pt;">0.0007</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.6.5"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_th ltx_th_row" id="A4.T2.1.1.6.5.1"></th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.6.5.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.6.5.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.6.5.2.1.1" style="width:113.8pt;">(0.0472)</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.6.5.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.6.5.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.6.5.3.1.1" style="width:113.8pt;">(0.0465)</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.7.6"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_th ltx_th_row" id="A4.T2.1.1.7.6.1" style="padding-bottom:8.61108pt;"></th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.7.6.2" style="padding-bottom:8.61108pt;"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.7.6.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.7.6.2.1.1" style="width:113.8pt;">[0.1164]</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.7.6.3" style="padding-bottom:8.61108pt;"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.7.6.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.7.6.3.1.1" style="width:113.8pt;">[0.9880]</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.8.7"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row" id="A4.T2.1.1.8.7.1">6</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.8.7.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.8.7.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.8.7.2.1.1" style="width:113.8pt;">-0.0684</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.8.7.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.8.7.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.8.7.3.1.1" style="width:113.8pt;">-0.0022</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.9.8"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_th ltx_th_row" id="A4.T2.1.1.9.8.1"></th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.9.8.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.9.8.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.9.8.2.1.1" style="width:113.8pt;">(0.0470)</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.9.8.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.9.8.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.9.8.3.1.1" style="width:113.8pt;">(0.0465)</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.10.9"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_th ltx_th_row" id="A4.T2.1.1.10.9.1" style="padding-bottom:8.61108pt;"></th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.10.9.2" style="padding-bottom:8.61108pt;"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.10.9.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.10.9.2.1.1" style="width:113.8pt;">[0.1458]</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.10.9.3" style="padding-bottom:8.61108pt;"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.10.9.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.10.9.3.1.1" style="width:113.8pt;">[0.9618]</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.11.10"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row" id="A4.T2.1.1.11.10.1">8</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.11.10.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.11.10.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.11.10.2.1.1" style="width:113.8pt;">-0.0684</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.11.10.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.11.10.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.11.10.3.1.1" style="width:113.8pt;">0.0090</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.12.11"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_th ltx_th_row" id="A4.T2.1.1.12.11.1"></th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.12.11.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.12.11.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.12.11.2.1.1" style="width:113.8pt;">(0.0473)</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.12.11.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.12.11.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.12.11.3.1.1" style="width:113.8pt;">(0.0467)</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.13.12"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_th ltx_th_row" id="A4.T2.1.1.13.12.1" style="padding-bottom:8.61108pt;"></th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.13.12.2" style="padding-bottom:8.61108pt;"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.13.12.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.13.12.2.1.1" style="width:113.8pt;">[0.1488]</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.13.12.3" style="padding-bottom:8.61108pt;"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.13.12.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.13.12.3.1.1" style="width:113.8pt;">[0.8478]</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.14.13"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row" id="A4.T2.1.1.14.13.1">12</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.14.13.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.14.13.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.14.13.2.1.1" style="width:113.8pt;">-0.0646</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.14.13.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.14.13.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.14.13.3.1.1" style="width:113.8pt;">0.0018</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.15.14"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_th ltx_th_row" id="A4.T2.1.1.15.14.1"></th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.15.14.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.15.14.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.15.14.2.1.1" style="width:113.8pt;">(0.0474)</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.15.14.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.15.14.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.15.14.3.1.1" style="width:113.8pt;">(0.0468)</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T2.1.1.16.15"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_th ltx_th_row ltx_border_bb ltx_border_bb" id="A4.T2.1.1.16.15.1"></th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_bb ltx_border_bb" id="A4.T2.1.1.16.15.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.16.15.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.16.15.2.1.1" style="width:113.8pt;">[0.1727]</span> </span> </td> <td class="ltx_td ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_bb ltx_border_bb" id="A4.T2.1.1.16.15.3"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T2.1.1.16.15.3.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T2.1.1.16.15.3.1.1" style="width:113.8pt;">[0.9688]</span> </span> </td> </tr> </tbody> </table> </span></div> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <p class="ltx_p ltx_figure_panel ltx_parbox ltx_align_middle" id="A4.T2.2" style="width:225.5pt;"><span class="ltx_text" id="A4.T2.2.1" style="font-size:80%;">P-values are presented in square brackets and standard errors are presented in parentheses.</span></p> </div> </div> </figure> <figure class="ltx_table" id="A4.T3"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_table">Table A3: </span>Minimum Percentage of Treated Units in a Cluster by Bins</figcaption> <div class="ltx_inline-block ltx_transformed_outer" id="A4.T3.1" style="width:164.8pt;height:224.1pt;vertical-align:-0.0pt;"><span class="ltx_transformed_inner" style="transform:translate(-10.3pt,13.9pt) scale(0.889288488308588,0.889288488308588) ;"> <table class="ltx_tabular ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="A4.T3.1.1"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="A4.T3.1.1.1.1"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_th_row ltx_border_tt ltx_border_tt" id="A4.T3.1.1.1.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A4.T3.1.1.1.1.1.1"># Bins</span></th> <th class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top ltx_th ltx_th_column ltx_border_tt ltx_border_tt" id="A4.T3.1.1.1.1.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.1.1.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T3.1.1.1.1.2.1.1" style="width:142.3pt;"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="A4.T3.1.1.1.1.2.1.1.1">Min % of Treated</span></span> </span> </th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="A4.T3.1.1.2.1"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_t" id="A4.T3.1.1.2.1.1">10</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_t" id="A4.T3.1.1.2.1.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.2.1.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T3.1.1.2.1.2.1.1" style="width:142.3pt;">0.321</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T3.1.1.3.2"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row" id="A4.T3.1.1.3.2.1">27</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.3.2.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.3.2.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T3.1.1.3.2.2.1.1" style="width:142.3pt;">0.129</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T3.1.1.4.3"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row" id="A4.T3.1.1.4.3.1">45</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.4.3.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.4.3.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T3.1.1.4.3.2.1.1" style="width:142.3pt;">0.336</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T3.1.1.5.4"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row" id="A4.T3.1.1.5.4.1">62</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.5.4.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.5.4.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T3.1.1.5.4.2.1.1" style="width:142.3pt;">0.230</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T3.1.1.6.5"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row" id="A4.T3.1.1.6.5.1">88</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.6.5.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.6.5.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T3.1.1.6.5.2.1.1" style="width:142.3pt;">0.292</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T3.1.1.7.6"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row" id="A4.T3.1.1.7.6.1">131</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.7.6.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.7.6.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T3.1.1.7.6.2.1.1" style="width:142.3pt;">0.198</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T3.1.1.8.7"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row" id="A4.T3.1.1.8.7.1">174</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.8.7.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.8.7.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T3.1.1.8.7.2.1.1" style="width:142.3pt;">0.320</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T3.1.1.9.8"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row" id="A4.T3.1.1.9.8.1">218</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.9.8.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.9.8.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T3.1.1.9.8.2.1.1" style="width:142.3pt;">0.000</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T3.1.1.10.9"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row" id="A4.T3.1.1.10.9.1">262</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.10.9.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.10.9.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T3.1.1.10.9.2.1.1" style="width:142.3pt;">0.311</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T3.1.1.11.10"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row" id="A4.T3.1.1.11.10.1">305</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.11.10.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.11.10.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T3.1.1.11.10.2.1.1" style="width:142.3pt;">0.102</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T3.1.1.12.11"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row" id="A4.T3.1.1.12.11.1">348</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.12.11.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.12.11.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T3.1.1.12.11.2.1.1" style="width:142.3pt;">0.207</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T3.1.1.13.12"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row" id="A4.T3.1.1.13.12.1">392</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.13.12.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.13.12.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T3.1.1.13.12.2.1.1" style="width:142.3pt;">0.327</span> </span> </td> </tr> <tr class="ltx_tr" id="A4.T3.1.1.14.13"> <th class="ltx_td ltx_nopad_r ltx_align_center ltx_th ltx_th_row ltx_border_bb ltx_border_bb" id="A4.T3.1.1.14.13.1">435</th> <td class="ltx_td ltx_nopad_l ltx_align_justify ltx_align_top ltx_border_bb ltx_border_bb" id="A4.T3.1.1.14.13.2"> <span class="ltx_inline-block ltx_align_top" id="A4.T3.1.1.14.13.2.1"> <span class="ltx_p" id="A4.T3.1.1.14.13.2.1.1" style="width:142.3pt;">0.000</span> </span> </td> </tr> </tbody> </table> </span></div> </figure> <figure class="ltx_figure" id="A4.F1"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure A1: </span>Clustering of Voting Dataset Participants Based on Demographics, Baseline Political Preference, and Historical Turnout Record</figcaption><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="155" id="A4.F1.g1" src="extracted/6281701/figs/voting_cluster_6.png" width="479"/> </figure> <figure class="ltx_figure" id="A4.F2"> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure A2: </span>Clustering of Redlining Dataset</figcaption><div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="A4.F2.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="169" id="A4.F2.sf1.g1" src="extracted/6281701/figs/value_cluster_6.png" width="557"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">(a) </span>House value clustering</figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_break"></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_1"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="A4.F2.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="169" id="A4.F2.sf2.g1" src="extracted/6281701/figs/poverty_cluster_6.png" width="550"/> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">(b) </span>Poverty rate clustering</figcaption> </figure> </div> </div> </figure> <figure class="ltx_figure" id="A4.F4"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_minipage ltx_align_center ltx_align_middle" id="A4.F4.1" style="width:251.5pt;"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="324" id="A4.F4.1.g1" src="extracted/6281701/figs/love_plot_PSM.png" width="598"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure A3: </span>Balance Check</figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_minipage ltx_align_center ltx_align_middle" id="A4.F4.2" style="width:173.4pt;"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_img_landscape" height="475" id="A4.F4.2.g1" src="extracted/6281701/figs/propen_to_treat_distribution.png" width="598"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure A4: </span>Propensity to Treatment</figcaption> </figure> </div> </div> </figure> <figure class="ltx_figure" id="A4.F5"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_square" height="520" id="A4.F5.g1" src="extracted/6281701/figs/redlining_3cl_3d.png" width="520"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure A5: </span>Distribution of Treated and Untreated Units Across Clusters</figcaption> </figure> <div class="ltx_pagination ltx_role_newpage"></div> </section> </article> </div> <footer class="ltx_page_footer"> <div class="ltx_page_logo">Generated on Mon Mar 17 03:42:53 2025 by <a class="ltx_LaTeXML_logo" href="http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/"><span style="letter-spacing:-0.2em; margin-right:0.1em;">L<span class="ltx_font_smallcaps" style="position:relative; bottom:2.2pt;">a</span>T<span class="ltx_font_smallcaps" style="font-size:120%;position:relative; bottom:-0.2ex;">e</span></span><span style="font-size:90%; position:relative; bottom:-0.2ex;">XML</span><img alt="Mascot Sammy" 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