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<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2503.15186v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S1" title="In Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">1 </span>Introduction</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2" title="In Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2 </span>Definitions</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.SS1" title="In 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1 </span>Multivariate Distributions</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.SS1.SSS1" title="In 2.1 Multivariate Distributions ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.1.1 </span>Estimation of Parameters</span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.SS2" title="In 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2 </span>Covariance matrix estimation</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.SS2.SSS1" title="In 2.2 Covariance matrix estimation ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2.1 </span>Oracle estimator</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.SS2.SSS2" title="In 2.2 Covariance matrix estimation ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">2.2.2 </span>Cross-validation estimators</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3" title="In Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3 </span>Derivation of the Estimation Error for the Holdout</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.SS1" title="In 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.1 </span>General case</span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.SS2" title="In 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2 </span>White inverse Wishart case</span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_subsection"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsubsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.SS2.SSS1" title="In 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">3.2.1 </span>Optimal split</span></a></li> </ol> </li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S4" title="In Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">4 </span>Conclusion</span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_title_document">Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation</h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname"> Lamia Lamrani<sup class="ltx_sup" id="id8.6.id1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id8.6.id1.1">1</span></sup>, Christian Bongiorno<sup class="ltx_sup" id="id9.7.id2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id9.7.id2.1">1</span></sup>, Marc Potters<sup class="ltx_sup" id="id10.8.id3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id10.8.id3.1">2</span></sup> <br class="ltx_break"/><sup class="ltx_sup" id="id11.9.id4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id11.9.id4.1">1</span></sup>Université Paris-Saclay, CentraleSupélec, <br class="ltx_break"/>Laboratoire de Mathématiques et Informatique pour la Complexité et les Systèmes, 91192 Gif-sur-Yvette, France <br class="ltx_break"/><sup class="ltx_sup" id="id12.10.id5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="id12.10.id5.1">2</span></sup>Capital Fund Management, 23 Rue de l’Université, 75007 Paris, France <br class="ltx_break"/><span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="id13.11.id6">lamia.lamrani@centralesupelec.fr</span> </span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id7.2">Cross-validation is a statistical tool that can be used to improve large covariance matrix estimation. Although its efficiency is observed in practical applications, the theoretical reasons behind it remain largely intuitive, with formal proofs currently lacking. To carry on analytical analysis, we focus on the holdout method, a single iteration of cross-validation, rather than the traditional <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="id6.1.m1.1"><semantics id="id6.1.m1.1a"><mi id="id6.1.m1.1.1" xref="id6.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id6.1.m1.1b"><ci id="id6.1.m1.1.1.cmml" xref="id6.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id6.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id6.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold approach. We derive a closed-form expression for the estimation error when the population matrix follows a white inverse Wishart distribution, and we observe the optimal train-test split scales as the square root of the matrix dimension. For general population matrices, we connected the error to the variance of eigenvalues distribution, but approximations are necessary. Interestingly, in the high-dimensional asymptotic regime, both the holdout and <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="id7.2.m2.1"><semantics id="id7.2.m2.1a"><mi id="id7.2.m2.1.1" xref="id7.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id7.2.m2.1b"><ci id="id7.2.m2.1.1.cmml" xref="id7.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id7.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id7.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold cross-validation methods converge to the optimal estimator when the train-test ratio scales with the square root of the matrix dimension.</p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">1 </span>Introduction</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.7">Covariance estimation is a major question in statistics that finds applications in many areas such as physics <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite>, neuroscience <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>, signal processing <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite> and finance <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib5" title="">5</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib6" title="">6</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite>. A simple answer could be to use the sample estimator; however, it is largely inefficient in high dimensions when the order of the matrix <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.1.m1.1"><semantics id="S1.p1.1.m1.1a"><mi id="S1.p1.1.m1.1.1" xref="S1.p1.1.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.1.m1.1b"><ci id="S1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p1.1.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.1.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.1.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> is comparable to the number of observations <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.2.m2.1"><semantics id="S1.p1.2.m2.1a"><mi id="S1.p1.2.m2.1.1" xref="S1.p1.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.2.m2.1b"><ci id="S1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p1.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math> of the data <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite>. More generally, it is known that the amount of information lost when the sample estimator <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.3.m3.1"><semantics id="S1.p1.3.m3.1a"><mi id="S1.p1.3.m3.1.1" xref="S1.p1.3.m3.1.1.cmml">𝑬</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.3.m3.1b"><ci id="S1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p1.3.m3.1.1">𝑬</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.3.m3.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.3.m3.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math> is used to approximate the population covariance <math alttext="\bm{C}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.4.m4.1"><semantics id="S1.p1.4.m4.1a"><mi id="S1.p1.4.m4.1.1" xref="S1.p1.4.m4.1.1.cmml">𝑪</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.4.m4.1b"><ci id="S1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p1.4.m4.1.1">𝑪</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.4.m4.1c">\bm{C}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.4.m4.1d">bold_italic_C</annotation></semantics></math> depends only on <math alttext="q=\frac{n}{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.5.m5.1"><semantics id="S1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S1.p1.5.m5.1.1" xref="S1.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S1.p1.5.m5.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S1.p1.5.m5.1.1.1" xref="S1.p1.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S1.p1.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p1.5.m5.1.1.3.2" xref="S1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml">n</mi><mi id="S1.p1.5.m5.1.1.3.3" xref="S1.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml">t</mi></mfrac></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.5.m5.1b"><apply id="S1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p1.5.m5.1.1"><eq id="S1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.5.m5.1.1.1"></eq><ci id="S1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.5.m5.1.1.2">𝑞</ci><apply id="S1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.p1.5.m5.1.1.3"><divide id="S1.p1.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p1.5.m5.1.1.3"></divide><ci id="S1.p1.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p1.5.m5.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S1.p1.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S1.p1.5.m5.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.5.m5.1c">q=\frac{n}{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.5.m5.1d">italic_q = divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG italic_t end_ARG</annotation></semantics></math> for any population matrix with Gaussian data in the high-dimension setting <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib8" title="">8</a>]</cite>. The estimator coincides with the population when <math alttext="q=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.6.m6.1"><semantics id="S1.p1.6.m6.1a"><mrow id="S1.p1.6.m6.1.1" xref="S1.p1.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S1.p1.6.m6.1.1.2" xref="S1.p1.6.m6.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S1.p1.6.m6.1.1.1" xref="S1.p1.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.p1.6.m6.1.1.3" xref="S1.p1.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.6.m6.1b"><apply id="S1.p1.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p1.6.m6.1.1"><eq id="S1.p1.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S1.p1.6.m6.1.1.1"></eq><ci id="S1.p1.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S1.p1.6.m6.1.1.2">𝑞</ci><cn id="S1.p1.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p1.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.6.m6.1c">q=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.6.m6.1d">italic_q = 0</annotation></semantics></math>, then the larger is <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p1.7.m7.1"><semantics id="S1.p1.7.m7.1a"><mi id="S1.p1.7.m7.1.1" xref="S1.p1.7.m7.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p1.7.m7.1b"><ci id="S1.p1.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.p1.7.m7.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p1.7.m7.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p1.7.m7.1d">italic_q</annotation></semantics></math> the larger is the error <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib6" title="">6</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.5">To address the lack of robustness in the sample covariance estimator, researchers have extensively studied Rotational Invariant Estimators (RIE) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib10" title="">10</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib11" title="">11</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite>. Today, RIEs represent the most widely used approach for covariance cleaning. In simple terms, a RIE is built by maintaining the eigenvectors of the sample covariance and correcting the sample eigenvalues. The reasoning is that when no information is available on the direction of the eigenvectors of the population covariance matrix, one can assume that each basis of eigenvectors has the same probability of appearing, therefore one keeps the sample eigenvectors and focuses on estimating the eigenvalues such that it minimizes a function of choice such as the Mean Square Error (MSE) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>, the Kullback-Leibler divergence <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib13" title="">13</a>]</cite> or the Stein’s loss <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite>. In the last decades, many RIEs linked with Random Matrix Theory (RMT) were proposed to clean the noise of the sample estimator (see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite> and <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite> for a review). One of the first RMT methods for cleaning is known as eigenvalue clipping. This method suggests that all the eigenvalues outside the sharp limit <math alttext="(\lambda_{-},\lambda_{+})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.1.m1.2"><semantics id="S1.p2.1.m1.2a"><mrow id="S1.p2.1.m1.2.2.2" xref="S1.p2.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S1.p2.1.m1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S1.p2.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S1.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">−</mo></msub><mo id="S1.p2.1.m1.2.2.2.4" xref="S1.p2.1.m1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.3" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">+</mo></msub><mo id="S1.p2.1.m1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S1.p2.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.1.m1.2b"><interval closure="open" id="S1.p2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2"><apply id="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><minus id="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p2.1.m1.1.1.1.1.3"></minus></apply><apply id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.2">𝜆</ci><plus id="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S1.p2.1.m1.2.2.2.2.3"></plus></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.1.m1.2c">(\lambda_{-},\lambda_{+})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.1.m1.2d">( italic_λ start_POSTSUBSCRIPT - end_POSTSUBSCRIPT , italic_λ start_POSTSUBSCRIPT + end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> of the Marcenko-Pastur (MP) distribution should be kept, while the ones that fall within such limit should be regarded as noise and should be shrunk to a single average value <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib5" title="">5</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>. However, the limits of the MP distribution depend only on the measured aspect ratio <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.2.m2.1"><semantics id="S1.p2.2.m2.1a"><mi id="S1.p2.2.m2.1.1" xref="S1.p2.2.m2.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.2.m2.1b"><ci id="S1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p2.2.m2.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.2.m2.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.2.m2.1d">italic_q</annotation></semantics></math>, i.e., the size of the matrix <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.3.m3.1"><semantics id="S1.p2.3.m3.1a"><mi id="S1.p2.3.m3.1.1" xref="S1.p2.3.m3.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.3.m3.1b"><ci id="S1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p2.3.m3.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.3.m3.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.3.m3.1d">italic_n</annotation></semantics></math> divided by the number of data points <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.4.m4.1"><semantics id="S1.p2.4.m4.1a"><mi id="S1.p2.4.m4.1.1" xref="S1.p2.4.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.4.m4.1b"><ci id="S1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p2.4.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.4.m4.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.4.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. Notably, the measured aspect ratio is not always equal to the effective ratio that best fits the empirical spectral density to the MP distribution <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib5" title="">5</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite>. The other widely used method for cleaning covariance matrices is linear shrinkage. The idea is to linearly shrink the sample eigenvalues towards the identity <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib6" title="">6</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite>; although this approach works in many practical applications, it is theoretically justified only under some circumstances such as when the population covariance is a white inverse Wishart <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite>. More recently, the optimal shrinkage correction was analytically derived by Ledoit and Péché under certain assumptions, including the <math alttext="12" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p2.5.m5.1"><semantics id="S1.p2.5.m5.1a"><mn id="S1.p2.5.m5.1.1" xref="S1.p2.5.m5.1.1.cmml">12</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p2.5.m5.1b"><cn id="S1.p2.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p2.5.m5.1.1">12</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p2.5.m5.1c">12</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p2.5.m5.1d">12</annotation></semantics></math>th absolute central moment finite for the noise and stationary data <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>; however, the computation of this quantity from their equation was not straightforward. Numerical solutions, known as Non-Linear Shrinkage (NLS), were implemented and further developed by Ledoit and Wolf <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>, making it more practical to apply. The NLS, under the high-dimensional limit, converges to the oracle estimator, which is the ideal estimator that minimizes the MSE with the population covariance matrix. It is worth remarking that the direct estimation of the oracle is unattainable in practice since it relies on the knowledge of the population covariance matrix, which is unknown <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">In practical scenarios, where the data may not be Gaussian or stationary, alternative methods inspired by machine learning find their best regime of applicability. Techniques such as Cross-Validation (CV), some based on factor models <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib19" title="">19</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib20" title="">20</a>]</cite>, and others employing Bayesian methods with prior distributions for estimating the covariance matrix <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib21" title="">21</a>]</cite> can, in principle, outperform theoretically optimal methods, such as those derived by Ledoit and Péché, under these complex scenarios. However, there is no theoretical evidence to support this claim, as deriving analytical results for these methods is highly complex. To fix this gap, the focus of this work is specifically on covariance cleaning through CV.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.9">CV is one of the most widely used machine learning methods for model selection and evaluation and belongs to the family of Monte-Carlo methods (see <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib22" title="">22</a>]</cite> for a review of the main CV procedures). Its applications include a wide range of areas such as ecology <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib23" title="">23</a>]</cite>, medical imaging <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib24" title="">24</a>]</cite>, psychology <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib25" title="">25</a>]</cite>, and finance <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib26" title="">26</a>]</cite>, to quote a few. Part of the reason CV is widely used is because it almost needs no assumptions on the data, it helps reduce the risk of over-fitting for model selection and its efficiency is undoubtedly in practice <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib22" title="">22</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib26" title="">26</a>]</cite>. There are several CV procedures; however, the core principle of any of those involves dividing the dataset into separate training and testing subsets, also called in-sample and out-of-sample. The model is trained on the training subset and then evaluated on the testing subset. This process helps to assess how well the model generalizes to unseen data and is particularly useful to detect overfitting <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib27" title="">27</a>]</cite>. When overfitting occurs, the model may perform well on the training set but will show a noticeable drop in performance on the testing set. The most popular CV methods are the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.1.m1.1"><semantics id="S1.p4.1.m1.1a"><mi id="S1.p4.1.m1.1.1" xref="S1.p4.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.1.m1.1b"><ci id="S1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p4.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV, the Leave-One-Out (LOO) CV, which is a particular case of the former <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib22" title="">22</a>]</cite>, and the holdout, also called validation or simple cross-validation <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib22" title="">22</a>]</cite>. The holdout procedure consists of splitting a single time the data set into a train set and a test set. Therefore, this method consists of a single round of a <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.2.m2.1"><semantics id="S1.p4.2.m2.1a"><mi id="S1.p4.2.m2.1.1" xref="S1.p4.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.2.m2.1b"><ci id="S1.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p4.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV. The recommendation in the literature is to use <math alttext="10" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.3.m3.1"><semantics id="S1.p4.3.m3.1a"><mn id="S1.p4.3.m3.1.1" xref="S1.p4.3.m3.1.1.cmml">10</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.3.m3.1b"><cn id="S1.p4.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p4.3.m3.1.1">10</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.3.m3.1c">10</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.3.m3.1d">10</annotation></semantics></math> to <math alttext="30\%" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.4.m4.1"><semantics id="S1.p4.4.m4.1a"><mrow id="S1.p4.4.m4.1.1" xref="S1.p4.4.m4.1.1.cmml"><mn id="S1.p4.4.m4.1.1.2" xref="S1.p4.4.m4.1.1.2.cmml">30</mn><mo id="S1.p4.4.m4.1.1.1" xref="S1.p4.4.m4.1.1.1.cmml">%</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.4.m4.1b"><apply id="S1.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p4.4.m4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S1.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.4.m4.1.1.1">percent</csymbol><cn id="S1.p4.4.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S1.p4.4.m4.1.1.2">30</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.4.m4.1c">30\%</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.4.m4.1d">30 %</annotation></semantics></math> of the data points for the test set and the rest for the train set <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib22" title="">22</a>]</cite>. Differently from the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.5.m5.1"><semantics id="S1.p4.5.m5.1a"><mi id="S1.p4.5.m5.1.1" xref="S1.p4.5.m5.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.5.m5.1b"><ci id="S1.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p4.5.m5.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.5.m5.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.5.m5.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold and LOO CV, the holdout can respect the causality of time series if the train and test data are ordered and if the test data is chosen posterior to the train. Practitioners should choose their approach based on the system specificity and the estimation strategy they aim for. For example, the LOO CV is adequate for bias correction but has a very high variance. On the other hand, if stability is important, one can run a <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.6.m6.1"><semantics id="S1.p4.6.m6.1a"><mi id="S1.p4.6.m6.1.1" xref="S1.p4.6.m6.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.6.m6.1b"><ci id="S1.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p4.6.m6.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.6.m6.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.6.m6.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold procedure with a small k usually between <math alttext="5" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.7.m7.1"><semantics id="S1.p4.7.m7.1a"><mn id="S1.p4.7.m7.1.1" xref="S1.p4.7.m7.1.1.cmml">5</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.7.m7.1b"><cn id="S1.p4.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p4.7.m7.1.1">5</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.7.m7.1c">5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.7.m7.1d">5</annotation></semantics></math> and <math alttext="10" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.8.m8.1"><semantics id="S1.p4.8.m8.1a"><mn id="S1.p4.8.m8.1.1" xref="S1.p4.8.m8.1.1.cmml">10</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.8.m8.1b"><cn id="S1.p4.8.m8.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p4.8.m8.1.1">10</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.8.m8.1c">10</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.8.m8.1d">10</annotation></semantics></math>, with <math alttext="k=10" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p4.9.m9.1"><semantics id="S1.p4.9.m9.1a"><mrow id="S1.p4.9.m9.1.1" xref="S1.p4.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S1.p4.9.m9.1.1.2" xref="S1.p4.9.m9.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S1.p4.9.m9.1.1.1" xref="S1.p4.9.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S1.p4.9.m9.1.1.3" xref="S1.p4.9.m9.1.1.3.cmml">10</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p4.9.m9.1b"><apply id="S1.p4.9.m9.1.1.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1"><eq id="S1.p4.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1.1"></eq><ci id="S1.p4.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S1.p4.9.m9.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S1.p4.9.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S1.p4.9.m9.1.1.3">10</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p4.9.m9.1c">k=10</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p4.9.m9.1d">italic_k = 10</annotation></semantics></math> being the most common one <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib28" title="">28</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib29" title="">29</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib30" title="">30</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.8">A covariance cleaning approach inspired by CV was proposed in reference (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib31" title="">31</a>]</cite>), and some authors <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib32" title="">32</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib33" title="">33</a>]</cite> have guessed that this estimator should converge to the optimal covariance cleaning method in the high-dimensional setting <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib32" title="">32</a>]</cite>. Other authors claim that the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.1.m1.1"><semantics id="S1.p5.1.m1.1a"><mi id="S1.p5.1.m1.1.1" xref="S1.p5.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.1.m1.1b"><ci id="S1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p5.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV outperforms the NLS when applied to financial data <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib31" title="">31</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib34" title="">34</a>]</cite>. The flexibility of this numerical estimation allows for simple modifications such as including exponential smoothing in CV <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib26" title="">26</a>]</cite>, or pre-filtering the data using hierarchical clustering <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib35" title="">35</a>]</cite>. In its original formulation, a LOO CV was proposed <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib17" title="">17</a>]</cite>; however, reference (<cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib31" title="">31</a>]</cite>) reasoned that a <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.2.m2.1"><semantics id="S1.p5.2.m2.1a"><mi id="S1.p5.2.m2.1.1" xref="S1.p5.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.2.m2.1b"><ci id="S1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p5.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold would improve the estimation. The current procedure consists of dividing the dataset into <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.3.m3.1"><semantics id="S1.p5.3.m3.1a"><mi id="S1.p5.3.m3.1.1" xref="S1.p5.3.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.3.m3.1b"><ci id="S1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p5.3.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.3.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.3.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-folds and finding the average eigenvalue correction of the train eigenvalues to best fit the test set. Analogously to the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.4.m4.1"><semantics id="S1.p5.4.m4.1a"><mi id="S1.p5.4.m4.1.1" xref="S1.p5.4.m4.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.4.m4.1b"><ci id="S1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p5.4.m4.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.4.m4.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.4.m4.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold problem, as <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.5.m5.1"><semantics id="S1.p5.5.m5.1a"><mi id="S1.p5.5.m5.1.1" xref="S1.p5.5.m5.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.5.m5.1b"><ci id="S1.p5.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p5.5.m5.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.5.m5.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.5.m5.1d">italic_k</annotation></semantics></math> increases, the train set becomes larger, but the test set shrinks, leading to a higher generalization variance. Finding the optimal way to split the data is challenging, especially because the underlying theory is not well understood. In the literature, the recommendation is again to use <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.6.m6.1"><semantics id="S1.p5.6.m6.1a"><mi id="S1.p5.6.m6.1.1" xref="S1.p5.6.m6.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.6.m6.1b"><ci id="S1.p5.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p5.6.m6.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.6.m6.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.6.m6.1d">italic_k</annotation></semantics></math> between <math alttext="5" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.7.m7.1"><semantics id="S1.p5.7.m7.1a"><mn id="S1.p5.7.m7.1.1" xref="S1.p5.7.m7.1.1.cmml">5</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.7.m7.1b"><cn id="S1.p5.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p5.7.m7.1.1">5</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.7.m7.1c">5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.7.m7.1d">5</annotation></semantics></math> and <math alttext="10" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p5.8.m8.1"><semantics id="S1.p5.8.m8.1a"><mn id="S1.p5.8.m8.1.1" xref="S1.p5.8.m8.1.1.cmml">10</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p5.8.m8.1b"><cn id="S1.p5.8.m8.1.1.cmml" type="integer" xref="S1.p5.8.m8.1.1">10</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p5.8.m8.1c">10</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p5.8.m8.1d">10</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib31" title="">31</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib32" title="">32</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib26" title="">26</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.4">In this paper, we present the first step toward gaining a better understanding of the performance of CV for large covariance matrix estimation using random matrix theory tools. We compute the element-wise MSE between the estimator and the population covariance of a single round for a <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.1.m1.1"><semantics id="S1.p6.1.m1.1a"><mi id="S1.p6.1.m1.1.1" xref="S1.p6.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.1.m1.1b"><ci id="S1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p6.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV, which coincides with the Frobenius error of the holdout estimator. For the general case, the error requires numerical approximations <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>. To carry on this estimation analytically, instead, we assume a white inverse Wishart distributed population covariances. When the population covariance is an inverse Wishart, both the Bayesian estimator and linear shrinkage coincide with the oracle <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib36" title="">36</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib37" title="">37</a>]</cite>. We believe that studying the holdout method is a necessary step to understand the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.2.m2.1"><semantics id="S1.p6.2.m2.1a"><mi id="S1.p6.2.m2.1.1" xref="S1.p6.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.2.m2.1b"><ci id="S1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p6.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV better. Furthermore, while the holdout method may be less efficient than <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.3.m3.1"><semantics id="S1.p6.3.m3.1a"><mi id="S1.p6.3.m3.1.1" xref="S1.p6.3.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.3.m3.1b"><ci id="S1.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p6.3.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.3.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.3.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV on stationary data, its capacity to preserve temporal order makes it particularly useful for many practical applications involving non-stationary data, where <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p6.4.m4.1"><semantics id="S1.p6.4.m4.1a"><mi id="S1.p6.4.m4.1.1" xref="S1.p6.4.m4.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p6.4.m4.1b"><ci id="S1.p6.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p6.4.m4.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p6.4.m4.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p6.4.m4.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV often falls short <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib38" title="">38</a>]</cite>. Therefore, in this paper, we focus on the computation of the error of the holdout estimator, deriving an analytical expression in the white inverse Wishart case. Furthermore, this result allows us to find the optimal split between the train and test sets that minimizes the Frobenius error.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.p7.1">This paper is organized as follows: in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2" title="2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, we set the definitions, in Section <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3" title="3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>, we derive analytically the expected Frobenius error of the holdout estimator of for the general case and for a white inverse Wishart population covariance and Gaussian data as well as the optimal split that minimizes the holdout error. Then we compare the error of the holdout estimator with the error of the oracle estimator.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">2 </span>Definitions</h2> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.1 </span>Multivariate Distributions</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p1.1">In this section, we introduce the fundamental concepts related to covariance matrix estimation using samples drawn from a multivariate normal distribution. We begin by defining the Wishart distribution and its relationship to the sample covariance matrix, which serves as the maximum likelihood estimator under normality assumptions.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition1.1.1.1">Definition 2.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmdefinition1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition1.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7">Let <math alttext="\bm{x}\in\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">n</mi></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1"><in id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝐱</ci><apply id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1c">\bm{x}\in\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition1.p1.1.1.m1.1d">bold_italic_x ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be a random vector following a multivariate normal distribution with zero mean and population covariance matrix <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition1.p1.2.2.m2.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math>, denoted as <math alttext="\bm{x}\sim\mathcal{N}(\bm{0},\bm{\Sigma})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2"><semantics id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml">𝐱</mi><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">∼</mo><mrow id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.3.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">𝟎</mn><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.3.2.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.2.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2b"><apply id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.1">similar-to</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.2">𝐱</ci><apply id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3"><times id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.1"></times><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.2">𝒩</ci><interval closure="open" id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.3.3.3.2"><cn id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.1.1">0</cn><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2.2">𝚺</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2c">\bm{x}\sim\mathcal{N}(\bm{0},\bm{\Sigma})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition1.p1.3.3.m3.2d">bold_italic_x ∼ caligraphic_N ( bold_0 , bold_Σ )</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="\bm{x}_{1},\dots,\bm{x}_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3"><semantics id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3a"><mrow id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml"><msub id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.2.2.1.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.3" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.4" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3b"><list id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2"><apply id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.1.1">…</ci><apply id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.2">𝐱</ci><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3.3.2.2.3">𝑡</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3c">\bm{x}_{1},\dots,\bm{x}_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition1.p1.4.4.m4.3d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S2.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1a"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1b"><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition1.p1.5.5.m5.1d">italic_t</annotation></semantics></math> independent and identically distributed (i.i.d.) observations of <math alttext="\bm{x}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S2.Thmdefinition1.p1.6.6.m6.1a"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.6.6.m6.1.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.6.6.m6.1.1.cmml">𝐱</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition1.p1.6.6.m6.1b"><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.6.6.m6.1.1">𝐱</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition1.p1.6.6.m6.1c">\bm{x}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition1.p1.6.6.m6.1d">bold_italic_x</annotation></semantics></math>. The data matrix <math alttext="\bm{X}\in\mathbb{R}^{n\times t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.2" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.3" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1b"><apply id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1"><in id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.1"></in><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.2">𝐗</ci><apply id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3"><times id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1c">\bm{X}\in\mathbb{R}^{n\times t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition1.p1.7.7.m7.1d">bold_italic_X ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is formed by concatenating these observations</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{X}=\{\bm{x}_{1},\bm{x}_{2},\cdots,\bm{x}_{t}\}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E1.m1.2"><semantics id="S2.E1.m1.2a"><mrow id="S2.E1.m1.2.2.1" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.2.2.1.1" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1.5" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.5.cmml">𝑿</mi><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.4" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.4.cmml"><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.4" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">{</mo><msub id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mn id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.5" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">,</mo><msub id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml">𝒙</mi><mn id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.6" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.E1.m1.1.1.cmml">⋯</mi><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.7" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">,</mo><msub id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.3" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.8" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.4.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.m1.2b"><apply id="S2.E1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1"><eq id="S2.E1.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.4"></eq><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.5">𝑿</ci><set id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3"><apply id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><cn id="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.2">𝒙</ci><cn id="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.2.2.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.E1.m1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1">⋯</ci><apply id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.2">𝒙</ci><ci id="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.1.1.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.m1.2c">\bm{X}=\{\bm{x}_{1},\bm{x}_{2},\cdots,\bm{x}_{t}\}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.m1.2d">bold_italic_X = { bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , ⋯ , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT } .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition2.1.1.1">Definition 2.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmdefinition2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition2.p1.1.1">The sample covariance matrix <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition2.p1.1.1.m1.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math> is defined as</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{E}=\frac{1}{t}\bm{X}\bm{X}^{\top}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E2.m1.1"><semantics id="S2.E2.m1.1a"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.cmml">𝑬</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></mfrac><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝑿</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">𝑿</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">⊤</mo></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.m1.1b"><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1"><eq id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2">𝑬</ci><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2"><divide id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2"></divide><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.3">𝑿</ci><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.4.2">𝑿</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.4.3">top</csymbol></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.m1.1c">\bm{E}=\frac{1}{t}\bm{X}\bm{X}^{\top}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.m1.1d">bold_italic_E = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_t end_ARG bold_italic_X bold_italic_X start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p2.2">Under the assumption of normally distributed data, <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p2.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml">𝑬</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.1.m1.1.1">𝑬</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.1.m1.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.1.m1.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math> is the maximum likelihood estimator of the population covariance matrix <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.p2.2.m2.1a"><mi id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p2.2.m2.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p2.2.m2.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p2.2.m2.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib39" title="">39</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_property" id="S2.Thmproperty1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmproperty1.1.1.1">Property 2.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmproperty1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmproperty1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmproperty1.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmproperty1.p1.3.3">If <math alttext="\bm{x}_{1},\dots,\bm{x}_{t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3"><semantics id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml"><msub id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.2.2.1.1" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.3" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.4" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.2" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.3" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml">t</mi></msub></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3b"><list id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2"><apply id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.2.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.2.2.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2">𝐱</ci><ci id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3.3.2.2.3">𝑡</ci></apply></list></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3c">\bm{x}_{1},\dots,\bm{x}_{t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty1.p1.1.1.m1.3d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> are i.i.d. samples from <math alttext="\mathcal{N}(\bm{0},\bm{\Sigma})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2"><semantics id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3" xref="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.2" xref="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.1" xref="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.3.2" xref="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝟎</mn><mo id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.2" xref="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.2.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2b"><apply id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3"><times id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.1"></times><ci id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.2">𝒩</ci><interval closure="open" id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.3.3.2"><cn id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.1.1">0</cn><ci id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2.2">𝚺</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2c">\mathcal{N}(\bm{0},\bm{\Sigma})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty1.p1.2.2.m2.2d">caligraphic_N ( bold_0 , bold_Σ )</annotation></semantics></math>, then the sample covariance matrix <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmproperty1.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S2.Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty1.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S2.Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.3.3.m3.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty1.p1.3.3.m3.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty1.p1.3.3.m3.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math> follows a scaled Wishart distribution:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{E}\sim\frac{1}{t}\mathcal{W}_{n}(t,\bm{\Sigma})," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E3.m1.3"><semantics id="S2.E3.m1.3a"><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.cmml">𝑬</mi><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></mfrac><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">𝒲</mi><mi id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.1a" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4.1.cmml"><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E3.m1.1.1" xref="S2.E3.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4.2.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E3.m1.2.2" xref="S2.E3.m1.2.2.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4.2.3" stretchy="false" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E3.m1.3.3.1.2" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E3.m1.3b"><apply id="S2.E3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E3.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S2.E3.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.2">𝑬</ci><apply id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3"><times id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.2"><divide id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.2"></divide><cn id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><apply id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.2">𝒲</ci><ci id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E3.m1.3.3.1.1.3.4.2"><ci id="S2.E3.m1.1.1.cmml" xref="S2.E3.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S2.E3.m1.2.2.cmml" xref="S2.E3.m1.2.2">𝚺</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E3.m1.3c">\bm{E}\sim\frac{1}{t}\mathcal{W}_{n}(t,\bm{\Sigma}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E3.m1.3d">bold_italic_E ∼ divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_t end_ARG caligraphic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , bold_Σ ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.Thmproperty1.p1.6"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmproperty1.p1.6.3">where <math alttext="\mathcal{W}_{n}(t,\bm{\Sigma})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2"><semantics id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2a"><mrow id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.cmml"><msub id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.2" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.2.2" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.2.2.cmml">𝒲</mi><mi id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.2.3" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.1" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.3.2" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.1.1" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.2" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.2.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2b"><apply id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3"><times id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.1"></times><apply id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.2.2">𝒲</ci><ci id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.2.3">𝑛</ci></apply><interval closure="open" id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.3.3.2"><ci id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2.2">𝚺</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2c">\mathcal{W}_{n}(t,\bm{\Sigma})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty1.p1.4.1.m1.2d">caligraphic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , bold_Σ )</annotation></semantics></math> denotes the Wishart distribution with <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty1.p1.5.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmproperty1.p1.5.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmproperty1.p1.5.2.m2.1.1" xref="S2.Thmproperty1.p1.5.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty1.p1.5.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmproperty1.p1.5.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.5.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty1.p1.5.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty1.p1.5.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math> degrees of freedom and scale matrix <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty1.p1.6.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmproperty1.p1.6.3.m3.1a"><mi id="S2.Thmproperty1.p1.6.3.m3.1.1" xref="S2.Thmproperty1.p1.6.3.m3.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty1.p1.6.3.m3.1b"><ci id="S2.Thmproperty1.p1.6.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty1.p1.6.3.m3.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty1.p1.6.3.m3.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty1.p1.6.3.m3.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math>.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition3.1.1.1">Definition 2.3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmdefinition3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition3.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition3.p1.3.3">The high-dimensional limit refers to the asymptotic regime where both <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition3.p1.1.1.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> and <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition3.p1.2.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math> tend to infinity while the aspect ratio <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S2.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S2.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition3.p1.3.3.m3.1d">italic_q</annotation></semantics></math> remains fixed</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="n,t\to\infty\quad\text{with}\quad q=\frac{n}{t}\quad\text{fixed}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E4.m1.6"><semantics id="S2.E4.m1.6a"><mrow id="S2.E4.m1.6.6.1"><mrow id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S2.E4.m1.1.1" xref="S2.E4.m1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E4.m1.2.2" xref="S2.E4.m1.2.2.cmml">t</mi></mrow><mo id="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><mspace id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.3" width="1em" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E4.m1.3.3" xref="S2.E4.m1.3.3a.cmml">with</mtext><mspace id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2.2.1" width="1em" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml"></mspace><mi id="S2.E4.m1.4.4" xref="S2.E4.m1.4.4.cmml">q</mi></mrow><mo id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mfrac id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.cmml">n</mi><mi id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.cmml">t</mi></mfrac></mrow><mspace id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.4" width="1em" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.3a.cmml"></mspace><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E4.m1.5.5" xref="S2.E4.m1.5.5a.cmml">fixed</mtext></mrow><mo id="S2.E4.m1.6.6.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E4.m1.6b"><apply id="S2.E4.m1.6.6.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E4.m1.6.6.1.1.3a.cmml" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1"><ci id="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.1">→</ci><list id="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.2.2"><ci id="S2.E4.m1.1.1.cmml" xref="S2.E4.m1.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.E4.m1.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.2.2">𝑡</ci></list><infinity id="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.1.1.3"></infinity></apply><apply id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2"><eq id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.1"></eq><list id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.2.2"><ci id="S2.E4.m1.3.3a.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E4.m1.3.3.cmml" xref="S2.E4.m1.3.3">with</mtext></ci><ci id="S2.E4.m1.4.4.cmml" xref="S2.E4.m1.4.4">𝑞</ci></list><apply id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3"><divide id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3"></divide><ci id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S2.E4.m1.6.6.1.1.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><ci id="S2.E4.m1.5.5a.cmml" xref="S2.E4.m1.5.5"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E4.m1.5.5.cmml" xref="S2.E4.m1.5.5">fixed</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E4.m1.6c">n,t\to\infty\quad\text{with}\quad q=\frac{n}{t}\quad\text{fixed}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E4.m1.6d">italic_n , italic_t → ∞ with italic_q = divide start_ARG italic_n end_ARG start_ARG italic_t end_ARG fixed .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p3.1">Next, we introduce the inverse Wishart distribution, which is the distribution of the inverse of a Wishart-distributed matrix. We define the white inverse Wishart distribution and its scaled version, which will be used as the model for the population covariance matrix in our analysis.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition4.1.1.1">Definition 2.4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmdefinition4.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition4.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition4.p1.5.5">Let <math alttext="\bm{W}\sim\mathcal{W}_{n}(t^{*},\bm{\Psi})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2"><semantics id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml">𝐖</mi><mo id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.2.cmml">∼</mo><mrow id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.cmml"><msub id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.3" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.3.2" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.3.2.cmml">𝒲</mi><mi id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.3.3" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.3.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.2" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><msup id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝚿</mi><mo id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2b"><apply id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.2">similar-to</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.3">𝐖</ci><apply id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1"><times id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.3.2">𝒲</ci><ci id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.3.3">𝑛</ci></apply><interval closure="open" id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1"><apply id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">𝑡</ci><times id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.3"></times></apply><ci id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.1.1">𝚿</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2c">\bm{W}\sim\mathcal{W}_{n}(t^{*},\bm{\Psi})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition4.p1.1.1.m1.2d">bold_italic_W ∼ caligraphic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_Ψ )</annotation></semantics></math> be a Wishart-distributed random matrix with <math alttext="t^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1a"><msup id="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><times id="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1.1.3"></times></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1c">t^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition4.p1.2.2.m2.1d">italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> degrees of freedom and scale matrix <math alttext="\bm{\Psi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S2.Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1.1.cmml">𝚿</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S2.Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1.1">𝚿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1c">\bm{\Psi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition4.p1.3.3.m3.1d">bold_Ψ</annotation></semantics></math>. If <math alttext="t^{*}>n-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><msup id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.2.2" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.2.3" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">></mo><mrow id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3.2" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3.1" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3.3" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1"><gt id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.1"></gt><apply id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.2.2">𝑡</ci><times id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3"><minus id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3.1"></minus><ci id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1c">t^{*}>n-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition4.p1.4.4.m4.1d">italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT > italic_n - 1</annotation></semantics></math>, the inverse of <math alttext="\bm{W}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition4.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S2.Thmdefinition4.p1.5.5.m5.1a"><mi id="S2.Thmdefinition4.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmdefinition4.p1.5.5.m5.1.1.cmml">𝐖</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition4.p1.5.5.m5.1b"><ci id="S2.Thmdefinition4.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition4.p1.5.5.m5.1.1">𝐖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition4.p1.5.5.m5.1c">\bm{W}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition4.p1.5.5.m5.1d">bold_italic_W</annotation></semantics></math> follows an inverse Wishart distribution, denoted as</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\Sigma}=\bm{W}^{-1}\sim\textrm{Inv-}\mathcal{W}_{n}(t^{*},\bm{\Psi}^{-1})." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E5.m1.1"><semantics id="S2.E5.m1.1a"><mrow id="S2.E5.m1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E5.m1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E5.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.4.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.5" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><msup id="S2.E5.m1.1.1.1.1.6" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.cmml"><mi id="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.2.cmml">𝑾</mi><mrow id="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.3.cmml"><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.3a" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.3.cmml">−</mo><mn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.3.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.7" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.7.cmml">∼</mo><mrow id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.4a.cmml">Inv-</mtext><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.5" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">𝒲</mi><mi id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msup id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3a" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E5.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E5.m1.1b"><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1"><and id="S2.E5.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1"></and><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1"><eq id="S2.E5.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.5"></eq><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.4">𝚺</ci><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.6">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.2">𝑾</ci><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.3"><minus id="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.3"></minus><cn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.6.3.2">1</cn></apply></apply></apply><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.7">similar-to</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.E5.m1.1.1.1.1.6.cmml" id="S2.E5.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1"></share><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.3"></times><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.4a.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.4"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.4">Inv-</mtext></ci><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.5">subscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.5.2">𝒲</ci><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.5.3">𝑛</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><times id="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝚿</ci><apply id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><minus id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"></minus><cn id="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E5.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.2">1</cn></apply></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E5.m1.1c">\bm{\Sigma}=\bm{W}^{-1}\sim\textrm{Inv-}\mathcal{W}_{n}(t^{*},\bm{\Psi}^{-1}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E5.m1.1d">bold_Σ = bold_italic_W start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ∼ Inv- caligraphic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_Ψ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition5.1.1.1">Definition 2.5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmdefinition5.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition5.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3">A white inverse Wishart distribution is an inverse Wishart distribution where the scale matrix is proportional to the identity matrix, i.e., <math alttext="\bm{\Psi}=\psi\bm{\mathds{1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">𝚿</mi><mo id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mn id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">𝟙</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1"><eq id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.2">𝚿</ci><apply id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3"><times id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝜓</ci><cn id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1c">\bm{\Psi}=\psi\bm{\mathds{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition5.p1.1.1.m1.1d">bold_Ψ = italic_ψ blackboard_bold_1</annotation></semantics></math> for some scalar <math alttext="\psi>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">ψ</mi><mo id="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1"><gt id="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.1"></gt><ci id="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.2">𝜓</ci><cn id="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1c">\psi>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition5.p1.2.2.m2.1d">italic_ψ > 0</annotation></semantics></math>. In this case, the inverse Wishart-distributed matrix <math alttext="\bm{\Sigma}\sim\textrm{Inv-}\mathcal{W}_{n}^{-1}(t^{*},\psi^{-1}\bm{\mathds{1}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2"><semantics id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.4.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml">∼</mo><mrow id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.4a.cmml">Inv-</mtext><mo id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.2.2" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.2.2.cmml">𝒲</mi><mi id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.2.3" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.2.3.cmml">n</mi><mrow id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.3" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.3a" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.3.cmml">−</mo><mn id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.3.2" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.3a" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml"><msup id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ψ</mi><mrow id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3a" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">−</mo><mn id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msup><mo id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.1" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mn id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.cmml">𝟙</mn></mrow><mo id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2b"><apply id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.3">similar-to</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.4">𝚺</ci><apply id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2"><times id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.3"></times><ci id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.4a.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.4"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.4">Inv-</mtext></ci><apply id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5">superscript</csymbol><apply id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.2.2">𝒲</ci><ci id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.3"><minus id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.3"></minus><cn id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.5.3.2">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2"><apply id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><times id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><apply id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2"><times id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.1"></times><apply id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.2">𝜓</ci><apply id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3"><minus id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3"></minus><cn id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.2.3.2">1</cn></apply></apply><cn id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2c">\bm{\Sigma}\sim\textrm{Inv-}\mathcal{W}_{n}^{-1}(t^{*},\psi^{-1}\bm{\mathds{1}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition5.p1.3.3.m3.2d">bold_Σ ∼ Inv- caligraphic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , italic_ψ start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT blackboard_bold_1 )</annotation></semantics></math> is called white because its expected value is proportional to the identity matrix.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p4.1">To ensure that the expected value of <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p4.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p4.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p4.1.m1.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p4.1.m1.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p4.1.m1.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> is the identity matrix, we choose the scale parameter appropriately.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="S2.Thmlemma1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmlemma1.1.1.1">Lemma 2.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmlemma1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmlemma1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmlemma1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmlemma1.p1.2.2">Let <math alttext="\bm{\Sigma}\sim\mathcal{W}_{n}^{-1}(t^{*},(t^{*}-n-1)\bm{\mathds{1}})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2"><semantics id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2a"><mrow id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.4" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.4.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.3" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml">∼</mo><mrow id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.cmml"><msubsup id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2.2" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2.2.cmml">𝒲</mi><mi id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2.3" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2.3.cmml">n</mi><mrow id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3.cmml"><mo id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3a" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3.cmml">−</mo><mn id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3.2" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.3" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1a" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.4" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mn id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">𝟙</mn></mrow><mo id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2b"><apply id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.3">similar-to</csymbol><ci id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.4">𝚺</ci><apply id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2"><times id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.1.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4">superscript</csymbol><apply id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2.1.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2.2.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2.2">𝒲</ci><ci id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2.3.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3"><minus id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3.1.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3"></minus><cn id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.4.3.2">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2"><apply id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><times id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><apply id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2"><times id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1"><minus id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑡</ci><times id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑛</ci><cn id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.4">1</cn></apply><cn id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2c">\bm{\Sigma}\sim\mathcal{W}_{n}^{-1}(t^{*},(t^{*}-n-1)\bm{\mathds{1}})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmlemma1.p1.1.1.m1.2d">bold_Σ ∼ caligraphic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_n - 1 ) blackboard_bold_1 )</annotation></semantics></math> with <math alttext="t^{*}>n+1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><msup id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.2.2" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.2.3" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mrow id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.1" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mn id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1"><gt id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.1"></gt><apply id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.2.2">𝑡</ci><times id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3"><plus id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.1"></plus><ci id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1.1.3.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1c">t^{*}>n+1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmlemma1.p1.2.2.m2.1d">italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT > italic_n + 1</annotation></semantics></math>. Then</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}[\bm{\Sigma}]=\bm{\mathds{1}}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E6.m1.2"><semantics id="S2.E6.m1.2a"><mrow id="S2.E6.m1.2.2.1" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.2.2.1.1" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E6.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">𝔼</mi><mo id="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S2.E6.m1.1.1" xref="S2.E6.m1.1.1.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E6.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E6.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.3.cmml">𝟙</mn></mrow><mo id="S2.E6.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E6.m1.2b"><apply id="S2.E6.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2.1"><eq id="S2.E6.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.2"><times id="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.2">𝔼</ci><apply id="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S2.E6.m1.1.1.cmml" xref="S2.E6.m1.1.1">𝚺</ci></apply></apply><cn id="S2.E6.m1.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E6.m1.2.2.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E6.m1.2c">\mathbb{E}[\bm{\Sigma}]=\bm{\mathds{1}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E6.m1.2d">blackboard_E [ bold_Σ ] = blackboard_bold_1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S2.SS1.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.1.p1.3">The expected value of an inverse Wishart-distributed matrix is given by</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}[\bm{\Sigma}]=\frac{\bm{\Psi}}{t^{*}-n-1}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E7.m1.2"><semantics id="S2.E7.m1.2a"><mrow id="S2.E7.m1.2.2.1" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7.m1.2.2.1.1" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E7.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml">𝔼</mi><mo id="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.1" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.3.2" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S2.E7.m1.1.1" xref="S2.E7.m1.1.1.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E7.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">𝚿</mi><mrow id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><msup id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.3" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml">n</mi><mo id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.1a" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.4" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.4.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mrow><mo id="S2.E7.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E7.m1.2b"><apply id="S2.E7.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1"><eq id="S2.E7.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.1"></eq><apply id="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.2"><times id="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.1"></times><ci id="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.2">𝔼</ci><apply id="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S2.E7.m1.1.1.cmml" xref="S2.E7.m1.1.1">𝚺</ci></apply></apply><apply id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3"><divide id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3"></divide><ci id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.2">𝚿</ci><apply id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3"><minus id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.1"></minus><apply id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2.2">𝑡</ci><times id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.2.3"></times></apply><ci id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.3">𝑛</ci><cn id="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.4.cmml" type="integer" xref="S2.E7.m1.2.2.1.1.3.3.4">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E7.m1.2c">\mathbb{E}[\bm{\Sigma}]=\frac{\bm{\Psi}}{t^{*}-n-1}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E7.m1.2d">blackboard_E [ bold_Σ ] = divide start_ARG bold_Ψ end_ARG start_ARG italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_n - 1 end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.1.p1.2">By setting <math alttext="\bm{\Psi}=(t^{*}-n-1)\bm{\mathds{1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">𝚿</mi><mo id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.2" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mn id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.3" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml">𝟙</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1"><eq id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.2"></eq><ci id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.3">𝚿</ci><apply id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1"><times id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑡</ci><times id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci><cn id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.4">1</cn></apply><cn id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.1.p1.1.m1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1c">\bm{\Psi}=(t^{*}-n-1)\bm{\mathds{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.1.p1.1.m1.1d">bold_Ψ = ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_n - 1 ) blackboard_bold_1</annotation></semantics></math>, we obtain <math alttext="\mathbb{E}[\bm{\Sigma}]=\bm{\mathds{1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.cmml"><mrow id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.2" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml">𝔼</mi><mo id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.1" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.3.2" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.1.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.1" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.1.cmml">=</mo><mn id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.3" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.3.cmml">𝟙</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1b"><apply id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2"><eq id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.1"></eq><apply id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2"><times id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.1"></times><ci id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.2">𝔼</ci><apply id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.1">𝚺</ci></apply></apply><cn id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS1.1.p1.2.m2.1.2.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1c">\mathbb{E}[\bm{\Sigma}]=\bm{\mathds{1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.1.p1.2.m2.1d">blackboard_E [ bold_Σ ] = blackboard_bold_1</annotation></semantics></math>. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p5.1">This choice of scaling ensures that the population covariance matrix <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p5.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p5.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p5.1.m1.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p5.1.m1.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p5.1.m1.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> has an expected value equal to the identity matrix, making it a convenient model for theoretical analysis.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p6.1">To simplify the notation we define the following parametrization of the white inverse Wishart.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition6"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition6.1.1.1">Definition 2.6</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition6.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmdefinition6.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition6.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2">Let <math alttext="q^{*}=n/t^{*}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><msup id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.2.2" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.2.3" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><msup id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">∗</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1"><eq id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.2.2">𝑞</ci><times id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3"><divide id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.1"></divide><ci id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑛</ci><apply id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><times id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3"></times></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1c">q^{*}=n/t^{*}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition6.p1.1.1.m1.1d">italic_q start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = italic_n / italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="p=q^{*}/(1-q^{*})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml"><msup id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mo id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.3.3" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.2.cmml">/</mo><mrow id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mo id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">∗</mo></msup></mrow><mo id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1"><eq id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.2"></eq><ci id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1"><divide id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.2"></divide><apply id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.3.2">𝑞</ci><times id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.3.3"></times></apply><apply id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1"><minus id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑞</ci><times id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1.1.1.1.1.1.3.3"></times></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1c">p=q^{*}/(1-q^{*})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition6.p1.2.2.m2.1d">italic_p = italic_q start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT / ( 1 - italic_q start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>, then we refer to</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\Sigma}\sim\mathcal{W}^{-1}_{np}=\textrm{Inv-}\mathcal{W}_{n}(t^{*},(t^{*}% -n-1)\mathds{1})" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E8.m1.2"><semantics id="S2.E8.m1.2a"><mrow id="S2.E8.m1.2.2" xref="S2.E8.m1.2.2.cmml"><mi id="S2.E8.m1.2.2.4" xref="S2.E8.m1.2.2.4.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.E8.m1.2.2.5" xref="S2.E8.m1.2.2.5.cmml">∼</mo><msubsup id="S2.E8.m1.2.2.6" xref="S2.E8.m1.2.2.6.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.m1.2.2.6.2.2" xref="S2.E8.m1.2.2.6.2.2.cmml">𝒲</mi><mrow id="S2.E8.m1.2.2.6.3" xref="S2.E8.m1.2.2.6.3.cmml"><mi id="S2.E8.m1.2.2.6.3.2" xref="S2.E8.m1.2.2.6.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E8.m1.2.2.6.3.1" xref="S2.E8.m1.2.2.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E8.m1.2.2.6.3.3" xref="S2.E8.m1.2.2.6.3.3.cmml">p</mi></mrow><mrow id="S2.E8.m1.2.2.6.2.3" xref="S2.E8.m1.2.2.6.2.3.cmml"><mo id="S2.E8.m1.2.2.6.2.3a" xref="S2.E8.m1.2.2.6.2.3.cmml">−</mo><mn id="S2.E8.m1.2.2.6.2.3.2" xref="S2.E8.m1.2.2.6.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup><mo id="S2.E8.m1.2.2.7" xref="S2.E8.m1.2.2.7.cmml">=</mo><mrow id="S2.E8.m1.2.2.2" xref="S2.E8.m1.2.2.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E8.m1.2.2.2.4" xref="S2.E8.m1.2.2.2.4a.cmml">Inv-</mtext><mo id="S2.E8.m1.2.2.2.3" xref="S2.E8.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E8.m1.2.2.2.5" xref="S2.E8.m1.2.2.2.5.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E8.m1.2.2.2.5.2" xref="S2.E8.m1.2.2.2.5.2.cmml">𝒲</mi><mi id="S2.E8.m1.2.2.2.5.3" xref="S2.E8.m1.2.2.2.5.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S2.E8.m1.2.2.2.3a" xref="S2.E8.m1.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><mrow id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">n</mi><mo id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1a" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.4" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml">1</mn></mrow><mo id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mn id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">𝟙</mn></mrow><mo id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E8.m1.2b"><apply id="S2.E8.m1.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2"><and id="S2.E8.m1.2.2a.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2"></and><apply id="S2.E8.m1.2.2b.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.E8.m1.2.2.5.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.5">similar-to</csymbol><ci id="S2.E8.m1.2.2.4.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.4">𝚺</ci><apply id="S2.E8.m1.2.2.6.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.2.2.6.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.6">subscript</csymbol><apply id="S2.E8.m1.2.2.6.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.2.2.6.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.6">superscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.2.2.6.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.6.2.2">𝒲</ci><apply id="S2.E8.m1.2.2.6.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.6.2.3"><minus id="S2.E8.m1.2.2.6.2.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.6.2.3"></minus><cn id="S2.E8.m1.2.2.6.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.2.2.6.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S2.E8.m1.2.2.6.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.6.3"><times id="S2.E8.m1.2.2.6.3.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.6.3.1"></times><ci id="S2.E8.m1.2.2.6.3.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.6.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.E8.m1.2.2.6.3.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.6.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E8.m1.2.2c.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2"><eq id="S2.E8.m1.2.2.7.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.E8.m1.2.2.6.cmml" id="S2.E8.m1.2.2d.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2"></share><apply id="S2.E8.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2"><times id="S2.E8.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.3"></times><ci id="S2.E8.m1.2.2.2.4a.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.4"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E8.m1.2.2.2.4.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.4">Inv-</mtext></ci><apply id="S2.E8.m1.2.2.2.5.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.2.2.2.5.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.5">subscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.2.2.2.5.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.5.2">𝒲</ci><ci id="S2.E8.m1.2.2.2.5.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.5.3">𝑛</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E8.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2"><apply id="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><times id="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.1.1.1.1.1.1.3"></times></apply><apply id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2"><times id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1"><minus id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2">𝑡</ci><times id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3"></times></apply><ci id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.3">𝑛</ci><cn id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.4.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.4">1</cn></apply><cn id="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E8.m1.2.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E8.m1.2c">\bm{\Sigma}\sim\mathcal{W}^{-1}_{np}=\textrm{Inv-}\mathcal{W}_{n}(t^{*},(t^{*}% -n-1)\mathds{1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E8.m1.2d">bold_Σ ∼ caligraphic_W start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_n italic_p end_POSTSUBSCRIPT = Inv- caligraphic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , ( italic_t start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT - italic_n - 1 ) blackboard_1 )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.p7.1">In this work, we will use the white inverse Wishart distribution as the model for the population covariance matrix <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.p7.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.p7.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.p7.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.p7.1.m1.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.p7.1.m1.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.p7.1.m1.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> of multivariate normal distributed data defined in definition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmdefinition1" title="Definition 2.1. ‣ 2.1 Multivariate Distributions ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a>).</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS1.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">2.1.1 </span>Estimation of Parameters</h4> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS1.p1.1">We now discuss how to estimate parameters related to the covariance matrices, particularly focusing on the trace and the normalized trace of their powers.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition7"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition7.1.1.1">Definition 2.7</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition7.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmdefinition7.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition7.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1">The normalized trace of a matrix <math alttext="\bm{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">𝐀</mi><mo id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1"><in id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.1"></in><ci id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.2">𝐀</ci><apply id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3"><times id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1c">\bm{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition7.p1.1.1.m1.1d">bold_italic_A ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is defined as</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tau(\bm{A})=\frac{1}{n}\textrm{Tr}(\bm{A})" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E9.m1.2"><semantics id="S2.E9.m1.2a"><mrow id="S2.E9.m1.2.3" xref="S2.E9.m1.2.3.cmml"><mrow id="S2.E9.m1.2.3.2" xref="S2.E9.m1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E9.m1.2.3.2.2" xref="S2.E9.m1.2.3.2.2.cmml">τ</mi><mo id="S2.E9.m1.2.3.2.1" xref="S2.E9.m1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E9.m1.2.3.2.3.2" xref="S2.E9.m1.2.3.2.cmml"><mo id="S2.E9.m1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E9.m1.1.1" xref="S2.E9.m1.1.1.cmml">𝑨</mi><mo id="S2.E9.m1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E9.m1.2.3.1" xref="S2.E9.m1.2.3.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E9.m1.2.3.3" xref="S2.E9.m1.2.3.3.cmml"><mfrac id="S2.E9.m1.2.3.3.2" xref="S2.E9.m1.2.3.3.2.cmml"><mn id="S2.E9.m1.2.3.3.2.2" xref="S2.E9.m1.2.3.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S2.E9.m1.2.3.3.2.3" xref="S2.E9.m1.2.3.3.2.3.cmml">n</mi></mfrac><mo id="S2.E9.m1.2.3.3.1" xref="S2.E9.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E9.m1.2.3.3.3" xref="S2.E9.m1.2.3.3.3a.cmml">Tr</mtext><mo id="S2.E9.m1.2.3.3.1a" xref="S2.E9.m1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E9.m1.2.3.3.4.2" xref="S2.E9.m1.2.3.3.cmml"><mo id="S2.E9.m1.2.3.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E9.m1.2.2" xref="S2.E9.m1.2.2.cmml">𝑨</mi><mo id="S2.E9.m1.2.3.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.E9.m1.2.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E9.m1.2b"><apply id="S2.E9.m1.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.2.3"><eq id="S2.E9.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.2.3.1"></eq><apply id="S2.E9.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.2.3.2"><times id="S2.E9.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.2.3.2.1"></times><ci id="S2.E9.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.2.3.2.2">𝜏</ci><ci id="S2.E9.m1.1.1.cmml" xref="S2.E9.m1.1.1">𝑨</ci></apply><apply id="S2.E9.m1.2.3.3.cmml" xref="S2.E9.m1.2.3.3"><times id="S2.E9.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S2.E9.m1.2.3.3.1"></times><apply id="S2.E9.m1.2.3.3.2.cmml" xref="S2.E9.m1.2.3.3.2"><divide id="S2.E9.m1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E9.m1.2.3.3.2"></divide><cn id="S2.E9.m1.2.3.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E9.m1.2.3.3.2.2">1</cn><ci id="S2.E9.m1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E9.m1.2.3.3.2.3">𝑛</ci></apply><ci id="S2.E9.m1.2.3.3.3a.cmml" xref="S2.E9.m1.2.3.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E9.m1.2.3.3.3.cmml" xref="S2.E9.m1.2.3.3.3">Tr</mtext></ci><ci id="S2.E9.m1.2.2.cmml" xref="S2.E9.m1.2.2">𝑨</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E9.m1.2c">\tau(\bm{A})=\frac{1}{n}\textrm{Tr}(\bm{A})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E9.m1.2d">italic_τ ( bold_italic_A ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n end_ARG Tr ( bold_italic_A )</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition7.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1">where <math alttext="\textrm{Tr}(\bullet)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2" xref="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.2" xref="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.2a.cmml">Tr</mtext><mo id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.1" xref="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mo id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.1.cmml">∙</mo><mo id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1b"><apply id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2"><times id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.2a.cmml" xref="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.2.2">Tr</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1.1">∙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1c">\textrm{Tr}(\bullet)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition7.p1.2.1.m1.1d">Tr ( ∙ )</annotation></semantics></math> in the trace of a matrix.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_lemma" id="S2.Thmlemma2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmlemma2.1.1.1">Lemma 2.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmlemma2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmlemma2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmlemma2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmlemma2.p1.4.4">If <math alttext="\bm{\Sigma}\sim\mathcal{W}^{-1}_{np}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><msubsup id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">𝒲</mi><mrow id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">p</mi></mrow><mrow id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3a" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝚺</ci><apply id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝒲</ci><apply id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3"><minus id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3"></minus><cn id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3"><times id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1c">\bm{\Sigma}\sim\mathcal{W}^{-1}_{np}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmlemma2.p1.1.1.m1.1d">bold_Σ ∼ caligraphic_W start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_n italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a matrix extracted from a white inverse Wishart with parameters <math alttext="\{n,p\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2"><semantics id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml">{</mo><mi id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.2.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.2" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2b"><set id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.3.2"><ci id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.1.1">𝑛</ci><ci id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2.2">𝑝</ci></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2c">\{n,p\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmlemma2.p1.2.2.m2.2d">{ italic_n , italic_p }</annotation></semantics></math> then, in the high-dimensional limit of definition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmdefinition3" title="Definition 2.3. ‣ 2.1 Multivariate Distributions ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.3</span></a>) with <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmlemma2.p1.3.3.m3.1d">italic_p</annotation></semantics></math> negligible compared to <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmlemma2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S2.Thmlemma2.p1.4.4.m4.1a"><mi id="S2.Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmlemma2.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S2.Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.Thmlemma2.p1.4.4.m4.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmlemma2.p1.4.4.m4.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmlemma2.p1.4.4.m4.1d">italic_n</annotation></semantics></math>, we have</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.Thmlemma2.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Sigma}^{2})\right]=1+p." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E10.m1.1"><semantics id="S2.E10.m1.1a"><mrow id="S2.E10.m1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚺</mi><mn id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E10.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E10.m1.1b"><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1"><eq id="S2.E10.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝚺</ci><cn id="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><cn id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E10.m1.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E10.m1.1c">\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Sigma}^{2})\right]=1+p.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E10.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( bold_Σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = 1 + italic_p .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(10)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S2.SS1.SSS1.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS1.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS1.1.p1.1">The variance of the elements of <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS1.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS1.1.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.SSS1.1.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS1.1.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.SSS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.1.p1.1.m1.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS1.1.p1.1.m1.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS1.1.p1.1.m1.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> is <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib40" title="">40</a>]</cite></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS1.SSS1.2.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{V}\left[\Sigma_{ij}\right]=\frac{p(n-p)+p(n+p)\delta_{ij}}{n(n-3p)}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E11.m1.4"><semantics id="S2.E11.m1.4a"><mrow id="S2.E11.m1.4.4.1" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E11.m1.4.4.1.1" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">𝕍</mi><mo id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Σ</mi><mrow id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E11.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.cmml">=</mo><mfrac id="S2.E11.m1.3.3" xref="S2.E11.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.E11.m1.2.2.2" xref="S2.E11.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E11.m1.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E11.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S2.E11.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E11.m1.2.2.2.3" xref="S2.E11.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E11.m1.2.2.2.2" xref="S2.E11.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E11.m1.2.2.2.2.3" xref="S2.E11.m1.2.2.2.2.3.cmml">p</mi><mo id="S2.E11.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.E11.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1.3" 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id="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mo id="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3.1" xref="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3.3" xref="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="S2.E11.m1.4.4.1.2" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E11.m1.4b"><apply id="S2.E11.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1"><eq id="S2.E11.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.2"></eq><apply id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1"><times id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.3">𝕍</ci><apply id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">Σ</ci><apply id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E11.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E11.m1.3.3.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3"><divide id="S2.E11.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3"></divide><apply id="S2.E11.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.2"><plus id="S2.E11.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.2.3"></plus><apply id="S2.E11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1"><times id="S2.E11.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E11.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S2.E11.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.2.2"><times id="S2.E11.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.2.2.2"></times><ci id="S2.E11.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.2.2.3">𝑝</ci><apply id="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1"><plus id="S2.E11.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" 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xref="S2.E11.m1.3.3.3.1.1"><minus id="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3"><times id="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3.2">3</cn><ci id="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E11.m1.3.3.3.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E11.m1.4c">\mathbb{V}\left[\Sigma_{ij}\right]=\frac{p(n-p)+p(n+p)\delta_{ij}}{n(n-3p)},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E11.m1.4d">blackboard_V [ roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ] = divide start_ARG italic_p ( italic_n - italic_p ) + italic_p ( italic_n + italic_p ) italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG italic_n ( italic_n - 3 italic_p ) end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(11)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS1.2.p2.1">Therefore, by using the expectation of lemma (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmlemma1" title="Lemma 2.1. ‣ 2.1 Multivariate Distributions ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a>), we can derive the</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Sigma}^{2})\right]=\frac{1}{n}\sum_{ij}\left(\mathbb% {V}\left[\Sigma_{ij}\right]+\mathbb{E}\left[\Sigma_{ij}\right]^{2}\right)=% \frac{(n-p)(np-p+n)}{n(n-3p)}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E12.m1.4"><semantics id="S2.E12.m1.4a"><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚺</mi><mn id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.4" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mfrac id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.3.cmml"><mn id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.3.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></mfrac><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><munder id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.3.cmml">j</mi></mrow></munder><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">𝕍</mi><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">Σ</mi><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">+</mo><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><msub id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">Σ</mi><mrow id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></mrow></msub><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mn id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.1.5" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.5.cmml">=</mo><mfrac id="S2.E12.m1.3.3" xref="S2.E12.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.E12.m1.2.2.2" 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stretchy="false" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mo id="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3.1" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3.3" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="S2.E12.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E12.m1.4b"><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1"><and id="S2.E12.m1.4.4.1.1a.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1"></and><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1b.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1"><eq id="S2.E12.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.4"></eq><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1"><times id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝚺</ci><cn id="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2"><times id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.2"></times><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.3"><divide id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.3"></divide><cn id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.3.2">1</cn><ci id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1"><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.2"></sum><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3"><times id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.1"></times><ci id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.3">𝑗</ci></apply></apply><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1"><plus id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3"></plus><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1"><times id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3">𝕍</ci><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">Σ</ci><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑗</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2"><times id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.3">𝔼</ci><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">Σ</ci><apply id="S2.E12.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" 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xref="S2.E12.m1.2.2.2"><times id="S2.E12.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.2.2.2.3"></times><apply id="S2.E12.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S2.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝑝</ci></apply><apply id="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.1"><plus id="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2"><minus id="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.1"></minus><apply id="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.2"><times id="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.1"></times><ci id="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.2">𝑛</ci><ci id="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.2.2.2.2.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S2.E12.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.3.3.3"><times id="S2.E12.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S2.E12.m1.3.3.3.2"></times><ci id="S2.E12.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.3.3.3.3">𝑛</ci><apply id="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1"><minus id="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.2">𝑛</ci><apply id="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3"><times id="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3.1"></times><cn id="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3.2">3</cn><ci id="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E12.m1.3.3.3.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E12.m1.4c">\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Sigma}^{2})\right]=\frac{1}{n}\sum_{ij}\left(\mathbb% {V}\left[\Sigma_{ij}\right]+\mathbb{E}\left[\Sigma_{ij}\right]^{2}\right)=% \frac{(n-p)(np-p+n)}{n(n-3p)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E12.m1.4d">blackboard_E [ italic_τ ( bold_Σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ( blackboard_V [ roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ] + blackboard_E [ roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_j end_POSTSUBSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) = divide start_ARG ( italic_n - italic_p ) ( italic_n italic_p - italic_p + italic_n ) end_ARG start_ARG italic_n ( italic_n - 3 italic_p ) end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(12)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS1.2.p2.2">In the high-dimensional limit, defined in definition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmdefinition3" title="Definition 2.3. ‣ 2.1 Multivariate Distributions ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.3</span></a>), the former equation simplifies to the known formula <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Sigma}^{2})\right]=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-p)(np-p% +n)}{n(n-3p)}=1+p." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E13.m1.4"><semantics id="S2.E13.m1.4a"><mrow id="S2.E13.m1.4.4.1" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.4.4.1.1" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚺</mi><mn id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m1.4.4.1.1.3" rspace="0.1389em" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E13.m1.4.4.1.1.4" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.cmml"><munder id="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0.167em" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.2.cmml">lim</mo><mrow id="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3.cmml"><mi id="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3.2" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3.1" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3.1.cmml">→</mo><mi id="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><mfrac id="S2.E13.m1.3.3" xref="S2.E13.m1.3.3.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.2.2.2" xref="S2.E13.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E13.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E13.m1.1.1.1.1.1.1.3" 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id="S2.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S2.E13.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S2.E13.m1.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S2.E13.m1.3.3.3" xref="S2.E13.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S2.E13.m1.3.3.3.3" xref="S2.E13.m1.3.3.3.3.cmml">n</mi><mo id="S2.E13.m1.3.3.3.2" xref="S2.E13.m1.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E13.m1.3.3.3.1.1" xref="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1" xref="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.1" xref="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.3.2" xref="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.3.2.cmml">3</mn><mo id="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.3.1" xref="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.3.3" xref="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E13.m1.3.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="S2.E13.m1.4.4.1.1.5" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S2.E13.m1.4.4.1.1.6" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.6.cmml"><mn id="S2.E13.m1.4.4.1.1.6.2" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.6.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E13.m1.4.4.1.1.6.1" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.6.1.cmml">+</mo><mi id="S2.E13.m1.4.4.1.1.6.3" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.6.3.cmml">p</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E13.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E13.m1.4b"><apply id="S2.E13.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1"><and id="S2.E13.m1.4.4.1.1a.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1"></and><apply id="S2.E13.m1.4.4.1.1b.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1"><eq id="S2.E13.m1.4.4.1.1.3.cmml" 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id="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.4"><apply id="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.1.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1">subscript</csymbol><limit id="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.2.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.2"></limit><apply id="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3"><ci id="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3.1.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3.1">→</ci><ci id="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3.2.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3.2">𝑛</ci><infinity id="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3.3.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.4.1.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S2.E13.m1.3.3.cmml" xref="S2.E13.m1.3.3"><divide id="S2.E13.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.E13.m1.3.3"></divide><apply id="S2.E13.m1.2.2.2.cmml" xref="S2.E13.m1.2.2.2"><times id="S2.E13.m1.2.2.2.3.cmml" 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xref="S2.E13.m1.4.4.1"><eq id="S2.E13.m1.4.4.1.1.5.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.5"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.E13.m1.4.4.1.1.4.cmml" id="S2.E13.m1.4.4.1.1d.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1"></share><apply id="S2.E13.m1.4.4.1.1.6.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.6"><plus id="S2.E13.m1.4.4.1.1.6.1.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.6.1"></plus><cn id="S2.E13.m1.4.4.1.1.6.2.cmml" type="integer" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.6.2">1</cn><ci id="S2.E13.m1.4.4.1.1.6.3.cmml" xref="S2.E13.m1.4.4.1.1.6.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E13.m1.4c">\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Sigma}^{2})\right]=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-p)(np-p% +n)}{n(n-3p)}=1+p.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E13.m1.4d">blackboard_E [ italic_τ ( bold_Σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_n → ∞ end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG ( italic_n - italic_p ) ( italic_n italic_p - italic_p + italic_n ) end_ARG start_ARG italic_n ( italic_n - 3 italic_p ) end_ARG = 1 + italic_p .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(13)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS1.2.p2.3">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="S2.Thmremark1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmremark1.1.1.1">Remark 2.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmremark1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmremark1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmremark1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmremark1.p1.1.1">From equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.E11" title="In Proof. ‣ 2.1.1 Estimation of Parameters ‣ 2.1 Multivariate Distributions ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">11</span></a>), <math alttext="p<n/3" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml"><</mo><mrow id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mn id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">3</mn></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1"><lt id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.1"></lt><ci id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.2">𝑝</ci><apply id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3"><divide id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.1"></divide><ci id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.2">𝑛</ci><cn id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1.1.3.3">3</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1c">p<n/3</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmremark1.p1.1.1.m1.1d">italic_p < italic_n / 3</annotation></semantics></math> is a necessary condition to have a finite variance.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS1.SSS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS1.SSS1.p2.3">To estimate <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1a"><mi id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1" xref="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1b"><ci id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS1.p2.1.m1.1d">italic_p</annotation></semantics></math> from a sample covariance <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1a"><mi id="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1" xref="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml">𝑬</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1b"><ci id="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1.1">𝑬</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS1.p2.2.m2.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math> with population covariance <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1a"><mi id="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1" xref="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1b"><ci id="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS1.SSS1.p2.3.m3.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> we can use the following property.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_property" id="S2.Thmproperty2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmproperty2.1.1.1">Property 2.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmproperty2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmproperty2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmproperty2.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmproperty2.p1.4.4">Let <math alttext="\bm{E}=\frac{1}{t}\bm{X}\bm{X}^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">𝐄</mi><mo id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml"><mn id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">1</mn><mi id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></mfrac><mo id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml">𝐗</mi><mo id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.1a" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.4" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.4.2" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.4.2.cmml">𝐗</mi><mo id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.4.3" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.4.3.cmml">⊤</mo></msup></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1"><eq id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝐄</ci><apply id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3"><times id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.2"><divide id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.2"></divide><cn id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2">1</cn><ci id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.3">𝐗</ci><apply id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.4.2">𝐗</ci><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1.1.3.4.3">top</csymbol></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1c">\bm{E}=\frac{1}{t}\bm{X}\bm{X}^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty2.p1.1.1.m1.1d">bold_italic_E = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_t end_ARG bold_italic_X bold_italic_X start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be the sample covariance matrix based on <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty2.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmproperty2.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmproperty2.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmproperty2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty2.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmproperty2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.2.2.m2.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty2.p1.2.2.m2.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty2.p1.2.2.m2.1d">italic_t</annotation></semantics></math> i.i.d. samples from <math alttext="\mathcal{N}(\bm{0},\bm{\Sigma})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2"><semantics id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2a"><mrow id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3" xref="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.2" xref="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.1" xref="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.3.2" xref="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.1.1.cmml">𝟎</mn><mo id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.2" xref="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.2.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2b"><apply id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3"><times id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.1"></times><ci id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.2">𝒩</ci><interval closure="open" id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.3.3.2"><cn id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.1.1">0</cn><ci id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2.2">𝚺</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2c">\mathcal{N}(\bm{0},\bm{\Sigma})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty2.p1.3.3.m3.2d">caligraphic_N ( bold_0 , bold_Σ )</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S2.Thmproperty2.p1.4.4.m4.1a"><mi id="S2.Thmproperty2.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmproperty2.p1.4.4.m4.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty2.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S2.Thmproperty2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.4.4.m4.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty2.p1.4.4.m4.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty2.p1.4.4.m4.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> is the population covariance matrix. Then, in the high dimensional limit,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E14"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau(\bm{E}^{2})\right]=\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Sigma}^{2})% \right]+q," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E14.m1.1"><semantics id="S2.E14.m1.1a"><mrow id="S2.E14.m1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝑬</mi><mn id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mi id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚺</mi><mn id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">+</mo><mi id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">q</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E14.m1.1.1.1.2" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E14.m1.1b"><apply id="S2.E14.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1"><eq id="S2.E14.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑬</ci><cn id="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2"><plus id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.2"></plus><apply id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1"><times id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.2"></times><ci id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.3">𝔼</ci><apply id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><times id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2">𝚺</ci><cn id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><ci id="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E14.m1.1.1.1.1.2.3">𝑞</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E14.m1.1c">\mathbb{E}\left[\tau(\bm{E}^{2})\right]=\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Sigma}^{2})% \right]+q,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E14.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( bold_italic_E start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = blackboard_E [ italic_τ ( bold_Σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] + italic_q ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(14)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.Thmproperty2.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmproperty2.p1.5.1">where <math alttext="q=n/t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1a"><mrow id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1" xref="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.2" xref="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.1" xref="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3" xref="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3.2" xref="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3.1" xref="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3.3" xref="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1b"><apply id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1"><eq id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.2">𝑞</ci><apply id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3"><divide id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3.1"></divide><ci id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1c">q=n/t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty2.p1.5.1.m1.1d">italic_q = italic_n / italic_t</annotation></semantics></math> is the aspect ratio of the data matrix <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite>.</span></p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_subsection" id="S2.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">2.2 </span>Covariance matrix estimation</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.p1.1">In this section, we define the theoretical background for two of the most popular families of covariance matrix estimators, the RIE and the CV estimators.</p> </div> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS2.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">2.2.1 </span>Oracle estimator</h4> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition8"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition8.1.1.1">Definition 2.8</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition8.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmdefinition8.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition8.p1.4"><math alttext="\bm{\Xi}(\bm{E})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2" xref="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.2" xref="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.2.cmml">𝚵</mi><mo id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.1" xref="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.1.cmml">𝑬</mi><mo id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1b"><apply id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2"><times id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.2.2">𝚵</ci><ci id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1.1">𝑬</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1c">\bm{\Xi}(\bm{E})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition8.p1.1.m1.1d">bold_Ξ ( bold_italic_E )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition8.p1.4.3"> is a RIE of the population covariance matrix <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition8.p1.2.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition8.p1.2.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmdefinition8.p1.2.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition8.p1.2.1.m1.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition8.p1.2.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmdefinition8.p1.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition8.p1.2.1.m1.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition8.p1.2.1.m1.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition8.p1.2.1.m1.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math>, where <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition8.p1.3.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmdefinition8.p1.3.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmdefinition8.p1.3.2.m2.1.1" xref="S2.Thmdefinition8.p1.3.2.m2.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition8.p1.3.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmdefinition8.p1.3.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition8.p1.3.2.m2.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition8.p1.3.2.m2.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition8.p1.3.2.m2.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math> denote the sample covariance over the data. This estimator satisfies the following distributional equality for all orthogonal matrices <math alttext="\bm{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition8.p1.4.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmdefinition8.p1.4.3.m3.1a"><mi id="S2.Thmdefinition8.p1.4.3.m3.1.1" xref="S2.Thmdefinition8.p1.4.3.m3.1.1.cmml">𝐎</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition8.p1.4.3.m3.1b"><ci id="S2.Thmdefinition8.p1.4.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition8.p1.4.3.m3.1.1">𝐎</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition8.p1.4.3.m3.1c">\bm{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition8.p1.4.3.m3.1d">bold_italic_O</annotation></semantics></math><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib12" title="">12</a>]</cite></span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E15"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\Xi}(\bm{O}\bm{E}\bm{O}^{T})\overset{\textrm{distr}}{=}\bm{O}\Xi(\bm{E})% \bm{O}^{T}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E15.m1.2"><semantics id="S2.E15.m1.2a"><mrow id="S2.E15.m1.2.2.1" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S2.E15.m1.2.2.1.1" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.3.cmml">𝚵</mi><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝑶</mi><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">𝑬</mi><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝑶</mi><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml">T</mi></msup></mrow><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.2a" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mover accent="true" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.4" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.4.cmml"><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.4.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.4.2.cmml">=</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.4.1" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.4.1a.cmml">distr</mtext></mover><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.2b" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.5" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.5.cmml">𝑶</mi><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.2c" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.6" mathvariant="normal" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.6.cmml">Ξ</mi><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.2d" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E15.m1.2.2.1.1.7.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.cmml"><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.7.2.1" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E15.m1.1.1" xref="S2.E15.m1.1.1.cmml">𝑬</mi><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.7.2.2" stretchy="false" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.1.2e" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E15.m1.2.2.1.1.8" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.8.cmml"><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.8.2" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.8.2.cmml">𝑶</mi><mi id="S2.E15.m1.2.2.1.1.8.3" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.8.3.cmml">T</mi></msup></mrow><mo id="S2.E15.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E15.m1.2b"><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1"><times id="S2.E15.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.2"></times><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.3">𝚵</ci><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1"><times id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></times><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">𝑶</ci><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑬</ci><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.2">𝑶</ci><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.1.1.1.4.3">𝑇</ci></apply></apply><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.4"><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.4.1a.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.4.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.4.1">distr</mtext></ci><eq id="S2.E15.m1.2.2.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.4.2"></eq></apply><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.5.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.5">𝑶</ci><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.6.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.6">Ξ</ci><ci id="S2.E15.m1.1.1.cmml" xref="S2.E15.m1.1.1">𝑬</ci><apply id="S2.E15.m1.2.2.1.1.8.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.8"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E15.m1.2.2.1.1.8.1.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.8">superscript</csymbol><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.8.2.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.8.2">𝑶</ci><ci id="S2.E15.m1.2.2.1.1.8.3.cmml" xref="S2.E15.m1.2.2.1.1.8.3">𝑇</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E15.m1.2c">\bm{\Xi}(\bm{O}\bm{E}\bm{O}^{T})\overset{\textrm{distr}}{=}\bm{O}\Xi(\bm{E})% \bm{O}^{T}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E15.m1.2d">bold_Ξ ( bold_italic_O bold_italic_E bold_italic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ) overdistr start_ARG = end_ARG bold_italic_O roman_Ξ ( bold_italic_E ) bold_italic_O start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(15)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS2.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS1.p1.1">The Frobenius distance is often used to evaluate the performance of a matrix estimator as it corresponds to the element-wise mean-squared error between the estimator and the population covariance.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition9"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition9.1.1.1">Definition 2.9</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition9.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmdefinition9.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition9.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition9.p1.2.2">The Frobenius estimation error between an estimator <math alttext="\bm{\Xi}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition9.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition9.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmdefinition9.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition9.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝚵</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition9.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmdefinition9.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition9.p1.1.1.m1.1.1">𝚵</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition9.p1.1.1.m1.1c">\bm{\Xi}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition9.p1.1.1.m1.1d">bold_Ξ</annotation></semantics></math> and a population matrix <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition9.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmdefinition9.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmdefinition9.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmdefinition9.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition9.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmdefinition9.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition9.p1.2.2.m2.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition9.p1.2.2.m2.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition9.p1.2.2.m2.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> is <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite></span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E16"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|\bm{\Xi}-\bm{\Sigma}\|^{2}_{\textrm{F}}=\tau((\bm{\Xi}-\bm{\Sigma})^{2})." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E16.m1.1"><semantics id="S2.E16.m1.1a"><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚵</mi><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi></mrow><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.3a.cmml">F</mtext><mn id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">τ</mi><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚵</mi><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi></mrow><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E16.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E16.m1.1b"><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1"><eq id="S2.E16.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝚵</ci><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci></apply></apply><cn id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.1.3">F</mtext></ci></apply><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.3">𝜏</ci><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2">𝚵</ci><ci id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci></apply><cn id="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E16.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E16.m1.1c">\|\bm{\Xi}-\bm{\Sigma}\|^{2}_{\textrm{F}}=\tau((\bm{\Xi}-\bm{\Sigma})^{2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E16.m1.1d">∥ bold_Ξ - bold_Σ ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT F end_POSTSUBSCRIPT = italic_τ ( ( bold_Ξ - bold_Σ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(16)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.SSS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS1.p2.1">Let us mention that the expected Frobenius error of the sample covariance Wishart distributed (definition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmproperty1" title="Property 2.1. ‣ 2.1 Multivariate Distributions ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a>)) is known and does not depend on the distribution of the population covariance <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_property" id="S2.Thmproperty3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmproperty3.1.1.1">Property 2.3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmproperty3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmproperty3.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmproperty3.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmproperty3.p1.5.5">For <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmproperty3.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmproperty3.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmproperty3.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty3.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmproperty3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty3.p1.1.1.m1.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty3.p1.1.1.m1.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty3.p1.1.1.m1.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math> a sample covariance matrix from multivariate normal data <math alttext="X\in\mathbb{R}^{n\times t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">X</mi><mo id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.1" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><mi id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml">t</mi></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1"><in id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.1"></in><ci id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑋</ci><apply id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3"><times id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1.1.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1c">X\in\mathbb{R}^{n\times t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty3.p1.2.2.m2.1d">italic_X ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × italic_t end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> with population covariance <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty3.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmproperty3.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S2.Thmproperty3.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmproperty3.p1.3.3.m3.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty3.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S2.Thmproperty3.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty3.p1.3.3.m3.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty3.p1.3.3.m3.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty3.p1.3.3.m3.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math>, in the high-dimensional limit, the expected Frobenius error between <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty3.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S2.Thmproperty3.p1.4.4.m4.1a"><mi id="S2.Thmproperty3.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmproperty3.p1.4.4.m4.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty3.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S2.Thmproperty3.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty3.p1.4.4.m4.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty3.p1.4.4.m4.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty3.p1.4.4.m4.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty3.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S2.Thmproperty3.p1.5.5.m5.1a"><mi id="S2.Thmproperty3.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmproperty3.p1.5.5.m5.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty3.p1.5.5.m5.1b"><ci id="S2.Thmproperty3.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty3.p1.5.5.m5.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty3.p1.5.5.m5.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty3.p1.5.5.m5.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> is equal to</span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmproperty3.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E17"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau((\bm{E}-\bm{\Sigma})^{2})\right]=q." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E17.m1.1"><semantics id="S2.E17.m1.1a"><mrow id="S2.E17.m1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝑬</mi><mo id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi></mrow><mo id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E17.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mi id="S2.E17.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><mo id="S2.E17.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E17.m1.1b"><apply id="S2.E17.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1"><eq id="S2.E17.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑬</ci><ci id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci></apply><cn id="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><ci id="S2.E17.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E17.m1.1.1.1.1.3">𝑞</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E17.m1.1c">\mathbb{E}\left[\tau((\bm{E}-\bm{\Sigma})^{2})\right]=q.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E17.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( ( bold_italic_E - bold_Σ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = italic_q .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(17)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.SSS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS1.p3.1">In order to define the oracle estimator of the covariance matrix, let us first recall the following property.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_property" id="S2.Thmproperty4"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmproperty4.1.1.1">Property 2.4</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmproperty4.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmproperty4.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmproperty4.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmproperty4.p1.2.2">If <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty4.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmproperty4.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmproperty4.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmproperty4.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty4.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmproperty4.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty4.p1.1.1.m1.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty4.p1.1.1.m1.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty4.p1.1.1.m1.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math> is a sample covariance matrix, then it is symmetric and non-negative defined, and it can be diagonalized on an orthonormal basis. Its eigenvectors are called the sample eigenvectors and its eigenvalues are contained in the diagonal matrix <math alttext="\bm{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty4.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmproperty4.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmproperty4.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmproperty4.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty4.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmproperty4.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty4.p1.2.2.m2.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty4.p1.2.2.m2.1c">\bm{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty4.p1.2.2.m2.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math> and are non-negative</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E18"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{E}=\bm{V\Lambda V}^{T}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E18.m1.1"><semantics id="S2.E18.m1.1a"><mrow id="S2.E18.m1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E18.m1.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E18.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.2.cmml">𝑬</mi><mo id="S2.E18.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝑽</mi><mo id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝚲</mi><mo id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">𝑽</mi><mi id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E18.m1.1.1.1.2" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E18.m1.1b"><apply id="S2.E18.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.1.1.1"><eq id="S2.E18.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.1"></eq><ci id="S2.E18.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.2">𝑬</ci><apply id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.2">𝑽</ci><ci id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.3">𝚲</ci><apply id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.4.2">𝑽</ci><ci id="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S2.E18.m1.1.1.1.1.3.4.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E18.m1.1c">\bm{E}=\bm{V\Lambda V}^{T},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E18.m1.1d">bold_italic_E = bold_italic_V bold_Λ bold_italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(18)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.Thmproperty4.p1.4"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmproperty4.p1.4.2">with the columns of <math alttext="\bm{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty4.p1.3.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmproperty4.p1.3.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmproperty4.p1.3.1.m1.1.1" xref="S2.Thmproperty4.p1.3.1.m1.1.1.cmml">𝐕</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty4.p1.3.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmproperty4.p1.3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty4.p1.3.1.m1.1.1">𝐕</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty4.p1.3.1.m1.1c">\bm{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty4.p1.3.1.m1.1d">bold_italic_V</annotation></semantics></math> arranged so that the associated eigenvalues in <math alttext="\bm{\Lambda}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty4.p1.4.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmproperty4.p1.4.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmproperty4.p1.4.2.m2.1.1" xref="S2.Thmproperty4.p1.4.2.m2.1.1.cmml">𝚲</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty4.p1.4.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmproperty4.p1.4.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty4.p1.4.2.m2.1.1">𝚲</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty4.p1.4.2.m2.1c">\bm{\Lambda}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty4.p1.4.2.m2.1d">bold_Λ</annotation></semantics></math> increase sequentially.</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.SSS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS1.p4.1">Let us now define the oracle estimator.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition10"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition10.1.1.1">Definition 2.10</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition10.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmdefinition10.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition10.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition10.p1.1.1">The RIE which minimizes the Frobenius error with the population covariance <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition10.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition10.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmdefinition10.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition10.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition10.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmdefinition10.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition10.p1.1.1.m1.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition10.p1.1.1.m1.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition10.p1.1.1.m1.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> is called the oracle estimator and is equal to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite></span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmdefinition10.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E19"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\Xi}^{O}(\bm{E},\bm{\Sigma})=\bm{V}\textrm{Diag}(\bm{V}^{T}\bm{\Sigma V})% \bm{V}^{T}," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E19.m1.3"><semantics id="S2.E19.m1.3a"><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1.1" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msup id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">𝚵</mi><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">O</mi></msup><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E19.m1.1.1" xref="S2.E19.m1.1.1.cmml">𝑬</mi><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E19.m1.2.2" xref="S2.E19.m1.2.2.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">𝑽</mi><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.4" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.4a.cmml">Diag</mtext><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.2a" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝑽</mi><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝑽</mi></mrow><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.2b" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.5" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.5.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.5.2.cmml">𝑽</mi><mi id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.5.3" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.5.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E19.m1.3.3.1.2" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E19.m1.3b"><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1"><eq id="S2.E19.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3"><times id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝚵</ci><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝑂</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.3.3.2"><ci id="S2.E19.m1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.1.1">𝑬</ci><ci id="S2.E19.m1.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.2.2">𝚺</ci></interval></apply><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1"><times id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.3">𝑽</ci><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.4a.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.4"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.4">Diag</mtext></ci><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑽</ci><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4">𝑽</ci></apply><apply id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.5.2">𝑽</ci><ci id="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.E19.m1.3.3.1.1.1.5.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E19.m1.3c">\bm{\Xi}^{O}(\bm{E},\bm{\Sigma})=\bm{V}\textrm{Diag}(\bm{V}^{T}\bm{\Sigma V})% \bm{V}^{T},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E19.m1.3d">bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT italic_O end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_E , bold_Σ ) = bold_italic_V Diag ( bold_italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ bold_italic_V ) bold_italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(19)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmdefinition10.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition10.p3.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3">where <math alttext="\bm{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition10.p3.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition10.p3.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmdefinition10.p3.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition10.p3.1.1.m1.1.1.cmml">𝐕</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition10.p3.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmdefinition10.p3.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition10.p3.1.1.m1.1.1">𝐕</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition10.p3.1.1.m1.1c">\bm{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition10.p3.1.1.m1.1d">bold_italic_V</annotation></semantics></math> are the sample eigenvectors of <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition10.p3.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmdefinition10.p3.2.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmdefinition10.p3.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmdefinition10.p3.2.2.m2.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition10.p3.2.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmdefinition10.p3.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition10.p3.2.2.m2.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition10.p3.2.2.m2.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition10.p3.2.2.m2.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math> and <math alttext="\textrm{Diag}(\bullet)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2" xref="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.2" xref="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.2a.cmml">Diag</mtext><mo id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.1" xref="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mo id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.1.cmml">∙</mo><mo id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1b"><apply id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2"><times id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.1"></times><ci id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.2a.cmml" xref="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.2.2">Diag</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1.1">∙</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1c">\textrm{Diag}(\bullet)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition10.p3.3.3.m3.1d">Diag ( ∙ )</annotation></semantics></math> is the operator that sets the out-of-diagonal entries to zero.</span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmdefinition10.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition10.p4.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition10.p4.1.1">The oracle eigenvalues are then</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E20"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\Lambda}^{O}(\bm{E},\bm{\Sigma})=\textrm{Diag}(\bm{V}^{T}\bm{\Sigma V})." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E20.m1.3"><semantics id="S2.E20.m1.3a"><mrow id="S2.E20.m1.3.3.1" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E20.m1.3.3.1.1" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.cmml"><msup id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">𝚲</mi><mi id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">O</mi></msup><mo id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E20.m1.1.1" xref="S2.E20.m1.1.1.cmml">𝑬</mi><mo id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E20.m1.2.2" xref="S2.E20.m1.2.2.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E20.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.3a.cmml">Diag</mtext><mo id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝑽</mi><mi id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msup><mo id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml">𝑽</mi></mrow><mo id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E20.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E20.m1.3b"><apply id="S2.E20.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1"><eq id="S2.E20.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3"><times id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝚲</ci><ci id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝑂</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.3.3.2"><ci id="S2.E20.m1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.1.1">𝑬</ci><ci id="S2.E20.m1.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.2.2">𝚺</ci></interval></apply><apply id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1"><times id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.3">Diag</mtext></ci><apply id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1"><times id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑽</ci><ci id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci><ci id="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E20.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.4">𝑽</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E20.m1.3c">\bm{\Lambda}^{O}(\bm{E},\bm{\Sigma})=\textrm{Diag}(\bm{V}^{T}\bm{\Sigma V}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E20.m1.3d">bold_Λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_O end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_E , bold_Σ ) = Diag ( bold_italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ bold_italic_V ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(20)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS2.SSS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS1.p5.1">This estimator is called the “oracle” estimator because it still depends on the unknown population covariance matrix that we want to estimate. Ledoit and Péché derived an estimator that depends only on observable quantities and converges to the oracle in the high-dimensional limit <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theoreme" id="S2.Thmtheoreme1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmtheoreme1.1.1.1">Theorem 2.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmtheoreme1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmtheoreme1.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmtheoreme1.p1.19"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19">Let us call <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math> a sample covariance of size <math alttext="n\times n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1"><times id="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.1"></times><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑛</ci><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1c">n\times n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1d">italic_n × italic_n</annotation></semantics></math> generated by <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.3.3.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.3.3.m3.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.3.3.m3.1d">italic_t</annotation></semantics></math> i.i.d. observations with covariance population matrix <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.4.4.m4.1a"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.4.4.m4.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.4.4.m4.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.4.4.m4.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.4.4.m4.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math>. Let us assume that the noise used to generate <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.5.5.m5.1a"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.5.5.m5.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.5.5.m5.1b"><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.5.5.m5.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.5.5.m5.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.5.5.m5.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math> is independent of <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.6.6.m6.1a"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.6.6.m6.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.6.6.m6.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.6.6.m6.1b"><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.6.6.m6.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.6.6.m6.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.6.6.m6.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math>, has a finite <math alttext="12" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.7.7.m7.1a"><mn id="S2.Thmtheoreme1.p1.7.7.m7.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.7.7.m7.1.1.cmml">12</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.7.7.m7.1b"><cn id="S2.Thmtheoreme1.p1.7.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.7.7.m7.1.1">12</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.7.7.m7.1c">12</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.7.7.m7.1d">12</annotation></semantics></math>th absolute central moment and that the distribution of <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.8.8.m8.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.8.8.m8.1a"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.8.8.m8.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.8.8.m8.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.8.8.m8.1b"><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.8.8.m8.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.8.8.m8.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.8.8.m8.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> converges for <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.9.9.m9.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.9.9.m9.1a"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.9.9.m9.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.9.9.m9.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.9.9.m9.1b"><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.9.9.m9.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.9.9.m9.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.9.9.m9.1d">italic_n</annotation></semantics></math> tends to <math alttext="\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.10.10.m10.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.10.10.m10.1a"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.10.10.m10.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.10.10.m10.1.1.cmml">∞</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.10.10.m10.1b"><infinity id="S2.Thmtheoreme1.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.10.10.m10.1.1"></infinity></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.10.10.m10.1c">\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.10.10.m10.1d">∞</annotation></semantics></math> at every point of continuity to a non-random distribution which defines a probability measure and whose support is included in a compact interval. Let <math alttext="q=n/t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1a"><mrow id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3.1.cmml">/</mo><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3.3" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3.3.cmml">t</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1b"><apply id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1"><eq id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.1"></eq><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.2">𝑞</ci><apply id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3"><divide id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3.1"></divide><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1.1.3.3">𝑡</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1c">q=n/t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.11.11.m11.1d">italic_q = italic_n / italic_t</annotation></semantics></math> and <math alttext="g_{\bm{E}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1a"><msub id="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1.1.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml">g</mi><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1.1.3" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1.1.3.cmml">𝐄</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1b"><apply id="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1.1.2">𝑔</ci><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1.1.3">𝐄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1c">g_{\bm{E}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.12.12.m12.1d">italic_g start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_E end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the Stieltjes transform of <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.13.13.m13.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.13.13.m13.1a"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.13.13.m13.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.13.13.m13.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.13.13.m13.1b"><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.13.13.m13.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.13.13.m13.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.13.13.m13.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.13.13.m13.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math>. For <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.14.14.m14.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.14.14.m14.1a"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.14.14.m14.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.14.14.m14.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.14.14.m14.1b"><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.14.14.m14.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.14.14.m14.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.14.14.m14.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.14.14.m14.1d">italic_λ</annotation></semantics></math>, an eigenvalue of <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.15.15.m15.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.15.15.m15.1a"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.15.15.m15.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.15.15.m15.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.15.15.m15.1b"><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.15.15.m15.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.15.15.m15.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.15.15.m15.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.15.15.m15.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math>, let <math alttext="\xi_{\lambda}(\bm{E})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1a"><mrow id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.cmml"><msub id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.2.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.2.2.cmml">ξ</mi><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.2.3" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.3.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.1.cmml">𝐄</mi><mo id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1b"><apply id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2"><times id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.1"></times><apply id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.2.2">𝜉</ci><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.2.2.3">𝜆</ci></apply><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1.1">𝐄</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1c">\xi_{\lambda}(\bm{E})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.16.16.m16.1d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_E )</annotation></semantics></math> be the corresponding eigenvalue of the oracle’s estimator. Then, in the high-dimensional limit, for <math alttext="z=\lambda+i\eta" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1a"><mrow id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.2.cmml">z</mi><mo id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3.3" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1b"><apply id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1"><eq id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.1"></eq><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.2">𝑧</ci><apply id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3"><plus id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.1"></plus><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.2">𝜆</ci><apply id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3"><times id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3.1"></times><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1.1.3.3.3">𝜂</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1c">z=\lambda+i\eta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.17.17.m17.1d">italic_z = italic_λ + italic_i italic_η</annotation></semantics></math> with <math alttext="\lambda\in Sp(\bm{E})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1a"><mrow id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.2.cmml">S</mi><mo id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.3" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.3.cmml">p</mi><mo id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.1a" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.4.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.1.cmml">𝐄</mi><mo id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.4.2.2" stretchy="false" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1b"><apply id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2"><in id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.1"></in><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.2">𝜆</ci><apply id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3"><times id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.1"></times><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.2">𝑆</ci><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.3.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.2.3.3">𝑝</ci><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1.1">𝐄</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1c">\lambda\in Sp(\bm{E})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.18.18.m18.1d">italic_λ ∈ italic_S italic_p ( bold_italic_E )</annotation></semantics></math> and <math alttext="\eta>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1"><semantics id="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1a"><mrow id="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1.2" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1.1" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1.3" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1b"><apply id="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1"><gt id="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1.1"></gt><ci id="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1.2">𝜂</ci><cn id="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1c">\eta>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmtheoreme1.p1.19.19.m19.1d">italic_η > 0</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite></span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E21"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\xi_{\lambda}(\bm{E})=\lim\limits_{\eta\rightarrow 0^{+}}\frac{\lambda}{|1-q+q% \lambda g_{\bm{E}}(\lambda+i\eta)|^{2}}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E21.m1.3"><semantics id="S2.E21.m1.3a"><mrow id="S2.E21.m1.3.3.1" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E21.m1.3.3.1.1" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml">ξ</mi><mi id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E21.m1.2.2" xref="S2.E21.m1.2.2.cmml">𝑬</mi><mo id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E21.m1.3.3.1.1.1" rspace="0.1389em" 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id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">q</mi></mrow><mo id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">q</mi><mo id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml">λ</mi><mo id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.5" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">g</mi><mi id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">𝑬</mi></msub><mo id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2b" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi><mo id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">η</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S2.E21.m1.1.1.1.3" xref="S2.E21.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac></mrow></mrow><mo id="S2.E21.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E21.m1.3b"><apply id="S2.E21.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1"><eq id="S2.E21.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2"><times id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2.2">𝜉</ci><ci id="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.2.2.3">𝜆</ci></apply><ci id="S2.E21.m1.2.2.cmml" xref="S2.E21.m1.2.2">𝑬</ci></apply><apply id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3"><apply id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1">subscript</csymbol><limit id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.2"></limit><apply id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3"><ci id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.1.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.1">→</ci><ci id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.2.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.2">𝜂</ci><apply id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.3">superscript</csymbol><cn id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.2">0</cn><plus id="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E21.m1.3.3.1.1.3.1.3.3.3"></plus></apply></apply></apply><apply id="S2.E21.m1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1"><divide id="S2.E21.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1"></divide><ci id="S2.E21.m1.1.1.3.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.3">𝜆</ci><apply id="S2.E21.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E21.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1"><abs id="S2.E21.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3"><minus id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></minus><cn id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑞</ci></apply><apply id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑞</ci><ci id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.4">𝜆</ci><apply id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.2">𝑔</ci><ci id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.5.3">𝑬</ci></apply><apply id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜆</ci><apply id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><ci id="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E21.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝜂</ci></apply></apply></apply></apply></apply><cn id="S2.E21.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E21.m1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E21.m1.3c">\xi_{\lambda}(\bm{E})=\lim\limits_{\eta\rightarrow 0^{+}}\frac{\lambda}{|1-q+q% \lambda g_{\bm{E}}(\lambda+i\eta)|^{2}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E21.m1.3d">italic_ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_E ) = roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_η → 0 start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT divide start_ARG italic_λ end_ARG start_ARG | 1 - italic_q + italic_q italic_λ italic_g start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_E end_POSTSUBSCRIPT ( italic_λ + italic_i italic_η ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(21)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p ltx_align_right" id="S2.Thmtheoreme1.p1.20"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmtheoreme1.p1.20.1">(Ledoit-Péché formula)</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS2.SSS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS1.p6.1">In reference <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib17" title="">17</a>]</cite>, the authors claim that, even when the data matrices are finite but large, the Ledoit-Péché eigenvalues still provide a good approximation of the oracle eigenvalues.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.SSS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS1.p7.1">In the high-dimensional limit for a white inverse Wishart population covariance, the Ledoit-Péché formula is a linear shrinkage that coincides with the oracle estimator. It is worth mentioning that the Bayesian estimator converges to the same formula in the high-dimensional limit <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib37" title="">37</a>]</cite>. In such conditions, the expected Frobenius error between the estimator and the population covariance can be derived.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_property" id="S2.Thmproperty5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmproperty5.1.1.1">Property 2.5</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmproperty5.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmproperty5.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmproperty5.p1.7"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmproperty5.p1.7.7">For <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty5.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmproperty5.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmproperty5.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmproperty5.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty5.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmproperty5.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty5.p1.1.1.m1.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty5.p1.1.1.m1.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty5.p1.1.1.m1.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math>, an inverse Wishart population covariance matrix of parameters <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty5.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmproperty5.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmproperty5.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmproperty5.p1.2.2.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty5.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmproperty5.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty5.p1.2.2.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty5.p1.2.2.m2.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty5.p1.2.2.m2.1d">italic_n</annotation></semantics></math> and <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty5.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmproperty5.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S2.Thmproperty5.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmproperty5.p1.3.3.m3.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty5.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S2.Thmproperty5.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty5.p1.3.3.m3.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty5.p1.3.3.m3.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty5.p1.3.3.m3.1d">italic_p</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty5.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S2.Thmproperty5.p1.4.4.m4.1a"><mi id="S2.Thmproperty5.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmproperty5.p1.4.4.m4.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty5.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S2.Thmproperty5.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty5.p1.4.4.m4.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty5.p1.4.4.m4.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty5.p1.4.4.m4.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math> the sample covariance of <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty5.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S2.Thmproperty5.p1.5.5.m5.1a"><mi id="S2.Thmproperty5.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmproperty5.p1.5.5.m5.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty5.p1.5.5.m5.1b"><ci id="S2.Thmproperty5.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty5.p1.5.5.m5.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty5.p1.5.5.m5.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty5.p1.5.5.m5.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> generated on <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty5.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S2.Thmproperty5.p1.6.6.m6.1a"><mi id="S2.Thmproperty5.p1.6.6.m6.1.1" xref="S2.Thmproperty5.p1.6.6.m6.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty5.p1.6.6.m6.1b"><ci id="S2.Thmproperty5.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty5.p1.6.6.m6.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty5.p1.6.6.m6.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty5.p1.6.6.m6.1d">italic_t</annotation></semantics></math> i.i.d. centered and Gaussian observations. Then, in the high-dimensional limit, the expected Frobenius error between the oracle estimator and <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmproperty5.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S2.Thmproperty5.p1.7.7.m7.1a"><mi id="S2.Thmproperty5.p1.7.7.m7.1.1" xref="S2.Thmproperty5.p1.7.7.m7.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmproperty5.p1.7.7.m7.1b"><ci id="S2.Thmproperty5.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.Thmproperty5.p1.7.7.m7.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmproperty5.p1.7.7.m7.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmproperty5.p1.7.7.m7.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> is <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib37" title="">37</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib41" title="">41</a>]</cite></span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E22"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{O}}(\bm{E},\bm{\Sigma})-\bm{\Sigma})^{% 2})\right]=\frac{pq}{p+q}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E22.m1.3"><semantics id="S2.E22.m1.3a"><mrow id="S2.E22.m1.3.3.1" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E22.m1.3.3.1.1" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝚵</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">O</mtext></msup><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E22.m1.1.1" xref="S2.E22.m1.1.1.cmml">𝑬</mi><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E22.m1.2.2" xref="S2.E22.m1.2.2.cmml">𝚺</mi><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi></mrow><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.2" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mfrac id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">q</mi></mrow><mrow id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml">p</mi><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3.1" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3.3" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml">q</mi></mrow></mfrac></mrow><mo id="S2.E22.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E22.m1.3b"><apply id="S2.E22.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1"><eq id="S2.E22.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1"><times id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝚵</ci><ci id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">O</mtext></ci></apply><interval closure="open" id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S2.E22.m1.1.1.cmml" xref="S2.E22.m1.1.1">𝑬</ci><ci id="S2.E22.m1.2.2.cmml" xref="S2.E22.m1.2.2">𝚺</ci></interval></apply><ci id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci></apply><cn id="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3"><divide id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3"></divide><apply id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2"><times id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2.1"></times><ci id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝑝</ci><ci id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3"><plus id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3.1"></plus><ci id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S2.E22.m1.3.3.1.1.3.3.3">𝑞</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E22.m1.3c">\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{O}}(\bm{E},\bm{\Sigma})-\bm{\Sigma})^{% 2})\right]=\frac{pq}{p+q}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E22.m1.3d">blackboard_E [ italic_τ ( ( bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT O end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_E , bold_Σ ) - bold_Σ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = divide start_ARG italic_p italic_q end_ARG start_ARG italic_p + italic_q end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(22)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS2.SSS1.p8"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS1.p8.1">An important remark is that the expected Frobenius error of the oracle estimator is smaller than the one from the sample covariance (proposition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmproperty3" title="Property 2.3. ‣ 2.2.1 Oracle estimator ‣ 2.2 Covariance matrix estimation ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.3</span></a>)) for any <math alttext="q\neq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1a"><mrow id="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.2" xref="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.1" xref="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.1.cmml">≠</mo><mn id="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.3" xref="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1b"><apply id="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1"><neq id="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.1"></neq><ci id="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.2">𝑞</ci><cn id="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1c">q\neq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS1.p8.1.m1.1d">italic_q ≠ 0</annotation></semantics></math> even though the sample estimator is the maximum likelihood estimator.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsubsection" id="S2.SS2.SSS2"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">2.2.2 </span>Cross-validation estimators</h4> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS2.SSS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS2.p1.1">In this section, we define the two main CV methods: the holdout method and the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.SSS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS2.p1.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS2.p1.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS2.p1.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV. Additionally, we introduce two variations of these methods, one with and one without rotational invariance. To explain these methods, we need first to define the index partitions.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition11"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition11.1.1.1">Definition 2.11</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition11.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmdefinition11.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition11.p1.11"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition11.p1.11.11">Let <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition11.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition11.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmdefinition11.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition11.p1.1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition11.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.1.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition11.p1.1.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition11.p1.1.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math> be the total number of observations, and let <math alttext="t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1a"><msub id="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1c">t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition11.p1.2.2.m2.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be an integer between <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition11.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmdefinition11.p1.3.3.m3.1a"><mn id="S2.Thmdefinition11.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmdefinition11.p1.3.3.m3.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition11.p1.3.3.m3.1b"><cn id="S2.Thmdefinition11.p1.3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition11.p1.3.3.m3.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition11.p1.3.3.m3.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition11.p1.3.3.m3.1d">1</annotation></semantics></math> and <math alttext="t-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1"><minus id="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1.1"></minus><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1c">t-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition11.p1.4.4.m4.1d">italic_t - 1</annotation></semantics></math>. Define <math alttext="t_{\textrm{in}}=t-t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2.2" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2.3" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.2" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.1" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml">−</mo><msub id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3.2" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3.3" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3.3a.cmml">out</mtext></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1"><eq id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.2.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3"><minus id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.1"></minus><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1.1.3.3.3">out</mtext></ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1c">t_{\textrm{in}}=t-t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition11.p1.5.5.m5.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT = italic_t - italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. We partition the set of indices <math alttext="\mathcal{I}=\{1,2,\dots,t\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4"><semantics id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4a"><mrow id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.2" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.2.cmml">ℐ</mi><mo id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.1" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.3.2" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.3.1.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.3.1.cmml">{</mo><mn id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.1.1" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.3.2.2" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.2.2" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.2.2.cmml">2</mn><mo id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.3.2.3" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.3.3.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.3.2.4" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.4" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.4.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.3.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4b"><apply id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5"><eq id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.1"></eq><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.2">ℐ</ci><set id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.5.3.2"><cn id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.1.1">1</cn><cn id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.2.2">2</cn><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.3.3">…</ci><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4.4">𝑡</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4c">\mathcal{I}=\{1,2,\dots,t\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition11.p1.6.6.m6.4d">caligraphic_I = { 1 , 2 , … , italic_t }</annotation></semantics></math> into <math alttext="2" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition11.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S2.Thmdefinition11.p1.7.7.m7.1a"><mn id="S2.Thmdefinition11.p1.7.7.m7.1.1" xref="S2.Thmdefinition11.p1.7.7.m7.1.1.cmml">2</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition11.p1.7.7.m7.1b"><cn id="S2.Thmdefinition11.p1.7.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition11.p1.7.7.m7.1.1">2</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition11.p1.7.7.m7.1c">2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition11.p1.7.7.m7.1d">2</annotation></semantics></math> disjoint subsets <math alttext="\mathcal{I}_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1"><semantics id="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1a"><msub id="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1" xref="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1b"><apply id="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1.2">ℐ</ci><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1c">\mathcal{I}_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition11.p1.8.8.m8.1d">caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{I}_{\textrm{in}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1"><semantics id="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1a"><msub id="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1" xref="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1b"><apply id="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1.2">ℐ</ci><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1.1.3">in</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1c">\mathcal{I}_{\textrm{in}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition11.p1.9.9.m9.1d">caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of size <math alttext="t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1"><semantics id="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1a"><msub id="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1" xref="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1b"><apply id="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1c">t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition11.p1.10.10.m10.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="t_{\textrm{in}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1"><semantics id="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1a"><msub id="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1" xref="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1b"><apply id="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1.1.3">in</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1c">t_{\textrm{in}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition11.p1.11.11.m11.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> respectively, such that</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.Thmdefinition11.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E23"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{I}_{\textrm{in}}\cup\mathcal{I}_{\textrm{out}}=\mathcal{I},\quad% \mathcal{I}_{\textrm{in}}\cap\mathcal{I}_{\textrm{out}}=\emptyset" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E23.m1.2"><semantics id="S2.E23.m1.2a"><mrow id="S2.E23.m1.2.2.2" xref="S2.E23.m1.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.E23.m1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">∪</mo><msub id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3.3a.cmml">out</mtext></msub></mrow><mo id="S2.E23.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E23.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.3.cmml">ℐ</mi></mrow><mo id="S2.E23.m1.2.2.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E23.m1.2.2.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E23.m1.2.2.2.2" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2.2" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.1" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.1.cmml">∩</mo><msub id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3.3a.cmml">out</mtext></msub></mrow><mo id="S2.E23.m1.2.2.2.2.1" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.1.cmml">=</mo><mi id="S2.E23.m1.2.2.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.3.cmml">∅</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E23.m1.2b"><apply id="S2.E23.m1.2.2.3.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.2.2.3a.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E23.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1"><eq id="S2.E23.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2"><union id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.1"></union><apply id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2.2">ℐ</ci><ci id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.2.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3.2">ℐ</ci><ci id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3.3a.cmml" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.2.3.3">out</mtext></ci></apply></apply><ci id="S2.E23.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E23.m1.1.1.1.1.3">ℐ</ci></apply><apply id="S2.E23.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2"><eq id="S2.E23.m1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.1"></eq><apply id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2"><intersect id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.1"></intersect><apply id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2.2">ℐ</ci><ci id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.2.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3.2">ℐ</ci><ci id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3.3a.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.2.3.3">out</mtext></ci></apply></apply><emptyset id="S2.E23.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E23.m1.2.2.2.2.3"></emptyset></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E23.m1.2c">\mathcal{I}_{\textrm{in}}\cup\mathcal{I}_{\textrm{out}}=\mathcal{I},\quad% \mathcal{I}_{\textrm{in}}\cap\mathcal{I}_{\textrm{out}}=\emptyset</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E23.m1.2d">caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ∪ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT = caligraphic_I , caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ∩ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT = ∅</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(23)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p ltx_align_right" id="S2.Thmdefinition11.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition11.p2.1.1">(index partition)</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition12"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition12.1.1.1">Definition 2.12</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition12.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmdefinition12.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition12.p1.12"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition12.p1.12.12">Let <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition12.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition12.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmdefinition12.p1.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.1.1.m1.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition12.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.1.1.m1.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition12.p1.1.1.m1.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition12.p1.1.1.m1.1d">italic_t</annotation></semantics></math> be the total number of observations, and let <math alttext="t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1a"><msub id="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1c">t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition12.p1.2.2.m2.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be an integer between <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition12.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmdefinition12.p1.3.3.m3.1a"><mn id="S2.Thmdefinition12.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.3.3.m3.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition12.p1.3.3.m3.1b"><cn id="S2.Thmdefinition12.p1.3.3.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition12.p1.3.3.m3.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition12.p1.3.3.m3.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition12.p1.3.3.m3.1d">1</annotation></semantics></math> and <math alttext="t-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1"><minus id="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1.1"></minus><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1c">t-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition12.p1.4.4.m4.1d">italic_t - 1</annotation></semantics></math> such that <math alttext="t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1a"><msub id="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1c">t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition12.p1.5.5.m5.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> divides <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition12.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S2.Thmdefinition12.p1.6.6.m6.1a"><mi id="S2.Thmdefinition12.p1.6.6.m6.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.6.6.m6.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition12.p1.6.6.m6.1b"><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.6.6.m6.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition12.p1.6.6.m6.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition12.p1.6.6.m6.1d">italic_t</annotation></semantics></math>. Define <math alttext="k=t/t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.2" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.1.cmml">/</mo><msub id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3.2" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3.3" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3.3a.cmml">out</mtext></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1b"><apply id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1"><eq id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.1"></eq><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.2">𝑘</ci><apply id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3"><divide id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.1"></divide><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1.1.3.3.3">out</mtext></ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1c">k=t/t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition12.p1.7.7.m7.1d">italic_k = italic_t / italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="t_{\textrm{in}}=t-t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1"><semantics id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.cmml"><msub id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2.2" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2.3" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.2" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.1.cmml">−</mo><msub id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3.2" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3.3" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3.3a.cmml">out</mtext></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1b"><apply id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1"><eq id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.1"></eq><apply id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.2.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3"><minus id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.1"></minus><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1.1.3.3.3">out</mtext></ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1c">t_{\textrm{in}}=t-t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition12.p1.8.8.m8.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT = italic_t - italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. We partition the set of indices <math alttext="\mathcal{I}=\{1,2,\dots,t\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4"><semantics id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4a"><mrow id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.2" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.2.cmml">ℐ</mi><mo id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.3.2" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.3.1.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.3.1.cmml">{</mo><mn id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.1.1.cmml">1</mn><mo id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.3.2.2" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.2.2" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.2.2.cmml">2</mn><mo id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.3.2.3" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.3.3" mathvariant="normal" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.3.3.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.3.2.4" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.4" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.4.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.3.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4b"><apply id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5"><eq id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.1"></eq><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.2">ℐ</ci><set id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.5.3.2"><cn id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.1.1">1</cn><cn id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.2.2">2</cn><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.3.3">…</ci><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4.4">𝑡</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4c">\mathcal{I}=\{1,2,\dots,t\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition12.p1.9.9.m9.4d">caligraphic_I = { 1 , 2 , … , italic_t }</annotation></semantics></math> into <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition12.p1.10.10.m10.1"><semantics id="S2.Thmdefinition12.p1.10.10.m10.1a"><mi id="S2.Thmdefinition12.p1.10.10.m10.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.10.10.m10.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition12.p1.10.10.m10.1b"><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.10.10.m10.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition12.p1.10.10.m10.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition12.p1.10.10.m10.1d">italic_k</annotation></semantics></math> disjoint subsets <math alttext="\{\mathcal{I}_{\textrm{out},l}\}_{l=1}^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3"><semantics id="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3a"><msubsup id="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3.3" xref="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3.3.cmml"><mrow id="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3.3.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3.3.1.1.1.2" stretchy="false" 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xref="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></set><apply id="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3.3.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3.3.1.3"><eq id="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3.3.1.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3.3.1.3.1"></eq><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3.3.1.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3.3.1.3.2">𝑙</ci><cn id="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3.3.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3.3.1.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3.3.3">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3c">\{\mathcal{I}_{\textrm{out},l}\}_{l=1}^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition12.p1.11.11.m11.3d">{ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out , italic_l end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, each of size <math alttext="t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1"><semantics id="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1a"><msub id="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1b"><apply id="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1c">t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition12.p1.12.12.m12.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>, such that</span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmdefinition12.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E24"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bigcup_{l=1}^{k}\mathcal{I}_{\textrm{out},l}=\mathcal{I},\quad\mathcal{I}_{% \textrm{out},l}\cap\mathcal{I}_{\textrm{out},m}=\emptyset\text{ for }l\neq m." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E24.m1.7"><semantics id="S2.E24.m1.7a"><mrow id="S2.E24.m1.7.7.1"><mrow id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><munderover id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml"><mo id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">⋃</mo><mrow id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3.2" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3.1" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3.3" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.3" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.3.cmml">k</mi></munderover><msub id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.cmml">ℐ</mi><mrow id="S2.E24.m1.2.2.2.4" xref="S2.E24.m1.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E24.m1.1.1.1.1" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1a.cmml">out</mtext><mo id="S2.E24.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E24.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E24.m1.2.2.2.2" xref="S2.E24.m1.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.3" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml">ℐ</mi></mrow><mo id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml"><msub id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml">ℐ</mi><mrow id="S2.E24.m1.4.4.2.4" xref="S2.E24.m1.4.4.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E24.m1.3.3.1.1" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1a.cmml">out</mtext><mo id="S2.E24.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.E24.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E24.m1.4.4.2.2" xref="S2.E24.m1.4.4.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.1" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.cmml">∩</mo><msub id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.3" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.2" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.2.cmml">ℐ</mi><mrow id="S2.E24.m1.6.6.2.4" xref="S2.E24.m1.6.6.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E24.m1.5.5.1.1" xref="S2.E24.m1.5.5.1.1a.cmml">out</mtext><mo id="S2.E24.m1.6.6.2.4.1" xref="S2.E24.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E24.m1.6.6.2.2" xref="S2.E24.m1.6.6.2.2.cmml">m</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.3" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.cmml"><mi id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.2" mathvariant="normal" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.2.cmml">∅</mi><mo id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.1" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.3" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.3a.cmml"> for </mtext><mo id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.1a" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.4" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.4.cmml">l</mi></mrow><mo id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.5" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.5.cmml">≠</mo><mi id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.6" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.6.cmml">m</mi></mrow></mrow><mo id="S2.E24.m1.7.7.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E24.m1.7b"><apply id="S2.E24.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E24.m1.7.7.1.1.3a.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1"><eq id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2"><apply id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1">subscript</csymbol><union id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.2"></union><apply id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3"><eq id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.1.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2">ℐ</ci><list id="S2.E24.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E24.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.E24.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E24.m1.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E24.m1.1.1.1.1">out</mtext></ci><ci id="S2.E24.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply><ci id="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.1.1.3">ℐ</ci></apply><apply id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2"><and id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2a.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2"></and><apply id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2b.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2"><eq id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.3"></eq><apply id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2"><intersect id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.1"></intersect><apply id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.2.2">ℐ</ci><list id="S2.E24.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E24.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.E24.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E24.m1.3.3.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E24.m1.3.3.1.1">out</mtext></ci><ci id="S2.E24.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.4.4.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.2.3.2">ℐ</ci><list id="S2.E24.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S2.E24.m1.6.6.2.4"><ci id="S2.E24.m1.5.5.1.1a.cmml" xref="S2.E24.m1.5.5.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E24.m1.5.5.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E24.m1.5.5.1.1">out</mtext></ci><ci id="S2.E24.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S2.E24.m1.6.6.2.2">𝑚</ci></list></apply></apply><apply id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4"><times id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.1"></times><emptyset id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.2.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.2"></emptyset><ci id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.3a.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.3"> for </mtext></ci><ci id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.4.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.4">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2c.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2"><neq id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.5.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.5"></neq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.4.cmml" id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2d.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2"></share><ci id="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.6.cmml" xref="S2.E24.m1.7.7.1.1.2.2.6">𝑚</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E24.m1.7c">\bigcup_{l=1}^{k}\mathcal{I}_{\textrm{out},l}=\mathcal{I},\quad\mathcal{I}_{% \textrm{out},l}\cap\mathcal{I}_{\textrm{out},m}=\emptyset\text{ for }l\neq m.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E24.m1.7d">⋃ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = caligraphic_I , caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out , italic_l end_POSTSUBSCRIPT ∩ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out , italic_m end_POSTSUBSCRIPT = ∅ for italic_l ≠ italic_m .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(24)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition12.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition12.p2.1.1">For each <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition12.p2.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition12.p2.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmdefinition12.p2.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p2.1.1.m1.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition12.p2.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmdefinition12.p2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p2.1.1.m1.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition12.p2.1.1.m1.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition12.p2.1.1.m1.1d">italic_l</annotation></semantics></math>, the training set indices are defined as</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E25"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{I}_{\textrm{in},l}=\mathcal{I}\setminus\mathcal{I}_{\textrm{out},l}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E25.m1.5"><semantics id="S2.E25.m1.5a"><mrow id="S2.E25.m1.5.5.1" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S2.E25.m1.5.5.1.1" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.cmml"><msub id="S2.E25.m1.5.5.1.1.2" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E25.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.2.2.cmml">ℐ</mi><mrow id="S2.E25.m1.2.2.2.4" xref="S2.E25.m1.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E25.m1.1.1.1.1" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.E25.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E25.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E25.m1.2.2.2.2" xref="S2.E25.m1.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S2.E25.m1.5.5.1.1.1" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E25.m1.5.5.1.1.3" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.2.cmml">ℐ</mi><mo id="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">∖</mo><msub id="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml">ℐ</mi><mrow id="S2.E25.m1.4.4.2.4" xref="S2.E25.m1.4.4.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E25.m1.3.3.1.1" xref="S2.E25.m1.3.3.1.1a.cmml">out</mtext><mo id="S2.E25.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.E25.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E25.m1.4.4.2.2" xref="S2.E25.m1.4.4.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S2.E25.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E25.m1.5b"><apply id="S2.E25.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S2.E25.m1.5.5.1"><eq id="S2.E25.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.1"></eq><apply id="S2.E25.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E25.m1.5.5.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E25.m1.5.5.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.2.2">ℐ</ci><list id="S2.E25.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.E25.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E25.m1.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E25.m1.1.1.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.E25.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E25.m1.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.3"><setdiff id="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.1"></setdiff><ci id="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.2">ℐ</ci><apply id="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E25.m1.5.5.1.1.3.3.2">ℐ</ci><list id="S2.E25.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E25.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.E25.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S2.E25.m1.3.3.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E25.m1.3.3.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E25.m1.3.3.1.1">out</mtext></ci><ci id="S2.E25.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E25.m1.4.4.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E25.m1.5c">\mathcal{I}_{\textrm{in},l}=\mathcal{I}\setminus\mathcal{I}_{\textrm{out},l}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E25.m1.5d">caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = caligraphic_I ∖ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out , italic_l end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(25)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p ltx_align_right" id="S2.Thmdefinition12.p2.2.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition12.p2.2.1.1">(</span><math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition12.p2.2.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition12.p2.2.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmdefinition12.p2.2.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition12.p2.2.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition12.p2.2.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmdefinition12.p2.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition12.p2.2.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition12.p2.2.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition12.p2.2.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition12.p2.2.1.2">-fold index partition)</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.SSS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS2.p2.1">Now, let us define two versions of the holdout estimator.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition13"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition13.2.1.1">Definition 2.13</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition13.3.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmdefinition13.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition13.p1.13"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.13.13">Let us consider <math alttext="\bm{X}=\{\bm{x}_{1},...,\bm{x}_{t}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3"><semantics id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.4" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">𝐗</mi><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.5" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3b"><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3"><eq id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.3"></eq><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.4">𝐗</ci><set id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2"><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝐱</ci><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3">𝑡</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3c">\bm{X}=\{\bm{x}_{1},...,\bm{x}_{t}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition13.p1.1.1.m1.3d">bold_italic_X = { bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> an i.i.d. set of centered observations of covariance <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition13.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmdefinition13.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition13.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.2.2.m2.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition13.p1.2.2.m2.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition13.p1.2.2.m2.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1a"><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1c">t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition13.p1.3.3.m3.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> an integer between <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition13.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S2.Thmdefinition13.p1.4.4.m4.1a"><mn id="S2.Thmdefinition13.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.4.4.m4.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition13.p1.4.4.m4.1b"><cn id="S2.Thmdefinition13.p1.4.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition13.p1.4.4.m4.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition13.p1.4.4.m4.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition13.p1.4.4.m4.1d">1</annotation></semantics></math> and <math alttext="t-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1"><minus id="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1.1"></minus><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1c">t-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition13.p1.5.5.m5.1d">italic_t - 1</annotation></semantics></math>, and <math alttext="\{\mathcal{I}_{\textrm{in}},\mathcal{I}_{\textrm{out}}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2"><semantics id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2a"><mrow id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.3.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2b"><set id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2"><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1.2">ℐ</ci><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.1.1.1.1.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2.2">ℐ</ci><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2.2.2.2.3">out</mtext></ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2c">\{\mathcal{I}_{\textrm{in}},\mathcal{I}_{\textrm{out}}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition13.p1.6.6.m6.2d">{ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT , caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> an index partition (definition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmdefinition11" title="Definition 2.11. ‣ 2.2.2 Cross-validation estimators ‣ 2.2 Covariance matrix estimation ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.11</span></a>)) defined from <math alttext="t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1a"><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1b"><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1c">t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition13.p1.7.7.m7.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Let us call <math alttext="\bm{E}_{\textrm{in}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1"><semantics id="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1a"><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml">𝐄</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1b"><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1.2">𝐄</ci><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1.1.3">in</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1c">\bm{E}_{\textrm{in}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition13.p1.8.8.m8.1d">bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the sample covariance over the subset of observations <math alttext="\bm{X}_{\textrm{in}}=\{\bm{x}_{i}|\,i\in\mathcal{I}_{\textrm{in}}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2"><semantics id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2a"><mrow id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.cmml"><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4.2.cmml">𝐗</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.3.1.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.4" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2b"><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2"><eq id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.3"></eq><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4.2">𝐗</ci><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.4.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2"><in id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.1"></in><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.2">𝑖</ci><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3.2">ℐ</ci><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.3.3">in</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2c">\bm{X}_{\textrm{in}}=\{\bm{x}_{i}|\,i\in\mathcal{I}_{\textrm{in}}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition13.p1.9.9.m9.2d">bold_italic_X start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT = { bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | italic_i ∈ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> (train set) and <math alttext="\bm{E}_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1"><semantics id="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1a"><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml">𝐄</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1b"><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1.2">𝐄</ci><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1c">\bm{E}_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition13.p1.10.10.m10.1d">bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the sample covariance on the remaining observations <math alttext="\bm{X}_{\textrm{out}}=\{\bm{x}_{i}|\,i\in\mathcal{I}_{\textrm{out}}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2"><semantics id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2a"><mrow id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.cmml"><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4.2.cmml">𝐗</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.3.1.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.4" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3.3a.cmml">out</mtext></msub></mrow><mo id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2b"><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2"><eq id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.3"></eq><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4.2">𝐗</ci><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.4.3">out</mtext></ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2"><in id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.1"></in><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.2">𝑖</ci><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3.2">ℐ</ci><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2.2.2.2.2.3.3">out</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2c">\bm{X}_{\textrm{out}}=\{\bm{x}_{i}|\,i\in\mathcal{I}_{\textrm{out}}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition13.p1.11.11.m11.2d">bold_italic_X start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT = { bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | italic_i ∈ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> (test set). Let us call <math alttext="\bm{V}_{\textrm{in}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1"><semantics id="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1a"><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml">𝐕</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1b"><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1.2">𝐕</ci><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1.1.3">in</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1c">\bm{V}_{\textrm{in}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition13.p1.12.12.m12.1d">bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the eigenvectors of <math alttext="\bm{E}_{\textrm{in}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1"><semantics id="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1a"><msub id="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1" xref="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1.2.cmml">𝐄</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1b"><apply id="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1.2">𝐄</ci><ci id="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1.1.3">in</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1c">\bm{E}_{\textrm{in}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition13.p1.13.13.m13.1d">bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> ranked by increasing eigenvalues. Then the holdout estimator is</span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmdefinition13.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E26"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\Xi}^{\textrm{H}}:=\bm{\Xi}^{O}(\bm{E}_{\textrm{in}},\bm{E}_{\textrm{out}}% )=\bm{V}_{\textrm{in}}\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in}}^{T}\bm{E}_{\textrm{% out}}\bm{V}_{\textrm{in}})\bm{V}_{\textrm{in}}^{T}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E26.m1.1"><semantics id="S2.E26.m1.1a"><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E26.m1.1.1.1.1.5" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.5.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.5.2.cmml">𝚵</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.5.3a.cmml">H</mtext></msup><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.6" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.6.cmml">:=</mo><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">𝚵</mi><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">O</mi></msup><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝑬</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝑬</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.7" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝑽</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.4a.cmml">Diag</mtext><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.2a" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml">𝑽</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3a.cmml">in</mtext><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml">𝑬</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1a" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.cmml">𝑽</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.2b" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.2.2" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml">𝑽</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.2.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.2.3a.cmml">in</mtext><mi id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.3" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.E26.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E26.m1.1b"><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1"><and id="S2.E26.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1"></and><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1b.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.6">assign</csymbol><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.5.2">𝚵</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.5.3a.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.5.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.5.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.5.3">H</mtext></ci></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.4.2">𝚵</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.4.3">𝑂</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑬</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑬</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">out</mtext></ci></apply></interval></apply></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1"><eq id="S2.E26.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.7"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.E26.m1.1.1.1.1.2.cmml" id="S2.E26.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1"></share><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.2"></times><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝑽</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.3.3">in</mtext></ci></apply><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.4a.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.4"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.4">Diag</mtext></ci><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1"><times id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2">𝑽</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3">in</mtext></ci></apply><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2">𝑬</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">out</mtext></ci></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2">𝑽</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3a.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3">in</mtext></ci></apply></apply><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5">superscript</csymbol><apply id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.2.1.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.2.2.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.2.2">𝑽</ci><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.2.3a.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.2.3">in</mtext></ci></apply><ci id="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.3.cmml" xref="S2.E26.m1.1.1.1.1.3.5.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E26.m1.1c">\bm{\Xi}^{\textrm{H}}:=\bm{\Xi}^{O}(\bm{E}_{\textrm{in}},\bm{E}_{\textrm{out}}% )=\bm{V}_{\textrm{in}}\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in}}^{T}\bm{E}_{\textrm{% out}}\bm{V}_{\textrm{in}})\bm{V}_{\textrm{in}}^{T}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E26.m1.1d">bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT := bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT italic_O end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT ) = bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT Diag ( bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(26)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_logical-block" id="S2.Thmdefinition13.1"> <div class="ltx_para" id="S2.Thmdefinition13.1.p1"> <p class="ltx_p ltx_align_right" id="S2.Thmdefinition13.1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition13.1.p1.1.1">(holdout estimator)</span></p> </div> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS2.SSS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS2.p3.1">The formerly defined estimator is not a RIE, in fact, it does not use the sample eigenvectors. Instead, from the following definition, we can define a RIE</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition14"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition14.1.1.1">Definition 2.14</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition14.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmdefinition14.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition14.p1.16"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.16.16">Let us consider <math alttext="\bm{X}=\{\bm{x}_{1},...,\bm{x}_{t}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.4" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">𝐗</mi><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.5" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3b"><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3"><eq id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.3"></eq><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.4">𝐗</ci><set id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2"><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝐱</ci><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3">𝑡</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3c">\bm{X}=\{\bm{x}_{1},...,\bm{x}_{t}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.1.1.m1.3d">bold_italic_X = { bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> an i.i.d. set of centered observations of population covariance <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.2.2.m2.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.2.2.m2.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.2.2.m2.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> and sample covariance <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.3.3.m3.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.3.3.m3.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.3.3.m3.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.3.3.m3.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1a"><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1c">t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.4.4.m4.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> an integer between <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.5.5.m5.1a"><mn id="S2.Thmdefinition14.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.5.5.m5.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.5.5.m5.1b"><cn id="S2.Thmdefinition14.p1.5.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition14.p1.5.5.m5.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.5.5.m5.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.5.5.m5.1d">1</annotation></semantics></math> and <math alttext="t-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1"><minus id="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1.1"></minus><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1c">t-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.6.6.m6.1d">italic_t - 1</annotation></semantics></math>,and <math alttext="\{\mathcal{I}_{\textrm{in}},\mathcal{I}_{\textrm{out}}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2a"><mrow id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2b"><set id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2"><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2">ℐ</ci><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2">ℐ</ci><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3">out</mtext></ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2c">\{\mathcal{I}_{\textrm{in}},\mathcal{I}_{\textrm{out}}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.7.7.m7.2d">{ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT , caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> an index partition (definition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmdefinition11" title="Definition 2.11. ‣ 2.2.2 Cross-validation estimators ‣ 2.2 Covariance matrix estimation ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.11</span></a>)) defined from <math alttext="t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1a"><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1b"><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1c">t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.8.8.m8.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Let us call <math alttext="\bm{E}_{\textrm{in}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1a"><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1.2.cmml">𝐄</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1b"><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1.2">𝐄</ci><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1.1.3">in</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1c">\bm{E}_{\textrm{in}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.9.9.m9.1d">bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the sample covariance over the subset of observations <math alttext="\bm{X}_{\textrm{in}}=\{\bm{x}_{i}|\,i\in\mathcal{I}_{\textrm{in}}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2a"><mrow id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.cmml"><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4.2.cmml">𝐗</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.3.1.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.4" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2b"><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2"><eq id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.3"></eq><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4.2">𝐗</ci><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.4.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2"><in id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.1"></in><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.2">𝑖</ci><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3.2">ℐ</ci><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2.2.2.2.2.3.3">in</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2c">\bm{X}_{\textrm{in}}=\{\bm{x}_{i}|\,i\in\mathcal{I}_{\textrm{in}}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.10.10.m10.2d">bold_italic_X start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT = { bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | italic_i ∈ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> (train set) and <math alttext="\bm{E}_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1a"><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1.2.cmml">𝐄</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1b"><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1.2">𝐄</ci><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1c">\bm{E}_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.11.11.m11.1d">bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the sample covariance on the remaining observations <math alttext="\bm{X}_{\textrm{out}}=\{\bm{x}_{i}|\,i\in\mathcal{I}_{\textrm{out}}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2a"><mrow id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.cmml"><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4.2.cmml">𝐗</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.3.1.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.4" lspace="0em" rspace="0.170em" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3.3a.cmml">out</mtext></msub></mrow><mo id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2b"><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2"><eq id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.3"></eq><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4.2">𝐗</ci><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.4.3">out</mtext></ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2"><in id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.1"></in><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.2">𝑖</ci><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3.2">ℐ</ci><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2.2.2.2.2.3.3">out</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2c">\bm{X}_{\textrm{out}}=\{\bm{x}_{i}|\,i\in\mathcal{I}_{\textrm{out}}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.12.12.m12.2d">bold_italic_X start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT = { bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | italic_i ∈ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> (test set). Let us call <math alttext="\bm{V}_{\textrm{in}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1a"><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1.2.cmml">𝐕</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1b"><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1.2">𝐕</ci><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1.1.3">in</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1c">\bm{V}_{\textrm{in}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.13.13.m13.1d">bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.14.14.m14.1"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.14.14.m14.1a"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.14.14.m14.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.14.14.m14.1.1.cmml">𝐕</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.14.14.m14.1b"><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.14.14.m14.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.14.14.m14.1.1">𝐕</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.14.14.m14.1c">\bm{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.14.14.m14.1d">bold_italic_V</annotation></semantics></math> the eigenvectors of <math alttext="\bm{E}_{\textrm{in}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1a"><msub id="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1.2.cmml">𝐄</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1b"><apply id="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1.2">𝐄</ci><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1.1.3">in</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1c">\bm{E}_{\textrm{in}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.15.15.m15.1d">bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition14.p1.16.16.m16.1"><semantics id="S2.Thmdefinition14.p1.16.16.m16.1a"><mi id="S2.Thmdefinition14.p1.16.16.m16.1.1" xref="S2.Thmdefinition14.p1.16.16.m16.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition14.p1.16.16.m16.1b"><ci id="S2.Thmdefinition14.p1.16.16.m16.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition14.p1.16.16.m16.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition14.p1.16.16.m16.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition14.p1.16.16.m16.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math> respectively ranked according to their eigenvalues. Then the holdout eigenvalues are</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E27"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\Lambda}^{H}(\bm{E}_{\textrm{in}},\bm{E}_{\textrm{out}})=\textrm{Diag}(\bm% {V_{\textrm{in}}}^{T}\bm{E}_{\textrm{out}}\bm{V}_{\textrm{in}})," class="ltx_Math" display="block" id="S2.E27.m1.1"><semantics id="S2.E27.m1.1a"><mrow id="S2.E27.m1.1.1.1" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E27.m1.1.1.1.1" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.cmml"><msup id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.4.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml">𝚲</mi><mi id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.4.3" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml">H</mi></msup><mo id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝑬</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝑬</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E27.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.3a.cmml">Diag</mtext><mo id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mmultiscripts id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml">𝑽</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3a.cmml">in</mtext><mrow id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2a" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml"></mrow><mrow id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2b" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml"></mrow><mi id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></mmultiscripts><mo id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml">𝑬</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1a" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.cmml">𝑽</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow><mo id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E27.m1.1.1.1.2" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E27.m1.1b"><apply id="S2.E27.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1"><eq id="S2.E27.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.3"></times><apply id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.4.2">𝚲</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.4.3">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑬</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑬</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">out</mtext></ci></apply></interval></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.2"></times><ci id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.3">Diag</mtext></ci><apply id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1"><times id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.2">𝑽</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.2.3">in</mtext></ci></apply><ci id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.2">𝑬</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.3.3">out</mtext></ci></apply><apply id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.2">𝑽</ci><ci id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3a.cmml" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E27.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.4.3">in</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E27.m1.1c">\bm{\Lambda}^{H}(\bm{E}_{\textrm{in}},\bm{E}_{\textrm{out}})=\textrm{Diag}(\bm% {V_{\textrm{in}}}^{T}\bm{E}_{\textrm{out}}\bm{V}_{\textrm{in}}),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E27.m1.1d">bold_Λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT ) = Diag ( bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(27)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p ltx_align_right" id="S2.Thmdefinition14.p1.17"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.17.1">(holdout eigenvalues)</span></p> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition14.p1.18"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.18.1">and the rotational invariant holdout estimator is</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E28"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\Xi}^{RH}:=\bm{V}\bm{\Lambda}^{H}(\bm{E}_{\textrm{in}},\bm{E}_{\textrm{out% }})\bm{V}^{T}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E28.m1.1"><semantics id="S2.E28.m1.1a"><mrow id="S2.E28.m1.1.1.1" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E28.m1.1.1.1.1" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E28.m1.1.1.1.1.4" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝚵</mi><mrow id="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">R</mi><mo id="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">H</mi></mrow></msup><mo id="S2.E28.m1.1.1.1.1.3" lspace="0.278em" rspace="0.278em" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.3.cmml">:=</mo><mrow id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.4" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.4.cmml">𝑽</mi><mo id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.5" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.5.cmml"><mi id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml">𝚲</mi><mi id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.5.3" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml">H</mi></msup><mo id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.3a" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝑬</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.4" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝑬</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.3b" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.6" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.6.cmml"><mi id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.6.2" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.6.2.cmml">𝑽</mi><mi id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.6.3" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.6.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E28.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E28.m1.1b"><apply id="S2.E28.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S2.E28.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.3">assign</csymbol><apply id="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.2">𝚵</ci><apply id="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3"><times id="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3.2">𝑅</ci><ci id="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.4.3.3">𝐻</ci></apply></apply><apply id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2"><times id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.3"></times><ci id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.4">𝑽</ci><apply id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.5.1.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.5">superscript</csymbol><ci id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.5.2">𝚲</ci><ci id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.5.3.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.5.3">𝐻</ci></apply><interval closure="open" id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2"><apply id="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑬</ci><ci id="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.2">𝑬</ci><ci id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.2.2.2.3">out</mtext></ci></apply></interval><apply id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.6.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.6.1.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.6">superscript</csymbol><ci id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.6.2.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.6.2">𝑽</ci><ci id="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.6.3.cmml" xref="S2.E28.m1.1.1.1.1.2.6.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E28.m1.1c">\bm{\Xi}^{RH}:=\bm{V}\bm{\Lambda}^{H}(\bm{E}_{\textrm{in}},\bm{E}_{\textrm{out% }})\bm{V}^{T}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E28.m1.1d">bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT italic_R italic_H end_POSTSUPERSCRIPT := bold_italic_V bold_Λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT ) bold_italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(28)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p ltx_align_right" id="S2.Thmdefinition14.p1.19"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition14.p1.19.1">(rotational invariant holdout estimator)</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S2.SS2.SSS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS2.p4.1">Analogously, we present two versions of the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.SS2.SSS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.SS2.SSS2.p4.1.m1.1a"><mi id="S2.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.1" xref="S2.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.SS2.SSS2.p4.1.m1.1b"><ci id="S2.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.SS2.SSS2.p4.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.SS2.SSS2.p4.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.SS2.SSS2.p4.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV. </p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition15"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition15.2.1.1">Definition 2.15</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition15.3.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmdefinition15.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition15.p1.17"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.17.17">Let us consider <math alttext="\bm{X}=\{\bm{x}_{1},...,\bm{x}_{t}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">𝐗</mi><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.5" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3b"><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3"><eq id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.3"></eq><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.4">𝐗</ci><set id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2"><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝐱</ci><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3">𝑡</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3c">\bm{X}=\{\bm{x}_{1},...,\bm{x}_{t}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.1.1.m1.3d">bold_italic_X = { bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> an i.i.d. set of centered observations of covariance <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.2.2.m2.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.2.2.m2.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.2.2.m2.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1a"><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1c">t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.3.3.m3.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be an integer between <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.4.4.m4.1a"><mn id="S2.Thmdefinition15.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.4.4.m4.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.4.4.m4.1b"><cn id="S2.Thmdefinition15.p1.4.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition15.p1.4.4.m4.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.4.4.m4.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.4.4.m4.1d">1</annotation></semantics></math> and <math alttext="t-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1"><minus id="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1.1"></minus><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1c">t-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.5.5.m5.1d">italic_t - 1</annotation></semantics></math> such that <math alttext="t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1a"><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1c">t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.6.6.m6.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> divides <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.7.7.m7.1a"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.7.7.m7.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.7.7.m7.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.7.7.m7.1b"><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.7.7.m7.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.7.7.m7.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.7.7.m7.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, and let <math alttext="\{\mathcal{I}_{\textrm{out},l},\mathcal{I}_{\textrm{in},l}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6a"><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.3.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.5.5.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.5.5.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.5.5.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.5.5.1.1.2.cmml">ℐ</mi><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.1.1.1.1a.cmml">out</mtext><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.2.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.2.2.2.cmml">ℐ</mi><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.4.4.2.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.4.4.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.3.3.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.3.3.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.4.4.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.4.4.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.4.4.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.3.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6b"><set id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.2"><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.5.5.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.5.5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.5.5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.5.5.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.5.5.1.1.2">ℐ</ci><list id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.1.1.1.1">out</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6.6.2.2.2">ℐ</ci><list id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.4.4.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.3.3.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.3.3.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.3.3.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.3.3.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.4.4.2.2">𝑙</ci></list></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6c">\{\mathcal{I}_{\textrm{out},l},\mathcal{I}_{\textrm{in},l}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.8.8.m8.6d">{ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out , italic_l end_POSTSUBSCRIPT , caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> be a <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.9.9.m9.1"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.9.9.m9.1a"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.9.9.m9.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.9.9.m9.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.9.9.m9.1b"><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.9.9.m9.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.9.9.m9.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.9.9.m9.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.9.9.m9.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold index partition (definition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmdefinition12" title="Definition 2.12. ‣ 2.2.2 Cross-validation estimators ‣ 2.2 Covariance matrix estimation ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.12</span></a>)). For each <math alttext="1\leq l\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.cmml"><mn id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.4.cmml">l</mi><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.5" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.6" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.6.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1b"><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1"><and id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1"></and><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1b.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1"><leq id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.3"></leq><cn id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.2">1</cn><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.4">𝑙</ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1c.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1"><leq id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.5.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.4.cmml" id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1d.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1"></share><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.6.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1.1.6">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1c">1\leq l\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.10.10.m10.1d">1 ≤ italic_l ≤ italic_k</annotation></semantics></math>, let <math alttext="\bm{E}_{\textrm{in},l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2a"><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.3.2.cmml">𝐄</mi><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.1.1.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2b"><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.3.2">𝐄</ci><list id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.1.1.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2c">\bm{E}_{\textrm{in},l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.11.11.m11.2d">bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be the sample covariance over the observations <math alttext="\bm{X}_{\textrm{in},l}=\{\bm{x}_{i}|i\in\mathcal{I}_{\textrm{in},l}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6a"><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.cmml"><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.4.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.4.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.4.2.cmml">𝐗</mi><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.1.1.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.3.1.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.5.5.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.5.5.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.5.5.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.5.5.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.5.5.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.3.2.cmml">ℐ</mi><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.4.4.2.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.4.4.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.3.3.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.3.3.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.4.4.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.4.4.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.4.4.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6b"><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6"><eq id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.3"></eq><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.4.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.4.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.4.2">𝐗</ci><list id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.1.1.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.5.5.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.5.5.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2"><in id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.1"></in><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.2">𝑖</ci><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6.6.2.2.2.3.2">ℐ</ci><list id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.4.4.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.3.3.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.3.3.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.3.3.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.3.3.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.4.4.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6c">\bm{X}_{\textrm{in},l}=\{\bm{x}_{i}|i\in\mathcal{I}_{\textrm{in},l}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.12.12.m12.6d">bold_italic_X start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = { bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | italic_i ∈ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> (train set) and <math alttext="\bm{E}_{\textrm{out},l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2a"><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.3.2.cmml">𝐄</mi><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.1.1.1.1a.cmml">out</mtext><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2b"><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.3.2">𝐄</ci><list id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.1.1.1.1">out</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2c">\bm{E}_{\textrm{out},l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.13.13.m13.2d">bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT out , italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the sample covariance over the observations <math alttext="\bm{X}_{\textrm{out},l}=\{\bm{x}_{i}|i\in\mathcal{I}_{\textrm{out},l}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6a"><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.cmml"><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.4.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.4.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.4.2.cmml">𝐗</mi><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.1.1.1.1a.cmml">out</mtext><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.3.1.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.5.5.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.5.5.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.5.5.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.5.5.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.5.5.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.3.2.cmml">ℐ</mi><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.4.4.2.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.4.4.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.3.3.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.3.3.1.1a.cmml">out</mtext><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.4.4.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.4.4.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.4.4.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6b"><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6"><eq id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.3"></eq><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.4.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.4.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.4.2">𝐗</ci><list id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.1.1.1.1">out</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.5.5.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.5.5.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2"><in id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.1"></in><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.2">𝑖</ci><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6.6.2.2.2.3.2">ℐ</ci><list id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.4.4.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.3.3.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.3.3.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.3.3.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.3.3.1.1">out</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.4.4.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6c">\bm{X}_{\textrm{out},l}=\{\bm{x}_{i}|i\in\mathcal{I}_{\textrm{out},l}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.14.14.m14.6d">bold_italic_X start_POSTSUBSCRIPT out , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = { bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | italic_i ∈ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out , italic_l end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> (test set). Let <math alttext="\bm{V}_{\textrm{in},l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2a"><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.3.2.cmml">𝐕</mi><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.1.1.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2b"><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.3.2">𝐕</ci><list id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.1.1.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2c">\bm{V}_{\textrm{in},l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.15.15.m15.2d">bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the eigenvectors of <math alttext="\bm{E}_{\textrm{in},l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2a"><msub id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.3" xref="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.3.2.cmml">𝐄</mi><mrow id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.1.1.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2b"><apply id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.3.2">𝐄</ci><list id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.1.1.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2c">\bm{E}_{\textrm{in},l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.16.16.m16.2d">bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> ranked by increasing eigenvalues. Then the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.p1.17.17.m17.1"><semantics id="S2.Thmdefinition15.p1.17.17.m17.1a"><mi id="S2.Thmdefinition15.p1.17.17.m17.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.p1.17.17.m17.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.p1.17.17.m17.1b"><ci id="S2.Thmdefinition15.p1.17.17.m17.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.p1.17.17.m17.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.p1.17.17.m17.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.p1.17.17.m17.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV estimator is</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E29"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\Xi}^{\textrm{CV}}=\frac{1}{k}\sum_{l=1}^{k}\bm{\Xi}_{l}^{\textrm{H}}=% \frac{1}{k}\sum_{l=1}^{k}\bm{V}_{\textrm{in},l}\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{% in},l}^{T}\bm{E}_{\textrm{out},l}\bm{V}_{\textrm{in},l})\bm{V}_{\textrm{in},l}% ^{T}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E29.m1.11"><semantics id="S2.E29.m1.11a"><mrow id="S2.E29.m1.11.11.1" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.cmml"><mrow id="S2.E29.m1.11.11.1.1" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.cmml"><msup id="S2.E29.m1.11.11.1.1.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.3.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.3.2.cmml">𝚵</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.3.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.3.3a.cmml">CV</mtext></msup><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.1.4" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.cmml"><mfrac id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.2.cmml"><mn id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.2.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.2.2.cmml">1</mn><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.2.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.2.3.cmml">k</mi></mfrac><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.1" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.cmml"><munderover id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.cmml"><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.2.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.2.3.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.2.3.1" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.2.3.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.3.cmml">k</mi></munderover><msubsup id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.cmml"><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2.cmml">𝚵</mi><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.3.cmml">l</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.3a.cmml">H</mtext></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.1.6" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.3.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.3.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mfrac><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover><mrow id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝑽</mi><mrow id="S2.E29.m1.2.2.2.4" xref="S2.E29.m1.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.1.1.1.1" xref="S2.E29.m1.1.1.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.E29.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E29.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E29.m1.2.2.2.2" xref="S2.E29.m1.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.4a.cmml">Diag</mtext><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.2a" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝑽</mi><mrow id="S2.E29.m1.4.4.2.4" xref="S2.E29.m1.4.4.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.3.3.1.1" xref="S2.E29.m1.3.3.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.E29.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.E29.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E29.m1.4.4.2.2" xref="S2.E29.m1.4.4.2.2.cmml">l</mi></mrow><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝑬</mi><mrow id="S2.E29.m1.6.6.2.4" xref="S2.E29.m1.6.6.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.5.5.1.1" xref="S2.E29.m1.5.5.1.1a.cmml">out</mtext><mo id="S2.E29.m1.6.6.2.4.1" xref="S2.E29.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E29.m1.6.6.2.2" xref="S2.E29.m1.6.6.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝑽</mi><mrow id="S2.E29.m1.8.8.2.4" xref="S2.E29.m1.8.8.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.7.7.1.1" xref="S2.E29.m1.7.7.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.E29.m1.8.8.2.4.1" xref="S2.E29.m1.8.8.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E29.m1.8.8.2.2" xref="S2.E29.m1.8.8.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.2b" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msubsup id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.2.2" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml">𝑽</mi><mrow id="S2.E29.m1.10.10.2.4" xref="S2.E29.m1.10.10.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.9.9.1.1" xref="S2.E29.m1.9.9.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.E29.m1.10.10.2.4.1" xref="S2.E29.m1.10.10.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E29.m1.10.10.2.2" xref="S2.E29.m1.10.10.2.2.cmml">l</mi></mrow><mi id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.3" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.3.cmml">T</mi></msubsup></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E29.m1.11.11.1.2" lspace="0em" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E29.m1.11b"><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1"><and id="S2.E29.m1.11.11.1.1a.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1"></and><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1b.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1"><eq id="S2.E29.m1.11.11.1.1.4.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.4"></eq><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.3.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.3.2">𝚵</ci><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.3.3a.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.3.3">CV</mtext></ci></apply><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5"><times id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.1"></times><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.2"><divide id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.2.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.2"></divide><cn id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.2.2.cmml" type="integer" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.2.2">1</cn><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.2.3.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3"><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1">superscript</csymbol><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.1.2.cmml" 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cd="ambiguous" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.2">𝚵</ci><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.2.3">𝑙</ci></apply><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.3a.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.5.3.2.3">H</mtext></ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1c.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1"><eq id="S2.E29.m1.11.11.1.1.6.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.E29.m1.11.11.1.1.5.cmml" id="S2.E29.m1.11.11.1.1d.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1"></share><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1"><times id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.2"></times><apply 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id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.3.1"></eq><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑙</ci><cn id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.2.3">𝑘</ci></apply><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1"><times id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.3.2">𝑽</ci><list id="S2.E29.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E29.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.E29.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E29.m1.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E29.m1.1.1.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.E29.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.4a.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.4"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.4">Diag</mtext></ci><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑽</ci><list id="S2.E29.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E29.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.E29.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S2.E29.m1.3.3.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.3.3.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E29.m1.3.3.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.E29.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.4.4.2.2">𝑙</ci></list></apply><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑬</ci><list id="S2.E29.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S2.E29.m1.6.6.2.4"><ci id="S2.E29.m1.5.5.1.1a.cmml" xref="S2.E29.m1.5.5.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.5.5.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E29.m1.5.5.1.1">out</mtext></ci><ci id="S2.E29.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.6.6.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑽</ci><list id="S2.E29.m1.8.8.2.3.cmml" xref="S2.E29.m1.8.8.2.4"><ci id="S2.E29.m1.7.7.1.1a.cmml" xref="S2.E29.m1.7.7.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.7.7.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E29.m1.7.7.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.E29.m1.8.8.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.8.8.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5">superscript</csymbol><apply id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.2.1.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5">subscript</csymbol><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.2.2">𝑽</ci><list id="S2.E29.m1.10.10.2.3.cmml" xref="S2.E29.m1.10.10.2.4"><ci id="S2.E29.m1.9.9.1.1a.cmml" xref="S2.E29.m1.9.9.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E29.m1.9.9.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E29.m1.9.9.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.E29.m1.10.10.2.2.cmml" xref="S2.E29.m1.10.10.2.2">𝑙</ci></list></apply><ci id="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.3.cmml" xref="S2.E29.m1.11.11.1.1.1.1.1.5.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E29.m1.11c">\bm{\Xi}^{\textrm{CV}}=\frac{1}{k}\sum_{l=1}^{k}\bm{\Xi}_{l}^{\textrm{H}}=% \frac{1}{k}\sum_{l=1}^{k}\bm{V}_{\textrm{in},l}\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{% in},l}^{T}\bm{E}_{\textrm{out},l}\bm{V}_{\textrm{in},l})\bm{V}_{\textrm{in},l}% ^{T}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E29.m1.11d">bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT CV end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT bold_Ξ start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT Diag ( bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT out , italic_l end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(29)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.Thmdefinition15.1"> <p class="ltx_p ltx_align_right" id="S2.Thmdefinition15.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition15.1.1.1">(</span><math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition15.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition15.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmdefinition15.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition15.1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition15.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmdefinition15.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition15.1.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition15.1.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition15.1.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition15.1.1.2">-fold CV estimator)</span></p> </div> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_definition" id="S2.Thmdefinition16"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition16.2.1.1">Definition 2.16</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmdefinition16.3.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmdefinition16.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition16.p1.20"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.20.20">Let us consider <math alttext="\bm{X}=\{\bm{x}_{1},...,\bm{x}_{t}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3a"><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml">𝐗</mi><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mn id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.1.1.cmml">…</mi><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.5" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">t</mi></msub><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.6" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3b"><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3"><eq id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.3"></eq><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.4">𝐗</ci><set id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2"><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝐱</ci><cn id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.1.1">…</ci><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.2">𝐱</ci><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3.3.2.2.2.3">𝑡</ci></apply></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3c">\bm{X}=\{\bm{x}_{1},...,\bm{x}_{t}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.1.1.m1.3d">bold_italic_X = { bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , … , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> an i.i.d. set of centered observations of population covariance <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.2.2.m2.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.2.2.m2.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.2.2.m2.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.2.2.m2.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.2.2.m2.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> and sample covariance <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.3.3.m3.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.3.3.m3.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.3.3.m3.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.3.3.m3.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.3.3.m3.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1a"><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1c">t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.4.4.m4.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be an integer between <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.5.5.m5.1a"><mn id="S2.Thmdefinition16.p1.5.5.m5.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.5.5.m5.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.5.5.m5.1b"><cn id="S2.Thmdefinition16.p1.5.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition16.p1.5.5.m5.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.5.5.m5.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.5.5.m5.1d">1</annotation></semantics></math> and <math alttext="t-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1"><minus id="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1.1"></minus><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1c">t-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.6.6.m6.1d">italic_t - 1</annotation></semantics></math> such that <math alttext="t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1a"><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1b"><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1.3a.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1c">t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.7.7.m7.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> divides <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.8.8.m8.1"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.8.8.m8.1a"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.8.8.m8.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.8.8.m8.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.8.8.m8.1b"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.8.8.m8.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.8.8.m8.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.8.8.m8.1d">italic_t</annotation></semantics></math>, and let <math alttext="\{\mathcal{I}_{\textrm{in},l},\mathcal{I}_{\textrm{out},l}\}_{l=1}^{k}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6a"><msubsup id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.cmml"><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.3.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.5.5.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.5.5.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.5.5.1.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.5.5.1.1.1.1.2.cmml">ℐ</mi><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.1.1.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.2.2.2.cmml">ℐ</mi><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.4.4.2.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.4.4.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.3.3.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.3.3.1.1a.cmml">out</mtext><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.4.4.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.4.4.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.4.4.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.3.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4.2.cmml">l</mi><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4.1.cmml">=</mo><mn id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.4.cmml">k</mi></msubsup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6b"><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6">superscript</csymbol><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6">subscript</csymbol><set id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.2"><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.5.5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.5.5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.5.5.1.1.1.1.2">ℐ</ci><list id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.1.1.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.2.2.2.2">ℐ</ci><list id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.4.4.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.3.3.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.3.3.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.3.3.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.3.3.1.1">out</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.4.4.2.2">𝑙</ci></list></apply></set><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4"><eq id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4.1"></eq><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4.2">𝑙</ci><cn id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.2.4.3">1</cn></apply></apply><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6.6.4">𝑘</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6c">\{\mathcal{I}_{\textrm{in},l},\mathcal{I}_{\textrm{out},l}\}_{l=1}^{k}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.9.9.m9.6d">{ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT , caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out , italic_l end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> be a <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.10.10.m10.1"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.10.10.m10.1a"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.10.10.m10.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.10.10.m10.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.10.10.m10.1b"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.10.10.m10.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.10.10.m10.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.10.10.m10.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold index partition (definition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmdefinition12" title="Definition 2.12. ‣ 2.2.2 Cross-validation estimators ‣ 2.2 Covariance matrix estimation ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.12</span></a>)). For each <math alttext="1\leq l\leq k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1a"><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.cmml"><mn id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.3.cmml">≤</mo><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.4.cmml">l</mi><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.5" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.5.cmml">≤</mo><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.6" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.6.cmml">k</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1b"><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1"><and id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1"></and><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1b.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1"><leq id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.3"></leq><cn id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.2">1</cn><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.4">𝑙</ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1c.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1"><leq id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.5.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.4.cmml" id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1d.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1"></share><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.6.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1.1.6">𝑘</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1c">1\leq l\leq k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.11.11.m11.1d">1 ≤ italic_l ≤ italic_k</annotation></semantics></math>, let <math alttext="\bm{E}_{\textrm{in},l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2a"><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.3.2.cmml">𝐄</mi><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.1.1.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2b"><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.3.2">𝐄</ci><list id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.1.1.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2c">\bm{E}_{\textrm{in},l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.12.12.m12.2d">bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> be the sample covariance over the observations <math alttext="\bm{X}_{\textrm{in},l}=\{\bm{x}_{i}|i\in\mathcal{I}_{\textrm{in},l}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6a"><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.cmml"><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.4.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.4.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.4.2.cmml">𝐗</mi><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.1.1.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.3.1.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.5.5.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.5.5.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.5.5.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.5.5.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.5.5.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.3.2.cmml">ℐ</mi><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.4.4.2.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.4.4.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.3.3.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.3.3.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.4.4.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.4.4.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.4.4.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6b"><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6"><eq id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.3"></eq><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.4.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.4.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.4.2">𝐗</ci><list id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.1.1.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.5.5.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.5.5.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2"><in id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.1"></in><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.2">𝑖</ci><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6.6.2.2.2.3.2">ℐ</ci><list id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.4.4.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.3.3.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.3.3.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.3.3.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.3.3.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.4.4.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6c">\bm{X}_{\textrm{in},l}=\{\bm{x}_{i}|i\in\mathcal{I}_{\textrm{in},l}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.13.13.m13.6d">bold_italic_X start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = { bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | italic_i ∈ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> (train set) and <math alttext="\bm{E}_{\textrm{out},l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2a"><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.3.2.cmml">𝐄</mi><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.1.1.1.1a.cmml">out</mtext><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2b"><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.3.2">𝐄</ci><list id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.1.1.1.1">out</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2c">\bm{E}_{\textrm{out},l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.14.14.m14.2d">bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT out , italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the sample covariance over the observations <math alttext="\bm{X}_{\textrm{out},l}=\{\bm{x}_{i}|i\in\mathcal{I}_{\textrm{out},l}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6a"><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.cmml"><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.4.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.4.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.4.2.cmml">𝐗</mi><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.1.1.1.1a.cmml">out</mtext><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.3.cmml"><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.3.1.cmml">{</mo><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.5.5.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.5.5.1.1.1.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.5.5.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.5.5.1.1.1.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.5.5.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.4" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.2.cmml">i</mi><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.1.cmml">∈</mo><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.3.2.cmml">ℐ</mi><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.4.4.2.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.4.4.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.3.3.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.3.3.1.1a.cmml">out</mtext><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.4.4.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.4.4.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.4.4.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.5" stretchy="false" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6b"><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6"><eq id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.3"></eq><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.4.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.4.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.4">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.4.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.4.2">𝐗</ci><list id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.1.1.1.1">out</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.3">conditional-set</csymbol><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.5.5.1.1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.5.5.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.5.5.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.5.5.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2"><in id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.1"></in><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.2">𝑖</ci><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6.6.2.2.2.3.2">ℐ</ci><list id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.4.4.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.4.4.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.3.3.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.3.3.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.3.3.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.3.3.1.1">out</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.4.4.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.4.4.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6c">\bm{X}_{\textrm{out},l}=\{\bm{x}_{i}|i\in\mathcal{I}_{\textrm{out},l}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.15.15.m15.6d">bold_italic_X start_POSTSUBSCRIPT out , italic_l end_POSTSUBSCRIPT = { bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | italic_i ∈ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out , italic_l end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> (test set). Let <math alttext="\bm{V}_{\textrm{in},l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2a"><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.3.2.cmml">𝐕</mi><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.1.1.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2b"><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.3.2">𝐕</ci><list id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.1.1.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2c">\bm{V}_{\textrm{in},l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.16.16.m16.2d">bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{V}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.17.17.m17.1"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.17.17.m17.1a"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.17.17.m17.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.17.17.m17.1.1.cmml">𝐕</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.17.17.m17.1b"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.17.17.m17.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.17.17.m17.1.1">𝐕</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.17.17.m17.1c">\bm{V}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.17.17.m17.1d">bold_italic_V</annotation></semantics></math> be eigenvectors of <math alttext="\bm{E}_{\textrm{in},l}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2a"><msub id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.3" xref="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.3.cmml"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.3.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.3.2.cmml">𝐄</mi><mrow id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.2.2.4" xref="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.1.1.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.1.1.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.2.2.4.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.2.2.2" xref="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2b"><apply id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.3.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.3.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.3.2">𝐄</ci><list id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.2.2.3.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.2.2.4"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.1.1.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.2.2.2.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2c">\bm{E}_{\textrm{in},l}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.18.18.m18.2d">bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="\bm{E}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.19.19.m19.1"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.19.19.m19.1a"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.19.19.m19.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.19.19.m19.1.1.cmml">𝐄</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.19.19.m19.1b"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.19.19.m19.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.19.19.m19.1.1">𝐄</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.19.19.m19.1c">\bm{E}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.19.19.m19.1d">bold_italic_E</annotation></semantics></math> respectively ranked according to their eigenvalues. Then the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p1.20.20.m20.1"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p1.20.20.m20.1a"><mi id="S2.Thmdefinition16.p1.20.20.m20.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p1.20.20.m20.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p1.20.20.m20.1b"><ci id="S2.Thmdefinition16.p1.20.20.m20.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p1.20.20.m20.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p1.20.20.m20.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p1.20.20.m20.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV eigenvalues are</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E30"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\Lambda}^{\textrm{CV}}=\frac{1}{k}\sum_{l=1}^{k}\bm{\Lambda}^{H}_{l}=\frac% {1}{k}\sum_{l=1}^{k}\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in},l}^{T}\bm{E}_{\textrm{% out},l}\bm{V}_{\textrm{in},l})." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E30.m1.7"><semantics id="S2.E30.m1.7a"><mrow id="S2.E30.m1.7.7.1" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.cmml"><mrow id="S2.E30.m1.7.7.1.1" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.cmml"><msup id="S2.E30.m1.7.7.1.1.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E30.m1.7.7.1.1.3.2" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.3.2.cmml">𝚲</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E30.m1.7.7.1.1.3.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.3.3a.cmml">CV</mtext></msup><mo id="S2.E30.m1.7.7.1.1.4" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.cmml"><mfrac id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.2" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.2.cmml"><mn id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.2.2" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.2.2.cmml">1</mn><mi id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.2.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.2.3.cmml">k</mi></mfrac><mo id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.1" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.cmml"><munderover id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.1" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.1.cmml"><mo id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.1.2.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.1.2.3.cmml"><mi id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.1.2.3.2" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.1.2.3.1" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.1.2.3.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.1.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.1.3.cmml">k</mi></munderover><msubsup id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.2" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.2.cmml"><mi id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.2.2.2" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.2.2.2.cmml">𝚲</mi><mi id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.2.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.2.3.cmml">l</mi><mi id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.2.2.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.3.2.2.3.cmml">H</mi></msubsup></mrow></mrow><mo id="S2.E30.m1.7.7.1.1.6" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.cmml"><mfrac id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.3.cmml"><mn id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.3.2" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mi id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.3.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mfrac><mo id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.2" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.cmml"><munderover id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.2.3.cmml">k</mi></munderover><mrow id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.3a.cmml">Diag</mtext><mo id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝑽</mi><mrow id="S2.E30.m1.2.2.2.4" xref="S2.E30.m1.2.2.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E30.m1.1.1.1.1" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.E30.m1.2.2.2.4.1" xref="S2.E30.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E30.m1.2.2.2.2" xref="S2.E30.m1.2.2.2.2.cmml">l</mi></mrow><mi id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝑬</mi><mrow id="S2.E30.m1.4.4.2.4" xref="S2.E30.m1.4.4.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E30.m1.3.3.1.1" xref="S2.E30.m1.3.3.1.1a.cmml">out</mtext><mo id="S2.E30.m1.4.4.2.4.1" xref="S2.E30.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E30.m1.4.4.2.2" xref="S2.E30.m1.4.4.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝑽</mi><mrow id="S2.E30.m1.6.6.2.4" xref="S2.E30.m1.6.6.2.3.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E30.m1.5.5.1.1" xref="S2.E30.m1.5.5.1.1a.cmml">in</mtext><mo id="S2.E30.m1.6.6.2.4.1" xref="S2.E30.m1.6.6.2.3.cmml">,</mo><mi id="S2.E30.m1.6.6.2.2" xref="S2.E30.m1.6.6.2.2.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E30.m1.7.7.1.2" lspace="0em" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E30.m1.7b"><apply id="S2.E30.m1.7.7.1.1.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1"><and id="S2.E30.m1.7.7.1.1a.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1"></and><apply id="S2.E30.m1.7.7.1.1b.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1"><eq id="S2.E30.m1.7.7.1.1.4.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.4"></eq><apply id="S2.E30.m1.7.7.1.1.3.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E30.m1.7.7.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E30.m1.7.7.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.3.2">𝚲</ci><ci id="S2.E30.m1.7.7.1.1.3.3a.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E30.m1.7.7.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.3.3">CV</mtext></ci></apply><apply id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5"><times id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.1.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.1"></times><apply id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.2.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.2"><divide id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.2.1.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.2"></divide><cn id="S2.E30.m1.7.7.1.1.5.2.2.cmml" type="integer" 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id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑽</ci><list id="S2.E30.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.E30.m1.2.2.2.4"><ci id="S2.E30.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E30.m1.1.1.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E30.m1.1.1.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.E30.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E30.m1.2.2.2.2">𝑙</ci></list></apply><ci id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><apply id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑬</ci><list id="S2.E30.m1.4.4.2.3.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.2.4"><ci id="S2.E30.m1.3.3.1.1a.cmml" xref="S2.E30.m1.3.3.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E30.m1.3.3.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E30.m1.3.3.1.1">out</mtext></ci><ci id="S2.E30.m1.4.4.2.2.cmml" xref="S2.E30.m1.4.4.2.2">𝑙</ci></list></apply><apply id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S2.E30.m1.7.7.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑽</ci><list id="S2.E30.m1.6.6.2.3.cmml" xref="S2.E30.m1.6.6.2.4"><ci id="S2.E30.m1.5.5.1.1a.cmml" xref="S2.E30.m1.5.5.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E30.m1.5.5.1.1.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E30.m1.5.5.1.1">in</mtext></ci><ci id="S2.E30.m1.6.6.2.2.cmml" xref="S2.E30.m1.6.6.2.2">𝑙</ci></list></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E30.m1.7c">\bm{\Lambda}^{\textrm{CV}}=\frac{1}{k}\sum_{l=1}^{k}\bm{\Lambda}^{H}_{l}=\frac% {1}{k}\sum_{l=1}^{k}\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in},l}^{T}\bm{E}_{\textrm{% out},l}\bm{V}_{\textrm{in},l}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E30.m1.7d">bold_Λ start_POSTSUPERSCRIPT CV end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT bold_Λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_H end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_k end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT Diag ( bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT out , italic_l end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in , italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(30)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.Thmdefinition16.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmdefinition16.p2.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition16.p2.1.1">The rotational invariant <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.p2.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition16.p2.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmdefinition16.p2.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.p2.1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.p2.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmdefinition16.p2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.p2.1.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.p2.1.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.p2.1.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV estimator is then</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E31"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\Xi}^{\textrm{RCV}}=\bm{V}\bm{\Lambda}^{\textrm{CV}}\bm{V}^{T}." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E31.m1.1"><semantics id="S2.E31.m1.1a"><mrow id="S2.E31.m1.1.1.1" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E31.m1.1.1.1.1" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S2.E31.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E31.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚵</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E31.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.2.3a.cmml">RCV</mtext></msup><mo id="S2.E31.m1.1.1.1.1.1" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝑽</mi><mo id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝚲</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3a.cmml">CV</mtext></msup><mo id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">𝑽</mi><mi id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml">T</mi></msup></mrow></mrow><mo id="S2.E31.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E31.m1.1b"><apply id="S2.E31.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1"><eq id="S2.E31.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E31.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E31.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S2.E31.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.2.2">𝚵</ci><ci id="S2.E31.m1.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E31.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.2.3">RCV</mtext></ci></apply><apply id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.2">𝑽</ci><apply id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3">superscript</csymbol><ci id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3.2">𝚲</ci><ci id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.3.3">CV</mtext></ci></apply><apply id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.4.2">𝑽</ci><ci id="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" xref="S2.E31.m1.1.1.1.1.3.4.3">𝑇</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E31.m1.1c">\bm{\Xi}^{\textrm{RCV}}=\bm{V}\bm{\Lambda}^{\textrm{CV}}\bm{V}^{T}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E31.m1.1d">bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT RCV end_POSTSUPERSCRIPT = bold_italic_V bold_Λ start_POSTSUPERSCRIPT CV end_POSTSUPERSCRIPT bold_italic_V start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(31)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S2.Thmdefinition16.1"> <p class="ltx_p ltx_align_right" id="S2.Thmdefinition16.1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition16.1.1.1">(rotational invariant </span><math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.Thmdefinition16.1.1.m1.1"><semantics id="S2.Thmdefinition16.1.1.m1.1a"><mi id="S2.Thmdefinition16.1.1.m1.1.1" xref="S2.Thmdefinition16.1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.Thmdefinition16.1.1.m1.1b"><ci id="S2.Thmdefinition16.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.Thmdefinition16.1.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.Thmdefinition16.1.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.Thmdefinition16.1.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmdefinition16.1.1.2">-fold CV)</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S2.SS2.SSS2.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.SS2.SSS2.p5.1">We observed numerically that the first version of CV outperforms the second one; however, in this case, we do not have analytical proof.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remark" id="S2.Thmremark2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmremark2.1.1.1">Remark 2.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.Thmremark2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S2.Thmremark2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.Thmremark2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S2.Thmremark2.p1.1.1">In the general case, the specific partitioning of the train and test indices can influence the performance of the estimator, unlike the i.i.d. setting, where only the size of the train and test sets matter.</span></p> </div> </div> </section> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">3 </span>Derivation of the Estimation Error for the Holdout</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.1">In the forthcoming section, we compute analytically the expected Frobenius error of the holdout estimator for Gaussian i.i.d. data. Since the general case is not fully analytical, we derived a closed form of the Frobenius estimator error when the population covariance is drawn from a white inverse Wishart distribution. In this regime, we can also identify the optimal split.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.p2.4">Before carrying on the derivation of the error, it is worth having a look at the shapes of the Frobenius error as a function of the as a function of the train-test ratio factor <math alttext="k=t/t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.p2.1.m1.1.1.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml">t</mi><mo id="S3.p2.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml">/</mo><msub id="S3.p2.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mtext id="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.3a.cmml">out</mtext></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1"><eq id="S3.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><apply id="S3.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3"><divide id="S3.p2.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.2">𝑡</ci><apply id="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.3"><mtext id="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.p2.1.m1.1.1.3.3.3">out</mtext></ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.1.m1.1c">k=t/t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.1.m1.1d">italic_k = italic_t / italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. In figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.F1" title="Figure 1 ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>, we show that either CV and Holdout methods exhibit a minimum error point that is not at an extreme value of <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.p2.2.m2.1a"><mi id="S3.p2.2.m2.1.1" xref="S3.p2.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.2.m2.1b"><ci id="S3.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.p2.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math>. Although the exact locations of the minimum can be different among the two methods, numerical simulations seem to indicate a similar scale factor. This discrepancy might arise from the distinct meaning of <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.p2.3.m3.1a"><mi id="S3.p2.3.m3.1.1" xref="S3.p2.3.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.3.m3.1b"><ci id="S3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.p2.3.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.3.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.3.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math> in each case: in the CV method, <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.p2.4.m4.1a"><mi id="S3.p2.4.m4.1.1" xref="S3.p2.4.m4.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.p2.4.m4.1b"><ci id="S3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.p2.4.m4.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.p2.4.m4.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.p2.4.m4.1d">italic_k</annotation></semantics></math> represents the number of splits, while in the Holdout method, it reflects only the imbalance between the sizes of the training and testing sets.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F1"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="308" id="S3.F1.g1" src="x1.png" width="411"/></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="308" id="S3.F1.g2" src="x2.png" width="411"/></div> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 1: </span>The left panel shows the average Frobenius error between the population covariance and the CV estimator of equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.E29" title="In Definition 2.15. ‣ 2.2.2 Cross-validation estimators ‣ 2.2 Covariance matrix estimation ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">29</span></a>) as a function of the log of the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.8.m1.1"><semantics id="S3.F1.8.m1.1b"><mi id="S3.F1.8.m1.1.1" xref="S3.F1.8.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.8.m1.1c"><ci id="S3.F1.8.m1.1.1.cmml" xref="S3.F1.8.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.8.m1.1d">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.8.m1.1e">italic_k</annotation></semantics></math>-fold. The right panel shows the average Frobenius error between the population covariance and the Holdout estimator of equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.E26" title="In Definition 2.13. ‣ 2.2.2 Cross-validation estimators ‣ 2.2 Covariance matrix estimation ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a>) has a function of the log of the train-test ratio factor <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.9.m2.1"><semantics id="S3.F1.9.m2.1b"><mi id="S3.F1.9.m2.1.1" xref="S3.F1.9.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.9.m2.1c"><ci id="S3.F1.9.m2.1.1.cmml" xref="S3.F1.9.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.9.m2.1d">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.9.m2.1e">italic_k</annotation></semantics></math>, integers which divides <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.10.m3.1"><semantics id="S3.F1.10.m3.1b"><mi id="S3.F1.10.m3.1.1" xref="S3.F1.10.m3.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.10.m3.1c"><ci id="S3.F1.10.m3.1.1.cmml" xref="S3.F1.10.m3.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.10.m3.1d">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.10.m3.1e">italic_t</annotation></semantics></math> the number of data points. The averages are computed with <math alttext="100" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.11.m4.1"><semantics id="S3.F1.11.m4.1b"><mn id="S3.F1.11.m4.1.1" xref="S3.F1.11.m4.1.1.cmml">100</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.11.m4.1c"><cn id="S3.F1.11.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.F1.11.m4.1.1">100</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.11.m4.1d">100</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.11.m4.1e">100</annotation></semantics></math> simulations of inverse Wishart population matrices with <math alttext="n=200" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.12.m5.1"><semantics id="S3.F1.12.m5.1b"><mrow id="S3.F1.12.m5.1.1" xref="S3.F1.12.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.12.m5.1.1.2" xref="S3.F1.12.m5.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.F1.12.m5.1.1.1" xref="S3.F1.12.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F1.12.m5.1.1.3" xref="S3.F1.12.m5.1.1.3.cmml">200</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.12.m5.1c"><apply id="S3.F1.12.m5.1.1.cmml" xref="S3.F1.12.m5.1.1"><eq id="S3.F1.12.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.12.m5.1.1.1"></eq><ci id="S3.F1.12.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.12.m5.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S3.F1.12.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F1.12.m5.1.1.3">200</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.12.m5.1d">n=200</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.12.m5.1e">italic_n = 200</annotation></semantics></math> and <math alttext="p=1.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.13.m6.1"><semantics id="S3.F1.13.m6.1b"><mrow id="S3.F1.13.m6.1.1" xref="S3.F1.13.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.13.m6.1.1.2" xref="S3.F1.13.m6.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S3.F1.13.m6.1.1.1" xref="S3.F1.13.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F1.13.m6.1.1.3" xref="S3.F1.13.m6.1.1.3.cmml">1.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.13.m6.1c"><apply id="S3.F1.13.m6.1.1.cmml" xref="S3.F1.13.m6.1.1"><eq id="S3.F1.13.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.13.m6.1.1.1"></eq><ci id="S3.F1.13.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.13.m6.1.1.2">𝑝</ci><cn id="S3.F1.13.m6.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.F1.13.m6.1.1.3">1.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.13.m6.1d">p=1.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.13.m6.1e">italic_p = 1.5</annotation></semantics></math>, with Gaussian data with <math alttext="q=0.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F1.14.m7.1"><semantics id="S3.F1.14.m7.1b"><mrow id="S3.F1.14.m7.1.1" xref="S3.F1.14.m7.1.1.cmml"><mi id="S3.F1.14.m7.1.1.2" xref="S3.F1.14.m7.1.1.2.cmml">q</mi><mo id="S3.F1.14.m7.1.1.1" xref="S3.F1.14.m7.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F1.14.m7.1.1.3" xref="S3.F1.14.m7.1.1.3.cmml">0.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F1.14.m7.1c"><apply id="S3.F1.14.m7.1.1.cmml" xref="S3.F1.14.m7.1.1"><eq id="S3.F1.14.m7.1.1.1.cmml" xref="S3.F1.14.m7.1.1.1"></eq><ci id="S3.F1.14.m7.1.1.2.cmml" xref="S3.F1.14.m7.1.1.2">𝑞</ci><cn id="S3.F1.14.m7.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.F1.14.m7.1.1.3">0.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F1.14.m7.1d">q=0.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F1.14.m7.1e">italic_q = 0.5</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.1 </span>General case</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.1">The proof involves two steps. The first one is to apply Wick’s theorem to link the moments of the sample covariances to the population covariance matrix using the Gaussian assumption <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib42" title="">42</a>]</cite>. The second step is to recognize the oracle estimator eigenvalues for which we have a simple expression in the inverse Wishart case using the Ledoit-Péché’s formula <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.1">Let us now announce the main result of this paper.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S3.Thmproposition1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmproposition1.1.1.1">Proposition 3.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmproposition1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.Thmproposition1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmproposition1.p1.14"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.14.14">Let us consider <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmproposition1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition1.p1.1.1.m1.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition1.p1.1.1.m1.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> a positive-defined matrix in <math alttext="\mathbb{R}^{n\times n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1a"><msup id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml">×</mo><mi id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">n</mi></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.2">ℝ</ci><apply id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3"><times id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.3.3">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1c">\mathbb{R}^{n\times n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition1.p1.2.2.m2.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n × italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="(\bm{x}_{\textrm{i}})_{1\leq i\leq t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1a"><msub id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3a.cmml">i</mtext></msub><mo id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.4" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.4.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.5" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.5.cmml">≤</mo><mi id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.6" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1b"><apply id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.1.1.1.3">i</mtext></ci></apply><apply id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3"><and id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3"></and><apply id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3b.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3"><leq id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.3"></leq><cn id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.4">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3c.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3"><leq id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.5.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.4.cmml" id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3d.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3"></share><ci id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.6.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.3.6">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1c">(\bm{x}_{\textrm{i}})_{1\leq i\leq t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition1.p1.3.3.m3.1d">( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT i end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_i ≤ italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> i.i.d. random vectors of <math alttext="\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1a"><msup id="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">n</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1c">\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition1.p1.4.4.m4.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\bm{x}_{i}\sim\mathcal{N}(0,\bm{\Sigma})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2"><semantics id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2a"><mrow id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.cmml"><msub id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.1.cmml">∼</mo><mrow id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.3.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.3.2.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.2.cmml">𝚺</mi><mo id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2b"><apply id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.1">similar-to</csymbol><apply id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2.2">𝐱</ci><ci id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3"><times id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.1"></times><ci id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.2">𝒩</ci><interval closure="open" id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.3.3.3.2"><cn id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1">0</cn><ci id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2.2">𝚺</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2c">\bm{x}_{i}\sim\mathcal{N}(0,\bm{\Sigma})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition1.p1.5.5.m5.2d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∼ caligraphic_N ( 0 , bold_Σ )</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="\bm{\Xi}^{\textrm{H}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1a"><msup id="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">𝚵</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.3a.cmml">H</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.2">𝚵</ci><ci id="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1.1.3">H</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1c">\bm{\Xi}^{\textrm{H}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition1.p1.6.6.m6.1d">bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> the holdout estimator associated with the index partition <math alttext="\{\mathcal{I}_{\textrm{in}},\mathcal{I}_{\textrm{out}}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2"><semantics id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2a"><mrow id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml">{</mo><msub id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.4" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2b"><set id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2"><apply id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.2">ℐ</ci><ci id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.1.1.1.1.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.2">ℐ</ci><ci id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2.2.2.2.3">out</mtext></ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2c">\{\mathcal{I}_{\textrm{in}},\mathcal{I}_{\textrm{out}}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition1.p1.7.7.m7.2d">{ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT , caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> defined from <math alttext="t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1"><semantics id="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1a"><msub id="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1b"><apply id="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1c">t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition1.p1.8.8.m8.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> integer between <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition1.p1.9.9.m9.1"><semantics id="S3.Thmproposition1.p1.9.9.m9.1a"><mn id="S3.Thmproposition1.p1.9.9.m9.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.9.9.m9.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition1.p1.9.9.m9.1b"><cn id="S3.Thmproposition1.p1.9.9.m9.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Thmproposition1.p1.9.9.m9.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition1.p1.9.9.m9.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition1.p1.9.9.m9.1d">1</annotation></semantics></math> and <math alttext="t-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1"><semantics id="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1a"><mrow id="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1b"><apply id="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1"><minus id="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1.1"></minus><ci id="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1c">t-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition1.p1.10.10.m10.1d">italic_t - 1</annotation></semantics></math>, with <math alttext="\bm{V}_{\textrm{in}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1"><semantics id="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1a"><msub id="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1.2.cmml">𝐕</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1b"><apply id="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1.2">𝐕</ci><ci id="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1.1.3">in</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1c">\bm{V}_{\textrm{in}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition1.p1.11.11.m11.1d">bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> the eigenvector of the sample covariance <math alttext="\bm{E}_{\textrm{in}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1"><semantics id="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1a"><msub id="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml">𝐄</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1b"><apply id="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1.2">𝐄</ci><ci id="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1.1.3">in</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1c">\bm{E}_{\textrm{in}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition1.p1.12.12.m12.1d">bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> on the train partition <math alttext="\mathcal{I}_{\textrm{in}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1"><semantics id="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1a"><msub id="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1.2" xref="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1.3" xref="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1b"><apply id="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1.2">ℐ</ci><ci id="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1.1.3">in</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1c">\mathcal{I}_{\textrm{in}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition1.p1.13.13.m13.1d">caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Then the expected Frobenius error between the holdout estimator and the population covariance <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition1.p1.14.14.m14.1"><semantics id="S3.Thmproposition1.p1.14.14.m14.1a"><mi id="S3.Thmproposition1.p1.14.14.m14.1.1" xref="S3.Thmproposition1.p1.14.14.m14.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition1.p1.14.14.m14.1b"><ci id="S3.Thmproposition1.p1.14.14.m14.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition1.p1.14.14.m14.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition1.p1.14.14.m14.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition1.p1.14.14.m14.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> is</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.Thmproposition1.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E32"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma})^{2})\right]=\left(% \frac{2}{t_{\textrm{out}}}-1\right)\mathbb{E}\left[\tau(\textrm{Diag}(\bm{V}_{% \textrm{in}}^{T}\bm{\Sigma}\bm{V}_{\textrm{in}})^{2})\right]+\mathbb{E}\left[% \tau(\bm{\Sigma}^{2})\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E32.m1.1"><semantics id="S3.E32.m1.1a"><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚵</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml">H</mtext></msup><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi></mrow><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><msub id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3a.cmml">out</mtext></msub></mfrac><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.4" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.3a" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.3a.cmml">Diag</mtext><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝑽</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">in</mtext><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝑽</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.4" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.2.cmml"><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚺</mi><mn id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.3" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E32.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E32.m1.1b"><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1"><eq id="S3.E32.m1.1.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.5"></eq><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚵</ci><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">H</mtext></ci></apply><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci></apply><cn id="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4"><plus id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.4.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.4"></plus><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.3"></times><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><minus id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"><divide id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"></divide><cn id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3a.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.3.3">out</mtext></ci></apply></apply><cn id="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.4.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.4">𝔼</ci><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1"><times id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2"></times><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.3">Diag</mtext></ci><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑽</ci><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">in</mtext></ci></apply><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑽</ci><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">in</mtext></ci></apply></apply><cn id="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3"><times id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.2"></times><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.3">𝔼</ci><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1"><times id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.2">𝚺</ci><cn id="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E32.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E32.m1.1c">\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma})^{2})\right]=\left(% \frac{2}{t_{\textrm{out}}}-1\right)\mathbb{E}\left[\tau(\textrm{Diag}(\bm{V}_{% \textrm{in}}^{T}\bm{\Sigma}\bm{V}_{\textrm{in}})^{2})\right]+\mathbb{E}\left[% \tau(\bm{\Sigma}^{2})\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E32.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( ( bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT - bold_Σ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = ( divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT end_ARG - 1 ) blackboard_E [ italic_τ ( Diag ( bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] + blackboard_E [ italic_τ ( bold_Σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(32)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.SS1.11"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.1.p1.1">Let us now prove the proposition by deriving the expression of the Frobenius error between the holdout estimator in equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.E26" title="In Definition 2.13. ‣ 2.2.2 Cross-validation estimators ‣ 2.2 Covariance matrix estimation ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">26</span></a> and the population matrix <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.1.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS1.1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.1.p1.1.m1.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.1.p1.1.m1.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math>. The Frobenius error can be expanded as</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.2.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E33"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma})^{2})=\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}})^{2}% )-2\tau(\bm{\Xi}^{\textrm{H}}\bm{\Sigma})+\tau(\bm{\Sigma}^{2})." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E33.m1.1"><semantics id="S3.E33.m1.1a"><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚵</mi><mtext id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml">H</mtext></msup><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi></mrow><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.5" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚵</mi><mtext id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">H</mtext></msup><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">2</mn><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.4" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.4.cmml">τ</mi><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.2a" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.2.cmml">𝚵</mi><mtext id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.2.3a.cmml">H</mtext></msup><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi></mrow><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.4" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.2" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.2.cmml">𝚺</mi><mn id="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.3" xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.3" stretchy="false" 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xref="S3.E33.m1.1.1.1.1.4.3.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E33.m1.1c">\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma})^{2})=\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}})^{2}% )-2\tau(\bm{\Xi}^{\textrm{H}}\bm{\Sigma})+\tau(\bm{\Sigma}^{2}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E33.m1.1d">italic_τ ( ( bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT - bold_Σ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) = italic_τ ( ( bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) - 2 italic_τ ( bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ ) + italic_τ ( bold_Σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(33)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.3.p3.3">The first term can be expressed in terms of in-sample eigenvectors <math alttext="\bm{V}_{\textrm{in}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.3.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.3.p3.1.m1.1a"><msub id="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1.2.cmml">𝑽</mi><mtext id="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.3.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1.2">𝑽</ci><ci id="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1.3"><mtext id="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.3.p3.1.m1.1.1.3">in</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.3.p3.1.m1.1c">\bm{V}_{\textrm{in}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.3.p3.1.m1.1d">bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and sample covariance <math alttext="\bm{E}_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.3.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.3.p3.2.m2.1a"><msub id="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1.2.cmml">𝑬</mi><mtext id="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.3.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1.2">𝑬</ci><ci id="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1.3"><mtext id="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.3.p3.2.m2.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.3.p3.2.m2.1c">\bm{E}_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.3.p3.2.m2.1d">bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> of the test partition <math alttext="\mathcal{I}_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.3.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.3.p3.3.m3.1a"><msub id="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2.cmml">ℐ</mi><mtext id="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.3.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1.2">ℐ</ci><ci id="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3"><mtext id="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.3.p3.3.m3.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.3.p3.3.m3.1c">\mathcal{I}_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.3.p3.3.m3.1d">caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Given the independence by construction between these two quantities, the equation simplifies to</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.4.p4"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E34"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}})^{2})\right]=\frac{1}{n}\sum_{i,j,% k,l,m}\mathbb{E}\left[(V_{\textrm{in}})_{ji}(V_{\textrm{in}})_{ki}(V_{\textrm{% in}})_{li}(V_{\textrm{in}})_{mi}\right]\mathbb{E}\left[(E_{\textrm{out}})_{jk}% (E_{\textrm{out}})_{lm}\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E34.m1.6"><semantics id="S3.E34.m1.6a"><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚵</mi><mtext id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">H</mtext></msup><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.4" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.4" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.4.cmml"><mn id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.4.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.4.2.cmml">1</mn><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.4.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.4.3.cmml">n</mi></mfrac><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.cmml"><munder id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.3.2" movablelimits="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E34.m1.5.5.5.7" xref="S3.E34.m1.5.5.5.6.cmml"><mi id="S3.E34.m1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E34.m1.5.5.5.7.1" xref="S3.E34.m1.5.5.5.6.cmml">,</mo><mi id="S3.E34.m1.2.2.2.2" xref="S3.E34.m1.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E34.m1.5.5.5.7.2" xref="S3.E34.m1.5.5.5.6.cmml">,</mo><mi id="S3.E34.m1.3.3.3.3" xref="S3.E34.m1.3.3.3.3.cmml">k</mi><mo id="S3.E34.m1.5.5.5.7.3" xref="S3.E34.m1.5.5.5.6.cmml">,</mo><mi id="S3.E34.m1.4.4.4.4" xref="S3.E34.m1.4.4.4.4.cmml">l</mi><mo id="S3.E34.m1.5.5.5.7.4" xref="S3.E34.m1.5.5.5.6.cmml">,</mo><mi id="S3.E34.m1.5.5.5.5" xref="S3.E34.m1.5.5.5.5.cmml">m</mi></mrow></munder><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.4" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.4.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">V</mi><mtext id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">V</mi><mtext id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5a" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">V</mi><mtext id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5b" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml">V</mi><mtext id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.3a" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.5" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.5.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.3b" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">E</mi><mtext id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.3.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml">E</mi><mtext id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3.2" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3.1" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml">m</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.3" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E34.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml 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xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.3"><mtext id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3"><times id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.1"></times><ci id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.2">𝑚</ci><ci id="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><ci id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.5.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.5">𝔼</ci><apply id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1"><times id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.3"></times><apply id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2">𝐸</ci><ci id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">out</mtext></ci></apply><apply id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3"><times id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.2">𝐸</ci><ci id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3"><mtext id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.1.1.1.3">out</mtext></ci></apply><apply id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3"><times id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E34.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E34.m1.6c">\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}})^{2})\right]=\frac{1}{n}\sum_{i,j,% k,l,m}\mathbb{E}\left[(V_{\textrm{in}})_{ji}(V_{\textrm{in}})_{ki}(V_{\textrm{% in}})_{li}(V_{\textrm{in}})_{mi}\right]\mathbb{E}\left[(E_{\textrm{out}})_{jk}% (E_{\textrm{out}})_{lm}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E34.m1.6d">blackboard_E [ italic_τ ( ( bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i , italic_j , italic_k , italic_l , italic_m end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E [ ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_i end_POSTSUBSCRIPT ] blackboard_E [ ( italic_E start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_E start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m end_POSTSUBSCRIPT ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(34)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.5.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.5.p5.1">As our data are generated by a Gaussian multiplicative noise, Wick’s theorem can be used to compute the moments of the out-of-sample covariance <math alttext="\bm{E}_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.5.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.5.p5.1.m1.1a"><msub id="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1.2.cmml">𝑬</mi><mtext id="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.5.p5.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1.2">𝑬</ci><ci id="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1.3"><mtext id="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.5.p5.1.m1.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.5.p5.1.m1.1c">\bm{E}_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.5.p5.1.m1.1d">bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. Let us first remind the result.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_theoreme" id="S3.Thmtheoreme1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmtheoreme1.1.1.1">Theorem 3.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmtheoreme1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.Thmtheoreme1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmtheoreme1.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2">Let us consider <math alttext="\{\bm{x}_{1},\bm{x}_{2},..,\bm{x}_{r}\}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1b"><mo id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.1" stretchy="false">{</mo><msub id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.2"><mi id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.2.2">𝐱</mi><mn id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.2.3">1</mn></msub><mo id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.3">,</mo><msub id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.4"><mi id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.4.2">𝐱</mi><mn id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.4.3">2</mn></msub><mo id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.5">,</mo><mo id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.6" lspace="0em" rspace="0.0835em">.</mo><mo id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.7" lspace="0.0835em" rspace="0.167em">.</mo><mo id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.8">,</mo><msub id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.9"><mi id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.9.2">𝐱</mi><mi id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.9.3">r</mi></msub><mo id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1.10" stretchy="false">}</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1c">\{\bm{x}_{1},\bm{x}_{2},..,\bm{x}_{r}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheoreme1.p1.1.1.m1.1d">{ bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT , . . , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> i.i.d. centered Gaussian vectors of <math alttext="\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1a"><msup id="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.2" xref="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.3" xref="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml">n</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1c">\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmtheoreme1.p1.2.2.m2.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, then <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib42" title="">42</a>]</cite></span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.Thmtheoreme1.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E35"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\bm{x}_{1}\bm{x}_{2}...\bm{x}_{r}\right]=\sum_{p\in\mathcal{P}% _{r}^{2}}\prod_{\{i,j\}}\mathbb{E}\left[\bm{x}_{i}\bm{x}_{j}\right]=\sum_{p\in% \mathcal{P}_{r}^{2}}\prod_{\{i,j\}}Cov(\bm{x}_{i},\bm{x}_{j})." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E35.m1.5"><semantics id="S3.E35.m1.5a"><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1.1" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒙</mi><mn id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒙</mi><mn id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msub><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4" mathvariant="normal" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.4.cmml">…</mi><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1b" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.5" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.5.cmml"><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.5.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.5.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.5.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.5.3.cmml">r</mi></msub></mrow><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.6" rspace="0.111em" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.cmml"><munder id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.cmml"><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.3.1.cmml">∈</mo><msubsup id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.2.cmml">𝒫</mi><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.2.3.cmml">r</mi><mn id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.2.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></munder><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.cmml"><munder id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.2.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E35.m1.2.2.2.4" xref="S3.E35.m1.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E35.m1.2.2.2.4.1" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.2.2.2.3.cmml">{</mo><mi id="S3.E35.m1.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E35.m1.2.2.2.4.2" xref="S3.E35.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E35.m1.2.2.2.2" xref="S3.E35.m1.2.2.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E35.m1.2.2.2.4.3" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.2.2.2.3.cmml">}</mo></mrow></munder><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">j</mi></msub></mrow><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.7" rspace="0.111em" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.7.cmml">=</mo><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.cmml"><munder id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.cmml"><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.3.cmml"><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.3.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.3.1" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.3.1.cmml">∈</mo><msubsup id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.3.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.3.3.2.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.3.3.2.2.cmml">𝒫</mi><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.3.3.2.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.3.3.2.3.cmml">r</mi><mn id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.3.3.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.3.3.3.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></munder><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.cmml"><munder id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.3.cmml"><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.3.2" movablelimits="false" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.3.2.cmml">∏</mo><mrow id="S3.E35.m1.4.4.2.4" xref="S3.E35.m1.4.4.2.3.cmml"><mo id="S3.E35.m1.4.4.2.4.1" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.4.4.2.3.cmml">{</mo><mi id="S3.E35.m1.3.3.1.1" xref="S3.E35.m1.3.3.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E35.m1.4.4.2.4.2" xref="S3.E35.m1.4.4.2.3.cmml">,</mo><mi id="S3.E35.m1.4.4.2.2" xref="S3.E35.m1.4.4.2.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E35.m1.4.4.2.4.3" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.4.4.2.3.cmml">}</mo></mrow></munder><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.cmml"><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.4" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.4.cmml">C</mi><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.5" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.5.cmml">o</mi><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.3a" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.6" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.6.cmml">v</mi><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.3b" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.E35.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.4" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.2.2.cmml">𝒙</mi><mi id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.2.3.cmml">j</mi></msub><mo id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.5" stretchy="false" 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id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.5.cmml" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.5">𝑜</ci><ci id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.6.cmml" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.6">𝑣</ci><interval closure="open" id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2"><apply id="S3.E35.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E35.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.2">𝒙</ci><ci id="S3.E35.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.3.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.2.2">𝒙</ci><ci id="S3.E35.m1.5.5.1.1.4.2.2.2.2.2.3.cmml" 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italic_j end_POSTSUBSCRIPT ] = ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_p ∈ caligraphic_P start_POSTSUBSCRIPT italic_r end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∏ start_POSTSUBSCRIPT { italic_i , italic_j } end_POSTSUBSCRIPT italic_C italic_o italic_v ( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_j end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(35)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.Thmtheoreme1.p3"> <p class="ltx_p ltx_align_right" id="S3.Thmtheoreme1.p3.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmtheoreme1.p3.1.1">(Wick’s Formula)</span></p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.6.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.6.p6.1">By applying the Wick’s theorem, we obtain</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.7.p7"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E36"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[(E_{\textrm{out}})_{jk}(E_{\textrm{out}})_{lm}\right]=\frac{1}% {(t_{\textrm{out}})^{2}}\sum_{n_{1},n_{2}}^{t_{\textrm{out}}}\mathbb{E}\left[% \Sigma_{jk}\Sigma_{lm}+\delta_{n_{1}n_{2}}\left(\Sigma_{jm}\Sigma_{kl}+\Sigma_% {jl}\Sigma_{km}\right)\right]," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E36.m1.4"><semantics id="S3.E36.m1.4a"><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">E</mi><mtext id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">E</mi><mtext id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">m</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.E36.m1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.E36.m1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.1.1.3.cmml">1</mn><msup id="S3.E36.m1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">t</mi><mtext id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E36.m1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mfrac><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.cmml"><munderover id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.2" movablelimits="false" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.E36.m1.3.3.2.2" xref="S3.E36.m1.3.3.2.3.cmml"><msub id="S3.E36.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E36.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E36.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">n</mi><mn id="S3.E36.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E36.m1.3.3.2.2.3" xref="S3.E36.m1.3.3.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.E36.m1.3.3.2.2.2" xref="S3.E36.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E36.m1.3.3.2.2.2.2" xref="S3.E36.m1.3.3.2.2.2.2.cmml">n</mi><mn id="S3.E36.m1.3.3.2.2.2.3" xref="S3.E36.m1.3.3.2.2.2.3.cmml">2</mn></msub></mrow><msub id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.2.cmml">t</mi><mtext id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.3a.cmml">out</mtext></msub></munderover><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Σ</mi><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">Σ</mi><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">m</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">δ</mi><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">n</mi><mn id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">n</mi><mn id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">2</mn></msub></mrow></msub><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">Σ</mi><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml">m</mi></mrow></msub><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">Σ</mi><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">Σ</mi><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml">l</mi></mrow></msub><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">Σ</mi><mrow id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml">m</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E36.m1.4.4.1.2" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E36.m1.4b"><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1"><eq id="S3.E36.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.3"></eq><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3"></times><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝐸</ci><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">out</mtext></ci></apply><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">𝐸</ci><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><mtext id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">out</mtext></ci></apply><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.2"></times><apply id="S3.E36.m1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1"><divide id="S3.E36.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1"></divide><cn id="S3.E36.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E36.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E36.m1.1.1.1.1.1.1.3">out</mtext></ci></apply><cn id="S3.E36.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E36.m1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1"><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.2.2"></sum><list id="S3.E36.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E36.m1.3.3.2.2"><apply id="S3.E36.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.2.2.1.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S3.E36.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E36.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.E36.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.3.3.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.3.3.2.2.2.2">𝑛</ci><cn id="S3.E36.m1.3.3.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E36.m1.3.3.2.2.2.3">2</cn></apply></list></apply><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.3a.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.3"><mtext id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.2.3.3">out</mtext></ci></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.2"></times><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.2">Σ</ci><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑘</ci></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2">Σ</ci><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑙</ci><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛿</ci><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.1"></times><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑛</ci><cn id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">1</cn></apply><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">2</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">Σ</ci><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.1"></times><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.3">𝑚</ci></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">Σ</ci><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></times><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">Σ</ci><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.2">𝑗</ci><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.3">𝑙</ci></apply></apply><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">Σ</ci><apply id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><times id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.2">𝑘</ci><ci id="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E36.m1.4.4.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.3">𝑚</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E36.m1.4c">\mathbb{E}\left[(E_{\textrm{out}})_{jk}(E_{\textrm{out}})_{lm}\right]=\frac{1}% {(t_{\textrm{out}})^{2}}\sum_{n_{1},n_{2}}^{t_{\textrm{out}}}\mathbb{E}\left[% \Sigma_{jk}\Sigma_{lm}+\delta_{n_{1}n_{2}}\left(\Sigma_{jm}\Sigma_{kl}+\Sigma_% {jl}\Sigma_{km}\right)\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E36.m1.4d">blackboard_E [ ( italic_E start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT ( italic_E start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m end_POSTSUBSCRIPT ] = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG ( italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT , italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT blackboard_E [ roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m end_POSTSUBSCRIPT + italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_m end_POSTSUBSCRIPT roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_l end_POSTSUBSCRIPT + roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_l end_POSTSUBSCRIPT roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_m end_POSTSUBSCRIPT ) ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(36)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.7.p7.1">and by re-injecting the previous equation in equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E34" title="In Proof. ‣ 3.1 General case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">34</span></a>)</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E37"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}})^{2})\right]=\frac{1}{n}\sum_{i,j,% k,l,m}\mathbb{E}\left[(V_{\textrm{in}})_{ji}(V_{\textrm{in}})_{ki}(V_{\textrm{% in}})_{li}(V_{\textrm{in}})_{mi}\right]\left(1+\frac{2}{t_{\textrm{out}}}% \right)\mathbb{E}\left[\Sigma_{jk}\Sigma_{lm}\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E37.m1.6"><semantics id="S3.E37.m1.6a"><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚵</mi><mtext id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">H</mtext></msup><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E37.m1.6.6.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" 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xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">V</mi><mtext id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">V</mi><mtext id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5a" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml">V</mi><mtext id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5b" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.5.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml">V</mi><mtext id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.2.cmml">m</mi><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.1.4.3.3.cmml">i</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.4a" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.cmml"><mn id="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.3.2.cmml">2</mn><msub id="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mtext id="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.3.3.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.3.3.3a.cmml">out</mtext></msub></mfrac></mrow><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.3.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.4b" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.4.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.6" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.6.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.4c" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.2.cmml"><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.cmml"><msub id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.2.2.cmml">Σ</mi><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.2.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.2.3.2" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.2.3.2.cmml">j</mi><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.2.3.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.2.3.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.2.3.3.cmml">k</mi></mrow></msub><mo id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.1" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.3.2.cmml">Σ</mi><mrow id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.3.3" xref="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E37.m1.6.6.1.1.4.3.3.3.1.1.3.3.2" 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italic_l , italic_m end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E [ ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_k italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_i end_POSTSUBSCRIPT ( italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT italic_m italic_i end_POSTSUBSCRIPT ] ( 1 + divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) blackboard_E [ roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_j italic_k end_POSTSUBSCRIPT roman_Σ start_POSTSUBSCRIPT italic_l italic_m end_POSTSUBSCRIPT ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(37)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.8.p8"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.8.p8.1">Therefore,</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E38"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}})^{2})\right]=\left(1+\frac{2}{t_{% \textrm{out}}}\right)\mathbb{E}\left[\tau(\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in}}^{% T}\bm{\Sigma}\bm{V}_{\textrm{in}})^{2})\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E38.m1.1"><semantics id="S3.E38.m1.1a"><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚵</mi><mtext id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">H</mtext></msup><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">+</mo><mfrac id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><msub id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mtext id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3a.cmml">out</mtext></msub></mfrac></mrow><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.4.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.3a" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.2" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.2" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3a.cmml">Diag</mtext><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝑽</mi><mtext id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">in</mtext><mi id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝑽</mi><mtext id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.3" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E38.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E38.m1.1b"><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1"><eq id="S3.E38.m1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.4"></eq><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝚵</ci><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">H</mtext></ci></apply><cn id="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.3"></times><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1"><plus id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"></plus><cn id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><divide id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"></divide><cn id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2">2</cn><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3"><mtext id="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.3">out</mtext></ci></apply></apply></apply><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.4">𝔼</ci><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1"><times id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.2"></times><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1"><times id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.3">Diag</mtext></ci><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑽</ci><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><mtext id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">in</mtext></ci></apply><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci><apply id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑽</ci><ci id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a.cmml" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><mtext id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">in</mtext></ci></apply></apply><cn id="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E38.m1.1.1.1.1.3.2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E38.m1.1c">\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}})^{2})\right]=\left(1+\frac{2}{t_{% \textrm{out}}}\right)\mathbb{E}\left[\tau(\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in}}^{% T}\bm{\Sigma}\bm{V}_{\textrm{in}})^{2})\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E38.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( ( bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = ( 1 + divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT end_ARG ) blackboard_E [ italic_τ ( Diag ( bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(38)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.9.p9"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.9.p9.1">By applying again Wick’s theorem, we can also obtain</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E39"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Xi}^{\textrm{H}}\bm{\Sigma})\right]=\mathbb{E}\left[% \tau(\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in}}^{T}\bm{\Sigma}\bm{V}_{\textrm{in}})^{2% })\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E39.m1.1"><semantics id="S3.E39.m1.1a"><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚵</mi><mtext id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml">H</mtext></msup><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi></mrow><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">Diag</mtext><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝑽</mi><mtext id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">in</mtext><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝑽</mi><mtext id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E39.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E39.m1.1b"><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1"><eq id="S3.E39.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚵</ci><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mtext id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">H</mtext></ci></apply><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.3">𝔼</ci><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><times id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"><times id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">Diag</mtext></ci><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑽</ci><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><mtext id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">in</mtext></ci></apply><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci><apply id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑽</ci><ci id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a.cmml" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><mtext id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">in</mtext></ci></apply></apply><cn id="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E39.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E39.m1.1c">\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Xi}^{\textrm{H}}\bm{\Sigma})\right]=\mathbb{E}\left[% \tau(\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in}}^{T}\bm{\Sigma}\bm{V}_{\textrm{in}})^{2% })\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E39.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ ) ] = blackboard_E [ italic_τ ( Diag ( bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(39)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.10.p10"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.10.p10.1">Then by combining equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E38" title="In Proof. ‣ 3.1 General case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">38</span></a>) and equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E39" title="In Proof. ‣ 3.1 General case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">39</span></a>), the holdout Frobenius error can be re-written</p> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S4.EGx1"> <tbody id="S3.E40"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma})^{2})\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E40.m1.1"><semantics id="S3.E40.m1.1a"><mrow id="S3.E40.m1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E40.m1.1.1.3" xref="S3.E40.m1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E40.m1.1.1.2" xref="S3.E40.m1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚵</mi><mtext id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml">H</mtext></msup><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi></mrow><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E40.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E40.m1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E40.m1.1b"><apply id="S3.E40.m1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1"><times id="S3.E40.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.2"></times><ci id="S3.E40.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E40.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚵</ci><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mtext id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">H</mtext></ci></apply><ci id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci></apply><cn id="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E40.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E40.m1.1c">\displaystyle\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma})^{2})\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E40.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( ( bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT - bold_Σ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(\frac{2}{t_{\textrm{out}}}-1\right)\mathbb{E}\left[\tau(% \textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in}}^{T}\bm{\Sigma}\bm{V}_{\textrm{in}})^{2})% \right]+\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Sigma}^{2})\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.E40.m2.3"><semantics id="S3.E40.m2.3a"><mrow id="S3.E40.m2.3.3" xref="S3.E40.m2.3.3.cmml"><mi id="S3.E40.m2.3.3.5" xref="S3.E40.m2.3.3.5.cmml"></mi><mo id="S3.E40.m2.3.3.4" xref="S3.E40.m2.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E40.m2.3.3.3" xref="S3.E40.m2.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.E40.m2.2.2.2.2" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mn id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">2</mn><msub id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">t</mi><mtext id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3a.cmml">out</mtext></msub></mfrac></mstyle><mo id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E40.m2.2.2.2.2.3" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E40.m2.2.2.2.2.4" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.4.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E40.m2.2.2.2.2.3a" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.2" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3a.cmml">Diag</mtext><mo id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝑽</mi><mtext id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">in</mtext><mi id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi><mo id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" 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id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.2" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚺</mi><mn id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.3" 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xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">2</cn><apply id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3a.cmml" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><mtext id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">out</mtext></ci></apply></apply><cn id="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E40.m2.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><ci id="S3.E40.m2.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.4">𝔼</ci><apply id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1"><times id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.2"></times><ci id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1"><times id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.3">Diag</mtext></ci><apply id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑽</ci><ci id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><mtext id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">in</mtext></ci></apply><ci id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci><apply id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑽</ci><ci id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a.cmml" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><mtext id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">in</mtext></ci></apply></apply><cn id="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E40.m2.2.2.2.2.2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E40.m2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3"><times id="S3.E40.m2.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.2"></times><ci id="S3.E40.m2.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.3">𝔼</ci><apply id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1"><times id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2">𝚺</ci><cn id="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E40.m2.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E40.m2.3c">\displaystyle=\left(\frac{2}{t_{\textrm{out}}}-1\right)\mathbb{E}\left[\tau(% \textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in}}^{T}\bm{\Sigma}\bm{V}_{\textrm{in}})^{2})% \right]+\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Sigma}^{2})\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E40.m2.3d">= ( divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT end_ARG - 1 ) blackboard_E [ italic_τ ( Diag ( bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] + blackboard_E [ italic_τ ( bold_Σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(40)</span></td> </tr></tbody> <tbody id="S3.E41"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_eqn_cell"></td> <td class="ltx_td ltx_align_left ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle=\left(\frac{2}{t_{\textrm{out}}}-1\right)\mathbb{E}\left[\tau(% \bm{\Lambda}^{O}(\bm{V}_{\textrm{in}},\bm{\Sigma})^{2}))\right]+\mathbb{E}% \left[\tau(\bm{\Sigma}^{2})\right]." class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.E41.m1.1"><semantics id="S3.E41.m1.1a"><mrow id="S3.E41.m1.1b"><mo id="S3.E41.m1.1.2">=</mo><mrow id="S3.E41.m1.1.3"><mo id="S3.E41.m1.1.3.1">(</mo><mstyle displaystyle="true" id="S3.E41.m1.1.3.2"><mfrac id="S3.E41.m1.1.3.2a"><mn id="S3.E41.m1.1.3.2.2">2</mn><msub id="S3.E41.m1.1.3.2.3"><mi id="S3.E41.m1.1.3.2.3.2">t</mi><mtext id="S3.E41.m1.1.3.2.3.3">out</mtext></msub></mfrac></mstyle><mo id="S3.E41.m1.1.3.3">−</mo><mn id="S3.E41.m1.1.3.4">1</mn><mo id="S3.E41.m1.1.3.5">)</mo></mrow><mi id="S3.E41.m1.1.4">𝔼</mi><mrow id="S3.E41.m1.1.5"><mo id="S3.E41.m1.1.5.1">[</mo><mi id="S3.E41.m1.1.5.2">τ</mi><mrow id="S3.E41.m1.1.5.3"><mo id="S3.E41.m1.1.5.3.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.E41.m1.1.5.3.2"><mi id="S3.E41.m1.1.5.3.2.2">𝚲</mi><mi id="S3.E41.m1.1.5.3.2.3">O</mi></msup><msup id="S3.E41.m1.1.5.3.3"><mrow id="S3.E41.m1.1.5.3.3.2"><mo id="S3.E41.m1.1.5.3.3.2.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.E41.m1.1.5.3.3.2.2"><mi id="S3.E41.m1.1.5.3.3.2.2.2">𝑽</mi><mtext id="S3.E41.m1.1.5.3.3.2.2.3">in</mtext></msub><mo id="S3.E41.m1.1.5.3.3.2.3">,</mo><mi id="S3.E41.m1.1.1">𝚺</mi><mo id="S3.E41.m1.1.5.3.3.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S3.E41.m1.1.5.3.3.3">2</mn></msup><mo id="S3.E41.m1.1.5.3.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E41.m1.1.5.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E41.m1.1.6">]</mo><mo id="S3.E41.m1.1.7">+</mo><mi id="S3.E41.m1.1.8">𝔼</mi><mo id="S3.E41.m1.1.9">[</mo><mi id="S3.E41.m1.1.10">τ</mi><mrow id="S3.E41.m1.1.11"><mo id="S3.E41.m1.1.11.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.E41.m1.1.11.2"><mi id="S3.E41.m1.1.11.2.2">𝚺</mi><mn id="S3.E41.m1.1.11.2.3">2</mn></msup><mo id="S3.E41.m1.1.11.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E41.m1.1.12">]</mo><mo id="S3.E41.m1.1.13" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E41.m1.1c">\displaystyle=\left(\frac{2}{t_{\textrm{out}}}-1\right)\mathbb{E}\left[\tau(% \bm{\Lambda}^{O}(\bm{V}_{\textrm{in}},\bm{\Sigma})^{2}))\right]+\mathbb{E}% \left[\tau(\bm{\Sigma}^{2})\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E41.m1.1d">= ( divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT end_ARG - 1 ) blackboard_E [ italic_τ ( bold_Λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_O end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT , bold_Σ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ) ] + blackboard_E [ italic_τ ( bold_Σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(41)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.11.p11"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.11.p11.1">∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.7">From this expression, we recognize the oracle eigenvalues <math alttext="\bm{\Lambda}^{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p3.1.m1.1a"><msup id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml">𝚲</mi><mi id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml">O</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.2">𝚲</ci><ci id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.3">𝑂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.1.m1.1c">\bm{\Lambda}^{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.1.m1.1d">bold_Λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_O end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> of equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.E20" title="In Definition 2.10. ‣ 2.2.1 Oracle estimator ‣ 2.2 Covariance matrix estimation ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">20</span></a>). In the high dimension limit, we can use the Ledoit Péché formula (equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.E21" title="In Theorem 2.1. ‣ 2.2.1 Oracle estimator ‣ 2.2 Covariance matrix estimation ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>) for <math alttext="\bm{\Lambda}^{O}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p3.2.m2.1a"><msup id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml">𝚲</mi><mi id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml">O</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.2">𝚲</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m2.1.1.3">𝑂</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.2.m2.1c">\bm{\Lambda}^{O}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.2.m2.1d">bold_Λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_O end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. The formula is exact in the high dimension limit but remains a very good approximation when the dimensions, <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p3.3.m3.1a"><mi id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.3.m3.1b"><ci id="S3.SS1.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m3.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.3.m3.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.3.m3.1d">italic_n</annotation></semantics></math> and <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p3.4.m4.1a"><mi id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.4.m4.1b"><ci id="S3.SS1.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m4.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.4.m4.1c">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.4.m4.1d">italic_t</annotation></semantics></math> are finite but large <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib17" title="">17</a>]</cite>. The formula in equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E40" title="In Proof. ‣ 3.1 General case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">40</span></a>) is the general holdout error for Gaussian multiplicative noise and establishes a quantitative link with the oracle estimator eigenvalues and it is not restricted to the inverse Wishart case. One can compute the holdout error for any population covariance matrix as long as one can apply the Ledoit-Péché formula written in equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.E21" title="In Theorem 2.1. ‣ 2.2.1 Oracle estimator ‣ 2.2 Covariance matrix estimation ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">21</span></a>). Therefore when <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.5.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p3.5.m5.1a"><mi id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.5.m5.1b"><ci id="S3.SS1.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m5.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.5.m5.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.5.m5.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> has a spectral density which converges a.s. at every point of continuity to a non-random limit when <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.6.m6.1"><semantics id="S3.SS1.p3.6.m6.1a"><mi id="S3.SS1.p3.6.m6.1.1" xref="S3.SS1.p3.6.m6.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.6.m6.1b"><ci id="S3.SS1.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.6.m6.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.6.m6.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.6.m6.1d">italic_n</annotation></semantics></math> tends to <math alttext="\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.7.m7.1"><semantics id="S3.SS1.p3.7.m7.1a"><mi id="S3.SS1.p3.7.m7.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p3.7.m7.1.1.cmml">∞</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.7.m7.1b"><infinity id="S3.SS1.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.7.m7.1.1"></infinity></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.7.m7.1c">\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.7.m7.1d">∞</annotation></semantics></math> and so that the support of the limiting distribution is included in a compact interval <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>. Moreover, this equation can be solved numerically for any population covariance verifying these regularity conditions <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p4.4">It is interesting to observe that both traces can be expressed in terms of expectation and variance of the eigenvalue distributions, in fact</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E42"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Sigma}^{2})\right]=\mathbb{E}\left[\bm{\lambda}^{% \textrm{true}}\right]^{2}+\mathbb{V}\left[\bm{\lambda}^{\textrm{true}}\right]" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E42.m1.3"><semantics id="S3.E42.m1.3a"><mrow id="S3.E42.m1.3.3" xref="S3.E42.m1.3.3.cmml"><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝚺</mi><mn id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E42.m1.3.3.4" xref="S3.E42.m1.3.3.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E42.m1.3.3.3" xref="S3.E42.m1.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.E42.m1.2.2.2.1" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.E42.m1.2.2.2.1.3" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E42.m1.2.2.2.1.2" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mtext id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3a.cmml">true</mtext></msup><mo id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mn id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E42.m1.3.3.3.3" xref="S3.E42.m1.3.3.3.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E42.m1.3.3.3.2" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E42.m1.3.3.3.2.3" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.3.cmml">𝕍</mi><mo id="S3.E42.m1.3.3.3.2.2" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.2" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1.2" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mtext id="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1.3" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1.3a.cmml">true</mtext></msup><mo id="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.3" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E42.m1.3b"><apply id="S3.E42.m1.3.3.cmml" xref="S3.E42.m1.3.3"><eq id="S3.E42.m1.3.3.4.cmml" xref="S3.E42.m1.3.3.4"></eq><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1"><times id="S3.E42.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E42.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝚺</ci><cn id="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E42.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E42.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.E42.m1.3.3.3"><plus id="S3.E42.m1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E42.m1.3.3.3.3"></plus><apply id="S3.E42.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1"><times id="S3.E42.m1.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.2"></times><ci id="S3.E42.m1.2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.1.1.1.3">true</mtext></ci></apply></apply><cn id="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E42.m1.2.2.2.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E42.m1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2"><times id="S3.E42.m1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.2"></times><ci id="S3.E42.m1.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.3">𝕍</ci><apply id="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1.3"><mtext id="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E42.m1.3.3.3.2.1.1.1.3">true</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E42.m1.3c">\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Sigma}^{2})\right]=\mathbb{E}\left[\bm{\lambda}^{% \textrm{true}}\right]^{2}+\mathbb{V}\left[\bm{\lambda}^{\textrm{true}}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E42.m1.3d">blackboard_E [ italic_τ ( bold_Σ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = blackboard_E [ bold_italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT true end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + blackboard_V [ bold_italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT true end_POSTSUPERSCRIPT ]</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(42)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p4.1">where <math alttext="\mathbb{E}\left[\bm{\lambda}^{\textrm{true}}\right]=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p4.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mtext id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">true</mtext></msup><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2"></eq><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1"><times id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.1.1.1.3">true</mtext></ci></apply></apply></apply><cn id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.1.m1.1c">\mathbb{E}\left[\bm{\lambda}^{\textrm{true}}\right]=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.1.m1.1d">blackboard_E [ bold_italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT true end_POSTSUPERSCRIPT ] = 1</annotation></semantics></math> if we consider correlation matrices, and</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E43"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Lambda}^{O}(\bm{V}_{\textrm{in}},\bm{\Sigma}))^{2})% \right]=\mathbb{E}\left[\bm{\lambda}^{\textrm{true}}\right]^{2}+\mathbb{V}% \left[\bm{\lambda}^{\textrm{O}}\right]." class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.E43.m1.1"><semantics id="S3.E43.m1.1a"><mrow id="S3.E43.m1.1b"><mi id="S3.E43.m1.1.2">𝔼</mi><mrow id="S3.E43.m1.1.3"><mo id="S3.E43.m1.1.3.1">[</mo><mi id="S3.E43.m1.1.3.2">τ</mi><msup id="S3.E43.m1.1.3.3"><mrow id="S3.E43.m1.1.3.3.2"><mo id="S3.E43.m1.1.3.3.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.E43.m1.1.3.3.2.2"><mi id="S3.E43.m1.1.3.3.2.2.2">𝚲</mi><mi id="S3.E43.m1.1.3.3.2.2.3">O</mi></msup><mrow id="S3.E43.m1.1.3.3.2.3"><mo id="S3.E43.m1.1.3.3.2.3.1" stretchy="false">(</mo><msub id="S3.E43.m1.1.3.3.2.3.2"><mi id="S3.E43.m1.1.3.3.2.3.2.2">𝑽</mi><mtext id="S3.E43.m1.1.3.3.2.3.2.3">in</mtext></msub><mo id="S3.E43.m1.1.3.3.2.3.3">,</mo><mi id="S3.E43.m1.1.1">𝚺</mi><mo id="S3.E43.m1.1.3.3.2.3.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E43.m1.1.3.3.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S3.E43.m1.1.3.3.3">2</mn></msup><mo id="S3.E43.m1.1.3.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E43.m1.1.4">]</mo><mo id="S3.E43.m1.1.5">=</mo><mi id="S3.E43.m1.1.6">𝔼</mi><mo id="S3.E43.m1.1.7">[</mo><msup id="S3.E43.m1.1.8"><mi id="S3.E43.m1.1.8.2">𝝀</mi><mtext id="S3.E43.m1.1.8.3">true</mtext></msup><mo id="S3.E43.m1.1.9">]</mo><msup id="S3.E43.m1.1.10"><mi id="S3.E43.m1.1.10a"></mi><mn id="S3.E43.m1.1.10.1">2</mn></msup><mo id="S3.E43.m1.1.11">+</mo><mi id="S3.E43.m1.1.12">𝕍</mi><mo id="S3.E43.m1.1.13">[</mo><msup id="S3.E43.m1.1.14"><mi id="S3.E43.m1.1.14.2">𝝀</mi><mtext id="S3.E43.m1.1.14.3">O</mtext></msup><mo id="S3.E43.m1.1.15">]</mo><mo id="S3.E43.m1.1.16" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E43.m1.1c">\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Lambda}^{O}(\bm{V}_{\textrm{in}},\bm{\Sigma}))^{2})% \right]=\mathbb{E}\left[\bm{\lambda}^{\textrm{true}}\right]^{2}+\mathbb{V}% \left[\bm{\lambda}^{\textrm{O}}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E43.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( bold_Λ start_POSTSUPERSCRIPT italic_O end_POSTSUPERSCRIPT ( bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT , bold_Σ ) ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = blackboard_E [ bold_italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT true end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + blackboard_V [ bold_italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT O end_POSTSUPERSCRIPT ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(43)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p4.3">In fact, the oracle eigenvalue procedure does not modify the mean of the sample eigenvalue distribution <math alttext="\mathbb{E}\left[\bm{\lambda}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.2.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p4.2.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.2.m1.1.2" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.2" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.2.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.1" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.3.2.1" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.cmml">𝝀</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.2.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.2"><times id="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.2">𝔼</ci><apply id="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.2.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1">𝝀</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.2.m1.1c">\mathbb{E}\left[\bm{\lambda}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.2.m1.1d">blackboard_E [ bold_italic_λ ]</annotation></semantics></math> but shrinks the sample variance, i.e., <math alttext="0\leq\mathbb{V}\left[\bm{\lambda}^{\textrm{O}}\right]\leq\mathbb{V}\left[\bm{% \lambda}\right]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.3.m2.2"><semantics id="S3.SS1.p4.3.m2.2a"><mrow id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.cmml"><mn id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.3" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.3.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.4" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.4.cmml">≤</mo><mrow id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.3" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.3.cmml">𝕍</mi><mo id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.2" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mtext id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1.3a.cmml">O</mtext></msup><mo id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.5" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.5.cmml">≤</mo><mrow id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.2" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.2.cmml">𝕍</mi><mo id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.1" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.3.2" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.3.2.1" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.3.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.cmml">𝝀</mi><mo id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.3.2.2" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.3.1.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.3.m2.2b"><apply id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2"><and id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2a.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2"></and><apply id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2b.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2"><leq id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.4.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.4"></leq><cn id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.3">0</cn><apply id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1"><times id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.2"></times><ci id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.3">𝕍</ci><apply id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.1.1.1.3">O</mtext></ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2c.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2"><leq id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.5.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.SS1.p4.3.m2.2.2.1.cmml" id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2d.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2"></share><apply id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6"><times id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.2">𝕍</ci><apply id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.2.2.6.3.2.1">delimited-[]</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1">𝝀</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.3.m2.2c">0\leq\mathbb{V}\left[\bm{\lambda}^{\textrm{O}}\right]\leq\mathbb{V}\left[\bm{% \lambda}\right]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.3.m2.2d">0 ≤ blackboard_V [ bold_italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT O end_POSTSUPERSCRIPT ] ≤ blackboard_V [ bold_italic_λ ]</annotation></semantics></math>. From the last two relationship, equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E40" title="In Proof. ‣ 3.1 General case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">40</span></a>) can be written as</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS1.p5"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E44"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma})^{2})\right]=\mathbb{V% }\left[\bm{\lambda}^{\textrm{true}}\right]-\mathbb{V}\left[\bm{\lambda}^{% \textrm{O}}\right]+2\frac{\mathbb{E}\left[\bm{\lambda}^{\textrm{true}}\right]^% {2}+\mathbb{V}\left[\bm{\lambda}^{\textrm{O}}\right]}{t_{\textrm{out}}}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E44.m1.3"><semantics id="S3.E44.m1.3a"><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚵</mi><mtext id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml">H</mtext></msup><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi></mrow><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.4" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml">𝕍</mi><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mtext id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3a.cmml">true</mtext></msup><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml">𝕍</mi><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mtext id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.3a.cmml">O</mtext></msup><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.3" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.4" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.4.cmml"><mn id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.4.2" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.4.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.4.1" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.4.1.cmml">⁢</mo><mfrac id="S3.E44.m1.2.2" xref="S3.E44.m1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.2.2.2" xref="S3.E44.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E44.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mtext id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">true</mtext></msup><mo id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow><mn id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E44.m1.2.2.2.3" xref="S3.E44.m1.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E44.m1.2.2.2.2" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E44.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.3.cmml">𝕍</mi><mo id="S3.E44.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">[</mo><msup id="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml">𝝀</mi><mtext id="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1.3a.cmml">O</mtext></msup><mo id="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><msub id="S3.E44.m1.2.2.4" xref="S3.E44.m1.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E44.m1.2.2.4.2" xref="S3.E44.m1.2.2.4.2.cmml">t</mi><mtext id="S3.E44.m1.2.2.4.3" xref="S3.E44.m1.2.2.4.3a.cmml">out</mtext></msub></mfrac></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E44.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E44.m1.3b"><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1"><eq id="S3.E44.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.4"></eq><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1"><times id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝚵</ci><ci id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mtext id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">H</mtext></ci></apply><ci id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci></apply><cn id="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3"><plus id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.3"></plus><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2"><minus id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.3"></minus><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1"><times id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.2"></times><ci id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.3">𝕍</ci><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.2.1.1.1.1.1.3">true</mtext></ci></apply></apply></apply><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2"><times id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.2"></times><ci id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.3">𝕍</ci><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.3"><mtext id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.1.1.3">O</mtext></ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.4"><times id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.4.1"></times><cn id="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.E44.m1.3.3.1.1.3.4.2">2</cn><apply id="S3.E44.m1.2.2.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2"><divide id="S3.E44.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2"></divide><apply id="S3.E44.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2.2"><plus id="S3.E44.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2.2.3"></plus><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1"><times id="S3.E44.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E44.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">true</mtext></ci></apply></apply><cn id="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E44.m1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E44.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2"><times id="S3.E44.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.2"></times><ci id="S3.E44.m1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.3">𝕍</ci><apply id="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1.2">𝝀</ci><ci id="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1.3"><mtext id="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E44.m1.2.2.2.2.1.1.1.3">O</mtext></ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E44.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E44.m1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E44.m1.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2.4.2">𝑡</ci><ci id="S3.E44.m1.2.2.4.3a.cmml" xref="S3.E44.m1.2.2.4.3"><mtext id="S3.E44.m1.2.2.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E44.m1.2.2.4.3">out</mtext></ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E44.m1.3c">\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma})^{2})\right]=\mathbb{V% }\left[\bm{\lambda}^{\textrm{true}}\right]-\mathbb{V}\left[\bm{\lambda}^{% \textrm{O}}\right]+2\frac{\mathbb{E}\left[\bm{\lambda}^{\textrm{true}}\right]^% {2}+\mathbb{V}\left[\bm{\lambda}^{\textrm{O}}\right]}{t_{\textrm{out}}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E44.m1.3d">blackboard_E [ italic_τ ( ( bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT - bold_Σ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = blackboard_V [ bold_italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT true end_POSTSUPERSCRIPT ] - blackboard_V [ bold_italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT O end_POSTSUPERSCRIPT ] + 2 divide start_ARG blackboard_E [ bold_italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT true end_POSTSUPERSCRIPT ] start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + blackboard_V [ bold_italic_λ start_POSTSUPERSCRIPT O end_POSTSUPERSCRIPT ] end_ARG start_ARG italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(44)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection">3.2 </span>White inverse Wishart case</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.1">If the population matrix is drawn from a white inverse Wishart, then equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E40" title="In Proof. ‣ 3.1 General case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">40</span></a>) has a closed form in the high dimensional limit.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S3.Thmproposition2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmproposition2.1.1.1">Proposition 3.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmproposition2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.Thmproposition2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmproposition2.p1.13"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmproposition2.p1.13.13">Let us consider <math alttext="\bm{\Sigma}\sim\mathcal{W}^{-1}_{np}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">𝚺</mi><mo id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml">∼</mo><msubsup id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml">𝒲</mi><mrow id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml">p</mi></mrow><mrow id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3a" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo><mn id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">1</mn></mrow></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.1">similar-to</csymbol><ci id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.2">𝚺</ci><apply id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.2">𝒲</ci><apply id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3"><minus id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3"></minus><cn id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.2.3.2">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3"><times id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1.1.3.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1c">\bm{\Sigma}\sim\mathcal{W}^{-1}_{np}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition2.p1.1.1.m1.1d">bold_Σ ∼ caligraphic_W start_POSTSUPERSCRIPT - 1 end_POSTSUPERSCRIPT start_POSTSUBSCRIPT italic_n italic_p end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> a white inverse Wishart of parameters <math alttext="(n,p)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2"><semantics id="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2a"><mrow id="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2.3.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2b"><interval closure="open" id="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2.3.2"><ci id="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.1.1">𝑛</ci><ci id="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2.2">𝑝</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2c">(n,p)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition2.p1.2.2.m2.2d">( italic_n , italic_p )</annotation></semantics></math>, with <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition2.p1.3.3.m3.1"><semantics id="S3.Thmproposition2.p1.3.3.m3.1a"><mi id="S3.Thmproposition2.p1.3.3.m3.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.3.3.m3.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition2.p1.3.3.m3.1b"><ci id="S3.Thmproposition2.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.3.3.m3.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition2.p1.3.3.m3.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition2.p1.3.3.m3.1d">italic_p</annotation></semantics></math> negligible relative to <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition2.p1.4.4.m4.1"><semantics id="S3.Thmproposition2.p1.4.4.m4.1a"><mi id="S3.Thmproposition2.p1.4.4.m4.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.4.4.m4.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition2.p1.4.4.m4.1b"><ci id="S3.Thmproposition2.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.4.4.m4.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition2.p1.4.4.m4.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition2.p1.4.4.m4.1d">italic_n</annotation></semantics></math>, and <math alttext="(\bm{x}_{\textrm{i}})_{1\leq i\leq t}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1"><semantics id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1a"><msub id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml">𝐱</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3a.cmml">i</mtext></msub><mo id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mrow id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml"><mn id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml">≤</mo><mi id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.4" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.4.cmml">i</mi><mo id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.5" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.5.cmml">≤</mo><mi id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.6" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.6.cmml">t</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1b"><apply id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.2">𝐱</ci><ci id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.1.1.1.3">i</mtext></ci></apply><apply id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3"><and id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3"></and><apply id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3b.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3"><leq id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.3"></leq><cn id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.4">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3c.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3"><leq id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.5.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.5"></leq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.4.cmml" id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3d.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3"></share><ci id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.6.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1.1.3.6">𝑡</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1c">(\bm{x}_{\textrm{i}})_{1\leq i\leq t}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition2.p1.5.5.m5.1d">( bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT i end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUBSCRIPT 1 ≤ italic_i ≤ italic_t end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> i.i.d. random vectors of <math alttext="\mathbb{R}^{n}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1"><semantics id="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1a"><msup id="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1.1.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mi id="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1.1.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml">n</mi></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1b"><apply id="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1.1.2">ℝ</ci><ci id="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1c">\mathbb{R}^{n}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition2.p1.6.6.m6.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> such that <math alttext="\bm{x}_{i}\sim\mathcal{N}(0,\bm{\Sigma})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2"><semantics id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2a"><mrow id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.cmml"><msub id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.2.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.2.2.cmml">𝐱</mi><mi id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.2.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.1.cmml">∼</mo><mrow id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.2.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.3.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mn id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.3.2.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.2.cmml">𝚺</mi><mo id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2b"><apply id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.1">similar-to</csymbol><apply id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.2.2">𝐱</ci><ci id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.2.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3"><times id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.1"></times><ci id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.2">𝒩</ci><interval closure="open" id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.3.3.3.2"><cn id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.1.1">0</cn><ci id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2.2">𝚺</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2c">\bm{x}_{i}\sim\mathcal{N}(0,\bm{\Sigma})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition2.p1.7.7.m7.2d">bold_italic_x start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ∼ caligraphic_N ( 0 , bold_Σ )</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="\bm{\Xi}^{\textrm{H}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1"><semantics id="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1a"><msup id="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml">𝚵</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1.3a.cmml">H</mtext></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1b"><apply id="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1">superscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1.2">𝚵</ci><ci id="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1.1.3">H</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1c">\bm{\Xi}^{\textrm{H}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition2.p1.8.8.m8.1d">bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> the holdout estimator associated with the index partition <math alttext="\{\mathcal{I}_{\textrm{in}},\mathcal{I}_{\textrm{out}}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2"><semantics id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2a"><mrow id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.3.cmml">{</mo><msub id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.4" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.cmml">ℐ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2.3a.cmml">out</mtext></msub><mo id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.3.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2b"><set id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.3.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2"><apply id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1.2">ℐ</ci><ci id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.1.1.1.1.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2.2">ℐ</ci><ci id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2.2.2.2.3">out</mtext></ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2c">\{\mathcal{I}_{\textrm{in}},\mathcal{I}_{\textrm{out}}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition2.p1.9.9.m9.2d">{ caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT , caligraphic_I start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> defined from <math alttext="t_{\textrm{out}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1"><semantics id="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1a"><msub id="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml">t</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1.3a.cmml">out</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1b"><apply id="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1.2">𝑡</ci><ci id="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1.3a.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1.1.3">out</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1c">t_{\textrm{out}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition2.p1.10.10.m10.1d">italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> integer between <math alttext="1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition2.p1.11.11.m11.1"><semantics id="S3.Thmproposition2.p1.11.11.m11.1a"><mn id="S3.Thmproposition2.p1.11.11.m11.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.11.11.m11.1.1.cmml">1</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition2.p1.11.11.m11.1b"><cn id="S3.Thmproposition2.p1.11.11.m11.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Thmproposition2.p1.11.11.m11.1.1">1</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition2.p1.11.11.m11.1c">1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition2.p1.11.11.m11.1d">1</annotation></semantics></math> and <math alttext="t-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1"><semantics id="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1a"><mrow id="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1.cmml"><mi id="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1.2" xref="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1.3" xref="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1b"><apply id="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1"><minus id="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1.1"></minus><ci id="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1.2.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1c">t-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition2.p1.12.12.m12.1d">italic_t - 1</annotation></semantics></math>. The expected Frobenius error between the holdout estimator and the population covariance <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition2.p1.13.13.m13.1"><semantics id="S3.Thmproposition2.p1.13.13.m13.1a"><mi id="S3.Thmproposition2.p1.13.13.m13.1.1" xref="S3.Thmproposition2.p1.13.13.m13.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition2.p1.13.13.m13.1b"><ci id="S3.Thmproposition2.p1.13.13.m13.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition2.p1.13.13.m13.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition2.p1.13.13.m13.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition2.p1.13.13.m13.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> is</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.Thmproposition2.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E45"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma})^{2})\right]=\left(% \frac{2k}{t}-1\right)\left(\frac{p^{2}}{p+\frac{kn}{kt-t}}+1\right)+1+p." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E45.m1.1"><semantics id="S3.E45.m1.1a"><mrow id="S3.E45.m1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E45.m1.1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msup id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝚵</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml">H</mtext></msup><mo id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi></mrow><mo id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E45.m1.1.1.1.1.4" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" 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id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci></apply><cn id="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.3"></plus><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2"><times id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.3"></times><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><minus id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"><divide id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.2"><times 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id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3"><plus id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.2">𝑝</ci><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3"><divide id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3"></divide><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.2"><times id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.2.1"></times><ci id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.3"><minus id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.3.1"></minus><apply id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.3.2"><times id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.3.2.1"></times><ci id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.2.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.2.2.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" type="integer" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.4">1</cn><ci id="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S3.E45.m1.1.1.1.1.3.5">𝑝</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E45.m1.1c">\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma})^{2})\right]=\left(% \frac{2k}{t}-1\right)\left(\frac{p^{2}}{p+\frac{kn}{kt-t}}+1\right)+1+p.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E45.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( ( bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT - bold_Σ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = ( divide start_ARG 2 italic_k end_ARG start_ARG italic_t end_ARG - 1 ) ( divide start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_p + divide start_ARG italic_k italic_n end_ARG start_ARG italic_k italic_t - italic_t end_ARG end_ARG + 1 ) + 1 + italic_p .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(45)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.1">To prove it, we first note that</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="S3.Thmproposition3"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmproposition3.1.1.1">Proposition 3.3</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmproposition3.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmproposition3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmproposition3.p1.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmproposition3.p1.2.2">When the population matrix is a white inverse Wishart, the oracle estimator recovers the optimal linear shrinkage in the Bayesian sense, in the high dimension limit when <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition3.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmproposition3.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.Thmproposition3.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmproposition3.p1.1.1.m1.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition3.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.Thmproposition3.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition3.p1.1.1.m1.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition3.p1.1.1.m1.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition3.p1.1.1.m1.1d">italic_p</annotation></semantics></math> is negligible compared to <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmproposition3.p1.2.2.m2.1"><semantics id="S3.Thmproposition3.p1.2.2.m2.1a"><mi id="S3.Thmproposition3.p1.2.2.m2.1.1" xref="S3.Thmproposition3.p1.2.2.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmproposition3.p1.2.2.m2.1b"><ci id="S3.Thmproposition3.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.Thmproposition3.p1.2.2.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmproposition3.p1.2.2.m2.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmproposition3.p1.2.2.m2.1d">italic_n</annotation></semantics></math> and is equal to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#bib.bib16" title="">16</a>]</cite></span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E46"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\bm{\Xi}^{\textrm{O}}=r\bm{E}+(1-r)\bm{\mathds{1}},\hskip 11.38109pt\mbox{with% :}\hskip 11.38109ptr=\frac{p}{p+q}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E46.m1.2"><semantics id="S3.E46.m1.2a"><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1"><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml">𝚵</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.3a.cmml">O</mtext></msup><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">𝑬</mi></mrow><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">r</mi></mrow><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝟙</mn></mrow></mrow><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" rspace="1.307em" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E46.m1.1.1" xref="S3.E46.m1.1.1a.cmml">with:</mtext></mrow></mrow><mspace id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.3" width="1.14em" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml">r</mi><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml">p</mi><mrow id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.1" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3.cmml">q</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo id="S3.E46.m1.2.2.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E46.m1.2b"><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E46.m1.2.2.1.1.3a.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1"><eq id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.2">𝚵</ci><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.3.3">O</mtext></ci></apply><list id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑬</ci></apply><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑟</ci></apply><cn id="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E46.m1.1.1a.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E46.m1.1.1.cmml" xref="S3.E46.m1.1.1">with:</mtext></ci></list></apply><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2"><eq id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.1"></eq><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.2">𝑟</ci><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3"><divide id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3"></divide><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.2">𝑝</ci><apply id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3"><plus id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.1"></plus><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.E46.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.3">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E46.m1.2c">\bm{\Xi}^{\textrm{O}}=r\bm{E}+(1-r)\bm{\mathds{1}},\hskip 11.38109pt\mbox{with% :}\hskip 11.38109ptr=\frac{p}{p+q}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E46.m1.2d">bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT O end_POSTSUPERSCRIPT = italic_r bold_italic_E + ( 1 - italic_r ) blackboard_bold_1 , with: italic_r = divide start_ARG italic_p end_ARG start_ARG italic_p + italic_q end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(46)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.SS2.11"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.1.p1.1">Let us apply the linear shrinkage formula in equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E46" title="In Proposition 3.3. ‣ 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">46</span></a>) to the oracle term appearing in equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E40" title="In Proof. ‣ 3.1 General case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">40</span></a>)</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E47"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau(\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in}}^{T}\bm{\Sigma}\bm{V}_{% \textrm{in}})^{2})\right]=\mathbb{E}\left[(\tau(r_{\textrm{in}}\bm{E}_{\textrm% {in}}+(1-r_{\textrm{in}})\bm{\mathds{1}})^{2})\right]," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E47.m1.1"><semantics id="S3.E47.m1.1a"><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">Diag</mtext><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝑽</mi><mtext id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">in</mtext><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝑽</mi><mtext id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">r</mi><mtext id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">𝑬</mi><mtext id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mtext id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mn id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝟙</mn></mrow></mrow><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E47.m1.1.1.1.2" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E47.m1.1b"><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1"><eq id="S3.E47.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">Diag</mtext></ci><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><mtext id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">in</mtext></ci></apply><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑽</ci><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><mtext id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">in</mtext></ci></apply></apply><cn id="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.3">𝔼</ci><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><times id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑟</ci><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3"><mtext id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝑬</ci><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3"><mtext id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">in</mtext></ci></apply></apply><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">in</mtext></ci></apply></apply><cn id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E47.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E47.m1.1c">\mathbb{E}\left[\tau(\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in}}^{T}\bm{\Sigma}\bm{V}_{% \textrm{in}})^{2})\right]=\mathbb{E}\left[(\tau(r_{\textrm{in}}\bm{E}_{\textrm% {in}}+(1-r_{\textrm{in}})\bm{\mathds{1}})^{2})\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E47.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( Diag ( bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = blackboard_E [ ( italic_τ ( italic_r start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT + ( 1 - italic_r start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) blackboard_bold_1 ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(47)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.2.p2.3">where <math alttext="r_{\textrm{in}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml">r</mi><mtext id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.2">𝑟</ci><ci id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3"><mtext id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.2.p2.1.m1.1.1.3">in</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1c">r_{\textrm{in}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.2.p2.1.m1.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is obtained by using <math alttext="q_{\textrm{in}}=n/t_{\textrm{in}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">q</mi><mtext id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml">/</mo><msub id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">t</mi><mtext id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1"><eq id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2.2">𝑞</ci><ci id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2.3"><mtext id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.2.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3"><divide id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.1"></divide><ci id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.2">𝑛</ci><apply id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3.2">𝑡</ci><ci id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3a.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3"><mtext id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.2.p2.2.m2.1.1.3.3.3">in</mtext></ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1c">q_{\textrm{in}}=n/t_{\textrm{in}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.2.p2.2.m2.1d">italic_q start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT = italic_n / italic_t start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> instead of <math alttext="q" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.2.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.2.p2.3.m3.1a"><mi id="S3.SS2.2.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.1.1.cmml">q</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.2.p2.3.m3.1b"><ci id="S3.SS2.2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.2.p2.3.m3.1.1">𝑞</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.2.p2.3.m3.1c">q</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.2.p2.3.m3.1d">italic_q</annotation></semantics></math>. The former equation can then be expanded in the following way</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E48"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau(\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in}}^{T}\bm{\Sigma}\bm{V}_{% \textrm{in}})^{2})\right]=\mathbb{E}\left[r_{\textrm{in}}^{2}\tau(\bm{E}_{in}^% {2})+2r_{\textrm{in}}(1-r_{\textrm{in}})\tau(\bm{E}_{\textrm{in}})+(1-r_{% \textrm{in}})^{2}\right]." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E48.m1.1"><semantics id="S3.E48.m1.1a"><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">Diag</mtext><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝑽</mi><mtext id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">in</mtext><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝑽</mi><mtext id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml">r</mi><mtext id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3a.cmml">in</mtext><mn id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml">τ</mi><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2a" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝑬</mi><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">n</mi></mrow><mn id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5.cmml">+</mo><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.4" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.4.cmml">2</mn><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5.cmml"><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5.2.cmml">r</mi><mtext id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3a" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mtext id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3b" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.6" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.6.cmml">τ</mi><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3c" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.2.cmml">𝑬</mi><mtext id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5a" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5.cmml">+</mo><msup id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.1" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3.2" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mtext id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.3" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E48.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E48.m1.1b"><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1"><eq id="S3.E48.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">Diag</mtext></ci><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" 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id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑽</ci><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><mtext id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">in</mtext></ci></apply></apply><cn id="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.2"></times><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.3">𝔼</ci><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><plus id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.5"></plus><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1"><times id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.2">𝑟</ci><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3a.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3"><mtext id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.3">in</mtext></ci></apply><cn id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3">2</cn></apply><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.4">𝜏</ci><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑬</ci><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><times id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><cn id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3"><times id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.3"></times><cn id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.4.cmml" type="integer" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.4">2</cn><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5">subscript</csymbol><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5.2">𝑟</ci><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5.3a.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5.3"><mtext id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.5.3">in</mtext></ci></apply><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1"><minus id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2.1.1.1.3.3">in</mtext></ci></apply></apply><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.6.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.6">𝜏</ci><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.2">𝑬</ci><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.3a.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.3"><mtext id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3.2.1.1.3">in</mtext></ci></apply></apply><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4">superscript</csymbol><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1"><minus id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.1.1.1.3.3">in</mtext></ci></apply></apply><cn id="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E48.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.4.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E48.m1.1c">\mathbb{E}\left[\tau(\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in}}^{T}\bm{\Sigma}\bm{V}_{% \textrm{in}})^{2})\right]=\mathbb{E}\left[r_{\textrm{in}}^{2}\tau(\bm{E}_{in}^% {2})+2r_{\textrm{in}}(1-r_{\textrm{in}})\tau(\bm{E}_{\textrm{in}})+(1-r_{% \textrm{in}})^{2}\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E48.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( Diag ( bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = blackboard_E [ italic_r start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_τ ( bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) + 2 italic_r start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ( 1 - italic_r start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) italic_τ ( bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) + ( 1 - italic_r start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(48)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.3.p3.2">Since the data are Gaussian, one can apply lemma (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmlemma2" title="Lemma 2.2. ‣ 2.1.1 Estimation of Parameters ‣ 2.1 Multivariate Distributions ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>) and proposition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmproperty2" title="Property 2.2. ‣ 2.1.1 Estimation of Parameters ‣ 2.1 Multivariate Distributions ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.2</span></a>) if <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.3.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.3.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.3.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.3.p3.1.m1.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.3.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.3.p3.1.m1.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.3.p3.1.m1.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.3.p3.1.m1.1d">italic_p</annotation></semantics></math> is negligible relative to <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.3.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.3.p3.2.m2.1a"><mi id="S3.SS2.3.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.3.p3.2.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.3.p3.2.m2.1b"><ci id="S3.SS2.3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.3.p3.2.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.3.p3.2.m2.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.3.p3.2.m2.1d">italic_n</annotation></semantics></math>, then</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.4.p4"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E49"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau(\bm{E}_{\textrm{in}}^{2})\right]=1+p+q_{\textrm{in}}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E49.m1.1"><semantics id="S3.E49.m1.1a"><mrow id="S3.E49.m1.1.1.1" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E49.m1.1.1.1.1" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝑬</mi><mtext id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml">in</mtext><mn id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi><mo id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4.cmml"><mi id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4.2" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml">q</mi><mtext id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4.3" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow></mrow><mo id="S3.E49.m1.1.1.1.2" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E49.m1.1b"><apply id="S3.E49.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1"><eq id="S3.E49.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑬</ci><ci id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3"><mtext id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">in</mtext></ci></apply><cn id="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.1"></plus><cn id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.2">1</cn><ci id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci><apply id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4.2.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4.2">𝑞</ci><ci id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4.3a.cmml" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4.3"><mtext id="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E49.m1.1.1.1.1.3.4.3">in</mtext></ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E49.m1.1c">\mathbb{E}\left[\tau(\bm{E}_{\textrm{in}}^{2})\right]=1+p+q_{\textrm{in}},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E49.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = 1 + italic_p + italic_q start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(49)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.5.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.5.p5.1">and being the population matrix a white inverse Wishart, from the definition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmdefinition5" title="Definition 2.5. ‣ 2.1 Multivariate Distributions ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.5</span></a>) and lemma (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.Thmlemma1" title="Lemma 2.1. ‣ 2.1 Multivariate Distributions ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2.1</span></a>), we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E50"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau(\bm{E}_{\textrm{in}})\right]=1." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E50.m1.1"><semantics id="S3.E50.m1.1a"><mrow id="S3.E50.m1.1.1.1" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E50.m1.1.1.1.1" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝑬</mi><mtext id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">in</mtext></msub><mo id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E50.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.E50.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E50.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E50.m1.1b"><apply id="S3.E50.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1"><eq id="S3.E50.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑬</ci><ci id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">in</mtext></ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.E50.m1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E50.m1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E50.m1.1c">\mathbb{E}\left[\tau(\bm{E}_{\textrm{in}})\right]=1.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E50.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( bold_italic_E start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) ] = 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(50)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.6.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.6.p6.1">Therefore equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E48" title="In Proof. ‣ 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">48</span></a>) becomes</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.7.p7"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E51"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau(\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in}}^{T}\bm{\Sigma}\bm{V}_{% \textrm{in}})^{2})\right]=r_{\textrm{in}}^{2}\left(p+q_{\textrm{in}}\right)+1." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E51.m1.1"><semantics id="S3.E51.m1.1a"><mrow id="S3.E51.m1.1.1.1" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E51.m1.1.1.1.1" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝔼</mi><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">τ</mi><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mtext id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml">Diag</mtext><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msubsup id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">𝑽</mi><mtext id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml">in</mtext><mi id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">T</mi></msubsup><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">𝚺</mi><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml">𝑽</mi><mtext id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mn id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.cmml"><msubsup id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml"><mi id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.2" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml">r</mi><mtext id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.3a.cmml">in</mtext><mn id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">2</mn></msubsup><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.2" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml">q</mi><mtext id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3a.cmml">in</mtext></msub></mrow><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.2.cmml">+</mo><mn id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.3.cmml">1</mn></mrow></mrow><mo id="S3.E51.m1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E51.m1.1b"><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1"><eq id="S3.E51.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.3"></eq><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.3">𝔼</ci><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝜏</ci><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><mtext id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">Diag</mtext></ci><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑽</ci><ci id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3a.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3"><mtext id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">in</mtext></ci></apply><ci id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑇</ci></apply><ci id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝚺</ci><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.2">𝑽</ci><ci id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3a.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3"><mtext id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.4.3">in</mtext></ci></apply></apply><cn id="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2"><plus id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.2"></plus><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1"><times id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.2"></times><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.2">𝑟</ci><ci id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.3a.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.3"><mtext id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.2.3">in</mtext></ci></apply><cn id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1"><plus id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.2">𝑝</ci><apply id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.2">𝑞</ci><ci id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.1.1.1.1.3.3">in</mtext></ci></apply></apply></apply><cn id="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E51.m1.1.1.1.1.2.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E51.m1.1c">\mathbb{E}\left[\tau(\textrm{Diag}(\bm{V}_{\textrm{in}}^{T}\bm{\Sigma}\bm{V}_{% \textrm{in}})^{2})\right]=r_{\textrm{in}}^{2}\left(p+q_{\textrm{in}}\right)+1.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E51.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( Diag ( bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_T end_POSTSUPERSCRIPT bold_Σ bold_italic_V start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = italic_r start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_p + italic_q start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) + 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(51)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.8.p8"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.8.p8.1">By substituting the linear shrinkage formula of equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E51" title="In Proof. ‣ 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">51</span></a>) into the expression of the holdout Frobenius error of equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E40" title="In Proof. ‣ 3.1 General case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">40</span></a>) we obtain</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.9.p9"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E52"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma})^{2})\right]=\left(% \frac{2}{t_{\textrm{out}}}-1\right)\left[r_{\textrm{in}}^{2}\left(p+q_{\textrm% {in}}\right)+1\right]+1+p," class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.E52.m1.1"><semantics id="S3.E52.m1.1a"><mrow id="S3.E52.m1.1b"><mi id="S3.E52.m1.1.1">𝔼</mi><mrow id="S3.E52.m1.1.2"><mo id="S3.E52.m1.1.2.1">[</mo><mi id="S3.E52.m1.1.2.2">τ</mi><msup id="S3.E52.m1.1.2.3"><mrow id="S3.E52.m1.1.2.3.2"><mo id="S3.E52.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.E52.m1.1.2.3.2.2"><mi id="S3.E52.m1.1.2.3.2.2.2">𝚵</mi><mtext id="S3.E52.m1.1.2.3.2.2.3">H</mtext></msup><mo id="S3.E52.m1.1.2.3.2.3">−</mo><mi id="S3.E52.m1.1.2.3.2.4">𝚺</mi><mo id="S3.E52.m1.1.2.3.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S3.E52.m1.1.2.3.3">2</mn></msup><mo id="S3.E52.m1.1.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E52.m1.1.3">]</mo><mo id="S3.E52.m1.1.4">=</mo><mo id="S3.E52.m1.1.5">(</mo><mfrac id="S3.E52.m1.1.6"><mn id="S3.E52.m1.1.6.2">2</mn><msub id="S3.E52.m1.1.6.3"><mi id="S3.E52.m1.1.6.3.2">t</mi><mtext id="S3.E52.m1.1.6.3.3">out</mtext></msub></mfrac><mo id="S3.E52.m1.1.7">−</mo><mn id="S3.E52.m1.1.8">1</mn><mo id="S3.E52.m1.1.9">)</mo><mo id="S3.E52.m1.1.10">[</mo><msubsup id="S3.E52.m1.1.11"><mi id="S3.E52.m1.1.11.2.2">r</mi><mtext id="S3.E52.m1.1.11.2.3">in</mtext><mn id="S3.E52.m1.1.11.3">2</mn></msubsup><mrow id="S3.E52.m1.1.12"><mo id="S3.E52.m1.1.12.1">(</mo><mi id="S3.E52.m1.1.12.2">p</mi><mo id="S3.E52.m1.1.12.3">+</mo><msub id="S3.E52.m1.1.12.4"><mi id="S3.E52.m1.1.12.4.2">q</mi><mtext id="S3.E52.m1.1.12.4.3">in</mtext></msub><mo id="S3.E52.m1.1.12.5">)</mo></mrow><mo id="S3.E52.m1.1.13">+</mo><mn id="S3.E52.m1.1.14">1</mn><mo id="S3.E52.m1.1.15">]</mo><mo id="S3.E52.m1.1.16">+</mo><mn id="S3.E52.m1.1.17">1</mn><mo id="S3.E52.m1.1.18">+</mo><mi id="S3.E52.m1.1.19">p</mi><mo id="S3.E52.m1.1.20">,</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E52.m1.1c">\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma})^{2})\right]=\left(% \frac{2}{t_{\textrm{out}}}-1\right)\left[r_{\textrm{in}}^{2}\left(p+q_{\textrm% {in}}\right)+1\right]+1+p,</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E52.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT - bold_Σ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = ( divide start_ARG 2 end_ARG start_ARG italic_t start_POSTSUBSCRIPT out end_POSTSUBSCRIPT end_ARG - 1 ) [ italic_r start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_p + italic_q start_POSTSUBSCRIPT in end_POSTSUBSCRIPT ) + 1 ] + 1 + italic_p ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(52)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.10.p10"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.10.p10.1">Expressing the former expression as a function of <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.10.p10.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.10.p10.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.10.p10.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.10.p10.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.10.p10.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.10.p10.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.10.p10.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.10.p10.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.10.p10.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math> we obtain the expected error of the holdout estimator for the white inverse Wishart case in the high-dimension limit</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.11.p11"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E53"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma})^{2})\right]=\left(% \frac{2k}{t}-1\right)\left(\frac{p^{2}}{p+\frac{kn}{kt-t}}+1\right)+1+p." class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.E53.m1.1"><semantics id="S3.E53.m1.1a"><mrow id="S3.E53.m1.1b"><mi id="S3.E53.m1.1.1">𝔼</mi><mrow id="S3.E53.m1.1.2"><mo id="S3.E53.m1.1.2.1">[</mo><mi id="S3.E53.m1.1.2.2">τ</mi><msup id="S3.E53.m1.1.2.3"><mrow id="S3.E53.m1.1.2.3.2"><mo id="S3.E53.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.E53.m1.1.2.3.2.2"><mi id="S3.E53.m1.1.2.3.2.2.2">𝚵</mi><mtext id="S3.E53.m1.1.2.3.2.2.3">H</mtext></msup><mo id="S3.E53.m1.1.2.3.2.3">−</mo><mi id="S3.E53.m1.1.2.3.2.4">𝚺</mi><mo id="S3.E53.m1.1.2.3.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S3.E53.m1.1.2.3.3">2</mn></msup><mo id="S3.E53.m1.1.2.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E53.m1.1.3">]</mo><mo id="S3.E53.m1.1.4">=</mo><mo id="S3.E53.m1.1.5">(</mo><mfrac id="S3.E53.m1.1.6"><mrow id="S3.E53.m1.1.6.2"><mn id="S3.E53.m1.1.6.2.2">2</mn><mo id="S3.E53.m1.1.6.2.1">⁢</mo><mi id="S3.E53.m1.1.6.2.3">k</mi></mrow><mi id="S3.E53.m1.1.6.3">t</mi></mfrac><mo id="S3.E53.m1.1.7">−</mo><mn id="S3.E53.m1.1.8">1</mn><mo id="S3.E53.m1.1.9">)</mo><mo id="S3.E53.m1.1.10">(</mo><mfrac id="S3.E53.m1.1.11"><msup id="S3.E53.m1.1.11.2"><mi id="S3.E53.m1.1.11.2.2">p</mi><mn id="S3.E53.m1.1.11.2.3">2</mn></msup><mrow id="S3.E53.m1.1.11.3"><mi id="S3.E53.m1.1.11.3.2">p</mi><mo id="S3.E53.m1.1.11.3.1">+</mo><mfrac id="S3.E53.m1.1.11.3.3"><mrow id="S3.E53.m1.1.11.3.3.2"><mi id="S3.E53.m1.1.11.3.3.2.2">k</mi><mo id="S3.E53.m1.1.11.3.3.2.1">⁢</mo><mi id="S3.E53.m1.1.11.3.3.2.3">n</mi></mrow><mrow id="S3.E53.m1.1.11.3.3.3"><mrow id="S3.E53.m1.1.11.3.3.3.2"><mi id="S3.E53.m1.1.11.3.3.3.2.2">k</mi><mo id="S3.E53.m1.1.11.3.3.3.2.1">⁢</mo><mi id="S3.E53.m1.1.11.3.3.3.2.3">t</mi></mrow><mo id="S3.E53.m1.1.11.3.3.3.1">−</mo><mi id="S3.E53.m1.1.11.3.3.3.3">t</mi></mrow></mfrac></mrow></mfrac><mo id="S3.E53.m1.1.12">+</mo><mn id="S3.E53.m1.1.13">1</mn><mo id="S3.E53.m1.1.14">)</mo><mo id="S3.E53.m1.1.15">+</mo><mn id="S3.E53.m1.1.16">1</mn><mo id="S3.E53.m1.1.17">+</mo><mi id="S3.E53.m1.1.18">p</mi><mo id="S3.E53.m1.1.19" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E53.m1.1c">\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma})^{2})\right]=\left(% \frac{2k}{t}-1\right)\left(\frac{p^{2}}{p+\frac{kn}{kt-t}}+1\right)+1+p.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E53.m1.1d">blackboard_E [ italic_τ ( bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT - bold_Σ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = ( divide start_ARG 2 italic_k end_ARG start_ARG italic_t end_ARG - 1 ) ( divide start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_p + divide start_ARG italic_k italic_n end_ARG start_ARG italic_k italic_t - italic_t end_ARG end_ARG + 1 ) + 1 + italic_p .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(53)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.11.p11.2">However, the former equation, requires that <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.11.p11.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.11.p11.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.11.p11.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.11.p11.1.m1.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.11.p11.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.11.p11.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.11.p11.1.m1.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.11.p11.1.m1.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.11.p11.1.m1.1d">italic_p</annotation></semantics></math> is negligible with respect to <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.11.p11.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.11.p11.2.m2.1a"><mi id="S3.SS2.11.p11.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.11.p11.2.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.11.p11.2.m2.1b"><ci id="S3.SS2.11.p11.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.11.p11.2.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.11.p11.2.m2.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.11.p11.2.m2.1d">italic_n</annotation></semantics></math> for the equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E49" title="In Proof. ‣ 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">49</span></a>) to be valid. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.7">In the left panel of figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, we compared the theoretical error formula equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E45" title="In Proposition 3.2. ‣ 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">45</span></a>) with extensive Monte Carlo estimations. The theoretical error shows a good agreement with the data when <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.1.m1.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.1.m1.1d">italic_p</annotation></semantics></math> is negligible compared to <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p3.2.m2.1a"><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.2.m2.1b"><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.2.m2.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.2.m2.1d">italic_n</annotation></semantics></math>. However, when <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p3.3.m3.1a"><mi id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.3.m3.1b"><ci id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.3.m3.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.3.m3.1d">italic_p</annotation></semantics></math> is larger compared to <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p3.4.m4.1a"><mi id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.4.m4.1b"><ci id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.4.m4.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.4.m4.1d">italic_n</annotation></semantics></math>, the error formula shows a systematic underestimation of the error. This behavior appears clear since only the points associated with <math alttext="p/n>10^{-2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p3.5.m5.1a"><mrow id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2.2.cmml">p</mi><mo id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2.1" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2.1.cmml">/</mo><mi id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2.3.cmml">n</mi></mrow><mo id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.1.cmml">></mo><msup id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.cmml"><mn id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.2.cmml">10</mn><mrow id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.3a" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.3.2" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1"><gt id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.1"></gt><apply id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2"><divide id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2.1"></divide><ci id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.2">10</cn><apply id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.3"><minus id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.3"></minus><cn id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.3.3.2">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.5.m5.1c">p/n>10^{-2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.5.m5.1d">italic_p / italic_n > 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> are biased. The reason is probably that both in the optimal linear shrinkage and in our derivation, equation <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.E12" title="In Proof. ‣ 2.1.1 Estimation of Parameters ‣ 2.1 Multivariate Distributions ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">12</span></a>, requires <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.6.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p3.6.m6.1a"><mi id="S3.SS2.p3.6.m6.1.1" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.6.m6.1b"><ci id="S3.SS2.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.6.m6.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.6.m6.1d">italic_p</annotation></semantics></math> significantly smaller than <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.7.m7.1"><semantics id="S3.SS2.p3.7.m7.1a"><mi id="S3.SS2.p3.7.m7.1.1" xref="S3.SS2.p3.7.m7.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.7.m7.1b"><ci id="S3.SS2.p3.7.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.7.m7.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.7.m7.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.7.m7.1d">italic_n</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.3">In the right panel of figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, we show the theoretical and Monte Carlo error as a function of <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p4.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math> for a specific set of <math alttext="\{n,p,q\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.2.m2.3"><semantics id="S3.SS2.p4.2.m2.3a"><mrow id="S3.SS2.p4.2.m2.3.4.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.3.4.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.3.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.2.m2.3.4.1.cmml">{</mo><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.3.4.2.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.cmml">p</mi><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.3.4.2.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.3.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p4.2.m2.3.3" xref="S3.SS2.p4.2.m2.3.3.cmml">q</mi><mo id="S3.SS2.p4.2.m2.3.4.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p4.2.m2.3.4.1.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.2.m2.3b"><set id="S3.SS2.p4.2.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.3.4.2"><ci id="S3.SS2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.1.1">𝑛</ci><ci id="S3.SS2.p4.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS2.p4.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p4.2.m2.3.3">𝑞</ci></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.2.m2.3c">\{n,p,q\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.2.m2.3d">{ italic_n , italic_p , italic_q }</annotation></semantics></math>. Interestingly, even though for our choice of parameters, a small bias is still observable, the position of the minimum seems not affected. This motivates us to use equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E45" title="In Proposition 3.2. ‣ 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">45</span></a>) to derive an analytical expression for the optimal <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p4.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p4.3.m3.1a"><mi id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p4.3.m3.1b"><ci id="S3.SS2.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p4.3.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p4.3.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p4.3.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F2"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="308" id="S3.F2.g1" src="x3.png" width="411"/></div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_figure_panel ltx_img_landscape" height="308" id="S3.F2.g2" src="x4.png" width="411"/></div> </div> <figcaption class="ltx_caption"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure">Figure 2: </span>The left panel shows the comparison of the theoretical error of equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E45" title="In Proposition 3.2. ‣ 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">45</span></a>) with a Monte Carlo estimations for a random uniform selection of the parameters: <math alttext="n\in[100,1000]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.12.m1.2"><semantics id="S3.F2.12.m1.2b"><mrow id="S3.F2.12.m1.2.3" xref="S3.F2.12.m1.2.3.cmml"><mi id="S3.F2.12.m1.2.3.2" xref="S3.F2.12.m1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.F2.12.m1.2.3.1" xref="S3.F2.12.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.F2.12.m1.2.3.3.2" xref="S3.F2.12.m1.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.F2.12.m1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.F2.12.m1.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.F2.12.m1.1.1" xref="S3.F2.12.m1.1.1.cmml">100</mn><mo id="S3.F2.12.m1.2.3.3.2.2" xref="S3.F2.12.m1.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.F2.12.m1.2.2" xref="S3.F2.12.m1.2.2.cmml">1000</mn><mo id="S3.F2.12.m1.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.F2.12.m1.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.12.m1.2c"><apply id="S3.F2.12.m1.2.3.cmml" xref="S3.F2.12.m1.2.3"><in id="S3.F2.12.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.F2.12.m1.2.3.1"></in><ci id="S3.F2.12.m1.2.3.2.cmml" xref="S3.F2.12.m1.2.3.2">𝑛</ci><interval closure="closed" id="S3.F2.12.m1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.F2.12.m1.2.3.3.2"><cn id="S3.F2.12.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.F2.12.m1.1.1">100</cn><cn id="S3.F2.12.m1.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.F2.12.m1.2.2">1000</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.12.m1.2d">n\in[100,1000]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.12.m1.2e">italic_n ∈ [ 100 , 1000 ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="p\in[0.1,9]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.13.m2.2"><semantics id="S3.F2.13.m2.2b"><mrow id="S3.F2.13.m2.2.3" xref="S3.F2.13.m2.2.3.cmml"><mi id="S3.F2.13.m2.2.3.2" xref="S3.F2.13.m2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.F2.13.m2.2.3.1" xref="S3.F2.13.m2.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.F2.13.m2.2.3.3.2" xref="S3.F2.13.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.F2.13.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.F2.13.m2.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.F2.13.m2.1.1" xref="S3.F2.13.m2.1.1.cmml">0.1</mn><mo id="S3.F2.13.m2.2.3.3.2.2" xref="S3.F2.13.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.F2.13.m2.2.2" xref="S3.F2.13.m2.2.2.cmml">9</mn><mo id="S3.F2.13.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.F2.13.m2.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.13.m2.2c"><apply id="S3.F2.13.m2.2.3.cmml" xref="S3.F2.13.m2.2.3"><in id="S3.F2.13.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.F2.13.m2.2.3.1"></in><ci id="S3.F2.13.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.F2.13.m2.2.3.2">𝑝</ci><interval closure="closed" id="S3.F2.13.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.F2.13.m2.2.3.3.2"><cn id="S3.F2.13.m2.1.1.cmml" type="float" xref="S3.F2.13.m2.1.1">0.1</cn><cn id="S3.F2.13.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.F2.13.m2.2.2">9</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.13.m2.2d">p\in[0.1,9]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.13.m2.2e">italic_p ∈ [ 0.1 , 9 ]</annotation></semantics></math>, <math alttext="q\in[0.1,0.9]" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.14.m3.2"><semantics id="S3.F2.14.m3.2b"><mrow id="S3.F2.14.m3.2.3" xref="S3.F2.14.m3.2.3.cmml"><mi id="S3.F2.14.m3.2.3.2" xref="S3.F2.14.m3.2.3.2.cmml">q</mi><mo id="S3.F2.14.m3.2.3.1" xref="S3.F2.14.m3.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.F2.14.m3.2.3.3.2" xref="S3.F2.14.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.F2.14.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.F2.14.m3.2.3.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.F2.14.m3.1.1" xref="S3.F2.14.m3.1.1.cmml">0.1</mn><mo id="S3.F2.14.m3.2.3.3.2.2" xref="S3.F2.14.m3.2.3.3.1.cmml">,</mo><mn id="S3.F2.14.m3.2.2" xref="S3.F2.14.m3.2.2.cmml">0.9</mn><mo id="S3.F2.14.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.F2.14.m3.2.3.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.14.m3.2c"><apply id="S3.F2.14.m3.2.3.cmml" xref="S3.F2.14.m3.2.3"><in id="S3.F2.14.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.F2.14.m3.2.3.1"></in><ci id="S3.F2.14.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.F2.14.m3.2.3.2">𝑞</ci><interval closure="closed" id="S3.F2.14.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.F2.14.m3.2.3.3.2"><cn id="S3.F2.14.m3.1.1.cmml" type="float" xref="S3.F2.14.m3.1.1">0.1</cn><cn id="S3.F2.14.m3.2.2.cmml" type="float" xref="S3.F2.14.m3.2.2">0.9</cn></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.14.m3.2d">q\in[0.1,0.9]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.14.m3.2e">italic_q ∈ [ 0.1 , 0.9 ]</annotation></semantics></math> and <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.15.m4.1"><semantics id="S3.F2.15.m4.1b"><mi id="S3.F2.15.m4.1.1" xref="S3.F2.15.m4.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.15.m4.1c"><ci id="S3.F2.15.m4.1.1.cmml" xref="S3.F2.15.m4.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.15.m4.1d">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.15.m4.1e">italic_k</annotation></semantics></math> among the divisors of <math alttext="t" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.16.m5.1"><semantics id="S3.F2.16.m5.1b"><mi id="S3.F2.16.m5.1.1" xref="S3.F2.16.m5.1.1.cmml">t</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.16.m5.1c"><ci id="S3.F2.16.m5.1.1.cmml" xref="S3.F2.16.m5.1.1">𝑡</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.16.m5.1d">t</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.16.m5.1e">italic_t</annotation></semantics></math>. For stability, every combination of parameters is repeated <math alttext="100" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.17.m6.1"><semantics id="S3.F2.17.m6.1b"><mn id="S3.F2.17.m6.1.1" xref="S3.F2.17.m6.1.1.cmml">100</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.17.m6.1c"><cn id="S3.F2.17.m6.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.F2.17.m6.1.1">100</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.17.m6.1d">100</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.17.m6.1e">100</annotation></semantics></math> times, and the estimated error is averaged. The right panel shows the theoretical Frobenius error and the Monte Carlo estimation as a function of <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.18.m7.1"><semantics id="S3.F2.18.m7.1b"><mi id="S3.F2.18.m7.1.1" xref="S3.F2.18.m7.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.18.m7.1c"><ci id="S3.F2.18.m7.1.1.cmml" xref="S3.F2.18.m7.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.18.m7.1d">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.18.m7.1e">italic_k</annotation></semantics></math> for <math alttext="n=750" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.19.m8.1"><semantics id="S3.F2.19.m8.1b"><mrow id="S3.F2.19.m8.1.1" xref="S3.F2.19.m8.1.1.cmml"><mi id="S3.F2.19.m8.1.1.2" xref="S3.F2.19.m8.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.F2.19.m8.1.1.1" xref="S3.F2.19.m8.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F2.19.m8.1.1.3" xref="S3.F2.19.m8.1.1.3.cmml">750</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.19.m8.1c"><apply id="S3.F2.19.m8.1.1.cmml" xref="S3.F2.19.m8.1.1"><eq id="S3.F2.19.m8.1.1.1.cmml" xref="S3.F2.19.m8.1.1.1"></eq><ci id="S3.F2.19.m8.1.1.2.cmml" xref="S3.F2.19.m8.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S3.F2.19.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F2.19.m8.1.1.3">750</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.19.m8.1d">n=750</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.19.m8.1e">italic_n = 750</annotation></semantics></math>, <math alttext="t=1000" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.20.m9.1"><semantics id="S3.F2.20.m9.1b"><mrow id="S3.F2.20.m9.1.1" xref="S3.F2.20.m9.1.1.cmml"><mi id="S3.F2.20.m9.1.1.2" xref="S3.F2.20.m9.1.1.2.cmml">t</mi><mo id="S3.F2.20.m9.1.1.1" xref="S3.F2.20.m9.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F2.20.m9.1.1.3" xref="S3.F2.20.m9.1.1.3.cmml">1000</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.20.m9.1c"><apply id="S3.F2.20.m9.1.1.cmml" xref="S3.F2.20.m9.1.1"><eq id="S3.F2.20.m9.1.1.1.cmml" xref="S3.F2.20.m9.1.1.1"></eq><ci id="S3.F2.20.m9.1.1.2.cmml" xref="S3.F2.20.m9.1.1.2">𝑡</ci><cn id="S3.F2.20.m9.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.F2.20.m9.1.1.3">1000</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.20.m9.1d">t=1000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.20.m9.1e">italic_t = 1000</annotation></semantics></math>, and <math alttext="p=0.06" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.21.m10.1"><semantics id="S3.F2.21.m10.1b"><mrow id="S3.F2.21.m10.1.1" xref="S3.F2.21.m10.1.1.cmml"><mi id="S3.F2.21.m10.1.1.2" xref="S3.F2.21.m10.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S3.F2.21.m10.1.1.1" xref="S3.F2.21.m10.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.F2.21.m10.1.1.3" xref="S3.F2.21.m10.1.1.3.cmml">0.06</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.21.m10.1c"><apply id="S3.F2.21.m10.1.1.cmml" xref="S3.F2.21.m10.1.1"><eq id="S3.F2.21.m10.1.1.1.cmml" xref="S3.F2.21.m10.1.1.1"></eq><ci id="S3.F2.21.m10.1.1.2.cmml" xref="S3.F2.21.m10.1.1.2">𝑝</ci><cn id="S3.F2.21.m10.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.F2.21.m10.1.1.3">0.06</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.21.m10.1d">p=0.06</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.21.m10.1e">italic_p = 0.06</annotation></semantics></math> averaged <math alttext="1000" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.F2.22.m11.1"><semantics id="S3.F2.22.m11.1b"><mn id="S3.F2.22.m11.1.1" xref="S3.F2.22.m11.1.1.cmml">1000</mn><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.F2.22.m11.1c"><cn id="S3.F2.22.m11.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.F2.22.m11.1.1">1000</cn></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.F2.22.m11.1d">1000</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.F2.22.m11.1e">1000</annotation></semantics></math> times.</figcaption> </figure> <section class="ltx_subsubsection" id="S3.SS2.SSS1"> <h4 class="ltx_title ltx_title_subsubsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsubsection">3.2.1 </span>Optimal split</h4> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.SSS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p1.1">One interesting consequence of the expression of the holdout error is the computation of the optimal number <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p1.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math> that minimizes it.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_corollary" id="S3.Thmcorollary1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmcorollary1.1.1.1">Corollary 3.1</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmcorollary1.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para" id="S3.Thmcorollary1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmcorollary1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmcorollary1.p1.1.1">Under the assumptions of proposition (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.Thmproposition2" title="Proposition 3.2. ‣ 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.2</span></a>), the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1a"><mi id="S3.Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1b"><ci id="S3.Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmcorollary1.p1.1.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math> that minimizes the Frobenius error of estimation is</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E54"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="k_{\textrm{opt}}=\frac{p\left(2q+p\left(2+2p+q\right)+\sqrt{p^{2}q^{2}+2n(p+q)% (p+p^{2}+q)}\right)}{2(p+q)(p+p^{2}+q)}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E54.m1.6"><semantics id="S3.E54.m1.6a"><mrow id="S3.E54.m1.6.6.1" xref="S3.E54.m1.6.6.1.1.cmml"><mrow id="S3.E54.m1.6.6.1.1" xref="S3.E54.m1.6.6.1.1.cmml"><msub id="S3.E54.m1.6.6.1.1.2" xref="S3.E54.m1.6.6.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E54.m1.6.6.1.1.2.2" xref="S3.E54.m1.6.6.1.1.2.2.cmml">k</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E54.m1.6.6.1.1.2.3" xref="S3.E54.m1.6.6.1.1.2.3a.cmml">opt</mtext></msub><mo id="S3.E54.m1.6.6.1.1.1" xref="S3.E54.m1.6.6.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S3.E54.m1.5.5" xref="S3.E54.m1.5.5.cmml"><mrow id="S3.E54.m1.3.3.3" xref="S3.E54.m1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.E54.m1.3.3.3.5" xref="S3.E54.m1.3.3.3.5.cmml">p</mi><mo id="S3.E54.m1.3.3.3.4" xref="S3.E54.m1.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mo id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.2" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.3.1" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.3.3" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.3.3.cmml">q</mi></mrow><mo id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.3" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml">p</mi><mo id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.2" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mn id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></mrow><mo id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml">q</mi></mrow><mo id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.2a" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml">+</mo><msqrt id="S3.E54.m1.2.2.2.2" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.cmml"><msup id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.2" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.2.cmml"><mi id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.2.2" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.2.2.cmml">p</mi><mn id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.2.3" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.1" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><msup id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.3" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.3.2" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.3.2.cmml">q</mi><mn id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.3.3" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.4.cmml">2</mn><mo id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.5" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.5.cmml">n</mi><mo id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.3a" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><mo id="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.3b" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">p</mi><mn id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1a" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.4" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.4.cmml">q</mi></mrow><mo id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></msqrt></mrow><mo id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.3" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mrow id="S3.E54.m1.5.5.5" xref="S3.E54.m1.5.5.5.cmml"><mn id="S3.E54.m1.5.5.5.4" xref="S3.E54.m1.5.5.5.4.cmml">2</mn><mo id="S3.E54.m1.5.5.5.3" xref="S3.E54.m1.5.5.5.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E54.m1.4.4.4.1.1" xref="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1" xref="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.2" xref="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.3" xref="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><mo id="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E54.m1.5.5.5.3a" xref="S3.E54.m1.5.5.5.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.2" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.1" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.3" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.3.2" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.3.2.cmml">p</mi><mn id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.3.3" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.1a" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.4" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.4.cmml">q</mi></mrow><mo id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo id="S3.E54.m1.6.6.1.2" lspace="0em" xref="S3.E54.m1.6.6.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E54.m1.6b"><apply id="S3.E54.m1.6.6.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.6.6.1"><eq id="S3.E54.m1.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.6.6.1.1.1"></eq><apply id="S3.E54.m1.6.6.1.1.2.cmml" xref="S3.E54.m1.6.6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E54.m1.6.6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E54.m1.6.6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E54.m1.6.6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E54.m1.6.6.1.1.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E54.m1.6.6.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.E54.m1.6.6.1.1.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E54.m1.6.6.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" 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id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.3">𝑝</ci><apply id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.1"></plus><cn id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.2">2</cn><apply id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><cn id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.2">2</cn><ci id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply><ci id="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.4.cmml" xref="S3.E54.m1.3.3.3.3.1.1.1.1.1.1.4">𝑞</ci></apply></apply><apply id="S3.E54.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2"><root id="S3.E54.m1.2.2.2.2a.cmml" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2"></root><apply 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xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.4.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2"><times id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.3"></times><cn id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.4">2</cn><ci id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.5.cmml" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.5">𝑛</ci><apply id="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E54.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1"><plus id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.2">𝑝</ci><apply id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2">𝑝</ci><cn id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3">2</cn></apply><ci id="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.E54.m1.2.2.2.2.2.2.2.1.1.4">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E54.m1.5.5.5.cmml" xref="S3.E54.m1.5.5.5"><times id="S3.E54.m1.5.5.5.3.cmml" xref="S3.E54.m1.5.5.5.3"></times><cn id="S3.E54.m1.5.5.5.4.cmml" type="integer" xref="S3.E54.m1.5.5.5.4">2</cn><apply id="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.4.4.4.1.1"><plus id="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E54.m1.4.4.4.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1"><plus id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.1"></plus><ci id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.2">𝑝</ci><apply id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.3.2">𝑝</ci><cn id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.3.3">2</cn></apply><ci id="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.4.cmml" xref="S3.E54.m1.5.5.5.2.1.1.4">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E54.m1.6c">k_{\textrm{opt}}=\frac{p\left(2q+p\left(2+2p+q\right)+\sqrt{p^{2}q^{2}+2n(p+q)% (p+p^{2}+q)}\right)}{2(p+q)(p+p^{2}+q)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E54.m1.6d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT opt end_POSTSUBSCRIPT = divide start_ARG italic_p ( 2 italic_q + italic_p ( 2 + 2 italic_p + italic_q ) + square-root start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_q start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + 2 italic_n ( italic_p + italic_q ) ( italic_p + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_q ) end_ARG ) end_ARG start_ARG 2 ( italic_p + italic_q ) ( italic_p + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_q ) end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(54)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.SS2.SSS1.1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS1.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.1.p1.1">This expression is directly found by setting the first derivative of the Frobenius error with respect to <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.1.p1.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math> to zero and solving a second-order polynomial. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.SSS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p2.1">The leading term of the asymptotic expansion of equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E54" title="In Corollary 3.1. ‣ 3.2.1 Optimal split ‣ 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">54</span></a>), for <math alttext="n\to\infty" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml">∞</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.1">→</ci><ci id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.2">𝑛</ci><infinity id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1.1.3"></infinity></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1c">n\to\infty</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p2.1.m1.1d">italic_n → ∞</annotation></semantics></math> simplifies to</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.SSS1.p3"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E55"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="k_{\textrm{opt}}\sim\frac{p}{\sqrt{2(p+q)(p+p^{2}+q)}}\sqrt{n}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E55.m1.3"><semantics id="S3.E55.m1.3a"><mrow id="S3.E55.m1.3.3.1" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.E55.m1.3.3.1.1" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.cmml"><msub id="S3.E55.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.E55.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">k</mi><mtext id="S3.E55.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.2.3a.cmml">opt</mtext></msub><mo id="S3.E55.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.1.cmml">∼</mo><mrow id="S3.E55.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E55.m1.2.2" xref="S3.E55.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.E55.m1.2.2.4" xref="S3.E55.m1.2.2.4.cmml">p</mi><msqrt id="S3.E55.m1.2.2.2" xref="S3.E55.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mn id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.4" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.4.cmml">2</mn><mo id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">q</mi></mrow><mo id="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.3a" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml"><mi id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><msup id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml">p</mi><mn id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1a" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.4" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.4.cmml">q</mi></mrow><mo id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msqrt></mfrac><mo id="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><msqrt id="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml">n</mi></msqrt></mrow></mrow><mo id="S3.E55.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E55.m1.3b"><apply id="S3.E55.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.3.3.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E55.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.1">similar-to</csymbol><apply id="S3.E55.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E55.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E55.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.E55.m1.3.3.1.1.2.3a.cmml" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.2.3"><mtext id="S3.E55.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.2.3">opt</mtext></ci></apply><apply id="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.3"><times id="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E55.m1.2.2.cmml" xref="S3.E55.m1.2.2"><divide id="S3.E55.m1.2.2.3.cmml" xref="S3.E55.m1.2.2"></divide><ci id="S3.E55.m1.2.2.4.cmml" xref="S3.E55.m1.2.2.4">𝑝</ci><apply id="S3.E55.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E55.m1.2.2.2"><root id="S3.E55.m1.2.2.2a.cmml" xref="S3.E55.m1.2.2.2"></root><apply id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2"><times id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.3"></times><cn id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.4">2</cn><apply id="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></plus><ci id="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑝</ci><ci id="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E55.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑞</ci></apply><apply id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1"><plus id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.1"></plus><ci id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.2">𝑝</ci><apply id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.2">𝑝</ci><cn id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.3.3">2</cn></apply><ci id="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.E55.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.4">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.2"><root id="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.2a.cmml" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.2"></root><ci id="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E55.m1.3.3.1.1.3.2.2">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E55.m1.3c">k_{\textrm{opt}}\sim\frac{p}{\sqrt{2(p+q)(p+p^{2}+q)}}\sqrt{n}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E55.m1.3d">italic_k start_POSTSUBSCRIPT opt end_POSTSUBSCRIPT ∼ divide start_ARG italic_p end_ARG start_ARG square-root start_ARG 2 ( italic_p + italic_q ) ( italic_p + italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT + italic_q ) end_ARG end_ARG square-root start_ARG italic_n end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(55)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.SSS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p4.1">Contrary to the standard CV practice of using a fixed train-test ratio, our analysis proves that the optimal holdout split scales proportionally with the square root of the number of features <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p4.1.m1.1d">italic_n</annotation></semantics></math> in the high-dimensional limit.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.SSS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p5.4">Then, we quantify the performances of the holdout estimator by comparing its expected Frobenius error with the one of the oracle estimator. We recall that the oracle estimator is the RIE that minimizes by construction the Frobenius error. For a white inverse Wishart population matrix <math alttext="\bm{\Sigma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p5.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.p5.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p5.1.m1.1.1.cmml">𝚺</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p5.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p5.1.m1.1.1">𝚺</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p5.1.m1.1c">\bm{\Sigma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p5.1.m1.1d">bold_Σ</annotation></semantics></math> when <math alttext="p" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p5.2.m2.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.p5.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p5.2.m2.1.1.cmml">p</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p5.2.m2.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p5.2.m2.1.1">𝑝</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p5.2.m2.1c">p</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p5.2.m2.1d">italic_p</annotation></semantics></math> is negligible compared to <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p5.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p5.3.m3.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.p5.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p5.3.m3.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p5.3.m3.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p5.3.m3.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p5.3.m3.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p5.3.m3.1d">italic_n</annotation></semantics></math> and <math alttext="1\ll k\ll n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.3.cmml">≪</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.4" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.4.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.5" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.5.cmml">≪</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.6" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.6.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1"><and id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1a.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1"></and><apply id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1b.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.3">much-less-than</csymbol><cn id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.2">1</cn><ci id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.4">𝑘</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1c.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.5.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.5">much-less-than</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.4.cmml" id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1d.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1"></share><ci id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.6.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1c">1\ll k\ll n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p5.4.m4.1d">1 ≪ italic_k ≪ italic_n</annotation></semantics></math>, the two errors coincide in the high dimensional limit.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_corollary" id="S3.Thmcorollary2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"> <span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmcorollary2.1.1.1">Corollary 3.2</span></span><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S3.Thmcorollary2.2.2">.</span> </h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.Thmcorollary2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.Thmcorollary2.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1">Under the assumptions of proposition <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.Thmproposition2" title="Proposition 3.2. ‣ 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3.2</span></a>, if <math alttext="1\ll k\ll n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1"><semantics id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1a"><mrow id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.2" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.3" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml">≪</mo><mi id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.4" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml">k</mi><mo id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.5" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml">≪</mo><mi id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.6" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1b"><apply id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1"><and id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1"></and><apply id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.3">much-less-than</csymbol><cn id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.4">𝑘</ci></apply><apply id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.5">much-less-than</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1"></share><ci id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1c">1\ll k\ll n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Thmcorollary2.p1.1.1.m1.1d">1 ≪ italic_k ≪ italic_n</annotation></semantics></math>, then the holdout estimator recovers the expected Frobenius error of the oracle estimator in the high dimension limit</span></p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.Thmcorollary2.p2"> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E56"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma% })^{2})\right]=\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Xi}^{\textrm{% {O}}}-\bm{\Sigma})^{2})\right]." class="ltx_math_unparsed" display="block" id="S3.E56.m1.1"><semantics id="S3.E56.m1.1a"><mrow id="S3.E56.m1.1b"><munder id="S3.E56.m1.1.1"><mo id="S3.E56.m1.1.1.2" movablelimits="false">lim</mo><mrow id="S3.E56.m1.1.1.3"><mi id="S3.E56.m1.1.1.3.2">n</mi><mo id="S3.E56.m1.1.1.3.1" stretchy="false">→</mo><mi id="S3.E56.m1.1.1.3.3" mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><mi id="S3.E56.m1.1.2">𝔼</mi><mrow id="S3.E56.m1.1.3"><mo id="S3.E56.m1.1.3.1">[</mo><mi id="S3.E56.m1.1.3.2">τ</mi><mrow id="S3.E56.m1.1.3.3"><mo id="S3.E56.m1.1.3.3.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.E56.m1.1.3.3.2"><mrow id="S3.E56.m1.1.3.3.2.2"><mo id="S3.E56.m1.1.3.3.2.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.E56.m1.1.3.3.2.2.2"><mi id="S3.E56.m1.1.3.3.2.2.2.2">𝚵</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E56.m1.1.3.3.2.2.2.3">H</mtext></msup><mo id="S3.E56.m1.1.3.3.2.2.3">−</mo><mi id="S3.E56.m1.1.3.3.2.2.4">𝚺</mi><mo id="S3.E56.m1.1.3.3.2.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S3.E56.m1.1.3.3.2.3">2</mn></msup><mo id="S3.E56.m1.1.3.3.3" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E56.m1.1.3.4">]</mo></mrow><mo id="S3.E56.m1.1.4" rspace="0.1389em">=</mo><munder id="S3.E56.m1.1.5"><mo id="S3.E56.m1.1.5.2" lspace="0.1389em" movablelimits="false" rspace="0.167em">lim</mo><mrow id="S3.E56.m1.1.5.3"><mi id="S3.E56.m1.1.5.3.2">n</mi><mo id="S3.E56.m1.1.5.3.1" stretchy="false">→</mo><mi id="S3.E56.m1.1.5.3.3" mathvariant="normal">∞</mi></mrow></munder><mi id="S3.E56.m1.1.6">𝔼</mi><mrow id="S3.E56.m1.1.7"><mo id="S3.E56.m1.1.7.1">[</mo><mi id="S3.E56.m1.1.7.2">τ</mi><msup id="S3.E56.m1.1.7.3"><mrow id="S3.E56.m1.1.7.3.2"><mo id="S3.E56.m1.1.7.3.2.1" stretchy="false">(</mo><msup id="S3.E56.m1.1.7.3.2.2"><mi id="S3.E56.m1.1.7.3.2.2.2">𝚵</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.E56.m1.1.7.3.2.2.3">O</mtext></msup><mo id="S3.E56.m1.1.7.3.2.3">−</mo><mi id="S3.E56.m1.1.7.3.2.4">𝚺</mi><mo id="S3.E56.m1.1.7.3.2.5" stretchy="false">)</mo></mrow><mn id="S3.E56.m1.1.7.3.3">2</mn></msup><mo id="S3.E56.m1.1.7.4" stretchy="false">)</mo></mrow><mo id="S3.E56.m1.1.8">]</mo><mo id="S3.E56.m1.1.9" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E56.m1.1c">\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{E}\left[\tau((\bm{\Xi}^{\textrm{H}}-\bm{\Sigma% })^{2})\right]=\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{E}\left[\tau(\bm{\Xi}^{\textrm{% {O}}}-\bm{\Sigma})^{2})\right].</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E56.m1.1d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_n → ∞ end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E [ italic_τ ( ( bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT H end_POSTSUPERSCRIPT - bold_Σ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] = roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_n → ∞ end_POSTSUBSCRIPT blackboard_E [ italic_τ ( bold_Ξ start_POSTSUPERSCRIPT O end_POSTSUPERSCRIPT - bold_Σ ) start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ) ] .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(56)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.SS2.SSS1.5"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof.</h6> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.SSS1.2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1">By assuming that <math alttext="1\ll k\ll n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.3.cmml">≪</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.4" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.4.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.5" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.5.cmml">≪</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.6" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.6.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1"><and id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1"></and><apply id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.3">much-less-than</csymbol><cn id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.2">1</cn><ci id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.4">𝑘</ci></apply><apply id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.5">much-less-than</csymbol><share href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.4.cmml" id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1"></share><ci id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.6.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1.1.6">𝑛</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1c">1\ll k\ll n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.2.p1.1.m1.1d">1 ≪ italic_k ≪ italic_n</annotation></semantics></math> in the high-dimensional limit we have the following limits</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E57"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\frac{2k}{t}-1\to-1,\quad\textrm{and }\quad\frac{p^{2}}{p+\frac{nk}{kt-1}}+1% \to\frac{p^{2}}{p+q}+1." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E57.m1.2"><semantics id="S3.E57.m1.2a"><mrow id="S3.E57.m1.2.2.1"><mrow id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.cmml"><mn id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.2.3.cmml">k</mi></mrow><mi id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.2.3.cmml">t</mi></mfrac><mo id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">→</mo><mrow id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1a" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" rspace="1.167em" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mtext id="S3.E57.m1.1.1" xref="S3.E57.m1.1.1a.cmml">and </mtext></mrow></mrow><mspace id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.3" width="1em" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.3a.cmml"></mspace><mrow id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml"><mfrac id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml"><msup id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.1" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml">+</mo><mfrac id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2.2.cmml">n</mi><mo id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2.1" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.2.3.cmml">k</mi></mrow><mrow id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.cmml"><mrow id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2.2.cmml">k</mi><mo id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2.1" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.2.3.cmml">t</mi></mrow><mo id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.1" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac></mrow></mfrac><mo id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.1" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml">+</mo><mn id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">→</mo><mrow id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.cmml"><mfrac id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.cmml"><msup id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.2.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml">p</mi><mn id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.2.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml">2</mn></msup><mrow id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.2" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.1" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml">+</mo><mi id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml">q</mi></mrow></mfrac><mo id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.1" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.1.cmml">+</mo><mn 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id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.1">→</ci><apply id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2"><plus id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.1"></plus><apply id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"><divide id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2"></divide><apply id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3"><plus id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.1"></plus><ci id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.2.2.3.2.cmml" 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id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3"><plus id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.1"></plus><ci id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3.cmml" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><cn id="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E57.m1.2.2.1.1.2.2.3.3">1</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E57.m1.2c">\frac{2k}{t}-1\to-1,\quad\textrm{and }\quad\frac{p^{2}}{p+\frac{nk}{kt-1}}+1% \to\frac{p^{2}}{p+q}+1.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E57.m1.2d">divide start_ARG 2 italic_k end_ARG start_ARG italic_t end_ARG - 1 → - 1 , and divide start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_p + divide start_ARG italic_n italic_k end_ARG start_ARG italic_k italic_t - 1 end_ARG end_ARG + 1 → divide start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_p + italic_q end_ARG + 1 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(57)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.SSS1.3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.3.p2.1">Then the holdout error formula of equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E45" title="In Proposition 3.2. ‣ 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">45</span></a>) converges to</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.SSS1.4.p3"> <table class="ltx_equationgroup ltx_eqn_align ltx_eqn_table" id="S4.EGx2"> <tbody id="S3.Ex1"><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_td ltx_align_right ltx_eqn_cell"><math alttext="\displaystyle\left(\frac{2k}{t}-1\right)\left(\frac{p^{2}}{p+\frac{kn}{kt-t}}+% 1\right)+1+p\to-\left(\frac{p^{2}}{p+q}+1\right)+1+p=\frac{pq}{p+q}," class="ltx_Math" display="inline" id="S3.Ex1.m1.1"><semantics id="S3.Ex1.m1.1a"><mrow id="S3.Ex1.m1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mstyle displaystyle="true" id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mfrac id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2a" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mn id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">2</mn><mo id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">k</mi></mrow><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">t</mi></mfrac></mstyle><mo id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" 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xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><times id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1"></times><cn id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">2</cn><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑡</ci></apply><cn id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1"><plus id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.1"></plus><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2"><divide id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2"></divide><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3"><plus id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.2">𝑝</ci><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3"><divide id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3"></divide><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.2"><times id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.2.1"></times><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.2.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.3"><minus id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.3.1"></minus><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.3.2"><times id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.3.2.1"></times><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.3.2.2">𝑘</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.3.2.3">𝑡</ci></apply><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.2.3.3.3.3">𝑡</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.2.2.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.4">1</cn><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.5.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.2.5">𝑝</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3"><plus id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.2"></plus><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1"><minus id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1"><plus id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2"><divide id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2"></divide><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.2">𝑝</ci><cn id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.2.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3"><plus id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.1"></plus><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.2.3.3">𝑞</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><cn id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.3">1</cn><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.4">𝑝</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1c.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1"><eq id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.6.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.6"></eq><share href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.Ex1.m1.1.1.1.1.3.cmml" id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1d.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1"></share><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7"><divide id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7"></divide><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.2"><times id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.2.1"></times><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.2.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.2.3">𝑞</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.3"><plus id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.3.1"></plus><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.7.3.3">𝑞</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex1.m1.1c">\displaystyle\left(\frac{2k}{t}-1\right)\left(\frac{p^{2}}{p+\frac{kn}{kt-t}}+% 1\right)+1+p\to-\left(\frac{p^{2}}{p+q}+1\right)+1+p=\frac{pq}{p+q},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex1.m1.1d">( divide start_ARG 2 italic_k end_ARG start_ARG italic_t end_ARG - 1 ) ( divide start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_p + divide start_ARG italic_k italic_n end_ARG start_ARG italic_k italic_t - italic_t end_ARG end_ARG + 1 ) + 1 + italic_p → - ( divide start_ARG italic_p start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_ARG italic_p + italic_q end_ARG + 1 ) + 1 + italic_p = divide start_ARG italic_p italic_q end_ARG start_ARG italic_p + italic_q end_ARG ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.SSS1.5.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.5.p4.1">which coincides with equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S2.E22" title="In Property 2.5. ‣ 2.2.1 Oracle estimator ‣ 2.2 Covariance matrix estimation ‣ 2 Definitions ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">22</span></a>), and proves the convergence to the expected Frobenius error of the oracle estimator. ∎</p> </div> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.SSS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p6.5">However, it is important to notice that the holdout method is defined only for <math alttext="k>1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1"><gt id="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.1"></gt><ci id="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1c">k>1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p6.1.m1.1d">italic_k > 1</annotation></semantics></math>. For <math alttext="k>2" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1"><gt id="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.1"></gt><ci id="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1c">k>2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p6.2.m2.1d">italic_k > 2</annotation></semantics></math> the test set is smaller than the train set, which is the typical use in the applications. When <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p6.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p6.3.m3.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.p6.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p6.3.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p6.3.m3.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.p6.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p6.3.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p6.3.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p6.3.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math> is an integer <math alttext="\{2,3,..,t\}" class="ltx_math_unparsed" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p6.4.m4.2"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p6.4.m4.2a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p6.4.m4.2b"><mo id="S3.SS2.SSS1.p6.4.m4.2.3" stretchy="false">{</mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p6.4.m4.1.1">2</mn><mo id="S3.SS2.SSS1.p6.4.m4.2.4">,</mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p6.4.m4.2.2">3</mn><mo id="S3.SS2.SSS1.p6.4.m4.2.5">,</mo><mo id="S3.SS2.SSS1.p6.4.m4.2.6" lspace="0em" rspace="0.0835em">.</mo><mo id="S3.SS2.SSS1.p6.4.m4.2.7" lspace="0.0835em" rspace="0.167em">.</mo><mo id="S3.SS2.SSS1.p6.4.m4.2.8">,</mo><mi id="S3.SS2.SSS1.p6.4.m4.2.9">t</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p6.4.m4.2.10" stretchy="false">}</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p6.4.m4.2c">\{2,3,..,t\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p6.4.m4.2d">{ 2 , 3 , . . , italic_t }</annotation></semantics></math>, there is a direct mapping between the train-test factor ratio of the holdout method and the number of folds of a <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p6.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p6.5.m5.1a"><mi id="S3.SS2.SSS1.p6.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p6.5.m5.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p6.5.m5.1b"><ci id="S3.SS2.SSS1.p6.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p6.5.m5.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p6.5.m5.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p6.5.m5.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S3.SS2.SSS1.p7"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.SSS1.p7.2">It is worth remarking that the minimum in the right panel of figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.F2" title="Figure 2 ‣ 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>, around <math alttext="k=1.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.3.cmml">1.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1"><eq id="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1.1.3">1.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1c">k=1.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p7.1.m1.1d">italic_k = 1.5</annotation></semantics></math>, is a prediction confirmed by our formula written in equation (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.15186v1#S3.E54" title="In Corollary 3.1. ‣ 3.2.1 Optimal split ‣ 3.2 White inverse Wishart case ‣ 3 Derivation of the Estimation Error for the Holdout ‣ Optimal Data Splitting for Holdout Cross-Validation in Large Covariance Matrix Estimation"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">54</span></a>). Such a minimum is counterintuitive since for <math alttext="k=1.5" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.2.cmml">k</mi><mo id="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.3.cmml">1.5</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1"><eq id="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.2">𝑘</ci><cn id="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.3.cmml" type="float" xref="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1.1.3">1.5</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1c">k=1.5</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.SSS1.p7.2.m2.1d">italic_k = 1.5</annotation></semantics></math>, the prediction of the formula implies a test set double the train set, which is against every recommendation for CV.</p> </div> </section> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">4 </span>Conclusion</h2> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.1">In this work, we computed analytically the estimation error as expected Frobenius error of the holdout estimator for Gaussian stationary data. We obtained a closed-form expression for the case of white inverse Wishart population matrices, while for the general case numerical approximations are needed. Our approach involved the use of Wick’s theorem to link the Frobenius error of estimation with the moments of the population covariance matrix and then the recognition of the oracle eigenvalues. Furthermore, the method developed by Ledoit and Péché for computing the oracle eigenvalues can be applied to a wider range of population covariance matrix distributions beyond the inverse Wishart case. This suggests that our approach could be extended to derive analytical formulas for the holdout error in these more general settings, opening up interesting avenues for future research.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.1">With our approach, we found that the optimal split that minimizes the estimation error is proportional to the square root of the matrix dimension. The appearance here of a power law should be further investigated in future works as they often hold significance for applications and one can wonder whether a similar pattern would remain valid for other noise models and population covariance distributions.</p> </div> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.p3.3">In addition, our findings indicate that, in general, the <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.1.m1.1"><semantics id="S4.p3.1.m1.1a"><mi id="S4.p3.1.m1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.1.m1.1b"><ci id="S4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.1.m1.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.1.m1.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV outperforms the holdout; however, when the order of the matrix tends to infinity, the holdout estimator converges to the oracle estimator, and <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.p3.2.m2.1a"><mi id="S4.p3.2.m2.1.1" xref="S4.p3.2.m2.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.2.m2.1b"><ci id="S4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.2.m2.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.2.m2.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV might become irrelevant, as a single holdout split can achieve approximately the optimal performance of the oracle estimator. This allows for the prevention of data leakage from future eigenvectors to past eigenvectors, a safeguard that is impossible to implement with <math alttext="k" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.3.m3.1"><semantics id="S4.p3.3.m3.1a"><mi id="S4.p3.3.m3.1.1" xref="S4.p3.3.m3.1.1.cmml">k</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.3.m3.1b"><ci id="S4.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1">𝑘</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.3.m3.1c">k</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.3.m3.1d">italic_k</annotation></semantics></math>-fold CV but naturally achievable with the holdout method. We believe this feature is particularly relevant in fields like finance, where preventing data leakage from future information is crucial for reliable model validation.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S4.SSx1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection">Acknowledgments</h3> <div class="ltx_para ltx_noindent" id="S4.SSx1.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.SSx1.p1.1">We would like to thank Jean-Philippe Bouchaud, Damien Challet and Sandrine Péché for particularly useful discussions and advice which helped improve the paper.</p> </div> </section> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"> Andy Taylor, Benjamin Joachimi, and Thomas Kitching. </span> <span class="ltx_bibblock">Putting the precision in precision cosmology: How accurate should your data covariance matrix be? </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib1.1.1">Monthly Notices of the Royal Astronomical Society</span>, 432(3):1928–1946, 2013. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[2]</span> <span class="ltx_bibblock"> Leandro Beltrachini, Nicolás von Ellenrieder, and Carlos Horacio Muravchik. </span> <span class="ltx_bibblock">Shrinkage approach for spatiotemporal eeg covariance matrix estimation. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib2.1.1">IEEE Transactions on Signal Processing</span>, 61(7):1797–1808, 2013. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib3"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[3]</span> <span class="ltx_bibblock"> Xiaowei Zhuang, Zhengshi Yang, and Dietmar Cordes. </span> <span class="ltx_bibblock">A technical review of canonical correlation analysis for neuroscience applications. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib3.1.1">Human brain mapping</span>, 41(13):3807–3833, 2020. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib4"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[4]</span> <span class="ltx_bibblock"> Björn Ottersten, Peter Stoica, and Richard Roy. </span> <span class="ltx_bibblock">Covariance matching estimation techniques for array signal processing applications. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib4.1.1">Digital Signal Processing</span>, 8(3):185–210, 1998. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib5"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[5]</span> <span class="ltx_bibblock"> Laurent Laloux, Pierre Cizeau, Jean-Philippe Bouchaud, and Marc Potters. </span> <span class="ltx_bibblock">Noise dressing of financial correlation matrices. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib5.1.1">Physical review letters</span>, 83(7):1467, 1999. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib6"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[6]</span> <span class="ltx_bibblock"> O Ledoit, M Wolf, and I Honey. </span> <span class="ltx_bibblock">shrunk the covariance matrix-problems in mean-variance optimization. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib6.1.1">The Journal of Portfolio Management</span>, 30(4):110–119, 2004. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib7"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[7]</span> <span class="ltx_bibblock"> Ester Pantaleo, Michele Tumminello, Fabrizio Lillo, and Rosario N Mantegna. </span> <span class="ltx_bibblock">When do improved covariance matrix estimators enhance portfolio optimization? an empirical comparative study of nine estimators. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib7.1.1">Quantitative Finance</span>, 11(7):1067–1080, 2011. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib8"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[8]</span> <span class="ltx_bibblock"> Christian Bongiorno and Lamia Lamrani. </span> <span class="ltx_bibblock">Quantifying the information lost in optimal covariance matrix cleaning. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib8.1.1">Physica A: Statistical Mechanics and its Applications</span>, 657:130225, 2024. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib9"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[9]</span> <span class="ltx_bibblock"> Olivier Ledoit and Michael Wolf. </span> <span class="ltx_bibblock">The power of (non-) linear shrinking: A review and guide to covariance matrix estimation. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib9.1.1">Journal of Financial Econometrics</span>, 20(1):187–218, 2022. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib10"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[10]</span> <span class="ltx_bibblock"> Joël Bun, Jean-Philippe Bouchaud, and Marc Potters. </span> <span class="ltx_bibblock">Cleaning large correlation matrices: tools from random matrix theory. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib10.1.1">Physics Reports</span>, 666:1–109, 2017. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib11"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[11]</span> <span class="ltx_bibblock"> Olivier Ledoit and Sandrine Péché. </span> <span class="ltx_bibblock">Eigenvectors of some large sample covariance matrix ensembles. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib11.1.1">Probability Theory and Related Fields</span>, 151(1-2):233–264, 2011. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib12"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[12]</span> <span class="ltx_bibblock"> Joël Bun, Romain Allez, Jean-Philippe Bouchaud, and Marc Potters. </span> <span class="ltx_bibblock">Rotational invariant estimator for general noisy matrices. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib12.1.1">IEEE Transactions on Information Theory</span>, 62(12):7475–7490, 2016. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib13"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[13]</span> <span class="ltx_bibblock"> Christian Bongiorno and Marco Berritta. </span> <span class="ltx_bibblock">Optimal covariance cleaning for heavy-tailed distributions: Insights from information theory. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib13.1.1">Physical Review E</span>, 108(5):054133, 2023. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib14"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[14]</span> <span class="ltx_bibblock"> Olivier Ledoit and Michael Wolf. </span> <span class="ltx_bibblock">Quadratic shrinkage for large covariance matrices. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib14.1.1">Bernoulli</span>, 28(3):1519–1547, 2022. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib15"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[15]</span> <span class="ltx_bibblock"> Jean-Philippe Bouchaud and Marc Potters. </span> <span class="ltx_bibblock">Financial applications of random matrix theory: a short review. </span> <span class="ltx_bibblock">In G. Ackemann, J. Baik, and P. Di Francesco, editors, <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib15.1.1">The Oxford Handbookof Random Matrix Theory</span>. Oxford University Press, 2011. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib16"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[16]</span> <span class="ltx_bibblock"> Marc Potters and Jean-Philippe Bouchaud. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib16.1.1">A First Course in Random Matrix Theory</span>. </span> <span class="ltx_bibblock">Cambridge University Press, 2020. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib17"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[17]</span> <span class="ltx_bibblock"> Olivier Ledoit and Michael Wolf. </span> <span class="ltx_bibblock">Nonlinear shrinkage estimation of large-dimensional covariance matrices. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib17.1.1">Annals of Statistics</span>, 40:1024–1060, 2012. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib18"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[18]</span> <span class="ltx_bibblock"> Olivier Ledoit and Michael Wolf. </span> <span class="ltx_bibblock">Direct nonlinear shrinkage estimation of large-dimensional covariance matrices. </span> <span class="ltx_bibblock">Technical report, Working Paper, 2017. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib19"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[19]</span> <span class="ltx_bibblock"> Eugene F Fama and Kenneth R French. </span> <span class="ltx_bibblock">Common risk factors in the returns on stocks and bonds. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib19.1.1">Journal of financial economics</span>, 33(1):3–56, 1993. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib20"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[20]</span> <span class="ltx_bibblock"> Jianqing Fan, Yingying Fan, and Jinchi Lv. </span> <span class="ltx_bibblock">High dimensional covariance matrix estimation using a factor model. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib20.1.1">Journal of Econometrics</span>, 147(1):186–197, 2008. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib21"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[21]</span> <span class="ltx_bibblock"> Michael J Daniels and Robert E Kass. </span> <span class="ltx_bibblock">Nonconjugate bayesian estimation of covariance matrices and its use in hierarchical models. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib21.1.1">Journal of the American Statistical Association</span>, 94(448):1254–1263, 1999. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib22"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[22]</span> <span class="ltx_bibblock"> Daniel Berrar. </span> <span class="ltx_bibblock">Cross-validation. </span> <span class="ltx_bibblock">In <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib22.1.1">Encyclopedia of Bioinformatics and Computational Biology</span>, pages 542–545. Academic Press, Oxford, 2019. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib23"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[23]</span> <span class="ltx_bibblock"> Luke A Yates, Zach Aandahl, Shane A Richards, and Barry W Brook. </span> <span class="ltx_bibblock">Cross validation for model selection: a review with examples from ecology. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib23.1.1">Ecological Monographs</span>, 93(1):e1557, 2023. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib24"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[24]</span> <span class="ltx_bibblock"> Tyler J Bradshaw, Zachary Huemann, Junjie Hu, and Arman Rahmim. </span> <span class="ltx_bibblock">A guide to cross-validation for artificial intelligence in medical imaging. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib24.1.1">Radiology: Artificial Intelligence</span>, 5(4):e220232, 2023. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib25"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[25]</span> <span class="ltx_bibblock"> Mark De Rooij and Wouter Weeda. </span> <span class="ltx_bibblock">Cross-validation: A method every psychologist should know. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib25.1.1">Advances in Methods and Practices in Psychological Science</span>, 3(2):248–263, 2020. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib26"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[26]</span> <span class="ltx_bibblock"> Vincent Tan and Stefan Zohren. </span> <span class="ltx_bibblock">Estimation of large financial covariances: A cross-validation approach. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib26.1.1">arXiv preprint arXiv:2012.05757</span>, 2020. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib27"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[27]</span> <span class="ltx_bibblock"> Andrew W Moore. </span> <span class="ltx_bibblock">Cross-validation for detecting and preventing overfitting. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib27.1.1">School of Computer Science Carneigie Mellon University</span>, 133, 2001. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib28"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[28]</span> <span class="ltx_bibblock"> Bruce G Marcot and Anca M Hanea. </span> <span class="ltx_bibblock">What is an optimal value of k in k-fold cross-validation in discrete bayesian network analysis? </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib28.1.1">Computational Statistics</span>, 36(3):2009–2031, 2021. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib29"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[29]</span> <span class="ltx_bibblock"> Tzu-Tsung Wong and Po-Yang Yeh. </span> <span class="ltx_bibblock">Reliable accuracy estimates from k-fold cross validation. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib29.1.1">IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering</span>, 32(8):1586–1594, 2019. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib30"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[30]</span> <span class="ltx_bibblock"> Sanjay Yadav and Sanyam Shukla. </span> <span class="ltx_bibblock">Analysis of k-fold cross-validation over hold-out validation on colossal datasets for quality classification. </span> <span class="ltx_bibblock">In <span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib30.1.1">2016 IEEE 6th International conference on advanced computing (IACC)</span>, pages 78–83. IEEE, 2016. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib31"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[31]</span> <span class="ltx_bibblock"> Daniel Bartz. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib31.1.1">Advances in high-dimensional covariance matrix estimation</span>. </span> <span class="ltx_bibblock">Technische Universitaet Berlin (Germany), 2016. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib32"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[32]</span> <span class="ltx_bibblock"> Joël Bun, Jean-Philippe Bouchaud, and Marc Potters. </span> <span class="ltx_bibblock">Overlaps between eigenvectors of correlated random matrices. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib32.1.1">Physical Review E</span>, 98(5):052145, 2018. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib33"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[33]</span> <span class="ltx_bibblock"> Miguel Ibáñez-Berganza, Carlo Lucibello, Francesca Santucci, Tommaso Gili, and Andrea Gabrielli. </span> <span class="ltx_bibblock">Noise-cleaning the precision matrix of fmri time series. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib33.1.1">arXiv preprint arXiv:2302.02951</span>, 2023. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib34"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[34]</span> <span class="ltx_bibblock"> Torsten Mörstedt, Bernhard Lutz, and Dirk Neumann. </span> <span class="ltx_bibblock">Cross validation based transfer learning for cross-sectional non-linear shrinkage: A data-driven approach in portfolio optimization. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib34.1.1">European Journal of Operational Research</span>, 2024. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib35"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[35]</span> <span class="ltx_bibblock"> Christian Bongiorno, Salvatore Miccichè, and Rosario N Mantegna. </span> <span class="ltx_bibblock">Statistically validated hierarchical clustering: Nested partitions in hierarchical trees. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib35.1.1">Physica A: Statistical Mechanics and its Applications</span>, 593:126933, 2022. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib36"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[36]</span> <span class="ltx_bibblock"> Ignacio Alvarez, Jarad Niemi, and Matt Simpson. </span> <span class="ltx_bibblock">Bayesian inference for a covariance matrix. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib36.1.1">Conference on Applied Statistics in Agriculture</span>, 04 2014. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib37"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[37]</span> <span class="ltx_bibblock"> Marc Potters and Jean-Philippe Bouchaud. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib37.1.1">A First Course in Random Matrix Theory</span>. </span> <span class="ltx_bibblock">Cambridge University Press, 2020. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib38"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[38]</span> <span class="ltx_bibblock"> Christian Bongiorno, Damien Challet, and Grégoire Loeper. </span> <span class="ltx_bibblock">Filtering time-dependent covariance matrices using time-independent eigenvalues. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib38.1.1">Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment</span>, 2023(2):023402, 2023. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib39"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[39]</span> <span class="ltx_bibblock"> Robb J Muirhead. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib39.1.1">Aspects of multivariate statistical theory</span>. </span> <span class="ltx_bibblock">John Wiley & Sons, 2009. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib40"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[40]</span> <span class="ltx_bibblock"> LR Haff. </span> <span class="ltx_bibblock">An identity for the wishart distribution with applications. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib40.1.1">Journal of Multivariate Analysis</span>, 9(4):531–544, 1979. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib41"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[41]</span> <span class="ltx_bibblock"> Lamia Lamrani. </span> <span class="ltx_bibblock">Risk management of financial portfolios using tools from random matrix theory. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib41.1.1">Master thesis report for ENSTA Paris. Unpublished</span>, page 17, 2021. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib42"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[42]</span> <span class="ltx_bibblock"> Gian-Carlo Wick. </span> <span class="ltx_bibblock">The evaluation of the collision matrix. </span> <span class="ltx_bibblock"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="bib.bib42.1.1">Physical review</span>, 80(2):268, 1950. </span> </li> </ul> </section> </article> </div> <footer class="ltx_page_footer"> <div class="ltx_page_logo">Generated on Wed Mar 19 13:13:56 2025 by <a class="ltx_LaTeXML_logo" href="http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/"><span style="letter-spacing:-0.2em; margin-right:0.1em;">L<span class="ltx_font_smallcaps" style="position:relative; bottom:2.2pt;">a</span>T<span class="ltx_font_smallcaps" style="font-size:120%;position:relative; bottom:-0.2ex;">e</span></span><span style="font-size:90%; position:relative; bottom:-0.2ex;">XML</span><img alt="Mascot Sammy" src="data:image/png;base64,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"/></a> </div></footer> </div> </body> </html>