Сфера — Вікіпедія

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="uk" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Сфера — Вікіпедія</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )ukwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","січень","лютий","березень","квітень","травень","червень","липень","серпень","вересень","жовтень","листопад","грудень"],"wgRequestId":"8344bc65-b530-4649-bfed-bbb4b80e24a3","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Сфера","wgTitle":"Сфера","wgCurRevisionId":43998357,"wgRevisionId":43998357,"wgArticleId":75883,"wgIsArticle":true, "wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Сторінки з використанням розширення JsonConfig","Вікіпедія:P373:використовується","Сторінки, що використовують магічні посилання ISBN","Сторінки, що використовують застарілий формат математичних тегів","Статті, які варто перекласти з англійської","Диференціальна геометрія","Диференціальна топологія","Елементарна геометрія","Поверхні","Сфери","Однорідні простори"],"wgPageViewLanguage":"uk","wgPageContentLanguage":"uk","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Сфера","wgRelevantArticleId":75883,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[], "wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":3}}},"wgStableRevisionId":43998357,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"uk","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"uk"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q12507","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled": false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","ext.3d.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","jquery.makeCollapsible.styles":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","ext.scribunto.logs","site","mediawiki.page.ready","jquery.makeCollapsible","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.CurIDLink","ext.gadget.collapserefs", "ext.gadget.showContributorContent","ext.gadget.switcher","ext.gadget.edittop","ext.gadget.new-section","ext.gadget.newTopicOnTop","ext.gadget.MonobookToolbarStandard","ext.gadget.ProtectionIndicator","ext.gadget.Statistics","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=codex-search-styles%7Cext.3d.styles%7Cext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cjquery.makeCollapsible.styles%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.styles.legacy%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector"> <script async="" src="/w/load.php?lang=uk&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=site.styles&only=styles&skin=vector"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Sphere_wireframe_10deg_6r.svg/1200px-Sphere_wireframe_10deg_6r.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1200"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Sphere_wireframe_10deg_6r.svg/800px-Sphere_wireframe_10deg_6r.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="800"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Sphere_wireframe_10deg_6r.svg/640px-Sphere_wireframe_10deg_6r.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="640"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Сфера — Вікіпедія"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//uk.m.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Редагувати" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Вікіпедія (uk)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//uk.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Вікіпедія — Atom-стрічка" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin-vector-legacy mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Сфера rootpage-Сфера skin-vector action-view"><div id="mw-page-base" class="noprint"></div> <div id="mw-head-base" class="noprint"></div> <div id="content" class="mw-body" role="main"> <a id="top"></a> <div id="siteNotice"></div> <div class="mw-indicators"> </div> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Сфера</h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Перейти до навігації</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Перейти до пошуку</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="uk" dir="ltr"><div class="dablink noprint" style="font-style:italic; padding-left:2em;">У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: <a href="/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0_(%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F)" class="mw-disambig" title="Сфера (значення)">Сфера (значення)</a>.</div> <table class="infobox" cellspacing="2" data-name="Універсальна картка" style="width:23em; text-align:left; font-size:88%; line-height:1.5em"> <tbody><tr><td colspan="2" style="text-align:center;font-size:125%; font-weight:bold; background:#eaecf0">Сфера</td></tr> <tr><td colspan="2" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Sphere_wireframe_10deg_6r.svg" class="mw-file-description" title="Зображення"><img alt="Зображення" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Sphere_wireframe_10deg_6r.svg/280px-Sphere_wireframe_10deg_6r.svg.png" decoding="async" width="280" height="280" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Sphere_wireframe_10deg_6r.svg/420px-Sphere_wireframe_10deg_6r.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Sphere_wireframe_10deg_6r.svg/560px-Sphere_wireframe_10deg_6r.svg.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="800" /></a></td></tr> <tr><th style="width:9em;">Попередник</th><td style=""> <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BE" title="Коло">коло</a></td></tr> <tr><th style="width:9em;">Наступник</th><td style=""> <a href="/wiki/3-%D1%81%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="3-сфера">3-сфера</a> і <a href="/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%80_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F)" title="Тор (геометрія)">тор</a></td></tr> <tr><th style="width:9em;">Формула</th><td style=""> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e71876d62bb22964e3c7042447a6541f963993" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.625ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}"></td></tr> <tr><td colspan="2" style="text-align:center;"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Kugel_high_poly_20230214.stl" class="mw-file-description" title="3D модель"><img alt="3D модель" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Kugel_high_poly_20230214.stl/280px-Kugel_high_poly_20230214.stl.png" decoding="async" width="280" height="210" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Kugel_high_poly_20230214.stl/420px-Kugel_high_poly_20230214.stl.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Kugel_high_poly_20230214.stl/560px-Kugel_high_poly_20230214.stl.png 2x" data-file-width="5120" data-file-height="2880" /></a></td></tr> <tr><th style="width:9em;">Містить</th><td style=""> відкрита куля<a class="external text" href="https://www.wikidata.org/wiki/Q2921739?uselang=uk">[d]</a></td></tr> <tr><th style="width:9em;">Підтримується Вікіпроєктом</th><td style=""> <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%94%D0%BA%D1%82:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Вікіпедія:Проєкт:Математика">Вікіпедія:Проєкт:Математика</a></td></tr> <tr><th style="width:9em;">Характеристика Ейлера</th><td style=""> 2</td></tr> <tr><td colspan="2" style="text-align:center;background:#eaecf0"> <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Spheres" title="commons:Category:Spheres"><img alt="CMNS:" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/15px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="15" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/23px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a> <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Spheres" class="extiw" title="commons:Category:Spheres">Сфера</a> у <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%89%D0%B5" title="Вікісховище">Вікісховищі</a></td></tr> </tbody></table> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Sphere_and_Ball.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Sphere_and_Ball.png/220px-Sphere_and_Ball.png" decoding="async" width="220" height="218" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Sphere_and_Ball.png/330px-Sphere_and_Ball.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/07/Sphere_and_Ball.png/440px-Sphere_and_Ball.png 2x" data-file-width="1548" data-file-height="1536" /></a><figcaption>Радіус r сфери</figcaption></figure> Сфе́ра (від <a href="/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B5%D1%86%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0" title="Грецька мова">грец.</a> σφαῖρα — куля) — замкнута <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%8F" title="Поверхня">поверхня</a>, <a href="/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D0%BC%D1%96%D1%81%D1%86%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BE%D0%BA" title="Геометричне місце точок">геометричне місце точок</a> рівновіддалених від даної точки, що є центром сфери. Сфера є окремим випадком <a href="/wiki/%D0%95%D0%BB%D1%96%D0%BF%D1%81%D0%BE%D1%97%D0%B4" title="Еліпсоїд">еліпсоїда</a>, у якого всі три півосі однакові. <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="uk" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Зміст</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Властивості">1 Властивості</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Рівняння">2 Рівняння</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Замкнений_об'єм">3 Замкнений об'єм</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Площа_поверхні">4 Площа поверхні</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Об'єми_деяких_фігур,_отриманих_внаслідок_комбінацій_зі_сферою">5 Об'єми деяких фігур, отриманих внаслідок комбінацій зі сферою</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#Тензор_Річчі_та_скалярна_кривина_сфери">6 Тензор Річчі та скалярна кривина сфери</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#Формули">7 Формули</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#N-вимірна_сфера">8 N-вимірна сфера</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Див._також">9 Див. також</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-10"><a href="#Примітки">10 Примітки</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-11"><a href="#Джерела">11 Джерела</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#Посилання">12 Посилання</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Властивості">Властивості</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&veaction=edit&section=1" title="Редагувати розділ: Властивості" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit&section=1" title="Редагувати вихідний код розділу: Властивості">ред. код</a>]</div> Відрізок, що сполучає центр сфери з її точкою, а також його довжина, називається радіусом; відрізок, що сполучає дві точки сфери — <a href="/wiki/%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F)" title="Хорда (геометрія)">хордою</a>; хорда, що проходить через центр сфери називається її <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80" title="Діаметр">діаметром</a>. Сферу можна розглядати також як поверхню обертання півкола навколо його діаметра. Частина простору, яка обмежена сферою і містить її центр, називається <a href="/wiki/%D0%9A%D1%83%D0%BB%D1%8F" title="Куля">кулею</a>. Переріз сфери довільною площиною є коло. Воно називається великим, коли площина проходить через центр сфери, всі інші перерізи є малими колами. У сфери найменша <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%96" title="Площа поверхні">площа поверхні</a> з-поміж всіх тіл, що замикають даний об'єм, та найбільший замкнений об'єм при даній площі поверхні. З цієї причини, сфера часто зустрічається у <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0" title="Природа">природі</a>: краплі води в <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B2%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D0%BC%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Невагомість">невагомості</a>, планети, <a href="/wiki/%D0%93%D0%BB%D0%BE%D0%B1%D1%83%D0%BB%D0%B0" class="mw-disambig" title="Глобула">глобули</a> і т.ін. Площину (пряму), яка має зі сферою тільки одну спільну точку, називають дотичною площиною (прямою) до сфери. Якщо дві сфери мають тільки одну спільну точку, говорять, що вони дотикаються в цій точці. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Рівняння">Рівняння</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&veaction=edit&section=2" title="Редагувати розділ: Рівняння" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit&section=2" title="Редагувати вихідний код розділу: Рівняння">ред. код</a>]</div> У <a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Аналітична геометрія">аналітичній геометрії</a> сфера у декартовій системі координат з координатами центру <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(x_{0},y_{0},z_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(x_{0},y_{0},z_{0})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a896ce51f8ebac8b9c6c297138341b1ce287f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.363ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle O(x_{0},y_{0},z_{0})}"> і <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B4%D1%96%D1%83%D1%81" title="Радіус">радіусом</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> є геометричним місцем усіх точок <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x,y,z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x,y,z)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a8c93372e8f8b6e24d523bd5545aed3430baf4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.45ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x,y,z)}">, що описується рівнянням: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/776566d2efca0a145c1cc74569944f249c8ed9d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.314ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.\,}"></dd></dl> У <a href="/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Сферична система координат">сферичній системі координат</a> будь-яку точку сфери можна подати як <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/833fa5193f1a5e5648c7dbad4970144a0e008592" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.472ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi }"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leqslant \varphi <2\pi ,\ 0\leqslant \theta \leqslant \pi )\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>⩽</mo> <mi>φ</mi> <mo><</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mn>0</mn> <mo>⩽</mo> <mi>θ</mi> <mo>⩽</mo> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leqslant \varphi <2\pi ,\ 0\leqslant \theta \leqslant \pi )\,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2edfe521d203fbd4dcab30b2be4bc6d51e6beb6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:50.464ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leqslant \varphi <2\pi ,\ 0\leqslant \theta \leqslant \pi )\,}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=z_{0}+r\cos \theta \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=z_{0}+r\cos \theta \,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f43f398e8fde93bca73a479bb6fc759c3829afc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.574ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z=z_{0}+r\cos \theta \,}"></dd></dl> Сфера довільного радіусу з центром у <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%87%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BA_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Початок координат">початку координат</a> задається <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" class="mw-redirect" title="Диференціальне рівняння">диференціальним рівнянням</a>: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>z</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9cfcc379e60de9faca3aa371dc3f6b3ea23e965" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.544ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}"></dd></dl> Це рівняння відображає факт, що <a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" class="mw-redirect" title="Вектор">вектори</a> швидкості та координат точки, що рухається по поверхні сфери постійно <a href="/wiki/%D0%9E%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Ортогональність">ортогональні</a> один до одного. <a href="/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D0%B0" class="mw-redirect" title="Кривина Гауса">Кривина Гауса</a> для сфери постійна і визначається як <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666de2acbcfe406e29ed189c3a8a5ea2c1a5870d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:2.939ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}}">. Коло, яке лежить на сфері так, що центри кола та сфери збігаються, називається великим колом сфери. Великі кола є <a href="/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D1%8F" title="Геодезична лінія">геодезичними лініями</a> на сфері; будь-які дві з них перетинаються в двох точках. Іншими словами, великі кола сфери є аналогами <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%B0" title="Пряма">прямих</a> на площині. Відстань між точками на сфері визначається як довжина дуги великого кола, що проходить через задані точки. Куту між прямими на площині відповідає <a href="/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D1%83%D1%82" title="Двогранний кут">двогранний кут</a> між площинами великих кіл. Багато теорем геометрії на площині мають місце і в сферичної геометрії, існують аналоги <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81%D1%96%D0%B2" title="Теорема синусів">теореми синусів</a>, <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81%D1%96%D0%B2" title="Теорема косинусів">теореми косинусів</a> для сферичних трикутників. У той же час, існує чимало відмінностей, наприклад, в сферичному трикутнику сума кутів завжди більше <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 180}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>180</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 180}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ee181fd8ebcb93fa5c2848a984b828d2f071f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.487ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 180}"> градусів, до трьох ознак рівності трикутників додається четверта — їх рівність по трьох кутах, у сферичного трикутника може бути два і навіть три прямих кута - наприклад, у сферичного трикутника , утвореного екватором і двома меридіанами <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{\circ }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{\circ }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd0e1e92cf5770c2bfbb1de8b4b7bf904c9deef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.217ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0^{\circ }}"> та <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 90^{\circ }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>90</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 90^{\circ }}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c326d317eddef3ad3e6625e018a708e290a039f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 90^{\circ }}">. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Замкнений_об'єм">Замкнений об'єм</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&veaction=edit&section=3" title="Редагувати розділ: Замкнений об'єм" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit&section=3" title="Редагувати вихідний код розділу: Замкнений об'єм">ред. код</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Esfera_Arqu%C3%ADmedes0.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Esfera_Arqu%C3%ADmedes0.svg/220px-Esfera_Arqu%C3%ADmedes0.svg.png" decoding="async" width="220" height="233" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Esfera_Arqu%C3%ADmedes0.svg/330px-Esfera_Arqu%C3%ADmedes0.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Esfera_Arqu%C3%ADmedes0.svg/440px-Esfera_Arqu%C3%ADmedes0.svg.png 2x" data-file-width="9954" data-file-height="10536" /></a><figcaption><a href="/wiki/%D0%A6%D0%B8%D0%BB%D1%96%D0%BD%D0%B4%D1%80" title="Циліндр">Циліндр</a>, описаний навколо сфери</figcaption></figure> В тривимірному просторі, <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%27%D1%94%D0%BC" title="Об'єм">об'єм</a> всередині сфери (який є об'ємом <a href="/wiki/%D0%9A%D1%83%D0%BB%D1%8F" title="Куля">кулі</a>) є: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07808adf2ca4b2aeb69b6c15fb6251a3a3617c91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.319ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}"></dd></dl> де <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> — це радіус сфери. <a href="/wiki/%D0%90%D1%80%D1%85%D1%96%D0%BC%D0%B5%D0%B4" title="Архімед">Архімед</a> вперше вивів цю формулу, коли показав, що об'єм всередині сфери в два рази більший за різницю в об'ємах всередині сфери та всередині <a href="/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%BE" title="Описане коло">описаного</a> <a href="/wiki/%D0%A6%D0%B8%D0%BB%D1%96%D0%BD%D0%B4%D1%80" title="Циліндр">циліндра</a> (у якого висота та діаметр дорівнюють діаметру сфери).<a href="#cite_note-1">[1]</a> Це твердження можна отримати з <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%9A%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D1%94%D1%80%D1%96" title="Принцип Кавальєрі">принципу Кавал'єрі</a>. Ця формула також може бути отримана за допомогою <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Інтегральне числення">інтегрального обчислення</a>. При кожному заданому <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> інкрементний об'єм (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c26e906a0088049ad05b9350aa1b7666576b94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.836ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta V}">) дорівнює добутку площі поперечного <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0_%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%B0" title="Площа круга">перерізу круга</a> при <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> і його товщині (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22318bef6d7358b79bd993321d65d7c1d3db9d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.378ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta x}">): <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta V\approx \pi y^{2}\cdot \delta x.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mi>V</mi> <mo>≈</mo> <mi>π</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mi>δ</mi> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta V\approx \pi y^{2}\cdot \delta x.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f5294b86738de4a6370477df266e31adea58e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.185ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \delta V\approx \pi y^{2}\cdot \delta x.}"></dd></dl> Повний об'єм дорівнює сумі всіх інкрементних об'ємів: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\approx \sum \pi y^{2}\cdot \delta x.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>≈</mo> <mo>∑</mo> <mi>π</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <mi>δ</mi> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\approx \sum \pi y^{2}\cdot \delta x.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d25825c42ffeebfbf63349381f1bb020398910a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:16.879ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle V\approx \sum \pi y^{2}\cdot \delta x.}"></dd></dl> Для границі функції, коли δx наближається до нуля<a href="#cite_note-delta-2">[2]</a> це рівняння набуває вигляду: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}dx.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mi>π</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}dx.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d1ea760eaab5ec19ef3372ea4c9ee24addee22" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:15.557ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}dx.}"></dd></dl> Для будь-якого <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">, <a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Прямокутний трикутник">прямокутний трикутник</a> поєднує <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"> та <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> із початком координат; значить, якщо застосувати <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9F%D1%96%D1%84%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B0" title="Теорема Піфагора">теорему Піфагора</a>, отримаємо: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y^{2}=r^{2}-x^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y^{2}=r^{2}-x^{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61fa971d8c5410f0cbbbb2f948b29db288e26550" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.287ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y^{2}=r^{2}-x^{2}.}"></dd></dl> Використаємо підстановку: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a06a9fc0bc3ffaa40ba6defab8ea0ee3873e1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.479ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle V=\int _{-r}^{r}\pi (r^{2}-x^{2})dx,}"></dd></dl> Це може бути обчислене, щоб отримати наступний результат: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <msubsup> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mi>π</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mi>π</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c081de9760153a5ab7e59be1b9de1aa97d08dec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:63.389ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}"></dd></dl> Альтернативно, ця формула може бути знайдена з використанням <a href="/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Сферична система координат">сферичних координат</a>, з <a href="/w/index.php?title=%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BE%D0%B1%27%D1%94%D0%BC%D1%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Елемент об'єму (ще не написана)">елементом об'єму</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_element" class="extiw" title="en:Volume element">[en]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7baab55bb4d5559e61d50df77cca1d7f6befc27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.393ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi }"></dd></dl> і таким чином: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>r</mi> <mrow> <mo class="MJX-variant">′</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </mrow> </msup> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <msup> <mi>r</mi> <mo>′</mo> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2619e7a8c398669ef437eba46f3751bfafcbbd8b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:43.191ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}"></dd></dl> Для більшості практичних цілей, об'єм всередині сфери, <a href="/wiki/%D0%92%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Вписана сфера">вписаної</a> в <a href="/wiki/%D0%9A%D1%83%D0%B1" title="Куб">куб</a>, може бути наближене до <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 52.4\%}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>52.4</mn> <mi mathvariant="normal">%</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 52.4\%}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ff010000c4b801540d0c0d4bada215315e67be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.07ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 52.4\%}">об'єму куба через те, що <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V={\tfrac {\pi }{6}}d^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>6</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V={\tfrac {\pi }{6}}d^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ebc60a69cab22d9feede088adb0af5a9a745681" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:8.936ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle V={\tfrac {\pi }{6}}d^{3}}">, де <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}"> є діаметром сфери і в той же час довжиною сторони куба і <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}\approx 0.5236}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>6</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>0.5236</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}\approx 0.5236}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1075b23e18413820df96296efd6f73d8deeb1f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:11.336ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}\approx 0.5236}">. Наприклад, сфера діаметру <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"> <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D1%80" title="Метр">метр</a> має <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 52.4\%}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>52.4</mn> <mi mathvariant="normal">%</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 52.4\%}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ff010000c4b801540d0c0d4bada215315e67be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.07ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 52.4\%}">об'єму куба з довжиною ребра <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"> метр, або близько <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0.524}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0.524</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0.524}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f0f1967c393846a732377469f446cd01639c3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.297ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0.524}"> м3. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Площа_поверхні">Площа поверхні</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&veaction=edit&section=4" title="Редагувати розділ: Площа поверхні" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit&section=4" title="Редагувати вихідний код розділу: Площа поверхні">ред. код</a>]</div> <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%96" title="Площа поверхні">Площа поверхні</a> сфери радіусу <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=4\pi r^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=4\pi r^{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb967f4667bb5161ae3f431fcfacfbcae255e421" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.842ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle S=4\pi r^{2}.}"></dd></dl> <a href="/wiki/%D0%90%D1%80%D1%85%D1%96%D0%BC%D0%B5%D0%B4" title="Архімед">Архімед</a> вперше отримав цю формулу<a href="#cite_note-MathWorld_Sphere-3">[3]</a> з того факту, що проєкція на бічну поверхню <a href="/wiki/%D0%9E%D0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%BE" title="Описане коло">описаного</a> циліндра зберігає площу.<a href="#cite_note-4">[4]</a> Інший спосіб отримати цю формулу — це взяти <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Похідна">похідну</a> від формули об'єму по <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}">, бо об'єм всередині сфери радіусу <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> може розглядатись як сума нескінченної кількості сферичних оболонок нескінченно малої товщини, де кожна наступна впритул «обгортає» попередню, від нульового радіусу до радіусу <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}">. Для нескінченно малої товщини різниця між внутрішньою та зовнішньою площами поверхонь для будь-якої оболонки є нескінченно малою, а <a href="/w/index.php?title=%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BE%D0%B1%27%D1%94%D0%BC%D1%83&action=edit&redlink=1" class="new" title="Елемент об'єму (ще не написана)">елемент об'єму</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_element" class="extiw" title="en:Volume element">[en]</a> на радіусі <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> просто є добутком площі поверхні на радіусі <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> та нескінченно малою товщиною. Для будь-якого даного радіусу <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}">,<a href="#cite_note-5">[5]</a> приріст об'єму (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c26e906a0088049ad05b9350aa1b7666576b94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.836ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta V}">) дорівнює добутку площі поверхні на радіусі <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S(r)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S(r)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9d4ce97811730cbc1cb28bcf72bf9a3bae294c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.357ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle S(r)}">) та товщиною обгортки (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d0990c9c28625a24ddd1c9db5791698c889d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.097ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta r}">): <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta V\approx S(r)\cdot \delta r.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mi>V</mi> <mo>≈</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>δ</mi> <mi>r</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta V\approx S(r)\cdot \delta r.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edeabf2a31a905ec9fec10e29dba96389fb91761" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.715ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta V\approx S(r)\cdot \delta r.}"></dd></dl> Повний об'єм сфери дорівнює сумі всіх об'ємів оболонок: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\approx \sum S(r)\cdot \delta r.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>≈</mo> <mo>∑</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>δ</mi> <mi>r</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\approx \sum S(r)\cdot \delta r.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0af27bc38e8a068c97ce2cebdc5fcb1fdb0d67" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:17.408ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle V\approx \sum S(r)\cdot \delta r.}"></dd></dl> Для границі функції, коли <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d0990c9c28625a24ddd1c9db5791698c889d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.097ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta r}"> наближається до нуля<a href="#cite_note-delta-2">[2]</a> це рівняння набуває вигляду: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=\int _{0}^{r}S(r)\,dr.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=\int _{0}^{r}S(r)\,dr.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d2a6c102017132ff7e46845939fe2cbc726564" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.366ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle V=\int _{0}^{r}S(r)\,dr.}"></dd></dl> Підставимо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}">: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}S(r)\,dr.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msubsup> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>r</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}S(r)\,dr.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc504795aa2b8e75e808cb0932336994f39aecf7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.013ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}S(r)\,dr.}"></dd></dl> Якщо взяти похідну по <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> з обох боків рівняння, то отримаємо <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"> як функцію від <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}">: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4\pi r^{2}=S(r).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4\pi r^{2}=S(r).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1013fea87b5eb2a47d6df991973d743f037c23f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.7ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 4\pi r^{2}=S(r).}"></dd></dl> Звичайно це записується як: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=4\pi r^{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=4\pi r^{2},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988a91babd2a2940a6c77013e0ac0798cb6f5239" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.842ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle S=4\pi r^{2},}"></dd></dl> де <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> розглядається як фіксований радіус сфери. Альтернативно, <a href="/w/index.php?title=%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D1%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="Елемент площі (ще не написана)">елемент площі</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_element#Area_element_of_a_surface" class="extiw" title="en:Volume element">[en]</a> на сфері заданий в <a href="/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Сферична система координат">сферичних координатах</a> як <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dS=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>φ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dS=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab96d042d8698c9746add8dcc2cad51d8f8c684c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.453ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle dS=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }">. В <a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Декартова система координат">прямокутній системі координат</a>, елемент площі виглядає як: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dS={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-{\displaystyle \sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}}\prod _{i\neq k}dx_{i},\;\forall k.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>r</mi> <msqrt> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>≠</mo> <mi>k</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> <munder> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>≠</mo> <mi>k</mi> </mrow> </munder> <mi>d</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>k</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dS={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-{\displaystyle \sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}}\prod _{i\neq k}dx_{i},\;\forall k.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78277b9aae2fc2a99ab712de135bfefe1aba6e1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.338ex; width:31.961ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle dS={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-{\displaystyle \sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}}\prod _{i\neq k}dx_{i},\;\forall k.}"></dd></dl> Для більш детального розгляду, відвідайте <a href="/w/index.php?title=%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D1%96&action=edit&redlink=1" class="new" title="Елемент площі (ще не написана)">елемент площі</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_element#Area_element_of_a_surface" class="extiw" title="en:Volume element">[en]</a>. Повна площа, таким чином, може бути отримана за допомогою <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Інтеграл">інтегрування</a>: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =4\pi r^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>θ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>φ</mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =4\pi r^{2}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c396a4228fbcc4067a3e371e1dcf4c48533866f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:34.453ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle S=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =4\pi r^{2}.}"></dd></dl> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Einstein_gyro_gravity_probe_b.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Einstein_gyro_gravity_probe_b.jpg/220px-Einstein_gyro_gravity_probe_b.jpg" decoding="async" width="220" height="148" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Einstein_gyro_gravity_probe_b.jpg/330px-Einstein_gyro_gravity_probe_b.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Einstein_gyro_gravity_probe_b.jpg/440px-Einstein_gyro_gravity_probe_b.jpg 2x" data-file-width="3552" data-file-height="2384" /></a><figcaption>Картинка однієї з найбільш точних сфер, зроблених людиною, яка <a href="/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%BC%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Заломлення">заломлює</a> фото <a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82_%D0%95%D0%B9%D0%BD%D1%88%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD" title="Альберт Ейнштейн">Ейнштейна</a> на фоні. Сфера виробництва <a href="/wiki/%D0%9D%D0%90%D0%A1%D0%90" title="НАСА">НАСА</a> з плавленого кварцу для використання в гіроскопі <a href="/w/index.php?title=Gravity_Probe_B&action=edit&redlink=1" class="new" title="Gravity Probe B (ще не написана)">Gravity Probe B</a>. Це одна з найточніших сфер коли-небудь створених людиною, що відрізняються за формою від ідеальної сфери не більше ніж на 40 атомів товщини(менш ніж 10 <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80" title="Нанометр">нанометрів</a>). Вважається, що тільки <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B9%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0_%D0%B7%D0%BE%D1%80%D1%8F" title="Нейтронна зоря">нейтронні зірки</a> є гладкішими. 1 липня 2008 року було оголошено, що <a href="/wiki/%D0%90%D0%B2%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%8F" title="Австралія">австралійські</a> вчені створили ще більше ідеальних сфер, з точністю до 0.3 нанометрів, як частина міжнародного пошуку нового глобального стандарту <a href="/wiki/%D0%9A%D1%96%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC" title="Кілограм">кілограм</a>.<a href="#cite_note-6">[6]</a></figcaption></figure> Сфера має найменшу площу поверхні з усіх поверхонь, що містять певний об'єм, і містить найбільший об'єм серед усіх закритих поверхонь із заданою площею поверхні. Тому сфера з'являється в природі: наприклад, бульбашки та невеликі краплі води є приблизно сферичними, оскільки <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%8F%D0%B3" title="Поверхневий натяг">поверхневий натяг</a> локально мінімізує площу поверхні. Площа поверхні відносно маси кульки називається <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B8%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%8F" title="Питома поверхня">питома поверхня</a> і може бути виражена з вищенаведених рівнянь, як: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">S</mi> <mi mathvariant="normal">S</mi> <mi mathvariant="normal">A</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>A</mi> <mrow> <mi>V</mi> <mi>ρ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mrow> <mi>r</mi> <mi>ρ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6ff5a4a2a0552ea9001c624b565762f2d75510" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.084ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }},}"></dd></dl> де <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.202ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \rho }"> — це <a href="/wiki/%D0%A9%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" class="mw-disambig" title="Щільність">щільність</a> (відношення маси до об'єму). <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Об'єми_деяких_фігур,_отриманих_внаслідок_комбінацій_зі_сферою"><span id=".D0.9E.D0.B1.27.D1.94.D0.BC.D0.B8_.D0.B4.D0.B5.D1.8F.D0.BA.D0.B8.D1.85_.D1.84.D1.96.D0.B3.D1.83.D1.80.2C_.D0.BE.D1.82.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D1.85_.D0.B2.D0.BD.D0.B0.D1.81.D0.BB.D1.96.D0.B4.D0.BE.D0.BA_.D0.BA.D0.BE.D0.BC.D0.B1.D1.96.D0.BD.D0.B0.D1.86.D1.96.D0.B9_.D0.B7.D1.96_.D1.81.D1.84.D0.B5.D1.80.D0.BE.D1.8E">Об'єми деяких фігур, отриманих внаслідок комбінацій зі сферою</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&veaction=edit&section=5" title="Редагувати розділ: Об'єми деяких фігур, отриманих внаслідок комбінацій зі сферою" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit&section=5" title="Редагувати вихідний код розділу: Об'єми деяких фігур, отриманих внаслідок комбінацій зі сферою">ред. код</a>]</div> Нехай маємо сферу з радіусом <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}">. Тоді: <ul><li>об'єм куба, вписаного в сферу, дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{cube}={\frac {8{\sqrt {3}}R^{3}}{9}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> <mi>u</mi> <mi>b</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>9</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{cube}={\frac {8{\sqrt {3}}R^{3}}{9}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16bb5e7522d76e0d98a7d8d1399b70e43a70bc4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.725ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle V_{cube}={\frac {8{\sqrt {3}}R^{3}}{9}}}">;</li> <li>об'єм циліндра, вписаного в сферу (за умови, що осьовий переріз циліндра — квадрат), дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{cylinder}={\frac {{\sqrt {2}}{\pi }R^{3}}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> <mi>y</mi> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{cylinder}={\frac {{\sqrt {2}}{\pi }R^{3}}{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e873cd516b2be5ba2f1f830f7ba4055caf4154d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.711ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle V_{cylinder}={\frac {{\sqrt {2}}{\pi }R^{3}}{2}}}">;</li> <li>об'єм конуса, вписаного в сферу (за умови, що осьовий переріз конуса — рівнобедрений трикутник з кутом <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19157b5242580f43be7fd48d8b241ceac5a5adad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.65ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\alpha }"> при вершині), дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{cone}={\frac {{2}{\pi }R^{3}\sin ^{2}2\alpha \cos ^{2}\alpha }{3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mi>α</mi> <msup> <mi>cos</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{cone}={\frac {{2}{\pi }R^{3}\sin ^{2}2\alpha \cos ^{2}\alpha }{3}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8c000ff8eea59c23e54de69ee36720cd99a279" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:27.858ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle V_{cone}={\frac {{2}{\pi }R^{3}\sin ^{2}2\alpha \cos ^{2}\alpha }{3}}}">;</li> <li>об'єм конуса, вписаного в сферу (за умови, що осьовий переріз конуса — рівнобедрений прямокутний трикутник), дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{cone}={\frac {{\pi }R^{3}}{3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{cone}={\frac {{\pi }R^{3}}{3}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436551219f47f06c56875433c1736cda83cea73c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.934ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle V_{cone}={\frac {{\pi }R^{3}}{3}}}">;</li> <li>об'єм конуса, вписаного в сферу (за умови, що осьовий переріз конуса — <a href="/wiki/%D0%A0%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA" class="mw-redirect" title="Рівносторонній трикутник">рівносторонній трикутник</a>), дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{cone}={\frac {{3}{\pi }R^{3}}{8}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mn>8</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{cone}={\frac {{3}{\pi }R^{3}}{8}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61636f60d54caf270dbe4e168dc04c9e15289a67" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.096ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle V_{cone}={\frac {{3}{\pi }R^{3}}{8}}}">;</li> <li>об'єм куба, описаного навколо сфери, дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{cube}={8R^{3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> <mi>u</mi> <mi>b</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{cube}={8R^{3}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448fbf7e3e9a8998688334b718cc3ab6c1b7e5e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.79ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle V_{cube}={8R^{3}}}">;</li> <li>об'єм циліндра, описаного навколо сфери, дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{cylinder}={2{\pi }R^{3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> <mi>y</mi> <mi>l</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{cylinder}={2{\pi }R^{3}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fcde4eff01fd5943fcd51abaa7f9fccc966da60" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.939ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle V_{cylinder}={2{\pi }R^{3}}}">;</li> <li>об'єм конуса, описаного навколо сфери (за умови, що осьовий переріз конуса — рівнобедрений трикутник з кутом <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19157b5242580f43be7fd48d8b241ceac5a5adad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.65ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\alpha }"> при вершині), дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{cone}={\frac {{8}{\pi }R^{3}\cos \alpha {(1+\sin \alpha )^{3}}}{3\sin \alpha }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>8</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>α</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>α</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{cone}={\frac {{8}{\pi }R^{3}\cos \alpha {(1+\sin \alpha )^{3}}}{3\sin \alpha }}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5090fef4dd00de7cc833180116642c29cb609d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.066ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle V_{cone}={\frac {{8}{\pi }R^{3}\cos \alpha {(1+\sin \alpha )^{3}}}{3\sin \alpha }}}">;</li> <li>об'єм конуса, описаного навколо сфери (за умови, що осьовий переріз конуса — рівнобедрений прямокутний трикутник), дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{cone}={\frac {{\pi }R^{3}{(2+{\sqrt {2}})^{3}}}{3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{cone}={\frac {{\pi }R^{3}{(2+{\sqrt {2}})^{3}}}{3}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a0dd0d135bf83f1f19f75b4689f11785cdba30" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:22.899ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle V_{cone}={\frac {{\pi }R^{3}{(2+{\sqrt {2}})^{3}}}{3}}}">;</li> <li>об'єм конуса, описаного навколо сфери (за умови, що осьовий переріз конуса — рівнобедрений трикутник з кутом <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\alpha }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19157b5242580f43be7fd48d8b241ceac5a5adad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.65ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\alpha }"> при вершині), дорівнює <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{cone}={{9{\sqrt {3}}}{\pi }R^{3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>9</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{cone}={{9{\sqrt {3}}}{\pi }R^{3}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eafca55f152c70eb385fa670b5114afd5c8a21d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.359ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle V_{cone}={{9{\sqrt {3}}}{\pi }R^{3}}}">.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Тензор_Річчі_та_скалярна_кривина_сфери"><span id=".D0.A2.D0.B5.D0.BD.D0.B7.D0.BE.D1.80_.D0.A0.D1.96.D1.87.D1.87.D1.96_.D1.82.D0.B0_.D1.81.D0.BA.D0.B0.D0.BB.D1.8F.D1.80.D0.BD.D0.B0_.D0.BA.D1.80.D0.B8.D0.B2.D0.B8.D0.BD.D0.B0_.D1.81.D1.84.D0.B5.D1.80.D0.B8">Тензор Річчі та скалярна кривина сфери</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&veaction=edit&section=6" title="Редагувати розділ: Тензор Річчі та скалярна кривина сфери" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit&section=6" title="Редагувати вихідний код розділу: Тензор Річчі та скалярна кривина сфери">ред. код</a>]</div> Геометрію сфери можна просто описати, представивши її вкладеною в фіктивний чотиривимірний простір: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=R^{2},\quad dl^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}+dx_{4}^{2}\qquad (1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>d</mi> <msup> <mi>l</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=R^{2},\quad dl^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}+dx_{4}^{2}\qquad (1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff255f877311d8949eefe89c136ae1cf4a765cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:63.929ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=R^{2},\quad dl^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}+dx_{4}^{2}\qquad (1)}">. Введенням координат <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}=Rcos(\psi ),\quad x_{2}=Rcos(\varphi )sin(\psi )sin(\theta ),\quad x_{3}=Rsin(\varphi )sin(\psi )sin(\theta ),x_{4}=Rcos(\theta )sin(\psi )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}=Rcos(\psi ),\quad x_{2}=Rcos(\varphi )sin(\psi )sin(\theta ),\quad x_{3}=Rsin(\varphi )sin(\psi )sin(\theta ),x_{4}=Rcos(\theta )sin(\psi )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a718ede3743804a6c642f5a375ed118aee375fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:94.781ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{1}=Rcos(\psi ),\quad x_{2}=Rcos(\varphi )sin(\psi )sin(\theta ),\quad x_{3}=Rsin(\varphi )sin(\psi )sin(\theta ),x_{4}=Rcos(\theta )sin(\psi )}"> можна задовольнити <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25115739469707c4758b189fe310a750092a80a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1)}">, а елементи довжин на поверхні матимуть вигляд (елементарно перевіряється підстановкою) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dl^{2}=R^{2}(d\psi ^{2}+sin^{2}(\psi )(d\theta ^{2}+sin^{2}(\theta )d\varphi ^{2}))\qquad (2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msup> <mi>l</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dl^{2}=R^{2}(d\psi ^{2}+sin^{2}(\psi )(d\theta ^{2}+sin^{2}(\theta )d\varphi ^{2}))\qquad (2)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b113a30e1eace1a75e9bd7fd57b8e4268d79612" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:51.636ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle dl^{2}=R^{2}(d\psi ^{2}+sin^{2}(\psi )(d\theta ^{2}+sin^{2}(\theta )d\varphi ^{2}))\qquad (2)}">. Як видно, метричний <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80" title="Тензор">тензор</a> має специфічну структуру: є діагональним, перший діагональний елемент рівен одиниці, другий залежить від першої змінної, третій — від першої і другої, а від третьої змінної залежності немає, що, певною мірою, відповідає <a href="/wiki/%D0%86%D0%B7%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%83" title="Ізотропність простору">ізотропії простору</a>. Виходячи із цього, можна визначити вирази для символів Кристоффеля: маючи загальний вираз <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{jl}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(\partial _{l}g_{mj}+\partial _{j}g_{ml}-\partial _{m}g_{jl})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{jl}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(\partial _{l}g_{mj}+\partial _{j}g_{ml}-\partial _{m}g_{jl})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddbb059cde2307bbf6b2ce5645ba586469a40937" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:35.345ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{jl}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(\partial _{l}g_{mj}+\partial _{j}g_{ml}-\partial _{m}g_{jl})}">, де метричний тензор <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{lj}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{lj}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ffee00dee48bb6861eabbacf836c450fa9c870d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.509ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle g_{lj}}"> має вигляд <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{lj}=diag(R^{2},R^{2}sin^{2}(\psi ),R^{2}sin^{2}(\psi )sin^{2}(\theta )),\quad g^{lj}=diag(R^{-2},R^{-2}sin^{-2}(\psi ),R^{-2}sin^{-2}(\psi )sin^{-2}(\theta ))\qquad (3)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{lj}=diag(R^{2},R^{2}sin^{2}(\psi ),R^{2}sin^{2}(\psi )sin^{2}(\theta )),\quad g^{lj}=diag(R^{-2},R^{-2}sin^{-2}(\psi ),R^{-2}sin^{-2}(\psi )sin^{-2}(\theta ))\qquad (3)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79c25917035938ac2e7404b91fc22c325b963a8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:108.401ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle g_{lj}=diag(R^{2},R^{2}sin^{2}(\psi ),R^{2}sin^{2}(\psi )sin^{2}(\theta )),\quad g^{lj}=diag(R^{-2},R^{-2}sin^{-2}(\psi ),R^{-2}sin^{-2}(\psi )sin^{-2}(\theta ))\qquad (3)}">, для частинних випадків виразів можна отримати <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{ll}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(2\partial _{l}g_{ml}-\partial _{m}g_{ll})=g^{km}\partial _{l}g_{ml}-{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{ll}=-{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{ll}\qquad (4)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{ll}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(2\partial _{l}g_{ml}-\partial _{m}g_{ll})=g^{km}\partial _{l}g_{ml}-{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{ll}=-{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{ll}\qquad (4)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804047cf09609870cce174de1486b27fa0a9d274" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:74.444ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{ll}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(2\partial _{l}g_{ml}-\partial _{m}g_{ll})=g^{km}\partial _{l}g_{ml}-{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{ll}=-{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{ll}\qquad (4)}">; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{kk}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(2\partial _{k}g_{km}-\partial _{m}g_{kk})={\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{kk}=0\qquad (5)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{kk}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(2\partial _{k}g_{km}-\partial _{m}g_{kk})={\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{kk}=0\qquad (5)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc21c0734a6fff4787633bfe181f145bc7d7f6d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:55.3ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{kk}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(2\partial _{k}g_{km}-\partial _{m}g_{kk})={\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{kk}=0\qquad (5)}">; оскільки, в силу структури метричних тензорів, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{0}g_{00}=\partial _{h}g_{hh}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>00</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{0}g_{00}=\partial _{h}g_{hh}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b11bfce6be63bc72e1de8aac3bd2478c53d77d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.282ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \partial _{0}g_{00}=\partial _{h}g_{hh}=0}">; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{lk}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(\partial _{l}g_{mk}+\partial _{k}g_{ml}-\partial _{m}g_{lk})={\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{l}g_{kk}\qquad (6)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>6</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{lk}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(\partial _{l}g_{mk}+\partial _{k}g_{ml}-\partial _{m}g_{lk})={\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{l}g_{kk}\qquad (6)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a39cccc9b5ede18267743e6082dda6cbce1830f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:56.85ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{lk}^{k}={\frac {1}{2}}g^{km}(\partial _{l}g_{mk}+\partial _{k}g_{ml}-\partial _{m}g_{lk})={\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{l}g_{kk}\qquad (6)}">; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\Gamma _{lj}^{k}}^{(3)}={\frac {1}{2}}g^{km}(\partial _{l}g_{mj}+\partial _{j}g_{ml}-\partial _{m}g_{lj})={\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{l}g_{kk}\delta _{kj}+{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{j}g_{kk}\delta _{kl}-{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{jl}\delta _{jl}=\Gamma _{lk}^{k}\delta _{j}^{k}+\Gamma _{jk}^{k}\delta _{l}^{k}+\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}\qquad (7)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>7</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\Gamma _{lj}^{k}}^{(3)}={\frac {1}{2}}g^{km}(\partial _{l}g_{mj}+\partial _{j}g_{ml}-\partial _{m}g_{lj})={\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{l}g_{kk}\delta _{kj}+{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{j}g_{kk}\delta _{kl}-{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{jl}\delta _{jl}=\Gamma _{lk}^{k}\delta _{j}^{k}+\Gamma _{jk}^{k}\delta _{l}^{k}+\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}\qquad (7)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40bb6499ac89a340079c75f0b1ea18fdae4f8b74" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:116.067ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\Gamma _{lj}^{k}}^{(3)}={\frac {1}{2}}g^{km}(\partial _{l}g_{mj}+\partial _{j}g_{ml}-\partial _{m}g_{lj})={\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{l}g_{kk}\delta _{kj}+{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{j}g_{kk}\delta _{kl}-{\frac {1}{2}}g^{kk}\partial _{k}g_{jl}\delta _{jl}=\Gamma _{lk}^{k}\delta _{j}^{k}+\Gamma _{jk}^{k}\delta _{l}^{k}+\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}\qquad (7)}">. Тепер можна спростити (якомога більше зменшити кількість сум) вираз для тензору Річчі: маючи загальне визначення, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{lj}^{(3)}=\partial _{k}\Gamma _{jl}^{k}-\partial _{l}\Gamma _{jk}^{k}+\Gamma _{jl}^{k}\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }-\Gamma _{l\sigma }^{k}\Gamma _{jk}^{\sigma }\qquad (8)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>8</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{lj}^{(3)}=\partial _{k}\Gamma _{jl}^{k}-\partial _{l}\Gamma _{jk}^{k}+\Gamma _{jl}^{k}\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }-\Gamma _{l\sigma }^{k}\Gamma _{jk}^{\sigma }\qquad (8)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42303a9652a2bdeee8d5089d341131b163554b74" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:46.355ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle R_{lj}^{(3)}=\partial _{k}\Gamma _{jl}^{k}-\partial _{l}\Gamma _{jk}^{k}+\Gamma _{jl}^{k}\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }-\Gamma _{l\sigma }^{k}\Gamma _{jk}^{\sigma }\qquad (8)}">, та вирази <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (4)-(7)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>7</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (4)-(7)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cf800102130d01cf2c88d6dce0163d236469f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.784ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (4)-(7)}">, для тензора можна отримати (сума лише по індексам <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k,\sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k,\sigma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bffae5c963727f2783bb7baa2dffe903abb929" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.575ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k,\sigma }">) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{lj}^{(3)}=\partial _{j}\Gamma _{lj}^{j}+\partial _{l}\Gamma _{jl}^{l}+\partial _{k}\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}-\partial _{l}\Gamma _{jk}^{k}+\Gamma _{jk}^{k}\Gamma _{lj}^{j}+\Gamma _{lk}^{k}\Gamma _{jl}^{l}+\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{jk}^{k}\Gamma _{lk}^{k}-\Gamma _{jl}^{l}\Gamma _{lj}^{j}-2\Gamma _{kj}^{l}\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{j}\Gamma _{jj}^{l}\qquad (9)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>9</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{lj}^{(3)}=\partial _{j}\Gamma _{lj}^{j}+\partial _{l}\Gamma _{jl}^{l}+\partial _{k}\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}-\partial _{l}\Gamma _{jk}^{k}+\Gamma _{jk}^{k}\Gamma _{lj}^{j}+\Gamma _{lk}^{k}\Gamma _{jl}^{l}+\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{jk}^{k}\Gamma _{lk}^{k}-\Gamma _{jl}^{l}\Gamma _{lj}^{j}-2\Gamma _{kj}^{l}\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{j}\Gamma _{jj}^{l}\qquad (9)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339ad718c54f7c7fff31c5e78d4a445fba38c0db" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:111.826ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle R_{lj}^{(3)}=\partial _{j}\Gamma _{lj}^{j}+\partial _{l}\Gamma _{jl}^{l}+\partial _{k}\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}-\partial _{l}\Gamma _{jk}^{k}+\Gamma _{jk}^{k}\Gamma _{lj}^{j}+\Gamma _{lk}^{k}\Gamma _{jl}^{l}+\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{jk}^{k}\Gamma _{lk}^{k}-\Gamma _{jl}^{l}\Gamma _{lj}^{j}-2\Gamma _{kj}^{l}\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{j}\Gamma _{jj}^{l}\qquad (9)}">. <div class="NavFrame collapsed" style=""> <div class="NavHead" style="color: black; font-weight: bold; text-align: left;">Доведення.  </div> <div class="NavContent" style="color: black; text-align: left;"> Дійсно, використовуючи вирази <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (4)-(7)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>7</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (4)-(7)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cf800102130d01cf2c88d6dce0163d236469f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.784ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (4)-(7)}">, для доданків <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (8)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>8</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (8)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a37d29ef0d8449649e34a4316b0841f7dcb465" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (8)}"> можна отримати наступні вирази. Перший доданок: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial _{k}\Gamma _{jl}^{k}=\partial _{k}\Gamma _{lk}^{k}\delta _{j}^{k}+\partial _{k}\Gamma _{jk}^{k}\delta _{l}^{k}+\partial _{k}\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}=\partial _{j}\Gamma _{lj}^{j}+\partial _{l}\Gamma _{jl}^{l}+\partial _{k}\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial _{k}\Gamma _{jl}^{k}=\partial _{k}\Gamma _{lk}^{k}\delta _{j}^{k}+\partial _{k}\Gamma _{jk}^{k}\delta _{l}^{k}+\partial _{k}\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}=\partial _{j}\Gamma _{lj}^{j}+\partial _{l}\Gamma _{jl}^{l}+\partial _{k}\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e76bee08e912a9f7a754d46f2e03ae1c55834a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:61.584ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \partial _{k}\Gamma _{jl}^{k}=\partial _{k}\Gamma _{lk}^{k}\delta _{j}^{k}+\partial _{k}\Gamma _{jk}^{k}\delta _{l}^{k}+\partial _{k}\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}=\partial _{j}\Gamma _{lj}^{j}+\partial _{l}\Gamma _{jl}^{l}+\partial _{k}\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}}">. Другий доданок залишається без змін. Третій доданок: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{jl}^{k}=\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{lk}^{k}\delta _{j}^{k}+\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{jk}^{k}\delta _{l}^{k}+\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{jj}^{k}\delta _{l}^{j}=\Gamma _{j\sigma }^{\sigma }\Gamma _{lj}^{j}+\Gamma _{l\sigma }^{\sigma }\Gamma _{jl}^{l}+\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{jl}^{k}=\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{lk}^{k}\delta _{j}^{k}+\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{jk}^{k}\delta _{l}^{k}+\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{jj}^{k}\delta _{l}^{j}=\Gamma _{j\sigma }^{\sigma }\Gamma _{lj}^{j}+\Gamma _{l\sigma }^{\sigma }\Gamma _{jl}^{l}+\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596a9929c0f9d7b2484c77efce630522ff0b5b47" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:70.09ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{jl}^{k}=\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{lk}^{k}\delta _{j}^{k}+\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{jk}^{k}\delta _{l}^{k}+\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{jj}^{k}\delta _{l}^{j}=\Gamma _{j\sigma }^{\sigma }\Gamma _{lj}^{j}+\Gamma _{l\sigma }^{\sigma }\Gamma _{jl}^{l}+\Gamma _{k\sigma }^{\sigma }\Gamma _{ll}^{k}\delta _{j}^{l}}">. Четвертий доданок: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\Gamma _{jk}^{\sigma }\Gamma _{l\sigma }^{k}=-\Gamma _{jk}^{\sigma }\Gamma _{lk}^{k}\delta _{\sigma }^{k}-\Gamma _{jk}^{\sigma }\Gamma _{\sigma k}^{k}\delta _{l}^{k}-\Gamma _{jk}^{\sigma }\Gamma _{ll}^{k}\delta _{\sigma }^{l}=-\Gamma _{jk}^{k}\Gamma _{lk}^{k}-\Gamma _{jl}^{\sigma }\Gamma _{\sigma l}^{l}-\Gamma _{jk}^{l}\Gamma _{ll}^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\Gamma _{jk}^{\sigma }\Gamma _{l\sigma }^{k}=-\Gamma _{jk}^{\sigma }\Gamma _{lk}^{k}\delta _{\sigma }^{k}-\Gamma _{jk}^{\sigma }\Gamma _{\sigma k}^{k}\delta _{l}^{k}-\Gamma _{jk}^{\sigma }\Gamma _{ll}^{k}\delta _{\sigma }^{l}=-\Gamma _{jk}^{k}\Gamma _{lk}^{k}-\Gamma _{jl}^{\sigma }\Gamma _{\sigma l}^{l}-\Gamma _{jk}^{l}\Gamma _{ll}^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23777a6c2f2f2e83e7a134dd79f9e95fa87923b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:72.809ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle -\Gamma _{jk}^{\sigma }\Gamma _{l\sigma }^{k}=-\Gamma _{jk}^{\sigma }\Gamma _{lk}^{k}\delta _{\sigma }^{k}-\Gamma _{jk}^{\sigma }\Gamma _{\sigma k}^{k}\delta _{l}^{k}-\Gamma _{jk}^{\sigma }\Gamma _{ll}^{k}\delta _{\sigma }^{l}=-\Gamma _{jk}^{k}\Gamma _{lk}^{k}-\Gamma _{jl}^{\sigma }\Gamma _{\sigma l}^{l}-\Gamma _{jk}^{l}\Gamma _{ll}^{k}}">. Для двох останніх доданків доведеться повторити цю ж саму процедуру: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{jl}^{\sigma }=-\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{j\sigma }^{\sigma }\delta _{l}^{\sigma }--\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{l\sigma }^{\sigma }\delta _{j}^{\sigma }-\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{ll}^{\sigma }\delta _{j}^{l}=-\Gamma _{ll}^{l}\Gamma _{jl}^{l}-\Gamma _{jl}^{l}\Gamma _{lj}^{j}-\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{ll}^{\sigma }\delta _{j}^{l}=|(.8)|=-\Gamma _{jl}^{l}\Gamma _{lj}^{j}-\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{ll}^{\sigma }\delta _{j}^{l}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>.8</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{jl}^{\sigma }=-\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{j\sigma }^{\sigma }\delta _{l}^{\sigma }--\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{l\sigma }^{\sigma }\delta _{j}^{\sigma }-\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{ll}^{\sigma }\delta _{j}^{l}=-\Gamma _{ll}^{l}\Gamma _{jl}^{l}-\Gamma _{jl}^{l}\Gamma _{lj}^{j}-\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{ll}^{\sigma }\delta _{j}^{l}=|(.8)|=-\Gamma _{jl}^{l}\Gamma _{lj}^{j}-\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{ll}^{\sigma }\delta _{j}^{l}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfbfdebf630c45b1fa8381fde4523b454d256197" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:103.717ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle -\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{jl}^{\sigma }=-\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{j\sigma }^{\sigma }\delta _{l}^{\sigma }--\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{l\sigma }^{\sigma }\delta _{j}^{\sigma }-\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{ll}^{\sigma }\delta _{j}^{l}=-\Gamma _{ll}^{l}\Gamma _{jl}^{l}-\Gamma _{jl}^{l}\Gamma _{lj}^{j}-\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{ll}^{\sigma }\delta _{j}^{l}=|(.8)|=-\Gamma _{jl}^{l}\Gamma _{lj}^{j}-\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{ll}^{\sigma }\delta _{j}^{l}}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{jk}^{l}=-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{jl}^{l}\delta _{k}^{l}-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{kl}^{l}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{jj}^{l}\delta _{k}^{j}=-\Gamma _{ll}^{l}\Gamma _{jl}^{l}-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{kl}^{l}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{j}\Gamma _{jj}^{l}=|(.8)|=-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{kl}^{l}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{j}\Gamma _{jj}^{l}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>.8</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{jk}^{l}=-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{jl}^{l}\delta _{k}^{l}-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{kl}^{l}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{jj}^{l}\delta _{k}^{j}=-\Gamma _{ll}^{l}\Gamma _{jl}^{l}-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{kl}^{l}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{j}\Gamma _{jj}^{l}=|(.8)|=-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{kl}^{l}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{j}\Gamma _{jj}^{l}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f97d4454b68ea246c284fe56010f9402f849891" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:99.938ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle -\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{jk}^{l}=-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{jl}^{l}\delta _{k}^{l}-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{kl}^{l}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{jj}^{l}\delta _{k}^{j}=-\Gamma _{ll}^{l}\Gamma _{jl}^{l}-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{kl}^{l}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{j}\Gamma _{jj}^{l}=|(.8)|=-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{kl}^{l}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{j}\Gamma _{jj}^{l}}">. Отже, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{jk}^{\sigma }\Gamma _{l\sigma }^{k}=-\Gamma _{jk}^{k}\Gamma _{lk}^{k}-\Gamma _{jl}^{l}\Gamma _{lj}^{j}-\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{ll}^{\sigma }\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{kl}^{l}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{j}\Gamma _{jj}^{l}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>σ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> <mi>l</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{jk}^{\sigma }\Gamma _{l\sigma }^{k}=-\Gamma _{jk}^{k}\Gamma _{lk}^{k}-\Gamma _{jl}^{l}\Gamma _{lj}^{j}-\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{ll}^{\sigma }\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{kl}^{l}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{j}\Gamma _{jj}^{l}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa0f967b9170ece7f7c556bdfc827338f9c2808" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:55.627ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{jk}^{\sigma }\Gamma _{l\sigma }^{k}=-\Gamma _{jk}^{k}\Gamma _{lk}^{k}-\Gamma _{jl}^{l}\Gamma _{lj}^{j}-\Gamma _{\sigma l}^{l}\Gamma _{ll}^{\sigma }\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{k}\Gamma _{kl}^{l}\delta _{j}^{l}-\Gamma _{ll}^{j}\Gamma _{jj}^{l}}">. Додавши вирази для всіх доданків та замінивши німий індекс <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }"> на <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}">, можна отримати <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (9)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>9</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (9)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d733bac819851b97260ee06e41fb620147b630" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (9)}">. </div></div> Тепер можна застосувати спрощений вигляд для тензору Річчі до метрики сферичного простору. Треба обчислити компоненти <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{ij}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50382df1fd3bebf0baf22e2eab56a7a471d6621a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.241ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R_{ij}}">. Спочатку доведеться отримати, користуючись <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (4)-(7)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>7</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (4)-(7)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cf800102130d01cf2c88d6dce0163d236469f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.784ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (4)-(7)}">, явний вигляд для символів Кристоффеля: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{11}^{1}=\Gamma _{22}^{2}=\Gamma _{33}^{3}=\Gamma _{23}^{1}=\Gamma _{12}^{3}=\Gamma _{21}^{1}=\Gamma _{31}^{1}=\Gamma _{32}^{2}=\Gamma _{11}^{2}=\Gamma _{11}^{3}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>33</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>23</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>31</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>32</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{11}^{1}=\Gamma _{22}^{2}=\Gamma _{33}^{3}=\Gamma _{23}^{1}=\Gamma _{12}^{3}=\Gamma _{21}^{1}=\Gamma _{31}^{1}=\Gamma _{32}^{2}=\Gamma _{11}^{2}=\Gamma _{11}^{3}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6beb48cb04b2d391be1c820724a738dbeda0f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:65.437ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{11}^{1}=\Gamma _{22}^{2}=\Gamma _{33}^{3}=\Gamma _{23}^{1}=\Gamma _{12}^{3}=\Gamma _{21}^{1}=\Gamma _{31}^{1}=\Gamma _{32}^{2}=\Gamma _{11}^{2}=\Gamma _{11}^{3}=0}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{13}^{3}={\frac {1}{2}}g^{33}\partial _{1}(g_{33})={\frac {2sin(\psi )cos(\psi )}{2sin^{2}(\psi )}}=ctg(\psi ),\quad \Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>13</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>33</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>33</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>13</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{13}^{3}={\frac {1}{2}}g^{33}\partial _{1}(g_{33})={\frac {2sin(\psi )cos(\psi )}{2sin^{2}(\psi )}}=ctg(\psi ),\quad \Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ef62ecb9e06f484ad4d8d64e9751d8fef61e54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:59.255ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{13}^{3}={\frac {1}{2}}g^{33}\partial _{1}(g_{33})={\frac {2sin(\psi )cos(\psi )}{2sin^{2}(\psi )}}=ctg(\psi ),\quad \Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-{\frac {1}{2}}g^{11}\partial _{1}(g_{22})=-sin(\psi )cos(\psi )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-{\frac {1}{2}}g^{11}\partial _{1}(g_{22})=-sin(\psi )cos(\psi )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29084c8913119c887d0645c1b0dd66b939956235" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:38.376ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-{\frac {1}{2}}g^{11}\partial _{1}(g_{22})=-sin(\psi )cos(\psi )}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{23}^{3}={\frac {1}{2}}g^{33}\partial _{2}(g_{33})=ctg(\theta )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>23</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>33</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>33</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{23}^{3}={\frac {1}{2}}g^{33}\partial _{2}(g_{33})=ctg(\theta )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ada11cb8880fa0b08a9d7fcf1dbce1fb97c9ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:27.464ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{23}^{3}={\frac {1}{2}}g^{33}\partial _{2}(g_{33})=ctg(\theta )}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{33}^{1}=-{\frac {1}{2}}g^{11}\partial _{1}(g_{33})=-sin^{2}(\theta )sin(\psi )cos(\psi )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>33</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>33</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{33}^{1}=-{\frac {1}{2}}g^{11}\partial _{1}(g_{33})=-sin^{2}(\theta )sin(\psi )cos(\psi )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e028394d211fbf6355392714b73238e16a0baca1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:45.618ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{33}^{1}=-{\frac {1}{2}}g^{11}\partial _{1}(g_{33})=-sin^{2}(\theta )sin(\psi )cos(\psi )}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-{\frac {1}{2}}g^{22}\partial _{2}(g_{33})=-sin(\theta )cos(\theta )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>33</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>33</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-{\frac {1}{2}}g^{22}\partial _{2}(g_{33})=-sin(\theta )cos(\theta )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9816b7a07e1be0dbbce19278637336a2699e6abe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:37.531ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-{\frac {1}{2}}g^{22}\partial _{2}(g_{33})=-sin(\theta )cos(\theta )}">. Тоді, наприклад, компонента 11 тензора, із урахуванням цих виразів та <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (9)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>9</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (9)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d733bac819851b97260ee06e41fb620147b630" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (9)}">, має вираз <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{11}=-\partial _{1}\Gamma _{1k}^{k}-\Gamma _{1k}^{k}\Gamma _{1k}^{k}=-\partial _{1}(\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{13}^{3})-(\Gamma _{12}^{2})^{2}-(\Gamma _{13}^{3})^{2}=-2\partial _{1}ctg(\psi )-2ctg^{2}(\psi )={\frac {2}{sin^{2}(\psi )}}-2ctg^{2}(\psi )=-2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>13</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>13</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{11}=-\partial _{1}\Gamma _{1k}^{k}-\Gamma _{1k}^{k}\Gamma _{1k}^{k}=-\partial _{1}(\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{13}^{3})-(\Gamma _{12}^{2})^{2}-(\Gamma _{13}^{3})^{2}=-2\partial _{1}ctg(\psi )-2ctg^{2}(\psi )={\frac {2}{sin^{2}(\psi )}}-2ctg^{2}(\psi )=-2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d561e99c7b593ff025a75dacdf96b9fa34f75c71" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:115.334ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle R_{11}=-\partial _{1}\Gamma _{1k}^{k}-\Gamma _{1k}^{k}\Gamma _{1k}^{k}=-\partial _{1}(\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{13}^{3})-(\Gamma _{12}^{2})^{2}-(\Gamma _{13}^{3})^{2}=-2\partial _{1}ctg(\psi )-2ctg^{2}(\psi )={\frac {2}{sin^{2}(\psi )}}-2ctg^{2}(\psi )=-2}">. Аналогічні викладки (перевіряються повністю ідентично попередній) дають <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{ij}=2g_{ij},i=j,\quad R_{ij}=0,i\neq j}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>≠</mo> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{ij}=2g_{ij},i=j,\quad R_{ij}=0,i\neq j}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d2fa1997717bc42e1bc1dd16b61337028dc139" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:32.733ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R_{ij}=2g_{ij},i=j,\quad R_{ij}=0,i\neq j}">. Отже, для сфери <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{ij}={\frac {2}{R^{2}}}g_{ij}\qquad (10)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mspace width="2em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>10</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{ij}={\frac {2}{R^{2}}}g_{ij}\qquad (10)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18625d113fc0fbfc0b9883fd2833d4c9df16b024" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:21.36ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle R_{ij}={\frac {2}{R^{2}}}g_{ij}\qquad (10)}">. Згортаючи тензор Річчі із метричним тензором (відповідно до визначення скалярної кривини), можна отримати, що для сфери скалярна кривина рівна <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{1}={\frac {2}{R^{2}}}g_{ij}g^{ij}={\frac {6}{R^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>6</mn> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{1}={\frac {2}{R^{2}}}g_{ij}g^{ij}={\frac {6}{R^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff52f7d3965c57aa19dd735504ca6360754aadc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:21.505ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle R_{1}={\frac {2}{R^{2}}}g_{ij}g^{ij}={\frac {6}{R^{2}}}}">. Отже, сферичний простір — простір з постійною додатньою скалярною кривиною. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Формули">Формули</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&veaction=edit&section=7" title="Редагувати розділ: Формули" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit&section=7" title="Редагувати вихідний код розділу: Формули">ред. код</a>]</div> <table> <tbody><tr> <th align="left">Площа поверхні </th> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{O}\,=\,4\pi r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>O</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>=</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>4</mn> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{O}\,=\,4\pi r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d3dd4d91282ffbf0e8294ff5d9d75ce528eb5d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.381ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle S_{O}\,=\,4\pi r^{2}}"> </td></tr> <tr> <th align="left">Замкнений об'єм </th> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\,=\,{\frac {4}{3}}\pi r^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>=</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mi>π</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\,=\,{\frac {4}{3}}\pi r^{3}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f224b3a49aea520090acb577504eea0f3e963bde" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.093ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle V\,=\,{\frac {4}{3}}\pi r^{3}}"> </td></tr> <tr> <th align="left">Об'єм сегмента </th> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{\mathrm {KS} }\,=\,{\frac {h^{2}\pi }{3}}(3r-h)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">K</mi> <mi mathvariant="normal">S</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>=</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>π</mi> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>3</mn> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{\mathrm {KS} }\,=\,{\frac {h^{2}\pi }{3}}(3r-h)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0681f477f6c7c5f96afc6e06ee331a462c3bec9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:20.414ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle V_{\mathrm {KS} }\,=\,{\frac {h^{2}\pi }{3}}(3r-h)}"> </td></tr> <tr> <th align="left"><a href="/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D1%96%D0%BD%D0%B5%D1%80%D1%86%D1%96%D1%97" title="Момент інерції">Момент інерції</a> </th> <td><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J\,=\,{\frac {2}{5}}mr^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>J</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>=</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <mi>m</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J\,=\,{\frac {2}{5}}mr^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544002181696806dc79de7fdd935ed30bb344430" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.486ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle J\,=\,{\frac {2}{5}}mr^{2}}"> </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="N-вимірна_сфера">N-вимірна сфера</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&veaction=edit&section=8" title="Редагувати розділ: N-вимірна сфера" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit&section=8" title="Редагувати вихідний код розділу: N-вимірна сфера">ред. код</a>]</div> Сферу в <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}">-вимірному просторі називають <a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Гіперсфера">гіперсферою</a>. В загальному випадку рівняння гіперсфери в <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}">-вимірному просторі матиме вигляд: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-x_{0i})^{2}=r^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-x_{0i})^{2}=r^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d01b0b1c16c2db1e10fc534062e07a8f81eef4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:19.341ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-x_{0i})^{2}=r^{2}}">, де <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{01};...;x_{0N})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>01</mn> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{01};...;x_{0N})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5cbd4b1886b9b12dbcf2595f4dbf1d849ac3f6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.028ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{01};...;x_{0N})}"> — центр гіперсфери, а <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> — її радіус.</dd></dl> Перетином двох <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}">-вимірних сфер є <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (N-1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>N</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (N-1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb0cf1c006bf96c188ea21e52c3a286661dba198" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.876ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (N-1)}">-вимірна сфера, яка лежить на <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D1%81%D1%8C_%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D1%85_%D0%BA%D1%96%D0%BB" title="Радикальна вісь двох кіл">радикальній гіперплощині</a> цих сфер. В <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}">-вимірному просторі може попарно дотикатись одна до одної не більше ніж <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N+1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdf2b9cbfe9051fd4e7b50c8028866d497eac35b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.066ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle N+1}"> сфера. Об'єм <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}">-вимірної кулі (об'єм, що обмежує <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}">-вимірна сфера) можливо розрахувати за формулою: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{N}={\frac {\pi ^{N/2}}{\Gamma ({\frac {N}{2}}+1)}}r^{N}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{N}={\frac {\pi ^{N/2}}{\Gamma ({\frac {N}{2}}+1)}}r^{N}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a898a7ad19f3f594c1f41d9b0926fac84cbd2854" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:19.282ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle V_{N}={\frac {\pi ^{N/2}}{\Gamma ({\frac {N}{2}}+1)}}r^{N}}">, де <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma (x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma (x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec077ba0bdbf87c0d66173bc4d98598fe582ac37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.592ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma (x)}"> — <a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Гамма-функція">гамма-функція</a>.</dd></dl> Площу поверхні <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}">-вимірної сфера можливо розрахувати за формулою: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{N}={\frac {N\pi ^{N/2}}{\Gamma ({\frac {N}{2}}+1)}}r^{N-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>N</mi> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>N</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{N}={\frac {N\pi ^{N/2}}{\Gamma ({\frac {N}{2}}+1)}}r^{N-1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e13a9b91736afb92d979619a250a130cfff47a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:21.452ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle S_{N}={\frac {N\pi ^{N/2}}{\Gamma ({\frac {N}{2}}+1)}}r^{N-1}}">.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Див._також">Див. також</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&veaction=edit&section=9" title="Редагувати розділ: Див. також" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit&section=9" title="Редагувати вихідний код розділу: Див. також">ред. код</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Сферична геометрія">Сферична геометрія</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Сферична тригонометрія">Сферична тригонометрія</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82" title="Сферична система координат">Сферична система координат</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%81%D0%B5%D0%B3%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82" title="Сферичний сегмент">Сферичний сегмент</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80" title="Сферометр">Сферометр</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Примітки">Примітки</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&veaction=edit&section=10" title="Редагувати розділ: Примітки" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit&section=10" title="Редагувати вихідний код розділу: Примітки">ред. код</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43816068">.mw-parser-output .reflist{margin-bottom:0.5em;list-style-type:decimal}@media screen{.mw-parser-output .reflist{font-size:90%}}.mw-parser-output .reflist .references{font-size:100%;margin-bottom:0;list-style-type:inherit}.mw-parser-output .reflist-columns-2{column-width:30em}.mw-parser-output .reflist-columns-3{column-width:25em}.mw-parser-output .reflist-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .reflist-columns ol{margin-top:0}.mw-parser-output .reflist-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}.mw-parser-output .reflist-upper-alpha{list-style-type:upper-alpha}.mw-parser-output .reflist-upper-roman{list-style-type:upper-roman}.mw-parser-output .reflist-lower-alpha{list-style-type:lower-alpha}.mw-parser-output .reflist-lower-greek{list-style-type:lower-greek}.mw-parser-output .reflist-lower-roman{list-style-type:lower-roman}</style><div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="#CITEREFSteinhaus1969">Steinhaus, 1969</a>, p. 223 </li> <li id="cite_note-delta-2">↑ <a href="#cite_ref-delta_2-0">а</a> <a href="#cite_ref-delta_2-1">б</a> Pages 141, 149. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43245077">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free.id-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited.id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration.id-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription.id-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ref-lang{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}.mw-parser-output .cs1-ref-lg{font-style:normal;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#252525;text-decoration:inherit;text-decoration-color:#252525}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-free a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-limited a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-registration a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-subscription a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background-size:contain;padding:0 1em 0 0}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#085;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}@media screen{.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#dadad6;text-decoration-color:#dadad6}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#dadad6;text-decoration-color:#dadad6}}</style><cite class="citation book cs1">E. J. Borowski; J. M. Borwein (1989). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/dictionaryofmath0000boro">Collins Dictionary of Mathematics</a>. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/0-00-434347-6" title="Спеціальна:Джерела книг/0-00-434347-6"><bdi>0-00-434347-6</bdi></a>.</cite> </li> <li id="cite_note-MathWorld_Sphere-3"><a href="#cite_ref-MathWorld_Sphere_3-0">↑</a> Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/{{{urlname}}}.html">Sphere</a><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43693355">.mw-parser-output .ref-info{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}</style>(англ.) на сайті Wolfram <a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>. </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <a href="#CITEREFSteinhaus1969">Steinhaus, 1969</a>, p. 221 </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> r розглядається як змінна для цього обчислення </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20150426212426/http://www.newscientist.com/article/dn14229-roundest-objects-in-the-world-created.html">New Scientist | Technology | Roundest objects in the world created</a>. Архів <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.newscientist.com/article/dn14229-roundest-objects-in-the-world-created.html">оригіналу</a> за 26 квітня 2015. Процитовано 6 січня 2018.</cite> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Джерела">Джерела</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&veaction=edit&section=11" title="Редагувати розділ: Джерела" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit&section=11" title="Редагувати вихідний код розділу: Джерела">ред. код</a>]</div> <ul><li>Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — 4-е. — М.: Наука, 1978. — 277 с.</li> <li>Геометрія. 10-11 класи [Текст] : пробний підручник / Афанасьєва О. М. [та ін.]. — Тернопіль: Навчальна книга-Богдан, 2003. — 264 с. — <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/9666921618" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 966-692-161-8</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Посилання">Посилання</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&veaction=edit&section=12" title="Редагувати розділ: Посилання" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit&section=12" title="Редагувати вихідний код розділу: Посилання">ред. код</a>]</div> <ul><li>Сфера та її рівняння // <a rel="nofollow" class="external text" href="http://chtyvo.org.ua/authors/Klepko_Viktor/Vyscha_matematyka_v_prykladakh_i_zadachakh.pdf">Вища математика в прикладах і задачах</a> / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 155. — 594 с.</li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43693357">.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-protection{border-left:10px solid #a2a9b1}.mw-parser-output .ambox .mbox-text{border:none;padding:0.25em 0.5em;width:100%}.mw-parser-output .ambox .mbox-image{border:none;padding:2px 0 2px 0.5em;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-imageright{border:none;padding:2px 0.5em 2px 0;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-empty-cell{border:none;padding:0;width:1px}.mw-parser-output .ambox .mbox-image-div{width:52px}html.client-js body.skin-minerva .mw-parser-output .mbox-text-span{margin-left:23px!important}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .ambox{margin:0 10%}}</style><table class="box-Перекласти plainlinks metadata ambox ambox-content" role="presentation"><tbody><tr><td class="mbox-image"><div class="mbox-image-div"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Translation_to_ukrainian_arrow.svg/50px-Translation_to_ukrainian_arrow.svg.png" decoding="async" width="50" height="12" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Translation_to_ukrainian_arrow.svg/75px-Translation_to_ukrainian_arrow.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Translation_to_ukrainian_arrow.svg/100px-Translation_to_ukrainian_arrow.svg.png 2x" data-file-width="51" data-file-height="12" /></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r42405792">.mw-parser-output .hidden-begin{box-sizing:border-box;width:100%;padding:5px;border:none;font-size:95%}.mw-parser-output .hidden-title{font-weight:bold;line-height:1.6;text-align:left}.mw-parser-output .hidden-content{text-align:left}</style><div class="hidden-begin mw-collapsible mw-collapsed" style="border:none;"><div class="hidden-title" style="text-align:center; padding-right: 3em; font-weight: normal; text-align: left">В іншому мовному розділі є повніша стаття <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere" class="extiw" title="en:Sphere">Sphere</a><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43693355">(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4" title="Вікіпедія:Переклад">перекладу</a> з англійської. (травень 2024)</div><div class="hidden-content mw-collapsible-content" style="text-align:left;"> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://translate.google.com/translate?&u=https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FSphere&sl=en&tl=uk&prev=_t&hl=en">Дивитись автоперекладену версію статті</a> з мови «англійська».</li> <li>Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!</li> <li>Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.</li> <li>Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.</li> <li>Докладні рекомендації: див. <a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4" title="Вікіпедія:Переклад">Вікіпедія:Переклад</a>.</li></ul></div></div></div></td></tr></tbody></table></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Отримано з <a dir="ltr" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Сфера&oldid=43998357">https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Сфера&oldid=43998357</a></div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%97" title="Спеціальна:Категорії">Категорії</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%96,_%D1%8F%D0%BA%D1%96_%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%BE_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%B7_%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BB%D1%96%D0%B9%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%BE%D1%97" title="Категорія:Статті, які варто перекласти з англійської">Статті, які варто перекласти з англійської</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Категорія:Диференціальна геометрія">Диференціальна геометрія</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D1%8F" title="Категорія:Диференціальна топологія">Диференціальна топологія</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F" title="Категорія:Елементарна геометрія">Елементарна геометрія</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%96" title="Категорія:Поверхні">Поверхні</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B8" title="Категорія:Сфери">Сфери</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9E%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8" title="Категорія:Однорідні простори">Однорідні простори</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Приховані категорії: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8_%D0%B7_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_JsonConfig" title="Категорія:Сторінки з використанням розширення JsonConfig">Сторінки з використанням розширення JsonConfig</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:P373:%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%83%D1%94%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F" title="Категорія:Вікіпедія:P373:використовується">Вікіпедія:P373:використовується</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8,_%D1%89%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%83%D1%8E%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D1%96%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_ISBN" title="Категорія:Сторінки, що використовують магічні посилання ISBN">Сторінки, що використовують магічні посилання ISBN</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8,_%D1%89%D0%BE_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%83%D1%8E%D1%82%D1%8C_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%96%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%82_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%96%D0%B2" title="Категорія:Сторінки, що використовують застарілий формат математичних тегів">Сторінки, що використовують застарілий формат математичних тегів</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Навігаційне меню</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Особисті інструменти </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Ви не увійшли до системи</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D0%BE%D1%94_%D0%BE%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Обговорення редагувань з цієї IP-адреси [n]" accesskey="n">Обговорення</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%BA" title="Список редагувань, зроблених з цієї IP-адреси [y]" accesskey="y">Внесок</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81&returnto=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Пропонуємо створити обліковий запис і увійти в систему; однак, це не обов'язково">Створити обліковий запис</a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D1%85%D1%96%D0%B4&returnto=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Заохочуємо Вас увійти в систему, але це необов'язково. [o]" accesskey="o">Увійти</a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > Простори назв </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Вміст статті [c]" accesskey="c">Стаття</a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F:%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" rel="discussion" title="Обговорення сторінки [t]" accesskey="t">Обговорення</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-variants-label" > <label id="p-variants-label" class="vector-menu-heading " > українська </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation"> <nav id="p-views" class="mw-portlet mw-portlet-views vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-views-label" > <h3 id="p-views-label" class="vector-menu-heading " > Перегляди </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0">Читати</a></li><li id="ca-ve-edit" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&veaction=edit" title="Редагувати цю сторінку [v]" accesskey="v">Редагувати</a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit" title="Редагувати вихідний код сторінки [e]" accesskey="e">Редагувати код</a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=history" title="Журнал змін сторінки [h]" accesskey="h">Переглянути історію</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Більше опцій" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > Більше </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Пошук</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Пошук у Вікіпедії" aria-label="Пошук у Вікіпедії" autocapitalize="sentences" title="Шукати у Вікіпедії [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Спеціальна:Пошук"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Знайти сторінки, що містять зазначений текст" value="Знайти"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Перейти до сторінки, що має точно таку назву (якщо вона існує)" value="Перейти"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку"></a> </div> <nav id="p-navigation" class="mw-portlet mw-portlet-navigation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-navigation-label" > <h3 id="p-navigation-label" class="vector-menu-heading " > Навігація </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку [z]" accesskey="z">Головна сторінка</a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%96%D1%97" title="Список поточних подій">Поточні події</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Список останніх змін у цій вікі [r]" accesskey="r">Нові редагування</a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8">Нові сторінки</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D0%B8%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Переглянути випадкову сторінку [x]" accesskey="x">Випадкова стаття</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-Участь" class="mw-portlet mw-portlet-Участь vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-Участь-label" > <h3 id="p-Участь-label" class="vector-menu-heading " > Участь </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB_%D1%81%D0%BF%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B8" title="Про проєкт, про те, що Ви можете зробити, і що де шукати">Портал спільноти</a></li><li id="n-tavern" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9A%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D0%BF%D0%B0" title="Місце для обговорення більшості питань">Кнайпа</a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0" title="Довідка з проєкту">Довідка</a></li><li id="n-sitesupport" class="mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_uk.wikipedia.org&uselang=uk" title="Підтримайте проєкт">Пожертвувати</a></li><li id="n-Сторінка-для-медіа" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D1%96%D0%B0">Сторінка для медіа</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-tb" class="mw-portlet mw-portlet-tb vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-tb-label" > <h3 id="p-tb-label" class="vector-menu-heading " > Інструменти </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%81%D1%8E%D0%B4%D0%B8/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Перелік усіх сторінок, які посилаються на цю сторінку [j]" accesskey="j">Посилання сюди</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" rel="nofollow" title="Останні зміни на сторінках, на які посилається ця сторінка [k]" accesskey="k">Пов'язані редагування</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8" title="Перелік спеціальних сторінок [q]" accesskey="q">Спеціальні сторінки</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&oldid=43998357" title="Постійне посилання на цю версію цієї сторінки">Постійне посилання</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=info" title="Додаткові відомості про цю сторінку">Інформація про сторінку</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A6%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B0&page=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&id=43998357&wpFormIdentifier=titleform" title="Інформація про те, як цитувати цю сторінку">Цитувати сторінку</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%25A1%25D1%2584%25D0%25B5%25D1%2580%25D0%25B0">Отримати вкорочену URL-адресу</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:QrCode&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%25A1%25D1%2584%25D0%25B5%25D1%2580%25D0%25B0">Завантажити QR-код</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-coll-print_export" class="mw-portlet mw-portlet-coll-print_export vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-coll-print_export-label" > <h3 id="p-coll-print_export-label" class="vector-menu-heading " > Друк/експорт </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0&bookcmd=book_creator&referer=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0">Створити книгу</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:DownloadAsPdf&page=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=show-download-screen">Завантажити як PDF</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&printable=yes" title="Версія цієї сторінки для друку [p]" accesskey="p">Версія до друку</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-wikibase-otherprojects" class="mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-wikibase-otherprojects-label" > <h3 id="p-wikibase-otherprojects-label" class="vector-menu-heading " > В інших проєктах </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Sphere" hreflang="en">Вікісховище</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q12507" title="Посилання на пов’язаний елемент сховища даних [g]" accesskey="g">Елемент Вікіданих</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > Іншими мовами </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Sfeer" title="Sfeer — африкаанс" lang="af" hreflang="af" data-title="Sfeer" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="африкаанс" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%88%89%E1%88%8D" title="ሉል — амхарська" lang="am" hreflang="am" data-title="ሉል" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="амхарська" class="interlanguage-link-target">አማርኛ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%83%D8%B1%D8%A9" title="كرة — арабська" lang="ar" hreflang="ar" data-title="كرة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="арабська" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ary mw-list-item"><a href="https://ary.wikipedia.org/wiki/%D9%83%D9%88%D8%B1%D8%A9" title="كورة — Moroccan Arabic" lang="ary" hreflang="ary" data-title="كورة" data-language-autonym="الدارجة" data-language-local-name="Moroccan Arabic" class="interlanguage-link-target">الدارجة</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Esfera" title="Esfera — астурійська" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Esfera" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="астурійська" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Sfera" title="Sfera — азербайджанська" lang="az" hreflang="az" data-title="Sfera" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="азербайджанська" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D9%88%D8%B1%D9%87_(%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87)" title="کوره (هندسه) — South Azerbaijani" lang="azb" hreflang="azb" data-title="کوره (هندسه)" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target">تۆرکجه</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Сфера — башкирська" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Сфера" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="башкирська" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Сфера — білоруська" lang="be" hreflang="be" data-title="Сфера" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="білоруська" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Сфера — болгарська" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Сфера" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="болгарська" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%97%E0%A5%8B%E0%A4%B2%E0%A4%BE" title="गोला — Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="गोला" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target">भोजपुरी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%97%E0%A7%8B%E0%A6%B2%E0%A6%95" title="গোলক — бенгальська" lang="bn" hreflang="bn" data-title="গোলক" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="бенгальська" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Sfera" title="Sfera — боснійська" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Sfera" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="боснійська" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Esfera" title="Esfera — каталонська" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Esfera" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="каталонська" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-chr mw-list-item"><a href="https://chr.wikipedia.org/wiki/%E1%8E%A6%E1%8F%90%E1%8F%86%E1%8E%B8" title="ᎦᏐᏆᎸ — черокі" lang="chr" hreflang="chr" data-title="ᎦᏐᏆᎸ" data-language-autonym="ᏣᎳᎩ" data-language-local-name="черокі" class="interlanguage-link-target">ᏣᎳᎩ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%DB%86" title="گۆ — центральнокурдська" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="گۆ" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="центральнокурдська" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Sf%C3%A9ra_(matematika)" title="Sféra (matematika) — чеська" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Sféra (matematika)" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="чеська" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Сфера — чуваська" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Сфера" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="чуваська" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Sff%C3%AAr" title="Sffêr — валлійська" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Sffêr" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="валлійська" class="interlanguage-link-target">Cymraeg</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Kugle" title="Kugle — данська" lang="da" hreflang="da" data-title="Kugle" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="данська" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kugel" title="Kugel — німецька" lang="de" hreflang="de" data-title="Kugel" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="німецька" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A3%CF%86%CE%B1%CE%AF%CF%81%CE%B1" title="Σφαίρα — грецька" lang="el" hreflang="el" data-title="Σφαίρα" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="грецька" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere" title="Sphere — англійська" lang="en" hreflang="en" data-title="Sphere" data-language-autonym="English" data-language-local-name="англійська" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Sfero" title="Sfero — есперанто" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Sfero" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="есперанто" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Esfera" title="Esfera — іспанська" lang="es" hreflang="es" data-title="Esfera" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="іспанська" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Sf%C3%A4%C3%A4r" title="Sfäär — естонська" lang="et" hreflang="et" data-title="Sfäär" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="естонська" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Esfera" title="Esfera — баскська" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Esfera" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="баскська" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D8%B1%D9%87_(%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87)" title="کره (هندسه) — перська" lang="fa" hreflang="fa" data-title="کره (هندسه)" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="перська" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Pallo_(geometria)" title="Pallo (geometria) — фінська" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Pallo (geometria)" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="фінська" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fj mw-list-item"><a href="https://fj.wikipedia.org/wiki/Vuravura_(Geometry)" title="Vuravura (Geometry) — фіджі" lang="fj" hreflang="fj" data-title="Vuravura (Geometry)" data-language-autonym="Na Vosa Vakaviti" data-language-local-name="фіджі" class="interlanguage-link-target">Na Vosa Vakaviti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Sph%C3%A8re" title="Sphère — французька" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Sphère" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="французька" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Kuugel" title="Kuugel — фризька північна" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Kuugel" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="фризька північна" class="interlanguage-link-target">Nordfriisk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Sf%C3%A9ar" title="Sféar — ірландська" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Sféar" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="ірландська" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2" title="球面 — ґань" lang="gan" hreflang="gan" data-title="球面" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="ґань" class="interlanguage-link-target">贛語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Sf%C3%A8r" title="Sfèr — Guianan Creole" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Sfèr" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="Guianan Creole" class="interlanguage-link-target">Kriyòl gwiyannen</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/Cruinne" title="Cruinne — шотландська гельська" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Cruinne" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="шотландська гельська" class="interlanguage-link-target">Gàidhlig</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Esfera" title="Esfera — галісійська" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Esfera" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="галісійська" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gu mw-list-item"><a href="https://gu.wikipedia.org/wiki/%E0%AA%97%E0%AB%8B%E0%AA%B3%E0%AB%8B" title="ગોળો — гуджараті" lang="gu" hreflang="gu" data-title="ગોળો" data-language-autonym="ગુજરાતી" data-language-local-name="гуджараті" class="interlanguage-link-target">ગુજરાતી</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A1%D7%A4%D7%99%D7%A8%D7%94_(%D7%92%D7%90%D7%95%D7%9E%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%94)" title="ספירה (גאומטריה) — іврит" lang="he" hreflang="he" data-title="ספירה (גאומטריה)" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="іврит" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%97%E0%A5%8B%E0%A4%B2%E0%A4%BE" title="गोला — гінді" lang="hi" hreflang="hi" data-title="गोला" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="гінді" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Sfera" title="Sfera — хорватська" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Sfera" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="хорватська" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ht mw-list-item"><a href="https://ht.wikipedia.org/wiki/Esf%C3%A8" title="Esfè — гаїтянська креольська" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Esfè" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="гаїтянська креольська" class="interlanguage-link-target">Kreyòl ayisyen</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6mb" title="Gömb — угорська" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Gömb" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="угорська" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Sphera" title="Sphera — інтерлінгва" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Sphera" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="інтерлінгва" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Bola_(geometri)" title="Bola (geometri) — індонезійська" lang="id" hreflang="id" data-title="Bola (geometri)" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="індонезійська" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Sfero" title="Sfero — ідо" lang="io" hreflang="io" data-title="Sfero" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ідо" class="interlanguage-link-target">Ido</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/K%C3%BAla" title="Kúla — ісландська" lang="is" hreflang="is" data-title="Kúla" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="ісландська" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Sfera" title="Sfera — італійська" lang="it" hreflang="it" data-title="Sfera" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="італійська" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2" title="球面 — японська" lang="ja" hreflang="ja" data-title="球面" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="японська" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Sfier" title="Sfier — Jamaican Creole English" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Sfier" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="Jamaican Creole English" class="interlanguage-link-target">Patois</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%A1%E1%83%A4%E1%83%94%E1%83%A0%E1%83%9D" title="სფერო — грузинська" lang="ka" hreflang="ka" data-title="სფერო" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="грузинська" class="interlanguage-link-target">ქართული</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kab mw-list-item"><a href="https://kab.wikipedia.org/wiki/Tasegla" title="Tasegla — кабільська" lang="kab" hreflang="kab" data-title="Tasegla" data-language-autonym="Taqbaylit" data-language-local-name="кабільська" class="interlanguage-link-target">Taqbaylit</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Сфера — казахська" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Сфера" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="казахська" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%97%E0%B3%8B%E0%B2%B3" title="ಗೋಳ — каннада" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಗೋಳ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="каннада" class="interlanguage-link-target">ಕನ್ನಡ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%AC_(%EA%B8%B0%ED%95%98%ED%95%99)" title="구 (기하학) — корейська" lang="ko" hreflang="ko" data-title="구 (기하학)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="корейська" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Sphaera" title="Sphaera — латинська" lang="la" hreflang="la" data-title="Sphaera" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="латинська" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Sfera" title="Sfera — литовська" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Sfera" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="литовська" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Sf%C4%93ra" title="Sfēra — латиська" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Sfēra" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="латиська" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mdf mw-list-item"><a href="https://mdf.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%8C" title="Сферась — мокша" lang="mdf" hreflang="mdf" data-title="Сферась" data-language-autonym="Мокшень" data-language-local-name="мокша" class="interlanguage-link-target">Мокшень</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mg mw-list-item"><a href="https://mg.wikipedia.org/wiki/Bola_(je%C3%B4metria)" title="Bola (jeômetria) — малагасійська" lang="mg" hreflang="mg" data-title="Bola (jeômetria)" data-language-autonym="Malagasy" data-language-local-name="малагасійська" class="interlanguage-link-target">Malagasy</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Сфера — македонська" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Сфера" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="македонська" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%97%E0%B5%8B%E0%B4%B3%E0%B4%82" title="ഗോളം — малаялам" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ഗോളം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="малаялам" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D3%A9%D0%BC%D0%B1%D3%A9%D0%BB%D3%A9%D0%B3" title="Бөмбөлөг — монгольська" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Бөмбөлөг" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="монгольська" class="interlanguage-link-target">Монгол</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Sfera" title="Sfera — малайська" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Sfera" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="малайська" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%85%E1%80%80%E1%80%BA%E1%80%9C%E1%80%AF%E1%80%B6%E1%80%B8" title="စက်လုံး — бірманська" lang="my" hreflang="my" data-title="စက်လုံး" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="бірманська" class="interlanguage-link-target">မြန်မာဘာသာ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Sfeer_(wiskunde)" title="Sfeer (wiskunde) — нідерландська" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Sfeer (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="нідерландська" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Kule" title="Kule — норвезька (нюношк)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Kule" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="норвезька (нюношк)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Kule" title="Kule — норвезька (букмол)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Kule" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="норвезька (букмол)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Esf%C3%A8ra" title="Esfèra — окситанська" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Esfèra" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="окситанська" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Duqunqula" title="Duqunqula — оромо" lang="om" hreflang="om" data-title="Duqunqula" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="оромо" class="interlanguage-link-target">Oromoo</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%97%E0%A9%8B%E0%A8%B2%E0%A8%BC%E0%A8%BE" title="ਗੋਲ਼ਾ — панджабі" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਗੋਲ਼ਾ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="панджабі" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Sfera" title="Sfera — польська" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Sfera" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="польська" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Sfera" title="Sfera — Piedmontese" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Sfera" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piedmontese" class="interlanguage-link-target">Piemontèis</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera" title="Esfera — португальська" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Esfera" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="португальська" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-qu mw-list-item"><a href="https://qu.wikipedia.org/wiki/Lunq%27u" title="Lunq'u — кечуа" lang="qu" hreflang="qu" data-title="Lunq'u" data-language-autonym="Runa Simi" data-language-local-name="кечуа" class="interlanguage-link-target">Runa Simi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Sfer%C4%83" title="Sferă — румунська" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Sferă" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="румунська" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-rsk mw-list-item"><a href="https://rsk.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B1%D0%B4%D0%B0_(%D2%91%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)" title="Лабда (ґеометрия) — Pannonian Rusyn" lang="rsk" hreflang="rsk" data-title="Лабда (ґеометрия)" data-language-autonym="Руски" data-language-local-name="Pannonian Rusyn" class="interlanguage-link-target">Руски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Сфера — російська" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Сфера" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="російська" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Сфера — саха" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Сфера" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="саха" class="interlanguage-link-target">Саха тыла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Sfera" title="Sfera — сицилійська" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Sfera" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="сицилійська" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Sfera" title="Sfera — сербсько-хорватська" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Sfera" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="сербсько-хорватська" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%9C%E0%B7%9D%E0%B6%BD%E0%B6%BA" title="ගෝලය — сингальська" lang="si" hreflang="si" data-title="ගෝලය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="сингальська" class="interlanguage-link-target">සිංහල</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Sphere" title="Sphere — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Sphere" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Gu%C4%BEa_(matematika)" title="Guľa (matematika) — словацька" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Guľa (matematika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="словацька" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Sfera" title="Sfera — словенська" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Sfera" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="словенська" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Mburungwa" title="Mburungwa — шона" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Mburungwa" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="шона" class="interlanguage-link-target">ChiShona</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-so mw-list-item"><a href="https://so.wikipedia.org/wiki/Kubad" title="Kubad — сомалі" lang="so" hreflang="so" data-title="Kubad" data-language-autonym="Soomaaliga" data-language-local-name="сомалі" class="interlanguage-link-target">Soomaaliga</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Sfera" title="Sfera — албанська" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Sfera" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="албанська" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Сфера — сербська" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Сфера" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="сербська" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Buleudan" title="Buleudan — сунданська" lang="su" hreflang="su" data-title="Buleudan" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="сунданська" class="interlanguage-link-target">Sunda</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Sf%C3%A4r" title="Sfär — шведська" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Sfär" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="шведська" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Tufe" title="Tufe — суахілі" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Tufe" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="суахілі" class="interlanguage-link-target">Kiswahili</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%95%E0%AF%8B%E0%AE%B3%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="கோளம் — тамільська" lang="ta" hreflang="ta" data-title="கோளம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="тамільська" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%97%E0%B1%8B%E0%B0%B3%E0%B0%82" title="గోళం — телугу" lang="te" hreflang="te" data-title="గోళం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="телугу" class="interlanguage-link-target">తెలుగు</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A3%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%A1" title="ทรงกลม — тайська" lang="th" hreflang="th" data-title="ทรงกลม" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="тайська" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Espera" title="Espera — тагальська" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Espera" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="тагальська" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/K%C3%BCre" title="Küre — турецька" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Küre" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="турецька" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Сфера — татарська" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Сфера" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="татарська" class="interlanguage-link-target">Татарча / tatarça</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Sfera" title="Sfera — узбецька" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Sfera" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="узбецька" class="interlanguage-link-target">Oʻzbekcha / ўзбекча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/M%E1%BA%B7t_c%E1%BA%A7u" title="Mặt cầu — вʼєтнамська" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Mặt cầu" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="вʼєтнамська" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Espira" title="Espira — варай" lang="war" hreflang="war" data-title="Espira" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="варай" class="interlanguage-link-target">Winaray</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2" title="球面 — китайська уська" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="球面" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="китайська уська" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2" title="球面 — китайська" lang="zh" hreflang="zh" data-title="球面" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="китайська" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83" title="球 — Literary Chinese" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="球" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target">文言</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Ki%C3%BB-b%C4%ABn" title="Kiû-bīn — південноміньська" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Kiû-bīn" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="південноміньська" class="interlanguage-link-target">閩南語 / Bân-lâm-gú</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%AB%94" title="球體 — кантонська" lang="yue" hreflang="yue" data-title="球體" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="кантонська" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q12507#sitelinks-wikipedia" title="Редагувати міжмовні посилання" class="wbc-editpage">Редагувати посилання</a></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Цю сторінку востаннє відредаговано о 02:46, 26 листопада 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">Текст доступний на умовах ліцензії <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk">Creative Commons Attribution-ShareAlike</a>; також можуть діяти додаткові умови. Детальніше див. <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/uk">Умови використання</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Політика конфіденційності</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D1%80%D0%BE">Про Вікіпедію</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%B4_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96">Відмова від відповідальності</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//uk.wikipedia.org/wiki/Вікіпедія:Зворотний_зв%27язок">Зворотний зв'язок</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Кодекс поведінки</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Розробники</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/uk.wikipedia.org">Статистика</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Куки</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//uk.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Мобільний вигляд</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.log.warn("This page is using the deprecated ResourceLoader module \"codex-search-styles\".\n[1.43] Use a CodexModule with codexComponents to set your specific components used: https://www.mediawiki.org/wiki/Codex#Using_a_limited_subset_of_components");mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-57488d5c7d-bh2px","wgBackendResponseTime":187,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.543","walltime":"1.056","ppvisitednodes":{"value":2775,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":35946,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":5780,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":14,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":13,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":17577,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":13,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 805.414 1 -total"," 54.72% 440.698 1 Шаблон:Unibox"," 15.81% 127.303 1 Шаблон:Reflist"," 14.15% 113.968 1 Шаблон:Lang-el"," 9.58% 77.139 1 Шаблон:Cite_book"," 6.69% 53.857 1 Шаблон:Перекласти"," 6.22% 50.107 1 Шаблон:Ambox"," 5.07% 40.818 1 Шаблон:Клепко_ВМ"," 4.23% 34.098 1 Шаблон:Публікація"," 2.77% 22.347 1 Шаблон:Hidden"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.305","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":21564986,"limit":52428800},"limitreport-logs":"Loaded datatype wikibase-item of P155 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\nLoaded datatype wikibase-item of P156 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\nLoaded datatype math of P2534 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\nLoaded datatype commonsMedia of P4896 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\nLoaded datatype wikibase-item of P4330 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\nLoaded datatype wikibase-item of P6104 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\nLoaded datatype quantity of P6438 from wikidata, consider passing datatype argument to formatProperty call or to Wikidata/config\n"},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-68db4b6789-r4bxn","timestamp":"20241126090122","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u0421\u0444\u0435\u0440\u0430","url":"https:\/\/uk.wikipedia.org\/wiki\/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q12507","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q12507","author":{"@type":"Organization","name":"\u0423\u0447\u0430\u0441\u043d\u0438\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0456\u0432 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"\u0424\u043e\u043d\u0434 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2006-12-05T09:32:32Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/7\/7e\/Sphere_wireframe_10deg_6r.svg","headline":"\u0437\u0430\u043c\u043a\u043d\u0443\u0442\u0430 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u044f, \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0435 \u043c\u0456\u0441\u0446\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043e\u043a \u0440\u0456\u0432\u043d\u043e\u0432\u0456\u0434\u0434\u0430\u043b\u0435\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0456\u0434 \u0434\u0430\u043d\u043e\u0457 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438, \u0449\u043e \u0454 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u043e\u043c \u0441\u0444\u0435\u0440\u0438"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

Сфера — Вікіпедія