Cinemática – Wikipédia, a enciclopédia livre

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</a> <ul id="toc-Movimento_e_graus_de_liberdade-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Movimento_dos_corpos_rígidos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Movimento_dos_corpos_rígidos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Movimento dos corpos rígidos</span> </div> </a> <ul id="toc-Movimento_dos_corpos_rígidos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Movimento_em_uma,_duas_ou_três_dimensões" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Movimento_em_uma,_duas_ou_três_dimensões"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3</span> <span>Movimento em uma, duas ou três dimensões</span> </div> </a> <ul id="toc-Movimento_em_uma,_duas_ou_três_dimensões-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Movimentos_dependentes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Movimentos_dependentes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.4</span> <span>Movimentos dependentes</span> </div> </a> <ul id="toc-Movimentos_dependentes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ponto_material" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ponto_material"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.5</span> <span>Ponto material</span> </div> </a> <ul id="toc-Ponto_material-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referencial" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Referencial"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.6</span> <span>Referencial</span> </div> </a> <ul id="toc-Referencial-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Trajetória" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Trajetória"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.7</span> <span>Trajetória</span> </div> </a> <ul id="toc-Trajetória-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Deslocamento" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Deslocamento"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.8</span> <span>Deslocamento</span> </div> </a> <ul id="toc-Deslocamento-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Trajetória_x_Deslocamento" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Trajetória_x_Deslocamento"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.9</span> <span>Trajetória x Deslocamento</span> </div> </a> <ul id="toc-Trajetória_x_Deslocamento-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Velocidade_média" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Velocidade_média"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Velocidade média</span> </div> </a> <ul id="toc-Velocidade_média-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Velocidade_instantânea" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Velocidade_instantânea"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Velocidade instantânea</span> </div> </a> <ul id="toc-Velocidade_instantânea-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Aceleração_média_e_instantânea" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Aceleração_média_e_instantânea"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Aceleração média e instantânea</span> </div> </a> <ul id="toc-Aceleração_média_e_instantânea-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Aceleração_Tangencial" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Aceleração_Tangencial"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Aceleração Tangencial</span> </div> </a> <ul id="toc-Aceleração_Tangencial-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Breve_introdução_à_cinemática" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Breve_introdução_à_cinemática"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Breve introdução à cinemática</span> </div> </a> <ul id="toc-Breve_introdução_à_cinemática-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Equações_cinemáticas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Equações_cinemáticas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Equações cinemáticas</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Equações_cinemáticas-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar a subsecção Equações cinemáticas</span> </button> <ul id="toc-Equações_cinemáticas-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Movimento_ao_longo_de_um_eixo" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Movimento_ao_longo_de_um_eixo"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>Movimento ao longo de um eixo</span> </div> </a> <ul id="toc-Movimento_ao_longo_de_um_eixo-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Equações_lineares_de_movimento" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Equações_lineares_de_movimento"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2</span> <span>Equações lineares de movimento</span> </div> </a> <ul id="toc-Equações_lineares_de_movimento-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Aceleração_da_gravidade" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Aceleração_da_gravidade"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Aceleração da gravidade</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Aceleração_da_gravidade-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar a subsecção Aceleração da gravidade</span> </button> <ul id="toc-Aceleração_da_gravidade-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Lançamento_de_projéteis" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Lançamento_de_projéteis"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.1</span> <span>Lançamento de projéteis</span> </div> </a> <ul id="toc-Lançamento_de_projéteis-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Ver_também" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ver_também"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Ver também</span> </div> </a> <ul id="toc-Ver_também-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referências" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referências"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Referências</span> </div> </a> <ul id="toc-Referências-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Conteúdo" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Alternar o índice" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Alternar o índice</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Cinemática</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir para um artigo noutra língua. Disponível em 77 línguas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-77" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">77 línguas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Kinematika" title="Kinematika — africanês" lang="af" hreflang="af" data-title="Kinematika" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="africanês" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Kinematik" title="Kinematik — alemão suíço" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Kinematik" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="alemão suíço" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D9%84%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%B1%D9%83%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AC%D8%B1%D8%AF%D8%A9" title="علم الحركة المجردة — árabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="علم الحركة المجردة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A1tica" title="Cinemática — asturiano" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Cinemática" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Kinematika" title="Kinematika — azerbaijano" lang="az" hreflang="az" data-title="Kinematika" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaijano" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%D8%B3%DB%8C%D9%86%D9%85%D8%A7%D8%AA%DB%8C%DA%A9" title="سینماتیک — South Azerbaijani" lang="azb" hreflang="azb" data-title="سینماتیک" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target"><span>تۆرکجه</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%96%D0%BD%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0" title="Кінематыка — bielorrusso" lang="be" hreflang="be" data-title="Кінематыка" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="bielorrusso" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%96%D0%BD%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0" title="Кінэматыка — Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Кінэматыка" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Кинематика — búlgaro" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Кинематика" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Kinematika" title="Kinematika — bósnio" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Kinematika" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bósnio" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A0tica" title="Cinemàtica — catalão" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Cinemàtica" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalão" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Kinematika" title="Kinematika — checo" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Kinematika" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" 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lang="hy" hreflang="hy" data-title="Կինեմատիկա" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="arménio" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Kinematika" title="Kinematika — indonésio" lang="id" hreflang="id" data-title="Kinematika" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Cinematiko" title="Cinematiko — ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Cinematiko" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Cinematica" title="Cinematica — italiano" lang="it" hreflang="it" data-title="Cinematica" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E5%AD%A6" title="運動学 — japonês" lang="ja" hreflang="ja" data-title="運動学" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonês" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Kinimatix" title="Kinimatix — Jamaican Creole English" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Kinimatix" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="Jamaican Creole English" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%99%E1%83%98%E1%83%9C%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90" title="კინემატიკა — georgiano" lang="ka" hreflang="ka" data-title="კინემატიკა" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="georgiano" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Кинематика — cazaque" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Кинематика" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="cazaque" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%9F%E1%9F%8A%E1%9E%B8%E1%9E%93%E1%9F%81%E1%9E%98%E1%9F%89%E1%9E%B6%E1%9E%91%E1%9E%B7%E1%9E%85" title="ស៊ីនេម៉ាទិច — khmer" lang="km" hreflang="km" data-title="ស៊ីនេម៉ាទិច" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="khmer" class="interlanguage-link-target"><span>ភាសាខ្មែរ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%B6%E0%B3%81%E0%B2%A6%E0%B3%8D%E0%B2%A7%E0%B2%97%E0%B2%A4%E0%B2%BF%E0%B2%B5%E0%B2%BF%E0%B2%9C%E0%B3%8D%E0%B2%9E%E0%B2%BE%E0%B2%A8" title="ಶುದ್ಧಗತಿವಿಜ್ಞಾನ — canarim" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಶುದ್ಧಗತಿವಿಜ್ಞಾನ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="canarim" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9A%B4%EB%8F%99%ED%95%99" title="운동학 — coreano" lang="ko" hreflang="ko" data-title="운동학" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Кинематика — quirguiz" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Кинематика" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="quirguiz" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Kinematika" title="Kinematika — lituano" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Kinematika" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituano" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Kinem%C4%81tika" title="Kinemātika — letão" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Kinemātika" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letão" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Кинематика — macedónio" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Кинематика" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedónio" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%95%E0%B5%88%E0%B4%A8%E0%B4%AE%E0%B4%BE%E0%B4%B1%E0%B5%8D%E0%B4%B1%E0%B4%BF%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%B8%E0%B5%8D" title="കൈനമാറ്റിക്സ് — malaiala" lang="ml" hreflang="ml" data-title="കൈനമാറ്റിക്സ്" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malaiala" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA" title="Кинематик — mongol" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Кинематик" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B6%E0%A5%81%E0%A4%A6%E0%A5%8D%E0%A4%A7%E0%A4%97%E0%A4%A4%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80" title="शुद्धगतिकी — marata" lang="mr" hreflang="mr" data-title="शुद्धगतिकी" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marata" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Kinematik" title="Kinematik — malaio" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Kinematik" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malaio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Kinematica" title="Kinematica — neerlandês" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Kinematica" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandês" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Kinematikk" title="Kinematikk — norueguês nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Kinematikk" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norueguês nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Kinematikk" title="Kinematikk — norueguês bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Kinematikk" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norueguês bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Cinematica" title="Cinematica — occitano" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Cinematica" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitano" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Kinematyka" title="Kinematyka — polaco" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Kinematyka" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A0tica" title="Cinemàtica — Piedmontese" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Cinemàtica" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piedmontese" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Cinematic%C4%83" title="Cinematică — romeno" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Cinematică" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romeno" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Кинематика — russo" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Кинематика" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russo" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Cinem%C3%A0tica" title="Cinemàtica — siciliano" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Cinemàtica" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="siciliano" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Kinematika" title="Kinematika — servo-croata" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Kinematika" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="servo-croata" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%B4%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BB%E0%B6%9C%E0%B6%AD%E0%B7%92_%E0%B7%80%E0%B7%92%E0%B6%AF%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B7%8F%E0%B7%80" title="ප්‍රගති විද්‍යාව — cingalês" lang="si" hreflang="si" data-title="ප්‍රගති විද්‍යාව" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="cingalês" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Kinematics" title="Kinematics — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Kinematics" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Kinematika" title="Kinematika — eslovaco" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Kinematika" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Kinematika" title="Kinematika — esloveno" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Kinematika" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Kinematika" title="Kinematika — albanês" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Kinematika" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanês" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Кинематика — sérvio" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Кинематика" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="sérvio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv badge-Q70893996 mw-list-item" title=""><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Kinematik" title="Kinematik — sueco" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Kinematik" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Mjongeo" title="Mjongeo — suaíli" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Mjongeo" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="suaíli" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link 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(<small><i>Encontre fontes:</i> <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikipedialibrary.wmflabs.org/">ABW</a>  •  <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.periodicos.capes.gov.br">CAPES</a>  •  <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?as_eq=wikipedia&as_epq=Cinem%C3%A1tica">Google</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?hl=pt&tbm=nws&q=Cinem%C3%A1tica&oq=Cinem%C3%A1tica">N</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?&as_brr=0&as_epq=Cinem%C3%A1tica">L</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://scholar.google.com/scholar?hl=pt&q=Cinem%C3%A1tica">A</a>)</span></small>).</span> <small class="date-container"><i>(<span class="date">Maio de 2022</span>)</i></small></div></td></tr></tbody></table> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r68971778"><table class="box-Reciclagem plainlinks metadata ambox ambox-style" role="presentation"><tbody><tr><td class="mbox-image"><div style="width:52px"><figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Reciclagem" title="Wikipédia:Reciclagem"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Ambox_rewrite.svg/40px-Ambox_rewrite.svg.png" decoding="async" width="40" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Ambox_rewrite.svg/60px-Ambox_rewrite.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Ambox_rewrite.svg/80px-Ambox_rewrite.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></a><figcaption></figcaption></figure></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span"><b>Este artigo carece de <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Reciclagem" title="Wikipédia:Reciclagem">reciclagem</a> de acordo com o <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Livro_de_estilo" title="Wikipédia:Livro de estilo">livro de estilo</a></b>.<span class="hide-when-compact"> Sinta-se livre para editá-lo(a) para que este(a) possa atingir um <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Livro_de_estilo/Como_escrever_um_bom_artigo" title="Wikipédia:Livro de estilo/Como escrever um bom artigo">nível de qualidade superior</a>.</span> <small class="date-container"><i>(<span class="date">Junho de 2012</span>)</i></small></div></td></tr></tbody></table> <table class="vertical-navbox nowraplinks" style="float:right;clear:right;width:22.0em;margin:0.5em 0 0.5em 1em;background:var(--background-color-neutral-subtle, #f8f9fa);color:inherit;border:1px solid #aaa;padding:0.2em;border-spacing:0.4em 0;text-align:center;line-height:1.4em;font-size:88%;width:18.5em;"><tbody><tr><th style="padding:0.2em 0.4em 0.2em;font-size:145%;line-height:1.2em"><a href="/wiki/Mec%C3%A2nica_cl%C3%A1ssica" title="Mecânica clássica">Mecânica clássica</a></th></tr><tr><td style="padding:0.2em 0 0.4em"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Ficheiro:Orbital_motion.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Orbital_motion.gif/180px-Orbital_motion.gif" decoding="async" width="180" height="180" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4e/Orbital_motion.gif/270px-Orbital_motion.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4e/Orbital_motion.gif 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></a></span><div style="padding-top:0.2em;line-height:1.2em">Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.</div></td></tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em;padding-bottom:0.3em;"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit">Cinemática</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/Deslocamento" title="Deslocamento">Deslocamento</a></li> <li><a href="/wiki/Velocidade" title="Velocidade">Velocidade</a></li> <li><a href="/wiki/Velocidade_escalar" class="mw-redirect" title="Velocidade escalar">Velocidade escalar</a></li> <li><a href="/wiki/Acelera%C3%A7%C3%A3o" title="Aceleração">Aceleração</a></li> <li><a href="/wiki/Acelera%C3%A7%C3%A3o_centr%C3%ADpeta" title="Aceleração centrípeta">Aceleração centrípeta</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_uniforme" class="mw-redirect" title="Movimento uniforme">Movimento uniforme</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_uniformemente_variado" title="Movimento uniformemente variado">Movimento uniformemente variado</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_retil%C3%ADneo" title="Movimento retilíneo">Movimento retilíneo</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_parab%C3%B3lico" title="Movimento parabólico">Movimento parabólico</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_circular" title="Movimento circular">Movimento circular</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_circular_uniforme" title="Movimento circular uniforme">Movimento circular uniforme</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_curvil%C3%ADneo" title="Movimento curvilíneo">Movimento curvilíneo</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_harm%C3%B4nico_simples" title="Movimento harmônico simples">Movimento harmônico simples</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_harm%C3%B4nico_complexo" title="Movimento harmônico complexo">Movimento harmônico complexo</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit">Dinâmica</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/For%C3%A7a" title="Força">Força</a></li> <li><a href="/wiki/In%C3%A9rcia" title="Inércia">Inércia</a></li> <li><a href="/wiki/Produto_de_in%C3%A9rcia" title="Produto de inércia">Produto de inércia</a></li> <li><a href="/wiki/Leis_de_Newton" title="Leis de Newton">Leis de Newton</a></li> <li><a href="/wiki/Primeira_Lei_de_Newton" class="mw-redirect" title="Primeira Lei de Newton">Primeira Lei de Newton</a></li> <li><a href="/wiki/Segunda_Lei_de_Newton" class="mw-redirect" title="Segunda Lei de Newton">Segunda Lei de Newton</a></li> <li><a href="/wiki/Terceira_Lei_de_Newton" class="mw-redirect" title="Terceira Lei de Newton">Terceira Lei de Newton</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%B5es_de_movimento" title="Equações de movimento">Equações de movimento</a></li> <li><a href="/wiki/Resson%C3%A2ncia" title="Ressonância">Ressonância</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit">História</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/Hist%C3%B3ria_da_f%C3%ADsica" title="História da física">História da física</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit">Trabalho e Mecânica</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/Energia_cin%C3%A9tica" title="Energia cinética">Energia cinética</a></li> <li><a href="/wiki/Energia_potencial" title="Energia potencial">Energia potencial</a></li> <li><a href="/wiki/Trabalho_(f%C3%ADsica)" title="Trabalho (física)">Trabalho</a></li> <li><a href="/wiki/Lei_da_conserva%C3%A7%C3%A3o_da_energia" title="Lei da conservação da energia">Conservação da energia</a></li> <li><a href="/wiki/For%C3%A7a_conservativa" title="Força conservativa">Força conservativa</a></li> <li><a href="/wiki/For%C3%A7a_de_contato" title="Força de contato">Força de contato</a></li> <li><a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_Lagrange" title="Função de Lagrange">Função de Lagrange</a></li> <li><a href="/wiki/Pot%C3%AAncia" title="Potência">Potência</a></li> <li><a href="/wiki/Retropropuls%C3%A3o" title="Retropropulsão">Retropropulsão</a></li> <li><a href="/wiki/Princ%C3%ADpio_de_Hamilton" title="Princípio de Hamilton">Princípio de Hamilton</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit">Sistema de partículas</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/Centro_de_massas" class="mw-redirect" title="Centro de massas">Centro de massa</a></li> <li><a href="/wiki/Corpo_r%C3%ADgido" title="Corpo rígido">Corpo rígido</a></li> <li><a href="/wiki/Momento_linear" title="Momento linear">Momento linear</a></li> <li><a href="/wiki/Conserva%C3%A7%C3%A3o_do_momento_linear" title="Conservação do momento linear">Conservação do momento linear</a></li> <li><a href="/wiki/Equil%C3%ADbrio_din%C3%A2mico" title="Equilíbrio dinâmico">Equilíbrio dinâmico</a></li> <li><a href="/wiki/Princ%C3%ADpio_de_d%27Alembert" title="Princípio de d'Alembert">Princípio de d'Alembert</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_massa-mola" title="Sistema massa-mola">Sistema massa-mola</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit">Colisões</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/Impulso" title="Impulso">Impulso</a></li> <li><a href="/wiki/Colis%C3%A3o_el%C3%A1stica" title="Colisão elástica">Colisão elástica</a></li> <li><a href="/wiki/Colis%C3%A3o_inel%C3%A1stica" title="Colisão inelástica">Colisão inelástica</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit">Movimento rotacional</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/Posi%C3%A7%C3%A3o_angular" title="Posição angular">Posição angular</a></li> <li><a href="/wiki/Deslocamento_angular" class="mw-redirect" title="Deslocamento angular">Deslocamento angular</a></li> <li><a href="/wiki/Velocidade_angular" title="Velocidade angular">Velocidade angular</a></li> <li><a href="/wiki/Acelera%C3%A7%C3%A3o_angular" title="Aceleração angular">Aceleração angular</a></li> <li><a href="/wiki/Momento_de_in%C3%A9rcia" title="Momento de inércia">Momento de inércia</a></li> <li><a href="/wiki/Torque" title="Torque">Torque</a></li> <li><a href="/wiki/Momento_angular" title="Momento angular">Momento angular</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit">Sistemas Clássicos</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/Sistema_din%C3%A2mico" title="Sistema dinâmico">Sistema dinâmico</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_de_equa%C3%A7%C3%B5es_lineares" title="Sistema de equações lineares">Sistema linear</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_din%C3%A2mico_n%C3%A3o_linear" title="Sistema dinâmico não linear">Sistema não linear</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_hamiltoniano" title="Sistema hamiltoniano">Sistema hamiltoniano</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_do_caos" title="Teoria do caos">Sistema caótico</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit">Formulações</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/Mec%C3%A2nica_newtoniana" class="mw-redirect" title="Mecânica newtoniana">Mecânica newtoniana</a></li> <li><a href="/wiki/Mec%C3%A2nica_hamiltoniana" title="Mecânica hamiltoniana">Mecânica hamiltoniana</a></li> <li><a href="/wiki/Mec%C3%A2nica_de_Lagrange" title="Mecânica de Lagrange">Mecânica lagrangiana</a></li> <li><a href="/wiki/Mec%C3%A2nica_cl%C3%A1ssica_de_Koopman-von_Neumann" title="Mecânica clássica de Koopman-von Neumann">Mecânica KvN</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Udwadia-Kalaba" title="Equação de Udwadia-Kalaba">Equação de Udwadia-Kalaba</a></li> <li><a href="/wiki/Mec%C3%A2nica_de_Routhian" title="Mecânica de Routhian">Mecânica de Routhian</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit">Gravitação</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/Lei_da_gravita%C3%A7%C3%A3o_universal" title="Lei da gravitação universal">Lei da gravitação universal</a></li> <li><a href="/wiki/Princ%C3%ADpio_da_superposi%C3%A7%C3%A3o" title="Princípio da superposição">Princípio da superposição</a></li> <li><a href="/wiki/Constante_gravitacional_universal" title="Constante gravitacional universal">Constante gravitacional</a></li> <li><a href="/wiki/Velocidade_de_escape" title="Velocidade de escape">Velocidade de escape</a></li> <li><a href="/wiki/Leis_de_Kepler" title="Leis de Kepler">Leis de Kepler</a></li> <li><a href="/wiki/Princ%C3%ADpio_da_equival%C3%AAncia" title="Princípio da equivalência">Princípio da equivalência</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="padding:0 0.1em 0.4em"> <div class="NavFrame collapsed" style="border:none;padding:0"><div class="NavHead" style="font-size:105%;background:transparent;text-align:left;color:inherit">Físicos</div><div class="NavContent hlist" style="font-size:105%;padding:0.2em 0 0.4em;text-align:center"> <ul><li><a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a></li> <li><a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a></li> <li><a href="/wiki/Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a></li> <li><a href="/wiki/Pierre-Simon_Laplace" class="mw-redirect" title="Pierre-Simon Laplace">Pierre-Simon Laplace</a></li> <li><a href="/wiki/Galileu_Galilei" title="Galileu Galilei">Galileu Galilei</a></li> <li><a href="/wiki/William_Rowan_Hamilton" title="William Rowan Hamilton">William Rowan Hamilton</a></li> <li><a href="/wiki/Johannes_Kepler" title="Johannes Kepler">Johannes Kepler</a></li></ul></div></div></td> </tr><tr><td style="text-align:right;font-size:115%;padding-top: 0.6em;"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-ver"><a href="/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o:Mec%C3%A2nica_Cl%C3%A1ssica" title="Predefinição:Mecânica Clássica"><abbr title="Ver esta predefinição">v</abbr></a></li><li class="nv-discutir"><a href="/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o_Discuss%C3%A3o:Mec%C3%A2nica_Cl%C3%A1ssica" title="Predefinição Discussão:Mecânica Clássica"><abbr title="Discutir esta predefinição">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:Mec%C3%A2nica_Cl%C3%A1ssica&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição">e</abbr></a></li></ul></div></td></tr></tbody></table> <p>A <b>cinemática</b> (do <a href="/wiki/L%C3%ADngua_grega" title="Língua grega">grego</a> <i>κινημα</i>, movimento) é o ramo da <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">física</a> que se ocupa da descrição dos <a href="/wiki/Movimento" title="Movimento">movimentos</a> de <a href="/wiki/Ponto_material" title="Ponto material">pontos</a>, corpos ou sistemas de corpos (grupos de objetos), sem se preocupar com a análise de suas causas.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span>[</span>1<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span>[</span>2<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span>[</span>3<span>]</span></a></sup> </p><p>Considerada uma "geometria do movimento", é ocasionalmente vista como um ramo da matemática.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span>[</span>4<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span>[</span>5<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span>[</span>6<span>]</span></a></sup> Nesse campo, uma situação-problema é iniciada ao descrever a <a href="/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica" title="Geometria analítica">geometria</a> do sistema e declarando as condições iniciais de quaisquer valores de <a href="/wiki/Posi%C3%A7%C3%A3o" title="Posição">posição</a>, <a href="/wiki/Velocidade" title="Velocidade">velocidade</a> e/ou <a href="/wiki/Acelera%C3%A7%C3%A3o" title="Aceleração">aceleração</a> dos pontos do sistema. E então, usando argumentos geométricos, pode-se determinar valores desconhecidos de posição, velocidade e/ou aceleração de partes do sistema. O estudo de como as <a href="/wiki/For%C3%A7a" title="Força">forças</a> agem nos corpos não é tratado na cinemática, mas na <a href="/wiki/Din%C3%A2mica" title="Dinâmica">dinâmica</a>.<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span>[</span>7<span>]</span></a></sup> </p><p>A cinemática é utilizada na <a href="/wiki/Astrof%C3%ADsica" title="Astrofísica">astrofísica</a> para descrever o movimento de <a href="/wiki/Corpo_celeste" class="mw-redirect" title="Corpo celeste">corpos celestes</a> e de conjuntos destes. Na <a href="/wiki/Engenharia_mec%C3%A2nica" title="Engenharia mecânica">engenharia mecânica</a>, <a href="/wiki/Rob%C3%B3tica" title="Robótica">robótica</a> e <a href="/wiki/Biomec%C3%A2nica" title="Biomecânica">biomecânica</a><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span>[</span>8<span>]</span></a></sup> a cinemática é útil para descrever o movimento de sistemas compostos por partes interdependentes, como <a href="/wiki/Motor" title="Motor">motores</a>, braços robóticos ou o <a href="/wiki/Esqueleto_humano" title="Esqueleto humano">esqueleto</a> humano. </p><p>A análise cinemática é o processo de <a href="/wiki/Medida_(f%C3%ADsica)" title="Medida (física)">medição</a>das quantidades cinemáticas usadas para a descrição do movimento. Na engenharia, por exemplo, a análise cinemática pode ser utilizada para identificar a <a href="/wiki/Amplitude" title="Amplitude">amplitude</a> de movimento de um dado mecanismo, enquanto a síntese cinemática serve para o processo inverso, ou seja, para desenhar um mecanismo que terá certa amplitude de movimento. Além disso, a cinemática aplica a <a href="/wiki/Geometria_alg%C3%A9brica" title="Geometria algébrica">geometria algébrica</a> para obter <a href="/wiki/Ganho_mec%C3%A2nico" title="Ganho mecânico">vantagem mecânica</a> em um determinado sistema ou mecanismo. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Conceitos">Conceitos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=1" title="Editar secção: Conceitos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=1" title="Editar código-fonte da secção: Conceitos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Movimento_e_graus_de_liberdade">Movimento e graus de liberdade</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=2" title="Editar secção: Movimento e graus de liberdade" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=2" title="Editar código-fonte da secção: Movimento e graus de liberdade"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Um objeto encontra-se em movimento se a sua posição for diferente em diferentes instantes; se a posição permanecer constante, o objeto estará em repouso. Para determinarmos a posição do objeto, será necessário usar outros objetos como referência. Se a posição do corpo em estudo variar em relação ao <a href="/wiki/Referencial" title="Referencial">referencial</a> (objetos em repouso usados como referência), o corpo estará em movimento em relação a esse referencial. </p><p>Assim, o movimento é um conceito relativo, já que um objeto pode estar em repouso em relação a um primeiro referencial, mas em movimento em relação a um segundo referencial.<sup id="cite_ref-Villate2_9-0" class="reference"><a href="#cite_note-Villate2-9"><span>[</span>9<span>]</span></a></sup> </p><p>Os graus de liberdade de um sistema são as variáveis necessárias para medirmos a sua posição exata. Por exemplo, para determinar a posição de uma mosca numa sala, podemos medir a sua distância até o chão e até duas paredes perpendiculares na sala. Teríamos assim um sistema de três coordenadas perpendiculares (<a href="/wiki/Coordenadas_cartesianas" class="mw-redirect" title="Coordenadas cartesianas">coordenadas cartesianas</a>), que se costumam designar pelas letras x, y e z. </p><p>Mas para além de se deslocar variando o valor das 3 coordenadas x, y e z, a mosca também pode mudar a sua orientação. Para definir a orientação da reta paralela ao corpo da mosca podemos usar 2 ângulos e seria preciso outro ângulo para indicar a sua rotação em relação a essa reta; assim, temos já 6 graus de liberdade. Continuando, a mosca pode também esticar ou dobrar o seu corpo, abrir ou fechar as asas, etc., e, portanto, do ponto de vista físico tem muitos graus de liberdade. </p><p>Podemos simular o movimento da mosca como o movimento de 3 corpos rígidos: as duas asas e o bloco constituído por cabeça, tórax e abdômen. Um corpo rígido é um objeto em que todas as partes mantêm sempre as mesmas distâncias relativas às outras partes. Os movimentos desses 3 corpos rígidos são diferentes, as asas têm movimentos oscilatórios, mas não são completamente independentes, já que existe um ponto comum entre cada asa e o tórax. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Movimento_dos_corpos_rígidos"><span id="Movimento_dos_corpos_r.C3.ADgidos"></span>Movimento dos corpos rígidos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=3" title="Editar secção: Movimento dos corpos rígidos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=3" title="Editar código-fonte da secção: Movimento dos corpos rígidos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A posição de um corpo rígido em qualquer instante pode ser determinada indicando a posição de um ponto do corpo, a orientação de um eixo fixo em relação ao corpo e um ângulo de rotação à volta desse eixo. </p><p>A posição do ponto de referência é dada por 3 variáveis e para especificar a orientação do eixo são precisos dois ângulos; assim, um corpo rígido é um sistema com seis graus de liberdade: 3 coordenadas de posição para a posição do ponto de referência, dois ângulos para a orientação do eixo e um ângulo à volta desse eixo. </p><p>Se o eixo do corpo rígido mantiver a mesma direção enquanto se desloca, o movimento será de translação. Se existir um ponto dentro do corpo que não se desloca, enquanto outros pontos do corpo estão em movimento, o movimento será de rotação pura. O movimento mais geral será uma sobreposição de translação e rotação (figura abaixo). </p> <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Mov_corpo_r%C3%ADgido.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Mov_corpo_r%C3%ADgido.png/500px-Mov_corpo_r%C3%ADgido.png" decoding="async" width="500" height="407" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/ba/Mov_corpo_r%C3%ADgido.png 1.5x" data-file-width="509" data-file-height="414" /></a><figcaption>Um corpo rígido pode ter movimento de translação, de rotação ou uma sobreposição dos dois.</figcaption></figure> <p>Na segunda e terceira parte na figura acima, o martelo rodou em relação a um eixo que permaneceu sempre perpendicular à página e perpendicular ao plano da translação na terceira parte. O eixo de rotação poderá não ser o mesmo em diferentes instantes e não ser perpendicular ao plano de translação. </p><p>Se todos os pontos do corpo sofrerem o mesmo deslocamento durante o mesmo intervalo de tempo, de modo que todos têm, em qualquer instante, a mesma velocidade e mesma aceleração, esse movimento será apenas de translação. E chamamos as velocidades e acelerações de, respectivamente, velocidade e aceleração de translação de um corpo rígido. Assim, para estudar um movimento de translação, bastará estudar o movimento de um único ponto qualquer no corpo rígido (por exemplo, o centro de massa).<sup id="cite_ref-Unnamed-xX4F-1_10-0" class="reference"><a href="#cite_note-Unnamed-xX4F-1-10"><span>[</span>10<span>]</span></a></sup> Para definir a posição desse ponto serão precisas, em geral, 3 variáveis e, portanto, o sistema terá 3 graus de liberdade. </p><p>Quando existe translação combinada com rotação, a trajetória de cada ponto no corpo rígido será diferente. Por exemplo, numa roda de um automóvel em movimento, os pontos na superfície dos pneus seguem uma trajetória de cicloide mas existe um ponto que possui uma trajetória mais simples: o centro da roda. Será mais fácil estudar o movimento de translação do centro da roda e a esse movimento sobrepor a rotação. E para estudar a translação do centro teremos novamente 3 graus de liberdade associados com a posição de um ponto. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Movimento_em_uma,_duas_ou_três_dimensões"><span id="Movimento_em_uma.2C_duas_ou_tr.C3.AAs_dimens.C3.B5es"></span>Movimento em uma, duas ou três dimensões</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=4" title="Editar secção: Movimento em uma, duas ou três dimensões" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=4" title="Editar código-fonte da secção: Movimento em uma, duas ou três dimensões"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>O movimento mais geral de um ponto no espaço ocorre em três dimensões, pois existem três graus de liberdade — x, y, e z — que variam em função do tempo. No entanto, em certas situações, esses três graus de liberdade, associados ao movimento de translação de um corpo rígido, podem ser reduzidos a dois ou até mesmo a um. </p><p>Por exemplo, o movimento de um automóvel em uma autoestrada pode ser considerado unidimensional se levarmos em conta apenas a trajetória ao longo do solo. Caso o automóvel apresente uma avaria, o motorista só precisa informar o quilômetro exato da autoestrada em que se encontra para que o caminhão de reboque saiba para onde se dirigir. Nesse contexto, o movimento do automóvel ao longo da estrada é descrito pelo aumento da distância percorrida, sendo essa distância o único grau de liberdade relevante. </p><p>Vale notar que a distância percorrida não é medida em linha reta, mas ao longo de uma curva tridimensional no espaço. Contudo, como a trajetória dessa curva já está predefinida, basta uma única variável para descrever a posição do automóvel a cada instante. </p><p>Se estivéssemos projetando um sistema de condução autônoma, precisaríamos introduzir outra variável, como a distância até a lateral da estrada. Nesse caso, o movimento seria bidimensional. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Movimentos_dependentes">Movimentos dependentes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=5" title="Editar secção: Movimentos dependentes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=5" title="Editar código-fonte da secção: Movimentos dependentes"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Em alguns sistemas em que aparentemente são necessárias várias variáveis para descrever o movimento dos diferentes componentes do sistema, o número de graus de liberdade pode ser menor devido à existência de restrições no movimento. A figura abaixo mostra um exemplo que descreve o movimento de um cilindro que desce, enquanto o carrinho se desloca sobre a mesa.<sup id="cite_ref-Villate1_11-0" class="reference"><a href="#cite_note-Villate1-11"><span>[</span>11<span>]</span></a></sup> </p> <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Sistema_com_dois_movimentos_dependentes_e_um_%C3%BAnico_grau_de_liberdade..png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Sistema_com_dois_movimentos_dependentes_e_um_%C3%BAnico_grau_de_liberdade..png/400px-Sistema_com_dois_movimentos_dependentes_e_um_%C3%BAnico_grau_de_liberdade..png" decoding="async" width="400" height="241" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fb/Sistema_com_dois_movimentos_dependentes_e_um_%C3%BAnico_grau_de_liberdade..png 1.5x" data-file-width="484" data-file-height="292" /></a><figcaption>Sistema com dois movimentos dependentes e um único grau de liberdade.</figcaption></figure> <p>O movimento do carrinho pode ser descrito pela variação da distância horizontal <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> até o eixo da roldana fixa. O movimento do cilindro será igual ao movimento da roldana móvel e, portanto, pode ser descrito pela expressão para a distância vertical <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> entre os centros das roldanas, em função do tempo.<sup id="cite_ref-Villate1_11-1" class="reference"><a href="#cite_note-Villate1-11"><span>[</span>11<span>]</span></a></sup> </p><p>Mas, enquanto o fio permanecer esticado e sem se quebrar, existirá uma relação entre as velocidades e as acelerações do carrinho e do cilindro. Para encontrar essa relação, escreve-se a o comprimento do fio, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}"></span>, em função das distâncias <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span>: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=x+2\,y+d+{\frac {\pi \,r_{1}}{2}}+\pi \,r_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>π</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>π</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=x+2\,y+d+{\frac {\pi \,r_{1}}{2}}+\pi \,r_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe541d10aaefac857b692047167b313f4ec694d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:29.774ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle L=x+2\,y+d+{\frac {\pi \,r_{1}}{2}}+\pi \,r_{2}}"></span> </p><p>Em que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea214f2b31fb3869344bb9311da41c5cc38a99e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.103ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{1}}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cbe9b0b294fdd6fadbf9a7249813f016dcbc44f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.103ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{2}}"></span> são os raios das duas roldanas. </p><p>O fio toca um quarto do perímetro da roldana fixa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\pi \,r_{1}/2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\pi \,r_{1}/2)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5ed707c6979c30cc13a68d550c5f3f2b069e54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.956ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\pi \,r_{1}/2)}"></span> e metade do perímetro da roldana móvel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\pi \,r_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\pi \,r_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/848c2602bfb8ea56544490d4fa046929a22a68ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.631ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\pi \,r_{2})}"></span>. </p><p>Tendo em conta que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea214f2b31fb3869344bb9311da41c5cc38a99e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.103ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{1}}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cbe9b0b294fdd6fadbf9a7249813f016dcbc44f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.103ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{2}}"></span> são constantes, e derivando a equação anterior em ordem ao tempo, obtém-se, </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {x}}=-2\,{\dot {y}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {x}}=-2\,{\dot {y}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609e65f8820b83797cba9f92d290010adfb84107" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.088ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {x}}=-2\,{\dot {y}}}"></span> </p><p>Ou seja, o valor da velocidade do carrinho será sempre o dobro do valor da velocidade do cilindro. O sinal negativo na equação acima indica que se o cilindro desce o carrinho desloca-se para a direita e vice-versa.<sup id="cite_ref-Villate1_11-2" class="reference"><a href="#cite_note-Villate1-11"><span>[</span>11<span>]</span></a></sup> </p><p>Derivando novamente essa última equação em ordem ao tempo, conclui-se que a aceleração do carrinho segundo a trajetória também é o dobro do que a aceleração do cilindro segundo a sua trajetória: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {x}}=-2\,{\ddot {y}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {x}}=-2\,{\ddot {y}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bfa5675bd481c0c45dfa731a0dabd5179c096f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.088ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {x}}=-2\,{\ddot {y}}}"></span> </p><p>Estas relações entre as posições, velocidades e acelerações implicam que o sistema tem apenas um grau de liberdade. Uma vez conhecidas as expressões para a posição, velocidade e aceleração de um dos objetos, as expressões da posição, velocidade e aceleração do outro objeto serão obtidas multiplicando (ou dividindo) por 2. </p><p>Um segundo exemplo, com dois graus de liberdade, é o sistema de três roldanas e três cilindros na figura abaixo. As alturas dos três cilindros são determinadas pelos valores das 3 distâncias <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{\mathrm {A} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{\mathrm {A} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/705ed58e1c65fade076771ac9b062f9c306e793e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.604ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{\mathrm {A} }}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{\mathrm {B} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{\mathrm {B} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d461ba2737c3cecad64804bab126aeaa400db5b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.535ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{\mathrm {B} }}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{\mathrm {C} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{\mathrm {C} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ebe446c2a1067a2157d24ab06b849399233ec59" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.558ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{\mathrm {C} }}"></span>; como existe um único fio em movimento, existe apenas uma restrição (comprimento do fio constante), que permitirá expressar uma das três distâncias em função das outras duas.<sup id="cite_ref-Villate1_11-3" class="reference"><a href="#cite_note-Villate1-11"><span>[</span>11<span>]</span></a></sup> </p> <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Sistema_com_tr%C3%AAs_movimentos_dependentes_e_dois_graus_de_liberdade..png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/Sistema_com_tr%C3%AAs_movimentos_dependentes_e_dois_graus_de_liberdade..png" decoding="async" width="294" height="269" class="mw-file-element" data-file-width="294" data-file-height="269" /></a><figcaption>Sistema com três movimentos dependentes e dois graus de liberdade.</figcaption></figure> <p>O comprimento do fio é, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L=y_{\mathrm {A} }+2\,y_{\mathrm {B} }+y_{\mathrm {C} }+{\mbox{constante}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>constante</mtext> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=y_{\mathrm {A} }+2\,y_{\mathrm {B} }+y_{\mathrm {C} }+{\mbox{constante}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5bba7684b67f11cc151641c25abc55501e3367" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:32.15ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle L=y_{\mathrm {A} }+2\,y_{\mathrm {B} }+y_{\mathrm {C} }+{\mbox{constante}}}"></span> </p><p>Em que a constante é a soma de metade dos perímetros das roldanas, que não é importante conhecer, já que vai desaparecer quando a equação for derivada e só altera as posições num valor constante. </p><p>A derivada da equação anterior em ordem ao tempo é: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {y}}_{\mathrm {A} }+2\,{\dot {y}}_{\mathrm {B} }+{\dot {y}}_{\mathrm {C} }=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {y}}_{\mathrm {A} }+2\,{\dot {y}}_{\mathrm {B} }+{\dot {y}}_{\mathrm {C} }=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2269221e4af0cd4d79e5288884a017d5d658837f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.677ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {y}}_{\mathrm {A} }+2\,{\dot {y}}_{\mathrm {B} }+{\dot {y}}_{\mathrm {C} }=0}"></span> </p><p>Neste caso existem vários possíveis movimentos; por exemplo, se o cilindro A estiver a subir e o cilindro C estiver a descer com a mesma velocidade, o cilindro B permanecerá estático; ou um dos cilindros poderá estar a descer e os outros dois a subir. O que sim não é possível é que os 3 cilindros estejam simultaneamente a descer ou a subir. </p><p>A derivada da equação anterior conduz à relação entre as acelerações: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {y}}_{\mathrm {A} }+2\,{\ddot {y}}_{\mathrm {B} }+{\ddot {y}}_{\mathrm {C} }=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">B</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">C</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {y}}_{\mathrm {A} }+2\,{\ddot {y}}_{\mathrm {B} }+{\ddot {y}}_{\mathrm {C} }=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e539c8cb9db59ba5082389f0defb08a2f382acb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.677ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {y}}_{\mathrm {A} }+2\,{\ddot {y}}_{\mathrm {B} }+{\ddot {y}}_{\mathrm {C} }=0}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ponto_material">Ponto material</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=6" title="Editar secção: Ponto material" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=6" title="Editar código-fonte da secção: Ponto material"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Esse conceito é utilizado na Física para simplificar a análise de movimento, ele conciste em um corpo cujas dimensoes, seja o tamanho ou forma podem ser desconsideradas em relação ao contexto do fenomeno estudado. Isso significa que suas dimensoes não influenciam o estudo do movimento e toda a massa do corpo é considerada concentrada em um unico ponto. Melhor descrevendo, suas dimensões são despreziveis conforme o referencial utilizado. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Referencial">Referencial</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=7" title="Editar secção: Referencial" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=7" title="Editar código-fonte da secção: Referencial"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>É um sistema de referência <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {S}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {S}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd749ff84450814edb04bb695d674c8dd6a2d24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {S}}"></span> em relação ao qual é definido o vetor posição <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}"></span> do corpo em função do tempo. Este vetor fornece a <a href="/wiki/Posi%C3%A7%C3%A3o" title="Posição">posição</a> do corpo em um dado instante <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4d02c98c6d06946ec61cacc21c08b5ab2eb5e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {t}}"></span>. Assume-se geralmente como origem do sistema de coordenadas a posição <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{\vec {r}}_{0}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{\vec {r}}_{0}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d180be67a21ca603211b0c946e491708d256a13d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.277ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {{\vec {r}}_{0}}}"></span> do corpo no instante inicial <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {t_{0}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {t_{0}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7857ab854badd2c36d752bfc62b8c7eaef8038" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {t_{0}}}"></span>. Este instante é escolhido arbitrariamente; para fins práticos pode-se dizer que é o instante em que se dispara o cronômetro para a análise do fenômeno. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Trajetória"><span id="Trajet.C3.B3ria"></span>Trajetória</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=8" title="Editar secção: Trajetória" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=8" title="Editar código-fonte da secção: Trajetória"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Um corpo, em relação a um dado referencial <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {S}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {S}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd749ff84450814edb04bb695d674c8dd6a2d24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {S}}"></span>, ocupa um determinado ponto <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {P}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>P</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {P}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9becd17fded9ee085db0d271897e823787515d98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {P}}"></span> em um dado instante <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4d02c98c6d06946ec61cacc21c08b5ab2eb5e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {t}}"></span>. Chama-se de <a href="/wiki/Trajet%C3%B3ria" title="Trajetória">trajetória</a> ao conjunto dos pontos ocupados por um corpo ao longo de um intervalo de tempo qualquer. Pode ser uma linha reta (movimento retilineo), uma curva ( movimento curvilíneo) ou até mesmo uma elipse, dependendo da natureza das forças e do referencial adotado. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Deslocamento">Deslocamento</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=9" title="Editar secção: Deslocamento" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=9" title="Editar código-fonte da secção: Deslocamento"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>É o vetor resultante da subtração do vetor posição final <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c026fd0d6f679bda24121c0e1fdcfa40fbf82dce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.277ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{2}}"></span> pelo vetor posição inicial <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3846ad020fcaf0f97523dc407977b9f4f3e87e8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.277ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{1}}"></span>:<span class="mwe-math-element" id="adad"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa155d3dfa3fa94801deaaa3eac7e305148ea638" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" id="adad" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.652ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\Delta {\vec {r}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}}}"></span>É importante destacar que o deslocamento é uma grandeza vetorial, o que significa que leva em conta a posição, direção e sentido do movimento. No entanto, em determinados contextos, como em uma corrida de Fórmula 1, é mais útil trabalhar apenas com a distância percorrida, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}"></span>, que corresponde ao comprimento total da trajetória. Para calcular essa trajetória, dividimos a curva em pequenos segmentos de reta orientados. À medida que o número desses segmentos tende ao infinito, obtemos a trajetória completa, ou seja: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D=\int _{t_{0}}^{t}\Vert {\vec {v}}\Vert \ dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msubsup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D=\int _{t_{0}}^{t}\Vert {\vec {v}}\Vert \ dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4d6d1acd4bf5b7894f89d032dedf190a888960" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:14.836ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle D=\int _{t_{0}}^{t}\Vert {\vec {v}}\Vert \ dt}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Trajetória_x_Deslocamento"><span id="Trajet.C3.B3ria_x_Deslocamento"></span>Trajetória x Deslocamento</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=10" title="Editar secção: Trajetória x Deslocamento" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=10" title="Editar código-fonte da secção: Trajetória x Deslocamento"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A relação entre <a href="/wiki/Trajet%C3%B3ria" title="Trajetória">trajetória</a> e <a href="/wiki/Deslocamento" title="Deslocamento">deslocamento</a> é fundamental para entender o movimento de um corpo em relação a um referencial. A trajetória representa o conjunto de pontos ocupados pelo corpo durante um intervalo de tempo, enquanto o deslocamento é o vetor que resulta da diferença entre a <a href="/wiki/Posi%C3%A7%C3%A3o" title="Posição">posição</a> final e a posição inicial do corpo. Por exemplo, em uma corrida de Fórmula 1, a trajetória percorrida é importante para analisar o <a href="/wiki/Efici%C3%AAncia_cin%C3%A9tica" title="Eficiência cinética">desempenho</a>, mas o deslocamento, que leva em consideração apenas a posição inicial e final, revela o quão longe o carro se deslocou em linha reta, independentemente do caminho sinuoso que pode ter tomado. </p><p><b>Exemplo</b>: Se você caminha em torno de um campo circular e retorna ao ponto de partida, a <a href="/wiki/Trajet%C3%B3ria" title="Trajetória">trajetória</a> seria a circunferência completa, mas o <a href="/wiki/Deslocamento" title="Deslocamento">deslocamento</a> seria zero, pois sua posição inicial e final são as mesmas. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Velocidade_média"><span id="Velocidade_m.C3.A9dia"></span>Velocidade média</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=11" title="Editar secção: Velocidade média" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=11" title="Editar código-fonte da secção: Velocidade média"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Velocidade média é a razão do <a href="/wiki/Deslocamento" title="Deslocamento">deslocamento</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\Delta S}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>S</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\Delta S}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/057d80ecf6f03672f59bb34489c4a93c16c71dc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\Delta S}}"></span> pelo intervalo de tempo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\Delta t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\Delta t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ae4b9585a00c535f0f14a834a0331408ea9489" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.775ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\Delta t}}"></span>. A velocidade média pode ser considerada <a href="/wiki/Grandeza_escalar" title="Grandeza escalar">escalar</a> se for considerado apenas o módulo do deslocamento. Em uma corrida de <a href="/wiki/F%C3%B3rmula_1" title="Fórmula 1">fórmula 1</a>, por exemplo, se levarmos em conta somente o vetor posição, ao final de cada volta o piloto não terá desenvolvido velocidade, pois não houve deslocamento, uma vez que o vetor <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}"></span> final é o mesmo que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r_{0}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r_{0}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/801bb263bbde2e625b88b678d2df80312a1d1452" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.324ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r_{0}}}}"></span>. Entretanto, considerando o módulo do espaço percorrido pelo piloto, teremos uma velocidade escalar média diferente de 0, portanto, muito mais útil para as análises necessárias. No movimento unidimensional, trabalhar tanto com um quanto com outro nos leva aos mesmos resultados. Pode-se definir a velocidade média como </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{\vec {v_{m}}}={\frac {\Delta {\vec {S}}}{\Delta {t}}}={\frac {{\vec {S}}-{\vec {S_{0}}}}{t-t_{0}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{\vec {v_{m}}}={\frac {\Delta {\vec {S}}}{\Delta {t}}}={\frac {{\vec {S}}-{\vec {S_{0}}}}{t-t_{0}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/819394ad077ec2da3dfd63591380fa77dfd72cb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:21.004ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {{\vec {v_{m}}}={\frac {\Delta {\vec {S}}}{\Delta {t}}}={\frac {{\vec {S}}-{\vec {S_{0}}}}{t-t_{0}}}}}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Velocidade_instantânea"><span id="Velocidade_instant.C3.A2nea"></span>Velocidade instantânea</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=12" title="Editar secção: Velocidade instantânea" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=12" title="Editar código-fonte da secção: Velocidade instantânea"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>É a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de tempo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\delta t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\delta t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8abe3ee1e9c5ed88d4457920ed31309565710f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.888ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\delta t}}"></span> infinitesimal (na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}"></span> ou simplesmente velocidade como sendo: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/489ec3ddd8ac797fea2bbb02a3b46a8b148a4df8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:7.549ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {{\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}}}"></span> </p><p>Podemos falar também de uma <b>rapidez instantânea</b>, que seria o <b>módulo do vetor velocidade</b> em um dado instante de tempo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4d02c98c6d06946ec61cacc21c08b5ab2eb5e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {t}}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aceleração_média_e_instantânea"><span id="Acelera.C3.A7.C3.A3o_m.C3.A9dia_e_instant.C3.A2nea"></span>Aceleração média e instantânea</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=13" title="Editar secção: Aceleração média e instantânea" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=13" title="Editar código-fonte da secção: Aceleração média e instantânea"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Aceleração é a taxa de variação da velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretações em situações mais globais (<b>aceleração média</b>) e em situações mais locais (<b>aceleração instantânea</b>). Elas são definidas como: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{\vec {a_{m}}}={\frac {{\vec {v}}-{\vec {v_{0}}}}{t-t_{0}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{\vec {a_{m}}}={\frac {{\vec {v}}-{\vec {v_{0}}}}{t-t_{0}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a970559f3d0e89365bef0b59d9a3df90035def6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:13.179ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {{\vec {a_{m}}}={\frac {{\vec {v}}-{\vec {v_{0}}}}{t-t_{0}}}}}"></span> (aceleração média) </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989aec225c534e1ce1cb59738b78ff6beea07664" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:7.556ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {{\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}}}"></span> (aceleração instantânea) </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aceleração_Tangencial"><span id="Acelera.C3.A7.C3.A3o_Tangencial"></span>Aceleração Tangencial</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=14" title="Editar secção: Aceleração Tangencial" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=14" title="Editar código-fonte da secção: Aceleração Tangencial"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Define-se a <b>aceleração tangencial</b> no instante <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span> igual à aceleração média num intervalo de tempo que inclui o tempo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span> , no limite em que o intervalo de tempo,<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c28867ecd34e2caed12cf38feadf6a81a7ee542" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.775ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta t}"></span> , se aproximar de zero. </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{t}(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{t}(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ed6e701499126bd924a92558666400865eeb5a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:16.518ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle a_{t}(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}}"></span> </p><p>Usando a notação abreviada com um ponto por cima, temos a seguinte equação: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{t}={\dot {v}}={\ddot {s}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>s</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{t}={\dot {v}}={\ddot {s}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e01257d0d6eaad453abb18e6ad081697fdc06b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.771ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{t}={\dot {v}}={\ddot {s}}}"></span> </p><p>onde os dois pontos por cima da função indicam a sua segunda derivada em função do tempo. </p><p>Repare que a distância percorrida s(t) é uma função do tempo, sempre positiva e crescente, ou constante. Assim, a sua primeira derivada, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {s}}=v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>s</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {s}}=v}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cea0b0f2a0c346f03ea13f4b52810734631e14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.518ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {s}}=v}"></span>, será sempre positiva, mas a sua segunda derivada, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {s}}=at}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>s</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {s}}=at}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/784128c6334b2a392e883c4eb942c6b2214eed8b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.459ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {s}}=at}"></span> , poderá ter qualquer sinal. Uma aceleração tangencial negativa implica uma diminuição da velocidade e aceleração tangencial nula implica velocidade constante. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Breve_introdução_à_cinemática"><span id="Breve_introdu.C3.A7.C3.A3o_.C3.A0_cinem.C3.A1tica"></span>Breve introdução à cinemática</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=15" title="Editar secção: Breve introdução à cinemática" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=15" title="Editar código-fonte da secção: Breve introdução à cinemática"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A forma mais didática de se iniciar a cinemática é a partir do "movimento unidimensional", embora este seja apenas um caso particular do movimento geral num <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_euclidiano" title="Espaço euclidiano">espaço euclidiano</a> tridimensional (como esse em que vivemos). O movimento unidimensional consiste no movimento de uma "partícula" restrita a uma reta. </p> <ul><li><i><b>Partículas e o movimento sobre uma reta</b></i></li></ul> <p>O conceito de partícula que será usado aqui difere do conceito de partícula encontrado na física quântica (ex: <a href="/wiki/Quark" title="Quark">quarks</a>, <a href="/wiki/El%C3%A9tron" title="Elétron">elétrons</a>). Definiremos uma partícula como algo que possui apenas duas propriedades: localização e massa. Assim, note que a partícula não tem extensão nem forma. Para descrever a posição de um corpo extenso, precisamos dizer a localização de cada pedaço que o compõe, mas isso não é necessário para uma partícula. Graficamente, podemos pensar na partícula como um ponto que possui massa e se move pelo espaço com a passagem do tempo. As partículas não existem na realidade, são objetos matemáticos sobre os quais construímos a primeira descrição realmente poderosa do mundo. </p><p>Num espaço tridimensional, precisamos definir três números, ou "coordenadas", para dar a posição de uma partícula. Isso quer dizer que duas partículas que estejam à mesma altura podem não estar na mesma posição: uma pode simplesmente estar mais "para a frente" ou "para o lado" do que a outra. No entanto, existem casos onde podemos restringir o movimento das partículas a uma reta. Por exemplo, podemos pensar em partículas que só podem se mover "para os lados", não podendo nem subir ou descer e nem ir para a frente ou para trás. Assim, tudo o que precisamos para definir a posição da partícula nesse caso é de uma coordenada, que diz o quanto a partícula está "para o lado". </p><p>Vamos colocar isso de forma mais precisa. Definimos uma reta, à qual estão restritos os movimentos das partículas que estamos considerando. Sobre a reta, definimos um ponto qualquer, chamado de "origem". Definimos então uma coordenada "x" para a partícula. O módulo de x é a distância entre a partícula e a origem; enquanto o sinal é dado como positivo caso a partícula esteja à direita da origem, e negativo caso ela esteja à esquerda. A escolha da direita como positivo e esquerda como negativo é questão de definição: nada impede que se faça o contrário, tomando os devidos cuidados. Também nada impede que se faça uma reta vertical, definindo x como positivo quando estiver acima da origem e negativo abaixo dela, por exemplo. A escolha das "inclinações" da reta são irrelevantes aqui, e espera-se do leitor uma certa abstração quanto a isso. </p> <ul><li><i><b>O problema da descrição</b></i></li></ul> <p>Com os procedimentos acima, está totalmente caracterizada a posição da partícula nisso que chamamos de movimento unidimensional. Agora, lembremos de que estamos caminhando para descrever um "movimento". O pensamento coloquial diria que isso significa que a partícula se move quando o tempo passa. Mas isso é vago, além de redundante: o tratamento adequado é: </p><p>1- Criar um conjunto, correspondente a um intervalo de números reais. Ou seja, define-se um número real t1 e um número real t2, e então todos os infinitos números entre t1 e t2 são elementos desse conjunto. Cada um desses números é um valor do tempo, dentro do intervalo de tempo t1-t2. </p><p>2- Criar um outro conjunto, cujos elementos serão valores da coordenada "x". Esse conjunto deve ser compatível com o "3": </p><p>3- Criar uma função do primeiro ao segundo conjunto. Ou seja, para cada valor do tempo haverá uma posição bem definida da partícula sobre a reta. </p><p>É interessante notar que a "passagem do tempo" inexiste em tal tratamento matemático, de modo que pode-se questionar a sua existência no mundo físico. </p><p>A função definida em "3" caracteriza totalmente o movimento unidimensional. Entretanto, a princípio seria impossível defini-la na prática: teríamos que pegar um por um os infinitos valores do tempo de um certo intervalo e relacionar a cada um deles uma posição diferente para a partícula! Obviamente isso não é necessário no mundo real. Em primeiro lugar, todos os movimentos que pudemos observar até hoje obedecem certas regras. Uma dessas regras é a "continuidade". Não vamos dar aqui uma definição matemática precisa do que é uma função contínua, mas um olhar qualitativo nos mostra que, em funções contínuas, se pegarmos valores do tempo cada vez mais próximos, veremos que as posições das partículas associadas a eles também se aproximarão arbitrariamente. Isso implica que a partícula não pode ir de um lugar ao outro sem antes percorrer todo o caminho entre esses dois pontos! Outras regras serão vistas mais tarde, mas a existência dessas regras implica que podemos escrever o movimento através de equações, o que nos permite fazer o trabalho descrito acima (relacionar infinitos elementos de dois conjuntos) com breves rabiscos no papel. </p><p>A existência de uma função que relaciona a cada valor do tempo uma posição no espaço é denotada por: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=x(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=x(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae1e02df253e3adc6e5d080f37a40a5bc805320" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.407ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=x(t)}"></span> </p><p>Onde t são os valores do tempo. </p> <ul><li><i><b>Velocidade média</b></i></li></ul> <p>Agora que a descrição do movimento unidimensional está completamente caracterizada, vamos pensar em conceitos importantes relacionados a ele. A importância desses conceitos é que eles estão relacionados às regras que regem o movimento, como veremos mais tarde. O primeiro conceito que colocaremos aqui é a velocidade média, definida por: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4f7de67d67a1472a3f6d2e1a94c56dc3cf4a7b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:26.274ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle v_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}"></span> </p><p>Ou seja, a velocidade média entre os tempos t1 e t2 é igual à diferença entre as posições da partícula no tempo t2 e no tempo t1, dividido pela diferença entre esses tempos. Não deve-se pensar que a velocidade média equivale a todo o espaço percorrido em um certo tempo dividido por esse tempo, porque a partícula pode ter retrocedido em seu caminho: pode ter percorrido no total muito mais espaço do que parece a quem vê apenas sua posição inicial e final (como alguém que viaja à Europa e depois de um mês está de volta ao mesmo local). Embora a descrição que leve em consideração o espaço total percorrido pareça muito mais "real", isso NÃO é considerado na velocidade média! Só importa a posição inicial e a final, e o tempo decorrido. </p> <ul><li><i><b>Velocidade instantânea</b></i></li></ul> <p>Fica claro que, quanto menor é o intervalo de tempo t2 - t1, mais precisa é a descrição dada pela velocidade média. Se o tempo for de dez anos, alguém poderia ter conhecido o mundo todo antes de voltar para casa nesse período (e pareceria à velocidade média que ele quase não se deslocou). Mas se o tempo foi de um segundo, a pessoa não pode ter feito tanta coisa assim. Isso nos leva a desejar a formulação do conceito de "velocidade instantânea", ou seja, algo análogo à velocidade média, mas com uma precisão infinita. Para aumentar a precisão da velocidade, é preciso considerar tempos cada vez menores, ou seja, valores de t2 arbitrariamente próximos de t1. Assim, usamos a operação matemática conhecida como "limite": a velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando t2 tende a t1. Ou seja: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(t_{1})=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(t_{1})=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef11a85c726767d064ffe718704bd6aabb694d66" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:26.552ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle v(t_{1})=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}"></span> </p><p>A operação acima descrita é chamada uma "derivada". Se temos uma função qualquer f(t), então a derivada de f(t) no ponto t1 é: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(t)=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {f(t_{2})-f(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(t)=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {f(t_{2})-f(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e683dc12d9b3755936e0f6996a4b420a29fc18e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:26.273ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle f'(t)=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {f(t_{2})-f(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}"></span> </p><p>Ou, se definirmos t2 = t1+h, </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(t_{1})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(t_{1}+h)-f(t_{1})}{h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(t_{1})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(t_{1}+h)-f(t_{1})}{h}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d5ae840c41c2f47bfec9d5b3a8b42e80a4c84e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:30.425ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle f'(t_{1})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(t_{1}+h)-f(t_{1})}{h}}}"></span> </p><p>Assim, fica claro que a velocidade instantânea v(t1) é a derivada da função x(t) no ponto t1. Ou seja, <i>A velocidade instantânea é a derivada temporal da posição</i>. </p><p>Em outras palavras, a velocidade é a taxa de variação da posição: quanto maior a velocidade, mais rápido a posição varia. Se a velocidade for positiva, a posição muda no sentido que foi definido como positivo para a posição (veja a seção "Partículas e o movimento sobre uma reta") . Se for negativa, a posição muda no sentido inverso: o que foi definido negativo para a posição. </p> <ul><li><i><b>Relação entre velocidade média e velocidade instantânea</b></i></li></ul> <p>Este trecho supõe que o leitor entenda o conceito de integral. A partir da equação </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc68e21cfa9e1bbb7f366143c8588aea3025d3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:7.508ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}}"></span> </p><p>Podemos integrar os dois lados em relação a t, de modo a obter </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(t)=\int adt+C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(t)=\int adt+C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4203b4a29ddb612d05af8704f069fa220db726e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.348ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle v(t)=\int adt+C}"></span> </p><p>Com a condição v(0) = v0, fica claro que C = v0, ou seja </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(t)=v_{0}+\int adt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>∫</mo> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(t)=v_{0}+\int adt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c078d336c03c9f9ad250fa0dffb22683e4273f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:17.763ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle v(t)=v_{0}+\int adt}"></span> </p><p>E sabemos que </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}=v_{0}+\int adt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>∫</mo> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}=v_{0}+\int adt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa9f2754e456f23c586b058b8292fde3530ef4ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.595ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}=v_{0}+\int adt}"></span> </p><p>Então, integrando os dois últimos membros, temos </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=x_{0}+v_{o}\Delta t+\int \left(\int adt\right)dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>o</mi> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mo>∫</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>∫</mo> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=x_{0}+v_{o}\Delta t+\int \left(\int adt\right)dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa034d5b2e045b1b2916249784d91e709f5ee06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:31.736ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle x=x_{0}+v_{o}\Delta t+\int \left(\int adt\right)dt}"></span> </p><p>Agora, substituindo isso na definição da velocidade média </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{m}={\frac {x-x_{0}}{\Delta t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{m}={\frac {x-x_{0}}{\Delta t}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95741f0e1e6080c090f83449e0d79634f307c20d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.291ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle v_{m}={\frac {x-x_{0}}{\Delta t}}}"></span> </p><p>temos </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{m}=v_{0}+{\frac {1}{\Delta t}}\int \left(\int adt\right)dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∫</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>∫</mo> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{m}=v_{0}+{\frac {1}{\Delta t}}\int \left(\int adt\right)dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859dd16bd606264f1acfa48686a0df767b4fdbc4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.233ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle v_{m}=v_{0}+{\frac {1}{\Delta t}}\int \left(\int adt\right)dt}"></span> </p><p>Também podemos exprimir este resultado em relação à velocidade instantânea. </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{m}=v_{0}+{\frac {1}{\Delta t}}\int v-v_{0}dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∫</mo> <mi>v</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{m}=v_{0}+{\frac {1}{\Delta t}}\int v-v_{0}dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abfa63fcc442790af823117f0f0a47f53e57cabb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:25.708ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle v_{m}=v_{0}+{\frac {1}{\Delta t}}\int v-v_{0}dt}"></span> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{m}=v_{0}+{\frac {1}{\Delta t}}\left(-v_{0}\Delta t+\int vdt\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mo>∫</mo> <mi>v</mi> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{m}=v_{0}+{\frac {1}{\Delta t}}\left(-v_{0}\Delta t+\int vdt\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed5aeeb0ac02daaf75ae5911f069b2b7eeaa18b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:33.713ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle v_{m}=v_{0}+{\frac {1}{\Delta t}}\left(-v_{0}\Delta t+\int vdt\right)}"></span> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{m}={\frac {1}{\Delta t}}\int vdt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∫</mo> <mi>v</mi> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{m}={\frac {1}{\Delta t}}\int vdt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb6d0659137a38c33ce1be3f9b4191186264678f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.664ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle v_{m}={\frac {1}{\Delta t}}\int vdt}"></span> </p><p>Que é uma relação interessante, e expande o significado físico da velocidade média. </p> <ul><li><i><b>O referencial</b></i></li></ul> <p>Ver "O referencial no movimento unidimensional", no artigo "Referencial" indicado no fim desta página. </p> <ul><li><i><b>A aceleração - média e instantânea</b></i></li></ul> <p>Da mesma forma que definimos a velocidade média, podemos definir a "aceleração média" como </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6b22842515010aac9ecd6267c2c280d79eb6520" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:25.972ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle a_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}"></span> </p><p>E, analogamente à velocidade, a aceleração instantânea: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a(t_{1})=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(t_{1})=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbe2b962685774362eae0d1502bd057702df2e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:26.25ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle a(t_{1})=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {v(t_{2})-v(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}"></span> </p><p>Então, <i>A aceleração instantânea é a derivada temporal da velocidade</i>. A aceleração é a taxa de variação da velocidade: quanto maior a aceleração, mais rápido a velocidade varia. Se a aceleração for positiva, e a velocidade for positiva, então o módulo da velocidade aumenta. Se ela for negativa, e a velocidade, positiva, então o módulo da velocidade diminui. Assim, a aceleração "puxa" a velocidade na direção dela, fazendo-a crescer caso ambas estejam no mesmo sentido, e diminuir caso estejam em sentidos opostos. </p><p>A relação entre aceleração média e instantânea é a mesma que há entre a velocidade média e a instantânea. </p> <ul><li><i><b>Movimento unidimensional uniforme</b></i></li></ul> <p>Este movimento é caracterizado pelo simples fato de que não há aceleração agindo sobre a partícula. </p><p>Aqui (e na seção "Movimento unidimensional uniformemente variado") iremos demonstrar todos os resultados de forma que não requeira o conhecimento do Cálculo. No entanto, o leitor que esteja familiarizado à integração pode notar que todos esses resultados vêm facilmente das relações: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a(t)={\frac {dv}{dt}}\Rightarrow v(t)=v(t)=v_{0}+\int adt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>∫</mo> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(t)={\frac {dv}{dt}}\Rightarrow v(t)=v(t)=v_{0}+\int adt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab4bcc06cffb8a94c5e69e45ba3a160d86be6e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:38.409ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle a(t)={\frac {dv}{dt}}\Rightarrow v(t)=v(t)=v_{0}+\int adt}"></span> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v={\frac {dv}{dt}}\Rightarrow x=x_{0}+v_{o}\Delta t+\int \left(\int adt\right)dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>o</mi> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mo>∫</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>∫</mo> <mi>a</mi> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v={\frac {dv}{dt}}\Rightarrow x=x_{0}+v_{o}\Delta t+\int \left(\int adt\right)dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1cc1cb83e8d0583f89165f93e8acca54811e26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:42.756ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle v={\frac {dv}{dt}}\Rightarrow x=x_{0}+v_{o}\Delta t+\int \left(\int adt\right)dt}"></span> </p><p>Agora, procuraremos formas de demonstrar as equações do movimento uniforme para quem não conheça os métodos da integração. </p><p>Para isso, lembremos que a aceleração é a taxa de variação da velocidade com o tempo. Sendo assim, em um movimento onde não haja aceleração, a velocidade obviamente não varia com o tempo. Isto é, ela permanece constante. Então, no movimento unidimensional uniforme: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(t)=v_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(t)=v_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007ce499d649ff645dc8192a3ebea0d7d97e788e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.057ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v(t)=v_{0}}"></span> </p><p>Então, lembrando que a velocidade é a taxa de variação da posição, e sabendo que ela é constante, vemos que a posição varia uniformemente com o tempo, o que justifica o nome desse movimento. Ou seja, variação da posição é diretamente proporcional ao tempo, sendo a constante de proporcionalidade a velocidade! </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta x(t)=v_{0}\Delta t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x(t)=v_{0}\Delta t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1bd008057a50a37ea8eb04b6c533fd8719078c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.97ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta x(t)=v_{0}\Delta t}"></span> </p><p>Escrevendo delta x = x - x0, temos </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=x_{0}+v_{0}\Delta t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=x_{0}+v_{0}\Delta t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67a696cb22005563f88ffbe0ae4870f1ee701584" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.61ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x=x_{0}+v_{0}\Delta t}"></span> </p><p>Essa equação dá uma descrição completa do movimento uniforme. </p> <ul><li><i><b>Movimento unidimensional uniformemente variado</b></i></li></ul> <p>Esse movimento é caracterizado pelo fato de que a aceleração é constante. Lembrando que a aceleração é a taxa de variação da velocidade (assim como a velocidade é a taxa de variação da posição), podemos escrever a relação entre a velocidade e a aceleração da mesma forma que escrevemos a relação entre a posição e a velocidade: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(t)=v_{0}+a\Delta t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(t)=v_{0}+a\Delta t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc1f4b572e4d29e4ae8f2472e77e399aeaf09a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.903ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v(t)=v_{0}+a\Delta t}"></span> </p><p>Para encontrar x, podemos usar a velocidade média: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4f7de67d67a1472a3f6d2e1a94c56dc3cf4a7b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:26.274ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle v_{m}(t_{1},t_{2})={\frac {x(t_{2})-x(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}}"></span> </p><p>Que leva a </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{m}(t_{1},t_{2})\Delta t+x_{0}=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{m}(t_{1},t_{2})\Delta t+x_{0}=x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058fad4b247453037329e635b48d4c1f70f2b979" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.862ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v_{m}(t_{1},t_{2})\Delta t+x_{0}=x}"></span> </p><p>Como a velocidade cresce uniformemente, a velocidade média deve ser a média aritmética entre a velocidade final (ou simplesmente v(t)) e a velocidade inicial </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{m}(t)={\frac {v(t)+v_{0}}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{m}(t)={\frac {v(t)+v_{0}}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae1e136676af7f8bfd3c851a7087241ebc47882e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.185ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle v_{m}(t)={\frac {v(t)+v_{0}}{2}}}"></span> </p><p>Assim, </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}+\Delta t{\frac {v(t)+v_{0}}{2}}=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}+\Delta t{\frac {v(t)+v_{0}}{2}}=x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25b87455b0808163f0cd2377e7e2ebce0c9900e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:22.063ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle x_{0}+\Delta t{\frac {v(t)+v_{0}}{2}}=x}"></span> </p><p>E, usando o valor de v(t) encontrado lá em cima, temos: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)=x_{0}+{\frac {v_{0}+a\Delta t+v_{0}}{2}}\Delta t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)=x_{0}+{\frac {v_{0}+a\Delta t+v_{0}}{2}}\Delta t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177f8471c80c6b2a3795ed1272fc001c9fa9bf2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:29.963ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle x(t)=x_{0}+{\frac {v_{0}+a\Delta t+v_{0}}{2}}\Delta t}"></span> </p><p>De onde vem: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)=x_{0}+v_{0}\Delta t+{\frac {1}{2}}a(\Delta t)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)=x_{0}+v_{0}\Delta t+{\frac {1}{2}}a(\Delta t)^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c0656e3df5b0b6a82660a61cbf082af071cb86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:28.967ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle x(t)=x_{0}+v_{0}\Delta t+{\frac {1}{2}}a(\Delta t)^{2}}"></span> </p><p>Em certos casos, convém encontrar x em função da velocidade instantânea, e não do tempo. Para isso, basta encontrar o valor do tempo em função da velocidade através da equação da velocidade: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(t)=v_{0}+a\Delta t\Rightarrow \Delta t={\frac {v-v_{0}}{a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(t)=v_{0}+a\Delta t\Rightarrow \Delta t={\frac {v-v_{0}}{a}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac413ae45df45148362ae3f258a4b34e72554d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:32.377ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle v(t)=v_{0}+a\Delta t\Rightarrow \Delta t={\frac {v-v_{0}}{a}}}"></span> </p><p>E substituir o tempo por esse valor, na equação de x(t): </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)=x_{0}+v_{0}\left({\frac {v-v_{0}}{a}}\right)+{\frac {1}{2}}a\left({\frac {v-v_{0}}{a}}\right)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>a</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)=x_{0}+v_{0}\left({\frac {v-v_{0}}{a}}\right)+{\frac {1}{2}}a\left({\frac {v-v_{0}}{a}}\right)^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50892c9e018ea8ff40936f0c48817cc8a8f9c44" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:42.808ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle x(t)=x_{0}+v_{0}\left({\frac {v-v_{0}}{a}}\right)+{\frac {1}{2}}a\left({\frac {v-v_{0}}{a}}\right)^{2}}"></span> </p><p>O que arrumamos para obter uma equação mais singela: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(v)=x_{0}+{\frac {v_{0}v-v_{0}^{2}}{a}}+{\frac {1}{2}}a{\frac {v^{2}-2vv_{0}+v_{0}^{2}}{a^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>v</mi> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(v)=x_{0}+{\frac {v_{0}v-v_{0}^{2}}{a}}+{\frac {1}{2}}a{\frac {v^{2}-2vv_{0}+v_{0}^{2}}{a^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4261fa511f22fe9832b5d879f94bcfb1a12584" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:43.179ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle x(v)=x_{0}+{\frac {v_{0}v-v_{0}^{2}}{a}}+{\frac {1}{2}}a{\frac {v^{2}-2vv_{0}+v_{0}^{2}}{a^{2}}}}"></span> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(v)=x_{0}+{\frac {v_{0}v-v_{0}^{2}}{a}}+{\frac {v^{2}-2vv_{0}+v_{0}^{2}}{2a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>v</mi> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mi>a</mi> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(v)=x_{0}+{\frac {v_{0}v-v_{0}^{2}}{a}}+{\frac {v^{2}-2vv_{0}+v_{0}^{2}}{2a}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0dbad5afe9e2899eb91894b449a92dfb4d34b37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:39.95ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle x(v)=x_{0}+{\frac {v_{0}v-v_{0}^{2}}{a}}+{\frac {v^{2}-2vv_{0}+v_{0}^{2}}{2a}}}"></span> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(v)=x_{0}+{\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(v)=x_{0}+{\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb01623d09293f843635660ceb1abe8d3bf7fe9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:20.63ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle x(v)=x_{0}+{\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}}"></span> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(v)-x_{0}=\Delta x={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(v)-x_{0}=\Delta x={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/683b6a470f241188763e988679559896ec6d17d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:26.994ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle x(v)-x_{0}=\Delta x={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}}"></span> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f03cad5c4628b3090f74462dcfd15cc4f1b011" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.96ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x}"></span> </p><p>Que é uma equação bastante útil. O conceito de trabalho emerge dela, como pode ser visto no artigo "Trabalho", que está indicado no fim desta página. </p><p>Note que o movimento uniforme é um caso especial do movimento uniformemente variado. Basta colocarmos na equação inicial (a=C), C = 0. Assim, a aceleração é 0, e todas as equações se reduzem às do movimento uniforme: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v(t)=v_{0}+0.\Delta t\Rightarrow v(t)=v_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>0.</mn> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v(t)=v_{0}+0.\Delta t\Rightarrow v(t)=v_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d03d29c135987d5cc481dcf69fe17de9cdb7c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.153ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v(t)=v_{0}+0.\Delta t\Rightarrow v(t)=v_{0}}"></span> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)=x_{0}+v_{0}\Delta t+{\frac {1}{2}}.0(\Delta t)^{2}\Rightarrow x(t)=x_{0}+v_{0}\Delta t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mn>.0</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)=x_{0}+v_{0}\Delta t+{\frac {1}{2}}.0(\Delta t)^{2}\Rightarrow x(t)=x_{0}+v_{0}\Delta t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510f5f2cd26a907fe6c1e5c91c1c2fe75a269488" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:50.419ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle x(t)=x_{0}+v_{0}\Delta t+{\frac {1}{2}}.0(\Delta t)^{2}\Rightarrow x(t)=x_{0}+v_{0}\Delta t}"></span> </p><p>A equação </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f03cad5c4628b3090f74462dcfd15cc4f1b011" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.96ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x}"></span> </p><p>com a=0, nos dá a identidade, já que v = v_0: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v^{2}-v^{2}=2.0.\Delta x\Rightarrow 0=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>2.0.</mn> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v^{2}-v^{2}=2.0.\Delta x\Rightarrow 0=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6731fef0391a2f128d5d45c5a08c6e8fc9d622fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:26.224ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v^{2}-v^{2}=2.0.\Delta x\Rightarrow 0=0}"></span> </p><p>Isso reflete o fato de que saber a velocidade em um dado instante não é o bastante para saber a posição nesse instante. De fato, todas as posições correspondem à mesma velocidade. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Equações_cinemáticas"><span id="Equa.C3.A7.C3.B5es_cinem.C3.A1ticas"></span>Equações cinemáticas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=16" title="Editar secção: Equações cinemáticas" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=16" title="Editar código-fonte da secção: Equações cinemáticas"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Se tivermos uma expressão matemática para uma das variáveis cinemáticas em função do tempo, as expressões para as outras duas variáveis podem ser calculadas resolvendo as equações cinemáticas.<sup id="cite_ref-Villate2_9-1" class="reference"><a href="#cite_note-Villate2-9"><span>[</span>9<span>]</span></a></sup> </p><p>Nos casos em que é conhecida uma expressão para a velocidade em função da distância percorrida <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}"></span>, a derivada da velocidade em ordem ao tempo deve ser calculada usando a regra da cadeia para funções implícitas: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{\mathrm {t} }={\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,t}}={\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}{\dfrac {\mathrm {d} \,s}{\mathrm {d} \,t}}={\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}\,{\dot {s}}=v\,{\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>s</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>s</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>s</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>s</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>s</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{\mathrm {t} }={\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,t}}={\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}{\dfrac {\mathrm {d} \,s}{\mathrm {d} \,t}}={\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}\,{\dot {s}}=v\,{\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d7179bb4d1c142801b18204c0a4586333654fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:35.869ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle a_{\mathrm {t} }={\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,t}}={\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}{\dfrac {\mathrm {d} \,s}{\mathrm {d} \,t}}={\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}\,{\dot {s}}=v\,{\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}}"></span> </p><p>Esta é outra equação cinemática. Resumindo, há quatro equações cinemáticas: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v={\dot {s}}\qquad a_{\mathrm {t} }={\dot {v}}\qquad a_{\mathrm {t} }={\ddot {s}}\qquad a_{\mathrm {t} }=v\,{\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>s</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="2em" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="2em" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>s</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="2em" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>s</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v={\dot {s}}\qquad a_{\mathrm {t} }={\dot {v}}\qquad a_{\mathrm {t} }={\ddot {s}}\qquad a_{\mathrm {t} }=v\,{\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36ba7cdac97ab90f4719a91581a58bc6438f6f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:42.731ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle v={\dot {s}}\qquad a_{\mathrm {t} }={\dot {v}}\qquad a_{\mathrm {t} }={\ddot {s}}\qquad a_{\mathrm {t} }=v\,{\dfrac {\mathrm {d} \,v}{\mathrm {d} \,s}}}"></span> </p><p>e quatro variáveis: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{\mathrm {t} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{\mathrm {t} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82711be5d590f1370274190d9a91a2645283f522" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.102ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{\mathrm {t} }}"></span>. </p><p>Em cada uma das equações cinemáticas aparecem 3 dessas variáveis. Para poder resolver alguma dessas <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais" class="mw-redirect" title="Equações diferenciais">equações diferenciais</a> de primeira ordem usando os métodos analíticos tradicionais, é necessário conhecer uma expressão que relacione as 3 variáveis na equação, para poder eliminar uma das variáveis; uma equação diferencial ordinária tem sempre duas variáveis, uma delas considerada variável independente.<sup id="cite_ref-Villate2_9-2" class="reference"><a href="#cite_note-Villate2-9"><span>[</span>9<span>]</span></a></sup> </p><p>Por exemplo, a equação <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v={\dot {s}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>s</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v={\dot {s}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824f65aa4d340737cb71a897af704e135131cee1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.518ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle v={\dot {s}}}"></span> relaciona as três variáveis <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}"></span> , <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span> (o ponto é derivação em ordem a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span>); para resolver essa equação é necessário conhecer uma expressão para <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}"></span>, em função de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span>, ou para <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}"></span> em função de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span> ou ainda para <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span> em função de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle s}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Movimento_ao_longo_de_um_eixo">Movimento ao longo de um eixo</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=17" title="Editar secção: Movimento ao longo de um eixo" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=17" title="Editar código-fonte da secção: Movimento ao longo de um eixo"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Em alguns casos é mais conveniente trabalhar com a posição em vez da distância percorrida. Para medir a posição ao longo do percurso, escolhem-se uma origem e um sentido positivo no percurso. A posição será indicada por meio de uma coordenada <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>que pode ser positiva, negativa ou nula.<sup id="cite_ref-Villate2_9-3" class="reference"><a href="#cite_note-Villate2-9"><span>[</span>9<span>]</span></a></sup> </p><p>Essa coordenada poderá ser medida ao longo de um eixo retilíneo (eixo dos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>) que não coincide com a trajetória do objeto e, nesse caso, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> indicará a posição da projeção do ponto no eixo dos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>. </p><p>Mas também é possível usar <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> para representar a posição medida ao longo do percurso do objeto e, nesse caso, o eixo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> poderá ser uma curva em vez de uma reta. </p><p>A derivada da coordenada <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> em ordem ao tempo é a componente a componente da velocidade <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704b7ad1ece77840fde455daa6d2e51e64282b5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.3ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{x}}"></span> que também poderá qualquer sinal e a derivada de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704b7ad1ece77840fde455daa6d2e51e64282b5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.3ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{x}}"></span> em ordem ao tempo será a componente da aceleração segundo a trajetória, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339ff13ca52000e5467b829dfd008f6846820b57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.402ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{x}}"></span>. </p><p>O sinal de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/339ff13ca52000e5467b829dfd008f6846820b57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.402ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{x}}"></span> já não indicará diretamente se o objeto está a andar mais depressa ou a abrandar, pois será necessário ter em conta também o sinal de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704b7ad1ece77840fde455daa6d2e51e64282b5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.3ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{x}}"></span>. </p><p>Em função das componentes ao longo do eixo as equações cinemáticas apresentam a mesma forma que as equações cinemáticas: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{x}={\dot {x}}\qquad a_{x}={\dot {v}}_{x}\qquad a_{x}={\ddot {x}}\qquad a_{x}=v_{x}\,{\dfrac {\mathrm {d} \,v_{x}}{\mathrm {d} \,x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="2em" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mspace width="2em" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo>¨</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="2em" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{x}={\dot {x}}\qquad a_{x}={\dot {v}}_{x}\qquad a_{x}={\ddot {x}}\qquad a_{x}=v_{x}\,{\dfrac {\mathrm {d} \,v_{x}}{\mathrm {d} \,x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1768b70c0b86f18602fe0cf6afc767e74850da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:48.398ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle v_{x}={\dot {x}}\qquad a_{x}={\dot {v}}_{x}\qquad a_{x}={\ddot {x}}\qquad a_{x}=v_{x}\,{\dfrac {\mathrm {d} \,v_{x}}{\mathrm {d} \,x}}}"></span> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>pode ser também substituído por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}"></span> ou qualquer outra letra que seja usada para chamar o eixo ao longo do percurso.<sup id="cite_ref-Villate2_9-4" class="reference"><a href="#cite_note-Villate2-9"><span>[</span>9<span>]</span></a></sup> </p><p>A relação das componentes da velocidade e da aceleração com a velocidade e a aceleração segundo a trajetória é: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v=|v_{x}|\qquad a_{\mathrm {t} }=a_{x}\quad ({\mbox{se }}v_{x}>0)\qquad a_{\mathrm {t} }=-a_{x}\quad ({\mbox{se }}v_{x}<0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mspace width="2em" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>se </mtext> </mstyle> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="2em" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>se </mtext> </mstyle> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo><</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=|v_{x}|\qquad a_{\mathrm {t} }=a_{x}\quad ({\mbox{se }}v_{x}>0)\qquad a_{\mathrm {t} }=-a_{x}\quad ({\mbox{se }}v_{x}<0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731272eae1026d5c9d08457cdedee0c47995264b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:60.568ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v=|v_{x}|\qquad a_{\mathrm {t} }=a_{x}\quad ({\mbox{se }}v_{x}>0)\qquad a_{\mathrm {t} }=-a_{x}\quad ({\mbox{se }}v_{x}<0)}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Equações_lineares_de_movimento"><span id="Equa.C3.A7.C3.B5es_lineares_de_movimento"></span>Equações lineares de movimento</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=18" title="Editar secção: Equações lineares de movimento" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=18" title="Editar código-fonte da secção: Equações lineares de movimento"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>O corpo é considerado em dois instantes no <a href="/wiki/Tempo" title="Tempo">tempo</a>: um ponto "inicial" e o "atual". Frequentemente, problemas na cinemática lidam com mais de dois instantes e diversas aplicações das equações são necessárias. </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v=v_{0}+a\Delta t\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=v_{0}+a\Delta t\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077fd0d1fc23bf01af31fecccf5517860fcfe245" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.641ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle v=v_{0}+a\Delta t\,}"></span> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta s={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(v_{0}+v)\Delta t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta s={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(v_{0}+v)\Delta t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab22eb30434b4118c88596d1696de076de03c48" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.968ex; margin-bottom: -0.203ex; width:19.269ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta s={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(v_{0}+v)\Delta t}"></span> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta s=v_{0}\Delta t+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}a\Delta t^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta s=v_{0}\Delta t+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}a\Delta t^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57e053a388e7b5239bcd729f018635182df5127f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.968ex; margin-bottom: -0.203ex; width:21.392ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta s=v_{0}\Delta t+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}a\Delta t^{2}}"></span> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta s\ \,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta s\ \,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e338bc6d6ce2860e1204fcf9d029a0ae820a7d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.689ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta s\ \,}"></span> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta s=v\Delta t-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}a\Delta t^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mi>a</mi> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta s=v\Delta t-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}a\Delta t^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88af4b19b35afa3794087c07ae72b7898370c34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.968ex; margin-bottom: -0.203ex; width:20.337ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta s=v\Delta t-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}a\Delta t^{2}}"></span> </p><p>onde </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{0}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{0}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6273076a05849f0b31339a870f9de2a207ea9e0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.569ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{0}\,}"></span> (m/s) é a velocidade inicial do corpo</li> <li>Seu estado atual é definido por: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta s\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>s</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta s\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ea660dcc0ecd27177dbd1a958d5bb84f217c2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.413ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta s\,}"></span>(m), a distância percorrida desde o instante inicial</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b67d1fd725a759a151374b793113d7a78a65da4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.515ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v\,}"></span>(m/s), a <a href="/wiki/Velocidade" title="Velocidade">velocidade</a> atual</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f7d83f727a0b8da1174147a766e028e1f37325" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.163ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta t\,}"></span>(s), a variação de tempo entre o instante atual e o instante inicial</li></ul> <ul><li><i>a</i> (m/s^2) é a aceleração constante, ou no caso de corpos se movendo sob a ação da <a href="/wiki/Gravidade" title="Gravidade">gravidade</a>, <i>g</i>.</li></ul> <p>Note que cada uma das equações contém quatro das cinco <a href="/wiki/Vari%C3%A1vel_(matem%C3%A1tica)" title="Variável (matemática)">variáveis</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aceleração_da_gravidade"><span id="Acelera.C3.A7.C3.A3o_da_gravidade"></span>Aceleração da gravidade</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=19" title="Editar secção: Aceleração da gravidade" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=19" title="Editar código-fonte da secção: Aceleração da gravidade"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Perto da superfície da Terra, todos os objetos que sejam deixados deslocar-se livremente, têm uma aceleração com valor constante, chamada aceleração da gravidade e representada pela letra <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"></span>. </p><p>Em diferentes locais o valor de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"></span> sofre alterações, mas, na maioria das vezes, considera-se aproximadamente <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 9.8m/s^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>9.8</mn> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 9.8m/s^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cfa824bf7b382efb8a2d10e23ff16510663976" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.319ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 9.8m/s^{2}}"></span>.<sup id="cite_ref-Unnamed-xX4F-1_10-1" class="reference"><a href="#cite_note-Unnamed-xX4F-1-10"><span>[</span>10<span>]</span></a></sup> </p><p>A resistência do ar produz outra aceleração que contraria o movimento, mas quando essa resistência for desprezável, admite-se que o valor da aceleração é constante e igual a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"></span>. <sup id="cite_ref-Villate1_11-4" class="reference"><a href="#cite_note-Villate1-11"><span>[</span>11<span>]</span></a></sup> </p><p>A aceleração segundo a trajetória produzida pela gravidade poderá ser positiva, negativa ou nula, já que pode fazer aumentar ou diminuir a velocidade do objeto, e poderá ter um valor diferente de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"></span> se a trajetória não for vertical. </p><p>Mas se o eixo dos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> for definido na vertical e apontando para cima, a componente da aceleração no eixo dos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> (projeção na vertical do movimento do objeto) terá sempre o valor constante <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{y}=-9.8m/s^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>9.8</mn> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{y}=-9.8m/s^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9db600f7a6943482bb89c16052455c69260c916e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.505ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle a_{y}=-9.8m/s^{2}}"></span> (ou +9.8 se o sentido positivo do eixo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> for definido para baixo). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lançamento_de_projéteis"><span id="Lan.C3.A7amento_de_proj.C3.A9teis"></span>Lançamento de projéteis</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=20" title="Editar secção: Lançamento de projéteis" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=20" title="Editar código-fonte da secção: Lançamento de projéteis"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Escolhendo o eixo dos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}"></span> na direção vertical, com sentido positivo para cima, a forma vetorial da aceleração da gravidade é: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}=-g\,{\vec {e}}_{z}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>g</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}=-g\,{\vec {e}}_{z}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f125cf0b82eecbfcd7ed959ebfd33aba5c2b3fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.864ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}=-g\,{\vec {e}}_{z}}"></span> </p><p>onde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"></span> é, aproximadamente, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 9,8m/s^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>9</mn> <mo>,</mo> <mn>8</mn> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 9,8m/s^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60c027511451fe24f1f0f0575a252803f5eafacf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.706ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle 9,8m/s^{2}}"></span>. </p><p>Se um projétil for lançado com velocidade inicial <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d34b1e25dd2ffa9b22bc4feea150535ff55c8f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.23ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}"></span> , a aceleração da gravidade alterará essa velocidade, na direção de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}_{z}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}_{z}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d7dc5dd50fc55f2d715e40e466e29e28a56ffb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.225ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {e}}_{z}}"></span> , produzindo uma nova velocidade que estará no mesmo plano formado pelos vetores <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d34b1e25dd2ffa9b22bc4feea150535ff55c8f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.23ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}_{z}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}_{z}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d7dc5dd50fc55f2d715e40e466e29e28a56ffb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.225ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {e}}_{z}}"></span>. </p><p>Conclui-se assim que a trajetória do projétil estará sempre no plano vertical formado por <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d34b1e25dd2ffa9b22bc4feea150535ff55c8f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.23ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}_{z}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}_{z}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d7dc5dd50fc55f2d715e40e466e29e28a56ffb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.225ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {e}}_{z}}"></span>. </p><p>A única exceção a essa regra é quando <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d34b1e25dd2ffa9b22bc4feea150535ff55c8f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.23ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}"></span> for vertical; nesse caso, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d34b1e25dd2ffa9b22bc4feea150535ff55c8f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.23ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{0}}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {e}}_{z}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {e}}_{z}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d7dc5dd50fc55f2d715e40e466e29e28a56ffb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.225ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {e}}_{z}}"></span> não formam um plano e a trajetória é uma reta vertical. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ver_também"><span id="Ver_tamb.C3.A9m"></span>Ver também</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&veaction=edit&section=21" title="Editar secção: Ver também" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Cinem%C3%A1tica&action=edit&section=21" title="Editar código-fonte da secção: Ver também"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="infobox noprint" style="width:250px; line-height:2.2em; font-size:90%"> <tbody><tr style="line-height:1.3em"> <td colspan="2" style="text-align: center;">Outros projetos <a href="/wiki/Wikimedia" class="mw-redirect" title="Wikimedia">Wikimedia</a> também contêm material sobre este tema: </td></tr> <tr> <th><span typeof="mw:File"><a href="https://pt.wikibooks.org/wiki/Special:Search/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_F%C3%ADsica/Cinem%C3%A1tica" title="Wikilivros"><img alt="Wikilivros" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/21px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="21" height="21" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/32px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/42px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></a></span> </th> <td><a href="https://pt.wikibooks.org/wiki/Special:Search/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_F%C3%ADsica/Cinem%C3%A1tica" class="extiw" title="b:Special:Search/Introdução à Física/Cinemática"><span title="Procurar por livros e manuais no Wikilivros"><b>Livros e manuais</b></span></a> no <a href="https://pt.wikibooks.org/wiki/P%C3%A1gina_principal" class="extiw" title="b:Página principal"><span title="Wikilivros">Wikilivros</span></a> </td></tr> <tr> <th><span typeof="mw:File"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:Search/Category:Kinematics" title="Commons"><img alt="Commons" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/21px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="21" height="28" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/32px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/42px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></span> </th> <td><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:Search/Category:Kinematics" class="extiw" title="commons:Special:Search/Category:Kinematics"><span title="Procurar pelas categorias no Commons"><b>Categoria</b></span></a> no <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/P%C3%A1gina_principal" class="extiw" title="commons:Página principal"><span title="Commons">Commons</span></a> </td></tr> </tbody></table><div id="interProject" style="display:none;"> <ul><li><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:Search/Category:Kinematics" class="extiw" title="commons:Special:Search/Category:Kinematics"><span title="Commons (categoria)">Commons</span></a></li> <li><a href="https://pt.wikibooks.org/wiki/Special:Search/Introdu%C3%A7%C3%A3o_%C3%A0_F%C3%ADsica/Cinem%C3%A1tica" class="extiw" title="b:Special:Search/Introdução à Física/Cinemática"><span title="Wikilivros">Wikilivros</span></a></li></ul> </div> <div style="-moz-column-count: 2; -webkit-column-count: 2; column-count: 2;"> <ul><li><a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">Derivada</a></li> <li><a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" title="Função (matemática)">Função (matemática)</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_parab%C3%B3lico" title="Movimento parabólico">Movimento parabólico</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_retil%C3%ADneo" title="Movimento retilíneo">Movimento retilíneo</a></li> <li><a href="/wiki/Movimento_retil%C3%ADneo_uniforme" title="Movimento retilíneo uniforme">Movimento retilíneo uniforme</a></li> <li><a href="/wiki/Paradoxos_de_Zeno" class="mw-redirect" title="Paradoxos de Zeno">Paradoxos de Zeno</a></li> <li><a href="/wiki/Ponto_material" title="Ponto material">Ponto material</a></li> <li><a href="/wiki/Referencial" title="Referencial">Referencial</a></li></ul> </div> <h2 id="Referências" style="cursor: help;" title="Esta seção foi configurada para não ser editável diretamente. Edite a página toda ou a seção anterior em vez disso."><span id="Refer.C3.AAncias"></span>Referências</h2> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book">Whittaker, Edmund (1904). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=epH1hCB7N2MC"><i>A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies</i></a>. [S.l.]: Cambridge University Press. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0-521-35883-3" title="Especial:Fontes de livros/0-521-35883-3">0-521-35883-3</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3ACinem%C3%A1tica&rft.aufirst=Edmund&rft.aulast=Whittaker&rft.btitle=A+Treatise+on+the+Analytical+Dynamics+of+Particles+and+Rigid+Bodies&rft.date=1904&rft.genre=book&rft.isbn=0-521-35883-3&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DepH1hCB7N2MC&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book">Beggs, Joseph (1983). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=y6iJ1NIYSmgC"><i>Kinematics</i></a>. 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transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:F%C3%ADsica&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">e</abbr></a></li></ul></div><div id="Campos_de_estudo_da_Física" style="font-size:114%;margin:0 4em">Campos de estudo da <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">Física</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Divisões</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_te%C3%B3rica" title="Física teórica">Física teórica</a> <ul><li><a href="/wiki/Fenomenologia_(f%C3%ADsica_de_part%C3%ADculas)" title="Fenomenologia (física de partículas)">Fenomenologia</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_computacional" title="Física computacional">Física computacional</a></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_experimental" title="Física experimental">Física experimental </a></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_aplicada" title="Física aplicada">Aplicada</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/F%C3%ADsica_cl%C3%A1ssica" class="mw-redirect" title="Física clássica">Clássica</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Mec%C3%A2nica_cl%C3%A1ssica" title="Mecânica clássica">Mecânica clássica</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Mec%C3%A2nica_de_meios_cont%C3%ADnuos" title="Mecânica de meios contínuos">Mecânica de meios contínuos</a> <ul><li><a href="/wiki/Mec%C3%A2nica_dos_s%C3%B3lidos" title="Mecânica dos sólidos">Mecânica dos sólidos </a></li> <li><a href="/wiki/Mec%C3%A2nica_dos_fluidos" title="Mecânica dos fluidos">Mecânica dos fluidos</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Ac%C3%BAstica" title="Acústica">Acústica </a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Eletromagnetismo" title="Eletromagnetismo">Eletromagnetismo</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Eletrost%C3%A1tica" title="Eletrostática">Eletrostática </a></li> <li><a href="/wiki/Magnetost%C3%A1tica" title="Magnetostática">Magnetostática </a></li> <li><a href="/wiki/Plasma" title="Plasma">Plasma</a></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_de_aceleradores" title="Física de aceleradores">Física de aceleradores</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Mec%C3%A2nica_estat%C3%ADstica" title="Mecânica estatística">Mecânica estatística</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Termodin%C3%A2mica" title="Termodinâmica">Termodinâmica</a></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_da_mat%C3%A9ria_condensada" title="Física da matéria condensada">Física da matéria condensada</a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=F%C3%ADsica_material&action=edit&redlink=1" class="new" title="Física material (página não existe)">Física material</a></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_mesosc%C3%B3pica" title="Física mesoscópica">Física mesoscópica </a></li> <li><a href="/w/index.php?title=F%C3%ADsica_de_pol%C3%ADmeros&action=edit&redlink=1" class="new" title="Física de polímeros (página não existe)">Física de polímeros</a></li> <li><a href="/wiki/Mat%C3%A9ria_mole" title="Matéria mole">Matéria mole</a></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_do_estado_s%C3%B3lido" title="Física do estado sólido">Física do estado sólido</a></li></ul></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/F%C3%ADsica_moderna" title="Física moderna">Física moderna</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica" title="Mecânica quântica">Mecânica quântica</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Eletrodin%C3%A2mica_qu%C3%A2ntica" title="Eletrodinâmica quântica">Eletrodinâmica quântica</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_qu%C3%A2ntica_de_campos" title="Teoria quântica de campos">Teoria quântica de campos</a></li> <li><a href="/wiki/Gravita%C3%A7%C3%A3o_qu%C3%A2ntica" title="Gravitação quântica">Gravitação quântica</a></li> <li><a href="/wiki/Informa%C3%A7%C3%A3o_qu%C3%A2ntica" class="mw-redirect" title="Informação quântica">Informação quântica</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Mec%C3%A2nica_relativista" title="Mecânica relativista">Mecânica relativista</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Relatividade_geral" title="Relatividade geral">Relatividade geral</a></li> <li><a href="/wiki/Relatividade_restrita" title="Relatividade restrita">Relatividade restrita </a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/F%C3%ADsica_de_part%C3%ADculas" title="Física de partículas">Física de partículas</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Astrof%C3%ADsica_de_part%C3%ADculas" title="Astrofísica de partículas">Astrofísica de partículas</a></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_nuclear" title="Física nuclear">Física nuclear</a></li> <li><a href="/wiki/Cromodin%C3%A2mica_qu%C3%A2ntica" title="Cromodinâmica quântica">Cromodinâmica quântica</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Física atômica, molecular e óptica</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_at%C3%B4mica" title="Física atômica">Física atômica</a></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_molecular" title="Física molecular">Física molecular</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%93tica" class="mw-redirect" title="Ótica">Ótica</a></li> <li><a href="/wiki/Fot%C3%B4nica" title="Fotônica">Fotônica </a></li> <li><a href="/wiki/%C3%93ptica_qu%C3%A2ntica" title="Óptica quântica">Óptica quântica</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Cosmologia_f%C3%ADsica" title="Cosmologia física">Cosmologia física</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Astrof%C3%ADsica" title="Astrofísica">Astrofísica</a> <ul><li><a href="/wiki/Astrof%C3%ADsica_nuclear" title="Astrofísica nuclear">Astrofísica nuclear</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Mec%C3%A2nica_celeste" title="Mecânica celeste">Mecânica celeste</a></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_solar" title="Física solar">Física solar</a> <ul><li><a href="/wiki/Heliof%C3%ADsica" title="Heliofísica">Heliofísica</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_espacial" class="mw-redirect" title="Física espacial">Física espacial</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Categoria:F%C3%ADsica_aplicada_e_interdisciplinar" title="Categoria:Física aplicada e interdisciplinar">Interdisciplinar</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Agrof%C3%ADsica" title="Agrofísica">Agrofísica</a></li> <li><a href="/wiki/Biof%C3%ADsica" title="Biofísica">Biofísica</a> <ul><li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_m%C3%A9dica" title="Física médica">Física médica</a></li> <li><a href="/wiki/Neurof%C3%ADsica" title="Neurofísica">Neurofísica</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Engenharia_f%C3%ADsica" title="Engenharia física">Engenharia física</a></li> <li><a href="/wiki/Geof%C3%ADsica" title="Geofísica">Geofísica</a> <ul><li><a href="/wiki/Meteorologia_f%C3%ADsica" title="Meteorologia física">Meteorologia física</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=F%C3%ADsica_das_nuvens&action=edit&redlink=1" class="new" title="Física das nuvens (página não existe)">Física das nuvens</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1tica" title="Física matemática">Física matemática</a></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsico-qu%C3%ADmica" title="Físico-química">Físico-química</a> <ul><li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_qu%C3%ADmica" class="mw-redirect" title="Física química">Física química</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Computador_qu%C3%A2ntico" title="Computador quântico">Computador quântico</a></li> <li><a href="/wiki/Sociof%C3%ADsica" title="Sociofísica">Sociofísica</a> <ul><li><a href="/wiki/Econof%C3%ADsica" title="Econofísica">Econofísica </a></li></ul></li></ul> </div></td></tr><tr><td class="navbox-abovebelow" colspan="2"><div><a href="/wiki/Hist%C3%B3ria_da_f%C3%ADsica" title="História da física">História da física</a>, <a href="/wiki/Nobel_de_F%C3%ADsica" class="mw-redirect" title="Nobel de Física">Nobel de Física </a>, <a href="/wiki/Teoria_de_tudo" title="Teoria de tudo">Teoria de tudo</a></div></td></tr></tbody></table></div> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Controle_de_autoridade" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th id="Controle_de_autoridade" scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;width: 12%; text-align:center;"><a href="/wiki/Ajuda:Controle_de_autoridade" title="Ajuda:Controle de autoridade">Controle de autoridade</a></th><td class="navbox-list navbox-odd plainlinks" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Main_Page" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span>: <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q11476" class="extiw" title="wikidata:Q11476">Q11476</a></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Tesauro_de_Arte_e_Arquitetura" title="Tesauro de Arte e Arquitetura">AAT</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.getty.edu/vow/AATFullDisplay?find=&logic=AND&note=&subjectid=300065458">300065458</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_Central_de_Floren%C3%A7a" title="Biblioteca Nacional Central de Florença">BNCF</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=32555">32555</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_da_Espanha" title="Biblioteca Nacional da Espanha">BNE</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://datos.bne.es/resource/XX525554">XX525554</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_da_Fran%C3%A7a" title="Biblioteca Nacional da França">BNF</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11947049q">11947049q</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Grande_Enciclop%C3%A9dia_Sovi%C3%A9tica" title="Grande Enciclopédia Soviética">BRE</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://old.bigenc.ru/text/2064409">2064409</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Encyclop%C3%A6dia_Britannica" title="Encyclopædia Britannica">EBID</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/science/kinematics">ID</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4030664-1">4030664-1</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/*/https://www.jstor.org/topic/kinematics">kinematics</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/N%C3%BAmero_de_controle_da_Biblioteca_do_Congresso" title="Número de controle da Biblioteca do Congresso">LCCN</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85072381">sh85072381</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_da_Dieta" title="Biblioteca Nacional da Dieta">NDL</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00574002">00574002</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_T%C3%A9cnica_Nacional_de_Praga" title="Biblioteca Técnica Nacional de Praga">PSH</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://psh.techlib.cz/skos/PSH2930">2930</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Enciclop%C3%A9dia_Treccani" title="Enciclopédia Treccani">Treccani</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.treccani.it/enciclopedia/cinematica">cinematica</a></span></span></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <ul class="noprint navigation-box" style="border-top: solid silver 1px; border-right: solid silver 1px; border-bottom:1px solid silver; border-left: solid silver 1px; padding:3px; background-color: #F9F9F9; text-align: center; margin-top:10px; margin-left: 0; clear: both;"><li style="display: inline;"><span style="white-space: nowrap; margin: auto 1.5em"><span style="margin-right: 0.5em"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Ficheiro:Nuvola_apps_katomic.png" title="Portal da física"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Nuvola_apps_katomic.png/25px-Nuvola_apps_katomic.png" decoding="async" width="25" height="25" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Nuvola_apps_katomic.png/38px-Nuvola_apps_katomic.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Nuvola_apps_katomic.png/50px-Nuvola_apps_katomic.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></span> <span style="font-weight:bold"><a href="/wiki/Portal:F%C3%ADsica" title="Portal:Física">Portal da física</a></span></span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtida de "<a dir="ltr" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Cinemática&oldid=69082077">https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Cinemática&oldid=69082077</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categorias" title="Especial:Categorias">Categorias</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:Mec%C3%A2nica_cl%C3%A1ssica" 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