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id="toc-Suma_prosta_przeliczalnej_rodziny_przestrzeni_Hilberta" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Suma_prosta_przeliczalnej_rodziny_przestrzeni_Hilberta"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Suma prosta przeliczalnej rodziny przestrzeni Hilberta</span> </div> </a> <ul id="toc-Suma_prosta_przeliczalnej_rodziny_przestrzeni_Hilberta-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Zobacz_też" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Zobacz też</span> </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span 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treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Przestrzeń Hilberta</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 59 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-59" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">59 języków</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Hilbert-ruimte" title="Hilbert-ruimte – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Hilbert-ruimte" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a 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href="https://no.wikipedia.org/wiki/Hilbert-rom" title="Hilbert-rom – norweski (bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Hilbert-rom" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norweski (bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Hilbertrom" title="Hilbertrom – norweski (nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Hilbertrom" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norweski (nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Gilbert_fazosi" title="Gilbert fazosi – uzbecki" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Gilbert fazosi" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbecki" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B9%E0%A8%BF%E0%A8%B2%E0%A8%AC%E0%A8%B0%E0%A8%9F_%E0%A8%B8%E0%A8%AA%E0%A9%87%E0%A8%B8" title="ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ – pendżabski" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendżabski" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%DB%81%D9%84%D8%A8%D8%B1%D9%B9_%D8%B3%D9%BE%DB%8C%D8%B3" title="ہلبرٹ سپیس – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="ہلبرٹ سپیس" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_de_Hilbert" title="Espaço de Hilbert – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Espaço de Hilbert" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Spa%C8%9Biu_Hilbert" title="Spațiu Hilbert – rumuński" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Spațiu Hilbert" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumuński" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE" title="Гильбертово пространство – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Гильбертово пространство" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space" title="Hilbert space – scots" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Hilbert space" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="scots" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Hap%C3%ABsira_e_Hilbertit" title="Hapësira e Hilbertit – albański" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Hapësira e Hilbertit" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albański" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space" title="Hilbert space – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Hilbert space" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Hilbertov_priestor" title="Hilbertov priestor – słowacki" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Hilbertov priestor" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="słowacki" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Hilbertov_prostor" title="Hilbertov prostor – słoweński" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Hilbertov prostor" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="słoweński" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%DB%86%D8%B4%D8%A7%DB%8C%DB%8C%DB%8C_%DA%BE%DB%8C%D9%84%D8%A8%DB%8E%D8%B1%D8%AA" title="بۆشاییی ھیلبێرت – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="بۆشاییی ھیلبێرت" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B8%D0%BB%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Хилбертов простор – serbski" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Хилбертов простор" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbski" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Hilbertov_prostor" title="Hilbertov prostor – serbsko-chorwacki" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Hilbertov prostor" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbsko-chorwacki" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Hilbertin_avaruus" title="Hilbertin avaruus – fiński" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Hilbertin avaruus" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="fiński" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Hilbertrum" title="Hilbertrum – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Hilbertrum" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Espasyong_Hilbert" title="Espasyong Hilbert – tagalski" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Espasyong Hilbert" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalski" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Hilbert_uzay%C4%B1" title="Hilbert uzayı – turecki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Hilbert uzayı" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turecki" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%D1%96%D0%B2_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96%D1%80" title="Гільбертів простір – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Гільбертів простір" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Kh%C3%B4ng_gian_Hilbert" title="Không gian Hilbert – wietnamski" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Không gian Hilbert" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="wietnamski" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%8C%E7%88%BE%E4%BC%AF%E7%89%B9%E7%A9%BA%E9%96%93" title="希爾伯特空間 – chiński klasyczny" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="希爾伯特空間" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="chiński klasyczny" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9%E7%A9%BA%E9%97%B4" title="希尔伯特空间 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="希尔伯特空间" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%82%E6%8B%94%E7%A9%BA%E9%96%93" title="囂拔空間 – kantoński" lang="yue" hreflang="yue" data-title="囂拔空間" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoński" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B9%E7%A9%BA%E9%97%B4" title="希尔伯特空间 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="希尔伯特空间" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q190056#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" 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href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FPrzestrze%25C5%2584_Hilberta"><span>Zobacz skrócony adres URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FPrzestrze%25C5%2584_Hilberta"><span>Pobierz kod QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Przestrze%C5%84+Hilberta"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a 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class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r68840208">.mw-parser-output .template-toc-container.left{float:left;clear:left;margin:0 1em 1em 0;padding:0.5em 1.4em 0.8em 0}.mw-parser-output .template-toc-container.right{float:right;clear:right;margin:0 0 1em 1em;padding:0.5em 0 0.8em 1.4em}.mw-parser-output .toclimit-2 .toclevel-1 ul,.mw-parser-output .toclimit-3 .toclevel-2 ul,.mw-parser-output .toclimit-4 .toclevel-3 ul,.mw-parser-output .toclimit-5 .toclevel-4 ul,.mw-parser-output .toclimit-6 .toclevel-5 ul,.mw-parser-output .toclimit-7 .toclevel-6 ul{display:none}body.skin-vector-2022 .mw-parser-output .template-toc-container{display:none}@media screen and (max-width:719px){body.skin-minerva .mw-parser-output .template-toc-container{display:none}}</style><div class="template-toc-container right" style="width:auto"><meta property="mw:PageProp/toc" /></div> <p><b>Przestrzeń Hilberta</b> – przestrzeń <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unitarna" title="Przestrzeń unitarna">unitarna</a> <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_zupe%C5%82na" title="Przestrzeń zupełna">zupełna</a><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1">[1]</a></sup>. </p><p>Oznacza to, że jest to <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa">przestrzeń liniowa</a> nad <a href="/wiki/Cia%C5%82o_(matematyka)" title="Ciało (matematyka)">ciałem</a> <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczb rzeczywistych</a> lub <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">zespolonych</a>, która </p> <ul><li>ma zdefiniowany <a href="/wiki/Iloczyn_skalarny" title="Iloczyn skalarny">iloczyn skalarny</a>,</li> <li>traktowana jako <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna" title="Przestrzeń metryczna">przestrzeń metryczna</a> z metryką indukowaną przez iloczyn skalarny (poprzez <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unormowana" title="Przestrzeń unormowana">normę</a>) jest zupełna, tzn. każdy <a href="/wiki/Ci%C4%85g_Cauchy%E2%80%99ego" title="Ciąg Cauchy’ego">ciąg Cauchy’ego</a> ma granicę.</li></ul> <p>Każda przestrzeń Hilberta jest <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Banacha" title="Przestrzeń Banacha">przestrzenią Banacha</a> (z normą indukowaną przez iloczyn skalarny), <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Fr%C3%A9cheta_(analiza_funkcjonalna)" title="Przestrzeń Frécheta (analiza funkcjonalna)">przestrzenią Frécheta</a> oraz <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowo-topologiczna_lokalnie_wypuk%C5%82a" title="Przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła">lokalnie wypukłą</a> <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowo-topologiczna" title="Przestrzeń liniowo-topologiczna">przestrzenią liniowo-topologiczną</a> – ze względu na unormowanie i zupełność. </p><p>Nazwa przestrzeni pochodzi od nazwiska <a href="/wiki/David_Hilbert" title="David Hilbert">Davida Hilberta</a>, który wprowadził je pod koniec <a href="/wiki/XIX_wiek" title="XIX wiek">XIX wieku</a>. </p><p>Przestrzenie Hilberta są wykorzystywane w wielu dziedzinach <a href="/wiki/Fizyka" title="Fizyka">fizyki</a>, m.in. w <a href="/wiki/Mechanika_kwantowa" title="Mechanika kwantowa">mechanice kwantowej</a> i <a href="/wiki/Kwantowa_teoria_pola" title="Kwantowa teoria pola">kwantowej teorii pola</a> (np. <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Focka" title="Przestrzeń Focka">przestrzeń Foka</a> nad przestrzenią Hilberta). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przykłady_przestrzeni_Hilberta"><span id="Przyk.C5.82ady_przestrzeni_Hilberta"></span>Przykłady przestrzeni Hilberta</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Przykłady przestrzeni Hilberta" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykłady przestrzeni Hilberta"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przestrzenie_euklidesowe_skończonego_wymiaru"><span id="Przestrzenie_euklidesowe_sko.C5.84czonego_wymiaru"></span><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa" title="Przestrzeń euklidesowa">Przestrzenie euklidesowe</a> skończonego wymiaru</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Przestrzenie euklidesowe skończonego wymiaru" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przestrzenie euklidesowe skończonego wymiaru"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>(<b>1</b>) Należą tu np. </p> <ol><li>zbiór <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczb rzeczywistych</a> nad ciałem liczb rzeczywistych, ze standardowym mnożeniem jako iloczynem skalarnym,</li> <li>zespolona przestrzeń euklidesowa nad ciałem liczb zespolonych z zespolonym iloczynem skalarnym (tzn. dodatnio określoną <a href="/wiki/Forma_p%C3%B3%C5%82toraliniowa" title="Forma półtoraliniowa">formą półtoraliniową</a>).</li></ol> <p>Wybór iloczynu skalarnego nie wpływa na zupełność przestrzeni z indukowaną z niego metryką, co wynika z <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna#Równoważność_metryk" title="Przestrzeń metryczna">równoważności metryk</a> (bądź <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unormowana#Własności" title="Przestrzeń unormowana">norm</a>) na przestrzeniach liniowych wymiaru skończonego nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. </p><p>(<b>2</b>) W szczególności należą tu <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych" title="Przestrzeń współrzędnych">przestrzenie współrzędnych</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53b4e76242764d1bca004168353c380fef25258" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}"></span> z iloczynami skalarnymi danymi odpowiednio wzorami </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\qquad {\text{oraz}}\qquad \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">y</mi> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="2em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>oraz</mtext> </mrow> <mspace width="2em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">y</mi> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\qquad {\text{oraz}}\qquad \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5196d30de57d37a8ca5588bc5e6e2ea833fbea91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:45.141ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\qquad {\text{oraz}}\qquad \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}},}"></span></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n}),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c0eef875b3784f2228c2f032db8db07b46cf50" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.076ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n}),}"></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">y</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cc4fb7ead4761d1d5dc0a6a47ee7b981877003" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.048ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{n})}"></span> – wektory przestrzeni,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {z}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {z}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64281d029a1d4bef9545644f01821c713f876f76" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.208ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {z}}}"></span> oznacza <a href="/wiki/Sprz%C4%99%C5%BCenie_zespolone" title="Sprzężenie zespolone">sprzężenie zespolone</a> liczby <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.735ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z.}"></span></li></ul></dd></dl> <p><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unormowana" title="Przestrzeń unormowana">Norma</a> indukowana z iloczynu skalarnego dana jest wzorem </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a0ee951da00336ca96af6fcd0eb76a50792c08" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.918ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }},}"></span></dd></dl> <p>zaś <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_metryczna" title="Przestrzeń metryczna">metryka</a> od niej pochodząca wyraża się wzorem </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">y</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">y</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/381081356fb3e79982431543b8a6b2bfd736109f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.614ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|,}"></span></dd></dl> <p>przy czym jest ona <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_zupe%C5%82na" title="Przestrzeń zupełna">zupełna</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Klasyczne_przykłady_przestrzeni_Hilberta"><span id="Klasyczne_przyk.C5.82ady_przestrzeni_Hilberta"></span>Klasyczne przykłady przestrzeni Hilberta</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Klasyczne przykłady przestrzeni Hilberta" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Klasyczne przykłady przestrzeni Hilberta"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell _{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell _{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a4571ee9be10bd3c9df2480ab3d280f99e801a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.024ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ell _{2}}"></span> – <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Lp" title="Przestrzeń Lp">przestrzeń Lp</a> <b>ciągów</b> sumowalnych z kwadratem,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell _{2}(\Gamma )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell _{2}(\Gamma )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0142341f89a9d9a74601b84d4a7ffa65e3f68d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.286ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ell _{2}(\Gamma )}"></span> – uogólnienia przestrzeni <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell _{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell _{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a4571ee9be10bd3c9df2480ab3d280f99e801a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.024ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ell _{2}}"></span> na dowolne zbiory indeksów <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de6220dfa3ede1179dce1535437b9c51b1df54ac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.1ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Gamma ,}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{2}(\mu )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{2}(\mu )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd7f6e00b39915854da98c013b540bd17c659325" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.848ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L_{2}(\mu )}"></span> – <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Lp" title="Przestrzeń Lp">przestrzenie Lp</a> zdefiniowane dla funkcji <a href="/wiki/Ca%C5%82ka_Lebesgue%E2%80%99a" title="Całka Lebesgue’a"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"></span>-całkowalnych z kwadratem</a>, gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"></span> – dowolna <a href="/wiki/Miara_(matematyka)" title="Miara (matematyka)">miara</a>,</li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Sobolewa" title="Przestrzeń Sobolewa">przestrzenie Sobolewa</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W^{k,2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>W</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W^{k,2},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8918591aaa08093eb6d063e4570ad744d1bfcdee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.523ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle W^{k,2},}"></span></li> <li><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hardy%E2%80%99ego&action=edit&redlink=1" class="new" title="Przestrzeń Hardy’ego (strona nie istnieje)">przestrzeń Hardy’ego</a><span class="noprint link-interwiki" style="position:relative;top:-.4em; white-space: nowrap; font-size:x-small;"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q1585233#sitelinks-wikipedia" class="extiw" title="d:Q1585233">(inne języki)</a></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7a0981ca2e81e784d5638618d92b453a65b7bbb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.805ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle H^{2}.}"></span></li></ul> <p>Przestrzenie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell _{2}(\Gamma )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell _{2}(\Gamma )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0142341f89a9d9a74601b84d4a7ffa65e3f68d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.286ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ell _{2}(\Gamma )}"></span> są szczególnymi przypadkami przestrzeni <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{2}(\mu ),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{2}(\mu ),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70cd9ae3b90b5831190cdb9f9afa18c0e7fbd235" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.495ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L_{2}(\mu ),}"></span> gdyż <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell _{2}(\Gamma )=L_{2}(\mu ),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell _{2}(\Gamma )=L_{2}(\mu ),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237bb75c1c75c333781d75ac7fc12b2308c66bd5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.879ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ell _{2}(\Gamma )=L_{2}(\mu ),}"></span> gdy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"></span> jest <a href="/wiki/Miara_licz%C4%85ca" title="Miara licząca">miarą liczącą</a> na zbiorze <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d5790703ff0baf3e73c75989ce3453053912d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.1ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma .}"></span> </p><p>Przestrzenie Sobolewa są jednym z podstawowych narzędzi w nowoczesnej teorii <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe_cz%C4%85stkowe" title="Równanie różniczkowe cząstkowe">równań różniczkowych cząstkowych</a>. </p><p>Przestrzenie Hardy’ego znajdują zastosowania w <a href="/wiki/Analiza_harmoniczna" title="Analiza harmoniczna">analizie harmonicznej</a> i <a href="/wiki/Analiza_zespolona" title="Analiza zespolona">analizie zespolonej</a>. </p><p>Przestrzenie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell _{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell _{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a4571ee9be10bd3c9df2480ab3d280f99e801a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.024ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \ell _{2}}"></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{2}(\mu )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{2}(\mu )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd7f6e00b39915854da98c013b540bd17c659325" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.848ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L_{2}(\mu )}"></span> są fundamentalne dla <a href="/wiki/Mechanika_kwantowa" title="Mechanika kwantowa">mechaniki kwantowej</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Własności"><span id="W.C5.82asno.C5.9Bci"></span>Własności</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Własności" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Własności"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Samosprzężoność"><span id="Samosprz.C4.99.C5.BCono.C5.9B.C4.87"></span>Samosprzężoność</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Samosprzężoność" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Samosprzężoność"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Zobacz też: <a href="/wiki/Twierdzenie_Riesza_(przestrzenie_Hilberta)" title="Twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)">twierdzenie Riesza</a> i <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_sprz%C4%99%C5%BCona_(analiza_funkcjonalna)" title="Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)">przestrzeń sprzężona</a>.</i></div> <p>Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału na przestrzeni Hilberta <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"></span> mówi, że każdemu elementowi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in H^{*}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in H^{*}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea57d39afb89192be03138f0470ab51208d154f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.277ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f\in H^{*}}"></span> (tj. każdemu <a href="/wiki/Funkcja_ci%C4%85g%C5%82a" title="Funkcja ciągła">ciągłemu</a> <a href="/wiki/Forma_liniowa" title="Forma liniowa">funkcjonałowi liniowemu</a> na <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"></span>) odpowiada jednoznacznie taki element <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{f}\in H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{f}\in H,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66991e644d299e82f64f823d41d783df3950c45" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.827ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y_{f}\in H,}"></span> że </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\langle x,y_{f}\rangle _{H}\;\;(x\in H).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>H</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\langle x,y_{f}\rangle _{H}\;\;(x\in H).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87209bcecfc44322375a894071ac7bb0e90d2944" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:25.636ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\langle x,y_{f}\rangle _{H}\;\;(x\in H).}"></span></dd></dl> <p>Odwzorowanie </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda \colon H^{*}\to H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo>:</mo> <msup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda \colon H^{*}\to H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6659c69f01152b4db9348c5166c86841f4f2d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.482ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \Lambda \colon H^{*}\to H}"></span></dd></dl> <p>dane wzorem </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda (f)=y_{f}\;\;(f\in H^{*})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda (f)=y_{f}\;\;(f\in H^{*})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30972575b9e47258cca373fc63cd58e8285ed0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:20.452ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \Lambda (f)=y_{f}\;\;(f\in H^{*})}"></span></dd></dl> <p>jest <a href="/wiki/Przekszta%C5%82cenie_antyliniowe" title="Przekształcenie antyliniowe">antyliniowym</a> <a href="/wiki/Izometria" title="Izometria">izometrycznym</a> <a href="/wiki/Izomorfizm" title="Izomorfizm">izomorfizmem</a>. Zachodzi również <a href="/wiki/Twierdzenie_odwrotne" title="Twierdzenie odwrotne">twierdzenie odwrotne</a>: jeśli dowolny funkcjonał ograniczony <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> określony na <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unitarna" title="Przestrzeń unitarna">przestrzeni unitarnej</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"></span> można zapisać wzorem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=\langle \cdot ,y_{f}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=\langle \cdot ,y_{f}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba477687b57d0322384c696b2d15b1176bd3016a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.143ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f=\langle \cdot ,y_{f}\rangle }"></span> dla pewnego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{f}\in U,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>U</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{f}\in U,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c577fb4051b7f48015f4e4a2ec216873533d2401" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.546ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y_{f}\in U,}"></span> to <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"></span> jest przestrzenią Hilberta (tj. jest ona zupełna). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Refleksywność"><span id="Refleksywno.C5.9B.C4.87"></span>Refleksywność</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Refleksywność" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Refleksywność"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Każda przestrzeń Hilberta <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"></span> jest <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_refleksywna" title="Przestrzeń refleksywna">refleksywna</a>, tj. odwzorowanie </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa \colon H\to H^{**}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>κ</mi> <mo>:</mo> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa \colon H\to H^{**}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40148e0874374736e5b6bb82d6915d9a0911e937" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.03ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \kappa \colon H\to H^{**}}"></span></dd></dl> <p>dane wzorem </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\big (}\kappa (x){\big )}(f)=f(x)\;\;\;(x\in H,f\in H^{*})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>κ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\big (}\kappa (x){\big )}(f)=f(x)\;\;\;(x\in H,f\in H^{*})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747219ef2ea4c3b5fcd74ed4dc36e4f045962ad2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:35.501ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\big (}\kappa (x){\big )}(f)=f(x)\;\;\;(x\in H,f\in H^{*})}"></span></dd></dl> <p>jest <a href="/wiki/Surjekcja" title="Surjekcja">„na”</a>. </p><p><i>Dówod.</i> Z <a href="/wiki/Twierdzenie_Riesza_(przestrzenie_Hilberta)" title="Twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)">twierdzenia Riesza (o reprezentacji ciągłych funkcjonałów na przestrzeni Hilberta)</a> wynika, że istnieje <a href="/wiki/Przekszta%C5%82cenie_antyliniowe" title="Przekształcenie antyliniowe">antyliniowy</a> <a href="/wiki/Izometria" title="Izometria">izometryczny</a> <a href="/wiki/Izomorfizm" title="Izomorfizm">izomorfizm</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda \colon H^{*}\to H.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mo>:</mo> <msup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>H</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda \colon H^{*}\to H.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/553c4cac6492b989f79e26040bc823f637ef61f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.129ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \Lambda \colon H^{*}\to H.}"></span></dd></dl> <p>Niech <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}^{**}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> <mo>∗</mo> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}^{**}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbdee790b0174d30a48dba39d0ca8336613d5ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.206ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{0}^{**}}"></span> będzie ustalonym elementem przestrzeni <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H^{**}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H^{**}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2305e1a9acd9a10055d874d7a4c0ebcc749264bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.627ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle H^{**}.}"></span> Wówczas funkcjonał <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6423b30a4c5770c59b5ab92dcb4ce378755440ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.193ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{0}}"></span> dany wzorem </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{0}(x)={\overline {x_{0}^{**}(\Lambda ^{-1}(x))}},\,\;\;(x\in H)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> <mo>∗</mo> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{0}(x)={\overline {x_{0}^{**}(\Lambda ^{-1}(x))}},\,\;\;(x\in H)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec16c30bd5ba1b32f939a9cf69b374840c68abeb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.4ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle f_{0}(x)={\overline {x_{0}^{**}(\Lambda ^{-1}(x))}},\,\;\;(x\in H)}"></span></dd></dl> <p>jest liniowy i ciągły oraz dla każdego elementu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> przestrzeni <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"></span> oraz dowolnego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in H^{*}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in H^{*}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea57d39afb89192be03138f0470ab51208d154f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.277ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f\in H^{*}}"></span> zachodzi: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\big (}\kappa (\Lambda f_{0}){\big )}(f)=f{\big (}\Lambda f_{0}{\big )}=\langle \Lambda f_{0},\Lambda f\rangle ={\overline {\langle \Lambda f,\Lambda f_{0}\rangle }}={\overline {f_{0}(\Lambda f)}}={\overline {x_{0}^{**}(\Lambda ^{-1}(\Lambda x^{*}))}}=x_{0}^{**}(f),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>κ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mi>f</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> <mo>∗</mo> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> <mo>∗</mo> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\big (}\kappa (\Lambda f_{0}){\big )}(f)=f{\big (}\Lambda f_{0}{\big )}=\langle \Lambda f_{0},\Lambda f\rangle ={\overline {\langle \Lambda f,\Lambda f_{0}\rangle }}={\overline {f_{0}(\Lambda f)}}={\overline {x_{0}^{**}(\Lambda ^{-1}(\Lambda x^{*}))}}=x_{0}^{**}(f),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6844e5c9a6acdcf8b30eb7eb268f11e176d833a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:86.008ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\big (}\kappa (\Lambda f_{0}){\big )}(f)=f{\big (}\Lambda f_{0}{\big )}=\langle \Lambda f_{0},\Lambda f\rangle ={\overline {\langle \Lambda f,\Lambda f_{0}\rangle }}={\overline {f_{0}(\Lambda f)}}={\overline {x_{0}^{**}(\Lambda ^{-1}(\Lambda x^{*}))}}=x_{0}^{**}(f),}"></span></dd></dl> <p>a zatem </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa (\Lambda f_{0})=x_{0}^{**},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>κ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> <mo>∗</mo> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa (\Lambda f_{0})=x_{0}^{**},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59422993e51e578aeb18becaecbc7f758b48ca1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.906ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \kappa (\Lambda f_{0})=x_{0}^{**},}"></span></dd></dl> <p>co oznacza, że odwzorowanie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>κ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ddec2e922c5caea4e47d04feef86e782dc8e6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \kappa }"></span> jest <a href="/wiki/Surjekcja" title="Surjekcja">„na”</a>, więc przestrzeń <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"></span> jest refleksywna. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \square }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>◻</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \square }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/455831d58fa08f311b934d324adcff89a868b4e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \square }"></span> </p><p>Z drugiej strony, przestrzenie Hilberta są <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_jednostajnie_wypuk%C5%82a" title="Przestrzeń jednostajnie wypukła">jednostajnie wypukłymi</a> przestrzeniami Banacha, a więc na mocy <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_jednostajnie_wypuk%C5%82a" title="Przestrzeń jednostajnie wypukła">twierdzenia Clarsksona-Milmana</a> są refleksywne (jednostajna wypukłość wynika z <a href="/wiki/Regu%C5%82a_r%C3%B3wnoleg%C5%82oboku" title="Reguła równoległoboku">reguły równoległoboku</a>, która charakteryzuje przestrzenie unitarne). Przestrzenie Hilberta mają nawet mocniejszą własność – są one <a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_superrefleksywna&action=edit&redlink=1" class="new" title="Przestrzeń superrefleksywna (strona nie istnieje)">superrefleksywne</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ośrodkowość"><span id="O.C5.9Brodkowo.C5.9B.C4.87"></span>Ośrodkowość</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Ośrodkowość" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Ośrodkowość"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Zobacz też: <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_o%C5%9Brodkowa" title="Przestrzeń ośrodkowa">przestrzeń ośrodkowa</a>.</i></div> <p>Ośrodkowe przestrzenie Hilberta (tj. zawierające <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_przeliczalny" title="Zbiór przeliczalny">przeliczalny</a> <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_g%C4%99sty" title="Zbiór gęsty">podzbiór gęsty</a>) mają znacząco lepsze własności od nieośrodkowych przestrzeni Hilberta: </p> <ul><li>Dowolna <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unormowana" title="Przestrzeń unormowana">przestrzeń unormowana</a> nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych skończonego wymiaru <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> jest <a href="/wiki/Izometria" title="Izometria">liniowo izometryczna</a> z pewną <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych" title="Przestrzeń współrzędnych">przestrzenią współrzędnych</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"></span> lub <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{n};}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{n};}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04ab7d6e4330edae290b3062daaf3792b58f3aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.543ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{n};}"></span> stąd można określić na nich <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unitarna" title="Przestrzeń unitarna">strukturę unitarną</a> (zob. <a href="/wiki/Forma_kwadratowa#Reguła_równoległoboku" title="Forma kwadratowa">twierdzenie Jordana-von Neumanna</a>). Ponadto wspomniane przestrzenie są zupełne i ośrodkowe (ze względu na indukowaną z iloczynu skalarnego metrykę), a więc są przestrzeniami Hilberta.</li> <li>Co więcej istnieje jedna i tylko jedna (z dokładnością do <a href="/wiki/Izomorfizm" title="Izomorfizm">izomorfizmu</a>) ośrodkowa przestrzeń Hilberta nieskończonego wymiaru: wynika to z istnienia <a href="/wiki/Przekszta%C5%82cenie_unitarne" title="Przekształcenie unitarne">przekształcenia unitarnego</a> między tego rodzaju przestrzenią Hilberta a przestrzenią <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f1f909abd70bd3d8fff0f7ae1ac23052387e18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.024ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}}"></span> (mianowicie <a href="/wiki/Funkcja_wzajemnie_jednoznaczna" title="Funkcja wzajemnie jednoznaczna">wzajemnie jednoznacznego</a> <a href="/wiki/Przekszta%C5%82cenie_liniowe" title="Przekształcenie liniowe">przekształcenia liniowego</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac0a4a98a414e3480335f9ba652d12571ec6733" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.613ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Lambda }"></span> danego wzorem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \Lambda x,\Lambda y\rangle _{\ell ^{2}}=x\cdot y;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mi>y</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mi>y</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \Lambda x,\Lambda y\rangle _{\ell ^{2}}=x\cdot y;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482ddfb56b49886e2fae169ea32b2ef4f2bbdc9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:18.214ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \langle \Lambda x,\Lambda y\rangle _{\ell ^{2}}=x\cdot y;}"></span> na mocy <a href="/w/index.php?title=Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Bessela&action=edit&redlink=1" class="new" title="Nierówność Bessela (strona nie istnieje)">nierówności Bessela</a><span class="noprint link-interwiki" style="position:relative;top:-.4em; white-space: nowrap; font-size:x-small;"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q794042#sitelinks-wikipedia" class="extiw" title="d:Q794042">(inne języki)</a></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda x=(x\cdot e_{n})_{n},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Λ</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda x=(x\cdot e_{n})_{n},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd19dc2a000d5249747657c1fb044a771ee6f65" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.027ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Lambda x=(x\cdot e_{n})_{n},}"></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (e_{n})_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (e_{n})_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe71683a1e22e9868c30ee5df485a2cc9c88dc0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.33ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (e_{n})_{n}}"></span> oznacza <a href="/wiki/Baza_ortonormalna" title="Baza ortonormalna">bazę ortonormalną</a>).</li></ul> <p>Powyższe twierdzenie można uogólnić w naturalny sposób na dowolne przestrzenie Hilberta: przestrzeń Hilberta o <a href="/wiki/Baza_przestrzeni_topologicznej" title="Baza przestrzeni topologicznej">ciężarze</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>κ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ddec2e922c5caea4e47d04feef86e782dc8e6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \kappa }"></span> jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}(\kappa ),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>κ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}(\kappa ),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d48482d58aac5b87a10ffd0aebb87c2aae03ac8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.819ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}(\kappa ),}"></span> w szczególności <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}(\aleph _{0})=\ell ^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">ℵ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>ℓ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}(\aleph _{0})=\ell ^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302d682ca1f28f49027c941d687d2fed194f1687" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.077ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}(\aleph _{0})=\ell ^{2}.}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Charakteryzacja">Charakteryzacja</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Charakteryzacja" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Charakteryzacja"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Niech <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span> będzie <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unitarna" title="Przestrzeń unitarna">przestrzenią z iloczynem skalarnym</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a50080b735975d8001c9552ac2134b49ad534c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }"></span> nad ustalonym ciałem. Następujące stwierdzenia są równoważne: </p> <dl><dd>1. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span> jest przestrzenią Hilberta;</dd> <dd>2. każda <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_domkni%C4%99ty" title="Zbiór domknięty">domknięta</a> <a href="/wiki/Podprzestrze%C5%84_liniowa" title="Podprzestrzeń liniowa">podprzestrzeń liniowa</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"></span> przestrzeni <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span> ma <i>własność najmniejszej odległości</i>: <dl><dd>dla każdego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.15ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in X}"></span> istnieje taki element <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{M}(x)\in M,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{M}(x)\in M,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b9b43c8dedb2382f38214babddb62e98fbb7e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.52ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P_{M}(x)\in M,}"></span> że <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {dist} (x,M)=\|x-P_{M}(x)\|,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {dist} (x,M)=\|x-P_{M}(x)\|,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22cedc3dd7122806b7a272a3fd56bea74feccd2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.206ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {dist} (x,M)=\|x-P_{M}(x)\|,}"></span></dd></dl></dd> <dd>przy czym <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{M}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>M</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{M}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0119dc64874b6b84ed4e6ce4057d267440295fa7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.451ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{M}}"></span> oznacza <a href="/wiki/Rzut_(algebra_liniowa)" title="Rzut (algebra liniowa)">rzut</a> na podprzestrzeń <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b466e90209f39c0c2caad1b11445824b82c2f536" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.089ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M,}"></span></dd></dl></dd> <dd>3. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span> ma <i>własność rozkładu ortogonalnego</i>: <dl><dd>dla każdej domkniętej podprzestrzeni <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"></span> przestrzeni <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span> zachodzi <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=M\oplus M^{\perp }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mi>M</mi> <mo>⊕</mo> <msup> <mi>M</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⊥</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=M\oplus M^{\perp }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e103111d3c4580332f5969fe5c761ac122356d89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:14.371ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X=M\oplus M^{\perp }}"></span></dd> <dd></dd> <dd>4. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span> ma własność reprezentacji Riesza:</dd> <dd>dowolny ciągły <a href="/wiki/Forma_liniowa" title="Forma liniowa">funkcjonał liniowy</a> na <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span> jest postaci <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \cdot ,y\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \cdot ,y\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a2cd6ddc64b0ca7f390347df0ac006662144d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.646ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \cdot ,y\rangle }"></span> dla pewnego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in X.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>∈</mo> <mi>X</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in X.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4905d4615448f519d38bcb5d26528c33da26ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.623ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y\in X.}"></span></dd></dl></dd></dl></dd></dl> <p>Poszczególne implikacje mają swoje nazwy: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\Rightarrow 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\Rightarrow 2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4336b3d8f3141c8e25af1c552c7b67e4b0e120" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1\Rightarrow 2}"></span> to <a href="/wiki/Twierdzenie_o_zbiorze_wypuk%C5%82ym#Twierdzenie_o_najlepszej_aproksymacji" title="Twierdzenie o zbiorze wypukłym">twierdzenie o najlepszej aproksymacji</a> (o zbiorze wypukłym),</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\Rightarrow 3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\Rightarrow 3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b4a7468b5874e042ef64d51a08e855ab512b7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1\Rightarrow 3}"></span> to <a href="/wiki/Twierdzenie_o_rzucie_ortogonalnym" title="Twierdzenie o rzucie ortogonalnym">twierdzenie o rzucie ortogonalnym</a>,</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\Rightarrow 4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\Rightarrow 4}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61040f7a615734b2eddbaa865d7814f207b4f5ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1\Rightarrow 4}"></span> to <a href="/wiki/Twierdzenie_Riesza_(przestrzenie_Hilberta)" title="Twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)">twierdzenie Riesza o reprezentacji</a>;</dd></dl> <p>równoważność <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\Leftrightarrow 3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">⇔</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\Leftrightarrow 3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf25c81a6460184ab4166d939712787d822a509" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.939ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\Leftrightarrow 3}"></span> jest treścią <a href="/wiki/Twierdzenie_o_rzucie_ortogonalnym#Lemat" title="Twierdzenie o rzucie ortogonalnym">lematu do twierdzenia o rzucie ortogonalnym</a>. </p><p>Z geometrycznego punktu widzenia wynika to ze wzajemnej odpowiedniości <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowo-topologiczna#Zbiory_zbalansowane" title="Przestrzeń liniowo-topologiczna">zbalansowanych</a> <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_wypuk%C5%82y" title="Zbiór wypukły">zbiorów wypukłych</a> i funkcjonałów liniowych oraz <a href="/wiki/Regu%C5%82a_r%C3%B3wnoleg%C5%82oboku" title="Reguła równoległoboku">reguły równoległoboku</a> charakteryzującej przestrzenie Hilberta wśród <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Banacha" title="Przestrzeń Banacha">przestrzeni Banacha</a> (por. <a href="/wiki/Forma_kwadratowa" title="Forma kwadratowa">twierdzenie Jordana-von Neumanna</a>). Inną tego rodzaju charakteryzacją jest następujące twierdzenie: przestrzeń Banacha jest przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych trzech niewspółliniowych punktów wysokości wyznaczanego przez wspomniane punkty trójkąta przecinają się w jednym punkcie<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2">[2]</a></sup>. Kolejne charakteryzacje można znaleźć w pracy Pełczyńskiego. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Suma_prosta_przestrzeni_Hilberta">Suma prosta przestrzeni Hilberta</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&veaction=edit&section=9" title="Edytuj sekcję: Suma prosta przestrzeni Hilberta" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&action=edit&section=9" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Suma prosta przestrzeni Hilberta"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Suma_prosta_dwóch_przestrzeni_Hilberta"><span id="Suma_prosta_dw.C3.B3ch_przestrzeni_Hilberta"></span>Suma prosta dwóch przestrzeni Hilberta</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&veaction=edit&section=10" title="Edytuj sekcję: Suma prosta dwóch przestrzeni Hilberta" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&action=edit&section=10" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Suma prosta dwóch przestrzeni Hilberta"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>(1)</b> Jeżeli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1},H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1},H_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a9e3ce804cff4adf2a8afefdf2389c1731a562" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.005ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1},H_{2}}"></span> są przestrzeniami Hilberta, to ich sumą prostą <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\equiv H_{1}\oplus H_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>≡</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊕</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\equiv H_{1}\oplus H_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c5f650d04922c12f833d8d375896b2c7b068aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.973ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H\equiv H_{1}\oplus H_{2}}"></span> nazywa się przestrzeń Hilberta, która </p> <ul><li>jest <a href="/wiki/Suma_prosta_przestrzeni_liniowych" title="Suma prosta przestrzeni liniowych">sumę prostą</a> przestrzeni <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1},H_{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1},H_{2},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd70d8f314498c9a03d82ec558d0b2f9cfbdd3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.652ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1},H_{2},}"></span></li> <li>ma iloczyn skalarnym danym wzorem,</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\big \langle }(x_{1},y_{1}),\ (x_{2},y_{2}){\big \rangle }_{H}=\langle x_{1},x_{2}\rangle _{H_{1}}+\langle y_{1},y_{2}\rangle _{H_{2}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">⟨</mo> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">⟩</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>H</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\big \langle }(x_{1},y_{1}),\ (x_{2},y_{2}){\big \rangle }_{H}=\langle x_{1},x_{2}\rangle _{H_{1}}+\langle y_{1},y_{2}\rangle _{H_{2}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7530dc2e7b3a5737017e2775e11348b2440f175" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:46.628ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\big \langle }(x_{1},y_{1}),\ (x_{2},y_{2}){\big \rangle }_{H}=\langle x_{1},x_{2}\rangle _{H_{1}}+\langle y_{1},y_{2}\rangle _{H_{2}},}"></span></dd> <dd>gdzie:</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},x_{2}\in H_{1},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},x_{2}\in H_{1},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654c632f8f90a6fd3085b9ed917e5ac9f3f5e1d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.275ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{1},x_{2}\in H_{1},}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{1},y_{2}\in H_{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{1},y_{2}\in H_{2},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a896ec230dfc2d606035fe008b28741c5042049" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.894ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{1},y_{2}\in H_{2},}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\,\,(x_{2},y_{2})\in H,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\,\,(x_{2},y_{2})\in H,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae5eac2ee225b87908267c7d611a156045be7e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.201ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{1},y_{1}),\,\,(x_{2},y_{2})\in H,}"></span></dd></dl> <p>tzn. iloczyn skalarny wektorów sumy prostej jest równy sumie iloczynów skalarnych obliczonych między wektorami odpowiednich przestrzeni Hilberta. </p><p><b>(2)</b> Norma elementów sumy prostej dana jest wzorem </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|(x_{1},y_{1})\|={\sqrt {\|x_{1}\|^{2}+\|y_{1}\|^{2}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|(x_{1},y_{1})\|={\sqrt {\|x_{1}\|^{2}+\|y_{1}\|^{2}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af53f9f8ca5ad0a56f4262f8be9858c487ee176c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:29.991ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \|(x_{1},y_{1})\|={\sqrt {\|x_{1}\|^{2}+\|y_{1}\|^{2}}}.}"></span></dd></dl> <p>Norma (długość) wektora sumy prostej jest więc sumą długości wektorów składowych, należących do dodawanych w sposób posty przestrzeni Hilberta. </p><p><b>Uwaga:</b> </p><p>Suma prosta przestrzeni Hilberta różni się od <a href="/wiki/Suma_prosta_przestrzeni_liniowych" title="Suma prosta przestrzeni liniowych">sumy prostej przestrzeni liniowych</a> tym, że ma dodatkowo zdefiniowany iloczyn skalarny. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Suma_prosta_przeliczalnej_rodziny_przestrzeni_Hilberta">Suma prosta przeliczalnej rodziny przestrzeni Hilberta</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&veaction=edit&section=11" title="Edytuj sekcję: Suma prosta przeliczalnej rodziny przestrzeni Hilberta" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&action=edit&section=11" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Suma prosta przeliczalnej rodziny przestrzeni Hilberta"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dla dowolnej, przeliczalnej rodziny przestrzeni Hilberta <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (H_{i})_{i\in I}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (H_{i})_{i\in I}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283c817f23eac05cc72a88a4786b70136a105cb4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.265ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (H_{i})_{i\in I}}"></span> indeksowanej elementami zbioru <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"></span> sumą prostą </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1}\oplus \ldots \oplus H_{n}\equiv \textstyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⊕</mo> <mo>…</mo> <mo>⊕</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>≡</mo> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <munder> <mo>⨁</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1}\oplus \ldots \oplus H_{n}\equiv \textstyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4829ba9f43f8b1f4efda1a19aa950be4fe3298" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:26.062ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle H_{1}\oplus \ldots \oplus H_{n}\equiv \textstyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}}"></span></dd></dl> <p>nazywa się przestrzeń Hilberta utworzoną ze wszystkich funkcji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> na zbiorze <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"></span> taką, że spełnione są warunki: </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(i)\in H_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(i)\in H_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdea99cc6483fa0cd7cb4e6126e2c7ad971eacb1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.462ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(i)\in H_{i}}"></span> dla każdego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.449ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i,}"></span></li> <li>zbiór <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{i\in H:f(i)\neq 0\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>H</mi> <mo>:</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{i\in H:f(i)\neq 0\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd9ca663ef3062e76e2f1f072f8f81ff99517cb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.12ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{i\in H:f(i)\neq 0\}}"></span> jest <a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_przeliczalny" title="Zbiór przeliczalny">przeliczalny</a>,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}\|f_{i}\|^{2}<\infty ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo><</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}\|f_{i}\|^{2}<\infty ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c332114617cc28d4c53999121eb1eb7446aa4bd6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.953ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}\|f_{i}\|^{2}<\infty ,}"></span></li></ul> <p>wyposażoną w normę </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|f\|={\sqrt {\sum _{i\in I}\|f_{i}\|^{2}}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>f</mi> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|f\|={\sqrt {\sum _{i\in I}\|f_{i}\|^{2}}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3dfa3f10604b25847942930c1f609e9e2161846" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:18.733ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \|f\|={\sqrt {\sum _{i\in I}\|f_{i}\|^{2}}},}"></span></dd> <dd>gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in \textstyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>∈</mo> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <munder> <mo>⨁</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in \textstyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd57546bae48a8860f0c8e56d93597c270ecc972" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.19ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f\in \textstyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}.}"></span></dd></dl> <p>Norma (długość) wektora sumy prostej przeliczalnej liczby przestrzeni Hilberta jest więc sumą długości wektorów składowych, należących do dodawanych w sposób posty przestrzeni Hilberta. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też"><span id="Zobacz_te.C5.BC"></span>Zobacz też</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&veaction=edit&section=12" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&action=edit&section=12" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Suma_prosta_przestrzeni_liniowych#lp-suma_przestrzeni_Banacha" title="Suma prosta przestrzeni liniowych">sumy proste przestrzeni Banacha</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&veaction=edit&section=13" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&action=edit&section=13" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;3911682"><i>Przestrzeń Hilberta</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2021-09-15]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=Przestrze%C5%84+Hilberta&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B3911682" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation journal">O.N. Kosukhin. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.3103/S0027132208050070"><em>A geometric criterion for the Hilbert property of a Banach space</em></a>. „Moscow University Mathematics Bulletin”. 63 (5), s. 205–207, 2008. Allerton Press, Inc.. <a href="/wiki/DOI_(identyfikator_cyfrowy)" title="DOI (identyfikator cyfrowy)">DOI</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.3103/S0027132208050070">10.3103/S0027132208050070</a>. <span class="issn"><a href="/wiki/International_Standard_Serial_Number" title="International Standard Serial Number">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://worldcat.org/issn/0027-1322">0027-1322</a></span>. <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=A+geometric+criterion+for+the+Hilbert+property+of+a+Banach+space&rft.jtitle=Moscow+University+Mathematics+Bulletin&rft.date=2008&rft.volume=63&rft.issue=%7B%7B%7Bnumer%7D%7D%7D&rft.aulast=Kosukhin&rft.aufirst=O.N.&rft.pages=205%E2%80%93207&rft.issn=0027-1322&rft_id=info:doi/10.3103%2FS0027132208050070&rft_id=http%3A%2F%2Fdx.doi.org%2F10.3103%2FS0027132208050070"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&veaction=edit&section=14" title="Edytuj sekcję: Bibliografia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&action=edit&section=14" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Bibliografia"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book"><a href="/wiki/Krzysztof_Maurin" title="Krzysztof Maurin">Krzysztof Maurin</a>: <i>Metody przestrzeni Hilberta</i>. Warszawa: <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a>, 1959.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Metody+przestrzeni+Hilberta&rft.aulast=Maurin&rft.aufirst=Krzysztof&rft.pub=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft.place=Warszawa"></span></cite><span class="problemy" aria-hidden="true" data-nosnippet=""> Brak numerów stron w książce</span></li> <li><cite class="citation book"><a href="/wiki/Paul_Halmos" title="Paul Halmos">Paul Halmos</a>: <i>Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity</i>. Chelsea Pub. Co, 1957.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Introduction+to+Hilbert+Space+and+the+Theory+of+Spectral+Multiplicity&rft.au=%5B%5BPaul+Halmos%5D%5D&rft.date=1957&rft.pub=Chelsea+Pub.+Co"></span></cite><span class="problemy" aria-hidden="true" data-nosnippet=""> Brak numerów stron w książce</span></li> <li><cite class="citation web"><a href="/wiki/Aleksander_Pe%C5%82czy%C5%84ski" title="Aleksander Pełczyński">Aleksander Pełczyński</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/or/or2/or214.pdf">Some Aspects of the Present Theory of Banach Spaces</a>. <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Linki_zewnętrzne"><span id="Linki_zewn.C4.99trzne"></span>Linki zewnętrzne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&veaction=edit&section=15" title="Edytuj sekcję: Linki zewnętrzne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Przestrze%C5%84_Hilberta&action=edit&section=15" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Linki zewnętrzne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Otwarty_dost%C4%99p" title="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać"><img alt="publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/8px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png" decoding="async" width="8" height="13" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Open_Access_logo_green_alt2.svg/12px-Open_Access_logo_green_alt2.svg.png 1.5x, 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szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Struktury_na_przestrzeniach_liniowych&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Struktury na przestrzeniach liniowych (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Struktury_na_przestrzeniach_liniowych&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Struktura_matematyczna" title="Struktura matematyczna">Struktury</a> na <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa">przestrzeniach liniowych</a></div><div class="mw-collapsible-content"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">przestrzenie <a href="/wiki/Forma_dwuliniowa" title="Forma dwuliniowa">dwuliniowe</a> i <a href="/wiki/Forma_p%C3%B3%C5%82toraliniowa" title="Forma półtoraliniowa">półtoraliniowe</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Forma_dwuliniowa#Symplektyczność" title="Forma dwuliniowa">symplektyczne</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_ortogonalna" title="Przestrzeń ortogonalna">ortogonalne</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unitarna" title="Przestrzeń unitarna">unitarne</a> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">Hilberta</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unormowana" title="Przestrzeń unormowana">przestrzenie unormowane</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Banacha" title="Przestrzeń Banacha">Banacha</a> <ul><li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Orlicza" title="Przestrzeń Orlicza">Orlicza</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Sobolewa" title="Przestrzeń Sobolewa">Sobolewa</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_refleksywna" title="Przestrzeń refleksywna">refleksywne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowo-topologiczna" title="Przestrzeń liniowo-topologiczna">przestrzenie 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