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id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Início</div> </a> </li> <li id="toc-Definição" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Definição"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Definição</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Definição-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar a subsecção Definição</span> </button> <ul id="toc-Definição-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Como_um_objeto_monoide_na_categoria_dos_módulos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Como_um_objeto_monoide_na_categoria_dos_módulos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Como um objeto monoide na categoria dos módulos</span> </div> </a> <ul id="toc-Como_um_objeto_monoide_na_categoria_dos_módulos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-A_partir_de_homomorfismos_de_anéis" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#A_partir_de_homomorfismos_de_anéis"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>A partir de homomorfismos de anéis</span> </div> </a> <ul id="toc-A_partir_de_homomorfismos_de_anéis-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Exemplos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Exemplos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Exemplos</span> </div> </a> <ul id="toc-Exemplos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Construções" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Construções"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Construções</span> </div> </a> <ul id="toc-Construções-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Coálgebras" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Coálgebras"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Coálgebras</span> </div> </a> <ul id="toc-Coálgebras-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Representações" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Representações"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Representações</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Representações-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar a subsecção Representações</span> </button> <ul id="toc-Representações-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Motivação_para_uma_álgebra_de_Hopf" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Motivação_para_uma_álgebra_de_Hopf"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Motivação para uma álgebra de Hopf</span> </div> </a> <ul id="toc-Motivação_para_uma_álgebra_de_Hopf-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Motivação_para_uma_álgebra_de_Lie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Motivação_para_uma_álgebra_de_Lie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Motivação para uma álgebra de Lie</span> </div> </a> <ul id="toc-Motivação_para_uma_álgebra_de_Lie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Álgebras_não_unitais" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Álgebras_não_unitais"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Álgebras não unitais</span> </div> </a> <ul id="toc-Álgebras_não_unitais-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ver_também" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ver_também"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Ver também</span> </div> </a> <ul id="toc-Ver_também-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Notas</span> </div> </a> <ul id="toc-Notas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referências" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referências"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Referências</span> </div> </a> <ul id="toc-Referências-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Conteúdo" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Alternar o índice" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Alternar o índice</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Álgebra associativa</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir para um artigo noutra língua. Disponível em 17 línguas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-17" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">17 línguas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/%C3%80lgebra_associativa" title="Àlgebra associativa — catalão" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Àlgebra associativa" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalão" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Assoziative_Algebra" title="Assoziative Algebra — alemão" lang="de" hreflang="de" data-title="Assoziative Algebra" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemão" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Associative_algebra" title="Associative algebra — inglês" lang="en" hreflang="en" data-title="Associative algebra" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglês" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Asocieca_al%C4%9Debro" title="Asocieca alĝebro — esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Asocieca alĝebro" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_asociativa" title="Álgebra asociativa — espanhol" lang="es" hreflang="es" data-title="Álgebra asociativa" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espanhol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AC%D8%A8%D8%B1_%D8%B4%D8%B1%DA%A9%D8%AA%E2%80%8C%D9%BE%D8%B0%DB%8C%D8%B1" title="جبر شرکت‌پذیر — persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="جبر شرکت‌پذیر" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_associative" title="Algèbre associative — francês" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Algèbre associative" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francês" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_(%D7%9E%D7%91%D7%A0%D7%94_%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%99)" title="אלגברה (מבנה אלגברי) — hebraico" lang="he" hreflang="he" data-title="אלגברה (מבנה אלגברי)" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebraico" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Asocijativna_algebra" title="Asocijativna algebra — croata" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Asocijativna algebra" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Algebra_associative" title="Algebra associative — interlíngua" lang="ia" 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href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B2%B0%ED%95%A9_%EB%8C%80%EC%88%98" title="결합 대수 — coreano" lang="ko" hreflang="ko" data-title="결합 대수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Associatieve_algebra" title="Associatieve algebra — neerlandês" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Associatieve algebra" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandês" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk badge-Q70893996 mw-list-item" title=""><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D0%BE%D1%86%D1%96%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Асоціативна алгебра — ucraniano" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Асоціативна алгебра" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E4%BB%A3%E6%95%B8" title="結合代數 — chinês" lang="zh" hreflang="zh" data-title="結合代數" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinês" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%90%E5%90%88%E4%BB%A3%E6%95%B8" title="結合代數 — Literary Chinese" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="結合代數" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q744960#sitelinks-wikipedia" title="Editar hiperligações interlínguas" class="wbc-editpage">Editar hiperligações</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaços nominais"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%C3%81lgebra_associativa" title="Ver a página de conteúdo [c]" accesskey="c"><span>Artigo</span></a></li><li id="ca-talk" class="new vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Discuss%C3%A3o:%C3%81lgebra_associativa&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Discussão sobre o conteúdo da página (página não existe) [t]" accesskey="t"><span>Discussão</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown 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class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/%C3%81lgebra_associativa"><span>Ler</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&veaction=edit" title="Editar esta página [v]" accesskey="v"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=edit" title="Editar o código-fonte desta página [e]" accesskey="e"><span>Editar código-fonte</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=history" title="Edições anteriores desta página. [h]" accesskey="h"><span>Ver histórico</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Ferramentas de página"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Ferramentas" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Ferramentas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header 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vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/%C3%81lgebra_associativa"><span>Ler</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&veaction=edit" title="Editar esta página [v]" accesskey="v"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=edit" title="Editar o código-fonte desta página [e]" accesskey="e"><span>Editar código-fonte</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=history"><span>Ver histórico</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Geral </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" 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class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q744960" title="Hiperligação para o elemento do repositório de dados [g]" accesskey="g"><span>Elemento Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Ferramentas de página"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aspeto"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" 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id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pt" dir="ltr"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Algebraic_structures.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Algebraic_structures.png/220px-Algebraic_structures.png" decoding="async" width="220" height="134" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Algebraic_structures.png/330px-Algebraic_structures.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Algebraic_structures.png/440px-Algebraic_structures.png 2x" data-file-width="1204" data-file-height="732" /></a><figcaption>Estruturas Algébricas</figcaption></figure> <p>Em <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica" title="Matemática">matemática</a>, uma <b>álgebra associativa</b> é uma <a href="/wiki/Estrutura_alg%C3%A9brica" title="Estrutura algébrica">estrutura algébrica</a>, com operações compatíveis de adição, multiplicação (que se supõe ser <a href="/wiki/Associatividade" title="Associatividade">associativa</a>), e uma multiplicação por escalar por elementos de algum <a href="/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica)" title="Corpo (matemática)">corpo</a> <i>K</i>. As operações de adição e de multiplicação em conjunto fazem de <i>A</i> um <a href="/wiki/Anel_(matem%C3%A1tica)" title="Anel (matemática)">anel</a>; já as operações de adição e de multiplicação por escalar em conjunto fazem de <i>A</i> um <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial" title="Espaço vetorial">espaço vetorial</a> sobre <i>K</i>. Neste artigo, também será usada a expressão <a href="/wiki/%C3%81lgebra_sobre_um_corpo" title="Álgebra sobre um corpo"><i>K</i>-álgebra</a> para se referir a uma álgebra associativa sobre o corpo <i>K</i>. Uma <i>K</i>-álgebra que geralmente aparece como primeiro exemplo é um anel de <a href="/wiki/Matriz_quadrada" class="mw-redirect" title="Matriz quadrada">matrizes quadradas</a> sobre um corpo <i>K</i>, com a <a href="/wiki/Produto_de_matrizes" title="Produto de matrizes">multiplicação de matrizes</a> usual. </p><p>Neste artigo assume-se que as álgebras associativas têm uma unidade multiplicativa, denotada por 1; às vezes elas são chamadas de <b>álgebras associativas com unidade</b> para tornar isso mais claro. Em algumas áreas da matemática não se faz esta suposição, mas aqui tais estruturas serão denominadas <i><a href="/wiki/%C3%81lgebra_sobre_um_corpo" title="Álgebra sobre um corpo">não-unital</a></i> ou <i>sem unidade</i> álgebras associativas. Também será assumido que todos os anéis são unitais, e que todos os homomorfismos de anel são unitais. </p><p>Muitos autores consideram o conceito mais geral de uma álgebra associativa sobre um <a href="/wiki/Anel_comutativo" title="Anel comutativo">anel comutativo</a> <i>R</i>, em vez de um corpo: Uma <b><i>R</i>-álgebra</b> é um <a href="/wiki/M%C3%B3dulo_(%C3%A1lgebra)" title="Módulo (álgebra)"><i>R</i>-módulo</a> com uma operação binária <i>R</i>-bilinear associativa, que também contém uma identidade multiplicativa. Para exemplos deste conceito, se <i>S</i> é qualquer anel com <a href="/w/index.php?title=Centro_(teoria_de_an%C3%A9is)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Centro (teoria de anéis) (página não existe)">centro</a> <i>C</i>, então <i>S</i> é uma <i>C</i>-álgebra associativa. </p><p><br /> </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definição"><span id="Defini.C3.A7.C3.A3o"></span>Definição</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&veaction=edit&section=1" title="Editar secção: Definição" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=edit&section=1" title="Editar código-fonte da secção: Definição"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Seja <i>R</i> um <a href="/wiki/Anel_comutativo" title="Anel comutativo">anel comutativo</a> fixado (em particular, <i>R</i> pode ser um corpo). Uma <b><i>R</i>-álgebra associativa</b> (ou simplesmente, uma <b><i>R</i>-álgebra</b>) é um <a href="/wiki/Grupo_abeliano" title="Grupo abeliano">grupo abeliano</a> aditivo <i>A</i> que tem tanto a estrutura de <a href="/wiki/Anel_(matem%C3%A1tica)" title="Anel (matemática)">anel</a> quanto a de <a href="/wiki/M%C3%B3dulo_(%C3%A1lgebra)" title="Módulo (álgebra)"><i>R</i>-módulo</a> de tal maneira que a <a href="/wiki/Multiplica%C3%A7%C3%A3o_escalar" title="Multiplicação escalar">multiplicação por escalar</a> satisfaz </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715ae73e40f4b45aedd455783e637358926c5677" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.264ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)}"></span></dd></dl> <p>para quaisquer <i>r</i> ∈ <i>R</i> e <i>x</i>, <i>y</i> ∈ <i>A</i>. Além disso, assume-se que <i>A</i> seja unital, isto é, que ela contém um elemento 1, tal que </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1x=x=x1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1x=x=x1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c268afea1b7c9c0594b36581280133f3aaac1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.511ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1x=x=x1}"></span></dd></dl> <p>para todo <i>x</i> ∈ <i>A</i>. Note que um elemento 1 com esta propriedade é necessariamente único. </p><p>Em outras palavras, <i>A</i> é um <i>R</i>-módulo juntamente com (1) uma aplicação <i>R</i>-bilinear <i>A</i> × <i>A</i> → <i>A</i>, chamada de multiplicação, e (2) a identidade multiplicativa, de tal forma que a multiplicação é associativa: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(yz)=(xy)z\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>z</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(yz)=(xy)z\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ad0b2e5ff8f34d952f0222c403d5c8f8b9dd86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.251ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(yz)=(xy)z\,}"></span></dd></dl> <p>para quaisquer <i>x</i>, <i>y</i>, e <i>z</i> em <i>A</i>. (Nota técnica: a identidade multiplicativa é um ponto de referência,<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span>[</span>1<span>]</span></a></sup> enquanto associatividade é uma propriedade. Pela unicidade da identidade multiplicativa, "unital" é muitas vezes tratado como uma propriedade.) Se for removida a exigência da associatividade, então o que resulta é uma álgebra não-associativa. </p><p>Se a própria <i>A</i> é comutativa (como um anel), então ela é denominada uma <b><i>R</i>-álgebra comutativa</b>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Como_um_objeto_monoide_na_categoria_dos_módulos"><span id="Como_um_objeto_monoide_na_categoria_dos_m.C3.B3dulos"></span>Como um objeto monoide na categoria dos módulos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&veaction=edit&section=2" title="Editar secção: Como um objeto monoide na categoria dos módulos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=edit&section=2" title="Editar código-fonte da secção: Como um objeto monoide na categoria dos módulos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A definição é equivalente a dizer que uma <i>R</i>-álgebra unital associativa é um objeto monoide em <b><i>R</i>-Mod</b> (a categoria monoidal de <i>R</i>-módulos). Por definição, um anel é um objeto monoide na <a href="/wiki/Categoria_de_grupos_abelianos" title="Categoria de grupos abelianos">categoria dos grupos abelianos</a>; assim, a noção de uma álgebra associativa é obtida substituindo a categoria dos grupos abelianos, pela categoria de módulos. </p><p>Levando esta ideia adiante, alguns autores introduziram um "<a href="/w/index.php?title=Anel_generalizado&action=edit&redlink=1" class="new" title="Anel generalizado (página não existe)">anel generalizado</a>" como um objeto monoide em alguma outra categoria que se comporta como a categoria dos módulos. De fato, essa reinterpretação permite que não seja feita referência explícita aos elementos de uma álgebra <i>A</i>. Por exemplo, a associatividade pode ser expressa da seguinte forma. Pela propriedade universal do <a href="/wiki/Produto_tensorial_de_m%C3%B3dulos" title="Produto tensorial de módulos">produto tensorial de módulos</a>, a multiplicação (a aplicação <i>R</i>-bilinear) corresponde a uma única transformação <i>R</i>-linear </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m:A\otimes _{R}A\to A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <msub> <mo>⊗</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m:A\otimes _{R}A\to A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9e848e9b3c6689dba3e472945ffb9f8c1ab7c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.141ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle m:A\otimes _{R}A\to A}"></span>.</dd></dl> <p>Então a associatividade se refere à identidade: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\circ (\operatorname {id} \otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>∘</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>id</mi> <mo>⊗</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo>∘</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>m</mi> <mo>⊗</mo> <mi>id</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\circ (\operatorname {id} \otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbbf0a844ca21873394114a9f5f10c5a05cd5447" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.829ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m\circ (\operatorname {id} \otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="A_partir_de_homomorfismos_de_anéis"><span id="A_partir_de_homomorfismos_de_an.C3.A9is"></span>A partir de homomorfismos de anéis</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&veaction=edit&section=3" title="Editar secção: A partir de homomorfismos de anéis" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=edit&section=3" title="Editar código-fonte da secção: A partir de homomorfismos de anéis"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Uma álgebra associativa equivale a um <a href="/wiki/Homomorfismo_de_an%C3%A9is" title="Homomorfismo de anéis">homomorfismo de anéis</a> cuja imagem está no <a href="/w/index.php?title=Centro_(teoria_de_an%C3%A9is)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Centro (teoria de anéis) (página não existe)">centro</a>. De fato, começando com um anel <i>A</i> e um homomorfismo de anéis <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta \colon R\to A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>η</mi> <mo>:</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta \colon R\to A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13ee65a69d867ded7a46a149e1667887acc7d17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.325ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \eta \colon R\to A}"></span> cuja imagem está no centro de <i>A</i>, pode-se tornar <i>A</i> uma <i>R</i>-álgebra definindo </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\cdot x=\eta (r)x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mi>η</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\cdot x=\eta (r)x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99524eab46f11c2b2ac6fafc4b1287ea8cdd5e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.513ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r\cdot x=\eta (r)x}"></span></dd></dl> <p>para todo <i>r</i> ∈ <i>R</i> e <i>x</i> ∈ <i>A</i>. Se <i>A</i> é uma <i>R</i>-álgebra, tomando <i>x</i> = 1, a mesma fórmula por sua vez, define um homomorfismo de anéis <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta \colon R\to A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>η</mi> <mo>:</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta \colon R\to A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13ee65a69d867ded7a46a149e1667887acc7d17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.325ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \eta \colon R\to A}"></span> cuja imagem está no centro. </p><p>Se <i>A</i> é comutativa, então, o centro de <i>A</i> é igual a <i>A</i>, de modo que uma <i>R</i>-álgebra comutativa pode ser definida simplesmente como um homomorfismo de anéis comutativos <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta \colon R\to A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>η</mi> <mo>:</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta \colon R\to A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13ee65a69d867ded7a46a149e1667887acc7d17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.325ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \eta \colon R\to A}"></span>. </p><p>O homomorfismo de anéis η que aparece acima é muitas vezes chamado de uma aplicação canônica. No caso comutativo, pode-se considerar a categoria cujos objetos são homomorfismos de anéis <i>R</i> → <i>A</i>; isto é, <i>R</i>-álgebras comutativas e cujos morfismos são homomorfismos de anéis <i>A</i> → <i>A’</i> que estão em <i>R</i>; isto é, <i>R</i> → <i>A</i> → <i>A’</i> é <i>R</i> → <i>A’</i> (ou seja, a categoria coslice da categoria de anéis comutativos em <i>R</i>.) O funtor espectro primo Spec determina então uma anti-equivalência desta categoria para a categoria dos <a href="/wiki/Espectro_de_um_anel" title="Espectro de um anel">esquemas afim</a> sobre Spec <i>R</i>. </p><p>Como enfraquecer hipótese de comutatividade é um assunto para a geometria comutativa algébrica e, mais recentemente, da <a href="/wiki/Geometria_alg%C3%A9brica" title="Geometria algébrica">geometria algébrica</a> derivada. Ver também: anel de matrizes genérico. </p><p>Um <a href="/wiki/Homomorfismo" title="Homomorfismo">homomorfismo</a> entre duas <i>R</i>-álgebras é um <a href="/wiki/Homomorfismo_de_an%C3%A9is" title="Homomorfismo de anéis">homomorfismo de anéis</a> que é R-linear. Explicitamente, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi :A_{1}\to A_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo>:</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi :A_{1}\to A_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/216f63ea6f5ef35f1042eb6b6530632714035762" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.666ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi :A_{1}\to A_{2}}"></span> é um <b>homomorfismo de álgebras associativas</b> se </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (r\cdot x)=r\cdot \varphi (x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>⋅</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (r\cdot x)=r\cdot \varphi (x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642542a4dd0cbc61fb31fd52fc15f775db790e78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.872ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (r\cdot x)=r\cdot \varphi (x)}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33bf56a8672b048c4e85cf27b21d7075e888a286" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.125ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)\,}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27f9a348789ab0596144e5a239ddbda3cd4d76d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.444ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y)\,}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (1)=1\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (1)=1\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b735f86d4005ce164dbd3de29661646f0b1d2361" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.14ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varphi (1)=1\,}"></span></dd></dl> <p>A classe de todas as <i>R</i>-álgebras, juntamente com os homomorfismos de álgebra entre elas forma uma <a href="/wiki/Categoria_(teoria_das_categorias)" title="Categoria (teoria das categorias)">categoria</a>, às vezes denotada por<b><i> R</i>-Alg</b>. </p><p>A subcategoria das <i>R</i>-álgebras comutativas pode ser caracterizada como a categoria <i>coslice</i> <i>R</i>/<b>CRing</b> em que <b>CRing</b> é a categoria dos anéis comutativos. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemplos">Exemplos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&veaction=edit&section=4" title="Editar secção: Exemplos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=edit&section=4" title="Editar código-fonte da secção: Exemplos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>O exemplo mais básico é um anel, pois é uma álgebra sobre o seu centro ou qualquer subanel contido no centro. Em particular, qualquer anel comutativo é uma álgebra sobre quaisquer de seus subanéis. Há inúmeros outros exemplos com origem na álgebra e em outros campos da matemática. </p><p><b>Álgebra</b> </p> <ul><li>Todo anel <i>A</i> pode ser considerado uma <b>Z</b>-álgebra. O único homomorfismo de anéis de <b>Z</b> para <i>A</i> é determinado pelo fato de que ele deve levar 1 na identidade de A. Deste modo, anéis e <b>Z</b>-álgebras são conceitos equivalentes, da mesma forma que <a href="/wiki/Grupo_abeliano" title="Grupo abeliano">grupos abelianos</a> e <b>Z</b>-módulos são equivalentes.</li> <li>Todo anel de <a href="/wiki/Caracter%C3%ADstica_(matem%C3%A1tica)" title="Característica (matemática)">característica</a> <i>n</i> é uma (<b>Z</b>/<i>n</i><b>Z</b>)-álgebra, como no exemplo anterior.</li> <li>Dado um <i>R</i>-módulo <i>M</i>, o anel de endomorfismos de <i>M</i>, denotado por End<sub><i>R</i></sub>(<i>M</i>) é uma <i>R</i>-álgebra, na qual se define (<i>r</i>·φ)(<i>x</i>) = <i>r</i>·φ(<i>x</i>).</li> <li>Todo anel de <a href="/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)" title="Matriz (matemática)">matrizes</a> com coeficientes em um anel comutativo <i>R</i> forma uma <i>R</i>-álgebra sob a adição e multiplicação matriciais. Isso coincide com o exemplo anterior em que <i>M</i> era um R-módulo livre finitamente gerado.</li> <li>As <a href="/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)" title="Matriz (matemática)">matrizes</a> <i>n</i>-by-<i>n</i> com entradas em um corpo <i>K</i> formam uma álgebra associativa sobre <i>K</i>. Em particular, as matrizes reais 2 × 2 formam uma álgebra associativa útil em transformações do plane.</li> <li>Os <a href="/wiki/N%C3%BAmero_complexo" title="Número complexo">números complexos</a> formam uma álgebra associativa de dimensão 2 sobre os <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">números reais</a>.</li> <li>Os <a href="/wiki/Quaterni%C3%B5es" class="mw-redirect" title="Quaterniões">quatérnios</a> formam uma álgebra associativa de dimensão 4 sobre os reais (mas não uma álgebra sobre os números complexos, já que estes não estão no centro dos quatérnios).</li> <li>Os <a href="/wiki/Polin%C3%B3mio" class="mw-redirect" title="Polinómio">polinômios</a> com coeficientes reais formam uma álgebra associativa sobre os reais.</li> <li>Todo <a href="/wiki/Anel_de_polin%C3%B4mios" title="Anel de polinômios">anel de polinômios</a> <i>R</i>[<i>x</i><sub>1</sub>, ..., <i>x</i><sub><i>n</i></sub>] é uma <i>R</i>-álgebra comutativa. De fato, esta é a <i>R</i>-álgebra comutativa livre sobre o conjunto {<i>x</i><sub>1</sub>, ..., <i>x</i><sub><i>n</i></sub>}.</li> <li>A <i>R</i>-álgebra livre sobre um conjunto <i>E</i> é uma álgebra de polinômios com coeficientes em <i>R</i> e indeterminadas não comutativas tomadas no conjunto <i>E</i>.</li> <li>A <a href="/wiki/%C3%81lgebra_tensorial" title="Álgebra tensorial">álgebra tensorial</a> de um <i>R</i>-módulo é naturalmente uma <i>R</i>-álgebra. O mesmo é verdade para quocientes tais como as álgebras exterior e simétrica. Em termos de categorias, o <a href="/wiki/Functor" title="Functor">funtor</a> que leva um <i>R</i>-módulo em sua álgebra tensorial é adjunto à esquerda ao funtor que leva uma <i>R</i>-álgebra ao seu<i> R</i>-módulo subjacente (esquecendo a estrutura de anel).</li> <li>Dado um anel comutativo <i>R</i> e qualquer anel <i>A</i> o produto tensorial <i>R</i>⊗<sub><b>Z</b></sub><i>A</i> pode receber a estrutura de uma <i>R</i>-álgebra definindo-se <i>r</i>·(<i>s</i>⊗<i>a</i>) = (<i>rs</i>⊗<i>a</i>). O funtor que leva <i>A</i> em <i>R</i>⊗<sub><b>Z</b></sub><i>A</i> é adjunto à esquerda do funtor que leva uma <i>R</i>-álgebra em seu anel subjacente (esquecendo a estrutura de módulo).</li></ul> <p><b>Teoria de representação</b> </p> <ul><li>A <a href="/wiki/%C3%81lgebra_envelopante" title="Álgebra envelopante">álgebra universal envelopante</a> de uma álgebra de Lie é uma álgebra associativa que pode ser usada para estudar a álgebra de Lie dada.</li> <li>Se <i>G</i> é um grupo e <i>R</i> é um anel comutativo, o conjunto de todas as funções de <i>G</i> para <i>R</i> com suporte finito forma uma <i>R</i>-álgebra em que a multiplicação é definida por convolução. Ela é chamada de <a href="/wiki/%C3%81lgebra_de_grupo" title="Álgebra de grupo">álgebra de grupo</a> de <i>G</i>. A construção é o ponto de partida para a aplicação ao estudo de grupos (discretos).</li> <li>Se <i>G</i> é um <a href="/wiki/Grupo_alg%C3%A9brico" title="Grupo algébrico">grupo algébrico</a> (por exemplo um <a href="/wiki/Grupo_de_Lie" title="Grupo de Lie">grupo de Lie</a> complexo semissimples), então o anel de coordenadas de <i>G</i> é a <a href="/wiki/%C3%81lgebra_de_Hopf" title="Álgebra de Hopf">álgebra de Hopf</a> <i>A</i> que corresponde a <i>G</i>. Várias estruturas de <i>G</i> são traduzidas para estruturas de <i>A</i>.</li></ul> <p><b>Análise</b> </p> <ul><li>Dado qualquer <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Banach" title="Espaço de Banach">espaço de Banach</a> <i>X</i>, os <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua" title="Função contínua">operadores lineares contínuos</a> <i>A</i> : <i>X</i> → <i>X</i> formam uma álgebra associativa (usando a composição de operadores como multiplicação); isso é uma <a href="/wiki/%C3%81lgebra_de_Banach" title="Álgebra de Banach">álgebra de Banach</a>.</li> <li>Dado qualquer <a href="/wiki/Topologia_(matem%C3%A1tica)" title="Topologia (matemática)">espaço topológico</a> <i>X</i>, as funções a valores reais ou complexos contínuas sobre <i>X</i> formam uma álgebra associativa real ou complexa; aqui a adição e a multiplicação de funções é feita ponto a ponto.</li> <li>O conjunto dos semimartingales definidos no espaço de probabilidades filtrado (Ω,<i>F</i>,(<i>F</i><sub><i>t</i></sub>)<sub><i>t</i> ≥ 0</sub>,P) forma um anel sob a <a href="/wiki/C%C3%A1lculo_estoc%C3%A1stico" title="Cálculo estocástico">integração estocástica</a>.</li> <li>A <a href="/wiki/%C3%81lgebra_de_Weyl" title="Álgebra de Weyl">álgebra de Weyl</a>.</li></ul> <p><b>Geometria e combinatória</b> </p> <ul><li>As <a href="/wiki/%C3%81lgebra_de_Clifford" title="Álgebra de Clifford">álgebras de Clifford</a>, que são úteis em <a href="/wiki/Geometria" title="Geometria">geometria</a> e <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">física</a>.</li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_de_incid%C3%AAncia" title="Álgebra de incidência">Álgebras de incidência</a> de <a href="/wiki/Conjunto_parcialmente_ordenado" title="Conjunto parcialmente ordenado">conjuntos parcialmente ordenados</a> localmente finitos são álgebras associativas consideradas em <a href="/wiki/Combinat%C3%B3ria" title="Combinatória">combinatória</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Construções"><span id="Constru.C3.A7.C3.B5es"></span>Construções</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&veaction=edit&section=5" title="Editar secção: Construções" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=edit&section=5" title="Editar código-fonte da secção: Construções"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dt>Subálgebras</dt> <dd>Uma subálgebra de uma <i>R</i>-álgebra <i>A</i> é um subconjunto de <i>A</i> que é tanto um subanel quanto um <a href="/wiki/M%C3%B3dulo_(%C3%A1lgebra)" title="Módulo (álgebra)">submódulo</a> de <i>A</i>. Em outras palavras, ele precisa ser fechado sob a adição, a multiplicação do anel e a multiplicação por escalares, e ele deve conter o elemento identidade de <i>A</i>.</dd> <dt>Álgebras quocientes</dt> <dd>Seja <i>A</i> uma <i>R</i>-álgebra. Qualquer <a href="/wiki/Ideal_(teoria_dos_an%C3%A9is)" title="Ideal (teoria dos anéis)">ideal</a> <i>I de</i> <i>A</i> (no sentido da teoria de anéis) é automaticamente um <i>R</i>-módulo já que <i>r</i>·<i>x</i> = (<i>r</i>1<sub><i>A</i></sub>)<i>x</i>. Isso dá ao <a href="/wiki/Anel_quociente" title="Anel quociente">anel quociente</a> <i>A</i>/<i>I</i> a estrutura de um <i>R</i>-módulo e, de fato, de uma <i>R</i>-álgebra. Decorre disso que qualquer imagem de <i>A</i> por um homomorfismo de anéis também é uma <i>R</i>-álgebra.</dd> <dt>Produtos diretos</dt> <dd>O produto direto de uma família de <i>R</i>-álgebras é o produto direto de anéis. Este se torna uma <i>R</i>-álgebra com a multiplicação por escalar óbvia.</dd> <dt>Produtos livres</dt> <dd>Pode-se formar um <a href="/w/index.php?title=Produto_livre_de_%C3%A1lgebras_associativas&action=edit&redlink=1" class="new" title="Produto livre de álgebras associativas (página não existe)">produto livre de <i>R</i>-álgebras</a> de forma similar ao produto livre de grupos. O produto livre é o <a href="/wiki/Coproduto_categorial" title="Coproduto categorial">coproduto</a> na categoria das <i>R</i>-álgebras.</dd> <dt>Produtos tensoriais</dt> <dd>O produto tensorial de duas <i>R</i>-álgebras também é uma <i>R</i>-álgebra de forma natural. Ver produto tensorial de álgebras para mais detalhes.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Coálgebras"><span id="Co.C3.A1lgebras"></span>Coálgebras</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&veaction=edit&section=6" title="Editar secção: Coálgebras" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=edit&section=6" title="Editar código-fonte da secção: Coálgebras"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Uma álgebra associativa sobre <i>K</i> é dada por um <i>K</i>-espaço vetorial <i>A</i> munido de uma aplicação bilinear <i>A</i>×<i>A</i>→<i>A</i> que tem 2 entradas (multiplicador e multiplicando) e uma saída (produto), bem como um morfismo <i>K</i>→<i>A</i> que identificam os múltiplos escalares da identidade multiplicativa. Se a aplicação bilinear <i>A</i>×<i>A</i>→<i>A</i> for reinterpretada como uma <a href="/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_linear" title="Transformação linear">transformação linear</a> (ou seja, um <a href="/wiki/Morfismo_(teoria_das_categorias)" title="Morfismo (teoria das categorias)">morfismo</a> na categoria dos <i>K</i>-espaços vetoriais) <i>A</i>⊗<i>A</i>→<i>A</i> (pela <a href="/wiki/Produto_tensorial" title="Produto tensorial">propriedade universal do produto tensorial</a>), então pode-se pensar em uma álgebra associativa sobre <i>K</i> como um <i>K</i>-espaço vetorial <i>A</i> munido de dois morfismos (um da forma <i>A</i>⊗<i>A</i>→<i>A</i> e outro da forma <i>K</i>→<i>A</i>) que satisfazem certas condições que se resumem aos axiomas de álgebra. Estes dois morfismos podem ser dualizados usando dualidade de categorias invertendo todas as setas nos <a href="/wiki/Diagrama_comutativo" title="Diagrama comutativo">diagramas comutativos</a> que descrevem os <a href="/wiki/Axioma" title="Axioma">axiomas</a> de álgebra; isso define a estrutura de uma <a href="/wiki/Co%C3%A1lgebra" title="Coálgebra">coálgebra</a>. </p><p>Há também uma noção abstrata de F-coálgebra, em que <i>F</i> é um <a href="/wiki/Functor" title="Functor">funtor</a>. Isso é vagamente relacionado à noção de coálgebra discutida acima. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Representações"><span id="Representa.C3.A7.C3.B5es"></span>Representações</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&veaction=edit&section=7" title="Editar secção: Representações" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=edit&section=7" title="Editar código-fonte da secção: Representações"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Uma <a href="/wiki/Teoria_de_representa%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria de representação">representação</a> de uma álgebra <i>A</i> é um homomorfismo de álgebras ρ: <i>A</i> → End(<i>V</i>) de <i>A</i> para a álgebra de endomorfismos de algum espaço vetorial (ou módulo) <i>V</i>. A propriedade de ρ ser um homomorfismo de álgebras significa que ρ preserva a operação de multiplicação (isto é, ρ(<i>xy</i>)=ρ(<i>x</i>)ρ(<i>y</i>) para quaisquer <i>x</i> e <i>y</i> em <i>A</i>), e que ρ leva a unidade de <i>A</i> na unidade de End(<i>V</i>) (isto é, no endomorfismo identidade de <i>V</i>). </p><p>Se <i>A</i> e <i>B</i> são duas álgebras, e ρ: <i>A</i> → End(<i>V</i>) e τ: <i>B</i> → End(<i>W</i>) são duas representações, então há uma representação (canônica) <i>A <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \otimes }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \otimes }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de29098f5a34ee296a505681a0d5e875070f2aea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \otimes }"></span> B</i> → End(<i>V <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \otimes }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \otimes }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de29098f5a34ee296a505681a0d5e875070f2aea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \otimes }"></span> W</i>) da álgebra produto tensorial <i>A <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \otimes }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \otimes }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de29098f5a34ee296a505681a0d5e875070f2aea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \otimes }"></span> B</i> sobre o espaço vetorial <i>V <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \otimes }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⊗</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \otimes }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de29098f5a34ee296a505681a0d5e875070f2aea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \otimes }"></span> W</i>. No entanto, não há um modo natural de definir um <a href="/wiki/Produto_tensorial" title="Produto tensorial">produto tensorial</a> de duas representações de uma única álgebra associativa de tal modo que o resultado ainda seja uma representação da mesma álgebra (em vez de uma representação de produto tensorial com si mesma), sem de alguma forma impor condições adicionais. Aqui, o entendimento de <i>produto tensorial de representações</i> é o usual: o resultado deve ser uma representação linear da mesma álgebra sobre o espaço vetorial produto. A imposição de tal estrutura adicional geralmente leva às ideias de <a href="/wiki/%C3%81lgebra_de_Hopf" title="Álgebra de Hopf">álgebra de Hopf</a> ou <a href="/wiki/%C3%81lgebra_de_Lie" title="Álgebra de Lie">álgebra de Lie</a>, como demonstrado a seguir. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Motivação_para_uma_álgebra_de_Hopf"><span id="Motiva.C3.A7.C3.A3o_para_uma_.C3.A1lgebra_de_Hopf"></span>Motivação para uma álgebra de Hopf</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&veaction=edit&section=8" title="Editar secção: Motivação para uma álgebra de Hopf" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=edit&section=8" title="Editar código-fonte da secção: Motivação para uma álgebra de Hopf"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Considere, por exemplo, duas representações <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma :A\rightarrow \mathrm {End} (V)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">E</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma :A\rightarrow \mathrm {End} (V)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95438c861e497c92ec581806f07ef3497d6d27d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.388ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma :A\rightarrow \mathrm {End} (V)}"></span> e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau :A\rightarrow \mathrm {End} (W)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">E</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>W</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau :A\rightarrow \mathrm {End} (W)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/196ab939c5128b2d05ddbc2c6b54bbd2b3af7f5b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.909ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \tau :A\rightarrow \mathrm {End} (W)}"></span>. Poderia ser feita uma tentativa de formar uma representação do produto tensorial <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho :x\mapsto \sigma (x)\otimes \tau (x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊗</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho :x\mapsto \sigma (x)\otimes \tau (x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485937cd993cfa8a7cdbd71225d805ab65ce5db9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.733ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho :x\mapsto \sigma (x)\otimes \tau (x)}"></span> de acordo com a forma como ele age no espaço vetorial produto, de modo que </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w)).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo>⊗</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊗</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w)).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e48801b8757e7537cada969f22b82e6021b3517" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w)).}"></span></dd></dl> <p>No entanto, tal aplicação não seria linear, uma vez que ocorreria </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊗</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊗</mo> <mi>k</mi> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊗</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30308cb8f14156542b2450e39e3327405351e97f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:68.422ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)}"></span></dd></dl> <p>para <i>k</i> ∈ <i>K</i>. Essa tentativa poderia ser corrigida restaurando a linearidade impondo uma estrutura adicional, definindo um homomorfismo de álgebras Δ: <i>A</i> → <i>A</i> ⊗ <i>A</i>, e definindo a representação do produto tensorial como </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>σ</mi> <mo>⊗</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∘</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7181f649d0cd26f6d8079ebcddc22e9292b763b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.259ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta .}"></span></dd></dl> <p>Tal homomorfismo Δ é chamado de <a href="/wiki/Co%C3%A1lgebra" title="Coálgebra">comultiplicação</a> se ele satisfaz certos axiomas. A estrutura resultante é chamada de biálgebra. Para ser consistente com as definições de álgebra associativa, uma coálgebra deve ser coassociativa, e, se a álgebra for unital, então a coálgebra também deve ser counital. Uma <a href="/wiki/%C3%81lgebra_de_Hopf" title="Álgebra de Hopf">álgebra de Hopf</a> é uma biálgebra com mais uma estrutura adicional (a chamada antípoda), que permite não apenas a definição do produto tensorial de duas representações, mas também o módulo Hom de duas representações (novamente, de forma análoga a como isso é feito na teoria de representação de grupos). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Motivação_para_uma_álgebra_de_Lie"><span id="Motiva.C3.A7.C3.A3o_para_uma_.C3.A1lgebra_de_Lie"></span>Motivação para uma álgebra de Lie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&veaction=edit&section=9" title="Editar secção: Motivação para uma álgebra de Lie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=edit&section=9" title="Editar código-fonte da secção: Motivação para uma álgebra de Lie"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Com um pouco mais de engenhosidade, poderia ser feita uma outra tentativa de definir um produto tensorial. Considere, por examplo, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊗</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>Id</mtext> </mstyle> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>W</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>Id</mtext> </mstyle> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mo>⊗</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8787cabeebba151932ac449d8cc5a21e698d3d1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.428ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)}"></span></dd></dl> <p>de modo que a ação no produto tensorial é dada por </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo>⊗</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊗</mo> <mi>w</mi> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>⊗</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5d95be7678e70a11b47af60819c230e446938e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.414ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)}"></span>.</dd></dl> <p>Esta aplicação é claramente linear em <i>x</i>, e assim ela não tem o problema da definição anterior. No entanto, ela falha em preservar a multiplicação: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊗</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>Id</mtext> </mstyle> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>W</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>Id</mtext> </mstyle> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mo>⊗</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1ba4f4fa4b46d64d1e4212bf65af2909beab69" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.101ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}"></span>.</dd></dl> <p>Mas, em geral, isso não é igual a </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊗</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>Id</mtext> </mstyle> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>W</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊗</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊗</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>Id</mtext> </mstyle> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mo>⊗</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05b32b7a61ccf37f89afa9e9370e6901a7e98ccb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:73.745ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}"></span>.</dd></dl> <p>Isso mostra que esta definição de um produto tensorial é muito ingênua; a correção óbvia seria defini-lo de modo que fosse antissimétrico, pois assim os termos centrais se cancelariam. Isso leva ao conceito de <a href="/wiki/%C3%81lgebra_de_Lie" title="Álgebra de Lie">álgebra de Lie</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Álgebras_não_unitais"><span id=".C3.81lgebras_n.C3.A3o_unitais"></span>Álgebras não unitais</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&veaction=edit&section=10" title="Editar secção: Álgebras não unitais" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=edit&section=10" title="Editar código-fonte da secção: Álgebras não unitais"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Alguns autores usam o termo "álgebra associativa" para se referir a estruturas que não possuem necessariamente uma identidade multiplicativa, e assim consideram homomorfismos que não são necessariamente unitais. </p><p>Um exemplo de uma álgebra associativa não unital é dado pelo conjunto de todas as funções <i>f</i>: <b>R</b> → <b>R</b> cujo <a href="/wiki/Limite_de_uma_fun%C3%A7%C3%A3o" title="Limite de uma função">limite</a> quando <i>x</i> tende a infinito é zero. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ver_também"><span id="Ver_tamb.C3.A9m"></span>Ver também</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&veaction=edit&section=11" title="Editar secção: Ver também" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=edit&section=11" title="Editar código-fonte da secção: Ver também"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_abstrata" title="Álgebra abstrata">Álgebra abstrata</a></li> <li><a href="/wiki/Estrutura_alg%C3%A9brica" title="Estrutura algébrica">Estrutura algébrica</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_sobre_um_corpo" title="Álgebra sobre um corpo">Álgebra sobre um corpo</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notas">Notas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&veaction=edit&section=12" title="Editar secção: Notas" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=edit&section=12" title="Editar código-fonte da secção: Notas"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Posto de outra forma, há um funtor esquecimento da categoria das álgebras associativas para a categoria das álgebras possivelmente não unitais.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referências"><span id="Refer.C3.AAncias"></span>Referências</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&veaction=edit&section=13" title="Editar secção: Referências" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&action=edit&section=13" title="Editar código-fonte da secção: Referências"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book">Bourbaki, N. (1989). <i>Algebra I</i>. [S.l.]: Springer. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/3-540-64243-9" title="Especial:Fontes de livros/3-540-64243-9">3-540-64243-9</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3A%C3%81lgebra+associativa&rft.au=Bourbaki%2C+N.&rft.btitle=Algebra+I&rft.date=1989&rft.genre=book&rft.isbn=3-540-64243-9&rft.pub=Springer&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li>James Byrnie Shaw (1907) <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=05160001">A Synopsis of Linear Associative Algebra</a>, ligação a de <a href="/wiki/Cornell_University" class="mw-redirect" title="Cornell University">Cornell University</a> Historical Math Monographs.</li> <li>Ross Street (1998) <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20050825034431/http://www-texdev.ics.mq.edu.au/Quantum/Quantum.ps">Quantum Groups: an entrée to modern algebra</a></i>, uma visão geral da notação livre de índices.</li></ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtida de "<a dir="ltr" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Álgebra_associativa&oldid=67825966">https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Álgebra_associativa&oldid=67825966</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categorias" title="Especial:Categorias">Categoria</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:%C3%81lgebras" title="Categoria:Álgebras">Álgebras</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página foi editada pela última vez às 11h51min de 22 de abril de 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">Este texto é disponibilizado nos termos da licença <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pt">Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional (CC BY-SA 4.0) da Creative Commons</a>; pode estar sujeito a condições adicionais. Para mais detalhes, consulte as <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">condições de utilização</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/pt-br">Política de privacidade</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Sobre">Sobre a Wikipédia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Aviso_geral">Avisos gerais</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Código de conduta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Programadores</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pt.wikipedia.org">Estatísticas</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Declaração sobre ''cookies''</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pt.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%81lgebra_associativa&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versão móvel</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-59bbd5969d-8nq68","wgBackendResponseTime":132,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.098","walltime":"0.189","ppvisitednodes":{"value":375,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":1390,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":98,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":8,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":1523,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 52.212 1 -total"," 61.69% 32.210 1 Predefinição:Citar_livro"," 38.14% 19.912 1 Predefinição:Reflist"," 4.67% 2.437 1 Predefinição:Artigos_e_outros"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.020","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":1224493,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-5dc468848-f6llm","timestamp":"20241124155110","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u00c1lgebra associativa","url":"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/%C3%81lgebra_associativa","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q744960","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q744960","author":{"@type":"Organization","name":"Contribuidores dos projetos da Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Funda\u00e7\u00e3o Wikimedia, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2017-05-31T03:10:40Z","dateModified":"2024-04-22T11:51:45Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/d\/d7\/Algebraic_structures.png"}</script> </body> </html>