Teoria de Broglie’a-Bohma – Wikipedia, wolna encyklopedia

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vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">ukryj</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Początek</div> </a> </li> <li id="toc-Ogólny_opis_założeń" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Ogólny_opis_założeń"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Ogólny opis założeń</span> </div> </a> <ul id="toc-Ogólny_opis_założeń-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Szczegółowe_założenia_teorii" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Szczegółowe_założenia_teorii"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Szczegółowe założenia teorii</span> </div> </a> <ul id="toc-Szczegółowe_założenia_teorii-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Obliczanie_trajektorii_cząstek" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Obliczanie_trajektorii_cząstek"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Obliczanie trajektorii cząstek</span> </div> </a> <ul id="toc-Obliczanie_trajektorii_cząstek-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Determinizm_a_losowość_w_teorii_de_Broglie’a-Bohma" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Determinizm_a_losowość_w_teorii_de_Broglie’a-Bohma"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Determinizm a losowość w teorii de Broglie’a-Bohma</span> </div> </a> <ul id="toc-Determinizm_a_losowość_w_teorii_de_Broglie’a-Bohma-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Zgodność_ze_standardową_interpretacją_mechaniki_kwantowej" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Zgodność_ze_standardową_interpretacją_mechaniki_kwantowej"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Zgodność ze standardową interpretacją mechaniki kwantowej</span> </div> </a> <ul id="toc-Zgodność_ze_standardową_interpretacją_mechaniki_kwantowej-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Eksperyment_z_podwójną_szczeliną" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Eksperyment_z_podwójną_szczeliną"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Eksperyment z podwójną szczeliną</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Eksperyment_z_podwójną_szczeliną-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Eksperyment z podwójną szczeliną</span> </button> <ul id="toc-Eksperyment_z_podwójną_szczeliną-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Opis_eksperymentu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Opis_eksperymentu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>Opis eksperymentu</span> </div> </a> <ul id="toc-Opis_eksperymentu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Interpretacja_kopenhaska" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Interpretacja_kopenhaska"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>Interpretacja kopenhaska</span> </div> </a> <ul id="toc-Interpretacja_kopenhaska-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Interpretacja_de_Broglie-Bohma" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Interpretacja_de_Broglie-Bohma"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.3</span> <span>Interpretacja de Broglie-Bohma</span> </div> </a> <ul id="toc-Interpretacja_de_Broglie-Bohma-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Modyfikacje_eksperymentu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Modyfikacje_eksperymentu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.4</span> <span>Modyfikacje eksperymentu</span> </div> </a> <ul id="toc-Modyfikacje_eksperymentu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Rozszerzenia_–_stała_liczba_cząstek" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Rozszerzenia_–_stała_liczba_cząstek"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Rozszerzenia – stała liczba cząstek</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Rozszerzenia_–_stała_liczba_cząstek-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Rozszerzenia – stała liczba cząstek</span> </button> <ul id="toc-Rozszerzenia_–_stała_liczba_cząstek-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Teoria_nierelatywistyczna_z_uwzględnieniem_spinu_cząstek" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Teoria_nierelatywistyczna_z_uwzględnieniem_spinu_cząstek"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>Teoria nierelatywistyczna z uwzględnieniem spinu cząstek</span> </div> </a> <ul id="toc-Teoria_nierelatywistyczna_z_uwzględnieniem_spinu_cząstek-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Teoria_relatywistyczna_Bohma-Diraca_dla_pojedynczego_fermionu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Teoria_relatywistyczna_Bohma-Diraca_dla_pojedynczego_fermionu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2</span> <span>Teoria relatywistyczna Bohma-Diraca dla pojedynczego fermionu</span> </div> </a> <ul id="toc-Teoria_relatywistyczna_Bohma-Diraca_dla_pojedynczego_fermionu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Teoria_relatywistyczna_Bohma-Diraca_dla_wielu_fermionów" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Teoria_relatywistyczna_Bohma-Diraca_dla_wielu_fermionów"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.3</span> <span>Teoria relatywistyczna Bohma-Diraca dla wielu fermionów</span> </div> </a> <ul id="toc-Teoria_relatywistyczna_Bohma-Diraca_dla_wielu_fermionów-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Teoria_relatywistyczna_–_problem_foliacji_(podziału)_czasoprzestrzeni" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Teoria_relatywistyczna_–_problem_foliacji_(podziału)_czasoprzestrzeni"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.4</span> <span>Teoria relatywistyczna – problem foliacji (podziału) czasoprzestrzeni</span> </div> </a> <ul id="toc-Teoria_relatywistyczna_–_problem_foliacji_(podziału)_czasoprzestrzeni-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Problem_z_opisem_trajektorii_fotonu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Problem_z_opisem_trajektorii_fotonu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Problem z opisem trajektorii fotonu</span> </div> </a> <ul id="toc-Problem_z_opisem_trajektorii_fotonu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Kwantowa_teoria_pola" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Kwantowa_teoria_pola"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Kwantowa teoria pola</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Kwantowa_teoria_pola-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Kwantowa teoria pola</span> </button> <ul id="toc-Kwantowa_teoria_pola-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Połączenie_kwantowej_teorii_pola_Bohma_i_grawitacji" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Połączenie_kwantowej_teorii_pola_Bohma_i_grawitacji"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.1</span> <span>Połączenie kwantowej teorii pola Bohma i grawitacji</span> </div> </a> <ul id="toc-Połączenie_kwantowej_teorii_pola_Bohma_i_grawitacji-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Lorentzowsko_niezmiennicza_teoria_wielu_cząstek_Nikolicia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Lorentzowsko_niezmiennicza_teoria_wielu_cząstek_Nikolicia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.2</span> <span>Lorentzowsko niezmiennicza teoria wielu cząstek Nikolicia</span> </div> </a> <ul id="toc-Lorentzowsko_niezmiennicza_teoria_wielu_cząstek_Nikolicia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Kwantowa_teoria_pola_–_liczba_cząstek_jako_ontologia_rzeczywistości" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Kwantowa_teoria_pola_–_liczba_cząstek_jako_ontologia_rzeczywistości"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.3</span> <span>Kwantowa teoria pola – liczba cząstek jako ontologia rzeczywistości</span> </div> </a> <ul id="toc-Kwantowa_teoria_pola_–_liczba_cząstek_jako_ontologia_rzeczywistości-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Podejście_deterministyczno-stochastyczne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Podejście_deterministyczno-stochastyczne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.3.1</span> <span>Podejście deterministyczno-stochastyczne</span> </div> </a> <ul id="toc-Podejście_deterministyczno-stochastyczne-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Przestrzeń_konfiguracyjna" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-4"> <a class="vector-toc-link" href="#Przestrzeń_konfiguracyjna"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.3.1.1</span> <span>Przestrzeń konfiguracyjna</span> </div> </a> <ul id="toc-Przestrzeń_konfiguracyjna-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Dynamika_układu" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-4"> <a class="vector-toc-link" href="#Dynamika_układu"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.3.1.2</span> <span>Dynamika układu</span> </div> </a> <ul id="toc-Dynamika_układu-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Podejście_deterministyczne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Podejście_deterministyczne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.3.2</span> <span>Podejście deterministyczne</span> </div> </a> <ul id="toc-Podejście_deterministyczne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Teoria_na_zakrzywionej_czasoprzestrzeni" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Teoria_na_zakrzywionej_czasoprzestrzeni"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.4</span> <span>Teoria na zakrzywionej czasoprzestrzeni</span> </div> </a> <ul id="toc-Teoria_na_zakrzywionej_czasoprzestrzeni-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Teoria_nielokalnego_przekazywania_informacji" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Teoria_nielokalnego_przekazywania_informacji"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.5</span> <span>Teoria nielokalnego przekazywania informacji</span> </div> </a> <ul id="toc-Teoria_nielokalnego_przekazywania_informacji-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Wyprowadzenia_teorii_de_Broglie-Bohma" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Wyprowadzenia_teorii_de_Broglie-Bohma"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Wyprowadzenia teorii de Broglie-Bohma</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Wyprowadzenia_teorii_de_Broglie-Bohma-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Wyprowadzenia teorii de Broglie-Bohma</span> </button> <ul id="toc-Wyprowadzenia_teorii_de_Broglie-Bohma-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Z_hipotezy_de_Broglie’a" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Z_hipotezy_de_Broglie’a"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.1</span> <span>Z hipotezy de Broglie’a</span> </div> </a> <ul id="toc-Z_hipotezy_de_Broglie’a-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Z_równania_ciągłości" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Z_równania_ciągłości"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.2</span> <span>Z równania ciągłości</span> </div> </a> <ul id="toc-Z_równania_ciągłości-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Z_rozkładu_funkcji_falowej_na_część_fazową_i_moduł" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Z_rozkładu_funkcji_falowej_na_część_fazową_i_moduł"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.3</span> <span>Z rozkładu funkcji falowej na część fazową i moduł</span> </div> </a> <ul id="toc-Z_rozkładu_funkcji_falowej_na_część_fazową_i_moduł-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Z_równania_Hamiltona-Jacobiego" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Z_równania_Hamiltona-Jacobiego"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.4</span> <span>Z równania Hamiltona-Jacobiego</span> </div> </a> <ul id="toc-Z_równania_Hamiltona-Jacobiego-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Zobacz_też" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>Zobacz też</span> </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Uwagi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Uwagi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">12</span> <span>Uwagi</span> </div> </a> <ul id="toc-Uwagi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">13</span> <span>Przypisy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">14</span> <span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Linki_zewnętrzne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Linki_zewnętrzne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15</span> <span>Linki zewnętrzne</span> </div> </a> <ul id="toc-Linki_zewnętrzne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Teoria de Broglie’a-Bohma</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 19 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-19" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">19 języków</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%AF%D9%8A_%D8%A8%D8%B1%D9%88%D9%8A-%D8%A8%D9%88%D9%85" title="نظرية دي بروي-بوم – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="نظرية دي بروي-بوم" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_Broglie-Bohm" title="Teoria de Broglie-Bohm – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Teoria de Broglie-Bohm" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Pilotb%C3%B8lge-teorien" title="Pilotbølge-teorien – duński" lang="da" hreflang="da" data-title="Pilotbølge-teorien" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="duński" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/De-Broglie-Bohm-Theorie" title="De-Broglie-Bohm-Theorie – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="De-Broglie-Bohm-Theorie" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/De_Broglie%E2%80%93Bohm_theory" title="De Broglie–Bohm theory – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="De Broglie–Bohm theory" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Interpretaci%C3%B3n_de_Bohm" title="Interpretación de Bohm – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Interpretación de Bohm" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9_%D8%A8%D9%88%D9%87%D9%85%DB%8C" title="مکانیک بوهمی – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="مکانیک بوهمی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_De_Broglie-Bohm" title="Théorie de De Broglie-Bohm – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Théorie de De Broglie-Bohm" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%93%9C_%EB%B8%8C%EB%A1%9C%EC%9D%B4-%EB%B4%84_%EC%9D%B4%EB%A1%A0" title="드 브로이-봄 이론 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="드 브로이-봄 이론" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Interpretazione_di_Bohm" title="Interpretazione di Bohm – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Interpretazione di Bohm" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%99%D7%AA_%D7%93%D7%94_%D7%91%D7%A8%D7%95%D7%99%D7%99-%D7%91%D7%95%D7%94%D7%9D" title="תאוריית דה ברויי-בוהם – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="תאוריית דה ברויי-בוהם" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Theoria_undarum_gubernatoriarum_De_Broglie-Bohm" title="Theoria undarum gubernatoriarum De Broglie-Bohm – łaciński" lang="la" hreflang="la" data-title="Theoria undarum gubernatoriarum De Broglie-Bohm" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="łaciński" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%83%A0%E8%A7%A3%E9%87%88" title="ボーム解釈 – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="ボーム解釈" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%A1%E0%A9%80_%E0%A8%AC%E0%A9%8D%E0%A8%B0%E0%A9%8B%E0%A8%97%E0%A8%B2%E0%A8%BE%E0%A8%87-%E0%A8%AC%E0%A9%8B%E0%A8%B9%E0%A8%AE_%E0%A8%A5%E0%A8%BF%E0%A8%8A%E0%A8%B0%E0%A9%80" title="ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲਾਇ-ਬੋਹਮ ਥਿਊਰੀ – pendżabski" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਡੀ ਬ੍ਰੋਗਲਾਇ-ਬੋਹਮ ਥਿਊਰੀ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendżabski" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Interpreta%C3%A7%C3%A3o_de_Bohm" title="Interpretação de Bohm – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Interpretação de Bohm" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B4%D0%B5_%D0%91%D1%80%D0%BE%D0%B9%D0%BB%D1%8F_%E2%80%94_%D0%91%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Теория де Бройля — Бома – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Теория де Бройля — Бома" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Pilot_dalga_teorisi" title="Pilot dalga teorisi – turecki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Pilot dalga teorisi" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turecki" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%B4%D0%B5_%D0%91%D1%80%D0%BE%D0%B9%D0%BB%D1%8F_%E2%80%94_%D0%91%D0%BE%D0%BC%D0%B0" title="Теорія де Бройля — Бома – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Теорія де Бройля — Бома" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%B7%E5%B8%83%E7%BD%97%E6%84%8F-%E7%8E%BB%E5%A7%86%E7%90%86%E8%AE%BA" title="德布罗意-玻姆理论 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="德布罗意-玻姆理论" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q899444#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c"><span>Artykuł</span></a></li><li id="ca-talk" 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class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><p><b>Teoria de Broglie-Bohma</b> (także: <a href="/wiki/Teoria_fali_pilotuj%C4%85cej" title="Teoria fali pilotującej">teoria fali pilotującej</a>, mechanika Bohma, interpretacja Bohma lub interpretacja przyczynowa) – interpretacja <a href="/wiki/Mechanika_kwantowa" title="Mechanika kwantowa">mechaniki kwantowej</a> zakładająca, że: </p> <ol><li>stan <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_fizyczny" title="Układ fizyczny">układu fizycznego</a> zależy od <a href="/wiki/Funkcja_falowa" title="Funkcja falowa">funkcji falowej</a>, która jest określona w <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_konfiguracyjna" title="Przestrzeń konfiguracyjna">przestrzeni konfiguracyjnej</a> układu oraz stanowi rozwiązanie <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Schr%C3%B6dingera" title="Równanie Schrödingera">równania Schrödingera</a>,</li> <li>układ znajduje się w każdej chwili w jednej z możliwych konfiguracji (którą stanowią pozycje wszystkich cząstek układu lub stany wszystkich <a href="/wiki/Pole_(fizyka)" title="Pole (fizyka)">pól fizycznych</a>),</li> <li>dynamikę układu zadaje tzw. <b>równanie fali pilotującej</b>, które określa wektor prędkości układu w danej chwili, dla zadanej konfiguracji; wektor ten zależy od funkcji falowej; dowodzi się, że tak zadana dynamika układu odtwarza efekty kwantowe.</li></ol> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ogólny_opis_założeń"><span id="Og.C3.B3lny_opis_za.C5.82o.C5.BCe.C5.84"></span>Ogólny opis założeń</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Ogólny opis założeń" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Ogólny opis założeń"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Założenie o realności funkcji falowej, która kieruje ruchem klasycznie rozumianych cząstek, zostało przedstawione w 1927 roku przez <a href="/wiki/Louis_de_Broglie" title="Louis de Broglie">Louisa de Broglie</a> (1892–1987)<sup id="cite_ref-paradoksy_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-paradoksy-1">[1]</a></sup>. Jeszcze w 1962 roku bronił on swojej koncepcji „fali pilotującej” (<a href="/wiki/J%C4%99zyk_francuski" title="Język francuski">fr.</a> <em lang="fr">onde-pilote</em>, <a href="/wiki/J%C4%99zyk_angielski" title="Język angielski">ang.</a> <em lang="en">pilot wave</em>)<sup id="cite_ref-Horodeński2015_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Horodeński2015-2">[2]</a></sup>. Teoria ta została rozwinięta przez <a href="/wiki/David_Bohm" title="David Bohm">Davida Bohma</a> (1917–1992), który nazywał tę falę „potencjałem kwantowym” lub „falą przewodnią” (ang. <i>guide wave</i>)<sup id="cite_ref-paradoksy_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-paradoksy-1">[1]</a></sup><sup id="cite_ref-kwantowo_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-kwantowo-3">[3]</a></sup>. </p><p>Drugie z założeń teorii de Broglie-Bohma nie występuje w kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej. Zakłada ona, że do momentu pomiaru istnieje tylko funkcja falowa, zaś układ fizyczny nie ma żadnego określonego stanu; dopiero w momencie wykonania pomiaru przez fizyka następuje „zaistnienie” układu w konkretnym stanie, odpowiadającym uzyskanemu wynikowi pomiaru. Takie założenie prowadzi jednak do logicznej sprzeczności, m.in. z powodu przypisania pomiarowi szczególnej roli wśród wszystkich procesów, jakie zachodzą w przyrodzie. Sprzeczność ta została dobitnie wyrażona przez samego <a href="/wiki/Erwin_Schr%C3%B6dinger" title="Erwin Schrödinger">Schrödingera</a> w tzw. <a href="/wiki/Kot_Schr%C3%B6dingera" title="Kot Schrödingera">paradoksie kota Schrödingera</a>. </p><p>Teoria de Broglie-Bohma jest: </p> <ul><li><b>teorią nielokalną:</b> z równania fali pilotującej wynika, że prędkość każdej cząstki zależy od położeń wszystkich innych cząstek Wszechświata<sup id="cite_ref-nielok_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-nielok-4">[a]</a></sup>. Rozważania na temat nielokalności teorii de Broglie-Bohma doprowadziły Bella do odkrycia słynnego <a href="/wiki/Twierdzenie_Bella" title="Twierdzenie Bella">twierdzenia Bella</a>,</li> <li><b>teorią <a href="/wiki/Determinizm" title="Determinizm">deterministyczną</a></b>, tzn. trajektorie cząstek są ściśle wyznaczone przez stan układu w chwili początkowej<sup id="cite_ref-:0_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-:0-5">[4]</a></sup>.</li></ul> <p>Teoria de Broglie-Bohma wprowadza także formalny <b>opis pomiaru</b>. Problem pomiaru nie rozwiązany w ramach interpretacji standardowej mechaniki kwantowej nie pojawia się tu, gdyż w teorii de Broglie-Bohma eksperyment nie powoduje zaistnienia układu w jakimś stanie, a jedynie rejestruje istniejący już przed pomiarem stan układu – aparatura pomiarowa w wyniku oddziaływania z układem mierzonym przyjmuje stan, odpowiadający mierzonemu stanowi układu. </p><p>W teorii można wprowadzić pojęcie kolapsu funkcji falowej (który formułuje jako jeden z postulatów standardowa interpretacja mechaniki kwantowej): efekt kolapsu pojawia się jednak tylko z punktu widzenia obserwatora, dokonującego pomiaru (a więc jest to efekt zawężonej analizy procesu pomiaru); de facto kolaps nie zachodzi. </p><p>Opracowano warianty teorii fali uwzględniające np. spiny cząstek czy zakrzywienie przestrzeni, a także odnoszące się do <a href="/wiki/Kwantowa_teoria_pola" title="Kwantowa teoria pola">kwantowej teorii pola</a>. </p><p>Fala de Broglie jest mikroskopowym odpowiednikiem <a href="/wiki/Fala_Faradaya" title="Fala Faradaya">fali Faradaya</a><sup id="cite_ref-tcm.phy.cam.ac-_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-tcm.phy.cam.ac--6">[5]</a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Szczegółowe_założenia_teorii"><span id="Szczeg.C3.B3.C5.82owe_za.C5.82o.C5.BCenia_teorii"></span>Szczegółowe założenia teorii</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Szczegółowe założenia teorii" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Szczegółowe założenia teorii"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Teoria de Broglie-Bohma dotyczy ustalonego układu cząstek (a więc nie mogą <a href="/wiki/Operatory_kreacji_i_anihilacji" title="Operatory kreacji i anihilacji">anihilować ani być kreowane</a>), które ponadto nie posiadają <a href="/wiki/Spin_(fizyka)" title="Spin (fizyka)">spinu</a>, i oparta jest na następujących postulatach: </p><p>1) Układ, który można uznać za odizolowany (np. cały Wszechświat), zawiera stałą liczbę <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"></span> cząstek materii. </p><p>2) W chwili <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span> układ istnieje w pewnej konfiguracji </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(t)=(\mathbf {Q} _{1}(t),\dots ,\mathbf {Q} _{k}(t),\dots ,\mathbf {Q} _{N}(t)),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(t)=(\mathbf {Q} _{1}(t),\dots ,\mathbf {Q} _{k}(t),\dots ,\mathbf {Q} _{N}(t)),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0887c6a2820321868abcdad37c4ed2ef91dd9ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:38.203ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q(t)=(\mathbf {Q} _{1}(t),\dots ,\mathbf {Q} _{k}(t),\dots ,\mathbf {Q} _{N}(t)),}"></span></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Q} _{k}(t)=(x_{k}(t),y_{k}(t),z_{k}(t))\in \mathbb {R} ^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Q} _{k}(t)=(x_{k}(t),y_{k}(t),z_{k}(t))\in \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35135c757943a07173b18ac91c7bb6116894d6b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.057ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Q} _{k}(t)=(x_{k}(t),y_{k}(t),z_{k}(t))\in \mathbb {R} ^{3}}"></span> – wektor położenia <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"></span>-tej cząstki w <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_tr%C3%B3jwymiarowa" title="Przestrzeń trójwymiarowa">przestrzeni euklidesowej</a><sup id="cite_ref-:0_5-1" class="reference"><a href="#cite_note-:0-5">[4]</a></sup>.</dd></dl> <p>3) Wszystkie możliwe konfiguracje <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=(\mathbf {q} _{1},\dots ,\mathbf {q} _{k},\dots ,\mathbf {q} _{N})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=(\mathbf {q} _{1},\dots ,\mathbf {q} _{k},\dots ,\mathbf {q} _{N})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b46ec28cc64ba5832d7896a823a50b5b8b7250" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.401ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q=(\mathbf {q} _{1},\dots ,\mathbf {q} _{k},\dots ,\mathbf {q} _{N})}"></span> układu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"></span> cząstek tworzą <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_konfiguracyjna" title="Przestrzeń konfiguracyjna">przestrzeń konfiguracyjną</a> złożoną z <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"></span>-elementowych podzbiorów zbioru <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c256f1c3b38d079269116d276130a4999b0d31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.192ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}"></span><sup id="cite_ref-math_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-math-7">[b]</a></sup>. </p><p>4) Cząstki bezmasowe (<a href="/wiki/Foton" title="Foton">fotony</a>) w ujęciu Bohma nie są traktowane jako zlokalizowane obiekty punktowe, ale jako stany pola elektromagnetycznego, określone w całej przestrzeni fizycznej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb17c1074c77de2cf88d45bcd6d7a795b0f5d44" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.379ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}"></span> tj. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Q} _{k}=\phi _{k},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Q} _{k}=\phi _{k},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0adae30bc8f4696b33427a900f36c58044e4ddf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.316ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Q} _{k}=\phi _{k},}"></span></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{k}:\mathbb {R} ^{3}\ni (x,y,x)\to \phi _{k}(x,y,x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>∋</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{k}:\mathbb {R} ^{3}\ni (x,y,x)\to \phi _{k}(x,y,x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018e4a43c601b622acc0c432a9c24fc82a483e97" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.457ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \phi _{k}:\mathbb {R} ^{3}\ni (x,y,x)\to \phi _{k}(x,y,x)}"></span> – jeden z możliwych stanów pola.</dd></dl> <p>5) Wektor prędkości <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"></span>-tej cząstki znajdującej się w położeniu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b5e8415b63b5600e16dd0001ae83bbe85885d63" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.097ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}"></span> w chwili <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span> określa wzór </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}(t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j} _{k}(q,t)}{|\psi (q,t)|^{2}}}{\Bigg |}_{q=Q(t)},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em">|</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}(t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j} _{k}(q,t)}{|\psi (q,t)|^{2}}}{\Bigg |}_{q=Q(t)},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1bb545a9b86a7651766b744341367edf9318a70" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:27.079ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}(t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j} _{k}(q,t)}{|\psi (q,t)|^{2}}}{\Bigg |}_{q=Q(t)},}"></span></dd></dl> <p>gdzie: </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (q,t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (q,t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae63ac01548619f4c3c78988c4a0c54d1c73f3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.266ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi (q,t)}"></span> – <a href="/wiki/Funkcja_falowa" title="Funkcja falowa">funkcja falowa</a>, będąca rozwiązaniem <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Schr%C3%B6dingera" title="Równanie Schrödingera">równania Schrödingera</a> w przestrzeni konfiguracyjnej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3N},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3N},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3ced4b73591918cfb77efd299414ffcef474c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.838ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3N},}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {j} _{k}(q,t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}{\text{Im}}\left(\psi ^{*}(q,t)\nabla _{k}\psi (q,t)\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Im</mtext> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {j} _{k}(q,t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}{\text{Im}}\left(\psi ^{*}(q,t)\nabla _{k}\psi (q,t)\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94b8afbf333e09a927a870cf5a769e3c3ad9a44" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; margin-left: -0.164ex; width:35.467ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {j} _{k}(q,t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}{\text{Im}}\left(\psi ^{*}(q,t)\nabla _{k}\psi (q,t)\right)}"></span> – wektor <a href="/wiki/Pr%C4%85d_prawdopodobie%C5%84stwa" title="Prąd prawdopodobieństwa">gęstości prądu prawdopodobieństwa</a>, przypisany <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"></span>-tej cząstce,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla _{k}=\left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}},{\frac {\partial }{\partial y_{k}}},{\frac {\partial }{\partial z_{k}}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla _{k}=\left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}},{\frac {\partial }{\partial y_{k}}},{\frac {\partial }{\partial z_{k}}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc879fa5a084f4af33fd31cab606f5a66d82f72" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.891ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla _{k}=\left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}},{\frac {\partial }{\partial y_{k}}},{\frac {\partial }{\partial z_{k}}}\right)}"></span> – <a href="/wiki/Operator_nabla" title="Operator nabla">operator nabla</a> względem współrzędnych <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"></span>-tej cząstki,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5e3b1ba705c5adda8381cb22580d26d64968f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{k}}"></span> – masa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"></span>-tej cząstki.</li></ul> <p>Uwaga: Prąd prawdopodobieństwa można zapisać w dwa inne, równoważne sposoby, używając operatora pędu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {p}}_{k}=-i\hbar \nabla _{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msub> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {p}}_{k}=-i\hbar \nabla _{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f954363f6ce37743adb02c586f6ea5388c59161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:12.578ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {p}}_{k}=-i\hbar \nabla _{k}}"></span> przypisanego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"></span>-tej cząstce: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {j} _{k}(q,t)={\frac {1}{m_{k}}}{\text{Re}}\left(\psi ^{*}(q,t)\,{\hat {p}}_{k}\,\psi (q,t)\right)={\frac {1}{2m_{k}}}\left(\psi ^{*}{\hat {p}}_{k}\psi -\psi {\hat {p}}_{k}\psi ^{*}\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Re</mtext> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mi>ψ</mi> <mo>−</mo> <mi>ψ</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {j} _{k}(q,t)={\frac {1}{m_{k}}}{\text{Re}}\left(\psi ^{*}(q,t)\,{\hat {p}}_{k}\,\psi (q,t)\right)={\frac {1}{2m_{k}}}\left(\psi ^{*}{\hat {p}}_{k}\psi -\psi {\hat {p}}_{k}\psi ^{*}\right).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b586aec798546def91d48f9565eb90734ef4354" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; margin-left: -0.164ex; width:62.986ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {j} _{k}(q,t)={\frac {1}{m_{k}}}{\text{Re}}\left(\psi ^{*}(q,t)\,{\hat {p}}_{k}\,\psi (q,t)\right)={\frac {1}{2m_{k}}}\left(\psi ^{*}{\hat {p}}_{k}\psi -\psi {\hat {p}}_{k}\psi ^{*}\right).}"></span></dd></dl> <p>6) Ewolucję czasową funkcji falowej określa równanie Schrödingera </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}\psi (q,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}\psi (q,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68dbbbb0726d8dfbfb27299e43fb8b55ee30775c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:23.443ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}\psi (q,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t),}"></span></dd></dl> <p>przy czym <a href="/wiki/Operator_Hamiltona" title="Operator Hamiltona">operator Hamiltona</a> dla cząstek, na które nie działa zewnętrzne pole elektromagnetyczne ma postać </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}(q,t)=-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}\nabla _{k}^{2}(q,t)+V(q),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}(q,t)=-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}\nabla _{k}^{2}(q,t)+V(q),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/487529abf7d30a79a38ede7b984c97f2e1e68fc6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:36.91ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}(q,t)=-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}\nabla _{k}^{2}(q,t)+V(q),}"></span></dd></dl> <p>gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(q)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dac6b17a8a7818fb4a89bd32f85daec2eb233f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.666ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(q)}"></span> – funkcja opisująca zależność energii potencjalnej układu od jego konfiguracji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"></span> (niekiedy myląco nazywana energią potencjalną układu), np. dla oddziaływań cząstek naładowanych mamy <a href="/wiki/Prawo_Coulomba#Energia_potencjalna_oddziaływań_elektrycznych" title="Prawo Coulomba">funkcję energii potencjalnej</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(q)=\sum _{j,k=1,j\neq k}^{N}K{\frac {e_{j}e_{k}}{2|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{k}|}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>≠</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mi>K</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(q)=\sum _{j,k=1,j\neq k}^{N}K{\frac {e_{j}e_{k}}{2|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{k}|}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ddb78fb54ce3eca2607e62497cbcfe2cba1b8b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:29.179ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle V(q)=\sum _{j,k=1,j\neq k}^{N}K{\frac {e_{j}e_{k}}{2|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{k}|}},}"></span></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{j},e_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{j},e_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd424973d102388cec52b084ac718352edbacb1c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.199ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle e_{j},e_{k}}"></span> – ładunki cząstek <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}"></span>-tej oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"></span>-tej,</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}"></span> – <a href="/wiki/Prawo_Coulomba" title="Prawo Coulomba">stała Coulomba</a> oddziaływań ładunków elektrycznych.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Obliczanie_trajektorii_cząstek"><span id="Obliczanie_trajektorii_cz.C4.85stek"></span>Obliczanie trajektorii cząstek</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Obliczanie trajektorii cząstek" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Obliczanie trajektorii cząstek"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Z teorii de Broglie’a-Bohma wynika, że każda z cząstek układu porusza się po ściśle określonej, deterministycznej trajektorii w przestrzeni fizycznej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00b2b4fd27c2cbffa02df568472f77b194a6db9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}"></span> (Ruchowi temu odpowiada ruch punktu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(t)\in \mathbb {R} ^{3N}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(t)\in \mathbb {R} ^{3N}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/699ad83557aa676cb3bb3cd217e0a609108e3186" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.519ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle Q(t)\in \mathbb {R} ^{3N}}"></span> w abstrakcyjnej przestrzeni konfiguracyjnej). Do obliczenia tych trajektorii trzeba przyjąć warunki początkowe: </p> <ul><li>postać funkcji falowej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (q,t_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (q,t_{0})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34bb1ca0b995beaf3b9f252487f6367ea066a69c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.32ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi (q,t_{0})}"></span> w chwili <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950eb6be65c21a0a4e3b432a2469dcd42fc8a908" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.541ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0},}"></span></li> <li>konfigurację układu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q_{0}\in \mathbb {R} ^{3N}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q_{0}\in \mathbb {R} ^{3N}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4032ee92ec6d8c12de56c9f7ed15cd3589ac55a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.925ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle Q_{0}\in \mathbb {R} ^{3N}}"></span> w chwili <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff3177424727fe9cbac5e6249bbd59cef6c1152" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.541ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}.}"></span></li></ul> <p>Następnie oblicza się postać funkcji falowej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (q,t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (q,t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae63ac01548619f4c3c78988c4a0c54d1c73f3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.266ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi (q,t)}"></span> w dowolnej chwili czasu rozwiązując równanie Schrödingera. Dopiero teraz można obliczyć trajektorie cząstek rozwiązując równanie ruchu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}(t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j} _{k}(q,t)}{|\psi (q,t)|^{2}}}{\Bigg |}_{q=Q(t)},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em">|</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}(t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j} _{k}(q,t)}{|\psi (q,t)|^{2}}}{\Bigg |}_{q=Q(t)},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1bb545a9b86a7651766b744341367edf9318a70" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:27.079ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}(t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j} _{k}(q,t)}{|\psi (q,t)|^{2}}}{\Bigg |}_{q=Q(t)},}"></span> gdyż np. prąd <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {j} _{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {j} _{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac657ecb2c595f1c5299382e938b051bc4895887" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.164ex; width:2.069ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {j} _{k}}"></span> wyraża się przez funkcję falową. </p><p>W przypadku, gdy cząstki posiadają spin, zamiast równania Schrödingera należy napisać <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Pauliego" title="Równanie Pauliego">równanie Pauliego</a> lub <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Diraca" title="Równanie Diraca">równanie Diraca</a> i odpowiednio zmodyfikować wzory na wektory prędkości cząstek (patrz <a href="/wiki/Teoria_de_Broglie-Bohma#Rozszerzenia#Spin" class="mw-redirect" title="Teoria de Broglie-Bohma">Rozszerzenia</a>), przy czym równanie Diraca jest niezbędne, gdy opisuje się ruch cząstek o dużych prędkościach. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Determinizm_a_losowość_w_teorii_de_Broglie’a-Bohma"><span id="Determinizm_a_losowo.C5.9B.C4.87_w_teorii_de_Broglie.E2.80.99a-Bohma"></span>Determinizm a losowość w teorii de Broglie’a-Bohma</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Determinizm a losowość w teorii de Broglie’a-Bohma" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Determinizm a losowość w teorii de Broglie’a-Bohma"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Mimo że teoria de Broglie’a-Bohma jest teorią deterministyczną, to jednak odtwarza przewidywania statystyczne standardowej mechaniki kwantowej. W teorii de Broglie’a-Bohma prawdopodobieństwa wynikają nie z losowości wyników pomiarów (jak to jest wyjaśnianie w standardowej interpretacji mechaniki kwantowej), ale z nieznajomości warunków początkowych: układy cząstek poddane identycznym warunkom eksperymentalnym mogą znaleźć się w różnych stanach początkowych, niemożliwych do określenia przez eksperymentatora. Mierząc więc położenia końcowe układów uzyska się różne wyniki, mimo że każdy z nich poruszał się po deterministycznej trajektorii. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zgodność_ze_standardową_interpretacją_mechaniki_kwantowej"><span id="Zgodno.C5.9B.C4.87_ze_standardow.C4.85_interpretacj.C4.85_mechaniki_kwantowej"></span>Zgodność ze standardową interpretacją mechaniki kwantowej</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Zgodność ze standardową interpretacją mechaniki kwantowej" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zgodność ze standardową interpretacją mechaniki kwantowej"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Jeżeli <a href="/wiki/Zesp%C3%B3%C5%82_statystyczny" title="Zespół statystyczny">zespół statystyczny</a> identycznych układów w chwili początkowej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d3006c4190b1939b04d9b9bb21006fb4e6fa4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{0}}"></span> zajmuje stany początkowe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q_{0}\in \mathbb {R} ^{3N}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q_{0}\in \mathbb {R} ^{3N}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4032ee92ec6d8c12de56c9f7ed15cd3589ac55a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.925ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle Q_{0}\in \mathbb {R} ^{3N}}"></span> w przestrzeni konfiguracyjnej z rozkładem prawdopodobieństwa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(q,t_{0})=|\psi (q,t_{0})|^{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(q,t_{0})=|\psi (q,t_{0})|^{2},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ad7d73a2f06aa8ed12f626084c6b459f2ebcf4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.965ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle P(q,t_{0})=|\psi (q,t_{0})|^{2},}"></span> to we wszystkich chwilach późniejszych <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t>t_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mo>></mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t>t_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41e02e9ea5fe42219433e4140c99ee5235a956fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.832ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t>t_{0}}"></span> układy tego zespołu będą zajmować stany w przestrzeni konfiguracyjnej z rozkładem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(q,t)=|\psi (q,t)|^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(q,t)=|\psi (q,t)|^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd75b15e0a9dbe15ce7572efb0da5ebab08fcb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.857ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle P(q,t)=|\psi (q,t)|^{2}.}"></span> Oznacza to, że w takim przypadku przewidywania teorii de Broglie-Bohma odtwarzają przewidywania standardowej mechaniki kwantowej. </p><p>Własność powyższa wynika stąd, że prędkości cząstek w teorii de Broglie’a-Bohma są z założenia zgodne z prądami prawdopodobieństw. Prądy prawdopodobieństwa spełniają zaś równanie ciągłości: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>ρ</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2668bae31281c65e8b695be2fc5f49b880624f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.341ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} ,}"></span></dd></dl> <p>co oznacza, że dla danego prądu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {j} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {j} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5d874dbb32b8b33e83ca521f592808387a486e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.164ex; width:0.98ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {j} }"></span> <a href="/wiki/Funkcja_g%C4%99sto%C5%9Bci_prawdopodobie%C5%84stwa" title="Funkcja gęstości prawdopodobieństwa">gęstość prawdopodobieństwa</a> w chwili t jest jednoznacznie określona; de facto <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (q,t)=|\psi (q,t)|^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (q,t)=|\psi (q,t)|^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b277994f09bb397b40377b3d9242cc5aa8a12736" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.313ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \rho (q,t)=|\psi (q,t)|^{2}.}"></span> Jeżeli więc w chwili początkowej cząstki mają rozkłady <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(q,t_{0})=|\psi (q,t_{0})|^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(q,t_{0})=|\psi (q,t_{0})|^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba1ed6d31a14e8e55d404b5fe49eead9394a504" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.318ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle P(q,t_{0})=|\psi (q,t_{0})|^{2}}"></span> oraz poruszają wzdłuż krzywych, wzdłuż których poruszają się prądy prawdopodobieństw, to ich rozkłady w chwilach późniejszych są równe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (q,t),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (q,t),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b91519a7d84129b84462364edb9b461543f99279" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.601ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho (q,t),}"></span> tj. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(q,t)=|\psi (q,t)|^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(q,t)=|\psi (q,t)|^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd75b15e0a9dbe15ce7572efb0da5ebab08fcb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.857ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle P(q,t)=|\psi (q,t)|^{2}.}"></span> Zespoły statystyczne o podanych wyżej rozkładach prawdopodobieństw nazywa się <b>zespołami równowagi kwantowej</b>. </p><p>Teoretycznie możliwe jest, że w pewnych warunkach kwantowe zespoły statystyczne mogłyby nie być układami równowagi kwantowej. Bohm w pracy z 1952<sup id="cite_ref-:0_5-2" class="reference"><a href="#cite_note-:0-5">[4]</a></sup> podał jednak przypuszczenie, że założenie, iż układy przyjmują warunki początkowe zgodne z rozkładem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(q,t_{0})=|\psi (q,t_{0})|^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(q,t_{0})=|\psi (q,t_{0})|^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba1ed6d31a14e8e55d404b5fe49eead9394a504" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.318ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle P(q,t_{0})=|\psi (q,t_{0})|^{2}}"></span> powinno wynikać z praw statystyki i mechaniki. Argument ten był później wsparty przez pracę Bohma z 1953 i uzasadniony w publikacji Vigera i Bohma z 1954, w której wprowadzili stochastyczne <i>fluktuacje płynu</i> kierujące procesem asymptotycznej relaksacji ze stanu kwantowej nierównowagi (tj. stanu, w którym <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(q,t_{0})\neq |\psi (q,t_{0})|^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≠</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(q,t_{0})\neq |\psi (q,t_{0})|^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffac66ee21316c68530d515680d73ab994258d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.318ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle P(q,t_{0})\neq |\psi (q,t_{0})|^{2}}"></span>) do stanu równowagi<sup id="cite_ref-rspa.royalsocietypublishing-_8-0" class="reference"><a href="#cite_note-rspa.royalsocietypublishing--8">[6]</a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eksperyment_z_podwójną_szczeliną"><span id="Eksperyment_z_podw.C3.B3jn.C4.85_szczelin.C4.85"></span>Eksperyment z podwójną szczeliną</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Eksperyment z podwójną szczeliną" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Eksperyment z podwójną szczeliną"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Doppelspalt.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Doppelspalt.svg/220px-Doppelspalt.svg.png" decoding="async" width="220" height="199" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Doppelspalt.svg/330px-Doppelspalt.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Doppelspalt.svg/440px-Doppelspalt.svg.png 2x" data-file-width="249" data-file-height="225" /></a><figcaption>Możliwe trajektorie Bohma dla elektronu w eksperymencie z dwiema szczelinami. Podobny wzór był ekstrapolowany w eksperymencie <a href="/wiki/S%C5%82aby_pomiar" title="Słaby pomiar">słabych pomiarów</a> z pojedynczymi fotonami<sup id="cite_ref-doi10.1126/science.1202218-s1170-1173_9-0" class="reference"><a href="#cite_note-doi10.1126/science.1202218-s1170-1173-9">[7]</a></sup></figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Opis_eksperymentu">Opis eksperymentu</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Opis eksperymentu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Opis eksperymentu"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Do%C5%9Bwiadczenie_Younga" title="Doświadczenie Younga">Eksperyment z podwójną szczeliną</a> jest tradycyjnym eksperymentem, który znakomicie pokazuje <a href="/wiki/Dualizm_korpuskularno-falowy" title="Dualizm korpuskularno-falowy">dualizm korpuskularno-falowy</a> cząstek materii i światła. Eksperyment polega na przepuszczeniu jedna po drugiej pojedynczych cząstek (np. elektronów) przez przesłonę z dwiema szczelinami. Umieszczony w pewnej odległości od przesłony ekran pokazuje rozkład przestrzenny cząstek. W wyniku uzyskuje się układ jasnych i ciemnych prążków, czyli obraz <a href="/wiki/Interferencja" title="Interferencja">interferencyjny</a>. Efekt ten jest typowy dla fal, ale tu w ekran uderzają punktowe cząstki, stopniowo dając obraz prążków. Eksperymenty pokazały, że obraz interferencyjny uzyskuje się nawet wtedy, gdy przez układ przepuszcza się cząstki tak rzadko, że w danej chwili w układzie jest tylko jedna cząstka. W ten sposób eliminuje się ewentualne oddziaływanie cząstek ze sobą. Każda cząstka wykazuje więc własności korpuskularno-falowe, a wzór interferencyjny tworzony jest przez gromadzenie się wielu pojedynczych, punktowych uderzeń cząstek w ekran. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Interpretacja_kopenhaska">Interpretacja kopenhaska</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Interpretacja kopenhaska" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Interpretacja kopenhaska"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Według <a href="/wiki/Kopenhaska_interpretacja_mechaniki_kwantowej" title="Kopenhaska interpretacja mechaniki kwantowej">interpretacji kopenhaskiej</a> eksperyment powyżej opisany rozumie się następująco: cząstka od chwili wyemitowania jej do chwili pomiaru nie jest obiektem punktowym, ale jest falą. A zatem, jeżeli nie umieścimy przy szczelinie detektora, cząstka w postaci fali przejdzie przez obie szczeliny – i dlatego będzie interferować z samą sobą; w momencie pomiaru cząstka w sposób losowy lokalizuje się w pewnym punkcie detektora. Interferencja zniknie, jeżeli detektor umieścimy przy jednej ze szczelin, gdyż funkcja falowa ulega kolapsowi z powodu aktu obserwacji. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Interpretacja_de_Broglie-Bohma">Interpretacja de Broglie-Bohma</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=9" title="Edytuj sekcję: Interpretacja de Broglie-Bohma" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=9" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Interpretacja de Broglie-Bohma"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Według teorii de Broglie-Bohma fala pilotująca cząstki przechodzi przez obie szczeliny i ulega interferencji. Fala pilotująca prowadzi cząstkę w taki sposób, że omija ona rejony destruktywnej interferencji, a przyciąga ją w rejony o konstruktywnej interferencji, co daje obraz interferencyjny na ekranie detektora. Postać funkcji falowej określa zbiór wszystkich możliwych torów, jakimi może poruszać się cząstka. Cząstka porusza się po ściśle określonej trajektorii, która przechodzi tylko przez jedną szczelinę. Położenie cząstki na ekranie oraz szczelina, przez którą cząstka przechodzi, są zdeterminowane przez położenie cząstki w źródle. Położenie cząstki w źródle jest nieznane dla eksperymentatora, dlatego pojawienie się cząstki na ekranie jest interpretowane jako losowe. </p><p>Dla uproszczenia rozważmy układ dwuwymiarowy, przy czym cząstki poruszają się w płaszczyźnie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle xy.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle xy.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0add5fb23e378ec970ad47ea154f8a6431843a8f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.132ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle xy.}"></span> Jeżeli cząstki pojawiają się w miejscu emisji w położeniach <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{0}=(x,y=0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{0}=(x,y=0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d546b0ba213960f4b7164ed41cd15f0fa8205e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.779ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q_{0}=(x,y=0)}"></span> z prawdopodobieństwami <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(q_{0},t_{0})=|\psi (q_{0},t_{0})|^{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(q_{0},t_{0})=|\psi (q_{0},t_{0})|^{2},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ffcd60ed7ec25acacce913eab69b7a840849d48" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.009ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle P(q_{0},t_{0})=|\psi (q_{0},t_{0})|^{2},}"></span> to zgodnie z teorią Bohma będą poruszać się po torach takich, że na ekranie umieszczonym w odległości <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}"></span> od szczelin pojawią się w punktach <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=(x,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=(x,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a962b1961d92ffc73e7b43794545a6ae359b4e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.496ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q=(x,y)}"></span> z rozkładem proporcjonalnym do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(q,t)=|\psi (q,t)|^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(q,t)=|\psi (q,t)|^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd75b15e0a9dbe15ce7572efb0da5ebab08fcb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.857ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle P(q,t)=|\psi (q,t)|^{2}.}"></span> Ponieważ fala pilotująca na ekranie ma rozkład interferencyjny, to odpowiedni do tego rozkład cząstek zostanie zarejestrowany. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Modyfikacje_eksperymentu">Modyfikacje eksperymentu</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=10" title="Edytuj sekcję: Modyfikacje eksperymentu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=10" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Modyfikacje eksperymentu"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>(1) Jeśli zamknie się jedną ze szczelin, wtedy nie uzyska się efektu interferencji. Teoria Bohma tłumaczy to następująco: zmiana przesłony z dwóch szczelin na jedną zmienia wzór na funkcję falową za przesłoną – obliczone na tej podstawie tory cząstek zmienią się tak, że nie dadzą efektu interferencyjnego. </p><p>(2) Gdybyśmy umieścili minimalnie inwazyjny detektor przy jednej ze szczelin, żeby zmierzyć, którą szczeliną przechodzą poszczególne cząstki, to ponownie z teorii wyniknie, że detektor zmodyfikuje funkcję falową tak, iż zmienią się tory cząstek tak, że zniknie wzór interferencyjny. Jest to także zgodne z doświadczeniami, które pokazują, iż do uzyskania efektu interferencji nie można mierzyć, jaką drogą poruszała się cząstka przez przesłonę ze szczelinami. (Aby to wyjaśnić, wprowadza się pojęcie warunkowej funkcji falowej. Podstawowa idea jest taka, że detektor rejestruje cząstkę tylko przy jednej szczelinie; w wyniku tego powstają dwa pakiety falowe w przestrzeni konfiguracji – jeden z cząstką wykrytą przy jednej szczelinie, a drugi z cząstką wykrytą przy drugiej szczelinie. Pakiety te nie zajmują tego samego obszaru przestrzeni konfiguracyjnej, dlatego nie mogą interferować ze sobą – dlatego interferencji nie obserwuje się). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rozszerzenia_–_stała_liczba_cząstek"><span id="Rozszerzenia_.E2.80.93_sta.C5.82a_liczba_cz.C4.85stek"></span>Rozszerzenia – stała liczba cząstek</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=11" title="Edytuj sekcję: Rozszerzenia – stała liczba cząstek" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=11" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Rozszerzenia – stała liczba cząstek"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Aby opisać ruch cząstek posiadających <a href="/wiki/Spin_(fizyka)" title="Spin (fizyka)">spin</a> wystarczy nieco zmodyfikować równanie fali pilotującej, jak i hamiltonian równania Schrödingera<sup id="cite_ref-Dürr2013-s_10-0" class="reference"><a href="#cite_note-Dürr2013-s-10">[8]</a></sup>. Najistotniejsze jest to, że: </p><p><b>Spin nie jest traktowany w mechanice de Broglie’a-Bohma jako własność posiadana lokalnie przez cząstkę, analogicznie jak wektor położenia cząstki (np. nie jest tu sensowne stosowane czasem przyrównywanie spinu do klasycznego <a href="/wiki/Moment_p%C4%99du" title="Moment pędu">wektora momentu pędu</a> ciała obracającego się): obecność spinu przejawia się tylko w tym, że funkcja falowa jest spinorem, tj. ma wiele składników (jak wektor), które są funkcjami czasu i współrzędnych przestrzennych</b> (dla cząstek bez spinu funkcja falowa miała tylko jedną składową). Przykładami takich funkcji falowych wieloskładnikowych są rozwiązania <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Pauliego" title="Równanie Pauliego">równania Pauliego</a> i <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Diraca" title="Równanie Diraca">równania Diraca</a>. </p><p>Ilość składników funkcji falowej jest ściśle określona przez samą mechanikę kwantową: np. dla pojedynczej cząstki nierelatywistycznej o spinie 1/2 funkcja falowa jest dwuskładnikowa i ma postać <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/585afa8909db605067025d9dbeab9c1e9419747e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.694ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2},}"></span> a w przypadku <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"></span> identycznych cząstek ma <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{N}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{N}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3cc22b5fa0e34487c8a6153965408e004c6e253" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.854ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{N}}"></span> składników i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3N}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2^{N}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3N}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2^{N}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d920513014a41f15dd317427dbd330f01ed64ae2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.856ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3N}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2^{N}}}"></span>(szczegółowo omówiono to niżej). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teoria_nierelatywistyczna_z_uwzględnieniem_spinu_cząstek"><span id="Teoria_nierelatywistyczna_z_uwzgl.C4.99dnieniem_spinu_cz.C4.85stek"></span>Teoria nierelatywistyczna z uwzględnieniem spinu cząstek</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=12" title="Edytuj sekcję: Teoria nierelatywistyczna z uwzględnieniem spinu cząstek" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=12" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Teoria nierelatywistyczna z uwzględnieniem spinu cząstek"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>W przypadku nierelatywistycznym (tj. dla małych prędkości cząstek) dla układu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"></span> cząstek o dowolnych spinach mamy </p><p><b>(1) 3-wektory prędkości cząstek</b> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}{\frac {\operatorname {Im} (\psi ,D_{k}\psi )}{(\psi ,\psi )}}{\Bigg |}_{q=Q(t)},\;k=1,\dots ,N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>Im</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo>,</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em">|</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}{\frac {\operatorname {Im} (\psi ,D_{k}\psi )}{(\psi ,\psi )}}{\Bigg |}_{q=Q(t)},\;k=1,\dots ,N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b52af8ffee1a6d0f9f266ef4fdc0192dadd4fb6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:47.835ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}{\frac {\operatorname {Im} (\psi ,D_{k}\psi )}{(\psi ,\psi )}}{\Bigg |}_{q=Q(t)},\;k=1,\dots ,N}"></span></dd></dl> <p>lub równoważnie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}(t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j} _{k}}{(\psi ,\psi )}}{\Bigg |}_{q=Q(t)},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo>,</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em">|</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}(t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j} _{k}}{(\psi ,\psi )}}{\Bigg |}_{q=Q(t)},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/405af2842ddbaf109ccd5a8be79ea3ad1d46a6e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:24.335ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}(t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j} _{k}}{(\psi ,\psi )}}{\Bigg |}_{q=Q(t)},}"></span></dd></dl> <p>gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {j} _{k}={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} (\psi ,D_{k}\psi ).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mi>Im</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {j} _{k}={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} (\psi ,D_{k}\psi ).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288b1b318effe3fc5c6e9b86df2c9c0bb8d3d01a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; margin-left: -0.164ex; width:21.825ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {j} _{k}={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} (\psi ,D_{k}\psi ).}"></span> </p><p><b>(2) Równanie ewolucji funkcji falowej</b> </p><p>Równanie ewolucji funkcji falowej ma teraz postać <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Pauliego" title="Równanie Pauliego">równania Pauliego</a>, gdzie operator Hamiltona zawiera dodatkowy wyraz – operator energii związanej z oddziaływaniem spinów cząstek z <a href="/wiki/Pole_magnetyczne" title="Pole magnetyczne">polem magnetycznym</a>, tj. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}\psi (q,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}\psi (q,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e0b03eee4dd91e58907d671f737e65a18c9f90" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:22.796ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}\psi (q,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t)}"></span></dd></dl> <p>oraz </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}=-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}D_{k}^{2}+V(q)-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar e_{k}}{2m_{k}}}\,{\vec {\sigma }}_{k}\cdot {\vec {B}}(\mathbf {q} _{k}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}=-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}D_{k}^{2}+V(q)-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar e_{k}}{2m_{k}}}\,{\vec {\sigma }}_{k}\cdot {\vec {B}}(\mathbf {q} _{k}),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3587daa3472f887d501690690c3292e9a59677" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:49.661ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}=-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}D_{k}^{2}+V(q)-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar e_{k}}{2m_{k}}}\,{\vec {\sigma }}_{k}\cdot {\vec {B}}(\mathbf {q} _{k}),}"></span></dd></dl> <p>gdzie: </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{k},e_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{k},e_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f024a5620f5ba1f86b19c09c4e8041af6513b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.335ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{k},e_{k}}"></span> – masa, ładunek <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"></span>-tej cząstki,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\sigma }}_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\sigma }}_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce7159fe9bad62f4cc9311882136d4251058b99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.418ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\sigma }}_{k}}"></span> – wektor operatorów <a href="/wiki/Spin_(fizyka)" title="Spin (fizyka)">macierzy spinowych</a> działających w przestrzeni spinowej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}"></span>-tej cząstki; w przypadku cząstek o liczbie spinowej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=1/2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=1/2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f8d099413f568bb18069393bef14cf0d38d5c6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.676ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s=1/2}"></span> (np. elektronów) <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\sigma }}_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\sigma }}_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce7159fe9bad62f4cc9311882136d4251058b99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.418ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\sigma }}_{k}}"></span> jest wektorem zbudowanym z <a href="/wiki/Macierze_Pauliego" title="Macierze Pauliego">macierzy Pauliego</a>,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(q)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dac6b17a8a7818fb4a89bd32f85daec2eb233f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.666ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(q)}"></span> – energii potencjalna układu cząstek,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{k}=\nabla _{k}-i{\frac {e_{k}}{\hbar }}{\vec {A}}(\mathbf {q} _{k})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{k}=\nabla _{k}-i{\frac {e_{k}}{\hbar }}{\vec {A}}(\mathbf {q} _{k})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b5b2b7891928f442ce2eb3fcc150e2a452632d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:21.839ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle D_{k}=\nabla _{k}-i{\frac {e_{k}}{\hbar }}{\vec {A}}(\mathbf {q} _{k})}"></span> – tzw. <a href="/wiki/Pochodna_kowariantna" title="Pochodna kowariantna">pochodna kowariantna</a>, zawierająca potencjał pola,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {q} _{k})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {q} _{k})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae5cbdac91e4c3dc65748e0e86a1a648fa7906a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.052ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {q} _{k})}"></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {B}}(\mathbf {q} _{k})=\nabla \times A(\mathbf {q} _{k})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {B}}(\mathbf {q} _{k})=\nabla \times A(\mathbf {q} _{k})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ea75ce427c393c075429ded95d2bcaa4815731" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {B}}(\mathbf {q} _{k})=\nabla \times A(\mathbf {q} _{k})}"></span> – <a href="/wiki/Potencja%C5%82_wektorowy" title="Potencjał wektorowy">potencjał wektorowy</a> oraz wektor <a href="/wiki/Indukcja_magnetyczna" title="Indukcja magnetyczna">indukcji pola magnetycznego</a> określone w punktach <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {q} _{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {q} _{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a162353d7431d09c01be35ab6deb9f6bc62dae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.5ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {q} _{k}}"></span> (wielkości te charakteryzują zewnętrzne pole elektromagnetyczne, z jakim oddziałuje układ cząstek); w ten sposób zadane jest oddziaływanie pola na cały układ, jeżeli znajdzie się w konfiguracji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=(\mathbf {q} _{1},\dots ,\mathbf {q} _{k},\dots ,\mathbf {q} _{N}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=(\mathbf {q} _{1},\dots ,\mathbf {q} _{k},\dots ,\mathbf {q} _{N}),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9299b16a5aaa62d41f1ca0dc0847715c0517d1ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.048ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q=(\mathbf {q} _{1},\dots ,\mathbf {q} _{k},\dots ,\mathbf {q} _{N}),}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc515c912925128800226dd0b017be508069e24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}"></span> – <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unitarna" title="Przestrzeń unitarna">iloczyn skalarny</a> wektorów <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.513ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi }"></span> określony w przestrzeni spinowej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc165f5f6c2360e365b6693209c45fe805a0781" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.77ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}"></span> (iloczyn ten daje pewną liczbę zespoloną), tj. np.</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\phi ,\psi )=\sum _{s=1}^{d}\phi _{s}^{*}\psi _{s}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>,</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\phi ,\psi )=\sum _{s=1}^{d}\phi _{s}^{*}\psi _{s}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719c2528fe40930f605da18877fd7d9f27bfcafc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:18.185ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle (\phi ,\psi )=\sum _{s=1}^{d}\phi _{s}^{*}\psi _{s}.}"></span></dd></dl> <p><b>Uwaga 1:</b> Prąd w równaniu Pauliego ma postać </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {j} _{k}={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} (\psi ,D_{k}\psi )+{\frac {\mu _{S}}{s}}\nabla \times (\psi ^{\dagger }{\vec {S}}\psi ).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mi>Im</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mi>s</mi> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>×</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {j} _{k}={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} (\psi ,D_{k}\psi )+{\frac {\mu _{S}}{s}}\nabla \times (\psi ^{\dagger }{\vec {S}}\psi ).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dabbe1b6f64a338064b98f94c93caf8777739557" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; margin-left: -0.164ex; width:40.308ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {j} _{k}={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} (\psi ,D_{k}\psi )+{\frac {\mu _{S}}{s}}\nabla \times (\psi ^{\dagger }{\vec {S}}\psi ).}"></span></dd></dl> <p>jednak drugi człon po prawej (wynikający z istnienia spinu) można pominąć, gdyż jego dywergencja zeruje się (por. uwagi na temat niejednoznaczności wyznaczania spinu w artykule <a href="/wiki/Pr%C4%85d_prawdopodobie%C5%84stwa" title="Prąd prawdopodobieństwa">prąd prawdopodobieństwa</a>) </p><p><b>Uwaga 2:</b> W przypadku układu wielu cząstek mamy uogólnione równanie ciągłości w postaci, gdzie dywergencja prądu jest obliczana jako suma dywergencji prądów, odpowiadających poszczególnym cząstkom; gęstość prawdopodobieństwa jest zaś obliczana dla całej funkcji falowej. </p><p><b>(3) Funkcja falowa. Przestrzeń spinowa</b> </p><p>Funkcja falowa układu cząstek ze spinem </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3N}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{d}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3N}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{d}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc872d651a8d5210ed4e8a83ccfbd741473c001f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.544ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3N}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{d}}"></span></dd></dl> <p>jest określona na zbiorach </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c256f1c3b38d079269116d276130a4999b0d31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.192ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}"></span> jest przestrzenią konfiguracyjną, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span> reprezentuje oś czasu,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc165f5f6c2360e365b6693209c45fe805a0781" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.77ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}"></span> jest <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}"></span>-wymiarową przestrzenią zespolonych wartości funkcji falowej.</li></ul> <p>Funkcja falowa ma więc teraz postać kolumny (nazywa się ją <b>spinorem</b>), przy czym poszczególnym cząstkom o liczbach spinowych <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f159343172781e7666dbc88280c91f34117c30" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.179ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{k}}"></span> odpowiada <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{k}=2s_{k}+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{k}=2s_{k}+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4971200659691dc7251b39a35cf8f5e3adafe8e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.741ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle d_{k}=2s_{k}+1}"></span> składowych, zaś wymiar <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}"></span> jest iloczynem liczb <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{k},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{k},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed77dfe1646226a728f3ab582114c5851f005631" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.944ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle d_{k},}"></span> czyli </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d=\Pi _{k=1}^{N}(2s_{k}+1).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d=\Pi _{k=1}^{N}(2s_{k}+1).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20892230c8ebe49bb7ece9c3f8133219b82cd230" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:19.047ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle d=\Pi _{k=1}^{N}(2s_{k}+1).}"></span></dd></dl> <p>Składowe spinora są funkcjami o wartościach zespolonych. Funkcja falowa przypisuje więc konfiguracji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"></span> punkt w przestrzeni zespolonej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a106f7d2519bc8ff5032ab75f51a4190c9ac773b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.417ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}.}"></span> Przestrzeń <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{d},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{d},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6920c9cd28d6c8eeedd6155d02ae4d4c142325" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.417ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{d},}"></span> zwana <b>przestrzenią spinową</b>, jest <a href="/wiki/Iloczyn_tensorowy_przestrzeni_Hilberta" title="Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta">iloczynem tensorowym</a> <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Hilberta" title="Przestrzeń Hilberta">przestrzeni Hilberta</a> odpowiadających poszczególnym cząstkom, mających wymiary <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{k}=2s_{k}+1,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{k}=2s_{k}+1,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9a7ae7d1aadab0956dd0a3a5bbd052914ebe18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.387ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle d_{k}=2s_{k}+1,}"></span> czyli </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}=\mathbb {C} ^{d_{1}}\otimes \mathbb {C} ^{d_{2}}\otimes \ldots \mathbb {C} ^{d_{N}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo>⊗</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo>⊗</mo> <mo>…</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}=\mathbb {C} ^{d_{1}}\otimes \mathbb {C} ^{d_{2}}\otimes \ldots \mathbb {C} ^{d_{N}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbd4e11b3532ceb96637391b3b9141e9be8b7c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:26.614ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}=\mathbb {C} ^{d_{1}}\otimes \mathbb {C} ^{d_{2}}\otimes \ldots \mathbb {C} ^{d_{N}}.}"></span></dd></dl> <p><b>(4) Symetrie funkcji falowych cząstek nieodróżnialnych</b> </p><p>Cząstki kwantowe jednakowego rodzaju są nieodróżnialne, dlatego funkcje falowe stanowiące składowe spinora powinny być: </p><p>(a) <b>antysymetryczne dla fermionów tego samego rodzaju</b>, tj. muszą zmieniać znak (przy zachowaniu <a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">wartości bezwzględnej</a>), gdy dokona się <i>jednoczesnej zamiany</i> miejscami indeksów spinowych i wektorów położeń przestrzennych dwóch fermionów <i>tego samego rodzaju</i> (np. dwóch elektronów; nie obowiązuje ta symetria np. dla przestawień elektronu z protonem), </p><p>(b) <b>symetryczne dla bozonów tego samego rodzaju</b>, tj. muszą pozostać identyczne pomimo dokonania jednoczesnej zamiany miejscami indeksów spinowych i wektorów położeń przestrzennych dwóch bozonów tego samego rodzaju (np. dwóch fotonów; ale nie np. fotonu i bozonu W). </p><p>Np. dla układu złożonego tylko z 3 trzech elektronów spinor ma 8 składowych, które są oznaczane następująco </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi _{+++}(q,t),\quad \psi _{-++}(q,t),\quad \dots \quad \psi _{---}(q,t),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mo>+</mo> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mo>+</mo> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mo>…</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mo>−</mo> <mo>−</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi _{+++}(q,t),\quad \psi _{-++}(q,t),\quad \dots \quad \psi _{---}(q,t),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146c4341d2cdfd0bfa363bcacbddb7c055594d20" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.793ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi _{+++}(q,t),\quad \psi _{-++}(q,t),\quad \dots \quad \psi _{---}(q,t),}"></span></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {q} _{3})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {q} _{3})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cdd89655c1e59eff3844f675154a29d1db5bd93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.441ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q=(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {q} _{3})}"></span> – wektor położenia poszczególnych elektronów,</dd> <dd>Pierwszy indeks tych funkcji dotyczy stanu spinowego pierwszego elektronu, drugi stanu spinowego drugiego elektronu itd.</dd></dl> <p>Każda z tych funkcji musi być antysymetryczna (tj. powinna zmieniać znak) w wyniku jednoczesnej zamiany miejscami indeksów spinowych i wektorów położeń przestrzennych dwóch dowolnych elektronów, np. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi _{+-+}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {q} _{3},t)=-\psi _{-++}(\mathbf {q} _{2},\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{3},t).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mo>−</mo> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mo>+</mo> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi _{+-+}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {q} _{3},t)=-\psi _{-++}(\mathbf {q} _{2},\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{3},t).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c875cfeb2e60f2d702ff2748cf6aa5fe52c3ce51" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.008ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi _{+-+}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {q} _{3},t)=-\psi _{-++}(\mathbf {q} _{2},\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{3},t).}"></span></dd></dl> <p><b>Motywacja dotycząca symetrii funkcji falowych</b> </p><p>Wymaganie powyższych symetrii wynika stąd, że w żadnym eksperymencie nie da się odróżnić cząstek elementarnych, jeśli są tego samego rodzaju. Np. jeżeli na początku eksperymentu określi się położenia i stany spinowe dwóch elektronów, a następnie elektrony te będą oddziaływać ze sobą, to na podstawie żadnego pomiaru na końcu eksperymentu nie da się powiedzieć, który z elektronów był początkowo nazwany (oznaczony) jako pierwszy, a który drugi (możemy jedynie zmierzyć położenia i stany spinowe tych elektronów po pewnym czasie, ale to nie wystarczy do ich identyfikacji – elektrony nie mają bowiem żadnych dodatkowych „identyfikatorów”). </p><p>Gdyby funkcje falowe nie miały powyższych symetrii, to można by identyfikować poszczególne cząstki w eksperymentach. Tak jednak nie jest. </p><p>Fakt nieodróżnialności cząstek <i>nie przeczy jednak możliwości, że cząstki poruszały się do momentu pomiaru po indywidualnych trajektoriach</i> – co zakłada mechanika de Broglie’a-Bohma. </p><p><b>Baza przestrzeni Hilberta pojedynczej cząstki i wielu cząstek identycznych</b> </p><p>(1) Bazę przestrzeni Hilberta <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {H} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">H</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {H} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e050965453c42bcc6bd544546703c836bdafeac9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {H} }"></span> pojedynczej cząstki (np. elektronu) tworzy się znajdując funkcje własne operatora Hamiltona oraz zespołu komutujących z nim operatorów – jest to możliwe dlatego, że operatory komutujące posiadają wspólne funkcje własne. </p><p>(2) Przestrzeń Hilberta dwóch cząstek tego samego rodzaju tworzy iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta pojedynczej cząstki z nią samą, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {H} _{2}=\mathbb {H} \otimes \mathbb {H} \equiv \mathbb {H} ^{\otimes 2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">H</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">H</mi> </mrow> <mo>⊗</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">H</mi> </mrow> <mo>≡</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">H</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⊗</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {H} _{2}=\mathbb {H} \otimes \mathbb {H} \equiv \mathbb {H} ^{\otimes 2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1046b91e380eaa171a2861b6c363cecc4e6aee89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.304ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {H} _{2}=\mathbb {H} \otimes \mathbb {H} \equiv \mathbb {H} ^{\otimes 2}.}"></span> Bazę tej przestrzeni tworzy się sumując lub odejmując iloczyny 2 funkcji własnych pojedynczej cząstki; przy tym wymaga się, by utworzone funkcje miały odpowiednią symetrię (tj. aby były symetryczne dla bozonów i antysymetryczne dla fermionów). </p><p>(3) Dla układu N cząstek przestrzeń Hilberta tworzy iloczyn tensorowy N-krotny, tj. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {H} _{N}=\mathbb {H} ^{\otimes N}{:}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">H</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">H</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⊗</mo> <mi>N</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>:</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {H} _{N}=\mathbb {H} ^{\otimes N}{:}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/414208cb4aad3f1adcfa97e31fe1723953410cbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.023ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {H} _{N}=\mathbb {H} ^{\otimes N}{:}}"></span> funkcje bazy tworzy się sumując lub odejmując iloczyny N funkcji własnych pojedynczej cząstki; przy tym utworzone funkcje muszą mieć odpowiednią symetrię (jak wyżej). </p><p><b>(5) Przykłady funkcji falowych i przestrzeni spinowych</b> </p><p>Poniżej podano przykłady przestrzeni konfiguracyjnych, przestrzeni spinowych oraz funkcji falowych, przy czym obowiązuje tu ogólna zasada: jeżeli cząstki są identyczne, to konkretne postacie funkcji falowych (znajdowanych z równania Pauliego) – są symetryczne dla bozonów i antysymetryczne dla fermionów. </p><p>a) Dla jednej cząstki przestrzeń konfiguracyjna jest 3-wymiarowa, bo </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=(x_{1},y_{1},z_{1}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=(x_{1},y_{1},z_{1}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d016e09c8ceee44ec2cd8aa916a32051f1da1ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.405ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q=(x_{1},y_{1},z_{1}).}"></span></dd></dl> <p>Jeżeli cząstka ma spin ½, to funkcja falowa </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ecc09f92d942ada962af8375eace26108dbaff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.048ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2}}"></span></dd></dl> <p>ma wartości zapisywane w postaci wektora o 2 składowych </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (q,t)={\begin{bmatrix}\psi _{+}(q,t)\\\psi _{-}(q,t)\end{bmatrix}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (q,t)={\begin{bmatrix}\psi _{+}(q,t)\\\psi _{-}(q,t)\end{bmatrix}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/190f81f2e124a63b66d223d818fac22e9bea6924" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:20.994ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \psi (q,t)={\begin{bmatrix}\psi _{+}(q,t)\\\psi _{-}(q,t)\end{bmatrix}}.}"></span></dd></dl> <p>b) Dla układu 3 trzech cząstek przestrzeń konfiguracyjna jest 9-wymiarowa, bo </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=(x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2},x_{3},y_{3},z_{3}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=(x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2},x_{3},y_{3},z_{3}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17de7f3b3fe1fd2c86345d9615ee705bea497ec7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.034ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q=(x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2},x_{3},y_{3},z_{3}).}"></span></dd></dl> <p>Jeżeli cząstki mają spin ½, to funkcja falowa </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (q,t):\mathbb {R} ^{9}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2^{3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>9</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (q,t):\mathbb {R} ^{9}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2^{3}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29649944b97eb25d6a219b22275dd2250e17260b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.631ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \psi (q,t):\mathbb {R} ^{9}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2^{3}}}"></span></dd></dl> <p>ma wartości zespolone zapisywane w postaci wektora o <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{3}=8}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>8</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{3}=8}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2dded8eba905e4a019b70abad935422b198db4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.478ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{3}=8}"></span> składowych </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (q,t)={\begin{bmatrix}\psi _{+++}(q,t)\\\psi _{-++}(q,t)\\\psi _{+-+}(q,t)\\\psi _{++-}(q,t)\\\psi _{--+}(q,t)\\\psi _{-+-}(q,t)\\\psi _{+--}(q,t)\\\psi _{---}(q,t)\end{bmatrix}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mo>+</mo> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mo>+</mo> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mo>−</mo> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mo>+</mo> <mo>−</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mo>−</mo> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mo>+</mo> <mo>−</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mo>−</mo> <mo>−</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mo>−</mo> <mo>−</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (q,t)={\begin{bmatrix}\psi _{+++}(q,t)\\\psi _{-++}(q,t)\\\psi _{+-+}(q,t)\\\psi _{++-}(q,t)\\\psi _{--+}(q,t)\\\psi _{-+-}(q,t)\\\psi _{+--}(q,t)\\\psi _{---}(q,t)\end{bmatrix}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7279a8d3c3c634a260d4542a429ac6eb297c146b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -12.671ex; width:24.196ex; height:26.509ex;" alt="{\displaystyle \psi (q,t)={\begin{bmatrix}\psi _{+++}(q,t)\\\psi _{-++}(q,t)\\\psi _{+-+}(q,t)\\\psi _{++-}(q,t)\\\psi _{--+}(q,t)\\\psi _{-+-}(q,t)\\\psi _{+--}(q,t)\\\psi _{---}(q,t)\end{bmatrix}},}"></span></dd></dl> <p>przy czym pierwszy indeks dotyczy stanu spinowego pierwszej cząstki, drugi indeks – 2-giej cząstki itd. Jeżeli przy tym np. dwie cząstki są identyczne, to funkcja falowa powinna być antysymetryczna ze względu na zamianę współrzędnych przestrzenno-spinowych tej pary cząstek – a to oznacza że taką symetrię winny wykazywać wszystkie składowe spinora. </p><p>Prawdopodobieństwo znalezienia cząstek w stanach odpowiednio <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbf {q} _{1},+),(\mathbf {q} _{2},-),(\mathbf {q} _{3},+)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbf {q} _{1},+),(\mathbf {q} _{2},-),(\mathbf {q} _{3},+)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3ea163ca77b3ab58d20933d6028d2b719e7991" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbf {q} _{1},+),(\mathbf {q} _{2},-),(\mathbf {q} _{3},+)}"></span> jest równe </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{+-+}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {q} _{3},t)=|\psi _{+-+}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {q} _{3},t)|^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mo>−</mo> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mo>−</mo> <mo>+</mo> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{+-+}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {q} _{3},t)=|\psi _{+-+}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {q} _{3},t)|^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e80b2423142c409d571a8c810f6275469d261281" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:43.527ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle P_{+-+}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {q} _{3},t)=|\psi _{+-+}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {q} _{3},t)|^{2}.}"></span></dd></dl> <p>c) Dla układu 3 trzech cząstek, z których dwie cząstki mają spiny s = 1/2, a jedna ma spin s = 1 przestrzeń spinowa jest 12-wymiarowa, a funkcja falowa jest odwzorowaniem postaci </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{9}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>9</mn> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⊗</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⊗</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{9}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b93db8b52ca26f231886897f9afb4a57ab8c1e26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.84ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{9}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3}.}"></span></dd></dl> <p>d) Dla układu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"></span> cząstek przestrzeń konfiguracyjna jest 3N-wymiarowa, bo </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=(x_{1},y_{1},z_{1},\dots ,x_{N},y_{N},z_{N}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=(x_{1},y_{1},z_{1},\dots ,x_{N},y_{N},z_{N}).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a47002b9662144a4dafdcba48786313093a28f07" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.275ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q=(x_{1},y_{1},z_{1},\dots ,x_{N},y_{N},z_{N}).}"></span></dd></dl> <p>Jeżeli cząstki mają spin ½, to funkcja falowa jest odwzorowaniem postaci </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3N}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2^{N}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3N}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2^{N}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd2d946602eb2ee16fb3be7e96414346bdc2f2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.502ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3N}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2^{N}}.}"></span></dd></dl> <p>Np. dla układu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=100}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <mn>100</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=100}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a312098474c4f4e7ef88b1e25050050377da576" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.649ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N=100}"></span> cząstek wymiar przestrzeni spinowej jest ogromny, bo wynosi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{100}\approx 10^{30}!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>100</mn> </mrow> </msup> <mo>≈</mo> <msup> <mn>10</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>30</mn> </mrow> </msup> <mo>!</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{100}\approx 10^{30}!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/076f8f835c968a79a818ac5fcbda387ccc737101" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.807ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{100}\approx 10^{30}!}"></span> </p><p><b>(6) Warunki początkowe</b> </p><p>W celu rozwiązania równania Pauliego trzeba zadać: </p> <ul><li>funkcję określającą zewnętrzne pole <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {q} ,t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {q} ,t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf371c76a6ddc568097022d844cdbdc9b9b8c594" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.842ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {q} ,t)}"></span> w punktach <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {q} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {q} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be005a326b7ac3fe4c24bca391369f44c4c2876" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.416ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {q} }"></span> przestrzeni fizycznej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}"></span> w dowolnej chwili <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.486ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t,}"></span></li> <li>funkcję falową w chwili początkowej,</li> <li>masy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{k},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{k},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61e803b12f284f3dbda131c190d358c305e72a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.776ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle m_{k},}"></span> ładunki <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{k},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{k},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8647333b90dc1b334ef0b553d3f2115983e7ddd8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.819ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle e_{k},}"></span> spiny <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f159343172781e7666dbc88280c91f34117c30" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.179ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{k}}"></span> oraz położenia początkowe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {Q} _{k}(t_{0}),k=1,\dots ,N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {Q} _{k}(t_{0}),k=1,\dots ,N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485ab7711bf6a74b080ad082d65f93097e9d6265" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.548ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {Q} _{k}(t_{0}),k=1,\dots ,N}"></span> cząstek układu.</li></ul> <p>Następnie oblicza się <a href="/wiki/Funkcja_falowa" title="Funkcja falowa">funkcję falową</a> we wszystkich punktach <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"></span> przestrzeni konfiguracyjnej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c256f1c3b38d079269116d276130a4999b0d31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.192ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}"></span> w dowolnej chwili czasu, a stąd oblicza prędkości cząstek <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\mathbf {Q} _{k}(t)/dt.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\mathbf {Q} _{k}(t)/dt.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81243022f85e4a141481d1dde50410c89d61000e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.826ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d\mathbf {Q} _{k}(t)/dt.}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teoria_relatywistyczna_Bohma-Diraca_dla_pojedynczego_fermionu">Teoria relatywistyczna Bohma-Diraca dla pojedynczego fermionu</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=13" title="Edytuj sekcję: Teoria relatywistyczna Bohma-Diraca dla pojedynczego fermionu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=13" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Teoria relatywistyczna Bohma-Diraca dla pojedynczego fermionu"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Bohm zaprezentował w 1953 rozszerzenie teorii dla pojedynczej cząstki tak, by uwzględniać efekty relatywistyczne: </p><p>(1) Zastąpił równanie Schrödingera <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Diraca" title="Równanie Diraca">równaniem Diraca</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}\psi (q,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}\psi (q,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68dbbbb0726d8dfbfb27299e43fb8b55ee30775c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:23.443ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}\psi (q,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t),}"></span></dd></dl> <p>gdzie hamiltonian uwzględniający oddziaływanie cząstki o ładunku <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"></span> z zewnętrznym polem elektromagnetycznym <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\phi ,{\vec {A}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\phi ,{\vec {A}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cd4e42228f50ef9540e1552989b4a59e27b16d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.972ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle (\phi ,{\vec {A}})}"></span> ma postać </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}=c{\vec {\alpha }}\cdot \left({\hat {p}}-e{\vec {A}}\right)+mc^{2}\beta +e\phi +V(q),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>e</mi> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}=c{\vec {\alpha }}\cdot \left({\hat {p}}-e{\vec {A}}\right)+mc^{2}\beta +e\phi +V(q),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e85585d855c6015a10bd741d41608bc8049c6b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:40.874ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}=c{\vec {\alpha }}\cdot \left({\hat {p}}-e{\vec {A}}\right)+mc^{2}\beta +e\phi +V(q),}"></span></dd></dl> <p>przy czym </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\alpha }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\alpha }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b66e3c1118363d17c9e55e1858c8e402b25c70" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\alpha }}}"></span> – wektor macierzy <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Diraca" title="Równanie Diraca">alfa Diraca</a> o wymiarach 4 × 4</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\alpha }}={\begin{pmatrix}0&{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&0\end{pmatrix}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\alpha }}={\begin{pmatrix}0&{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&0\end{pmatrix}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87446e550927e759598190d13b8d39e5fb6e1d0e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:14.388ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\alpha }}={\begin{pmatrix}0&{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&0\end{pmatrix}},}"></span></dd></dl> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }"></span> – macierz <a href="/wiki/Macierze_gamma" title="Macierze gamma">beta Diraca</a>,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {p}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd4c026f1b3413adc58b9b65e89e62bce92c85a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.449ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {p}}}"></span> – operator pędu cząstki.</li></ul> <p>(2) W równaniu fali pilotującej </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} (t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j} }{(\psi ,\psi )}}{\Bigg |}_{q=Q(t)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo>,</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em">|</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} (t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j} }{(\psi ,\psi )}}{\Bigg |}_{q=Q(t)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e755e184623359c950c6f62e799d40f9fc29c58e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:22.6ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} (t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j} }{(\psi ,\psi )}}{\Bigg |}_{q=Q(t)}}"></span></dd></dl> <p>jako 3-wektor prądu prawdopodobieństwa przyjął <a href="/wiki/Pr%C4%85d_prawdopodobie%C5%84stwa#Prąd_relatywistycznie_niezmienniczy_-_równanie_Diraca" title="Prąd prawdopodobieństwa">prąd równania Diraca</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {j} =c\psi ^{\dagger }{\vec {\alpha }}\psi .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <msup> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {j} =c\psi ^{\dagger }{\vec {\alpha }}\psi .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4356b04db1979295d784d9ac741b1966a8b8fcdc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.164ex; width:11.209ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {j} =c\psi ^{\dagger }{\vec {\alpha }}\psi .}"></span></dd></dl> <p>(3) Funkcja falowa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.513ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi }"></span> jest tu odwzorowaniem postaci </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3N}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{4},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3N}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{4},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b523f6848ff963810ce6edbc9b3b3624cdd1ec7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.154ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3N}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{4},}"></span></dd></dl> <p>gdzie przestrzeń spinowa jest 4-wymiarową przestrzenią zespoloną, dlatego wartości funkcji falowej zapisuje się w postaci kolumny o 4 składowych. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teoria_relatywistyczna_Bohma-Diraca_dla_wielu_fermionów"><span id="Teoria_relatywistyczna_Bohma-Diraca_dla_wielu_fermion.C3.B3w"></span>Teoria relatywistyczna Bohma-Diraca dla wielu fermionów</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=14" title="Edytuj sekcję: Teoria relatywistyczna Bohma-Diraca dla wielu fermionów" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=14" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Teoria relatywistyczna Bohma-Diraca dla wielu fermionów"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Ujęcie Bohma dotyczyło pojedynczego fermionu. Powyższy formalizm można rozszerzyć na układ <i>N</i> fermionów następująco: </p><p>(1) Funkcja falowa spełnia rozszerzone na <i>N</i> cząstek równanie Diraca </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}\psi (q,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}\psi (q,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68dbbbb0726d8dfbfb27299e43fb8b55ee30775c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:23.443ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}\psi (q,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t),}"></span></dd></dl> <p>gdzie operator Hamiltona ma postać </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}(q,t)=-\sum _{k=1}^{N}\left[c{\vec {\alpha }}_{k}\cdot \left({{\hat {p}}_{k}}-e_{k}{\vec {A}}(q_{k})\right)+m_{k}c^{2}\beta _{k}+e_{k}\phi (q_{k})\right]+V(q),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>c</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>β</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}(q,t)=-\sum _{k=1}^{N}\left[c{\vec {\alpha }}_{k}\cdot \left({{\hat {p}}_{k}}-e_{k}{\vec {A}}(q_{k})\right)+m_{k}c^{2}\beta _{k}+e_{k}\phi (q_{k})\right]+V(q),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb9d2fb0a25441905077dd7b5d581f6925eb79e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:68.145ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}(q,t)=-\sum _{k=1}^{N}\left[c{\vec {\alpha }}_{k}\cdot \left({{\hat {p}}_{k}}-e_{k}{\vec {A}}(q_{k})\right)+m_{k}c^{2}\beta _{k}+e_{k}\phi (q_{k})\right]+V(q),}"></span></dd></dl> <p>gdzie: </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V(q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V(q)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dac6b17a8a7818fb4a89bd32f85daec2eb233f5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.666ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V(q)}"></span> – funkcja energii potencjalnej układu cząstek,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\alpha }}_{k}=1\otimes \ldots \otimes {\vec {\alpha }}\otimes \ldots \otimes 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⊗</mo> <mo>…</mo> <mo>⊗</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⊗</mo> <mo>…</mo> <mo>⊗</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\alpha }}_{k}=1\otimes \ldots \otimes {\vec {\alpha }}\otimes \ldots \otimes 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07677d463d33449f97296534a9521e5b48700a9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.295ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\alpha }}_{k}=1\otimes \ldots \otimes {\vec {\alpha }}\otimes \ldots \otimes 1}"></span> – operator macierzy Diraca, działający na stany spinowe k-tej cząstki, przy czym operator <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\alpha }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\alpha }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b66e3c1118363d17c9e55e1858c8e402b25c70" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\alpha }}}"></span> macierzy 4 × 4 występuje na k-tym miejscu w iloczynie tensorowym; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"></span> – macierze jednostkowe 4 × 4,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{k}=1\otimes \ldots \otimes \beta \otimes \ldots \otimes 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>β</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⊗</mo> <mo>…</mo> <mo>⊗</mo> <mi>β</mi> <mo>⊗</mo> <mo>…</mo> <mo>⊗</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{k}=1\otimes \ldots \otimes \beta \otimes \ldots \otimes 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a2fb221e9e1489c0669b0ac11e3baca8323446" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.968ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{k}=1\otimes \ldots \otimes \beta \otimes \ldots \otimes 1}"></span> – operator zawierający macierz beta Diraca, działający na stany spinowe k-tej cząstki.</li></ul> <p>(2) Równanie fali pilotującej </p><p>– dla k-tej cząstki równanie fali pilotującej ma postać </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}(t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j_{k}} }{\psi ^{\dagger }\psi }}{\Bigg |}_{q=Q(t)},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi mathvariant="bold">j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> <mi>ψ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em">|</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}(t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j_{k}} }{\psi ^{\dagger }\psi }}{\Bigg |}_{q=Q(t)},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44abc78fc0c49163afa9d34bc7db0f6b475cb9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:22.454ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}(t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j_{k}} }{\psi ^{\dagger }\psi }}{\Bigg |}_{q=Q(t)},}"></span></dd></dl> <p>gdzie 3-wektor <a href="/wiki/Pr%C4%85d_prawdopodobie%C5%84stwa" title="Prąd prawdopodobieństwa">prądu prawdopodobieństwa</a> dla k-tej cząstki ma postać </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {j_{k}} =c\psi ^{\dagger }{\vec {\alpha }}_{k}\psi .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi mathvariant="bold">j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <msup> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mi>ψ</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {j_{k}} =c\psi ^{\dagger }{\vec {\alpha }}_{k}\psi .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86dad356399054a1d68f146f0ef08d7488fe75be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.164ex; width:13.527ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {j_{k}} =c\psi ^{\dagger }{\vec {\alpha }}_{k}\psi .}"></span></dd></dl> <p>(3) Funkcja falowa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.513ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \psi }"></span> jest odwzorowaniem postaci </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3N}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{d},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mi>N</mi> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3N}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{d},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a00a1f6b15ac74f2302d4e49c73a2096217274" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.191ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3N}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{d},}"></span></dd></dl> <p>przy czym dla N identycznych fermionów przestrzeń ta ma postać <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}=(\mathbb {C} ^{4})^{\otimes N}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>⊗</mo> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}=(\mathbb {C} ^{4})^{\otimes N}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a783ae177aa6371bea1a1a02e2d3cb8685b759c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.38ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{d}=(\mathbb {C} ^{4})^{\otimes N}}"></span> i ma wymiar <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4^{N},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4^{N},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/306a80c728faf8270adc1d59a03133aa4f41831f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.501ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 4^{N},}"></span> a zbiór wartości tej funkcji ma postać kolumny <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4^{N}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4^{N}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96530c7bed2daf37e2e883a02123f03ca9a194c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.854ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 4^{N}}"></span> składowych. </p><p>(4) Rozszerzenie to nie jest Lorentzowsko nieimiennicze, gdyż trzeba wyróżnić układ współrzędnych, w którym w tych samych chwilach czasu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span> określa się aktualną konfigurację <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b7ab35402f0f501cbc361f5309fe64fd678cd0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q(t)}"></span> oraz oblicza prąd prawdopodobieństwa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {j_{k}} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi mathvariant="bold">j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {j_{k}} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5768d53a14599ba99512536c1088cf238b176776" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.164ex; width:2.21ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {j_{k}} }"></span> oraz gęstość <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho ={\psi ^{\dagger }\psi }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> <mi>ψ</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho ={\psi ^{\dagger }\psi }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9306dcbcda524f1ba596a8ae137ba317502054a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.289ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \rho ={\psi ^{\dagger }\psi }}"></span> w punkcie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(t).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(t).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a65eb93767a66b4c3aecb8046c52bb93323bcb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.134ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q(t).}"></span> Ta niekonwariantność jest istotna na poziomie pojedynczych cząstek. Jednak <b>statystyczne przewidywania</b> teorii Bohma-Diraca są identyczne, jak dla teorii Diraca, ponieważ (i) z założenia są spełnione w wybranym układzie odniesienia (ii) transformują się zgodnie z transformacją Lorentza do innych układów odniesienia. Z tego względu wyróżniony układ odniesienia nie może być wykryty przez żaden eksperyment. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teoria_relatywistyczna_–_problem_foliacji_(podziału)_czasoprzestrzeni"><span id="Teoria_relatywistyczna_.E2.80.93_problem_foliacji_.28podzia.C5.82u.29_czasoprzestrzeni"></span>Teoria relatywistyczna – problem foliacji (podziału) czasoprzestrzeni</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=15" title="Edytuj sekcję: Teoria relatywistyczna – problem foliacji (podziału) czasoprzestrzeni" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=15" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Teoria relatywistyczna – problem foliacji (podziału) czasoprzestrzeni"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Teoria Bohma jest teorią jawnie nielokalną oraz wybiera <b>preferowany układ odniesienia</b>, gdyż równania fali pilotującej zakładają, że prędkość danej cząstki układu w chwili <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span> zależy od położeń wszystkich cząstek układu w tej samej chwili <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.486ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t.}"></span> </p><p>Innymi słowy: </p> <ul><li>w teorii de Broglie-Bohma prędkość jednej cząstki zależy od aktualnego położenia wszystkich innych cząstek w tej samej chwili czasu, tj. jednocześnie, niezależnie od tego, jak są od siebie oddalone (i w tym przejawia się nielokalność teorii),</li> <li>jednak w teorii względności nie ma jednoczesności absolutnej, ale zależy to od układu, w którym określa się czas,</li> <li>zatem aby zdefiniować trajektorie cząstek potrzebna jest <b>dodatkowa zasada</b>, określająca, które punkty czasoprzestrzeni powinny być traktowane jako jednoczesne; najprostszy sposób, aby to osiągnąć, polega na wprowadzeniu preferowanej <b>foliacji (podziału)</b> czasoprzestrzeni przez ustalenie preferowanego układu, w którym określany jest czas: każda hiperpowierzchnia czasoprzestrzeni złożona z punktów o tej samej współrzędnej czasowej, a różnych współrzędnych przestrzennych jest wtedy hiperpowierzchnią równego czasu.</li></ul> <p>Wyróżnieniu układu odniesienia w teorii de Broglie-Bohma zastosowanej do układu wielu cząstek wydaje się więc być w konflikcie z teorią względności. Np. wcześniej omówione rozszerzenie teorii Bohma-Diraca na układ wielu cząstek nie jest Lorentzowsko niezmiennicze: mimo że samo równanie fali pilotującej spełniające relatywistyczne równanie Diraca spełnia ten wymóg, jednak nie jest to prawdą w odniesieniu do równań na prędkości cząstek, gdyż wprowadzają jednoczesność w wyróżnionym układzie odniesienia<sup id="cite_ref-Oliver_Passon2006-s13_11-0" class="reference"><a href="#cite_note-Oliver_Passon2006-s13-11">[9]</a></sup>. </p><p>W latach 90. XX w. pojawiło się szereg prób rozwiązania tego dylematu<sup id="cite_ref-Bohm_Hilley_The_Undivided_12-0" class="reference"><a href="#cite_note-Bohm_Hilley_The_Undivided-12">[10]</a></sup><sup id="cite_ref----------quant-ph-0208185_13-0" class="reference"><a href="#cite_note----------quant-ph-0208185-13">[11]</a></sup><sup id="cite_ref----------quant-ph-0302152_14-0" class="reference"><a href="#cite_note----------quant-ph-0302152-14">[12]</a></sup>. Np. pracy Dürra et al.<sup id="cite_ref-Dürr_D_Goldstein_S_Münch1999-s2729-2736_15-0" class="reference"><a href="#cite_note-Dürr_D_Goldstein_S_Münch1999-s2729-2736-15">[13]</a></sup> z 1999 r. użyto modeli Bohma-Diraca oraz foliacji Lorentza w odniesieniu do <a href="/wiki/Czasoprzestrze%C5%84" title="Czasoprzestrzeń">czasoprzestrzeni</a> i pokazano, że możliwe jest formalne przywrócenie <a href="/wiki/Niezmiennik_relatywistyczny" title="Niezmiennik relatywistyczny">niezmiennika Lorentza</a> przez wprowadzenie dodatkowej struktury. Choć jest to w sprzeczności ze standardową interpretacją teorii względności, to preferowana foliacja, jeżeli jest nieobserwowalna, nie prowadzi do empirycznego konfliktu z teorią względności. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Problem_z_opisem_trajektorii_fotonu">Problem z opisem trajektorii fotonu</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=16" title="Edytuj sekcję: Problem z opisem trajektorii fotonu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=16" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Problem z opisem trajektorii fotonu"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Początkowo uważano za niemożliwe opisanie trajektorii <a href="/wiki/Foton" title="Foton">fotonu</a> w teorii de Broglie-Bohma ze względu na problem relatywistycznego opisu <a href="/wiki/Bozony" title="Bozony">bozonów</a><sup id="cite_ref-ghose-1996_16-0" class="reference"><a href="#cite_note-ghose-1996-16">[14]</a></sup>. W 1996, Partha Ghose zaprezentował relatywistyczny opis bozonów o spinie 0 i 1 w mechanice kwantowej, wychodząc od <a href="/w/index.php?title=Algebra_Duffina-Kemmera-Petiau&action=edit&redlink=1" class="new" title="Algebra Duffina-Kemmera-Petiau (strona nie istnieje)">równań Duffina-Kemmera-Petiau</a>, określając trajektorie dla bozonów zarówno masowych, jak i bezmasowych (fotonów)<sup id="cite_ref-ghose-1996_16-1" class="reference"><a href="#cite_note-ghose-1996-16">[14]</a></sup>. W 2001 Jean-Pierre Vigier podkreślił potrzebę otrzymania dobrze zdefiniowanego opisu światła w postaci trajektorii cząstek, w ramach teorii de Broglie-Bohma lub stochastycznej mechaniki Nelsona<sup id="cite_ref-Remarks_on_Observed_Superluminal-s399_17-0" class="reference"><a href="#cite_note-Remarks_on_Observed_Superluminal-s399-17">[15]</a></sup>. W tym samym roku Ghose opracował model przypisujący trajektorie fotonom dla szczególnych przypadków<sup id="cite_ref-web.mit-_18-0" class="reference"><a href="#cite_note-web.mit--18">[16]</a></sup>. Eksperymenty z wykorzystaniem tzw. <a href="/wiki/S%C5%82aby_pomiar" title="Słaby pomiar">pomiarów słabych</a> doprowadziły do otrzymania trajektorii zgodnych z przewidywanymi<sup id="cite_ref-aip.org-_19-0" class="reference"><a href="#cite_note-aip.org--19">[17]</a></sup><sup id="cite_ref-pmid21636767-s1170-1173_20-0" class="reference"><a href="#cite_note-pmid21636767-s1170-1173-20">[18]</a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kwantowa_teoria_pola">Kwantowa teoria pola</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=17" title="Edytuj sekcję: Kwantowa teoria pola" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=17" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Kwantowa teoria pola"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Powyżej omówione teorie nie uwzględniały możliwości tworzenia i zanikania cząstek. Zjawiska te opisuje dopiero kwantowa teoria pola. Podejście zapoczątkowane przez Bella uzupełnia kwantową teorię pola, przypisując cząstkom położenia w przestrzeni w każdej chwili czasu, przy czym cząstki są kreowane i anihilowane. Istnieją różne sformułowania kwantowej teorii pola oparte o ideę de Broglie’a, tj. zakładające że układ fizyczny istnieje w każdej chwili w jednym stanie, niezależnie od funkcji falowej, która jest superpozycją stanów. Przy tym przez stan układu rozumie się albo położenia cząstek w przestrzeni albo stany pól fizycznych. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Połączenie_kwantowej_teorii_pola_Bohma_i_grawitacji"><span id="Po.C5.82.C4.85czenie_kwantowej_teorii_pola_Bohma_i_grawitacji"></span>Połączenie kwantowej teorii pola Bohma i grawitacji</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=18" title="Edytuj sekcję: Połączenie kwantowej teorii pola Bohma i grawitacji" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=18" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Połączenie kwantowej teorii pola Bohma i grawitacji"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Chris Dewdney i G. Horton zaproponowali relatywistycznie niezmiennicze, falowo-funkcjonalne sformułowanie kwantowej teorii pola de Broglie’a-Bohma<sup id="cite_ref-doi10.1088/0305-4470/35/47/311-s10117-10127_21-0" class="reference"><a href="#cite_note-doi10.1088/0305-4470/35/47/311-s10117-10127-21">[19]</a></sup><sup id="cite_ref-doi10.1088/0305-4470/37/49/011-s11935-11943_22-0" class="reference"><a href="#cite_note-doi10.1088/0305-4470/37/49/011-s11935-11943-22">[20]</a></sup> oraz rozszerzył je do postaci, która umożliwia włączenie grawitacji<sup id="cite_ref-doi10.1007/s10701-010-9456-9-s658-678_23-0" class="reference"><a href="#cite_note-doi10.1007/s10701-010-9456-9-s658-678-23">[21]</a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lorentzowsko_niezmiennicza_teoria_wielu_cząstek_Nikolicia"><span id="Lorentzowsko_niezmiennicza_teoria_wielu_cz.C4.85stek_Nikolicia"></span>Lorentzowsko niezmiennicza teoria wielu cząstek Nikolicia</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=19" title="Edytuj sekcję: Lorentzowsko niezmiennicza teoria wielu cząstek Nikolicia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=19" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Lorentzowsko niezmiennicza teoria wielu cząstek Nikolicia"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Nikolić zaproponował lorentzowsko-kowariantne sformułowanie interpretacji Bohma funkcji falowej dla wielu cząstek<sup id="cite_ref-doi10.1007/s10702-005-1128-1-s549-561_24-0" class="reference"><a href="#cite_note-doi10.1007/s10702-005-1128-1-s549-561-24">[22]</a></sup>. Rozwinął on uogólnioną, relatywistycznie niezmienniczą, probabilistyczną interpretację teorii kwantowej<sup id="cite_ref-http_xxx_lanl_gov_abs_0811_25-0" class="reference"><a href="#cite_note-http_xxx_lanl_gov_abs_0811-25">[23]</a></sup><sup id="cite_ref-Making_nonlocal_reality_compatible_26-0" class="reference"><a href="#cite_note-Making_nonlocal_reality_compatible-26">[24]</a></sup>, w której <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\psi |^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi |^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1766f8c8e0a96326d9379b65a63900b3be22ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.861ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle |\psi |^{2}}"></span> nie jest gęstością prawdopodobieństwa w przestrzeni, lecz gęstością prawdopodobieństwa w czasoprzestrzeni. Użył uogólnionej interpretacji probabilistycznej do sformułowania relatywistycznie kowariantnej wersji teorii de Broglie-Bohma bez wprowadzania preferowanej foliacji czasoprzestrzeni. Jego praca pokrywa się również z rozszerzeniem interpretacji Bohma kwantyzacji pól i strun<sup id="cite_ref-iopscience.iop-_27-0" class="reference"><a href="#cite_note-iopscience.iop--27">[25]</a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kwantowa_teoria_pola_–_liczba_cząstek_jako_ontologia_rzeczywistości"><span id="Kwantowa_teoria_pola_.E2.80.93_liczba_cz.C4.85stek_jako_ontologia_rzeczywisto.C5.9Bci"></span>Kwantowa teoria pola – liczba cząstek jako ontologia rzeczywistości</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=20" title="Edytuj sekcję: Kwantowa teoria pola – liczba cząstek jako ontologia rzeczywistości" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=20" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Kwantowa teoria pola – liczba cząstek jako ontologia rzeczywistości"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Podejście_deterministyczno-stochastyczne"><span id="Podej.C5.9Bcie_deterministyczno-stochastyczne"></span>Podejście deterministyczno-stochastyczne</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=21" title="Edytuj sekcję: Podejście deterministyczno-stochastyczne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=21" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Podejście deterministyczno-stochastyczne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dürr i inni (2004)<sup id="cite_ref-dgtz04_28-0" class="reference"><a href="#cite_note-dgtz04-28">[26]</a></sup><sup id="cite_ref-------quant-ph-0407116v1_29-0" class="reference"><a href="#cite_note-------quant-ph-0407116v1-29">[27]</a></sup> rozszerzyli teorię de Broglie–Bohma o <a href="/wiki/Operatory_kreacji_i_anihilacji" title="Operatory kreacji i anihilacji">operatory kreacji i anihilacji</a>, nadając teorii nazwę „kwantowej teorii pola typu Bella”. Stan układu w ich ujęciu jest opisany położeniami wszystkich rodzajów cząstek (<a href="/wiki/Fermiony" title="Fermiony">fermionów</a> i <a href="/wiki/Bozony" title="Bozony">bozonów</a>) w przestrzeni fizycznej, przy czym cząstki mogą być kreowane lub anihilowane. </p> <div class="mw-heading mw-heading5"><h5 id="Przestrzeń_konfiguracyjna"><span id="Przestrze.C5.84_konfiguracyjna"></span>Przestrzeń konfiguracyjna</h5><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=22" title="Edytuj sekcję: Przestrzeń konfiguracyjna" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=22" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przestrzeń konfiguracyjna"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Podstawowym pomysłem było zdefiniowanie przestrzeni konfiguracyjnej jako przestrzeni wielowymiarowej, dającej możliwość opisu zmiany liczby cząstek układu: </p><p>(1) dla cząstek jednego rodzaju przestrzeń jest sumą przestrzeni Hilberta właściwych dla 0, 1, 2, .. cząstek tego rodzaju, </p><p>(2) jeżeli w danej teorii pola mamy wiele rodzajów cząstek, to przestrzeń konfiguracyjna jest iloczynem kartezjańskim przestrzeni zdefiniowanych w p. (1) dla poszczególnych cząstek jednego rodzaju. </p> <div class="mw-heading mw-heading5"><h5 id="Dynamika_układu"><span id="Dynamika_uk.C5.82adu"></span>Dynamika układu</h5><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=23" title="Edytuj sekcję: Dynamika układu" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=23" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Dynamika układu"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>(1)</b> Funkcja falowa ewoluuje zgodnie z (deterministycznym) równaniem Schrödingera nad całą przestrzenią konfiguracyjną, przy czym hamiltonian układu jest taki, jak określa to kwantowa teoria pola; funkcja falowa jest w ogólności superpozycją stanów pola o różnej liczbie cząstek </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}\psi (q,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}\psi (q,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b76febcbffd81690c794864c66b643f4dd1564cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:23.443ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}\psi (q,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t).}"></span></dd></dl> <p><b>(2)</b> W danej chwili istnieje ściśle określona liczba cząstek, a każda cząstka ma określony rodzaj i położenie w przestrzeni rzeczywistej, </p><p><b>(3)</b> Układ cząstek ewoluuje deterministycznie oraz stochastycznie. </p><p>(a). <b>determinizm</b>: cząstki poruszają się w przestrzeni po ściśle określonych trajektoriach zgodnie z równaniem fali pilotującej, przy czym równanie to zawiera hamiltonian cząstek swobodnych (nieoddziałujących ze sobą i z zewnętrznymi polami) – w tym procesie liczba cząstek jest więc ustalona. W przypadku hamiltonianu nierelatywistycznego Schrödingera </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}(q,t)=-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}\nabla _{k}^{2}(q,t)+V(q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}(q,t)=-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}\nabla _{k}^{2}(q,t)+V(q)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/813df9256fa4c3c8e50dfc8a77bb0787b35de3f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:36.263ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}(q,t)=-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}\nabla _{k}^{2}(q,t)+V(q)}"></span></dd></dl> <p>prędkość przemieszczania cząstek się dana jest wzorem mechaniki Bohma </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}(t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j} _{k}(q,t)}{|\psi (q,t)|^{2}}}{\Bigg |}_{q=Q(t)},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">Q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.470em" minsize="2.470em">|</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}(t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j} _{k}(q,t)}{|\psi (q,t)|^{2}}}{\Bigg |}_{q=Q(t)},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1bb545a9b86a7651766b744341367edf9318a70" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:27.079ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}(t)}{dt}}={\frac {\mathbf {j} _{k}(q,t)}{|\psi (q,t)|^{2}}}{\Bigg |}_{q=Q(t)},}"></span></dd></dl> <p>gdzie prąd ma postać </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {j} _{k}(q,t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}{\text{Im}}\left(\psi ^{*}(q,t)\nabla _{k}\psi (q,t)\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Im</mtext> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {j} _{k}(q,t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}{\text{Im}}\left(\psi ^{*}(q,t)\nabla _{k}\psi (q,t)\right).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a7ce0ecd55cf4d45168f1b7f3d1c4147bbc103" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; margin-left: -0.164ex; width:36.501ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {j} _{k}(q,t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}{\text{Im}}\left(\psi ^{*}(q,t)\nabla _{k}\psi (q,t)\right).}"></span></dd></dl> <p>(b). <a href="/wiki/Proces_stochastyczny" title="Proces stochastyczny"><b>stochastyczność</b></a>: występują losowe procesy kreacji lub anihilacji cząstek – kwantów pola (przy czym np. kreacja kwantu danego pola, otrzymana z funkcji falowej, nie oznacza lokalizacji kwantu w postaci cząstki; o cząstkach punktowych można mówić dopiero w ujęciu de Broglie’a-Bohma-Bella, przy założeniu, że spośród wielu możliwych stanów własnych operatorów położenia i liczby cząstek jeden taki stan jest realizowany jako rzeczywistość fizyczna); prawdopodobieństwo przejścia układu z aktualnej konfiguracji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b7ab35402f0f501cbc361f5309fe64fd678cd0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q(t)}"></span> w przedziale czasu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (t,t+dt)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (t,t+dt)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c19df9de9cd779546369f32509c2a9b02248abe4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (t,t+dt)}"></span> do innej konfiguracji <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912405e5d416048908ea7978929975843d2ee4e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q'}"></span> określonej z dokładnością do różniczkowej objętości <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dq'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dq'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b76a8ede707f44ab6e72c6a00a2b597bc3bca1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.98ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle dq'}"></span> przestrzeni konfiguracyjnej dane jest równaniem </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{t}(Q_{t}\to [q',dq',dt])={\frac {j_{t}(q\to q')^{+}}{(\psi _{t}(q),\psi _{t}(q))}}dq'\,dt{\Big |}_{q=Q_{t}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">|</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{t}(Q_{t}\to [q',dq',dt])={\frac {j_{t}(q\to q')^{+}}{(\psi _{t}(q),\psi _{t}(q))}}dq'\,dt{\Big |}_{q=Q_{t}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a9a4ef4ea9b6930d1d8e69d955d7ead16595ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:48.71ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle P_{t}(Q_{t}\to [q',dq',dt])={\frac {j_{t}(q\to q')^{+}}{(\psi _{t}(q),\psi _{t}(q))}}dq'\,dt{\Big |}_{q=Q_{t}},}"></span></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j_{t}(q\to q')={\frac {2}{\hbar }}{\text{Im }}[\Psi _{t}^{*}(q')\langle q'|{\hat {H}}_{int}|q\rangle |\Psi _{t}(q)]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>Im </mtext> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msubsup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>q</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi mathvariant="normal">Ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j_{t}(q\to q')={\frac {2}{\hbar }}{\text{Im }}[\Psi _{t}^{*}(q')\langle q'|{\hat {H}}_{int}|q\rangle |\Psi _{t}(q)]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a670965e53e95303ea7853b5a9806eb0f1b1c229" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; margin-left: -0.027ex; width:42.934ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle j_{t}(q\to q')={\frac {2}{\hbar }}{\text{Im }}[\Psi _{t}^{*}(q')\langle q'|{\hat {H}}_{int}|q\rangle |\Psi _{t}(q)]}"></span> – gęstość prądu prawdopodobieństwa przejścia od stanu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"></span> do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912405e5d416048908ea7978929975843d2ee4e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q'}"></span> związana z <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}_{int}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}_{int}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8fba236db7499f42f4bb0b84a5d956b437e037" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.443ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}_{int}}"></span> – hamiltonianem oddziaływania między polami kwantowymi; w wyniku oddziaływań między polami mogą powstawać lub anihilować kwanty pól – kwantom wg teorii Dürra odpowiadają zlokalizowane cząstki,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j^{+}\equiv max(j,0),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo>≡</mo> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>j</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j^{+}\equiv max(j,0),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f669705e88bfb17f9fcdd7452fbdd3c9db5b7bfa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.027ex; width:15.805ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle j^{+}\equiv max(j,0),}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\psi ,\psi )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ψ</mi> <mo>,</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\psi ,\psi )}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f68ba274b8b52b09ee71191eae8b337ba7428956" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.87ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\psi ,\psi )}"></span> – iloczyn skalarny funkcji falowej w przestrzeni konfiguracyjnej (dla ustalonej liczny cząstek przestrzeń ta byłaby przestrzenią spinową <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{d},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>d</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{d},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6920c9cd28d6c8eeedd6155d02ae4d4c142325" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.417ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{d},}"></span> gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}"></span> – wymiar taki, jak to określono w rozdziale <a href="/wiki/Teoria_de_Broglie-Bohma#Rozszerzenia#Spin" class="mw-redirect" title="Teoria de Broglie-Bohma">Rozszerzenia</a>),</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q=(\mathbf {q} _{1},\dots ,\mathbf {q} _{k},\dots ,\mathbf {q} _{N})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">q</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q=(\mathbf {q} _{1},\dots ,\mathbf {q} _{k},\dots ,\mathbf {q} _{N})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b46ec28cc64ba5832d7896a823a50b5b8b7250" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.401ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q=(\mathbf {q} _{1},\dots ,\mathbf {q} _{k},\dots ,\mathbf {q} _{N})}"></span> – przykładowy wektor położenia układu cząstek w przestrzeni konfiguracyjnej, mającej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}"></span> cząstek.</li></ul></dd></dl> <p>Wielkość <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j^{+}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j^{+}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b646e62e0313d9c5b7d724deb9b0ffd97d1259" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:2.496ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle j^{+}}"></span> w liczniku jest wartości <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j_{t}(q\to q'),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j_{t}(q\to q'),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c100b44bb66f9abbc57887a7f482b50b9d3ead" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.027ex; width:10.715ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle j_{t}(q\to q'),}"></span> gdy prąd jest dodatni; wtedy prawdopodobieństwo <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{t}(q\to [q',dq',dt])}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{t}(q\to [q',dq',dt])}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/069bb009f396333324bc22434a9195ca6a5bb448" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.972ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle P_{t}(q\to [q',dq',dt])}"></span> jest równe ilorazowi prądu przez gęstość prawdopodobieństwa – analogicznie jak w mechanice Bohma. Jeżeli prąd jest ujemny, to <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j^{+}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j^{+}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5255209832a0043a60d8465be659f27df197696" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:6.757ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle j^{+}=0}"></span> – wtedy przejście <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q\to q'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q\to q'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c8b6e6662ceda1c9e5b4e1503277bec84c9e96" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.448ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q\to q'}"></span> jest zabronione. Jeżeli jednak prąd jest ujemny, to będzie dozwolone przejście ze stanu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912405e5d416048908ea7978929975843d2ee4e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q'}"></span> do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa74b799849683cad6a0b79ebd9bf58bdf9890a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.716ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q,}"></span> czyli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q'\to q,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q'\to q,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae60b48cdc90abc2dfefe9b35eb5e1f720d673b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.095ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q'\to q,}"></span> co wynika z własności antysymetrii prądu: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j_{t}(q\to q')=-j_{t}(q'\to q).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j_{t}(q\to q')=-j_{t}(q'\to q).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0849a98bb6eabbd1e0b6f2f6de414dee3d811b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.027ex; width:25.662ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle j_{t}(q\to q')=-j_{t}(q'\to q).}"></span></dd></dl> <p>W danym czasie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebee76a835701fd1f26047a09855f2ea36bb08fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.055ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle dt}"></span> układ może więc przejść do innego stanu, zawierającego inne liczby cząstek. </p><p><b>Uwaga:</b> Wielkość <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j_{t}(q\to q')}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>j</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j_{t}(q\to q')}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65cb08f5e7859ade919e878e512b232785600ce7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.027ex; width:10.068ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle j_{t}(q\to q')}"></span> tu zdefiniowana jest skalarem, w odróżnieniu od prądu opisującego ruch deterministyczny w postaci <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {j} _{k}(q,t),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {j} _{k}(q,t),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686a623aebe2a21580c750fe1442600ea56c593a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.164ex; width:7.468ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {j} _{k}(q,t),}"></span> który jest wektorem. Musi być tak, gdyż prawdopodobieństwo jest liczbą – możliwy wektor przemieszczenia układu wynika z wektorów położeń początkowego i końcowego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q,q'.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>q</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q,q'.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24bfb95a59c5f04d6a7193287f010383b281b58" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.514ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle q,q'.}"></span> </p><p><b>(4)</b> Funkcja falowa <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (q,t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (q,t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae63ac01548619f4c3c78988c4a0c54d1c73f3a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.266ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi (q,t)}"></span> jest określona w położeniowej <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Focka" title="Przestrzeń Focka">przestrzeni Foka</a> (jest reprezentacją położeniową wektora stanu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\psi _{t}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi _{t}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b682fb045737d170a7dc1723137e336c192dc1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.891ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\psi _{t}\rangle }"></span> w chwili <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}"></span>). Przykładowo w modelu, gdzie uwzględnia się tylko bozony, składnik funkcji falowej odpowiadającej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> cząstkom ma postać </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\langle 0|a(x_{1})\dots a(x_{n})|\psi \rangle ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>…</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\langle 0|a(x_{1})\dots a(x_{n})|\psi \rangle ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f2026f913654eb0de3f1bae38da80481bfc759" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:44.776ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \psi ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\langle 0|a(x_{1})\dots a(x_{n})|\psi \rangle ,}"></span></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |0\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |0\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed066a3ad158da0ad6d6a421a606b1c8a35eb95b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.714ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |0\rangle }"></span> – stan próżni Foka,</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a(x_{l})=(2\pi )^{-3/2}\int d^{3}\!k\,\,e^{ikx_{l}}a_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>∫</mo> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mi>k</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(x_{l})=(2\pi )^{-3/2}\int d^{3}\!k\,\,e^{ikx_{l}}a_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8fd62acfd175905bf71dfc102d36ffb5222563" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:29.869ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle a(x_{l})=(2\pi )^{-3/2}\int d^{3}\!k\,\,e^{ikx_{l}}a_{k}}"></span> – operator anihilacji bozonu w położeniu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{l},l=1,2,\dots ,n,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{l},l=1,2,\dots ,n,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f28caa5b2dfb5eb21feb2ceeb345b1d765b342c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.456ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{l},l=1,2,\dots ,n,}"></span></li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e256a120c3ab9f8958de71acdf81cd75065e3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.319ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{k}}"></span> – operator kreacji bozonu o pędzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb6778a29f576eb23da1dbddffb73b2571359ac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.858ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k.}"></span></li></ul></dd></dl> <p>Niektóre cząstki mogą więc np. emitować inne cząstki, inne zaś mogą anihilować; przy czym procesy te zależą od postaci hamiltonianu oddziaływania pól kwantowych; w danym momencie istnieje wiele możliwych, różnych procesów przemiany danego układu pól w układy z innymi liczbami kwantów dla poszczególnych pól. Przy czym, jeśli liczba kwantów danego pola zmniejszyła by się po przemianie o jeden, to zaszedłby proces anihilacji kwantu tego pola, czyli anihilacja cząstki, opisywanej tym polem; analogicznie – jeśli liczba kwantów danego pola zwiększyłaby się o jeden, to zaszedłby proces kreacji kwantu tego pola, czyli kreacji cząstki. </p><p>Rozkład prawdopodobieństw procesów, jakie mogą zajść przy zadanej aktualnie konfiguracji cząstek <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q_{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q_{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76961a4549f1caf347a34a97d730da892e672fcb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.664ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q_{t}}"></span> obliczany jest z postaci funkcji falowej. Spośród tych procesów jeden jest wybierany losowo jako zachodzący de facto w rzeczywistości: układ w czasie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dt}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dt}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebee76a835701fd1f26047a09855f2ea36bb08fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.055ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle dt}"></span> przechodzi do nowego stanu o innej liczbie cząstek zadanych przez funkcję falową. Nowy stan określony jest przez rodzaj i położenia cząstek, w których m.in. rozpoczynają się trajektorie cząstek nowo utworzonych, a kończą się trajektorie cząstek anihilowanych (przy tym może też być, że stan układu co do liczby i rodzaju cząstek pozostanie niezmieniony, jeżeli istnieje niezerowe prawdopodobieństwo przejścia układu do takiego stanu); </p><p>Wpływ na ewolucję układu cząstek ma cała funkcja falowa, a nie tylko jej część, której odpowiada stan aktualny liczby cząstek – kwantów pól: dlatego możliwe są procesy zależne od interferencji stanów funkcji falowej odpowiadających różnym stanom układu co do liczby cząstek, ich rodzaju oraz ich położeń. </p><p><b>Przykład:</b> <a href="/wiki/Elektrodynamika_kwantowa" title="Elektrodynamika kwantowa">Elektrodynamika kwantowa</a> rozważa 3 rodzaje cząstek: elektrony, pozytony, fotony; w teorii Dürra cząstki te poruszają się po ściśle określonych trajektoriach, przy czym ich tory zaczynają się w tych punktach czasoprzestrzeni, gdzie cząstki te są kreowane, zaś kończą się tam, gdzie cząstki anihilują. W ujęciu standardowym cząstki są rozciągnięte na całą przestrzeń jako pola; pola te są kreowane i anihilują w całej przestrzeni; jednocześnie istnieją superpozycje wielu możliwych stanów pola, zawierające różne liczby cząstek danego rodzaju; jedynie gdy pola te oddziałują z detektorem, to wtedy w sposób losowy są rejestrowane przez detektor jako zlokalizowane obiekty w przestrzeni. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Podejście_deterministyczne"><span id="Podej.C5.9Bcie_deterministyczne"></span>Podejście deterministyczne</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=24" title="Edytuj sekcję: Podejście deterministyczne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=24" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Podejście deterministyczne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Hrvoje Nikolić<sup id="cite_ref-nikolicqft_30-0" class="reference"><a href="#cite_note-nikolicqft-30">[28]</a></sup> zaproponował w pełni deterministyczną teorię de Broglie-Bohma z kreacją i anihilacji cząstek. Trajektorie cząstek są tu ciągłe, jednak z teorii wynika, że np. detektor może zarejestrować kreację lub anihilację cząstek nawet jeśli ta nie miała miejsca, co wydaje się być sprzeczne z tym, jak wyobraża się te procesy. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teoria_na_zakrzywionej_czasoprzestrzeni">Teoria na zakrzywionej czasoprzestrzeni</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=25" title="Edytuj sekcję: Teoria na zakrzywionej czasoprzestrzeni" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=25" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Teoria na zakrzywionej czasoprzestrzeni"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Teoria de Broglie-Bohma opisuje ruch cząstek w przestrzeni rzeczywistej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00b2b4fd27c2cbffa02df568472f77b194a6db9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}"></span> Rozszerzenie teorii na dowolną <a href="/wiki/Rozmaito%C5%9B%C4%87_riemannowska" title="Rozmaitość riemannowska">rozmaitość riemannowską</a> nie przedstawia żadnych trudności: równania te mają identyczną postać jak równania ruchu w przestrzeni <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb17c1074c77de2cf88d45bcd6d7a795b0f5d44" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.379ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}"></span> ale wszystkie elementy różniczkowe w równaniu Schrödingera i równaniu fali pilotującej, takie jak <a href="/wiki/Gradient_(matematyka)" title="Gradient (matematyka)">gradienty</a> czy <a href="/wiki/Operator_Laplace%E2%80%99a" title="Operator Laplace’a">laplasjany</a>, mają zdefiniowane odpowiedniki na rozmaitościach. Warunki topologiczne i brzegowe można stosować w suplementacji ewolucji <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Schr%C3%B6dingera" title="Równanie Schrödingera">równania Schrödingera</a>. </p><p>Przykład: ruch cząstek w czasoprzestrzeni – czasoprzestrzeń jest w ogólności przestrzenią zakrzywiona (a więc nie obowiązują tu prawa geometrii Euklidesa) (por. <a href="/wiki/Og%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci" title="Ogólna teoria względności">ogólna teoria względności</a>) </p><p>W teorii de Broglie-Bohma w zakrzywionej przestrzeni, dla cząstek ze spinem, przestrzeń spinowa jest <a href="/wiki/Wi%C4%85zka_wektorowa" title="Wiązka wektorowa">wiązką wektorową</a> nad przestrzenią konfiguracyjną, a potencjał w równaniu Schrödingera jest lokalnym <a href="/wiki/Operator_samosprz%C4%99%C5%BCony" title="Operator samosprzężony">operatorem samosprzężoym</a>, działającym na przestrzeni<sup id="cite_ref-------quant-ph-0506173_31-0" class="reference"><a href="#cite_note-------quant-ph-0506173-31">[29]</a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Teoria_nielokalnego_przekazywania_informacji">Teoria nielokalnego przekazywania informacji</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=26" title="Edytuj sekcję: Teoria nielokalnego przekazywania informacji" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=26" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Teoria nielokalnego przekazywania informacji"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/w/index.php?title=Antony_Valentini&action=edit&redlink=1" class="new" title="Antony Valentini (strona nie istnieje)">Antony Valentini</a><sup id="cite_ref-Valentini_A_1991_Signal_Locality_32-0" class="reference"><a href="#cite_note-Valentini_A_1991_Signal_Locality-32">[30]</a></sup> rozszerzył teorię de Broglie-Bohma o sygnałową nielokalność, która umożliwia stosowanie splątania jako zdalnej komunikacji, bez potrzeby klasycznego sygnału „klucza” do odblokowania wiadomości. Przeczy to ortodoksyjnej teorii kwantowej, jednak czyni równoległy wszechświat chaotycznej teorii inflacji obserwowalnym w praktyce. </p><p>W przeciwieństwie do teorii de Broglie-Bohma, w teorii Valentiniego ewolucja funkcji falowej zależy również od zmiennych ontologicznych. Wprowadza to niestabilność, pętlę sprzężenia zwrotnego, które wypycha ukryte zmienne poza „subkwantową śmierć cieplną”. Wynikowa teoria jest nieliniowa i nie-unitarna. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Wyprowadzenia_teorii_de_Broglie-Bohma">Wyprowadzenia teorii de Broglie-Bohma</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=27" title="Edytuj sekcję: Wyprowadzenia teorii de Broglie-Bohma" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=27" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Wyprowadzenia teorii de Broglie-Bohma"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>Uwaga:</b> Każda fundamentalna teoria fizyczna musi być de facto postulowana poprzez podanie jej fundamentalnych równań – w tym sensie teorii nie wyprowadza się. (Podobnie np. postuluje się aksjomaty geometrii). Teoria de Broglie’a-Bohma jest taką teorią. Poprawność każdej teorii sprawdza się w konfrontacji z eksperymentem. Jeżeli istnieje kilka teorii, które są pozbawione wewnętrznych sprzeczności i przewidują identyczne wyniki eksperymentów, to nie da się rozstrzygnąć, która teoria jest lepszym opisem rzeczywistości. Dotyczy to m.in. teorii de Broglie-Bohma w konfrontacji ze standardowym sformułowaniem mechaniki kwantowej. </p><p>Poniżej przedstawiono cztery wyprowadzenia, czyli argumenty, na podstawie których postuluje się równania teorii de Broglie-Bohma. Daje to cztery nieco odmienne sposoby rozumienia samej teorii. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Z_hipotezy_de_Broglie’a"><span id="Z_hipotezy_de_Broglie.E2.80.99a"></span>Z hipotezy de Broglie’a</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=28" title="Edytuj sekcję: Z hipotezy de Broglie’a" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=28" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Z hipotezy de Broglie’a"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>(1) <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Schr%C3%B6dingera" title="Równanie Schrödingera">Równanie Schrödingera</a> można wyprowadzić przy użyciu <a href="/wiki/Efekt_fotoelektryczny" title="Efekt fotoelektryczny">hipotezy kwantów świetlnych Einsteina</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=\hbar \omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mi>ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=\hbar \omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb16565f02349106457258633097e0d0414a8e2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.626ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E=\hbar \omega }"></span></dd></dl> <p>oraz <a href="/wiki/Fale_materii" title="Fale materii">hipotezy de Broglie</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">k</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad88d71b7b8f4e1a519044f8b61f53b820c8da24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.948ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} .}"></span></dd></dl> <p>(2) Równanie na prędkości cząstek można otrzymać w podobny sposób. Zakładając falę płaską </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">k</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mi>ω</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/304e6917b9cfd5d622f892a36e126d3aee93cb5b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.958ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}"></span></dd></dl> <p>oraz zauważając, że wynika stąd zależność </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\mathbf {k} =\nabla \psi /\psi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">k</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\mathbf {k} =\nabla \psi /\psi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69096b3f1f12e1abf374f5c0c5ce07a3da37e070" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.437ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i\mathbf {k} =\nabla \psi /\psi }"></span></dd></dl> <p>oraz przyjmując <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a271a96e7b925fd39686375167c76d406e87c813" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.035ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }"></span> otrzyma się ostatecznie </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\hbar }{m}}Im\left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> <mi>I</mi> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>ψ</mi> </mrow> <mi>ψ</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\hbar }{m}}Im\left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0685324518a18aeec300d8394855b49e1b0d818d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.725ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\hbar }{m}}Im\left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right).}"></span></dd></dl> <p>Wyprowadzenie to nie używało równania Schrödingera. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Z_równania_ciągłości"><span id="Z_r.C3.B3wnania_ci.C4.85g.C5.82o.C5.9Bci"></span>Z równania ciągłości</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=29" title="Edytuj sekcję: Z równania ciągłości" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=29" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Z równania ciągłości"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Zakładając, że prawdopodobieństwo ewoluuje w czasie przepływając z danej komórki do komórek sąsiednich (a nie np. wykonując wielkie skoki w przestrzeni) otrzymuje się <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_ci%C4%85g%C5%82o%C5%9Bci" title="Równanie ciągłości">równanie ciągłości</a>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>ρ</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2668bae31281c65e8b695be2fc5f49b880624f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.341ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} ,}"></span></dd></dl> <p>gdzie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {j} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {j} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5d874dbb32b8b33e83ca521f592808387a486e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.164ex; width:0.98ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {j} }"></span> – prąd prawdopodobieństwa.</dd></dl> <p>Pole prędkości układu oblicza się jako iloraz prądu i gęstości prawdopodobieństwa </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} )={\frac {\mathbf {j} }{|\psi |^{2}}}(\mathbf {x} ).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">v</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">j</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} )={\frac {\mathbf {j} }{|\psi |^{2}}}(\mathbf {x} ).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e105bf668c59e71d1df5ac6615ceda2f4b198f24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.294ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} )={\frac {\mathbf {j} }{|\psi |^{2}}}(\mathbf {x} ).}"></span></dd></dl> <p>Całkując powyższe równanie oblicza się krzywe, wzdłuż których poruszają się cząstki. </p><p>Metoda ta jest dość ogólna, może być punktem startowym dla wielu alternatywnych teorii, np. dla cząstek ze spinem. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Z_rozkładu_funkcji_falowej_na_część_fazową_i_moduł"><span id="Z_rozk.C5.82adu_funkcji_falowej_na_cz.C4.99.C5.9B.C4.87_fazow.C4.85_i_modu.C5.82"></span>Z rozkładu funkcji falowej na część fazową i moduł</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=30" title="Edytuj sekcję: Z rozkładu funkcji falowej na część fazową i moduł" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=30" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Z rozkładu funkcji falowej na część fazową i moduł"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Jeżeli cząstki nie posiadają spinu, to można przekształcić równanie falowe do postaci dwóch równań: <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_ci%C4%85g%C5%82o%C5%9Bci" title="Równanie ciągłości">równania ciągłości</a>, jak powyżej, oraz <a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Hamiltona-Jacobiego" title="Równanie Hamiltona-Jacobiego">równanie Hamiltona-Jacobiego</a>. Jest to metoda użyta przez Bohma w 1952. Dekompozycja funkcji falowej jest następująca: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=R(\mathbf {x} ,t)e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar },}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=R(\mathbf {x} ,t)e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar },}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9e7f3308928ecd16ded03758446811ad8da9a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.227ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=R(\mathbf {x} ,t)e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar },}"></span></dd></dl> <p>przy czym <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R^{2}(\mathbf {x} ,t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R^{2}(\mathbf {x} ,t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa16b3e8a4634fab23612c1ad96a5b67abd192c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.912ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle R^{2}(\mathbf {x} ,t)}"></span> jest proporcjonalne do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a29fa3302f2f40c3493fa2ea5a112d816c511ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.996ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}.}"></span> </p><p>Równanie ciągłości po dekompozycji przyjmie postać </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[\rho (\mathbf {x} ,t){\frac {\nabla S(\mathbf {x} ,t)}{m}}\right].}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[\rho (\mathbf {x} ,t){\frac {\nabla S(\mathbf {x} ,t)}{m}}\right].}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3983181444686555a078ff2d0366c29465060e00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:34.313ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[\rho (\mathbf {x} ,t){\frac {\nabla S(\mathbf {x} ,t)}{m}}\right].}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Z_równania_Hamiltona-Jacobiego"><span id="Z_r.C3.B3wnania_Hamiltona-Jacobiego"></span>Z równania Hamiltona-Jacobiego</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=31" title="Edytuj sekcję: Z równania Hamiltona-Jacobiego" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=31" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Z równania Hamiltona-Jacobiego"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial S(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\left[V+{\frac {1}{2m}}(\nabla S(\mathbf {x} ,t))^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R(\mathbf {x} ,t)}{R(\mathbf {x} ,t)}}\right]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>V</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial S(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\left[V+{\frac {1}{2m}}(\nabla S(\mathbf {x} ,t))^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R(\mathbf {x} ,t)}{R(\mathbf {x} ,t)}}\right]}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00ed1a820750fcb760321edc7e6c232b1d46d13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:54.374ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial S(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\left[V+{\frac {1}{2m}}(\nabla S(\mathbf {x} ,t))^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R(\mathbf {x} ,t)}{R(\mathbf {x} ,t)}}\right]}"></span></dd></dl> <p>potencjałem </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{B}=V-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>B</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>V</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>R</mi> </mrow> <mi>R</mi> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{B}=V-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221c3bf7c09f83ef5bbeb1eb5165a5185c5f6d9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.837ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle V_{B}=V-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}.}"></span></dd></dl> <p>Potencjał <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}"></span> jest potencjałem klasycznym (występuje w równaniu Schrödingera), a drugi człon, zawierający <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f035e033d7d2c784a07e01448f7605945dfd435" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.411ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R,}"></span> jest <b>potencjałem kwantowym</b> (terminologia wprowadzona przez Bohma). Pole prędkości wyraża wzór </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v={\frac {\nabla S}{m}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v={\frac {\nabla S}{m}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e47286a5804570776fcbea494b59e91a15ef165b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.144ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle v={\frac {\nabla S}{m}}.}"></span></dd></dl><p> Podejście to prowadzi do patrzenia na teorię kwantową Bohma jako na teorię cząstek, poruszających się pod wpływem sił klasycznych, modyfikowanych przez siły kwantowe. W przeciwieństwie do standardowej <a href="/wiki/Mechanika_klasyczna" title="Mechanika klasyczna">mechaniki Newtona</a> początkowe pole prędkości jest jednak od razu wyznaczone przez <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\nabla S}{m}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mi>S</mi> </mrow> <mi>m</mi> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\nabla S}{m}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94c51ac81723f43e574748a9cb0b379c909bd23" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:4.918ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\nabla S}{m}},}"></span> co oznacza, że jest to teoria pierwszego, nie drugiego, rzędu.</p><div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Wiki_letter_w.svg/20px-Wiki_letter_w.svg.png" decoding="async" width="20" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Wiki_letter_w.svg/30px-Wiki_letter_w.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Wiki_letter_w.svg/40px-Wiki_letter_w.svg.png 2x" data-file-width="44" data-file-height="44" /></span></span> </span><i>Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit">rozbuduj ją</a></span>.</i></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też"><span id="Zobacz_te.C5.BC"></span>Zobacz też</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=32" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=32" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Fala_Faradaya" title="Fala Faradaya">fala Faradaya</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Interpretacje_mechaniki_kwantowej&action=edit&redlink=1" class="new" title="Interpretacje mechaniki kwantowej (strona nie istnieje)">interpretacje mechaniki kwantowej</a></li> <li><a href="/wiki/Mechanika_kwantowa" title="Mechanika kwantowa">mechanika kwantowa</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=R%C3%B3wnania_Madelunga&action=edit&redlink=1" class="new" title="Równania Madelunga (strona nie istnieje)">równania Madelunga</a></li> <li><a href="/wiki/Teorie_zmiennych_ukrytych" title="Teorie zmiennych ukrytych">teoria zmiennych ukrytych</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Uwagi">Uwagi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=33" title="Edytuj sekcję: Uwagi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=33" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Uwagi"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection refsection-uwagi ll-script ll-script-uwagi"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-nielok-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-nielok_4-0">↑</a></span> <span class="reference-text">W teoriach lokalnych (np. w dynamice Newtona klasycznej fizyki) prędkość cząstki zależy od wielkości sił czy pół fizycznych w najbliższym jej otoczeniu.</span> </li> <li id="cite_note-math-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-math_7-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Zauważmy, że małe litery <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}"></span> określają możliwe stany, zaś wielka litera <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}"></span> określa stan aktualnie przyjmowany przez układ.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&veaction=edit&section=34" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie%E2%80%99a-Bohma&action=edit&section=34" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-paradoksy-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-paradoksy_1-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-paradoksy_1-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web">Marek Szopa: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://el.us.edu.pl/wmfich/pluginfile.php/10649/mod_resource/content/2/MK08%20Paradoksy%20i%20Zastosowania%20Mechaniki%20Kwantowej.pdf">Rozdział 8. Paradoksy i zastosowania Mechaniki Kwantowej</a>. Uniwersytet Śląski w Katowicach. [dostęp 2017-06-24].</cite></span> </li> <li id="cite_note-Horodeński2015-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Horodeński2015_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book">Andrzej Horodeński: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.pl/books?id=4pbnBwAAQBAJ&pg=PA12#v=onepage&q&f=false">Tajna historia fizyki kwantowej</a></i>. Andrzej Horodeński, 2015.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Tajna+historia+fizyki+kwantowej&rft.aulast=Horode%C5%84ski&rft.aufirst=Andrzej&rft.date=2015&rft.pub=Andrzej+Horode%C5%84ski&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.pl%2Fbooks%3Fid%3D4pbnBwAAQBAJ%26pg%3DPA12%23v%3Donepage%26q%26f%3Dfalse"></span></cite><span class="problemy" aria-hidden="true" data-nosnippet=""> Brak numerów stron w książce</span></span> </li> <li id="cite_note-kwantowo-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-kwantowo_3-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web">Adam Adamczyk: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.kwantowo.pl/2016/04/06/fale-czastki-i-zabawy-z-dwoma-dziurkami/">Fale, cząstki i zabawy z dwoma dziurkami</a>. Kwantowo.pl. [dostęp 2017-06-24].</cite></span> </li> <li id="cite_note-:0-5"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-:0_5-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-:0_5-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-:0_5-2">c</a></sup></span> <span class="reference-text"><cite class="citation journal">David Bohm. <em>A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of „Hidden Variables”, I</em>. „<a href="/wiki/Physical_Review" title="Physical Review">Physical Review</a>”. 85, s. 166–179, 1952. <a href="/wiki/DOI_(identyfikator_cyfrowy)" title="DOI (identyfikator cyfrowy)">DOI</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRev.85.166">10.1103/PhysRev.85.166</a>. <a href="/wiki/Bibcode" title="Bibcode">Bibcode</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://adsabs.harvard.edu/abs/1952PhRv...85..166B">1952PhRv...85..166B</a>.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=A+Suggested+Interpretation+of+the+Quantum+Theory+in+Terms+of+%E2%80%9EHidden+Variables%E2%80%9D%2C+I&rft.jtitle=%5B%5BPhysical+Review%5D%5D&rft.date=1952&rft.volume=85&rft.aulast=Bohm&rft.aufirst=David&rft.pages=166%E2%80%93179&rft_id=info:doi/10.1103%2FPhysRev.85.166"><span style="display: none;"> </span></span> („W przeciwieństwie do zwykłej interpretacji, alternatywna interpretacja pozwala nam pojmować każdy indywidualny układ jako znajdujący się w precyzyjnie zdefiniowanym stanie, którego zmiany w czasie są zdeterminowane precyzyjnymi prawami, analogicznymi (ale nie identycznymi) do klasycznych praw ruchu. Prawdopodobieństwa mechaniki kwantowej (jak ich statystyczny odpowiednik w mechanice klasycznej) rozważane są tylko jako praktyczna potrzeba, a nie wewnętrzny brak kompletnej determinacji we właściwościach materii na poziomie kwantowym”.).</span> </li> <li id="cite_note-tcm.phy.cam.ac--6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-tcm.phy.cam.ac-_6-0">↑</a></span> <span class="reference-text">John W.M. Bush: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~mdt26/tti_talks/deBB_10/bush_tti2010.pdf">Quantum mechanics writ large</a>. Department of Mathematics, <a href="/wiki/Massachusetts_Institute_of_Technology" title="Massachusetts Institute of Technology">MIT</a>. Data dostępu: 2015-02-17.</span> </li> <li id="cite_note-rspa.royalsocietypublishing--8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-rspa.royalsocietypublishing-_8-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Publikacje D. Bohma w 1952 i 1953 oraz J.-P. Vigiera w 1954 cytowane w: <cite class="citation journal">Antony Valentini, Hans Westman. <em>Dynamical origin of quantum probabilities</em>. „Proc. R. Soc. A”. 461 (2053), s. 253–272, 8 stycznia 2005. <a href="/wiki/DOI_(identyfikator_cyfrowy)" title="DOI (identyfikator cyfrowy)">DOI</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1098/rspa.2004.1394">10.1098/rspa.2004.1394</a>.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Dynamical+origin+of+quantum+probabilities&rft.jtitle=Proc.+R.+Soc.+A&rft.date=8+stycznia+2005&rft.volume=461&rft.issue=2053&rft.au=Antony+Valentini&rft.pages=253%E2%80%93272&rft_id=info:doi/10.1098%2Frspa.2004.1394"><span style="display: none;"> </span></span> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/461/2053/253.full.pdf#page=3">p. 254</a>.</span> </li> <li id="cite_note-doi10.1126/science.1202218-s1170-1173-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-doi10.1126/science.1202218-s1170-1173_9-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation journal">Sacha Kocsis, Boris Braverman, Sylvain Ravets, Martin J. Stevens, Richard P. Mirin, L. Krister Shalm, Aephraim M. 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=article&rft.atitle=Observing+the+Average+Trajectories+of+Single+Photons+in+a+Two-Slit+Interferometer&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.date=2011-06-03&rft.issn=0036-8075&rft.jtitle=Science&rft.volume=332&rft.edition=6034&rft_id=info%3Apmid%2F21636767&rft_id=info%3Adoi%2F10.1126%2Fscience.1202218" style="display:none"> </span> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-doi10.1088/0305-4470/35/47/311-s10117-10127-21"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-doi10.1088/0305-4470/35/47/311-s10117-10127_21-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation journal doi nourl"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Chris</span><span class="cite-name-initials" title="Chris" style="display:none">Ch.</span> </span><span class="cite-lastname">Dewdney</span><span class="cite-name-after" 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=article&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.date=2002&rft.atitle=Relativistically+invariant+extension+of+the+de+Broglie+Bohm+theory+of+quantum+mechanics&rft.jtitle=Journal+of+Physics+A%3A+Mathematical+and+General&rft.volume=35&rft.edition=47&rft_id=info%3Adoi%2F10.1088%2F0305-4470%2F35%2F47%2F311" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-doi10.1088/0305-4470/37/49/011-s11935-11943-22"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-doi10.1088/0305-4470/37/49/011-s11935-11943_22-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation journal doi nourl"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Chris</span><span class="cite-name-initials" title="Chris" style="display:none">Ch.</span> </span><span class="cite-lastname">Dewdney</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Chris</span><span class="cite-name-initials" 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=article&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.date=2004&rft.atitle=A+relativistically+covariant+version+of+Bohm%E2%80%99s+quantum+field+theory+for+the+scalar+field&rft.jtitle=Journal+of+Physics+A%3A+Mathematical+and+General&rft.volume=37&rft.edition=49&rft_id=info%3Adoi%2F10.1088%2F0305-4470%2F37%2F49%2F011" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-doi10.1007/s10701-010-9456-9-s658-678-23"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-doi10.1007/s10701-010-9456-9-s658-678_23-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation journal doi nourl"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Chris</span><span class="cite-name-initials" title="Chris" style="display:none">Ch.</span> </span><span class="cite-lastname">Dewdney</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Chris</span><span class="cite-name-initials" 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=article&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.date=2010&rft.atitle=A+relativistic+hidden-variable+interpretation+for+the+massive+vector+field+based+on+energy-momentum+flows&rft.jtitle=Foundations+of+Physics&rft.volume=40&rft.edition=6&rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2Fs10701-010-9456-9" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-doi10.1007/s10702-005-1128-1-s549-561-24"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-doi10.1007/s10702-005-1128-1-s549-561_24-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation journal doi nourl"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Hrvoje</span><span class="cite-name-initials" title="Hrvoje" style="display:none">H.</span> </span><span class="cite-lastname">Nikolić</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Hrvoje</span><span class="cite-name-initials" title="Hrvoje">H.</span></span>, 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<ul><li><cite class="citation open-access"><span class="cite-name-before"><span class="cite-name-full">Sheldon</span><span class="cite-name-initials" title="Sheldon" style="display:none">S.</span> </span><span class="cite-lastname">Goldstein</span><span class="cite-name-after" style="display:none"> <span class="cite-name-full">Sheldon</span><span class="cite-name-initials" title="Sheldon">S.</span></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://plato.stanford.edu/entries/qm-bohm/"><i>Bohmian Mechanics</i></a>, [w:] <a href="/wiki/Stanford_Encyclopedia_of_Philosophy" title="Stanford Encyclopedia of Philosophy">Stanford Encyclopedia of Philosophy</a>, CSLI, <a href="/wiki/Uniwersytet_Stanforda" title="Uniwersytet Stanforda">Stanford University</a>, 27 marca 2017<span class="issn">, <a href="/wiki/International_Standard_Serial_Number" title="International Standard Serial Number">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" 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Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Mechanika_kwantowa&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Mechanika_kwantowa" title="Mechanika kwantowa">Mechanika kwantowa</a></div><div class="mw-collapsible-content"><div class="hlist navbox-above above"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Wprowadzenie_do_mechaniki_kwantowej&action=edit&redlink=1" class="new" title="Wprowadzenie do mechaniki kwantowej (strona nie istnieje)">Wprowadzenie</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Aparat_matematyczny_mechaniki_kwantowej&action=edit&redlink=1" class="new" title="Aparat matematyczny mechaniki kwantowej (strona nie istnieje)">Aparat matematyczny</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Schr%C3%B6dingera" title="Równanie Schrödingera">Równanie Schrödingera</a></li></ul> </div><div class="flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">Tło</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Mechanika_klasyczna" title="Mechanika klasyczna">mechanika klasyczna</a></li> <li><a href="/wiki/Mechanika_kwantowa" title="Mechanika kwantowa">mechanika kwantowa</a></li> <li><a href="/wiki/Cia%C5%82o_doskonale_czarne" title="Ciało doskonale czarne">ciało doskonale czarne</a></li> <li><a href="/wiki/Wczesna_teoria_kwantowa" title="Wczesna teoria kwantowa">wczesna teoria kwantowa</a></li> <li><a href="/wiki/Interferencja" title="Interferencja">interferencja</a></li> <li><a href="/wiki/Notacja_Diraca" title="Notacja Diraca">notacja Diraca</a></li> <li><a href="/wiki/Hamiltonian" title="Hamiltonian">hamiltonian</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row">Koncepcje podstawowe</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Funkcja_falowa" title="Funkcja falowa">funkcja falowa</a></li> <li><a href="/wiki/Stan_kwantowy" title="Stan kwantowy">stan kwantowy</a></li> <li><a href="/wiki/Stan_podstawowy" title="Stan podstawowy">stan podstawowy</a></li> <li><a href="/wiki/Stan_stacjonarny_(fizyka)" title="Stan stacjonarny (fizyka)">stan stacjonarny</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_w%C5%82asne" title="Równanie własne">równanie własne</a></li> <li><a href="/wiki/Cz%C4%85stka_w_pudle_potencja%C5%82u" title="Cząstka w pudle potencjału">cząstka w pudle potencjału</a></li> <li><a href="/wiki/Cz%C4%85stki_identyczne" title="Cząstki identyczne">cząstki identyczne</a></li> <li><a href="/wiki/Kwantowy_oscylator_harmoniczny" title="Kwantowy oscylator harmoniczny">kwantowy oscylator harmoniczny</a></li> <li><a href="/wiki/Spin_(fizyka)" title="Spin (fizyka)">spin</a></li> <li><a href="/wiki/Superpozycja" title="Superpozycja">superpozycja</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_kwantowe" title="Liczby kwantowe">liczby kwantowe</a></li> <li><a href="/wiki/Stan_spl%C4%85tany" title="Stan splątany">splątanie kwantowe</a></li> <li><a href="/wiki/Pomiar_w_mechanice_kwantowej" title="Pomiar w mechanice kwantowej">pomiar</a></li> <li><a href="/wiki/Zasada_nieoznaczono%C5%9Bci" title="Zasada nieoznaczoności">nieoznaczoność</a></li> <li><a href="/wiki/Regu%C5%82a_Pauliego" title="Reguła Pauliego">reguła Pauliego</a></li> <li><a href="/wiki/Dualizm_korpuskularno-falowy" title="Dualizm korpuskularno-falowy">dualizm korpuskularno-falowy</a></li> <li><a href="/wiki/Dekoherencja_kwantowa" title="Dekoherencja kwantowa">dekoherencja kwantowa</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Ehrenfesta" title="Twierdzenie Ehrenfesta">twierdzenie Ehrenfesta</a></li> <li><a href="/wiki/Zjawisko_tunelowe" title="Zjawisko tunelowe">tunelowanie</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row">Doświadczenia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Do%C5%9Bwiadczenie_Younga" title="Doświadczenie Younga">doświadczenie Younga</a></li> <li><a href="/wiki/Do%C5%9Bwiadczenie_Davissona_i_Germera" title="Doświadczenie Davissona i Germera">doświadczenie Davissona i Germera</a></li> <li><a href="/wiki/Eksperyment_Francka-Hertza" title="Eksperyment Francka-Hertza">doświadczenie Francka-Hertza</a></li> <li><a href="/wiki/Do%C5%9Bwiadczenie_Sterna-Gerlacha" title="Doświadczenie Sterna-Gerlacha">doświadczenie Sterna-Gerlacha</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Bella" title="Twierdzenie Bella">eksperymenty testujące twierdzenie Bella</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Do%C5%9Bwiadczenie_Poppera&action=edit&redlink=1" class="new" title="Doświadczenie Poppera (strona nie istnieje)">doświadczenie Poppera</a></li> <li><a href="/wiki/Kot_Schr%C3%B6dingera" title="Kot Schrödingera">kot Schrödingera</a></li> <li><a href="/wiki/Problem_testowania_bomb_Elitzura-Vaidmana" title="Problem testowania bomb Elitzura-Vaidmana">problem testowania bomb Elitzura-Vaidmana</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Gumka_kwantowa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Gumka kwantowa (strona nie istnieje)">gumka kwantowa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">Sformułowania</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Obrazy_w_mechanice_kwantowej#Obraz_Schrödingera" title="Obrazy w mechanice kwantowej">obraz Schrödingera</a></li> <li><a href="/wiki/Obrazy_w_mechanice_kwantowej#Obraz_Heisenberga" title="Obrazy w mechanice kwantowej">obraz Heisenberga</a></li> <li><a href="/wiki/Obrazy_w_mechanice_kwantowej#Obraz_Diraca_(Oddziaływania)" title="Obrazy w mechanice kwantowej">obraz Diraca</a></li> <li><a href="/wiki/Mechanika_macierzowa" title="Mechanika macierzowa">mechanika macierzowa</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Suma_po_historiach&action=edit&redlink=1" class="new" title="Suma po historiach (strona nie istnieje)">suma po historiach</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row">Równania</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Schr%C3%B6dingera" title="Równanie Schrödingera">równanie Schrödingera</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Pauliego" title="Równanie Pauliego">równanie Pauliego</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Kleina-Gordona" title="Równanie Kleina-Gordona">równanie Kleina-Gordona</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%B3wnanie_Diraca" title="Równanie Diraca">równanie Diraca</a></li> <li><a href="/wiki/Wz%C3%B3r_Rydberga" title="Wzór Rydberga">wzór Rydberga</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">Interpretacje</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%C5%9Awiadomo%C5%9B%C4%87_wywo%C5%82uje_kolaps&action=edit&redlink=1" class="new" title="Świadomość wywołuje kolaps (strona nie istnieje)">świadomość wywołuje kolaps</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%B3jne_historie_kwantowe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Spójne historie kwantowe (strona nie istnieje)">spójne historie kwantowe</a></li> <li><a href="/wiki/Kopenhaska_interpretacja_mechaniki_kwantowej" title="Kopenhaska interpretacja mechaniki kwantowej">kopenhaska</a></li> <li><a href="/wiki/Kwantowa_mechanika_statystyczna" title="Kwantowa mechanika statystyczna">statystyczna</a></li> <li><a href="/wiki/Teorie_zmiennych_ukrytych" title="Teorie zmiennych ukrytych">zmiennych ukrytych</a> <ul><li><a href="/wiki/Teoria_fali_pilotuj%C4%85cej" title="Teoria fali pilotującej">teoria fali pilotującej</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">de Broglie’a-Bohma</a></li></ul></li> <li><a href="/w/index.php?title=Interpretacja_wielu_%C5%9Bwiat%C3%B3w&action=edit&redlink=1" class="new" title="Interpretacja wielu światów (strona nie istnieje)">wielu światów</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Logika_kwantowa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Logika kwantowa (strona nie istnieje)">logika kwantowa</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Teoria_obiektywnego_za%C5%82amania&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teoria obiektywnego załamania (strona nie istnieje)">obiektywnego załamania</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Prawdopodobie%C5%84stwo_kwantowe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Prawdopodobieństwo kwantowe (strona nie istnieje)">prawdopodobieństwo kwantowe</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Relacyjna_mechanika_kwantowa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Relacyjna mechanika kwantowa (strona nie istnieje)">relacyjna</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Stochastyczna_interpretacja_mechaniki_kwantowej&action=edit&redlink=1" class="new" title="Stochastyczna interpretacja mechaniki kwantowej (strona nie istnieje)">stochastyczna</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Transakcjonalna_interpretacja_mechaniki_kwantowej&action=edit&redlink=1" class="new" title="Transakcjonalna interpretacja mechaniki kwantowej (strona nie istnieje)">transakcjonalna</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row">Zagadnienia zaawansowane</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Informatyka_kwantowa" title="Informatyka kwantowa">informatyka kwantowa</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Teoria_rozpraszania&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teoria rozpraszania (strona nie istnieje)">teoria rozpraszania</a></li> <li><a href="/wiki/Kwantowa_teoria_pola" title="Kwantowa teoria pola">kwantowa teoria pola</a></li> <li><a href="/wiki/Operatory_kreacji_i_anihilacji" title="Operatory kreacji i anihilacji">operatory kreacji i anihilacji</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Chaos_kwantowy&action=edit&redlink=1" class="new" title="Chaos kwantowy (strona nie istnieje)">chaos kwantowy</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row">Znani uczeni</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Max_Planck" title="Max Planck">Planck</a></li> <li><a href="/wiki/Niels_Bohr" title="Niels Bohr">Bohr</a></li> <li><a href="/wiki/Arnold_Sommerfeld" title="Arnold Sommerfeld">Sommerfeld</a></li> <li><a href="/wiki/Satyendra_Nath_Bose" title="Satyendra Nath Bose">Bose</a></li> <li><a href="/wiki/Hendrik_Anthony_Kramers" title="Hendrik Anthony Kramers">Kramers</a></li> <li><a href="/wiki/Werner_Heisenberg" title="Werner Heisenberg">Heisenberg</a></li> <li><a href="/wiki/Max_Born" title="Max Born">Born</a></li> <li><a href="/wiki/Pascual_Jordan" title="Pascual Jordan">Jordan</a></li> <li><a href="/wiki/Wolfgang_Pauli" title="Wolfgang Pauli">Pauli</a></li> <li><a href="/wiki/Paul_Dirac" title="Paul Dirac">Dirac</a></li> <li><a href="/wiki/Louis_de_Broglie" title="Louis de Broglie">de Broglie</a></li> <li><a href="/wiki/Erwin_Schr%C3%B6dinger" title="Erwin Schrödinger">Schrödinger</a></li> <li><a href="/wiki/John_von_Neumann" title="John von Neumann">von Neumann</a></li> <li><a href="/wiki/Eugene_Wigner" title="Eugene Wigner">Wigner</a></li> <li><a href="/wiki/Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Feynman</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=David_John_Candlin&action=edit&redlink=1" class="new" title="David John Candlin (strona nie istnieje)">Candlin</a></li> <li><a href="/wiki/David_Bohm" title="David Bohm">Bohm</a></li> <li><a href="/wiki/Hugh_Everett" title="Hugh Everett">Everett</a></li> <li><a href="/wiki/John_Stewart_Bell" title="John Stewart Bell">Bell</a></li> <li><a href="/wiki/Wilhelm_Wien" title="Wilhelm Wien">Wien</a></li></ul> </td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <div style="text-align: center"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle 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.5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-fehlt"><div><a href="/wiki/Kontrola_autorytatywna" title="Kontrola autorytatywna">Kontrola autorytatywna</a> (<span class="description">interpretacje mechaniki kwantowej</span>):</div><ul><li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4414469-6">4414469-6</a></span></li></ul></div><div class="normdaten-andere"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a>:</div> <ul><li><a href="/wiki/Stanford_Encyclopedia_of_Philosophy" title="Stanford Encyclopedia of Philosophy">SEP</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://plato.stanford.edu/entries/qm-bohm/">qm-bohm</a></span></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie’a-Bohma&oldid=74524329">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Teoria_de_Broglie’a-Bohma&oldid=74524329</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategoria</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Interpretacje_mechaniki_kwantowej" title="Kategoria:Interpretacje mechaniki kwantowej">Interpretacje mechaniki kwantowej</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Ukryte kategorie: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Szablon_cytowania_ksi%C4%85%C5%BCki_%E2%80%93_brak_numeru_strony" title="Kategoria:Szablon cytowania książki – brak numeru strony">Szablon cytowania książki – brak numeru strony</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Szablon_cytowania_u%C5%BCywa_p%C3%B3l_opisowych" title="Kategoria:Szablon cytowania używa pól opisowych">Szablon cytowania używa pól opisowych</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Szablon_cytowania_zamieni%C5%82_nazw%C4%99_czasopisma" title="Kategoria:Szablon cytowania zamienił nazwę czasopisma">Szablon cytowania zamienił nazwę czasopisma</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Zal%C4%85%C5%BCki_sekcji_artyku%C5%82%C3%B3w" title="Kategoria:Zalążki sekcji artykułów">Zalążki sekcji artykułów</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 11 sie 2024, 17:53.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. 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Teoria de Broglie’a-Bohma – Wikipedia, wolna encyklopedia