CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html lang="en"> <head> <meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="content-type"/> <title>Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems</title>  <meta content="width=device-width, initial-scale=1, shrink-to-fit=no" name="viewport"/> <link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/css/bootstrap.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/ar5iv-fonts.0.7.9.min.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <link href="/static/browse/0.3.4/css/latexml_styles.css" rel="stylesheet" type="text/css"/> <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/bootstrap@5.3.0/dist/js/bootstrap.bundle.min.js"></script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/html2canvas/1.3.3/html2canvas.min.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/addons_new.js"></script> <script src="/static/browse/0.3.4/js/feedbackOverlay.js"></script> <base href="/html/2503.14222v1/"/></head> <body> <nav class="ltx_page_navbar"> <nav class="ltx_TOC"> <ol class="ltx_toclist"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S1" title="In Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">I </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">INTRODUCTION</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2" title="In Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">II </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Background on problem statement</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"> <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S3" title="In Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">III </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Methodology</span></span></a> <ol class="ltx_toclist ltx_toclist_section"> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S3.SS1" title="In III Methodology ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Classical PINN</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S3.SS2" title="In III Methodology ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Residual PINN</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_subsection"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S3.SS3" title="In III Methodology ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref"><span class="ltx_text">III-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic">Stacked residual PINN and vanishing viscosity approach</span></span></a></li> </ol> </li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S4" title="In Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">IV </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Results</span></span></a></li> <li class="ltx_tocentry ltx_tocentry_section"><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S5" title="In Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_title"><span class="ltx_tag ltx_tag_ref">V </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps">Conclusion and future works</span></span></a></li> </ol></nav> </nav> <div class="ltx_page_main"> <div class="ltx_page_content"> <article class="ltx_document ltx_authors_1line"> <h1 class="ltx_title ltx_font_bold ltx_title_document" style="font-size:173%;">Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems </h1> <div class="ltx_authors"> <span class="ltx_creator ltx_role_author"> <span class="ltx_personname">Katayoun Eshkofti and Matthieu Barreau </span><span class="ltx_author_notes">This work is partially supported by the Wallenberg AI, Autonomous Systems and Software Program (WASP) funded by the Knut and Alice Wallenberg Foundation and Digital Futures.K. Eshkofti and M. Barreau are with the Division of Decision and Control Systems, Digital Futures, KTH Royal Institute of Technology, SE-100 44 Stockholm, Sweden <span class="ltx_text ltx_font_typewriter" id="id2.1.id1" style="font-size:90%;">{eshkofti,barreau}@kth.se</span></span></span> </div> <div class="ltx_abstract"> <h6 class="ltx_title ltx_title_abstract">Abstract</h6> <p class="ltx_p" id="id1.1">In a more connected world, modeling multi-agent systems with hyperbolic partial differential equations (PDEs) offers a potential solution to the curse of dimensionality. However, classical control tools need adaptation for these complex systems. Physics-informed neural networks (PINNs) provide a powerful framework to fix this issue by inferring solutions to PDEs by embedding governing equations into the neural network. A major limitation of original PINNs is their inability to capture steep gradients and discontinuities in hyperbolic PDEs. This paper proposes a stacked residual PINN method enhanced with a vanishing viscosity mechanism. Initially, a basic PINN with a small viscosity coefficient provides a stable, low-fidelity solution. Residual correction blocks with learnable scaling parameters then iteratively refine this solution, progressively decreasing the viscosity coefficient to transition from parabolic to hyperbolic PDEs. Applying this method to traffic state reconstruction improved results by an order of magnitude in relative <math alttext="\mathcal{L}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="id1.1.m1.1"><semantics id="id1.1.m1.1a"><msup id="id1.1.m1.1.1" xref="id1.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="id1.1.m1.1.1.2" xref="id1.1.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mn id="id1.1.m1.1.1.3" xref="id1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="id1.1.m1.1b"><apply id="id1.1.m1.1.1.cmml" xref="id1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="id1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="id1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="id1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="id1.1.m1.1.1.2">ℒ</ci><cn id="id1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="id1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="id1.1.m1.1c">\mathcal{L}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="id1.1.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> error, demonstrating its potential to accurately estimate solutions where original PINNs struggle with instability and low fidelity.</p> </div> <section class="ltx_section" id="S1"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">I </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S1.1.1">INTRODUCTION</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S1.p1"> <p class="ltx_p" id="S1.p1.1">Quasi-linear Hyperbolic partial differential equations (PDEs) are crucial in modern control problems, emerging in a wide range of applications, from fluid dynamics to electrical energy transportation and traffic flow <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite>. A notable example is the role of the Hamilton-Jacobi equation in optimal and predictive control, highlighting the ubiquity of hyperbolic PDEs across both physical modeling and abstract optimization applications in control theory. State reconstruction and identification of systems governed by hyperbolic PDEs is of fundamental interest, as it allows for estimating the complete evolution of the system from partial and noisy observations. This capability is key for monitoring distributed systems and enables subsequent control.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p2"> <p class="ltx_p" id="S1.p2.1">However, model identification and state reconstruction for quasi-linear hyperbolic PDEs are challenging due to their nonlinear dynamics, discontinuities, non-uniqueness, and infinite-dimensional nature. Traditional model-based approaches typically require precise knowledge of the system model, low dimensionality, and favorable theoretical conditions to guarantee convergence, which are often difficult to ensure for complex systems. On the other hand, commonly used machine learning methods <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib2" title="">2</a>]</cite> require a large number of measurements, which often results in overfitting <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p3"> <p class="ltx_p" id="S1.p3.1">These issues encourage the investigation of learning-based approaches that handle model uncertainties and efficiently utilize data. To address this, the authors <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite> introduced physics-informed neural networks (PINNs), integrating governing equations directly within neural networks. By embedding physical models into the loss function and penalizing deviations, PINNs effectively learn solutions from sparse and noisy data. Specifically, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib5" title="">5</a>]</cite> demonstrated that PINNs simultaneously identify unknown model parameters, reconstruct traffic flow states from sparse vehicle data, and extend predictions. This reveals the potential of PINN-based approaches for state reconstruction in hyperbolic PDEs and serves as an incentive for the present research.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p4"> <p class="ltx_p" id="S1.p4.1">Since the original PINN development <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib4" title="">4</a>]</cite>, recent modifications have improved performance in complex scenarios. For example, <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite> proposed a multi-fidelity stacking approach, iteratively training a PINN to refine outputs progressively. Physics-informed residual adaptive networks employ projected input coordinates within residual blocks featuring adaptive skip connections to address deep multilayer perceptron derivative initialization issues <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib7" title="">7</a>]</cite>. Additionally, sequential and hierarchical PINN structures, such as multi-stage neural networks, have shown unique capabilities <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib8" title="">8</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p5"> <p class="ltx_p" id="S1.p5.1">Although recent studies suggest PINNs outperform traditional deep learning methods <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib9" title="">9</a>]</cite>, they have limitations, particularly for hyperbolic PDEs, where they struggle to capture sharp features like shocks or discontinuities <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>. Addressing these challenges motivates the development of more effective state estimation methods for hyperbolic PDEs. Moreover, no evidence demonstrates that PINN effectively learns the hyperbolic PDE underlying traffic state models with acceptable accuracy <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>, making this an open and intriguing research area in traffic control.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p6"> <p class="ltx_p" id="S1.p6.1">Our contribution is to address this issue by utilizing limited measurements through an effective combination of vanishing viscosity from applied mathematics, curriculum learning from machine learning, and stacked PINNs. This approach ensures convergence to the correct hyperbolic limit, improving accuracy by an order of magnitude compared to the original PINN.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p7"> <p class="ltx_p" id="S1.p7.1">This paper consists of five sections. Section 2 reviews hyperbolic PDE formulations and the role of vanishing viscosity in ensuring stable, unique solutions. Section 3 introduces the stacked residual PINN methodology, outlining its architecture and training with decreasing viscosity. Section 4 presents numerical experiments on traffic state reconstruction, highlighting shock-capturing capabilities and comparing performance with the original PINN. Section 5 concludes with key findings and future research directions.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S1.p8"> <p class="ltx_p" id="S1.p8.9"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S1.p8.9.1">Notation:</span> Let <math alttext="\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p8.1.m1.1"><semantics id="S1.p8.1.m1.1a"><mi id="S1.p8.1.m1.1.1" xref="S1.p8.1.m1.1.1.cmml">ℝ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p8.1.m1.1b"><ci id="S1.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S1.p8.1.m1.1.1">ℝ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p8.1.m1.1c">\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p8.1.m1.1d">blackboard_R</annotation></semantics></math> denote real numbers and <math alttext="\mathbb{R}^{+}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p8.2.m2.1"><semantics id="S1.p8.2.m2.1a"><msup id="S1.p8.2.m2.1.1" xref="S1.p8.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S1.p8.2.m2.1.1.2" xref="S1.p8.2.m2.1.1.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S1.p8.2.m2.1.1.3" xref="S1.p8.2.m2.1.1.3.cmml">+</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p8.2.m2.1b"><apply id="S1.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S1.p8.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S1.p8.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S1.p8.2.m2.1.1.2">ℝ</ci><plus id="S1.p8.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S1.p8.2.m2.1.1.3"></plus></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p8.2.m2.1c">\mathbb{R}^{+}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p8.2.m2.1d">blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> nonnegative real numbers. For differentiable single-variable functions, the prime notation <math alttext="f^{\prime}" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p8.3.m3.1"><semantics id="S1.p8.3.m3.1a"><msup id="S1.p8.3.m3.1.1" xref="S1.p8.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S1.p8.3.m3.1.1.2" xref="S1.p8.3.m3.1.1.2.cmml">f</mi><mo id="S1.p8.3.m3.1.1.3" xref="S1.p8.3.m3.1.1.3.cmml">′</mo></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p8.3.m3.1b"><apply id="S1.p8.3.m3.1.1.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p8.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1">superscript</csymbol><ci id="S1.p8.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.2">𝑓</ci><ci id="S1.p8.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S1.p8.3.m3.1.1.3">′</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p8.3.m3.1c">f^{\prime}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p8.3.m3.1d">italic_f start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> represents derivatives. Multivariate functions’ partial derivatives with respect to space and time are denoted by <math alttext="\partial f" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p8.4.m4.1"><semantics id="S1.p8.4.m4.1a"><mrow id="S1.p8.4.m4.1.1" xref="S1.p8.4.m4.1.1.cmml"><mo id="S1.p8.4.m4.1.1.1" rspace="0em" xref="S1.p8.4.m4.1.1.1.cmml">∂</mo><mi id="S1.p8.4.m4.1.1.2" xref="S1.p8.4.m4.1.1.2.cmml">f</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p8.4.m4.1b"><apply id="S1.p8.4.m4.1.1.cmml" xref="S1.p8.4.m4.1.1"><partialdiff id="S1.p8.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S1.p8.4.m4.1.1.1"></partialdiff><ci id="S1.p8.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S1.p8.4.m4.1.1.2">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p8.4.m4.1c">\partial f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p8.4.m4.1d">∂ italic_f</annotation></semantics></math> with corresponding subscripts. Moreover, <math alttext="C^{1}(\mathbb{R}^{+}\times\mathbb{R})" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p8.5.m5.1"><semantics id="S1.p8.5.m5.1a"><mrow id="S1.p8.5.m5.1.1" xref="S1.p8.5.m5.1.1.cmml"><msup id="S1.p8.5.m5.1.1.3" xref="S1.p8.5.m5.1.1.3.cmml"><mi id="S1.p8.5.m5.1.1.3.2" xref="S1.p8.5.m5.1.1.3.2.cmml">C</mi><mn id="S1.p8.5.m5.1.1.3.3" xref="S1.p8.5.m5.1.1.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S1.p8.5.m5.1.1.2" xref="S1.p8.5.m5.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.2" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.3" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml">×</mo><mi id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml">ℝ</mi></mrow><mo id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p8.5.m5.1b"><apply id="S1.p8.5.m5.1.1.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1"><times id="S1.p8.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.2"></times><apply id="S1.p8.5.m5.1.1.3.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p8.5.m5.1.1.3.1.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S1.p8.5.m5.1.1.3.2.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.3.2">𝐶</ci><cn id="S1.p8.5.m5.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S1.p8.5.m5.1.1.3.3">1</cn></apply><apply id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1"><times id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.2">ℝ</ci><plus id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.2.3"></plus></apply><ci id="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S1.p8.5.m5.1.1.1.1.1.3">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p8.5.m5.1c">C^{1}(\mathbb{R}^{+}\times\mathbb{R})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p8.5.m5.1d">italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT × blackboard_R )</annotation></semantics></math> denotes continuously differentiable functions on the given domain. <math alttext="L^{p}(\Lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p8.6.m6.1"><semantics id="S1.p8.6.m6.1a"><mrow id="S1.p8.6.m6.1.2" xref="S1.p8.6.m6.1.2.cmml"><msup id="S1.p8.6.m6.1.2.2" xref="S1.p8.6.m6.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p8.6.m6.1.2.2.2" xref="S1.p8.6.m6.1.2.2.2.cmml">L</mi><mi id="S1.p8.6.m6.1.2.2.3" xref="S1.p8.6.m6.1.2.2.3.cmml">p</mi></msup><mo id="S1.p8.6.m6.1.2.1" xref="S1.p8.6.m6.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p8.6.m6.1.2.3.2" xref="S1.p8.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S1.p8.6.m6.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p8.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p8.6.m6.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.p8.6.m6.1.1.cmml">Λ</mi><mo id="S1.p8.6.m6.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p8.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p8.6.m6.1b"><apply id="S1.p8.6.m6.1.2.cmml" xref="S1.p8.6.m6.1.2"><times id="S1.p8.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S1.p8.6.m6.1.2.1"></times><apply id="S1.p8.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S1.p8.6.m6.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p8.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p8.6.m6.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p8.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p8.6.m6.1.2.2.2">𝐿</ci><ci id="S1.p8.6.m6.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p8.6.m6.1.2.2.3">𝑝</ci></apply><ci id="S1.p8.6.m6.1.1.cmml" xref="S1.p8.6.m6.1.1">Λ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p8.6.m6.1c">L^{p}(\Lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p8.6.m6.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Λ )</annotation></semantics></math> and <math alttext="H^{k}(\Lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p8.7.m7.1"><semantics id="S1.p8.7.m7.1a"><mrow id="S1.p8.7.m7.1.2" xref="S1.p8.7.m7.1.2.cmml"><msup id="S1.p8.7.m7.1.2.2" xref="S1.p8.7.m7.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p8.7.m7.1.2.2.2" xref="S1.p8.7.m7.1.2.2.2.cmml">H</mi><mi id="S1.p8.7.m7.1.2.2.3" xref="S1.p8.7.m7.1.2.2.3.cmml">k</mi></msup><mo id="S1.p8.7.m7.1.2.1" xref="S1.p8.7.m7.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p8.7.m7.1.2.3.2" xref="S1.p8.7.m7.1.2.cmml"><mo id="S1.p8.7.m7.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p8.7.m7.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p8.7.m7.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.p8.7.m7.1.1.cmml">Λ</mi><mo id="S1.p8.7.m7.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p8.7.m7.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p8.7.m7.1b"><apply id="S1.p8.7.m7.1.2.cmml" xref="S1.p8.7.m7.1.2"><times id="S1.p8.7.m7.1.2.1.cmml" xref="S1.p8.7.m7.1.2.1"></times><apply id="S1.p8.7.m7.1.2.2.cmml" xref="S1.p8.7.m7.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p8.7.m7.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p8.7.m7.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p8.7.m7.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p8.7.m7.1.2.2.2">𝐻</ci><ci id="S1.p8.7.m7.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p8.7.m7.1.2.2.3">𝑘</ci></apply><ci id="S1.p8.7.m7.1.1.cmml" xref="S1.p8.7.m7.1.1">Λ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p8.7.m7.1c">H^{k}(\Lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p8.7.m7.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT italic_k end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Λ )</annotation></semantics></math> represent Lebesgue and Sobolev spaces, respectively. <math alttext="L^{\infty}(\Lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p8.8.m8.1"><semantics id="S1.p8.8.m8.1a"><mrow id="S1.p8.8.m8.1.2" xref="S1.p8.8.m8.1.2.cmml"><msup id="S1.p8.8.m8.1.2.2" xref="S1.p8.8.m8.1.2.2.cmml"><mi id="S1.p8.8.m8.1.2.2.2" xref="S1.p8.8.m8.1.2.2.2.cmml">L</mi><mi id="S1.p8.8.m8.1.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S1.p8.8.m8.1.2.2.3.cmml">∞</mi></msup><mo id="S1.p8.8.m8.1.2.1" xref="S1.p8.8.m8.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S1.p8.8.m8.1.2.3.2" xref="S1.p8.8.m8.1.2.cmml"><mo id="S1.p8.8.m8.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S1.p8.8.m8.1.2.cmml">(</mo><mi id="S1.p8.8.m8.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.p8.8.m8.1.1.cmml">Λ</mi><mo id="S1.p8.8.m8.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S1.p8.8.m8.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p8.8.m8.1b"><apply id="S1.p8.8.m8.1.2.cmml" xref="S1.p8.8.m8.1.2"><times id="S1.p8.8.m8.1.2.1.cmml" xref="S1.p8.8.m8.1.2.1"></times><apply id="S1.p8.8.m8.1.2.2.cmml" xref="S1.p8.8.m8.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S1.p8.8.m8.1.2.2.1.cmml" xref="S1.p8.8.m8.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S1.p8.8.m8.1.2.2.2.cmml" xref="S1.p8.8.m8.1.2.2.2">𝐿</ci><infinity id="S1.p8.8.m8.1.2.2.3.cmml" xref="S1.p8.8.m8.1.2.2.3"></infinity></apply><ci id="S1.p8.8.m8.1.1.cmml" xref="S1.p8.8.m8.1.1">Λ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p8.8.m8.1c">L^{\infty}(\Lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p8.8.m8.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Λ )</annotation></semantics></math> consists of essentially bounded functions on <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S1.p8.9.m9.1"><semantics id="S1.p8.9.m9.1a"><mi id="S1.p8.9.m9.1.1" mathvariant="normal" xref="S1.p8.9.m9.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S1.p8.9.m9.1b"><ci id="S1.p8.9.m9.1.1.cmml" xref="S1.p8.9.m9.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S1.p8.9.m9.1c">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S1.p8.9.m9.1d">roman_Λ</annotation></semantics></math>.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S2"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">II </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S2.1.1">Background on problem statement</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S2.p1"> <p class="ltx_p" id="S2.p1.2">The main goal of this paper is to find a solution <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.1.m1.1"><semantics id="S2.p1.1.m1.1a"><mi id="S2.p1.1.m1.1.1" xref="S2.p1.1.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.1.m1.1b"><ci id="S2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.1.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.1.m1.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.1.m1.1d">italic_u</annotation></semantics></math> to the following 1d quasi-linear hyperbolic PDE posed on the spatiotemporal domain <math alttext="\Lambda=[0,T]\times[0,L]\subset\mathbb{R}^{+}\times\mathbb{R}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.2.m2.4"><semantics id="S2.p1.2.m2.4a"><mrow id="S2.p1.2.m2.4.5" xref="S2.p1.2.m2.4.5.cmml"><mi id="S2.p1.2.m2.4.5.2" mathvariant="normal" xref="S2.p1.2.m2.4.5.2.cmml">Λ</mi><mo id="S2.p1.2.m2.4.5.3" xref="S2.p1.2.m2.4.5.3.cmml">=</mo><mrow id="S2.p1.2.m2.4.5.4" xref="S2.p1.2.m2.4.5.4.cmml"><mrow id="S2.p1.2.m2.4.5.4.2.2" xref="S2.p1.2.m2.4.5.4.2.1.cmml"><mo id="S2.p1.2.m2.4.5.4.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.2.m2.4.5.4.2.1.cmml">[</mo><mn id="S2.p1.2.m2.1.1" xref="S2.p1.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.p1.2.m2.4.5.4.2.2.2" xref="S2.p1.2.m2.4.5.4.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.2.m2.2.2" xref="S2.p1.2.m2.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.p1.2.m2.4.5.4.2.2.3" rspace="0.055em" stretchy="false" xref="S2.p1.2.m2.4.5.4.2.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.p1.2.m2.4.5.4.1" rspace="0.222em" xref="S2.p1.2.m2.4.5.4.1.cmml">×</mo><mrow id="S2.p1.2.m2.4.5.4.3.2" xref="S2.p1.2.m2.4.5.4.3.1.cmml"><mo id="S2.p1.2.m2.4.5.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.2.m2.4.5.4.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.p1.2.m2.3.3" xref="S2.p1.2.m2.3.3.cmml">0</mn><mo id="S2.p1.2.m2.4.5.4.3.2.2" xref="S2.p1.2.m2.4.5.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p1.2.m2.4.4" xref="S2.p1.2.m2.4.4.cmml">L</mi><mo id="S2.p1.2.m2.4.5.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.p1.2.m2.4.5.4.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p1.2.m2.4.5.5" xref="S2.p1.2.m2.4.5.5.cmml">⊂</mo><mrow id="S2.p1.2.m2.4.5.6" xref="S2.p1.2.m2.4.5.6.cmml"><msup id="S2.p1.2.m2.4.5.6.2" xref="S2.p1.2.m2.4.5.6.2.cmml"><mi id="S2.p1.2.m2.4.5.6.2.2" xref="S2.p1.2.m2.4.5.6.2.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S2.p1.2.m2.4.5.6.2.3" xref="S2.p1.2.m2.4.5.6.2.3.cmml">+</mo></msup><mo id="S2.p1.2.m2.4.5.6.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S2.p1.2.m2.4.5.6.1.cmml">×</mo><mi id="S2.p1.2.m2.4.5.6.3" xref="S2.p1.2.m2.4.5.6.3.cmml">ℝ</mi></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.2.m2.4b"><apply id="S2.p1.2.m2.4.5.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5"><and id="S2.p1.2.m2.4.5a.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5"></and><apply id="S2.p1.2.m2.4.5b.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5"><eq id="S2.p1.2.m2.4.5.3.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5.3"></eq><ci id="S2.p1.2.m2.4.5.2.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5.2">Λ</ci><apply id="S2.p1.2.m2.4.5.4.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5.4"><times id="S2.p1.2.m2.4.5.4.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5.4.1"></times><interval closure="closed" id="S2.p1.2.m2.4.5.4.2.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5.4.2.2"><cn id="S2.p1.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p1.2.m2.1.1">0</cn><ci id="S2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S2.p1.2.m2.2.2">𝑇</ci></interval><interval closure="closed" id="S2.p1.2.m2.4.5.4.3.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5.4.3.2"><cn id="S2.p1.2.m2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.2.m2.3.3">0</cn><ci id="S2.p1.2.m2.4.4.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.4">𝐿</ci></interval></apply></apply><apply id="S2.p1.2.m2.4.5c.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5"><subset id="S2.p1.2.m2.4.5.5.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5.5"></subset><share href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.p1.2.m2.4.5.4.cmml" id="S2.p1.2.m2.4.5d.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5"></share><apply id="S2.p1.2.m2.4.5.6.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5.6"><times id="S2.p1.2.m2.4.5.6.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5.6.1"></times><apply id="S2.p1.2.m2.4.5.6.2.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5.6.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.2.m2.4.5.6.2.1.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5.6.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p1.2.m2.4.5.6.2.2.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5.6.2.2">ℝ</ci><plus id="S2.p1.2.m2.4.5.6.2.3.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5.6.2.3"></plus></apply><ci id="S2.p1.2.m2.4.5.6.3.cmml" xref="S2.p1.2.m2.4.5.6.3">ℝ</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.2.m2.4c">\Lambda=[0,T]\times[0,L]\subset\mathbb{R}^{+}\times\mathbb{R}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.2.m2.4d">roman_Λ = [ 0 , italic_T ] × [ 0 , italic_L ] ⊂ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT × blackboard_R</annotation></semantics></math>:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{cases}\partial_{t}u+\partial_{x}f(u)=0,&(t,x)\in\Lambda,\\ u(0,x)=u_{0}(x),&x\in[0,L],\\ u(t,0)=u_{b}^{-}(t),\ u(t,L)=u_{b}^{+}(t),&t\in[0,T].\end{cases}" class="ltx_Math" display="block" id="S2.E1.m1.6"><semantics id="S2.E1.m1.6a"><mrow id="S2.E1.m1.6.6" xref="S2.E1.m1.6.7.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.6.6.7" xref="S2.E1.m1.6.7.1.1.cmml">{</mo><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S2.E1.m1.6.6.6" rowspacing="0pt" xref="S2.E1.m1.6.7.1.cmml"><mtr id="S2.E1.m1.6.6.6a" xref="S2.E1.m1.6.7.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E1.m1.6.6.6b" xref="S2.E1.m1.6.7.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml"><msub id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1.2.cmml">∂</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1.3.cmml">t</mi></msub><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml">u</mi></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml"><msub id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1.2.cmml">∂</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1.3.cmml">x</mi></msub><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.3.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml"><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml">=</mo><mn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E1.m1.6.6.6c" xref="S2.E1.m1.6.7.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2.2" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.2" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.cmml">∈</mo><mi id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.3" mathvariant="normal" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.3.cmml">Λ</mi></mrow><mo id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.2" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.E1.m1.6.6.6d" xref="S2.E1.m1.6.7.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E1.m1.6.6.6e" xref="S2.E1.m1.6.7.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.2" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.1" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.3.2" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.3.1.cmml">(</mo><mn id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.1" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.3.2.2" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.2" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.1" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.cmml"><msub id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2.2" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2.2.cmml">u</mi><mn id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2.3" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.1" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.3.2" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.cmml"><mo id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.3" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml">x</mi><mo id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.2" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E1.m1.6.6.6f" xref="S2.E1.m1.6.7.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.2" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.3.2" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.1" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.3.2.2" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.2" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.2.cmml">L</mi><mo id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.2" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S2.E1.m1.6.6.6g" xref="S2.E1.m1.6.7.1.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E1.m1.6.6.6h" xref="S2.E1.m1.6.7.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7" xref="S2.E1.m1.6.7.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.3.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.1" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.3.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mn id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.2.cmml">0</mn><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.1" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.cmml"><msubsup id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.2.3.cmml">b</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.3.cmml">−</mo></msubsup><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.1" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.cmml"><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.3" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml">t</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.3" rspace="0.667em" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.1" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.4" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.4.cmml">t</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.3.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.5" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.5.cmml">L</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.1" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.cmml"><msubsup id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.cmml"><mi id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.2.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.2.3.cmml">b</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.3" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.3.cmml">+</mo></msubsup><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.1" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.3.2" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.cmml"><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.6" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.6.cmml">t</mi><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.2" xref="S2.E1.m1.6.7.1.cmml">,</mo></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S2.E1.m1.6.6.6i" xref="S2.E1.m1.6.7.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.cmml"><mrow id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.cmml"><mi id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.2" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.2.cmml">t</mi><mo id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.1" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.3.2" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.3.1.cmml">[</mo><mn id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.1" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.3.2.2" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.2" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.2.cmml">T</mi><mo id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.2" lspace="0em" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E1.m1.6b"><apply id="S2.E1.m1.6.7.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6"><csymbol cd="latexml" id="S2.E1.m1.6.7.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.7">cases</csymbol><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2"><eq id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.1"></eq><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2"><plus id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.1"></plus><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2"><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1.2"></partialdiff><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.1.3">𝑡</ci></apply><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3"><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1.2"></partialdiff><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2"><times id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.1"></times><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.2.3.2.2">𝑓</ci><ci id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.1">𝑢</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.1.1.1.1.1.1.2.1.3">0</cn></apply><apply id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3"><in id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.1"></in><interval closure="open" id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.2.2"><ci id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.1">𝑡</ci><ci id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.2">𝑥</ci></interval><ci id="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.2.2.2.2.2.1.3.1.3">Λ</ci></apply><apply id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4"><eq id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.1"></eq><apply id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2"><times id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.1"></times><ci id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.2">𝑢</ci><interval closure="open" id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.2.3.2"><cn id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.1">0</cn><ci id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.2">𝑥</ci></interval></apply><apply id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3"><times id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.1"></times><apply id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2.2">𝑢</ci><cn id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.4.1.3.2.3">0</cn></apply><ci id="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.3.3.3.3.1.1.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3"><in id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.1"></in><ci id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.2">𝑥</ci><interval closure="closed" id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.3.1.3.2"><cn id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.1">0</cn><ci id="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.4.4.4.4.2.1.2">𝐿</ci></interval></apply><apply id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.3a.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1"><eq id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.1"></eq><apply id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2"><times id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.1"></times><ci id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.2">𝑢</ci><interval closure="open" id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.2.3.2"><ci id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.1">𝑡</ci><cn id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.2">0</cn></interval></apply><apply id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3"><times id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.1"></times><apply id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.2.3">𝑏</ci></apply><minus id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.1.1.3.2.3"></minus></apply><ci id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2"><eq id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.1"></eq><apply id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2"><times id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.1"></times><ci id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.2">𝑢</ci><interval closure="open" id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.2.3.2"><ci id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.4.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.4">𝑡</ci><ci id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.5.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.5">𝐿</ci></interval></apply><apply id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3"><times id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.1"></times><apply id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.2.3">𝑏</ci></apply><plus id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.3.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.7.1.2.2.3.2.3"></plus></apply><ci id="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.6.cmml" xref="S2.E1.m1.5.5.5.5.1.1.6">𝑡</ci></apply></apply></apply><apply id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3"><in id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.1"></in><ci id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.2">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.3.1.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.3.1.3.2"><cn id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.1">0</cn><ci id="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.2.cmml" xref="S2.E1.m1.6.6.6.6.2.1.2">𝑇</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E1.m1.6c">\begin{cases}\partial_{t}u+\partial_{x}f(u)=0,&(t,x)\in\Lambda,\\ u(0,x)=u_{0}(x),&x\in[0,L],\\ u(t,0)=u_{b}^{-}(t),\ u(t,L)=u_{b}^{+}(t),&t\in[0,T].\end{cases}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E1.m1.6d">{ start_ROW start_CELL ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_u + ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_u ) = 0 , end_CELL start_CELL ( italic_t , italic_x ) ∈ roman_Λ , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_u ( 0 , italic_x ) = italic_u start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x ) , end_CELL start_CELL italic_x ∈ [ 0 , italic_L ] , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL italic_u ( italic_t , 0 ) = italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT - end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) , italic_u ( italic_t , italic_L ) = italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT + end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t ) , end_CELL start_CELL italic_t ∈ [ 0 , italic_T ] . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(1)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p1.11">Here, <math alttext="u_{0}(x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.3.m1.1"><semantics id="S2.p1.3.m1.1a"><mrow id="S2.p1.3.m1.1.2" xref="S2.p1.3.m1.1.2.cmml"><msub id="S2.p1.3.m1.1.2.2" xref="S2.p1.3.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.p1.3.m1.1.2.2.2" xref="S2.p1.3.m1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mn id="S2.p1.3.m1.1.2.2.3" xref="S2.p1.3.m1.1.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S2.p1.3.m1.1.2.1" xref="S2.p1.3.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.3.m1.1.2.3.2" xref="S2.p1.3.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.p1.3.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.3.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.3.m1.1.1" xref="S2.p1.3.m1.1.1.cmml">x</mi><mo id="S2.p1.3.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.3.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.3.m1.1b"><apply id="S2.p1.3.m1.1.2.cmml" xref="S2.p1.3.m1.1.2"><times id="S2.p1.3.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.3.m1.1.2.1"></times><apply id="S2.p1.3.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.3.m1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.3.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.3.m1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.3.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.3.m1.1.2.2.2">𝑢</ci><cn id="S2.p1.3.m1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.3.m1.1.2.2.3">0</cn></apply><ci id="S2.p1.3.m1.1.1.cmml" xref="S2.p1.3.m1.1.1">𝑥</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.3.m1.1c">u_{0}(x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.3.m1.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_x )</annotation></semantics></math> and <math alttext="u_{b}^{\pm}(t)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.4.m2.1"><semantics id="S2.p1.4.m2.1a"><mrow id="S2.p1.4.m2.1.2" xref="S2.p1.4.m2.1.2.cmml"><msubsup id="S2.p1.4.m2.1.2.2" xref="S2.p1.4.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S2.p1.4.m2.1.2.2.2.2" xref="S2.p1.4.m2.1.2.2.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.p1.4.m2.1.2.2.2.3" xref="S2.p1.4.m2.1.2.2.2.3.cmml">b</mi><mo id="S2.p1.4.m2.1.2.2.3" xref="S2.p1.4.m2.1.2.2.3.cmml">±</mo></msubsup><mo id="S2.p1.4.m2.1.2.1" xref="S2.p1.4.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.4.m2.1.2.3.2" xref="S2.p1.4.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.p1.4.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.4.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.4.m2.1.1" xref="S2.p1.4.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S2.p1.4.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.4.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.4.m2.1b"><apply id="S2.p1.4.m2.1.2.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.2"><times id="S2.p1.4.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.2.1"></times><apply id="S2.p1.4.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.4.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.2.2">superscript</csymbol><apply id="S2.p1.4.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.4.m2.1.2.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.4.m2.1.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.2.2.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.p1.4.m2.1.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.2.2.2.3">𝑏</ci></apply><csymbol cd="latexml" id="S2.p1.4.m2.1.2.2.3.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.2.2.3">plus-or-minus</csymbol></apply><ci id="S2.p1.4.m2.1.1.cmml" xref="S2.p1.4.m2.1.1">𝑡</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.4.m2.1c">u_{b}^{\pm}(t)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.4.m2.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_b end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ± end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t )</annotation></semantics></math> represent initial and boundary data, respectively. Additionally, suitable boundary conditions should be defined for the PDE in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) to be well-posed <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite>. It is assumed that <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.5.m3.1"><semantics id="S2.p1.5.m3.1a"><mi id="S2.p1.5.m3.1.1" xref="S2.p1.5.m3.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.5.m3.1b"><ci id="S2.p1.5.m3.1.1.cmml" xref="S2.p1.5.m3.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.5.m3.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.5.m3.1d">italic_f</annotation></semantics></math> is a smooth flux function, at least <math alttext="f\in C^{2}(\mathbb{R})" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.6.m4.1"><semantics id="S2.p1.6.m4.1a"><mrow id="S2.p1.6.m4.1.2" xref="S2.p1.6.m4.1.2.cmml"><mi id="S2.p1.6.m4.1.2.2" xref="S2.p1.6.m4.1.2.2.cmml">f</mi><mo id="S2.p1.6.m4.1.2.1" xref="S2.p1.6.m4.1.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S2.p1.6.m4.1.2.3" xref="S2.p1.6.m4.1.2.3.cmml"><msup id="S2.p1.6.m4.1.2.3.2" xref="S2.p1.6.m4.1.2.3.2.cmml"><mi id="S2.p1.6.m4.1.2.3.2.2" xref="S2.p1.6.m4.1.2.3.2.2.cmml">C</mi><mn id="S2.p1.6.m4.1.2.3.2.3" xref="S2.p1.6.m4.1.2.3.2.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.p1.6.m4.1.2.3.1" xref="S2.p1.6.m4.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.6.m4.1.2.3.3.2" xref="S2.p1.6.m4.1.2.3.cmml"><mo id="S2.p1.6.m4.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.6.m4.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.6.m4.1.1" xref="S2.p1.6.m4.1.1.cmml">ℝ</mi><mo id="S2.p1.6.m4.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.6.m4.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.6.m4.1b"><apply id="S2.p1.6.m4.1.2.cmml" xref="S2.p1.6.m4.1.2"><in id="S2.p1.6.m4.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.6.m4.1.2.1"></in><ci id="S2.p1.6.m4.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.6.m4.1.2.2">𝑓</ci><apply id="S2.p1.6.m4.1.2.3.cmml" xref="S2.p1.6.m4.1.2.3"><times id="S2.p1.6.m4.1.2.3.1.cmml" xref="S2.p1.6.m4.1.2.3.1"></times><apply id="S2.p1.6.m4.1.2.3.2.cmml" xref="S2.p1.6.m4.1.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.6.m4.1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.p1.6.m4.1.2.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p1.6.m4.1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.p1.6.m4.1.2.3.2.2">𝐶</ci><cn id="S2.p1.6.m4.1.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.6.m4.1.2.3.2.3">2</cn></apply><ci id="S2.p1.6.m4.1.1.cmml" xref="S2.p1.6.m4.1.1">ℝ</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.6.m4.1c">f\in C^{2}(\mathbb{R})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.6.m4.1d">italic_f ∈ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R )</annotation></semantics></math>, so that the PDE is strictly hyperbolic. Moreover, to ensure that the mapping <math alttext="u\mapsto f(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.7.m5.1"><semantics id="S2.p1.7.m5.1a"><mrow id="S2.p1.7.m5.1.2" xref="S2.p1.7.m5.1.2.cmml"><mi id="S2.p1.7.m5.1.2.2" xref="S2.p1.7.m5.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S2.p1.7.m5.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.7.m5.1.2.1.cmml">↦</mo><mrow id="S2.p1.7.m5.1.2.3" xref="S2.p1.7.m5.1.2.3.cmml"><mi id="S2.p1.7.m5.1.2.3.2" xref="S2.p1.7.m5.1.2.3.2.cmml">f</mi><mo id="S2.p1.7.m5.1.2.3.1" xref="S2.p1.7.m5.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.7.m5.1.2.3.3.2" xref="S2.p1.7.m5.1.2.3.cmml"><mo id="S2.p1.7.m5.1.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.7.m5.1.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.7.m5.1.1" xref="S2.p1.7.m5.1.1.cmml">u</mi><mo id="S2.p1.7.m5.1.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.7.m5.1.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.7.m5.1b"><apply id="S2.p1.7.m5.1.2.cmml" xref="S2.p1.7.m5.1.2"><csymbol cd="latexml" id="S2.p1.7.m5.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.7.m5.1.2.1">maps-to</csymbol><ci id="S2.p1.7.m5.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.7.m5.1.2.2">𝑢</ci><apply id="S2.p1.7.m5.1.2.3.cmml" xref="S2.p1.7.m5.1.2.3"><times id="S2.p1.7.m5.1.2.3.1.cmml" xref="S2.p1.7.m5.1.2.3.1"></times><ci id="S2.p1.7.m5.1.2.3.2.cmml" xref="S2.p1.7.m5.1.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S2.p1.7.m5.1.1.cmml" xref="S2.p1.7.m5.1.1">𝑢</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.7.m5.1c">u\mapsto f(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.7.m5.1d">italic_u ↦ italic_f ( italic_u )</annotation></semantics></math> remains within <math alttext="H^{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.8.m6.1"><semantics id="S2.p1.8.m6.1a"><msup id="S2.p1.8.m6.1.1" xref="S2.p1.8.m6.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.8.m6.1.1.2" xref="S2.p1.8.m6.1.1.2.cmml">H</mi><mn id="S2.p1.8.m6.1.1.3" xref="S2.p1.8.m6.1.1.3.cmml">1</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.8.m6.1b"><apply id="S2.p1.8.m6.1.1.cmml" xref="S2.p1.8.m6.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.8.m6.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.8.m6.1.1">superscript</csymbol><ci id="S2.p1.8.m6.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.8.m6.1.1.2">𝐻</ci><cn id="S2.p1.8.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.8.m6.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.8.m6.1c">H^{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.8.m6.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and to bound characteristic speeds, it is assumed that <math alttext="f" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.9.m7.1"><semantics id="S2.p1.9.m7.1a"><mi id="S2.p1.9.m7.1.1" xref="S2.p1.9.m7.1.1.cmml">f</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.9.m7.1b"><ci id="S2.p1.9.m7.1.1.cmml" xref="S2.p1.9.m7.1.1">𝑓</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.9.m7.1c">f</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.9.m7.1d">italic_f</annotation></semantics></math> is globally Lipschitz or has at most polynomial growth. Additionally, the initial data <math alttext="u_{0}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.10.m8.1"><semantics id="S2.p1.10.m8.1a"><msub id="S2.p1.10.m8.1.1" xref="S2.p1.10.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.p1.10.m8.1.1.2" xref="S2.p1.10.m8.1.1.2.cmml">u</mi><mn id="S2.p1.10.m8.1.1.3" xref="S2.p1.10.m8.1.1.3.cmml">0</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.10.m8.1b"><apply id="S2.p1.10.m8.1.1.cmml" xref="S2.p1.10.m8.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.10.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.p1.10.m8.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p1.10.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.p1.10.m8.1.1.2">𝑢</ci><cn id="S2.p1.10.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.10.m8.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.10.m8.1c">u_{0}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.10.m8.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is assumed to belong to a Sobolev space such as <math alttext="H^{1}(\Lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p1.11.m9.1"><semantics id="S2.p1.11.m9.1a"><mrow id="S2.p1.11.m9.1.2" xref="S2.p1.11.m9.1.2.cmml"><msup id="S2.p1.11.m9.1.2.2" xref="S2.p1.11.m9.1.2.2.cmml"><mi id="S2.p1.11.m9.1.2.2.2" xref="S2.p1.11.m9.1.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="S2.p1.11.m9.1.2.2.3" xref="S2.p1.11.m9.1.2.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.p1.11.m9.1.2.1" xref="S2.p1.11.m9.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p1.11.m9.1.2.3.2" xref="S2.p1.11.m9.1.2.cmml"><mo id="S2.p1.11.m9.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p1.11.m9.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p1.11.m9.1.1" mathvariant="normal" xref="S2.p1.11.m9.1.1.cmml">Λ</mi><mo id="S2.p1.11.m9.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p1.11.m9.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p1.11.m9.1b"><apply id="S2.p1.11.m9.1.2.cmml" xref="S2.p1.11.m9.1.2"><times id="S2.p1.11.m9.1.2.1.cmml" xref="S2.p1.11.m9.1.2.1"></times><apply id="S2.p1.11.m9.1.2.2.cmml" xref="S2.p1.11.m9.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p1.11.m9.1.2.2.1.cmml" xref="S2.p1.11.m9.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p1.11.m9.1.2.2.2.cmml" xref="S2.p1.11.m9.1.2.2.2">𝐻</ci><cn id="S2.p1.11.m9.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.p1.11.m9.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S2.p1.11.m9.1.1.cmml" xref="S2.p1.11.m9.1.1">Λ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p1.11.m9.1c">H^{1}(\Lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p1.11.m9.1d">italic_H start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Λ )</annotation></semantics></math> and to satisfy compatibility conditions with the boundary data.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p2"> <p class="ltx_p" id="S2.p2.3">Since hyperbolic solutions can develop discontinuities in finite time, we can only investigate weak solutions, which belong to a distribution space <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite>. However, these weak solutions are not necessarily unique unless an entropy condition is imposed. A major theoretical challenge is therefore to prove the existence of weak entropic solutions. To this end, a convex entropy function <math alttext="\eta(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.1.m1.1"><semantics id="S2.p2.1.m1.1a"><mrow id="S2.p2.1.m1.1.2" xref="S2.p2.1.m1.1.2.cmml"><mi id="S2.p2.1.m1.1.2.2" xref="S2.p2.1.m1.1.2.2.cmml">η</mi><mo id="S2.p2.1.m1.1.2.1" xref="S2.p2.1.m1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.1.m1.1.2.3.2" xref="S2.p2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S2.p2.1.m1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.1.m1.1.1" xref="S2.p2.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S2.p2.1.m1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.1.m1.1b"><apply id="S2.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.2"><times id="S2.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.2.1"></times><ci id="S2.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.2.2">𝜂</ci><ci id="S2.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p2.1.m1.1.1">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.1.m1.1c">\eta(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.1.m1.1d">italic_η ( italic_u )</annotation></semantics></math> is chosen, and an associated entropy flux <math alttext="q(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.2.m2.1"><semantics id="S2.p2.2.m2.1a"><mrow id="S2.p2.2.m2.1.2" xref="S2.p2.2.m2.1.2.cmml"><mi id="S2.p2.2.m2.1.2.2" xref="S2.p2.2.m2.1.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.p2.2.m2.1.2.1" xref="S2.p2.2.m2.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.2.m2.1.2.3.2" xref="S2.p2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S2.p2.2.m2.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.2.m2.1.1" xref="S2.p2.2.m2.1.1.cmml">u</mi><mo id="S2.p2.2.m2.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.2.m2.1b"><apply id="S2.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.2"><times id="S2.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.2.1"></times><ci id="S2.p2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.2.2">𝑞</ci><ci id="S2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p2.2.m2.1.1">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.2.m2.1c">q(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.2.m2.1d">italic_q ( italic_u )</annotation></semantics></math> is determined based on the compatibility condition outlined as <math alttext="q^{\prime}(u)=\eta^{\prime}(u)f^{\prime}(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p2.3.m3.3"><semantics id="S2.p2.3.m3.3a"><mrow id="S2.p2.3.m3.3.4" xref="S2.p2.3.m3.3.4.cmml"><mrow id="S2.p2.3.m3.3.4.2" xref="S2.p2.3.m3.3.4.2.cmml"><msup id="S2.p2.3.m3.3.4.2.2" xref="S2.p2.3.m3.3.4.2.2.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.3.4.2.2.2" xref="S2.p2.3.m3.3.4.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="S2.p2.3.m3.3.4.2.2.3" xref="S2.p2.3.m3.3.4.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.p2.3.m3.3.4.2.1" xref="S2.p2.3.m3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.3.m3.3.4.2.3.2" xref="S2.p2.3.m3.3.4.2.cmml"><mo id="S2.p2.3.m3.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.3.m3.1.1" xref="S2.p2.3.m3.1.1.cmml">u</mi><mo id="S2.p2.3.m3.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p2.3.m3.3.4.1" xref="S2.p2.3.m3.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="S2.p2.3.m3.3.4.3" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.cmml"><msup id="S2.p2.3.m3.3.4.3.2" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.2.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.3.4.3.2.2" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="S2.p2.3.m3.3.4.3.2.3" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.p2.3.m3.3.4.3.1" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.3.m3.3.4.3.3.2" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.cmml"><mo id="S2.p2.3.m3.3.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.3.m3.2.2" xref="S2.p2.3.m3.2.2.cmml">u</mi><mo id="S2.p2.3.m3.3.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="S2.p2.3.m3.3.4.3.1a" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="S2.p2.3.m3.3.4.3.4" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.4.cmml"><mi id="S2.p2.3.m3.3.4.3.4.2" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.4.2.cmml">f</mi><mo id="S2.p2.3.m3.3.4.3.4.3" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.4.3.cmml">′</mo></msup><mo id="S2.p2.3.m3.3.4.3.1b" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p2.3.m3.3.4.3.5.2" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.cmml"><mo id="S2.p2.3.m3.3.4.3.5.2.1" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.cmml">(</mo><mi id="S2.p2.3.m3.3.3" xref="S2.p2.3.m3.3.3.cmml">u</mi><mo id="S2.p2.3.m3.3.4.3.5.2.2" stretchy="false" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p2.3.m3.3b"><apply id="S2.p2.3.m3.3.4.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4"><eq id="S2.p2.3.m3.3.4.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.1"></eq><apply id="S2.p2.3.m3.3.4.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.2"><times id="S2.p2.3.m3.3.4.2.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.2.1"></times><apply id="S2.p2.3.m3.3.4.2.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.3.m3.3.4.2.2.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.3.m3.3.4.2.2.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.2.2.2">𝑞</ci><ci id="S2.p2.3.m3.3.4.2.2.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.2.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.1.1">𝑢</ci></apply><apply id="S2.p2.3.m3.3.4.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3"><times id="S2.p2.3.m3.3.4.3.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.1"></times><apply id="S2.p2.3.m3.3.4.3.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.3.m3.3.4.3.2.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.2">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.3.m3.3.4.3.2.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.2.2">𝜂</ci><ci id="S2.p2.3.m3.3.4.3.2.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.2.3">′</ci></apply><ci id="S2.p2.3.m3.2.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.2.2">𝑢</ci><apply id="S2.p2.3.m3.3.4.3.4.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p2.3.m3.3.4.3.4.1.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.4">superscript</csymbol><ci id="S2.p2.3.m3.3.4.3.4.2.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.4.2">𝑓</ci><ci id="S2.p2.3.m3.3.4.3.4.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.4.3.4.3">′</ci></apply><ci id="S2.p2.3.m3.3.3.cmml" xref="S2.p2.3.m3.3.3">𝑢</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p2.3.m3.3c">q^{\prime}(u)=\eta^{\prime}(u)f^{\prime}(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p2.3.m3.3d">italic_q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_u ) = italic_η start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_u ) italic_f start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_u )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p3"> <p class="ltx_p" id="S2.p3.1">A weak solution is then called entropy-admissible, provided that, in addition to satisfying the weak form of the conservation law, it also satisfies the entropy inequality ruled by <math alttext="\eta(u)_{t}+q(u)_{x}\leq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p3.1.m1.2"><semantics id="S2.p3.1.m1.2a"><mrow id="S2.p3.1.m1.2.3" xref="S2.p3.1.m1.2.3.cmml"><mrow id="S2.p3.1.m1.2.3.2" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.cmml"><mrow id="S2.p3.1.m1.2.3.2.2" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.cmml"><mi id="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.2" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.2.cmml">η</mi><mo id="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.1" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3.cmml"><mrow id="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3.2.2" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3.cmml"><mo id="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S2.p3.1.m1.1.1" xref="S2.p3.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3.3" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3.3.cmml">t</mi></msub></mrow><mo id="S2.p3.1.m1.2.3.2.1" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S2.p3.1.m1.2.3.2.3" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.cmml"><mi id="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.2" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.2.cmml">q</mi><mo id="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.1" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><msub id="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3.cmml"><mrow id="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3.2.2" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3.cmml"><mo id="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3.cmml">(</mo><mi id="S2.p3.1.m1.2.2" xref="S2.p3.1.m1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3.2.2.2" stretchy="false" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3.cmml">)</mo></mrow><mi id="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3.3" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3.3.cmml">x</mi></msub></mrow></mrow><mo id="S2.p3.1.m1.2.3.1" xref="S2.p3.1.m1.2.3.1.cmml">≤</mo><mn id="S2.p3.1.m1.2.3.3" xref="S2.p3.1.m1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p3.1.m1.2b"><apply id="S2.p3.1.m1.2.3.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3"><leq id="S2.p3.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.1"></leq><apply id="S2.p3.1.m1.2.3.2.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2"><plus id="S2.p3.1.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.1"></plus><apply id="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.2"><times id="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.1"></times><ci id="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.2.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.2">𝜂</ci><apply id="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.1.1">𝑢</ci><ci id="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3.3.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.2.3.3">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.3"><times id="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.1"></times><ci id="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.2.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.2">𝑞</ci><apply id="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3.1.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S2.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3.3.cmml" xref="S2.p3.1.m1.2.3.2.3.3.3">𝑥</ci></apply></apply></apply><cn id="S2.p3.1.m1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p3.1.m1.2.3.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p3.1.m1.2c">\eta(u)_{t}+q(u)_{x}\leq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p3.1.m1.2d">italic_η ( italic_u ) start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT + italic_q ( italic_u ) start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT ≤ 0</annotation></semantics></math> in the sense of distributions. Under these conditions, often referred to as the Kruzkov entropy condition <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite> in the scalar case or the Lax–Oleinik condition for nonlinear fluxes, weak solutions become unique and physically meaningful <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p4"> <p class="ltx_p" id="S2.p4.10">A more robust and practical way to construct weak entropy solutions is through the vanishing viscosity method. First, consider the parabolic regularization of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), formulated as</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S2.E2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\partial_{t}u_{\gamma}+\partial_{x}f(u_{\gamma})=\gamma\partial_{xx}u_{\gamma}% ,\quad\gamma>0." class="ltx_Math" display="block" id="S2.E2.m1.1"><semantics id="S2.E2.m1.1a"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml">∂</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml">t</mi></msub><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml">γ</mi></msub></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">+</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">∂</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">x</mi></msub><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">f</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi></msub><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" lspace="0em" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2" rspace="0em" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.3.cmml">x</mi></mrow></msub><msub id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml">u</mi><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml">γ</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">></mo><mn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">0</mn></mrow></mrow><mo id="S2.E2.m1.1.1.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.E2.m1.1b"><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.3a.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1"><eq id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.2"></eq><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1"><plus id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.2"></plus><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3"><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.2"></partialdiff><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3">𝛾</ci></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><partialdiff id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"></partialdiff><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝑥</ci></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"></times><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑓</ci><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝛾</ci><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3"><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.2"></partialdiff><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3"><times id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.1"></times><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.2">𝑥</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2">𝑢</ci><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3">𝛾</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2"><gt id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.1"></gt><ci id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.2">𝛾</ci><cn id="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S2.E2.m1.1.1.1.1.2.2.3">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.E2.m1.1c">\partial_{t}u_{\gamma}+\partial_{x}f(u_{\gamma})=\gamma\partial_{xx}u_{\gamma}% ,\quad\gamma>0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.E2.m1.1d">∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT + ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT ) = italic_γ ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x italic_x end_POSTSUBSCRIPT italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT , italic_γ > 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(2)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S2.p4.9">where <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.1.m1.1"><semantics id="S2.p4.1.m1.1a"><mi id="S2.p4.1.m1.1.1" xref="S2.p4.1.m1.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.1.m1.1b"><ci id="S2.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p4.1.m1.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.1.m1.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.1.m1.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> is a small viscosity coefficient. It is worth noting that the subscript <math alttext="u_{\gamma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.2.m2.1"><semantics id="S2.p4.2.m2.1a"><msub id="S2.p4.2.m2.1.1" xref="S2.p4.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.2.m2.1.1.2" xref="S2.p4.2.m2.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S2.p4.2.m2.1.1.3" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3.cmml">γ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.2.m2.1b"><apply id="S2.p4.2.m2.1.1.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S2.p4.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.2.m2.1.1.3">𝛾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.2.m2.1c">u_{\gamma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.2.m2.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> signifies the solution corresponding to viscosity <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.3.m3.1"><semantics id="S2.p4.3.m3.1a"><mi id="S2.p4.3.m3.1.1" xref="S2.p4.3.m3.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.3.m3.1b"><ci id="S2.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S2.p4.3.m3.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.3.m3.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.3.m3.1d">italic_γ</annotation></semantics></math>. Under the standard assumptions previously mentioned, the parabolic PDE in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E2" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) results in a unique classical solution <math alttext="u_{\gamma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.4.m4.1"><semantics id="S2.p4.4.m4.1a"><msub id="S2.p4.4.m4.1.1" xref="S2.p4.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.4.m4.1.1.2" xref="S2.p4.4.m4.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S2.p4.4.m4.1.1.3" xref="S2.p4.4.m4.1.1.3.cmml">γ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.4.m4.1b"><apply id="S2.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S2.p4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.4.m4.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S2.p4.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.4.m4.1.1.3">𝛾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.4.m4.1c">u_{\gamma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.4.m4.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> for each fixed <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.5.m5.1"><semantics id="S2.p4.5.m5.1a"><mi id="S2.p4.5.m5.1.1" xref="S2.p4.5.m5.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.5.m5.1b"><ci id="S2.p4.5.m5.1.1.cmml" xref="S2.p4.5.m5.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.5.m5.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.5.m5.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib12" title="">12</a>, Theorem 14.6]</cite>. By finding estimates that are uniform with respect to <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.6.m6.1"><semantics id="S2.p4.6.m6.1a"><mi id="S2.p4.6.m6.1.1" xref="S2.p4.6.m6.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.6.m6.1b"><ci id="S2.p4.6.m6.1.1.cmml" xref="S2.p4.6.m6.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.6.m6.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.6.m6.1d">italic_γ</annotation></semantics></math>, it is proved that the sequence <math alttext="\{u_{\gamma}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.7.m7.1"><semantics id="S2.p4.7.m7.1a"><mrow id="S2.p4.7.m7.1.1.1" xref="S2.p4.7.m7.1.1.2.cmml"><mo id="S2.p4.7.m7.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.7.m7.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S2.p4.7.m7.1.1.1.1" xref="S2.p4.7.m7.1.1.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.7.m7.1.1.1.1.2" xref="S2.p4.7.m7.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S2.p4.7.m7.1.1.1.1.3" xref="S2.p4.7.m7.1.1.1.1.3.cmml">γ</mi></msub><mo id="S2.p4.7.m7.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.7.m7.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.7.m7.1b"><set id="S2.p4.7.m7.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.7.m7.1.1.1"><apply id="S2.p4.7.m7.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.7.m7.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.7.m7.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.7.m7.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S2.p4.7.m7.1.1.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.7.m7.1.1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S2.p4.7.m7.1.1.1.1.3.cmml" xref="S2.p4.7.m7.1.1.1.1.3">𝛾</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.7.m7.1c">\{u_{\gamma}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.7.m7.1d">{ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> remains bounded in appropriate norms <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>. Uniform energy estimates and the derivation of an entropy inequality enable passing to the limit as <math alttext="\gamma\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.8.m8.1"><semantics id="S2.p4.8.m8.1a"><mrow id="S2.p4.8.m8.1.1" xref="S2.p4.8.m8.1.1.cmml"><mi id="S2.p4.8.m8.1.1.2" xref="S2.p4.8.m8.1.1.2.cmml">γ</mi><mo id="S2.p4.8.m8.1.1.1" stretchy="false" xref="S2.p4.8.m8.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S2.p4.8.m8.1.1.3" xref="S2.p4.8.m8.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.8.m8.1b"><apply id="S2.p4.8.m8.1.1.cmml" xref="S2.p4.8.m8.1.1"><ci id="S2.p4.8.m8.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.8.m8.1.1.1">→</ci><ci id="S2.p4.8.m8.1.1.2.cmml" xref="S2.p4.8.m8.1.1.2">𝛾</ci><cn id="S2.p4.8.m8.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.8.m8.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.8.m8.1c">\gamma\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.8.m8.1d">italic_γ → 0</annotation></semantics></math>, thereby, as discussed in Chapter 2 of <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib11" title="">11</a>]</cite>, obtaining a weak solution that is entropy-admissible and satisfies the additional regularity conditions outlined as <math alttext="u\in C^{0}\left([0,T];H^{2}([0,L])\right)\cap C^{1}\left([0,T];H^{1}([0,L])\right)" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p4.9.m9.12"><semantics id="S2.p4.9.m9.12a"><mrow id="S2.p4.9.m9.12.12" xref="S2.p4.9.m9.12.12.cmml"><mi id="S2.p4.9.m9.12.12.6" xref="S2.p4.9.m9.12.12.6.cmml">u</mi><mo id="S2.p4.9.m9.12.12.5" xref="S2.p4.9.m9.12.12.5.cmml">∈</mo><mrow id="S2.p4.9.m9.12.12.4" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.cmml"><mrow id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.cmml"><msup id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.4" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.4.cmml"><mi id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.4.2" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.4.2.cmml">C</mi><mn id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.4.3" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.4.3.cmml">0</mn></msup><mo id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.3" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.3.cmml"><mo id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.3" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.p4.9.m9.9.9.1.1.1.1.1.2" xref="S2.p4.9.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p4.9.m9.9.9.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.p4.9.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml">[</mo><mn id="S2.p4.9.m9.1.1" xref="S2.p4.9.m9.1.1.cmml">0</mn><mo id="S2.p4.9.m9.9.9.1.1.1.1.1.2.2" xref="S2.p4.9.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p4.9.m9.2.2" xref="S2.p4.9.m9.2.2.cmml">T</mi><mo id="S2.p4.9.m9.9.9.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S2.p4.9.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.4" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.3.cmml">;</mo><mrow id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.cmml"><msup id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.3" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.3.2" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.3.2.cmml">H</mi><mn id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.3.3" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.2" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.1.1" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">[</mo><mn id="S2.p4.9.m9.3.3" xref="S2.p4.9.m9.3.3.cmml">0</mn><mo id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p4.9.m9.4.4" xref="S2.p4.9.m9.4.4.cmml">L</mi><mo id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.5" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p4.9.m9.12.12.4.5" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.5.cmml">∩</mo><mrow id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.cmml"><msup id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.4" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.4.cmml"><mi id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.4.2" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.4.2.cmml">C</mi><mn id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.4.3" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.4.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.3" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.3.cmml"><mo id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.3" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.3.cmml">(</mo><mrow id="S2.p4.9.m9.11.11.3.3.1.1.1.2" xref="S2.p4.9.m9.11.11.3.3.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p4.9.m9.11.11.3.3.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.p4.9.m9.11.11.3.3.1.1.1.1.cmml">[</mo><mn id="S2.p4.9.m9.5.5" xref="S2.p4.9.m9.5.5.cmml">0</mn><mo id="S2.p4.9.m9.11.11.3.3.1.1.1.2.2" xref="S2.p4.9.m9.11.11.3.3.1.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p4.9.m9.6.6" xref="S2.p4.9.m9.6.6.cmml">T</mi><mo id="S2.p4.9.m9.11.11.3.3.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S2.p4.9.m9.11.11.3.3.1.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.4" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.3.cmml">;</mo><mrow id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.cmml"><msup id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.3" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.3.cmml"><mi id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.3.2" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.3.2.cmml">H</mi><mn id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.3.3" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.2" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.1.1" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.cmml"><mo id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.cmml">(</mo><mrow id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.1.1.1.2" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml">[</mo><mn id="S2.p4.9.m9.7.7" xref="S2.p4.9.m9.7.7.cmml">0</mn><mo id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.1.1.1.2.2" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S2.p4.9.m9.8.8" xref="S2.p4.9.m9.8.8.cmml">L</mi><mo id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.5" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p4.9.m9.12b"><apply id="S2.p4.9.m9.12.12.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12"><in id="S2.p4.9.m9.12.12.5.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.5"></in><ci id="S2.p4.9.m9.12.12.6.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.6">𝑢</ci><apply id="S2.p4.9.m9.12.12.4.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4"><intersect id="S2.p4.9.m9.12.12.4.5.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.5"></intersect><apply id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.cmml" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2"><times id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.3.cmml" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.3"></times><apply id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.4.cmml" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.4.1.cmml" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.4">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.4.2.cmml" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.4.2">𝐶</ci><cn id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.4.3">0</cn></apply><list id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2"><interval closure="closed" id="S2.p4.9.m9.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.9.m9.9.9.1.1.1.1.1.2"><cn id="S2.p4.9.m9.1.1.cmml" type="integer" xref="S2.p4.9.m9.1.1">0</cn><ci id="S2.p4.9.m9.2.2.cmml" xref="S2.p4.9.m9.2.2">𝑇</ci></interval><apply id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2"><times id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.2"></times><apply id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.3.2">𝐻</ci><cn id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.3.3">2</cn></apply><interval closure="closed" id="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.9.m9.10.10.2.2.2.2.2.1.1.1.2"><cn id="S2.p4.9.m9.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.9.m9.3.3">0</cn><ci id="S2.p4.9.m9.4.4.cmml" xref="S2.p4.9.m9.4.4">𝐿</ci></interval></apply></list></apply><apply id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4"><times id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.3.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.3"></times><apply id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.4.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.4.1.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.4">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.4.2.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.4.2">𝐶</ci><cn id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.4.3">1</cn></apply><list id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.3.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2"><interval closure="closed" id="S2.p4.9.m9.11.11.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.9.m9.11.11.3.3.1.1.1.2"><cn id="S2.p4.9.m9.5.5.cmml" type="integer" xref="S2.p4.9.m9.5.5">0</cn><ci id="S2.p4.9.m9.6.6.cmml" xref="S2.p4.9.m9.6.6">𝑇</ci></interval><apply id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2"><times id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.2.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.2"></times><apply id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.3.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.3.1.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.3">superscript</csymbol><ci id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.3.2.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.3.2">𝐻</ci><cn id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.3.3">1</cn></apply><interval closure="closed" id="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S2.p4.9.m9.12.12.4.4.2.2.2.1.1.1.2"><cn id="S2.p4.9.m9.7.7.cmml" type="integer" xref="S2.p4.9.m9.7.7">0</cn><ci id="S2.p4.9.m9.8.8.cmml" xref="S2.p4.9.m9.8.8">𝐿</ci></interval></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p4.9.m9.12c">u\in C^{0}\left([0,T];H^{2}([0,L])\right)\cap C^{1}\left([0,T];H^{1}([0,L])\right)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p4.9.m9.12d">italic_u ∈ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 0 end_POSTSUPERSCRIPT ( [ 0 , italic_T ] ; italic_H start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( [ 0 , italic_L ] ) ) ∩ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( [ 0 , italic_T ] ; italic_H start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( [ 0 , italic_L ] ) )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p5"> <p class="ltx_p" id="S2.p5.1">The rigorous justification of this limit passage and the well-posedness of the corresponding problem is established via a combination of compactness arguments and the construction of a basic quadratic Lyapunov function, as detailed in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib1" title="">1</a>]</cite>. Moreover, the dissipativity of the boundary conditions is crucial to ensuring that the energy associated with the system decays over time. Consequently, by combining the vanishing viscosity method <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite> with uniform energy and entropy estimates, the existence, uniqueness, and entropy admissibility of the solution to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) are guaranteed.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p6"> <p class="ltx_p" id="S2.p6.1"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="S2.p6.1.1">Problem:</span> We want to efficiently and accurately approximate the entropic solution <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S2.p6.1.m1.1"><semantics id="S2.p6.1.m1.1a"><mi id="S2.p6.1.m1.1.1" xref="S2.p6.1.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S2.p6.1.m1.1b"><ci id="S2.p6.1.m1.1.1.cmml" xref="S2.p6.1.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S2.p6.1.m1.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S2.p6.1.m1.1d">italic_u</annotation></semantics></math> of a hyperbolic PDE specified in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) using PINNs.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p7"> <p class="ltx_p" id="S2.p7.1">Although vanilla PINNs have been successfully applied to various types of problems, particularly those classified as parabolic PDEs in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E2" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>), a major limitation is their poor performance in terms of convergence and accuracy when solving hyperbolic PDEs governed by (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib3" title="">3</a>]</cite>. In other words, PINNs fail to fully capture discontinuities and provide smooth solutions. Therefore, a modification to the PINN structure is necessary to enhance its ability to solve hyperbolic PDEs.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p8"> <p class="ltx_p" id="S2.p8.1">To achieve this objective, we introduce a novel variant of PINN called stacked residual PINN, which incrementally refines a baseline approximation through stacked residual-correction subnetworks. This approach incorporates both the PDE residual and data to enforce the governing equations while also guiding the solution in regions where the PDE may be insufficient or highly nonlinear.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S2.p9"> <p class="ltx_p" id="S2.p9.1">In the following section, we demonstrate how adopting this smooth-to-sharp transition in the stacked residual PINN enhances the robustness of capturing discontinuities, enabling high-resolution reconstruction of hyperbolic PDE states.</p> </div> </section> <section class="ltx_section" id="S3"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">III </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S3.1.1">Methodology</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.p1.1">This paper proposes the stacked residual PINN to solve the hyperbolic PDEs discussed in Section 3. First, an overview of the proposed architecture is presented, followed by a detailed discussion of its application to hyperbolic PDEs.</p> </div> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS1"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS1.4.1.1">III-A</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS1.5.2">Classical PINN</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.3">In the standard formulation of PINNs, the goal is to approximate the solution <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.1.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.1.m1.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.1.m1.1d">italic_u</annotation></semantics></math> of PDE (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) using a dense feedforward neural network <math alttext="\hat{u}(\cdot;\boldsymbol{\theta})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.2.m2.2"><semantics id="S3.SS1.p1.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.1" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.SS1.p1.2.m2.2.2" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.2.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.2.m2.2b"><apply id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3"><times id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2"><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.2.2">𝑢</ci></apply><list id="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.3.3.2"><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.1.1">⋅</ci><ci id="S3.SS1.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.2.m2.2.2">𝜽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.2.m2.2c">\hat{u}(\cdot;\boldsymbol{\theta})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.2.m2.2d">over^ start_ARG italic_u end_ARG ( ⋅ ; bold_italic_θ )</annotation></semantics></math>. Let the neural network have <math alttext="L" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p1.3.m3.1a"><mi id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml">L</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.3.m3.1b"><ci id="S3.SS1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.3.m3.1.1">𝐿</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.3.m3.1c">L</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.3.m3.1d">italic_L</annotation></semantics></math> hidden layers, formulated as follows:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{array}[]{rl}\hat{u}(t,x;\boldsymbol{\theta})\!\!\!\!&=W_{L}\times H_{L-% 1}\circ\cdots\circ H_{1}(t,x)+b_{L}\\ &\triangleq\mathcal{N}([t,x];\boldsymbol{\theta}),\end{array}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.E3.m1.9"><semantics id="S3.E3.m1.9a"><mtable columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S3.E3.m1.9.9" rowspacing="0pt" xref="S3.E3.m1.9.9.cmml"><mtr id="S3.E3.m1.9.9a" xref="S3.E3.m1.9.9.cmml"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.E3.m1.9.9b" xref="S3.E3.m1.9.9.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.5" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.5.cmml"><mi id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.5.2" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.5.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.5.1" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.5.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.4" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.6.2" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml"><mo id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.6.2.1" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.6.2.2" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.6.2.3" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml">;</mo><mi id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.6.2.4" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E3.m1.9.9c" xref="S3.E3.m1.9.9.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.4" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.4.cmml"></mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.3" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.cmml"><msub id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.2" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.2.2" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.2.2.cmml">W</mi><mi id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.2.3" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.2.3.cmml">L</mi></msub><mo id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.1.cmml">×</mo><msub id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.2" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.2.cmml">H</mi><mrow id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3.2" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3.2.cmml">L</mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3.1" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3.3" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow><mo id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.1.cmml">∘</mo><mi id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.3.cmml">⋯</mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.1a" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.1.cmml">∘</mo><msub id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.4" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.4.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.4.2" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.4.2.cmml">H</mi><mn id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.4.3" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.4.3.cmml">1</mn></msub></mrow><mo id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.1" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.3.2" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.3.2.2" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.2" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.1" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.3" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.3.cmml"><mi id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.3.2" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.3.2.cmml">b</mi><mi id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.3.3" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.3.3.cmml">L</mi></msub></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E3.m1.9.9d" xref="S3.E3.m1.9.9.cmml"><mtd id="S3.E3.m1.9.9e" xref="S3.E3.m1.9.9.cmml"></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E3.m1.9.9f" xref="S3.E3.m1.9.9.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.cmml"><mi id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.3" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.3.cmml"></mi><mo id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.2" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.2.cmml">≜</mo><mrow id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.3" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.3.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.2" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.1" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E3.m1.6.6.6.1.1.1" xref="S3.E3.m1.6.6.6.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E3.m1.7.7.7.2.2.2" xref="S3.E3.m1.7.7.7.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.1.1.2.3" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.2.cmml">;</mo><mi id="S3.E3.m1.8.8.8.3.3.3" xref="S3.E3.m1.8.8.8.3.3.3.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.2" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E3.m1.9b"><matrix id="S3.E3.m1.9.9.cmml" xref="S3.E3.m1.9.9"><matrixrow id="S3.E3.m1.9.9a.cmml" xref="S3.E3.m1.9.9"><apply id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3"><times id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.4.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.4"></times><apply id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.5.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.5"><ci id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.5.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.5.1">^</ci><ci id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.5.2.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.5.2">𝑢</ci></apply><vector id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.6.1.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.6.2"><ci id="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.1.1.1.1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci><ci id="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.E3.m1.3.3.3.3.3.3">𝜽</ci></vector></apply><apply id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2"><eq id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.3"></eq><csymbol cd="latexml" id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.4.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.4">absent</csymbol><apply id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5"><plus id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.1.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.1"></plus><apply id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2"><times id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.1"></times><apply id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2"><compose id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.1"></compose><apply id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2"><times id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.1"></times><apply id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.2.2">𝑊</ci><ci id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.2.3">𝐿</ci></apply><apply id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.2">𝐻</ci><apply id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3"><minus id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3.1"></minus><ci id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.2.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply><ci id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.3.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.3">⋯</ci><apply id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.4.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.4.1.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.4.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.4.2">𝐻</ci><cn id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.2.4.3">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.3.1.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.2.3.2"><ci id="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.4.4.4.4.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.2">𝑥</ci></interval></apply><apply id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.3.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.3.1.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.3.2.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.3.2">𝑏</ci><ci id="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.3.3.cmml" xref="S3.E3.m1.5.5.5.5.2.5.3.3">𝐿</ci></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S3.E3.m1.9.9b.cmml" xref="S3.E3.m1.9.9"><cerror id="S3.E3.m1.9.9c.cmml" xref="S3.E3.m1.9.9"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E3.m1.9.9d.cmml" xref="S3.E3.m1.9.9">missing-subexpression</csymbol></cerror><apply id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.cmml" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4"><ci id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.2">≜</ci><csymbol cd="latexml" id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.3">absent</csymbol><apply id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1"><times id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.2"></times><ci id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.3">𝒩</ci><list id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.1"><interval closure="closed" id="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.9.9.9.4.4.4.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.E3.m1.6.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.E3.m1.6.6.6.1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.E3.m1.7.7.7.2.2.2.cmml" xref="S3.E3.m1.7.7.7.2.2.2">𝑥</ci></interval><ci id="S3.E3.m1.8.8.8.3.3.3.cmml" xref="S3.E3.m1.8.8.8.3.3.3">𝜽</ci></list></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E3.m1.9c">\begin{array}[]{rl}\hat{u}(t,x;\boldsymbol{\theta})\!\!\!\!&=W_{L}\times H_{L-% 1}\circ\cdots\circ H_{1}(t,x)+b_{L}\\ &\triangleq\mathcal{N}([t,x];\boldsymbol{\theta}),\end{array}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E3.m1.9d">start_ARRAY start_ROW start_CELL over^ start_ARG italic_u end_ARG ( italic_t , italic_x ; bold_italic_θ ) end_CELL start_CELL = italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT × italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_L - 1 end_POSTSUBSCRIPT ∘ ⋯ ∘ italic_H start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_x ) + italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_L end_POSTSUBSCRIPT end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL end_CELL start_CELL ≜ caligraphic_N ( [ italic_t , italic_x ] ; bold_italic_θ ) , end_CELL end_ROW end_ARRAY</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(3)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p1.6">for <math alttext="(t,x)\in\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.4.m1.2"><semantics id="S3.SS1.p1.4.m1.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.4.m1.2.3" xref="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.2.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.4.m1.1.1" xref="S3.SS1.p1.4.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.2.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.2.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p1.4.m1.2.2" xref="S3.SS1.p1.4.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.2.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.1" xref="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.1.cmml">∈</mo><mi id="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.3.cmml">Λ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.4.m1.2b"><apply id="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m1.2.3"><in id="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.1"></in><interval closure="open" id="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.2.2"><ci id="S3.SS1.p1.4.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS1.p1.4.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m1.2.2">𝑥</ci></interval><ci id="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.4.m1.2.3.3">Λ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.4.m1.2c">(t,x)\in\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.4.m1.2d">( italic_t , italic_x ) ∈ roman_Λ</annotation></semantics></math> where <math alttext="(t,x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.5.m2.2"><semantics id="S3.SS1.p1.5.m2.2a"><mrow id="S3.SS1.p1.5.m2.2.3.2" xref="S3.SS1.p1.5.m2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p1.5.m2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.5.m2.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p1.5.m2.1.1" xref="S3.SS1.p1.5.m2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m2.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p1.5.m2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p1.5.m2.2.2" xref="S3.SS1.p1.5.m2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS1.p1.5.m2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p1.5.m2.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.5.m2.2b"><interval closure="open" id="S3.SS1.p1.5.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m2.2.3.2"><ci id="S3.SS1.p1.5.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m2.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS1.p1.5.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.5.m2.2.2">𝑥</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.5.m2.2c">(t,x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.5.m2.2d">( italic_t , italic_x )</annotation></semantics></math> represents the input coordinates in the spatiotemporal domain. For each hidden layer <math alttext="l=1,\dots,L-1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p1.6.m3.3"><semantics id="S3.SS1.p1.6.m3.3a"><mrow id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.3" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.3.cmml">l</mi><mo id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.2" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.2.cmml"><mn id="S3.SS1.p1.6.m3.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m3.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p1.6.m3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p1.6.m3.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">L</mi><mo id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p1.6.m3.3b"><apply id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3"><eq id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.2"></eq><ci id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.3">𝑙</ci><list id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1"><cn id="S3.SS1.p1.6.m3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.6.m3.1.1">1</cn><ci id="S3.SS1.p1.6.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m3.2.2">…</ci><apply id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1"><minus id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p1.6.m3.3.3.1.1.1.3">1</cn></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p1.6.m3.3c">l=1,\dots,L-1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p1.6.m3.3d">italic_l = 1 , … , italic_L - 1</annotation></semantics></math>, the feature map is defined as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="H_{l}(t,x)=\phi(W_{l}H_{l-1}(t,x)+b_{l})." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E4.m1.5"><semantics id="S3.E4.m1.5a"><mrow id="S3.E4.m1.5.5.1" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.m1.5.5.1.1" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.cmml"><msub id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml">H</mi><mi id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2.3" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E4.m1.1.1" xref="S3.E4.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.m1.2.2" xref="S3.E4.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">W</mi><mi id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">H</mi><mrow id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml"><mi id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1a" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml"><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E4.m1.3.3" xref="S3.E4.m1.3.3.cmml">t</mi><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.2.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E4.m1.4.4" xref="S3.E4.m1.4.4.cmml">x</mi><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">+</mo><msub id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">b</mi><mi id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">l</mi></msub></mrow><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E4.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E4.m1.5b"><apply id="S3.E4.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1"><eq id="S3.E4.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.2"></eq><apply id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3"><times id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.1"></times><apply id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2.2">𝐻</ci><ci id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.2.3">𝑙</ci></apply><interval closure="open" id="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.3.3.2"><ci id="S3.E4.m1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.E4.m1.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.2.2">𝑥</ci></interval></apply><apply id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1"><times id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.2"></times><ci id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.3">italic-ϕ</ci><apply id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1"><plus id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></plus><apply id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑊</ci><ci id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.2">𝐻</ci><apply id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3"><minus id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.1"></minus><ci id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.3.3.3">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.4.2"><ci id="S3.E4.m1.3.3.cmml" xref="S3.E4.m1.3.3">𝑡</ci><ci id="S3.E4.m1.4.4.cmml" xref="S3.E4.m1.4.4">𝑥</ci></interval></apply><apply id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑏</ci><ci id="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E4.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E4.m1.5c">H_{l}(t,x)=\phi(W_{l}H_{l-1}(t,x)+b_{l}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E4.m1.5d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_x ) = italic_ϕ ( italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT italic_H start_POSTSUBSCRIPT italic_l - 1 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_x ) + italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(4)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p2.6">Here <math alttext="H_{0}(t,x)=\left[\begin{matrix}t&x\end{matrix}\right]^{\top}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.1.m1.3"><semantics id="S3.SS1.p2.1.m1.3a"><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.cmml"><msub id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.2.2.cmml">H</mi><mn id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.3.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.3.cmml">x</mi><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.1.cmml">=</mo><msup id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2.2.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2.1.1.cmml">[</mo><mtable columnspacing="5pt" id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mtr id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1a" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mtd id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1b" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">t</mi></mtd><mtd id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1c" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">x</mi></mtd></mtr></mtable><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.3" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.3.cmml">⊤</mo></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.1.m1.3b"><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4"><eq id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.1"></eq><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2"><times id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.1"></times><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.2.2">𝐻</ci><cn id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.2.3">0</cn></apply><interval closure="open" id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.2.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.3">𝑥</ci></interval></apply><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.2.2.1">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1">matrix</csymbol><matrix id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1"><matrixrow id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1a.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1"><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.1.1.1.1.1.2.1">𝑥</ci></matrixrow></matrix></apply></apply><csymbol cd="latexml" id="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.1.m1.3.4.3.3">top</csymbol></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.1.m1.3c">H_{0}(t,x)=\left[\begin{matrix}t&x\end{matrix}\right]^{\top}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.1.m1.3d">italic_H start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_x ) = [ start_ARG start_ROW start_CELL italic_t end_CELL start_CELL italic_x end_CELL end_ROW end_ARG ] start_POSTSUPERSCRIPT ⊤ end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Moreover, <math alttext="W_{l}\in\mathbb{R}^{n_{l}\times n_{l-1}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p2.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><mrow id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><msub id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2.3" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml">×</mo><msub id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2.cmml">n</mi><mrow id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.2.cmml">l</mi><mo id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.1" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.1.cmml">−</mo><mn id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.3" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.3.cmml">1</mn></mrow></msub></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1"><in id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.1"></in><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3"><times id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.2">𝑛</ci><apply id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3"><minus id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.1"></minus><ci id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.2">𝑙</ci><cn id="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.2.m2.1.1.3.3.3.3.3">1</cn></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.2.m2.1c">W_{l}\in\mathbb{R}^{n_{l}\times n_{l-1}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.2.m2.1d">italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT × italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_l - 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and <math alttext="b_{l}\in\mathbb{R}^{n_{l}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p2.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml">b</mi><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml">∈</mo><msup id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">ℝ</mi><msub id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml">n</mi><mi id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3.3" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml">l</mi></msub></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1"><in id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.1"></in><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.2">𝑏</ci><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.2.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.2">ℝ</ci><apply id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3.2">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.3.m3.1.1.3.3.3">𝑙</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.3.m3.1c">b_{l}\in\mathbb{R}^{n_{l}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.3.m3.1d">italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT ∈ blackboard_R start_POSTSUPERSCRIPT italic_n start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> represent the weight matrices and bias vectors at layer <math alttext="l" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p2.4.m4.1a"><mi id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml">l</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.4.m4.1b"><ci id="S3.SS1.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.4.m4.1.1">𝑙</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.4.m4.1c">l</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.4.m4.1d">italic_l</annotation></semantics></math>. The entire set of network parameters denoted by <math alttext="\boldsymbol{\theta}=\{W_{l},b_{l}\}_{l=1}^{L}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.5.m5.2"><semantics id="S3.SS1.p2.5.m5.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.4" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.4.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.3.cmml">=</mo><msubsup id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.3.cmml">{</mo><msub id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">W</mi><mi id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.4" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.2" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml">b</mi><mi id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.3" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml">l</mi></msub><mo id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.3.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4.2" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4.2.cmml">l</mi><mo id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4.1" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4.3" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.4" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.4.cmml">L</mi></msubsup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.5.m5.2b"><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2"><eq id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.3"></eq><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.4.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.4">𝜽</ci><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2">subscript</csymbol><set id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2"><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.2">𝑊</ci><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑙</ci></apply><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.2">𝑏</ci><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.2.2.2.3">𝑙</ci></apply></set><apply id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4"><eq id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4.1"></eq><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4.2">𝑙</ci><cn id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.2.4.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.4.cmml" xref="S3.SS1.p2.5.m5.2.2.2.4">𝐿</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.5.m5.2c">\boldsymbol{\theta}=\{W_{l},b_{l}\}_{l=1}^{L}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.5.m5.2d">bold_italic_θ = { italic_W start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT , italic_b start_POSTSUBSCRIPT italic_l end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_l = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_L end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and the activation function is <math alttext="\phi\in C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p2.6.m6.2"><semantics id="S3.SS1.p2.6.m6.2a"><mrow id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2.cmml">ϕ</mi><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.cmml"><msup id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2.2.cmml">C</mi><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2.3.cmml">∞</mi></msup><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.3.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml">ℝ</mi><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p2.6.m6.2.2" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.2.cmml">ℝ</mi><mo id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p2.6.m6.2b"><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3"><in id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.1"></in><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.2">italic-ϕ</ci><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3"><times id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2">superscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2.2">𝐶</ci><infinity id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.2.3"></infinity></apply><interval closure="open" id="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.3.3.3.2"><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.1.1">ℝ</ci><ci id="S3.SS1.p2.6.m6.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p2.6.m6.2.2">ℝ</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p2.6.m6.2c">\phi\in C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p2.6.m6.2d">italic_ϕ ∈ italic_C start_POSTSUPERSCRIPT ∞ end_POSTSUPERSCRIPT ( blackboard_R , blackboard_R )</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.1">We are interested in approximating the unique entropic solution <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.SS1.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.1.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.1.m1.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.1.m1.1d">italic_u</annotation></semantics></math> to (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), meaning that we want to solve the following constrained optimization problem:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex1"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\boldsymbol{\theta}^{*}=\begin{array}[t]{cl}\operatorname*{Argmin}_{% \boldsymbol{\theta}}&\displaystyle\int_{\Gamma}\|u(\nu)-\hat{u}(\nu)\|^{2}d\nu% \\ \text{s. t.}&\displaystyle\int_{\Lambda}\left|r_{0}(\cdot;\hat{u}(\cdot;% \boldsymbol{\theta}))\right|^{2}=0,\end{array}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex1.m1.7"><semantics id="S3.Ex1.m1.7a"><mrow id="S3.Ex1.m1.7.8" xref="S3.Ex1.m1.7.8.cmml"><msup id="S3.Ex1.m1.7.8.2" xref="S3.Ex1.m1.7.8.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.7.8.2.2" xref="S3.Ex1.m1.7.8.2.2.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.Ex1.m1.7.8.2.3" xref="S3.Ex1.m1.7.8.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.Ex1.m1.7.8.1" xref="S3.Ex1.m1.7.8.1.cmml">=</mo><mtable align="bottom1" columnspacing="5pt" displaystyle="true" id="S3.Ex1.m1.7.7" rowspacing="0pt" xref="S3.Ex1.m1.7.7.cmml"><mtr id="S3.Ex1.m1.7.7a" xref="S3.Ex1.m1.7.7.cmml"><mtd id="S3.Ex1.m1.7.7b" xref="S3.Ex1.m1.7.7.cmml"><msub id="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.1" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.1.2" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.1.2.cmml">Argmin</mo><mi id="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.1.3" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.1.3.cmml">𝜽</mi></msub></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.Ex1.m1.7.7c" xref="S3.Ex1.m1.7.7.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.cmml"><msub id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.4" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.4.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.4.2" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.4.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.4.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.4.3.cmml">Γ</mi></msub><mrow id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml"><msup id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">ν</mi><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">ν</mi><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.3" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.2" lspace="0em" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3.1" rspace="0em" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3.1.cmml">𝑑</mo><mi id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3.2" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3.2.cmml">ν</mi></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.Ex1.m1.7.7d" xref="S3.Ex1.m1.7.7.cmml"><mtd id="S3.Ex1.m1.7.7e" xref="S3.Ex1.m1.7.7.cmml"><mtext id="S3.Ex1.m1.7.7.7.5.1" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.5.1a.cmml">s. t.</mtext></mtd><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.Ex1.m1.7.7f" xref="S3.Ex1.m1.7.7.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.2.2" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.2.2.cmml">∫</mo><mi id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.2.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.2.3.cmml">Λ</mi></msub><msup id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">r</mi><mn id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mo id="S3.Ex1.m1.6.6.6.3.3.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex1.m1.6.6.6.3.3.3.cmml">⋅</mo><mo id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">;</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mo id="S3.Ex1.m1.4.4.4.1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.Ex1.m1.4.4.4.1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.Ex1.m1.5.5.5.2.2.2" xref="S3.Ex1.m1.5.5.5.2.2.2.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.3" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.2" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.3" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.2" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex1.m1.7b"><apply id="S3.Ex1.m1.7.8.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.8"><eq id="S3.Ex1.m1.7.8.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.8.1"></eq><apply id="S3.Ex1.m1.7.8.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.8.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.7.8.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.8.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.7.8.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.8.2.2">𝜽</ci><times id="S3.Ex1.m1.7.8.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.8.2.3"></times></apply><matrix id="S3.Ex1.m1.7.7.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7"><matrixrow id="S3.Ex1.m1.7.7a.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7"><apply id="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.1.2">Argmin</ci><ci id="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.4.1.3">𝜽</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3"><apply id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.4.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.4">subscript</csymbol><int id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.4.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.4.2"></int><ci id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.4.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.4.3">Γ</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3"><times id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.2"></times><apply id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci><ci id="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.1.1.1.1.1.1">𝜈</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.1.1.1.3.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="S3.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.2.2.2.2.2.2">𝜈</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3.1">differential-d</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.3.3.3.3.3.3.3.2">𝜈</ci></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S3.Ex1.m1.7.7b.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7"><ci id="S3.Ex1.m1.7.7.7.5.1a.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.5.1"><mtext id="S3.Ex1.m1.7.7.7.5.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.5.1">s. t.</mtext></ci><apply id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4"><eq id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.2"></eq><apply id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1"><apply id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.2">subscript</csymbol><int id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.2.2"></int><ci id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.2.3">Λ</ci></apply><apply id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1"><abs id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑟</ci><cn id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply><list id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.Ex1.m1.6.6.6.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex1.m1.6.6.6.3.3.3">⋅</ci><apply id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci></apply><list id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.Ex1.m1.4.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex1.m1.4.4.4.1.1.1">⋅</ci><ci id="S3.Ex1.m1.5.5.5.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex1.m1.5.5.5.2.2.2">𝜽</ci></list></apply></list></apply></apply><cn id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.1.1.3">2</cn></apply></apply><cn id="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex1.m1.7.7.7.4.4.4.1.3">0</cn></apply></matrixrow></matrix></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex1.m1.7c">\boldsymbol{\theta}^{*}=\begin{array}[t]{cl}\operatorname*{Argmin}_{% \boldsymbol{\theta}}&\displaystyle\int_{\Gamma}\|u(\nu)-\hat{u}(\nu)\|^{2}d\nu% \\ \text{s. t.}&\displaystyle\int_{\Lambda}\left|r_{0}(\cdot;\hat{u}(\cdot;% \boldsymbol{\theta}))\right|^{2}=0,\end{array}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex1.m1.7d">bold_italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = start_ARRAY start_ROW start_CELL roman_Argmin start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_θ end_POSTSUBSCRIPT end_CELL start_CELL ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Γ end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_u ( italic_ν ) - over^ start_ARG italic_u end_ARG ( italic_ν ) ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT italic_d italic_ν end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL s. t. end_CELL start_CELL ∫ start_POSTSUBSCRIPT roman_Λ end_POSTSUBSCRIPT | italic_r start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ ; over^ start_ARG italic_u end_ARG ( ⋅ ; bold_italic_θ ) ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = 0 , end_CELL end_ROW end_ARRAY</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.2">where <math alttext="\Gamma=\Gamma_{init}\cup\Gamma_{boundary}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.2.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p3.2.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.2.cmml">Γ</mi><mo id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.2" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.1" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.3" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.1a" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.4" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.4.cmml">i</mi><mo id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.1b" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.5" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.5.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.1.cmml">∪</mo><msub id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.2" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.2.cmml">b</mi><mo id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.3" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.3.cmml">o</mi><mo id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1a" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.4" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.4.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1b" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.5" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.5.cmml">n</mi><mo id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1c" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.6" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.6.cmml">d</mi><mo id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1d" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.7" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.7.cmml">a</mi><mo id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1e" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.8" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.8.cmml">r</mi><mo id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1f" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.9" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.9.cmml">y</mi></mrow></msub></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.2.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1"><eq id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.1"></eq><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.2">Γ</ci><apply id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3"><union id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.1"></union><apply id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.2">Γ</ci><apply id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3"><times id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.3">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.4">𝑖</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.5.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.2.3.5">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.2">Γ</ci><apply id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3"><times id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.2">𝑏</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.3">𝑜</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.4">𝑢</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.5.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.5">𝑛</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.6.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.6">𝑑</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.7.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.7">𝑎</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.8.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.8">𝑟</ci><ci id="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.9.cmml" xref="S3.SS1.p3.2.m1.1.1.3.3.3.9">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.2.m1.1c">\Gamma=\Gamma_{init}\cup\Gamma_{boundary}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.2.m1.1d">roman_Γ = roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n italic_i italic_t end_POSTSUBSCRIPT ∪ roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_b italic_o italic_u italic_n italic_d italic_a italic_r italic_y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is the measured boundary of System (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) with</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex2"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\begin{array}[]{l}\Gamma_{init}=\left\{(0,x)\ |\ x\in[0,L]\right\},\\ \Gamma_{boundary}=\left\{(t,0)\ |\ t\in[0,T]\right\}\cup\left\{(t,L)\ |\ t\in[% 0,T]\right\},\end{array}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex2.m1.14"><semantics id="S3.Ex2.m1.14a"><mtable displaystyle="true" id="S3.Ex2.m1.14.14" rowspacing="0pt" xref="S3.Ex2.m1.14.14.cmml"><mtr id="S3.Ex2.m1.14.14a" xref="S3.Ex2.m1.14.14.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.Ex2.m1.14.14b" xref="S3.Ex2.m1.14.14.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml"><msub id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.3.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.1a" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.4" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.4.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.1b" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.5" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.5.cmml">t</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex2.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.2.3" rspace="0.222em" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.4" rspace="0.500em" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.Ex2.m1.3.3.3.3.3.3" xref="S3.Ex2.m1.3.3.3.3.3.3.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex2.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S3.Ex2.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">L</mi><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.5" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.2" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.Ex2.m1.14.14c" xref="S3.Ex2.m1.14.14.cmml"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.Ex2.m1.14.14d" xref="S3.Ex2.m1.14.14.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.cmml"><msub id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.2" mathvariant="normal" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.2.cmml">Γ</mi><mrow id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.2.cmml">b</mi><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.3" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.3.cmml">o</mi><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1a" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.4" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.4.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1b" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.5" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.5.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1c" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.6" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.6.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1d" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.7" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.7.cmml">a</mi><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1e" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.8" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.8.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1f" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.9" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.9.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.5" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.cmml"><mrow id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.1.1.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex2.m1.6.6.6.1.1.1" xref="S3.Ex2.m1.6.6.6.1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml">,</mo><mn id="S3.Ex2.m1.7.7.7.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.7.7.7.2.2.2.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.1.1.1.1.2.3" rspace="0.222em" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.4" rspace="0.500em" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.1" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.Ex2.m1.8.8.8.3.3.3" xref="S3.Ex2.m1.8.8.8.3.3.3.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex2.m1.9.9.9.4.4.4" xref="S3.Ex2.m1.9.9.9.4.4.4.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.5" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.3.1.cmml">}</mo></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.5" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.5.cmml">∪</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.3.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.3" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.3.1.cmml">{</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.3.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.3.3.1.1.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.3.3.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex2.m1.10.10.10.5.5.5" xref="S3.Ex2.m1.10.10.10.5.5.5.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.3.3.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex2.m1.11.11.11.6.6.6" xref="S3.Ex2.m1.11.11.11.6.6.6.cmml">L</mi><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.3.3.1.1.2.3" rspace="0.222em" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.3.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.4" rspace="0.500em" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.3.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.1" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.3.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S3.Ex2.m1.12.12.12.7.7.7" xref="S3.Ex2.m1.12.12.12.7.7.7.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.3.2.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex2.m1.13.13.13.8.8.8" xref="S3.Ex2.m1.13.13.13.8.8.8.cmml">T</mi><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.3.1.cmml">]</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.5" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.2" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.cmml">,</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex2.m1.14b"><matrix id="S3.Ex2.m1.14.14.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14"><matrixrow id="S3.Ex2.m1.14.14a.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14"><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5"><eq id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.3"></eq><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.2">Γ</ci><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3"><times id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.1"></times><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.3">𝑛</ci><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.4">𝑖</ci><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.5.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.4.3.5">𝑡</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.3">conditional-set</csymbol><interval closure="open" id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.1.1.1.2"><cn id="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.1.1.1.1.1.1">0</cn><ci id="S3.Ex2.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.2.2.2.2.2.2">𝑥</ci></interval><apply id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2"><in id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.1"></in><ci id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.2">𝑥</ci><interval closure="closed" id="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.5.5.5.5.5.5.1.2.2.2.3.2"><cn id="S3.Ex2.m1.3.3.3.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.3.3.3.3.3.3">0</cn><ci id="S3.Ex2.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.4.4.4.4.4.4">𝐿</ci></interval></apply></apply></apply></matrixrow><matrixrow id="S3.Ex2.m1.14.14b.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14"><apply id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9"><eq id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.5.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.5"></eq><apply id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.2">Γ</ci><apply id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3"><times id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.1"></times><ci id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.2">𝑏</ci><ci id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.3">𝑜</ci><ci id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.4">𝑢</ci><ci id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.5.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.5">𝑛</ci><ci id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.6.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.6">𝑑</ci><ci id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.7.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.7">𝑎</ci><ci id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.8.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.8">𝑟</ci><ci id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.9.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.6.3.9">𝑦</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4"><union id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.5.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.5"></union><apply id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.3">conditional-set</csymbol><interval closure="open" id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex2.m1.6.6.6.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.6.6.6.1.1.1">𝑡</ci><cn id="S3.Ex2.m1.7.7.7.2.2.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.7.7.7.2.2.2">0</cn></interval><apply id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2"><in id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.1"></in><ci id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.2">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.2.2.2.2.3.2"><cn id="S3.Ex2.m1.8.8.8.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.8.8.8.3.3.3">0</cn><ci id="S3.Ex2.m1.9.9.9.4.4.4.cmml" xref="S3.Ex2.m1.9.9.9.4.4.4">𝑇</ci></interval></apply></apply><apply id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.3.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.3">conditional-set</csymbol><interval closure="open" id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.3.3.1.1.2"><ci id="S3.Ex2.m1.10.10.10.5.5.5.cmml" xref="S3.Ex2.m1.10.10.10.5.5.5">𝑡</ci><ci id="S3.Ex2.m1.11.11.11.6.6.6.cmml" xref="S3.Ex2.m1.11.11.11.6.6.6">𝐿</ci></interval><apply id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2"><in id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.1"></in><ci id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.2">𝑡</ci><interval closure="closed" id="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex2.m1.14.14.14.9.9.9.1.4.4.2.2.3.2"><cn id="S3.Ex2.m1.12.12.12.7.7.7.cmml" type="integer" xref="S3.Ex2.m1.12.12.12.7.7.7">0</cn><ci id="S3.Ex2.m1.13.13.13.8.8.8.cmml" xref="S3.Ex2.m1.13.13.13.8.8.8">𝑇</ci></interval></apply></apply></apply></apply></matrixrow></matrix></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex2.m1.14c">\begin{array}[]{l}\Gamma_{init}=\left\{(0,x)\ |\ x\in[0,L]\right\},\\ \Gamma_{boundary}=\left\{(t,0)\ |\ t\in[0,T]\right\}\cup\left\{(t,L)\ |\ t\in[% 0,T]\right\},\end{array}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex2.m1.14d">start_ARRAY start_ROW start_CELL roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i italic_n italic_i italic_t end_POSTSUBSCRIPT = { ( 0 , italic_x ) | italic_x ∈ [ 0 , italic_L ] } , end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL roman_Γ start_POSTSUBSCRIPT italic_b italic_o italic_u italic_n italic_d italic_a italic_r italic_y end_POSTSUBSCRIPT = { ( italic_t , 0 ) | italic_t ∈ [ 0 , italic_T ] } ∪ { ( italic_t , italic_L ) | italic_t ∈ [ 0 , italic_T ] } , end_CELL end_ROW end_ARRAY</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p3.5">and <math alttext="\hat{u}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.3.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p3.3.m1.1a"><mover accent="true" id="S3.SS1.p3.3.m1.1.1" xref="S3.SS1.p3.3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.3.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p3.3.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p3.3.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p3.3.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.3.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p3.3.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m1.1.1"><ci id="S3.SS1.p3.3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m1.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p3.3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.3.m1.1.1.2">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.3.m1.1c">\hat{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.3.m1.1d">over^ start_ARG italic_u end_ARG</annotation></semantics></math> refers to <math alttext="\hat{u}(\cdot,\boldsymbol{\theta})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.4.m2.2"><semantics id="S3.SS1.p3.4.m2.2a"><mrow id="S3.SS1.p3.4.m2.2.3" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.2" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.2.1" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.1" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.3.1.cmml">(</mo><mo id="S3.SS1.p3.4.m2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS1.p3.4.m2.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p3.4.m2.2.2" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.2.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.4.m2.2b"><apply id="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.3"><times id="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.2"><ci id="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.2.2">𝑢</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.3.3.2"><ci id="S3.SS1.p3.4.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m2.1.1">⋅</ci><ci id="S3.SS1.p3.4.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p3.4.m2.2.2">𝜽</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.4.m2.2c">\hat{u}(\cdot,\boldsymbol{\theta})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.4.m2.2d">over^ start_ARG italic_u end_ARG ( ⋅ , bold_italic_θ )</annotation></semantics></math> to ease the reading. The residual <math alttext="r" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p3.5.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p3.5.m3.1a"><mi id="S3.SS1.p3.5.m3.1.1" xref="S3.SS1.p3.5.m3.1.1.cmml">r</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p3.5.m3.1b"><ci id="S3.SS1.p3.5.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p3.5.m3.1.1">𝑟</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p3.5.m3.1c">r</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p3.5.m3.1d">italic_r</annotation></semantics></math> is also defined as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="r_{\gamma}(\cdot;\hat{u})=\partial_{t}\hat{u}+\partial_{x}f(\hat{u})-\gamma% \partial_{xx}\hat{u}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E5.m1.4"><semantics id="S3.E5.m1.4a"><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml">r</mi><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">γ</mi></msub><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.3.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mo id="S3.E5.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E5.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.3.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">;</mo><mover accent="true" id="S3.E5.m1.2.2" xref="S3.E5.m1.2.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.2.2.2" xref="S3.E5.m1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E5.m1.2.2.1" xref="S3.E5.m1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1" rspace="0.1389em" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0em" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.2.cmml">∂</mo><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.3.cmml">t</mi></msub><mover accent="true" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml"><msub id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.2.cmml">∂</mo><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.3.cmml">x</mi></msub><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.cmml">f</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="S3.E5.m1.3.3.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.3.3.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.E5.m1.3.3" xref="S3.E5.m1.3.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.3.3.2" xref="S3.E5.m1.3.3.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E5.m1.3.3.1" xref="S3.E5.m1.3.3.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.E5.m1.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1" lspace="0em" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml"><msub id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.cmml"><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.2" rspace="0em" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.2.cmml">∂</mo><mrow id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3.2.cmml">x</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3.3" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3.3.cmml">x</mi></mrow></msub><mover accent="true" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.2" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.1" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E5.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E5.m1.4b"><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1"><eq id="S3.E5.m1.4.4.1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.1"></eq><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2"><times id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.1"></times><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.2">𝑟</ci><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.2.3">𝛾</ci></apply><list id="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.2.3.2"><ci id="S3.E5.m1.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.1.1">⋅</ci><apply id="S3.E5.m1.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.2.2"><ci id="S3.E5.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.E5.m1.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.2.2.2">𝑢</ci></apply></list></apply><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3"><minus id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.1"></minus><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2"><plus id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.1"></plus><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2"><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.2"></partialdiff><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.1.3">𝑡</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2"><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.1">^</ci><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.2.2.2">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3"><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.2"></partialdiff><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.1.3">𝑥</ci></apply><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2"><times id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.1"></times><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.2">𝑓</ci><apply id="S3.E5.m1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.2.3.2.3.2"><ci id="S3.E5.m1.3.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.1">^</ci><ci id="S3.E5.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.3.3.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3"><times id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.2">𝛾</ci><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3"><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1">subscript</csymbol><partialdiff id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.2"></partialdiff><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3"><times id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3.1"></times><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3.2">𝑥</ci><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3.3.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.1.3.3">𝑥</ci></apply></apply><apply id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.2"><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.1">^</ci><ci id="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.E5.m1.4.4.1.1.3.3.3.2.2">𝑢</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E5.m1.4c">r_{\gamma}(\cdot;\hat{u})=\partial_{t}\hat{u}+\partial_{x}f(\hat{u})-\gamma% \partial_{xx}\hat{u}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E5.m1.4d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ ; over^ start_ARG italic_u end_ARG ) = ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_t end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_u end_ARG + ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x end_POSTSUBSCRIPT italic_f ( over^ start_ARG italic_u end_ARG ) - italic_γ ∂ start_POSTSUBSCRIPT italic_x italic_x end_POSTSUBSCRIPT over^ start_ARG italic_u end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(5)</span></td> </tr></tbody> </table> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p4.12">The previous problem cannot be numerically solved because it contains integrals. Following the methodology in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib13" title="">13</a>]</cite> using Monte-Carlo sampling and the Lagrangian formulation, we get the following relaxed but numerically tractable optimization problem:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex3"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\boldsymbol{\theta}^{*}=\operatorname*{Argmin}_{\boldsymbol{\theta}}\ \max_{% \lambda>0}\ \mathcal{L}_{\lambda}(\hat{u},\gamma)," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex3.m1.3"><semantics id="S3.Ex3.m1.3a"><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">∗</mo></msup><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1" rspace="0.1389em" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml"><munder id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0.167em" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.2.cmml">Argmin</mo><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3.cmml">𝜽</mi></munder><munder id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.2.cmml">max</mi><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml">λ</mi><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml">></mo><mn id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow></munder></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2a" lspace="0.167em" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.cmml">⁡</mo><msub id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml">λ</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.Ex3.m1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex3.m1.1.1.2" xref="S3.Ex3.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex3.m1.1.1.1" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex3.m1.2.2" xref="S3.Ex3.m1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex3.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex3.m1.3b"><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.2">𝜽</ci><times id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.2.3"></times></apply><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3"><times id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2"><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1"><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.2">Argmin</ci><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.1.3">𝜽</ci></apply><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2">subscript</csymbol><max id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.2"></max><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3"><gt id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3.1"></gt><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3.2">𝜆</ci><cn id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.1.2.3.3">0</cn></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.2.2.3">𝜆</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.3.3.1.1.3.3.2"><apply id="S3.Ex3.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1"><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.1">^</ci><ci id="S3.Ex3.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.1.1.2">𝑢</ci></apply><ci id="S3.Ex3.m1.2.2.cmml" xref="S3.Ex3.m1.2.2">𝛾</ci></interval></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex3.m1.3c">\boldsymbol{\theta}^{*}=\operatorname*{Argmin}_{\boldsymbol{\theta}}\ \max_{% \lambda>0}\ \mathcal{L}_{\lambda}(\hat{u},\gamma),</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex3.m1.3d">bold_italic_θ start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = roman_Argmin start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_θ end_POSTSUBSCRIPT roman_max start_POSTSUBSCRIPT italic_λ > 0 end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_u end_ARG , italic_γ ) ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p4.1">where <math alttext="\mathcal{L}_{\lambda}(\hat{u},\gamma)=\mathcal{L}_{data}(\hat{u}(\cdot,\theta)% )+\lambda\mathcal{L}_{phy}(\hat{u}(\cdot,\theta),0)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.1.m1.9"><semantics id="S3.SS1.p4.1.m1.9a"><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.cmml"><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.cmml"><msub id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.2.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.2.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.2.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.2.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.3.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.3.2.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.2.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.2.2.cmml">γ</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.cmml"><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.3.cmml">a</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.1a" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.4" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.4.cmml">t</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.1b" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.5" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.5.cmml">a</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.3.3" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS1.p4.1.m1.3.3.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.4.4" xref="S3.SS1.p4.1.m1.4.4.cmml">θ</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.3.cmml">+</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.3.cmml">λ</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.2.cmml">⁢</mo><msub id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.2.cmml">ℒ</mi><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.3.cmml">h</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.1a" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.4" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.4.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.2a" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.2.cmml">(</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.5.5" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS1.p4.1.m1.5.5.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.2.2" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.cmml">θ</mi><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.SS1.p4.1.m1.7.7" xref="S3.SS1.p4.1.m1.7.7.cmml">0</mn><mo id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.1.m1.9b"><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9"><eq id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.3"></eq><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4"><times id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.1"></times><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.2.2">ℒ</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.2.3">𝜆</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.4.3.2"><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1"><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.1.1.2">𝑢</ci></apply><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.2.2">𝛾</ci></interval></apply><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2"><plus id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.3"></plus><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1"><times id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.2"></times><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.2">ℒ</ci><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3"><times id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.2">𝑑</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.3">𝑎</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.4">𝑡</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.5.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.3.3.5">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1"><times id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.8.8.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.3.3">⋅</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.4.4.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.4.4">𝜃</ci></interval></apply></apply><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2"><times id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.2"></times><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.3">𝜆</ci><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.2">ℒ</ci><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3"><times id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.3">ℎ</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.4.3.4">𝑦</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1"><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1"><times id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.1"></times><apply id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2"><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.2.2">𝑢</ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.9.9.2.2.1.1.1.3.2"><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.5.5.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.5.5">⋅</ci><ci id="S3.SS1.p4.1.m1.6.6.cmml" xref="S3.SS1.p4.1.m1.6.6">𝜃</ci></interval></apply><cn id="S3.SS1.p4.1.m1.7.7.cmml" type="integer" xref="S3.SS1.p4.1.m1.7.7">0</cn></interval></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.1.m1.9c">\mathcal{L}_{\lambda}(\hat{u},\gamma)=\mathcal{L}_{data}(\hat{u}(\cdot,\theta)% )+\lambda\mathcal{L}_{phy}(\hat{u}(\cdot,\theta),0)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.1.m1.9d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_u end_ARG , italic_γ ) = caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_a italic_t italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_u end_ARG ( ⋅ , italic_θ ) ) + italic_λ caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_h italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_u end_ARG ( ⋅ , italic_θ ) , 0 )</annotation></semantics></math>.</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex4"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{L}_{data}(\hat{u})=\frac{1}{|\mathcal{D}_{data}|}\sum_{(t,x)\in% \mathcal{D}_{data}}\left|u(t,x)-\hat{u}(t,x)\right|^{2}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex4.m1.9"><semantics id="S3.Ex4.m1.9a"><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.2.cmml">ℒ</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.cmml">a</mi><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.1a" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.4" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.1b" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.5" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.5.cmml">a</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.Ex4.m1.4.4" xref="S3.Ex4.m1.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.4.4.2" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex4.m1.4.4.1" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.4.4.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex4.m1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex4.m1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.1b" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.5" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.5.cmml">a</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><munder id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.3.3.2" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.3.3.2.4.2" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.3.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex4.m1.3.3.2.4.2.2" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex4.m1.3.3.2.2" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex4.m1.3.3.2.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.3.3.2.3" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.3.cmml">∈</mo><msub id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.2" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.2" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.1" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.3" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.3.cmml">a</mi><mo id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.1a" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.4" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.4.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.1b" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.5" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.5.cmml">a</mi></mrow></msub></mrow></munder><msup id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex4.m1.5.5" xref="S3.Ex4.m1.5.5.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex4.m1.6.6" xref="S3.Ex4.m1.6.6.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex4.m1.7.7" xref="S3.Ex4.m1.7.7.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex4.m1.8.8" xref="S3.Ex4.m1.8.8.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex4.m1.9.9.1.2" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex4.m1.9b"><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1"><eq id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3"><times id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.2">ℒ</ci><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3"><times id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.3">𝑎</ci><ci id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.4">𝑡</ci><ci id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.5.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.2.3.5">𝑎</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.3.3.2"><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.1">^</ci><ci id="S3.Ex4.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.4.4.2">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1"><times id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1"><divide id="S3.Ex4.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1"></divide><cn id="S3.Ex4.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1"><abs id="S3.Ex4.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.2">𝒟</ci><apply id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.4">𝑡</ci><ci id="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S3.Ex4.m1.1.1.1.1.1.3.5">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex4.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2"><in id="S3.Ex4.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.3"></in><interval closure="open" id="S3.Ex4.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.4.2"><ci id="S3.Ex4.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.2.2.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.Ex4.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.2">𝑥</ci></interval><apply id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.2">𝒟</ci><apply id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3"><times id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.1"></times><ci id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.2">𝑑</ci><ci id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.3">𝑎</ci><ci id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.4.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.4">𝑡</ci><ci id="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.5.cmml" xref="S3.Ex4.m1.3.3.2.5.3.5">𝑎</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><times id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1"></times><ci id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci><interval closure="open" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.2"><ci id="S3.Ex4.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex4.m1.5.5">𝑡</ci><ci id="S3.Ex4.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex4.m1.6.6">𝑥</ci></interval></apply><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2">𝑢</ci></apply><interval closure="open" id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2"><ci id="S3.Ex4.m1.7.7.cmml" xref="S3.Ex4.m1.7.7">𝑡</ci><ci id="S3.Ex4.m1.8.8.cmml" xref="S3.Ex4.m1.8.8">𝑥</ci></interval></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex4.m1.9.9.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex4.m1.9c">\mathcal{L}_{data}(\hat{u})=\frac{1}{|\mathcal{D}_{data}|}\sum_{(t,x)\in% \mathcal{D}_{data}}\left|u(t,x)-\hat{u}(t,x)\right|^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex4.m1.9d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_a italic_t italic_a end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_u end_ARG ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_a italic_t italic_a end_POSTSUBSCRIPT | end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_x ) ∈ caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_a italic_t italic_a end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | italic_u ( italic_t , italic_x ) - over^ start_ARG italic_u end_ARG ( italic_t , italic_x ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex5"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{L}_{phy}(\hat{u},\gamma)=\frac{1}{|\mathcal{D}_{phy}|}\sum_{(t,x)\in% \mathcal{D}_{phy}}\left|r_{\gamma}(t,x;\hat{u})\right|^{2}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex5.m1.9"><semantics id="S3.Ex5.m1.9a"><mrow id="S3.Ex5.m1.9.9.1" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.2.cmml">ℒ</mi><mrow id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.2" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.1" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.cmml">h</mi><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.1a" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.4" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.1" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.3.1.cmml">(</mo><mover accent="true" id="S3.Ex5.m1.4.4" xref="S3.Ex5.m1.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.4.4.2" xref="S3.Ex5.m1.4.4.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex5.m1.4.4.1" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex5.m1.5.5" xref="S3.Ex5.m1.5.5.cmml">γ</mi><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.cmml"><mfrac id="S3.Ex5.m1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.cmml"><mn id="S3.Ex5.m1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">h</mi><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.4" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.4.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.cmml"><munder id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.2.2" movablelimits="false" rspace="0em" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.3.3.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.3.3.2.4.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.2.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.4.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.2.4.2.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.4.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.2.4.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.4.1.cmml">)</mo></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.2.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.3.cmml">∈</mo><msub id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.2" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.1" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.3" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.3.cmml">h</mi><mo id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.1a" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.4" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.4.cmml">y</mi></mrow></msub></mrow></munder><msup id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">r</mi><mi id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml">γ</mi></msub><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex5.m1.6.6" xref="S3.Ex5.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.Ex5.m1.7.7" xref="S3.Ex5.m1.7.7.cmml">x</mi><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">;</mo><mover accent="true" id="S3.Ex5.m1.8.8" xref="S3.Ex5.m1.8.8.cmml"><mi id="S3.Ex5.m1.8.8.2" xref="S3.Ex5.m1.8.8.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex5.m1.8.8.1" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1.cmml">^</mo></mover><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mn id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex5.m1.9.9.1.2" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex5.m1.9b"><apply id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1"><eq id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3"><times id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.1"></times><apply id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.2">ℒ</ci><apply id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3"><times id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.3">ℎ</ci><ci id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.2.3.4">𝑦</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.3.3.2"><apply id="S3.Ex5.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.4.4"><ci id="S3.Ex5.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.4.4.1">^</ci><ci id="S3.Ex5.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.4.4.2">𝑢</ci></apply><ci id="S3.Ex5.m1.5.5.cmml" xref="S3.Ex5.m1.5.5">𝛾</ci></interval></apply><apply id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1"><times id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1"><divide id="S3.Ex5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1"></divide><cn id="S3.Ex5.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.1.1.3">1</cn><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1"><abs id="S3.Ex5.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.2">𝒟</ci><apply id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3"><times id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.3">ℎ</ci><ci id="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.1.1.1.1.1.3.4">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2"><in id="S3.Ex5.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.3"></in><interval closure="open" id="S3.Ex5.m1.3.3.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.4.2"><ci id="S3.Ex5.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.2.2.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.2">𝑥</ci></interval><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.2">𝒟</ci><apply id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3"><times id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.1"></times><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.3">ℎ</ci><ci id="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.4.cmml" xref="S3.Ex5.m1.3.3.2.5.3.4">𝑦</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1"><abs id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1"><times id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑟</ci><ci id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.2.3">𝛾</ci></apply><vector id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.Ex5.m1.6.6.cmml" xref="S3.Ex5.m1.6.6">𝑡</ci><ci id="S3.Ex5.m1.7.7.cmml" xref="S3.Ex5.m1.7.7">𝑥</ci><apply id="S3.Ex5.m1.8.8.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8"><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.1.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.1">^</ci><ci id="S3.Ex5.m1.8.8.2.cmml" xref="S3.Ex5.m1.8.8.2">𝑢</ci></apply></vector></apply></apply><cn id="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex5.m1.9.9.1.1.1.1.1.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex5.m1.9c">\mathcal{L}_{phy}(\hat{u},\gamma)=\frac{1}{|\mathcal{D}_{phy}|}\sum_{(t,x)\in% \mathcal{D}_{phy}}\left|r_{\gamma}(t,x;\hat{u})\right|^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex5.m1.9d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_h italic_y end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_u end_ARG , italic_γ ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG | caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_h italic_y end_POSTSUBSCRIPT | end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_x ) ∈ caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_h italic_y end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT | italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT ( italic_t , italic_x ; over^ start_ARG italic_u end_ARG ) | start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p4.11">with <math alttext="\mathcal{D}_{phy}\subset\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.2.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p4.2.m1.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.1" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.3.cmml">h</mi><mo id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.1a" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.4" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.4.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.3.cmml">Λ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.2.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1"><subset id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.1"></subset><apply id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.2">𝒟</ci><apply id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3"><times id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.3">ℎ</ci><ci id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.2.3.4">𝑦</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.2.m1.1.1.3">Λ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.2.m1.1c">\mathcal{D}_{phy}\subset\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.2.m1.1d">caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_h italic_y end_POSTSUBSCRIPT ⊂ roman_Λ</annotation></semantics></math> a discrete set of cardinal <math alttext="|\mathcal{D}_{phy}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.3.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p4.3.m2.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.3.cmml">h</mi><mo id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.4" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.4.cmml">y</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.3.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1"><abs id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.2">𝒟</ci><apply id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.3">ℎ</ci><ci id="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p4.3.m2.1.1.1.1.3.4">𝑦</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.3.m2.1c">|\mathcal{D}_{phy}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.3.m2.1d">| caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_h italic_y end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> and <math alttext="\mathcal{D}_{data}\subset\Gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.4.m3.1"><semantics id="S3.SS1.p4.4.m3.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.2" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.1" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.3" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.3.cmml">a</mi><mo id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.1a" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.4" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.4.cmml">t</mi><mo id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.1b" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.5" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.5.cmml">a</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.1.cmml">⊂</mo><mi id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.3" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.3.cmml">Γ</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.4.m3.1b"><apply id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1"><subset id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.1"></subset><apply id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.2">𝒟</ci><apply id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3"><times id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.2">𝑑</ci><ci id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.3">𝑎</ci><ci id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.4">𝑡</ci><ci id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.5.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.2.3.5">𝑎</ci></apply></apply><ci id="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.4.m3.1.1.3">Γ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.4.m3.1c">\mathcal{D}_{data}\subset\Gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.4.m3.1d">caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_a italic_t italic_a end_POSTSUBSCRIPT ⊂ roman_Γ</annotation></semantics></math> a discrete set of cardinal <math alttext="|\mathcal{D}_{data}|" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.5.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p4.5.m4.1a"><mrow id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.2" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.2.cmml">𝒟</mi><mrow id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.3.cmml">a</mi><mo id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.1a" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.4" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.4.cmml">t</mi><mo id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.1b" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.5" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.5.cmml">a</mi></mrow></msub><mo id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.5.m4.1b"><apply id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1"><abs id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.2">𝒟</ci><apply id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.3">𝑎</ci><ci id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.4">𝑡</ci><ci id="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.5.cmml" xref="S3.SS1.p4.5.m4.1.1.1.1.3.5">𝑎</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.5.m4.1c">|\mathcal{D}_{data}|</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.5.m4.1d">| caligraphic_D start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_a italic_t italic_a end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math>. This problem is typically solved using a primal-dual strategy, alternating between gradient descent on the <math alttext="\min" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.6.m5.1"><semantics id="S3.SS1.p4.6.m5.1a"><mi id="S3.SS1.p4.6.m5.1.1" xref="S3.SS1.p4.6.m5.1.1.cmml">min</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.6.m5.1b"><min id="S3.SS1.p4.6.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.6.m5.1.1"></min></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.6.m5.1c">\min</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.6.m5.1d">roman_min</annotation></semantics></math> problem over the tensor of parameters <math alttext="\theta" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.7.m6.1"><semantics id="S3.SS1.p4.7.m6.1a"><mi id="S3.SS1.p4.7.m6.1.1" xref="S3.SS1.p4.7.m6.1.1.cmml">θ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.7.m6.1b"><ci id="S3.SS1.p4.7.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.7.m6.1.1">𝜃</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.7.m6.1c">\theta</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.7.m6.1d">italic_θ</annotation></semantics></math> and the <math alttext="\max" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.8.m7.1"><semantics id="S3.SS1.p4.8.m7.1a"><mi id="S3.SS1.p4.8.m7.1.1" xref="S3.SS1.p4.8.m7.1.1.cmml">max</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.8.m7.1b"><max id="S3.SS1.p4.8.m7.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.8.m7.1.1"></max></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.8.m7.1c">\max</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.8.m7.1d">roman_max</annotation></semantics></math> over the Lagrange multiplier <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.9.m8.1"><semantics id="S3.SS1.p4.9.m8.1a"><mi id="S3.SS1.p4.9.m8.1.1" xref="S3.SS1.p4.9.m8.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.9.m8.1b"><ci id="S3.SS1.p4.9.m8.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.9.m8.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.9.m8.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.9.m8.1d">italic_λ</annotation></semantics></math>. A simpler and often efficient method is to fix <math alttext="\lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.10.m9.1"><semantics id="S3.SS1.p4.10.m9.1a"><mi id="S3.SS1.p4.10.m9.1.1" xref="S3.SS1.p4.10.m9.1.1.cmml">λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.10.m9.1b"><ci id="S3.SS1.p4.10.m9.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.10.m9.1.1">𝜆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.10.m9.1c">\lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.10.m9.1d">italic_λ</annotation></semantics></math> to a small constant and apply gradient descent only to the <math alttext="\min" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p4.11.m10.1"><semantics id="S3.SS1.p4.11.m10.1a"><mi id="S3.SS1.p4.11.m10.1.1" xref="S3.SS1.p4.11.m10.1.1.cmml">min</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p4.11.m10.1b"><min id="S3.SS1.p4.11.m10.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p4.11.m10.1.1"></min></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p4.11.m10.1c">\min</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p4.11.m10.1d">roman_min</annotation></semantics></math> problem. For simplicity, we consider this option in this paper.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="101" id="S3.F1.g1" src="x1.png" width="166"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F1.2.1.1" style="font-size:90%;">Figure 1</span>: </span><span class="ltx_text" id="S3.F1.3.2" style="font-size:90%;">Vanilla PINN structure. Black lines are forwardpass and red-dotted lines are backpropagation.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p5"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p5.4">The total loss function consists then of two terms: the data mismatch <math alttext="\mathcal{L}_{data}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.1.m1.1"><semantics id="S3.SS1.p5.1.m1.1a"><msub id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mrow id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml">d</mi><mo id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml">a</mi><mo id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.1a" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.4" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.4.cmml">t</mi><mo id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.1b" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.5" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.5.cmml">a</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.1.m1.1b"><apply id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.2">ℒ</ci><apply id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3"><times id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.2">𝑑</ci><ci id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.3">𝑎</ci><ci id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.4">𝑡</ci><ci id="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.5.cmml" xref="S3.SS1.p5.1.m1.1.1.3.5">𝑎</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.1.m1.1c">\mathcal{L}_{data}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.1.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_d italic_a italic_t italic_a end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the PDE residual <math alttext="\mathcal{L}_{phy}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.2.m2.1"><semantics id="S3.SS1.p5.2.m2.1a"><msub id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mrow id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml">p</mi><mo id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.1" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml">h</mi><mo id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.1a" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.4" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.4.cmml">y</mi></mrow></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.2.m2.1b"><apply id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.2">ℒ</ci><apply id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3"><times id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.1"></times><ci id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.2">𝑝</ci><ci id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.3">ℎ</ci><ci id="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.4.cmml" xref="S3.SS1.p5.2.m2.1.1.3.4">𝑦</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.2.m2.1c">\mathcal{L}_{phy}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.2.m2.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_p italic_h italic_y end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>. These losses are computed using the mean square error between the true and the approximated solution, making the optimization problem a learning one. For the physics loss, we want to minimize the PDE residual <math alttext="r_{\gamma}(\cdot;\boldsymbol{\theta})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.3.m3.2"><semantics id="S3.SS1.p5.3.m3.2a"><mrow id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.cmml"><msub id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.2" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.2.2" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.2.2.cmml">r</mi><mi id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.2.3" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.2.3.cmml">γ</mi></msub><mo id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.1" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.3.2" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.3.1.cmml"><mo id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.3.1.cmml">(</mo><mo id="S3.SS1.p5.3.m3.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.3.2.2" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.3.1.cmml">;</mo><mi id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.cmml">𝜽</mi><mo id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.3.m3.2b"><apply id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3"><times id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.1"></times><apply id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.2.2">𝑟</ci><ci id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.2.3">𝛾</ci></apply><list id="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.3.3.2"><ci id="S3.SS1.p5.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.1.1">⋅</ci><ci id="S3.SS1.p5.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS1.p5.3.m3.2.2">𝜽</ci></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.3.m3.2c">r_{\gamma}(\cdot;\boldsymbol{\theta})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.3.m3.2d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ ; bold_italic_θ )</annotation></semantics></math> over <math alttext="\Lambda" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS1.p5.4.m4.1"><semantics id="S3.SS1.p5.4.m4.1a"><mi id="S3.SS1.p5.4.m4.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml">Λ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS1.p5.4.m4.1b"><ci id="S3.SS1.p5.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS1.p5.4.m4.1.1">Λ</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS1.p5.4.m4.1c">\Lambda</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS1.p5.4.m4.1d">roman_Λ</annotation></semantics></math>, bringing regularization and forcing the convergence to the solution of the PDE. The general structure of PINN is illustrated in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S3.F1" title="Figure 1 ‣ III-A Classical PINN ‣ III Methodology ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS1.p6"> <p class="ltx_p" id="S3.SS1.p6.1">As explained in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib13" title="">13</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib14" title="">14</a>]</cite>, the PINN methodology only succeeds in the case of a Lipschitz continuous PDE operator, which is never the case in hyperbolic problems such as (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>). The following section provides a detailed discussion of a refined architecture that proposes a solution.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS2"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS2.4.1.1">III-B</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS2.5.2">Residual PINN</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p1.5">First, consider solving the regularized PDE in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E2" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>). If <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.SS2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.1.m1.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.1.m1.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.1.m1.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> is small enough, then the approximated solution will be close to the entropic solution of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>), based on the vanishing viscosity method <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite>. To this end, the initial stage consists of a baseline PINN designed to approximate the solution <math alttext="u_{\gamma_{\text{init}}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml">u</mi><msub id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mtext id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3a.cmml">init</mtext></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3"><mtext id="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" mathsize="50%" xref="S3.SS2.p1.2.m2.1.1.3.3">init</mtext></ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.2.m2.1c">u_{\gamma_{\text{init}}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.2.m2.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT init end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> to the parabolic PDE (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E2" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) by <math alttext="\hat{u}^{(0)}(\cdot;\boldsymbol{\theta}_{0})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.3.m3.3"><semantics id="S3.SS2.p1.3.m3.3a"><mrow id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.cmml"><msup id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.2" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.2.2" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.2.1" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.2" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.2.cmml">(</mo><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.2.cmml">;</mo><msub id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml">𝜽</mi><mn id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.3.m3.3b"><apply id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3"><times id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.2"></times><apply id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.2"><ci id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.2.1">^</ci><ci id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.3.2.2">𝑢</ci></apply><cn id="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.3.m3.1.1.1.1">0</cn></apply><list id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1"><ci id="S3.SS2.p1.3.m3.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.2.2">⋅</ci><apply id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.1.2">𝜽</ci><cn id="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p1.3.m3.3.3.1.1.1.3">0</cn></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.3.m3.3c">\hat{u}^{(0)}(\cdot;\boldsymbol{\theta}_{0})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.3.m3.3d">over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT ( ⋅ ; bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>. At this stage, the viscosity coefficient <math alttext="\gamma_{\text{init}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p1.4.m4.1a"><msub id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml">γ</mi><mtext id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3a.cmml">init</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3"><mtext id="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS2.p1.4.m4.1.1.3">init</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.4.m4.1c">\gamma_{\text{init}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.4.m4.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT init end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is chosen to be large enough to ensure that <math alttext="\hat{u}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p1.5.m5.1a"><mover accent="true" id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.1" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml">^</mo></mover><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1"><ci id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.1">^</ci><ci id="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p1.5.m5.1.1.2">𝑢</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p1.5.m5.1c">\hat{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p1.5.m5.1d">over^ start_ARG italic_u end_ARG</annotation></semantics></math> is entropic and that the PDE operator is sufficiently Lipschitz to guarantee that the PINN can successfully learn the approximated solution.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.5">One key idea of this article is to combine the vanishing methodology with the residual-network architecture <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib15" title="">15</a>]</cite>. Subsequently, we introduce a residual stage where <math alttext="\hat{u}^{(0)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p2.1.m1.1a"><msup id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2"><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><cn id="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.1.m1.1.1.1.1">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.1.m1.1c">\hat{u}^{(0)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is refined by a single residual correction network to get <math alttext="\hat{u}^{(1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p2.2.m2.1a"><msup id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2.1" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2"><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><cn id="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.2.m2.1.1.1.1">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.2.m2.1c">\hat{u}^{(1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.2.m2.1d">over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>, as shown in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S3.F2" title="Figure 2 ‣ III-B Residual PINN ‣ III Methodology ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>. This residual-correction PINN bears a close resemblance to a Luenberger observer that feedbacks the difference <math alttext="u-\hat{u}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p2.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.2" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.1" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1"><minus id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.1"></minus><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3"><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.1">^</ci><ci id="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.3.m3.1.1.3.2">𝑢</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.3.m3.1c">u-\hat{u}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.3.m3.1d">italic_u - over^ start_ARG italic_u end_ARG</annotation></semantics></math> to update its estimate. In both cases, the discrepancy triggers the correction. At this stage, the viscosity coefficient is <math alttext="\gamma_{1}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p2.4.m4.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml"><msub id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1"><eq id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.2">𝛾</ci><cn id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.2.3">1</cn></apply><cn id="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.4.m4.1c">\gamma_{1}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.4.m4.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>, hence the solution to the hyperbolic PDE in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) is approximated by <math alttext="\hat{u}^{(1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p2.5.m5.1a"><msup id="S3.SS2.p2.5.m5.1.2" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.2" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.2.1" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.2"><ci id="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><cn id="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.5.m5.1.1.1.1">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.5.m5.1c">\hat{u}^{(1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.5.m5.1d">over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>. Consequently, the solution approximation at the second stage is:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\hat{u}^{(1)}(t,x;\boldsymbol{\theta}_{1})=\hat{u}^{(0)}(t,x;\boldsymbol{% \theta}_{0})+\lvert\alpha_{1}\rvert\mathcal{N}\big{(}[t,x,\hat{u}^{(0)}(t,x)];% \boldsymbol{\theta}_{1}\big{)}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E6.m1.12"><semantics id="S3.E6.m1.12a"><mrow id="S3.E6.m1.12.12.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.12.12.1.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.2.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.E6.m1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.cmml"><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.cmml">(</mo><mn id="S3.E6.m1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.E6.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E6.m1.4.4" xref="S3.E6.m1.4.4.cmml">t</mi><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.m1.5.5" xref="S3.E6.m1.5.5.cmml">x</mi><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.4" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.2.cmml">;</mo><msub id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝜽</mi><mn id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.5" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.6" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.6.cmml">=</mo><mrow id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.cmml"><msup id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.2.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.2.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.E6.m1.2.2.1.3" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.cmml"><mo id="S3.E6.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.cmml">(</mo><mn id="S3.E6.m1.2.2.1.1" xref="S3.E6.m1.2.2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.E6.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.E6.m1.6.6" xref="S3.E6.m1.6.6.cmml">t</mi><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.m1.7.7" xref="S3.E6.m1.7.7.cmml">x</mi><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.4" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.2.cmml">;</mo><msub id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml">𝜽</mi><mn id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.5" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.5" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.5.cmml">+</mo><mrow id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.cmml"><mrow id="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml">α</mi><mn id="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.4" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.4.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.5" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.5.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.4a" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.4.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.3.cmml"><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.3" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.3.cmml">(</mo><mrow id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.2.cmml">[</mo><mi id="S3.E6.m1.10.10" xref="S3.E6.m1.10.10.cmml">t</mi><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.3" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.2.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.m1.11.11" xref="S3.E6.m1.11.11.cmml">x</mi><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.4" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.2.cmml">,</mo><mrow id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.E6.m1.3.3.1.3" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.E6.m1.3.3.1.1" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.E6.m1.3.3.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.3.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml"><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E6.m1.8.8" xref="S3.E6.m1.8.8.cmml">t</mi><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E6.m1.9.9" xref="S3.E6.m1.9.9.cmml">x</mi><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.5" stretchy="false" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.2.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.4" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.3.cmml">;</mo><msub id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.2.cmml"><mi id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.2.2" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.2.2.cmml">𝜽</mi><mn id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.2.3" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.5" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E6.m1.12.12.1.2" lspace="0em" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E6.m1.12b"><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1"><eq id="S3.E6.m1.12.12.1.1.6.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.6"></eq><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1"><times id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.2"><ci id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.2.1">^</ci><ci id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.3.2.2">𝑢</ci></apply><cn id="S3.E6.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.1.1.1.1">1</cn></apply><vector id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E6.m1.4.4.cmml" xref="S3.E6.m1.4.4">𝑡</ci><ci id="S3.E6.m1.5.5.cmml" xref="S3.E6.m1.5.5">𝑥</ci><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.2">𝜽</ci><cn id="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.1.1.1.1.3">1</cn></apply></vector></apply><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5"><plus id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.5.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.5"></plus><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1"><times id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.2"></times><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.2"><ci id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.2.1">^</ci><ci id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.3.2.2">𝑢</ci></apply><cn id="S3.E6.m1.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.2.2.1.1">0</cn></apply><vector id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1"><ci id="S3.E6.m1.6.6.cmml" xref="S3.E6.m1.6.6">𝑡</ci><ci id="S3.E6.m1.7.7.cmml" xref="S3.E6.m1.7.7">𝑥</ci><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.2">𝜽</ci><cn id="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.2.1.1.1.1.3">0</cn></apply></vector></apply><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4"><times id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.4.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.4"></times><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1"><abs id="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.2"></abs><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.3.2.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.5.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.5">𝒩</ci><list id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.3.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2"><list id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1"><ci id="S3.E6.m1.10.10.cmml" xref="S3.E6.m1.10.10">𝑡</ci><ci id="S3.E6.m1.11.11.cmml" xref="S3.E6.m1.11.11">𝑥</ci><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1"><times id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.1"></times><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><cn id="S3.E6.m1.3.3.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.3.3.1.1">0</cn></apply><interval closure="open" id="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.4.3.2.1.1.1.1.3.2"><ci id="S3.E6.m1.8.8.cmml" xref="S3.E6.m1.8.8">𝑡</ci><ci id="S3.E6.m1.9.9.cmml" xref="S3.E6.m1.9.9">𝑥</ci></interval></apply></list><apply id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.2.2.cmml" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.2.2">𝜽</ci><cn id="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.E6.m1.12.12.1.1.5.4.3.2.2.3">1</cn></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E6.m1.12c">\hat{u}^{(1)}(t,x;\boldsymbol{\theta}_{1})=\hat{u}^{(0)}(t,x;\boldsymbol{% \theta}_{0})+\lvert\alpha_{1}\rvert\mathcal{N}\big{(}[t,x,\hat{u}^{(0)}(t,x)];% \boldsymbol{\theta}_{1}\big{)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E6.m1.12d">over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t , italic_x ; bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) = over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t , italic_x ; bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT ) + | italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT | caligraphic_N ( [ italic_t , italic_x , over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t , italic_x ) ] ; bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(6)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.8">In practice, the residual block is a feedforward neural network whose inputs include the spatiotemporal coordinates <math alttext="(t,x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.6.m1.2"><semantics id="S3.SS2.p2.6.m1.2a"><mrow id="S3.SS2.p2.6.m1.2.3.2" xref="S3.SS2.p2.6.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.6.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.6.m1.2.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p2.6.m1.1.1" xref="S3.SS2.p2.6.m1.1.1.cmml">t</mi><mo id="S3.SS2.p2.6.m1.2.3.2.2" xref="S3.SS2.p2.6.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p2.6.m1.2.2" xref="S3.SS2.p2.6.m1.2.2.cmml">x</mi><mo id="S3.SS2.p2.6.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.6.m1.2.3.1.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.6.m1.2b"><interval closure="open" id="S3.SS2.p2.6.m1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m1.2.3.2"><ci id="S3.SS2.p2.6.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m1.1.1">𝑡</ci><ci id="S3.SS2.p2.6.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.6.m1.2.2">𝑥</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.6.m1.2c">(t,x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.6.m1.2d">( italic_t , italic_x )</annotation></semantics></math> and the approximation at the previous step <math alttext="\hat{u}^{(0)}(t,x)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.7.m2.3"><semantics id="S3.SS2.p2.7.m2.3a"><mrow id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.cmml"><msup id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.2" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.2.2" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.2.1" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.SS2.p2.7.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.7.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.p2.7.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.7.m2.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.p2.7.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.1" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.3.2" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.3.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS2.p2.7.m2.2.2" xref="S3.SS2.p2.7.m2.2.2.cmml">t</mi><mo id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.3.2.2" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS2.p2.7.m2.3.3" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.3.cmml">x</mi><mo id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.3.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.3.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.7.m2.3b"><apply id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4"><times id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.1"></times><apply id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.2"><ci id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.2.2.2">𝑢</ci></apply><cn id="S3.SS2.p2.7.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.7.m2.1.1.1.1">0</cn></apply><interval closure="open" id="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.4.3.2"><ci id="S3.SS2.p2.7.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m2.2.2">𝑡</ci><ci id="S3.SS2.p2.7.m2.3.3.cmml" xref="S3.SS2.p2.7.m2.3.3">𝑥</ci></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.7.m2.3c">\hat{u}^{(0)}(t,x)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.7.m2.3d">over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t , italic_x )</annotation></semantics></math>. Moreover, <math alttext="\lvert\alpha_{1}\rvert" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p2.8.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p2.8.m3.1a"><mrow id="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo><msub id="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.1.2" xref="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.1.2.cmml">α</mi><mn id="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.2.1.cmml">|</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p2.8.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1"><abs id="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.2"></abs><apply id="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p2.8.m3.1.1.1.1.3">1</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p2.8.m3.1c">\lvert\alpha_{1}\rvert</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p2.8.m3.1d">| italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT |</annotation></semantics></math> is a learnable scaling parameter that determines and controls the extent to which each residual block contributes to the update. The new optimization problem is</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex6"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\boldsymbol{\theta}_{0}^{*},\boldsymbol{\theta}_{1}^{*}=\operatorname*{Argmin}% _{\boldsymbol{\theta}_{0},\boldsymbol{\theta}_{1}}\ \mathcal{L}_{res}(% \boldsymbol{\theta}_{0},\boldsymbol{\theta}_{1})+\alpha_{1}^{2}," class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex6.m1.3"><semantics id="S3.Ex6.m1.3a"><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝜽</mi><mn id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.cmml">,</mo><msubsup id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝜽</mi><mn id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml">∗</mo></msubsup></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.5" rspace="0.1389em" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.5.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.cmml"><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.cmml"><munder id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.1.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0.167em" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.1.2.cmml">Argmin</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml"><msub id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝜽</mi><mn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.cmml">𝜽</mi><mn id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub></mrow></munder><msub id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.2.cmml">ℒ</mi><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.2.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.3.cmml">e</mi><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.1a" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.4" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.4.cmml">s</mi></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml">𝜽</mi><mn id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.4" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2.2.cmml">𝜽</mi><mn id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.3.cmml">+</mo><msubsup id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.cmml"><mi id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.2.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.2.2.cmml">α</mi><mn id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.2.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.2.3.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.3" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow><mo id="S3.Ex6.m1.3.3.1.2" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex6.m1.3b"><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.5.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.5"></eq><list id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2"><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.2">𝜽</ci><cn id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.3">0</cn></apply><times id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.1.1.1.3"></times></apply><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.2">𝜽</ci><cn id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.3">1</cn></apply><times id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.2.2.2.3"></times></apply></list><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4"><plus id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.3"></plus><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2"><times id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.3"></times><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4"><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.1.2">Argmin</ci><list id="S3.Ex6.m1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2"><apply id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.2">𝜽</ci><cn id="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2.2">𝜽</ci><cn id="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.2.2.2.2.2.3">1</cn></apply></list></apply><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.2">ℒ</ci><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3"><times id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.1"></times><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.3">𝑒</ci><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.4.2.3.4">𝑠</ci></apply></apply></apply><interval closure="open" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2"><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.2">𝜽</ci><cn id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.3.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2.2">𝜽</ci><cn id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.2.2.2.2.3">1</cn></apply></interval></apply><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.2.1.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.2.2.cmml" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.2.2">𝛼</ci><cn id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.2.3">1</cn></apply><cn id="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex6.m1.3.3.1.1.4.4.3">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex6.m1.3c">\boldsymbol{\theta}_{0}^{*},\boldsymbol{\theta}_{1}^{*}=\operatorname*{Argmin}% _{\boldsymbol{\theta}_{0},\boldsymbol{\theta}_{1}}\ \mathcal{L}_{res}(% \boldsymbol{\theta}_{0},\boldsymbol{\theta}_{1})+\alpha_{1}^{2},</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex6.m1.3d">bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT , bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT = roman_Argmin start_POSTSUBSCRIPT bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_e italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) + italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p2.9">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{L}_{res}(\boldsymbol{\theta}_{0},\boldsymbol{\theta}_{1})=\frac{1}{2}% \left(\mathcal{L}_{\lambda}(\hat{u}^{(0)},\gamma_{\text{init}})+\mathcal{L}_{% \lambda}(\hat{u}^{(1)},0)\right)." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex7.m1.4"><semantics id="S3.Ex7.m1.4a"><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.1" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.2.cmml">ℒ</mi><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.2.cmml">r</mi><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.1" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.3.cmml">e</mi><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.1a" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.4" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.4.cmml">s</mi></mrow></msub><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝜽</mi><mn id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml">𝜽</mi><mn id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.4" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3.cmml"><mn id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml">1</mn><mn id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml">2</mn></mfrac><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><msub id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.4" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.4.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.4.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.4.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.4.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex7.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.4" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mtext id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml">init</mtext></msub><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.4" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.4.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.cmml"><msub id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.3.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.3.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.2.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.Ex7.m1.2.2.1.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.cmml">(</mo><mn id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.Ex7.m1.2.2.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.2.cmml">,</mo><mn id="S3.Ex7.m1.3.3" xref="S3.Ex7.m1.3.3.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.3" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex7.m1.4.4.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex7.m1.4b"><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1"><eq id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.4"></eq><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2"><times id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.3"></times><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.2">ℒ</ci><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3"><times id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.1"></times><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.2">𝑟</ci><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.3">𝑒</ci><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.4.3.4">𝑠</ci></apply></apply><interval closure="open" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2"><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.2">𝜽</ci><cn id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.1.1.1.1.3">0</cn></apply><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.2">𝜽</ci><cn id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.2.2.2.2.3">1</cn></apply></interval></apply><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3"><times id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.2"></times><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3"><divide id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3"></divide><cn id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3.2">1</cn><cn id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.3.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1"><plus id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.4"></plus><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2"><times id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.3"></times><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.4.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.4.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.4.3">𝜆</ci></apply><interval closure="open" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2"><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci></apply><cn id="S3.Ex7.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.1.1.1.1">0</cn></apply><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.3a.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.3"><mtext id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.2.2.2.2.3">init</mtext></ci></apply></interval></apply><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3"><times id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.2"></times><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.3.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.3.3">𝜆</ci></apply><interval closure="open" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1"><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex7.m1.4.4.1.1.3.1.1.1.3.1.1.1.2.2">𝑢</ci></apply><cn id="S3.Ex7.m1.2.2.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.2.2.1.1">1</cn></apply><cn id="S3.Ex7.m1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex7.m1.3.3">0</cn></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex7.m1.4c">\mathcal{L}_{res}(\boldsymbol{\theta}_{0},\boldsymbol{\theta}_{1})=\frac{1}{2}% \left(\mathcal{L}_{\lambda}(\hat{u}^{(0)},\gamma_{\text{init}})+\mathcal{L}_{% \lambda}(\hat{u}^{(1)},0)\right).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex7.m1.4d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_r italic_e italic_s end_POSTSUBSCRIPT ( bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT , bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG 2 end_ARG ( caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT init end_POSTSUBSCRIPT ) + caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT , 0 ) ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="153" id="S3.F2.g1" src="x2.png" width="249"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F2.2.1.1" style="font-size:90%;">Figure 2</span>: </span><span class="ltx_text" id="S3.F2.3.2" style="font-size:90%;">Residual PINN structure. Black lines are forwardpass and red-dotted lines are backpropagation.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p3.6">As discussed in Section 2, the vanishing viscosity principle ensures that the solution to the parabolic PDE in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E2" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>), with a small viscosity term, converges to the entropic weak solution to the corresponding hyperbolic PDE as the viscosity coefficient decreases to zero. For instance, in the case of the Burgers equation, the Cole–Hopf transformation reveals that <math alttext="u_{\gamma}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS2.p3.1.m1.1a"><msub id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml">u</mi><mi id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml">γ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.1.m1.1b"><apply id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.2">𝑢</ci><ci id="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS2.p3.1.m1.1.1.3">𝛾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.1.m1.1c">u_{\gamma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.1.m1.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> changes smoothly with viscosity <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.2.m2.1"><semantics id="S3.SS2.p3.2.m2.1a"><mi id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.2.m2.1b"><ci id="S3.SS2.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.2.m2.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.2.m2.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.2.m2.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> to converge asymptotically to the solution to the hyperbolic system. This justifies that the same applies here. The coefficient <math alttext="\alpha_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS2.p3.3.m3.1a"><msub id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2.cmml">α</mi><mn id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.3.m3.1b"><apply id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.3.m3.1c">\alpha_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.3.m3.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is introduced because we want to keep the correction small such that we only correct slightly the parabolic solution, ensuring that the hyperbolic solution remains entropic. Indeed, a large <math alttext="\alpha_{1}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.SS2.p3.4.m4.1a"><msub id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.2.cmml">α</mi><mn id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3.cmml">1</mn></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.4.m4.1b"><apply id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.2">𝛼</ci><cn id="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.4.m4.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.4.m4.1c">\alpha_{1}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.4.m4.1d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> will probably signify that <math alttext="\hat{u}^{(1)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.5.m5.1"><semantics id="S3.SS2.p3.5.m5.1a"><msup id="S3.SS2.p3.5.m5.1.2" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.2" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.2.1" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.5.m5.1b"><apply id="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.2"><ci id="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><cn id="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.5.m5.1.1.1.1">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.5.m5.1c">\hat{u}^{(1)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.5.m5.1d">over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is quite different from <math alttext="\hat{u}^{(0)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS2.p3.6.m6.1"><semantics id="S3.SS2.p3.6.m6.1a"><msup id="S3.SS2.p3.6.m6.1.2" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.2" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.2.2" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.2.1" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.SS2.p3.6.m6.1.1.1.3" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.cmml"><mo id="S3.SS2.p3.6.m6.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS2.p3.6.m6.1.1.1.1" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS2.p3.6.m6.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS2.p3.6.m6.1b"><apply id="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.2"><ci id="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><cn id="S3.SS2.p3.6.m6.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS2.p3.6.m6.1.1.1.1">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS2.p3.6.m6.1c">\hat{u}^{(0)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS2.p3.6.m6.1d">over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> which does not align with the vanishing viscosity method.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS2.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS2.p4.1">As a result, training a PINN on the parabolic form in the initial stage, which admits a unique smooth solution, and then transitioning to the hyperbolic PDE allows for acquiring both the stability of the parabolic regime and the fidelity of the hyperbolic limit.</p> </div> </section> <section class="ltx_subsection" id="S3.SS3"> <h3 class="ltx_title ltx_title_subsection"> <span class="ltx_tag ltx_tag_subsection"><span class="ltx_text" id="S3.SS3.6.1.1">III-C</span> </span><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.SS3.7.2">Stacked residual PINN and vanishing viscosity approach</span> </h3> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p1.1">While a single residual correction block may succeed in simple problems, it can fail when dealing with sharp and localized solution features. Moreover, relying on a single residual PINN to approximate both smooth regions and shocks imposes a burden on the learning process.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p2.4">The other key idea of this article is to adapt the iterative stacking method put forward by <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite>. In our study, by stacking multiple residual blocks, each trained with a successively smaller <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p2.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.1.m1.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.1.m1.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.1.m1.1d">italic_γ</annotation></semantics></math>, a multi-stage correction process is implemented following the vanishing viscosity method. In fact, each stage leverages the well-posedness of the parabolic PDE in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E2" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) to compute a smooth and stable correction, which is then gradually refined to capture the sharper features of the hyperbolic PDEs. In other words, <math alttext="\hat{u}^{(0)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p2.2.m2.1a"><msup id="S3.SS3.p2.2.m2.1.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.2.2" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.2.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.cmml">(</mo><mn id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.2"><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><cn id="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.2.m2.1.1.1.1">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.2.m2.1c">\hat{u}^{(0)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.2.m2.1d">over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 0 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> is incrementally refined by stacking <math alttext="n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p2.3.m3.1a"><mi id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml">n</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.3.m3.1b"><ci id="S3.SS3.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.3.m3.1.1">𝑛</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.3.m3.1c">n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.3.m3.1d">italic_n</annotation></semantics></math> residual-correction subnetworks. The approximation at the <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p2.4.m4.1a"><mi id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.4.m4.1b"><ci id="S3.SS3.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.4.m4.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.4.m4.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.4.m4.1d">italic_i</annotation></semantics></math>th stage is given by:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E7"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\hat{u}^{(i)}(t,x;\boldsymbol{\theta}_{i})=\hat{u}^{(i-1)}(t,x;\boldsymbol{% \theta}_{i-1})\\ +\lvert\alpha_{i}\rvert\mathcal{N}\big{(}[t,x,\hat{u}^{(i-1)}(t,x)];% \boldsymbol{\theta}_{i}\big{)}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.E7.m1.50"><semantics id="S3.E7.m1.50a"><mtable displaystyle="true" id="S3.E7.m1.50.50.4" rowspacing="0pt"><mtr id="S3.E7.m1.50.50.4a"><mtd class="ltx_align_left" columnalign="left" id="S3.E7.m1.50.50.4b"><mrow id="S3.E7.m1.49.49.3.48.23.23"><mrow id="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22"><msup id="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.3"><mover accent="true" id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.3"><mo id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.1" stretchy="false">(</mo><mi id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.1" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.3.2" stretchy="false">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.1.1"><mo id="S3.E7.m1.3.3.3.3.3.3" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4" xref="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.cmml">t</mi><mo id="S3.E7.m1.5.5.5.5.5.5" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.m1.6.6.6.6.6.6" xref="S3.E7.m1.6.6.6.6.6.6.cmml">x</mi><mo id="S3.E7.m1.7.7.7.7.7.7" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">;</mo><msub id="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.1.1.1"><mi id="S3.E7.m1.8.8.8.8.8.8" xref="S3.E7.m1.8.8.8.8.8.8.cmml">𝜽</mi><mi id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1" xref="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.10.10.10.10.10.10" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.11.11.11.11.11.11" xref="S3.E7.m1.11.11.11.11.11.11.cmml">=</mo><mrow id="S3.E7.m1.49.49.3.48.23.23.23"><msup id="S3.E7.m1.49.49.3.48.23.23.23.3"><mover accent="true" id="S3.E7.m1.12.12.12.12.12.12" xref="S3.E7.m1.12.12.12.12.12.12.cmml"><mi id="S3.E7.m1.12.12.12.12.12.12.2" xref="S3.E7.m1.12.12.12.12.12.12.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E7.m1.12.12.12.12.12.12.1" xref="S3.E7.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1" xref="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1" xref="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E7.m1.49.49.3.48.23.23.23.2" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.49.49.3.48.23.23.23.1.1"><mo id="S3.E7.m1.14.14.14.14.14.14" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.m1.15.15.15.15.15.15" xref="S3.E7.m1.15.15.15.15.15.15.cmml">t</mi><mo id="S3.E7.m1.16.16.16.16.16.16" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.m1.17.17.17.17.17.17" xref="S3.E7.m1.17.17.17.17.17.17.cmml">x</mi><mo id="S3.E7.m1.18.18.18.18.18.18" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">;</mo><msub id="S3.E7.m1.49.49.3.48.23.23.23.1.1.1"><mi id="S3.E7.m1.19.19.19.19.19.19" xref="S3.E7.m1.19.19.19.19.19.19.cmml">𝜽</mi><mrow id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1" xref="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1.cmml"><mi id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1.2" xref="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1.1" xref="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1.3" xref="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1.3.cmml">1</mn></mrow></msub><mo id="S3.E7.m1.21.21.21.21.21.21" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr id="S3.E7.m1.50.50.4c"><mtd class="ltx_align_right" columnalign="right" id="S3.E7.m1.50.50.4d"><mrow id="S3.E7.m1.50.50.4.49.26.26.26"><mrow id="S3.E7.m1.50.50.4.49.26.26.26.1"><mo id="S3.E7.m1.50.50.4.49.26.26.26.1a" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.E7.m1.50.50.4.49.26.26.26.1.3"><mrow id="S3.E7.m1.50.50.4.49.26.26.26.1.1.1.1"><mo id="S3.E7.m1.23.23.23.2.2.2" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">|</mo><msub id="S3.E7.m1.50.50.4.49.26.26.26.1.1.1.1.1"><mi id="S3.E7.m1.24.24.24.3.3.3" xref="S3.E7.m1.24.24.24.3.3.3.cmml">α</mi><mi id="S3.E7.m1.25.25.25.4.4.4.1" xref="S3.E7.m1.25.25.25.4.4.4.1.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.26.26.26.5.5.5" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">|</mo></mrow><mo id="S3.E7.m1.50.50.4.49.26.26.26.1.3.4" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.E7.m1.27.27.27.6.6.6" xref="S3.E7.m1.27.27.27.6.6.6.cmml">𝒩</mi><mo id="S3.E7.m1.50.50.4.49.26.26.26.1.3.4a" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.50.50.4.49.26.26.26.1.3.3.2"><mo id="S3.E7.m1.28.28.28.7.7.7" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.m1.50.50.4.49.26.26.26.1.2.2.1.1"><mo id="S3.E7.m1.29.29.29.8.8.8" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">[</mo><mi id="S3.E7.m1.30.30.30.9.9.9" xref="S3.E7.m1.30.30.30.9.9.9.cmml">t</mi><mo id="S3.E7.m1.31.31.31.10.10.10" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.m1.32.32.32.11.11.11" xref="S3.E7.m1.32.32.32.11.11.11.cmml">x</mi><mo id="S3.E7.m1.33.33.33.12.12.12" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">,</mo><mrow id="S3.E7.m1.50.50.4.49.26.26.26.1.2.2.1.1.1.1"><msup id="S3.E7.m1.50.50.4.49.26.26.26.1.2.2.1.1.1.1.2"><mover accent="true" id="S3.E7.m1.34.34.34.13.13.13" xref="S3.E7.m1.34.34.34.13.13.13.cmml"><mi id="S3.E7.m1.34.34.34.13.13.13.2" xref="S3.E7.m1.34.34.34.13.13.13.2.cmml">u</mi><mo id="S3.E7.m1.34.34.34.13.13.13.1" xref="S3.E7.m1.34.34.34.13.13.13.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1" xref="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.cmml"><mo id="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1" xref="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.cmml"><mi id="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.2" xref="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.cmml">−</mo><mn id="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.3" xref="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><mo id="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.E7.m1.50.50.4.49.26.26.26.1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E7.m1.50.50.4.49.26.26.26.1.2.2.1.1.1.1.3"><mo id="S3.E7.m1.36.36.36.15.15.15" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.E7.m1.37.37.37.16.16.16" xref="S3.E7.m1.37.37.37.16.16.16.cmml">t</mi><mo id="S3.E7.m1.38.38.38.17.17.17" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">,</mo><mi id="S3.E7.m1.39.39.39.18.18.18" xref="S3.E7.m1.39.39.39.18.18.18.cmml">x</mi><mo id="S3.E7.m1.40.40.40.19.19.19" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.41.41.41.20.20.20" stretchy="false" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">]</mo></mrow><mo id="S3.E7.m1.42.42.42.21.21.21" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">;</mo><msub id="S3.E7.m1.50.50.4.49.26.26.26.1.3.3.2.2"><mi id="S3.E7.m1.43.43.43.22.22.22" xref="S3.E7.m1.43.43.43.22.22.22.cmml">𝜽</mi><mi id="S3.E7.m1.44.44.44.23.23.23.1" xref="S3.E7.m1.44.44.44.23.23.23.1.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E7.m1.45.45.45.24.24.24" maxsize="120%" minsize="120%" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E7.m1.46.46.46.25.25.25" lspace="0em" xref="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml">.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E7.m1.50b"><apply id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><eq id="S3.E7.m1.11.11.11.11.11.11.cmml" xref="S3.E7.m1.11.11.11.11.11.11"></eq><apply id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><times id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"></times><apply id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1"><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.1">^</ci><ci id="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci></apply><ci id="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.2.2.2.2.2.2.1.1">𝑖</ci></apply><vector id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><ci id="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4.cmml" xref="S3.E7.m1.4.4.4.4.4.4">𝑡</ci><ci id="S3.E7.m1.6.6.6.6.6.6.cmml" xref="S3.E7.m1.6.6.6.6.6.6">𝑥</ci><apply id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.8.8.8.8.8.8.cmml" xref="S3.E7.m1.8.8.8.8.8.8">𝜽</ci><ci id="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1.cmml" xref="S3.E7.m1.9.9.9.9.9.9.1">𝑖</ci></apply></vector></apply><apply id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.5.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><plus id="S3.E7.m1.22.22.22.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"></plus><apply id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><times id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"></times><apply id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.12.12.12.12.12.12.cmml" xref="S3.E7.m1.12.12.12.12.12.12"><ci id="S3.E7.m1.12.12.12.12.12.12.1.cmml" xref="S3.E7.m1.12.12.12.12.12.12.1">^</ci><ci id="S3.E7.m1.12.12.12.12.12.12.2.cmml" xref="S3.E7.m1.12.12.12.12.12.12.2">𝑢</ci></apply><apply id="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1"><minus id="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.2">𝑖</ci><cn id="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.13.13.13.13.13.13.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><vector id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><ci id="S3.E7.m1.15.15.15.15.15.15.cmml" xref="S3.E7.m1.15.15.15.15.15.15">𝑡</ci><ci id="S3.E7.m1.17.17.17.17.17.17.cmml" xref="S3.E7.m1.17.17.17.17.17.17">𝑥</ci><apply id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.19.19.19.19.19.19.cmml" xref="S3.E7.m1.19.19.19.19.19.19">𝜽</ci><apply id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1.cmml" xref="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1"><minus id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1.1"></minus><ci id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1.2">𝑖</ci><cn id="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.20.20.20.20.20.20.1.3">1</cn></apply></apply></vector></apply><apply id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.5.4.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><times id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.5.4.4.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"></times><apply id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><abs id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"></abs><apply id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.24.24.24.3.3.3.cmml" xref="S3.E7.m1.24.24.24.3.3.3">𝛼</ci><ci id="S3.E7.m1.25.25.25.4.4.4.1.cmml" xref="S3.E7.m1.25.25.25.4.4.4.1">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S3.E7.m1.27.27.27.6.6.6.cmml" xref="S3.E7.m1.27.27.27.6.6.6">𝒩</ci><list id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.5.4.3.3.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><list id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.4.3.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><ci id="S3.E7.m1.30.30.30.9.9.9.cmml" xref="S3.E7.m1.30.30.30.9.9.9">𝑡</ci><ci id="S3.E7.m1.32.32.32.11.11.11.cmml" xref="S3.E7.m1.32.32.32.11.11.11">𝑥</ci><apply id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.4.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><times id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.4.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"></times><apply id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.4.3.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2">superscript</csymbol><apply id="S3.E7.m1.34.34.34.13.13.13.cmml" xref="S3.E7.m1.34.34.34.13.13.13"><ci id="S3.E7.m1.34.34.34.13.13.13.1.cmml" xref="S3.E7.m1.34.34.34.13.13.13.1">^</ci><ci id="S3.E7.m1.34.34.34.13.13.13.2.cmml" xref="S3.E7.m1.34.34.34.13.13.13.2">𝑢</ci></apply><apply id="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1"><minus id="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.1"></minus><ci id="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.2">𝑖</ci><cn id="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.E7.m1.35.35.35.14.14.14.1.1.1.3">1</cn></apply></apply><interval closure="open" id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.4.3.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><ci id="S3.E7.m1.37.37.37.16.16.16.cmml" xref="S3.E7.m1.37.37.37.16.16.16">𝑡</ci><ci id="S3.E7.m1.39.39.39.18.18.18.cmml" xref="S3.E7.m1.39.39.39.18.18.18">𝑥</ci></interval></apply></list><apply id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.5.4.3.2.2.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E7.m1.47.47.1.1.1.5.4.3.2.2.1.cmml" xref="S3.E7.m1.48.48.2.47.22.22.22.2">subscript</csymbol><ci id="S3.E7.m1.43.43.43.22.22.22.cmml" xref="S3.E7.m1.43.43.43.22.22.22">𝜽</ci><ci id="S3.E7.m1.44.44.44.23.23.23.1.cmml" xref="S3.E7.m1.44.44.44.23.23.23.1">𝑖</ci></apply></list></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E7.m1.50c">\hat{u}^{(i)}(t,x;\boldsymbol{\theta}_{i})=\hat{u}^{(i-1)}(t,x;\boldsymbol{% \theta}_{i-1})\\ +\lvert\alpha_{i}\rvert\mathcal{N}\big{(}[t,x,\hat{u}^{(i-1)}(t,x)];% \boldsymbol{\theta}_{i}\big{)}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E7.m1.50d">start_ROW start_CELL over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t , italic_x ; bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) = over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t , italic_x ; bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i - 1 end_POSTSUBSCRIPT ) end_CELL end_ROW start_ROW start_CELL + | italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT | caligraphic_N ( [ italic_t , italic_x , over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i - 1 ) end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_t , italic_x ) ] ; bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) . end_CELL end_ROW</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(7)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p2.6">where <math alttext="i\in\{1,...,n\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.5.m1.3"><semantics id="S3.SS3.p2.5.m1.3a"><mrow id="S3.SS3.p2.5.m1.3.4" xref="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.2" xref="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.1" xref="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.1.cmml">∈</mo><mrow id="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.3.2" xref="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.3.1.cmml"><mo id="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.3.1.cmml">{</mo><mn id="S3.SS3.p2.5.m1.1.1" xref="S3.SS3.p2.5.m1.1.1.cmml">1</mn><mo id="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.3.2.2" xref="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p2.5.m1.2.2" mathvariant="normal" xref="S3.SS3.p2.5.m1.2.2.cmml">…</mi><mo id="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.3.2.3" xref="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.3.1.cmml">,</mo><mi id="S3.SS3.p2.5.m1.3.3" xref="S3.SS3.p2.5.m1.3.3.cmml">n</mi><mo id="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.3.2.4" stretchy="false" xref="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.5.m1.3b"><apply id="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m1.3.4"><in id="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.1"></in><ci id="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.2">𝑖</ci><set id="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m1.3.4.3.2"><cn id="S3.SS3.p2.5.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.5.m1.1.1">1</cn><ci id="S3.SS3.p2.5.m1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m1.2.2">…</ci><ci id="S3.SS3.p2.5.m1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.5.m1.3.3">𝑛</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.5.m1.3c">i\in\{1,...,n\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.5.m1.3d">italic_i ∈ { 1 , … , italic_n }</annotation></semantics></math>. The parameter <math alttext="\gamma_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.6.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p2.6.m2.1a"><msub id="S3.SS3.p2.6.m2.1.1" xref="S3.SS3.p2.6.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.6.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.6.m2.1.1.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.SS3.p2.6.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.6.m2.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.6.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p2.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m2.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS3.p2.6.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.6.m2.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.6.m2.1c">\gamma_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.6.m2.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is a monotonically decreasing function of the residual layer, for instance:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.E8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\gamma_{i}=\gamma_{\text{init}}\left[1-\left(\frac{i}{n}\right)^{p}\right]," class="ltx_Math" display="block" id="S3.E8.m1.2"><semantics id="S3.E8.m1.2a"><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.cmml"><msub id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.cmml">=</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mtext id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3.3a.cmml">init</mtext></msub><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">[</mo><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msup id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2" xref="S3.E8.m1.1.1.cmml"><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.1" xref="S3.E8.m1.1.1.cmml">(</mo><mfrac id="S3.E8.m1.1.1" xref="S3.E8.m1.1.1.cmml"><mi id="S3.E8.m1.1.1.2" xref="S3.E8.m1.1.1.2.cmml">i</mi><mi id="S3.E8.m1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.1.1.3.cmml">n</mi></mfrac><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2.2" xref="S3.E8.m1.1.1.cmml">)</mo></mrow><mi id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">p</mi></msup></mrow><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml">]</mo></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.E8.m1.2.2.1.2" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.cmml">,</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.E8.m1.2b"><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1"><eq id="S3.E8.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.2"></eq><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.3.3">init</mtext></ci></apply><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">delimited-[]</csymbol><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2">1</cn><apply id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">superscript</csymbol><apply id="S3.E8.m1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2"><divide id="S3.E8.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.2.2"></divide><ci id="S3.E8.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.E8.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.E8.m1.1.1.3">𝑛</ci></apply><ci id="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.E8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.3">𝑝</ci></apply></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.E8.m1.2c">\gamma_{i}=\gamma_{\text{init}}\left[1-\left(\frac{i}{n}\right)^{p}\right],</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.E8.m1.2d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT = italic_γ start_POSTSUBSCRIPT init end_POSTSUBSCRIPT [ 1 - ( divide start_ARG italic_i end_ARG start_ARG italic_n end_ARG ) start_POSTSUPERSCRIPT italic_p end_POSTSUPERSCRIPT ] ,</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(8)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p2.11">so that <math alttext="\gamma_{0}=\gamma_{\text{init}}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.7.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p2.7.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mn id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.2.3.cmml">0</mn></msub><mo id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.3.cmml">=</mo><msub id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4.2" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4.2.cmml">γ</mi><mtext id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4.3" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4.3a.cmml">init</mtext></msub><mo id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.5" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.5.cmml">></mo><mn id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.6" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.6.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.7.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1"><and id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1a.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1"></and><apply id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1b.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1"><eq id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.3"></eq><apply id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><cn id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.2.3">0</cn></apply><apply id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4.3a.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4.3"><mtext id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4.3">init</mtext></ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1c.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1"><gt id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.5.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.5"></gt><share href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S3.SS3.p2.7.m1.1.1.4.cmml" id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1d.cmml" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1"></share><cn id="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.6.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.7.m1.1.1.6">0</cn></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.7.m1.1c">\gamma_{0}=\gamma_{\text{init}}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.7.m1.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT 0 end_POSTSUBSCRIPT = italic_γ start_POSTSUBSCRIPT init end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="\gamma_{n}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.8.m2.1"><semantics id="S3.SS3.p2.8.m2.1a"><mrow id="S3.SS3.p2.8.m2.1.1" xref="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.8.m2.1b"><apply id="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.8.m2.1.1"><eq id="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.8.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.8.m2.1c">\gamma_{n}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.8.m2.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. As in the viscous Burgers equation, the Cole–Hopf transform demonstrates that solutions depend exponentially on the viscosity parameter. As <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.9.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p2.9.m3.1a"><mi id="S3.SS3.p2.9.m3.1.1" xref="S3.SS3.p2.9.m3.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.9.m3.1b"><ci id="S3.SS3.p2.9.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.9.m3.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.9.m3.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.9.m3.1d">italic_γ</annotation></semantics></math> decreases, the transformed solution exhibits rapid exponential changes. Therefore, integrating a superlinear <math alttext="\gamma" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.10.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p2.10.m4.1a"><mi id="S3.SS3.p2.10.m4.1.1" xref="S3.SS3.p2.10.m4.1.1.cmml">γ</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.10.m4.1b"><ci id="S3.SS3.p2.10.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.10.m4.1.1">𝛾</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.10.m4.1c">\gamma</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.10.m4.1d">italic_γ</annotation></semantics></math>, as outlined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S3.E8" title="In III-C Stacked residual PINN and vanishing viscosity approach ‣ III Methodology ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>) with <math alttext="p>1" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p2.11.m5.1"><semantics id="S3.SS3.p2.11.m5.1a"><mrow id="S3.SS3.p2.11.m5.1.1" xref="S3.SS3.p2.11.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p2.11.m5.1.1.2" xref="S3.SS3.p2.11.m5.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S3.SS3.p2.11.m5.1.1.1" xref="S3.SS3.p2.11.m5.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.SS3.p2.11.m5.1.1.3" xref="S3.SS3.p2.11.m5.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p2.11.m5.1b"><apply id="S3.SS3.p2.11.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m5.1.1"><gt id="S3.SS3.p2.11.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m5.1.1.1"></gt><ci id="S3.SS3.p2.11.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p2.11.m5.1.1.2">𝑝</ci><cn id="S3.SS3.p2.11.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p2.11.m5.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p2.11.m5.1c">p>1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p2.11.m5.1d">italic_p > 1</annotation></semantics></math>, ensures that the stacked residual blocks smoothly capture the transition from parabolic to hyperbolic behavior without compromising stability.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p3"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p3.6">As in stage 1, a physics-informed loss is imposed at each level <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p3.1.m1.1a"><mi id="S3.SS3.p3.1.m1.1.1" xref="S3.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.1.m1.1b"><ci id="S3.SS3.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.1.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.1.m1.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.1.m1.1d">italic_i</annotation></semantics></math>, ensuring that <math alttext="r_{\gamma_{i}}(\cdot;\boldsymbol{\theta}_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.2.m2.2"><semantics id="S3.SS3.p3.2.m2.2a"><mrow id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.cmml"><msub id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.2" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.2.cmml">r</mi><msub id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.3" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.3.2" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.3.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.3.3" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><mo id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.2" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.2.cmml">(</mo><mo id="S3.SS3.p3.2.m2.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.2.cmml">;</mo><msub id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.1" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml">𝜽</mi><mi id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.2.m2.2b"><apply id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2"><times id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.2"></times><apply id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.2">𝑟</ci><apply id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply><list id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1"><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.1.1">⋅</ci><apply id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.1.2">𝜽</ci><ci id="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.2.m2.2.2.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.2.m2.2c">r_{\gamma_{i}}(\cdot;\boldsymbol{\theta}_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.2.m2.2d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ( ⋅ ; bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> remains small along with the usual boundary and initial conditions. In other words, at stacked residual block <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.p3.3.m3.1a"><mi id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.3.m3.1b"><ci id="S3.SS3.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.3.m3.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.3.m3.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.3.m3.1d">italic_i</annotation></semantics></math>, the PDE residual is governed by <math alttext="r_{\gamma_{i}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.p3.4.m4.1a"><msub id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.cmml">r</mi><msub id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.2" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.3" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.4.m4.1b"><apply id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.2">𝑟</ci><apply id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.4.m4.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.4.m4.1c">r_{\gamma_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.4.m4.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> such that the first block gets the viscous coefficient <math alttext="\gamma_{\text{init}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.5.m5.1"><semantics id="S3.SS3.p3.5.m5.1a"><msub id="S3.SS3.p3.5.m5.1.1" xref="S3.SS3.p3.5.m5.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.5.m5.1.1.2" xref="S3.SS3.p3.5.m5.1.1.2.cmml">γ</mi><mtext id="S3.SS3.p3.5.m5.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.5.m5.1.1.3a.cmml">init</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.5.m5.1b"><apply id="S3.SS3.p3.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.m5.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.m5.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.m5.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS3.p3.5.m5.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS3.p3.5.m5.1.1.3"><mtext id="S3.SS3.p3.5.m5.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.p3.5.m5.1.1.3">init</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.5.m5.1c">\gamma_{\text{init}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.5.m5.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT init end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> and the last stage <math alttext="\gamma_{n}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.6.m6.1"><semantics id="S3.SS3.p3.6.m6.1a"><mrow id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1" xref="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.2" xref="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.2.2" xref="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.2.3" xref="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.1" xref="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.6.m6.1b"><apply id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m6.1.1"><eq id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.1"></eq><apply id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.p3.6.m6.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.6.m6.1c">\gamma_{n}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.6.m6.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. The optimization problem can be formulated as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex8"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left\{\boldsymbol{\theta}_{i}^{*}\right\}_{i=0}^{n}={\operatorname*{Argmin}}_% {\{\boldsymbol{\theta}_{i}\}_{i=0}^{n}}\ \mathcal{L}_{\text{stacked}}\left(% \left\{\boldsymbol{\theta}_{i}\right\}_{i=0}^{n}\right)+\sum_{i=1}^{n}\alpha_{% i}^{2}" class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex8.m1.3"><semantics id="S3.Ex8.m1.3a"><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.cmml"><msubsup id="S3.Ex8.m1.2.2.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">{</mo><msubsup id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">𝜽</mi><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">∗</mo></msubsup><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.1" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S3.Ex8.m1.2.2.1.3" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.3.cmml">n</mi></msubsup><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.3" rspace="0.1389em" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.cmml"><munder id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.1.2" lspace="0.1389em" rspace="0.167em" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.1.2.cmml">Argmin</mo><msubsup id="S3.Ex8.m1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝜽</mi><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S3.Ex8.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msubsup></munder><msub id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2.2.cmml">ℒ</mi><mtext id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2.3a.cmml">stacked</mtext></msub></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝜽</mi><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msubsup><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.2.2" rspace="0.055em" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.2.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.cmml"><munderover id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3.1" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3.3.cmml">1</mn></mrow><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.3.cmml">n</mi></munderover><msubsup id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.2.2" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.2.2.cmml">α</mi><mi id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.2.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.2.3.cmml">i</mi><mn id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.3" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.3.cmml">2</mn></msubsup></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex8.m1.3b"><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3"><eq id="S3.Ex8.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.3"></eq><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1">subscript</csymbol><set id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝜽</ci><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><times id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.1.1.1.3"></times></apply></set><apply id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3"><eq id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.1.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex8.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.2.2.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2"><plus id="S3.Ex8.m1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.2"></plus><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1"><times id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.2"></times><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3"><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.1.2">Argmin</ci><apply id="S3.Ex8.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1">subscript</csymbol><set id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜽</ci><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3"><eq id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex8.m1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2.3a.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2.3"><mtext id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.3.2.3">stacked</mtext></ci></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1">subscript</csymbol><set id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜽</ci><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3"><eq id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3"><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3"><eq id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.2.3.3">1</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.2.2">𝛼</ci><ci id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex8.m1.3.3.2.3.2.3">2</cn></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex8.m1.3c">\left\{\boldsymbol{\theta}_{i}^{*}\right\}_{i=0}^{n}={\operatorname*{Argmin}}_% {\{\boldsymbol{\theta}_{i}\}_{i=0}^{n}}\ \mathcal{L}_{\text{stacked}}\left(% \left\{\boldsymbol{\theta}_{i}\right\}_{i=0}^{n}\right)+\sum_{i=1}^{n}\alpha_{% i}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex8.m1.3d">{ bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT ∗ end_POSTSUPERSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT = roman_Argmin start_POSTSUBSCRIPT { bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT stacked end_POSTSUBSCRIPT ( { bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 1 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_α start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p3.8">where</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\mathcal{L}_{\text{stacked}}\left(\left\{\boldsymbol{\theta}_{i}\right\}_{i=0}% ^{n}\right)=\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}\mathcal{L}_{\lambda}(\hat{u}^{(i)},% \gamma_{i})." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex9.m1.2"><semantics id="S3.Ex9.m1.2a"><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml">ℒ</mi><mtext id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.3a.cmml">stacked</mtext></msub><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><msubsup id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">𝜽</mi><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml">n</mi></msubsup><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.4" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.4.cmml">=</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mfrac id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.cmml"><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.2.cmml">1</mn><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3.1.cmml">+</mo><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3.3.cmml">1</mn></mrow></mfrac><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><munderover id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml">n</mi></munderover><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><msub id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.4" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.4.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.4.2.cmml">ℒ</mi><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.4.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.4.3.cmml">λ</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.cmml">(</mo><msup id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.Ex9.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml"><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex9.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.4" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.cmml">,</mo><msub id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2.2" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2.3" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex9.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex9.m1.2b"><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1"><eq id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.4"></eq><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1"><times id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.2"></times><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.3a.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.3"><mtext id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.3.3">stacked</mtext></ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><set id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2">𝜽</ci><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3"><eq id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.1"></eq><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.1.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3"><times id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.3"></times><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4"><divide id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4"></divide><cn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.2">1</cn><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3"><plus id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3.1"></plus><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3.2">𝑛</ci><cn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.4.3.3">1</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2"><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.2"></sum><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3"><eq id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.3.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2"><times id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.3"></times><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.4">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.4.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.4.2">ℒ</ci><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.4.3">𝜆</ci></apply><interval closure="open" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2"><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2"><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="S3.Ex9.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.1.1.1.1">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex9.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.2.2.3">𝑖</ci></apply></interval></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex9.m1.2c">\mathcal{L}_{\text{stacked}}\left(\left\{\boldsymbol{\theta}_{i}\right\}_{i=0}% ^{n}\right)=\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}\mathcal{L}_{\lambda}(\hat{u}^{(i)},% \gamma_{i}).</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex9.m1.2d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT stacked end_POSTSUBSCRIPT ( { bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT } start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT ) = divide start_ARG 1 end_ARG start_ARG italic_n + 1 end_ARG ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT italic_λ end_POSTSUBSCRIPT ( over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT , italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT ) .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p3.7">Here <math alttext="\mathcal{L}_{\text{stacked}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.p3.7.m1.1"><semantics id="S3.SS3.p3.7.m1.1a"><msub id="S3.SS3.p3.7.m1.1.1" xref="S3.SS3.p3.7.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.p3.7.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.p3.7.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mtext id="S3.SS3.p3.7.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.p3.7.m1.1.1.3a.cmml">stacked</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.p3.7.m1.1b"><apply id="S3.SS3.p3.7.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.7.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.p3.7.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.p3.7.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.p3.7.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.p3.7.m1.1.1.2">ℒ</ci><ci id="S3.SS3.p3.7.m1.1.1.3a.cmml" xref="S3.SS3.p3.7.m1.1.1.3"><mtext id="S3.SS3.p3.7.m1.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.p3.7.m1.1.1.3">stacked</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.p3.7.m1.1c">\mathcal{L}_{\text{stacked}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.p3.7.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT stacked end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> represents the total loss function, which consists of the base PINN and the stacked residual PINNs. The residual PINN block diagram is presented in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S3.F3" title="Figure 3 ‣ III-C Stacked residual PINN and vanishing viscosity approach ‣ III Methodology ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">3</span></a>.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S3.F3"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="543" id="S3.F3.g1" src="x3.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S3.F3.2.1.1" style="font-size:90%;">Figure 3</span>: </span><span class="ltx_text" id="S3.F3.3.2" style="font-size:90%;">Stacked residual PINN. Black lines are forwardpass and red-dotted lines are backpropagation.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_remarkEnv" id="ThmremarkEnv1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="ThmremarkEnv1.1.1.1">Remark 1</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="ThmremarkEnv1.p1"> <p class="ltx_p" id="ThmremarkEnv1.p1.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="ThmremarkEnv1.p1.1.1">The stacked PINN method was initially introduced in <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite>, where they employed a multi-fidelity strategy that stacks PINNs. In this approach, each network’s output provides a lower-fidelity input for the next stage, incrementally refining the model’s expressivity.</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="ThmremarkEnv1.p2"> <p class="ltx_p" id="ThmremarkEnv1.p2.2"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="ThmremarkEnv1.p2.2.2">We share the same idea; however, our method employs a residual PINN at each stage. Contrary to <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite>, we use a different residual <math alttext="r_{\gamma}" class="ltx_Math" display="inline" id="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1"><semantics id="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1a"><msub id="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1.1" xref="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1.1.cmml"><mi id="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1.1.2" xref="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1.1.2.cmml">r</mi><mi id="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1.1.3" xref="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1.1.3.cmml">γ</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1b"><apply id="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1.1.cmml" xref="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1.1">subscript</csymbol><ci id="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1.1.2">𝑟</ci><ci id="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1.1.3.cmml" xref="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1.1.3">𝛾</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1c">r_{\gamma}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="ThmremarkEnv1.p2.1.1.m1.1d">italic_r start_POSTSUBSCRIPT italic_γ end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> at each stage to align with the vanishing viscosity method. <math alttext="\blacklozenge" class="ltx_Math" display="inline" id="ThmremarkEnv1.p2.2.2.m2.1"><semantics id="ThmremarkEnv1.p2.2.2.m2.1a"><mi id="ThmremarkEnv1.p2.2.2.m2.1.1" mathvariant="normal" xref="ThmremarkEnv1.p2.2.2.m2.1.1.cmml">◆</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="ThmremarkEnv1.p2.2.2.m2.1b"><ci id="ThmremarkEnv1.p2.2.2.m2.1.1.cmml" xref="ThmremarkEnv1.p2.2.2.m2.1.1">◆</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="ThmremarkEnv1.p2.2.2.m2.1c">\blacklozenge</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="ThmremarkEnv1.p2.2.2.m2.1d">◆</annotation></semantics></math></span></p> </div> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.p4"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.p4.1">With this approach, we obtain certain convergence guarantees, as stated in the following proposition.</p> </div> <div class="ltx_theorem ltx_theorem_proposition" id="Thmproposition1"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_title_theorem"><span class="ltx_tag ltx_tag_theorem"><span class="ltx_text ltx_font_bold" id="Thmproposition1.1.1.1">Proposition 1</span></span></h6> <div class="ltx_para" id="Thmproposition1.p1"> <p class="ltx_p" id="Thmproposition1.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition1.p1.5.5">Consider the hyperbolic PDE in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) with an entropy-entropy flux pair <math alttext="(\eta(u),q(u))" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4"><semantics id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4a"><mrow id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.3.cmml"><mo id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.3" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.3.cmml">(</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml">η</mi><mo id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3.2" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.cmml"><mo id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.cmml">(</mo><mi id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.4" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.3.cmml">,</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3.2" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.cmml"><mo id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.cmml">(</mo><mi id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.cmml">u</mi><mo id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.5" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.3.cmml">)</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4b"><interval closure="open" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2"><apply id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1"><times id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.1"></times><ci id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.3.3.1.1.2">𝜂</ci><ci id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.1.1">𝑢</ci></apply><apply id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2"><times id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.1"></times><ci id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4.4.2.2.2">𝑞</ci><ci id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.1.1.m1.2.2">𝑢</ci></apply></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4c">(\eta(u),q(u))</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.1.1.m1.4d">( italic_η ( italic_u ) , italic_q ( italic_u ) )</annotation></semantics></math>, satisfying the entropy condition <math alttext="\eta^{\prime\prime}(u)\geq 0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1a"><mrow id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.cmml"><mrow id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml"><msup id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.2" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.2.2" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.2.2.cmml">η</mi><mo id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.2.3" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.2.3.cmml">′′</mo></msup><mo id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.1" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.3.2" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml"><mo id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml">(</mo><mi id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml">u</mi><mo id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.1" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml">≥</mo><mn id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.3" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1b"><apply id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2"><geq id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.1"></geq><apply id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2"><times id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.1"></times><apply id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.2">superscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.2.2">𝜂</ci><ci id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.2.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.2.2.3">′′</ci></apply><ci id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.1">𝑢</ci></apply><cn id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.3.cmml" type="integer" xref="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1c">\eta^{\prime\prime}(u)\geq 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.2.2.m2.1d">italic_η start_POSTSUPERSCRIPT ′ ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_u ) ≥ 0</annotation></semantics></math> and <math alttext="q^{\prime}(u)=\eta^{\prime}(u)f^{\prime}(u)" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3"><semantics id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3a"><mrow id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.cmml"><mrow id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.cmml"><msup id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.2" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.2.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.2.2" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.2.2.cmml">q</mi><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.2.3" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.1" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.3.2" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.cmml"><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.cmml">(</mo><mi id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.cmml">u</mi><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.1" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.1.cmml">=</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.cmml"><msup id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.2" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.2.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.2.2" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.2.2.cmml">η</mi><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.2.3" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.2.3.cmml">′</mo></msup><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.1" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.3.2" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.cmml"><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.3.2.1" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.cmml">(</mo><mi id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.2.2" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.2.2.cmml">u</mi><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.3.2.2" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.cmml">)</mo></mrow><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.1a" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><msup id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.4" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.4.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.4.2" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.4.2.cmml">f</mi><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.4.3" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.4.3.cmml">′</mo></msup><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.1b" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.5.2" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.cmml"><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.5.2.1" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.cmml">(</mo><mi id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.3" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.3.cmml">u</mi><mo id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.5.2.2" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3b"><apply id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4"><eq id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.1"></eq><apply id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2"><times id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.1"></times><apply id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.2">superscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.2.2">𝑞</ci><ci id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.2.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.2.2.3">′</ci></apply><ci id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.1.1">𝑢</ci></apply><apply id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3"><times id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.1"></times><apply id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.2">superscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.2.2">𝜂</ci><ci id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.2.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.2.3">′</ci></apply><ci id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.2.2">𝑢</ci><apply id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.4.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.4.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.4">superscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.4.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.4.2">𝑓</ci><ci id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.4.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.4.3.4.3">′</ci></apply><ci id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3.3">𝑢</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3c">q^{\prime}(u)=\eta^{\prime}(u)f^{\prime}(u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.3.3.m3.3d">italic_q start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_u ) = italic_η start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_u ) italic_f start_POSTSUPERSCRIPT ′ end_POSTSUPERSCRIPT ( italic_u )</annotation></semantics></math>. Let <math alttext="\gamma_{\text{init}}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1a"><mrow id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.cmml"><msub id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2.2" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2.3" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2.3a.cmml">init</mtext></msub><mo id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml">></mo><mn id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.3" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1b"><apply id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1"><gt id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.1"></gt><apply id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2.3a.cmml" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.2.3">init</mtext></ci></apply><cn id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1c">\gamma_{\text{init}}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.4.4.m4.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT init end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math> and consider a sequence of viscosity coefficients defined as in (8), ensuring <math alttext="\gamma_{n}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1"><semantics id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1a"><mrow id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.cmml"><msub id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.2" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.2.2" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mi id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.2.3" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.2.3.cmml">n</mi></msub><mo id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.1" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.3" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1b"><apply id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1"><eq id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.1"></eq><apply id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.2.3">𝑛</ci></apply><cn id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1c">\gamma_{n}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p1.5.5.m5.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_n end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>. Assume the following:</span></p> </div> <div class="ltx_para" id="Thmproposition1.p2"> <ol class="ltx_enumerate" id="S3.I1"> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i1" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">1.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i1.p1.5"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i1.p1.5.1">For each </span><math alttext="\gamma_{i}>0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml">></mo><mn id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1"><gt id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.1"></gt><apply id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.1.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1c">\gamma_{i}>0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT > 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i1.p1.5.2">, the parabolic PDE in (</span><a class="ltx_ref ltx_font_italic" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E2" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i1.p1.5.3">) admits a unique smooth solution </span><math alttext="u_{\gamma_{i}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1a"><msub id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml">u</mi><msub id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.2.m2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1c">u_{\gamma_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.2.m2.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i1.p1.5.4">, converging strongly in </span><math alttext="L^{1}(\Lambda)" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.cmml"><msup id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml">L</mi><mn id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.1" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.3.2" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml">Λ</mi><mo id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2"><times id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.1"></times><apply id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2">superscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.2">𝐿</ci><cn id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.2.2.3">1</cn></apply><ci id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.3.m3.1.1">Λ</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1c">L^{1}(\Lambda)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.3.m3.1d">italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Λ )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i1.p1.5.5"> to the entropy solution of </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1a"><mi id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1b"><ci id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.4.m4.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.4.m4.1d">italic_u</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i1.p1.5.6"> in (</span><a class="ltx_ref ltx_font_italic" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i1.p1.5.7">) as </span><math alttext="\gamma_{i}\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1"><semantics id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1a"><mrow id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.cmml"><msub id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.cmml"><mi id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.2" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.3" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1b"><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1"><ci id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.1">→</ci><apply id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.1.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.2.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.3.cmml" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.I1.i1.p1.5.m5.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1c">\gamma_{i}\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i1.p1.5.m5.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT → 0</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i1.p1.5.8">.</span></p> </div> </li> <li class="ltx_item" id="S3.I1.i2" style="list-style-type:none;"> <span class="ltx_tag ltx_tag_item">2.</span> <div class="ltx_para" id="S3.I1.i2.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.I1.i2.p1.3"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i2.p1.3.1">Based on universal approximation </span><cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i2.p1.3.2.1">[</span><a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib16" title="">16</a><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i2.p1.3.3.2">]</span></cite><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i2.p1.3.4">, at each stage </span><math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1a"><mi id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1b"><ci id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.1.m1.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.1.m1.1d">italic_i</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i2.p1.3.5">, the neural network </span><math alttext="\hat{u}^{(i)}(\cdot,\boldsymbol{\theta}_{i})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3"><semantics id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3a"><mrow id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.cmml"><msup id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.cmml"><mover accent="true" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.2.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.2.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.2.1" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.cmml">(</mo><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.2.cmml"><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.2.cmml">(</mo><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2" lspace="0em" rspace="0em" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.cmml">⋅</mo><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.2.cmml">,</mo><msub id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml">𝜽</mi><mi id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.4" stretchy="false" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3b"><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3"><times id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.2"></times><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3">superscript</csymbol><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.2"><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.2.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.2.1">^</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.3.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.1.1.1.1">𝑖</ci></apply><interval closure="open" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1"><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.2.2">⋅</ci><apply id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.2">𝜽</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.2.m2.3.3.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3c">\hat{u}^{(i)}(\cdot,\boldsymbol{\theta}_{i})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.2.m2.3d">over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT ( ⋅ , bold_italic_θ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i2.p1.3.6"> has sufficient expressivity such that with the error bounded by </span><math alttext="\varepsilon_{i}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1a"><msub id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml">ε</mi><mi id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml">i</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1.2">𝜀</ci><ci id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.I1.i2.p1.3.m3.1.1.3">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1c">\varepsilon_{i}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.I1.i2.p1.3.m3.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="S3.I1.i2.p1.3.7">, that is:</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex10"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|\hat{u}^{(i)}-u_{\gamma_{i}}\|_{L^{2}(\Lambda)}\leq\varepsilon_{i},\quad% \text{where }\varepsilon_{i}\to 0\text{ as }i\to n." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex10.m1.3"><semantics id="S3.Ex10.m1.3a"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex10.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><msub id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msub></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.cmml"><msup id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.2.2.1.4.2" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.cmml">Λ</mi><mo id="S3.Ex10.m1.2.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml">≤</mo><msub id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml">ε</mi><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.3" rspace="1.167em" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3a.cmml">,</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.cmml"><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2a.cmml">where </mtext><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo><msub id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml">ε</mi><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml">→</mo><mrow id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml"><mn id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.2" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.cmml">0</mn><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.1" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.3" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.3a.cmml"> as </mtext><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.1a" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.1.cmml">⁢</mo><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.4" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.4.cmml">i</mi></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.5.cmml">→</mo><mi id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.6" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.6.cmml">n</mi></mrow></mrow><mo id="S3.Ex10.m1.3.3.1.2" lspace="0em">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex10.m1.3b"><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.3a.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.3">formulae-sequence</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1"><leq id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.2"></leq><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="S3.Ex10.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.1.1.1.1">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1"><times id="S3.Ex10.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.3.3">2</cn></apply><ci id="S3.Ex10.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.2.2.1.1">Λ</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.2">𝜀</ci><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2"><and id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2a.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2"></and><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2b.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.3">→</ci><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2"><times id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.1"></times><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2a.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.2">where </mtext></ci><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.2">𝜀</ci><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4"><times id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.1.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.1"></times><cn id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.2.cmml" type="integer" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.2">0</cn><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.3a.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.3"><mtext class="ltx_mathvariant_italic" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.3.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.3"> as </mtext></ci><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.4.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.4">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2c.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.5.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.5">→</ci><share href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.4.cmml" id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2d.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2"></share><ci id="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.6.cmml" xref="S3.Ex10.m1.3.3.1.1.2.2.6">𝑛</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex10.m1.3c">\|\hat{u}^{(i)}-u_{\gamma_{i}}\|_{L^{2}(\Lambda)}\leq\varepsilon_{i},\quad% \text{where }\varepsilon_{i}\to 0\text{ as }i\to n.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex10.m1.3d">∥ over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Λ ) end_POSTSUBSCRIPT ≤ italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , where italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT → 0 as italic_i → italic_n .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </li> </ol> </div> <div class="ltx_para" id="Thmproposition1.p3"> <p class="ltx_p" id="Thmproposition1.p3.1"><span class="ltx_text ltx_font_italic" id="Thmproposition1.p3.1.1">Then, the stacked residual PINN solution <math alttext="\hat{u}^{(n)}" class="ltx_Math" display="inline" id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1"><semantics id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1a"><msup id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2" xref="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.2" xref="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.2.2" xref="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.2.1" xref="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.1.1.3" xref="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.cmml"><mo id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.1.1.1" xref="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1b"><apply id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.cmml" xref="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.2"><ci id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.2.1">^</ci><ci id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1c">\hat{u}^{(n)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="Thmproposition1.p3.1.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> converges to the entropy solution of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>). In other words,</span></p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex11"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\lim_{n\to\infty}\|\hat{u}^{(n)}-u\|_{{L}^{1}(\Lambda)}=0." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex11.m1.3"><semantics id="S3.Ex11.m1.3a"><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.cmml"><munder id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml">lim</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3.3" mathvariant="normal" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml">∞</mi></mrow></munder><msub id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.Ex11.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex11.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.cmml"><msup id="S3.Ex11.m1.2.2.1.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.3.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.Ex11.m1.2.2.1.3.3" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.Ex11.m1.2.2.1.4.2" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1" mathvariant="normal" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml">Λ</mi><mo id="S3.Ex11.m1.2.2.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><mo id="S3.Ex11.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex11.m1.3b"><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1"><eq id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.2"></eq><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1"><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2">subscript</csymbol><limit id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.2"></limit><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3"><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3.1">→</ci><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3.2">𝑛</ci><infinity id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.2.3.3"></infinity></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="S3.Ex11.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1"><times id="S3.Ex11.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S3.Ex11.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex11.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.Ex11.m1.2.2.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.3.3">1</cn></apply><ci id="S3.Ex11.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex11.m1.2.2.1.1">Λ</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex11.m1.3.3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex11.m1.3c">\lim_{n\to\infty}\|\hat{u}^{(n)}-u\|_{{L}^{1}(\Lambda)}=0.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex11.m1.3d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_n → ∞ end_POSTSUBSCRIPT ∥ over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT - italic_u ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( roman_Λ ) end_POSTSUBSCRIPT = 0 .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> </div> </div> <div class="ltx_proof" id="S3.SS3.2"> <h6 class="ltx_title ltx_runin ltx_font_bold ltx_font_italic ltx_title_proof">Proof:</h6> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.1.p1"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.1.p1.4">According to the vanishing viscosity theorem <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib10" title="">10</a>]</cite>, for the sequence <math alttext="\{\gamma_{i}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1" xref="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">{</mo><msub id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1b"><set id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1"><apply id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.1.m1.1.1.1.1.3">𝑖</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1c">\{\gamma_{i}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.1.p1.1.m1.1d">{ italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT }</annotation></semantics></math> with <math alttext="\gamma_{i}\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1a"><mrow id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1"><ci id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.1">→</ci><apply id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.1.p1.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1c">\gamma_{i}\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.1.p1.2.m2.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT → 0</annotation></semantics></math> as <math alttext="i\to n" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.1.p1.3.m3.1"><semantics id="S3.SS3.1.p1.3.m3.1a"><mrow id="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1" xref="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2" xref="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1.3" xref="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml">n</mi></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.1.p1.3.m3.1b"><apply id="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1"><ci id="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1.1">→</ci><ci id="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.3.m3.1.1.3">𝑛</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.1.p1.3.m3.1c">i\to n</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.1.p1.3.m3.1d">italic_i → italic_n</annotation></semantics></math>, we have <math alttext="\lim_{i\to n}\|u_{\gamma_{i}}-u\|_{{L}^{1}(\mathcal{D})}=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2"><semantics id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2a"><mrow id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.cmml"><mrow id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.cmml"><msub id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.2" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.2.cmml">lim</mo><mrow id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3.2" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3.1.cmml">→</mo><mi id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3.3" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3.3.cmml">n</mi></mrow></msub><msub id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.2" lspace="0em" stretchy="false" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><msub id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><mo id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mrow id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.cmml"><msup id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.3" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.3.2" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.3.2.cmml">L</mi><mn id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.3.3" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.3.3.cmml">1</mn></msup><mo id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.2" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.4.2" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.4.2.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">(</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml">𝒟</mi><mo id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.4.2.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></msub></mrow><mo id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.2" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.2.cmml">=</mo><mn id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.3" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2b"><apply id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2"><eq id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.2"></eq><apply id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1"><apply id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2">subscript</csymbol><limit id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.2"></limit><apply id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3"><ci id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3.1">→</ci><ci id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3.2">𝑖</ci><ci id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.2.3.3">𝑛</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1">subscript</csymbol><apply id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci><apply id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1"><times id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.2"></times><apply id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.3">superscript</csymbol><ci id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.3.2">𝐿</ci><cn id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.3.3">1</cn></apply><ci id="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.1.1.1.1">𝒟</ci></apply></apply></apply><cn id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.1.p1.4.m4.2.2.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2c">\lim_{i\to n}\|u_{\gamma_{i}}-u\|_{{L}^{1}(\mathcal{D})}=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.1.p1.4.m4.2d">roman_lim start_POSTSUBSCRIPT italic_i → italic_n end_POSTSUBSCRIPT ∥ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_u ∥ start_POSTSUBSCRIPT italic_L start_POSTSUPERSCRIPT 1 end_POSTSUPERSCRIPT ( caligraphic_D ) end_POSTSUBSCRIPT = 0</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S3.SS3.2.p2"> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.2.p2.4">Considering the second assumption, the residual correction mechanism ensures that the discrepancy between <math alttext="\hat{u}^{(i)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1"><semantics id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1a"><msup id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2" xref="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.2" xref="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.2.2" xref="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.2.1" xref="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1.3" xref="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.cmml"><mo id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1.1" xref="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1b"><apply id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.2"><ci id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.1.m1.1.1.1.1">𝑖</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1c">\hat{u}^{(i)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.2.p2.1.m1.1d">over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> and the viscous solution <math alttext="u_{\gamma_{i}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1"><semantics id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1a"><msub id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1" xref="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml">u</mi><msub id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.2" xref="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3" xref="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1b"><apply id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.2.m2.1.1.3.3">𝑖</ci></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1c">u_{\gamma_{i}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.2.p2.2.m2.1d">italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> is minimized through the physics loss <math alttext="\mathcal{L}_{\text{phy}}(\gamma_{i},\hat{u}^{(i)})" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3"><semantics id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3a"><mrow id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.cmml"><msub id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4.2" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4.2.cmml">ℒ</mi><mtext id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4.3" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4.3a.cmml">phy</mtext></msub><mo id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.3" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.3.cmml">⁢</mo><mrow id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.3.cmml"><mo id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.3.cmml">(</mo><msub id="S3.SS3.2.p2.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S3.SS3.2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.SS3.2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.4" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.3.cmml">,</mo><msup id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.2" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.2.cmml"><mi id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.2.2" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.2.1" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.SS3.2.p2.3.m3.1.1.1.3" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS3.2.p2.3.m3.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.2.p2.3.m3.1.1.1.1" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.2.p2.3.m3.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.5" stretchy="false" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3b"><apply id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3"><times id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.3.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.3"></times><apply id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4.2">ℒ</ci><ci id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4.3a.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4.3"><mtext id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4.3.cmml" mathsize="70%" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.4.3">phy</mtext></ci></apply><interval closure="open" id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.3.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2"><apply id="S3.SS3.2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS3.2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.2.2.1.1.1.3">𝑖</ci></apply><apply id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.2"><ci id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.2.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.2.1">^</ci><ci id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.3.3.2.2.2.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="S3.SS3.2.p2.3.m3.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.3.m3.1.1.1.1">𝑖</ci></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3c">\mathcal{L}_{\text{phy}}(\gamma_{i},\hat{u}^{(i)})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.2.p2.3.m3.3d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT phy end_POSTSUBSCRIPT ( italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT , over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT )</annotation></semantics></math>. The total error at stage <math alttext="i" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.2.p2.4.m4.1"><semantics id="S3.SS3.2.p2.4.m4.1a"><mi id="S3.SS3.2.p2.4.m4.1.1" xref="S3.SS3.2.p2.4.m4.1.1.cmml">i</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.2.p2.4.m4.1b"><ci id="S3.SS3.2.p2.4.m4.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.4.m4.1.1">𝑖</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.2.p2.4.m4.1c">i</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.2.p2.4.m4.1d">italic_i</annotation></semantics></math> decomposes as:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex12"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\left\|\hat{u}^{(i)}-u\right\|^{2}\leq\underbrace{\left\|\hat{u}^{(i)}-u_{% \gamma_{i}}\right\|^{2}}_{\varepsilon_{i}}+\underbrace{\left\|u_{\gamma_{i}}-u% \right\|^{2}}_{\delta_{i}}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex12.m1.5"><semantics id="S3.Ex12.m1.5a"><mrow id="S3.Ex12.m1.5.5.1" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.Ex12.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.cmml"><munder id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.Ex12.m1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.cmml"><msup id="S3.Ex12.m1.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml">−</mo><msub id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.cmml">u</mi><msub id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.3.cmml">i</mi></msub></msub></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S3.Ex12.m1.3.3.2.4" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.4.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex12.m1.3.3.3" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3.cmml">⏟</mo></munder><msub id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi></msub></munder><mo id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.1" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.1.cmml">+</mo><munder id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.cmml"><munder accentunder="true" id="S3.Ex12.m1.4.4" xref="S3.Ex12.m1.4.4.cmml"><msup id="S3.Ex12.m1.4.4.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.cmml"><mrow id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.cmml"><msub id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml">u</mi><msub id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.3" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml">i</mi></msub></msub><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.3" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S3.Ex12.m1.4.4.1.3" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.3.cmml">2</mn></msup><mo id="S3.Ex12.m1.4.4.2" xref="S3.Ex12.m1.4.4.2.cmml">⏟</mo></munder><msub id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub></munder></mrow></mrow><mo id="S3.Ex12.m1.5.5.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex12.m1.5b"><apply id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1"><leq id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.2"></leq><apply id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="S3.Ex12.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.1.1.1.1">𝑖</ci></apply><ci id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3"><plus id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.1"></plus><apply id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3"><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.3">⏟</ci><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1"><minus id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.2.2.1.1.1.1">𝑖</ci></apply><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.2">𝑢</ci><apply id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.2.1.1.3.3.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply><cn id="S3.Ex12.m1.3.3.2.4.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.3.3.2.4">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.2.2">𝜀</ci><ci id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3">subscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4"><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.2">⏟</ci><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.4.4.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.2">𝑢</ci><apply id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.3">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.2">𝛾</ci><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.2.3.3">𝑖</ci></apply></apply><ci id="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply><cn id="S3.Ex12.m1.4.4.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex12.m1.4.4.1.3">2</cn></apply></apply><apply id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex12.m1.5.5.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex12.m1.5c">\left\|\hat{u}^{(i)}-u\right\|^{2}\leq\underbrace{\left\|\hat{u}^{(i)}-u_{% \gamma_{i}}\right\|^{2}}_{\varepsilon_{i}}+\underbrace{\left\|u_{\gamma_{i}}-u% \right\|^{2}}_{\delta_{i}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex12.m1.5d">∥ over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT - italic_u ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT ≤ under⏟ start_ARG ∥ over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT - italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT + under⏟ start_ARG ∥ italic_u start_POSTSUBSCRIPT italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT - italic_u ∥ start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT end_ARG start_POSTSUBSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.2.p2.8">By the first assumption, <math alttext="\delta_{i}\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1"><semantics id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1a"><mrow id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1" xref="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.2" xref="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.2.2" xref="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.2.3" xref="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.3" xref="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1b"><apply id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1"><ci id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.1">→</ci><apply id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.2.p2.5.m1.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1c">\delta_{i}\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.2.p2.5.m1.1d">italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT → 0</annotation></semantics></math> as <math alttext="\gamma_{i}\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1"><semantics id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1a"><mrow id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1" xref="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.2" xref="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mi id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.2.3" xref="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.3" xref="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1b"><apply id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1"><ci id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.1">→</ci><apply id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.2.p2.6.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1c">\gamma_{i}\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.2.p2.6.m2.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT → 0</annotation></semantics></math>. By the second assumption, with a sufficiently large network, <math alttext="\varepsilon_{i}\to 0" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1"><semantics id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1a"><mrow id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1" xref="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.cmml"><msub id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.2" xref="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.2.2" xref="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.2.3" xref="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.2.3.cmml">i</mi></msub><mo id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.1.cmml">→</mo><mn id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.3" xref="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1b"><apply id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1"><ci id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.1">→</ci><apply id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.2.2">𝜀</ci><ci id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.2.3.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.2.3">𝑖</ci></apply><cn id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S3.SS3.2.p2.7.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1c">\varepsilon_{i}\to 0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.2.p2.7.m3.1d">italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT → 0</annotation></semantics></math>. For the sequence <math alttext="\{\hat{u}^{(i)}\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2"><semantics id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2a"><mrow id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.2.cmml"><mo id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.2.cmml">{</mo><msup id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.cmml"><mover accent="true" id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.2" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.2.cmml"><mi id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.2.2" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.2.1" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.SS3.2.p2.8.m4.1.1.1.3" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.cmml"><mo id="S3.SS3.2.p2.8.m4.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.cmml">(</mo><mi id="S3.SS3.2.p2.8.m4.1.1.1.1" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.1.1.1.1.cmml">i</mi><mo id="S3.SS3.2.p2.8.m4.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.3" stretchy="false" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.2.cmml">}</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2b"><set id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1"><apply id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1">superscript</csymbol><apply id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.2"><ci id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.2.1">^</ci><ci id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.2.2.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.2.2.1.1.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="S3.SS3.2.p2.8.m4.1.1.1.1.cmml" xref="S3.SS3.2.p2.8.m4.1.1.1.1">𝑖</ci></apply></set></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2c">\{\hat{u}^{(i)}\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.SS3.2.p2.8.m4.2d">{ over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_i ) end_POSTSUPERSCRIPT }</annotation></semantics></math>, we have</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S3.Ex13"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\|\hat{u}^{(n)}-u\|\leq\sum_{i=0}^{n}\varepsilon_{i}+\sum_{i=0}^{n}\delta_{i}." class="ltx_Math" display="block" id="S3.Ex13.m1.2"><semantics id="S3.Ex13.m1.2a"><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml"><msup id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S3.Ex13.m1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.3.1" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">(</mo><mi id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml">n</mi><mo id="S3.Ex13.m1.1.1.1.3.2" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.2" rspace="0.111em" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.2.cmml">≤</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.cmml"><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.cmml"><munderover id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3.cmml">n</mi></munderover><msub id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml">ε</mi><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1" rspace="0.055em" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.cmml">+</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.cmml"><munderover id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml"><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.2" movablelimits="false" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.2.cmml">∑</mo><mrow id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml">i</mi><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.1" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml">=</mo><mn id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml">0</mn></mrow><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.3.cmml">n</mi></munderover><msub id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml"><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.2.2" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml">δ</mi><mi id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.2.3" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml">i</mi></msub></mrow></mrow></mrow><mo id="S3.Ex13.m1.2.2.1.2" lspace="0em" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S3.Ex13.m1.2b"><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1"><leq id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.2"></leq><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1"><minus id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.1"></minus><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2"><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><ci id="S3.Ex13.m1.1.1.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.1.1.1.1">𝑛</ci></apply><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3"><plus id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.1"></plus><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2"><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3"><eq id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.2">𝜀</ci><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.2.2.3">𝑖</ci></apply></apply><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3"><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1">superscript</csymbol><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1">subscript</csymbol><sum id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.2"></sum><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3"><eq id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.1"></eq><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.2">𝑖</ci><cn id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.2.3.3">0</cn></apply></apply><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.1.3">𝑛</ci></apply><apply id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.2.1.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.2">subscript</csymbol><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.2.2.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.2.2">𝛿</ci><ci id="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.2.3.cmml" xref="S3.Ex13.m1.2.2.1.1.3.3.2.3">𝑖</ci></apply></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S3.Ex13.m1.2c">\|\hat{u}^{(n)}-u\|\leq\sum_{i=0}^{n}\varepsilon_{i}+\sum_{i=0}^{n}\delta_{i}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S3.Ex13.m1.2d">∥ over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( italic_n ) end_POSTSUPERSCRIPT - italic_u ∥ ≤ ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_ε start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT + ∑ start_POSTSUBSCRIPT italic_i = 0 end_POSTSUBSCRIPT start_POSTSUPERSCRIPT italic_n end_POSTSUPERSCRIPT italic_δ start_POSTSUBSCRIPT italic_i end_POSTSUBSCRIPT .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S3.SS3.2.p2.9">Since both series converge under assumptions 1 and 2, the proof is complete. ∎</p> </div> </div> </section> </section> <section class="ltx_section" id="S4"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">IV </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S4.1.1">Results</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S4.p1"> <p class="ltx_p" id="S4.p1.1">In this section, our goal is to estimate vehicle density over a road <math alttext="[0,L]" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p1.1.m1.2"><semantics id="S4.p1.1.m1.2a"><mrow id="S4.p1.1.m1.2.3.2" xref="S4.p1.1.m1.2.3.1.cmml"><mo id="S4.p1.1.m1.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p1.1.m1.2.3.1.cmml">[</mo><mn id="S4.p1.1.m1.1.1" xref="S4.p1.1.m1.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.p1.1.m1.2.3.2.2" xref="S4.p1.1.m1.2.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p1.1.m1.2.2" xref="S4.p1.1.m1.2.2.cmml">L</mi><mo id="S4.p1.1.m1.2.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p1.1.m1.2.3.1.cmml">]</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p1.1.m1.2b"><interval closure="closed" id="S4.p1.1.m1.2.3.1.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.3.2"><cn id="S4.p1.1.m1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p1.1.m1.1.1">0</cn><ci id="S4.p1.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.p1.1.m1.2.2">𝐿</ci></interval></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p1.1.m1.2c">[0,L]</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p1.1.m1.2d">[ 0 , italic_L ]</annotation></semantics></math> from local density measurements by employing the proposed stacked residual PINN <span class="ltx_note ltx_role_footnote" id="footnote1"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_note_outer"><span class="ltx_note_content"><sup class="ltx_note_mark">1</sup><span class="ltx_tag ltx_tag_note">1</span>The code and data are available at <span class="ltx_ref ltx_nolink ltx_url ltx_font_typewriter ltx_ref_self">https://github.com/KatayounEshkofti/StackedResidualPINN</span></span></span></span>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p2"> <p class="ltx_p" id="S4.p2.4">In the example considered, the PDE (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>) represents the LWR model <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib17" title="">17</a>, <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib18" title="">18</a>]</cite>. The normalized density <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.1.m1.1"><semantics id="S4.p2.1.m1.1a"><mi id="S4.p2.1.m1.1.1" xref="S4.p2.1.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.1.m1.1b"><ci id="S4.p2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p2.1.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.1.m1.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.1.m1.1d">italic_u</annotation></semantics></math> is defined such that <math alttext="u=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.2.m2.1"><semantics id="S4.p2.2.m2.1a"><mrow id="S4.p2.2.m2.1.1" xref="S4.p2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.2.m2.1.1.2" xref="S4.p2.2.m2.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S4.p2.2.m2.1.1.1" xref="S4.p2.2.m2.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p2.2.m2.1.1.3" xref="S4.p2.2.m2.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.2.m2.1b"><apply id="S4.p2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1"><eq id="S4.p2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1.1"></eq><ci id="S4.p2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.2.m2.1.1.2">𝑢</ci><cn id="S4.p2.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.2.m2.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.2.m2.1c">u=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.2.m2.1d">italic_u = 0</annotation></semantics></math> corresponds to an empty road, while <math alttext="u=1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.3.m3.1"><semantics id="S4.p2.3.m3.1a"><mrow id="S4.p2.3.m3.1.1" xref="S4.p2.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.p2.3.m3.1.1.2" xref="S4.p2.3.m3.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S4.p2.3.m3.1.1.1" xref="S4.p2.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p2.3.m3.1.1.3" xref="S4.p2.3.m3.1.1.3.cmml">1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.3.m3.1b"><apply id="S4.p2.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p2.3.m3.1.1"><eq id="S4.p2.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.p2.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S4.p2.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p2.3.m3.1.1.2">𝑢</ci><cn id="S4.p2.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p2.3.m3.1.1.3">1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.3.m3.1c">u=1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.3.m3.1d">italic_u = 1</annotation></semantics></math> represents bumper-to-bumper traffic conditions. Two density measurements are provided at the boundaries <math alttext="x\in\{0,L\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p2.4.m4.2"><semantics id="S4.p2.4.m4.2a"><mrow id="S4.p2.4.m4.2.3" xref="S4.p2.4.m4.2.3.cmml"><mi id="S4.p2.4.m4.2.3.2" xref="S4.p2.4.m4.2.3.2.cmml">x</mi><mo id="S4.p2.4.m4.2.3.1" xref="S4.p2.4.m4.2.3.1.cmml">∈</mo><mrow id="S4.p2.4.m4.2.3.3.2" xref="S4.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml"><mo id="S4.p2.4.m4.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml">{</mo><mn id="S4.p2.4.m4.1.1" xref="S4.p2.4.m4.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.p2.4.m4.2.3.3.2.2" xref="S4.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml">,</mo><mi id="S4.p2.4.m4.2.2" xref="S4.p2.4.m4.2.2.cmml">L</mi><mo id="S4.p2.4.m4.2.3.3.2.3" stretchy="false" xref="S4.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p2.4.m4.2b"><apply id="S4.p2.4.m4.2.3.cmml" xref="S4.p2.4.m4.2.3"><in id="S4.p2.4.m4.2.3.1.cmml" xref="S4.p2.4.m4.2.3.1"></in><ci id="S4.p2.4.m4.2.3.2.cmml" xref="S4.p2.4.m4.2.3.2">𝑥</ci><set id="S4.p2.4.m4.2.3.3.1.cmml" xref="S4.p2.4.m4.2.3.3.2"><cn id="S4.p2.4.m4.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p2.4.m4.1.1">0</cn><ci id="S4.p2.4.m4.2.2.cmml" xref="S4.p2.4.m4.2.2">𝐿</ci></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p2.4.m4.2c">x\in\{0,L\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p2.4.m4.2d">italic_x ∈ { 0 , italic_L }</annotation></semantics></math> and can be collected using loop detectors.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p3"> <p class="ltx_p" id="S4.p3.3">Additionally, <math alttext="f(u)=V_{f}u(1-u)" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.1.m1.2"><semantics id="S4.p3.1.m1.2a"><mrow id="S4.p3.1.m1.2.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.cmml"><mrow id="S4.p3.1.m1.2.2.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.3.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.2.cmml">f</mi><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.3.1" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.1.m1.2.2.3.3.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.cmml"><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.3.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.cmml">(</mo><mi id="S4.p3.1.m1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.1.1.cmml">u</mi><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.3.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.cmml">)</mo></mrow></mrow><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.2.cmml">=</mo><mrow id="S4.p3.1.m1.2.2.1" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.cmml"><msub id="S4.p3.1.m1.2.2.1.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.3.cmml"><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.1.3.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.3.2.cmml">V</mi><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.1.3.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.3.3.cmml">f</mi></msub><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.1.4" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.4.cmml">u</mi><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1.2a" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">(</mo><mrow id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml"><mn id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mi id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml">u</mi></mrow><mo id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml">)</mo></mrow></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.1.m1.2b"><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2"><eq id="S4.p3.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.2"></eq><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3"><times id="S4.p3.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.1"></times><ci id="S4.p3.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.3.2">𝑓</ci><ci id="S4.p3.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.1.1">𝑢</ci></apply><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1"><times id="S4.p3.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.2"></times><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.1.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.1.m1.2.2.1.3.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.1.m1.2.2.1.3.2.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.3.2">𝑉</ci><ci id="S4.p3.1.m1.2.2.1.3.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.3.3">𝑓</ci></apply><ci id="S4.p3.1.m1.2.2.1.4.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.4">𝑢</ci><apply id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1"><minus id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.1"></minus><cn id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2.cmml" type="integer" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.2">1</cn><ci id="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.1.m1.2.2.1.1.1.1.3">𝑢</ci></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.1.m1.2c">f(u)=V_{f}u(1-u)</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.1.m1.2d">italic_f ( italic_u ) = italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT italic_u ( 1 - italic_u )</annotation></semantics></math> is referred to as the Greenshields flow equation <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib19" title="">19</a>]</cite>, which describes the relationship between vehicle velocity and density. The parameter <math alttext="V_{f}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.2.m2.1"><semantics id="S4.p3.2.m2.1a"><msub id="S4.p3.2.m2.1.1" xref="S4.p3.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.p3.2.m2.1.1.2" xref="S4.p3.2.m2.1.1.2.cmml">V</mi><mi id="S4.p3.2.m2.1.1.3" xref="S4.p3.2.m2.1.1.3.cmml">f</mi></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.2.m2.1b"><apply id="S4.p3.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p3.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p3.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1.2">𝑉</ci><ci id="S4.p3.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.p3.2.m2.1.1.3">𝑓</ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.2.m2.1c">V_{f}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.2.m2.1d">italic_V start_POSTSUBSCRIPT italic_f end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math> denotes the free-flow velocity. The Greenshields function serves as the advection term, and its nonlinear dependence on <math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p3.3.m3.1"><semantics id="S4.p3.3.m3.1a"><mi id="S4.p3.3.m3.1.1" xref="S4.p3.3.m3.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p3.3.m3.1b"><ci id="S4.p3.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p3.3.m3.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p3.3.m3.1c">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p3.3.m3.1d">italic_u</annotation></semantics></math> can lead to shock formation or discontinuities.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p4"> <p class="ltx_p" id="S4.p4.4">By employing the vanishing viscosity limit, the governing equation in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E2" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">2</span></a>) is considered, and a small initial viscosity coefficient <math alttext="\gamma_{\text{init}}=0.1" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.1.m1.1"><semantics id="S4.p4.1.m1.1a"><mrow id="S4.p4.1.m1.1.1" xref="S4.p4.1.m1.1.1.cmml"><msub id="S4.p4.1.m1.1.1.2" xref="S4.p4.1.m1.1.1.2.cmml"><mi id="S4.p4.1.m1.1.1.2.2" xref="S4.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml">γ</mi><mtext id="S4.p4.1.m1.1.1.2.3" xref="S4.p4.1.m1.1.1.2.3a.cmml">init</mtext></msub><mo id="S4.p4.1.m1.1.1.1" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p4.1.m1.1.1.3" xref="S4.p4.1.m1.1.1.3.cmml">0.1</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.1.m1.1b"><apply id="S4.p4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1"><eq id="S4.p4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.1"></eq><apply id="S4.p4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.1.m1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.2">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.1.m1.1.1.2.2.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.2.2">𝛾</ci><ci id="S4.p4.1.m1.1.1.2.3a.cmml" xref="S4.p4.1.m1.1.1.2.3"><mtext id="S4.p4.1.m1.1.1.2.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.p4.1.m1.1.1.2.3">init</mtext></ci></apply><cn id="S4.p4.1.m1.1.1.3.cmml" type="float" xref="S4.p4.1.m1.1.1.3">0.1</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.1.m1.1c">\gamma_{\text{init}}=0.1</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.1.m1.1d">italic_γ start_POSTSUBSCRIPT init end_POSTSUBSCRIPT = 0.1</annotation></semantics></math>. To investigate the impact of stacked layers on the improvement of results, the algorithm is implemented while considering four different numbers of stacked residual blocks, <math alttext="n=\{0,1,3,5\}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.2.m2.4"><semantics id="S4.p4.2.m2.4a"><mrow id="S4.p4.2.m2.4.5" xref="S4.p4.2.m2.4.5.cmml"><mi id="S4.p4.2.m2.4.5.2" xref="S4.p4.2.m2.4.5.2.cmml">n</mi><mo id="S4.p4.2.m2.4.5.1" xref="S4.p4.2.m2.4.5.1.cmml">=</mo><mrow id="S4.p4.2.m2.4.5.3.2" xref="S4.p4.2.m2.4.5.3.1.cmml"><mo id="S4.p4.2.m2.4.5.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.p4.2.m2.4.5.3.1.cmml">{</mo><mn id="S4.p4.2.m2.1.1" xref="S4.p4.2.m2.1.1.cmml">0</mn><mo id="S4.p4.2.m2.4.5.3.2.2" xref="S4.p4.2.m2.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.p4.2.m2.2.2" xref="S4.p4.2.m2.2.2.cmml">1</mn><mo id="S4.p4.2.m2.4.5.3.2.3" xref="S4.p4.2.m2.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.p4.2.m2.3.3" xref="S4.p4.2.m2.3.3.cmml">3</mn><mo id="S4.p4.2.m2.4.5.3.2.4" xref="S4.p4.2.m2.4.5.3.1.cmml">,</mo><mn id="S4.p4.2.m2.4.4" xref="S4.p4.2.m2.4.4.cmml">5</mn><mo id="S4.p4.2.m2.4.5.3.2.5" stretchy="false" xref="S4.p4.2.m2.4.5.3.1.cmml">}</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.2.m2.4b"><apply id="S4.p4.2.m2.4.5.cmml" xref="S4.p4.2.m2.4.5"><eq id="S4.p4.2.m2.4.5.1.cmml" xref="S4.p4.2.m2.4.5.1"></eq><ci id="S4.p4.2.m2.4.5.2.cmml" xref="S4.p4.2.m2.4.5.2">𝑛</ci><set id="S4.p4.2.m2.4.5.3.1.cmml" xref="S4.p4.2.m2.4.5.3.2"><cn id="S4.p4.2.m2.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.p4.2.m2.1.1">0</cn><cn id="S4.p4.2.m2.2.2.cmml" type="integer" xref="S4.p4.2.m2.2.2">1</cn><cn id="S4.p4.2.m2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p4.2.m2.3.3">3</cn><cn id="S4.p4.2.m2.4.4.cmml" type="integer" xref="S4.p4.2.m2.4.4">5</cn></set></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.2.m2.4c">n=\{0,1,3,5\}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.2.m2.4d">italic_n = { 0 , 1 , 3 , 5 }</annotation></semantics></math>, where <math alttext="n=0" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.3.m3.1"><semantics id="S4.p4.3.m3.1a"><mrow id="S4.p4.3.m3.1.1" xref="S4.p4.3.m3.1.1.cmml"><mi id="S4.p4.3.m3.1.1.2" xref="S4.p4.3.m3.1.1.2.cmml">n</mi><mo id="S4.p4.3.m3.1.1.1" xref="S4.p4.3.m3.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p4.3.m3.1.1.3" xref="S4.p4.3.m3.1.1.3.cmml">0</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.3.m3.1b"><apply id="S4.p4.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p4.3.m3.1.1"><eq id="S4.p4.3.m3.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.3.m3.1.1.1"></eq><ci id="S4.p4.3.m3.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.3.m3.1.1.2">𝑛</ci><cn id="S4.p4.3.m3.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p4.3.m3.1.1.3">0</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.3.m3.1c">n=0</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.3.m3.1d">italic_n = 0</annotation></semantics></math> represents vanilla PINN. To compute data loss (i.e., <math alttext="\mathcal{L}_{\text{data}}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p4.4.m4.1"><semantics id="S4.p4.4.m4.1a"><msub id="S4.p4.4.m4.1.1" xref="S4.p4.4.m4.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p4.4.m4.1.1.2" xref="S4.p4.4.m4.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mtext id="S4.p4.4.m4.1.1.3" xref="S4.p4.4.m4.1.1.3a.cmml">data</mtext></msub><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p4.4.m4.1b"><apply id="S4.p4.4.m4.1.1.cmml" xref="S4.p4.4.m4.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p4.4.m4.1.1.1.cmml" xref="S4.p4.4.m4.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p4.4.m4.1.1.2.cmml" xref="S4.p4.4.m4.1.1.2">ℒ</ci><ci id="S4.p4.4.m4.1.1.3a.cmml" xref="S4.p4.4.m4.1.1.3"><mtext id="S4.p4.4.m4.1.1.3.cmml" mathsize="70%" xref="S4.p4.4.m4.1.1.3">data</mtext></ci></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p4.4.m4.1c">\mathcal{L}_{\text{data}}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p4.4.m4.1d">caligraphic_L start_POSTSUBSCRIPT data end_POSTSUBSCRIPT</annotation></semantics></math>) in the total loss function of PINN, density measurements are supplied via Godunov simulation of (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S2.E1" title="In II Background on problem statement ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">1</span></a>).</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p5"> <p class="ltx_p" id="S4.p5.1">The baseline PINN at the initial stage consists of three hidden layers, each with 30 neurons. Each residual correction block comprises three hidden layers, each with 40 neurons. Vanishing viscosity is implemented via the function defined in (<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S3.E8" title="In III-C Stacked residual PINN and vanishing viscosity approach ‣ III Methodology ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">8</span></a>), where <math alttext="p=2" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p5.1.m1.1"><semantics id="S4.p5.1.m1.1a"><mrow id="S4.p5.1.m1.1.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.cmml"><mi id="S4.p5.1.m1.1.1.2" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2.cmml">p</mi><mo id="S4.p5.1.m1.1.1.1" xref="S4.p5.1.m1.1.1.1.cmml">=</mo><mn id="S4.p5.1.m1.1.1.3" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p5.1.m1.1b"><apply id="S4.p5.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1"><eq id="S4.p5.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.1"></eq><ci id="S4.p5.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p5.1.m1.1.1.2">𝑝</ci><cn id="S4.p5.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p5.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p5.1.m1.1c">p=2</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p5.1.m1.1d">italic_p = 2</annotation></semantics></math>.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p6"> <p class="ltx_p" id="S4.p6.1">It is worth noting that, to ensure a fair comparison across all scenarios, the same number of hidden layers and neurons is utilized. Additionally, the number of training iterations for Adam is set to 15,000 for all scenarios.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p7"> <p class="ltx_p" id="S4.p7.1">The results are compared with solutions obtained from the Godunov simulation, and the relative <math alttext="\mathcal{L}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.1.m1.1"><semantics id="S4.p7.1.m1.1a"><msup id="S4.p7.1.m1.1.1" xref="S4.p7.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p7.1.m1.1.1.2" xref="S4.p7.1.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mn id="S4.p7.1.m1.1.1.3" xref="S4.p7.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.1.m1.1b"><apply id="S4.p7.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.p7.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.1.m1.1.1.2">ℒ</ci><cn id="S4.p7.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p7.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.1.m1.1c">\mathcal{L}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.1.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> error is defined as the evaluation metric:</p> <table class="ltx_equation ltx_eqn_table" id="S4.E9"> <tbody><tr class="ltx_equation ltx_eqn_row ltx_align_baseline"> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padleft"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_align_center"><math alttext="\vspace*{-0.2cm}\text{relative }\mathcal{L}^{2}=\frac{\|u-\hat{u}\|_{2}}{\|u\|% _{2}}." class="ltx_Math" display="block" id="S4.E9.m1.3"><semantics id="S4.E9.m1.3a"><mrow id="S4.E9.m1.3.3.1" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.3.3.1.1" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.3.3.1.1.2" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.cmml"><mtext id="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.2" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.2a.cmml">relative </mtext><mo id="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.1" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.1.cmml">⁢</mo><msup id="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.3" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.3.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.3.2" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml">ℒ</mi><mn id="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.3.3" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml">2</mn></msup></mrow><mo id="S4.E9.m1.3.3.1.1.1" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.1.cmml">=</mo><mfrac id="S4.E9.m1.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.E9.m1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.1.1.1.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.cmml"><mo id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo><mrow id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml"><mi id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml">u</mi><mo id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml">−</mo><mover accent="true" id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml"><mi id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.2" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml">u</mi><mo id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml">^</mo></mover></mrow><mo id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.3" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E9.m1.1.1.1.3" xref="S4.E9.m1.1.1.1.3.cmml">2</mn></msub><msub id="S4.E9.m1.2.2.2" xref="S4.E9.m1.2.2.2.cmml"><mrow id="S4.E9.m1.2.2.2.3.2" xref="S4.E9.m1.2.2.2.3.1.cmml"><mo id="S4.E9.m1.2.2.2.3.2.1" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.2.2.2.3.1.1.cmml">‖</mo><mi id="S4.E9.m1.2.2.2.1" xref="S4.E9.m1.2.2.2.1.cmml">u</mi><mo id="S4.E9.m1.2.2.2.3.2.2" stretchy="false" xref="S4.E9.m1.2.2.2.3.1.1.cmml">‖</mo></mrow><mn id="S4.E9.m1.2.2.2.4" xref="S4.E9.m1.2.2.2.4.cmml">2</mn></msub></mfrac></mrow><mo id="S4.E9.m1.3.3.1.2" lspace="0em" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.cmml">.</mo></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.E9.m1.3b"><apply id="S4.E9.m1.3.3.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.3.3.1"><eq id="S4.E9.m1.3.3.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.1"></eq><apply id="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.2"><times id="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.1"></times><ci id="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.2a.cmml" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.2"><mtext id="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.2">relative </mtext></ci><apply id="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.3">superscript</csymbol><ci id="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.3.2">ℒ</ci><cn id="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.3.3.1.1.2.3.3">2</cn></apply></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2"><divide id="S4.E9.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2"></divide><apply id="S4.E9.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1">subscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1"><csymbol cd="latexml" id="S4.E9.m1.1.1.1.1.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.2">norm</csymbol><apply id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1"><minus id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.1"></minus><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.2">𝑢</ci><apply id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3"><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.1">^</ci><ci id="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.2.cmml" xref="S4.E9.m1.1.1.1.1.1.1.3.2">𝑢</ci></apply></apply></apply><cn id="S4.E9.m1.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.1.1.1.3">2</cn></apply><apply id="S4.E9.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.E9.m1.2.2.2.2.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.2">subscript</csymbol><apply id="S4.E9.m1.2.2.2.3.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.2.3.2"><csymbol cd="latexml" id="S4.E9.m1.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.2.3.2.1">norm</csymbol><ci id="S4.E9.m1.2.2.2.1.cmml" xref="S4.E9.m1.2.2.2.1">𝑢</ci></apply><cn id="S4.E9.m1.2.2.2.4.cmml" type="integer" xref="S4.E9.m1.2.2.2.4">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.E9.m1.3c">\vspace*{-0.2cm}\text{relative }\mathcal{L}^{2}=\frac{\|u-\hat{u}\|_{2}}{\|u\|% _{2}}.</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.E9.m1.3d">relative caligraphic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT = divide start_ARG ∥ italic_u - over^ start_ARG italic_u end_ARG ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG start_ARG ∥ italic_u ∥ start_POSTSUBSCRIPT 2 end_POSTSUBSCRIPT end_ARG .</annotation></semantics></math></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_center_padright"></td> <td class="ltx_eqn_cell ltx_eqn_eqno ltx_align_middle ltx_align_right" rowspan="1"><span class="ltx_tag ltx_tag_equation ltx_align_right">(9)</span></td> </tr></tbody> </table> <p class="ltx_p" id="S4.p7.2">The relative <math alttext="\mathcal{L}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p7.2.m1.1"><semantics id="S4.p7.2.m1.1a"><msup id="S4.p7.2.m1.1.1" xref="S4.p7.2.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p7.2.m1.1.1.2" xref="S4.p7.2.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mn id="S4.p7.2.m1.1.1.3" xref="S4.p7.2.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p7.2.m1.1b"><apply id="S4.p7.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.p7.2.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p7.2.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p7.2.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.p7.2.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p7.2.m1.1.1.2">ℒ</ci><cn id="S4.p7.2.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p7.2.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p7.2.m1.1c">\mathcal{L}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p7.2.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> error quantifies the percentage discrepancy between the estimated density and exact values. As shown in Table <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S4.T1" title="TABLE I ‣ IV Results ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">I</span></a>, increasing stacked residual blocks from 0 to 5 consistently reduces the error from about 19% to 4%. This suggests that additional residual blocks enhance estimation accuracy, though the smaller gain from 3 to 5 blocks may indicate diminishing returns.</p> </div> <figure class="ltx_table" id="S4.T1"> <table class="ltx_tabular ltx_centering ltx_guessed_headers ltx_align_middle" id="S4.T1.2"> <thead class="ltx_thead"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.2.3.1"> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_rr" id="S4.T1.2.3.1.1" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;"># Stacked residual blocks</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r" id="S4.T1.2.3.1.2" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">0</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r" id="S4.T1.2.3.1.3" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">1</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column ltx_border_r" id="S4.T1.2.3.1.4" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">3</th> <th class="ltx_td ltx_align_center ltx_th ltx_th_column" id="S4.T1.2.3.1.5" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">5</th> </tr> </thead> <tbody class="ltx_tbody"> <tr class="ltx_tr" id="S4.T1.2.2"> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_rr ltx_border_t" id="S4.T1.2.2.2" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">Relative <math alttext="\mathcal{L}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.1.1.1.m1.1"><semantics id="S4.T1.1.1.1.m1.1a"><msup id="S4.T1.1.1.1.m1.1.1" xref="S4.T1.1.1.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.T1.1.1.1.m1.1.1.2" xref="S4.T1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mn id="S4.T1.1.1.1.m1.1.1.3" xref="S4.T1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.1.1.1.m1.1b"><apply id="S4.T1.1.1.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T1.1.1.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T1.1.1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.T1.1.1.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.T1.1.1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T1.1.1.1.m1.1.1.2">ℒ</ci><cn id="S4.T1.1.1.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.T1.1.1.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.1.1.1.m1.1c">\mathcal{L}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.1.1.1.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> error (<math alttext="\times 10^{-2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.2.2.2.m2.1"><semantics id="S4.T1.2.2.2.m2.1a"><mrow id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.cmml"><mi id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.2" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.2.cmml"></mi><mo id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.1" lspace="0.222em" rspace="0.222em" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.1.cmml">×</mo><msup id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.cmml"><mn id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.2" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.2.cmml">10</mn><mrow id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.3" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.3.cmml"><mo id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.3a" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.3.cmml">−</mo><mn id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.3.2" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml">2</mn></mrow></msup></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.2.2.2.m2.1b"><apply id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1"><times id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.1"></times><csymbol cd="latexml" id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.2">absent</csymbol><apply id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.cmml" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.1.cmml" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3">superscript</csymbol><cn id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.2">10</cn><apply id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.3.cmml" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.3"><minus id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.3.1.cmml" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.3"></minus><cn id="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.3.2.cmml" type="integer" xref="S4.T1.2.2.2.m2.1.1.3.3.2">2</cn></apply></apply></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.2.2.2.m2.1c">\times 10^{-2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.2.2.2.m2.1d">× 10 start_POSTSUPERSCRIPT - 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>)</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.2.2.3" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">18.98</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.2.2.4" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">13.86</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_r ltx_border_t" id="S4.T1.2.2.5" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">4.86</td> <td class="ltx_td ltx_align_center ltx_border_t" id="S4.T1.2.2.6" style="padding-top:1pt;padding-bottom:1pt;">4.66</td> </tr> </tbody> </table> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_table"><span class="ltx_text" id="S4.T1.6.2.1" style="font-size:90%;">TABLE I</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.T1.4.1" style="font-size:90%;">Relative <math alttext="\mathcal{L}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.T1.4.1.m1.1"><semantics id="S4.T1.4.1.m1.1b"><msup id="S4.T1.4.1.m1.1.1" xref="S4.T1.4.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.T1.4.1.m1.1.1.2" xref="S4.T1.4.1.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mn id="S4.T1.4.1.m1.1.1.3" xref="S4.T1.4.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.T1.4.1.m1.1c"><apply id="S4.T1.4.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.T1.4.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.T1.4.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.T1.4.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.T1.4.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.T1.4.1.m1.1.1.2">ℒ</ci><cn id="S4.T1.4.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.T1.4.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.T1.4.1.m1.1d">\mathcal{L}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.T1.4.1.m1.1e">caligraphic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math> error for various numbers of stacked residual blocks.</span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S4.F4"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="448" id="S4.F4.g1" src="x4.png" width="830"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F4.4.2.1" style="font-size:90%;">Figure 4</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F4.2.1" style="font-size:90%;">Comparison of <math alttext="\mathcal{L}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F4.2.1.m1.1"><semantics id="S4.F4.2.1.m1.1b"><msup id="S4.F4.2.1.m1.1.1" xref="S4.F4.2.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.F4.2.1.m1.1.1.2" xref="S4.F4.2.1.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mn id="S4.F4.2.1.m1.1.1.3" xref="S4.F4.2.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F4.2.1.m1.1c"><apply id="S4.F4.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F4.2.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F4.2.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.F4.2.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.F4.2.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.F4.2.1.m1.1.1.2">ℒ</ci><cn id="S4.F4.2.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F4.2.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F4.2.1.m1.1d">\mathcal{L}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F4.2.1.m1.1e">caligraphic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-error of three methods in traffic reconstruction problem.</span></figcaption> </figure> <div class="ltx_para" id="S4.p8"> <p class="ltx_p" id="S4.p8.3">Moreover, to compare our proposed method with the stacked PINN developed by <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite> and the original PINN, the box plot of the <math alttext="\mathcal{L}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.1.m1.1"><semantics id="S4.p8.1.m1.1a"><msup id="S4.p8.1.m1.1.1" xref="S4.p8.1.m1.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p8.1.m1.1.1.2" xref="S4.p8.1.m1.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mn id="S4.p8.1.m1.1.1.3" xref="S4.p8.1.m1.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.1.m1.1b"><apply id="S4.p8.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.1.m1.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.p8.1.m1.1.1.2.cmml" xref="S4.p8.1.m1.1.1.2">ℒ</ci><cn id="S4.p8.1.m1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p8.1.m1.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.1.m1.1c">\mathcal{L}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.1.m1.1d">caligraphic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-error for these methods is shown in Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S4.F4" title="Figure 4 ‣ IV Results ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>. Note that the modified stacked PINN <cite class="ltx_cite ltx_citemacro_cite">[<a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#bib.bib6" title="">6</a>]</cite> integrates vanishing viscosity into stacked networks. Both stacked PINN and stacked residual PINN consist of three stacked networks, each with three hidden layers and 40 neurons. For fairness, the vanilla PINN consists of nine hidden layers, each with 40 neurons. As shown in Figure <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S4.F4" title="Figure 4 ‣ IV Results ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">4</span></a>, the stacked residual PINN achieves the lowest <math alttext="\mathcal{L}^{2}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.2.m2.1"><semantics id="S4.p8.2.m2.1a"><msup id="S4.p8.2.m2.1.1" xref="S4.p8.2.m2.1.1.cmml"><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p8.2.m2.1.1.2" xref="S4.p8.2.m2.1.1.2.cmml">ℒ</mi><mn id="S4.p8.2.m2.1.1.3" xref="S4.p8.2.m2.1.1.3.cmml">2</mn></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.2.m2.1b"><apply id="S4.p8.2.m2.1.1.cmml" xref="S4.p8.2.m2.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.2.m2.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.2.m2.1.1">superscript</csymbol><ci id="S4.p8.2.m2.1.1.2.cmml" xref="S4.p8.2.m2.1.1.2">ℒ</ci><cn id="S4.p8.2.m2.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p8.2.m2.1.1.3">2</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.2.m2.1c">\mathcal{L}^{2}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.2.m2.1d">caligraphic_L start_POSTSUPERSCRIPT 2 end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math>-error, improving accuracy by an order of magnitude compared to the vanilla PINN. The accuracy of the proposed method can be seen from Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S4.F5" title="Figure 5 ‣ IV Results ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">5</span></a> where all shocks are correctly positioned. More specifically, Fig. <a class="ltx_ref" href="https://arxiv.org/html/2503.14222v1#S4.F6" title="Figure 6 ‣ IV Results ‣ Stacked-Residual PINN for State Reconstruction of Hyperbolic Systems"><span class="ltx_text ltx_ref_tag">6</span></a> shows that the first residual block <math alttext="\alpha_{1}\mathcal{N}(\cdot,\theta_{1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.p8.3.m3.2"><semantics id="S4.p8.3.m3.2a"><mrow id="S4.p8.3.m3.2.2" xref="S4.p8.3.m3.2.2.cmml"><msub id="S4.p8.3.m3.2.2.3" xref="S4.p8.3.m3.2.2.3.cmml"><mi id="S4.p8.3.m3.2.2.3.2" xref="S4.p8.3.m3.2.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.p8.3.m3.2.2.3.3" xref="S4.p8.3.m3.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p8.3.m3.2.2.2" xref="S4.p8.3.m3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.p8.3.m3.2.2.4" xref="S4.p8.3.m3.2.2.4.cmml">𝒩</mi><mo id="S4.p8.3.m3.2.2.2a" xref="S4.p8.3.m3.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.p8.3.m3.2.2.1.1" xref="S4.p8.3.m3.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.p8.3.m3.2.2.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.p8.3.m3.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.p8.3.m3.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.3" xref="S4.p8.3.m3.2.2.1.2.cmml">,</mo><msub id="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.1" xref="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.1.2" xref="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mn id="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.1.3" xref="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.p8.3.m3.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.p8.3.m3.2b"><apply id="S4.p8.3.m3.2.2.cmml" xref="S4.p8.3.m3.2.2"><times id="S4.p8.3.m3.2.2.2.cmml" xref="S4.p8.3.m3.2.2.2"></times><apply id="S4.p8.3.m3.2.2.3.cmml" xref="S4.p8.3.m3.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.3.m3.2.2.3.1.cmml" xref="S4.p8.3.m3.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.p8.3.m3.2.2.3.2.cmml" xref="S4.p8.3.m3.2.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.p8.3.m3.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.p8.3.m3.2.2.3.3">1</cn></apply><ci id="S4.p8.3.m3.2.2.4.cmml" xref="S4.p8.3.m3.2.2.4">𝒩</ci><interval closure="open" id="S4.p8.3.m3.2.2.1.2.cmml" xref="S4.p8.3.m3.2.2.1.1"><ci id="S4.p8.3.m3.1.1.cmml" xref="S4.p8.3.m3.1.1">⋅</ci><apply id="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.1.2">𝜃</ci><cn id="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.p8.3.m3.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></interval></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.p8.3.m3.2c">\alpha_{1}\mathcal{N}(\cdot,\theta_{1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.p8.3.m3.2d">italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N ( ⋅ , italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math> is far from being zero, indicating that it is grasping more shocks and sharpening the existing ones from the previous block.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S4.p9"> <p class="ltx_p" id="S4.p9.1">These results indicate that progressively stacking networks enhances reconstruction accuracy, while residual correction networks further stabilize learning, leading to lower errors and reduced variability in state estimations.</p> </div> <figure class="ltx_figure" id="S4.F5"> <div class="ltx_flex_figure"> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F5.sf1"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="560" id="S4.F5.sf1.g1" src="x5.png" width="747"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F5.sf1.4.1.1" style="font-size:90%;">(a)</span> </span><math alttext="u" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F5.sf1.2.m1.1"><semantics id="S4.F5.sf1.2.m1.1b"><mi id="S4.F5.sf1.2.m1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.F5.sf1.2.m1.1.1.cmml">u</mi><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F5.sf1.2.m1.1c"><ci id="S4.F5.sf1.2.m1.1.1.cmml" xref="S4.F5.sf1.2.m1.1.1">𝑢</ci></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F5.sf1.2.m1.1d">u</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F5.sf1.2.m1.1e">italic_u</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> <div class="ltx_flex_cell ltx_flex_size_2"> <figure class="ltx_figure ltx_figure_panel ltx_align_center" id="S4.F5.sf2"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="560" id="S4.F5.sf2.g1" src="x6.png" width="747"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F5.sf2.4.1.1" style="font-size:90%;">(b)</span> </span><math alttext="\hat{u}^{(3)}" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F5.sf2.2.m1.1"><semantics id="S4.F5.sf2.2.m1.1b"><msup id="S4.F5.sf2.2.m1.1.2" xref="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.cmml"><mover accent="true" id="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.2" xref="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.2.cmml"><mi id="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.2.2" mathsize="90%" xref="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.2.2.cmml">u</mi><mo id="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.2.1" mathsize="90%" xref="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.2.1.cmml">^</mo></mover><mrow id="S4.F5.sf2.2.m1.1.1.1.3" xref="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.cmml"><mo id="S4.F5.sf2.2.m1.1.1.1.3.1" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.cmml">(</mo><mn id="S4.F5.sf2.2.m1.1.1.1.1" mathsize="90%" xref="S4.F5.sf2.2.m1.1.1.1.1.cmml">3</mn><mo id="S4.F5.sf2.2.m1.1.1.1.3.2" maxsize="90%" minsize="90%" xref="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.cmml">)</mo></mrow></msup><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F5.sf2.2.m1.1c"><apply id="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.cmml" xref="S4.F5.sf2.2.m1.1.2"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.1.cmml" xref="S4.F5.sf2.2.m1.1.2">superscript</csymbol><apply id="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.2.cmml" xref="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.2"><ci id="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.2.1.cmml" xref="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.2.1">^</ci><ci id="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.2.2.cmml" xref="S4.F5.sf2.2.m1.1.2.2.2">𝑢</ci></apply><cn id="S4.F5.sf2.2.m1.1.1.1.1.cmml" type="integer" xref="S4.F5.sf2.2.m1.1.1.1.1">3</cn></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F5.sf2.2.m1.1d">\hat{u}^{(3)}</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F5.sf2.2.m1.1e">over^ start_ARG italic_u end_ARG start_POSTSUPERSCRIPT ( 3 ) end_POSTSUPERSCRIPT</annotation></semantics></math></figcaption> </figure> </div> </div> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F5.2.1.1" style="font-size:90%;">Figure 5</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F5.3.2" style="font-size:90%;">Numerical examples on the state reconstruction.</span></figcaption> </figure> <figure class="ltx_figure" id="S4.F6"><img alt="Refer to caption" class="ltx_graphics ltx_centering ltx_img_landscape" height="280" id="S4.F6.g1" src="x7.png" width="373"/> <figcaption class="ltx_caption ltx_centering"><span class="ltx_tag ltx_tag_figure"><span class="ltx_text" id="S4.F6.4.2.1" style="font-size:90%;">Figure 6</span>: </span><span class="ltx_text" id="S4.F6.2.1" style="font-size:90%;">Value of the residual block <math alttext="\alpha_{1}\mathcal{N}(\cdot;\theta_{1})" class="ltx_Math" display="inline" id="S4.F6.2.1.m1.2"><semantics id="S4.F6.2.1.m1.2b"><mrow id="S4.F6.2.1.m1.2.2" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.cmml"><msub id="S4.F6.2.1.m1.2.2.3" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.3.cmml"><mi id="S4.F6.2.1.m1.2.2.3.2" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.3.2.cmml">α</mi><mn id="S4.F6.2.1.m1.2.2.3.3" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.3.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.F6.2.1.m1.2.2.2" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mi class="ltx_font_mathcaligraphic" id="S4.F6.2.1.m1.2.2.4" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.4.cmml">𝒩</mi><mo id="S4.F6.2.1.m1.2.2.2b" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.2.cmml">⁢</mo><mrow id="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.2.cmml"><mo id="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.2" stretchy="false" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.2.cmml">(</mo><mo id="S4.F6.2.1.m1.1.1" lspace="0em" rspace="0em" xref="S4.F6.2.1.m1.1.1.cmml">⋅</mo><mo id="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.3" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.2.cmml">;</mo><msub id="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.1" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml"><mi id="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.1.2" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml">θ</mi><mn id="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.1.3" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml">1</mn></msub><mo id="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.4" stretchy="false" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.2.cmml">)</mo></mrow></mrow><annotation-xml encoding="MathML-Content" id="S4.F6.2.1.m1.2c"><apply id="S4.F6.2.1.m1.2.2.cmml" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2"><times id="S4.F6.2.1.m1.2.2.2.cmml" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.2"></times><apply id="S4.F6.2.1.m1.2.2.3.cmml" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.3"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F6.2.1.m1.2.2.3.1.cmml" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.3">subscript</csymbol><ci id="S4.F6.2.1.m1.2.2.3.2.cmml" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.3.2">𝛼</ci><cn id="S4.F6.2.1.m1.2.2.3.3.cmml" type="integer" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.3.3">1</cn></apply><ci id="S4.F6.2.1.m1.2.2.4.cmml" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.4">𝒩</ci><list id="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.2.cmml" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1"><ci id="S4.F6.2.1.m1.1.1.cmml" xref="S4.F6.2.1.m1.1.1">⋅</ci><apply id="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.1.cmml" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.1"><csymbol cd="ambiguous" id="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.1.1.cmml" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.1">subscript</csymbol><ci id="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.1.2.cmml" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.1.2">𝜃</ci><cn id="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.1.3.cmml" type="integer" xref="S4.F6.2.1.m1.2.2.1.1.1.3">1</cn></apply></list></apply></annotation-xml><annotation encoding="application/x-tex" id="S4.F6.2.1.m1.2d">\alpha_{1}\mathcal{N}(\cdot;\theta_{1})</annotation><annotation encoding="application/x-llamapun" id="S4.F6.2.1.m1.2e">italic_α start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT caligraphic_N ( ⋅ ; italic_θ start_POSTSUBSCRIPT 1 end_POSTSUBSCRIPT )</annotation></semantics></math>.</span></figcaption> </figure> </section> <section class="ltx_section" id="S5"> <h2 class="ltx_title ltx_title_section"> <span class="ltx_tag ltx_tag_section">V </span><span class="ltx_text ltx_font_smallcaps" id="S5.1.1">Conclusion and future works</span> </h2> <div class="ltx_para" id="S5.p1"> <p class="ltx_p" id="S5.p1.1">This paper introduced the stacked residual PINN, a variation of the PINN framework designed to reconstruct states of hyperbolic PDEs. By adopting the vanishing viscosity principle, the approach progressively enhances solution approximation, effectively capturing discontinuities and shocks. Applied to a traffic state reconstruction problem, the method demonstrated an order of magnitude improvement in accuracy over the vanilla PINN.</p> </div> <div class="ltx_para" id="S5.p2"> <p class="ltx_p" id="S5.p2.1">Future work will focus on extending the methodology to higher-dimensional and more complex hyperbolic PDEs, aiming to confirm its broader applicability, particularly in control engineering.</p> </div> </section> <section class="ltx_bibliography" id="bib"> <h2 class="ltx_title ltx_title_bibliography">References</h2> <ul class="ltx_biblist"> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib1"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[1]</span> <span class="ltx_bibblock"> G. Bastin and J.-M. Coron, <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib1.1.1">Stability and Boundary Stabilization of 1-D Hyperbolic Systems</em>. Birkhäuser Cham, 2016. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib2"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[2]</span> <span class="ltx_bibblock"> N. G. Polson and V. O. Sokolov, “Deep learning for short-term traffic flow prediction,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib2.1.1">Transportation Research Part C: Emerging Technologies</em>, 2017. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib3"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[3]</span> <span class="ltx_bibblock"> A. J. Huang and S. Agarwal, “On the limitations of physics-informed deep learning: Illustrations using first-order hyperbolic conservation law-based traffic flow models,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib3.1.1">IEEE Open Journal of Intelligent Transportation Systems</em>, 2023. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib4"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[4]</span> <span class="ltx_bibblock"> M. Raissi, P. Perdikaris, and G. E. Karniadakis, “Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib4.1.1">Journal of Computational Physics</em>, 2019. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib5"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[5]</span> <span class="ltx_bibblock"> M. Barreau, M. Aguiar, J. Liu, and K. H. Johansson, “Physics-informed learning for identification and state reconstruction of traffic density,” in <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib5.1.1">60th IEEE Conference on Decision and Control</em>, 2021. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib6"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[6]</span> <span class="ltx_bibblock"> A. A. Howard, S. H. Murphy, and al., “Stacked networks improve physics-informed training: Applications to neural networks and deep operator networks,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib6.1.1">Foundations of Data Science</em>, 2025. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib7"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[7]</span> <span class="ltx_bibblock"> S. Wang, B. Li, Y. Chen, and P. Perdikaris, “Piratenets: Physics-informed deep learning with residual adaptive networks,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib7.1.1">Journal of Machine Learning Research</em>, 2025. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib8"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[8]</span> <span class="ltx_bibblock"> Y. Wang and C.-Y. Lai, “Multi-stage neural networks: Function approximator of machine precision,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib8.1.1">Journal of Computational Physics</em>, 2024. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib9"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[9]</span> <span class="ltx_bibblock"> A. J. Huang and S. Agarwal, “Physics informed deep learning for traffic state estimation,” in <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib9.1.1">2020 IEEE 23rd International Conference on Intelligent Transportation Systems (ITSC)</em>, 2020. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib10"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[10]</span> <span class="ltx_bibblock"> S. N. Kružkov, “First order quasilinear equations in several independent variables,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib10.1.1">Mathematics of the USSR-Sbornik</em>, 1970. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib11"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[11]</span> <span class="ltx_bibblock"> C. M. Dafermos, <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib11.1.1">Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics</em>. Springer Berlin, Heidelberg, 2016. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib12"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[12]</span> <span class="ltx_bibblock"> H. Amann, “Nonhomogeneous linear and quasilinear elliptic and parabolic boundary value problems,” in <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib12.1.1">Function spaces, differential operators and nonlinear analysis</em>. Springer, 1993. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib13"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[13]</span> <span class="ltx_bibblock"> M. Barreau and H. Shen, “Accuracy and robustness of weight-balancing methods for training PINNs,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib13.1.1">Arxiv</em>, 2025. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib14"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[14]</span> <span class="ltx_bibblock"> J. Sirignano and K. Spiliopoulos, “DGM: A deep learning algorithm for solving partial differential equations,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib14.1.1">Journal of computational physics</em>, 2018. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib15"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[15]</span> <span class="ltx_bibblock"> K. He, X. Zhang, S. Ren, and J. Sun, “Deep residual learning for image recognition,” in <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib15.1.1">Proceedings of the IEEE conference on computer vision and pattern recognition</em>, 2016. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib16"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[16]</span> <span class="ltx_bibblock"> K. Hornik, “Approximation capabilities of multilayer feedforward networks,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib16.1.1">Neural networks</em>, 1991. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib17"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[17]</span> <span class="ltx_bibblock"> P. I. Richards, “Shock waves on the highway,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib17.1.1">Operations Research</em>, 1956. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib18"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[18]</span> <span class="ltx_bibblock"> M. J. Lighthill and G. B. Whitham, “On kinematic waves II. a theory of traffic flow on long crowded roads,” <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib18.1.1">Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences</em>, 1955. </span> </li> <li class="ltx_bibitem" id="bib.bib19"> <span class="ltx_tag ltx_tag_bibitem">[19]</span> <span class="ltx_bibblock"> B. D. Greenshields, J. R. Bibbins, W. S. Channing, and H. H. Miller, “A study of traffic capacity,” in <em class="ltx_emph ltx_font_italic" id="bib.bib19.1.1">Highway research board proceedings</em>, 1935. </span> </li> </ul> </section> </article> </div> <footer class="ltx_page_footer"> <div class="ltx_page_logo">Generated on Tue Mar 18 12:58:04 2025 by <a class="ltx_LaTeXML_logo" href="http://dlmf.nist.gov/LaTeXML/"><span style="letter-spacing:-0.2em; margin-right:0.1em;">L<span class="ltx_font_smallcaps" style="position:relative; bottom:2.2pt;">a</span>T<span class="ltx_font_smallcaps" style="font-size:120%;position:relative; bottom:-0.2ex;">e</span></span><span style="font-size:90%; position:relative; bottom:-0.2ex;">XML</span><img alt="Mascot Sammy" src="data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAsAAAAOCAYAAAD5YeaVAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAAZiS0dEAP8A/wD/oL2nkwAAAAlwSFlzAAALEwAACxMBAJqcGAAAAAd0SU1FB9wKExQZLWTEaOUAAAAddEVYdENvbW1lbnQAQ3JlYXRlZCB3aXRoIFRoZSBHSU1Q72QlbgAAAdpJREFUKM9tkL+L2nAARz9fPZNCKFapUn8kyI0e4iRHSR1Kb8ng0lJw6FYHFwv2LwhOpcWxTjeUunYqOmqd6hEoRDhtDWdA8ApRYsSUCDHNt5ul13vz4w0vWCgUnnEc975arX6ORqN3VqtVZbfbTQC4uEHANM3jSqXymFI6yWazP2KxWAXAL9zCUa1Wy2tXVxheKA9YNoR8Pt+aTqe4FVVVvz05O6MBhqUIBGk8Hn8HAOVy+T+XLJfLS4ZhTiRJgqIoVBRFIoric47jPnmeB1mW/9rr9ZpSSn3Lsmir1fJZlqWlUonKsvwWwD8ymc/nXwVBeLjf7xEKhdBut9Hr9WgmkyGEkJwsy5eHG5vN5g0AKIoCAEgkEkin0wQAfN9/cXPdheu6P33fBwB4ngcAcByHJpPJl+fn54mD3Gg0NrquXxeLRQAAwzAYj8cwTZPwPH9/sVg8PXweDAauqqr2cDjEer1GJBLBZDJBs9mE4zjwfZ85lAGg2+06hmGgXq+j3+/DsixYlgVN03a9Xu8jgCNCyIegIAgx13Vfd7vdu+FweG8YRkjXdWy329+dTgeSJD3ieZ7RNO0VAXAPwDEAO5VKndi2fWrb9jWl9Esul6PZbDY9Go1OZ7PZ9z/lyuD3OozU2wAAAABJRU5ErkJggg=="/></a> </div></footer> </div> </body> </html>