Lie-Gruppe – Wikipedia

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Lie-Gruppe – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"759605b3-dc5a-46d5-a0ee-6b793a3007f5","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Lie-Gruppe","wgTitle":"Lie-Gruppe","wgCurRevisionId":246338660,"wgRevisionId":246338660,"wgArticleId":134550,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":[ "Lie-Gruppe"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Lie-Gruppe","wgRelevantArticleId":134550,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":246338660,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false, "wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q622679","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles": "ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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Formal handelt es sich bei einer Lie-Gruppe um eine <a href="/wiki/Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppe</a>, die auch eine <a href="/wiki/Differenzierbare_Mannigfaltigkeit" title="Differenzierbare Mannigfaltigkeit">differenzierbare Mannigfaltigkeit</a> ist, sodass die Gruppenverknüpfung und Inversenbildung kompatibel mit der glatten Struktur sind, das bedeutet <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (g,b)\mapsto gb\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>g</mi> <mi>b</mi> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (g,b)\mapsto gb\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ce083178dd62edb355ef70e23486baf4f84c49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.33ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (g,b)\mapsto gb\;}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;g\mapsto g^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;g\mapsto g^{-1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2834795e9eb532e4050b62270272f66306fd045" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.826ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \;g\mapsto g^{-1}}"></dd></dl> sind <a href="/wiki/Glatte_Funktion" title="Glatte Funktion">glatte Funktionen</a>. Lie-Gruppen werden zur Beschreibung von kontinuierlichen Symmetrien verwendet.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Lie-Gruppen und <a href="/wiki/Lie-Algebra" title="Lie-Algebra">Lie-Algebren</a> wurden um 1870 von Sophus Lie in der <a href="/wiki/Lie-Theorie" title="Lie-Theorie">Lie-Theorie</a> zur Untersuchung von Symmetrien in <a href="/wiki/Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichungen</a> eingeführt. Unabhängig von Lie entwickelte <a href="/wiki/Wilhelm_Killing" title="Wilhelm Killing">Wilhelm Killing</a> ähnliche Ideen zum Studium <a href="/wiki/Nichteuklidische_Geometrie" title="Nichteuklidische Geometrie">nichteuklidischer Geometrien</a>. Die älteren Bezeichnungen stetige Gruppe oder kontinuierliche Gruppe für eine Lie-Gruppe beschreiben besser das, was man heute unter einer <a href="/wiki/Topologische_Gruppe" title="Topologische Gruppe">topologischen Gruppe</a> versteht. Jede Lie-Gruppe ist auch eine topologische Gruppe. Dieser Artikel behandelt (der üblichen Terminologie folgend) endlich-dimensionale Lie-Gruppen. Es gibt auch eine Theorie unendlich-dimensionaler Lie-Gruppen, beispielsweise <a href="/w/index.php?title=Banach-Lie-Gruppe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Banach-Lie-Gruppe (Seite nicht vorhanden)">Banach-Lie-Gruppen</a>. Lie-Gruppen sind in fast allen Teilen der heutigen Mathematik sowie in der <a href="/wiki/Theoretische_Physik" class="mw-redirect" title="Theoretische Physik">theoretischen Physik</a>, vor allem der <a href="/wiki/Teilchenphysik" title="Teilchenphysik">Teilchenphysik</a>, wichtige Werkzeuge. <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Erste_Beispiele">1 Erste Beispiele</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Definitionen">2 Definitionen</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#Lie-Gruppe">2.1 Lie-Gruppe</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Lie-Algebra_der_Lie-Gruppe">2.2 Lie-Algebra der Lie-Gruppe</a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-5"><a href="#Adjungierte_Darstellung_und_Herleitung_der_Lie-Klammern">2.2.1 Adjungierte Darstellung und Herleitung der Lie-Klammern</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-6"><a href="#Weiteres">2.2.2 Weiteres</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Lie-Gruppen-Homomorphismus">2.3 Lie-Gruppen-Homomorphismus</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="#Lie-Untergruppe">2.4 Lie-Untergruppe</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Beispiele">3 Beispiele</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-10"><a href="#Frühgeschichte">4 Frühgeschichte</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-11"><a href="#Differentialgeometrie_von_Lie-Gruppen">5 Differentialgeometrie von Lie-Gruppen</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#Klassifikationsmöglichkeiten">6 Klassifikationsmöglichkeiten</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-13"><a href="#Verallgemeinerungen_(und_verwandte_Theorien)">7 Verallgemeinerungen (und verwandte Theorien)</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-14"><a href="#Anmerkungen">8 Anmerkungen</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-15"><a href="#Literatur">9 Literatur</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-16"><a href="#Weblinks">10 Weblinks</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Erste_Beispiele">Erste Beispiele</h2>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Erste Beispiele" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Erste Beispiele">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Circle_as_Lie_group.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/220px-Circle_as_Lie_group.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/330px-Circle_as_Lie_group.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/440px-Circle_as_Lie_group.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a><figcaption>Der <a href="/wiki/Kreis" title="Kreis">Kreis</a> mit Mittelpunkt 0 und Radius 1 in der <a href="/wiki/Komplexe_Zahlen#Komplexe_Zahlenbene" class="mw-redirect" title="Komplexe Zahlen">komplexen Zahlenebene</a> ist eine Lie-Gruppe mit komplexer Multiplikation.</figcaption></figure> Die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo class="MJX-variant">∖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea7a3c9ffa2b42cb0c8e735a94ae7e991207b00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.191ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}}"> der <a href="/wiki/Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahlen</a> ungleich 0 bildet mit der gewöhnlichen Multiplikation eine Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715e556d0e260756c7803518d7504ce0efad6634" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.222ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}">. Die Multiplikation ist eine <a href="/wiki/Differenzierbarkeit" title="Differenzierbarkeit">differenzierbare</a> Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\colon \mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>×</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\colon \mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5713422a3b8ca61528568bcb718e301e6fe195f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:17.726ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle m\colon \mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}"> definiert durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m(x,y)=xy}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m(x,y)=xy}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12215de3faa4602b0c5367db8936ba63285fbcd4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.952ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m(x,y)=xy}">. Auch die durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i(z)=z^{-1}={\tfrac {1}{z}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>z</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i(z)=z^{-1}={\tfrac {1}{z}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d660d830845e9a34649b77e4f61fe6f15e76c676" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.978ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle i(z)=z^{-1}={\tfrac {1}{z}}}"> definierte Inversion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>:</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba17df70a88ec23ac11adf217b39135667ad1ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.915ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle i\colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}"> ist differenzierbar. Die Gruppenstruktur der komplexen Ebene (bzgl. Multiplikation) ist also „mit der Differentialrechnung verträglich“. Dasselbe würde auch für die Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5e0e3e9a155e5af7821ddafe96863d7598439c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.329ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}"> mit der Addition als Verknüpfung gelten: Dort ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m(x,y)=x+y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m(x,y)=x+y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef93d6e3bdf039d25624ad09c94802d6b8b24efd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.793ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle m(x,y)=x+y}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i(x)=-x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i(x)=-x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51a83284ef498b86a378a943c85148db9c93922" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.178ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i(x)=-x}">. Der <a href="/wiki/Einheitskreis" title="Einheitskreis">Einheitskreis</a> in der komplexen Zahlenebene, d. h. die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{1}=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{1}=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84e615ee6c2a4b96e435a4d5835777a598f5ead0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.186ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle S^{1}=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\right\}}"> der komplexen Zahlen vom <a href="/wiki/Betragsfunktion" title="Betragsfunktion">Betrag</a> 1, ist eine <a href="/wiki/Untergruppe" title="Untergruppe">Untergruppe</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715e556d0e260756c7803518d7504ce0efad6634" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.222ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}">, die sogenannte <a href="/wiki/Kreisgruppe" title="Kreisgruppe">Kreisgruppe</a>: Das Produkt zweier Zahlen vom Betrag 1 hat wieder Betrag 1, ebenso das Inverse. Auch hier hat man eine „mit der Differentialrechnung verträgliche Gruppenstruktur“, d. h. eine Lie-Gruppe. Andererseits bildet die Menge <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {SO} (2)=\left\{{\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}:\phi \in \mathbb {R} \right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>SO</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>:</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {SO} (2)=\left\{{\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}:\phi \in \mathbb {R} \right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3cef0470d6a98a5d52b72eb47a58bd7485c7074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:37.734ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {SO} (2)=\left\{{\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}:\phi \in \mathbb {R} \right\}}"></dd></dl> der <a href="/wiki/Drehmatrix" title="Drehmatrix">Drehmatrizen</a> (Drehungen im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}">) eine Gruppe; die Multiplikation ist definiert durch <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \psi &\sin \psi \\-\sin \psi &\cos \psi \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\phi +\psi )&\sin(\phi +\psi )\\-\sin(\phi +\psi )&\cos(\phi +\psi )\\\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> </mtd> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \psi &\sin \psi \\-\sin \psi &\cos \psi \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\phi +\psi )&\sin(\phi +\psi )\\-\sin(\phi +\psi )&\cos(\phi +\psi )\\\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6195e950d388badd58f8c8ab9eb61d7b9c0c92" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:66.614ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \psi &\sin \psi \\-\sin \psi &\cos \psi \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(\phi +\psi )&\sin(\phi +\psi )\\-\sin(\phi +\psi )&\cos(\phi +\psi )\\\end{bmatrix}}}"></dd></dl> und die Inversion durch <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\cos(-\phi )&\sin(-\phi )\\-\sin(-\phi )&\cos(-\phi )\\\end{bmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\cos(-\phi )&\sin(-\phi )\\-\sin(-\phi )&\cos(-\phi )\\\end{bmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881af61f76c293b4543df8e25d5057f24c68a409" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:46.364ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\cos(-\phi )&\sin(-\phi )\\-\sin(-\phi )&\cos(-\phi )\\\end{bmatrix}}}">.</dd></dl> Wenn man die Menge der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\times 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\times 2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a0e3400ffb97d67c00267ed50cddfe824cbe80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.165ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\times 2}">-Matrizen auf naheliegende Weise mit dem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4abb9b9dab94f7b25a4210364f0f9032704bfb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}"> identifiziert, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {SO} (2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>SO</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {SO} (2)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31dfb5b202df480b5b743f5624eb80b0f0cd15b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.072ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {SO} (2)}"> eine differenzierbare <a href="/wiki/Untermannigfaltigkeit" title="Untermannigfaltigkeit">Untermannigfaltigkeit</a> und man kann überprüfen, dass Multiplikation und Inversion differenzierbar sind, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {SO} (2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>SO</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {SO} (2)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31dfb5b202df480b5b743f5624eb80b0f0cd15b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.072ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {SO} (2)}"> ist also eine Lie-Gruppe. Es stellt sich heraus, dass es sich bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {SO} (2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>SO</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {SO} (2)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31dfb5b202df480b5b743f5624eb80b0f0cd15b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.072ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {SO} (2)}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60796c8d0c03cf575637d3202463b214d9635880" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.576ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle S^{1}}"> um „dieselbe“ Lie-Gruppe handelt, d. h., dass die beiden Lie-Gruppen <a href="/wiki/Isomorph" class="mw-redirect" title="Isomorph">isomorph</a> sind. Man kann nämlich eine Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\colon \operatorname {SO} (2)\rightarrow S^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo>:</mo> <mi>SO</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\colon \operatorname {SO} (2)\rightarrow S^{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e907988cc7fda96b0cb12426a4c00ca2bb6243e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.037ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle F\colon \operatorname {SO} (2)\rightarrow S^{1}}"> definieren, indem man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{smallmatrix}}\right]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle scriptlevel="1"> <mtable rowspacing=".2em" columnspacing="0.333em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mstyle> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{smallmatrix}}\right]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/330bdde86d05fe7319a5cbeb5ade4eaf9e53290d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.338ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{smallmatrix}}\right]}"> auf die komplexe Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos \phi +i\sin \phi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \phi +i\sin \phi }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b57b9de62060cda716895f1ed3152ca9e267f06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.542ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \cos \phi +i\sin \phi }"> abbildet, welche auf dem Einheitskreis liegt. Dies ist ein <a href="/wiki/Gruppenhomomorphismus" title="Gruppenhomomorphismus">Gruppen-Homomorphismus</a>, denn <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\left({\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \psi &\sin \psi \\-\sin \psi &\cos \psi \\\end{bmatrix}}\right)=F\left({\begin{bmatrix}\cos(\phi +\psi )&\sin(\phi +\psi )\\-\sin(\phi +\psi )&\cos(\phi +\psi )\\\end{bmatrix}}\right)=}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> </mtd> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\left({\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \psi &\sin \psi \\-\sin \psi &\cos \psi \\\end{bmatrix}}\right)=F\left({\begin{bmatrix}\cos(\phi +\psi )&\sin(\phi +\psi )\\-\sin(\phi +\psi )&\cos(\phi +\psi )\\\end{bmatrix}}\right)=}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/769bffa39450fc8dff33aa2a3a2c26bbb80ba716" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:80.165ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle F\left({\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \psi &\sin \psi \\-\sin \psi &\cos \psi \\\end{bmatrix}}\right)=F\left({\begin{bmatrix}\cos(\phi +\psi )&\sin(\phi +\psi )\\-\sin(\phi +\psi )&\cos(\phi +\psi )\\\end{bmatrix}}\right)=}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =\cos(\phi +\psi )+i\sin(\phi +\psi )=\cos \phi \cos \psi -\sin \phi \sin \psi +i(\sin \phi \cos \psi +\sin \psi \cos \phi )=}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =\cos(\phi +\psi )+i\sin(\phi +\psi )=\cos \phi \cos \psi -\sin \phi \sin \psi +i(\sin \phi \cos \psi +\sin \psi \cos \phi )=}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b783e562eebb7d9c55676a0afb93c8725900c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:84.338ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle =\cos(\phi +\psi )+i\sin(\phi +\psi )=\cos \phi \cos \psi -\sin \phi \sin \psi +i(\sin \phi \cos \psi +\sin \psi \cos \phi )=}"></dd> <dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle =(\cos \phi +i\sin \phi )(\cos \psi +i\sin \psi )=F\left({\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}\right)F\left({\begin{bmatrix}\cos \psi &\sin \psi \\-\sin \psi &\cos \psi \\\end{bmatrix}}\right)\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> </mtd> <mtd> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> </mtd> <mtd> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ψ</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle =(\cos \phi +i\sin \phi )(\cos \psi +i\sin \psi )=F\left({\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}\right)F\left({\begin{bmatrix}\cos \psi &\sin \psi \\-\sin \psi &\cos \psi \\\end{bmatrix}}\right)\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb4ab17f2019874464569831eae8ab81881be98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:84.143ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle =(\cos \phi +i\sin \phi )(\cos \psi +i\sin \psi )=F\left({\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}\right)F\left({\begin{bmatrix}\cos \psi &\sin \psi \\-\sin \psi &\cos \psi \\\end{bmatrix}}\right)\,.}"></dd></dl> Man kann nachprüfen, dass dieser Gruppen-Homomorphismus und seine Umkehrabbildung differenzierbar sind. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"> ist also ein Lie-Gruppen-Isomorphismus. Aus Sicht der Lie-Gruppen-Theorie sind die Gruppe der Drehmatrizen und der Einheitskreis dieselbe Gruppe. Eine wichtige Motivation der Lie-Gruppen-Theorie besteht darin, dass man für Lie-Gruppen eine Lie-Algebra definieren kann und sich viele gruppentheoretische oder auch differentialgeometrische Probleme auf das entsprechende Problem in der Lie-Algebra zurückführen und dort lösen lassen. („<a href="/wiki/Lineare_Algebra" title="Lineare Algebra">Lineare Algebra</a> ist einfacher als <a href="/wiki/Gruppentheorie" title="Gruppentheorie">Gruppentheorie</a>“.) Zur Definition der Lie-Algebra benötigt man die Differenzierbarkeit und die Verträglichkeit der Gruppenoperationen mit dieser. Für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60796c8d0c03cf575637d3202463b214d9635880" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.576ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle S^{1}}"> ist die Lie-Algebra die imaginäre Achse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b16d3f0975e33787fd9eadc17415dec4c17a10f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.481ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i\mathbb {R} }"> mit der <a href="/wiki/Triviale_Lie-Klammer" class="mw-redirect" title="Triviale Lie-Klammer">trivialen Lie-Klammer</a>. Die Trivialität der Lie-Klammer rührt in diesem Fall daher, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60796c8d0c03cf575637d3202463b214d9635880" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.576ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle S^{1}}"> eine <a href="/wiki/Abelsche_Gruppe" title="Abelsche Gruppe">abelsche</a> Lie-Gruppe ist. Die Lie-Algebra der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {SO} (2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>SO</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {SO} (2)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31dfb5b202df480b5b743f5624eb80b0f0cd15b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.072ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {SO} (2)}"> ist <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {so} (2)=\left\{{\begin{bmatrix}0&\phi \\-\phi &0\\\end{bmatrix}}:\phi \in \mathbb {R} \right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>ϕ</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>ϕ</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>:</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {so} (2)=\left\{{\begin{bmatrix}0&\phi \\-\phi &0\\\end{bmatrix}}:\phi \in \mathbb {R} \right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5503674cca3b99794af7f735066c99f0637b4dab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.584ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {so} (2)=\left\{{\begin{bmatrix}0&\phi \\-\phi &0\\\end{bmatrix}}:\phi \in \mathbb {R} \right\}}"></dd></dl> mit der trivialen Lie-Klammer und man sieht leicht, dass diese beiden Lie-Algebren isomorph sind. (Allgemein entsprechen isomorphe Lie-Gruppen stets isomorphen Lie-Algebren.) <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definitionen">Definitionen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Definitionen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Definitionen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lie-Gruppe">Lie-Gruppe</h3>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Lie-Gruppe" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Lie-Gruppe">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Eine Lie-Gruppe ist eine <a href="/wiki/Glatte_Mannigfaltigkeit" class="mw-redirect" title="Glatte Mannigfaltigkeit">glatte reelle Mannigfaltigkeit</a>, die zusätzlich die Struktur einer <a href="/wiki/Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppe</a> besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)\mapsto ab}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>a</mi> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)\mapsto ab}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a473441ea3bb97ff1bcaeeb453f08ba3f03e054c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.912ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b)\mapsto ab}"></dd></dl> und die Inversion <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\mapsto a^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\mapsto a^{-1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e90e11f38cbf613dbd57c32a51905d8d162f0a4c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.406ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a\mapsto a^{-1}}"></dd></dl> beliebig oft <a href="/wiki/Differenzierbarkeit" title="Differenzierbarkeit">differenzierbar</a> sind. Die Dimension der Lie-Gruppe ist die <a href="/wiki/Dimension_(Mathematik)#Dimension_einer_Mannigfaltigkeit" title="Dimension (Mathematik)">Dimension</a> der unterliegenden Mannigfaltigkeit. Die unterliegende Mannigfaltigkeit einer Lie-Gruppe trägt sogar eine reell-analytische Struktur und die Gruppenmultiplikation und Inversion sind automatisch (reell-)<a href="/wiki/Analytische_Funktion" title="Analytische Funktion">analytische Funktionen</a>. Eine komplexe Lie-Gruppe ist eine <a href="/wiki/Komplexe_Mannigfaltigkeit" title="Komplexe Mannigfaltigkeit">komplexe Mannigfaltigkeit</a> mit einer Gruppenstruktur, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion <a href="/wiki/Komplexe_Mannigfaltigkeit" title="Komplexe Mannigfaltigkeit">komplex differenzierbar</a> sind. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lie-Algebra_der_Lie-Gruppe">Lie-Algebra der Lie-Gruppe</h3>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Lie-Algebra der Lie-Gruppe" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Lie-Algebra der Lie-Gruppe">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Zu jeder Lie-Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> können wir eine Lie-Algebra assoziieren, diese besteht aus einem Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> zusammen mit den Lie-Klammern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ce0ecebaaa6530dea73faf9e5831dacb050936" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.528ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}">. Als Vektorraum nehmen wir hierfür den <a href="/wiki/Tangentialraum" title="Tangentialraum">Tangentialraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}:=T_{e}G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>:=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}:=T_{e}G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f8e162c6f51a27986afc451450b1e7b21ab709" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.1ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}:=T_{e}G}"> der Lie-Gruppe im neutralen Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}">. Um die Lie-Klammern zu definieren, brauchen wir zuerst die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {ad} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ad</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {ad} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c5f86fb3e66e47a40666e2356def7b22ffb8b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.455ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {ad} }">-Operation. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Adjungierte_Darstellung_und_Herleitung_der_Lie-Klammern">Adjungierte Darstellung und Herleitung der Lie-Klammern</h4>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Adjungierte Darstellung und Herleitung der Lie-Klammern" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Adjungierte Darstellung und Herleitung der Lie-Klammern">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Adjungierte_Darstellung" title="Adjungierte Darstellung">Adjungierte Darstellung</a></div> Betrachte die Konjugation <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{g}:G\to G,\quad h\mapsto ghg^{-1},\quad \forall h\in G,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <mi>g</mi> <mi>h</mi> <msup> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{g}:G\to G,\quad h\mapsto ghg^{-1},\quad \forall h\in G,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0324d1e0bdafac8c8b30510eb2623490bfd8f588" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:36.751ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle c_{g}:G\to G,\quad h\mapsto ghg^{-1},\quad \forall h\in G,}"></dd></dl> und die Gruppenaktion der Lie-Gruppe auf sich selber <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C:G\to Aut(G),\quad g\mapsto c_{g}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mo>:</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>A</mi> <mi>u</mi> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C:G\to Aut(G),\quad g\mapsto c_{g}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d705af9b00bb2ac4c174a2305546530e88e79c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:27.454ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle C:G\to Aut(G),\quad g\mapsto c_{g}.}"></dd></dl> Sei nun <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D_{e}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D_{e}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e785a9fc0aea966a290a076cd916bff798900a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.923ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle D_{e}}"> der Differentialoperator an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}">. Die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>Ad</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/710fd0b3550d718b8fb9d4b9fc078c25111281a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.057ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}">-Operation ist nun definiert als die Ableitung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{g}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{g}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f66b66841d4193e6ef61fe348c322d7616acc32" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.028ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle c_{g}}"> an der Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}:T_{e}G\to T_{c_{g}(e)}G,\quad x\mapsto \operatorname {Ad} _{g}(x):=(D_{e}c_{g})(x),\quad x\in T_{e}G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>Ad</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msub> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <msub> <mi>Ad</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}:T_{e}G\to T_{c_{g}(e)}G,\quad x\mapsto \operatorname {Ad} _{g}(x):=(D_{e}c_{g})(x),\quad x\in T_{e}G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895b51d781bbe9e0bbe3d3c805f4c4100d4472fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:61.62ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}:T_{e}G\to T_{c_{g}(e)}G,\quad x\mapsto \operatorname {Ad} _{g}(x):=(D_{e}c_{g})(x),\quad x\in T_{e}G}"></dd></dl> Da das neutrale Element invariant unter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{g}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{g}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f66b66841d4193e6ef61fe348c322d7616acc32" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.028ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle c_{g}}"> ist, das bedeutet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{g}(e)=e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{g}(e)=e}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e399b8ad2d6a084fe934b054b5a1b00495b30c11" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.103ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle c_{g}(e)=e}">, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>Ad</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/710fd0b3550d718b8fb9d4b9fc078c25111281a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.057ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}"> eine Operation des Tangentialraumes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afeabe2bcf8c7f4c04a57c29ecd4cbbba0f90e78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.453ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}"> des neutralen Elementes in sich selber <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>Ad</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f806e9d4c289152b20345ebf8069c39f075e79" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.599ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}.}"></dd></dl> Folglich erhalten wir die Darstellung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Ad} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Ad</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Ad} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32802447373caef9cd6d7ce1acfe0c1552d4bf98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.036ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Ad} }"> definiert durch <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Ad} :G\to GL({\mathfrak {g}}),\quad g\mapsto \operatorname {Ad} _{g},\qquad \forall g\in G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Ad</mi> <mo>:</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>G</mi> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <msub> <mi>Ad</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>g</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>g</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Ad} :G\to GL({\mathfrak {g}}),\quad g\mapsto \operatorname {Ad} _{g},\qquad \forall g\in G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/495afd3d88a84ae0fb4923c7759815c3586d35a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:41.703ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Ad} :G\to GL({\mathfrak {g}}),\quad g\mapsto \operatorname {Ad} _{g},\qquad \forall g\in G}"></dd></dl> Nun definieren wir die Ableitung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Ad} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Ad</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Ad} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32802447373caef9cd6d7ce1acfe0c1552d4bf98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.036ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Ad} }"> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad x\mapsto D_{e}\operatorname {Ad} _{x}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ad</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> <mi mathvariant="fraktur">l</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">↦</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>Ad</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad x\mapsto D_{e}\operatorname {Ad} _{x}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d530a1dd2c5308c2ef37e1aed96c954db0b70c3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.447ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad x\mapsto D_{e}\operatorname {Ad} _{x}.}"></dd></dl> Die Lie-Klammern sind dann definiert durch <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [X,Y]:=\operatorname {ad} _{X}(Y),\quad X,Y\in {\mathfrak {g}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>:=</mo> <msub> <mi>ad</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [X,Y]:=\operatorname {ad} _{X}(Y),\quad X,Y\in {\mathfrak {g}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c52521256f910486d7948997695bfcb9695bff2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.299ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [X,Y]:=\operatorname {ad} _{X}(Y),\quad X,Y\in {\mathfrak {g}}.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Weiteres">Weiteres</h4>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Weiteres" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weiteres">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die <a href="/wiki/Vektorfeld" title="Vektorfeld">Vektorfelder</a> auf einer glatten Mannigfaltigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}"> bilden mit der <a href="/wiki/Lie-Algebra#Glatte_Vektorfelder" title="Lie-Algebra">Lie-Klammer</a> eine unendlich-dimensionale <a href="/wiki/Lie-Algebra" title="Lie-Algebra">Lie-Algebra</a>. Die zu einer Lie-Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> gehörende Lie-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> besteht aus dem Unterraum der <a href="/wiki/Translationsinvarianz" class="mw-redirect" title="Translationsinvarianz">links-invarianten</a> Vektorfelder auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}">. Dieser Vektorraum ist isomorph zum <a href="/wiki/Tangentialraum" title="Tangentialraum">Tangentialraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{e}G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{e}G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897e6e4ee719cb0b880f4e4b807b0a5a7b39a446" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.183ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{e}G}"> am neutralen Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}">. Insbesondere gilt also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \dim G=\dim {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>dim</mi> <mo>⁡</mo> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mi>dim</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \dim G=\dim {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a16bde5671048aedfa84c57b79570a2d69890c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.622ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \dim G=\dim {\mathfrak {g}}}">. Bezüglich der Lie-Klammer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mo>⋅</mo> <mo>,</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.621ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}"> ist der Vektorraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> abgeschlossen. Somit ist der Tangentialraum einer Lie-Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> am neutralen Element eine Lie-Algebra. Diese Lie-Algebra nennt man die Lie-Algebra der Lie-Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}">. Zu jeder Lie-Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> mit Lie-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> gibt es eine Exponentialabbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>exp</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e8ca23cbc74af3e442f1c4a90ad9679f189440" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.199ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow G}">. Diese Exponentialabbildung kann man definieren durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp(A)=\Phi _{1}(e)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi mathvariant="normal">Φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>e</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp(A)=\Phi _{1}(e)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0bbd596b0fecd5321803a0cd4c170738173cc63" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.828ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \exp(A)=\Phi _{1}(e)}">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Phi _{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">Φ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Phi _{t}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6573886a4aa9f86bb43953426774b27682cf3e12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.504ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Phi _{t}}"> der <a href="/wiki/Fluss_(Physik)" title="Fluss (Physik)">Fluss</a> des links-invarianten Vektorfelds <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e\in G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\in G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc993b87bf6f6f7f8e5f1e99011f92bd4b0188a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.751ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle e\in G}"> das neutrale Element ist. Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> eine abgeschlossene Untergruppe der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32cfbbae2e2ae75b6647a2bda87942637fe4bc1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.193ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37173423b5c9e3a7b577c77869ba9b30af66ecc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.193ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}"> ist, so ist die so definierte Exponentialabbildung identisch mit der <a href="/wiki/Exponentialfunktion#Exponentialfunktion_auf_beliebigen_Banachalgebren" title="Exponentialfunktion">Matrixexponentialfunktion</a>. Jedes <a href="/wiki/Skalarprodukt#In_allgemeinen_reellen_und_komplexen_Vektorräumen" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{e}G={\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{e}G={\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/363a49537f7b4900c42c0813f5a39dbe3ceca6aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.453ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{e}G={\mathfrak {g}}}"> definiert eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}">-links-invariante <a href="/wiki/Riemannsche_Metrik" class="mw-redirect" title="Riemannsche Metrik">Riemannsche Metrik</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}">. Im Spezialfall, dass diese Metrik zusätzlich auch rechtsinvariant ist, stimmt die <a href="/wiki/Exponentialabbildung" title="Exponentialabbildung">Exponentialabbildung</a> der Riemannschen Mannigfaltigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> am Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle e}"> mit der Lie-Gruppen-Exponentialabbildung überein. Den Zusammenhang zwischen der Multiplikation in der Lie-Gruppe und der Lie-Klammer in ihrer Lie-Algebra stellt die <a href="/wiki/Baker-Campbell-Hausdorff-Formel" title="Baker-Campbell-Hausdorff-Formel">Baker-Campbell-Hausdorff-Formel</a> her: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp(u)\exp(v)=\exp \left(u+v+{\frac {1}{2}}[u,v]+{\frac {1}{12}}[[u,v],v]-{\frac {1}{12}}[[u,v],u]-\dotsb \right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>u</mi> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>12</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>12</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">[</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>−</mo> <mo>⋯</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp(u)\exp(v)=\exp \left(u+v+{\frac {1}{2}}[u,v]+{\frac {1}{12}}[[u,v],v]-{\frac {1}{12}}[[u,v],u]-\dotsb \right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee56a0edb842fdde3052df65f42fc3c5d3daadd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:72.81ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \exp(u)\exp(v)=\exp \left(u+v+{\frac {1}{2}}[u,v]+{\frac {1}{12}}[[u,v],v]-{\frac {1}{12}}[[u,v],u]-\dotsb \right)}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lie-Gruppen-Homomorphismus">Lie-Gruppen-Homomorphismus</h3>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Lie-Gruppen-Homomorphismus" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Lie-Gruppen-Homomorphismus">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Ein Homomorphismus von Lie-Gruppen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G,H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>,</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G,H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf237bbceb4b77e003c5a0ae36bd088de9735903" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.924ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G,H}"> ist ein <a href="/wiki/Gruppenhomomorphismus" title="Gruppenhomomorphismus">Gruppenhomomorphismus</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon G\to H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon G\to H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b01cffaf0bcf24966e7d64f7f1ecc5fd7fdc511" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.817ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon G\to H}">, der zugleich eine <a href="/wiki/Glatte_Abbildung" class="mw-redirect" title="Glatte Abbildung">glatte Abbildung</a> ist. Man kann zeigen, dass dies bereits dann der Fall ist, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> <a href="/wiki/Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetig</a> ist, und dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> dann sogar <a href="/wiki/Analytische_Funktion" title="Analytische Funktion">analytisch</a> sein muss. Zu jedem Lie-Gruppen-Homomorphismus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon G\to H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon G\to H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b01cffaf0bcf24966e7d64f7f1ecc5fd7fdc511" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.817ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon G\to H}"> bekommt man durch Differentiation im neutralen Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e\in G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e\in G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc993b87bf6f6f7f8e5f1e99011f92bd4b0188a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.751ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle e\in G}"> einen Lie-Algebren-Homomorphismus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>π</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">h</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e51608f86eabf104ce8141e731047fcd769ec8f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.363ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}">. Es gilt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\exp(X))=\exp(\pi (X))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\exp(X))=\exp(\pi (X))}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b3e6483c4244759b4ddee66ced9d84a32f39d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.011ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(\exp(X))=\exp(\pi (X))}"></dd></dl> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db578a65a37022dc84959dfc2a19f694ef4b46a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.992ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}">. Falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"> <a href="/wiki/Fundamentalgruppe" title="Fundamentalgruppe">einfach zusammenhängend</a> sind, entspricht jeder Lie-Algebren-Homomorphismus eindeutig einem Lie-Gruppen-Homomorphismus. Ein <a href="/wiki/Isomorphismus" title="Isomorphismus">Isomorphismus</a> von Lie-Gruppen ist ein bijektiver Lie-Gruppen-Homomorphismus. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lie-Untergruppe"> Lie-Untergruppe</h3>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Lie-Untergruppe" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Lie-Untergruppe">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> eine Lie-Gruppe. Eine Lie-Untergruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"> ist eine <a href="/wiki/Untergruppe" title="Untergruppe">Untergruppe</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> zusammen mit einer Topologie und einer glatten Struktur, die diese Untergruppe wieder zu einer Lie-Gruppe macht. Lie-Untergruppen sind also im Allgemeinen keine <a href="/wiki/Untermannigfaltigkeit" title="Untermannigfaltigkeit">eingebetteten Untermannigfaltigkeiten</a>, sondern nur <a href="/wiki/Injektive_Funktion" title="Injektive Funktion">injektiv</a> <a href="/wiki/Immersierte_Mannigfaltigkeit" title="Immersierte Mannigfaltigkeit">immersierte Untermannigfaltigkeiten</a>. Ist jedoch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H\subset G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> <mo>⊂</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H\subset G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15eb570a68da46b0458ff0ead693a82467ab8ddd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.989ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H\subset G}"> eine <a href="/wiki/Einbettung_(Mathematik)" title="Einbettung (Mathematik)">eingebettete</a> <a href="/wiki/Topologische_Gruppe" title="Topologische Gruppe">topologische Untergruppe</a> mit der Struktur einer eingebetteten Untermannigfaltigkeit, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}"> auch eine Lie-Gruppe. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Beispiele" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiele">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ol><li>Typische Beispiele sind die <a href="/wiki/Allgemeine_lineare_Gruppe" title="Allgemeine lineare Gruppe">allgemeine lineare Gruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} _{n}(\mathbb {R} ):\det(A)\not =0\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>GL</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} _{n}(\mathbb {R} ):\det(A)\not =0\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0416abc943d6e6b05aee064282e05f18c0addf92" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.084ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} _{n}(\mathbb {R} ):\det(A)\not =0\right\}}">, also die Gruppe der invertierbaren Matrizen mit der <a href="/wiki/Matrizenmultiplikation" title="Matrizenmultiplikation">Matrizenmultiplikation</a> als Verknüpfung, sowie deren <a href="/wiki/Abgeschlossene_Menge" title="Abgeschlossene Menge">abgeschlossene</a> Untergruppen, zum Beispiel die <a href="/wiki/Kreisgruppe" title="Kreisgruppe">Kreisgruppe</a> oder die Gruppe <a href="/wiki/SO(3)" class="mw-redirect" title="SO(3)">SO(3)</a> aller Drehungen im dreidimensionalen Raum. Weitere Beispiele für Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe sind die <ul><li><a href="/wiki/Orthogonale_Gruppe" title="Orthogonale Gruppe">Orthogonale Gruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {O} (n)=\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} ):AA^{T}=I_{n}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">O</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>A</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <msup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {O} (n)=\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} ):AA^{T}=I_{n}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8868417e8b23565a383c5d7a55df025a4fe06a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.365ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {O} (n)=\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} ):AA^{T}=I_{n}\}}"> und die spezielle orthogonale Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {SO} (n)=\left\{A\in \mathrm {O} (n):\det(A)=1\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">S</mi> <mi mathvariant="normal">O</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">O</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {SO} (n)=\left\{A\in \mathrm {O} (n):\det(A)=1\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1e493e311cbc8496943707211152e15f6a1ab6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.304ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {SO} (n)=\left\{A\in \mathrm {O} (n):\det(A)=1\right\}}">, siehe dazu die <a href="/wiki/Orthogonale_Gruppe#Die_Orthogonale_Gruppe_als_Lie-Gruppe" title="Orthogonale Gruppe">Behandlung als Lie-Gruppe</a></li> <li><a href="/wiki/Allgemeine_komplex-lineare_Gruppe" class="mw-redirect" title="Allgemeine komplex-lineare Gruppe">Allgemeine komplex-lineare Gruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37173423b5c9e3a7b577c77869ba9b30af66ecc8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.193ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}">, die zur abgeschlossenen Untergruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{A\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} ):AJ=JA\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <mi>J</mi> <mo>=</mo> <mi>J</mi> <mi>A</mi> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{A\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} ):AJ=JA\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/448ab866868ac61c39e6d913376477f771d7e2be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.729ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{A\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} ):AJ=JA\right\}}"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J=\left[{\begin{smallmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{smallmatrix}}\right]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>J</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle scriptlevel="1"> <mtable rowspacing=".2em" columnspacing="0.333em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mstyle> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J=\left[{\begin{smallmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{smallmatrix}}\right]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9223f0ab5f336a6f9de6701f77b7a0126b0af5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.945ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle J=\left[{\begin{smallmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{smallmatrix}}\right]}"> isomorph ist</li> <li><a href="/wiki/Unit%C3%A4re_Gruppe" title="Unitäre Gruppe">Unitäre Gruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {U} (n)=\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ):A{\overline {A}}^{T}=I_{n}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">U</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>A</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi>A</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {U} (n)=\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ):A{\overline {A}}^{T}=I_{n}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a78d8ec8ae81548d1fab710a1eeb954ef00a1bb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.415ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {U} (n)=\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ):A{\overline {A}}^{T}=I_{n}\}}"></li> <li><a href="/wiki/Spezielle_unit%C3%A4re_Gruppe" title="Spezielle unitäre Gruppe">Spezielle unitäre Gruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {SU} (n)=\{A\in \mathrm {U} (n):\det(A)=1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">S</mi> <mi mathvariant="normal">U</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>A</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">U</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {SU} (n)=\{A\in \mathrm {U} (n):\det(A)=1\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68bff2d58b9e14761ee0dde9c16715b6fc30feaa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.174ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {SU} (n)=\{A\in \mathrm {U} (n):\det(A)=1\}}"></li> <li><a href="/wiki/Spezielle_lineare_Gruppe" title="Spezielle lineare Gruppe">Spezielle lineare Gruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} ):\det(A)=1\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">S</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} ):\det(A)=1\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57551aa0d714e5ff8616dd995109cda985a30a81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.842ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} ):\det(A)=1\right\}}"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ):\det(A)=1\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">S</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>A</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ):\det(A)=1\right\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9f87698c6b6bbb6054de3449988039e12468dd0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.842ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ):\det(A)=1\right\}}"></li></ul></li> <li>Die <a href="/wiki/Affine_Gruppe" title="Affine Gruppe">Affine Gruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {AGL} _{n}(\mathbb {R} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">A</mi> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {AGL} _{n}(\mathbb {R} )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f02e203c4f75c3f8307e04513ca1b2e8ff7fe0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.726ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {AGL} _{n}(\mathbb {R} )}"> und als Untergruppe die <a href="/wiki/Euklidische_Gruppe" class="mw-redirect" title="Euklidische Gruppe">Euklidische Gruppe</a></li> <li><a href="/wiki/Poincar%C3%A9-Gruppe" title="Poincaré-Gruppe">Poincaré-Gruppe</a></li> <li><a href="/wiki/Galilei-Gruppe" class="mw-redirect" title="Galilei-Gruppe">Galilei-Gruppe</a></li> <li>Der Euklidische Raum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> mit der Vektoraddition als Gruppenoperation ist eine einigermaßen <a href="/wiki/Trivial#Mathematik" class="mw-redirect" title="Trivial">triviale</a> reelle Lie-Gruppe (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">-dimensionale Mannigfaltigkeit im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">).</li></ol> Für abgeschlossene Untergruppen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mo>⊆</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">G</mi> <mi mathvariant="normal">L</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/015917976cba60c6f1f036cbe641667b90a7fc08" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.118ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}"> kann man die Lie-Algebra definieren als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\{A\in \mathrm {Mat} _{n}(\mathbb {R} ):\forall t\in \mathbb {R} \,e^{tA}\in G\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>A</mi> <mo>∈</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">M</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:</mo> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>t</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>G</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\{A\in \mathrm {Mat} _{n}(\mathbb {R} ):\forall t\in \mathbb {R} \,e^{tA}\in G\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1fb7586e8d838385a12e1744dcaec5348650203" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.867ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\{A\in \mathrm {Mat} _{n}(\mathbb {R} ):\forall t\in \mathbb {R} \,e^{tA}\in G\}}"> und dies ist äquivalent zu obiger Definition. Hierbei bezeichnet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{tA}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> <mi>A</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{tA}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f545c3cabe5d094a8fe06d56ee53fa3454f1f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.142ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle e^{tA}}"> das <a href="/wiki/Matrixexponential" title="Matrixexponential">Matrixexponential</a>. In diesem Fall stimmt die <a href="/wiki/Exponentialabbildung" title="Exponentialabbildung">Exponentialabbildung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>exp</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e8ca23cbc74af3e442f1c4a90ad9679f189440" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.199ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow G}"> mit dem Matrixexponential überein. Nicht jede Lie-Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer allgemeinen linearen Gruppe. Ein Beispiel hierfür ist die <a href="/wiki/%C3%9Cberlagerung_(Topologie)#Universelle_Überlagerung" title="Überlagerung (Topologie)">universelle Überlagerung</a> von <a href="/wiki/SL(2,R)" title="SL(2,R)">SL(2,R)</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Frühgeschichte">Frühgeschichte</h2>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Frühgeschichte" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Frühgeschichte">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Gemäß den maßgebenden Quellen über die Frühgeschichte der Lie-Gruppen<a href="#cite_note-hawkins-p1-3">[3]</a> betrachtete Sophus Lie selbst den Winter 1873–1874 als Geburtsdatum seiner <a href="/wiki/Lie-Theorie" title="Lie-Theorie">Theorie der stetigen Gruppen</a>. Hawkins schlägt jedoch vor, dass es „Lies erstaunliche Forschungsaktivität während der vierjährigen Periode von Herbst 1869 bis Herbst 1873“ war, die zur Schaffung jener Theorie führte.<a href="#cite_note-hawkins-p1-3">[3]</a> Viele von Lies frühen Ideen wurden in enger Zusammenarbeit mit <a href="/wiki/Felix_Klein" title="Felix Klein">Felix Klein</a> entwickelt. Lie sah Klein von Oktober 1869 bis 1872 täglich: in Berlin von Ende Oktober 1869 bis Ende Februar 1870 und in Paris, Göttingen und Erlangen in den folgenden zwei Jahren.<a href="#cite_note-hawkins-p2-4">[4]</a> Lie gibt an, dass alle Hauptresultate im Jahr 1884 erzielt worden seien. Jedoch wurden während der 1870er alle seine Abhandlungen (bis auf die allererste Mitteilung) in norwegischen Fachzeitschriften veröffentlicht, was eine Wahrnehmung im Rest Europas verhinderte.<a href="#cite_note-hawkins-p76-5">[5]</a> Im Jahr 1884 arbeitete der junge deutsche Mathematiker <a href="/wiki/Friedrich_Engel_(Mathematiker)" title="Friedrich Engel (Mathematiker)">Friedrich Engel</a> zusammen mit Lie an einer systematischen Abhandlung über dessen Theorie der stetigen Gruppen. Aus diesen Bemühungen ging das dreibändige Werk Theorie der Transformationsgruppen hervor, dessen Bände in den Jahren 1888, 1890, und 1893 veröffentlicht wurden. <a href="/wiki/Hilbertsche_Probleme#Hilberts_fünftes_Problem" title="Hilbertsche Probleme">Hilberts fünftes Problem</a> fragte, ob jede lokal euklidische topologische Gruppe eine Lie-Gruppe ist. („lokal euklidisch“ meint, dass die Gruppe eine Mannigfaltigkeit sein soll. Es gibt topologische Gruppen, die keine Mannigfaltigkeiten sind, zum Beispiel die <a href="/wiki/Cantor-Gruppe" class="mw-redirect" title="Cantor-Gruppe">Cantor-Gruppe</a> oder <a href="/wiki/Solenoid_(Mathematik)" title="Solenoid (Mathematik)">Solenoide</a>.) Das Problem wurde erst 1952 von Gleason, Montgomery und Zippin gelöst, mit einer positiven Antwort. Der Beweis hängt eng mit der Strukturtheorie der <a href="/wiki/Lokalkompakte_Gruppe" title="Lokalkompakte Gruppe">lokalkompakten Gruppen</a> zusammen, welche eine weite Verallgemeinerung der Lie-Gruppen bilden. Lies Ideen waren nicht isoliert vom Rest der Mathematik. In der Tat war sein Interesse an der Geometrie von Differentialgleichungen zunächst motiviert durch die Arbeit von <a href="/wiki/Carl_Gustav_Jacobi" class="mw-redirect" title="Carl Gustav Jacobi">Carl Gustav Jacobi</a> über die Theorie der <a href="/wiki/Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">partiellen Differentialgleichungen</a> erster Ordnung und die Gleichungen der <a href="/wiki/Klassische_Mechanik" title="Klassische Mechanik">klassischen Mechanik</a>. Ein Großteil der Arbeiten Jacobis wurde in den 1860ern postum veröffentlicht, was in Frankreich und Deutschland ein enormes Interesse erzeugte.<a href="#cite_note-hawkins-p43-6">[6]</a> Lies idée fixe war es eine Theorie der Symmetrie von Differentialgleichungen zu entwickeln, die für diese bewerkstelligen sollte, was <a href="/wiki/%C3%89variste_Galois" title="Évariste Galois">Évariste Galois</a> für algebraische Gleichungen erreicht hatte: nämlich sie mit Hilfe der Gruppentheorie zu klassifizieren. Zusätzlicher Antrieb zur Betrachtung stetiger Gruppen entstand durch Ideen <a href="/wiki/Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Bernhard Riemanns</a> zu den Grundlagen der Geometrie und deren Entwicklung durch Klein (s. auch <a href="/wiki/Erlanger_Programm" title="Erlanger Programm">Erlanger Programm</a>). Somit wurden drei Hauptthemen der Mathematik des 19. Jahrhunderts durch Lie in der Schaffung seiner neuen Theorie vereint: <ul><li>die Idee der Symmetrie, wie sie durch Galois’ Idee einer <a href="/wiki/Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppe</a> erklärt wird,</li> <li>die geometrische Theorie und explizite Lösung der <a href="/wiki/Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichungen</a> der Mechanik, wie sie von <a href="/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson" title="Siméon Denis Poisson">Poisson</a> und Jacobi ausgearbeitet wurde und</li> <li>das neue Verständnis der <a href="/wiki/Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a>, das durch die Arbeiten <a href="/wiki/Julius_Pl%C3%BCcker" title="Julius Plücker">Plückers</a>, <a href="/wiki/August_Ferdinand_M%C3%B6bius" title="August Ferdinand Möbius">Möbius’</a>, <a href="/wiki/Hermann_Gra%C3%9Fmann" title="Hermann Graßmann">Graßmanns</a> und anderer entstanden war und das seinen Höhepunkt in Riemanns revolutionärer Vision dieses Gegenstandes erreichte.</li></ul> Auch wenn Sophus Lie heute rechtmäßig als der Schöpfer der Theorie der stetigen Gruppen betrachtet wird, wurde ein großer Fortschritt in der Entwicklung der zugehörigen Strukturtheorie, die einen tiefgehenden Einfluss auf die nachfolgende Entwicklung der Mathematik hatte, durch <a href="/wiki/Wilhelm_Killing" title="Wilhelm Killing">Wilhelm Killing</a> erbracht, der 1888 den ersten Artikel einer Serie mit dem Titel Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen veröffentlichte.<a href="#cite_note-hawkins-p100-7">[7]</a> Die Arbeit Killings, die später durch <a href="/wiki/%C3%89lie_Cartan" title="Élie Cartan">Élie Cartan</a> verfeinert wurde, führte zur Klassifikation der <a href="/wiki/Halbeinfache_Lie-Algebra" title="Halbeinfache Lie-Algebra">halbeinfachen Lie-Algebren</a>, Cartans Theorie der <a href="/wiki/Symmetrischer_Raum" title="Symmetrischer Raum">symmetrischen Räume</a> und <a href="/wiki/Hermann_Weyl" title="Hermann Weyl">Hermann Weyls</a> Beschreibung der <a href="/wiki/Gruppendarstellung" class="mw-redirect" title="Gruppendarstellung">Darstellungen</a> der kompakten und <a href="/wiki/Halbeinfache_Lie-Gruppe" title="Halbeinfache Lie-Gruppe">halbeinfachen Lie-Gruppen</a> durch Gewichte. Weyl brachte die frühe Periode in der Entwicklung der Theorie der Lie-Gruppen zur Reife, indem er nicht nur die irreduziblen Darstellungen halbeinfacher Lie-Gruppen klassifizierte und die Theorie der Gruppen mit der neu entstandenen Quantenmechanik in Verbindung brachte, sondern indem er auch Lies Theorie ein solideres Fundament dadurch verlieh, dass er klar zwischen Lies infinitesimalen Gruppen (den heutigen Lie-Algebren) und den eigentlichen Lie-Gruppen unterschied und die Untersuchung der Topologie der Lie-Gruppen begann.<a href="#cite_note-8">[8]</a> Die Theorie der Lie-Gruppen wurde systematisch in zeitgemäßer mathematischer Sprache in einer Monographie von <a href="/wiki/Claude_Chevalley" title="Claude Chevalley">Claude Chevalley</a> ausgearbeitet. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Differentialgeometrie_von_Lie-Gruppen">Differentialgeometrie von Lie-Gruppen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=11" title="Abschnitt bearbeiten: Differentialgeometrie von Lie-Gruppen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=11" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Differentialgeometrie von Lie-Gruppen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}"> eine kompakte Lie-Gruppe mit <a href="/wiki/Killingform" class="mw-redirect" title="Killingform">Killingform</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"> und <a href="/wiki/Adjungierte_Darstellung" title="Adjungierte Darstellung">adjungierter Darstellung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ad}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ad}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac6f0fda796fdc982df6184d562e36e55c24989" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.959ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Ad}">. Dann definiert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -B}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac21f1abfa9648a95f4b9f18063d78811b6dd96" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.572ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -B}"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ad}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>d</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ad}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac6f0fda796fdc982df6184d562e36e55c24989" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.959ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Ad}">-invariantes Skalarprodukt auf der Lie-Algebra <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> und damit eine bi-invariante Riemannsche Metrik auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}">. Für diese Metrik gelten folgende Formeln, die differentialgeometrische Größen mittels linearer Algebra (Berechnung von Kommutatoren in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="fraktur">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {g}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.172ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {g}}}">) zu bestimmen erlauben: <ul><li><a href="/wiki/Zusammenhang_(Differentialgeometrie)" title="Zusammenhang (Differentialgeometrie)">Levi-Civita-Zusammenhang</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla _{X}Y={\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mi>Y</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla _{X}Y={\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3443961fe51db96cc80f77b444353a0d6fb4aca7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.907ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \nabla _{X}Y={\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]}"></li> <li><a href="/wiki/Schnittkr%C3%BCmmung" title="Schnittkrümmung">Schnittkrümmung</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K(X,Y)={\frac {1}{4}}\|\left[X,Y\right]\|^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K(X,Y)={\frac {1}{4}}\|\left[X,Y\right]\|^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48266ee40db11e67b3816814afbf8b5c3c0f8e45" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.994ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle K(X,Y)={\frac {1}{4}}\|\left[X,Y\right]\|^{2}}"> für orthonormale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X,Y}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>Y</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X,Y}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8705438171d938b7f59cd1bfa5b7d99b6afa5cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.787ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X,Y}"></li> <li><a href="/wiki/Ricci-Kr%C3%BCmmung" class="mw-redirect" title="Ricci-Krümmung">Ricci-Krümmung</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Ric(X)={\frac {1}{4}}\sum _{i=2}^{n}\|\left[X,e_{i}\right]\|^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <mi>i</mi> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Ric(X)={\frac {1}{4}}\sum _{i=2}^{n}\|\left[X,e_{i}\right]\|^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb06dfab28dbee66b9516361ca12fb4def65368" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:26.933ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle Ric(X)={\frac {1}{4}}\sum _{i=2}^{n}\|\left[X,e_{i}\right]\|^{2}}"> für eine Orthonormalbasis mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=e_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=e_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd020e1dab7ab72ec98570eea3fd8b5854539c7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.216ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X=e_{1}}"></li> <li><a href="/wiki/Skalarkr%C3%BCmmung" class="mw-redirect" title="Skalarkrümmung">Skalarkrümmung</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Scal={\frac {1}{4}}\sum _{i,j=1}^{n}\|\left[e_{i},e_{j}\right]\|^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>S</mi> <mi>c</mi> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <msup> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Scal={\frac {1}{4}}\sum _{i,j=1}^{n}\|\left[e_{i},e_{j}\right]\|^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a66e211f796c9a1a6642688f5dd69e1b1e378e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:24.461ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle Scal={\frac {1}{4}}\sum _{i,j=1}^{n}\|\left[e_{i},e_{j}\right]\|^{2}}"> für eine Orthonormalbasis.</li></ul> Insbesondere ist die Schnittkrümmung bi-invarianter Metriken auf kompakten Lie-Gruppen stets nichtnegativ. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Klassifikationsmöglichkeiten">Klassifikationsmöglichkeiten</h2>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=12" title="Abschnitt bearbeiten: Klassifikationsmöglichkeiten" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=12" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Klassifikationsmöglichkeiten">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Jede Lie-Gruppe ist eine <a href="/wiki/Topologische_Gruppe" title="Topologische Gruppe">topologische Gruppe</a>. Somit besitzt eine Lie-Gruppe auch eine <a href="/wiki/Topologie_(Mathematik)" title="Topologie (Mathematik)">topologische</a> Struktur und kann nach topologischen Attributen klassifiziert werden: Lie-Gruppen können beispielsweise zusammenhängend, einfach-zusammenhängend oder kompakt sein. Man kann Lie-Gruppen auch nach ihren <a href="/wiki/Algebra" title="Algebra">algebraischen</a>, <a href="/wiki/Gruppentheorie" title="Gruppentheorie">gruppentheoretischen</a> Eigenschaften klassifizieren. Lie-Gruppen können <a href="/wiki/Einfache_Gruppe_(Mathematik)" title="Einfache Gruppe (Mathematik)">einfach</a>, <a href="/w/index.php?title=Halbeinfache_Gruppe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Halbeinfache Gruppe (Seite nicht vorhanden)">halbeinfach</a>, auflösbar, <a href="/wiki/Nilpotente_Gruppe" title="Nilpotente Gruppe">nilpotent</a> oder <a href="/wiki/Abelsche_Gruppe" title="Abelsche Gruppe">abelsch</a> sein. Dabei ist zu beachten, dass gewisse Eigenschaften in der Theorie der Lie-Gruppen anders definiert werden als sonst in der Gruppentheorie üblich: So nennt man eine zusammenhängende Lie-Gruppe einfach oder halbeinfach, wenn ihre Lie-Algebra <a href="/wiki/Lie-Algebra#Einfache_Lie-Algebra" title="Lie-Algebra">einfach</a> oder <a href="/wiki/Halbeinfache_Lie-Algebra" title="Halbeinfache Lie-Algebra">halbeinfach</a> ist. Eine einfache Lie-Gruppe G ist dann im gruppentheoretischen Sinne nicht notwendigerweise einfach. Es gilt aber: Ist G eine einfache Lie-Gruppe mit <a href="/wiki/Zentrum_(Algebra)" title="Zentrum (Algebra)">Zentrum</a> Z, dann ist die Faktorgruppe G/Z auch einfach im gruppentheoretischen Sinne. Auch die Eigenschaften <a href="/wiki/Lie-Algebra#Nilpotente_Lie-Algebra" title="Lie-Algebra">nilpotent</a> und <a href="/wiki/Lie-Algebra#Auflösbare_Lie-Algebra" title="Lie-Algebra">auflösbar</a> definiert man meist über die entsprechende <a href="/wiki/Lie-Algebra" title="Lie-Algebra">Lie-Algebra</a>. Halbeinfache komplexe Lie-Algebren werden über ihre <a href="/wiki/Dynkin-Diagramm" class="mw-redirect" title="Dynkin-Diagramm">Dynkin-Diagramme</a> klassifiziert. Weil jede Lie-Algebra die Lie-Algebra einer eindeutigen einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe ist, bekommt man daraus eine Klassifikation der einfach zusammenhängenden halbeinfachen komplexen Lie-Gruppen (und damit also eine Klassifikation der universellen Überlagerungen von Komplexifierungen beliebiger halbeinfacher reeller Lie-Gruppen). <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerungen_(und_verwandte_Theorien)">Verallgemeinerungen (und verwandte Theorien)</h2>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=13" title="Abschnitt bearbeiten: Verallgemeinerungen (und verwandte Theorien)" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=13" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verallgemeinerungen (und verwandte Theorien)">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Man kann die hier vorgestellte Theorie der (endlich-dimensionalen, reellen oder komplexen) Lie-Gruppen auf vielfältige Weise verallgemeinern: <ul><li>Wenn man statt endlich-dimensionalen Mannigfaltigkeiten unendlich-dimensionale Mannigfaltigkeiten zulässt, die über einem <a href="/wiki/Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a>, einem <a href="/wiki/Banachraum" title="Banachraum">Banachraum</a>, einem <a href="/wiki/Fr%C3%A9chetraum" class="mw-redirect" title="Fréchetraum">Fréchetraum</a> bzw. einem <a href="/wiki/Lokalkonvexer_Raum" title="Lokalkonvexer Raum">lokalkonvexen Raum</a> modelliert sind, so erhält man je nachdem Hilbert-Lie-Gruppen, Banach-Lie-Gruppen, Frechet-Lie-Gruppen, bzw. lokalkonvexe Lie-Gruppen. Die Theorie von Hilbert-Lie-Gruppen und Banach-Lie-Gruppen sind noch vergleichsweise ähnlich zur endlich-dimensionalen Theorie, aber für allgemeinere Räume wird die Sache deutlich komplizierter, da die Differentialrechnung in solchen Räumen komplizierter wird. Insbesondere gibt es mehrere nicht-äquivalente Theorien für solche Differentialrechnungen. Jede unendlich-dimensionale Lie-Gruppe besitzt eine (ebenfalls unendlich-dimensionale) Lie-Algebra.</li> <li>Wenn man statt reeller und komplexer Zahlen andere topologische Körper erlaubt, so erhält man z. B. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}">-adische Lie-Gruppen. Auch hier ist es möglich, jeder solchen Lie-Gruppe eine Lie-Algebra zuzuordnen, diese ist dann natürlich auch über einem anderen Grundkörper definiert.</li> <li>Wenn man die Klasse der (endlich-dimensionalen, reellen) Lie-Gruppen bezüglich <a href="/wiki/Projektiver_Limes" class="mw-redirect" title="Projektiver Limes">projektiver Limites</a> abschließt, erhält man die Klasse der <a href="/wiki/Pro-Lie-Gruppe" title="Pro-Lie-Gruppe">Pro-Lie-Gruppen</a>, die insbesondere alle zusammenhängenden <a href="/wiki/Lokalkompakte_Gruppe" title="Lokalkompakte Gruppe">lokalkompakten Gruppen</a> enthält. Auch jede solche Gruppe besitzt eine Lie-Algebra, die als projektiver Limes von endlich-dimensionalen Lie-Algebren entsteht.</li> <li>Keine Verallgemeinerung, aber ein ähnliches Konzept erhält man, wenn man keine glatten Mannigfaltigkeiten, sondern algebraische Varietäten mit einer verträglichen Gruppenstruktur betrachtet. Das führt zur Theorie der <a href="/wiki/Algebraische_Gruppe" title="Algebraische Gruppe">Algebraischen Gruppen</a>, die viele Gemeinsamkeiten mit der Theorie der Lie-Gruppen besitzt. Insbesondere besitzt auch jede algebraische Gruppe eine dazugehörige Lie-Algebra. Auch die <a href="/wiki/Gruppe_vom_Lie-Typ" title="Gruppe vom Lie-Typ">endlichen Gruppen vom Lie-Typ</a> gehören in diese Kategorie.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkungen">Anmerkungen</h2>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=14" title="Abschnitt bearbeiten: Anmerkungen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=14" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Anmerkungen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Zuerst von dessen Doktoranden <a href="/wiki/Arthur_Tresse" title="Arthur Tresse">Arthur Tresse</a> in seiner Dissertation 1893, Acta Mathematica </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Grob gesprochen ist eine Lie-Gruppe eine <a href="/wiki/Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppe</a>, die ein <a href="/wiki/Kontinuum_(Mathematik)" title="Kontinuum (Mathematik)">Kontinuum</a> bzw. ein stetig zusammenhängendes Ganzes bildet. Ein einfaches Beispiel für eine Lie-Gruppe ist die Gesamtheit aller Drehungen einer Ebene um einen fest ausgezeichneten Punkt, der in dieser Ebene liegt: Alle diese Drehungen bilden zusammen eine Gruppe, aber auch ein Kontinuum in dem Sinne, dass sich jede dieser Drehungen eindeutig durch einen Winkel zwischen 0° und 360° <a href="/wiki/Grad_(Winkel)" title="Grad (Winkel)">Grad</a> bzw. ein <a href="/wiki/Bogenma%C3%9F" class="mw-redirect" title="Bogenmaß">Bogenmaß</a> zwischen 0 und 2<a href="/wiki/Kreiszahl" title="Kreiszahl">π</a> beschreiben lässt und in dem Sinne, dass Drehungen, die sich nur um kleine Winkel voneinander unterscheiden, kontinuierlich ineinander überführbar sind. Ein Kreis, der in der betrachteten Ebene liegt und den fest ausgezeichneten Punkt als seinen Mittelpunkt besitzt, ist dann aus Sicht dieser Lie-Gruppe als symmetrisch zu bezeichnen, da er unter jeder Drehung unverändert bleibt. Hingegen ist ein Rechteck, dessen Mittelpunkt mit dem festgelegten Punkt übereinstimmt, aus Sicht der vorliegenden Lie-Gruppe nicht symmetrisch. Mit der angegebenen Lie-Gruppe lassen sich also Figuren der Ebene beschreiben, die eine „Drehsymmetrie“ aufweisen. </li> <li id="cite_note-hawkins-p1-3">↑ <a href="#cite_ref-hawkins-p1_3-0">a</a> <a href="#cite_ref-hawkins-p1_3-1">b</a> Hawkins, 2000, S. 1 </li> <li id="cite_note-hawkins-p2-4"><a href="#cite_ref-hawkins-p2_4-0">↑</a> Hawkins, 2000, S. 2 </li> <li id="cite_note-hawkins-p76-5"><a href="#cite_ref-hawkins-p76_5-0">↑</a> Hawkins, 2000, S. 76 </li> <li id="cite_note-hawkins-p43-6"><a href="#cite_ref-hawkins-p43_6-0">↑</a> Hawkins, 2000, S. 43 </li> <li id="cite_note-hawkins-p100-7"><a href="#cite_ref-hawkins-p100_7-0">↑</a> Hawkins, 2000, S. 100 </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Borel, 2001 </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=15" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=15" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/John_Frank_Adams" title="John Frank Adams">John F. Adams</a>: Lectures on exceptional Lie Groups (= Chicago Lectures in Mathematics.). University of Chicago Press, Chicago IL u. a. 1996, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0226005275" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-226-00527-5</a>.</li> <li><a href="/wiki/Armand_Borel" title="Armand Borel">Armand Borel</a>: Essays in the history of Lie groups and algebraic groups (= History of Mathematics. Bd. 21). American Mathematical Society u. a., Providence RI 2001, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0821802887" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-8218-0288-7</a>.</li> <li><a href="/wiki/Daniel_Bump" title="Daniel Bump">Daniel Bump</a>: Lie groups (= Graduate Texts in Mathematics. Band 225). 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 2013, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9781461480235" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-1-4614-8023-5</a>.</li> <li><a href="/wiki/Nicolas_Bourbaki" title="Nicolas Bourbaki">Nicolas Bourbaki</a>: Elements of mathematics. Lie groups and Lie algebras. 3 Bände. (Bd. 1: Chapter 1–3. Bd. 2: Chapters 4–6. Bd. 3: Chapters 7–9.). Addison-Wesley, Reading 1975–2005, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540642420" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-64242-0</a> (Bd. 1), <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540426507" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-42650-7</a> (Bd. 2), <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540434054" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-43405-4</a> (Bd. 3).</li> <li><a href="/wiki/Claude_Chevalley" title="Claude Chevalley">Claude Chevalley</a>: Theory of Lie groups (= Princeton Mathematical Series. Bd. 8). Band 1. 15th printing. Princeton University Press, Princeton NJ 1999, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0691049904" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-691-04990-4</a>.</li> <li><a href="/wiki/William_Fulton_(Mathematiker)" title="William Fulton (Mathematiker)">William Fulton</a>, <a href="/wiki/Joe_Harris_(Mathematiker)" title="Joe Harris (Mathematiker)">Joe Harris</a>, Representation Theory. A First Course (= Graduate Texts in Mathematics. Band 129). Springer, New York NY u. a. 1991, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0387974954" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-387-97495-4</a>.</li> <li>Thomas Hawkins: Emergence of the theory of Lie groups. An essay in the history of mathematics 1869–1926. Springer, New York NY u. a. 2000. <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0387989633" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-387-98963-3</a>.</li> <li>Brian C. Hall: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 222). Springer, New York NY u. a. 2003, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0387401229" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-387-40122-9</a>.</li> <li><a href="/wiki/Anthony_W._Knapp" title="Anthony W. Knapp">Anthony W. Knapp</a>: Lie Groups Beyond an Introduction. 2. Auflage. Birkhäuser, Boston MA u. a. 2002, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3764342595" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-7643-4259-5</a>.</li> <li>Wulf Rossmann: Lie Groups. An Introduction Through Linear Groups (= Oxford Graduate Texts in Mathematics. Band 5). Reprint 2003 (with Corrections). Oxford University Press, Oxford u. a. 2004, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0198596839" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-19-859683-9</a> (Die Neuauflage von 2003 korrigiert einige unglückliche Druckfehler).</li> <li><a href="/wiki/Jean-Pierre_Serre" title="Jean-Pierre Serre">Jean-Pierre Serre</a>: Lie Algebras and Lie Groups. 1964 Lectures given at Harvard University (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 1500). Springer, Berlin u. a. 1992, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540550089" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-55008-9</a>.</li> <li><a href="/wiki/John_Stillwell" title="John Stillwell">John Stillwell</a>: Naive Lie Theory (= Undergraduate Texts in Mathematics.). Springer, New York NY u. a. 2008, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9780387782140" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-0-387-78214-0</a> (aus dem Vorwort: "developing .. Lie theory .. from single-variable calculus and linear algebra").</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2>[<a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&veaction=edit&section=16" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Lie-Gruppe&action=edit&section=16" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/12px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="12" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/18px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/24px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Lie_groups?uselang=de">Commons: Lie-Gruppe</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div> <ul><li>Wolfgang Ziller: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www2.math.upenn.edu/~wziller/math650/LieGroupsReps.pdf">Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces.</a> (PDF; 1,42 MB) Vorlesung 2010</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/durchbruch-mathematiker-berechnen-hochkomplexe-symmetrien-a-472569.html">Durchbruch in der Forschung.</a> <a href="/wiki/Spiegel_Online" class="mw-redirect" title="Spiegel Online">Spiegel Online</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.telegraph.co.uk/news/science/science-news/3352140/Is-this-the-fabric-of-the-universe.html">Is this the fabric of the universe?</a> Telegraph.co.uk (englisch), Bezahlschranke</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.faz.net/aktuell/wissen/physik-mehr/mathematik-forscher-entschluesseln-die-lie-gruppe-e8-1434490.html">Forscher entschlüsseln die Lie-Gruppe E8.</a> faz.net; anschauliche Erklärung zu Lie-Gruppen</li></ul> <div class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 navigation-not-searchable normdaten-typ-s" style="border-style: solid; border-width: 1px; clear: left; margin-bottom:1em; margin-top:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="normdaten"> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div> Normdaten (Sachbegriff): <a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4035695-4">4035695-4</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://lobid.org/gnd/4035695-4">lobid</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://swb.bsz-bw.de/DB=2.104/SET=1/TTL=1/CMD?retrace=0&trm_old=&ACT=SRCHA&IKT=2999&SRT=RLV&TRM=4035695-4">OGND</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://prometheus.lmu.de/gnd/4035695-4">AKS</a>) </div> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lie-Gruppe&oldid=246338660">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lie-Gruppe&oldid=246338660</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorie</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Lie-Gruppe" title="Kategorie:Lie-Gruppe">Lie-Gruppe</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Meine Werkzeuge </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Nicht angemeldet</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n">Diskussionsseite</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y">Beiträge</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Lie-Gruppe" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. 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[o]" accesskey="o">Anmelden</a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > Namensräume </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Lie-Gruppe" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c">Artikel</a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Lie-Gruppe" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t">Diskussion</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" 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href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Lie_groups" hreflang="en">Commons</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q622679" title="Link zum verbundenen Objekt im Datenrepositorium [g]" accesskey="g">Wikidata-Datenobjekt</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > In anderen Sprachen </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D9%85%D8%B1%D8%A9_%D9%84%D9%8A" title="زمرة لي – Arabisch" lang="ar" hreflang="ar" data-title="زمرة لي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="Arabisch" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_%D0%9B%D1%96" title="Група Лі – Belarussisch" lang="be" hreflang="be" data-title="Група Лі" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="Belarussisch" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Grup_de_Lie" title="Grup de Lie – Katalanisch" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Grup de Lie" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="Katalanisch" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Lieova_grupa" title="Lieova grupa – Tschechisch" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Lieova grupa" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Tschechisch" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Liegruppe" title="Liegruppe – Dänisch" lang="da" hreflang="da" data-title="Liegruppe" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="Dänisch" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group" title="Lie group – Englisch" lang="en" hreflang="en" data-title="Lie group" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Englisch" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Grupo_de_Lie" title="Grupo de Lie – Esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Grupo de Lie" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="Esperanto" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_de_Lie" title="Grupo de Lie – Spanisch" lang="es" hreflang="es" data-title="Grupo de Lie" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="Spanisch" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%DA%AF%D8%B1%D9%88%D9%87_%D9%84%DB%8C" title="گروه لی – Persisch" lang="fa" hreflang="fa" data-title="گروه لی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Persisch" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Lien_ryhm%C3%A4" title="Lien ryhmä – Finnisch" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Lien ryhmä" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Finnisch" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Lie" title="Groupe de Lie – Französisch" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Groupe de Lie" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Französisch" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%97%D7%91%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%9C%D7%99" title="חבורת לי – Hebräisch" lang="he" hreflang="he" data-title="חבורת לי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Hebräisch" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Lie-csoport" title="Lie-csoport – Ungarisch" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Lie-csoport" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="Ungarisch" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Gruppo_de_Lie" title="Gruppo de Lie – Interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Gruppo de Lie" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="Interlingua" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Grup_Lie" title="Grup Lie – Indonesisch" lang="id" hreflang="id" data-title="Grup Lie" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="Indonesisch" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Gruppo_di_Lie" title="Gruppo di Lie – Italienisch" lang="it" hreflang="it" data-title="Gruppo di Lie" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Italienisch" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4" title="リー群 – Japanisch" lang="ja" hreflang="ja" data-title="リー群" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Japanisch" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A6%AC_%EA%B5%B0" title="리 군 – Koreanisch" lang="ko" hreflang="ko" data-title="리 군" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Koreanisch" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lb mw-list-item"><a href="https://lb.wikipedia.org/wiki/Lie-Grupp" title="Lie-Grupp – Luxemburgisch" lang="lb" hreflang="lb" data-title="Lie-Grupp" data-language-autonym="Lëtzebuergesch" data-language-local-name="Luxemburgisch" class="interlanguage-link-target">Lëtzebuergesch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Lie-groep" title="Lie-groep – Niederländisch" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Lie-groep" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Niederländisch" 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class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Liova_grupa" title="Liova grupa – Slowakisch" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Liova grupa" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Slowakisch" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Liejeva_grupa" title="Liejeva grupa – Slowenisch" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Liejeva grupa" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Slowenisch" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D1%98%D0%B5%D0%B2%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0" title="Лијева група – Serbisch" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Лијева група" data-language-autonym="Српски / srpski" 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Juni 2024 um 19:07 Uhr bearbeitet.</li> <li id="footer-info-copyright"><div id="footer-info-copyright-stats" class="noprint"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://pageviews.wmcloud.org/?pages=Lie-Gruppe&project=de.wikipedia.org">Abrufstatistik</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://xtools.wmcloud.org/authorship/de.wikipedia.org/Lie-Gruppe?uselang=de">Autoren</a> </div><div id="footer-info-copyright-separator"> </div><div id="footer-info-copyright-info"> Der Text ist unter der Lizenz <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">„Creative-Commons Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen“</a> verfügbar; Informationen zu den Urhebern und zum Lizenzstatus eingebundener Mediendateien (etwa Bilder oder Videos) können im Regelfall durch Anklicken dieser abgerufen werden. Möglicherweise unterliegen die Inhalte jeweils zusätzlichen Bedingungen. 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