Quantité de mouvement

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id="toc-Unités-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Mécanique_classique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Mécanique_classique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Mécanique classique</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Mécanique_classique-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Mécanique classique</span> </button> <ul id="toc-Mécanique_classique-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Définition_en_mécanique_newtonienne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Définition_en_mécanique_newtonienne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Définition en mécanique newtonienne</span> </div> </a> <ul id="toc-Définition_en_mécanique_newtonienne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Quantité_de_mouvement_et_forces" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Quantité_de_mouvement_et_forces"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Quantité de mouvement et forces</span> </div> </a> <ul id="toc-Quantité_de_mouvement_et_forces-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Relation_fondamentale_de_la_dynamique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Relation_fondamentale_de_la_dynamique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2.1</span> <span>Relation fondamentale de la dynamique</span> </div> </a> <ul id="toc-Relation_fondamentale_de_la_dynamique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Conservation_de_la_quantité_de_mouvement" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Conservation_de_la_quantité_de_mouvement"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2.2</span> <span>Conservation de la quantité de mouvement</span> </div> </a> <ul id="toc-Conservation_de_la_quantité_de_mouvement-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notion_de_percussion_mécanique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Notion_de_percussion_mécanique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2.3</span> <span>Notion de percussion mécanique</span> </div> </a> <ul id="toc-Notion_de_percussion_mécanique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Définition_en_mécanique_analytique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Définition_en_mécanique_analytique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Définition en mécanique analytique</span> </div> </a> <ul id="toc-Définition_en_mécanique_analytique-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Notion_de_moment_conjugué_ou_impulsion_généralisée" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Notion_de_moment_conjugué_ou_impulsion_généralisée"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3.1</span> <span>Notion de moment conjugué ou impulsion généralisée</span> </div> </a> <ul id="toc-Notion_de_moment_conjugué_ou_impulsion_généralisée-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Distinction_moment_conjugué_-_quantité_de_mouvement" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Distinction_moment_conjugué_-_quantité_de_mouvement"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3.2</span> <span>Distinction moment conjugué - quantité de mouvement</span> </div> </a> <ul id="toc-Distinction_moment_conjugué_-_quantité_de_mouvement-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Quantité_de_mouvement_et_invariance_par_translation_dans_l'espace" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Quantité_de_mouvement_et_invariance_par_translation_dans_l'espace"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3.3</span> <span>Quantité de mouvement et invariance par translation dans l'espace</span> </div> </a> <ul id="toc-Quantité_de_mouvement_et_invariance_par_translation_dans_l'espace-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Formalisme_hamiltonien" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Formalisme_hamiltonien"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3.4</span> <span>Formalisme hamiltonien</span> </div> </a> <ul id="toc-Formalisme_hamiltonien-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Mécanique_des_fluides" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Mécanique_des_fluides"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Mécanique des fluides</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Mécanique_des_fluides-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Mécanique des fluides</span> </button> <ul id="toc-Mécanique_des_fluides-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Définition_en_mécanique_des_fluides" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Définition_en_mécanique_des_fluides"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Définition en mécanique des fluides</span> </div> </a> <ul id="toc-Définition_en_mécanique_des_fluides-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Théorème_de_la_quantité_de_mouvement_pour_un_fluide" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Théorème_de_la_quantité_de_mouvement_pour_un_fluide"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Théorème de la quantité de mouvement pour un fluide</span> </div> </a> <ul id="toc-Théorème_de_la_quantité_de_mouvement_pour_un_fluide-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Mécanique_relativiste" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Mécanique_relativiste"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Mécanique relativiste</span> </div> </a> <ul id="toc-Mécanique_relativiste-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Impulsion_du_champ_électromagnétique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Impulsion_du_champ_électromagnétique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Impulsion du champ électromagnétique</span> </div> </a> <ul id="toc-Impulsion_du_champ_électromagnétique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Mécanique_quantique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Mécanique_quantique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Mécanique quantique</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Mécanique_quantique-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Mécanique quantique</span> </button> <ul id="toc-Mécanique_quantique-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Opérateurs_position_et_impulsion_-_relations_de_commutation_canoniques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Opérateurs_position_et_impulsion_-_relations_de_commutation_canoniques"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>Opérateurs position et impulsion - relations de commutation canoniques</span> </div> </a> <ul id="toc-Opérateurs_position_et_impulsion_-_relations_de_commutation_canoniques-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Expression_en_représentation_position" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Expression_en_représentation_position"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>Expression en représentation position</span> </div> </a> <ul id="toc-Expression_en_représentation_position-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Expression_en_représentation_impulsion" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Expression_en_représentation_impulsion"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.3</span> <span>Expression en représentation impulsion</span> </div> </a> <ul id="toc-Expression_en_représentation_impulsion-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-États_propres_et_conservation_de_l'impulsion" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#États_propres_et_conservation_de_l'impulsion"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.4</span> <span>États propres et conservation de l'impulsion</span> </div> </a> <ul id="toc-États_propres_et_conservation_de_l'impulsion-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Notes et références</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Notes_et_références-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Notes et références</span> </button> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Notes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>Notes</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2</span> <span>Références</span> </div> </a> <ul id="toc-Références-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Voir_aussi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Voir aussi</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Voir_aussi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Voir aussi</span> </button> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Bibliographie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliographie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.1</span> <span>Bibliographie</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliographie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Articles_connexes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Articles_connexes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.2</span> <span>Articles connexes</span> </div> </a> <ul id="toc-Articles_connexes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liens_externes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liens_externes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.3</span> <span>Liens externes</span> </div> </a> <ul id="toc-Liens_externes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Basculer la table des matières</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Quantité de mouvement</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 97 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-97" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">97 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Momentum" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Impuls_(Physik)" title="Impuls (Physik) – alémanique" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Impuls (Physik)" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="alémanique" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%AE%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%B1%D9%83%D8%A9" title="زخم الحركة – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="زخم الحركة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-as mw-list-item"><a href="https://as.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AD%E0%A7%B0%E0%A6%AC%E0%A7%87%E0%A6%97" title="ভৰবেগ – assamais" lang="as" hreflang="as" data-title="ভৰবেগ" data-language-autonym="অসমীয়া" data-language-local-name="assamais" class="interlanguage-link-target"><span>অসমীয়া</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Cantid%C3%A1_de_movimientu" title="Cantidá de movimientu – asturien" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Cantidá de movimientu" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturien" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C4%B0mpuls" title="İmpuls – azerbaïdjanais" lang="az" hreflang="az" data-title="İmpuls" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaïdjanais" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bcl mw-list-item"><a href="https://bcl.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – Central Bikol" lang="bcl" hreflang="bcl" data-title="Momentum" data-language-autonym="Bikol Central" data-language-local-name="Central Bikol" class="interlanguage-link-target"><span>Bikol Central</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81" title="Імпульс – biélorusse" lang="be" hreflang="be" data-title="Імпульс" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="biélorusse" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81" title="Імпульс – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Імпульс" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%81_(%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Импулс (механика) – bulgare" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Импулс (механика)" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bulgare" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bh mw-list-item"><a href="https://bh.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8" title="वेगमान – Bhojpuri" lang="bh" hreflang="bh" data-title="वेगमान" data-language-autonym="भोजपुरी" data-language-local-name="Bhojpuri" class="interlanguage-link-target"><span>भोजपुरी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AD%E0%A6%B0%E0%A6%AC%E0%A7%87%E0%A6%97" title="ভরবেগ – bengali" lang="bn" hreflang="bn" data-title="ভরবেগ" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengali" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Koli%C4%8Dina_kretanja" title="Količina kretanja – bosniaque" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Količina kretanja" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosniaque" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bxr mw-list-item"><a href="https://bxr.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81" title="Импульс – Russia Buriat" lang="bxr" hreflang="bxr" data-title="Импульс" data-language-autonym="Буряад" data-language-local-name="Russia Buriat" class="interlanguage-link-target"><span>Буряад</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Quantitat_de_moviment" title="Quantitat de moviment – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Quantitat de moviment" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%DA%95%D8%A7%D9%88%DB%95%D8%B4" title="ڕاوەش – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ڕاوەش" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Hybnost" title="Hybnost – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Hybnost" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81" title="Импульс – tchouvache" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Импульс" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="tchouvache" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Momentwm" title="Momentwm – gallois" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Momentwm" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="gallois" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Impuls_(fysik)" title="Impuls (fysik) – danois" lang="da" hreflang="da" data-title="Impuls (fysik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danois" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Impuls" title="Impuls – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Impuls" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9F%CF%81%CE%BC%CE%AE" title="Ορμή – grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Ορμή" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Momentum" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Movokvanto" title="Movokvanto – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Movokvanto" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento" title="Cantidad de movimiento – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Cantidad de movimiento" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Impulss" title="Impulss – estonien" lang="et" hreflang="et" data-title="Impulss" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonien" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Momentu_lineal" title="Momentu lineal – basque" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Momentu lineal" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basque" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%DA%A9%D8%A7%D9%86%D9%87" title="تکانه – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تکانه" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Liikem%C3%A4%C3%A4r%C3%A4" title="Liikemäärä – finnois" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Liikemäärä" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finnois" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fy mw-list-item"><a href="https://fy.wikipedia.org/wiki/Ympuls_(natuerkunde)" title="Ympuls (natuerkunde) – frison occidental" lang="fy" hreflang="fy" data-title="Ympuls (natuerkunde)" data-language-autonym="Frysk" data-language-local-name="frison occidental" class="interlanguage-link-target"><span>Frysk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3iminteam" title="Móiminteam – irlandais" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Móiminteam" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Cantidade_de_movemento" title="Cantidade de movemento – galicien" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Cantidade de movemento" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicien" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gu mw-list-item"><a href="https://gu.wikipedia.org/wiki/%E0%AA%B5%E0%AB%87%E0%AA%97%E0%AA%AE%E0%AA%BE%E0%AA%A8_%E0%AA%B8%E0%AA%82%E0%AA%B0%E0%AA%95%E0%AB%8D%E0%AA%B7%E0%AA%A3%E0%AA%A8%E0%AB%8B_%E0%AA%A8%E0%AA%BF%E0%AA%AF%E0%AA%AE" title="વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ – goudjarati" lang="gu" hreflang="gu" data-title="વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ" data-language-autonym="ગુજરાતી" data-language-local-name="goudjarati" class="interlanguage-link-target"><span>ગુજરાતી</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%A0%D7%A2" title="תנע – hébreu" lang="he" hreflang="he" data-title="תנע" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hébreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97_(%E0%A4%AD%E0%A5%8C%E0%A4%A4%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80)" title="संवेग (भौतिकी) – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="संवेग (भौतिकी)" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Koli%C4%8Dina_gibanja" title="Količina gibanja – croate" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Količina gibanja" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croate" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ht mw-list-item"><a href="https://ht.wikipedia.org/wiki/Elan" title="Elan – créole haïtien" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Elan" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="créole haïtien" class="interlanguage-link-target"><span>Kreyòl ayisyen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Lend%C3%BClet" title="Lendület – hongrois" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Lendület" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongrois" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BB%D5%B4%D5%BA%D5%B8%D6%82%D5%AC%D5%BD_(%D5%B7%D5%A1%D6%80%D5%AA%D5%B4%D5%A1%D5%B6_%D6%84%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AF)" title="Իմպուլս (շարժման քանակ) – arménien" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Իմպուլս (շարժման քանակ)" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="arménien" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – indonésien" lang="id" hreflang="id" data-title="Momentum" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésien" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Skri%C3%B0%C3%BEungi" title="Skriðþungi – islandais" lang="is" hreflang="is" data-title="Skriðþungi" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandais" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A0_di_moto" title="Quantità di moto – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Quantità di moto" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F" title="運動量 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="運動量" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jv mw-list-item"><a href="https://jv.wikipedia.org/wiki/Mom%C3%A8ntum" title="Momèntum – javanais" lang="jv" hreflang="jv" data-title="Momèntum" data-language-autonym="Jawa" data-language-local-name="javanais" class="interlanguage-link-target"><span>Jawa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%98%E1%83%9B%E1%83%9E%E1%83%A3%E1%83%9A%E1%83%A1%E1%83%98" title="იმპულსი – géorgien" lang="ka" hreflang="ka" data-title="იმპულსი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="géorgien" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BD%D0%B5_%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%96" title="Дене импульсі – kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Дене импульсі" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazakh" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%86%E0%B2%B5%E0%B3%87%E0%B2%97_(%E0%B2%AD%E0%B3%8C%E0%B2%A4%E0%B2%B6%E0%B2%BE%E0%B2%B8%E0%B3%8D%E0%B2%A4%E0%B3%8D%E0%B2%B0)" title="ಆವೇಗ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ) – kannada" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಆವೇಗ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ)" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="kannada" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9A%B4%EB%8F%99%EB%9F%89" title="운동량 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="운동량" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – latin" lang="la" hreflang="la" data-title="Momentum" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latin" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Judesio_kiekis" title="Judesio kiekis – lituanien" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Judesio kiekis" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituanien" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Impulss" title="Impulss – letton" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Impulss" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letton" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%81_(%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Импулс (механика) – macédonien" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Импулс (механика)" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macédonien" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%86%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%95%E0%B4%82" title="ആക്കം – malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ആക്കം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82" title="Момент – mongol" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Момент" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97" title="संवेग – marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="संवेग" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – malais" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Momentum" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malais" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%A1%E1%80%9F%E1%80%AF%E1%80%94%E1%80%BA" title="အဟုန် – birman" lang="my" hreflang="my" data-title="အဟုန်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birman" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Impuls_(Physik)" title="Impuls (Physik) – bas-allemand" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Impuls (Physik)" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="bas-allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%B5%E0%A5%87%E0%A4%97" title="परिवेग – népalais" lang="ne" hreflang="ne" data-title="परिवेग" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="népalais" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Impuls_(natuurkunde)" title="Impuls (natuurkunde) – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Impuls (natuurkunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/R%C3%B8rslemengd" title="Rørslemengd – norvégien nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Rørslemengd" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norvégien nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Bevegelsesmengde" title="Bevegelsesmengde – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Bevegelsesmengde" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Quantitat_de_movement" title="Quantitat de movement – occitan" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Quantitat de movement" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitan" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Furguga" title="Furguga – oromo" lang="om" hreflang="om" data-title="Furguga" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="oromo" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B8%E0%A9%B0%E0%A8%B5%E0%A9%87%E0%A8%97" title="ਸੰਵੇਗ – pendjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਸੰਵੇਗ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendjabi" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/P%C4%99d_(fizyka)" title="Pęd (fizyka) – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Pęd (fizyka)" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Quantit%C3%A0_%C3%ABd_moviment" title="Quantità ëd moviment – piémontais" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Quantità ëd moviment" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piémontais" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D9%88%D9%85%D9%86%D9%B9%D9%85" title="مومنٹم – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="مومنٹم" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Momento_linear" title="Momento linear – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Momento linear" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Impuls" title="Impuls – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Impuls" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81" title="Импульс – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Импульс" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Impuls" title="Impuls – serbo-croate" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Impuls" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbo-croate" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%9C%E0%B6%B8%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B6%AD%E0%B7%8F%E0%B7%80%E0%B6%BA" title="ගම්‍යතාවය – cingalais" lang="si" hreflang="si" data-title="ගම්‍යතාවය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="cingalais" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Momentum" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Hybnos%C5%A5" title="Hybnosť – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Hybnosť" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Gibalna_koli%C4%8Dina" title="Gibalna količina – slovène" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Gibalna količina" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovène" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Runhanhira" title="Runhanhira – shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Runhanhira" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="shona" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Vrulli" title="Vrulli – albanais" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Vrulli" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanais" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%81" title="Импулс – serbe" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Импулс" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbe" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Mom%C3%A9ntum" title="Moméntum – soundanais" lang="su" hreflang="su" data-title="Moméntum" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="soundanais" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/R%C3%B6relsem%C3%A4ngd" title="Rörelsemängd – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Rörelsemängd" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%89%E0%AE%A8%E0%AF%8D%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="உந்தம் – tamoul" lang="ta" hreflang="ta" data-title="உந்தம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamoul" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%A6%E0%B1%8D%E0%B0%B0%E0%B0%B5%E0%B1%8D%E0%B0%AF%E0%B0%B5%E0%B1%87%E0%B0%97%E0%B0%82" title="ద్రవ్యవేగం – télougou" lang="te" hreflang="te" data-title="ద్రవ్యవేగం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="télougou" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%82%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A1" title="โมเมนตัม – thaï" lang="th" hreflang="th" data-title="โมเมนตัม" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thaï" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – tagalog" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Momentum" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalog" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Momentum" title="Momentum – turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Momentum" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%C4%B0mpuls" title="İmpuls – tatar" lang="tt" hreflang="tt" data-title="İmpuls" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tatar" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%86%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81_(%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%BA%D0%B0)" title="Імпульс (механіка) – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Імпульс (механіка)" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B9%DB%8C%D8%A7%D8%B1_%D8%AD%D8%B1%DA%A9%D8%AA" title="معیار حرکت – ourdou" lang="ur" hreflang="ur" data-title="معیار حرکت" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="ourdou" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Impuls" title="Impuls – ouzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Impuls" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="ouzbek" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%99ng_l%C6%B0%E1%BB%A3ng" title="Động lượng – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Động lượng" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A8%E9%87%8F" title="动量 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="动量" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%9E%D7%A4%D7%A2%D7%98" title="אימפעט – yiddish" lang="yi" hreflang="yi" data-title="אימפעט" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="yiddish" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A8%E9%87%8F" title="动量 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="动量" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%95%E9%87%8F" title="動量 – chinois littéraire" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="動量" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="chinois littéraire" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/%C5%AAn-t%C5%8Dng-li%C5%8Dng" title="Ūn-tōng-liōng – minnan" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Ūn-tōng-liōng" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnan" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%95%E9%87%8F" title="動量 – cantonais" lang="yue" hreflang="yue" data-title="動量" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q41273#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Quantit%C3%A9_de_mouvement" title="Voir le contenu de la page [c]" accesskey="c"><span>Article</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussion:Quantit%C3%A9_de_mouvement" rel="discussion" title="Discussion au sujet de cette page de contenu [t]" accesskey="t"><span>Discussion</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Modifier la variante de langue" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" 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accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=history" title="Historique des versions de cette page [h]" accesskey="h"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Outils" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Outils</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Outils</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">masquer</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Plus d’options" > <div class="vector-menu-heading"> Actions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Quantit%C3%A9_de_mouvement"><span>Lire</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=history"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Général </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_li%C3%A9es/Quantit%C3%A9_de_mouvement" title="Liste des pages liées qui pointent sur celle-ci [j]" accesskey="j"><span>Pages liées</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Suivi_des_liens/Quantit%C3%A9_de_mouvement" rel="nofollow" title="Liste des modifications récentes des pages appelées par celle-ci [k]" accesskey="k"><span>Suivi des pages liées</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:Importer_un_fichier" title="Téléverser des fichiers [u]" accesskey="u"><span>Téléverser un fichier</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_sp%C3%A9ciales" title="Liste de toutes les pages spéciales [q]" accesskey="q"><span>Pages spéciales</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&oldid=215101124" title="Adresse permanente de cette version de cette page"><span>Lien permanent</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=info" title="Davantage d’informations sur cette page"><span>Informations sur la page</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Citer&page=Quantit%C3%A9_de_mouvement&id=215101124&wpFormIdentifier=titleform" title="Informations sur la manière de citer cette page"><span>Citer cette page</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:UrlQ%C4%B1sald%C4%B1c%C4%B1s%C4%B1&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FQuantit%25C3%25A9_de_mouvement"><span>Obtenir l'URL raccourcie</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:QrKodu&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FQuantit%25C3%25A9_de_mouvement"><span>Télécharger le code QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimer / exporter </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Livre&bookcmd=book_creator&referer=Quantit%C3%A9+de+mouvement"><span>Créer un livre</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:DownloadAsPdf&page=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=show-download-screen"><span>Télécharger comme PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&printable=yes" title="Version imprimable de cette page [p]" accesskey="p"><span>Version imprimable</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Dans d’autres projets </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Momentum" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q41273" title="Lien vers l’élément dans le dépôt de données connecté [g]" accesskey="g"><span>Élément Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><div class="bandeau-container metadata homonymie hatnote"><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Aide:Homonymie" title="Aide:Homonymie"><img alt="Page d’aide sur l’homonymie" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Confusion_colour.svg/20px-Confusion_colour.svg.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Confusion_colour.svg/30px-Confusion_colour.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Confusion_colour.svg/40px-Confusion_colour.svg.png 2x" data-file-width="260" data-file-height="200" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p>Ne doit pas être confondu avec <a href="/wiki/Impulsion_(physique)" class="mw-redirect" title="Impulsion (physique)">Impulsion (physique)</a>. </p> </div></div> <div class="infobox_v3 infobox infobox--frwiki noarchive"> <div class="entete" style=""> <div>Quantité de mouvement</div> </div> <div class="images"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File/Frameless"><a href="/wiki/Fichier:Billard.JPG" class="mw-file-description"><img alt="Description de cette image, également commentée ci-après" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/Billard.JPG/220px-Billard.JPG" decoding="async" width="220" height="147" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/Billard.JPG/330px-Billard.JPG 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/Billard.JPG/440px-Billard.JPG 2x" data-file-width="3456" data-file-height="2304" /></a></span> </div> <div class="legend">Au billard, il est possible de considérer qu'il y a conservation de la quantité de mouvement du système constitué par les billes en collision. Ainsi, lors d'une collision d'une bille en mouvement sur une autre immobile, cette dernière va acquérir tout (si la bille incidente est stoppée net) ou une partie (si elle continue ou est déviée) de la quantité de mouvement initiale de la bille incidente.</div><table><caption class="hidden" style="">Données clés</caption> <tbody><tr> <th scope="row"><a href="/wiki/Unit%C3%A9s_de_base_du_Syst%C3%A8me_international" title="Unités de base du Système international">Unités SI</a></th> <td> <abbr class="abbr" title="kilogramme mètre par seconde">kg m s<sup>−1</sup></abbr> (= <abbr class="abbr" title="newton seconde">N s</abbr>)</td> </tr> <tr> <th scope="row"><a href="/wiki/Dimension_(physique)" title="Dimension (physique)">Dimension</a></th> <td> M L T-1</td> </tr> <tr> <th scope="row">Nature</th> <td> Grandeur <a href="/wiki/Vecteur" title="Vecteur">vectorielle</a> conservative <a href="/wiki/Grandeur_extensive" class="mw-redirect" title="Grandeur extensive">extensive</a></td> </tr> <tr> <th scope="row">Symbole usuel</th> <td> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84fee53c81592db54e0fe6c6f9eba002bb1dc74b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.415ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}}"></span></td> </tr> <tr> <th scope="row">Lien à d'autres grandeurs</th> <td> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e41e3b934ccee493856c6caceb07f9a14013b86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:7.729ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}"></span></td> </tr> </tbody></table><p class="navbar bordered noprint" style=""><span class="plainlinks navigation-not-searchable"><a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit">modifier</a></span> <span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Infobox_Grandeur_physique" title="Consultez la documentation du modèle"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/12px-Info_Simple.svg.png" decoding="async" width="12" height="12" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/18px-Info_Simple.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/24px-Info_Simple.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></p></div> <p>En <a href="/wiki/Physique" title="Physique">physique</a>, la <b>quantité de mouvement</b> est le produit de la <a href="/wiki/Masse" title="Masse">masse</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"></span> par le <a href="/wiki/Vecteur_vitesse" title="Vecteur vitesse">vecteur vitesse</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}"></span> d'un corps matériel supposé ponctuel. Il s'agit donc d'une grandeur vectorielle, définie par <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e41e3b934ccee493856c6caceb07f9a14013b86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:7.729ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}"></span>, qui dépend du <a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rentiel_(physique)" title="Référentiel (physique)">référentiel</a> d'étude<sup id="cite_ref-perez_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-perez-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Par additivité, il est possible de définir la quantité de mouvement d'un corps non ponctuel (ou système matériel), dont il est possible de démontrer qu'elle est égale à la quantité de mouvement de son <a href="/wiki/Centre_d%27inertie" title="Centre d'inertie">centre d'inertie</a> affecté de la masse totale du système, soit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}_{\text{système}}=m_{\text{système}}{\vec {v}}_{C}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>système</mtext> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>système</mtext> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}_{\text{système}}=m_{\text{système}}{\vec {v}}_{C}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4026621a141c1fbe96fb27895cf9d00e64d50a91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; margin-left: -0.089ex; width:21.483ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}_{\text{système}}=m_{\text{système}}{\vec {v}}_{C}}"></span> (<i>C</i> étant le centre d'inertie du système)<sup id="cite_ref-perez_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-perez-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>La notion de quantité de mouvement s'introduit naturellement en <a href="/wiki/Dynamique_(physique)" class="mw-redirect" title="Dynamique (physique)">dynamique</a> : la <a href="/wiki/Lois_du_mouvement_de_Newton" title="Lois du mouvement de Newton">relation fondamentale de la dynamique</a> exprime le fait que l'action d'une force extérieure sur un système conduit à une variation de sa quantité de mouvement : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}_{\rm {ext}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">x</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}_{\rm {ext}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6613fc8beba7603aceec4c615a207a0732d9b55c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:10.793ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}_{\rm {ext}}}"></span>. Par ailleurs elle fait partie, avec l'<a href="/wiki/%C3%89nergie_(physique)" title="Énergie (physique)">énergie</a>, des <a href="/wiki/Loi_de_conservation" title="Loi de conservation">grandeurs qui se conservent</a> pour un système isolé, c'est-à-dire soumis à aucune action extérieure, ou si celles-ci sont négligeables ou se compensent. Cette propriété est utilisée notamment en <a href="/wiki/Collision" title="Collision">théorie des collisions</a>. </p><p>En <a href="/wiki/M%C3%A9canique_analytique" title="Mécanique analytique">mécanique analytique</a> ou <a href="/wiki/M%C3%A9canique_quantique" title="Mécanique quantique">quantique</a> la quantité de mouvement apparaît naturellement comme la grandeur liée à l'invariance du <a href="/wiki/Op%C3%A9rateur_hamiltonien" title="Opérateur hamiltonien">hamiltonien</a> ou du <a href="/wiki/Lagrangien" title="Lagrangien">lagrangien</a> dans une translation d'espace, c'est-à-dire à la propriété d'homogénéité de l'espace, qui est effectivement vérifiée en l'absence de forces ou champs extérieurs. Sur un plan plus général il s'agit d'une des conséquences du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Noether_(physique)" title="Théorème de Noether (physique)">théorème de Noether</a> qui permet de relier symétrie continue d'un système et lois de conservation. </p><p>La notion d'<a href="/wiki/Impulsion_(physique)" class="mw-redirect" title="Impulsion (physique)">impulsion</a> ou moment linéaire généralise en <a href="/wiki/M%C3%A9canique_analytique" title="Mécanique analytique">mécanique analytique</a> celle de quantité de mouvement, en tant que moment conjugué des <a href="/wiki/Coordonn%C3%A9es_cart%C3%A9siennes" title="Coordonnées cartésiennes">coordonnées cartésiennes</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2752dcbff884354069fe332b8e51eb0a70a531b6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.837ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q_{i}}"></span>, soit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e2e21f8e5f34bdc290dbe3571d462402b429230" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; margin-left: -0.089ex; width:9.148ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}}"></span>. Quantité de mouvement et impulsion sont souvent confondues en raison de leur coïncidence dans la majorité des cas. Néanmoins ces deux grandeurs sont distinctes<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. L'impulsion coïncide avec la quantité de mouvement lorsque les forces appliquées à la particule dérivent d'une <a href="/wiki/%C3%89nergie_potentielle" title="Énergie potentielle">énergie potentielle</a>. L'analogue « angulaire » du moment linéaire est le moment angulaire généralement confondu avec le <a href="/wiki/Moment_cin%C3%A9tique" title="Moment cinétique">moment cinétique</a><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite_crochet">[</span>a<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Il est aussi possible de définir la quantité de mouvement, plus souvent alors appelée <b>impulsion</b>, pour le <a href="/wiki/Champ_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique" title="Champ électromagnétique">champ électromagnétique</a>. Le plus souvent, il est fait référence à la densité volumique d'impulsion du champ donnée par <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {g}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {g}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95af29e77ebe6433a2962af431be95e3f0ca027" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.533ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {g}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}"></span>. </p><p>En <a href="/wiki/Relativit%C3%A9_restreinte" title="Relativité restreinte">mécanique relativiste</a>, les notions de quantité de mouvement et d'énergie sont liées par l'introduction du <a href="/wiki/Quadrivecteur_%C3%A9nergie-impulsion" class="mw-redirect" title="Quadrivecteur énergie-impulsion">quadrivecteur énergie-impulsion</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{\alpha }=(\gamma mc,\gamma m{\vec {v}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>γ</mi> <mi>m</mi> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{\alpha }=(\gamma mc,\gamma m{\vec {v}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6e7797ef6ea110cfe1889051e3c5e26a9e473d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:17.272ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p^{\alpha }=(\gamma mc,\gamma m{\vec {v}})}"></span>, où <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">γ</span> est le <a href="/wiki/Facteur_de_Lorentz" title="Facteur de Lorentz">facteur de Lorentz</a>. </p><p>En <a href="/wiki/M%C3%A9canique_quantique" title="Mécanique quantique">mécanique quantique</a>, la quantité de mouvement est définie comme un « opérateur vectoriel », c'est-à-dire comme un ensemble de trois opérateurs (un par composante spatiale) qui respectent certaines relations de commutation (dites <i>canoniques</i>) avec les composantes de l'<a href="/wiki/Op%C3%A9rateur_de_position" title="Opérateur de position">opérateur de position</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Histoire">Histoire</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Histoire" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Histoire"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article connexe : <a href="/wiki/Inertie#Historique" title="Inertie">Inertie (section Histoire)</a>.</div></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Système_aristotélicien"><span id="Syst.C3.A8me_aristot.C3.A9licien"></span>Système aristotélicien</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Système aristotélicien" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Système aristotélicien"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles connexes : <a href="/wiki/Mouvement_(philosophie)" title="Mouvement (philosophie)">Philosophie du mouvement</a>, <a href="/wiki/Physique_(Aristote)" title="Physique (Aristote)">Physique aristotélicienne</a> et <a href="/wiki/Impetus" title="Impetus">Impetus</a>.</div></div> <p>On trouve une première formulation de la quantité de mouvement chez <a href="/wiki/Jean_Buridan" title="Jean Buridan">Jean Buridan</a> (1292 - 1363), dans ses <i>Questiones</i> sur la physique d'<a href="/wiki/Aristote" title="Aristote">Aristote</a> : L'<i><a href="/wiki/Impetus" title="Impetus">impetus</a></i> implanté augmente dans le même rapport que la vitesse. Quand un déménageur met un corps en mouvement, il y implante un certain <i>impetus</i>. C'est une certaine force qui permet au corps de se déplacer dans la direction dans laquelle le déménageur démarre ce mouvement, qu'il soit vers le haut, vers le bas, vers le côté ou en cercle. C'est à cause de cet <i>impetus</i>, dit-il, qu'une pierre se déplace après que le lanceur a cessé de la déplacer. Mais en raison de la résistance de l'air (et aussi de la gravité de la pierre) qui s'efforce de la déplacer dans le sens inverse du mouvement causé par l'<i>impetus</i>, celui-ci faiblira tout le temps. Par conséquent, le mouvement de la pierre sera progressivement plus lent et, finalement, l'impulsion est tellement diminuée ou détruite que la gravité de la pierre prévaut et déplace la pierre vers son lieu naturel. On peut, dit-il, accepter cette explication parce que les autres explications s'avèrent fausses alors que tous les phénomènes sont d'accord avec celle-ci. L'impulsion implantée, on notera, est causée par la vitesse et supposée proportionnelle à celle-ci. Ailleurs, Buridan l'a considérée comme proportionnelle au poids du corps. Dans les unités correctement choisies. L'expression <span class="texhtml"><i>poids</i> × <i>vitesse</i></span> reproduite par l'historien des sciences <a href="/wiki/Olaf_Pedersen" title="Olaf Pedersen">Olaf Pedersen</a>, donne un sens précis à l'<i>impetus</i>, un concept qui était auparavant assez vague. Du point de vue formel, ce nouveau concept en dynamique est égal à la quantité de mouvement de la <a href="/wiki/Physique_classique" title="Physique classique">physique classique</a>, mais en réalité, les deux sont très différents parce qu'ils jouent différentes parties dans leurs théories dynamiques respectives. Le point important est que dans son sens médiéval, le mot <i>impetus</i> est une force avec le même statut physique que la gravité, la légèreté, le magnétisme, <abbr class="abbr" title="et cetera">etc.</abbr> Néanmoins, la théorie pourrait bien avoir préparé la voie à la notion d'<a href="/wiki/Inertie" title="Inertie">inertie</a><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> qui le remplacera définitivement au <abbr class="abbr" title="17ᵉ siècle"><span class="romain">XVII</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle <abbr class="abbr nowrap" title="avant Jésus-Christ">av. J.-C.</abbr> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Galilée_et_Descartes"><span id="Galil.C3.A9e_et_Descartes"></span>Galilée et Descartes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Galilée et Descartes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Galilée et Descartes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Newtons_cradle_animation_book_2.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Newtons_cradle_animation_book_2.gif/220px-Newtons_cradle_animation_book_2.gif" decoding="async" width="220" height="165" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Newtons_cradle_animation_book_2.gif/330px-Newtons_cradle_animation_book_2.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Newtons_cradle_animation_book_2.gif/440px-Newtons_cradle_animation_book_2.gif 2x" data-file-width="480" data-file-height="360" /></a><figcaption>Le <a href="/wiki/Pendule_de_Newton" title="Pendule de Newton">pendule de Newton</a> illustre la <a href="/wiki/Conservation_de_la_quantit%C3%A9_de_mouvement" title="Conservation de la quantité de mouvement">conservation de la quantité de mouvement</a>.</figcaption></figure> <p>Dans le <i><a href="/wiki/Discours_concernant_deux_sciences_nouvelles" title="Discours concernant deux sciences nouvelles"><span class="lang-it" lang="it">Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze</span></a></i> de <a href="/wiki/Galil%C3%A9e_(savant)" title="Galilée (savant)">Galilée</a>, la conservation du mouvement, pourtant pleinement reconnue et utilisée, intervient seulement au cours de l’exposé. <a href="/wiki/Ren%C3%A9_Descartes" title="René Descartes">René Descartes</a>, mesurant toute sa portée, l’introduit comme une « loi de la nature » au seuil de sa philosophie naturelle. Toutefois le domaine d’application du système de Descartes reste la <a href="/wiki/Cosmologie" title="Cosmologie">cosmologie</a> philosophique. Il n'a pas la qualité d’une proposition scientifique, intrinsèquement liée aux conditions qu’exige une théorie géométrisée du mouvement. Par son association avec le concept d’une matière en soi indifférente au repos et au mouvement, Galilée est le précurseur direct du <a href="/wiki/Lois_du_mouvement_de_Newton" title="Lois du mouvement de Newton">principe classique d’inertie</a>, ouvrant la voie à une première théorie mathématisée du mouvement dont les résultats passeront intégralement dans la synthèse newtonienne<sup id="cite_ref-a_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-a-6"><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Unités"><span id="Unit.C3.A9s"></span>Unités</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Unités" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Unités"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>L'<a href="/wiki/Unit%C3%A9_d%C3%A9riv%C3%A9e_du_Syst%C3%A8me_international" title="Unité dérivée du Système international">unité SI</a> de quantité de mouvement est le kilogramme-mètre par seconde <abbr class="abbr" title="kilogramme mètre par seconde">kg m s<sup>−1</sup></abbr>, équivalent au newton-seconde (<abbr class="abbr" title="newton seconde">N s</abbr>). </p><p>L'unité dans le <a href="/wiki/Unit%C3%A9s_de_mesure_anglo-saxonnes" title="Unités de mesure anglo-saxonnes">système d'unités anglo-saxonnes</a> est la <a href="/wiki/Livre-force" title="Livre-force">livre-force</a>-seconde (<abbr class="abbr" title="livre-force seconde">lbf s</abbr>) : 1 <abbr class="abbr" title="livre-force seconde">lbf s</abbr> = 4,448 221 <abbr class="abbr" title="newton seconde">N s</abbr>. C'est la confusion entre ces deux unités, métrique et anglo-saxonne, qui a été la cause de la <a href="/wiki/Mars_Climate_Orbiter#Perte_de_la_sonde_(23_septembre_1999)" title="Mars Climate Orbiter">perte de la sonde</a> martienne <a href="/wiki/Mars_Climate_Orbiter" title="Mars Climate Orbiter">Mars Climate Orbiter</a> le <time class="nowrap" datetime="1999-09-23" data-sort-value="1999-09-23">23 septembre 1999</time>, la poussée des petites corrections de trajectoire pour satelliser la sonde ayant été sous-estimée d'un facteur ~4,5. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mécanique_classique"><span id="M.C3.A9canique_classique"></span>Mécanique classique</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Mécanique classique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Mécanique classique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Définition_en_mécanique_newtonienne"><span id="D.C3.A9finition_en_m.C3.A9canique_newtonienne"></span>Définition en mécanique newtonienne</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Définition en mécanique newtonienne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Définition en mécanique newtonienne"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En <a href="/wiki/M%C3%A9canique_classique" class="mw-redirect" title="Mécanique classique">mécanique classique</a>, la quantité de mouvement d'un <a href="/wiki/Point_mat%C3%A9riel" title="Point matériel">point matériel</a> de masse <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">m</span> animé d'une vitesse <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}"></span> dans un <a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rentiel_(physique)" title="Référentiel (physique)">référentiel</a> donné est définie comme produit de sa masse et de sa vitesse<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite_crochet">[</span>6<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite_crochet">[</span>7<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e41e3b934ccee493856c6caceb07f9a14013b86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:7.729ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}"></span></dd></dl> <p>C'est donc, comme la vitesse, une grandeur <a href="/wiki/Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">vectorielle</a>, dont l'unité <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_international_d%27unit%C3%A9s" title="Système international d'unités">SI</a> est le kilogramme mètre par seconde (<abbr class="abbr" title="kilogramme mètre par seconde">kg m s<sup>−1</sup></abbr>). </p><p>Cette grandeur est <i>additive</i>, ainsi pour un système matériel composé de <i>N</i> particules, la quantité de mouvement totale (ou <i>résultante cinétique</i>) du système est définie par : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}=\sum _{i}{m_{i}\,{\vec {v}}_{i}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}=\sum _{i}{m_{i}\,{\vec {v}}_{i}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00477057006b28f8925d65e0b2fed28cf42b31a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; margin-left: -0.089ex; width:13.457ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}=\sum _{i}{m_{i}\,{\vec {v}}_{i}}}"></span>.</dd></dl> <p>En introduisant le <a href="/wiki/Centre_d%27inertie" title="Centre d'inertie">centre d'inertie</a> <i>C</i> du système dont le <a href="/wiki/Vecteur_position" title="Vecteur position">vecteur position</a> est par définition <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{C}={\frac {\sum _{i}{m_{i}{\vec {r}}_{i}}}{\sum _{i}m_{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{C}={\frac {\sum _{i}{m_{i}{\vec {r}}_{i}}}{\sum _{i}m_{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ecf0b3aa24e92fb0c7c8183160250fa9c704b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:15.142ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{C}={\frac {\sum _{i}{m_{i}{\vec {r}}_{i}}}{\sum _{i}m_{i}}}}"></span> il vient aussitôt par dérivation la relation<sup id="cite_ref-perez_1-2" class="reference"><a href="#cite_note-perez-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i}{m_{i}{\vec {v}}_{i}}=\left(\sum _{i}{m_{i}}\right){\vec {v}}_{C},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i}{m_{i}{\vec {v}}_{i}}=\left(\sum _{i}{m_{i}}\right){\vec {v}}_{C},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed015d7beb5d5ee262aeff8b5244930b3665fb24" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:25.61ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i}{m_{i}{\vec {v}}_{i}}=\left(\sum _{i}{m_{i}}\right){\vec {v}}_{C},}"></span></dd></dl> <p>autrement dit la quantité de mouvement totale du système est égale à la quantité de mouvement de son centre d'inertie <i>C</i> affectée de la <i>masse totale</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=\sum _{i}{m_{i}}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=\sum _{i}{m_{i}}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa808cdf8ca4ccba3572974a3111dbc8cf27095" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.51ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle M=\sum _{i}{m_{i}}\,}"></span> du système : </p> <div style="display:table; margin-top:1.5em; margin-bottom:1.5em; overflow:hidden; border:1px solid #aaa; padding:1em; background:none; margin-right:auto; margin-left:auto;;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}=M\,{\vec {v}}_{C}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>M</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}=M\,{\vec {v}}_{C}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd4c383afd0273000b449db3de08d866ba247df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:10.646ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}=M\,{\vec {v}}_{C}.}"></span></div> <p>Cette relation est valable pour tout type de système matériel, déformable ou non. </p><p>En <a href="/wiki/M%C3%A9canique_du_solide" title="Mécanique du solide">mécanique du solide</a>, la quantité de mouvement est la résultante du <a href="/wiki/Torseur_cin%C3%A9tique" title="Torseur cinétique">torseur cinétique</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quantité_de_mouvement_et_forces"><span id="Quantit.C3.A9_de_mouvement_et_forces"></span>Quantité de mouvement et forces</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Quantité de mouvement et forces" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Quantité de mouvement et forces"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Relation_fondamentale_de_la_dynamique">Relation fondamentale de la dynamique</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Relation fondamentale de la dynamique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Relation fondamentale de la dynamique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La <a href="/wiki/Lois_du_mouvement_de_Newton" title="Lois du mouvement de Newton">relation fondamentale de la dynamique</a> exprime le fait que l'action d'une <a href="/wiki/Force_(physique)" title="Force (physique)">force</a> fait varier la quantité de mouvement du point matériel dans un <a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rentiel_galil%C3%A9en" title="Référentiel galiléen">référentiel galiléen</a><sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite_crochet">[</span>b<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}{{\vec {F}}_{i}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}{{\vec {F}}_{i}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70a52793cee889f498929b6a847227f796b4053" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.865ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}{{\vec {F}}_{i}}}"></span></dd></dl> <p>Cette relation se généralise aisément à un système matériel en ce qui concerne la quantité de mouvement totale du système, c'est-à-dire celle de son centre d'inertie <i>C</i> affecté de la masse totale du système<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite_crochet">[</span>c<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite_crochet">[</span>d<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}{{\vec {F}}_{i,{\rm {ext}}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">x</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </msub> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}{{\vec {F}}_{i,{\rm {ext}}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78eccfdf4be16d86b49e26765138b9ce1e38a22" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:16.207ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}{{\vec {F}}_{i,{\rm {ext}}}}.}"></span></dd></dl> <p>Ce résultat est le <b>théorème de la résultante cinétique</b>, ou théorème du centre d'inertie. Il montre que pour un système matériel, l'action des <a href="/wiki/Forces_int%C3%A9rieures_et_forces_ext%C3%A9rieures" title="Forces intérieures et forces extérieures">forces extérieures</a> conduit à une variation de la quantité de mouvement du centre d'inertie du système<sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite_crochet">[</span>e<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-perez_1-3" class="reference"><a href="#cite_note-perez-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Conservation_de_la_quantité_de_mouvement"><span id="Conservation_de_la_quantit.C3.A9_de_mouvement"></span>Conservation de la quantité de mouvement</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Conservation de la quantité de mouvement" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Conservation de la quantité de mouvement"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Conservation_de_la_quantit%C3%A9_de_mouvement" title="Conservation de la quantité de mouvement">Conservation de la quantité de mouvement</a>.</div></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Elastischer_sto%C3%9F3.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Elastischer_sto%C3%9F3.gif/220px-Elastischer_sto%C3%9F3.gif" decoding="async" width="220" height="28" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Elastischer_sto%C3%9F3.gif/330px-Elastischer_sto%C3%9F3.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e5/Elastischer_sto%C3%9F3.gif/440px-Elastischer_sto%C3%9F3.gif 2x" data-file-width="500" data-file-height="63" /></a><figcaption><a href="/wiki/Collision_%C3%A9lastique" class="mw-redirect" title="Collision élastique">Collision élastique</a> de masses inégales.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Inelastischer_sto%C3%9F.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Inelastischer_sto%C3%9F.gif/220px-Inelastischer_sto%C3%9F.gif" decoding="async" width="220" height="26" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Inelastischer_sto%C3%9F.gif/330px-Inelastischer_sto%C3%9F.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Inelastischer_sto%C3%9F.gif/440px-Inelastischer_sto%C3%9F.gif 2x" data-file-width="500" data-file-height="60" /></a><figcaption><a href="/wiki/Collision_in%C3%A9lastique" title="Collision inélastique">Collision inélastique</a> entre deux masses égales.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Elastischer_sto%C3%9F.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Elastischer_sto%C3%9F.gif/220px-Elastischer_sto%C3%9F.gif" decoding="async" width="220" height="26" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Elastischer_sto%C3%9F.gif/330px-Elastischer_sto%C3%9F.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Elastischer_sto%C3%9F.gif/440px-Elastischer_sto%C3%9F.gif 2x" data-file-width="500" data-file-height="60" /></a><figcaption><a href="/wiki/Collision_%C3%A9lastique" class="mw-redirect" title="Collision élastique">Collision élastique</a> de masses égales.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:M102_Firing1_pd_army_mil.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/M102_Firing1_pd_army_mil.jpg/220px-M102_Firing1_pd_army_mil.jpg" decoding="async" width="220" height="149" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/M102_Firing1_pd_army_mil.jpg/330px-M102_Firing1_pd_army_mil.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/M102_Firing1_pd_army_mil.jpg/440px-M102_Firing1_pd_army_mil.jpg 2x" data-file-width="3000" data-file-height="2028" /></a><figcaption>L'effet du recul pousse le tube de ce canon de type <a href="/wiki/Howitzer_105_mm_M102" class="mw-redirect" title="Howitzer 105 mm M102">Howitzer 105 mm M102</a> vers l'arrière.</figcaption></figure> <p>En l'absence de <a href="/wiki/Forces_int%C3%A9rieures_et_forces_ext%C3%A9rieures" title="Forces intérieures et forces extérieures">forces extérieures</a>, ou si leur résultante est nulle, la quantité de mouvement d'un système matériel est donc une <b>constante du mouvement</b>, puisque alors <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {0}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {0}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640fbe64f58cade85f36381d343635e144ab4fc3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:7.715ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {0}}}"></span>. En <a href="/wiki/M%C3%A9canique_analytique" title="Mécanique analytique">mécanique analytique</a> cette loi de conservation peut être reliée à l'invariance par translation dans l'espace du Lagrangien, voir ci-après. </p><p>Une illustration classique de la conservation de la quantité de mouvement est fournie par le <a href="/wiki/Pendule_de_Newton" title="Pendule de Newton">pendule de Newton</a>, qui est souvent utilisé comme objet décoratif (<i>cf</i>. illustration ci-contre). Une bille à une extrémité est lâchée sans vitesse et acquiert une certaine quantité de mouvement, puis entre en collision avec les autres billes accolées. La bille à l'autre extrémité repart dans le même sens que la bille incidente, ayant acquis sa quantité de mouvement, qui se « transmet » à travers les billes accolées. </p><p>De façon générale, la conservation de la quantité de mouvement est très importante dans l'étude des <a href="/wiki/Collision" title="Collision">chocs de particules</a> ou de la désintégration (séparation en plusieurs parties) d'un système. En effet dans le cas d'un choc de deux (ou plus) corps matériel, la durée de l'interaction entre les corps est très brève et il est possible de négliger l'effet des interactions extérieures au système constitué par les corps en collision, dont la quantité de mouvement totale peut donc être considérée comme conservée. Il est important de souligner que l'<a href="/wiki/%C3%89nergie_cin%C3%A9tique" title="Énergie cinétique">énergie cinétique</a> n'est en général <i>pas</i> conservée dans une collision, car il y a souvent changement de l'état interne des corps durant la collision : par exemple deux particules qui restent accolées au cours d'une collision, ce n'est que si la collision est <i><a href="/wiki/Collision_%C3%A9lastique" class="mw-redirect" title="Collision élastique">élastique</a></i> que l'énergie cinétique est conservée, en plus de la quantité de mouvement (<abbr class="abbr" title="confer (reportez-vous à/comparez avec)">cf.</abbr> illustrations ci-contre). </p><p>Deux exemples classiques permettent d'illustrer l'application de la conservation de la quantité de mouvement dans l'étude des chocs ou de la désintégration d'un système : </p> <ul><li><span style="text-decoration: underline;">Exemple 1 : choc de plein fouet d'une boule de billard par une autre :</span> une boule de billard de masse <i>m</i> heurte de plein fouet (centres alignés) à la vitesse <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1e99e843fffeae2c302f24e96edb76b2cbf915" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.975ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{i}}"></span> une autre boule de billard de masse <i>m' </i>, initialement immobile. La conservation de la quantité de mouvement globale du système {boule 1 + boule 2} pendant la durée très brève du choc implique :</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\,{\vec {v}}_{i}=m\,{\vec {v}}_{f}+m'\,{\vec {v}}'_{f}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>m</mi> <mo>′</mo> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\,{\vec {v}}_{i}=m\,{\vec {v}}_{f}+m'\,{\vec {v}}'_{f}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eeacb0310273cf95973d74228a8f658bd369a23" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:20.504ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle m\,{\vec {v}}_{i}=m\,{\vec {v}}_{f}+m'\,{\vec {v}}'_{f}}"></span>, soit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m'\,{\vec {v}}'_{f}=-m\,({\vec {v}}_{f}-{\vec {v}}_{i})=-m\,\Delta {\vec {v}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>m</mi> <mo>′</mo> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>m</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m'\,{\vec {v}}'_{f}=-m\,({\vec {v}}_{f}-{\vec {v}}_{i})=-m\,\Delta {\vec {v}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccc66fa07d3773025dde76e63ab0cb5d8255fbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:32.939ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle m'\,{\vec {v}}'_{f}=-m\,({\vec {v}}_{f}-{\vec {v}}_{i})=-m\,\Delta {\vec {v}}_{i}}"></span>,</dd></dl> <p>où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta {\vec {v}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta {\vec {v}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f643ab5951655e6542432f1820af641c1ac12a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.911ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta {\vec {v}}_{i}}"></span> est la variation de la vitesse de la première boule pendant le choc. Si le choc est de plein fouet alors <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta {\vec {v}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta {\vec {v}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f643ab5951655e6542432f1820af641c1ac12a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.911ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Delta {\vec {v}}_{i}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}'_{f}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}'_{f}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05d6133522fec399cf33f0c74b5c8a5720f2725" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.312ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}'_{f}}"></span> sont colinéaires et alors la deuxième boule part à la vitesse de valeur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v'_{f}={\frac {m}{m'}}|\Delta v_{i}|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>m</mi> <msup> <mi>m</mi> <mo>′</mo> </msup> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v'_{f}={\frac {m}{m'}}|\Delta v_{i}|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1aa6a6b6caf2318e764662317d1e02b33e7a44" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.081ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle v'_{f}={\frac {m}{m'}}|\Delta v_{i}|}"></span>. À la limite il peut y avoir transfert de la totalité de la quantité de mouvement de la première boule sur la deuxième et alors <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v'_{f}={\frac {m}{m'}}v_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>m</mi> <msup> <mi>m</mi> <mo>′</mo> </msup> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v'_{f}={\frac {m}{m'}}v_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a20a0caae1db051d58938a510aad18bdd3b36b75" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.851ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle v'_{f}={\frac {m}{m'}}v_{i}}"></span>. </p> <ul><li><span style="text-decoration: underline;">Exemple 2 : <a href="/wiki/Recul_d%27une_arme_%C3%A0_feu" title="Recul d'une arme à feu">recul d'une arme à feu</a> :</span> lorsqu'une arme à feu est utilisée, le système {arme de masse <i>M</i> + balle de masse <i>m</i>} peut être considéré comme isolé, l'action du poids étant négligeable. Dans ce cas, et l'arme étant supposée immobile dans le référentiel d'étude, la conservation de la quantité de mouvement du système avant et après le tir implique que :</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {0}}={\vec {p}}_{\text{arme}}+{\vec {p}}_{\text{balle}}=m_{\text{arme}}\,{\vec {v}}_{\text{arme}}+m_{\text{balle}}\,{\vec {v}}_{\text{balle}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>arme</mtext> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>balle</mtext> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>arme</mtext> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>arme</mtext> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>balle</mtext> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>balle</mtext> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {0}}={\vec {p}}_{\text{arme}}+{\vec {p}}_{\text{balle}}=m_{\text{arme}}\,{\vec {v}}_{\text{arme}}+m_{\text{balle}}\,{\vec {v}}_{\text{balle}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58925a01e26ebe20a08196970de0274b67aea787" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.128ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {0}}={\vec {p}}_{\text{arme}}+{\vec {p}}_{\text{balle}}=m_{\text{arme}}\,{\vec {v}}_{\text{arme}}+m_{\text{balle}}\,{\vec {v}}_{\text{balle}}}"></span>,</dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{\text{balle}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>balle</mtext> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{\text{balle}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5b354e356d218a77edc84e89230b4be1d7e33b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.788ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{\text{balle}}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{\text{arme}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>arme</mtext> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{\text{arme}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c220be7c1de00df183577939ed05e36f2d0294a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.973ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{\text{arme}}}"></span> désignant respectivement la vitesse de la balle et celle de l'arme juste après le tir. Voir l'article détaillé : <a href="/wiki/Recul_d%27une_arme_%C3%A0_feu" title="Recul d'une arme à feu">recul d'une arme à feu</a>.</dd></dl> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Exp%C3%A9rience_de_Tsiolkovsky.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Exp%C3%A9rience_de_Tsiolkovsky.gif/220px-Exp%C3%A9rience_de_Tsiolkovsky.gif" decoding="async" width="220" height="90" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Exp%C3%A9rience_de_Tsiolkovsky.gif/330px-Exp%C3%A9rience_de_Tsiolkovsky.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Exp%C3%A9rience_de_Tsiolkovsky.gif/440px-Exp%C3%A9rience_de_Tsiolkovsky.gif 2x" data-file-width="500" data-file-height="204" /></a><figcaption></figcaption></figure> <p>Par suite, il y a un phénomène de recul de l'arme à la vitesse <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{\text{arme}}=-{\frac {m_{\text{balle}}}{m_{\text{arme}}}}\,{\vec {v}}_{\text{balle}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>arme</mtext> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>balle</mtext> </mrow> </msub> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>arme</mtext> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>balle</mtext> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{\text{arme}}=-{\frac {m_{\text{balle}}}{m_{\text{arme}}}}\,{\vec {v}}_{\text{balle}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26046cdeeb2415a97db09f280a26af8bb8ab562" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:21.729ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{\text{arme}}=-{\frac {m_{\text{balle}}}{m_{\text{arme}}}}\,{\vec {v}}_{\text{balle}}}"></span>. </p><p>Le même phénomène intervient lorsqu'un objet lourd (une pierre) est projeté depuis une barque (image ci-contre). C'est la fameuse <a href="/wiki/%C3%89quation_de_Tsiolkovski#L'expérience_de_la_barque,_de_Tsiolkovski" title="Équation de Tsiolkovski">expérience de la barque de Tsiolkovski</a>. </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Apollo_11_Saturn_V_lifting_off_on_July_16,_1969.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Apollo_11_Saturn_V_lifting_off_on_July_16%2C_1969.jpg/220px-Apollo_11_Saturn_V_lifting_off_on_July_16%2C_1969.jpg" decoding="async" width="220" height="276" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Apollo_11_Saturn_V_lifting_off_on_July_16%2C_1969.jpg/330px-Apollo_11_Saturn_V_lifting_off_on_July_16%2C_1969.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Apollo_11_Saturn_V_lifting_off_on_July_16%2C_1969.jpg/440px-Apollo_11_Saturn_V_lifting_off_on_July_16%2C_1969.jpg 2x" data-file-width="2280" data-file-height="2862" /></a><figcaption>La propulsion d'une fusée utilise la conservation de la quantité de mouvement du système {fusée + gaz brûlés}. Ici, décollage de la fusée <span class="nowrap">Saturn V</span> de la mission <i><span class="nowrap"><a href="/wiki/Apollo_11" title="Apollo 11">Apollo 11</a></span></i>.</figcaption></figure> <p>De façon générale, ce phénomène permet de comprendre le principe du <a href="/wiki/Moteur-fus%C3%A9e" title="Moteur-fusée">moteur-fusée</a> (<abbr class="abbr" title="confer (reportez-vous à/comparez avec)">cf.</abbr> figure ci-contre) : l'expulsion d'une masse <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\mathrm {d} m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\mathrm {d} m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccb4830f497d0df13dd902f215e6d57b103d4f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.141ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -\mathrm {d} m}"></span> (dm étant la variation de masse du vaisseau qui est négative)</i> de matière à la vitesse d'éjection <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{e}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{e}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52d56f7b215bd27146dab6f382cf8e8838902ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.174ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{e}}"></span> pendant d<i>t</i> conduit — du fait de la conservation de la quantité de mouvement — (et en négligeant l'action des <a href="/wiki/Forces_int%C3%A9rieures_et_forces_ext%C3%A9rieures" title="Forces intérieures et forces extérieures">forces extérieures</a>) à faire varier la vitesse de la <a href="/wiki/Fus%C3%A9e_(astronautique)" title="Fusée (astronautique)">fusée spatiale</a> de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\,\mathrm {d} {\vec {v}}=\mathrm {d} m\,{\vec {v}}_{e}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>m</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\,\mathrm {d} {\vec {v}}=\mathrm {d} m\,{\vec {v}}_{e}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df87714e6346694a931d86fe8a3e10f5227c33ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.888ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle m\,\mathrm {d} {\vec {v}}=\mathrm {d} m\,{\vec {v}}_{e}}"></span>. En intégrant sur une durée finie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c28867ecd34e2caed12cf38feadf6a81a7ee542" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.775ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta t}"></span>, la vitesse de la fusée (de masse initiale <i>m</i><sub>0</sub>) varie donc de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta {\vec {v}}={\vec {v}}_{e}\ln {\left(1+{\frac {\Delta m}{m_{0}}}\right)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>e</mi> </mrow> </msub> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>m</mi> </mrow> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta {\vec {v}}={\vec {v}}_{e}\ln {\left(1+{\frac {\Delta m}{m_{0}}}\right)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c49386c49fa66468fbb01f914ed522bcb7f67e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:23.333ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta {\vec {v}}={\vec {v}}_{e}\ln {\left(1+{\frac {\Delta m}{m_{0}}}\right)}}"></span> avec <span class="texhtml">Δ<i>m</i> < 0</span> puisque la fusée perd de la masse. Ainsi, la fusée se déplace dans le sens opposé aux gaz éjectés (voir <a href="/wiki/%C3%89quation_de_Tsiolkovski" title="Équation de Tsiolkovski">Équation de Tsiolkovski</a>). </p> <ul><li><span style="text-decoration: underline;">Exemple 3 : <a href="/wiki/Portance_(a%C3%A9rodynamique)" title="Portance (aérodynamique)">portance</a> d'une aile :</span> Il est possible de calculer la portance d'une aile en sommant les forces élémentaires de pression agissant en chaque point de cette aile. Cependant, la production de portance par une aile est intrinsèquement due à la projection vers le bas de l'air s'écoulant sur cette aile (on peut donc dire que <i>l'aile fonctionne à réaction</i><sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite_crochet">[</span>8<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite_crochet">[</span>9<span class="cite_crochet">]</span></a></sup></li></ul> <p>De même, la mesure en soufflerie de la variation de quantité de mouvement horizontale de l'air s'écoulant autour d'une aile permet de calculer la <a href="/wiki/Tra%C3%AEn%C3%A9e" title="Traînée">traînée</a> aérodynamique de cette aile. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Notion_de_percussion_mécanique"><span id="Notion_de_percussion_m.C3.A9canique"></span>Notion de percussion mécanique</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Notion de percussion mécanique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Notion de percussion mécanique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Une variation de quantité de mouvement consécutive à l'action d'une force est donc calculée comme étant l'<a href="/wiki/Int%C3%A9gration_(math%C3%A9matiques)" title="Intégration (mathématiques)">intégrale</a> de la <a href="/wiki/Force_(physique)" title="Force (physique)">force</a> pendant la durée d'action de la force. Pour un objet de quantité de mouvement initiale <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}_{1}={\vec {p}}(t_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}_{1}={\vec {p}}(t_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744f563a031b9cc94a5f97f13b712e0b4fd5c6f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:10.596ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}_{1}={\vec {p}}(t_{1})}"></span>à un instant <span class="texhtml"><i>t</i><sub>1</sub></span>, qui subit une force <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d421ac81aa07e6eecdc2731d99e5b9fd960f6432" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.42ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}(t)}"></span> pendant une durée <span class="texhtml"><i>t</i><sub>2</sub> – <i>t</i><sub>1</sub></span>, l'intégrale de cette force par rapport au temps, pendant cette durée, est égale à : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {I}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}(t)\,\mathrm {d} t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {I}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}(t)\,\mathrm {d} t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7b07d9f717e45ab832e32ec03df0dbaa9d6178" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:16.034ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {I}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}(t)\,\mathrm {d} t}"></span>.</dd></dl> <p>En utilisant la relation fondamentale de la dynamique <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {F}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}(t)}{\mathrm {d} t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {F}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}(t)}{\mathrm {d} t}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f7b1a2c494085fbba133d69735dc5b854ce007" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.621ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {F}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}(t)}{\mathrm {d} t}}}"></span>, on obtient : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {I}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}(t)}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} {\vec {p}}={\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1}=\Delta {\vec {p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {I}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}(t)}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} {\vec {p}}={\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1}=\Delta {\vec {p}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d59883b1d30e61e2769115509ba8f52d381648d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:44.999ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {I}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}(t)}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} {\vec {p}}={\vec {p}}_{2}-{\vec {p}}_{1}=\Delta {\vec {p}}}"></span>.</dd></dl> <p>L'usage, dérivé de l'appellation anglo-saxonne <i>impulse</i>, est d'appeler cette grandeur « impulsion ». Néanmoins, en toute rigueur, en français <i>impulsion</i> désigne le moment conjugué, grandeur de la <a href="/wiki/M%C3%A9canique_lagrangienne" class="mw-redirect" title="Mécanique lagrangienne">mécanique lagrangienne</a>. Lorsque la durée d'action de la force est très courte, la grandeur <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">I</span> précédente est appelée <i><b><a href="/wiki/Percussion_m%C3%A9canique" class="mw-redirect" title="Percussion mécanique">percussion mécanique</a></b></i>, en raison de son importance dans la théorie des chocs. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Définition_en_mécanique_analytique"><span id="D.C3.A9finition_en_m.C3.A9canique_analytique"></span>Définition en mécanique analytique</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Définition en mécanique analytique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Définition en mécanique analytique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En <a href="/wiki/M%C3%A9canique_lagrangienne" class="mw-redirect" title="Mécanique lagrangienne">mécanique lagrangienne</a>, l'état d'un système de <i>N</i> particules (3<i>N</i> degrés de liberté) est décrit par son <a href="/wiki/Lagrangien" title="Lagrangien">Lagrangien</a> noté <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L({\vec {q}}_{i},{\dot {\vec {q}}}_{i},t)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L({\vec {q}}_{i},{\dot {\vec {q}}}_{i},t)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ca53221da2f2f2b2094815c12e8c436b847c27a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.927ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle L({\vec {q}}_{i},{\dot {\vec {q}}}_{i},t)\,}"></span>, où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {q}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {q}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a943a4624602d4869bdd52d5d54a83ba01db92e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.108ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {q}}_{i}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\vec {q}}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {q}}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d42f7ab8fc43eb015439d89517afd540c379bc78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.132ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {q}}}_{i}}"></span> désigne les coordonnées et vitesses généralisées sous formes vectorielles de la <i>i-ème</i> particule (<i>i</i> = 1,...,<i>N</i>). </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Notion_de_moment_conjugué_ou_impulsion_généralisée"><span id="Notion_de_moment_conjugu.C3.A9_ou_impulsion_g.C3.A9n.C3.A9ralis.C3.A9e"></span>Notion de moment conjugué ou impulsion généralisée</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Notion de moment conjugué ou impulsion généralisée" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Notion de moment conjugué ou impulsion généralisée"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Pour chaque particule il est possible de définir le moment conjugué (ou impulsion généralisée) de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {q}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {q}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a943a4624602d4869bdd52d5d54a83ba01db92e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.108ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {q}}_{i}}"></span> par la relation<sup id="cite_ref-15" class="reference"><a href="#cite_note-15"><span class="cite_crochet">[</span>f<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-16" class="reference"><a href="#cite_note-16"><span class="cite_crochet">[</span>g<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}_{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}_{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df24c3f174680204c3b58ed8efa25a3cce69525a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; margin-left: -0.089ex; width:9.599ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}_{i}}}}"></span></dd></dl> <p>Le symbole <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}_{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}_{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a0c2e1061fe3e98ec07d82dc428742c1ba028b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:4.286ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}_{i}}}}"></span> désignant l'opérateur gradient évalué par rapport aux composantes de la vitesse généralisée <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\vec {q}}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {q}}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d42f7ab8fc43eb015439d89517afd540c379bc78" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.132ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {q}}}_{i}}"></span> de la <i>i</i>-ème particule. </p><p>D'après les <a href="/wiki/%C3%89quations_de_Lagrange" title="Équations de Lagrange">équations de Lagrange</a>, qui s'écrivent avec les mêmes notations <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial {\vec {q}}_{i}}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial {\vec {q}}_{i}}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92328969a552f44836d56b06d1f1d1f0fe9c4191" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:22.687ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial {\vec {q}}_{i}}}=0}"></span> il vient aussitôt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\vec {p}}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\vec {q}}_{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {p}}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\vec {q}}_{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d03850e2a913c53ed15518aa93e70fcd07745e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; margin-left: -0.089ex; width:9.609ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {p}}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\vec {q}}_{i}}}}"></span>, et si la coordonnée <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {q}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {q}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a943a4624602d4869bdd52d5d54a83ba01db92e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.108ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {q}}_{i}}"></span> est cyclique, c'est-à-dire que le lagrangien <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}"></span> ne dépend pas de celle-ci, alors <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\vec {p}}}_{i}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {p}}}_{i}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24ac9d65b2b313ed4b93dc945607aa171e18ce03" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:6.509ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {p}}}_{i}=0}"></span> et donc le moment conjugué <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f7ed082c99f239319703553a9784a0d8809768" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:2.214ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}}"></span> est conservé<sup id="cite_ref-17" class="reference"><a href="#cite_note-17"><span class="cite_crochet">[</span>h<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Distinction_moment_conjugué_-_quantité_de_mouvement"><span id="Distinction_moment_conjugu.C3.A9_-_quantit.C3.A9_de_mouvement"></span>Distinction moment conjugué - quantité de mouvement</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Distinction moment conjugué - quantité de mouvement" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Distinction moment conjugué - quantité de mouvement"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La notion de <a href="/wiki/Moment_lin%C3%A9aire" title="Moment linéaire">moment linéaire</a> ne correspond pas en général à celle de la quantité de mouvement. </p><p>Par exemple, dans le cas du mouvement d'un seul point matériel dans un <a href="/wiki/Mouvement_%C3%A0_force_centrale" title="Mouvement à force centrale">potentiel central</a> <span class="texhtml"><i>V</i>(<i>r</i>)</span>, ne dépendant que de la distance <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> à une origine <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">O</span>, le mouvement est plan (2 degrés de liberté) et le Lagrangien du système peut s'écrire aisément en coordonnées cylindro-polaires sous la forme : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(r,\theta ,{\dot {r}},{\dot {\theta }})={\frac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})-V(r)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>θ</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(r,\theta ,{\dot {r}},{\dot {\theta }})={\frac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})-V(r)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff78d137b7882805baccf4000296dc84347895a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:37.412ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle L(r,\theta ,{\dot {r}},{\dot {\theta }})={\frac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})-V(r)}"></span>,</dd></dl> <p>et le moment conjugué de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> est donc <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4de726e96f0c60449069e77f0ddc1ec98a8b8aad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-left: -0.089ex; width:17.695ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}}"></span> qui est la valeur du <a href="/wiki/Moment_cin%C3%A9tique" title="Moment cinétique">moment cinétique</a> de la particule (qui dans ce cas est conservée car <i>L</i> ne dépend pas de <i>θ</i>). </p><p>Ce n'est que si les coordonnées généralisées coïncident avec les <a href="/wiki/Coordonn%C3%A9es_cart%C3%A9siennes" title="Coordonnées cartésiennes">coordonnées cartésiennes</a> (<i>i.e.</i> <span class="texhtml"><i>q<sub>i</sub></i> = (<i>x<sub>i</sub></i>, <i>y<sub>i</sub></i>, <i>z<sub>i</sub></i>)</span>) et en l'absence de <a href="/wiki/Champ_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique" title="Champ électromagnétique">champ électromagnétique</a> que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}=m_{i}\,{\vec {v}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}_{i}=m_{i}\,{\vec {v}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2234bde0ba27eca1f0bb8107d4b0aa932f4416" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:10.515ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}=m_{i}\,{\vec {v}}_{i}}"></span> et donc que le moment linéaire correspond à la quantité de mouvement de chaque particule. En effet dans ce cas les équations de Lagrange s'identifient avec celles données par la <a href="/wiki/Lois_du_mouvement_de_Newton" title="Lois du mouvement de Newton">relation fondamentale de dynamique</a> appliquée à chaque particule. </p><p>Si les coordonnées cartésiennes sont utilisées et que les particules, qui portent une charge <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">Q<sub>i</sub></span> sont en présence d'un champ électromagnétique, défini par les <a href="/wiki/Potentiel_%C3%A9lectrique" title="Potentiel électrique">potentiels scalaire</a> et <a href="/wiki/Potentiel_vecteur_du_champ_magn%C3%A9tique" title="Potentiel vecteur du champ magnétique">vecteur</a> du champ notés <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\phi ,{\vec {A}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\phi ,{\vec {A}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cd4e42228f50ef9540e1552989b4a59e27b16d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.972ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle (\phi ,{\vec {A}})}"></span>, le Lagrangien du système fait intervenir le potentiel généralisé :<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V({\vec {r}}_{i},{\dot {\vec {v}}}_{i},t)=\sum _{i}{(Q_{i}\,\phi -Q_{i}\,{\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {A}})}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>ϕ</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V({\vec {r}}_{i},{\dot {\vec {v}}}_{i},t)=\sum _{i}{(Q_{i}\,\phi -Q_{i}\,{\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {A}})}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec8aafc358b8e0cf682e683738a1dbca388cb42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:34.859ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle V({\vec {r}}_{i},{\dot {\vec {v}}}_{i},t)=\sum _{i}{(Q_{i}\,\phi -Q_{i}\,{\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {A}})}}"></span><sup id="cite_ref-18" class="reference"><a href="#cite_note-18"><span class="cite_crochet">[</span>10<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, et dans ce cas le <a href="/wiki/Moment_lin%C3%A9aire" title="Moment linéaire">moment linéaire</a> s'écrit du fait des équations de Lagrange </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}=m_{i}\,{\vec {v}}_{i}+Q_{i}\,{\vec {A}}={\vec {\pi }}_{i}+Q_{i}\,{\vec {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}_{i}=m_{i}\,{\vec {v}}_{i}+Q_{i}\,{\vec {A}}={\vec {\pi }}_{i}+Q_{i}\,{\vec {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58cd4951eb12608c6bbb4086cb4fd02e43571246" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:30.962ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}=m_{i}\,{\vec {v}}_{i}+Q_{i}\,{\vec {A}}={\vec {\pi }}_{i}+Q_{i}\,{\vec {A}}}"></span>, en notant <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\pi }}_{i}=m_{i}\,{\vec {v}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\pi }}_{i}=m_{i}\,{\vec {v}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1de1e194b9077e71a830ff0cab0df56152d3a3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.432ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\pi }}_{i}=m_{i}\,{\vec {v}}_{i}}"></span> la quantité de mouvement de la particule.</dd></dl> <p>Le moment conjugué <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f7ed082c99f239319703553a9784a0d8809768" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:2.214ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}_{i}}"></span> est alors dans ce cas désigné sous le nom d'<a href="/wiki/Impulsion_(physique)" class="mw-redirect" title="Impulsion (physique)">impulsion</a> pour le distinguer de la quantité de mouvement <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\pi }}_{i}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\pi }}_{i}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a391a01e7399d566a09f9786879c49117966d00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.519ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\pi }}_{i}\,}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Quantité_de_mouvement_et_invariance_par_translation_dans_l'espace"><span id="Quantit.C3.A9_de_mouvement_et_invariance_par_translation_dans_l.27espace"></span>Quantité de mouvement et invariance par translation dans l'espace</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Quantité de mouvement et invariance par translation dans l'espace" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Quantité de mouvement et invariance par translation dans l'espace"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Une translation infinitésimale du système dans l'espace est définie par la transformation <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}\;\to {\vec {r}}_{i}+\delta {\vec {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}_{i}\;\to {\vec {r}}_{i}+\delta {\vec {r}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1362266cf25d7940c822bcf51153c447f513a60" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.417ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}_{i}\;\to {\vec {r}}_{i}+\delta {\vec {r}}}"></span> appliquée à chaque particule, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta {\vec {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta {\vec {r}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84cd3eb3eb4aad07a02aa8cac855543956dda878" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.272ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta {\vec {r}}}"></span> étant le vecteur de translation élémentaire. Il est évident puisque <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\delta {\vec {r}}}}={\vec {0}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\delta {\vec {r}}}}={\vec {0}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea56cbb4f889909ed39307476400c5dc5d2b09e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.533ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\delta {\vec {r}}}}={\vec {0}}}"></span> que cette translation laisse inchangée les vecteurs vitesses <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c1e99e843fffeae2c302f24e96edb76b2cbf915" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.975ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{i}}"></span> des particules, qui coïncident avec les vitesses généralisées pour les coordonnées cartésiennes. </p><p>Si le Lagrangien du système est invariant par translation dans l'espace, alors nécessairement sa variation élémentaire <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta L\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mi>L</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta L\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152bdee60a87368ef0c159c164b409801a50e082" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.019ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta L\,}"></span> correspondante est nulle au premier ordre en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta {\vec {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta {\vec {r}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84cd3eb3eb4aad07a02aa8cac855543956dda878" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.272ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta {\vec {r}}}"></span>. </p><p>D'après les équations de Lagrange, et en opérant en coordonnées cartésiennes, cette condition s'écrit sous la forme : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\left({\frac {\partial L}{\partial {\vec {r}}_{i}}}\cdot \delta {\vec {r}}\right)}=\sum _{i}{\left[{\frac {\rm {d}}{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\vec {v}}_{i}}}\right)\cdot \delta {\vec {r}}\right]}={\frac {\rm {d}}{\mathrm {d} t}}\left(\sum _{i}m_{i}{\vec {v_{i}}}\right)\cdot \delta {\vec {r}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\left({\frac {\partial L}{\partial {\vec {r}}_{i}}}\cdot \delta {\vec {r}}\right)}=\sum _{i}{\left[{\frac {\rm {d}}{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\vec {v}}_{i}}}\right)\cdot \delta {\vec {r}}\right]}={\frac {\rm {d}}{\mathrm {d} t}}\left(\sum _{i}m_{i}{\vec {v_{i}}}\right)\cdot \delta {\vec {r}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111feadfe88599cf6dbb753947191e4babbda586" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:72.426ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \delta L=\sum _{i}{\left({\frac {\partial L}{\partial {\vec {r}}_{i}}}\cdot \delta {\vec {r}}\right)}=\sum _{i}{\left[{\frac {\rm {d}}{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\vec {v}}_{i}}}\right)\cdot \delta {\vec {r}}\right]}={\frac {\rm {d}}{\mathrm {d} t}}\left(\sum _{i}m_{i}{\vec {v_{i}}}\right)\cdot \delta {\vec {r}}=0}"></span>,</dd></dl> <p>or la translation élémentaire <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta {\vec {r}}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta {\vec {r}}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4f9d4fbbfb0b755b80c7ead9fcc86a42540b87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.659ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta {\vec {r}}\,}"></span> envisagée étant arbitraire, l'invariance par translation du Lagrangien implique que la quantité de mouvement totale du système <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\Pi }}=\sum _{i}m_{i}\,{\vec {v}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\Pi }}=\sum _{i}m_{i}\,{\vec {v}}_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a42b3d644ca66fffbd6533d1ca261d00862ed5a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:13.786ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\Pi }}=\sum _{i}m_{i}\,{\vec {v}}_{i}}"></span> est conservée<sup id="cite_ref-19" class="reference"><a href="#cite_note-19"><span class="cite_crochet">[</span>11<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Ainsi la quantité de mouvement apparaît naturellement en mécanique analytique comme la grandeur conservée associée à l'invariance par translation du Lagrangien (ou du Hamiltonien), c'est-à-dire à la propriété d'homogénéité de l'espace. Il s'agit d'un cas particulier du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Noether_(physique)" title="Théorème de Noether (physique)">théorème de Noether</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Formalisme_hamiltonien">Formalisme hamiltonien</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=15" title="Modifier la section : Formalisme hamiltonien" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=15" title="Modifier le code source de la section : Formalisme hamiltonien"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dans le <a href="/wiki/M%C3%A9canique_hamiltonienne" title="Mécanique hamiltonienne">formalisme hamiltonien</a> la description de l'état du système à <i>N</i> degrés de liberté se fait en termes des <i>N</i> coordonnées et impulsions généralisées <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">q<sub>i</sub></span> et <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p<sub>i</sub></span>, qui interviennent dans l'expression du Hamiltonien <span class="texhtml"><i>H</i>(<i>q</i>, <i>p</i>, <i>t</i>)</span> du système. </p><p>Il est possible d'introduire le <a href="/wiki/Crochet_de_Poisson" title="Crochet de Poisson">crochet de Poisson</a> de deux grandeurs arbitraires <span class="texhtml"><i>f</i>(<i>q</i>, <i>p</i>)</span> et <span class="texhtml"><i>g</i>(<i>q</i>, <i>p</i>)</span> fonction des coordonnées et impulsions généralisées, défini par : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i}{\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>g</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>g</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i}{\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edab534bcf22d527ab586e98dbbd0eec03cb224f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:35.084ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i}{\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)}}"></span>.</dd></dl> <p>Dans le cas particulier où <span class="texhtml"><i>f</i> = <i>q<sub>i</sub></i></span> et <span class="texhtml"><i>g</i> = <i>p<sub>i</sub></i></span> il vient <span class="texhtml">{<i>q<sub>i</sub></i>, <i>p<sub>i</sub></i>} = 1</span> : ce résultat permet de généraliser la notion de position et de quantité de mouvement en mécanique quantique, en permettant de définir par le principe de correspondance une relation de commutation canonique entre les deux opérateurs. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mécanique_des_fluides"><span id="M.C3.A9canique_des_fluides"></span>Mécanique des fluides</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=16" title="Modifier la section : Mécanique des fluides" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=16" title="Modifier le code source de la section : Mécanique des fluides"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Définition_en_mécanique_des_fluides"><span id="D.C3.A9finition_en_m.C3.A9canique_des_fluides"></span>Définition en mécanique des fluides</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=17" title="Modifier la section : Définition en mécanique des fluides" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=17" title="Modifier le code source de la section : Définition en mécanique des fluides"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div><p> Dans le cadre de la <a href="/wiki/Description_eul%C3%A9rienne" title="Description eulérienne">description eulérienne</a> des fluides, les équations sont généralement présentées sous forme locale (en un point). On s'affranchit alors de la notion de volume en définissant en tout point du fluide le vecteur quantité de mouvement par</p><blockquote><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho (M,t)\;{\vec {v}}(M,t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho (M,t)\;{\vec {v}}(M,t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e191936f419a255c55def6725e50aa628b5cb1ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.273ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \rho (M,t)\;{\vec {v}}(M,t)}"></span> </p></blockquote><p>avec <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ρ</span> la <a href="/wiki/Masse_volumique" title="Masse volumique">masse volumique</a> du fluide étudié au point <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">M</span> à l'instant <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}(M,t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}(M,t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9414c7a28f5e37e0f09ea189ed2791ef8141c0e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.3ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}(M,t)}"></span> la vitesse de la <a href="/wiki/Particule_fluide" title="Particule fluide">particule de fluide</a> se trouvant au point <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">M</span> à l'instant <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">t</span>. Si le fluide est incompressible, <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ρ</span> est constant dans le temps et dans l'espace. </p><div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorème_de_la_quantité_de_mouvement_pour_un_fluide"><span id="Th.C3.A9or.C3.A8me_de_la_quantit.C3.A9_de_mouvement_pour_un_fluide"></span>Théorème de la quantité de mouvement pour un fluide</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=18" title="Modifier la section : Théorème de la quantité de mouvement pour un fluide" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=18" title="Modifier le code source de la section : Théorème de la quantité de mouvement pour un fluide"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div><p> Le théorème de la quantité de mouvement pour un fluide s'écrit :</p><blockquote><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum {\vec {F}}_{\mathrm {(ext/fluide)} }=\iiint _{V}{\frac {\partial (\rho {\vec {v}})}{\partial t}}\,\mathrm {d} V+\iint _{S}(\rho {\vec {v}})\cdot ({\vec {v}}\cdot {\vec {n}})\,\mathrm {d} S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∑</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">x</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">f</mi> <mi mathvariant="normal">l</mi> <mi mathvariant="normal">u</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mo>∭</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ρ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>V</mi> <mo>+</mo> <msub> <mo>∬</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ρ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum {\vec {F}}_{\mathrm {(ext/fluide)} }=\iiint _{V}{\frac {\partial (\rho {\vec {v}})}{\partial t}}\,\mathrm {d} V+\iint _{S}(\rho {\vec {v}})\cdot ({\vec {v}}\cdot {\vec {n}})\,\mathrm {d} S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976c92aa0df2326495b5b22b63c19b5cbe18fe41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:54.411ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \sum {\vec {F}}_{\mathrm {(ext/fluide)} }=\iiint _{V}{\frac {\partial (\rho {\vec {v}})}{\partial t}}\,\mathrm {d} V+\iint _{S}(\rho {\vec {v}})\cdot ({\vec {v}}\cdot {\vec {n}})\,\mathrm {d} S}"></span></p></blockquote><p>À noter que les forces exercées par l'extérieur sur le fluide sont de deux types : les forces à distance (volumiques) et les forces au contact (surfaciques) :</p><blockquote><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum {\vec {F}}_{\mathrm {(ext/fluide)} }=\iiint _{V}{\vec {f}}\,\mathrm {d} V+\iint _{S}{\vec {\tau }}\,\mathrm {d} S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∑</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mi mathvariant="normal">x</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">f</mi> <mi mathvariant="normal">l</mi> <mi mathvariant="normal">u</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">d</mi> <mi mathvariant="normal">e</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mo>∭</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>V</mi> <mo>+</mo> <msub> <mo>∬</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>S</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>τ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum {\vec {F}}_{\mathrm {(ext/fluide)} }=\iiint _{V}{\vec {f}}\,\mathrm {d} V+\iint _{S}{\vec {\tau }}\,\mathrm {d} S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecdcf80e526397c85685960706bc67a12b7ab87d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:39.532ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \sum {\vec {F}}_{\mathrm {(ext/fluide)} }=\iiint _{V}{\vec {f}}\,\mathrm {d} V+\iint _{S}{\vec {\tau }}\,\mathrm {d} S}"></span></p></blockquote><p>Un exemple de force volumique est le poids et un exemple de force surfacique sont les forces de friction (on parle plutôt de <a href="/wiki/Viscosit%C3%A9" title="Viscosité">viscosité</a>). </p><div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mécanique_relativiste"><span id="M.C3.A9canique_relativiste"></span>Mécanique relativiste</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=19" title="Modifier la section : Mécanique relativiste" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=19" title="Modifier le code source de la section : Mécanique relativiste"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Quadri-moment" title="Quadri-moment">Quadri-moment</a>.</div></div> <p>Lorsqu'<a href="/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a> formula sa théorie de la <a href="/wiki/Relativit%C3%A9_restreinte" title="Relativité restreinte">relativité restreinte</a>, il adapta la définition de la quantité de mouvement en un vecteur en quatre dimensions (<a href="/wiki/Quadrivecteur" title="Quadrivecteur">quadrivecteur</a>) appelé le <a href="/wiki/Quadri-moment" title="Quadri-moment">quadri-moment</a>, égal à la <a href="/wiki/Quadrivitesse" title="Quadrivitesse">quadrivitesse</a> multipliée par la masse du corps. Le quadri-moment reste lui aussi constant au cours du temps en l'absence de force extérieure. </p><p>De plus, la norme du quadri-moment est invariante par changement de <a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rentiel_inertiel" class="mw-redirect" title="Référentiel inertiel">référentiel inertiel</a>. Plus précisément, la <a href="/wiki/Pseudo-norme" class="mw-redirect" title="Pseudo-norme">pseudo-norme</a> est invariante par les <a href="/wiki/Transformations_de_Lorentz" title="Transformations de Lorentz">transformations de Lorentz</a>, ce qui traduit l'invariance de la <a href="/wiki/Masse" title="Masse">masse</a> <i>m</i> du corps (et de son énergie <i>au repos</i> : <a href="/wiki/Mc%C2%B2" class="mw-redirect" title="Mc²">mc²</a>). Par contre, il y a changement des coordonnées du quadri-moment d'un référentiel à l'autre, et cela traduit le fait que la vitesse du corps et son <a href="/wiki/%C3%89nergie_cin%C3%A9tique" title="Énergie cinétique">énergie cinétique</a> sont différentes d'un référentiel à l'autre. </p><p>L'expression de la quadri-vitesse d'une particule de vitesse spatiale <i>v</i> inférieure à <i>c</i> est : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u^{\alpha }=(\gamma c,\gamma {\vec {v}}),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>γ</mi> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u^{\alpha }=(\gamma c,\gamma {\vec {v}}),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b247a69872bdc3df2614a63b010d97865a4de35" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.909ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u^{\alpha }=(\gamma c,\gamma {\vec {v}}),}"></span></dd></dl> <p>où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}"></span> représente le vecteur vitesse classique de la particule, et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abacf009fa4db767f015172584c8fc89e7725745" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:13.989ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}"></span> est un facteur appelé <i>gamma relativiste</i> ou <a href="/wiki/Facteur_de_Lorentz" title="Facteur de Lorentz">facteur de Lorentz</a>, <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">c</span> étant la <a href="/wiki/Vitesse_de_la_lumi%C3%A8re" title="Vitesse de la lumière">vitesse de la lumière</a>. Le carré de la norme de ce quadrivecteur est donné par <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u^{\alpha }\cdot u_{\alpha }=\gamma ^{2}(c^{2}-v^{2})=c^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u^{\alpha }\cdot u_{\alpha }=\gamma ^{2}(c^{2}-v^{2})=c^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f31d3d8c58b926ad1de327b76c46343d72a959" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.392ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle u^{\alpha }\cdot u_{\alpha }=\gamma ^{2}(c^{2}-v^{2})=c^{2}}"></span>. </p><p>Le quadrivecteur impulsion-énergie qui généralise en mécanique relativiste la notion de quantité de mouvement s'obtient en considérant <span class="texhtml"><i>p<sup>α</sup></i> = <i>μ<sup>α</sup></i></span> par analogie avec la définition classique, ce qui donne <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{\alpha }=(\gamma \,m\,c,\gamma \,m\,{\vec {v}})=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>γ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>m</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>m</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>E</mi> <mi>c</mi> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{\alpha }=(\gamma \,m\,c,\gamma \,m\,{\vec {v}})=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680de7d96f73ed971c4e21fde39b117bd61a7f5a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; margin-left: -0.089ex; width:30.311ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle p^{\alpha }=(\gamma \,m\,c,\gamma \,m\,{\vec {v}})=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)}"></span>, avec : </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=\gamma \,m\,c^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>m</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=\gamma \,m\,c^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3a1bd1a601a8ff97f48dfbb91d47916954902f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.012ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle E=\gamma \,m\,c^{2}}"></span>, énergie relativiste de la particule ;</li> <li>et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}=\gamma \,m\,{\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>m</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}=\gamma \,m\,{\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a657195cfc68ba59cc9afa4716ba4fcf23aa7f5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:9.765ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}=\gamma \,m\,{\vec {v}}}"></span>, quantité de mouvement relativiste de la particule et dont la norme classique est l'énergie cinétique.</li></ul> <p>Le carré de la norme de ce <a href="/wiki/Quadrivecteur" title="Quadrivecteur">quadrivecteur</a> est la grandeur qui reste invariante lors d'une transformation de Lorentz, et qui est nécessairement égale au carré de la norme de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">μ<sup>α</sup></span><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle mu^{\alpha }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <msup> <mi>u</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle mu^{\alpha }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f88c1a413680e7f0b61179ca9845ef5b8675de2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.654ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle mu^{\alpha }}"></span> soit <span class="texhtml"><i>m</i><sup>2</sup><i>c</i><sup>2</sup></span>, par suite </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E^{2}-c^{2}\mathbf {p} ^{2}=m^{2}c^{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E^{2}-c^{2}\mathbf {p} ^{2}=m^{2}c^{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7788420f6e32d3bbc3dece3d9c72c5c4c5467b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.543ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E^{2}-c^{2}\mathbf {p} ^{2}=m^{2}c^{4}}"></span></dd></dl> <p>L'<a href="/wiki/Invariance_de_Lorentz" title="Invariance de Lorentz">invariant relativiste</a> associé à ce quadrivecteur est donc l'<a href="/wiki/%C3%89nergie_de_masse" title="Énergie de masse">énergie de masse</a> de la particule (de même que la masse demeure inchangée en <a href="/wiki/M%C3%A9canique_newtonienne" title="Mécanique newtonienne">mécanique newtonienne</a> par changement de référentiel). </p><p>Les objets de masse nulle, tels que les <a href="/wiki/Photon" title="Photon">photons</a>, possèdent aussi un 4-moment où la pseudo-norme du quadrivecteur <span class="texhtml"><b>p</b></span> est nulle. On a dans ce cas : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {E} ^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">E</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {E} ^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf6c21986263d95ebcb7a56f3ba9cb1c1c581b69" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:22.452ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {E} ^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}=0}"></span> d'où <span class="texhtml"><i>p</i> = <i>E</i>/<i>c</i></span> pour la norme de la quantité de mouvement classique.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Impulsion_du_champ_électromagnétique"><span id="Impulsion_du_champ_.C3.A9lectromagn.C3.A9tique"></span>Impulsion du champ électromagnétique</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=20" title="Modifier la section : Impulsion du champ électromagnétique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=20" title="Modifier le code source de la section : Impulsion du champ électromagnétique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La notion de quantité de mouvement n'est pas limitée à un corps matériel, mais peut être étendue à un champ comme le champ électromagnétique, pour lequel elle porte plutôt le nom d'impulsion, pour éviter toute confusion. L'impulsion du <a href="/wiki/Champ_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique" title="Champ électromagnétique">champ électromagnétique</a> correspondant à un volume <i>V</i> est donnée par : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {P}}_{\rm {EM}}=\iiint _{V}{\varepsilon _{0}\left({\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)\,\mathrm {d} \tau }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">E</mi> <mi mathvariant="normal">M</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mo>∭</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>V</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>τ</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {P}}_{\rm {EM}}=\iiint _{V}{\varepsilon _{0}\left({\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)\,\mathrm {d} \tau }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7208ae154727e8feda8fc69f7cb021c96c747a21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:28.008ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {P}}_{\rm {EM}}=\iiint _{V}{\varepsilon _{0}\left({\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)\,\mathrm {d} \tau }}"></span>.</dd></dl> <p>La quantité <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {g}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {g}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95af29e77ebe6433a2962af431be95e3f0ca027" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.533ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {g}}=\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}"></span> correspond à la <i>densité d'impulsion électromagnétique</i>, c'est-à-dire à l'impulsion du champ électromagnétique par unité de volume. Elle est directement liée au <a href="/wiki/Vecteur_de_Poynting" title="Vecteur de Poynting">vecteur de Poynting</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {R}}={\frac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {R}}={\frac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18f5b0939cf4c1ef2094979f697b02dc6105ceb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:11.821ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {R}}={\frac {{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}}{\mu _{0}}}}"></span> puisque <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {g}}={\frac {\vec {R}}{c^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>R</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {g}}={\frac {\vec {R}}{c^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17100024ef1049f70068ba78ffaaf4f606d5c93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:7.17ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {g}}={\frac {\vec {R}}{c^{2}}}}"></span>. </p><p>Il est possible de montrer que cette quantité correspond bien à la densité d'impulsion liée au champ électromagnétique en considérant son interaction avec les charges et les courants présents dans un volume <i>V</i> arbitraire, délimité par la surface fermée <span class="texhtml">(<i>S</i>)</span><sup id="cite_ref-20" class="reference"><a href="#cite_note-20"><span class="cite_crochet">[</span>i<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : de par la conservation de l'impulsion du système global {charges + courants + champ e.m}, la variation des densités d'impulsions des charges et courants et du champ doit être égale au flux de densité d'impulsion à travers la surface <span class="texhtml">(<i>S</i>)</span>. </p><p>L'interaction entre le champ et les charges et les courants fait intervenir la densité de <a href="/wiki/Force_de_Lorentz" class="mw-redirect" title="Force de Lorentz">force de Lorentz</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}=\rho {\vec {E}}+{\vec {j}}\wedge {\vec {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>ρ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>j</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}=\rho {\vec {E}}+{\vec {j}}\wedge {\vec {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c65bcbe5bcd786cbba48583d69c143eeb5c336e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.022ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}=\rho {\vec {E}}+{\vec {j}}\wedge {\vec {B}}}"></span>, or d'après les <a href="/wiki/%C3%89quations_de_Maxwell" title="Équations de Maxwell">équations de Maxwell</a>, il vient : </p> <ul><li>pour la <a href="/wiki/Densit%C3%A9_de_charge" title="Densité de charge">densité de charge</a> : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho =\varepsilon _{0}\operatorname {div} {\vec {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>div</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho =\varepsilon _{0}\operatorname {div} {\vec {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61fe9a1813027ab30436b8628ebc43ad77845b57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.155ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \rho =\varepsilon _{0}\operatorname {div} {\vec {E}}}"></span> ;</li> <li>pour la <a href="/wiki/Densit%C3%A9_de_courant" title="Densité de courant">densité de courant</a> : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {j}}={\vec {\operatorname {rot} }}\left({\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>j</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>rot</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {j}}={\vec {\operatorname {rot} }}\left({\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b180ac5ba46c4eb97f62167b0955970bf5f7c2f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:23.44ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {j}}={\vec {\operatorname {rot} }}\left({\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}"></span>,</li></ul> <p>ce qui donne par substitution : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}=\left(\varepsilon _{0}\operatorname {div} {\vec {E}}\right){\vec {E}}+{\vec {\operatorname {rot} }}\left({\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}\right)\wedge {\vec {B}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\wedge {\vec {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>div</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>rot</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}=\left(\varepsilon _{0}\operatorname {div} {\vec {E}}\right){\vec {E}}+{\vec {\operatorname {rot} }}\left({\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}\right)\wedge {\vec {B}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\wedge {\vec {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7638e4b9e8c513eb45c338ed7e39dd7d2023cdbc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:48.337ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}=\left(\varepsilon _{0}\operatorname {div} {\vec {E}}\right){\vec {E}}+{\vec {\operatorname {rot} }}\left({\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}\right)\wedge {\vec {B}}-\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\wedge {\vec {B}}}"></span>,</dd></dl> <p>or d'après l'identité <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)=\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\wedge {\vec {B}}+\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)=\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\wedge {\vec {B}}+\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fddc099a862da5a4eb166d480b048b7be8afe12e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:41.184ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)=\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\wedge {\vec {B}}+\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}"></span>, il vient : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)=\left(\varepsilon _{0}\operatorname {div} {\vec {E}}\right){\vec {E}}+\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\wedge {\vec {B}}+{\vec {\operatorname {rot} }}\left({\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}\right)\wedge {\vec {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>div</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>rot</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)=\left(\varepsilon _{0}\operatorname {div} {\vec {E}}\right){\vec {E}}+\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\wedge {\vec {B}}+{\vec {\operatorname {rot} }}\left({\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}\right)\wedge {\vec {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e66b3c1c5a7a9bcc593bdf5165bb042ccf8566c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:65.593ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)=\left(\varepsilon _{0}\operatorname {div} {\vec {E}}\right){\vec {E}}+\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\wedge {\vec {B}}+{\vec {\operatorname {rot} }}\left({\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}\right)\wedge {\vec {B}}}"></span>,</dd></dl> <p>le terme de droite pouvant être rendu plus symétrique en utilisant les deux équations de Maxwell donnant la structure du champ : </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\operatorname {rot} }}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>rot</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\operatorname {rot} }}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec0d8e8c50ff88b7848bf9e585acc07ca910264" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.579ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\operatorname {rot} }}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}"></span> ;</li> <li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>div</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f840c4ea9423c4057e5001d6e2eb990f66ec54d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.579ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}=0}"></span>,</li></ul> <p>ce qui donne finalement : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)=\left(\left(\varepsilon _{0}\operatorname {div} {\vec {E}}\right){\vec {E}}-\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {\operatorname {rot} }}{\vec {E}}\right)+\left((\operatorname {div} {\vec {B}}){\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}-{\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}\wedge {\vec {\operatorname {rot} }}{\vec {B}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mi>div</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>rot</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>div</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>rot</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)=\left(\left(\varepsilon _{0}\operatorname {div} {\vec {E}}\right){\vec {E}}-\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {\operatorname {rot} }}{\vec {E}}\right)+\left((\operatorname {div} {\vec {B}}){\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}-{\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}\wedge {\vec {\operatorname {rot} }}{\vec {B}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9cd42adaaa253633f5c3cdc440e692ea0c22a95" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:82.078ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)=\left(\left(\varepsilon _{0}\operatorname {div} {\vec {E}}\right){\vec {E}}-\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {\operatorname {rot} }}{\vec {E}}\right)+\left((\operatorname {div} {\vec {B}}){\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}-{\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}\wedge {\vec {\operatorname {rot} }}{\vec {B}}\right)}"></span>,</dd></dl> <p>le terme de droite peut alors se mettre sous la forme de la divergence du <a href="/wiki/Tenseur_des_contraintes_de_Maxwell" title="Tenseur des contraintes de Maxwell">tenseur des contraintes de Maxwell</a> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left({\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}\right)\delta _{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>B</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left({\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}\right)\delta _{ij}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cefb5664b6514f02ea99171dafb7dcfad005e255" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:50.031ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left({\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}\right)\delta _{ij}}"></span>,</dd></dl> <p>soit finalement : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)=\nabla \cdot \mathbf {\sigma } }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>σ</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)=\nabla \cdot \mathbf {\sigma } }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408ab670bf314bbadd2e7ce680b3d7b67949f907" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:26.965ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)=\nabla \cdot \mathbf {\sigma } }"></span>,</dd></dl> <p>cette dernière équation apparaît bien sous la forme d'une équation locale de bilan, le terme de gauche donnant la variation temporelle de la densité locale d'impulsion du système des charges et courants (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {f}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {f}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c36da6dad4ad8949b0f84bbaf0b5cb6d811fe5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.665ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {f}}}"></span>) et du champ (terme en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {g}}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∧</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {g}}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3000894d33579e6a4c8d64fb7466bcd443fffc77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.843ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {g}}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {E}}\wedge {\vec {B}}\right)}"></span>), le terme de droite correspondant aux échanges avec le reste. Ainsi, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {g}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {g}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aad928c73fda5199478a151663f0ce3a57a8027" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.174ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {g}}}"></span> peut être assimilée à la densité d'impulsion du champ électromagnétique. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mécanique_quantique"><span id="M.C3.A9canique_quantique"></span>Mécanique quantique</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=21" title="Modifier la section : Mécanique quantique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=21" title="Modifier le code source de la section : Mécanique quantique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En <a href="/wiki/M%C3%A9canique_quantique" title="Mécanique quantique">mécanique quantique</a>, l'état d'un système à un instant <i>t</i> est décrit par un <a href="/wiki/%C3%89tat_quantique" title="État quantique">vecteur d'état</a> noté <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\Psi (t)\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">Ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\Psi (t)\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa59620f689d5702f96dc423287b1f6f7c6e78b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.009ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\Psi (t)\rangle }"></span> appartenant à l'espace des états <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}"></span> du système (celui-ci possède une structure d'<a href="/wiki/Espace_de_Hilbert" title="Espace de Hilbert">espace de Hilbert</a>). Les différentes <a href="/wiki/Grandeur_physique" title="Grandeur physique">grandeurs physiques</a> usuelles (position, énergie, etc.) sont alors des <a href="/wiki/Op%C3%A9rateur_hermitique" class="mw-redirect" title="Opérateur hermitique">opérateurs hermitiens</a>, donc à valeurs propres réelles, appelé <i>observables</i>. </p><p>La notion d'<i>impulsion</i> — qui est souvent confondue avec la quantité de mouvement — d'une particule, correspond à un opérateur, un ensemble de trois opérateurs correspondant chacun aux trois composantes d'espaces, dits opérateurs scalaires, qu'il est possible de regrouper, par analogie avec le cas classique en un opérateur dit <i>vectoriel</i>, dit opérateur impulsion, noté <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {p} }}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {p} }}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ab5ccf340584f4b3486d61229e4bb1e16a98a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.485ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {p} }}}}"></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Opérateurs_position_et_impulsion_-_relations_de_commutation_canoniques"><span id="Op.C3.A9rateurs_position_et_impulsion_-_relations_de_commutation_canoniques"></span>Opérateurs position et impulsion - relations de commutation canoniques</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=22" title="Modifier la section : Opérateurs position et impulsion - relations de commutation canoniques" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=22" title="Modifier le code source de la section : Opérateurs position et impulsion - relations de commutation canoniques"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Par définition, l'<a href="/wiki/Op%C3%A9rateur_de_position" title="Opérateur de position">opérateur de position</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {r} }}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {r} }}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97df87d28ad3f34bec4fd339f5dc5fe2b0032768" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {r} }}}}"></span> et l'opérateur impulsion <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {p} }}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {p} }}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ab5ccf340584f4b3486d61229e4bb1e16a98a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.485ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {p} }}}}"></span> sont des opérateurs vectoriels, dont les trois opérateurs scalaires agissant sur les différentes composantes <span class="texhtml"><i>j</i>=<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i></span> correspondent aux diverses directions d'espace et obéissent aux relations de commutation canoniques suivantes : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{cases}\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{j},{\hat {\mathbf {p} }}_{k}\right]=i\hbar \delta _{jk}{\hat {1}}\\\left[{\hat {\mathbf {p} }}_{j},{\hat {\mathbf {p} }}_{k}\right]=\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{j},{\hat {\mathbf {x} }}_{k}\right]=0\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msub> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{cases}\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{j},{\hat {\mathbf {p} }}_{k}\right]=i\hbar \delta _{jk}{\hat {1}}\\\left[{\hat {\mathbf {p} }}_{j},{\hat {\mathbf {p} }}_{k}\right]=\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{j},{\hat {\mathbf {x} }}_{k}\right]=0\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677910ac652d44dc13b3ae9529515d9a7d583c4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:24.944ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{cases}\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{j},{\hat {\mathbf {p} }}_{k}\right]=i\hbar \delta _{jk}{\hat {1}}\\\left[{\hat {\mathbf {p} }}_{j},{\hat {\mathbf {p} }}_{k}\right]=\left[{\hat {\mathbf {x} }}_{j},{\hat {\mathbf {x} }}_{k}\right]=0\end{cases}}}"></span></dd></dl> <p>La première relation de commutation se déduit formellement par analogie avec le crochet de Poisson <span class="texhtml">{<i>q<sub>j</sub></i>, <i>p<sub>k</sub></i>} = <i>δ<sub>jk</sub></i></span> entre coordonnées et impulsions généralisées en mécanique hamiltonienne, en appliquant la prescription (principe de correspondance): <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [{\hat {x}}_{j},{\hat {p}}_{k}]\quad \leftrightarrow \quad i\hbar \{x_{j},p_{k}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">]</mo> <mspace width="1em" /> <mo stretchy="false">↔</mo> <mspace width="1em" /> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [{\hat {x}}_{j},{\hat {p}}_{k}]\quad \leftrightarrow \quad i\hbar \{x_{j},p_{k}\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d240a9dae4927bcaac056a6eeb2b9f4b523830d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:25.24ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle [{\hat {x}}_{j},{\hat {p}}_{k}]\quad \leftrightarrow \quad i\hbar \{x_{j},p_{k}\}}"></span>. </p><p>La non-commutativité entre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a5451354f837d5d89774e1de386b44a903d929d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.411ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{\mathbf {x} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{\mathbf {x} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571db6b1af2a97469d273395f925ce4d64e53729" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.715ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{\mathbf {x} }}"></span> (<i>idem</i> pour les autres composantes) implique <i>qu'il n'est pas possible de mesurer simultanément la position et la quantité de mouvement (et donc la vitesse) d'une particule</i>. Il existe donc des inégalités, dites de <a href="/wiki/Principe_d%27incertitude" title="Principe d'incertitude">Heisenberg</a>, sur les écart-types moyens notés <span class="texhtml">Δ<i>x</i></span> et <span class="texhtml">Δ <i>p<sub>x</sub></i></span> de la mesure de chacune des deux grandeurs<sup id="cite_ref-21" class="reference"><a href="#cite_note-21"><span class="cite_crochet">[</span>j<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta x\,\Delta p_{x}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>⩾</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x\,\Delta p_{x}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c88c71d268fdb258b365ced6a7c960c4764dd6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.171ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \Delta x\,\Delta p_{x}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}"></span>. </p><p>La conséquence de ces relations est que la notion de trajectoire n'existe pas pour une particule quantique. </p><p>De façon heuristique, cette situation peut aisément se comprendre. En effet si l'on cherche à localiser avec précision une particule, il faut utiliser une onde de courte longueur d'onde, donc de grande énergie. Or cette énergie va être nécessairement transmise, en tout ou en partie à la particule, modifiant de façon appréciable sa quantité de mouvement. Il sera possible d'utiliser une onde de plus grande longueur d'onde, mais alors l'incertitude sur la mesure de la position augmentera. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Expression_en_représentation_position"><span id="Expression_en_repr.C3.A9sentation_position"></span>Expression en représentation position</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=23" title="Modifier la section : Expression en représentation position" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=23" title="Modifier le code source de la section : Expression en représentation position"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En représentation position, où l'état du système peut être décrit par sa <a href="/wiki/Fonction_d%27onde" title="Fonction d'onde">fonction d'onde</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi \left({\vec {r}},t\right)=\langle {\vec {r}}|\Psi (t)\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">Ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi \left({\vec {r}},t\right)=\langle {\vec {r}}|\Psi (t)\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab712d47ddd782f3ee6590e0e4cea72d98f4155b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.041ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi \left({\vec {r}},t\right)=\langle {\vec {r}}|\Psi (t)\rangle }"></span>, l'opérateur position pour une composante <i>x</i> donnée correspond simplement à la multiplication de la fonction d'onde par celle-ci : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\psi =x\cdot \psi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo>⋅</mo> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\psi =x\cdot \psi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc170f8be8d98d431a82e437236d1974d0ad96a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.545ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\psi =x\cdot \psi }"></span>,</dd></dl> <p>il est alors facile de vérifier que du fait de la relation de commutation canonique entre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d95a7845e4e16ffb7e18ab37a208d0ab18e0e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {x}}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {p}}_{x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {p}}_{x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802470ea86824ab42de1570e308f69f2b8b6959e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:2.621ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {p}}_{x}}"></span> la quantité de mouvement dans la direction <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>, pour une particule sans charge électrique et sans spin, est donné par l'opérateur : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ff8fd2c66af07388572b06a677da238bfc6c1bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.157ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}"></span>,</dd></dl> <p>l'opérateur vectoriel de quantité de mouvement <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {p} }}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {p} }}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ab5ccf340584f4b3486d61229e4bb1e16a98a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.485ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {p} }}}}"></span> s'écrit ainsi sous forme intrinsèque : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {p} }}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {p} }}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56aad8fdbab4c828bbdec38c9e78c97f5a998ead" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.437ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {p} }}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}"></span>.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Expression_en_représentation_impulsion"><span id="Expression_en_repr.C3.A9sentation_impulsion"></span>Expression en représentation impulsion</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=24" title="Modifier la section : Expression en représentation impulsion" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=24" title="Modifier le code source de la section : Expression en représentation impulsion"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En représentation impulsion l'état du système est décrit par la fonction d'onde « en impulsion » <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi \left({\vec {p}},t\right)=\langle {\vec {p}}|\Psi (t)\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">Ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi \left({\vec {p}},t\right)=\langle {\vec {p}}|\Psi (t)\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982b5a01c25b67246cf3ce08d6080619b07a6b4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.245ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi \left({\vec {p}},t\right)=\langle {\vec {p}}|\Psi (t)\rangle }"></span>, l'opérateur impulsion pour une composante <i>x</i> donnée correspond simplement à la multiplication de la fonction d'onde par celui-ci: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{\mathbf {x} }\psi =p_{x}\cdot \psi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mi>ψ</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{\mathbf {x} }\psi =p_{x}\cdot \psi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03379fc7e18965eaa653c1c75973d510d95436de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.861ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{\mathbf {x} }\psi =p_{x}\cdot \psi }"></span>,</dd></dl> <p>il est alors facile de vérifier que du fait de la relation de commutation canonique entre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a5451354f837d5d89774e1de386b44a903d929d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.411ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{\mathbf {x} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{\mathbf {x} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571db6b1af2a97469d273395f925ce4d64e53729" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.715ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{\mathbf {x} }}"></span> l'expression de l'opérateur position <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a5451354f837d5d89774e1de386b44a903d929d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.411ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}"></span>, pour une particule sans charge électrique et sans spin, est donné par: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">x</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8bda720d1c1f18d4f1cc4557c5880e6d61e92ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:11.114ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{x}}}}"></span>,</dd></dl> <p>l'opérateur vectoriel de position <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {r} }}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {r} }}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97df87d28ad3f34bec4fd339f5dc5fe2b0032768" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {r} }}}}"></span> s'écrit ainsi dans cette représentation sous forme intrinsèque : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {r} }}}=i\hbar {\vec {\nabla }}_{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∇</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {r} }}}=i\hbar {\vec {\nabla }}_{p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d4acb17758f52917e37074fe3ff7196be50d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.365ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {r} }}}=i\hbar {\vec {\nabla }}_{p}}"></span>.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="États_propres_et_conservation_de_l'impulsion"><span id=".C3.89tats_propres_et_conservation_de_l.27impulsion"></span>États propres et conservation de l'impulsion</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=25" title="Modifier la section : États propres et conservation de l'impulsion" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=25" title="Modifier le code source de la section : États propres et conservation de l'impulsion"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les états propres de l'opérateur quantité de mouvement, c'est-à-dire les états pour lequel la quantité de mouvement de la particule a une valeur déterminée, sont donnés en représentation position à une dimension selon <i>x</i> par l'équation aux valeurs propres : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}\psi _{px}=p_{x}\psi _{px}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}\psi _{px}=p_{x}\psi _{px}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde593533fea0eb575d6209772e79e1c84bdfb93" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.123ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{x}\psi _{px}=p_{x}\psi _{px}}"></span> soit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\mathrm {i} \,\hbar {\frac {\partial \psi _{px}}{\partial x}}=p_{x}\psi _{px}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\mathrm {i} \,\hbar {\frac {\partial \psi _{px}}{\partial x}}=p_{x}\psi _{px}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82784ddbcf029ed3343f1d3ecb38ba185e86b8be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:18.768ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle -\mathrm {i} \,\hbar {\frac {\partial \psi _{px}}{\partial x}}=p_{x}\psi _{px}}"></span>, il vient aussitôt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi _{px}(x)=C\exp \left(\mathrm {i} \,{\frac {p_{x}x}{\hbar }}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mi>x</mi> </mrow> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi _{px}(x)=C\exp \left(\mathrm {i} \,{\frac {p_{x}x}{\hbar }}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aec0e3bab7403b0d6df578b5dade7a0fa4eab97" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:23.773ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \psi _{px}(x)=C\exp \left(\mathrm {i} \,{\frac {p_{x}x}{\hbar }}\right)}"></span>.</dd></dl> <p>La valeur de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p<sub>x</sub></span> n'est pas quantifiée <i>a priori</i>, sauf si des conditions particulières sont imposées à la particule, par exemple si elle confinée dans une <a href="/wiki/Particule_dans_une_bo%C3%AEte" title="Particule dans une boîte">boîte</a>. </p><p>Ce résultat se généralise aussitôt à trois dimensions sous la forme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi _{p}({\vec {r}})=C\exp {\left(\mathrm {i} \,{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}{\hbar }}\right)}=C\exp {\left(\mathrm {i} \,{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\right)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi _{p}({\vec {r}})=C\exp {\left(\mathrm {i} \,{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}{\hbar }}\right)}=C\exp {\left(\mathrm {i} \,{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\right)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596a51ced6aa3a69e75f9fcbce0f8d0d87c76e87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:41.429ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \psi _{p}({\vec {r}})=C\exp {\left(\mathrm {i} \,{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}{\hbar }}\right)}=C\exp {\left(\mathrm {i} \,{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\right)}}"></span>, où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {k}}={\frac {\vec {p}}{\hbar }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {k}}={\frac {\vec {p}}{\hbar }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/495ff94a81037a3413b6b8571217311aa03f36bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:6.471ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {k}}={\frac {\vec {p}}{\hbar }}}"></span> est le <a href="/wiki/Vecteur_d%27onde" title="Vecteur d'onde">vecteur d'onde</a> de la particule. Ces états ne sont pas normalisables au sens usuel (ce ne sont pas des fonctions de <a href="/wiki/Carr%C3%A9_sommable" title="Carré sommable">carré sommable</a>), mais il est possible de les normaliser « au sens des distributions » : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int {\psi _{p'}({\vec {r}})\psi _{p}({\vec {r}})d^{3}{\vec {r}}}=\delta \left({\vec {p}}\ '-{\vec {p}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>p</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi>δ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <msup> <mtext> </mtext> <mo>′</mo> </msup> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int {\psi _{p'}({\vec {r}})\psi _{p}({\vec {r}})d^{3}{\vec {r}}}=\delta \left({\vec {p}}\ '-{\vec {p}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7558c230441852c21fb4d3625f1af2168ad798d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:30.917ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int {\psi _{p'}({\vec {r}})\psi _{p}({\vec {r}})d^{3}{\vec {r}}}=\delta \left({\vec {p}}\ '-{\vec {p}}\right)}"></span>.</dd></dl> <p>Avec cette condition de normalisation il est possible de montrer que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C={\frac {1}{\left(2\pi \hbar \right)^{3/2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C={\frac {1}{\left(2\pi \hbar \right)^{3/2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07dab3b314738f3a30ecdf077adcec6cd73a5d3f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:14.009ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle C={\frac {1}{\left(2\pi \hbar \right)^{3/2}}}}"></span>, en prenant pour convention de phase <i>C</i> réel<sup id="cite_ref-22" class="reference"><a href="#cite_note-22"><span class="cite_crochet">[</span>12<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> et les états propres normalisés de l'opérateur impulsion s'écrivent ainsi en représentation position: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi _{p}({\vec {r}})={\frac {1}{\left(2\pi \hbar \right)^{3/2}}}\exp {\left(\mathrm {i} \,{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}{\hbar }}\right)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ψ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi _{p}({\vec {r}})={\frac {1}{\left(2\pi \hbar \right)^{3/2}}}\exp {\left(\mathrm {i} \,{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}{\hbar }}\right)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ee03fcfd32e5bf8eef933da40aeb31e61f0474" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:31.693ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \psi _{p}({\vec {r}})={\frac {1}{\left(2\pi \hbar \right)^{3/2}}}\exp {\left(\mathrm {i} \,{\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}{\hbar }}\right)}}"></span>.</dd></dl> <p>Pour un système stationnaire, l'opérateur hamiltonien du système s'exprime en fonction de l'opérateur quantité de mouvement : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {H} }}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">H</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {H} }}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77d7c10b5461646ef886ca2ccc818e1e1594fbb2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.889ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {H} }}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})}"></span> (particule sans spin en l'absence de champ magnétique). En général du fait de la non-commutation entre opérateur impulsion et position, les états propres de l'impulsion ne sont pas états propres du hamiltonien. </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:InfiniteSquareWellAnimation.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/InfiniteSquareWellAnimation.gif/260px-InfiniteSquareWellAnimation.gif" decoding="async" width="260" height="243" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8f/InfiniteSquareWellAnimation.gif 1.5x" data-file-width="300" data-file-height="280" /></a><figcaption>Quelques états d'une particule libre dans une « boîte » unidimensionnelle : (A) correspond au mouvement classique, (B,C,D) correspondent à des états propres d'énergie croissante, (en bleu, partie réelle de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ψ</span>, en rouge la partie imaginaire), (E,F) correspondent à des états quelconques, superposition d'états propres.</figcaption></figure> <p>Toutefois, dans le cas d'une particule libre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V({\vec {r}})=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V({\vec {r}})=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7867af3b038d5c5874e44972f671b463397189f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.081ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V({\vec {r}})=0}"></span> dans tout l'espace, et les états propres du hamiltonien sont ceux de l'impulsion, car alors <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {p} }}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {p} }}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ab5ccf340584f4b3486d61229e4bb1e16a98a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.485ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {p} }}}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {H} }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">H</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {H} }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c233092eecc78504d760f5d6d04cf63d86ce6e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.091ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {H} }}}"></span> commutent entre eux. Les états propres d'énergie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc24e4118b45b4b6df9f9290a91fc98689bbc59" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.489ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}"></span> ne sont donc pas quantifiés, et sont qualifiés de <i>continus</i>. Ils correspondent chacun à une valeur donnée de l'impulsion<sup id="cite_ref-23" class="reference"><a href="#cite_note-23"><span class="cite_crochet">[</span>k<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Cette situation correspond en mécanique quantique à la conservation de la quantité de mouvement classique. </p><p>La fonction d'onde « complète » d'un tel système, c'est-à-dire la solution de l'<a href="/wiki/%C3%89quation_de_Schr%C3%B6dinger" title="Équation de Schrödinger">équation de Schrödinger</a> dépendant du temps, est alors donnée par <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Psi ({\vec {r}},t)=C\exp \left(\pm \mathrm {i} \,{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\mathrm {i} \,\omega t\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>±</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>ω</mi> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Psi ({\vec {r}},t)=C\exp \left(\pm \mathrm {i} \,{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\mathrm {i} \,\omega t\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd2d00752e7c61aecd75241f79c57093a7818f47" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.409ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \Psi ({\vec {r}},t)=C\exp \left(\pm \mathrm {i} \,{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\mathrm {i} \,\omega t\right)}"></span><sup id="cite_ref-24" class="reference"><a href="#cite_note-24"><span class="cite_crochet">[</span>l<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, avec <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega =E/\hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega =E/\hbar }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c823e0253ebe199d843801bfdd66958c1331a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.789ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega =E/\hbar }"></span>, fréquence associée à l'énergie <i>E</i>. <i>Les états propres ont donc la forme d'<b>ondes progressives</b></i>, traduisant sur le plan quantique le déplacement classique de la particule selon la direction de l'impulsion. </p><p>Le caractère continu de ces états propres de l'impulsion disparaît si la particule n'est plus strictement <i>libre</i>, mais <i>confinée</i> dans une région donnée de l'espace (« barrière de potentiel infinie »). Du point de vue mathématique cela revient à imposer des conditions aux limites à la fonction d'onde, qui devra s'annuler sur la « frontière » de la « boîte » dans laquelle est confinée la particule, puisque celle-ci a une probabilité de présence nulle en dehors de cette région. Ces conditions aux limites se traduisent physiquement par une quantification de l'énergie et donc de l'impulsion (cf. pour plus de détails l'article <b><a href="/wiki/Particule_dans_une_bo%C3%AEte" title="Particule dans une boîte">Particule dans une boîte</a></b>). Les états propres correspondants se mettront sous la forme d'une somme des états propres libres, et correspondront à des <b>ondes stationnaires</b>, traduisant sur le plan quantique le confinement de la particule, cf. figure ci-contre. </p> <div class="clear" style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=26" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=26" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notes">Notes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=27" title="Modifier la section : Notes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=27" title="Modifier le code source de la section : Notes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small lower-alpha" style=""><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text">Ainsi pour une particule libre de masse <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">m</span> en coordonnées sphériques, le lagrangien <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">L</span> est donné par <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L(r,\theta ,\phi )={\tfrac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2})\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>L</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>θ</mi> <mo>,</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mi>m</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ϕ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L(r,\theta ,\phi )={\tfrac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2})\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68160587072d82f3197fd29cd3d74f44cf7de1ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:41.202ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle L(r,\theta ,\phi )={\tfrac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2})\right)}"></span>, et les moments conjugués sont donc <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{r}=m{\dot {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{r}=m{\dot {r}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864580061f624a63a9e6651cfb1f7e4f9f2b89f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:8.663ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p_{r}=m{\dot {r}}}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{\theta }=mr^{2}{\dot {\theta }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>θ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{\theta }=mr^{2}{\dot {\theta }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27f09fb8030316366f2fe891a25af820be5a9f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:10.86ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle p_{\theta }=mr^{2}{\dot {\theta }}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{\phi }=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>ϕ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>sin</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>ϕ</mi> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{\phi }=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb971a1adf3f316b65ff66f353529ac59a700bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:16.954ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle p_{\phi }=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}}"></span>. Seul <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p<sub>r</sub></span>, qui est le moment conjugué d'une variable linéaire, coïncide avec une quantité de mouvement (ici composante radiale), les deux autres moments conjugués de variables <i>angulaires</i> coïncident eux avec les deux composantes du <a href="/wiki/Moment_cin%C3%A9tique_(m%C3%A9canique_classique)" class="mw-redirect" title="Moment cinétique (mécanique classique)">moment cinétique</a> de la particule, appelé parfois aussi pour cette raison moment <i>angulaire</i>.</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-9">↑</a> </span><span class="reference-text">Pour un <a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rentiel_non_inertiel" title="Référentiel non inertiel">référentiel non galiléen</a>, il faut considérer en plus des forces « réelles » agissant sur le point matériel, c'est-à-dire des forces liées à l'action d'un autre corps matériel sur le système, des forces dite d'<a href="/wiki/Force_d%27inertie" title="Force d'inertie">inertie</a> ou de repère, liées uniquement à son caractère non-inertiel, cf. notamment Perez, <i>op. cit.</i>.</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-10">↑</a> </span><span class="reference-text">La démonstration de ce résultat fait intervenir la loi de l'action et de la réaction ou <a href="/wiki/Troisi%C3%A8me_loi_de_Newton" class="mw-redirect" title="Troisième loi de Newton">troisième loi de Newton</a>, cf. Perez, <i>op. cit.</i></span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-11">↑</a> </span><span class="reference-text">Là encore, pour un référentiel non galiléen, il faut tenir compte de l'action des forces d'inertie.</span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-12">↑</a> </span><span class="reference-text">Ce résultat est valable pour tous les systèmes matériels, et pas seulement pour les <a href="/wiki/Mod%C3%A8le_du_solide_(m%C3%A9canique)" title="Modèle du solide (mécanique)">solides</a>.</span> </li> <li id="cite_note-15"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-15">↑</a> </span><span class="reference-text">Cette notion permet de passer au <a href="/wiki/M%C3%A9canique_hamiltonienne" title="Mécanique hamiltonienne">formalisme hamiltonien</a> par <a href="/wiki/Transformation_de_Legendre" title="Transformation de Legendre">transformation de Legendre</a> sur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\vec {q_{i}}}}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> <mo>˙</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {q_{i}}}}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33818ae86acf7bd1ea8f2eaf1ff7c870343a6b4d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.711ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {q_{i}}}}\,}"></span>.</span> </li> <li id="cite_note-16"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-16">↑</a> </span><span class="reference-text">La grandeur définie par <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {Q}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\vec {q}}_{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {Q}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\vec {q}}_{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d548c87ecd40978887a6374d2cc5fe12b62173" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:9.999ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {Q}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\vec {q}}_{i}}}}"></span> est appelée parfois « force généralisée ». Elle ne correspond <i>pas</i> en général à la notion de force en mécanique de Newton, sauf en coordonnées cartésiennes.</span> </li> <li id="cite_note-17"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-17">↑</a> </span><span class="reference-text">Si seule la composante <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q_{i,\alpha }\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>q</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q_{i,\alpha }\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f516bd7918b9cb906532047c3bb2a34f0e4a6ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.733ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle q_{i,\alpha }\,}"></span> de cette coordonnée généralisée est cyclique, seule la composante correspondante <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{_{i},\alpha }\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{_{i},\alpha }\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/851e929efa6738ade7dcba03c1492e470950f5ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:4.012ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle p_{_{i},\alpha }\,}"></span> du moment se conservera. Voir exemple ci-après.</span> </li> <li id="cite_note-20"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-20">↑</a> </span><span class="reference-text">Le volume <span class="texhtml">(<i>V</i>)</span> est considéré comme <a href="/wiki/Connexit%C3%A9_simple" title="Connexité simple">simplement connexe</a>.</span> </li> <li id="cite_note-21"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-21">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="need_ref" title="Ce passage nécessite une référence (demandé le 17 avril 2022)." style="cursor:help;">Les relations d'incertitude d'Heisenberg sont la conséquence mathématique du fait que position et impulsion sont, à un facteur constant près, les transformées de Fourier l'une de l'autre : quelle que soit la fonction <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f()}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f()}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f84c8936485d2cb165b5c30c51f1c72eee1254f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.088ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f()}"></span> de transformée <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F()}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F()}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33885a29ade4b020d90e14f9b7ab095bc678b7d7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.55ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F()}"></span>, on a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta f()\,\Delta F()\geqslant {\frac {1}{4}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⩾</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>4</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta f()\,\Delta F()\geqslant {\frac {1}{4}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf75859114494ded71d63a57031e9e25b57210a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.994ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta f()\,\Delta F()\geqslant {\frac {1}{4}}}"></span>.</span><sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><a href="/wiki/Aide:R%C3%A9f%C3%A9rence_n%C3%A9cessaire" title="Aide:Référence nécessaire">[réf. nécessaire]</a></sup></span> </li> <li id="cite_note-23"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-23">↑</a> </span><span class="reference-text">Il existe une description alternative, en écrivant l'équation de Schrödinger en coordonnées sphérique et en tenant compte de la séparation radiale-angulaire du fait du caractère « central » de l'absence de potentiel. Dans ce cas les différents états propres sont de la forme <span class="texhtml">ψ<sup><i>n</i>, <i>l</i>, <i>m</i></sup>(<i>r</i>, <i>θ</i>, <i>ϕ</i>) = <i>R</i><sup><i>n</i>, <i>l</i></sup>(<i>r</i>) <i>Y<sub>lm</sub></i>(<i>θ</i>, <i>ϕ</i>)</span> où <span class="texhtml"><i>Y<sub>lm</sub></i>(<i>θ</i>, <i>ϕ</i>)</span> sont les <a href="/wiki/Harmoniques_sph%C3%A9riques" class="mw-redirect" title="Harmoniques sphériques">harmoniques sphériques</a> et <span class="texhtml"><i>R<sup>nl</sup></i>(<i>r</i>)</span> est la fonction radiale dont l'expression fait intervenir les <a href="/wiki/Fonction_de_Bessel_sph%C3%A9rique" title="Fonction de Bessel sphérique">fonctions de Bessel sphériques</a>. Ces états propres correspondent alors à des valeurs déterminées — et nécessairement quantifiées — du moment cinétique. Il est possible, dans la mesure où ces états à symétrie sphérique forment une base complète, de développer les états propres de l'impulsion sur cette base : ceci est utilisé notamment en théorie de la diffusion quantique. Cf. à ce sujet <span class="ouvrage" id="LandauLifchits"><span class="ouvrage" id="Lev_LandauEvgueni_Lifchits"><a href="/wiki/Lev_Landau" title="Lev Landau">Lev Landau</a> et <a href="/wiki/Evgueni_Lifchits" title="Evgueni Lifchits">Evgueni Lifchits</a>, <cite class="italique">Physique théorique</cite>, <abbr class="abbr" title="tome">t.</abbr> 3 : <i>Mécanique quantique</i> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Physique_th%C3%A9orique_(Landau_et_Lifchitz)" title="Référence:Physique théorique (Landau et Lifchitz)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Physique+th%C3%A9orique&rft.aulast=Landau&rft.aufirst=Lev&rft.au=Evgueni+Lifchits&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuantit%C3%A9+de+mouvement"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-24"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-24">↑</a> </span><span class="reference-text">Pour rappel, si le hamiltonien est stationnaire, la solution générale de l'équation de Schrödinger dépendante du temps est de la forme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Psi ({\vec {r}},t)=\psi ({\vec {r}})\exp \left(-\mathrm {i} \,{\frac {E}{\hbar }}t\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>E</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mfrac> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Psi ({\vec {r}},t)=\psi ({\vec {r}})\exp \left(-\mathrm {i} \,{\frac {E}{\hbar }}t\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb37af03fa457c1b2e6660380ec7d097140eef8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.012ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \Psi ({\vec {r}},t)=\psi ({\vec {r}})\exp \left(-\mathrm {i} \,{\frac {E}{\hbar }}t\right)}"></span>, avec <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c495443abca24e8d37bd68a4010820ebab31a408" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.419ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)}"></span> solution de l'équation de Schrödinger stationnaire <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mathbf {H} }}\psi =E\psi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">H</mi> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mi>ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mathbf {H} }}\psi =E\psi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc08e2dd3e6e39388e5055af67c2d650b24090c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.992ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mathbf {H} }}\psi =E\psi }"></span>.</span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Références"><span id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Références</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=28" title="Modifier la section : Références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=28" title="Modifier le code source de la section : Références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-perez-1"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-perez_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-perez_1-1">b</a> <a href="#cite_ref-perez_1-2">c</a> et <a href="#cite_ref-perez_1-3">d</a></sup> </span><span class="reference-text">Voir notamment Perez, <i>Cours de physique : mécanique</i> - <abbr class="abbr" title="Quatrième">4<sup>e</sup></abbr> édition, Masson, Paris, 2001.</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Cohen-TannoudjiDiuLaloë"><span class="ouvrage" id="C._Cohen-TannoudjiB._DiuF._Laloë"><a href="/wiki/Claude_Cohen-Tannoudji" title="Claude Cohen-Tannoudji">C. Cohen-Tannoudji</a>, <a href="/wiki/Bernard_Diu" title="Bernard Diu">B. Diu</a> et <a href="/wiki/Franck_Lalo%C3%AB" title="Franck Laloë">F. Laloë</a>, <cite class="italique">Mécanique quantique</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:M%C3%A9canique_quantique_(Cohen-Tannoudji,_Diu,_Lalo%C3%AB)" title="Référence:Mécanique quantique (Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë)">détail de l’édition</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=M%C3%A9canique+quantique&rft.aulast=Cohen-Tannoudji&rft.aufirst=C.&rft.au=B.+Diu&rft.au=F.+Lalo%C3%AB&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuantit%C3%A9+de+mouvement"></span></span></span>, tome <abbr class="abbr" title="1"><span class="romain" style="text-transform:uppercase">I</span></abbr>, 1977, <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> <abbr class="abbr" title="3"><span class="romain" style="text-transform:uppercase">III</span></abbr>, B, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 225.</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text">Voir également en mécanique classique <span class="ouvrage" id="LandauLifchits"><span class="ouvrage" id="Lev_LandauEvgueni_Lifchits"><a href="/wiki/Lev_Landau" title="Lev Landau">Lev Landau</a> et <a href="/wiki/Evgueni_Lifchits" title="Evgueni Lifchits">Evgueni Lifchits</a>, <cite class="italique">Physique théorique</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Physique_th%C3%A9orique_(Landau_et_Lifchitz)" title="Référence:Physique théorique (Landau et Lifchitz)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Physique+th%C3%A9orique&rft.aulast=Landau&rft.aufirst=Lev&rft.au=Evgueni+Lifchits&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuantit%C3%A9+de+mouvement"></span></span></span> et <span class="ouvrage" id="GoldsteinPoole_Jr.Safko"><span class="ouvrage" id="Herbert_GoldsteinCharles_P._Poole_Jr.John_L._Safko">Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. et John L. Safko, <cite class="italique"><span class="lang-en" lang="en">Classical Mechanics</span></cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Classical_mechanics_(Goldstein)" title="Référence:Classical mechanics (Goldstein)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Classical+Mechanics&rft.aulast=Goldstein&rft.aufirst=Herbert&rft.au=Charles+P.+Poole+Jr.&rft.au=John+L.+Safko&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuantit%C3%A9+de+mouvement"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-5">↑</a> </span><span class="reference-text"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Olaf_Pedersen" title="Olaf Pedersen">Olaf Pedersen</a>. Early Physics and Astronomy: A Historical Introduction. CUP Archive, 11 mars 1993. Page 210</span> </li> <li id="cite_note-a-6"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-a_6-0">↑</a> </span><span class="reference-text">Clavelin Maurice, « Galilée et Descartes sur la conservation du mouvement acquis », Dix-septième siècle, 1/2009 (<abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 242), <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">31-43</span>. (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cairn.info/revue-dix-septieme-siecle-2009-1-page-31.htm">lire en ligne</a>).</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-7">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="KaneSternheim1997"><span class="ouvrage" id="Joseph_KaneMorton_Sternheim1997">Joseph <span class="nom_auteur">Kane</span> et Morton <span class="nom_auteur">Sternheim</span>, <cite class="italique">Physique : plus de 1900 problèmes et exercices, plus de 800 solutions</cite>, Masson, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Enseignement de la physique », <time>1997</time> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-225-83137-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-225-83137-9"><span class="nowrap">978-2-225-83137-9</span></a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 161<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Physique&rft.pub=Masson&rft.stitle=plus+de+1900+probl%C3%A8mes+et+exercices%2C+plus+de+800+solutions&rft.aulast=Kane&rft.aufirst=Joseph&rft.au=Sternheim%2C+Morton&rft.date=1997&rft.pages=161&rft.isbn=978-2-225-83137-9&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuantit%C3%A9+de+mouvement"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-8">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Futura"><span class="nom_auteur">Futura</span>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.futura-sciences.com/sciences/definitions/physique-quantite-mouvement-4008/"><cite style="font-style:normal;">Définition | Quantité de mouvement</cite></a> », sur <span class="italique"><a href="/wiki/Futura_(portail_web)" title="Futura (portail web)">Futura</a></span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2023-12-11" data-sort-value="2023-12-11">11 décembre 2023</time>)</small></span>.</span> </li> <li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-13">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Ispambudi"><span class="ouvrage" id="Danang_Ispambudi"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Danang <span class="nom_auteur">Ispambudi</span>, <cite class="italique" lang="en">Fundamentals of Aerodynamics</cite>, <abbr class="abbr" title="cinquième">5<sup>e</sup></abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.academia.edu/39970945/Fundamentals_of_Aerodynamics_Fifth_Edition">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Fundamentals+of+Aerodynamics&rft.edition=5&rft.aulast=Ispambudi&rft.aufirst=Danang&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuantit%C3%A9+de+mouvement"></span></span></span>. <div style="margin-left:2em; line-height:1.5;">John D. Anderson écrit, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 478 : <span class="citation">« Dans un document donné lors d'une réunion des représentants de la science aéronautique à Göttingen en novembre 1911, [...] Prandtl déclare : <span class="citation">« La portance générée par l'avion est, du fait du principe d'action et de réaction, nécessairement liée à un courant descendant derrière l'avion »</span>. »</span></div></span> </li> <li id="cite_note-14"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-14">↑</a> </span><span class="reference-text">Rebuffet, <i>Aérodynamique expérimentale</i>, p. 334, en regard d'un schéma de la projection vers le bas des lignes de courant : <span class="citation">« Plaçons-nous à l'infini aval : chaque seconde, une certaine masse fluide M, animée en amont de la vitesse Vo et qui a été intéressée à l'écoulement autour de l'aile, se trouve ainsi déviée vers le bas. Cet aspect physique de la question conduit, par l'application du théorème des quantités de mouvement, à considérer la sustentation comme résultant de la variation de quantité de mouvement de la masse M ; la difficulté réside dans le calcul de [la masse fluide déviée] M. »</span> Plus loin, le même Rebuffet calcule que <span class="citation">« Pour une aile à répartition elliptique [de la sustentation], la surface [d'air dévié par l'aile] serait égale à celle d'un cercle dont le diamètre est l'envergure de l'aile [...] »</span>. Cette approximation est souvent utilisée. S. F. Hoerner écrit d'ailleurs dans son ouvrage <i>Fluid-dynamic lift</i> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/FluidDynamicLiftHoerner1985">lire en ligne</a>) : <span class="citation not_fr_quote" lang="en">« <span class="italique">In wings with an elliptical distribution of lift or load along the span, the affected stream is equal in magnitude (but it is not identical) to that contained in a cylinder having a diameter equal to the wing span ‘b’</span> »</span>. Il va même plus loin, où il fait remarquer : <span class="citation not_fr_quote" lang="en">« <span class="italique">Behind the airplane, the cylinder is thus inclined against the horizontal at the downwash angle s = w/V, until it finally meets the ground. There, the momentum imparted by the airplane upon the cylinder of air, is transferred onto the earth in the form of pressure. In this manner, the airplane may thus be considered as being supported from the ground</span> »</span>.</span> </li> <li id="cite_note-18"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-18">↑</a> </span><span class="reference-text">Voir notamment <span class="ouvrage" id="GoldsteinPoole_Jr.Safko"><span class="ouvrage" id="Herbert_GoldsteinCharles_P._Poole_Jr.John_L._Safko">Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. et John L. Safko, <cite class="italique"><span class="lang-en" lang="en">Classical Mechanics</span></cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Classical_mechanics_(Goldstein)" title="Référence:Classical mechanics (Goldstein)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Classical+Mechanics&rft.aulast=Goldstein&rft.aufirst=Herbert&rft.au=Charles+P.+Poole+Jr.&rft.au=John+L.+Safko&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuantit%C3%A9+de+mouvement"></span></span></span> à ce sujet.</span> </li> <li id="cite_note-19"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-19">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="LandauLifchits"><span class="ouvrage" id="Lev_LandauEvgueni_Lifchits"><a href="/wiki/Lev_Landau" title="Lev Landau">Lev Landau</a> et <a href="/wiki/Evgueni_Lifchits" title="Evgueni Lifchits">Evgueni Lifchits</a>, <cite class="italique">Physique théorique</cite>, <abbr class="abbr" title="tome">t.</abbr> 1 : <i>Mécanique</i> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Physique_th%C3%A9orique_(Landau_et_Lifchitz)" title="Référence:Physique théorique (Landau et Lifchitz)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Physique+th%C3%A9orique&rft.aulast=Landau&rft.aufirst=Lev&rft.au=Evgueni+Lifchits&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuantit%C3%A9+de+mouvement"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-22"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-22">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="LandauLifchits"><span class="ouvrage" id="Lev_LandauEvgueni_Lifchits"><a href="/wiki/Lev_Landau" title="Lev Landau">Lev Landau</a> et <a href="/wiki/Evgueni_Lifchits" title="Evgueni Lifchits">Evgueni Lifchits</a>, <cite class="italique">Physique théorique</cite>, <abbr class="abbr" title="tome">t.</abbr> 3 : <i>Mécanique quantique</i> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Physique_th%C3%A9orique_(Landau_et_Lifchitz)" title="Référence:Physique théorique (Landau et Lifchitz)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Physique+th%C3%A9orique&rft.aulast=Landau&rft.aufirst=Lev&rft.au=Evgueni+Lifchits&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuantit%C3%A9+de+mouvement"></span></span></span>, §15.</span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=29" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=29" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r194021218">.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}</style><div class="autres-projets boite-grise boite-a-droite noprint js-interprojets"> <p class="titre">Sur les autres projets Wikimedia :</p> <ul class="noarchive plainlinks"> <li class="wiktionary"><a href="https://fr.wiktionary.org/wiki/quantit%C3%A9_de_mouvement" class="extiw" title="wikt:quantité de mouvement">quantité de mouvement</a>, <span class="nowrap">sur le <span class="project">Wiktionnaire</span></span></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=30" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=30" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>Quantité de mouvement en mécanique classique ou relativiste</b> </p> <ul><li>Perez, <i>Cours de physique : mécanique</i> - <abbr class="abbr" title="Quatrième">4<sup>e</sup></abbr> édition, Masson, Paris, 2001 (pour une introduction au niveau <abbr class="abbr" title="Premier">1<sup>er</sup></abbr> cycle).</li> <li><span class="ouvrage" id="LandauLifchits"><span class="ouvrage" id="Lev_LandauEvgueni_Lifchits"><a href="/wiki/Lev_Landau" title="Lev Landau">Lev Landau</a> et <a href="/wiki/Evgueni_Lifchits" title="Evgueni Lifchits">Evgueni Lifchits</a>, <cite class="italique">Physique théorique</cite>, <abbr class="abbr" title="tome">t.</abbr> 1 : <i>Mécanique</i> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Physique_th%C3%A9orique_(Landau_et_Lifchitz)" title="Référence:Physique théorique (Landau et Lifchitz)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Physique+th%C3%A9orique&rft.aulast=Landau&rft.aufirst=Lev&rft.au=Evgueni+Lifchits&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuantit%C3%A9+de+mouvement"></span></span></span> (niveau avancé, dans le cadre du formalisme de la mécanique analytique, en mettant l'accent sur le lien symétrie / loi de conservation).</li> <li><span class="ouvrage" id="LandauLifchits"><span class="ouvrage" id="Lev_LandauEvgueni_Lifchits"><a href="/wiki/Lev_Landau" title="Lev Landau">Lev Landau</a> et <a href="/wiki/Evgueni_Lifchits" title="Evgueni Lifchits">Evgueni Lifchits</a>, <cite class="italique">Physique théorique</cite>, <abbr class="abbr" title="tome">t.</abbr> 2 : <i>Théorie des champs</i> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Physique_th%C3%A9orique_(Landau_et_Lifchitz)" title="Référence:Physique théorique (Landau et Lifchitz)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Physique+th%C3%A9orique&rft.aulast=Landau&rft.aufirst=Lev&rft.au=Evgueni+Lifchits&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuantit%C3%A9+de+mouvement"></span></span></span> (pour la mécanique relativiste).</li> <li><span class="ouvrage" id="GoldsteinPoole_Jr.Safko"><span class="ouvrage" id="Herbert_GoldsteinCharles_P._Poole_Jr.John_L._Safko">Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. et John L. Safko, <cite class="italique"><span class="lang-en" lang="en">Classical Mechanics</span></cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Classical_mechanics_(Goldstein)" title="Référence:Classical mechanics (Goldstein)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Classical+Mechanics&rft.aulast=Goldstein&rft.aufirst=Herbert&rft.au=Charles+P.+Poole+Jr.&rft.au=John+L.+Safko&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuantit%C3%A9+de+mouvement"></span></span></span> (une référence classique, de niveau <abbr class="abbr" title="Deuxième">2<sup>e</sup></abbr> à <abbr class="abbr" title="Troisième">3<sup>e</sup></abbr> cycle, qui aborde également la mécanique relativiste).</li></ul> <p><b>Quantité de mouvement en mécanique quantique</b> </p> <ul><li><span class="ouvrage" id="Cohen-TannoudjiDiuLaloë"><span class="ouvrage" id="C._Cohen-TannoudjiB._DiuF._Laloë"><a href="/wiki/Claude_Cohen-Tannoudji" title="Claude Cohen-Tannoudji">C. Cohen-Tannoudji</a>, <a href="/wiki/Bernard_Diu" title="Bernard Diu">B. Diu</a> et <a href="/wiki/Franck_Lalo%C3%AB" title="Franck Laloë">F. Laloë</a>, <cite class="italique">Mécanique quantique</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:M%C3%A9canique_quantique_(Cohen-Tannoudji,_Diu,_Lalo%C3%AB)" title="Référence:Mécanique quantique (Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë)">détail de l’édition</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=M%C3%A9canique+quantique&rft.aulast=Cohen-Tannoudji&rft.aufirst=C.&rft.au=B.+Diu&rft.au=F.+Lalo%C3%AB&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuantit%C3%A9+de+mouvement"></span></span></span> (une référence classique pour l'introduction à la mécanique quantique).</li> <li><span class="ouvrage" id="Messiah"><span class="ouvrage" id="Albert_Messiah"><a href="/wiki/Albert_Messiah" title="Albert Messiah">Albert Messiah</a>, <cite class="italique">Mécanique quantique</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:M%C3%A9canique_quantique_(Messiah)" title="Référence:Mécanique quantique (Messiah)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=M%C3%A9canique+quantique&rft.aulast=Messiah&rft.aufirst=Albert&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuantit%C3%A9+de+mouvement"></span></span></span> (autre référence classique plus ancienne).</li> <li><span class="ouvrage" id="LandauLifchits"><span class="ouvrage" id="Lev_LandauEvgueni_Lifchits"><a href="/wiki/Lev_Landau" title="Lev Landau">Lev Landau</a> et <a href="/wiki/Evgueni_Lifchits" title="Evgueni Lifchits">Evgueni Lifchits</a>, <cite class="italique">Physique théorique</cite>, <abbr class="abbr" title="tome">t.</abbr> 3 : <i>Mécanique quantique</i> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Physique_th%C3%A9orique_(Landau_et_Lifchitz)" title="Référence:Physique théorique (Landau et Lifchitz)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Physique+th%C3%A9orique&rft.aulast=Landau&rft.aufirst=Lev&rft.au=Evgueni+Lifchits&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AQuantit%C3%A9+de+mouvement"></span></span></span> (un très bon ouvrage, à un niveau avancé).</li> <li>R. Shankar, <i>Principles of Quantum Mechanics</i>, <abbr class="abbr" title="Deuxième">2<sup>e</sup></abbr> édition, Plenum Press, New York, 1994.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=31" title="Modifier la section : Articles connexes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=31" title="Modifier le code source de la section : Articles connexes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/%C3%89nergie_cin%C3%A9tique" title="Énergie cinétique">Énergie cinétique</a></li> <li><a href="/wiki/Moment_cin%C3%A9tique" title="Moment cinétique">Moment cinétique</a></li> <li><a href="/wiki/Quantit%C3%A9_d%27acc%C3%A9l%C3%A9ration" class="mw-redirect" title="Quantité d'accélération">Quantité d'accélération</a></li> <li><a href="/wiki/Collision" title="Collision">Collision</a></li> <li><a href="/wiki/Relativit%C3%A9_restreinte#Le_quadrivecteur_énergie-impulsion" title="Relativité restreinte">Le quadrivecteur énergie-impulsion en relativité restreinte</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&veaction=edit&section=32" title="Modifier la section : Liens externes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Quantit%C3%A9_de_mouvement&action=edit&section=32" title="Modifier le code source de la section : Liens externes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Animations ou vidéos illustrant la conservation de la quantité de mouvement : <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://videosphysique.blogspot.fr/2010/06/conservation-de-la-quantite-de_07.html">Une animation très intéressante, dans le cas d'une collision inélastique</a></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://videosphysique.blogspot.fr/2010/06/giant-newtons-cradle.html">Une démonstration du pendule de Newton</a></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://videosphysique.blogspot.fr/2010/06/conservation-de-la-quantite-de_07.html">L'astronaute Richard Garriot illustre la conservation de la quantité de mouvement</a></li></ul></li></ul> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Physique" title="Portail de la physique"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Circle-icons-physics-logo.svg/24px-Circle-icons-physics-logo.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Circle-icons-physics-logo.svg/36px-Circle-icons-physics-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Circle-icons-physics-logo.svg/48px-Circle-icons-physics-logo.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Physique" title="Portail:Physique">Portail de la physique</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; 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Quantité de mouvement — Wikipédia