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cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Mathématiques</span> </button> <ul id="toc-Mathématiques-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Définition" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Définition"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Définition</span> </div> </a> <ul id="toc-Définition-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Exemples_de_systèmes_de_numération" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Exemples_de_systèmes_de_numération"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Exemples de systèmes de numération</span> </div> </a> <ul id="toc-Exemples_de_systèmes_de_numération-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Système_de_numération_fibré" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Système_de_numération_fibré"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.3</span> <span>Système de numération fibré</span> </div> </a> <ul id="toc-Système_de_numération_fibré-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Notes et références</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliographie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliographie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Bibliographie</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliographie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Voir_aussi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Voir aussi</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Voir_aussi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Voir aussi</span> </button> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Articles_connexes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Articles_connexes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.1</span> <span>Articles connexes</span> </div> </a> <ul id="toc-Articles_connexes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liens_externes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liens_externes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.2</span> <span>Liens externes</span> </div> </a> <ul id="toc-Liens_externes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button 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Disponible en 81 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-81" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">81 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Zahlensystem" title="Zahlensystem – alémanique" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Zahlensystem" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="alémanique" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a 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href="https://en.wikipedia.org/wiki/Numeral_system" title="Numeral system – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Numeral system" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Nombrosistemo" title="Nombrosistemo – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Nombrosistemo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n" title="Sistema de numeración – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Sistema de numeración" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et 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haïtien" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Sistèm nimewotasyon" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="créole haïtien" class="interlanguage-link-target"><span>Kreyòl ayisyen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Sz%C3%A1mrendszer" title="Számrendszer – hongrois" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Számrendszer" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongrois" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%80%D5%A1%D5%B7%D5%BE%D5%A1%D6%80%D5%AF%D5%B4%D5%A1%D5%B6_%D5%B0%D5%A1%D5%B4%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D6%80%D5%A3_(%D5%B4%D5%A1%D5%A9%D5%A5%D5%B4%D5%A1%D5%BF%D5%AB%D5%AF%D5%A1)" title="Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա) – arménien" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Հաշվարկման համակարգ (մաթեմատիկա)" data-language-autonym="Հայերեն" 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href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%83_%D0%B6%D2%AF%D0%B9%D0%B5%D1%81%D1%96" title="Санау жүйесі – kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Санау жүйесі" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazakh" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B8%B0%EC%88%98%EB%B2%95" title="기수법 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="기수법" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1%81%D0%B5%D0%BF%D1%82%D3%A9%D3%A9_%D1%82%D1%83%D1%82%D1%83%D0%BC%D1%83" title="Эсептөө тутуму – kirghize" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Эсептөө тутуму" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirghize" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Systema_numerale" title="Systema numerale – latin" lang="la" hreflang="la" data-title="Systema numerale" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latin" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Skait%C4%AB%C5%A1anas_sist%C4%93ma" title="Skaitīšanas sistēma – letton" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Skaitīšanas sistēma" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letton" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mhr mw-list-item"><a href="https://mhr.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BC_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B5" title="Чотрадам системе – Eastern Mari" lang="mhr" hreflang="mhr" data-title="Чотрадам системе" data-language-autonym="Олык марий" data-language-local-name="Eastern Mari" class="interlanguage-link-target"><span>Олык марий</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BD_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC" title="Броен систем – macédonien" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Броен систем" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macédonien" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B8%E0%B4%82%E0%B4%96%E0%B5%8D%E0%B4%AF%E0%B4%BE%E0%B4%B8%E0%B4%AE%E0%B5%8D%E0%B4%AA%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%A6%E0%B4%BE%E0%B4%AF%E0%B4%99%E0%B5%8D%E0%B4%99%E0%B5%BE" title="സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ – malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mni mw-list-item"><a href="https://mni.wikipedia.org/wiki/%EA%AF%83%EA%AF%81%EA%AF%A4%EA%AF%A1" title="ꯃꯁꯤꯡ – manipuri" lang="mni" hreflang="mni" data-title="ꯃꯁꯤꯡ" data-language-autonym="ꯃꯤꯇꯩ ꯂꯣꯟ" data-language-local-name="manipuri" class="interlanguage-link-target"><span>ꯃꯤꯇꯩ ꯂꯣꯟ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Sistem_angka" title="Sistem angka – malais" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Sistem angka" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malais" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mwl mw-list-item"><a href="https://mwl.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7on" title="Sistema de numeraçon – mirandais" lang="mwl" hreflang="mwl" data-title="Sistema de numeraçon" data-language-autonym="Mirandés" data-language-local-name="mirandais" class="interlanguage-link-target"><span>Mirandés</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%82%E1%80%8F%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%B8%E1%80%81%E1%80%BC%E1%80%B1" title="ဂဏန်းခြေ – birman" lang="my" hreflang="my" data-title="ဂဏန်းခြေ" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birman" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Talstelsel" title="Talstelsel – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Talstelsel" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Tallsystem" title="Tallsystem – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Tallsystem" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nso mw-list-item"><a href="https://nso.wikipedia.org/wiki/Lebadi" title="Lebadi – sotho du Nord" lang="nso" hreflang="nso" data-title="Lebadi" data-language-autonym="Sesotho sa Leboa" data-language-local-name="sotho du Nord" class="interlanguage-link-target"><span>Sesotho sa Leboa</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Sist%C3%A8ma_de_numeracion" title="Sistèma de numeracion – occitan" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Sistèma de numeracion" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitan" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%B8%E0%A9%B0%E0%A8%96%E0%A8%BF%E0%A8%86_%E0%A8%AA%E0%A9%8D%E0%A8%B0%E0%A8%A3%E0%A8%BE%E0%A8%B2%E0%A9%80" title="ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ – pendjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendjabi" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/System_liczbowy" title="System liczbowy – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="System liczbowy" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF%DB%8C_%D9%86%D8%B8%D8%A7%D9%85" title="عددی نظام – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="عددی نظام" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numera%C3%A7%C3%A3o" title="Sistema de numeração – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Sistema de numeração" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Sistem_de_numera%C8%9Bie" title="Sistem de numerație – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Sistem de numerație" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%81%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F" title="Система счисления – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Система счисления" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Brojevni_sistem" title="Brojevni sistem – serbo-croate" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Brojevni sistem" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbo-croate" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B7%83%E0%B6%82%E0%B6%9B%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B7%8F%E0%B6%AD_%E0%B6%B4%E0%B6%AF%E0%B7%8A%E0%B6%B0%E0%B6%AD%E0%B7%92" title="සංඛ්‍යාත පද්ධති – cingalais" lang="si" hreflang="si" data-title="සංඛ්‍යාත පද්ධති" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="cingalais" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Numeral_system" title="Numeral system – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Numeral system" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/%C4%8C%C3%ADseln%C3%A1_s%C3%BAstava" title="Číselná sústava – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Číselná sústava" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/%C5%A0tevilski_sistem" title="Številski sistem – slovène" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Številski sistem" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovène" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sn mw-list-item"><a href="https://sn.wikipedia.org/wiki/Tsika_yekurava_nhamba" title="Tsika yekurava nhamba – shona" lang="sn" hreflang="sn" data-title="Tsika yekurava nhamba" data-language-autonym="ChiShona" data-language-local-name="shona" class="interlanguage-link-target"><span>ChiShona</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%BE%D1%98%D0%B5%D0%B2%D0%BD%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC" title="Бројевни систем – serbe" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Бројевни систем" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbe" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Talsystem" title="Talsystem – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Talsystem" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%8E%E0%AE%A3%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%81%E0%AE%B1%E0%AE%BF_%E0%AE%AE%E0%AF%81%E0%AE%B1%E0%AF%88%E0%AE%AE%E0%AF%88" title="எண்குறி முறைமை – tamoul" lang="ta" hreflang="ta" data-title="எண்குறி முறைமை" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamoul" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%9A%E0%B8%9A%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82" title="ระบบเลข – thaï" lang="th" hreflang="th" data-title="ระบบเลข" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thaï" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Numerasyon" title="Numerasyon – tagalog" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Numerasyon" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalog" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Say%C4%B1sal_sistem" title="Sayısal sistem – turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Sayısal sistem" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Система числення – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Система числення" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%AF%D8%AF%DB%8C_%D9%86%D8%B8%D8%A7%D9%85" title="عددی نظام – ourdou" lang="ur" hreflang="ur" data-title="عددی نظام" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="ourdou" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Sanoq_sistemasi" title="Sanoq sistemasi – ouzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Sanoq sistemasi" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="ouzbek" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%E1%BB%87_%C4%91%E1%BA%BFm" title="Hệ đếm – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Hệ đếm" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Sistema_pag-ihap" title="Sistema pag-ihap – waray" lang="war" hreflang="war" data-title="Sistema pag-ihap" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waray" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E8%AE%B0%E6%95%B0%E7%B3%BB%E7%BB%9F" title="记数系统 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="记数系统" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A0%D7%95%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9F_%D7%A1%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%A2%D7%9D" title="נומערן סיסטעם – yiddish" lang="yi" hreflang="yi" data-title="נומערן סיסטעם" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="yiddish" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%AE%B0%E6%95%B0%E7%B3%BB%E7%BB%9F" title="记数系统 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="记数系统" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%A8%E6%95%B8%E6%B3%95" title="表數法 – chinois littéraire" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="表數法" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="chinois littéraire" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/S%C3%B2%CD%98-j%C4%AB" title="Sò͘-jī – minnan" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Sò͘-jī" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnan" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%98%E6%95%B8%E6%B3%95" title="記數法 – cantonais" lang="yue" hreflang="yue" data-title="記數法" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q122653#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div 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data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><div class="bandeau-container metadata bandeau-article bandeau-niveau-modere"><figure class="mw-halign-right noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:%C3%80_sourcer" title="Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus."><img alt="Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus." src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/12px-Info_Simple.svg.png" decoding="async" width="12" height="12" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/18px-Info_Simple.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/24px-Info_Simple.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a><figcaption>Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus.</figcaption></figure><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:2017-fr.wp-orange-source.svg" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/2017-fr.wp-orange-source.svg/45px-2017-fr.wp-orange-source.svg.png" decoding="async" width="45" height="45" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/2017-fr.wp-orange-source.svg/68px-2017-fr.wp-orange-source.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a1/2017-fr.wp-orange-source.svg/90px-2017-fr.wp-orange-source.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p><strong class="bandeau-titre">Cet article <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Citez_vos_sources" title="Wikipédia:Citez vos sources">ne cite pas suffisamment ses sources</a></strong> <small>(<time class="nowrap" datetime="2015-06" data-sort-value="2015-06">juin 2015</time>).</small> </p><p>Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les <b>références utiles à sa <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:V%C3%A9rifiabilit%C3%A9" title="Wikipédia:Vérifiabilité">vérifiabilité</a></b> et en les liant à la section « <a href="/wiki/Aide:Ins%C3%A9rer_une_r%C3%A9f%C3%A9rence" title="Aide:Insérer une référence">Notes et références</a> ». </p><p><b>En pratique :</b> <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Citez_vos_sources#Qualité_des_sources" title="Wikipédia:Citez vos sources">Quelles sources sont attendues ?</a> <a href="/wiki/Aide:Ins%C3%A9rer_une_r%C3%A9f%C3%A9rence_(%C3%89diteur_visuel)" title="Aide:Insérer une référence (Éditeur visuel)">Comment ajouter mes sources ?</a> </p> </div></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Kaktovik_digit_table.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Kaktovik_digit_table.svg/220px-Kaktovik_digit_table.svg.png" decoding="async" width="220" height="288" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Kaktovik_digit_table.svg/330px-Kaktovik_digit_table.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Kaktovik_digit_table.svg/440px-Kaktovik_digit_table.svg.png 2x" data-file-width="209" data-file-height="274" /></a><figcaption>Table d'équivalence entre le <a href="/wiki/Chiffres_de_Kaktovik" title="Chiffres de Kaktovik">système de numération de Kaktovik</a> (utilisant une <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_vic%C3%A9simal" title="Système vicésimal">base 20</a>) et le système décimal.</figcaption></figure> <p>Un <b>système de numération</b> est un ensemble de règles qui régissent une, voire plusieurs <a href="/wiki/Num%C3%A9ration" title="Numération">numérations</a> données. De façon plus explicite, c'est un ensemble de règles d'utilisation des <a href="/wiki/Signe_(%C3%A9criture)" title="Signe (écriture)">signes</a>, des mots ou des gestes permettant d'écrire, d'énoncer ou de mimer les <a href="/wiki/Nombre" title="Nombre">nombres</a>, ces derniers étant nés, sous leur forme écrite, en même temps que l'<a href="/wiki/%C3%89criture" title="Écriture">écriture</a>, de la nécessité d'organiser les récoltes, le <a href="/wiki/Commerce" title="Commerce">commerce</a> et la <a href="/wiki/Datation" title="Datation">datation</a>. Le <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration_indo-arabe" title="Système de numération indo-arabe">système de numération indo-arabe</a> est aujourd’hui le plus répandu dans le monde. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Principe_de_base">Principe de base</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Principe de base" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Principe de base"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">Base (arithmétique)</a>.</div></div> <p>Le système de numération le plus ancien, dit <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_unaire" title="Système unaire">unaire (base 1)</a>, s'avère peu pratique lorsqu'il s'agit de manier des quantités importantes<sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_1199433-46_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_1199433-46-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. La solution découverte par de nombreuses civilisations anciennes consiste à grouper les unités par paquets chaque fois qu'est atteinte une même valeur, qu'on appelle <a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">base de numération</a>. Puis, on regroupe ces paquets en paquets d'ordre supérieur, et ainsi de suite<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Généralement, le nombre d'éléments de chaque paquet est identique et donne la base de la numération. Cependant, certains systèmes sont irréguliers, comme la <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_maya" title="Numération maya">numération maya</a>, de caractère de base <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_vig%C3%A9simal" class="mw-redirect" title="Système vigésimal">vigésimale</a>, irrégulière afin d'être plus compatible avec un calendrier de <span class="nowrap">360 jours</span><sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_11994728-750_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_11994728-750-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> ou la <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_babylonienne" class="mw-redirect" title="Numération babylonienne">numération babylonienne</a>, initialement de caractère <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_sexag%C3%A9simal" title="Système sexagésimal">sexagésimal</a>, qui se transforme tardivement en une combinaison sexagésimale et décimale<sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_11994325-327_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_11994325-327-4"><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Le comptage usuel des durées est également irrégulier : soixante secondes pour une minute, soixante minutes pour une heure, vingt-quatre heures pour un jour, vingt-huit à trente-et-un jours pour un mois. </p><p>De nombreux systèmes ont été inventés et utilisés à des époques variées : </p> <ul><li>Un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_binaire" title="Système binaire">système binaire</a> (base 2) utilisé dans des <a href="/wiki/Langues_en_Am%C3%A9rique_du_Sud" title="Langues en Amérique du Sud">langues d'Amérique du Sud</a> et <a href="/wiki/Langues_en_Oc%C3%A9anie" title="Langues en Océanie">d'Océanie</a>, et utilisé de nos jours en informatique</li> <li>Un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_ternaire" title="Système ternaire">système ternaire</a> (base 3)</li> <li>Un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_quaternaire" title="Système quaternaire">système quaternaire</a> (base 4).</li> <li>Un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_quinaire" title="Système quinaire">système quinaire</a> (base 5) dont il reste des traces jusqu'au <a href="/wiki/XXe_si%C3%A8cle" title="XXe siècle"><abbr class="abbr" title="20ᵉ siècle"><span class="romain">XX</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle</a> dans des langues <a href="/wiki/Afrique" title="Afrique">africaines</a>, mais aussi, partiellement, dans les notations <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_tchouvache" title="Numération tchouvache">tchouvache</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_Suzhou" title="Numération Suzhou">suzhou</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_romaine" title="Numération romaine">romaine</a> et <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_maya" title="Numération maya">maya</a><sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_1199496-103_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_1199496-103-5"><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Le nom des chiffres 6, 7, 8 et 9 dans de nombreuses langues témoignent de ce système quinaire: ils se disent 5+1, 5+2, 5+3 et 5+4 en <a href="/wiki/Wolof_(langue)" title="Wolof (langue)">wolof</a><sup id="cite_ref-:1_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-:1-6"><span class="cite_crochet">[</span>6<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> (langue de la famille <a href="/wiki/Langues_nig%C3%A9ro-congolaises" title="Langues nigéro-congolaises">nigéro-congolaise</a>), en <a href="/wiki/Khmer" title="Khmer">khmer</a><sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite_crochet">[</span>7<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> (langue austro-asiatique), en <a href="/wiki/Nahuatl" title="Nahuatl">nahuatl</a><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite_crochet">[</span>8<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> (<a href="/wiki/Langues_uto-azt%C3%A8ques" title="Langues uto-aztèques">langue uto-aztèque</a>), et, dans de nombreuses <a href="/wiki/Langues_austron%C3%A9siennes" title="Langues austronésiennes">langues austronésiennes</a> telles qu'en <a href="/wiki/Lote_(langue)" title="Lote (langue)">lote</a><sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite_crochet">[</span>9<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> ou en <a href="/wiki/Ngadha_(langue)" title="Ngadha (langue)">ngadha</a> (sous forme partielle)<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite_crochet">[</span>10<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. La base quinaire apparait parfois comme base auxiliaire ou sous-base de la base décimale, comme dans le système romain<sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_11994455-469_11-0" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_11994455-469-11"><span class="cite_crochet">[</span>11<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, ou de la base vigésimale.</li></ul> <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:NumeriRomani.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/NumeriRomani.png/484px-NumeriRomani.png" decoding="async" width="484" height="30" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/44/NumeriRomani.png 1.5x" data-file-width="500" data-file-height="31" /></a><figcaption>Chiffres et nombres romains.</figcaption></figure> <ul><li>Un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_s%C3%A9naire" title="Système sénaire">système sénaire</a> (base 6) est utilisé dans les langues Ndom et Kómnzo de <a href="/wiki/Papouasie-Nouvelle-Guin%C3%A9e" title="Papouasie-Nouvelle-Guinée">Papouasie-Nouvelle-Guinée</a>, ainsi que dans les <a href="/wiki/D%C3%A9s" class="mw-redirect" title="Dés">dés</a>. Il utilise six chiffres de 0 à 5, les <a href="/w/index.php?title=Comptages_de_doigts&action=edit&redlink=1" class="new" title="Comptages de doigts (page inexistante)">comptages de doigts</a> par "multiples de trois" bases, le plus pratique.</li> <li>Un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_octal" title="Système octal">système octal</a> (base 8) est utilisé en langue <a href="/wiki/Pame_du_Nord" title="Pame du Nord">pame du Nord</a><sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite_crochet">[</span>12<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, au <a href="/wiki/Mexique" title="Mexique">Mexique</a>, et en langue <a href="/wiki/Yuki_(langue_yukiane)" title="Yuki (langue yukiane)">yuki</a>, en <a href="/wiki/Californie" title="Californie">Californie</a>, ainsi qu'en informatique.</li> <li>Un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_nonaire" title="Système nonaire">système nonaire</a> (base 9).</li> <li>Un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_d%C3%A9cimal" title="Système décimal">système décimal</a> (base 10) a été utilisé par de nombreuses civilisations, comme celles d’Égypte et de Chine (<a href="/wiki/Ann%C3%A9es_1450_av._J.-C." title="Années 1450 av. J.-C.">1450 av. J.-C.</a>)<sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_21994433_13-0" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_21994433-13"><span class="cite_crochet">[</span>13<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite_crochet">[</span>14<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, et, probablement, par les <a href="/wiki/Proto-indo-europ%C3%A9ens" class="mw-redirect" title="Proto-indo-européens">Proto-indo-européens</a>. Aujourd'hui, il est de loin le plus répandu<sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_11994103-113_15-0" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_11994103-113-15"><span class="cite_crochet">[</span>15<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</li> <li>Un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal" title="Système duodécimal">système duodécimal</a> (base 12), déjà utilisé par les <a href="/wiki/Sumer" title="Sumer">Sumériens</a> et <a href="/wiki/Babylone_(civilisation)" title="Babylone (civilisation)">Assyro-babyloniens</a> pour des mesures de longueur et de temps<sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_11994224-225_16-0" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_11994224-225-16"><span class="cite_crochet">[</span>16<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. On le retrouve dans un certain nombre de <a href="/wiki/Monnaie" title="Monnaie">monnaies</a> et d'unités de compte courantes en <a href="/wiki/Europe" title="Europe">Europe</a> au <a href="/wiki/Moyen_%C3%82ge" title="Moyen Âge">Moyen Âge</a>, notamment dans le <a href="/wiki/Unit%C3%A9s_de_mesure_anglo-saxonnes" title="Unités de mesure anglo-saxonnes">système impérial d'unités</a><sup id="cite_ref-17" class="reference"><a href="#cite_note-17"><span class="cite_crochet">[</span>17<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, et dans le commerce. Il sert encore, par exemple, pour compter les mois, les heures, les fleurs, les huîtres et les œufs.</li> <li>Un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_hexad%C3%A9cimal" title="Système hexadécimal">système hexadécimal</a> (base 16), très couramment utilisé en électronique ainsi qu'en informatique<sup id="cite_ref-tools.ietf.org_rfc4648_18-0" class="reference"><a href="#cite_note-tools.ietf.org_rfc4648-18"><span class="cite_crochet">[</span>18<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><abbr class="abbr" title="Request for comments" lang="en">RFC</abbr> 4648<sup id="cite_ref-RFC-4648_19-0" class="reference"><a href="#cite_note-RFC-4648-19"><span class="cite_crochet">[</span>19<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Son intérêt réside dans les conversions triviales avec la base 2, tout en permettant une écriture plus compacte des nombres.</li></ul> <ul><li>Un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_vig%C3%A9simal" class="mw-redirect" title="Système vigésimal">système vigésimal</a> (ou vicésimal, base 20) existe au <a href="/wiki/Bhoutan" title="Bhoutan">Bhoutan</a> en langue <a href="/wiki/Dzongkha" title="Dzongkha">dzongkha</a>, et était en usage chez les <a href="/wiki/Azt%C3%A8ques" title="Aztèques">Aztèques</a> <a href="/wiki/1200" title="1200">vers 1200</a><sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_21994416_20-0" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_21994416-20"><span class="cite_crochet">[</span>20<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> et, quoiqu'irrégulier, pour la <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_maya" title="Numération maya">numération maya</a><sup id="cite_ref-21" class="reference"><a href="#cite_note-21"><span class="cite_crochet">[</span>21<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Il a des avantages en matière de divisibilité par 2, 4, 5 et 10<sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_1199496-103_5-1" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_1199496-103-5"><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Certains pensent qu'il a aussi été utilisé par les <a href="/wiki/Peuples_gaulois" class="mw-redirect" title="Peuples gaulois">Gaulois</a> ou par les <a href="/wiki/Basque" title="Basque">Basques</a> mais on ignore en réalité si leur numération avait un caractère décimal ou vigésimal<sup id="cite_ref-:2_22-0" class="reference"><a href="#cite_note-:2-22"><span class="cite_crochet">[</span>22<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Il était aussi présent en vieux français, ce qui explique l'usage du mot <i>quatre-vingts</i> pour le nombre 80, ou encore le nom de l'<a href="/wiki/H%C3%B4pital_des_Quinze-Vingts" title="Hôpital des Quinze-Vingts">hôpital des Quinze-Vingts</a>, qui pouvait accueillir 300 patients<sup id="cite_ref-23" class="reference"><a href="#cite_note-23"><span class="cite_crochet">[</span>23<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</li></ul> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Mesopotamia.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Mesopotamia.png/180px-Mesopotamia.png" decoding="async" width="180" height="255" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Mesopotamia.png/271px-Mesopotamia.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Mesopotamia.png/360px-Mesopotamia.png 2x" data-file-width="794" data-file-height="1123" /></a><figcaption>Les chiffres et nombres mésopotamiens de 1 à 59 : base 60 avec sous bases 5 et 10.</figcaption></figure> <ul><li>Un système à base 32, utilisé en informatique<sup id="cite_ref-tools.ietf.org_rfc4648_18-1" class="reference"><a href="#cite_note-tools.ietf.org_rfc4648-18"><span class="cite_crochet">[</span>18<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</li> <li>Un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_%C3%A0_base_36" title="Système à base 36">système à base 36</a>, qui utilise les dix chiffres du système décimal et les vingt six lettres de l'alphabet<sup id="cite_ref-24" class="reference"><a href="#cite_note-24"><span class="cite_crochet">[</span>24<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</li> <li>Un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_sexag%C3%A9simal" title="Système sexagésimal">système sexagésimal</a> (base 60) était utilisé pour la <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_babylonienne" class="mw-redirect" title="Numération babylonienne">numération babylonienne</a> et en Mésopotamie vers <a href="/wiki/XXXIIIe_si%C3%A8cle_av._J.-C." title="XXXIIIe siècle av. J.-C.">3300 av. J.-C.</a><sup id="cite_ref-25" class="reference"><a href="#cite_note-25"><span class="cite_crochet">[</span>25<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_21994416_20-1" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_21994416-20"><span class="cite_crochet">[</span>20<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, ainsi que par les Indiens et les Arabes en <a href="/wiki/Trigonom%C3%A9trie" title="Trigonométrie">trigonométrie</a>. Il sert encore actuellement dans la mesure du temps<sup id="cite_ref-26" class="reference"><a href="#cite_note-26"><span class="cite_crochet">[</span>26<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> et certaines mesures des angles<sup id="cite_ref-27" class="reference"><a href="#cite_note-27"><span class="cite_crochet">[</span>27<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</li> <li>Le système <a href="/wiki/Base64" title="Base64">Base64</a> utilisé en informatique<sup id="cite_ref-tools.ietf.org_rfc4648_18-2" class="reference"><a href="#cite_note-tools.ietf.org_rfc4648-18"><span class="cite_crochet">[</span>18<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</li></ul> <p>Certaines bases de numération sont plus particulièrement utilisées dans des domaines scientifiques, notamment en <a href="/wiki/%C3%89lectronique_num%C3%A9rique" title="Électronique numérique">électronique numérique</a> et en informatique. Consulter l'article <a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">Base (arithmétique)</a> pour plus de détails. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Systèmes_d'énonciation"><span id="Syst.C3.A8mes_d.27.C3.A9nonciation"></span>Systèmes d'énonciation</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Systèmes d'énonciation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Systèmes d'énonciation"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Adjectif_num%C3%A9ral" class="mw-redirect" title="Adjectif numéral">Adjectif numéral</a>.</div></div> <p>Certains nombres bénéficient exclusivement d'un nom simple, comme <i>mille</i> en français. Dans le cas contraire, plusieurs principes permettent de les composer : </p> <ul><li>l'<b>addition</b> : en français <i>dix-sept</i> (10+7), <i>soixante-dix</i> (60+10); en anglais <i>twenty two</i> (20+2) ;</li> <li>la <b>multiplication</b> : <i>quatre-vingts</i> (4x20), <i>deux cents</i> (2x100) en français ; en anglais <i>two thousand</i> (2x1000) ;</li> <li>la <b>soustraction</b> : dix-huit se dit <i><span class="lang-la" lang="la">duodeviginti</span></i> en <a href="/wiki/Latin_classique" title="Latin classique">latin classique</a> (deux-de-vingt, 20-2)<sup id="cite_ref-28" class="reference"><a href="#cite_note-28"><span class="cite_crochet">[</span>28<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> ;</li> <li>la <b>division</b> : cinquante se dit <i><span class="lang-br" lang="br">hanter-kant</span></i> en breton (moitié-[de-]cent, 100/2)<sup id="cite_ref-29" class="reference"><a href="#cite_note-29"><span class="cite_crochet">[</span>29<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> ;</li> <li>la <b><a href="/wiki/Protraction_(num%C3%A9ration)" title="Protraction (numération)">protraction</a></b> (terme introduit par <a href="/wiki/Claude_Hag%C3%A8ge" title="Claude Hagège">Claude Hagège</a>) : trente-cinq se disait <i>holhu ca kal</i> en yucatèque (cinq-dix deux vingts, 15 2×20, soit 15 vers 2×20 ou 15 à partir de la vingtaine précédant 2×20, soit 15+20). Dans l'expression de 35 (comme dans celle de trente) il convient de restituer un relateur sous-entendu (ou effacé) qui était <b>tu</b> (en réalité <b>ti+u</b> avec <b>ti</b> = <a href="/wiki/Locatif" title="Locatif">locatif</a> 'vers' et <b>u</b> = indice personnel de <abbr class="abbr" title="Troisième">3<sup>e</sup></abbr> personne 'son' qui, dans ce contexte, servait à dériver l'ordinal depuis le cardinal; si bien que l'expression de 35 doit s'analyser comme étant « 15 vers la deuxième vingtaine »<sup id="cite_ref-30" class="reference"><a href="#cite_note-30"><span class="cite_crochet">[</span>30<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-31" class="reference"><a href="#cite_note-31"><span class="cite_crochet">[</span>31<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</li></ul> <p>Un système auxiliaire est parfois utilisé. Par rapport au système principal, celui-ci peut-être : </p> <ul><li><b>inférieur</b> : la numération <a href="/wiki/Wolof_(langue)" title="Wolof (langue)">wolof</a> est <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_d%C3%A9cimal" title="Système décimal">décimale</a> mais utilise un système <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_quinaire" title="Système quinaire">quinaire</a> auxiliaire, vingt-six se dit <i>ñaar fukk ak juroom benn</i> en wolof (deux dix et cinq un, 2×10+5+1)<sup id="cite_ref-:1_6-1" class="reference"><a href="#cite_note-:1-6"><span class="cite_crochet">[</span>6<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> ;</li> <li><b>supérieur</b> : la numération <a href="/wiki/Basque" title="Basque">basque</a> est <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_d%C3%A9cimal" title="Système décimal">décimale</a> mais utilise un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_vic%C3%A9simal" title="Système vicésimal">système vicésimal</a> auxiliaire, cent cinquante-deux se dit <i><span class="lang-eu" lang="eu">ehunta berrogeita hamabi</span></i> en basque (cent-et deux-vingts-et dix-deux, 100+2×20+10+2)<sup id="cite_ref-:2_22-1" class="reference"><a href="#cite_note-:2-22"><span class="cite_crochet">[</span>22<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. De même, en <a href="/wiki/Fran%C3%A7ais_de_France" title="Français de France">français de France</a> et en français Canadien (<a href="/wiki/Qu%C3%A9bec" title="Québec">Québec</a>) persistent <i>quatre-vingt</i> et <i>quatre-vingt-dix</i> (au lieu de <i><a href="/wiki/Huitante" class="mw-redirect" title="Huitante">huitante</a></i> ou, anciennement, <i>octante</i><sup id="cite_ref-32" class="reference"><a href="#cite_note-32"><span class="cite_crochet">[</span>32<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, utilisé dans certains cantons en <a href="/wiki/Suisse" title="Suisse">Suisse</a> et <i><a href="/wiki/Nonante" class="mw-redirect" title="Nonante">nonante</a></i> en Suisse et en Belgique), qui proviennent du système vicésimal <a href="/wiki/Moyen_%C3%82ge" title="Moyen Âge">médiéval</a>, utilisé de façon auxiliaire au système principal décimal d'origine latine.</li></ul> <p>Enfin, certains nombres bénéficient d'une construction indépendante de la base employée. Ainsi, actuellement en <a href="/wiki/Breton" title="Breton">breton</a>, dix-huit se dit <i><span class="lang-br" lang="br">triwecʼh</span></i> (trois-six, 3×6)<sup id="cite_ref-33" class="reference"><a href="#cite_note-33"><span class="cite_crochet">[</span>33<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. On trouvait aussi anciennement <i><span class="lang-br" lang="br">daounav</span></i> (deux-neuf, 2×9), et, respectivement, pour quarante-cinq et quarante-neuf, <i><span class="lang-br" lang="br">pemp nav</span></i> (cinq neuf, 5×9) et <i><span class="lang-br" lang="br">seizh seizh</span></i> (sept sept, 7×7)<sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><a href="/wiki/Aide:R%C3%A9f%C3%A9rence_n%C3%A9cessaire" title="Aide:Référence nécessaire"><span title="Ce passage nécessite une référence (demandé le 4 mars 2023) ; voir l'aide.">[réf. nécessaire]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Systèmes_de_mime"><span id="Syst.C3.A8mes_de_mime"></span>Systèmes de mime</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Systèmes de mime" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Systèmes de mime"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Plusieurs peuples se servent, ou se sont servis, traditionnellement des parties de leur corps pour compter<sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_1199446-62_34-0" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_1199446-62-34"><span class="cite_crochet">[</span>34<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Pour un compte décimal ou quinaire, les doigts sont généralement mis à contribution<sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_11994119-155_35-0" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_11994119-155-35"><span class="cite_crochet">[</span>35<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Les <a href="/wiki/Yuki_(tribu)" class="mw-redirect" title="Yuki (tribu)">Yukis</a>, qui emploient un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_octal" title="Système octal">système octal</a>, utilisent des espaces entre les doigts pour compter. Le peuple <a href="/wiki/Chepang" class="mw-redirect" title="Chepang">chepang</a>, qui emploie un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal" title="Système duodécimal">système duodécimal</a>, se sert du <a href="/wiki/Pouce_(anatomie)" title="Pouce (anatomie)">pouce</a> pour compter sur les <a href="/wiki/Phalange_(anatomie)" class="mw-redirect" title="Phalange (anatomie)">phalanges</a> des <a href="/wiki/Doigt" title="Doigt">doigts</a>. Bien d'autres procédés encore ont été employés. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Systèmes_de_notation"><span id="Syst.C3.A8mes_de_notation"></span>Systèmes de notation</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Systèmes de notation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Systèmes de notation"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les symboles utilisés pour écrire les nombres sont les <a href="/wiki/Chiffre" title="Chiffre">chiffres</a>. Les règles d'utilisations de ces chiffres permettent de distinguer schématiquement trois principales familles de système de notation : les systèmes additifs, hybrides et positionnels<sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_21994395_36-0" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_21994395-36"><span class="cite_crochet">[</span>36<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Les_systèmes_additifs"><span id="Les_syst.C3.A8mes_additifs"></span>Les systèmes additifs</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Les systèmes additifs" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Les systèmes additifs"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Notation_additive_(num%C3%A9ration)" title="Notation additive (numération)">Notation additive (numération)</a>.</div></div> <p>Ces systèmes utilisent des chiffres pour représenter les <a href="/wiki/Puissance_d%27un_nombre" title="Puissance d'un nombre">puissances</a> de la base, et éventuellement des sous-multiples de ces puissances<sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_21994422-424_37-0" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_21994422-424-37"><span class="cite_crochet">[</span>37<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Les autres nombres s'obtiennent par juxtaposition de ces symboles. Le lecteur a alors la charge d'additionner les valeurs des symboles pour connaitre le nombre. C'est le cas des systèmes de numération <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_%C3%A9gyptienne" title="Numération égyptienne">égyptien</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_grecque" title="Numération grecque">grec</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_romaine" title="Numération romaine">romain</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_gotique" title="Numération gotique">gotique</a>, ou plus simplement du <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_unaire" title="Système unaire">système unaire</a> ou de la <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_foresti%C3%A8re" title="Numération forestière">numération forestière</a>. </p><p>Il existe également des systèmes à la fois additifs et soustractifs. Ainsi, la <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_romaine" title="Numération romaine">numération romaine</a>, additive, connait une variante additive et soustractive plus tardive. </p><p>Exemple de nombre romain en écriture additive : MMCCCXXVII vaut 2327=(1000+1000)+(100+100+100)+(10+10)+5+(1+1). </p><p>Exemple de nombre romain en écriture additive et soustractive: CMXCIV vaut 994 (100 ôté de 1000+10 ôté de 100+1 ôté de 5). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Les_systèmes_hybrides"><span id="Les_syst.C3.A8mes_hybrides"></span>Les systèmes hybrides</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Les systèmes hybrides" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Les systèmes hybrides"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Ces systèmes utilisent des chiffres pour les unités et pour les puissances de la base<sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_21994436-440_38-0" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_21994436-440-38"><span class="cite_crochet">[</span>38<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Les chiffres représentant une puissance de la base utilisés sont, au besoin, combinés avec un chiffre représentant une unité, et les nombres sont ainsi représentés par addition de multiples de puissances de la base. C'est le cas des systèmes de numération <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_chinoise" title="Numération chinoise">chinois</a> et <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_japonaise" title="Numération japonaise">japonais</a>. On peut remarquer qu'un tel système de notation comporte une forte analogie avec le système d'énonciation des nombres dans une majorité de langues. (Par exemple, en français, le nombre <i>deux-mille-huit-cent-dix-sept</i>, est aussi formé par addition de multiples de puissances de la base 10 : 2×10³+8×10²+1×10¹+7.) </p><p>Exemple : en <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_japonaise" title="Numération japonaise">numération japonaise</a> le nombre 1975 s'écrit 千九百七十五. En effet 千 est le chiffre 1000, 百 le chiffre 100, 十 le chiffre 10, 九 le chiffre 9, 七 le chiffre 7, et 五 le chiffre 5. 千九百七十五 vaut donc : 1000+9x100+7x10+5=1975. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Les_systèmes_positionnels"><span id="Les_syst.C3.A8mes_positionnels"></span>Les systèmes positionnels</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Les systèmes positionnels" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Les systèmes positionnels"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Notation_positionnelle" title="Notation positionnelle">Notation positionnelle</a>.</div></div> <p>Ces systèmes utilisent des chiffres, dont la place dans l'écriture du nombre indique le poids qui leur est affecté (poids <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span><sup>0</sup>=1, poids <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span><sup>1</sup>=<span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span>, poids <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span><sup>2</sup>… pour une <a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">base</a> <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span>)<sup id="cite_ref-Georges_Ifrah_21994445-446_39-0" class="reference"><a href="#cite_note-Georges_Ifrah_21994445-446-39"><span class="cite_crochet">[</span>39<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. C'est le cas des systèmes de numération <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_maya" title="Numération maya">maya</a> et <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_babylonienne" class="mw-redirect" title="Numération babylonienne">babylonien</a>, ainsi que les systèmes de numération <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_indienne" title="Numération indienne">indien</a> et <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_arabe" class="mw-redirect" title="Numération arabe">arabe</a> à l'origine des <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a> modernes. Ils permettent d'écrire les nombres simplement quelle qu'en soit la base, en utilisant le <a href="/wiki/0_(nombre)" class="mw-redirect" title="0 (nombre)">zéro</a> positionnel. </p><p>Dans un tel système, une base β nécessite β chiffres pour représenter tous les entiers, et chaque entier a alors une représentation unique<sup id="cite_ref-40" class="reference"><a href="#cite_note-40"><span class="cite_crochet">[</span>40<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. La valeur généralement utilisée de ces chiffres va de 0 à β-1. </p><p>Exemples : </p> <ul><li>Base 2: les chiffres sont 0 et 1. Le nombre 17 (en système décimal) s'écrit "10001" en base 2, soit : 1x2⁴+0x2³+0x2²+0x2+1 donc 1x16+0x8+0x4+0x2+1.</li> <li>Base 5 : les chiffres sont 0,1, 2, 3 et 4. Le nombre 17 (en système décimal) s'écrit "32" en base 5, soit : 3x5+2.</li> <li>Base 36 : les chiffres sont les chiffres du système décimal et les lettres de l'alphabet. Le nombre 17 (en système décimal) s'écrit "H" en base 36 car H est le <abbr class="abbr" title="Dix-huitième">18<sup>e</sup></abbr> chiffre en base 36 (le premier étant 0).</li></ul> <p>Il existe aussi des types de représentations différents : </p> <ul><li>des systèmes k-adiques, sans 0, utilisant, pour une base β, des chiffres de 1 à β (ce sont des <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration_bijectif" title="Système de numération bijectif">systèmes bijectifs</a>) ;</li> <li>des systèmes balancés utilisant, pour une base β impaire, des chiffres de -(β-1)/2 à (β-1)/2 ;</li> <li>des systèmes redondants, utilisant pour une base β un nombre de chiffres strictement supérieur à β.</li></ul> <p>Un système sera dit incomplet<sup id="cite_ref-Fraenkel85_41-0" class="reference"><a href="#cite_note-Fraenkel85-41"><span class="cite_crochet">[</span>41<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, s'il ne permet pas de représenter tous les nombres. C'est le cas, par exemple, des systèmes de base β utilisant un nombre de chiffres strictement inférieur à β. </p><p>Plusieurs systèmes connaissent des applications en électronique et en informatique. Ces systèmes ont la particularité de représenter les nombres sur un nombre défini de positions, et ne peuvent donc représenter les entiers que jusqu’à une certaine borne. Par exemple, </p> <ul><li>en binaire : <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_n%C3%A9gabinaire" title="Système négabinaire">système négabinaire</a> ;</li> <li>en ternaire : <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_trinaire" class="mw-redirect" title="Système trinaire">système ternaire balancé</a> ;</li> <li>en base β : <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration_d%27Avizienis" title="Système de numération d'Avizienis">système d'Avizienis</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Autres_systèmes"><span id="Autres_syst.C3.A8mes"></span>Autres systèmes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Autres systèmes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Autres systèmes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Il existe aussi des systèmes alternatifs de représentations des nombres, soit dérivés du système positionnel, soit indépendants du concept de base tel qu'il a été défini plus haut. En voici quelques exemples, </p> <ul><li>en mathématiques (voir la section suivante correspondante) : le développement en <a href="/wiki/Fraction_continue" title="Fraction continue">fraction continue</a>, le <a href="/wiki/D%C3%A9veloppement_en_s%C3%A9rie_de_Engel" title="Développement en série de Engel">développement en série de Engel</a>, le <a href="/wiki/Nombre_p-adique#Décomposition_canonique_de_Hensel" title="Nombre p-adique">développement de Hensel</a>, le <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_modulaire_de_repr%C3%A9sentation" title="Système modulaire de représentation">système modulaire de représentation</a> ;</li> <li>en électronique et en informatique : le <a href="/wiki/Code_de_Gray" title="Code de Gray">binaire réfléchi</a> (ou code de Gray), le <a href="/wiki/Compl%C3%A9ment_%C3%A0_un" title="Complément à un">complément à un</a>, le <a href="/wiki/Compl%C3%A9ment_%C3%A0_deux" title="Complément à deux">complément à deux</a>, le <a href="/wiki/Binary_coded_decimal" class="mw-redirect" title="Binary coded decimal">décimal codé binaire</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathématiques"><span id="Math.C3.A9matiques"></span>Mathématiques</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Mathématiques" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Mathématiques"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Définition"><span id="D.C3.A9finition"></span>Définition</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Définition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Définition"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Un <i>système de numération</i> est<sup id="cite_ref-Rigo85_42-0" class="reference"><a href="#cite_note-Rigo85-42"><span class="cite_crochet">[</span>42<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> un triplet (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"></span>, ϕ), où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span> est l'ensemble à énumérer, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"></span> est un ensemble ﬁni ou dénombrable de chiffres et ϕ est une application injective de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span> vers l'ensemble des suites de chiffres : ϕ : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X\hookrightarrow I^{\mathbb {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">↪</mo> <msup> <mi>I</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\hookrightarrow I^{\mathbb {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d153aa08af72b1a4c32031d909f55567ac47af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.522ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle X\hookrightarrow I^{\mathbb {N} }}"></span>, et on a : ϕ<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x)=(a_{n}(x))_{n\geqslant 0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>⩾</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x)=(a_{n}(x))_{n\geqslant 0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7084bee164f8deb7ebd0ecbd5f5b5a85b879ab18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.953ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x)=(a_{n}(x))_{n\geqslant 0}}"></span>. L’application ϕ est appelée application de représentation, et ϕ(<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>) est la représentation de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>. Les suites admissibles sont définies comme les représentations images ϕ(<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>), pour tout <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span>∈<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span>. Exemple : la fonction "numération décimale usuelle", si on choisit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I=\{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>5</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>6</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>7</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>8</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>9</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I=\{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d248f3c650f14ed147aed14f3e260ee62de0b748" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.009ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I=\{0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\}}"></span>, et si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"></span> est l'ensemble <b>ℕ</b> des entiers naturels, associe à tout nombre entier naturel la suite de ses chiffres décimaux. On a donc ainsi ϕ(1950)=(0,5,9,1,0,0,...), et les suites admissibles sont les suites d'entiers naturels nulles à partir d'un certain rang.</li> <li><a href="/wiki/Georg_Cantor" title="Georg Cantor">Georg Cantor</a><sup id="cite_ref-43" class="reference"><a href="#cite_note-43"><span class="cite_crochet">[</span>43<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> définit un système de numération comme la donnée d'une suite d'<a href="/wiki/Entier_naturel" title="Entier naturel">entiers naturels</a> <i>a<sub>k</sub></i> rangés par ordre croissant (dans le cas du système décimal : <i>a<sub>k</sub></i> = 10<sup><i>k</i></sup>) et pour chacun, d'une valeur maximum <i>m<sub>k</sub></i> du coefficient par lequel on s'autorise à le multiplier (dans le cas du système décimal : <i>m<sub>k</sub></i> = 9). Il appelle représentation d'un entier naturel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> toute <a href="/wiki/Suite_(math%C3%A9matiques)" title="Suite (mathématiques)">suite</a> infinie de coefficients <i>c<sub>k</sub></i>, chaque <i>c<sub>k</sub></i> étant un entier naturel au plus égal à <i>m<sub>k</sub></i>, telle que la somme des <i>c<sub>k</sub>a<sub>k</sub></i> soit égale à <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span>. Il démontre qu'un tel système est « simple », c'est-à-dire représente chaque entier <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> de façon unique, si et seulement si <i>a</i><sub>0</sub> = 1 et pour tout <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">k</span>, <i>a</i><sub><i>k</i>+1</sub> = (1 + <i>m<sub>k</sub></i>)<i>a<sub>k</sub></i><sup id="cite_ref-44" class="reference"><a href="#cite_note-44"><span class="cite_crochet">[</span>44<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, puis étend dans ce cas les représentations d'entiers aux représentations de <a href="/wiki/Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">réels</a> (<a href="/wiki/Nombre_positif" title="Nombre positif">positifs</a>), en ajoutant aux représentations d'entiers des séries infinies de la forme :<span style="display: block; margin-left:1.6em;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {d_{k}}{a_{k}}},\quad d_{k}\in \{0,1,\ldots ,m_{k-1}\}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>+</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {d_{k}}{a_{k}}},\quad d_{k}\in \{0,1,\ldots ,m_{k-1}\}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd8eae94680b2849c2674f171438caf34cadf8ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:32.13ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {d_{k}}{a_{k}}},\quad d_{k}\in \{0,1,\ldots ,m_{k-1}\}.}"></span></span></li> <li><a href="/wiki/Aviezri_S._Fraenkel" class="mw-redirect" title="Aviezri S. Fraenkel">Aviezri S. Fraenkel</a><sup id="cite_ref-Fraenkel85_41-1" class="reference"><a href="#cite_note-Fraenkel85-41"><span class="cite_crochet">[</span>41<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> donne une définition générale de système de numération et décrit des cas d'unicité et de complétude : un système de numération est <i>complet</i> s'il permet de représenter tous les entiers.</li> <li>L'étude systématique a été reprise dans le cadre des <a href="/wiki/Langage_formel" title="Langage formel">langages formels</a> et la <a href="/wiki/Combinatoire" title="Combinatoire">combinatoire</a> par Michel Rigo<sup id="cite_ref-Rigo85_42-1" class="reference"><a href="#cite_note-Rigo85-42"><span class="cite_crochet">[</span>42<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</li> <li>Le problème de la propagation du report a été étudié part <a href="/wiki/Val%C3%A9rie_Berth%C3%A9" title="Valérie Berthé">Valérie Berthé</a>, Christiane Frougny, Michel Rigo et Jacques Sakarovitch<sup id="cite_ref-BerthéFrougny2020_45-0" class="reference"><a href="#cite_note-BerthéFrougny2020-45"><span class="cite_crochet">[</span>45<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Exemples_de_systèmes_de_numération"><span id="Exemples_de_syst.C3.A8mes_de_num.C3.A9ration"></span>Exemples de systèmes de numération</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Exemples de systèmes de numération" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Exemples de systèmes de numération"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">Base (arithmétique)</a>.</div></div> <ul><li>La numération en <a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">base</a> <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">b</span>, entier <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \geqslant 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⩾</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \geqslant 2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc83871e36920802b1cbd827ff966d91fe72b84" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.616ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \geqslant 2}"></span> : tout entier naturel <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> non nul s'écrit de manière unique sous la forme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=\sum _{k=0}^{N}a_{k}b^{k}=a_{0}+a_{1}b+\cdots a_{N}b^{N}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>b</mi> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=\sum _{k=0}^{N}a_{k}b^{k}=a_{0}+a_{1}b+\cdots a_{N}b^{N}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0dce8158a7fb07d7a2efcd560567be3267409f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:35.706ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle n=\sum _{k=0}^{N}a_{k}b^{k}=a_{0}+a_{1}b+\cdots a_{N}b^{N}}"></span>, avec les chiffres <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e256a120c3ab9f8958de71acdf81cd75065e3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.319ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{k}}"></span> vérifiant <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leqslant a_{k}\leqslant b-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>⩽</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>⩽</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leqslant a_{k}\leqslant b-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931ab81ad2b9aced3b49d2d3840ae8073f416ec5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.678ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0\leqslant a_{k}\leqslant b-1}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{N}\not =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{N}\not =0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7afe5ab6d6522cfcb84fa2f5873827601c2f41f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.182ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a_{N}\not =0}"></span>. Le nombre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=\left\lfloor {\frac {\ln(n)}{\ln(b)}}\right\rfloor +1=\left\lfloor {\log _{b}n}\right\rfloor +1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mrow> <mo>⌊</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>log</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>⌋</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=\left\lfloor {\frac {\ln(n)}{\ln(b)}}\right\rfloor +1=\left\lfloor {\log _{b}n}\right\rfloor +1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f420e3b9d078b15704cc82efc6f95f587b2cb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:32.712ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle N=\left\lfloor {\frac {\ln(n)}{\ln(b)}}\right\rfloor +1=\left\lfloor {\log _{b}n}\right\rfloor +1}"></span> est le nombre de chiffres de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> en base <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">b</span><sup id="cite_ref-46" class="reference"><a href="#cite_note-46"><span class="cite_crochet">[</span>46<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> (voir <a href="/wiki/Logarithme#Nombre_de_chiffres_avant_la_virgule" title="Logarithme">Logarithme#Nombre de chiffres avant la virgule</a>). De plus, tout réel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> peut s'écrire, de manière unique si son développement est propre (autrement dit ne se termine pas par une suite infinie de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf4269308d5f8175c0de6c3d7d9dc177e4f1cae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle b-1}"></span> comme 0,999... qui s'écrit aussi 1,000...), sous la forme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\sum _{k=-\infty }^{N}a_{k}b^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\sum _{k=-\infty }^{N}a_{k}b^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd33b8d32f90d1c9e149b381c1f72e85cf6d9a4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:14.277ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle x=\sum _{k=-\infty }^{N}a_{k}b^{k}}"></span> (voir <a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)#Non_unicité_de_représentation_de_certains_nombres" title="Base (arithmétique)">Non_unicité_de_représentation_de_certains_nombres</a>).</li> <li>La <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_%C3%A0_bases_mixtes" title="Numération à bases mixtes">numération à bases mixtes</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/101d5412a827c0145d28bd8d3c774a197cc1f70d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.895ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b_{1},b_{2},\cdots }"></span>, entiers <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \geqslant 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⩾</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \geqslant 2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc83871e36920802b1cbd827ff966d91fe72b84" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.616ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \geqslant 2}"></span>, généralisant la précédente : tout entier naturel <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> non nul s'écrit de manière unique sous la forme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}+\cdots +a_{N}b_{1}\cdots b_{N}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}+\cdots +a_{N}b_{1}\cdots b_{N}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff7e8a7a7bad6bf1aa61f20a94234e90df86aca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:42.745ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n=a_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{1}b_{2}+\cdots +a_{N}b_{1}\cdots b_{N}}"></span>, avec les chiffres <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e256a120c3ab9f8958de71acdf81cd75065e3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.319ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{k}}"></span> vérifiant <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leqslant a_{k}\leqslant b_{k+1}-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>⩽</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>⩽</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leqslant a_{k}\leqslant b_{k+1}-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178d483a3844d2587cc6503b5026667dde1f5f83" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.868ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0\leqslant a_{k}\leqslant b_{k+1}-1}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{N}\not =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{N}\not =0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7afe5ab6d6522cfcb84fa2f5873827601c2f41f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.182ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a_{N}\not =0}"></span>. La représentation est dite <a href="/wiki/Factorielle" title="Factorielle">factorielle</a> lorsque <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{k}=k+1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k}=k+1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa081bc93ea0663eaddd445b720e3e78449d5da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.631ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{k}=k+1}"></span>.</li> <li>La <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_en_base_non_enti%C3%A8re" title="Numération en base non entière">numération en base non entière</a><sup id="cite_ref-47" class="reference"><a href="#cite_note-47"><span class="cite_crochet">[</span>47<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, utilisant notamment la <a href="/wiki/Base_d%27or" title="Base d'or">base d'or</a>, la base <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}}"></span> ou encore la base <i><b><a href="/wiki/E_(nombre)" title="E (nombre)">e</a></b></i>.</li> <li>La numération de Fibonacci<sup id="cite_ref-48" class="reference"><a href="#cite_note-48"><span class="cite_crochet">[</span>48<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, obtenue par le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Zeckendorf" title="Théorème de Zeckendorf">théorème de Zeckendorf</a> : la <a href="/wiki/Suite_de_Fibonacci" title="Suite de Fibonacci">suite de Fibonacci</a> définie par <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{0}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{0}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ebe8b2d5551fb272cd4258940fe1e492592d02" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.81ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{0}=0}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{1}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{1}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c374ba08c140de90c6cbb4c9b9fcd26e3f99ef56" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.81ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{1}=1}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4181a6c72e594296eba3faa89618e10dbd3e12ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}}"></span> permet d'écrire tout entier naturel <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> non nul de manière unique sous la forme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=\sum _{k=2}^{N}\varepsilon _{k}F_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=\sum _{k=2}^{N}\varepsilon _{k}F_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0fac8eff709df7559499bd0c7526533de808c7f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.991ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle n=\sum _{k=2}^{N}\varepsilon _{k}F_{k}}"></span>, où les chiffres <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{k}\in \{0,1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{k}\in \{0,1\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7cd15aba7265f583575725d4489ded36d2707c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.697ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{k}\in \{0,1\}}"></span> vérifient <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{N}\not =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{N}\not =0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d6b7aa5d2ccf157c1da0005649f74890402dfb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.036ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{N}\not =0}"></span>, et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{k}\varepsilon _{k+1}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{k}\varepsilon _{k+1}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fe0b44f0eb515156dccdda8a5dd8ae4742b59c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.706ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{k}\varepsilon _{k+1}=0}"></span> pour <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\leqslant k\leqslant N-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>⩽</mo> <mi>k</mi> <mo>⩽</mo> <mi>N</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\leqslant k\leqslant N-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc4084fbd64ff3bb54e575570a7d186bf73e7283" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:14.637ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2\leqslant k\leqslant N-1}"></span>.</li> <li>La représentation en <a href="/wiki/Fractions_continues" class="mw-redirect" title="Fractions continues">fraction continue</a> : tout nombre réel s'écrit de manière unique sous la forme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>…</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa79f36fc76e7c2396cac494cb849256957bc46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.171ex; width:27.215ex; height:11.343ex;" alt="{\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}}"></span> avec <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{0}\in \mathbb {Z} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{0}\in \mathbb {Z} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5197ebc6211e18b809690f5db72e1ae1788184a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.675ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{0}\in \mathbb {Z} }"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{k}\in \mathbb {N} ^{*}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k}\in \mathbb {N} ^{*}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b30128e9fa57e6fbfd9af5b64644b00997030698" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.892ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle a_{k}\in \mathbb {N} ^{*}}"></span> pour <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\geqslant 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>⩾</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\geqslant 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2ffbedd123f77e2a242b116bbbf2234d487b48" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.472ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle k\geqslant 1}"></span>, la suite des <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e256a120c3ab9f8958de71acdf81cd75065e3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.319ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{k}}"></span> étant finie pour un <a href="/wiki/Nombre_rationnel" title="Nombre rationnel">nombre rationnel</a>, infinie pour un <a href="/wiki/Nombre_irrationnel" title="Nombre irrationnel">nombre irrationnel</a>.</li> <li>La <a href="/wiki/D%C3%A9composition_en_nombres_premiers" class="mw-redirect" title="Décomposition en nombres premiers">décomposition en produit de nombres premiers</a> est un système de numération, notamment utilisé par les <a href="/wiki/Calculateur_quantique" class="mw-redirect" title="Calculateur quantique">calculateurs quantiques</a><sup id="cite_ref-49" class="reference"><a href="#cite_note-49"><span class="cite_crochet">[</span>49<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, <center><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\exists !(\alpha _{p})_{p\in {\mathcal {P}}}\in \mathbb {N} ^{({\mathcal {P}})}:n=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}p^{\alpha _{p}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∀</mi> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi mathvariant="normal">∃</mi> <mo>!</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo>:</mo> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mi> </mrow> </mrow> </mrow> </munder> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\exists !(\alpha _{p})_{p\in {\mathcal {P}}}\in \mathbb {N} ^{({\mathcal {P}})}:n=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}p^{\alpha _{p}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665643b2ea5dfc3e5e745654b8f9b33db8f1b5e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:39.419ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\exists !(\alpha _{p})_{p\in {\mathcal {P}}}\in \mathbb {N} ^{({\mathcal {P}})}:n=\prod _{p\in {\mathcal {P}}}p^{\alpha _{p}}}"></span>.</center></li> <li>Le <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_modulaire_de_repr%C3%A9sentation_:_RNS" class="mw-redirect" title="Système modulaire de représentation : RNS">système modulaire de représentation (RNS)</a> permet, à l'aide d'une base <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/197221ca60ecdab0d78cd0d4b726f4d7108312a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.47ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n})}"></span> de modules mutuellement <a href="/wiki/Premiers_entre_eux" class="mw-redirect" title="Premiers entre eux">premiers entre eux</a>, d'énumérer tous les nombres entiers <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leqslant a<M}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>⩽</mo> <mi>a</mi> <mo><</mo> <mi>M</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leqslant a<M}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e986f4f7afec77f9251f708aadf1d92db2e0c5fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.031ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0\leqslant a<M}"></span>, où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M=\prod _{k=1}^{n}m_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M=\prod _{k=1}^{n}m_{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a26fff7a9b27b0782670da8107200adc2a3d63" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.026ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle M=\prod _{k=1}^{n}m_{k}}"></span> par leur suite de restes <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a\mod {m_{k}})_{1\leqslant k\leqslant n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mspace width="1em" /> <mi>mod</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>⩽</mo> <mi>k</mi> <mo>⩽</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\mod {m_{k}})_{1\leqslant k\leqslant n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3971f1480265c602b0cd230bba012634f6bc599" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.884ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a\mod {m_{k}})_{1\leqslant k\leqslant n}}"></span> en utilisant le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_restes_chinois" title="Théorème des restes chinois">théorème des restes chinois</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Système_de_numération_fibré"><span id="Syst.C3.A8me_de_num.C3.A9ration_fibr.C3.A9"></span>Système de numération fibré</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Système de numération fibré" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Système de numération fibré"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les chiffres proviennent d'une transformation non injective <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T:X\to X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo>:</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T:X\to X}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1aa55687228075ec7c550d63a5b54c3930efd6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.148ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T:X\to X}"></span><sup class="need_ref_tag" style="padding-left:2px;"><a href="/wiki/Aide:R%C3%A9f%C3%A9rence_n%C3%A9cessaire" title="Aide:Référence nécessaire"><span title="Ce passage nécessite une référence (demandé le 19 mars 2023) ; voir l'aide.">[réf. nécessaire]</span></a></sup>. </p> <ul><li>En représentation <i>q</i>-adique, le "chiffre des unités" est donné par <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon (n)=n\,({\text{mod}}\,q)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>mod</mtext> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon (n)=n\,({\text{mod}}\,q)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b26caeb217d0db6da054d79b7007bcd21fb70b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.825ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon (n)=n\,({\text{mod}}\,q)}"></span> et la suite des chiffres par <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{k}(n)=\varepsilon (T^{k}(n))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ε</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ε</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{k}(n)=\varepsilon (T^{k}(n))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b47d98fc2a08d22072431022ef1730c8efad9d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.38ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{k}(n)=\varepsilon (T^{k}(n))}"></span> où <i>T</i> est l'application <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T(n)=({n-\varepsilon (n)})/q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>ε</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(n)=({n-\varepsilon (n)})/q}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4151125be7d368086383cae1e18eb70a089c0864" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.503ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T(n)=({n-\varepsilon (n)})/q}"></span>.</li> <li>La suite des chiffres de la représentation en fractions continues provient de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon (x)=\lfloor 1/x\rfloor }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ε</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⌊</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⌋</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon (x)=\lfloor 1/x\rfloor }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a210e360e53b0ce37f973328c2f476767fd63207" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.04ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon (x)=\lfloor 1/x\rfloor }"></span> et l'application de <a href="/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" title="Carl Friedrich Gauss">Gauss</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T(x)=1/x-\epsilon (x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>ϵ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(x)=1/x-\epsilon (x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654029ad1189f59f6077a6383421a4a54b2de223" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.452ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T(x)=1/x-\epsilon (x)}"></span>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-Georges_Ifrah_1199433-46-1"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Georges_Ifrah_1199433-46_1-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Georges_Ifrah_11994">Georges Ifrah 1 1994</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 33-46. </span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths/nombres/histoire-des-nombres#signet5"><cite style="font-style:normal;">Des chiffres aux nombres</cite></a> », sur <span class="italique">www.maths-et-tiques.fr</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2023-02-28" data-sort-value="2023-02-28">28 février 2023</time>)</small></span></span> </li> <li id="cite_note-Georges_Ifrah_11994728-750-3"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Georges_Ifrah_11994728-750_3-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Georges_Ifrah_11994">Georges Ifrah 1 1994</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 728-750. </span> </li> <li id="cite_note-Georges_Ifrah_11994325-327-4"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Georges_Ifrah_11994325-327_4-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Georges_Ifrah_11994">Georges Ifrah 1 1994</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 325-327. </span> </li> <li id="cite_note-Georges_Ifrah_1199496-103-5"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-Georges_Ifrah_1199496-103_5-0">a</a> et <a href="#cite_ref-Georges_Ifrah_1199496-103_5-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text"><a href="#Georges_Ifrah_11994">Georges Ifrah 1 1994</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 96-103. </span> </li> <li id="cite_note-:1-6"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-:1_6-0">a</a> et <a href="#cite_ref-:1_6-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.omniglot.com/language/numbers/wolof.htm"><cite style="font-style:normal;">Numbers in Wolof</cite></a> », sur <span class="italique">www.omniglot.com</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2020-01-10" data-sort-value="2020-01-10">10 janvier 2020</time>)</small></span></span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-7">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Varman_|2014"><span class="ouvrage" id="de_Tuxy_Varman_|2014">de Tuxy <span class="nom_auteur">Varman |</span>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://srokkhmer.org/cours/les-chiffres-khmers/"><cite style="font-style:normal;">Les chiffres khmers</cite></a> », sur <span class="italique">Srok Khmer - Apprendre le khmer</span>, <time class="nowrap" datetime="2014-11-28" data-sort-value="2014-11-28">28 novembre 2014</time> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2020-01-10" data-sort-value="2020-01-10">10 janvier 2020</time>)</small></span></span></span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-8">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.omniglot.com/language/numbers/nahuatl.htm"><cite style="font-style:normal;">Numbers in Nahuatl</cite></a> », sur <span class="italique">www.omniglot.com</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2020-01-10" data-sort-value="2020-01-10">10 janvier 2020</time>)</small></span></span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-9">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.omniglot.com/language/numbers/lote.htm"><cite style="font-style:normal;">Numbers in Lote</cite></a> », sur <span class="italique">www.omniglot.com</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2020-01-10" data-sort-value="2020-01-10">10 janvier 2020</time>)</small></span></span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-10">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.omniglot.com/language/numbers/ngadha.htm"><cite style="font-style:normal;">Numbers in Ngadha</cite></a> », sur <span class="italique">www.omniglot.com</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2020-01-10" data-sort-value="2020-01-10">10 janvier 2020</time>)</small></span></span> </li> <li id="cite_note-Georges_Ifrah_11994455-469-11"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Georges_Ifrah_11994455-469_11-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Georges_Ifrah_11994">Georges Ifrah 1 1994</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 455-469. </span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-12">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Avelino2006"><span class="ouvrage" id="Heriberto_Avelino2006"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Heriberto <span class="nom_auteur">Avelino</span>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">The typology of Pamean number systems and the limits of Mesoamerica as a linguistic area</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">De Gruyter academic publication</span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 10, <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 1,‎ <time class="nowrap" datetime="2006-07-01" data-sort-value="2006-07-01"><abbr class="abbr" title="premier">1<sup>er</sup></abbr> juillet 2006</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">41–60</span> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Serial_Number" title="International Standard Serial Number">ISSN</a> <span class="plainlinks noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://portal.issn.org/resource/issn/1613-415X">1613-415X</a></span>, <a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1515/LINGTY.2006.002">10.1515/LINGTY.2006.002</a></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/LINGTY.2006.002/html">lire en ligne</a>, consulté le <time class="nowrap" datetime="2023-03-05" data-sort-value="2023-03-05">5 mars 2023</time>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+typology+of+Pamean+number+systems+and+the+limits+of+Mesoamerica+as+a+linguistic+area&rft.jtitle=De+Gruyter+academic+publication&rft.issue=1&rft.aulast=Avelino&rft.aufirst=Heriberto&rft.date=2006-07-01&rft.volume=10&rft.pages=41%E2%80%9360&rft.issn=1613-415X&rft_id=info%3Adoi%2F10.1515%2FLINGTY.2006.002&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+de+num%C3%A9ration"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-Georges_Ifrah_21994433-13"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Georges_Ifrah_21994433_13-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Georges_Ifrah_21994">Georges Ifrah 2 1994</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 433. </span> </li> <li id="cite_note-14"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-14">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths/nombres/histoire-des-nombres#signet8"><cite style="font-style:normal;">Des chiffres aux nombres</cite></a> », sur <span class="italique">www.maths-et-tiques.fr</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2023-02-28" data-sort-value="2023-02-28">28 février 2023</time>)</small></span></span> </li> <li id="cite_note-Georges_Ifrah_11994103-113-15"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Georges_Ifrah_11994103-113_15-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Georges_Ifrah_11994">Georges Ifrah 1 1994</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 103-113. </span> </li> <li id="cite_note-Georges_Ifrah_11994224-225-16"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Georges_Ifrah_11994224-225_16-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Georges_Ifrah_11994">Georges Ifrah 1 1994</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 224-225. </span> </li> <li id="cite_note-17"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-17">↑</a> </span><span class="reference-text">Dans le système anglosaxon de mesure des longueurs, un <a href="/wiki/Pied_(unit%C3%A9)" title="Pied (unité)">pied</a> (30,48 <abbr class="abbr" title="centimètre">cm</abbr>) vaut <span class="nowrap">12 pouces</span>, et un <a href="/wiki/Pouce_(unit%C3%A9)" title="Pouce (unité)">pouce</a> vaut <span class="nowrap">12 lignes</span>.</span> </li> <li id="cite_note-tools.ietf.org_rfc4648-18"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-tools.ietf.org_rfc4648_18-0">a</a> <a href="#cite_ref-tools.ietf.org_rfc4648_18-1">b</a> et <a href="#cite_ref-tools.ietf.org_rfc4648_18-2">c</a></sup> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.wikiwix.com/cache/index2.php?url=https://tools.ietf.org/html/rfc4648#federation=archive.wikiwix.com&tab=url"><cite style="font-style:normal;" lang="en">4648 - The Base16, Base32, and Base64 Data Encodings</cite></a> », sur <span class="italique">archive.wikiwix.com</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2023-03-04" data-sort-value="2023-03-04">4 mars 2023</time>)</small></span>.</span> </li> <li id="cite_note-RFC-4648-19"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-RFC-4648_19-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://tools.ietf.org/html/rfc4648"><span class="lang-en" lang="en">Request for comments</span> <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 4648</a> </span> </li> <li id="cite_note-Georges_Ifrah_21994416-20"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-Georges_Ifrah_21994416_20-0">a</a> et <a href="#cite_ref-Georges_Ifrah_21994416_20-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text"><a href="#Georges_Ifrah_21994">Georges Ifrah 2 1994</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 416. </span> </li> <li id="cite_note-21"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-21">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths/nombres/histoire-des-nombres#signet10"><cite style="font-style:normal;">Des chiffres aux nombres</cite></a> », sur <span class="italique">www.maths-et-tiques.fr</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2023-02-28" data-sort-value="2023-02-28">28 février 2023</time>)</small></span></span> </li> <li id="cite_note-:2-22"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-:2_22-0">a</a> et <a href="#cite_ref-:2_22-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Ulrich"><span class="ouvrage" id="Alexis_Ulrich">Alexis <span class="nom_auteur">Ulrich</span>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.languagesandnumbers.com/comment-compter-en-basque/fr/eus/"><cite style="font-style:normal;">Nombres en basque</cite></a> », sur <span class="italique">Des langues et des nombres</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2023-03-04" data-sort-value="2023-03-04">4 mars 2023</time>)</small></span></span></span> </li> <li id="cite_note-23"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-23">↑</a> </span><span class="reference-text">Soit 15*20 patients.</span> </li> <li id="cite_note-24"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-24">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Numerati/aaaBASE/Intro.htm"><cite style="font-style:normal;">Bases de numération, introduction</cite></a> », sur <span class="italique">villemin.gerard.free.fr</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2023-03-04" data-sort-value="2023-03-04">4 mars 2023</time>)</small></span></span> </li> <li id="cite_note-25"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-25">↑</a> </span><span class="reference-text"><span 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title="6,283 184 rad" style="cursor:help">360</span><abbr class="abbr" title="degré">°</abbr>. Attention, il existe d'autres mesures d'angle comme le <a href="/wiki/Grade_(angle)" title="Grade (angle)">grade</a>, le tour complet valant <span title="360° ou 6,981 316 rad" style="cursor:help">400</span> <abbr class="abbr" title="grade">gr</abbr>, ou le <a href="/wiki/Radian" title="Radian">radian</a>, le tour complet valant 2π <abbr class="abbr" title="radian">rad</abbr>.</span> </li> <li id="cite_note-28"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-28">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Ulrich"><span class="ouvrage" id="Alexis_Ulrich">Alexis <span class="nom_auteur">Ulrich</span>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.languagesandnumbers.com/comment-compter-en-latin/fr/lat/"><cite style="font-style:normal;">Nombres en latin</cite></a> », sur <span class="italique">Des langues et des nombres</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2023-03-03" data-sort-value="2023-03-03">3 mars 2023</time>)</small></span></span></span> </li> <li id="cite_note-29"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-29">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Ulrich"><span class="ouvrage" id="Alexis_Ulrich">Alexis <span class="nom_auteur">Ulrich</span>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.languagesandnumbers.com/comment-compter-en-breton/fr/bre/"><cite style="font-style:normal;">Nombres en breton</cite></a> », sur <span class="italique">Des langues et des nombres</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2023-03-03" data-sort-value="2023-03-03">3 mars 2023</time>)</small></span></span></span> </li> <li id="cite_note-30"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-30">↑</a> </span><span class="reference-text">A. 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href="#cite_ref-Rigo85_42-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Rigo2014"><span class="ouvrage" id="Michel_Rigo2014">Michel Rigo, <cite class="italique">Formal Languages, Automata and Numeration Systems</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 2 : <span class="italique">Applications to Recognizability and Decidability</span>, London/Hoboken, NJ, ISTE/John Wiley & Sons, Inc., <time>2014</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Formal+Languages%2C+Automata+and+Numeration+Systems&rft.place=London%2FHoboken%2C+NJ&rft.pub=ISTE%2FJohn+Wiley+%26+Sons%2C+Inc.&rft.aulast=Rigo&rft.aufirst=Michel&rft.date=2014&rft.volume=2&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+de+num%C3%A9ration"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-43"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-43">↑</a> </span><span class="reference-text"><span 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Ueber+die+einfachen+Zahlensysteme&rft.jtitle=Zeitschrift+f%C3%BCr+Mathematik+und+Physik&rft.aulast=Cantor&rft.aufirst=Georg&rft.date=1869&rft.volume=14&rft.pages=121-128&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.deutsche-digitale-bibliothek.de%2Fitem%2FFYNPKTHSX6OA7Y5GD2GFGQYLCRYV6IX4&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+de+num%C3%A9ration"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-44"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-44">↑</a> </span><span class="reference-text">Par exemple, en base usuelle décimale, la suite infinie (11000000...) représente le nombre 1+10+0+0+0... soit 11.</span> </li> <li id="cite_note-BerthéFrougny2020-45"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-BerthéFrougny2020_45-0">↑</a> </span><span class="reference-text"> <span class="ouvrage" id="BerthéFrougnyRigoSakarovitch2020"><span class="ouvrage" id="Valérie_BerthéChristiane_FrougnyMichel_RigoJacques_Sakarovitch2020">Valérie <span class="nom_auteur">Berthé</span>, Christiane <span class="nom_auteur">Frougny</span>, Michel <span class="nom_auteur">Rigo</span> et Jacques <span class="nom_auteur">Sakarovitch</span>, « <cite style="font-style:normal">The carry propagation of the successor function</cite> », <i>Advances in Applied Mathematics</i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 120,‎ <time>2020</time>, article <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 102062 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1016/j.aam.2020.102062">10.1016/j.aam.2020.102062</a></span>, <a href="/wiki/ArXiv" title="ArXiv">arXiv</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1907.01464">1907.01464</a></span>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=The+carry+propagation+of+the+successor+function&rft.jtitle=Advances+in+Applied+Mathematics&rft.aulast=Berth%C3%A9&rft.aufirst=Val%C3%A9rie&rft.au=Frougny%2C+Christiane&rft.au=Rigo%2C+Michel&rft.au=Sakarovitch%2C+Jacques&rft.date=2020&rft.volume=120&rft_id=info%3Adoi%2F10.1016%2Fj.aam.2020.102062&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+de+num%C3%A9ration"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-46"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-46">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Pasquet2019"><span class="ouvrage" id="Stéphane_Pasquet2019">Stéphane <span class="nom_auteur">Pasquet</span>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.mathweb.fr/euclide/2019/03/02/nombre-de-chiffres-dun-nombre/"><cite 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href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-7440-7263-5" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-7440-7263-5"><span class="nowrap">978-2-7440-7263-5</span></a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 57.</span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliographie">Bibliographie</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="ouvrage" id="Ifrah_11994"><span class="ouvrage" id="Georges_Ifrah_11994">Georges Ifrah 1, <cite class="italique">Histoire universelle des chiffres</cite>, <abbr class="abbr" title="tome">t.</abbr> 1, Paris, Robert Laffont, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Bouquins », <time>1994</time>, 1042 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-221-05779-1" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-221-05779-1"><span class="nowrap">2-221-05779-1</span></a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Histoire+universelle+des+chiffres&rft.place=Paris&rft.pub=Robert+Laffont&rft.au=Georges+Ifrah+1&rft.date=1994&rft.tpages=1042&rft.isbn=2-221-05779-1&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+de+num%C3%A9ration"></span></span></span>.<span class="nowrap" title="Ouvrage utilisé pour la rédaction de l'article"> <span typeof="mw:File"><span><img alt="Ouvrage utilisé pour la rédaction de l'article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/20px-Icon_flat_design_plume.svg.png" decoding="async" width="20" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/30px-Icon_flat_design_plume.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/40px-Icon_flat_design_plume.svg.png 2x" data-file-width="330" data-file-height="158" /></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Ifrah_21994"><span class="ouvrage" id="Georges_Ifrah_21994">Georges Ifrah 2, <cite class="italique">Histoire universelle des chiffres</cite>, <abbr class="abbr" title="tome">t.</abbr> 2, Paris, Robert Laffont, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Bouquins », <time>1994</time>, 1010 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-221-07837-3" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-221-07837-3"><span class="nowrap">2-221-07837-3</span></a>)</small>, <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> 28<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Histoire+universelle+des+chiffres&rft.place=Paris&rft.pub=Robert+Laffont&rft.au=Georges+Ifrah+2&rft.date=1994&rft.tpages=1010&rft.isbn=2-221-07837-3&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASyst%C3%A8me+de+num%C3%A9ration"></span></span></span>.<span class="nowrap" title="Ouvrage utilisé pour la rédaction de l'article"> <span typeof="mw:File"><span><img alt="Ouvrage utilisé pour la rédaction de l'article" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/20px-Icon_flat_design_plume.svg.png" decoding="async" width="20" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/30px-Icon_flat_design_plume.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Icon_flat_design_plume.svg/40px-Icon_flat_design_plume.svg.png 2x" data-file-width="330" data-file-height="158" /></span></span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=15" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=15" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=16" title="Modifier la section : Articles connexes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=16" title="Modifier le code source de la section : Articles connexes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Cha%C3%AEne_num%C3%A9rique" title="Chaîne numérique">Chaîne numérique</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration" title="Numération">Numération</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_romaine" title="Numération romaine">Numération romaine</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_foresti%C3%A8re" title="Numération forestière">Numération forestière</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_d%27Ostrowski" title="Numération d'Ostrowski">Numération d'Ostrowski</a></li> <li><a href="/wiki/Notation_positionnelle" title="Notation positionnelle">Notation positionnelle</a></li> <li><a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">Base (arithmétique)</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_%C3%A0_bases_mixtes" title="Numération à bases mixtes">Numération à bases mixtes</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_en_base_non_enti%C3%A8re" title="Numération en base non entière">Numération en base non entière</a></li> <li><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_unaire" title="Système unaire">Système unaire</a></li> <li><a href="/wiki/Nombres_en_fran%C3%A7ais" title="Nombres en français">Nombres en français</a></li> <li><a href="/wiki/Chiffres_arabes" title="Chiffres arabes">Chiffres arabes</a></li> <li><a href="/wiki/Nombres_dans_le_monde" title="Nombres dans le monde">Nombres dans le monde</a></li> <li><a href="/wiki/Liste_de_nombres" title="Liste de nombres">Liste de nombres</a></li> <li><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_vic%C3%A9simal" title="Système vicésimal">Système vicésimal</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_ordinal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Système ordinal (page inexistante)">Système ordinal</a></li> <li><i><a href="/wiki/The_Ciphers_of_the_Monks" class="mw-redirect" title="The Ciphers of the Monks">The Ciphers of the Monks</a></i></li> <li><a href="/w/index.php?title=Histoire_des_anciens_syst%C3%A8mes_num%C3%A9riques&action=edit&redlink=1" class="new" title="Histoire des anciens systèmes numériques (page inexistante)">Histoire des anciens systèmes numériques</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_ancient_numeral_systems" class="extiw" title="en:History of ancient numeral systems"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « History of ancient numeral systems »">(en)</span></a> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Num%C3%A9ration_pr%C3%A9historique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Numération préhistorique (page inexistante)">Numération préhistorique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Prehistoric_numerals" class="extiw" title="en:Prehistoric numerals"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Prehistoric numerals »">(en)</span></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_num%C3%A9rique_aborig%C3%A8ne_australien&action=edit&redlink=1" class="new" title="Système numérique aborigène australien (page inexistante)">Système numérique aborigène australien</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Australian_Aboriginal_enumeration" class="extiw" title="en:Australian Aboriginal enumeration"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Australian Aboriginal enumeration »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/B%C3%A2ton_de_comptage" title="Bâton de comptage">Bâton de comptage</a></li></ul></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&veaction=edit&section=17" title="Modifier la section : Liens externes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration&action=edit&section=17" title="Modifier le code source de la section : Liens externes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Numerati/Base.htm"><cite style="font-style:normal;">collection de nombres, bases de numération</cite></a> », sur <span class="italique">villemin.gerard.free.fr</span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Berger"><span class="ouvrage" id="Philippe_Berger">Philippe Berger, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://philippe.berger2.free.fr/automatique/cours/numeration/numeration.htm"><cite style="font-style:normal;">Numération</cite></a> », sur <span class="italique">philippe.berger2.free.fr</span></span></span></li> <li><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wims.univ-cotedazur.fr/wims/fr_tool~number~baseconv.fr.html"><cite style="font-style:normal;">Convertisseur de base</cite></a> », sur <span class="italique">wims.univ-cotedazur.fr</span></span></li> <li>Logiciel pour découvrir des systèmes de numération sur le <span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ramustheque.com/"><cite style="font-style:normal;">site de Michel Ramus</cite></a> »</span></li></ul> <div class="navbox-container" style="clear:both;"> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Num%C3%A9ration" title="Modèle:Palette Numération"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Num%C3%A9ration&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a class="mw-selflink selflink">Systèmes de numération</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:11em;text-align:left"><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration_indo-arabe" title="Système de numération indo-arabe">Arabo-indiennes</a></th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Chiffres_arabes" title="Chiffres arabes">Arabe occidentale</a></li> <li><a href="/wiki/Chiffres_arabes_orientaux" title="Chiffres arabes orientaux">Arabe orientale</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Num%C3%A9ration_khmer&action=edit&redlink=1" class="new" title="Numération khmer (page inexistante)">Khmère</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Khmer_numerals" class="extiw" title="en:Khmer numerals"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Khmer numerals »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_indienne" title="Numération indienne">Indienne</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_mongole" title="Numération mongole">Mongole</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_tha%C3%AF" title="Numération thaï">Thaïe</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:11em;text-align:left"><a href="/wiki/Notation_positionnelle" title="Notation positionnelle">Positionnelles</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Baguettes_%C3%A0_calculer" title="Baguettes à calculer">À bâtons</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_maya" title="Numération maya">Maya</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_m%C3%A9sopotamienne" title="Numération mésopotamienne">Mésopotamienne</a></li> <li><a href="/wiki/Chiffres_de_Kaktovik" title="Chiffres de Kaktovik">Chiffres de Kaktovik</a> (iñupiaq)</li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:11em;text-align:left">Asiatiques orientales</th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_chinoise" title="Numération chinoise">Chinoise</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_cor%C3%A9enne" title="Numération coréenne">Coréenne</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_japonaise" title="Numération japonaise">Japonaise</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_Suzhou" title="Numération Suzhou">Suzhou</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:11em;text-align:left">Alphabétiques</th> <td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_abjad" title="Numération abjad">Abjad</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_arm%C3%A9nienne" title="Numération arménienne">Arménienne</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Num%C3%A9ration_cyrillique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Numération cyrillique (page inexistante)">Cyrillique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cyrillic_numerals" class="extiw" title="en:Cyrillic numerals"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Cyrillic numerals »">(en)</span></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Num%C3%A9ration_d%27%C3%82ryabhata&action=edit&redlink=1" class="new" title="Numération d'Âryabhata (page inexistante)">Âryabhata</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/%C4%80ryabha%E1%B9%ADa_numeration" class="extiw" title="en:Āryabhaṭa numeration"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Āryabhaṭa numeration »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_%C3%A9thiopienne" title="Numération éthiopienne">Éthiopienne</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_h%C3%A9bra%C3%AFque" title="Numération hébraïque">Hébraïque</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_grecque" title="Numération grecque">Grecque</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_gotique" title="Numération gotique">Gotique</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="width:11em;text-align:left"><a href="/wiki/Notation_additive_(num%C3%A9ration)" title="Notation additive (numération)">Additives</a></th> <td class="navbox-list" style="text-align:left;"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Num%C3%A9ration_attique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Numération attique (page inexistante)">Attique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Attic_numerals" class="extiw" title="en:Attic numerals"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Attic numerals »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_brahmi" title="Numération brahmi">Brahmi</a></li> <li><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration_de_la_culture_des_champs_d%27urnes" title="Système de numération de la culture des champs d'urnes">Champs d’urnes</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_%C3%A9gyptienne" title="Numération égyptienne">Égyptienne</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_%C3%A9trusque" title="Numération étrusque">Étrusque</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_foresti%C3%A8re" title="Numération forestière">Forestière</a></li> <li><a href="/wiki/Chiffres_de_Kaktovik" title="Chiffres de Kaktovik">Inuite</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_romaine" title="Numération romaine">Romaine</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration_tchouvache" title="Numération tchouvache">Tchouvache</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <td class="navbox-banner" style="" colspan="2"><div class="liste-horizontale">Voir aussi : <ul><li><a href="/wiki/Notation_musicale" title="Notation musicale">Notation musicale</a></li> <li><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_d%27%C3%A9criture" title="Système d'écriture">Système d’écriture</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="3" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Base_de_num%C3%A9ration_positionnelle" title="Modèle:Palette Base de numération positionnelle"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Base_de_num%C3%A9ration_positionnelle&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">Base</a> de <a href="/wiki/Notation_positionnelle" title="Notation positionnelle">numération positionnelle</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">1 à 9</th> <td class="navbox-list" style=""><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_unaire" title="Système unaire">unaire (1)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_binaire" title="Système binaire">binaire (2)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_ternaire" title="Système ternaire">ternaire (3)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_quaternaire" title="Système quaternaire">quaternaire (4)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_quinaire" title="Système quinaire">quinaire (5)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_s%C3%A9naire" title="Système sénaire">sénaire (6)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_sept%C3%A9naire" title="Système septénaire">septénaire (7)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_octal" title="Système octal">octal (8)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_nonaire" title="Système nonaire">nonaire (9)</a></td> <td class="navbox-image" rowspan="4" style="vertical-align:middle;padding-left:7px"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg" class="mw-file-description" title="Mathématiques"><img alt="Mathématiques" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/70px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png" decoding="async" width="70" height="70" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/105px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/140px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">10 à 60</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_d%C3%A9cimal" title="Système décimal">décimal (10)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_und%C3%A9cimal" title="Système undécimal">undécimal (11)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_duod%C3%A9cimal" title="Système duodécimal">duodécimal (12)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_trid%C3%A9cimal" title="Système tridécimal">tridécimal (13)</a>, <a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_quind%C3%A9cimal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Système quindécimal (page inexistante)">quindécimal (15)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_hexad%C3%A9cimal" title="Système hexadécimal">hexadécimal (16)</a>, <a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_octod%C3%A9cimal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Système octodécimal (page inexistante)">octodécimal (18)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_vic%C3%A9simal" title="Système vicésimal">vicésimal (20)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_%C3%A0_base_36" title="Système à base 36">base 36</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_sexag%C3%A9simal" title="Système sexagésimal">sexagésimal (60)</a></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Autre base</th> <td class="navbox-list" style=""><a href="/wiki/Base_d%27or" title="Base d'or">base d'or (φ)</a>, <a href="/wiki/Num%C3%A9ration_%C3%A0_bases_mixtes" title="Numération à bases mixtes"> mixte</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_n%C3%A9gabinaire" title="Système négabinaire">négabinaire (–2)</a>, <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_n%C3%A9gaternaire" title="Système négaternaire">négaternaire (-3)</a>, <a href="/w/index.php?title=Syst%C3%A8me_%C3%A0_base_complexe&action=edit&redlink=1" class="new" title="Système à base complexe (page inexistante)">bases complexes</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Complex-base_system" class="extiw" title="en:Complex-base system"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Complex-base system »">(en)</span></a> : <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_quater-imaginaire" title="Système quater-imaginaire">quater-imaginaire (2<span class="texhtml">i</span>)</a></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Notions</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)" title="Base (arithmétique)">base</a></li> <li><a href="/wiki/Chiffre" title="Chiffre">chiffre</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre" title="Nombre">nombre</a></li> <li><a href="/wiki/Notation_positionnelle" title="Notation positionnelle">notation positionnelle</a></li> <li><a href="/wiki/Num%C3%A9ration" title="Numération">numération</a></li> <li><a href="/wiki/Syst%C3%A8me_bibi-binaire" title="Système bibi-binaire">système bibi-binaire</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table> </div> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer skin-invert-image" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail des mathématiques"><img alt="icône 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