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data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">目次</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">サイドバーに移動</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">非表示</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">ページ先頭</div> </a> </li> <li id="toc-概要" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#概要"> <div class="vector-toc-text"> 1 概要 </div> </a> <ul id="toc-概要-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-解析" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#解析"> <div class="vector-toc-text"> 2 解析 </div> </a> <ul id="toc-解析-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-テント写像との関連" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#テント写像との関連"> <div class="vector-toc-text"> 3 テント写像との関連 </div> </a> <ul id="toc-テント写像との関連-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-一般化されたローレンツ方程式" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#一般化されたローレンツ方程式"> <div class="vector-toc-text"> 4 一般化されたローレンツ方程式 </div> </a> <ul id="toc-一般化されたローレンツ方程式-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-シミュレーション" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#シミュレーション"> <div class="vector-toc-text"> 5 シミュレーション </div> </a> <button aria-controls="toc-シミュレーション-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> シミュレーションサブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-シミュレーション-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-MATLAB" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#MATLAB"> <div class="vector-toc-text"> 5.1 MATLAB </div> </a> <ul id="toc-MATLAB-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Mathematica" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Mathematica"> <div class="vector-toc-text"> 5.2 Mathematica </div> </a> <ul id="toc-Mathematica-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-応用" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#応用"> <div class="vector-toc-text"> 6 応用 </div> </a> <button aria-controls="toc-応用-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> 応用サブセクションを切り替えます </button> <ul id="toc-応用-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-大気の対流モデル" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#大気の対流モデル"> <div class="vector-toc-text"> 6.1 大気の対流モデル </div> </a> <ul id="toc-大気の対流モデル-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-大気中のカオスと秩序の性質を示すモデル" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#大気中のカオスと秩序の性質を示すモデル"> <div class="vector-toc-text"> 6.2 大気中のカオスと秩序の性質を示すモデル </div> </a> <ul id="toc-大気中のカオスと秩序の性質を示すモデル-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-スメイルの14番目の問題" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#スメイルの14番目の問題"> <div class="vector-toc-text"> 6.3 スメイルの14番目の問題 </div> </a> <ul id="toc-スメイルの14番目の問題-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-ギャラリー" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#ギャラリー"> <div class="vector-toc-text"> 7 ギャラリー </div> </a> <ul id="toc-ギャラリー-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-関連項目" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#関連項目"> <div class="vector-toc-text"> 8 関連項目 </div> </a> <ul id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> 9 脚注 </div> </a> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> 10 参考文献 </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-詳細" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#詳細"> <div class="vector-toc-text"> 11 詳細 </div> </a> <ul id="toc-詳細-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#外部リンク"> <div class="vector-toc-text"> 12 外部リンク </div> </a> <ul id="toc-外部リンク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="目次" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="目次の表示・非表示を切り替え" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" > 目次の表示・非表示を切り替え </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">ローレンツ方程式</h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="特定の記事の別の言語版に移動します。利用可能な言語30件" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-30" aria-hidden="true" > 30の言語版 </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%A7%D9%85_%D9%84%D9%88%D8%B1%D9%8A%D9%86%D8%AA%D8%B2" title="アラビア語: نظام لورينتز" lang="ar" hreflang="ar" data-title="نظام لورينتز" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="アラビア語" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D1%80_%D0%9B%D0%BE%D1%80%D1%8D%D0%BD%D1%86%D0%B0" title="Belarusian (Taraškievica orthography): Атрактар Лорэнца" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Атрактар Лорэнца" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target">Беларуская (тарашкевіца)</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Atractor_de_Lorenz" title="カタロニア語: Atractor de Lorenz" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Atractor de Lorenz" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="カタロニア語" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Lorenz%C5%AFv_atraktor" title="チェコ語: Lorenzův atraktor" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Lorenzův atraktor" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="チェコ語" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Lorenz-Attraktor" title="ドイツ語: Lorenz-Attraktor" lang="de" hreflang="de" data-title="Lorenz-Attraktor" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="ドイツ語" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A3%CF%8D%CF%83%CF%84%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CE%9B%CF%8C%CF%81%CE%B5%CE%BD%CF%84%CE%B6" title="ギリシャ語: Σύστημα Λόρεντζ" lang="el" hreflang="el" data-title="Σύστημα Λόρεντζ" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="ギリシャ語" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz_system" title="英語: Lorenz system" lang="en" hreflang="en" data-title="Lorenz system" data-language-autonym="English" data-language-local-name="英語" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Atractor_de_Lorenz" title="スペイン語: Atractor de Lorenz" lang="es" hreflang="es" data-title="Atractor de Lorenz" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="スペイン語" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa 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data-title="Lorenz tizimi" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="ウズベク語" class="interlanguage-link-target">Oʻzbekcha / ўзбекча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B4%9B%E4%BC%A6%E8%8C%A8%E5%90%B8%E5%BC%95%E5%AD%90" title="中国語: 洛伦茨吸引子" lang="zh" hreflang="zh" data-title="洛伦茨吸引子" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="中国語" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%B4%9B%E5%80%AB%E8%8C%B2%E7%B3%BB%E7%B5%B1" title="広東語: 洛倫茲系統" lang="yue" hreflang="yue" data-title="洛倫茲系統" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="広東語" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q899844#sitelinks-wikipedia" title="言語間リンクを編集" class="wbc-editpage">リンクを編集</a></div> 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href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Lorenz_attractors" hreflang="en">コモンズ</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q899844" title="関連付けられたデータリポジトリ項目へのリンク [g]" accesskey="g">ウィキデータ項目</a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ページツール"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="表示"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" 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mw-parser-output" lang="ja" dir="ltr"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101346560">.mw-parser-output .hatnote{margin:0.5em 0;padding:3px 2em;background-color:transparent;border-bottom:1px solid #a2a9b1;font-size:90%}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .hatnote>table{color:inherit}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .hatnote>table{color:inherit}}</style><div class="hatnote dablink noprint"><table style="width:100%; background:transparent;"> <tbody><tr><td style="width:25px;"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Confusion_grey.svg" class="mw-file-description" title="曖昧さ回避"><img alt="曖昧さ回避" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Confusion_grey.svg/25px-Confusion_grey.svg.png" decoding="async" width="25" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Confusion_grey.svg/38px-Confusion_grey.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fb/Confusion_grey.svg/50px-Confusion_grey.svg.png 2x" data-file-width="260" data-file-height="200" /></a></td> <td>「<a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="ローレンツ曲線">ローレンツ曲線</a>」とは異なります。</td> </tr></tbody></table></div> <figure class="mw-halign-right" typeof="mw:File/Frame"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:A_Trajectory_Through_Phase_Space_in_a_Lorenz_Attractor.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/13/A_Trajectory_Through_Phase_Space_in_a_Lorenz_Attractor.gif" decoding="async" width="200" height="200" class="mw-file-element" data-file-width="200" data-file-height="200" /></a><figcaption>ρ = 28, σ = 10, β = <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r89142261">.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac 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title="バタフライ効果">バタフライ効果</a>の説明に用いられることが多く、決定論的な連立常微分方程式が初期値鋭敏性を持つことは驚きをもって迎えられ、カオス研究の端緒となった。 <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="概要">概要</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&section=1" title="節を編集: 概要">編集</a>]</div> 1963年、エドワード・ローレンツは、数値シミュレーションや数値計算を担当した<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ellen_Fetter" class="extiw" title="w:Ellen Fetter">エレン・フェッター</a>と、ローレンツ方程式の発見に至る初期の数値計算を担当したソフトウェアエンジニア、<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Margaret_Hamilton" class="extiw" title="w:Margaret Hamilton">マーガレット・ハミルトン</a>の協力を得て、<a href="/wiki/%E5%A4%A7%E6%B0%97%E5%A4%89%E5%8B%95" class="mw-redirect" title="大気変動">大気変動</a>の簡易数学モデルを開発した<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-lorenz-2">[2]</a>。このモデルが、現在ローレンツ方程式として知られている以下の3つの常微分方程式の系である： <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="0.9em 0.9em 0.3em" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ρ</mi> <mo>−</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mi>β</mi> <mi>z</mi> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7928004d58943529a7be774575a62ca436a82a7f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.171ex; width:20.22ex; height:19.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}"></dd></dl> この方程式は、下から暖められ、上から冷やされる2次元の流体層の特性に関するもので、3つの量の時間に対する変化率を記述しており、 xは対流速度に、yは水平温度変化に、zは垂直温度変化に比例する。 <a href="#cite_note-Sparrow_1982-3">[3]</a> また定数 σ, ρ, β はそれぞれ <a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%AB%E6%95%B0" title="プラントル数">プラントル数</a>、<a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E6%95%B0" title="レイリー数">レイリー数</a>に関する不安定度を表すパラメータ、臨界水平波数に関するパラメータである。 ローレンツ方程式は<a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC" title="レーザー">レーザー</a>、<a href="#cite_note-4">[4]</a> <a href="/wiki/%E7%99%BA%E9%9B%BB%E6%A9%9F" title="発電機">発電機</a>、<a href="#cite_note-5">[5]</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/thermosyphon" class="extiw" title="w:thermosyphon">サーモサイフォン</a>、 <a href="#cite_note-6">[6]</a> ブラシレス<a href="/wiki/%E7%9B%B4%E6%B5%81%E9%9B%BB%E5%8B%95%E6%A9%9F" title="直流電動機">DCモーター</a>、 <a href="#cite_note-7">[7]</a> <a href="/wiki/%E9%9B%BB%E6%B0%97%E5%9B%9E%E8%B7%AF" title="電気回路">電気回路</a>、 <a href="#cite_note-8">[8]</a> <a href="/wiki/%E5%8C%96%E5%AD%A6%E5%8F%8D%E5%BF%9C" title="化学反応">化学反応</a><a href="#cite_note-9">[9]</a>、<a href="/wiki/%E6%AD%A3%E6%B5%B8%E9%80%8F" title="正浸透">正浸透</a> <a href="#cite_note-10">[10]</a>などの簡易モデルで生じうる。また、<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Malkus_waterwheel" class="extiw" title="w:Malkus waterwheel">マルクス水車</a>のフーリエ空間での支配方程式でもある <a href="#cite_note-11">[11]</a><a href="#cite_note-12">[12]</a>。すなわちマルクス水車はカオス運動を示し、一定速度で一方向に回転するのではなく、その回転が加速したり減速したり停止したり方向転換したり、それらの組み合わせで前後に振動したりと予測不能の動きをする。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="解析">解析</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&section=2" title="節を編集: 解析">編集</a>]</div> 通常、パラメータ σ, ρ, β は正であると仮定する。ローレンツはσ=10、β=<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261">8/3、ρ=28という値を使用し、これらの値（およびその近傍の値）に対して、系がカオス的な振る舞いをすることを示している<a href="#cite_note-13">[13]</a>。 もしρ<1なら、均衡点は1つだけであり、それは原点である。この点は対流がないことに対応する。すべての軌道は原点に収束し、広域的な<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%BC" title="アトラクター">アトラクター</a>となる。<a href="#cite_note-14">[14]</a>. ρ = 1で<a href="/wiki/%E3%83%94%E3%83%83%E3%83%81%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%88%86%E5%B2%90" title="ピッチフォーク分岐">ピッチフォーク分岐</a>が起こり、ρ > 1 でさらに下記の2つの臨界点が現れる。 <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)\quad {\text{and}}\quad \left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>β</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ρ</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>β</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ρ</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> <mi>ρ</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>and</mtext> </mrow> <mspace width="1em" /> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>β</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ρ</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>β</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ρ</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> <mi>ρ</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)\quad {\text{and}}\quad \left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc193f435127809b478b8cb6dfce2015649eff5" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:76.593ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)\quad {\text{and}}\quad \left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right).}"> これらは定常対流に相当する。この二つの平衡点は <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho <\sigma {\frac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo><</mo> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>σ</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mi>σ</mi> <mo>−</mo> <mi>β</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho <\sigma {\frac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}},}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ccdbc7bc857ba7aceddb06b92d9882ae7e9c0c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.618ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \rho <\sigma {\frac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}},}"> の場合にのみ安定である。これはσ > β + 1の時のみ、 ρは正となりうる。また臨界値では、両平衡点は<a href="/wiki/%E3%83%9B%E3%83%83%E3%83%97%E5%88%86%E5%B2%90" title="ホップ分岐">ホップ分岐</a>を経て安定性を失う。<a href="#cite_note-15">[15]</a> ρ=28、σ=10、β=<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261">8/3のとき、ローレンツ方程式はカオス解を持つ（ただし全ての解がカオスであるとは言えない）。ほぼ全ての初期点は、3つの平衡に関して、不変集合 – ローレンツアトラクター – 、<a href="/wiki/%E3%82%A2%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%BC#ストレンジアトラクター" title="アトラクター">ストレンジアトラクター</a>、<a href="/wiki/%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%AB" title="フラクタル">フラクタル</a>、自己励起アトラクタに傾くことになる。その<a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E6%AC%A1%E5%85%83" title="ハウスドルフ次元">ハウスドルフ次元</a>は、上から<a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%97%E3%83%8E%E3%83%95%E6%8C%87%E6%95%B0" title="リアプノフ指数">リアプノフ指数</a> によって2.06±0.01と見積もられる<a href="#cite_note-Kuznetsov-2020-ND-16">[16]</a> 。また<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/correlattion_dimention" class="extiw" title="w:correlattion dimention">相関次元</a>は2.05±0.01と推定されている<a href="#cite_note-17">[17]</a>。グローバルアトラクターの正確なリアプノフ指数の公式は、パラメータの古典的な制限の下で解析的に求めることができ、次に示す<a href="#cite_note-18">[18]</a><a href="#cite_note-Kuznetsov-2020-ND-16">[16]</a><a href="#cite_note-2020-KuznetsovR-19">[19]</a>。 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3-{\frac {2(\sigma +\beta +1)}{\sigma +1+{\sqrt {\left(\sigma -1\right)^{2}+4\sigma \rho }}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>σ</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>σ</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>σ</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>σ</mi> <mi>ρ</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3-{\frac {2(\sigma +\beta +1)}{\sigma +1+{\sqrt {\left(\sigma -1\right)^{2}+4\sigma \rho }}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e7ef58eb6ef390caa3455447d34510547931d4a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:30.066ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle 3-{\frac {2(\sigma +\beta +1)}{\sigma +1+{\sqrt {\left(\sigma -1\right)^{2}+4\sigma \rho }}}}}"> ローレンツアトラクターは解析が難しいが、微分方程式のアトラクターへの作用はかなり単純な幾何学モデルで記述され<a href="#cite_note-20">[20]</a>、この証明は<a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C" title="スメイルの問題">スメイルの問題</a>の14番目の問題であったが、2002年に<a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%BB%E3%82%BF%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC" title="ウォリック・タッカー">ウォリック・タッカー</a>によって初めて解決された<a href="#cite_note-Tucker_2002-21">[21]</a>。 ρの他の値では、系は結び目のある周期的な軌道を示す。例えば、ρ=99.96ではT(3,2)（<a href="/wiki/%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%82%B9%E7%B5%90%E3%81%B3%E7%9B%AE" title="トーラス結び目">トーラス結び目</a>）となる。 <table class="wikitable" width="777px"> <tbody><tr> <th colspan="2">異なるρに対するローレンツ方程式の解の例 </th></tr> <tr> <td align="center"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_Ro14_20_41_20-200px.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Lorenz_Ro14_20_41_20-200px.png" decoding="async" width="200" height="194" class="mw-file-element" data-file-width="200" data-file-height="194" /></a> </td> <td align="center"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_Ro13-200px.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Lorenz_Ro13-200px.png" decoding="async" width="200" height="194" class="mw-file-element" data-file-width="200" data-file-height="194" /></a> </td></tr> <tr> <td align="center">ρ = 14, σ = 10, β = <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261">8/3 <a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_Ro14_20_41_20.png" title="ファイル:Lorenz Ro14 20 41 20.png">(拡大)</a> </td> <td align="center">ρ = 13, σ = 10, β = <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261">8/3 <a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_Ro13.png" title="ファイル:Lorenz Ro13.png">(拡大)</a> </td></tr> <tr> <td align="center"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_Ro15-200px.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/59/Lorenz_Ro15-200px.png" decoding="async" width="200" height="194" class="mw-file-element" data-file-width="200" data-file-height="194" /></a> </td> <td align="center"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_Ro28-200px.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ef/Lorenz_Ro28-200px.png" decoding="async" width="200" height="194" class="mw-file-element" data-file-width="200" data-file-height="194" /></a> </td></tr> <tr> <td align="center">ρ = 15, σ = 10, β = <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261">8/3 <a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_Ro15.png" title="ファイル:Lorenz Ro15.png">(拡大)</a> </td> <td align="center">ρ = 28, σ = 10, β = <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261">8/3 <a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_Ro28.png" title="ファイル:Lorenz Ro28.png">(拡大)</a> </td></tr> <tr> <td align="center" colspan="2">小さいρでは系は安定し、2つの固定点のうち、いずれかの点アトラクターに進展する。ρ > 24.74では, 固定点は斥力源となり、軌道はそれらに反発して非常に複雑な形となる。 </td></tr></tbody></table> <table class="wikitable" width="777px"> <tbody><tr> <th colspan="3">初期値に対する鋭敏性 </th></tr> <tr> <td align="center">Time t = 1 <a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_caos1.png" title="ファイル:Lorenz caos1.png">(拡大)</a> </td> <td align="center">Time t = 2 <a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_caos2.png" title="ファイル:Lorenz caos2.png">(拡大)</a> </td> <td align="center">Time t = 3 <a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_caos3.png" title="ファイル:Lorenz caos3.png">(拡大)</a> </td></tr> <tr> <td align="center"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_caos1-175.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c8/Lorenz_caos1-175.png" decoding="async" width="175" height="176" class="mw-file-element" data-file-width="175" data-file-height="176" /></a> </td> <td align="center"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_caos2-175.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a2/Lorenz_caos2-175.png" decoding="async" width="175" height="176" class="mw-file-element" data-file-width="175" data-file-height="176" /></a> </td> <td align="center"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_caos3-175.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/Lorenz_caos3-175.png" decoding="async" width="175" height="176" class="mw-file-element" data-file-width="175" data-file-height="176" /></a> </td></tr> <tr> <td align="center" colspan="3">ρ = 28, σ = 10, β = <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261">8/3の条件で生成されたこれらの画像は二つの軌跡（青と黄色）の時間発展を示している。二つの軌跡の初期値はx座標のみ10−5の差がつけられている。初め、二つの軌跡は一致しているように見える（青色の上から黄色が描かれているため黄色の軌跡だけ見える）が、時間経過と共に明らかに分岐していくのがわかる。 </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="テント写像との関連">テント写像との関連</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&section=3" title="節を編集: テント写像との関連">編集</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_Map.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Lorenz_Map.png/290px-Lorenz_Map.png" decoding="async" width="290" height="169" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Lorenz_Map.png/435px-Lorenz_Map.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Lorenz_Map.png/580px-Lorenz_Map.png 2x" data-file-width="720" data-file-height="420" /></a><figcaption><a href="/wiki/Mathematica" title="Mathematica">Mathematica</a>によって作成されたローレンツの結果の再現。赤線より上の点は、ローブが切り替わることに相当する。</figcaption></figure> ローレンツの論文<a href="#cite_note-lorenz-2">[2]</a>の図4において、ローレンツは、系が到達したz方向の相対最大値を、z方向のそれより以前の相対最大値に対してプロットした。この手順は後にローレンツマップとして知られるようになった（軌跡と所定の曲面の交点をプロットする<a href="/wiki/%E3%83%9D%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E3%83%97%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%88" title="ポアンカレプロット">ポアンカレプロット</a>と混同しないように）。結果としてこのプロットは<a href="/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%88%E5%86%99%E5%83%8F" title="テント写像">テント写像</a>に非常によく似た形をしており、ローレンツは、z の最大値があるカットオフ値を超えると、系が片方のローブ（軌跡上の片方の円盤）に切り替わることを発見した。これをテント写像で知られているカオスと組み合わせることで、系が2つのローブの間をカオス的に行き来することが判明した。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="一般化されたローレンツ方程式">一般化されたローレンツ方程式</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&section=4" title="節を編集: 一般化されたローレンツ方程式">編集</a>]</div> ローレンツ方程式の発見後高次元のローレンツモデルに関する論文が相次ぎ、一般化されたローレンツモデルが作成された<a href="#cite_note-:0-22">[22]</a>。このモデルは、3つの状態変数に対する古典的なローレンツモデル、または5つの状態変数に対する以下の5次元ローレンツモデルに単純化することができる<a href="#cite_note-:1-23">[23]</a>。 <math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-xy_{1}-\beta z,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y_{1}}{\mathrm {d} t}}&=xz-2xz_{1}-d_{0}y_{1},\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z_{1}}{\mathrm {d} t}}&=2xy_{1}-4\beta z_{1}.\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="0.9em 0.9em 0.9em 0.9em 0.3em" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>σ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ρ</mi> <mo>−</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>y</mi> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>β</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>x</mi> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>x</mi> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mn>4</mn> <mi>β</mi> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-xy_{1}-\beta z,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y_{1}}{\mathrm {d} t}}&=xz-2xz_{1}-d_{0}y_{1},\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z_{1}}{\mathrm {d} t}}&=2xy_{1}-4\beta z_{1}.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34c363e59f18d5689d3af72f5fdbcbc5d7f2abea" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -15.907ex; margin-bottom: -0.265ex; width:26.002ex; height:33.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-xy_{1}-\beta z,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y_{1}}{\mathrm {d} t}}&=xz-2xz_{1}-d_{0}y_{1},\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z_{1}}{\mathrm {d} t}}&=2xy_{1}-4\beta z_{1}.\end{aligned}}}"> 他のパラメータの値によらず、d0 = 19/3である<a href="#cite_note-:0-22">[22]</a><a href="#cite_note-:1-23">[23]</a>。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="シミュレーション">シミュレーション</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&section=5" title="節を編集: シミュレーション">編集</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="MATLAB">MATLAB</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&section=6" title="節を編集: MATLAB">編集</a>]</div> <div class="mw-highlight mw-highlight-lang-matlab mw-content-ltr" dir="ltr"><pre>% Solve over time interval [0,100] with initial conditions [1,1,1] % ''f'' is set of differential equations % ''a'' is array containing x, y, and z variables % ''t'' is time variable sigma = 10; beta = 8/3; rho = 28; f = @(t,a) [-sigma*a(1) + sigma*a(2); rho*a(1) - a(2) - a(1)*a(3); -beta*a(3) + a(1)*a(2)]; [t,a] = ode45(f,[0 100],[1 1 1]); % Runge-Kutta 4th/5th order ODE solver plot3(a(:,1),a(:,2),a(:,3)) </pre></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mathematica">Mathematica</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&section=7" title="節を編集: Mathematica">編集</a>]</div> 標準的な記法： <div class="mw-highlight mw-highlight-lang-mathematica mw-content-ltr" dir="ltr"><pre>tend = 50; eq = {x'[t] == σ (y[t] - x[t]), y'[t] == x[t] (ρ - z[t]) - y[t], z'[t] == x[t] y[t] - β z[t]}; init = {x[0] == 10, y[0] == 10, z[0] == 10}; pars = {σ->10, ρ->28, β->8/3}; {xs, ys, zs} = NDSolveValue[{eq /. pars, init}, {x, y, z}, {t, 0, tend}]; ParametricPlot3D[{xs[t], ys[t], zs[t]}, {t, 0, tend}] </pre></div> 冗長性を抑えたバージョン： <div class="mw-highlight mw-highlight-lang-mathematica mw-content-ltr" dir="ltr"><pre>lorenz = NonlinearStateSpaceModel[{{σ (y - x), x (ρ - z) - y, x y - β z}, {}}, {x, y, z}, {σ, ρ, β}]; soln[t_] = StateResponse[{lorenz, {10, 10, 10}}, {10, 28, 8/3}, {t, 0, 50}]; ParametricPlot3D[soln[t], {t, 0, 50}] </pre></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="応用">応用</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&section=8" title="節を編集: 応用">編集</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="大気の対流モデル">大気の対流モデル</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&section=9" title="節を編集: 大気の対流モデル">編集</a>]</div> 原論文で言及される通り<a href="#cite_note-名前なし-20231105133406-24">[24]</a>、ローレンツ系はバリー・サルツマンが以前に研究したより大きな系を縮小したものであり<a href="#cite_note-25">[25]</a>、ローレンツ方程式は下から一様に加熱され、上から一様に冷却される浅い流体層における流体循環を記述する方程式を<a href="/wiki/%E3%83%96%E3%82%B7%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%82%AF%E8%BF%91%E4%BC%BC" title="ブシネスク近似">ブシネスク近似</a>から導いたものである。<a href="#cite_note-名前なし-20231105133406-24">[24]</a> この流体循環は<a href="/wiki/%E3%83%99%E3%83%8A%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%BB%E3%83%AB" title="ベナール・セル">レイリー・ベナール対流</a>と呼ばれる。流体は2次元（垂直と水平）に循環すると仮定し、矩形の周期的境界条件を設定する。<a href="#cite_note-名前なし-20231105133406-24">[24]</a> 系の<a href="/wiki/%E6%B5%81%E3%82%8C%E9%96%A2%E6%95%B0" title="流れ関数">流れ関数</a>と温度をモデル化したこの偏微分方程式を，スペクトル<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Galerkin_method" class="extiw" title="w:Galerkin method">ガラーキン近似</a>を用いて，流体力学場をフーリエ級数で展開し，流れ関数については1次，温度については2次で切り捨てる。これにより、方程式は3つの連立した非線形常微分方程式に縮小される。詳細な導出は， <a href="#CITEREFHilborn2000">Hilborn (2000)</a>による非線形力学の教科書、Appendix C; <a href="#CITEREFBergéPomeauVidal1984">Bergé, Pomeau & Vidal (1984)</a>, Appendix D、または Shen (2016)<a href="#cite_note-26">[26]</a>を参照。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="大気中のカオスと秩序の性質を示すモデル">大気中のカオスと秩序の性質を示すモデル</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&section=10" title="節を編集: 大気中のカオスと秩序の性質を示すモデル">編集</a>]</div> 低次元ローレンツモデルに見られるカオス的な特徴が、地球大気の特徴（気象のカオス性）を表しうることが認められている<a href="#cite_note-27">[27]</a><a href="#cite_note-28">[28]</a><a href="#cite_note-:2-29">[29]</a>。一方で、一般化されたローレンツモデルと初期のローレンツモデルにおいてカオスと予測可能な振る舞いが共存していることから<a href="#cite_note-:0-22">[22]</a><a href="#cite_note-30">[30]</a><a href="#cite_note-31">[31]</a>、Shenとその共著者<a href="#cite_note-:2-29">[29]</a><a href="#cite_note-32">[32]</a>は「気象はカオスと、明確な予測可能性を持つ秩序の両方を持っている」という改訂見解を提案した。従来の見解を発展させたこの見解は、「理論的なローレンツモデルに見られるカオスと規則的な特徴は、地球の大気の特徴をよりよく表しうる」と示唆するために用いられている。 <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="スメイルの14番目の問題">スメイルの14番目の問題</h3>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&section=11" title="節を編集: スメイルの14番目の問題">編集</a>]</div> スメイルの14番目の問題は「ローレンツアトラクターは<a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%82%A2%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%AF%E3%82%BF%E3%83%BC" class="mw-redirect" title="ストレンジアトラクター">ストレンジアトラクター</a>の性質を持つか？」というものであった。この問題は2002年にウォリック・タッカーによって肯定的に解決された<a href="#cite_note-Tucker_2002-21">[21]</a>。証明には <a href="/wiki/%E5%8C%BA%E9%96%93%E6%BC%94%E7%AE%97" title="区間演算">区間演算</a>、<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_form_(dynamical_systems)" class="extiw" title="w:Normal form (dynamical systems)">正準系</a>などの厳密な数値計算が用いられた。初めにタッカーは流れの軌跡によって横方向に切断したものである断面積<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma \subset \{x_{3}=r-1\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <mo>⊂</mo> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma \subset \{x_{3}=r-1\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d4f856ef97b790c6f4cc7b301c07d7b8335609" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Sigma \subset \{x_{3}=r-1\}}">を定義した。ここから、各<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \Sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \Sigma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0a929ac30ea6c41ef08d5e6a6ca2309a97a695" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.848ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in \Sigma }">に対して<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> の軌跡が初めて<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Sigma }">に交わる点<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89833156eff2c51bfb8750db3306a0544ce34e14" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.884ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(x)}">とするfirst-return写像 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}">を定義できる。 続く証明は3つのポイントに分かれてなされ、ストレンジアトラクターの存在を示唆する<a href="#cite_note-Viana_2000-33">[33]</a>。 <ul><li>the first-return写像で不変、すなわち<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(N)\subset N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊂</mo> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(N)\subset N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbebe25e657db728d3cfe706537b7f165d0407f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.78ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(N)\subset N}">なる区域<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\subset \Sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo>⊂</mo> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\subset \Sigma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb0ef3d25c3bfd10f69253e779e7def5089d556a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.84ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N\subset \Sigma }">が存在する。</li> <li>The return写像はforward invariant cone fieldを認める</li> <li>この不変円錐場内のベクトルは、return写像の微分<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle DP}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> <mi>P</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle DP}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b747991601a5d83808f879e89ccf45115c3a8f84" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.67ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle DP}">によって一様に拡大される。</li></ul> 第一段階では断面積<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Sigma }">が<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(\Sigma )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(\Sigma )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a721820809061373f127ff88e0430907e620bf8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.233ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(\Sigma )}">によって二つの弧に分割される事実を用いる<a href="#cite_note-Viana_2000-33">[33]</a>。タッカーはこの二つの弧を小さな長方形<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db421291be9d0103404ced7495b363437b67b6b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.564ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{i}}">で覆い、これらの長方形の集合が<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}">を与えることを考えた。このことを証明するためには、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}">の全ての点が<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}">の中の<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Sigma }">に戻ってくるのをみれば良い。そのために、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Sigma }">の下方に<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}">という小さな距離で<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma '}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma '}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6390f4c21bd4646a4e587d49c39adcd01d5c04" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.363ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Sigma '}">を想定し、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db421291be9d0103404ced7495b363437b67b6b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.564ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{i}}">の中心<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01acb7953ba52c2aa44264b5d0f8fd223aa178a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.807ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{i}}">とオイラーの積分法を用いて、点<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01acb7953ba52c2aa44264b5d0f8fd223aa178a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.807ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{i}}">からの流れが<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma '}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma '}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6390f4c21bd4646a4e587d49c39adcd01d5c04" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.363ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Sigma '}">内に与える新たな点<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{i}'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{i}'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a9f2a411a34b170e6ce897d7e0b5320bf4c8cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.807ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c_{i}'}">を計算できる。そうしてテイラー展開によって<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Sigma }">内の点が<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma '}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma '}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6390f4c21bd4646a4e587d49c39adcd01d5c04" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.363ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Sigma '}">内のどこに写されるかを知ることができる。これによって中心が<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01acb7953ba52c2aa44264b5d0f8fd223aa178a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.807ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{i}}">で与えられる新たな長方形<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{i}'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{i}'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875659c78c85a3e6252649f4ebaa9a63b0605bdf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.564ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R_{i}'}">が得られる。したがって<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db421291be9d0103404ced7495b363437b67b6b1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.564ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{i}}">内のすべての点は<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{i}'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{i}'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875659c78c85a3e6252649f4ebaa9a63b0605bdf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.564ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R_{i}'}">の中に写される。あとは軌跡の流れが<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Sigma }">内に戻ってくるまでこの方法を再帰的に実行し、<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(R_{i})\subset Rf_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⊂</mo> <mi>R</mi> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(R_{i})\subset Rf_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dadf84b0f22f548dc26fcc91403bfec3437ccd8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.92ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P(R_{i})\subset Rf_{i}}">となる<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Sigma }">に入る長方形<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Rf_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>R</mi> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Rf_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a70861cad2b8dee97197ce41f59caae4e42a551" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.703ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Rf_{i}}">を得れば良いのであるが、問題はこの工程を何度か繰り返すうちに推定が不正確になることである。そこでタッカーは<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{i}'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mo>′</mo> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{i}'}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875659c78c85a3e6252649f4ebaa9a63b0605bdf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.564ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R_{i}'}">をより小さい長方形<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{i,j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{i,j}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb6f9df8716f0eb2d1e8bc277932500b81eb62b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.699ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle R_{i,j}}">に分割し、処理を再帰的に適応した。もう一つの問題は、このアルゴリズムを適用しているうちに、流れがより「水平」になってしまい<a href="#cite_note-Viana_2000-33">[33]</a>、不正確さが飛躍的に増大することで、これを防ぐためにはアルゴリズムでは断面の向きを変え、水平または垂直になるようにする必要があった。 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="ギャラリー">ギャラリー</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&section=12" title="節を編集: ギャラリー">編集</a>]</div> <ul class="gallery mw-gallery-traditional"> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_system_r28_s10_b2-6666.png" class="mw-file-description" title="A solution in the xz平面で描写された高解像度のローレンツアトラクター"><img alt="A solution in the xz平面で描写された高解像度のローレンツアトラクター" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Lorenz_system_r28_s10_b2-6666.png/120px-Lorenz_system_r28_s10_b2-6666.png" decoding="async" width="120" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Lorenz_system_r28_s10_b2-6666.png/180px-Lorenz_system_r28_s10_b2-6666.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Lorenz_system_r28_s10_b2-6666.png/240px-Lorenz_system_r28_s10_b2-6666.png 2x" data-file-width="2048" data-file-height="2048" /></a></div> <div class="gallerytext">A solution in the xz平面で描写された高解像度のローレンツアトラクター</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_attractor.svg" class="mw-file-description" title="SVGでレンダリングされたローレンツアトラクター"><img alt="SVGでレンダリングされたローレンツアトラクター" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Lorenz_attractor.svg/120px-Lorenz_attractor.svg.png" decoding="async" width="120" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Lorenz_attractor.svg/180px-Lorenz_attractor.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Lorenz_attractor.svg/240px-Lorenz_attractor.svg.png 2x" data-file-width="750" data-file-height="750" /></a></div> <div class="gallerytext"><a href="/wiki/Scalable_Vector_Graphics" title="Scalable Vector Graphics">SVG</a>でレンダリングされたローレンツアトラクター</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><video id="mwe_player_0" poster="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/A_Lorenz_system.ogv/120px--A_Lorenz_system.ogv.jpg" controls="" preload="none" data-mw-tmh="" class="mw-file-element" width="120" height="120" data-durationhint="54" data-mwtitle="A_Lorenz_system.ogv" data-mwprovider="wikimediacommons"><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/A_Lorenz_system.ogv" type="video/ogg; codecs="theora"" data-width="400" data-height="400" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/e/ea/A_Lorenz_system.ogv/A_Lorenz_system.ogv.144p.mjpeg.mov" type="video/quicktime" data-transcodekey="144p.mjpeg.mov" data-width="144" data-height="144" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/e/ea/A_Lorenz_system.ogv/A_Lorenz_system.ogv.240p.vp9.webm" type="video/webm; codecs="vp9, opus"" data-transcodekey="240p.vp9.webm" data-width="240" data-height="240" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/e/ea/A_Lorenz_system.ogv/A_Lorenz_system.ogv.360p.vp9.webm" type="video/webm; codecs="vp9, opus"" data-transcodekey="360p.vp9.webm" data-width="360" data-height="360" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/e/ea/A_Lorenz_system.ogv/A_Lorenz_system.ogv.360p.webm" type="video/webm; codecs="vp8, vorbis"" data-transcodekey="360p.webm" data-width="360" data-height="360" /></video></div> <div class="gallerytext">ローレンツ方程式での複数の軌跡のアニメーション</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenzstill-rubel.png" class="mw-file-description" title="金属製ワイヤーで製作されたローレンツアトラクターの3Dモデル"><img alt="金属製ワイヤーで製作されたローレンツアトラクターの3Dモデル" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Lorenzstill-rubel.png/120px-Lorenzstill-rubel.png" decoding="async" width="120" height="90" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Lorenzstill-rubel.png/180px-Lorenzstill-rubel.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Lorenzstill-rubel.png/240px-Lorenzstill-rubel.png 2x" data-file-width="1920" data-file-height="1440" /></a></div> <div class="gallerytext">金属製ワイヤーで製作されたローレンツアトラクターの3Dモデル</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><video id="mwe_player_1" poster="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/Lorenz.ogv/120px--Lorenz.ogv.jpg" controls="" preload="none" data-mw-tmh="" class="mw-file-element" width="120" height="96" data-durationhint="48" data-mwtitle="Lorenz.ogv" data-mwprovider="wikimediacommons"><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/9/9c/Lorenz.ogv/Lorenz.ogv.480p.vp9.webm" type="video/webm; codecs="vp9, opus"" data-transcodekey="480p.vp9.webm" data-width="600" data-height="480" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/9/9c/Lorenz.ogv/Lorenz.ogv.720p.vp9.webm" type="video/webm; codecs="vp9, opus"" data-transcodekey="720p.vp9.webm" data-width="900" data-height="720" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9c/Lorenz.ogv" type="video/ogg; codecs="theora"" data-width="1000" data-height="800" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/9/9c/Lorenz.ogv/Lorenz.ogv.144p.mjpeg.mov" type="video/quicktime" data-transcodekey="144p.mjpeg.mov" data-width="180" data-height="144" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/9/9c/Lorenz.ogv/Lorenz.ogv.240p.vp9.webm" type="video/webm; codecs="vp9, opus"" data-transcodekey="240p.vp9.webm" data-width="300" data-height="240" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/9/9c/Lorenz.ogv/Lorenz.ogv.360p.webm" type="video/webm; codecs="vp8, vorbis"" data-transcodekey="360p.webm" data-width="450" data-height="360" /><source src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/9/9c/Lorenz.ogv/Lorenz.ogv.360p.vp9.webm" type="video/webm; codecs="vp9, opus"" data-transcodekey="360p.vp9.webm" data-width="450" data-height="360" /></video></div> <div class="gallerytext">ローレンツ系の近傍解の発散を示すアニメーション</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Intermittent_Lorenz_Attractor_-_Chaoscope.jpg" class="mw-file-description" title="断続的なサイクルにあるローレンツアトラクターを可視化したもの"><img alt="断続的なサイクルにあるローレンツアトラクターを可視化したもの" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/20/Intermittent_Lorenz_Attractor_-_Chaoscope.jpg/120px-Intermittent_Lorenz_Attractor_-_Chaoscope.jpg" decoding="async" width="120" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/20/Intermittent_Lorenz_Attractor_-_Chaoscope.jpg/180px-Intermittent_Lorenz_Attractor_-_Chaoscope.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/20/Intermittent_Lorenz_Attractor_-_Chaoscope.jpg/240px-Intermittent_Lorenz_Attractor_-_Chaoscope.jpg 2x" data-file-width="500" data-file-height="500" /></a></div> <div class="gallerytext">断続的なサイクルにあるローレンツアトラクターを可視化したもの</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_apparition_small.gif" class="mw-file-description" title="ローレンツ系における2つの流線（ρ = 0 から ρ = 28, σ = 10, β = 8/3）"><img alt="ローレンツ系における2つの流線（ρ = 0 から ρ = 28, σ = 10, β = 8/3）" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Lorenz_apparition_small.gif/120px-Lorenz_apparition_small.gif" decoding="async" width="120" height="67" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Lorenz_apparition_small.gif/180px-Lorenz_apparition_small.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Lorenz_apparition_small.gif/240px-Lorenz_apparition_small.gif 2x" data-file-width="625" data-file-height="351" /></a></div> <div class="gallerytext">ローレンツ系における2つの流線（ρ = 0 から ρ = 28, σ = 10, β = <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r89142261">8/3）</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz(rho).gif" class="mw-file-description" title="ローレンツ系のρ依存性のアニメーション"><img alt="ローレンツ系のρ依存性のアニメーション" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Lorenz%28rho%29.gif/120px-Lorenz%28rho%29.gif" decoding="async" width="120" height="90" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Lorenz%28rho%29.gif/180px-Lorenz%28rho%29.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/92/Lorenz%28rho%29.gif/240px-Lorenz%28rho%29.gif 2x" data-file-width="640" data-file-height="480" /></a></div> <div class="gallerytext">ローレンツ系のρ依存性のアニメーション</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Lorenz_Attractor_Brain_Dynamics_Toolbox.gif" class="mw-file-description" title="Brain Dynamics Toolboxのローレンツアトラクターのアニメーション[34]"><img alt="Brain Dynamics Toolboxのローレンツアトラクターのアニメーション[34]" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Lorenz_Attractor_Brain_Dynamics_Toolbox.gif/120px-Lorenz_Attractor_Brain_Dynamics_Toolbox.gif" decoding="async" width="120" height="90" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Lorenz_Attractor_Brain_Dynamics_Toolbox.gif/180px-Lorenz_Attractor_Brain_Dynamics_Toolbox.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Lorenz_Attractor_Brain_Dynamics_Toolbox.gif/240px-Lorenz_Attractor_Brain_Dynamics_Toolbox.gif 2x" data-file-width="533" data-file-height="400" /></a></div> <div class="gallerytext">Brain Dynamics Toolboxのローレンツアトラクターのアニメーション<a href="#cite_note-34">[34]</a></div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目">関連項目</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&section=13" title="節を編集: 関連項目">編集</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%90%E3%82%BF%E3%83%95%E3%83%A9%E3%82%A4%E5%8A%B9%E6%9E%9C" title="バタフライ効果">バタフライ効果</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%82%AA%E3%82%B9%E7%90%86%E8%AB%96" title="カオス理論">カオス理論</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%82%B9%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="ロジスティック方程式">ロジスティック方程式</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%B9%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="レスラー方程式">レスラー方程式</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B8%B8%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="常微分方程式">常微分方程式</a></li> <li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Eden%27s_conjecture" class="extiw" title="w:Eden's conjecture">Eden's conjecture</a> on the Lyapunov dimension</li> <li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz_96_model" class="extiw" title="w:Lorenz 96 model">Lorenz 96 model</a></li> <li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_chaotic_maps" class="extiw" title="w:List of chaotic maps">List of chaotic maps</a></li> <li><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Takens%27_theorem" class="extiw" title="w:Takens' theorem">Takens' theorem</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注">脚注</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&section=14" title="節を編集: 脚注">編集</a>]</div> <div class="reflist" style="-moz-column-count:auto; -webkit-column-count:auto; column-count:auto; -moz-column-width: 30em; -webkit-column-width: 30em; column-width: 30em; list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">^</a> <a href="#CITEREFLorenz1960">Lorenz (1960)</a> </li> <li id="cite_note-lorenz-2">^ <a href="#cite_ref-lorenz_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-lorenz_2-1">b</a> <a href="#CITEREFLorenz1963">Lorenz (1963)</a> </li> <li id="cite_note-Sparrow_1982-3"><a href="#cite_ref-Sparrow_1982_3-0">^</a> <a href="#CITEREFSparrow1982">Sparrow (1982)</a> </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">^</a> <a href="#CITEREFHaken1975">Haken (1975)</a> </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">^</a> <a href="#CITEREFKnobloch1981">Knobloch (1981)</a> </li> <li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">^</a> <a href="#CITEREFGormanWidmannRobbins1986">Gorman, Widmann & Robbins (1986)</a> </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">^</a> <a href="#CITEREFHemati1994">Hemati (1994)</a> </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">^</a> <a href="#CITEREFCuomoOppenheim1993">Cuomo & Oppenheim (1993)</a> </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">^</a> <a href="#CITEREFPoland1993">Poland (1993)</a> </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">^</a> <a href="#CITEREFTzenov2014">Tzenov (2014)</a>[<a href="/wiki/Wikipedia:%E3%80%8C%E8%A6%81%E5%87%BA%E5%85%B8%E3%80%8D%E3%82%92%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%9F%E6%96%B9%E3%81%B8" title="Wikipedia:「要出典」をクリックされた方へ">要出典</a>] </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">^</a> <a href="#CITEREFKolářGumbs1992">Kolář & Gumbs (1992)</a> </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">^</a> <a href="#CITEREFMishraSanghi2006">Mishra & Sanghi (2006)</a> </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">^</a> <a href="#CITEREFHirschSmaleDevaney2003">Hirsch, Smale & Devaney (2003)</a>, pp.303-305 </li> <li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">^</a> <a href="#CITEREFHirschSmaleDevaney2003">Hirsch, Smale & Devaney (2003)</a>, pp.306+307 </li> <li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">^</a> <a href="#CITEREFHirschSmaleDevaney2003">Hirsch, Smale & Devaney (2003)</a>, pp. 307–308 </li> <li id="cite_note-Kuznetsov-2020-ND-16">^ <a href="#cite_ref-Kuznetsov-2020-ND_16-0">a</a> <a href="#cite_ref-Kuznetsov-2020-ND_16-1">b</a> <cite style="font-style:normal" class="citation journal">Kuznetsov, N.V.; Mokaev, T.N.; Kuznetsova, O.A.; Kudryashova, E.V. 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Physica D 65 (1): 86–99. <a href="/wiki/Bibcode_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Bibcode (識別子)">Bibcode</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1993PhyD...65...86P/abstract">1993PhyD...65...86P</a>. <a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016%2F0167-2789%2893%2990006-M">10.1016/0167-2789(93)90006-M</a>.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Cooperative+catalysis+and+chemical+chaos%3A+a+chemical+model+for+the+Lorenz+equations&rft.jtitle=Physica+D&rft.aulast=Poland&rft.aufirst=Douglas&rft.au=Poland%2C%26%2332%3BDouglas&rft.date=1993&rft.volume=65&rft.issue=1&rft.pages=86%E2%80%9399&rft_id=info:bibcode/1993PhyD...65...86P&rft_id=info:doi/10.1016%2F0167-2789%2893%2990006-M&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation journal">Saltzman, Barry (1962). “Finite Amplitude Free Convection as an Initial Value Problem—I”. 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Springer</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Lorenz+Equations%3A+Bifurcations%2C+Chaos%2C+and+Strange+Attractors&rft.aulast=Sparrow&rft.aufirst=Colin&rft.au=Sparrow%2C%26%2332%3BColin&rft.date=1982&rft.pub=Springer&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation journal">Tucker, Warwick (2002). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s002080010018.pdf">“A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem”</a>. 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"Strange Attractors Characterizing the Osmotic Instability". <a href="/wiki/ArXiv_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="ArXiv (識別子)">arXiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1406.0979v1">1406.0979v1</a> [<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/archive/physics.flu-dyn">physics.flu-dyn</a>]。</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=preprint&rft.jtitle=arXiv&rft.atitle=Strange+Attractors+Characterizing+the+Osmotic+Instability&rft.date=2014&rft_id=info%3Aarxiv%2F1406.0979v1&rft.aulast=Tzenov&rft.aufirst=Stephan&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" class="Z3988"></li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation journal">Viana, Marcelo (2000). “What's new on Lorenz strange attractors?”. The Mathematical Intelligencer 22 (3): 6–19. <a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007%2FBF03025276">10.1007/BF03025276</a>.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=What%27s+new+on+Lorenz+strange+attractors%3F&rft.jtitle=The+Mathematical+Intelligencer&rft.aulast=Viana&rft.aufirst=Marcelo&rft.au=Viana%2C%26%2332%3BMarcelo&rft.date=2000&rft.volume=22&rft.issue=3&rft.pages=6%E2%80%9319&rft_id=info:doi/10.1007%2FBF03025276&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F"> </li> <li><cite style="font-style:normal" class="citation journal"><a href="/w/index.php?title=Edward_N._Lorenz&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Edward N. Lorenz」 (存在しないページ)">Lorenz, Edward N.</a> (1960). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://eaps4.mit.edu/research/Lorenz/The_Statistical_Prediction_of_Solutions_1962.pdf">“The statistical prediction of solutions of dynamic equations.”</a>. 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Leonov & N.V. Kuznetsov (2015). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ee.cityu.edu.hk/~gchen/pdf/LN2015.pdf">“On differences and similarities in the analysis of Lorenz, Chen, and Lu systems”</a>. 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(2022). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.mdpi.com/2227-7390/10/8/1207/pdf">“On a high-precision method for studying attractors of dynamical systems and systems of explosive type”</a>. Mathematics 10 (8): 1207. <a href="/wiki/ArXiv_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="ArXiv (識別子)">arXiv</a>:<a href="https://arxiv.org/abs/2206.08195" class="extiw" title="arxiv:2206.08195">2206.08195</a>. <a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.3390%2Fmath10081207">10.3390/math10081207</a>. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://www.mdpi.com/2227-7390/10/8/1207/pdf">https://www.mdpi.com/2227-7390/10/8/1207/pdf</a>.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=On+a+high-precision+method+for+studying+attractors+of+dynamical+systems+and+systems+of+explosive+type&rft.jtitle=Mathematics&rft.aulast=Pchelintsev&rft.aufirst=A.N.&rft.au=Pchelintsev%2C%26%2332%3BA.N.&rft.date=2022&rft.volume=10&rft.issue=8&rft.pages=1207&rft_id=info:arxiv/2206.08195&rft_id=info:doi/10.3390%2Fmath10081207&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.mdpi.com%2F2227-7390%2F10%2F8%2F1207%2Fpdf&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F"> </li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク">外部リンク</h2>[<a href="/w/index.php?title=%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F&action=edit&section=17" title="節を編集: 外部リンク">編集</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r94202605">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}</style><div class="side-box side-box-right plainlinks sistersitebox noprint" style="width:22em;"> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="30" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/45px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/59px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></div> <div class="side-box-text plainlist" style="font-size:100%;">ウィキメディア・コモンズには、<a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Lorenz_attractors?uselang=ja">ローレンツ方程式</a>に関連するカテゴリがあります。</div></div> </div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation" id="CITEREFHazewinkel2001">Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), <a rel="nofollow" class="external text" href="http://eom.springer.de/p/l060890.htm">“Lorenz attractor”</a>, <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Encyclopaedia_of_Mathematics" class="extiw" title="en:Encyclopaedia of Mathematics">Encyclopaedia of Mathematics</a>, <a href="/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%93%E3%82%B8%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A1%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%A2" title="シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア">Springer</a>, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/978-1-55608-010-4" title="特別:文献資料/978-1-55608-010-4">978-1-55608-010-4</a>, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://eom.springer.de/p/l060890.htm">http://eom.springer.de/p/l060890.htm</a></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Lorenz+attractor&rft.atitle=%5B%5B%3Aen%3AEncyclopaedia+of+Mathematics%7CEncyclopaedia+of+Mathematics%5D%5D&rft.date=2001&rft.pub=%5B%5B%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%93%E3%82%B8%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A1%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%A2%7CSpringer%5D%5D&rft.isbn=978-1-55608-010-4&rft_id=&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F"> </li> <li><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/LorenzAttractor.html">"Lorenz attractor"</a>. mathworld.wolfram.com (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Lorenz+attractor&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FLorenzAttractor.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" class="Z3988"></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://demonstrations.wolfram.com/LorenzAttractor/">Lorenz attractor</a> by Rob Morris, <a href="/wiki/Wolfram_Demonstrations_Project" class="mw-redirect" title="Wolfram Demonstrations Project">Wolfram Demonstrations Project</a>.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/encyclopedia/LorenzEquation.html">Lorenz equation</a> on planetmath.org</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=J-ca_bqWp4I">Synchronized Chaos and Private Communications, with Kevin Cuomo</a>. The implementation of Lorenz attractor in an electronic circuit.</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://toxi.co.uk/lorenz/">Lorenz attractor interactive animation</a> (you need the Adobe Shockwave plugin)</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://amath.colorado.edu/faculty/juanga/3DAttractors.html">3D Attractors: Mac program to visualize and explore the Lorenz attractor in 3 dimensions</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.today/20121211081109/http://frank.harvard.edu/~paulh/misc/lorenz.htm">Lorenz Attractor implemented in analog electronic</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://sourceforge.net/projects/lorenz/">Lorenz Attractor interactive animation</a> (implemented in Ada with GTK+. Sources & executable)</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://highfellow.github.com/lorenz-attractor/attractor.html">Web based Lorenz Attractor</a> (implemented in JavaScript/HTML/CSS)</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://alpha.iodide.io/notebooks/34/?viewMode=report">Interactive web based Lorenz Attractor</a> made with Iodide</li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mizuno.org/c/la/index.ja.shtml">ローレンツアトラクタを描画する、あるいはそれに類似することをするときのために</a> （<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mizuno.org/c/la/index.shtml">英語版</a>）</li></ul> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-labelledby="典拠管理データベース_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=ウィキデータを編集&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q899844#identifiers&#124;class=noprint&#124;ウィキデータを編集" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div id="典拠管理データベース_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=ウィキデータを編集&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q899844#identifiers&#124;class=noprint&#124;ウィキデータを編集" style="font-size:110%;margin:0 4em"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a> <a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q899844#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">全般</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.worldcat.org/fast/1002597/">FAST</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">国立図書館</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12373492q">フランス</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb12373492q">BnF data</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4625232-0">ドイツ</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007536145505171">イスラエル</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85078402">アメリカ</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.idref.fr/032770197">IdRef</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <div role="navigation" class="navbox authority-control" aria-labelledby="典拠管理データベース_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=ウィキデータを編集&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q899844#identifiers&#124;class=noprint&#124;ウィキデータを編集" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div id="典拠管理データベース_frameless&#124;text-top&#124;10px&#124;alt=ウィキデータを編集&#124;link=https&#58;//www.wikidata.org/wiki/Q899844#identifiers&#124;class=noprint&#124;ウィキデータを編集" style="font-size:110%;margin:0 4em"><a href="/wiki/Help:%E5%85%B8%E6%8B%A0%E7%AE%A1%E7%90%86" title="Help:典拠管理">典拠管理データベース</a> <a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q899844#identifiers" title="ウィキデータを編集"><img alt="ウィキデータを編集" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/10px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/15px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg/20px-OOjs_UI_icon_edit-ltr-progressive.svg.png 2x" data-file-width="20" data-file-height="20" /></a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">全般</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.worldcat.org/fast/1002597/">FAST</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">国立図書館</th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12373492q">フランス</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb12373492q">BnF data</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4625232-0">ドイツ</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007536145505171">イスラエル</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85078402">アメリカ</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">その他</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.idref.fr/032770197">IdRef</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">「<a dir="ltr" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=ローレンツ方程式&oldid=100500249">https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=ローレンツ方程式&oldid=100500249</a>」から取得</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA" title="特別:カテゴリ">カテゴリ</a>: <ul><li><a href="/wiki/Category:%E8%A4%87%E9%9B%91%E7%B3%BB" title="Category:複雑系">複雑系</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A8%98%E4%BA%8B" title="Category:数学に関する記事">数学に関する記事</a></li><li><a href="/wiki/Category:%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F" title="Category:微分方程式">微分方程式</a></li><li><a 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