Braquistòcrona - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="ca" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Braquistòcrona - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )cawikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","gener","febrer","març","abril","maig","juny","juliol","agost","setembre","octubre","novembre","desembre"],"wgRequestId":"5ae2f3ae-d420-42d8-9628-ad070e0f687b","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Braquistòcrona","wgTitle":"Braquistòcrona","wgCurRevisionId":34275460,"wgRevisionId":34275460,"wgArticleId":113361,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Articles amb enllaços externs per revisar","Pàgines amb enllaç commonscat des de Wikidata","Control d'autoritats","Corbes","Mecànica"],"wgPageViewLanguage":"ca","wgPageContentLanguage":"ca","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Braquistòcrona","wgRelevantArticleId":113361,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia", "wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"ca","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"ca"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":40000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q529985","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles" :"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","mediawiki.page.gallery.styles":"ready","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","wikibase.client.data-bridge.externalModifiers":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.page.gallery","ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.UkensKonkurranse","ext.gadget.refToolbar","ext.gadget.charinsert","ext.gadget.AltresViccionari","ext.gadget.purgetab","ext.gadget.DocTabs","ext.gadget.switcher","ext.urlShortener.toolbar", "ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","wikibase.client.data-bridge.init","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","oojs-ui.styles.icons-media","oojs-ui-core.icons","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ca&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cmediawiki.page.gallery.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.data-bridge.externalModifiers%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=ca&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=ca&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/63/Brachistochrone.gif"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="499"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/63/Brachistochrone.gif"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="333"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="266"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Braquistòcrona - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//ca.m.wikipedia.org/wiki/Braquist%C3%B2crona"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Modifica" href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Viquipèdia (ca)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//ca.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Braquist%C3%B2crona"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.ca"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Canal de sindicació Atom Viquipèdia" href="/w/index.php?title=Especial:Canvis_recents&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Braquistòcrona rootpage-Braquistòcrona skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Vés al contingut</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Lloc"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menú principal" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menú principal</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menú principal</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">amaga</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navegació </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portada" title="Visiteu la pàgina principal [z]" accesskey="z"><span>Portada</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Article_aleatori" title="Carrega una pàgina a l’atzar [x]" accesskey="x"><span>Article a l'atzar</span></a></li><li id="n-Articles-de-qualitat" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Articles_de_qualitat"><span>Articles de qualitat</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Comunitat" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Comunitat" > <div class="vector-menu-heading"> Comunitat </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Portal" title="Sobre el projecte, què podeu fer, on trobareu les coses"><span>Portal viquipedista</span></a></li><li id="n-Agenda-d'actes" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Trobades"><span>Agenda d'actes</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Canvis_recents" title="Una llista dels canvis recents al wiki [r]" accesskey="r"><span>Canvis recents</span></a></li><li id="n-La-taverna" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:La_taverna"><span>La taverna</span></a></li><li id="n-contactpage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Contacte"><span>Contacte</span></a></li><li id="n-Xat" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Canals_IRC"><span>Xat</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Ajuda" title="El lloc per a saber més coses"><span>Ajuda</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Portada" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Viquipèdia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-ca.svg" style="width: 7.5em; height: 1.4375em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="l'Enciclopèdia Lliure" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-ca.svg" width="120" height="14" style="width: 7.5em; height: 0.875em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Especial:Cerca" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Cerca a la Viquipèdia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Cerca</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Cerca a Viquipèdia" aria-label="Cerca a Viquipèdia" autocapitalize="sentences" title="Cerca a la Viquipèdia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Especial:Cerca"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Cerca</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Eines personals"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparença"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Change the appearance of the page's font size, width, and color" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Aparença" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Aparença</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ca.wikipedia.org&uselang=ca" class=""><span>Donatius</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Crea_compte&returnto=Braquist%C3%B2crona" title="Us animem a crear un compte i iniciar una sessió, encara que no és obligatori" class=""><span>Crea un compte</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Especial:Registre_i_entrada&returnto=Braquist%C3%B2crona" title="Us animem a registrar-vos, però no és obligatori [o]" accesskey="o" class=""><span>Inicia la sessió</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Més opcions" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Eines personals" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Eines personals</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menú d'usuari" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_ca.wikipedia.org&uselang=ca"><span>Donatius</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Crea_compte&returnto=Braquist%C3%B2crona" title="Us animem a crear un compte i iniciar una sessió, encara que no és obligatori"><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Crea un compte</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Registre_i_entrada&returnto=Braquist%C3%B2crona" title="Us animem a registrar-vos, però no és obligatori [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Inicia la sessió</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Pàgines per a editors no registrats <a href="/wiki/Ajuda:Introducci%C3%B3" aria-label="Vegeu més informació sobre l'edició"><span>més informació</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Contribucions_pr%C3%B2pies" title="Una llista de les modificacions fetes des d'aquesta adreça IP [y]" accesskey="y"><span>Contribucions</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Discussi%C3%B3_personal" title="Discussió sobre les edicions per aquesta adreça ip. [n]" accesskey="n"><span>Discussió per aquest IP</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Lloc"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Contingut" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Contingut</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">amaga</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Inici</div> </a> </li> <li id="toc-Història" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Història"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Història</span> </div> </a> <ul id="toc-Història-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-La_solució_de_Johann_Bernoulli" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#La_solució_de_Johann_Bernoulli"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>La solució de Johann Bernoulli</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-La_solució_de_Johann_Bernoulli-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció La solució de Johann Bernoulli</span> </button> <ul id="toc-La_solució_de_Johann_Bernoulli-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Introducció" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Introducció"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Introducció</span> </div> </a> <ul id="toc-Introducció-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-El_mètode_directe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#El_mètode_directe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>El mètode directe</span> </div> </a> <ul id="toc-El_mètode_directe-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-La_solució_analítica" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#La_solució_analítica"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2.1</span> <span>La solució analítica</span> </div> </a> <ul id="toc-La_solució_analítica-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-La_solució_sintètica" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#La_solució_sintètica"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2.2</span> <span>La solució sintètica</span> </div> </a> <ul id="toc-La_solució_sintètica-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Mètode_indirecte" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Mètode_indirecte"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Mètode indirecte</span> </div> </a> <ul id="toc-Mètode_indirecte-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-La_solució_de_Jakob_Bernoulli" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#La_solució_de_Jakob_Bernoulli"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>La solució de Jakob Bernoulli</span> </div> </a> <ul id="toc-La_solució_de_Jakob_Bernoulli-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-La_solució_de_Newton" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#La_solució_de_Newton"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>La solució de Newton</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-La_solució_de_Newton-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Commuta la subsecció La solució de Newton</span> </button> <ul id="toc-La_solució_de_Newton-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Introducció_2" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Introducció_2"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Introducció</span> </div> </a> <ul id="toc-Introducció_2-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-El_problema_de_la_braquistòcrona" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#El_problema_de_la_braquistòcrona"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>El problema de la braquistòcrona</span> </div> </a> <ul id="toc-El_problema_de_la_braquistòcrona-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Notes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Notes</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referències" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referències"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Referències</span> </div> </a> <ul id="toc-Referències-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Enllaços_externs" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Enllaços_externs"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Enllaços externs</span> </div> </a> <ul id="toc-Enllaços_externs-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Contingut" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Commuta la taula de continguts." > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Commuta la taula de continguts.</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Braquistòcrona</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Vés a un article en una altra llengua. Disponible en 33 llengües" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-33" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">33 llengües</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%B0%D1%85%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%85%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B0" title="Брахистохрона - búlgar" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Брахистохрона" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgar" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE%E0%A6%95%E0%A6%BF%E0%A6%B8%E0%A7%8D%E0%A6%9F%E0%A7%8B%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%B0%E0%A7%8B%E0%A6%A8_%E0%A6%AC%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%B0" title="ব্র্যাকিস্টোক্রোন বক্র - bengalí" lang="bn" hreflang="bn" data-title="ব্র্যাকিস্টোক্রোন বক্র" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalí" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Brachistochrona" title="Brachistochrona - txec" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Brachistochrona" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="txec" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone" title="Brachistochrone - alemany" lang="de" hreflang="de" data-title="Brachistochrone" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemany" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve" title="Brachistochrone curve - anglès" lang="en" hreflang="en" data-title="Brachistochrone curve" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglès" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_braquist%C3%B3crona" title="Curva braquistócrona - espanyol" lang="es" hreflang="es" data-title="Curva braquistócrona" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espanyol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Brahhistokroon" title="Brahhistokroon - estonià" lang="et" hreflang="et" data-title="Brahhistokroon" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonià" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Brakistokroni" title="Brakistokroni - finès" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Brakistokroni" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finès" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_brachistochrone" title="Courbe brachistochrone - francès" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Courbe brachistochrone" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francès" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%91%D7%A8%D7%9B%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%95%D7%9B%D7%A8%D7%95%D7%9F" title="ברכיסטוכרון - hebreu" lang="he" hreflang="he" data-title="ברכיסטוכרון" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Brachisztochron-probl%C3%A9ma" title="Brachisztochron-probléma - hongarès" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Brachisztochron-probléma" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongarès" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Kurva_brakistokron" title="Kurva brakistokron - indonesi" lang="id" hreflang="id" data-title="Kurva brakistokron" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonesi" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Brakistokrono" title="Brakistokrono - ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Brakistokrono" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Brachistocrona" title="Brachistocrona - italià" lang="it" hreflang="it" data-title="Brachistocrona" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italià" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E9%80%9F%E9%99%8D%E4%B8%8B%E6%9B%B2%E7%B7%9A" title="最速降下曲線 - japonès" lang="ja" hreflang="ja" data-title="最速降下曲線" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonès" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%B0%D1%85%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%85%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B0" title="Брахистохрона - kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Брахистохрона" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazakh" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B5%9C%EB%8B%A8%EC%8B%9C%EA%B0%84_%EA%B3%A1%EC%84%A0" title="최단시간 곡선 - coreà" lang="ko" hreflang="ko" data-title="최단시간 곡선" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreà" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%AC%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%95%E0%B4%BF%E0%B4%B8%E0%B5%8D%E0%B4%B1%E0%B5%8D%E0%B4%B1%E0%B5%8B%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B5%8B%E0%B5%BA_%E0%B4%AA%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%B6%E0%B5%8D%E0%B4%A8%E0%B4%82" title="ബ്രക്കിസ്റ്റോക്രോൺ പ്രശ്നം - malaiàlam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ബ്രക്കിസ്റ്റോക്രോൺ പ്രശ്നം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malaiàlam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_kromme" title="Brachistochrone kromme - neerlandès" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Brachistochrone kromme" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandès" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Det_brakistokrone_problemet" title="Det brakistokrone problemet - noruec nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Det brakistokrone problemet" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruec nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Brakistokronproblemet" title="Brakistokronproblemet - noruec bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Brakistokronproblemet" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="noruec bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Brachistochrona" title="Brachistochrona - polonès" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Brachistochrona" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonès" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Braquist%C3%B3crona" title="Braquistócrona - portuguès" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Braquistócrona" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portuguès" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Brahistocron%C4%83" title="Brahistocronă - romanès" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Brahistocronă" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romanès" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%B0%D1%85%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%85%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B0" title="Брахистохрона - rus" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Брахистохрона" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rus" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve" title="Brachistochrone curve - Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Brachistochrone curve" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Brachistochrona" title="Brachistochrona - eslovac" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Brachistochrona" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovac" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Brahistokrona" title="Brahistokrona - eslovè" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Brahistokrona" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="eslovè" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%B0%D1%85%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%85%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B0" title="Брахистохрона - serbi" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Брахистохрона" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbi" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Brachistochron" title="Brachistochron - suec" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Brachistochron" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suec" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Brakistokron_e%C4%9Frisi" title="Brakistokron eğrisi - turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Brakistokron eğrisi" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%96%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%85%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B0" title="Брахістохрона - ucraïnès" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Брахістохрона" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraïnès" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E9%80%9F%E9%99%8D%E7%B7%9A%E5%95%8F%E9%A1%8C" title="最速降線問題 - xinès" lang="zh" hreflang="zh" data-title="最速降線問題" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="xinès" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q529985#sitelinks-wikipedia" title="Modifica enllaços interlingües" class="wbc-editpage">Modifica els enllaços</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espais de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Braquist%C3%B2crona" title="Vegeu el contingut de la pàgina [c]" accesskey="c"><span>Pàgina</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussi%C3%B3:Braquist%C3%B2crona" rel="discussion" title="Discussió sobre el contingut d'aquesta pàgina [t]" accesskey="t"><span>Discussió</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Canvia la variant de llengua" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">català</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Vistes"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Braquist%C3%B2crona"><span>Mostra</span></a></li><li id="ca-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit" title="Modifica el codi font d'aquesta pàgina [e]" accesskey="e"><span>Modifica</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=history" title="Versions antigues d'aquesta pàgina [h]" accesskey="h"><span>Mostra l'historial</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Eines de la pàgina"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Eines" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Eines</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Eines</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">amaga</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Més opcions" > <div class="vector-menu-heading"> Accions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Braquist%C3%B2crona"><span>Mostra</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit" title="Modifica el codi font d'aquesta pàgina [e]" accesskey="e"><span>Modifica</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=history"><span>Mostra l'historial</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> General </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Enlla%C3%A7os/Braquist%C3%B2crona" title="Una llista de totes les pàgines wiki que enllacen amb aquesta [j]" accesskey="j"><span>Què hi enllaça</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:Seguiment/Braquist%C3%B2crona" rel="nofollow" title="Canvis recents a pàgines enllaçades des d'aquesta pàgina [k]" accesskey="k"><span>Canvis relacionats</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Especial:P%C3%A0gines_especials" title="Llista totes les pàgines especials [q]" accesskey="q"><span>Pàgines especials</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&oldid=34275460" title="Enllaç permanent a aquesta revisió de la pàgina"><span>Enllaç permanent</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=info" title="Més informació sobre aquesta pàgina"><span>Informació de la pàgina</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Citau&page=Braquist%C3%B2crona&id=34275460&wpFormIdentifier=titleform" title="Informació sobre com citar aquesta pàgina"><span>Citau aquest article</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fca.wikipedia.org%2Fwiki%2FBraquist%25C3%25B2crona"><span>Obtén una URL abreujada</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:QrCode&url=https%3A%2F%2Fca.wikipedia.org%2Fwiki%2FBraquist%25C3%25B2crona"><span>Descarrega el codi QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimeix/exporta </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:Llibre&bookcmd=book_creator&referer=Braquist%C3%B2crona"><span>Crea un llibre</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Especial:DownloadAsPdf&page=Braquist%C3%B2crona&action=show-download-screen"><span>Baixa com a PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&printable=yes" title="Versió per a impressió d'aquesta pàgina [p]" accesskey="p"><span>Versió per a impressora</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> En altres projectes </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Brachistochrone" hreflang="en"><span>Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q529985" title="Enllaç a l'element del repositori de dades connectat [g]" accesskey="g"><span>Element a Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Eines de la pàgina"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aparença"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aparença</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mou a la barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">amaga</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ca" dir="ltr"><p>En <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">física</a> i <a href="/wiki/Matem%C3%A0tiques" title="Matemàtiques">matemàtiques</a>, una <a href="/wiki/Corba" title="Corba">corba</a> <b>braquistòcrona</b> (del <a href="/wiki/Grec_antic" title="Grec antic">grec</a> <i>βράχιστος χρόνος</i> (<i>brákhistos khrónos</i>); <i>«temps més curt»</i>), o <i>«corba de descens més ràpid»</i>, és la que es troba en el <a href="/wiki/Pla" title="Pla">pla</a> entre un punt <i>A</i> i un punt inferior <i>B</i>, on <i>B</i> no és directament sota <i>A</i>, sobre la qual una bola llisca sense <a href="/wiki/Fricci%C3%B3" title="Fricció">fricció</a> sota la influència d'un <a href="/wiki/Camp_gravitatori" title="Camp gravitatori">camp gravitatori</a> uniforme fins a un punt final determinat en el temps més curt. El problema va ser plantejat per <a href="/wiki/Johann_Bernoulli" title="Johann Bernoulli">Johann Bernoulli</a> el 1696. </p> <ul class="gallery mw-gallery-packed"> <li class="gallerybox" style="width: 483.33333333333px"> <div class="thumb" style="width: 481.33333333333px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fitxer:Brachistochrone.gif" class="mw-file-description" title="La corba de descens més ràpid no és una línia recta o poligonal (blava) sinó una cicloide (vermell)"><img alt="La corba de descens més ràpid no és una línia recta o poligonal (blava) sinó una cicloide (vermell)" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/63/Brachistochrone.gif" decoding="async" width="482" height="200" class="mw-file-element" data-file-width="488" data-file-height="203" /></a></span></div> <div class="gallerytext">La corba de descens més ràpid no és una línia recta o poligonal (blava) sinó una <a href="/wiki/Cicloide" title="Cicloide">cicloide</a> (vermell)</div> </li> </ul> <p>La corba braquistòcrona té la mateixa forma que la corba <a href="/wiki/Taut%C3%B2crona" title="Tautòcrona">tautòcrona</a>; tots dos són <a href="/wiki/Cicloide" title="Cicloide">cicloides</a>. Tanmateix, la porció de la cicloide utilitzada per a cadascun dels dos varia. Més concretament, la braquistòcrona pot utilitzar fins a una rotació completa de la cicloide (al límit quan <i>A</i> i <i>B</i> estan al mateix nivell), però sempre comença en una <a href="/wiki/C%C3%BAspide_(matem%C3%A0tiques)" title="Cúspide (matemàtiques)">cúspide</a>. En canvi, el problema tautòcrona només pot utilitzar fins a la primera meitat de rotació, i sempre acaba a l'horitzontal. El problema es pot resoldre mitjançant eines del <a href="/wiki/C%C3%A0lcul_de_variacions" title="Càlcul de variacions">càlcul de variacions</a> i <a href="/wiki/Teoria_del_control_%C3%B2ptim" title="Teoria del control òptim">control òptim</a>.<sup id="cite_ref-FOOTNOTERoss2009_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTERoss2009-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>La corba és independent tant de la <a href="/wiki/Massa" title="Massa">massa</a> del cos de prova com de la <a href="/wiki/Gravetat" title="Gravetat">força de gravetat</a> local. Només s'escull un <a href="/wiki/Par%C3%A0metre" title="Paràmetre">paràmetre</a> perquè la corba s'ajusti al punt inicial <i>A</i> i al punt final <i>B</i>.<sup id="cite_ref-FOOTNOTEHandJanet199845,_70_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEHandJanet199845,_70-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Si al cos se li dóna una <a href="/wiki/Velocitat" title="Velocitat">velocitat</a> inicial en <i>A,</i> o si es té en compte la <a href="/wiki/Fricci%C3%B3" title="Fricció">fricció</a>, aleshores la corba que minimitza el temps difereix de la corba <a href="/wiki/Taut%C3%B2crona" title="Tautòcrona">tautòcrona</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Història"><span id="Hist.C3.B2ria"></span>Història</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit&section=1" title="Modifica la secció: Història"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Johann_Bernoulli" title="Johann Bernoulli">Johann Bernoulli</a> va plantejar el problema de la braquistòcrona als lectors d'<i><a href="/wiki/Acta_Eruditorum" title="Acta Eruditorum">Acta Eruditorum</a></i> el juny de 1696. </p><p>Va dir: </p> <div style="clear:{{#switch:left|center=both|#default=left;"> <table style="margin:auto; width:auto; border-collapse:collapse; border-style:none;"> <tbody><tr> <td width="20" valign="top" style="font-size:35px; padding:0 10px; text-align:left; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">« </td> <td valign="middle" align="left" style=""><i>Jo, Johann Bernoulli, em dirigeixo als matemàtics més brillants del món. Res és més atractiu per a les persones intel·ligents que un problema honest i desafiant, la possible solució del qual atorgarà fama i es mantindrà com un monument durador. Seguint l'exemple donat per Pascal, Fermat, etc., espero obtenir l'agraïment de tota la comunitat científica posant davant els millors matemàtics del nostre temps un problema que posarà a prova els seus mètodes i la força del seu intel·lecte. Si algú em comunica la solució del problema proposat, el declararé públicament digne de lloança.</i> </td> <td width="20" valign="bottom" style="font-size:35px; padding:0 10px 10px; text-align:right; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">» </td></tr> <tr> <td colspan="3" style="text-align:right; font-size:smaller;">— <a href="/wiki/Johann_Bernoulli" title="Johann Bernoulli">Johann Bernoulli</a> </td></tr></tbody></table></div> <p>Bernoulli va escriure l'enunciat del problema de la següent manera:<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>Nota 1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div style="clear:{{#switch:left|center=both|#default=left;"> <table style="margin:auto; width:auto; border-collapse:collapse; border-style:none;"> <tbody><tr> <td width="20" valign="top" style="font-size:35px; padding:0 10px; text-align:left; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">« </td> <td valign="middle" align="left" style=""><i>Donats dos punts A i B en un pla vertical, quina és la corba traçada per un punt sobre el qual només actua la gravetat, que comença a A i arriba a B en el menor temps?</i> </td> <td width="20" valign="bottom" style="font-size:35px; padding:0 10px 10px; text-align:right; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">» </td></tr></tbody></table></div> <p>Johann i el seu germà <a href="/wiki/Jakob_Bernoulli" title="Jakob Bernoulli">Jakob Bernoulli</a> van derivar la mateixa solució, però la derivació de Johann era incorrecta, i va intentar fer passar la solució de Jakob com la seva.<sup id="cite_ref-FOOTNOTELivio2003116_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTELivio2003116-4"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Johann va publicar la solució a la revista el maig de l'any següent i va assenyalar que la solució és la mateixa corba que la corba <a href="/wiki/Taut%C3%B2crona" title="Tautòcrona">tautòcrona</a> de Huygens. Després de derivar l'<a href="/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial" title="Equació diferencial">equació diferencial</a> per a la corba pel mètode que es mostra a continuació, va continuar demostrant que produeix un <a href="/wiki/Cicloide" title="Cicloide">cicloide</a>.<sup id="cite_ref-FOOTNOTEStruik1969_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEStruik1969-5"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-FOOTNOTEErlichson1999299-304_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEErlichson1999299-304-6"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Tanmateix, la seva prova es veu afectada per l'ús d'una sola <a href="/wiki/Constant_(matem%C3%A0tiques)" title="Constant (matemàtiques)">constant</a> en lloc de les tres constants, <i>v<sub>m</sub></i>, <i>2g</i> i <i>D</i>, a continuació. </p><p>Bernoulli va permetre sis mesos per a les solucions, però no es va rebre cap durant aquest període. A petició de <a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Leibniz</a>, el temps es va prorrogar públicament durant un any i mig.<sup id="cite_ref-FOOTNOTESagan201194_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTESagan201194-7"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> A les 16.00 h. del 29 de gener de 1697, quan va arribar a casa des de la Royal Mint, <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> va trobar el repte en una carta de Johann Bernoulli.<sup id="cite_ref-FOOTNOTEKatz1998547_8-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEKatz1998547-8"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Newton es va quedar despert tota la nit per resoldre'l i va enviar la solució de forma anònima al següent missatge. En llegir la solució, Bernoulli va reconèixer immediatament el seu autor, exclamant que <i>«reconec un <a href="/wiki/Lle%C3%B3" title="Lleó">lleó</a> per la seva marca de les urpes»</i>. Aquesta història dóna una idea del poder de Newton, ja que Johann Bernoulli va trigar dues setmanes a resoldre'l.<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-FOOTNOTEHandJanet199845,_70_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEHandJanet199845,_70-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Newton també va escriure: <i>«No m'encanta que els estrangers em burlin de coses matemàtiques...»</i>, i Newton ja havia resolt el <a href="/w/index.php?title=Problema_de_resist%C3%A8ncia_m%C3%ADnima_de_Newton&action=edit&redlink=1" class="new" title="Problema de resistència mínima de Newton (encara no existeix)">problema de resistència mínima de Newton</a>, que es considera el primer d'aquest tipus en <a href="/wiki/C%C3%A0lcul_de_variacions" title="Càlcul de variacions">càlcul de variacions</a>. </p><p>Al final, cinc matemàtics van respondre amb solucions: <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a>, <a href="/wiki/Jakob_Bernoulli" title="Jakob Bernoulli">Jakob Bernoulli</a>, <a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Gottfried Leibniz</a>, <a href="/wiki/Ehrenfried_Walter_von_Tschirnhaus" title="Ehrenfried Walter von Tschirnhaus">Ehrenfried Walther von Tschirnhaus</a> i <a href="/wiki/Guillaume_Fran%C3%A7ois_Antoine,_Marquis_de_L%27H%C3%B4pital" title="Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hôpital">Guillaume de l'Hôpital</a>.<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>Nota 2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Quatre de les solucions (excloent la de l'Hôpital) es van publicar a la mateixa edició de la revista que la de Johann Bernoulli. En el seu article, Jakob Bernoulli va donar una prova de la condició durant menys temps similar a la següent abans de demostrar que la seva solució és una cicloide. Segons l'estudiós newtonià <a href="/wiki/Tom_Whiteside" title="Tom Whiteside">Tom Whiteside</a>, en un intent de superar al seu germà, Jakob Bernoulli va crear una versió més difícil del problema de la braquistòcrona. Per resoldre-ho, va desenvolupar nous mètodes que van ser refinats per <a href="/wiki/Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> en el que aquest últim va anomenar (el 1766) el <a href="/wiki/C%C3%A0lcul_de_variacions" title="Càlcul de variacions">càlcul de variacions</a>. <a href="/wiki/Joseph_Louis_Lagrange" title="Joseph Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a> va fer més treballs que van donar lloc al <a href="/wiki/C%C3%A0lcul_infinitesimal" title="Càlcul infinitesimal">càlcul infinitesimal</a> modern. </p><p>Abans, l'any 1638, <a href="/wiki/Galileo_Galilei" title="Galileo Galilei">Galileu</a> havia intentat resoldre un problema similar per al camí del descens més ràpid d'un punt a una paret a les seves <i><a href="/wiki/Discorsi_e_Dimostrazioni_Matematiche_Intorno_a_Due_Nuove_Scienze" title="Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze">Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze</a></i>. Treu la conclusió que l'<a href="/wiki/Arc_(geometria)" title="Arc (geometria)">arc</a> de <a href="/wiki/Cercle" title="Cercle">cercle</a> és més ràpid que qualsevol nombre de les seves <a href="/wiki/Corda_(geometria)" title="Corda (geometria)">cordes</a>:<sup id="cite_ref-FOOTNOTEGalilei1638239_11-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEGalilei1638239-11"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div style="clear:{{#switch:left|center=both|#default=left;"> <table style="margin:auto; width:auto; border-collapse:collapse; border-style:none;"> <tbody><tr> <td width="20" valign="top" style="font-size:35px; padding:0 10px; text-align:left; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">« </td> <td valign="middle" align="left" style=""><i>De l'anterior es pot inferir que el camí més ràpid de tots [lationem omnium velocissimam], d'un punt a un altre, no és el camí més curt, és a dir, una recta, sinó l'arc del cercle.</i> <p>(...) </p><p><i>En conseqüència, com més s'acosta el polígon inscrit a una circumferència, més curt és el temps necessari per baixar d'A a C. El que s'ha demostrat per al quadrant és cert també per als arcs més petits; el raonament és el mateix</i>. </p> </td> <td width="20" valign="bottom" style="font-size:35px; padding:0 10px 10px; text-align:right; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">» </td></tr></tbody></table></div> <p>Just després del <i>Teorema 6</i> de <i>Due Nuove Scienze</i>, Galileu adverteix de possibles <a href="/wiki/Fal%C2%B7l%C3%A0cia" title="Fal·làcia">fal·làcies</a> i de la necessitat d'una <i>«ciència superior»</i>. En aquest diàleg Galileu repassa la seva pròpia obra. Galileu va estudiar la cicloide i li va donar nom, però la connexió entre aquesta i el seu problema va haver d'esperar als avenços de les <a href="/wiki/Matem%C3%A0tiques" title="Matemàtiques">matemàtiques</a>. </p> <ul class="gallery mw-gallery-packed"> <li class="gallerybox" style="width: 524px"> <div class="thumb" style="width: 522px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fitxer:Galileo%27s_Shortest_Time_Curve_Conjecture.jpg" class="mw-file-description" title="Diagrames sobre la conjectura de Galileu"><img alt="Diagrames sobre la conjectura de Galileu" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/79/Galileo%27s_Shortest_Time_Curve_Conjecture.jpg" decoding="async" width="522" height="200" class="mw-file-element" data-file-width="600" data-file-height="230" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Diagrames sobre la conjectura de Galileu</div> </li> </ul> <p>La conjectura de Galileu és que <i>«El temps més curt de tots [per a un cos mòbil] serà el de la seva caiguda al llarg de l'arc ADB [d'un quart de cercle] i propietats similars s'han d'entendre com una retenció per a tots els arcs menors agafats cap amunt des del límit més baix B»</i>. </p><p>En conseqüència, a la <i>figura 1</i>, del <i>Diàleg sobre els dos sistemes mundials principal</i>s, Galileu afirma que el cos lliscant al llarg de l'arc circular d'un quart de cercle, d'A a B, arribarà a B en menys temps que si prengués qualsevol altre camí d'A a B. De la mateixa manera, a la <i>figura 2</i>, des de qualsevol punt E de l'arc AB, afirma que el temps al llarg de l'arc menor EB serà menor que per a qualsevol altre camí d'E a B. De fet, el camí més ràpid d'A a B o d'E a B, la braquistòcrona, és un arc cicloïdal, que es mostra a la <i>figura 3</i> per al camí d'E a B. Les dues corbes es superposen a la <i>figura 4</i>. Nota: la conjectura de Galileu té la <a href="/wiki/Tangent" title="Tangent">tangent</a> de la corba horitzontal al punt final, B, mentre que la braquistòcrona té la tangent vertical al punt inicial, E. Com a conseqüència, l'arc circular i l'arc cicloïdal de la <i>figura 4</i> s'han de tallar en algun punt entre E i B.<sup id="cite_ref-FOOTNOTEGalilei1967451_12-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEGalilei1967451-12"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="La_solució_de_Johann_Bernoulli"><span id="La_soluci.C3.B3_de_Johann_Bernoulli"></span>La solució de Johann Bernoulli</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit&section=2" title="Modifica la secció: La solució de Johann Bernoulli"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Introducció"><span id="Introducci.C3.B3"></span>Introducció</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit&section=3" title="Modifica la secció: Introducció"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En una carta a <a href="/wiki/Guillaume_Fran%C3%A7ois_Antoine,_Marquis_de_L%27H%C3%B4pital" title="Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hôpital">L'Hôpital</a>, (21/12/1696), <a href="/wiki/Johann_Bernoulli" title="Johann Bernoulli">Bernoulli</a> va afirmar que quan es plantejava el problema de la corba de descens més ràpid, després de només dos dies va notar una curiosa afinitat o connexió amb un altre problema no menys notable que portava a un <i>«mètode indirecte»</i> de solució. Poc després va descobrir un <i>«mètode directe»</i>.<sup id="cite_ref-FOOTNOTECostabelPeiffer1988329_13-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTECostabelPeiffer1988329-13"><span class="cite-bracket">[</span>11<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="El_mètode_directe"><span id="El_m.C3.A8tode_directe"></span>El mètode directe</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit&section=4" title="Modifica la secció: El mètode directe"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En una carta a Henri Basnage, conservada a la Biblioteca Pública de la <a href="/wiki/Universitat_de_Basilea" title="Universitat de Basilea">Universitat de Basilea</a>, datada el 30 de març de 1697, <a href="/wiki/Johann_Bernoulli" title="Johann Bernoulli">Johann Bernoulli</a> va declarar que havia trobat dos mètodes (sempre anomenats <i>«directe»</i> i <i>«indirecte»</i>) per demostrar que la braquistòcrona era la <i>«<a href="/wiki/Cicloide" title="Cicloide">cicloide</a> comuna»</i>, també anomenada <i>«ruleta»</i>. Seguint el consell de <a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Leibniz</a>, va incloure només el <i>«mètode indirecte»</i> a l'<i>Acta Eruditorum Lipsidae</i> de maig de 1697. Va escriure que això era en part perquè creia que era suficient per convèncer qualsevol que dubtés de la conclusió, en part perquè també va resoldre dos famosos problemes d'<a href="/wiki/%C3%92ptica" title="Òptica">òptica</a> que <i>«el difunt senyor <a href="/wiki/Christiaan_Huygens" title="Christiaan Huygens">Huygens</a>»</i> havia plantejat en el seu tractat de la <a href="/wiki/Llum" title="Llum">llum</a>. En la mateixa carta va criticar a Newton per amagar el seu mètode. </p><p>A més del seu mètode indirecte, també va publicar les altres cinc respostes al problema que va rebre. </p><p>El <i>«mètode directe»</i> de Johann Bernoulli és històricament important com a prova que la braquistòcrona és el cicloide. El mètode consisteix a determinar la <a href="/wiki/Curvatura" title="Curvatura">curvatura</a> de la corba en cada punt. Totes les altres proves, inclosa la de Newton (que no es va revelar en aquell moment) es basen en trobar el <a href="/wiki/Gradient_(matem%C3%A0tiques)" title="Gradient (matemàtiques)">gradient</a> en cada punt. </p><p>El 1718, Bernoulli va explicar com va resoldre el problema de la braquistòcrona pel seu mètode directe.<sup id="cite_ref-FOOTNOTEBernoulli1718135-138_14-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEBernoulli1718135-138-14"><span class="cite-bracket">[</span>12<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-FOOTNOTEFregugliaGiaquinta201653-57_15-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEFregugliaGiaquinta201653-57-15"><span class="cite-bracket">[</span>13<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Va explicar que no l'havia publicat el 1697, per raons que ja no s'aplicaven el 1718. Aquest article va ser ignorat en gran mesura fins al 1904, quan <a href="/wiki/Constantin_Carath%C3%A9odory" title="Constantin Carathéodory">Constantin Carathéodory</a> va apreciar per primera vegada la profunditat del mètode, que va afirmar que demostra que la cicloide és el única corba possible de baixada més ràpida. Segons ell, les altres solucions simplement implicaven que el temps de descens és estacionari per a la cicloide, però no necessàriament el mínim possible. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="La_solució_analítica"><span id="La_soluci.C3.B3_anal.C3.ADtica"></span>La solució analítica</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit&section=5" title="Modifica la secció: La solució analítica"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Es considera que un cos llisca al llarg de qualsevol petit arc circular Ce entre els radis KC i Ke, amb el centre fix K. La primera etapa de la demostració consisteix a trobar l'arc circular particular, Mm, que el cos recorre en el temps mínim. </p> <ul class="gallery mw-gallery-packed"> <li class="gallerybox" style="width: 300px"> <div class="thumb" style="width: 298px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fitxer:Brachistochrone_Bernoulli_Direct_Method.png" class="mw-file-description" title="Mètode directe de la braquistòcrona de Bernoulli"><img alt="Mètode directe de la braquistòcrona de Bernoulli" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Brachistochrone_Bernoulli_Direct_Method.png/447px-Brachistochrone_Bernoulli_Direct_Method.png" decoding="async" width="298" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/56/Brachistochrone_Bernoulli_Direct_Method.png 1.5x" data-file-width="500" data-file-height="420" /></a></span></div> <div class="gallerytext"><i>Mètode directe</i> de la braquistòcrona de Bernoulli</div> </li> </ul> <p>La recta KNC talla AL en N, i la línia Kne la talla en n, i formen un petit angle CKe en K. Sigui NK = a, i defineixi un punt variable, C sobre KN estès. De tots els arcs circulars possibles Ce, cal trobar l'arc Mm, que requereix el temps mínim per lliscar entre els dos radis, KM i Km. Per trobar Mm, Bernoulli argumenta el següent: </p><p>Sigui MN = x. Defineixi m de manera que MD = mx, i n de manera que Mm = nx + na i assenyali que x és l'única variable i que m és finita i n és infinitament petita. El petit temps per viatjar per l'arc Mm és <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}={\frac {n(x+a)}{(mx)^{\frac {1}{2}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>m</mi> <mi>x</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}={\frac {n(x+a)}{(mx)^{\frac {1}{2}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db6d6e14fbe555cf92358c6997056e3812afa5e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:19.477ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}={\frac {n(x+a)}{(mx)^{\frac {1}{2}}}}}"></span>, que ha de ser un <a href="/wiki/M%C3%A0xims_i_m%C3%ADnims" title="Màxims i mínims">mínim</a> (<i>«un plus petit»</i>). No explica que com que Mm és tan petita, es pot suposar que la velocitat al llarg d'ella és la velocitat a M, que és com l'<a href="/wiki/Arrel_quadrada" title="Arrel quadrada">arrel quadrada</a> de MD, la distància vertical de M per sota de la línia horitzontal AL. </p><p>Es dedueix que, quan es diferencia això ha de donar </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {(x-a)dx}{2x^{\frac {3}{2}}}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {(x-a)dx}{2x^{\frac {3}{2}}}}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3de41009940551dd4bb5efeb63c98948e5ce94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:14.852ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {(x-a)dx}{2x^{\frac {3}{2}}}}=0}"></span> de manera que x = a.</dd></dl> <p>Aquesta condició defineix la corba per la qual llisca el cos en el menor temps possible. Per a cada punt, M de la corba, el radi de curvatura, MK es talla en dues parts iguals pel seu eix AL. Aquesta propietat, que Bernoulli diu que era coneguda des de fa molt de temps, és exclusiva de la cicloide. </p><p>Finalment, considera el cas més general en què la <a href="/wiki/Velocitat" title="Velocitat">velocitat</a> és una <a href="/wiki/Funci%C3%B3" title="Funció">funció</a> arbitrària X(x), de manera que el temps a minimitzar és <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {(x+a)}{X}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>X</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {(x+a)}{X}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16873c8c33467c0a207102dec228a14c314eebe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.045ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {(x+a)}{X}}}"></span>. </p><p>Aleshores es converteix en la condició mínima </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X={\frac {(x+a)dX}{dx}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>d</mi> <mi>X</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X={\frac {(x+a)dX}{dx}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397b783f04929cc768db73695568129370b818d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.32ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle X={\frac {(x+a)dX}{dx}}}"></span> </p><p>que ell escriu com: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=(x+a)\Delta x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=(x+a)\Delta x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92fe8a52d0cc9e8316c5b7bd9b1e377b86bd0a45" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.553ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X=(x+a)\Delta x}"></span> </p><p>i que dóna MN (=x) en funció de NK (= a). A partir d'això, l'equació de la corba es podria obtenir a partir del <a href="/wiki/Integraci%C3%B3" title="Integració">càlcul integral</a>, encara que no ho demostra. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="La_solució_sintètica"><span id="La_soluci.C3.B3_sint.C3.A8tica"></span>La solució sintètica</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit&section=6" title="Modifica la secció: La solució sintètica"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A continuació, continua amb el que va anomenar la seva <i>solució sintètica</i>, que era una prova geomètrica clàssica, que només hi ha una sola corba que un cos pot lliscar cap avall en el temps mínim, i aquesta corba és la cicloide. </p><p>El motiu de la demostració sintètica, a la manera dels antics, és per convèncer el senyor de La Hire. Té poc temps per a la nostra nova anàlisi, descrivint-la com a fals.<sup id="cite_ref-16" class="reference"><a href="#cite_note-16"><span class="cite-bracket">[</span>Nota 3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-FOOTNOTECostabelPeiffer1988117-118_17-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTECostabelPeiffer1988117-118-17"><span class="cite-bracket">[</span>14<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Suposem que AMmB és la part de la cicloide que uneix A a B, on el cos llisca cap avall en el temps mínim. Sigui ICcJ part d'una corba diferent que uneix A a B, que pot estar més propera a AL que AMmB. Si l'arc Mm subtendeix l'angle MKm en el seu <a href="/wiki/Centre_de_curvatura" title="Centre de curvatura">centre de curvatura</a>, K, sigui Cc l'arc de IJ que subteneix el mateix angle. L'arc circular per C amb centre K és Ce. El punt D de AL està verticalment per sobre de M. Uneix K a D i el punt H és on CG talla KD, allargat si cal. </p><p>Fem que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"></span> i t siguin els temps que el cos triga a caure al llarg de Mm i Ce, respectivament. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau \propto {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> <mo>∝</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau \propto {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f17aa3aed668e0f7b35da64203a40a3e69e145" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:11.239ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \tau \propto {\frac {Mm}{MD^{\frac {1}{2}}}}}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\propto {\frac {Ce}{CG^{\frac {1}{2}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mo>∝</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>C</mi> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> <msup> <mi>G</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\propto {\frac {Ce}{CG^{\frac {1}{2}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c989401a41d7dba1f7c0fdaa62db5565c71139d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:10.103ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle t\propto {\frac {Ce}{CG^{\frac {1}{2}}}}}"></span>,</dd></dl> <p>Extenent CG fins al punt F on, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CF={\frac {CH^{2}}{MD}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>C</mi> <msup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CF={\frac {CH^{2}}{MD}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa59c762918cde749175e68b66217386eeea4758" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.366ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle CF={\frac {CH^{2}}{MD}}}"></span> i des de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {Mm}{Ce}}={\frac {MD}{CH}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> <mi>H</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {Mm}{Ce}}={\frac {MD}{CH}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbf726dc24d35dabc21be33b137720c481a33e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.62ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {Mm}{Ce}}={\frac {MD}{CH}}}"></span>, se segueix que </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\tau }{t}}={\frac {Mm}{Ce}}.\left({\frac {CG}{MD}}\right)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {CG}{CF}}\right)^{\frac {1}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>τ</mi> <mi>t</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> <mi>e</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>C</mi> <mi>G</mi> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>C</mi> <mi>G</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> <mi>F</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\tau }{t}}={\frac {Mm}{Ce}}.\left({\frac {CG}{MD}}\right)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {CG}{CF}}\right)^{\frac {1}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2069e91c8c052be14f7953451136be269c10af5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:34.533ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\tau }{t}}={\frac {Mm}{Ce}}.\left({\frac {CG}{MD}}\right)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {CG}{CF}}\right)^{\frac {1}{2}}}"></span></dd></dl> <p>Com que MN = NK, per a la cicloide: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle GH={\frac {MD.HD}{DK}}={\frac {MD.CM}{MK}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mo>.</mo> <mi>H</mi> <mi>D</mi> </mrow> <mrow> <mi>D</mi> <mi>K</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mo>.</mo> <mi>C</mi> <mi>M</mi> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mi>K</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle GH={\frac {MD.HD}{DK}}={\frac {MD.CM}{MK}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ec1de5c9d4533bcc2d45991c120e00aea4c2b83" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.757ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle GH={\frac {MD.HD}{DK}}={\frac {MD.CM}{MK}}}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CH={\frac {MD.CK}{MK}}={\frac {MD.(MK+CM)}{MK}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mo>.</mo> <mi>C</mi> <mi>K</mi> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mi>K</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mo>.</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mi>K</mi> <mo>+</mo> <mi>C</mi> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mi>K</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CH={\frac {MD.CK}{MK}}={\frac {MD.(MK+CM)}{MK}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3643feebdba90ab2ca4d5993a6ed9ef9da6fd6f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:39.699ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle CH={\frac {MD.CK}{MK}}={\frac {MD.(MK+CM)}{MK}}}"></span>, i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CG=CH+GH={\frac {MD.(MK+2CM)}{MK}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mi>H</mi> <mo>+</mo> <mi>G</mi> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mo>.</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mi>K</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>C</mi> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mi>K</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CG=CH+GH={\frac {MD.(MK+2CM)}{MK}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3012726516bff1234dc5ec74a689d2e8af72991" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:41.116ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle CG=CH+GH={\frac {MD.(MK+2CM)}{MK}}}"></span></dd></dl> <p>Si Ce està més a prop de K que de Mm, aleshores </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CH={\frac {MD.(MK-CM)}{MK}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mo>.</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mi>K</mi> <mo>−</mo> <mi>C</mi> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mi>K</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CH={\frac {MD.(MK-CM)}{MK}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e280e791d8395b810991210050209fe8754a89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:26.531ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle CH={\frac {MD.(MK-CM)}{MK}}}"></span> and <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CG=CH-GH={\frac {MD.(MK-2CM)}{MK}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mi>G</mi> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <mi>H</mi> <mo>−</mo> <mi>G</mi> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> <mo>.</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mi>K</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>C</mi> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mi>K</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CG=CH-GH={\frac {MD.(MK-2CM)}{MK}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b14cdba2ee565740033eb18b5b29650e733fff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:41.116ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle CG=CH-GH={\frac {MD.(MK-2CM)}{MK}}}"></span></dd></dl> <p>En qualsevol cas, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CF={\frac {CH^{2}}{MD}}>CG}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mi>F</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>C</mi> <msup> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mi>D</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>></mo> <mi>C</mi> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CF={\frac {CH^{2}}{MD}}>CG}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1601985dae5f355e5305541c9b8f58bb06f4796" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.057ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle CF={\frac {CH^{2}}{MD}}>CG}"></span>, i se segueix que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau <t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> <mo><</mo> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau <t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f42d32fb59ffbd289bc3be32e9cfdbd97011f0e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.14ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \tau <t}"></span></dd></dl> <p>Si l'arc, Cc subtessant per l'angle infinitesimal MKm a IJ no és circular, ha de ser més gran que Ce, ja que Cec es converteix en un <a href="/wiki/Triangle_rectangle" title="Triangle rectangle">triangle rectangle</a> en el <a href="/wiki/L%C3%ADmit" title="Límit">límit</a> quan l'angle MKm s'acosta a zero. </p><p>S'ha d'observar que Bernoulli demostra que CF > CG amb un argument semblant però diferent. </p><p>D'això conclou que un cos travessa la cicloide AMB en menys temps que qualsevol altra corba ACB. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mètode_indirecte"><span id="M.C3.A8tode_indirecte"></span>Mètode indirecte</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit&section=7" title="Modifica la secció: Mètode indirecte"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Segons el <a href="/wiki/Principi_de_Fermat" title="Principi de Fermat">principi de Fermat</a>, el camí real entre dos punts que pren un feix de llum és el que triga menys temps. El 1697 Johann Bernoulli va utilitzar aquest principi per derivar la corba braquistòcrona considerant la trajectòria d'un feix de llum en un medi on la <a href="/wiki/Velocitat_de_la_llum" title="Velocitat de la llum">velocitat de la llum</a> augmenta seguint una <a href="/wiki/Acceleraci%C3%B3" title="Acceleració">acceleració</a> vertical constant (la de la <a href="/wiki/Gravetat" title="Gravetat">gravetat</a> <i>g</i>).<sup id="cite_ref-FOOTNOTEBabbCurrie2008169-184_18-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEBabbCurrie2008169-184-18"><span class="cite-bracket">[</span>15<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Per la <a href="/wiki/Conservaci%C3%B3_de_l%27energia" title="Conservació de l'energia">conservació de l'energia</a>, la <a href="/wiki/Velocitat" title="Velocitat">velocitat instantània</a> d'un cos <i>v</i> després de caure una alçada y en un <a href="/wiki/Camp_gravitatori" title="Camp gravitatori">camp gravitatori</a> uniforme ve donada per: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v={\sqrt {2gy}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>v</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>g</mi> <mi>y</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v={\sqrt {2gy}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850ab5101d11aeff9abf90054b47a983b24a488a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:9.984ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle v={\sqrt {2gy}}}"></span>,</dd></dl> <p>La velocitat de moviment del cos al llarg d'una corba arbitrària no depèn del desplaçament horitzontal. </p><p>Bernoulli va assenyalar que la <a href="/wiki/Llei_de_Snell" title="Llei de Snell">llei de refracció</a> dóna una constant del moviment per a un feix de llum en un medi de <a href="/wiki/Densitat" title="Densitat">densitat</a> variable: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>θ</mi> </mrow> </mrow> <mi>v</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>v</mi> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5af69ea76ee1f9ff79c5692255e061a7e8eb703" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:20.385ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m}}}}"></span>,</dd></dl> <p>on <i>v<sub>m</sub></i> és la constant i 𝜃 representa l'angle de la trajectòria respecte a la vertical. </p><p>Les equacions anteriors porten a dues conclusions: </p> <ul><li>Al principi, l'angle ha de ser zero quan la velocitat de les partícules és zero. Per tant, la corba braquistòcrona és <a href="/wiki/Tangent" title="Tangent">tangent</a> a la vertical a l'origen.</li> <li>La velocitat assoleix un valor màxim quan la trajectòria es fa horitzontal i l'angle θ = 90°.</li></ul> <p>Suposant per simplicitat que la partícula (o el feix) amb coordenades (x,y) s'allunya del punt (0,0) i assoleix la velocitat màxima després de caure una distància vertical D: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{m}={\sqrt {2gD}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>g</mi> <mi>D</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{m}={\sqrt {2gD}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d82aa359f48783fba34848cc7d75bc14c674c9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:12.428ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle v_{m}={\sqrt {2gD}}}"></span>.</dd></dl> <p>La reordenació dels termes de la llei de la refracció i el quadrat dóna: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{m}^{2}dx^{2}=v^{2}ds^{2}=v^{2}(dx^{2}+dy^{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{m}^{2}dx^{2}=v^{2}ds^{2}=v^{2}(dx^{2}+dy^{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb74c3c008d4f4289e03c24a310bc9a9ad41848" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.004ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle v_{m}^{2}dx^{2}=v^{2}ds^{2}=v^{2}(dx^{2}+dy^{2})}"></span></dd></dl> <p>que es pot resoldre per a <i>dx</i> en termes de <i>dy</i>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dx={\frac {v\,dy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>v</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> <msqrt> <msubsup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dx={\frac {v\,dy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd92c46a61506fd229be05648ecbe77e79378f0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:16.629ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle dx={\frac {v\,dy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}}"></span>.</dd></dl> <p>Substituint a partir de les expressions de v i v<sub>m</sub> anteriors s'obté: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}\,dy\,,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mi>y</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mo>−</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </msqrt> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>y</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}\,dy\,,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e6e6632c8eb56353cdc12095886795485eb17f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:18.516ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}\,dy\,,}"></span></dd></dl> <p>que és l'<a href="/wiki/Equaci%C3%B3_diferencial" title="Equació diferencial">equació diferencial</a> d'una cicloide invertida generada per un cercle de diàmetre D=2r, l'<a href="/wiki/Equaci%C3%B3_param%C3%A8trica" title="Equació paramètrica">equació paramètrica</a> del qual és: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi -\sin \varphi )\\y&=r(1-\cos \varphi ).\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>x</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>φ</mi> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>y</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi -\sin \varphi )\\y&=r(1-\cos \varphi ).\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b3fc8a5220281086ff43b0820660bb5e2c1789" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.706ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi -\sin \varphi )\\y&=r(1-\cos \varphi ).\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>on φ és un <a href="/wiki/Par%C3%A0metre" title="Paràmetre">paràmetre</a> real, corresponent a l'angle pel qual ha girat el cercle rodant. Per a φ donat, el centre del cercle es troba a <span class="texhtml">(<i>x</i>, <i>y</i>) = (<i>rφ</i>, <i>r</i>)</span> </p><p>En el problema de la braquistòcrona, el moviment del cos ve donat per l'evolució temporal del paràmetre: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi (t)=\omega t\,,\omega ={\sqrt {\frac {g}{r}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>φ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>ω</mi> <mi>t</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>,</mo> <mi>ω</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mi>g</mi> <mi>r</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi (t)=\omega t\,,\omega ={\sqrt {\frac {g}{r}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b11634cb74611b4301e9680f4567b69f452309a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.794ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi (t)=\omega t\,,\omega ={\sqrt {\frac {g}{r}}}}"></span></dd></dl> <p>on t és el temps des de l'alliberament del cos des del punt (0,0). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="La_solució_de_Jakob_Bernoulli"><span id="La_soluci.C3.B3_de_Jakob_Bernoulli"></span>La solució de Jakob Bernoulli</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit&section=8" title="Modifica la secció: La solució de Jakob Bernoulli"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El germà de Johann, <a href="/wiki/Jakob_Bernoulli" title="Jakob Bernoulli">Jakob Bernoulli</a>, va mostrar com es poden utilitzar els 2n <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">diferencials</a> per obtenir la condició durant el menor temps. Una versió modernitzada de la prova és la següent: </p><p>Si fem una desviació insignificant del camí de menys temps, aleshores, per al triangle diferencial format pel desplaçament al llarg del camí i els desplaçaments horitzontals i verticals, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>d</mi> <msup> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213ef3401b3ec620a60a1d1ed4fed4462899947e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.33ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}}"></span>.</dd></dl> <p>En la diferenciació amb <i>dy</i> fix obtenim, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>d</mi> <mi>s</mi> <mtext> </mtext> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mtext> </mtext> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae58d965f432b499af2ec97915a006e54d2174c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:18.401ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x}"></span>.</dd></dl> <p>I finalment reordenar els termes dóna, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>s</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mi>v</mi> <mtext> </mtext> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>t</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5d67d238cc5eb20c33bed4906a251ae07b11b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:21.364ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t}"></span></dd></dl> <p>on l'última part és el desplaçament per un canvi de temps donat per a les 2n diferencials. S'ha de considerar ara els canvis al llarg dels dos camins veïns de la figura següent per als quals la separació horitzontal entre camins al llarg de la línia central és <i>d<sup>2</sup>x</i> (la mateixa per als triangles diferencials superior i inferior). Al llarg dels camins antics i nous, les parts que es diferencien són, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c13ec819992a37072e437fb1b6d126b43a3c057" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.321ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a43283d91d6bd84bb36e173f495802d83774fd75" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.321ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x}"></span><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fitxer:Path_function_2.PNG" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Path_function_2.PNG/220px-Path_function_2.PNG" decoding="async" width="220" height="176" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/18/Path_function_2.PNG 1.5x" data-file-width="250" data-file-height="200" /></a><figcaption>Funció del camí</figcaption></figure></dd></dl> <p>Pel camí de menys temps aquests temps són iguals, així que per la seva diferència obtenim, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8529cad3783061363a7b2bf02ca66e9de29ac3e7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:43.304ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x}"></span></dd></dl> <p>I la condició de menys temps és, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ccdc84c317a9bf40713cfe9b369137ebbda9bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.006ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}}"></span></dd></dl> <p>que concorda amb la suposició de Johann basada en la llei de la <a href="/wiki/Refracci%C3%B3" title="Refracció">refracció</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="La_solució_de_Newton"><span id="La_soluci.C3.B3_de_Newton"></span>La solució de Newton</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit&section=9" title="Modifica la secció: La solució de Newton"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Introducció_2"><span id="Introducci.C3.B3_2"></span>Introducció</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit&section=10" title="Modifica la secció: Introducció"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El juny de 1696, Johann Bernoulli va utilitzar les pàgines de l'<i>Acta Eruditorum Lipsidae</i> per plantejar un repte a la comunitat matemàtica internacional: <i>«trobar la forma de la corba que uneix dos punts fixos de manera que una massa llisqui cap avall, sota la influència de només la gravetat, en el mínim temps»</i>. La solució s'havia de presentar inicialment en un termini de sis mesos. A proposta de Leibniz, Bernoulli va allargar el repte fins a <a href="/wiki/Pasqua_(festivitat)" title="Pasqua (festivitat)">Pasqua</a> de 1697, mitjançant un text imprès anomenat <i>«Programma»</i>, publicat a <a href="/wiki/Groningen" title="Groningen">Groningen</a>, als <a href="/wiki/Pa%C3%AFsos_Baixos" title="Països Baixos">Països Baixos</a>. </p><p>El <i>Programa</i> està datat el 1r de gener de 1697, al <a href="/wiki/Calendari_gregori%C3%A0" title="Calendari gregorià">calendari gregorià</a>. Va ser el 22 de desembre de 1696 al <a href="/wiki/Calendari_juli%C3%A0" title="Calendari julià">calendari julià</a>, en ús a <a href="/wiki/Gran_Bretanya" title="Gran Bretanya">Gran Bretanya</a>. </p><p>Segons la neboda de Newton, Catherine Conduitt, Newton es va assabentar del repte a les 4 de la tarda del 29 de gener i l'havia resolt a les 4 de la matinada del dia següent. La seva solució, comunicada a la <a href="/wiki/Royal_Society" title="Royal Society">Royal Society</a>, està datada el 30 de gener. Aquesta solució, publicada posteriorment de manera anònima a <i><a href="/wiki/Philosophical_Transactions" title="Philosophical Transactions">Philosophical Transactions</a></i>, és correcta però no indica el mètode pel qual Newton va arribar a la seva conclusió. Bernoulli, escrivint a Henri Basnage el març de 1697, va indicar que tot i que el seu autor, <i>«per un excés de modèstia»</i>, no havia revelat el seu nom, encara que fins i tot pels escassos detalls proporcionats es podia reconèixer com l'obra de Newton, <i>«com el lleó per la seva urpa»</i> (en <a href="/wiki/Llat%C3%AD" title="Llatí">llatí</a>, <i>ex ungue Leonem</i>). </p><p>D. T. Whiteside explica de manera característica l'origen de l'expressió <a href="/wiki/Llat%C3%AD" title="Llatí">llatina</a>, originària del <a href="/wiki/Grec_antic" title="Grec antic">grec</a>, amb un gran detall. La carta en <a href="/wiki/Franc%C3%A8s" title="Francès">francès</a> té <i>«ex ungue Leonem»</i> precedit de la paraula francesa <i>«comme»</i> (com). La molt citada versió <i>«tanquam ex ungue Leonem»</i> es deu al llibre de <a href="/wiki/David_Brewster" title="David Brewster">David Brewster</a> sobre la vida i les obres de Newton el 1855. La intenció de Bernoulli era simplement que pogués dir que la solució anònima era la de Newton, de la mateixa manera que era possible dir que un animal era un lleó donat la seva urpa. No pretenia suggerir que Bernoulli considerés que Newton era el lleó entre els matemàtics, tal com s'ha interpretat des de llavors.<sup id="cite_ref-FOOTNOTEWhiteside20089-10,_notes_(21)_i_(22)_19-0" class="reference"><a href="#cite_note-FOOTNOTEWhiteside20089-10,_notes_(21)_i_(22)-19"><span class="cite-bracket">[</span>16<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p><a href="/wiki/John_Wallis" title="John Wallis">John Wallis</a>, que en aquell moment tenia 80 anys, s'havia assabentat del problema el setembre de 1696 del germà petit de Johann Bernoulli, Hieronymus, i va passar tres mesos intentant una solució abans de passar-ho al desembre a <a href="/wiki/David_Gregory" title="David Gregory">David Gregory</a>, que tampoc no va poder resoldre'l. Després que Newton va presentar la seva solució, Gregory li va demanar els detalls i va prendre notes de la seva conversa. Es poden trobar a la Biblioteca de la <a href="/wiki/Universitat_d%27Edimburg" title="Universitat d'Edimburg">Universitat d'Edimburg</a>, manuscrit A <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 78^{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>78</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 78^{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce4341d977dc9eb98441a847ff9f6257cbcb998e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 78^{1}}"></span>, del 7 de març de 1697. O Gregory no va entendre l'argument de Newton, o bé l'explicació de Newton va ser molt breu. Tanmateix, és possible, amb un alt grau de confiança, construir la demostració de Newton a partir de les notes de Gregory, per analogia amb el seu mètode per determinar el sòlid de resistència mínima (<i>Principia, Llibre 2, Proposició 34, <a href="/wiki/Escolis" title="Escolis">Escolis</a> 2</i>). Una descripció detallada de la seva solució d'aquest darrer problema s'inclou a l'<a href="/wiki/Esborrany" title="Esborrany">esborrany</a> d'una carta l'any 1694, també a David Gregory. A més del problema de la corba de temps mínim, hi va haver un segon problema que Newton també va resoldre al mateix temps. Ambdues solucions van aparèixer de manera anònima a <i><a href="/wiki/Philosophical_Transactions" title="Philosophical Transactions">Philosophical Transactions</a></i> de la <a href="/wiki/Royal_Society" title="Royal Society">Royal Society</a>, per al gener de 1697. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="El_problema_de_la_braquistòcrona"><span id="El_problema_de_la_braquist.C3.B2crona"></span>El problema de la braquistòcrona</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit&section=11" title="Modifica la secció: El problema de la braquistòcrona"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La <i>figura 1</i>, mostra el diagrama de Gregori (excepte que la línia addicional IF no hi estigui, i Z, s'ha afegit el punt inicial). La corba ZVA és una cicloide i CHV és el seu cercle generador. Com que sembla que el cos es mou cap amunt d'e a E, cal suposar que un cos petit s'allibera de Z i llisca al llarg de la corba fins a A, sense <a href="/wiki/Fricci%C3%B3" title="Fricció">fricció</a>, sota l'acció de la <a href="/wiki/Gravetat" title="Gravetat">gravetat</a>. </p> <ul class="gallery mw-gallery-packed"> <li class="gallerybox" style="width: 426px"> <div class="thumb" style="width: 424px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fitxer:Bernoulli_Challenge_to_Newton_1.png" class="mw-file-description" title="Repte 1 de Bernoulli a Newton"><img alt="Repte 1 de Bernoulli a Newton" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/46/Bernoulli_Challenge_to_Newton_1.png/636px-Bernoulli_Challenge_to_Newton_1.png" decoding="async" width="424" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/Bernoulli_Challenge_to_Newton_1.png 1.5x" data-file-width="720" data-file-height="340" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Repte 1 de Bernoulli a Newton</div> </li> </ul> <p>S'ha de considerar un petit arc eE, que el cos està ascendint. S'ha de suposar que travessa la recta eL fins al punt L, desplaçat horitzontalment d'E per una petita distància, o, en lloc de l'arc eE. S'ha de tenir en compte que eL no és la <a href="/wiki/Tangent" title="Tangent">tangent</a> a e, i que o és <a href="/wiki/Nombre_negatiu" title="Nombre negatiu">negativa</a> quan L està entre B i E. S'ha de traçar la línia que passa per E <a href="/wiki/Paral%C2%B7lelisme_(geometria)" title="Paral·lelisme (geometria)">paral·lela</a> a CH, tallant eL a n. A partir d'una propietat de la cicloide, En és la <a href="/wiki/Normal_(geometria)" title="Normal (geometria)">normal</a> a la tangent a E, i de la mateixa manera la tangent a E és paral·lela a VH. </p><p>Com que el desplaçament, EL és petit, difereix poc en direcció de la tangent a E, de manera que l'<a href="/wiki/Angle" title="Angle">angle</a> EnL és proper a un <a href="/wiki/Angle" title="Angle">angle recte</a>. En el <a href="/wiki/L%C3%ADmit" title="Límit">límit</a> a mesura que l'arc eE s'acosta a <a href="/wiki/Zero" title="Zero">zero</a>, eL esdevé paral·lel a VH, sempre que o sigui petit en comparació amb eE fent que els <a href="/wiki/Triangle" title="Triangle">triangles</a> EnL i CHV siguin semblants. </p><p>També s'acosta a la longitud de la corda eE, i l'augment de la longitud, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle eL-eE=nL={\frac {o.CH}{CV}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>e</mi> <mi>L</mi> <mo>−</mo> <mi>e</mi> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>o</mi> <mo>.</mo> <mi>C</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle eL-eE=nL={\frac {o.CH}{CV}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4c0692d77914494144abe4590a8d31060481c0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:24.368ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle eL-eE=nL={\frac {o.CH}{CV}}}"></span>, ignorant els termes en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle o^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle o^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6365c7f4090fdbf8753c87c2861ddd2424c8d1b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.182ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle o^{2}}"></span> i superior, que representen l'error degut a l'aproximació que eL i VH són paral·lels. </p><p>La velocitat al llarg de eE o eL es pot prendre com la de E, proporcional a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {CB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>B</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {CB}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157d84fac587779f124f2bd245ebe2c1f948bcb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.466ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {CB}}}"></span>, que és com CH, a partir de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle CH={\sqrt {CB.CV}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>B</mi> <mo>.</mo> <mi>C</mi> <mi>V</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle CH={\sqrt {CB.CV}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29cc4cd3ee002d509f09209860668237bd808560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.982ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle CH={\sqrt {CB.CV}}}"></span> </p><p>Això sembla ser tot el que conté la nota de Gregory. </p><p>Sigui t el temps addicional per arribar a L, </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\propto {\frac {nL}{\sqrt {CB}}}={\frac {o.CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}={\frac {o}{\sqrt {CV}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mo>∝</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mi>L</mi> </mrow> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>B</mi> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>o</mi> <mo>.</mo> <mi>C</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> <mi>V</mi> <mo>.</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>B</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>o</mi> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>V</mi> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\propto {\frac {nL}{\sqrt {CB}}}={\frac {o.CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}={\frac {o}{\sqrt {CV}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25d40ae65b37dccd1c47b65bb66626786e2f46ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:33.653ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle t\propto {\frac {nL}{\sqrt {CB}}}={\frac {o.CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}={\frac {o}{\sqrt {CV}}}}"></span> </p><p>Per tant, l'augment del temps per travessar un petit arc desplaçat en un punt final depèn només del desplaçament al punt final i és independent de la posició de l'arc. Tanmateix, segons el <a href="/wiki/M%C3%A8tode_de_Newton" title="Mètode de Newton">mètode de Newton</a>, aquesta és només la condició necessària perquè la corba es travessa en el mínim temps possible. Per tant, conclou que la corba mínima ha de ser la cicloide. </p><p>Ell argumenta el següent: </p><p>Suposant ara que la <i>figura 1</i> és la corba mínima encara no determinada, amb l'eix vertical CV, i el <a href="/wiki/Cercle" title="Cercle">cercle</a> CHV eliminat, i la <i>figura 2</i> mostra part de la corba entre l'arc infinitesimal eE i un arc infinitesimal més Ff a una distància finita al llarg del corba. El temps addicional, t, per recórrer eL (en lloc de eE) és nL dividit per la velocitat a E (proporcional a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {CB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>B</mi> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {CB}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157d84fac587779f124f2bd245ebe2c1f948bcb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.466ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {CB}}}"></span>), ignorant els termes en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle o^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle o^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6365c7f4090fdbf8753c87c2861ddd2424c8d1b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.182ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle o^{2}}"></span> i superiors: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\propto {\frac {o.DE}{eE.{\sqrt {CB}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mo>∝</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>o</mi> <mo>.</mo> <mi>D</mi> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mi>e</mi> <mi>E</mi> <mo>.</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>B</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\propto {\frac {o.DE}{eE.{\sqrt {CB}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba334297629f3c146b7c3532efe38d33b3f60d01" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:14.133ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle t\propto {\frac {o.DE}{eE.{\sqrt {CB}}}}}"></span>, </p><p>A L, la partícula continua per un camí LM, paral·lel a l'EF original, fins a algun punt arbitrari M. Com que té la mateixa velocitat a L que a E, el temps per travessar LM és el mateix que hauria estat al llarg de la corba original EF. A M torna al camí original al punt f. Pel mateix raonament, la reducció de temps, T, per arribar a f des de M més que des de F és </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T\propto {\frac {o.FG}{Ff.{\sqrt {CI}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>T</mi> <mo>∝</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>o</mi> <mo>.</mo> <mi>F</mi> <mi>G</mi> </mrow> <mrow> <mi>F</mi> <mi>f</mi> <mo>.</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>I</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T\propto {\frac {o.FG}{Ff.{\sqrt {CI}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea010b04e294f69e57945e2583a33e67fe7c765c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:14.498ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle T\propto {\frac {o.FG}{Ff.{\sqrt {CI}}}}}"></span> </p><p>La diferència (t - T) és el temps addicional que triga al camí eLMf en comparació amb l'eEFf original : </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (t-T)\propto \left({\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}-{\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}\right).o}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>−</mo> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∝</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>D</mi> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mi>e</mi> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>B</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>F</mi> <mi>G</mi> </mrow> <mrow> <mi>F</mi> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>I</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> <mi>o</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (t-T)\propto \left({\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}-{\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}\right).o}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838d69277069da7a46eef3e70640e0d83a50638f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:37.185ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle (t-T)\propto \left({\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}-{\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}\right).o}"></span> més termes en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle o^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle o^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6365c7f4090fdbf8753c87c2861ddd2424c8d1b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.182ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle o^{2}}"></span> i superior (1) </p><p>Com que eEFf és la corba mínima, (t – T) is ha de ser major que zero, tant si o és positiva com negativa. Es dedueix que el coeficient de o a </p><p>(1) ha de ser zero: </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>D</mi> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mi>e</mi> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>B</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>F</mi> <mi>G</mi> </mrow> <mrow> <mi>F</mi> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>I</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1a59ffc5613939ab5b2dcb8d1680ff8bcaa0a3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:20.989ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}}"></span> </p><p>(2) en el límit quan eE i fF s'apropen a zero. </p><p>S'ha de tenir en compte que com que eEFf és la corba mínima, s'ha de suposar que el coeficient de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle o^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>o</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle o^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6365c7f4090fdbf8753c87c2861ddd2424c8d1b4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.182ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle o^{2}}"></span> és superior a zero. </p><p>És evident que hi ha d'haver dos desplaçaments iguals i oposats, o el cos no tornaria al punt final, A, de la corba. </p><p>Si e és fix, i si f es considera un punt variable més amunt de la corba, llavors per a tots aquests punts, f, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>F</mi> <mi>G</mi> </mrow> <mrow> <mi>F</mi> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>I</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a471e4ccabb5d9bde89a6c74e27f5cc3954a4ca4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:8.729ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {FG}{Ff{\sqrt {CI}}}}}"></span> és constant (igual a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>D</mi> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mi>e</mi> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>B</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0c05802f1284db94c1aa55e0818352d7febb72" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:9.161ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}}"></span>). En mantenir f fixa i fent e variable, queda clar que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>D</mi> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mi>e</mi> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>B</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0c05802f1284db94c1aa55e0818352d7febb72" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:9.161ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}}"></span> també és constant. </p><p>Però, com que els punts, e i f són arbitraris, l'equació (2) només pot ser certa si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\text{constant}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>D</mi> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mi>e</mi> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>B</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>constant</mtext> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\text{constant}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2720498f0f8a830320f98c469be9bf05a5fb148b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:20.928ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\text{constant}}}"></span>, sempre, i aquesta condició caracteritza la corba que es busca. Aquesta és la mateixa tècnica que utilitza per trobar la forma del sòlid de menor resistència. </p><p>Per a la cicloide, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {DE}{eE}}={\frac {BH}{VH}}={\frac {CH}{CV}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>D</mi> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mi>e</mi> <mi>E</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>B</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi>V</mi> <mi>H</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>C</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> <mi>V</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {DE}{eE}}={\frac {BH}{VH}}={\frac {CH}{CV}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08ccfb30fac96ccf1ffd8df47054edfea236e87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.086ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {DE}{eE}}={\frac {BH}{VH}}={\frac {CH}{CV}}}"></span> , de manera que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>D</mi> <mi>E</mi> </mrow> <mrow> <mi>e</mi> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>B</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>C</mi> <mi>H</mi> </mrow> <mrow> <mi>C</mi> <mi>V</mi> <mo>.</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>C</mi> <mi>B</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d657a2e6ee49b126f9f3a9b5d48db937c5100b2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:23.15ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {DE}{eE{\sqrt {CB}}}}={\frac {CH}{CV.{\sqrt {CB}}}}}"></span>, que es va mostrar més amunt com a <i>constant</i>, i la braquistòcrona és la cicloide. </p><p>Newton no dóna cap indicació de com va descobrir que la cicloide complia aquesta darrera relació. Pot haver estat per <a href="/wiki/Assaig_i_error" title="Assaig i error">assaig i error</a>, o pot haver reconegut immediatament que implicava que la corba era la cicloide. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes">Notes</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit&section=12" title="Modifica la secció: Notes"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Problema de Johann Bernoulli de 1696: <div style="clear:{{#switch:left|center=both|#default=left;"> <table style="margin:auto; width:auto; border-collapse:collapse; border-style:none;"> <tbody><tr> <td width="20" valign="top" style="font-size:35px; padding:0 10px; text-align:left; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">« </td> <td valign="middle" align="left" style=""><i>«Datis in plano verticali duobus punctis A & B (vid Fig. 5) assignare Mobili M, viam AMB, per quam gravitate sua descendens & moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore perveniat ad alterum punctum B»</i>. <p>Donats en un pla vertical dos punts A i B (vegeu la figura 5), assigneu al [cos] M en moviment, la trajectòria AMB, mitjançant la qual descendeix pel seu propi pes i comença a moure's [per gravetat] des del punt. A: arribaria a l'altre punt B en el menor temps. </p> </td> <td width="20" valign="bottom" style="font-size:35px; padding:0 10px 10px; text-align:right; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">» </td></tr> <tr> <td colspan="3" style="text-align:right; font-size:smaller;">— [Bernoulli 1696, p. 269] </td></tr></tbody></table></div></span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text">Solucions al problema de Johann Bernoulli de 1696: <ul><li><a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> (gener de 1697)</li></ul> <div style="clear:{{#switch:left|center=both|#default=left;"> <table style="margin:auto; width:auto; border-collapse:collapse; border-style:none;"> <tbody><tr> <td width="20" valign="top" style="font-size:35px; padding:0 10px; text-align:left; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">« </td> <td valign="middle" align="left" style=""><i>«De ratione temporis quo grave labitur per rectam data duo puncta conjungentem, ad tempus brevissimum quo, vi gravitatis, transit ab horum uno ad alterum per arcum cycloidis»</i> <p>En una prova [que] el temps en què un pes llisca per una línia que uneix dos punts donats [és] el més curt en termes de temps quan passa, per força gravitatòria, d'un d'aquests [punts] a l'altre a través d'un arc cicloide. </p> </td> <td width="20" valign="bottom" style="font-size:35px; padding:0 10px 10px; text-align:right; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">» </td></tr> <tr> <td colspan="3" style="text-align:right; font-size:smaller;">— <i>Philosophical Transactions of the Royal Society of London</i> (19), p. 424-425 </td></tr></tbody></table></div> <ul><li><a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Gottfried Wilhelm Leibniz</a> (maig de 1697)</li></ul> <div style="clear:{{#switch:left|center=both|#default=left;"> <table style="margin:auto; width:auto; border-collapse:collapse; border-style:none;"> <tbody><tr> <td width="20" valign="top" style="font-size:35px; padding:0 10px; text-align:left; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">« </td> <td valign="middle" align="left" style=""><i>«Communicatio suae pariter, duarumque alienarum ad edendum sibi primum a Dn. Jo. Bernoullio, deinde a Dn. Marchione Hospitalio communicatarum solutionum problematis curva celerrimi descensus a Dn. Jo. Bernoullio Geometris publice propositi, una cum solutione sua problematis alterius ab eodem postea propositi»</i> <p>La seva comunicació juntament amb [les] d'altres dos en un informe que li va enviar primer Johann Bernoulli, [i] després del marquès de l'Hôpital, de solucions informades del problema de la corba de descens més ràpid, [que era] públicament proposat per Johann Bernoulli, geòmetre: un amb una solució del seu altre problema proposat després per la mateixa [persona]. </p> </td> <td width="20" valign="bottom" style="font-size:35px; padding:0 10px 10px; text-align:right; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">» </td></tr> <tr> <td colspan="3" style="text-align:right; font-size:smaller;">— <i>Acta Eruditorum</i> (19), p. 201–205 </td></tr></tbody></table></div> <ul><li><a href="/wiki/Johann_Bernoulli" title="Johann Bernoulli">Johann Bernoulli</a> (maig de 1697)</li></ul> <div style="clear:{{#switch:left|center=both|#default=left;"> <table style="margin:auto; width:auto; border-collapse:collapse; border-style:none;"> <tbody><tr> <td width="20" valign="top" style="font-size:35px; padding:0 10px; text-align:left; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">« </td> <td valign="middle" align="left" style=""><i>«Curvatura radii in diaphanis non uniformibus, Solutioque Problematis a se in Actis 1696, p. 269, propositi, de invenienda Linea Brachystochrona, id est, in qua grave a dato puncto ad datum punctum brevissimo tempore decurrit, & de curva Synchrona seu radiorum unda construenda."</i> <p>La curvatura dels raigs [de llum] en mitjans no uniformes, i una solució del problema [que va ser] proposat per mi a l'<i>Acta Eruditorum</i> de 1696, p. 269, a partir de la qual es troba la línia braquistòcrona [és a dir, corba], és a dir, en la qual un pes descendeix d'un punt donat a un punt donat en el menor temps, i en construir la <a href="/wiki/Taut%C3%B2crona" title="Tautòcrona">tautòcrona</a> o l'ona de raigs de [llum] . </p> </td> <td width="20" valign="bottom" style="font-size:35px; padding:0 10px 10px; text-align:right; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">» </td></tr> <tr> <td colspan="3" style="text-align:right; font-size:smaller;">— <i>Acta Eruditorum</i> (19), p. 206–211 </td></tr></tbody></table></div> <ul><li><a href="/wiki/Jacob_Bernoulli" class="mw-redirect" title="Jacob Bernoulli">Jacob Bernoulli</a> (maig de 1697)</li></ul> <div style="clear:{{#switch:left|center=both|#default=left;"> <table style="margin:auto; width:auto; border-collapse:collapse; border-style:none;"> <tbody><tr> <td width="20" valign="top" style="font-size:35px; padding:0 10px; text-align:left; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">« </td> <td valign="middle" align="left" style=""><i>«Solutio problematum fraternorum, ... "</i> <p>Una solució als problemes del [meu] germà, ... </p> </td> <td width="20" valign="bottom" style="font-size:35px; padding:0 10px 10px; text-align:right; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">» </td></tr> <tr> <td colspan="3" style="text-align:right; font-size:smaller;">— <i>Acta Eruditorum</i> (19), p. 211–214 </td></tr></tbody></table></div> <ul><li>Marquès de l'Hôpital (maig de 1697)</li></ul> <div style="clear:{{#switch:left|center=both|#default=left;"> <table style="margin:auto; width:auto; border-collapse:collapse; border-style:none;"> <tbody><tr> <td width="20" valign="top" style="font-size:35px; padding:0 10px; text-align:left; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">« </td> <td valign="middle" align="left" style=""><i>«Domini Marchionis Hospitalii solutio problematis de linea celerrimi descensus"</i> <p>La solució del Lord Marquès de l'Hôpital del problema de la línia de descens més ràpid </p> </td> <td width="20" valign="bottom" style="font-size:35px; padding:0 10px 10px; text-align:right; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">» </td></tr> <tr> <td colspan="3" style="text-align:right; font-size:smaller;">— <i>Acta Eruditorum</i> (19), p. 217-220 </td></tr></tbody></table></div> <ul><li>Isaac Newton (maig de 1697) (reedició)</li></ul> <div style="clear:{{#switch:left|center=both|#default=left;"> <table style="margin:auto; width:auto; border-collapse:collapse; border-style:none;"> <tbody><tr> <td width="20" valign="top" style="font-size:35px; padding:0 10px; text-align:left; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">« </td> <td valign="middle" align="left" style=""><i>«Excerpta ex Transactionibus Philos. Anglic. M. Jan. 1697."</i> <p>Fragment de les <i>Transaccions filosòfiques</i> angleses del mes de gener de 1697 </p> </td> <td width="20" valign="bottom" style="font-size:35px; padding:0 10px 10px; text-align:right; font-family:'Times New Roman', serif; font-weight:bold; color:silver;">» </td></tr> <tr> <td colspan="3" style="text-align:right; font-size:smaller;">— <i>Acta Eruditorum</i> (19), p. 223–224 </td></tr></tbody></table></div></span> </li> <li id="cite_note-16"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-16">↑</a></span> <span class="reference-text"><i>Afirma que ha trobat 3 maneres de demostrar que la corba és una <a href="/wiki/Par%C3%A0bola" title="Paràbola">paràbola</a> <a href="/wiki/Equaci%C3%B3_de_tercer_grau" title="Equació de tercer grau">cúbica</a></i>. Carta de Johan Bernoulli a <a href="/wiki/Pierre_Varignon" title="Pierre Varignon">Pierre Varignon</a> del 27 de juliol de 1697.</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referències"><span id="Refer.C3.A8ncies"></span>Referències</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit&section=13" title="Modifica la secció: Referències"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist {{#if: | references-column-count references-column-count-{{{col}}}" style="list-style-type: decimal;"> <div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-FOOTNOTERoss2009-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTERoss2009_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFRoss2009">Ross, 2009</a>.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEHandJanet199845,_70-2"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-FOOTNOTEHandJanet199845,_70_2-0">2,0</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-FOOTNOTEHandJanet199845,_70_2-1">2,1</a></sup></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFHandJanet1998">Hand i Janet, 1998</a>, p. 45, 70.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTELivio2003116-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTELivio2003116_4-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFLivio2003">Livio, 2003</a>, p. 116.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEStruik1969-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEStruik1969_5-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFStruik1969">Struik, 1969</a>.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEErlichson1999299-304-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEErlichson1999299-304_6-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFErlichson1999">Erlichson, 1999</a>, p. 299-304.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTESagan201194-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTESagan201194_7-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFSagan2011">Sagan, 2011</a>, p. 94.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEKatz1998547-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEKatz1998547_8-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFKatz1998">Katz, 1998</a>, p. 547.</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation" style="font-style:normal"><span style="font-variant: small-caps;">Whiteside</span>, Tom «Newton the Mathematician» (en anglès). <i>Bechler, 'Contemporary Newtonian Research</i>, pàg. 122.</span></span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEGalilei1638239-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEGalilei1638239_11-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFGalilei1638">Galilei, 1638</a>, p. 239.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEGalilei1967451-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEGalilei1967451_12-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFGalilei1967">Galilei, 1967</a>, p. 451.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTECostabelPeiffer1988329-13"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTECostabelPeiffer1988329_13-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFCostabelPeiffer1988">Costabel i Peiffer, 1988</a>, p. 329.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEBernoulli1718135-138-14"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEBernoulli1718135-138_14-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFBernoulli1718">Bernoulli, 1718</a>, p. 135-138.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEFregugliaGiaquinta201653-57-15"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEFregugliaGiaquinta201653-57_15-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFFregugliaGiaquinta2016">Freguglia i Giaquinta, 2016</a>, p. 53-57.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTECostabelPeiffer1988117-118-17"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTECostabelPeiffer1988117-118_17-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFCostabelPeiffer1988">Costabel i Peiffer, 1988</a>, p. 117-118.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEBabbCurrie2008169-184-18"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEBabbCurrie2008169-184_18-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFBabbCurrie2008">Babb i Currie, 2008</a>, p. 169-184.</span> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEWhiteside20089-10,_notes_(21)_i_(22)-19"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEWhiteside20089-10,_notes_(21)_i_(22)_19-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFWhiteside2008">Whiteside, 2008</a>, p. 9-10, notes (21) i (22).</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit&section=14" title="Modifica la secció: Bibliografia"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2;"> <ul><li><span class="citation" style="font-style:normal" id="CITEREFBabbCurrie2008"><span style="font-variant: small-caps;">Babb</span>, Jeff; <span style="font-variant: small-caps;">Currie</span>, James «<a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20110727210743/http://www.math.umt.edu/tmme/vol5no2and3/TMME_vol5nos2and3_a1_pp.169_184.pdf">The Brachistochrone Problem: Mathematics for a Broad Audience via a Large Context Problem</a>» (<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r33780657">.mw-parser-output .linkformat{position:relative;font-family:sans-serif;font-size:0.85em;font-weight:bold;cursor:default;color:#808080;background-color:inherit}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .linkformat{background-color:inherit;color:#009400}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .linkformat{background-color:inherit;color:#009400}}</style><span class="linkformat" title="És PDF"><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/PDF_icon_bold.svg/14px-PDF_icon_bold.svg.png" decoding="async" width="14" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/PDF_icon_bold.svg/21px-PDF_icon_bold.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/PDF_icon_bold.svg/28px-PDF_icon_bold.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="585" /></span></span> PDF</span>) (en anglès). <i>The Montana Mathematics Enthusiast</i>, 5(2), 5(3), juliol 2008.</span></li> <li><span class="citation" style="font-style:normal" id="CITEREFBernoulli1696"><a href="/wiki/Johann_Bernoulli" title="Johann Bernoulli"><span style="font-variant: small-caps;">Bernoulli</span>, Johann</a> «Problema novum ad cujus solutionem Mathematici invitantur" (A new problem to whose solution mathematicians are invited)» (en llatí). <i>Acta Eruditorum</i>, 18, juny 1696.</span></li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFBernoulli1718"><span style="font-variant: small-caps;">Bernoulli</span>, Johann. <i>Mémoires de l'Académie des Sciences</i> (en francès). 3.  Acadèmia Francesa de les Ciencies, 1718.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=M%C3%A9moires+de+l%27Acad%C3%A9mie+des+Sciences&rft.aulast=Bernoulli&rft.aufirst=Johann&rft.date=1718&rft.pub=Acad%C3%A8mia+Francesa+de+les+Ciencies"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFCostabelPeiffer1988"><span style="font-variant: small-caps;">Costabel</span>, Pierre; <span style="font-variant: small-caps;">Peiffer</span>, Jeanne. <i>Der Briefwechsel von Johann I Bernoulli</i> (en alemany). Vol. II: Der Briefwechsel mit Pierre Varignon, Erster Teil: 1692-1702.  Springer Basel Aktiengesellschaft, 1988. <span style="font-size:90%; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Especial:Fonts_bibliogr%C3%A0fiques/978-3-0348-5068-1" title="Especial:Fonts bibliogràfiques/978-3-0348-5068-1">ISBN 978-3-0348-5068-1</a></span>.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Der+Briefwechsel+von+Johann+I+Bernoulli&rft.aulast=Costabel&rft.aufirst=Pierre&rft.date=1988&rft.pub=Springer+Basel+Aktiengesellschaft&rft.isbn=978-3-0348-5068-1"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><span class="citation" style="font-style:normal" id="CITEREFDubois1991"><span style="font-variant: small-caps;">Dubois</span>, Jacques «<a rel="nofollow" class="external text" href="http://sciences-physiques-moodle.ac-orleans-tours.fr/moodle/pluginfile.php/2162/mod_resource/content/0/gouin/cab_gouin12novembre2006/cycloid_fichiers/cyclo_rectif.pdf">Chute d'une bille le long d'une gouttière cycloïdale; Tautochrone et brachistochrone; Propriétés et historique</a>» (<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r33780657"><span class="linkformat" title="És PDF"><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/PDF_icon_bold.svg/14px-PDF_icon_bold.svg.png" decoding="async" width="14" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/PDF_icon_bold.svg/21px-PDF_icon_bold.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/PDF_icon_bold.svg/28px-PDF_icon_bold.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="585" /></span></span> PDF</span>) (en francès). <i>Bulletin de l'Union des Physiciens</i>, 85(737), 1991.</span></li> <li><span class="citation" style="font-style:normal" id="CITEREFErlichson1999"><span style="font-variant: small-caps;">Erlichson</span>, Herman «Johann Bernoulli's brachistochrone solution using Fermat's principle of least time» (en anglès). <i>Eur. J. Phys.</i>, 20(5), 1999. <a href="/wiki/DOI" title="DOI">DOI</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1088%2F0143-0807%2F20%2F5%2F301">10.1088/0143-0807/20/5/301</a>.</span></li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFFregugliaGiaquinta2016"><span style="font-variant: small-caps;">Freguglia</span>, P.; <span style="font-variant: small-caps;">Giaquinta</span>, M. <i>The Early Period of the Calculus of Variations</i> (en anglès), 2016. <span style="font-size:90%; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Especial:Fonts_bibliogr%C3%A0fiques/978-3-319-38945-5" title="Especial:Fonts bibliogràfiques/978-3-319-38945-5">ISBN 978-3-319-38945-5</a></span>.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Early+Period+of+the+Calculus+of+Variations&rft.aulast=Freguglia&rft.aufirst=P.&rft.date=2016&rft.isbn=978-3-319-38945-5"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFGalilei1638"><a href="/wiki/Galileo_Galilei" title="Galileo Galilei"><span style="font-variant: small-caps;">Galilei</span>, Galileo</a>. «<a rel="nofollow" class="external text" href="http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/tns_draft/tns_160to243.html">Third Day, Theorem 22, Prop. 36</a>». A: <i>Discourses regarding two new sciences</i>, 1638.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Discourses+regarding+two+new+sciences&rft.atitle=Third+Day%2C+Theorem+22%2C+Prop.+36&rft.aulast=Galilei&rft.aufirst=Galileo&rft.date=1638"><span style="display: none;"> </span></span> Aquesta conclusió havia aparegut sis anys abans al <i>Diàleg sobre els dos sistemes mundials principals</i> de Galileu (dia 4)</li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFGalilei1967"><span style="font-variant: small-caps;">Galilei</span>, Galileo. <i>Dialogue Concerning the Two Chief World Systems. Ptolemaic and Copernican translated by Stillman Drake, foreword by Albert Einstein</i> (en anglès).  University of California Press Berkeley; Los Angeles, 1967.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Dialogue+Concerning+the+Two+Chief+World+Systems.+Ptolemaic+and+Copernican+translated+by+Stillman+Drake%2C+foreword+by+Albert+Einstein&rft.aulast=Galilei&rft.aufirst=Galileo&rft.date=1967&rft.pub=University+of+California+Press+Berkeley%3B+Los+Angeles"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFHandJanet1998"><span style="font-variant: small-caps;">Hand</span>, Louis N.; <span style="font-variant: small-caps;">Janet</span>, D. «cap. 2: Variational Calculus and Its Application to Mechanics». A: <i>Analytical Mechanics</i> (en anglès).  Cambridge: <a href="/wiki/Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, 1998.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Analytical+Mechanics&rft.atitle=cap.+2%3A+Variational+Calculus+and+Its+Application+to+Mechanics&rft.aulast=Hand&rft.aufirst=Louis+N.&rft.date=1998&rft.pub=%5B%5BCambridge+University+Press%5D%5D&rft.place=Cambridge"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFKatz1998"><span style="font-variant: small-caps;">Katz</span>, Victor J. <i>A History of Mathematics: An Introduction</i> (en anglès).  Addison Wesley Longman, 1998. <span style="font-size:90%; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Especial:Fonts_bibliogr%C3%A0fiques/978-0-321-01618-8" title="Especial:Fonts bibliogràfiques/978-0-321-01618-8">ISBN 978-0-321-01618-8</a></span>.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+History+of+Mathematics%3A+An+Introduction&rft.aulast=Katz&rft.aufirst=Victor+J.&rft.date=1998&rft.pub=Addison+Wesley+Longman&rft.isbn=978-0-321-01618-8"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFLivio2003"><a href="/w/index.php?title=Mario_Livio&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mario Livio (encara no existeix)"><span style="font-variant: small-caps;">Livio</span>, Mario</a>. <i>The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number</i> (en anglès).  Ciutat de Nova York: Broadway Books, 2003.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Golden+Ratio%3A+The+Story+of+Phi%2C+the+World%27s+Most+Astonishing+Number&rft.aulast=Livio&rft.aufirst=Mario&rft.date=2003&rft.pub=Broadway+Books&rft.place=Ciutat+de+Nova+York"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFRoss2009"><a href="/w/index.php?title=I._Michael_Ross&action=edit&redlink=1" class="new" title="I. Michael Ross (encara no existeix)"><span style="font-variant: small-caps;">Ross</span>, I.</a> «The Brachistochrone Paradigm». A: <i>Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control</i> (en anglès).  Collegiate Publishers, 2009. <span style="font-size:90%; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Especial:Fonts_bibliogr%C3%A0fiques/978-0-9843571-0-9" title="Especial:Fonts bibliogràfiques/978-0-9843571-0-9">ISBN 978-0-9843571-0-9</a></span>.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Primer+on+Pontryagin%27s+Principle+in+Optimal+Control&rft.atitle=The+Brachistochrone+Paradigm&rft.aulast=Ross&rft.aufirst=I.&rft.date=2009&rft.pub=Collegiate+Publishers&rft.isbn=978-0-9843571-0-9"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFSagan2011"><a href="/wiki/Carl_Sagan" title="Carl Sagan"><span style="font-variant: small-caps;">Sagan</span>, Carl</a>. <i>Cosmos</i> (en anglès).  Random House Publishing Group, 2011. <span style="font-size:90%; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Especial:Fonts_bibliogr%C3%A0fiques/9780307800985" title="Especial:Fonts bibliogràfiques/9780307800985">ISBN 9780307800985</a></span>.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Cosmos&rft.aulast=Sagan&rft.aufirst=Carl&rft.date=2011&rft.pub=Random+House+Publishing+Group&rft.isbn=9780307800985"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFStewart2012"><span style="font-variant: small-caps;">Stewart</span>, James. «Section 10.1 - Curves Defined by Parametric Equations». A: <i>Calculus: Early Transcendentals</i> (en anglès).  Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole, 2012.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Calculus%3A+Early+Transcendentals&rft.atitle=Section+10.1+-+Curves+Defined+by+Parametric+Equations&rft.aulast=Stewart&rft.aufirst=James&rft.date=2012&rft.pub=Thomson+Brooks%2FCole&rft.place=Belmont%2C+CA"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFStruik1969"><span style="font-variant: small-caps;">Struik</span>, J. D.. <i>A Source Book in Mathematics, 1200-1800</i> (en anglès).  <a href="/wiki/Harvard_University_Press" title="Harvard University Press">Harvard University Press</a>, 1969.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=A+Source+Book+in+Mathematics%2C+1200-1800&rft.aulast=Struik&rft.aufirst=J.+D.&rft.date=1969&rft.pub=%5B%5BHarvard+University+Press%5D%5D"><span style="display: none;"> </span></span></li> <li><span class="citation book" style="font-style:normal" id="CITEREFWhiteside2008"><span style="font-variant: small-caps;">Whiteside</span>, Derek Thomas. <i>The Mathematical Papers of Isaac Newton</i> (en anglès). 8.  <a href="/wiki/Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">Cambridge University Press</a>, 2008. <span style="font-size:90%; white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Especial:Fonts_bibliogr%C3%A0fiques/978-0-521-20103-2" title="Especial:Fonts bibliogràfiques/978-0-521-20103-2">ISBN 978-0-521-20103-2</a></span>.</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Mathematical+Papers+of+Isaac+Newton&rft.aulast=Whiteside&rft.aufirst=Derek+Thomas&rft.date=2008&rft.pub=%5B%5BCambridge+University+Press%5D%5D&rft.isbn=978-0-521-20103-2"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Enllaços_externs"><span id="Enlla.C3.A7os_externs"></span>Enllaços externs</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&action=edit&section=15" title="Modifica la secció: Enllaços externs"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="plainlinks ambox ambox-style" style="" data-severity="1"> <tbody><tr> <td class="mbox-image" style="width: 52px;"> <span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/External.svg/30px-External.svg.png" decoding="async" width="30" height="30" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/External.svg/45px-External.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/External.svg/60px-External.svg.png 2x" data-file-width="100" data-file-height="100" /></span></span></td> <td class="mbox-text" style=""> <div class="mbox-text-span"><b>Els enllaços externs d'aquest article necessiten una revisió: la <a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:All%C3%B2_que_la_Viquip%C3%A8dia_no_%C3%A9s" title="Viquipèdia:Allò que la Viquipèdia no és">Viquipèdia no és un directori d'internet</a>.</b><br /><span style="font-size:90%;" class="hide-when-compact">Cal una revisió per treure els enllaços excessius o inapropiats segons la <a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Enlla%C3%A7os_externs" title="Viquipèdia:Enllaços externs">norma d'estil</a>, o bé per <a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Citau_les_fonts" title="Viquipèdia:Citau les fonts">citar-los com a font</a>.</span></div> </td> </tr> </tbody></table> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r33663753">.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1;min-width:0}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}.mw-parser-output .side-box-center{clear:both;margin:auto}}</style><div class="side-box metadata side-box-right plainlinks"> <div class="side-box-flex"> <div class="side-box-image"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="30" height="40" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/45px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/59px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span></div> <div class="side-box-text plainlist">A <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/P%C3%A0gina_principal?uselang=ca">Wikimedia Commons</a></span> hi ha contingut multimèdia relatiu a: <i><b><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Brachistochrone" class="extiw" title="commons:Category:Brachistochrone">Braquistòcrona</a></b></i></div></div> </div> <div style="-moz-column-count:2; -webkit-column-count:2; column-count:2;"> <ul><li><span class="citation" style="font-style:normal">«<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathcurve.com/courbes2d.gb/brachistochrone/brachistochrone.shtml">Brachistochrone</a>» (en anglès). <i>MathCurve</i>.</span> Amb excelents exemples animats.</li> <li><span class="citation" style="font-style:normal">«<a rel="nofollow" class="external text" href="http://whistleralley.com/brachistochrone/brachistochrone.htm">The Brachistochrone</a>» (en anglès). <i>Whistler Alley Mathematics</i>.</span></li> <li><span class="citation" style="font-style:normal"> «<a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20080329153035/http://curvebank.calstatela.edu/brach3/brach3.htm">Table IV from Bernoulli's</a>». <i>Acta Eruditorum</i>, 1697.</span></li> <li><span class="citation" style="font-style:normal"><span style="font-variant: small-caps;">Trott</span>, Michael. «<a rel="nofollow" class="external text" href="http://demonstrations.wolfram.com/Brachistochrones/">Brachistochrones</a>» (en anglès). <i>Wolfram Demonstrations Project</i>.</span></li> <li><span class="citation" style="font-style:normal"><span style="font-variant: small-caps;">Arik</span>, Okay. «<a rel="nofollow" class="external text" href="http://demonstrations.wolfram.com/BrachistochroneProblem/">Brachistochrone Problem</a>» (en anglès). <i>Wolfram Demonstrations Project</i>.</span></li> <li><span class="citation" style="font-style:normal">«<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Brachistochrone.html#s17">The Brachistochrone problem</a>» (en anglès). <i>MacTutor</i>.</span></li> <li><span class="citation" style="font-style:normal">«<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cmsim.eu/papers_pdf/january_2012_papers/25_CMSIM_2012_Pokorny_1_281-298.pdf">Geodesics Revisited</a>» (<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r33780657"><span class="linkformat" title="És PDF"><span typeof="mw:File"><span><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/PDF_icon_bold.svg/14px-PDF_icon_bold.svg.png" decoding="async" width="14" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/PDF_icon_bold.svg/21px-PDF_icon_bold.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/PDF_icon_bold.svg/28px-PDF_icon_bold.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="585" /></span></span> PDF</span>) (en anglès).</span> Introducció a <a href="/wiki/Geod%C3%A8sica" title="Geodèsica">geodèsiques</a> incloent dues maneres de derivar l'equació de geodèsica amb braquistòcrona com a cas especial d'una geodèsica.</li> <li><span class="citation" style="font-style:normal">«<a rel="nofollow" class="external text" href="http://apmonitor.com/wiki/index.php/Apps/BrachistochroneProblem">Brachistochrone problem in Python</a>» (en anglès). <i>Optimal control solution</i>.</span></li> <li><span class="citation" style="font-style:normal">«<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1401.2660">The straight line, the catenary, the brachistochrone, the circle, and Fermat</a>» (en anglès).</span> Aproximació unificada a algunes geodèsies.</li></ul> </div> <div role="navigation" class="navbox" aria-label="Navbox" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Control_d%27autoritats" title="Control d'autoritats">Registres d'autoritat</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/LCCN" class="mw-redirect" title="LCCN">LCCN</a> <span class="uid"> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85016244">1</a>)</span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtingut de «<a dir="ltr" href="https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Braquistòcrona&oldid=34275460">https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Braquistòcrona&oldid=34275460</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categorias" title="Especial:Categorias">Categories</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:Corbes" title="Categoria:Corbes">Corbes</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Mec%C3%A0nica" title="Categoria:Mecànica">Mecànica</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categories ocultes: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:Articles_amb_enlla%C3%A7os_externs_per_revisar" title="Categoria:Articles amb enllaços externs per revisar">Articles amb enllaços externs per revisar</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:P%C3%A0gines_amb_enlla%C3%A7_commonscat_des_de_Wikidata" title="Categoria:Pàgines amb enllaç commonscat des de Wikidata">Pàgines amb enllaç commonscat des de Wikidata</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:Control_d%27autoritats" title="Categoria:Control d'autoritats">Control d'autoritats</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La pàgina va ser modificada per darrera vegada el 24 nov 2024 a les 10:12.</li> <li id="footer-info-copyright">El text està disponible sota la <a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Text_de_la_llic%C3%A8ncia_de_Creative_Commons_Reconeixement-Compartir_Igual_4.0_No_adaptada" title="Viquipèdia:Text de la llicència de Creative Commons Reconeixement-Compartir Igual 4.0 No adaptada"> Llicència de Creative Commons Reconeixement i Compartir-Igual</a>; es poden aplicar termes addicionals. Vegeu les <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use/ca">Condicions d'ús</a>. Wikipedia® (Viquipèdia™) és una <a href="/wiki/Marca_comercial" title="Marca comercial">marca registrada</a> de <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wikimediafoundation.org">Wikimedia Foundation, Inc</a>.<br /></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Política de privadesa</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Quant_a_la_Viquip%C3%A8dia">Quant al projecte Viquipèdia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Viquip%C3%A8dia:Av%C3%ADs_d%27exempci%C3%B3_de_responsabilitat">Descàrrec de responsabilitat</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Codi de conducta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Desenvolupadors</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/ca.wikipedia.org">Estadístiques</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Declaració de cookies</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//ca.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Braquist%C3%B2crona&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versió per a mòbils</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-czcdm","wgBackendResponseTime":177,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.479","walltime":"0.666","ppvisitednodes":{"value":8346,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":53040,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":18200,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":11,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":0,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":25008,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 396.415 1 -total"," 22.07% 87.481 13 Plantilla:Ref-llibre"," 21.48% 85.153 6 Plantilla:Ref-publicació"," 12.88% 51.057 16 Plantilla:Sfn"," 10.39% 41.193 1 Plantilla:Commonscat"," 10.19% 40.379 1 Plantilla:Referències"," 8.97% 35.550 27 Plantilla:If_both"," 8.85% 35.066 1 Plantilla:Sister"," 8.61% 34.120 1 Plantilla:Autoritat"," 8.37% 33.166 1 Plantilla:Caixa_lateral"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.107","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":2225891,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-api-ext.codfw.main-7556f8b5dd-w4qnr","timestamp":"20241124091250","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Braquist\u00f2crona","url":"https:\/\/ca.wikipedia.org\/wiki\/Braquist%C3%B2crona","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q529985","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q529985","author":{"@type":"Organization","name":"Contributors to Wikimedia projects"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2006-11-08T11:41:27Z","dateModified":"2024-11-24T09:12:49Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/6\/63\/Brachistochrone.gif"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

Braquistòcrona - Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure