CINXE.COM

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="fr" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Combinatoire — Wikipédia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )frwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""], "wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","janvier","février","mars","avril","mai","juin","juillet","août","septembre","octobre","novembre","décembre"],"wgRequestId":"23e08b81-55e6-4e4f-93ad-081e43e22575","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Combinatoire","wgTitle":"Combinatoire","wgCurRevisionId":219953308,"wgRevisionId":219953308,"wgArticleId":74716,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Article contenant un appel à traduction en anglais","Portail:Mathématiques/Articles liés","Portail:Sciences/Articles liés","Projet:Mathématiques/Articles","Portail:Informatique théorique/Articles liés","Portail:Informatique/Articles liés","Combinatoire"],"wgPageViewLanguage":"fr","wgPageContentLanguage":"fr","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Combinatoire","wgRelevantArticleId":74716,"wgIsProbablyEditable":true, "wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"fr","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"fr"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":40000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":false,"wgVector2022LanguageInHeader":true,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q76592","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled": false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready","skins.vector.search.codex.styles":"ready","skins.vector.styles":"ready","skins.vector.icons":"ready","ext.wikimediamessages.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.gadget.ArchiveLinks","ext.gadget.Wdsearch","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging", "ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.cx.uls.quick.actions","wikibase.client.vector-2022","ext.checkUser.clientHints","ext.quicksurveys.init","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fr&modules=ext.cite.styles%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cext.wikimediamessages.styles%7Cskins.vector.icons%2Cstyles%7Cskins.vector.search.codex.styles%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector-2022"> <script async="" src="/w/load.php?lang=fr&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector-2022"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=fr&modules=site.styles&only=styles&skin=vector-2022"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.6"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Encyclopedie_volume_1-262.png/1200px-Encyclopedie_volume_1-262.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="1624"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Encyclopedie_volume_1-262.png/800px-Encyclopedie_volume_1-262.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="1083"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Encyclopedie_volume_1-262.png/640px-Encyclopedie_volume_1-262.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="866"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Combinatoire — Wikipédia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//fr.m.wikipedia.org/wiki/Combinatoire"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Modifier" href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipédia (fr)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//fr.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Combinatoire"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Flux Atom de Wikipédia" href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Modifications_r%C3%A9centes&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin--responsive skin-vector skin-vector-search-vue mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Combinatoire rootpage-Combinatoire skin-vector-2022 action-view"><a class="mw-jump-link" href="#bodyContent">Aller au contenu</a> <div class="vector-header-container"> <header class="vector-header mw-header"> <div class="vector-header-start"> <nav class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown vector-main-menu-dropdown vector-button-flush-left vector-button-flush-right" > <input type="checkbox" id="vector-main-menu-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-main-menu-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Menu principal" > <label id="vector-main-menu-dropdown-label" for="vector-main-menu-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-menu mw-ui-icon-wikimedia-menu"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Menu principal</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-main-menu-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-main-menu" class="vector-main-menu vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-main-menu-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="main-menu-pinned" data-pinnable-element-id="vector-main-menu" data-pinned-container-id="vector-main-menu-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-main-menu-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Menu principal</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-main-menu.unpin">masquer</button> </div> <div id="p-navigation" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-navigation" > <div class="vector-menu-heading"> Navigation </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Accueil_principal" title="Accueil général [z]" accesskey="z"><span>Accueil</span></a></li><li id="n-thema" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portail:Accueil"><span>Portails thématiques</span></a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Page_au_hasard" title="Affiche un article au hasard [x]" accesskey="x"><span>Article au hasard</span></a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Contact"><span>Contact</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-Contribuer" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-Contribuer" > <div class="vector-menu-heading"> Contribuer </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-aboutwp" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:D%C3%A9buter"><span>Débuter sur Wikipédia</span></a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:Accueil" title="Accès à l’aide"><span>Aide</span></a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Accueil_de_la_communaut%C3%A9" title="À propos du projet, ce que vous pouvez faire, où trouver les informations"><span>Communauté</span></a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Modifications_r%C3%A9centes" title="Liste des modifications récentes sur le wiki [r]" accesskey="r"><span>Modifications récentes</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Accueil_principal" class="mw-logo"> <img class="mw-logo-icon" src="/static/images/icons/wikipedia.png" alt="" aria-hidden="true" height="50" width="50"> <span class="mw-logo-container skin-invert"> <img class="mw-logo-wordmark" alt="Wikipédia" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-wordmark-fr.svg" style="width: 7.4375em; height: 1.125em;"> <img class="mw-logo-tagline" alt="l'encyclopédie libre" src="/static/images/mobile/copyright/wikipedia-tagline-fr.svg" width="120" height="13" style="width: 7.5em; height: 0.8125em;"> </span> </a> </div> <div class="vector-header-end"> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-collapses vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Recherche" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only search-toggle" title="Rechercher sur Wikipédia [f]" accesskey="f"><span class="vector-icon mw-ui-icon-search mw-ui-icon-wikimedia-search"></span> <span>Rechercher</span> </a> <div class="vector-typeahead-search-container"> <div class="cdx-typeahead-search cdx-typeahead-search--show-thumbnail cdx-typeahead-search--auto-expand-width"> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="cdx-search-input cdx-search-input--has-end-button"> <div id="simpleSearch" class="cdx-search-input__input-wrapper" data-search-loc="header-moved"> <div class="cdx-text-input cdx-text-input--has-start-icon"> <input class="cdx-text-input__input" type="search" name="search" placeholder="Rechercher sur Wikipédia" aria-label="Rechercher sur Wikipédia" autocapitalize="sentences" title="Rechercher sur Wikipédia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <span class="cdx-text-input__icon cdx-text-input__start-icon"></span> </div> <input type="hidden" name="title" value="Spécial:Recherche"> </div> <button class="cdx-button cdx-search-input__end-button">Rechercher</button> </form> </div> </div> </div> <nav class="vector-user-links vector-user-links-wide" aria-label="Outils personnels"> <div class="vector-user-links-main"> <div id="p-vector-user-menu-preferences" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-userpage" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown " title="Modifier l'apparence de la taille, de la largeur et de la couleur de la police de la page" > <input type="checkbox" id="vector-appearance-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-appearance-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Apparence" > <label id="vector-appearance-dropdown-label" for="vector-appearance-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-appearance mw-ui-icon-wikimedia-appearance"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Apparence</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-appearance-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <div id="p-vector-user-menu-notifications" class="vector-menu mw-portlet emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> <div id="p-vector-user-menu-overflow" class="vector-menu mw-portlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=fr.wikipedia.org&uselang=fr" class=""><span>Faire un don</span></a> </li> <li id="pt-createaccount-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Cr%C3%A9er_un_compte&returnto=Combinatoire" title="Nous vous encourageons à créer un compte utilisateur et vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire." class=""><span>Créer un compte</span></a> </li> <li id="pt-login-2" class="user-links-collapsible-item mw-list-item user-links-collapsible-item"><a data-mw="interface" href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Connexion&returnto=Combinatoire" title="Nous vous encourageons à vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire. [o]" accesskey="o" class=""><span>Se connecter</span></a> </li> </ul> </div> </div> </div> <div id="vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown vector-user-menu vector-button-flush-right vector-user-menu-logged-out" title="Plus d’options" > <input type="checkbox" id="vector-user-links-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-user-links-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Outils personnels" > <label id="vector-user-links-dropdown-label" for="vector-user-links-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-ellipsis mw-ui-icon-wikimedia-ellipsis"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Outils personnels</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-personal" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-personal user-links-collapsible-item" title="Menu utilisateur" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-sitesupport" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="https://donate.wikimedia.org/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=fr.wikipedia.org&uselang=fr"><span>Faire un don</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Cr%C3%A9er_un_compte&returnto=Combinatoire" title="Nous vous encourageons à créer un compte utilisateur et vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire."><span class="vector-icon mw-ui-icon-userAdd mw-ui-icon-wikimedia-userAdd"></span> <span>Créer un compte</span></a></li><li id="pt-login" class="user-links-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Connexion&returnto=Combinatoire" title="Nous vous encourageons à vous connecter ; ce n’est cependant pas obligatoire. [o]" accesskey="o"><span class="vector-icon mw-ui-icon-logIn mw-ui-icon-wikimedia-logIn"></span> <span>Se connecter</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-user-menu-anon-editor" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-user-menu-anon-editor" > <div class="vector-menu-heading"> Pages pour les contributeurs déconnectés <a href="/wiki/Aide:Premiers_pas" aria-label="En savoir plus sur la contribution"><span>en savoir plus</span></a> </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Mes_contributions" title="Une liste des modifications effectuées depuis cette adresse IP [y]" accesskey="y"><span>Contributions</span></a></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Mes_discussions" title="La page de discussion pour les contributions depuis cette adresse IP [n]" accesskey="n"><span>Discussion</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </header> </div> <div class="mw-page-container"> <div class="mw-page-container-inner"> <div class="vector-sitenotice-container"> <div id="siteNotice"></div> </div> <div class="vector-column-start"> <div class="vector-main-menu-container"> <div id="mw-navigation"> <nav id="mw-panel" class="vector-main-menu-landmark" aria-label="Site"> <div id="vector-main-menu-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> </div> </div> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav id="mw-panel-toc" aria-label="Sommaire" data-event-name="ui.sidebar-toc" class="mw-table-of-contents-container vector-toc-landmark"> <div id="vector-toc-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-toc" class="vector-toc vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-toc-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="toc-pinned" data-pinnable-element-id="vector-toc" > <h2 class="vector-pinnable-header-label">Sommaire</h2> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-toc.unpin">masquer</button> </div> <ul class="vector-toc-contents" id="mw-panel-toc-list"> <li id="toc-mw-content-text" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a href="#" class="vector-toc-link"> <div class="vector-toc-text">Début</div> </a> </li> <li id="toc-Généralités_et_historique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Généralités_et_historique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1</span> <span>Généralités et historique</span> </div> </a> <ul id="toc-Généralités_et_historique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Domaines_de_la_combinatoire" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Domaines_de_la_combinatoire"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Domaines de la combinatoire</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Domaines_de_la_combinatoire-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Domaines de la combinatoire</span> </button> <ul id="toc-Domaines_de_la_combinatoire-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Combinatoire_énumérative" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Combinatoire_énumérative"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Combinatoire énumérative</span> </div> </a> <ul id="toc-Combinatoire_énumérative-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Théorie_combinatoire_des_nombres" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Théorie_combinatoire_des_nombres"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Théorie combinatoire des nombres</span> </div> </a> <ul id="toc-Théorie_combinatoire_des_nombres-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Combinatoire_des_mots" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Combinatoire_des_mots"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Combinatoire des mots</span> </div> </a> <ul id="toc-Combinatoire_des_mots-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Combinatoire_algébrique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Combinatoire_algébrique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4</span> <span>Combinatoire algébrique</span> </div> </a> <ul id="toc-Combinatoire_algébrique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Combinatoire_analytique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Combinatoire_analytique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.5</span> <span>Combinatoire analytique</span> </div> </a> <ul id="toc-Combinatoire_analytique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Combinatoire_probabiliste" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Combinatoire_probabiliste"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.6</span> <span>Combinatoire probabiliste</span> </div> </a> <ul id="toc-Combinatoire_probabiliste-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Combinatoire_topologique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Combinatoire_topologique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.7</span> <span>Combinatoire topologique</span> </div> </a> <ul id="toc-Combinatoire_topologique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Combinatoire_géométrique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Combinatoire_géométrique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.8</span> <span>Combinatoire géométrique</span> </div> </a> <ul id="toc-Combinatoire_géométrique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Combinatoire_extrémale_et_Théorie_de_Ramsey" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Combinatoire_extrémale_et_Théorie_de_Ramsey"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.9</span> <span>Combinatoire extrémale et Théorie de Ramsey</span> </div> </a> <ul id="toc-Combinatoire_extrémale_et_Théorie_de_Ramsey-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Domaines_connexes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Domaines_connexes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Domaines connexes</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Domaines_connexes-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Domaines connexes</span> </button> <ul id="toc-Domaines_connexes-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Théorie_des_graphes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Théorie_des_graphes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Théorie des graphes</span> </div> </a> <ul id="toc-Théorie_des_graphes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Théorie_des_partitions" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Théorie_des_partitions"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Théorie des partitions</span> </div> </a> <ul id="toc-Théorie_des_partitions-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Théorie_des_matroïdes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Théorie_des_matroïdes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>Théorie des matroïdes</span> </div> </a> <ul id="toc-Théorie_des_matroïdes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Théorie_des_ordres" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Théorie_des_ordres"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4</span> <span>Théorie des ordres</span> </div> </a> <ul id="toc-Théorie_des_ordres-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Plans_en_blocs" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Plans_en_blocs"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.5</span> <span>Plans en blocs</span> </div> </a> <ul id="toc-Plans_en_blocs-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Séries_génératrices" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Séries_génératrices"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.6</span> <span>Séries génératrices</span> </div> </a> <ul id="toc-Séries_génératrices-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Permutations_(dispositions,_ordonnancements)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Permutations_(dispositions,_ordonnancements)"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Permutations (dispositions, ordonnancements)</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Permutations_(dispositions,_ordonnancements)-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Permutations (dispositions, ordonnancements)</span> </button> <ul id="toc-Permutations_(dispositions,_ordonnancements)-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Permutations_sans_répétition_d'objets_discernables" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Permutations_sans_répétition_d'objets_discernables"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Permutations sans répétition d'objets discernables</span> </div> </a> <ul id="toc-Permutations_sans_répétition_d'objets_discernables-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Permutations_avec_répétition_d'objets_discernables" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Permutations_avec_répétition_d'objets_discernables"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Permutations avec répétition d'objets discernables</span> </div> </a> <ul id="toc-Permutations_avec_répétition_d'objets_discernables-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Arrangements_(choix_en_tenant_compte_de_l'ordre)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Arrangements_(choix_en_tenant_compte_de_l'ordre)"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Arrangements (choix en tenant compte de l'ordre)</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Arrangements_(choix_en_tenant_compte_de_l'ordre)-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Arrangements (choix en tenant compte de l'ordre)</span> </button> <ul id="toc-Arrangements_(choix_en_tenant_compte_de_l'ordre)-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Arrangements_sans_répétition" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Arrangements_sans_répétition"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.1</span> <span>Arrangements sans répétition</span> </div> </a> <ul id="toc-Arrangements_sans_répétition-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Arrangements_avec_répétition" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Arrangements_avec_répétition"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5.2</span> <span>Arrangements avec répétition</span> </div> </a> <ul id="toc-Arrangements_avec_répétition-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Combinaisons_(choix_sans_tenir_compte_de_l'ordre)" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Combinaisons_(choix_sans_tenir_compte_de_l'ordre)"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Combinaisons (choix sans tenir compte de l'ordre)</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Combinaisons_(choix_sans_tenir_compte_de_l'ordre)-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Combinaisons (choix sans tenir compte de l'ordre)</span> </button> <ul id="toc-Combinaisons_(choix_sans_tenir_compte_de_l'ordre)-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Combinaisons_sans_répétition" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Combinaisons_sans_répétition"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.1</span> <span>Combinaisons sans répétition</span> </div> </a> <ul id="toc-Combinaisons_sans_répétition-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Combinaisons_avec_répétition" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Combinaisons_avec_répétition"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6.2</span> <span>Combinaisons avec répétition</span> </div> </a> <ul id="toc-Combinaisons_avec_répétition-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Fonction_de_comptage" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Fonction_de_comptage"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Fonction de comptage</span> </div> </a> <ul id="toc-Fonction_de_comptage-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Quelques_résultats" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Quelques_résultats"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Quelques résultats</span> </div> </a> <ul id="toc-Quelques_résultats-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Notes et références</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Voir_aussi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Voir aussi</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Voir_aussi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Voir aussi</span> </button> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Bibliographie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliographie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.1</span> <span>Bibliographie</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliographie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Articles_connexes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Articles_connexes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.2</span> <span>Articles connexes</span> </div> </a> <ul id="toc-Articles_connexes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Lien_externe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Lien_externe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10.3</span> <span>Lien externe</span> </div> </a> <ul id="toc-Lien_externe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Basculer la table des matières</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Combinatoire</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 79 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-79" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">79 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%88%A5%E1%8A%90_%E1%8C%A5%E1%88%9D%E1%88%A8%E1%89%B5" title="ሥነ ጥምረት – amharique" lang="am" hreflang="am" data-title="ሥነ ጥምረት" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="amharique" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%AD%D9%84%D9%8A%D9%84_%D8%AA%D9%88%D8%A7%D9%81%D9%8A%D9%82%D9%8A" title="تحليل توافيقي – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="تحليل توافيقي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Combinatoria" title="Combinatoria – asturien" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Combinatoria" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturien" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika – azerbaïdjanais" lang="az" hreflang="az" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaïdjanais" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bat-smg mw-list-item"><a href="https://bat-smg.wikipedia.org/wiki/Kuomb%C4%97natuor%C4%97ka" title="Kuombėnatuorėka – samogitien" lang="sgs" hreflang="sgs" data-title="Kuombėnatuorėka" data-language-autonym="Žemaitėška" data-language-local-name="samogitien" class="interlanguage-link-target"><span>Žemaitėška</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8B%D0%BA%D0%B0" title="Камбінаторыка – biélorusse" lang="be" hreflang="be" data-title="Камбінаторыка" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="biélorusse" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%8B%D0%BA%D0%B0" title="Камбінаторыка – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Камбінаторыка" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика – bulgare" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bulgare" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%97%E0%A7%81%E0%A6%9A%E0%A7%8D%E0%A6%9B-%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%A8%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE%E0%A6%B8%E0%A6%A4%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%AC" title="গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্ব – bengali" lang="bn" hreflang="bn" data-title="গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্ব" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengali" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika – bosniaque" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bosniaque" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Combinat%C3%B2ria" title="Combinatòria – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Combinatòria" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика – tchouvache" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="tchouvache" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Cyfuniadeg" title="Cyfuniadeg – gallois" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Cyfuniadeg" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="gallois" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik" title="Kombinatorik – danois" lang="da" hreflang="da" data-title="Kombinatorik" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danois" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik" title="Kombinatorik – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Kombinatorik" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%B4%CF%85%CE%B1%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AE" title="Συνδυαστική – grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Συνδυαστική" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Combinatorics" title="Combinatorics – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Combinatorics" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Kombinatoriko" title="Kombinatoriko – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Kombinatoriko" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Combinatoria" title="Combinatoria – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Combinatoria" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Kombinatoorika" title="Kombinatoorika – estonien" lang="et" hreflang="et" data-title="Kombinatoorika" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonien" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Konbinatoria" title="Konbinatoria – basque" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Konbinatoria" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basque" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%B1%DA%A9%DB%8C%D8%A8%DB%8C%D8%A7%D8%AA" title="ترکیبیات – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="ترکیبیات" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Kombinatoriikka" title="Kombinatoriikka – finnois" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Kombinatoriikka" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finnois" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E6%95%B8%E5%AD%B8" title="組合數學 – gan" lang="gan" hreflang="gan" data-title="組合數學" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="gan" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/Konbinatwar" title="Konbinatwar – créole guyanais" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Konbinatwar" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="créole guyanais" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Combinatoria" title="Combinatoria – galicien" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Combinatoria" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicien" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%9E%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%A7%D7%94" title="קומבינטוריקה – hébreu" lang="he" hreflang="he" data-title="קומבינטוריקה" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hébreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AE%E0%A4%9A%E0%A4%AF-%E0%A4%B8%E0%A4%82%E0%A4%9A%E0%A4%AF" title="क्रमचय-संचय – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="क्रमचय-संचय" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika – croate" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croate" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika – hongrois" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongrois" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BF%D5%B8%D5%B4%D5%A2%D5%AB%D5%B6%D5%A1%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%AF%D5%A1" title="Կոմբինատորիկա – arménien" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Կոմբինատորիկա" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="arménien" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-iba mw-list-item"><a href="https://iba.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik" title="Kombinatorik – iban" lang="iba" hreflang="iba" data-title="Kombinatorik" data-language-autonym="Jaku Iban" data-language-local-name="iban" class="interlanguage-link-target"><span>Jaku Iban</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika – indonésien" lang="id" hreflang="id" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésien" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Kombinatoriko" title="Kombinatoriko – ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Kombinatoriko" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Talningarfr%C3%A6%C3%B0i" title="Talningarfræði – islandais" lang="is" hreflang="is" data-title="Talningarfræði" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandais" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Combinatoria" title="Combinatoria – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Combinatoria" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E3%81%9B%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="組合せ数学 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="組合せ数学" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Kambinatuorix" title="Kambinatuorix – créole jamaïcain" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Kambinatuorix" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="créole jamaïcain" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%99%E1%83%9D%E1%83%9B%E1%83%91%E1%83%98%E1%83%9C%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90" title="კომბინატორიკა – géorgien" lang="ka" hreflang="ka" data-title="კომბინატორიკა" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="géorgien" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика – kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazakh" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A1%B0%ED%95%A9%EB%A1%A0" title="조합론 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="조합론" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика – kirghize" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirghize" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Calculus_coniunctionibus" title="Calculus coniunctionibus – latin" lang="la" hreflang="la" data-title="Calculus coniunctionibus" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latin" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lfn mw-list-item"><a href="https://lfn.wikipedia.org/wiki/Combinatoria" title="Combinatoria – lingua franca nova" lang="lfn" hreflang="lfn" data-title="Combinatoria" data-language-autonym="Lingua Franca Nova" data-language-local-name="lingua franca nova" class="interlanguage-link-target"><span>Lingua Franca Nova</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika – lituanien" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituanien" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika – letton" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letton" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика – macédonien" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macédonien" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA" title="Комбинаторик – mongol" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Комбинаторик" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik" title="Kombinatorik – malais" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Kombinatorik" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malais" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%80%E1%80%BD%E1%80%94%E1%80%BA%E1%80%98%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%84%E1%80%BA%E1%80%94%E1%80%90%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%B8%E1%80%9B%E1%80%85%E1%80%BA" title="ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ် – birman" lang="my" hreflang="my" data-title="ကွန်ဘိုင်နတိုးရစ်" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birman" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Combinatoriek" title="Combinatoriek – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Combinatoriek" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Kombinatorikk" title="Kombinatorikk – norvégien nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Kombinatorikk" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norvégien nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Kombinatorikk" title="Kombinatorikk – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Kombinatorikk" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Kombinatoryka" title="Kombinatoryka – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Kombinatoryka" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Combinat%C3%B3ria" title="Combinatória – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Combinatória" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Combinatoric%C4%83" title="Combinatorică – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Combinatorică" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика – iakoute" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="iakoute" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika – serbo-croate" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbo-croate" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Combinatorics" title="Combinatorics – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Combinatorics" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika – slovène" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovène" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika – albanais" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanais" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторна математика – serbe" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Комбинаторна математика" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbe" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik" title="Kombinatorik – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Kombinatorik" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%9A%E0%AF%87%E0%AE%B0%E0%AF%8D%E0%AE%B5%E0%AE%BF%E0%AE%AF%E0%AE%B2%E0%AF%8D_(%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D)" title="சேர்வியல் (கணிதம்) – tamoul" lang="ta" hreflang="ta" data-title="சேர்வியல் (கணிதம்)" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamoul" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%88%E0%B8%B1%E0%B8%94" title="คณิตศาสตร์เชิงการจัด – thaï" lang="th" hreflang="th" data-title="คณิตศาสตร์เชิงการจัด" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thaï" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika – tagalog" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalog" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Kombinatorik" title="Kombinatorik – turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Kombinatorik" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбинаторика – tatar" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Комбинаторика" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tatar" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбінаторика – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Комбінаторика" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D9%84%DB%8C%D9%81%DB%8C%D8%A7%D8%AA" title="تالیفیات – ourdou" lang="ur" hreflang="ur" data-title="تالیفیات" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="ourdou" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Kombinatorika" title="Kombinatorika – ouzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Kombinatorika" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="ouzbek" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc_t%E1%BB%95_h%E1%BB%A3p" title="Toán học tổ hợp – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Toán học tổ hợp" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="组合数学 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="组合数学" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A7%D7%90%D7%9E%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%98%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%A7" title="קאמבינאטאריק – yiddish" lang="yi" hreflang="yi" data-title="קאמבינאטאריק" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="yiddish" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6" title="组合数学 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="组合数学" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E6%95%B8%E5%AD%B8" title="組合數學 – cantonais" lang="yue" hreflang="yue" data-title="組合數學" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q76592#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Combinatoire" title="Voir le contenu de la page [c]" accesskey="c"><span>Article</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Discussion:Combinatoire" rel="discussion" title="Discussion au sujet de cette page de contenu [t]" accesskey="t"><span>Discussion</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Modifier la variante de langue" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">français</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="p-variants" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation" class="vector-collapsible"> <nav aria-label="Affichages"> <div id="p-views" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-views" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Combinatoire"><span>Lire</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=history" title="Historique des versions de cette page [h]" accesskey="h"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Outils" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Outils</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Outils</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">masquer</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Plus d’options" > <div class="vector-menu-heading"> Actions </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Combinatoire"><span>Lire</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit" title="Modifier cette page [v]" accesskey="v"><span>Modifier</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit" title="Modifier le wikicode de cette page [e]" accesskey="e"><span>Modifier le code</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=history"><span>Voir l’historique</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Général </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_li%C3%A9es/Combinatoire" title="Liste des pages liées qui pointent sur celle-ci [j]" accesskey="j"><span>Pages liées</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Suivi_des_liens/Combinatoire" rel="nofollow" title="Liste des modifications récentes des pages appelées par celle-ci [k]" accesskey="k"><span>Suivi des pages liées</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Aide:Importer_un_fichier" title="Téléverser des fichiers [u]" accesskey="u"><span>Téléverser un fichier</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Pages_sp%C3%A9ciales" title="Liste de toutes les pages spéciales [q]" accesskey="q"><span>Pages spéciales</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&oldid=219953308" title="Adresse permanente de cette version de cette page"><span>Lien permanent</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=info" title="Davantage d’informations sur cette page"><span>Informations sur la page</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Citer&page=Combinatoire&id=219953308&wpFormIdentifier=titleform" title="Informations sur la manière de citer cette page"><span>Citer cette page</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:UrlQ%C4%B1sald%C4%B1c%C4%B1s%C4%B1&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FCombinatoire"><span>Obtenir l'URL raccourcie</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:QrKodu&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FCombinatoire"><span>Télécharger le code QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimer / exporter </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Livre&bookcmd=book_creator&referer=Combinatoire"><span>Créer un livre</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:DownloadAsPdf&page=Combinatoire&action=show-download-screen"><span>Télécharger comme PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&printable=yes" title="Version imprimable de cette page [p]" accesskey="p"><span>Version imprimable</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> Dans d’autres projets </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Combinatorics" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikiversity mw-list-item"><a href="https://fr.wikiversity.org/wiki/Combinatoire" hreflang="fr"><span>Wikiversité</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q76592" title="Lien vers l’élément dans le dépôt de données connecté [g]" accesskey="g"><span>Élément Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><div class="bandeau-container metadata homonymie hatnote"><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Aide:Homonymie" title="Aide:Homonymie"><img alt="Page d’aide sur l’homonymie" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/20px-Logo_disambig.svg.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/30px-Logo_disambig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/40px-Logo_disambig.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="375" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p>Pour les articles homonymes, voir <a href="/wiki/Combinatoire_(homonymie)" class="mw-disambig" title="Combinatoire (homonymie)">combinatoire (homonymie)</a>. </p> </div></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Encyclopedie_volume_1-262.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Encyclopedie_volume_1-262.png/250px-Encyclopedie_volume_1-262.png" decoding="async" width="250" height="338" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Encyclopedie_volume_1-262.png/375px-Encyclopedie_volume_1-262.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Encyclopedie_volume_1-262.png/500px-Encyclopedie_volume_1-262.png 2x" data-file-width="2592" data-file-height="3508" /></a><figcaption>Une planche de l'<a href="/wiki/Encyclop%C3%A9die_ou_Dictionnaire_raisonn%C3%A9_des_sciences,_des_arts_et_des_m%C3%A9tiers" title="Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers"><i>Encyclopédie</i></a> de <a href="/wiki/Diderot" class="mw-redirect" title="Diderot">Diderot</a> et d'<a href="/wiki/Alembert" class="mw-redirect" title="Alembert">Alembert</a> illustrant l'article « Carreleur ».</figcaption></figure> <p>En <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, la <b>combinatoire</b>, appelée aussi <b>analyse combinatoire</b>, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les <a href="/wiki/Combinaison_sans_r%C3%A9p%C3%A9tition" title="Combinaison sans répétition">combinaisons</a> d'<a href="/wiki/Ensemble_fini" title="Ensemble fini">ensembles finis</a>, et les dénombrements. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Généralités_et_historique"><span id="G.C3.A9n.C3.A9ralit.C3.A9s_et_historique"></span>Généralités et historique</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Généralités et historique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Généralités et historique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La combinatoire est en fait présente dans toute l'antiquité en Inde et en Chine. <a href="/wiki/Donald_Knuth" title="Donald Knuth">Donald Knuth</a>, dans le volume 4A « Combinatorial Algorithms » de <i><a href="/wiki/The_Art_of_Computer_Programming" title="The Art of Computer Programming">The Art of Computer Programming</a></i><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> parle de la génération de <a href="/wiki/N-uplet" class="mw-redirect" title="N-uplet">n-uplets</a> ; il dit que la génération de motifs combinatoires «a commencé alors que la civilisation elle-même prenait forme» (<i>« began as civilization itself was taking shape»</i>). La présence de listes de n-uplets binaires peut être retracée durant des milliers d’années jusqu’en Chine, Inde et Grèce ; on en trouve au <abbr class="abbr" title="Troisième">III<sup>e</sup></abbr> millénaire. </p><p>Un résultat de combinatoire plus sophistiqué, remontant à l'<a href="/wiki/Antiquit%C3%A9" title="Antiquité">Antiquité</a> grecque<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, est attesté par l'anecdote suivante : <a href="/wiki/Plutarque" title="Plutarque">Plutarque</a> rapporte, dans les <i>Propos de table</i>, une assertion de <a href="/wiki/Chrysippe_de_Soles" title="Chrysippe de Soles">Chrysippe</a> <span class="citation">« contredite par tous les mathématiciens, et entre autres par <a href="/wiki/Hipparque_(astronome)" title="Hipparque (astronome)">Hipparque</a><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> »</span>, sur le nombre de façons de combiner dix propositions. Hipparque savait que le nombre de « propositions composées positives » que l'on peut former à partir de dix propositions simples est 103 049, et que le nombre de propositions négatives est 310 952. Cette affirmation est restée inexpliquée jusqu'en 1994, quand David Hough, un étudiant de l'<a href="/wiki/Universit%C3%A9_George-Washington" title="Université George-Washington">université George-Washington</a>, observe qu'il y a 103 049 façons de parenthéser une suite de dix éléments<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-stan-ec_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-stan-ec-6"><span class="cite_crochet">[</span>6<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-stan-amm_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-stan-amm-7"><span class="cite_crochet">[</span>7<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-acerbi_8-0" class="reference"><a href="#cite_note-acerbi-8"><span class="cite_crochet">[</span>8<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Une explication semblable peut être donnée pour le deuxième nombre : il est très proche de <span class="nowrap">(103 049 + 518 859)/2 = 310 954</span>, qui est la moyenne des dixième et onzième <a href="/wiki/Nombre_de_Schr%C3%B6der-Hipparque" title="Nombre de Schröder-Hipparque">nombres de Schröder-Hipparque</a>, et qui compte le nombre de parenthésages de dix termes avec un signe<sup id="cite_ref-acerbi_8-1" class="reference"><a href="#cite_note-acerbi-8"><span class="cite_crochet">[</span>8<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Parmi les autres précurseurs, on peut citer le mathématicien indien du <abbr class="abbr" title="6ᵉ siècle"><span class="romain">VI</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle <a href="/wiki/Varahamihira#Contributions_aux_sciences" title="Varahamihira">Varāhamihira</a><sup id="cite_ref-varamihira_9-0" class="reference"><a href="#cite_note-varamihira-9"><span class="cite_crochet">[</span>9<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> (<i>k</i> parmi <i>n</i> avec exemple de 4 parmi 16), <a href="/wiki/Bh%C4%81skara_II" title="Bhāskara II">Bhāskara II</a><sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite_crochet">[</span>10<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> au <abbr class="abbr" title="12ᵉ siècle"><span class="romain">XII</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle (nombre de choix de <i>p</i> éléments parmi <i>n</i>). </p><p>Parmi les mathématiciens de langue arabe, on peut citer <a href="/wiki/Ahmad_Ibn_Mun%27im" title="Ahmad Ibn Mun'im">Ahmad Ibn Mun'im</a>, mathématicien <a href="/wiki/Maroc" title="Maroc">marocain</a> de la fin du <a href="/wiki/XIIe_si%C3%A8cle" title="XIIe siècle"><abbr class="abbr" title="12ᵉ siècle"><span class="romain">XII</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr></a> et du début du <a href="/wiki/XIIIe_si%C3%A8cle" title="XIIIe siècle"><abbr class="abbr" title="13ᵉ siècle"><span class="romain">XIII</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr></a> siècle<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite_crochet">[</span>11<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite_crochet">[</span>12<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite_crochet">[</span>13<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> et le mathématicien de <a href="/wiki/Marrakech" title="Marrakech">Marrakech</a>, <a href="/wiki/Ibn_al-Banna%27_al-Marrakushi" title="Ibn al-Banna' al-Marrakushi">Ibn Al-Banna</a>, qui propose une approche arithmétique en établissant une relation explicite entre les expressions combinatoires et les sommes de suites finies d'entiers ou les éléments du tableau des <a href="/wiki/Nombre_figur%C3%A9" title="Nombre figuré">nombres figurés</a> (trigone, décagone, etc..)<sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite_crochet">[</span>14<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>En Europe, on compte les apports de <a href="/wiki/Raymond_Lulle" title="Raymond Lulle">Raymond Lulle</a> au <abbr class="abbr" title="13ᵉ siècle"><span class="romain">XIII</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle, <a href="/wiki/Gersonide" title="Gersonide">Gersonide</a> au début du <abbr class="abbr" title="14ᵉ siècle"><span class="romain">XIV</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle (rapport entre le nombre d'arrangements et le nombre de combinaisons), <a href="/wiki/Michael_Stifel" title="Michael Stifel">Michael Stifel</a> au <abbr class="abbr" title="16ᵉ siècle"><span class="romain">XVI</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle (première approche du <a href="/wiki/Triangle_de_Pascal" title="Triangle de Pascal">triangle de Pascal</a>). Elle se développe de façon significative à partir du <a href="/wiki/XVIIe_si%C3%A8cle" title="XVIIe siècle"><abbr class="abbr" title="17ᵉ siècle"><span class="romain">XVII</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle</a>, en même temps que le calcul des <a href="/wiki/Probabilit%C3%A9s" class="mw-redirect" title="Probabilités">probabilités</a>, avec <a href="/wiki/Blaise_Pascal" title="Blaise Pascal">Blaise Pascal</a> et <a href="/wiki/Pierre_de_Fermat" title="Pierre de Fermat">Pierre de Fermat</a>. Initialement, elle avait pour objet la résolution des problèmes de dénombrement, provenant de l'étude des jeux de hasard. Plus tard, elle se lia à la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_nombres" title="Théorie des nombres">théorie des nombres</a> et à la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_graphes" title="Théorie des graphes">théorie des graphes</a>. </p><p>En particulier, la combinatoire s'intéresse aux méthodes permettant de compter les éléments dans des ensembles finis (combinatoire énumérative) et à la recherche des optima dans les configurations ainsi qu'à leur existence (<a href="/wiki/Combinatoire_extr%C3%A9male" title="Combinatoire extrémale">combinatoire extrémale</a>). </p><p>Voici quelques exemples de situations donnant lieu à des questions d'analyse combinatoire : </p> <ul><li>les rangements de livres sur une étagère ;</li> <li>les dispositions de personnes autour d'une table ronde ;</li> <li>les tirages avec remise d'un certain nombre de boules numérotées dans une urne ;</li> <li>les placements de jetons sur un damier ;</li> <li>le nombre d'ordonnancements possibles des cartes d'un jeu de 52 cartes.<br />Dans ce dernier exemple, le nombre est égal à 52! (le « ! » dénotant la <a href="/wiki/Factorielle" title="Factorielle">factorielle</a>). Il peut sembler étonnant que ce nombre, environ 8,065817517094  × 10<sup>67</sup>, soit si grand. C'est environ 8 suivi de 67 zéros. Il est, par exemple, beaucoup plus grand que le <a href="/wiki/Nombre_d%27Avogadro" title="Nombre d'Avogadro">nombre d'Avogadro</a>, égal à 6,022  × 10<sup>23</sup>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Domaines_de_la_combinatoire">Domaines de la combinatoire</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Domaines de la combinatoire" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Domaines de la combinatoire"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Combinatoire_énumérative"><span id="Combinatoire_.C3.A9num.C3.A9rative"></span>Combinatoire énumérative</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Combinatoire énumérative" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Combinatoire énumérative"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Catalan_4_leaves_binary_tree_example.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Catalan_4_leaves_binary_tree_example.svg/440px-Catalan_4_leaves_binary_tree_example.svg.png" decoding="async" width="440" height="61" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Catalan_4_leaves_binary_tree_example.svg/660px-Catalan_4_leaves_binary_tree_example.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Catalan_4_leaves_binary_tree_example.svg/880px-Catalan_4_leaves_binary_tree_example.svg.png 2x" data-file-width="650" data-file-height="90" /></a><figcaption>Cinq <a href="/wiki/Arbre_binaire" title="Arbre binaire">arbres binaires</a> à trois <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_graphes" title="Théorie des graphes">sommets</a>, un exemple de <a href="/wiki/Nombre_de_Catalan" title="Nombre de Catalan">nombre de Catalan</a>.</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/D%C3%A9nombrement" title="Dénombrement">Dénombrement</a>.</div></div> <p>La combinatoire énumérative est le domaine le plus classique de la combinatoire, et s'intéresse au dénombrement de certains objets combinatoires. Même si le dénombrement des éléments d'un ensemble est un problème mathématique plutôt vaste, de nombreux problèmes qui se présentent dans diverses applications ont des descriptions combinatoires plutôt simples. La suite des <a href="/wiki/Suite_de_Fibonacci" title="Suite de Fibonacci">nombres de Fibonacci</a> est un exemple de base d'un problème de combinatoire énumérative. Il existe un modèle appelé en anglais <i><a href="/w/index.php?title=Twelvefold_way&action=edit&redlink=1" class="new" title="Twelvefold way (page inexistante)">Twelvefold way</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Twelvefold_way" class="extiw" title="en:Twelvefold way"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Twelvefold way »">(en)</span></a></i> qui constitue un cadre unifié pour les problèmes de dénombrement des <a href="/wiki/Permutation" title="Permutation">permutations</a>, <a href="/wiki/Combinaison_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Combinaison (mathématiques)">combinaisons</a> et <a href="/wiki/Partition_d%27un_ensemble" title="Partition d'un ensemble">partitions</a>. </p><p>La combinatoire moderne comporte de nombreux champs très développés, et utilise des outils puissants empruntés à des branches mathématiques parfois inattendues ; on distingue ainsi : </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorie_combinatoire_des_nombres"><span id="Th.C3.A9orie_combinatoire_des_nombres"></span>Théorie combinatoire des nombres</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Théorie combinatoire des nombres" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Théorie combinatoire des nombres"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/w/index.php?title=Combinatoire_arithm%C3%A9tique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Combinatoire arithmétique (page inexistante)">combinatoire arithmétique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/arithmetic_combinatorics" class="extiw" title="en:arithmetic combinatorics"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « arithmetic combinatorics »">(en)</span></a>.</div></div> <p>La <i>théorie combinatoire des nombres</i> (ou <i>combinatoire arithmétique</i>) s'occupe des problèmes de <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_nombres" title="Théorie des nombres">théorie des nombres</a> qui impliquent les idées combinatoires dans leurs formulations ou leurs solutions. <a href="/wiki/Paul_Erd%C5%91s" title="Paul Erdős">Paul Erdős</a> est le principal fondateur de cette branche de la théorie des nombres. Les sujets caractéristiques incluent les <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_couvrant" title="Système couvrant">systèmes couvrants</a>, les <a href="/wiki/Jeu_%C3%A0_somme_nulle" title="Jeu à somme nulle">jeux à somme nulle</a>, diverses sommes d'ensembles restreintes et des <a href="/wiki/Suite_arithm%C3%A9tique" title="Suite arithmétique">progressions arithmétiques</a> dans l'ensemble des entiers. Les méthodes algébriques ou analytiques sont puissantes dans ce champ d'étude. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Combinatoire_des_mots">Combinatoire des mots</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Combinatoire des mots" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Combinatoire des mots"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Morse-Thue_sequence.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Morse-Thue_sequence.gif/220px-Morse-Thue_sequence.gif" decoding="async" width="220" height="39" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Morse-Thue_sequence.gif 1.5x" data-file-width="318" data-file-height="57" /></a><figcaption>Construction de la <a href="/wiki/Suite_de_Prouhet-Thue-Morse" title="Suite de Prouhet-Thue-Morse">suite de Prouhet-Thue-Morse</a>.</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Combinatoire_des_mots" title="Combinatoire des mots">Combinatoire des mots</a>.</div></div> <p>La <i>combinatoire des mots</i> applique la combinatoire aux <a href="/wiki/Mot_(math%C3%A9matiques)" title="Mot (mathématiques)">mots</a> finis ou infinis. Cette branche s'est développée à partir de plusieurs branches des mathématiques : la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_nombres" title="Théorie des nombres">théorie des nombres</a>, la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes" title="Théorie des groupes">théorie des groupes</a>, les <a href="/wiki/Probabilit%C3%A9" title="Probabilité">probabilités</a> et bien sûr la combinatoire. Elle a des liens avec divers thèmes informatiques, comme la <a href="/wiki/Algorithme_de_recherche_de_sous-cha%C3%AEne" title="Algorithme de recherche de sous-chaîne">recherche de motifs</a> dans un texte ou la <a href="/wiki/Compression_de_donn%C3%A9es" title="Compression de données">compression</a> de textes. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Combinatoire_algébrique"><span id="Combinatoire_alg.C3.A9brique"></span>Combinatoire algébrique</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Combinatoire algébrique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Combinatoire algébrique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Combinatoire_alg%C3%A9brique" title="Combinatoire algébrique">Combinatoire algébrique</a>.</div></div> <p>La <i>combinatoire algébrique</i> est une discipline qui traite de l'étude des <a href="/wiki/Structure_alg%C3%A9brique" title="Structure algébrique">structures algébriques</a> par des techniques <a href="/wiki/Algorithme" title="Algorithme">algorithmiques</a> et combinatoires, comme notamment illustré par les travaux de <a href="/wiki/Marcel-Paul_Sch%C3%BCtzenberger" title="Marcel-Paul Schützenberger">Marcel-Paul Schützenberger</a>, <a href="/wiki/Alain_Lascoux" title="Alain Lascoux">Alain Lascoux</a>, <a href="/wiki/Dominique_Foata" title="Dominique Foata">Dominique Foata</a> et <a href="/wiki/Richard_Peter_Stanley" title="Richard Peter Stanley">Richard Stanley</a>. L'intérêt de la <a href="/wiki/Combinatoire_alg%C3%A9brique" title="Combinatoire algébrique">combinatoire algébrique</a> vient du fait que la plupart des structures en algèbre abstraite sont soit finies, soit engendrées par un ensemble fini d'éléments, ce qui rend possible leur manipulation de manière algorithmique. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Combinatoire_analytique">Combinatoire analytique</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : Combinatoire analytique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : Combinatoire analytique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Combinatoire_analytique" title="Combinatoire analytique">Combinatoire analytique</a>.</div></div> <p>La <i>combinatoire analytique</i> (en <a href="/wiki/Anglais" title="Anglais">anglais</a> : <span class="lang-en" lang="en">analytic combinatorics</span>) est un ensemble de techniques décrivant des problèmes combinatoires dans le langage des <a href="/wiki/S%C3%A9rie_g%C3%A9n%C3%A9ratrice" title="Série génératrice">séries génératrices</a>, et s'appuyant en particulier sur l'<a href="/wiki/Analyse_complexe" title="Analyse complexe">analyse complexe</a> pour obtenir des résultats <a href="/wiki/Comportement_asymptotique" class="mw-redirect" title="Comportement asymptotique">asymptotiques</a> sur les objets combinatoires initiaux. Les résultats de <a href="/wiki/Combinatoire_analytique" title="Combinatoire analytique">combinatoire analytique</a> permettent notamment une analyse fine de la <a href="/wiki/Analyse_de_la_complexit%C3%A9_des_algorithmes" title="Analyse de la complexité des algorithmes">complexité</a> de certains <a href="/wiki/Algorithme" title="Algorithme">algorithmes</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Combinatoire_probabiliste">Combinatoire probabiliste</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Combinatoire probabiliste" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Combinatoire probabiliste"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/M%C3%A9thode_probabiliste" title="Méthode probabiliste">Méthode probabiliste</a>.</div></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Self_avoiding_walk.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5b/Self_avoiding_walk.svg/220px-Self_avoiding_walk.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5b/Self_avoiding_walk.svg/330px-Self_avoiding_walk.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5b/Self_avoiding_walk.svg/440px-Self_avoiding_walk.svg.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="800" /></a><figcaption>Chemin sans contact dans une grille.</figcaption></figure> <p>La <i>combinatoire probabiliste</i> ou <i>méthode probabiliste</i> est une méthode <a href="/wiki/D%C3%A9monstration_constructive" title="Démonstration constructive">non constructive</a>, initialement utilisée en combinatoire et lancée par <a href="/wiki/Paul_Erd%C5%91s" title="Paul Erdős">Paul Erdős</a>, pour démontrer l'existence d'un type donné d'objet <a href="/wiki/Math%C3%A9matique" class="mw-redirect" title="Mathématique">mathématique</a>. Cette méthode a été appliquée à d'autres domaines des mathématiques tels que la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_nombres" title="Théorie des nombres">théorie des nombres</a>, l'<a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire" title="Algèbre linéaire">algèbre linéaire</a> et l'<a href="/wiki/Analyse_r%C3%A9elle" title="Analyse réelle">analyse réelle</a>. Son principe est de montrer que si l'on choisit au hasard des objets d'une catégorie, la <a href="/wiki/Probabilit%C3%A9" title="Probabilité">probabilité</a> que le résultat soit d'un certain type est plus que zéro. Bien que la démonstration utilise la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_probabilit%C3%A9s" title="Théorie des probabilités">théorie des probabilités</a>, la conclusion finale est déterminée <i>de façon certaine</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Combinatoire_topologique">Combinatoire topologique</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Combinatoire topologique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Combinatoire topologique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Combinatoire_topologique" title="Combinatoire topologique">Combinatoire topologique</a>.</div></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Collier-de-perles-rouge-vert.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Collier-de-perles-rouge-vert.svg/220px-Collier-de-perles-rouge-vert.svg.png" decoding="async" width="220" height="224" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Collier-de-perles-rouge-vert.svg/330px-Collier-de-perles-rouge-vert.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Collier-de-perles-rouge-vert.svg/440px-Collier-de-perles-rouge-vert.svg.png 2x" data-file-width="1192" data-file-height="1212" /></a><figcaption><a href="/wiki/Probl%C3%A8me_du_partage_d%27un_collier" title="Problème du partage d'un collier">Partage d'un collier</a> en deux coupes.</figcaption></figure> <p>En combinatoire topologique, on utilise des concepts et méthodes de la <a href="/wiki/Topologie" title="Topologie">topologie</a> dans l'étude de problèmes comme la <a href="/wiki/Coloration_de_graphe" title="Coloration de graphe">coloration de graphe</a>, le <a href="/wiki/Partage_%C3%A9quitable" title="Partage équitable">partage équitable</a>, la <a href="/wiki/Partition_d%27un_ensemble" title="Partition d'un ensemble">partition d'un ensemble</a>, les <a href="/wiki/Poset" class="mw-redirect" title="Poset">posets</a> (ensembles partiellement ordonnés), les <a href="/wiki/Arbre_de_d%C3%A9cision" title="Arbre de décision">arbres de décision</a>, le <a href="/wiki/Probl%C3%A8me_du_partage_d%27un_collier" title="Problème du partage d'un collier">problème du partage d'un collier</a> ou la <a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_de_Morse_discr%C3%A8te&action=edit&redlink=1" class="new" title="Théorie de Morse discrète (page inexistante)">théorie de Morse discrète</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Morse_theory" class="extiw" title="en:Discrete Morse theory"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Discrete Morse theory »">(en)</span></a>. Ne pas confondre avec la <a href="/wiki/Topologie_combinatoire" title="Topologie combinatoire">topologie combinatoire</a> qui est une ancienne dénomination pour <a href="/wiki/Topologie_alg%C3%A9brique" title="Topologie algébrique">topologie algébrique</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Combinatoire_géométrique"><span id="Combinatoire_g.C3.A9om.C3.A9trique"></span>Combinatoire géométrique</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Combinatoire géométrique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Combinatoire géométrique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Icosahedron.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Icosahedron.svg/220px-Icosahedron.svg.png" decoding="async" width="220" height="211" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Icosahedron.svg/330px-Icosahedron.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Icosahedron.svg/440px-Icosahedron.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="492" /></a><figcaption><a href="/wiki/Icosa%C3%A8dre" title="Icosaèdre">Icosaèdre</a>.</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Combinatoire_g%C3%A9om%C3%A9trique" title="Combinatoire géométrique">Combinatoire géométrique</a>.</div></div> <p>La <i>combinatoire géométrique</i> inclut un certain nombre de thèmes comme la combinatoire des polyèdres (étude des <a href="/wiki/Face_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Face (géométrie)">faces</a> de polyèdres convexes), la géométrie convexe (étude des <a href="/wiki/Ensemble_convexe" title="Ensemble convexe">ensembles convexes</a>, en particulier la combinatoire de leurs intersections), et la <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_discr%C3%A8te" title="Géométrie discrète">géométrie discrète</a>, qui à son tour a de nombreuses applications en <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_algorithmique" title="Géométrie algorithmique">géométrie algorithmique</a>. D'autres domaines important sont la <a href="/wiki/Espace_m%C3%A9trique" title="Espace métrique">géométrie métrique</a> des <a href="/wiki/Poly%C3%A8dre" title="Polyèdre">polyèdres</a>, tels que le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cauchy_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Théorème de Cauchy (géométrie)">théorème de Cauchy</a> sur la rigidité des polytopes convexes. L'étude des <a href="/wiki/Polytope_r%C3%A9gulier" title="Polytope régulier">polytopes réguliers</a>, des <a href="/wiki/Solide_d%27Archim%C3%A8de" title="Solide d'Archimède">solides d'Archimède</a>, ou des <a href="/wiki/Kissing_number" class="mw-redirect" title="Kissing number">kissing numbers</a> font également partie de la combinatoire géométrique. Des polytopes particuliers sont aussi considérés, comme le <a href="/wiki/Permuto%C3%A8dre" class="mw-redirect" title="Permutoèdre">permutoèdre</a>, l'<a href="/wiki/Associa%C3%A8dre" title="Associaèdre">associaèdre</a> et le <a href="/w/index.php?title=Polytope_de_Birkhoff&action=edit&redlink=1" class="new" title="Polytope de Birkhoff (page inexistante)">polytope de Birkhoff</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Birkhoff_polytope" class="extiw" title="en:Birkhoff polytope"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Birkhoff polytope »">(en)</span></a> (sur les <a href="/wiki/Matrice_bistochastique" title="Matrice bistochastique">matrices bistochastiques</a>). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Combinatoire_extrémale_et_Théorie_de_Ramsey"><span id="Combinatoire_extr.C3.A9male_et_Th.C3.A9orie_de_Ramsey"></span>Combinatoire extrémale et Théorie de Ramsey</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Combinatoire extrémale et Théorie de Ramsey" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Combinatoire extrémale et Théorie de Ramsey"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Ramsey" title="Théorie de Ramsey">Théorie de Ramsey</a>.</div></div> <p>La <i>théorie de Ramsey</i>, portant le nom de <a href="/wiki/Frank_Ramsey" title="Frank Ramsey">Frank Ramsey</a>, tente typiquement de répondre à des questions de la forme : « combien d'éléments d'une certaine structure doivent être considérés pour qu'une propriété particulière se vérifie ? » Un exemple type est le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Ramsey" title="Théorème de Ramsey">théorème de Ramsey</a> qui affirme que, pour tout entier <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span>, tout <a href="/wiki/Graphe_complet" title="Graphe complet">graphe complet</a> suffisamment grand dont les <a href="/wiki/Graphe_(math%C3%A9matiques_discr%C3%A8tes)" title="Graphe (mathématiques discrètes)">arêtes</a> sont colorées contient des sous-graphes complets de taille <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> d'une seule couleur. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Domaines_connexes">Domaines connexes</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Domaines connexes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Domaines connexes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>De plus, on rencontre des outils combinatoires dans les domaines suivants : </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorie_des_graphes"><span id="Th.C3.A9orie_des_graphes"></span>Théorie des graphes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Théorie des graphes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Théorie des graphes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Petersen1_tiny.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Petersen1_tiny.svg/220px-Petersen1_tiny.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Petersen1_tiny.svg/330px-Petersen1_tiny.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Petersen1_tiny.svg/440px-Petersen1_tiny.svg.png 2x" data-file-width="220" data-file-height="220" /></a><figcaption><a href="/wiki/Graphe_de_Petersen" title="Graphe de Petersen">Graphe de Petersen</a>.</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_graphes" title="Théorie des graphes">Théorie des graphes</a>.</div></div> <p>La <i>théorie des graphes</i> est une théorie <a href="/wiki/Informatique" title="Informatique">informatique</a> et <a href="/wiki/Math%C3%A9matique" class="mw-redirect" title="Mathématique">mathématique</a>. Les <a href="/wiki/Liste_des_algorithmes_de_la_th%C3%A9orie_des_graphes" title="Liste des algorithmes de la théorie des graphes">algorithmes élaborés</a> pour résoudre des problèmes concernant les <a href="/wiki/Lexique_de_la_th%C3%A9orie_des_graphes" class="mw-redirect" title="Lexique de la théorie des graphes">objets de cette théorie</a> ont de nombreuses applications dans tous les domaines liés à la notion de réseau et dans bien d'autres domaines, tant le concept de graphe est général. De grands théorèmes difficiles, comme le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_quatre_couleurs" title="Théorème des quatre couleurs">théorème des quatre couleurs</a>, le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_graphes_parfaits" title="Théorème des graphes parfaits">théorème des graphes parfaits</a>, ou encore le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Robertson-Seymour" title="Théorème de Robertson-Seymour">théorème de Robertson-Seymour</a>, ont contribué à asseoir cette matière auprès des mathématiciens, et les questions qu'elle laisse ouvertes, comme la <a href="/wiki/Conjecture_d%27Hadwiger" class="mw-redirect" title="Conjecture d'Hadwiger">conjecture d'Hadwiger</a>, en font une branche vivace des <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques_discr%C3%A8tes" title="Mathématiques discrètes">mathématiques discrètes</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorie_des_partitions"><span id="Th.C3.A9orie_des_partitions"></span>Théorie des partitions</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Théorie des partitions" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Théorie des partitions"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Ferrer_partitioning_diagrams.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/Ferrer_partitioning_diagrams.svg/220px-Ferrer_partitioning_diagrams.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/Ferrer_partitioning_diagrams.svg/330px-Ferrer_partitioning_diagrams.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d8/Ferrer_partitioning_diagrams.svg/440px-Ferrer_partitioning_diagrams.svg.png 2x" data-file-width="430" data-file-height="430" /></a><figcaption><a href="/wiki/Diagramme_de_Ferrers" class="mw-redirect" title="Diagramme de Ferrers">Diagrammes de Ferrers</a> des partitions des entiers jusqu'à 8.</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Partition_d%27un_entier" title="Partition d'un entier">Partition d'un entier</a>.</div></div> <p>La théorie des partitions étudie divers problèmes d'énumération et de comportement asymptotique liés aux <a href="/wiki/Partition_d%27un_entier" title="Partition d'un entier">partitions d'un entier</a>, et a des relations étroites avec les <a href="/wiki/Q-analogue" title="Q-analogue">q-analogues</a>, les <a href="/wiki/Fonction_sp%C3%A9ciale" title="Fonction spéciale">fonctions spéciales</a> et les <a href="/wiki/Polyn%C3%B4mes_orthogonaux" class="mw-redirect" title="Polynômes orthogonaux">polynômes orthogonaux</a>. Au départ, elle fait partie de la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_nombres" title="Théorie des nombres">théorie des nombres</a> et de l'<a href="/wiki/Analyse_(math%C3%A9matiques)" title="Analyse (mathématiques)">analyse</a>. Elle est considérée maintenant comme une partie de la combinatoire, ou comme un domaine indépendant. Elle utilise l'approche par <a href="/wiki/Preuve_bijective" class="mw-redirect" title="Preuve bijective">preuve par bijection</a> et emploie divers outils d'analyse, de <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_analytique_des_nombres" title="Théorie analytique des nombres">théorie analytique des nombres</a>, et a des connexions avec la <a href="/wiki/Physique_statistique" title="Physique statistique">physique statistique</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorie_des_matroïdes"><span id="Th.C3.A9orie_des_matro.C3.AFdes"></span>Théorie des matroïdes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=15" title="Modifier la section : Théorie des matroïdes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=15" title="Modifier le code source de la section : Théorie des matroïdes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Matro%C3%AFde" title="Matroïde">Matroïde</a>.</div></div> <p>Un <i>matroïde</i> est un objet mathématiques introduit en 1935 par <a href="/wiki/Hassler_Whitney" title="Hassler Whitney">Whitney</a>, qui a pour vocation initiale de saisir l'essence du concept d'<a href="/wiki/Ind%C3%A9pendance_lin%C3%A9aire" title="Indépendance linéaire">indépendance linéaire</a>. Elle est donc naturellement liée à l'<a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire" title="Algèbre linéaire">algèbre linéaire</a> et aussi à la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_graphes" title="Théorie des graphes">théorie des graphes</a> et à la <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Géométrie">géométrie</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Théorie_des_ordres"><span id="Th.C3.A9orie_des_ordres"></span>Théorie des ordres</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=16" title="Modifier la section : Théorie des ordres" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=16" title="Modifier le code source de la section : Théorie des ordres"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Hypercubeorder_binary.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Hypercubeorder_binary.svg/220px-Hypercubeorder_binary.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Hypercubeorder_binary.svg/330px-Hypercubeorder_binary.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Hypercubeorder_binary.svg/440px-Hypercubeorder_binary.svg.png 2x" data-file-width="360" data-file-height="360" /></a><figcaption><a href="/wiki/Hypercube_(graphe)" title="Hypercube (graphe)">Hypercube</a>.</figcaption></figure> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Relation_d%27ordre" title="Relation d'ordre">Relation d'ordre</a>.</div></div> <p>Un <b>poset</b> (de l'anglais <i>partially ordered set</i>, en français "ensemble partiellement ordonné") formalise et généralise la notion intuitive d'ordre ou d'arrangement entre les éléments d'un <a href="/wiki/Ensemble" title="Ensemble">ensemble</a>. Un poset est un ensemble muni d'une <a href="/wiki/Relation_d%27ordre" title="Relation d'ordre">relation d'ordre</a> qui indique que pour certains couples d'éléments, l'un est plus petit que l'autre. Tous les éléments ne sont pas forcément comparables, contrairement au cas d'un ensemble muni d'un <a href="/wiki/Ordre_total" title="Ordre total">ordre total</a>. Si l'ensemble est fini, on dispose d'une représentation graphique du poset, qui est <a href="/wiki/Diagramme_de_Hasse" title="Diagramme de Hasse">diagramme de Hasse</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Plans_en_blocs">Plans en blocs</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=17" title="Modifier la section : Plans en blocs" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=17" title="Modifier le code source de la section : Plans en blocs"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/Design_combinatoire" title="Design combinatoire">design combinatoire</a> et <a href="/wiki/Plan_en_blocs" title="Plan en blocs">plan en blocs</a>.</div></div> <p>Un <b><a href="/wiki/Plan_en_blocs" title="Plan en blocs">plan en blocs</a></b> (en anglais <span class="citation not_fr_quote" lang="en">« <span class="italique">block design</span> »</span>) est un cas particulier des <b>systèmes de blocs</b> : il est formé d'un ensemble muni d'une famille de sous-ensembles (distincts ou non selon les cas). Ces sous-ensembles sont choisis de manière à satisfaire certaines propriétés correspondant à une application particulière. Les applications viennent de domaines varies, y compris les <a href="/wiki/Plan_d%27exp%C3%A9rience" class="mw-redirect" title="Plan d'expérience">plans d'expérience</a>, <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_finie" title="Géométrie finie">géométrie finie</a>, <a href="/wiki/Test_(informatique)" title="Test (informatique)">test de logiciel</a>, <a href="/wiki/Cryptographie" title="Cryptographie">cryptographie</a>, et <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique" title="Géométrie algébrique">géométrie algébrique</a>. De nombreuses variantes ont été étudiées, les plus considérés sont les <i>plans en blocs incomplets équilibrés</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Séries_génératrices"><span id="S.C3.A9ries_g.C3.A9n.C3.A9ratrices"></span>Séries génératrices</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=18" title="Modifier la section : Séries génératrices" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=18" title="Modifier le code source de la section : Séries génératrices"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/S%C3%A9rie_g%C3%A9n%C3%A9ratrice" title="Série génératrice">Série génératrice</a>.</div></div> <p>Une <i>série génératrice</i> est une <a href="/wiki/S%C3%A9rie_formelle" title="Série formelle">série formelle</a> dont les <a href="/wiki/Coefficient" title="Coefficient">coefficients</a> codent une <a href="/wiki/Suite_(math%C3%A9matiques)" title="Suite (mathématiques)">suite</a> de nombres (ou plus généralement de <a href="/wiki/Polyn%C3%B4me" title="Polynôme">polynômes</a>, etc.). Il existe plusieurs sortes de séries génératrices, comme les <i>séries génératrices exponentielles</i>, les <i><a href="/wiki/S%C3%A9rie_de_Lambert" title="Série de Lambert">séries de Lambert</a></i>, les <i><a href="/wiki/S%C3%A9rie_de_Dirichlet" title="Série de Dirichlet">séries de Dirichlet</a></i>, etc. On peut associer à toute suite une série génératrice de chaque type, mais la facilité de manipulation de la série dépend considérablement de la nature de la suite associée, et du problème qu'on cherche à étudier. L'intérêt des séries est qu'il est souvent possible d'étudier une suite donnée à l'aide de manipulations formelles de la série génératrice associée, ainsi qu'en utilisant les <a href="/wiki/Analyse_(math%C3%A9matiques)" title="Analyse (mathématiques)">propriétés analytiques</a> de la fonction somme de la série. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Permutations_(dispositions,_ordonnancements)"><span id="Permutations_.28dispositions.2C_ordonnancements.29"></span>Permutations (dispositions, ordonnancements)</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=19" title="Modifier la section : Permutations (dispositions, ordonnancements)" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=19" title="Modifier le code source de la section : Permutations (dispositions, ordonnancements)"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les deux sections qui suivent sont une présentation détaillée et élémentaire de quelques notions et théorèmes de base. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Permutations_sans_répétition_d'objets_discernables"><span id="Permutations_sans_r.C3.A9p.C3.A9tition_d.27objets_discernables"></span>Permutations sans répétition d'objets discernables</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=20" title="Modifier la section : Permutations sans répétition d'objets discernables" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=20" title="Modifier le code source de la section : Permutations sans répétition d'objets discernables"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Permutation" title="Permutation">Permutation</a>.</div></div> <p>Les permutations sans répétition d'un ensemble fini <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> sont les <a href="/wiki/Bijection" title="Bijection">bijections</a> de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> sur lui-même. </p><p>Comme exemple d'introduction, considérons le nombre de dispositions de six objets discernables dans six cases consécutives numérotées avec un et un seul objet par case. Chacun des objets peut être placé dans la première case, ce qui donne six possibilités d'occuper la première place. Une fois la première place occupée par l'un des objets, il reste encore cinq candidats pour la deuxième place, la deuxième place étant attribuée, il reste seulement quatre candidats pour la troisième place, et ainsi de suite. Pour l'avant-dernière place, il ne reste plus que deux objets, et une fois l'un des deux placé, la dernière place doit être occupée par le dernier objet. </p><p>Il y a ainsi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>6</mn> <mo>×</mo> <mn>5</mn> <mo>×</mo> <mn>4</mn> <mo>×</mo> <mn>3</mn> <mo>×</mo> <mn>2</mn> <mo>×</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8bdec209c32c4b558f6bc8d5e2263b72bce7f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:21.177ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}"></span> ou <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6!=720}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>6</mn> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mn>720</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6!=720}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab74be083c8727985fe0387c01c1f93a1a23f115" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.395ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 6!=720}"></span> possibilités de disposer six objets discernables. </p> <dl><dt>Généralisation</dt> <dd></dd></dl> <p>Nous allons voir que le nombre de dispositions de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> éléments discernables est égal à <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae971720be3cc9b8d82f4cdac89cb89877514a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.042ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n!}"></span> </p><p>Une disposition des objets d'un ensemble <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> de cardinal <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span>, dans <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> cases avec un et un seul objet par case, ou un ordonnancement des éléments de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> se représente par une bijection de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ebfec86b3f22a18f086275390917d5aaa2d8c22" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.257ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}"></span> dans <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> ou une permutation de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span>. Il est commode de représenter une telle bijection par un <a href="/wiki/N-uplet" class="mw-redirect" title="N-uplet"><i>n</i>-uplet</a> (ou <i>n</i>-liste) d'éléments de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E,(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>,</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E,(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfb01bd24208de54db5c44bd787d09a06d17130f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.147ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E,(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}"></span> </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Théorème</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Il y a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae971720be3cc9b8d82f4cdac89cb89877514a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.042ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n!}"></span> permutations (sans répétition) de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> éléments. </p> </div> <p>En effet, pour former un <a href="/wiki/N-uplet" class="mw-redirect" title="N-uplet"><i>n</i>-uplet</a> d'éléments de <i>E</i>, nous devons choisir un élément de <i>E</i> pour la première place du <a href="/wiki/N-uplet" class="mw-redirect" title="N-uplet"><i>n</i>-uplet</a> et il y a <i>n</i> possibilités, il y a <i>n</i> - 1 choix possibles d'un élément de <i>E</i> pour la deuxième place, <i>n</i> - 2 pour la troisième, etc. Il n'y a plus qu'un seul choix d'élément pour la dernière place. Donc au total <i>n</i> × (<i>n</i>-1) × (<i>n</i>-2) × … × 2 × 1 permutations. </p><p>Cette propriété se <a href="/wiki/Raisonnement_par_r%C3%A9currence" title="Raisonnement par récurrence">démontre par récurrence</a> sur <i>n</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Permutations_avec_répétition_d'objets_discernables"><span id="Permutations_avec_r.C3.A9p.C3.A9tition_d.27objets_discernables"></span>Permutations avec répétition d'objets discernables</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=21" title="Modifier la section : Permutations avec répétition d'objets discernables" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=21" title="Modifier le code source de la section : Permutations avec répétition d'objets discernables"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Permutation_avec_r%C3%A9p%C3%A9tition" title="Permutation avec répétition">Permutation avec répétition</a>.</div></div> <p>Pour déterminer le nombre des dispositions possibles d'objets de plusieurs classes et mutuellement indiscernables dans chaque classe, il est utile de considérer le nombre de dispositions possibles de ces objets en les supposant tous discernables, et ensuite de trouver combien de ces dispositions sont indiscernables. Le nombre des dispositions possibles de ces objets est égal au nombre de dispositions possibles des objets considérés comme discernables divisé par le nombre des dispositions indiscernables. </p><p>Par exemple, si nous devons déterminer le nombre total de dispositions d'objets dont deux sont d'une première classe, trois d'une deuxième classe et cinq d'une troisième classe, alors nous calculons le nombre total de dispositions de ces objets considérés comme discernables, ce qui donne (2 + 3 + 5)!, soit 3 628 800 dispositions possibles. Mais certaines dispositions restent inchangées lorsque les objets indiscernables d'une même classe sont échangés mutuellement, et il y a 2! × 3! × 5! soit 1 440 façons de permuter les objets de chacune de ces classes. </p><p>Nous obtenons au total 3 628 800 ÷ 1 440 = 2 520 dispositions différentes. Il s'agit aussi du nombre de permutations avec répétition de 10 éléments avec 2, 3 et 5 répétitions. </p> <dl><dt>Généralisation</dt> <dd></dd></dl> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Théorème</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Le nombre de permutations de <i>n</i> éléments, répartis dans <i>k</i> classes dont <i>n</i><sub>1</sub> sont de classe 1, <i>n</i><sub>2</sub> sont de classe 2, …, <i>n</i><sub>k</sub> sont de classe <i>k</i>, indiscernables dans chaque classe, ou le nombre de permutations de <i>n</i> éléments avec <i>n</i><sub>1</sub>, <i>n</i><sub>2</sub>, …, <i>n</i><sub>k</sub> répétitions, avec <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{k}n_{i}=n\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{k}n_{i}=n\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930aa9ffb4cd74d40a09810cb3f7f24866a444ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:14.111ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{k}n_{i}=n\right)}"></span>, est égal à : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\ldots n_{k}!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>!</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>!</mo> <mo>…</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\ldots n_{k}!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e605fa4f8d7cf6d8b536cc9199e3fe420c35c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.655ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\ldots n_{k}!}}}"></span>. </p> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Arrangements_(choix_en_tenant_compte_de_l'ordre)"><span id="Arrangements_.28choix_en_tenant_compte_de_l.27ordre.29"></span>Arrangements (choix en tenant compte de l'ordre)</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=22" title="Modifier la section : Arrangements (choix en tenant compte de l'ordre)" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=22" title="Modifier le code source de la section : Arrangements (choix en tenant compte de l'ordre)"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Arrangements_sans_répétition"><span id="Arrangements_sans_r.C3.A9p.C3.A9tition"></span>Arrangements sans répétition</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=23" title="Modifier la section : Arrangements sans répétition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=23" title="Modifier le code source de la section : Arrangements sans répétition"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Arrangement" title="Arrangement">Arrangement</a>.</div></div> <p>Nous disposons de <i>n</i> objets discernables et nous voulons en placer <i>k</i>, en tenant compte de l'ordre, dans <i>k</i> cases numérotées de 1 à <i>k</i> avec un et un seul objet par case. Le nombre de dispositions est alors égal au nombre de <i>k</i>-listes distinctes formées à partir de ces objets. Au lieu de constituer un <a href="/wiki/N-uplet" class="mw-redirect" title="N-uplet"><i>n</i>-uplet</a>, à partir de <i>n</i> objets discernables, nous formons ici des <a href="/wiki/N-uplet" class="mw-redirect" title="N-uplet"><i>k</i>-uplets</a> avec <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\leq n{\text{,}}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>,</mtext> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\leq n{\text{,}}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb905d74c0cd52adb4e51e016263e89728a4dce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.946ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle k\leq n{\text{,}}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}\right)}"></span> à partir de ces <i>n</i> objets tels que pour <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\neq j}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>≠</mo> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\neq j}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95aeb406bb427ac96806bc00c30c91d31b858be" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.859ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle i\neq j}"></span>, on ait <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>≠</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90cda4d5d570177a05caabc415648e5794d09d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.467ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}"></span>. Un tel <a href="/wiki/N-uplet" class="mw-redirect" title="N-uplet"><i>k</i>-uplet</a> s'appelle un arrangement sans répétition de <i>n</i> éléments pris <i>k</i> à <i>k</i>. </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Théorème</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Le nombre d'arrangements sans répétition de <i>n</i> éléments pris <i>k</i> à <i>k</i> est égal à <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{n}^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{n}^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/048c75440ffaa800c55a86a58042722bedec0101" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.962ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{n}^{k}}"></span> (égal à <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8045125b5811884faa6267288b580a681774832" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:8.739ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!}}}"></span> si <i>k</i>≤<i>n</i> et à 0 sinon). </p> </div> <p>En effet, Il y a <i>n</i> choix possibles de l'objet qui occupe la première place du <a href="/wiki/N-uplet" class="mw-redirect" title="N-uplet"><i>k</i>-uplet</a>, <i>n</i>-1 choix pour l'objet de la <abbr class="abbr" title="Deuxième">2<sup>e</sup></abbr> place ; pour la <i>k</i><sup>e</sup>, il ne reste plus que <i>n</i>-(<i>k</i>-1) objets et donc <i>n</i>-<i>k</i>+1 choix possibles. Le produit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\cdot (n-1)\ldots (n-k+1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>…</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\cdot (n-1)\ldots (n-k+1)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef28458d99e93ef351500e0595d785a89d2d978d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.037ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n\cdot (n-1)\ldots (n-k+1)}"></span> s'écrit bien sous la forme : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8045125b5811884faa6267288b580a681774832" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:8.739ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {n!}{(n-k)!}}}"></span>. C'est juste le nombre des <a href="/wiki/Injection_(math%C3%A9matiques)" title="Injection (mathématiques)">injections</a> de l'ensemble {1,2, ..., k} dans l'ensemble {1,2, ..., n}. </p><p>Le cas <i>n</i> = <i>k</i> nous oblige alors à diviser par (0)! (rappelons que (0)! vaut 1). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Arrangements_avec_répétition"><span id="Arrangements_avec_r.C3.A9p.C3.A9tition"></span>Arrangements avec répétition</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=24" title="Modifier la section : Arrangements avec répétition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=24" title="Modifier le code source de la section : Arrangements avec répétition"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Arrangement_avec_r%C3%A9p%C3%A9tition" title="Arrangement avec répétition">Arrangement avec répétition</a>.</div></div> <p>Lorsque nous voulons placer des objets pris parmi <i>n</i> objets discernables dans <i>k</i> emplacements en tenant compte de l'ordre, ces objets pouvant apparaître plusieurs fois, le nombre de dispositions est alors égal au nombre de <a href="/wiki/N-uplet" class="mw-redirect" title="N-uplet"><i>k</i>-uplets</a> formés à partir de ces <i>n</i> objets. Un tel <a href="/wiki/N-uplet" class="mw-redirect" title="N-uplet"><i>k</i>-uplet</a>, avec <i>k</i>≤<i>n</i>, (<i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, …, <i>x</i><sub><i>k</i></sub>) formé à partir de ces <i>n</i> objets s'appelle un arrangement avec répétition de <i>n</i> éléments pris <i>k</i> à <i>k</i>. </p><p>Comme chaque emplacement peut être occupé indifféremment par l'un quelconque de ces <i>n</i> objets, il y en a au total <i>n</i><sup><i>k</i></sup>. </p><p>Quand nous tirons 11 fois l'un de 3 numéros en tenant compte de l'ordre d'apparition nous obtenons au total 3<sup>11</sup> = 177 147 tirages différents. Comme exemple tiré de la génétique, nous pouvons donner le nombre total de <a href="/wiki/Codon" title="Codon">codons</a> de base (triplets formés de quatre codes) : 4<sup>3</sup>= 64. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Combinaisons_(choix_sans_tenir_compte_de_l'ordre)"><span id="Combinaisons_.28choix_sans_tenir_compte_de_l.27ordre.29"></span>Combinaisons (choix sans tenir compte de l'ordre)</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=25" title="Modifier la section : Combinaisons (choix sans tenir compte de l'ordre)" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=25" title="Modifier le code source de la section : Combinaisons (choix sans tenir compte de l'ordre)"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Contrairement aux arrangements, les combinaisons sont des dispositions d'objets qui ne tiennent pas compte de l'ordre de placement de ces objets. Par exemple, si <i>a</i>, <i>b</i> et <i>c</i> sont des boules tirées d'une urne, <i>abc</i> et <i>acb</i> correspondent au même tirage. Il y a donc moins de combinaisons que d'arrangements. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Combinaisons_sans_répétition"><span id="Combinaisons_sans_r.C3.A9p.C3.A9tition"></span>Combinaisons sans répétition</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=26" title="Modifier la section : Combinaisons sans répétition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=26" title="Modifier le code source de la section : Combinaisons sans répétition"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Combinaison_(math%C3%A9matiques)" class="mw-redirect" title="Combinaison (mathématiques)">Combinaison (mathématiques)</a>.</div></div> <p>Si nous tirons sans remise <i>k</i> objets parmi <i>n</i> objets discernables, et nous les disposons sans tenir compte de l'ordre d'apparition, nous pouvons représenter ces <i>k</i> objets par une partie à <i>k</i> éléments d'un ensemble à <i>n</i> éléments. Ce sont des combinaisons sans répétition de <i>n</i> éléments pris <i>k</i> à <i>k</i>. </p><p>Pour déterminer le nombre de ces dispositions, nous pouvons déterminer le nombre d'arrangements de <i>k</i> objets et diviser par le nombre de dispositions obtenues les unes à partir des autres par une permutation. Il y en a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {n \choose k}={\frac {A_{n}^{k}}{k!}}=C_{n}^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msubsup> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mi>k</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {n \choose k}={\frac {A_{n}^{k}}{k!}}=C_{n}^{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b155224fd133083a5a6fda759337cc7954a49da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:17.697ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {n \choose k}={\frac {A_{n}^{k}}{k!}}=C_{n}^{k}}"></span> (pour la notation, voir aussi l'article sur le <a href="/wiki/Coefficient_binomial" title="Coefficient binomial">coefficient binomial</a>). </p><p>Par exemple le jeu <a href="/wiki/Euromillions" class="mw-redirect" title="Euromillions">Euromillions</a> demande de choisir 5 nombres différents entre 1 et 50 et 2 nombres entre 1 et 12, soit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {50 \choose 5}\times {12 \choose 2}=139\,838\,160}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mn>50</mn> <mn>5</mn> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mn>12</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>139</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>838</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>160</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {50 \choose 5}\times {12 \choose 2}=139\,838\,160}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bbab8179e39f2eabbc9479780639a30201fcdbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.667ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {50 \choose 5}\times {12 \choose 2}=139\,838\,160}"></span> possibilités. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Combinaisons_avec_répétition"><span id="Combinaisons_avec_r.C3.A9p.C3.A9tition"></span>Combinaisons avec répétition</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=27" title="Modifier la section : Combinaisons avec répétition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=27" title="Modifier le code source de la section : Combinaisons avec répétition"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Combinaison_avec_r%C3%A9p%C3%A9tition" title="Combinaison avec répétition">Combinaison avec répétition</a>.</div></div> <p>Si nous tirons avec remise <i>k</i> objets parmi <i>n</i> objets discernables, et nous les disposons sans tenir compte de l'ordre d'apparition, ces objets peuvent apparaître plusieurs fois et nous ne pouvons les représenter ni avec une partie à <i>k</i> éléments, ni avec un <a href="/wiki/N-uplet" class="mw-redirect" title="N-uplet"><i>k</i>-uplet</a> puisque leur ordre de placement n'intervient pas. Il est cependant possible de représenter de telles dispositions avec des applications appelées combinaisons avec répétition. </p> <div class="theoreme" style="margin: 1em 2em; padding: 0.5em 1em 0.4em; border: 1px solid #aaa; text-align: justify;"> <p><strong class="theoreme-nom">Théorème</strong><span class="theoreme-tiret"> — </span>Le nombre de combinaisons avec répétition de <i>n</i> éléments pris <i>k</i> à <i>k</i> est égal à : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{n}^{k}={n+k-1 \choose k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{n}^{k}={n+k-1 \choose k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06c0f9722bc10bebb6c0d0e50f270965492d28f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:18.64ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{n}^{k}={n+k-1 \choose k}}"></span>. </p> </div> <p>Donnons l'exemple du jeu de domino. Les pièces sont fabriquées en disposant côte à côte deux éléments de l'ensemble {blanc, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Si nous retournons un domino, nous changeons l'ordre des deux éléments, mais le domino reste identique. Nous avons une combinaison avec répétition de 7 éléments pris 2 à 2, et au total il y a : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma _{7}^{2}={8 \choose 2}=28}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mn>8</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mn>28</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma _{7}^{2}={8 \choose 2}=28}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd2c2e9271ac4c2859d16d8f03d6549e548f4dd8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:15.612ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma _{7}^{2}={8 \choose 2}=28}"></span> dominos dans un jeu. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fonction_de_comptage">Fonction de comptage</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=28" title="Modifier la section : Fonction de comptage" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=28" title="Modifier le code source de la section : Fonction de comptage"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Soit <i>S</i><sub><i>n</i></sub> l'ensemble des permutations de {1, 2, …, <i>n</i>}. Nous pouvons considérer la fonction qui à <i>n</i> associe le nombre de permutations. Cette fonction est la fonction factorielle et sert à compter les permutations. </p><p>Étant donné une collection infinie d'ensembles finis <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{E_{n}|n\in \mathbb {N} \right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">N</mi> </mrow> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{E_{n}|n\in \mathbb {N} \right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b80cc34e2076695d9c88bd21bff27c981ed4e8c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.819ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{E_{n}|n\in \mathbb {N} \right\}}"></span> indexée par l'ensemble des <a href="/wiki/Entier_naturel" title="Entier naturel">entiers naturels</a>, une fonction de comptage est une fonction qui à un entier <i>n</i> associe le nombre d'éléments de <i>E</i><sub><i>n</i></sub>. Une fonction de comptage <i>f</i> permet donc de compter les objets de <i>E</i><sub><i>n</i></sub> pour n'importe quel <i>n</i>. Les éléments de <i>E</i><sub><i>n</i></sub> ont habituellement une description combinatoire relativement simple et une structure additionnelle, permettant souvent de déterminer <i>f</i>. </p><p>Certaines fonctions de comptage, sont données par des formules « fermées », et peuvent être exprimées comme <a href="/wiki/Composition_de_fonctions" title="Composition de fonctions">composées</a> de fonctions élémentaires telles que des factorielles, des puissances, et ainsi de suite. </p><p>Cette approche peut ne pas être entièrement satisfaisante (ou pratique) pour certains problèmes combinatoires. Par exemple, soit <i>f</i>(<i>n</i>) le nombre de sous-ensembles distincts de nombres entiers dans l'intervalle [1, <i>n</i>] qui ne contiennent pas deux nombres entiers consécutifs. Par exemple, avec <i>n</i> = 4, nous obtenons ∅, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 }, { 1, 3 }, { 1, 4 }, { 2, 4 }, et donc f(4) = 8. Il s'avère que <i>f</i>(<i>n</i>) est le <i>n</i>ème <a href="/wiki/Nombre_de_Fibonacci" class="mw-redirect" title="Nombre de Fibonacci">nombre de Fibonacci</a>, qui peut être exprimé sous la forme « fermée » suivante : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(n)={\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}-{\frac {(1-\phi )^{n}}{\sqrt {5}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>ϕ</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(n)={\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}-{\frac {(1-\phi )^{n}}{\sqrt {5}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cedf7cbaccb5a672e91e62e1ebb303b281a0f87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:23.608ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle f(n)={\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}-{\frac {(1-\phi )^{n}}{\sqrt {5}}}}"></span></dd></dl> <p>où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi ={\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ={\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c145ace24e1d989f5e5e9145ba25b9c41888843d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.421ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \phi ={\dfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}"></span>, est le nombre d'or. Cependant, étant donné que nous considérons des ensembles de nombres entiers, la présence du <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {5}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {5}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b78ccdb7e18e02d4fc567c66aac99bf524acb5f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.098ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {5}}}"></span> dans le résultat peut être considérée comme inesthétique d'un point de vue combinatoire. Aussi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c49fad1eccc4e9af1e4f23f32efdc3ac4da973" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.483ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(n)}"></span> peut-il être exprimé par une relation de récurrence : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(n)=f(n-1)+f(n-2)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(n)=f(n-1)+f(n-2)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5292c0129a4ebd0f560bf6b1b3647dc5ac5eda6d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.392ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(n)=f(n-1)+f(n-2)}"></span></dd></dl> <p>ce qui peut être plus satisfaisant (d'un point de vue purement combinatoire), puisque la relation montre plus clairement comment le résultat a été trouvé. </p><p>Dans certains cas, un équivalent asymptotique <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"></span> de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span>, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(n)\sim g(n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∼</mo> <mi>g</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(n)\sim g(n)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21481c5c7ce37ba3b4a27c198ca59f4cfc92f3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.901ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(n)\sim g(n)}"></span> quand <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> tend vers l'infini</dd></dl> <p>où <i>g</i> est une fonction « familière », permet d'obtenir une bonne approximation de <i>f</i>. Une fonction asymptotique simple peut être préférable à une formule « fermée » extrêmement compliquée et qui informe peu sur le comportement du nombre d'objets. Dans l'exemple ci-dessus, un équivalent asymptotique serait : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(n)\sim {\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∼</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msqrt> <mn>5</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(n)\sim {\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8298da336a8b779b174b002687200b79d5291ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:11.516ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle f(n)\sim {\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}}"></span></dd></dl> <p>quand <i>n</i> devient grand. </p><p>Une autre approche est celle des <a href="/wiki/S%C3%A9rie_enti%C3%A8re" title="Série entière">séries entières</a>. <i>f</i>(<i>n</i>) peut être exprimé par une série entière formelle, appelée fonction génératrice de <i>f</i>, qui peut être le plus couramment : </p> <ul><li>la fonction génératrice ordinaire</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n>0}f(n)\cdot x^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n>0}f(n)\cdot x^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8959d03ab1e4f172bc36f88fe949517c6c6db44d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:12.452ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n>0}f(n)\cdot x^{n}}"></span></dd></dl> <ul><li>ou la fonction génératrice exponentielle</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n>0}f(n)\cdot {\frac {x^{n}}{n!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mrow> </munder> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n>0}f(n)\cdot {\frac {x^{n}}{n!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3c78ec4cbf7b4a2d62ede7981d49907ee2aa584" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:13.288ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \sum _{n>0}f(n)\cdot {\frac {x^{n}}{n!}}}"></span></dd></dl> <p>Une fois déterminée, la fonction génératrice peut permettre d'obtenir toutes les informations fournies par les approches précédentes. En outre, les diverses opérations usuelles comme l'addition, la multiplication, la dérivation, etc., ont une signification combinatoire ; et ceci permet de prolonger des résultats d'un problème combinatoire afin de résoudre d'autres problèmes. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Quelques_résultats"><span id="Quelques_r.C3.A9sultats"></span>Quelques résultats</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=29" title="Modifier la section : Quelques résultats" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=29" title="Modifier le code source de la section : Quelques résultats"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un théorème, dû à <a href="/wiki/Frank_Ramsey" title="Frank Ramsey">Frank Ramsey</a>, donne un résultat surprenant. À une soirée à laquelle se rendent au moins six personnes, il y a au moins trois personnes qui se connaissent mutuellement ou au moins trois qui sont étrangères les unes aux autres. </p> <dl><dt>Démonstration</dt> <dd></dd></dl> <p>soit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}"></span> une personne quelconque présente à la soirée. Sur les <i>n-1</i> autres, soit elle en connaît au plus deux, soit elle en connaît au moins trois. Supposons que l'on soit dans le second cas, et soient <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2},\,P_{3}{\text{ et }}P_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> et </mtext> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2},\,P_{3}{\text{ et }}P_{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a074d115bc6f49b9cd469a8d54c1f848014b0e82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.159ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2},\,P_{3}{\text{ et }}P_{4}}"></span> trois personnes connues de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}"></span>. Si deux d’entre elles se connaissent, mettons <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2}{\text{ et }}P_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> et </mtext> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2}{\text{ et }}P_{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d1ea719db6d226bdf7cfa2351ec726af3eab85" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.191ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2}{\text{ et }}P_{3}}"></span>, alors <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1},\,P_{2}{\text{ et }}P_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> et </mtext> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1},\,P_{2}{\text{ et }}P_{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44a04b58d0b5133c6ff851afe625bab9f4d310d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.159ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1},\,P_{2}{\text{ et }}P_{3}}"></span> se connaissent toutes trois. Sinon, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{2},\,P_{3}{\text{ et }}P_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> et </mtext> </mrow> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{2},\,P_{3}{\text{ et }}P_{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a074d115bc6f49b9cd469a8d54c1f848014b0e82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.159ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{2},\,P_{3}{\text{ et }}P_{4}}"></span> ne se connaissent pas du tout, et le résultat annoncé est encore juste. Dans l’autre cas de figure (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}"></span> connaît au plus deux personnes du groupe), le même raisonnement, inversé, fonctionne avec les trois personnes que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398f438d75434e6fbf48dc232c1ad7228a738568" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.547ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle P_{1}}"></span> ne connaît pas. </p><p>(C'est un cas particulier du <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Ramsey" title="Théorie de Ramsey">théorème de Ramsey</a>.) </p><p>L'idée de trouver un ordre dans des configurations aléatoires mène à la théorie de Ramsey. Essentiellement, cette théorie indique que n'importe quelle configuration suffisamment grande contiendra au moins un autre type de configuration. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=30" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=30" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text">Part 1 section 7.2.1.7. History and further references</span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text">Voir aussi <span class="ouvrage" id="Knuth2013"><span class="ouvrage" id="Donald_Knuth2013">Donald Knuth, <cite style="font-style:normal">« Two thousand years of combinatorics »</cite>, dans Robin Wilson et John J. Watkins (éditeurs) (préf. Ronald Graham), <cite class="italique">Combinatorics: Ancient & Modern</cite>, Oxford University Press, <time>2013</time>, 392 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/9780199656592" title="Spécial:Ouvrages de référence/9780199656592"><span class="nowrap">9780199656592</span></a>)</small>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">3-37</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Combinatorics%3A+Ancient+%26+Modern&rft.atitle=Two+thousand+years+of+combinatorics&rft.pub=Oxford+University+Press&rft.aulast=Knuth&rft.aufirst=Donald&rft.date=2013&rft.pages=3-37&rft.tpages=392&rft.isbn=9780199656592&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Donald_Knuth" title="Donald Knuth">D. E. Knuth</a>, <i><a href="/wiki/The_Art_of_Computer_Programming" title="The Art of Computer Programming">The Art of Computer Programming</a></i>, vol. 4, Fascicle 4, <i>Generating All Trees; History of Combinationatorial Generation</i> (2006), vi+120pp. <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-321-33570-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-321-33570-8"><span class="nowrap">0-321-33570-8</span></a>)</small>.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text">Plutarque, <i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://remacle.org/bloodwolf/historiens/Plutarque/stoiciens.htm">Des contradictions des Stoïciens</a></i>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 84.</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-5">↑</a> </span><span class="reference-text">J.-J. Dupas et J.-A. Roddier, « Les racines grecques de l'analyse combinatoire », <i>Tangente</i>, Hors-série <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 39, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 6.</span> </li> <li id="cite_note-stan-ec-6"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-stan-ec_6-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Stanley"><span class="ouvrage" id="Richard_P._Stanley"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Richard_Peter_Stanley" title="Richard Peter Stanley">Richard P. <span class="nom_auteur">Stanley</span></a>, <cite class="italique" lang="en">Enumerative Combinatorics</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 1 <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Enumerative_Combinatorics" title="Référence:Enumerative Combinatorics">détail des éditions</a>]</small> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/">présentation en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Enumerative+Combinatorics&rft.aulast=Stanley&rft.aufirst=Richard+P.&rft.volume=1&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-stan-amm-7"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-stan-amm_7-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Stanley1997"><span class="ouvrage" id="Richard_P._Stanley1997"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Richard_P._Stanley" class="mw-redirect" title="Richard P. Stanley">Richard P. <span class="nom_auteur">Stanley</span></a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Hipparchus, Plutarch, Schröder, and Hough</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en"><a href="/wiki/The_American_Mathematical_Monthly" title="The American Mathematical Monthly">Amer. Math. Monthly</a></span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 104, <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 4,‎ <time>1997</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">344-350</span> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.2307/2974582">10.2307/2974582</a></span>, <a href="/wiki/Mathematical_Reviews" title="Mathematical Reviews">MR</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1450667">1450667</a></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-math.mit.edu/~rstan/papers/hip.pdf">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Hipparchus%2C+Plutarch%2C+Schr%C3%B6der%2C+and+Hough&rft.jtitle=Amer.+Math.+Monthly&rft.issue=4&rft.aulast=Stanley&rft.aufirst=Richard+P.&rft.date=1997&rft.volume=104&rft.pages=344-350&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2974582&rft_id=http%3A%2F%2Fwww-math.mit.edu%2F~rstan%2Fpapers%2Fhip.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-acerbi-8"><span class="mw-cite-backlink noprint">↑ <sup><a href="#cite_ref-acerbi_8-0">a</a> et <a href="#cite_ref-acerbi_8-1">b</a></sup> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Acerbi2003"><span class="ouvrage" id="F._Acerbi2003"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> F. <span class="nom_auteur">Acerbi</span>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">On the shoulders of Hipparchus: A reappraisal of ancient Greek combinatorics</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en"><a href="/wiki/Archive_for_History_of_Exact_Sciences" title="Archive for History of Exact Sciences">Arch. Hist. Exact Sci.</a></span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 57,‎ <time>2003</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">465-502</span> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://stl.recherche.univ-lille3.fr/sitespersonnels/acerbi/acerbipub5.pdf">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=On+the+shoulders+of+Hipparchus%3A+A+reappraisal+of+ancient+Greek+combinatorics&rft.jtitle=Arch.+Hist.+Exact+Sci.&rft.aulast=Acerbi&rft.aufirst=F.&rft.date=2003&rft.volume=57&rft.pages=465-502&rft_id=http%3A%2F%2Fstl.recherche.univ-lille3.fr%2Fsitespersonnels%2Facerbi%2Facerbipub5.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-varamihira-9"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-varamihira_9-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Hayashi1987"><span class="ouvrage" id="Takao_Hayashi1987"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Takao Hayashi, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Varāhamihira's pandiagonal magic square of the order four</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">Historia Mathematica</span></i>,‎ <time>1987</time>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 159 - 166, vol 14, issue 2. <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/031508608790019X">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Var%C4%81hamihira%27s+pandiagonal+magic+square+of+the+order+four&rft.jtitle=Historia+Mathematica&rft.aulast=Hayashi&rft.aufirst=Takao&rft.date=1987&rft.pages=159+-+166%2C+vol+14%2C+issue+2.&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-10">↑</a> </span><span class="reference-text">B. Hauchecorne, « De la théologie à la combinatoire moderne », <i><a href="/wiki/Tangente_(magazine)" title="Tangente (magazine)">Tangente</a></i>, Hors série <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 39, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">8-9</span>.</span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-11">↑</a> </span><span class="reference-text"> Ibn Mun'im traite de la combinatoire comme un chapitre des mathématiques dans son livre <i>Fiqh Al Hisab</i> <span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.epsnv-alger.dz/wp-content/uploads/biologie-antique-et-moyen-age-suite-1.pdf"><cite style="font-style:normal;">biologie antique et Moyen Âge</cite></a> », sur <span class="italique">epsnv-alger.dz</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2018-02-12" data-sort-value="2018-02-12">12 février 2018</time>)</small></span></span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-12">↑</a> </span><span class="reference-text"> <span class="ouvrage" id="Djebbar2017"><span class="ouvrage" id="Ahmed_Djebbar2017">Ahmed <span class="nom_auteur">Djebbar</span>, <cite class="italique">L'Âge d'or des sciences arabes</cite>, Humensis, <time class="nowrap" datetime="2017-03-14" data-sort-value="2017-03-14">14 mars 2017</time>, 192 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-7465-1220-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-7465-1220-7"><span class="nowrap">978-2-7465-1220-7</span></a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=mTaWDgAAQBAJ&pg=PT23&dq=ibn+mun%27im+combinatoire">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=L%27%C3%82ge+d%27or+des+sciences+arabes&rft.pub=Humensis&rft.aulast=Djebbar&rft.aufirst=Ahmed&rft.date=2017-03-14&rft.tpages=192&rft.isbn=978-2-7465-1220-7&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-13">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Djebbar2013"><span class="ouvrage" id="Ahmed_Djebbar2013">Ahmed Djebbar, <cite style="font-style:normal">« Islamic combinatorics »</cite>, dans Robin Wilson et John J. Watkins (éditeurs) (préf. Ronald Graham), <cite class="italique">Combinatorics: Ancient & Modern</cite>, Oxford University Press, <time>2013</time>, 392 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/9780199656592" title="Spécial:Ouvrages de référence/9780199656592"><span class="nowrap">9780199656592</span></a>)</small>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">83-107</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Combinatorics%3A+Ancient+%26+Modern&rft.atitle=Islamic+combinatorics&rft.pub=Oxford+University+Press&rft.aulast=Djebbar&rft.aufirst=Ahmed&rft.date=2013&rft.pages=83-107&rft.tpages=392&rft.isbn=9780199656592&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-14"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-14">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Djebbar"2013"><span class="ouvrage" id=""Ahmed_Djebbar"2013"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> "Ahmed Djebbar", <cite style="font-style:normal" lang="en">« "Islamic combinatorics" »</cite>, dans "Robin Wilson et John J. Watkins", <cite class="italique" lang="en">"Combinatorics : Ancient and modern"</cite>, "Oxford", "Oxford University Press", <time>2013</time>, "381 p." <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-19-965659-2" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-19-965659-2"><span class="nowrap">978-0-19-965659-2</span></a>)</small>, "p.99 à 101"<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=%22Combinatorics+%3A+Ancient+and+modern%22&rft.atitle=%22Islamic+combinatorics%22&rft.place=%22Oxford%22&rft.pub=%22Oxford+University+Press%22&rft.aulast=Djebbar%22&rft.aufirst=%22Ahmed&rft.date=2013&rft.pages=%22p.99+%C3%A0+101%22&rft.tpages=%22381+p.%22&rft.isbn=978-0-19-965659-2&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span></span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=31" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=31" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r194021218">.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}</style><div class="autres-projets boite-grise boite-a-droite noprint js-interprojets"> <p class="titre">Sur les autres projets Wikimedia :</p> <ul class="noarchive plainlinks"> <li class="wikiversity"><a href="https://fr.wikiversity.org/wiki/Combinatoire" class="extiw" title="v:Combinatoire">Combinatoire</a>, <span class="nowrap">sur <span class="project">Wikiversity</span></span></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=32" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=32" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="ouvrage" id="Stanley"><span class="ouvrage" id="Richard_P._Stanley"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Richard_Peter_Stanley" title="Richard Peter Stanley">Richard P. <span class="nom_auteur">Stanley</span></a>, <cite class="italique" lang="en">Enumerative Combinatorics</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 1 et 2 <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Enumerative_Combinatorics" title="Référence:Enumerative Combinatorics">détail des éditions</a>]</small> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/">présentation en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Enumerative+Combinatorics&rft.aulast=Stanley&rft.aufirst=Richard+P.&rft.volume=1+et+2&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Loehr2011"><span class="ouvrage" id="Nicholas_A._Loehr2011">Nicholas A. <span class="nom_auteur">Loehr</span>, <cite class="italique">Bijective combinatorics</cite>, Chapman Hall/CRC, <time>2011</time>, 612 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-1-4398-4884-5" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-1-4398-4884-5"><span class="nowrap">978-1-4398-4884-5</span></a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Bijective+combinatorics&rft.pub=Chapman+Hall%2FCRC&rft.aulast=Loehr&rft.aufirst=Nicholas+A.&rft.date=2011&rft.tpages=612&rft.isbn=978-1-4398-4884-5&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Berge1968"><span class="ouvrage" id="Claude_Berge1968">Claude <span class="nom_auteur">Berge</span>, <cite class="italique">Principes de combinatoire</cite>, Paris, Dunod, <time>1968</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Principes+de+combinatoire&rft.place=Paris&rft.pub=Dunod&rft.aulast=Berge&rft.aufirst=Claude&rft.date=1968&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span> <div style="margin-left:2em; line-height:1.5;">Traduction anglaise : <span class="ouvrage" id="1971"><cite class="italique">Principles of Combinatorics</cite>, Academic Press, <time>1971</time> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-12-410978-0" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-12-410978-0"><span class="nowrap">978-0-12-410978-0</span></a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Principles+of+Combinatorics&rft.pub=Academic+Press&rft.date=1971&rft.isbn=978-0-12-410978-0&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></div></li> <li><span class="ouvrage" id="Comtet1970"><span class="ouvrage" id="Louis_Comtet1970">Louis <span class="nom_auteur">Comtet</span>, <cite class="italique">Analyse combinatoire, Tomes I et II</cite>, Paris, Presses universitaires de France, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Sup - Le Mathématicien », <time>1970</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Analyse+combinatoire%2C+Tomes+I+et+II&rft.place=Paris&rft.pub=Presses+universitaires+de+France&rft.aulast=Comtet&rft.aufirst=Louis&rft.date=1970&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Comtet1974"><span class="ouvrage" id="Louis_Comtet1974"><a href="/wiki/Louis_Comtet" title="Louis Comtet">Louis <span class="nom_auteur">Comtet</span></a>, <cite class="italique">Advanced Combinatorics : The Art of Finite and Infinite Expansions</cite>, Dordrecht, Reidel, <time>1974</time>, 343 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-90-277-0441-2" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-90-277-0441-2"><span class="nowrap">978-90-277-0441-2</span></a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=C0HPgWhEssYC">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Advanced+Combinatorics&rft.place=Dordrecht&rft.pub=Reidel&rft.stitle=The+Art+of+Finite+and+Infinite+Expansions&rft.aulast=Comtet&rft.aufirst=Louis&rft.date=1974&rft.tpages=343&rft.isbn=978-90-277-0441-2&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span><div style="margin-left:2em; line-height:1.5;">Traduit du français par J. W. Nienhuys. Réimpression par Springer Netherlands en 2010 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-9048183418" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-9048183418"><span class="nowrap">978-9048183418</span></a>)</small> <small>[<a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/book/10.1007/978-94-010-2196-8/page/1">présentation en ligne</a>]</small></div></li> <li><span class="ouvrage" id="WilsonWatkins2013"><span class="ouvrage" id="Robin_WilsonJohn_Watkins2013">Robin Wilson (<abbr class="abbr" title="directeur de publication">dir.</abbr>) et John Watkins (<abbr class="abbr" title="directeur de publication">dir.</abbr>), <cite class="italique">Combinatorics : ancient and modern</cite>, Oxford University Press, <time>2013</time>, 381 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-19-965659-2" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-19-965659-2"><span class="nowrap">978-0-19-965659-2</span></a>, <a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1093/acprof%3Aoso/9780199656592.001.0001">10.1093/acprof:oso/9780199656592.001.0001</a></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=hRmMp4D12PIC&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Combinatorics&rft.pub=Oxford+University+Press&rft.stitle=ancient+and+modern&rft.aulast=Wilson&rft.aufirst=Robin&rft.au=John+Watkins&rft.date=2013&rft.tpages=381&rft.isbn=978-0-19-965659-2&rft_id=info%3Adoi%2F10.1093%2Facprof%3Aoso%2F9780199656592.001.0001&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="GesselRota1987"><span class="ouvrage" id="Ira_GesselGian-Carlo_Rota1987">Ira Gessel et Gian-Carlo Rota (éditeurs), <cite class="italique">Classic Papers in Combinatorics</cite>, Birkhäuser, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Modern Birkhäuser Classics », <time>1987</time>, x + 492 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.springer.com/gp/book/9780817648411">présentation en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Classic+Papers+in+Combinatorics&rft.pub=Birkh%C3%A4user&rft.aulast=Gessel&rft.aufirst=Ira&rft.au=Gian-Carlo+Rota&rft.date=1987&rft.tpages=x+%2B+492+p.&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span>.</li> <li><span class="ouvrage" id="EğecioğluGarsia2021"><span class="ouvrage" id="Ömer_EğecioğluAdriano_Mario_Garsia2021">Ömer <span class="nom_auteur">Eğecioğlu</span> et Adriano Mario <span class="nom_auteur">Garsia</span>, <cite class="italique">Lessons in enumerative combinatorics</cite>, Springer, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Graduate texts in mathematics » (<abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 290), <time>2021</time>, xvi + 479 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-3-030-71249-5" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-3-030-71249-5"><span class="nowrap">978-3-030-71249-5</span></a>, <a href="/wiki/Zentralblatt_MATH" class="mw-redirect" title="Zentralblatt MATH">zbMATH</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zbmath.org/?q=an:1478.05001">1478.05001</a></span>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Lessons+in+enumerative+combinatorics&rft.pub=Springer&rft.aulast=E%C4%9Fecio%C4%9Flu&rft.aufirst=%C3%96mer&rft.au=Garsia%2C+Adriano+Mario&rft.date=2021&rft.tpages=xvi+%2B+479+p.&rft.isbn=978-3-030-71249-5&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ACombinatoire"></span></span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=33" title="Modifier la section : Articles connexes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=33" title="Modifier le code source de la section : Articles connexes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Domaines connexes : <ul><li><a href="/wiki/Optimisation_combinatoire" title="Optimisation combinatoire">Optimisation combinatoire</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_codes" title="Théorie des codes">Théorie des codes</a></li> <li><a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_algorithmique" title="Géométrie algorithmique">Géométrie algorithmique</a></li> <li><a href="/wiki/Phylog%C3%A9nie" title="Phylogénie">Phylogénie</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Combinaison_avec_r%C3%A9p%C3%A9tition" title="Combinaison avec répétition">Combinaison avec répétition</a></li> <li><a href="/wiki/Math%C3%A9matiques_discr%C3%A8tes" title="Mathématiques discrètes">Mathématiques discrètes</a></li> <li><a href="/wiki/Mot_sans_facteur_carr%C3%A9" title="Mot sans facteur carré">Mot sans facteur carré</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_combinatoire" title="Physique combinatoire">Physique combinatoire</a></li> <li><a href="/wiki/Principe_d%27inclusion-exclusion" title="Principe d'inclusion-exclusion">Principe d'inclusion-exclusion</a></li> <li><a href="/wiki/Coefficient_binomial" title="Coefficient binomial">Coefficient binomial</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lien_externe">Lien externe</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&veaction=edit&section=34" title="Modifier la section : Lien externe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Combinatoire&action=edit&section=34" title="Modifier le code source de la section : Lien externe"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://cepa.newschool.edu/het/profiles/ramsey.htm">L'histoire de la pensée économique</a> : à propos de Frank P. Ramsey.</li></ul> <div class="navbox-container" style="clear:both;"> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Domaines_des_math%C3%A9matiques" title="Modèle:Palette Domaines des mathématiques"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Domaines_des_math%C3%A9matiques&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%">Domaines des <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a></div></th> </tr> <tr> <td class="navbox-list" style="text-align:center;;" colspan="2"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre" title="Algèbre">Algèbre</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_commutative" title="Algèbre commutative">Algèbre commutative</a></li> <li><a href="/wiki/Homologie_et_cohomologie" title="Homologie et cohomologie">Algèbre homologique</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire" title="Algèbre linéaire">Algèbre linéaire</a></li> <li><a href="/wiki/Analyse_(math%C3%A9matiques)" title="Analyse (mathématiques)">Analyse</a></li> <li><a href="/wiki/Analyse_r%C3%A9elle" title="Analyse réelle">Analyse réelle</a></li> <li><a href="/wiki/Analyse_complexe" title="Analyse complexe">Analyse complexe</a></li> <li><a href="/wiki/Analyse_fonctionnelle_(math%C3%A9matiques)" title="Analyse fonctionnelle (mathématiques)">Analyse fonctionnelle</a></li> <li><a href="/wiki/Analyse_num%C3%A9rique" title="Analyse numérique">Analyse numérique</a></li> <li><a href="/wiki/Ordinateur_quantique" title="Ordinateur quantique">Calcul quantique</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Combinatoire</a></li> <li><a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Géométrie">Géométrie</a></li> <li><a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_alg%C3%A9brique" title="Géométrie algébrique">Géométrie algébrique</a></li> <li><a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_diff%C3%A9rentielle" title="Géométrie différentielle">Géométrie différentielle</a></li> <li><a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_non_commutative" title="Géométrie non commutative">Géométrie non commutative</a></li> <li><a href="/wiki/Optimisation_(math%C3%A9matiques)" title="Optimisation (mathématiques)">Optimisation</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_math%C3%A9matique" title="Physique mathématique">Physique mathématique</a></li> <li><a href="/wiki/Probabilit%C3%A9" title="Probabilité">Probabilités</a></li> <li><a href="/wiki/Statistique" title="Statistique">Statistiques</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_syst%C3%A8mes_dynamiques" title="Théorie des systèmes dynamiques">Systèmes dynamiques</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_nombres" title="Théorie des nombres">Théorie des nombres</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_Galois" title="Théorie de Galois">Théorie de Galois</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes" title="Théorie des groupes">Théorie des groupes</a></li> <li><a href="/wiki/Topologie" title="Topologie">Topologie</a></li> <li><a href="/wiki/Topologie_alg%C3%A9brique" title="Topologie algébrique">Topologie algébrique</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Informatique_th%C3%A9orique" title="Modèle:Palette Informatique théorique"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Informatique_th%C3%A9orique&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a href="/wiki/Informatique_th%C3%A9orique" title="Informatique théorique">Informatique théorique</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Codage</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Codage_de_l%27information" title="Codage de l'information">Codage de l'information</a></li> <li><a href="/wiki/Compression_de_donn%C3%A9es" title="Compression de données">Compression de données</a></li> <li><a href="/wiki/Chiffrement" title="Chiffrement">Chiffrement</a></li> <li><a href="/wiki/Cryptanalyse" title="Cryptanalyse">Cryptanalyse</a></li> <li><a href="/wiki/Cryptographie" title="Cryptographie">Cryptographie</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_l%27information" title="Théorie de l'information">Théorie de l'information</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Modèles de calcul</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_la_calculabilit%C3%A9" title="Théorie de la calculabilité">Calculabilité</a></li> <li><a href="/wiki/D%C3%A9cidabilit%C3%A9" title="Décidabilité">Décidabilité et indécidabilité</a></li> <li><a href="/wiki/Ensemble_r%C3%A9cursif" title="Ensemble récursif">Ensemble récursif</a></li> <li><a href="/wiki/Probl%C3%A8me_de_l%27arr%C3%AAt" title="Problème de l'arrêt">Problème de l'arrêt</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%A9cursivement_%C3%A9num%C3%A9rable" title="Récursivement énumérable">Ensemble récursivement énumérable</a></li> <li><a href="/wiki/Machine_de_Turing" title="Machine de Turing">Machine de Turing</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A8se_de_Church" title="Thèse de Church">Thèse de Church</a></li> <li><a href="/wiki/Automate_cellulaire" title="Automate cellulaire">Automate cellulaire</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%A9seau_de_neurones_artificiels" title="Réseau de neurones artificiels">Réseau de neurones artificiels</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%A9duction_polynomiale" title="Réduction polynomiale">Réduction polynomiale</a></li> <li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Probl%C3%A8me_NP-complet" title="Catégorie:Problème NP-complet">Problème NP-complet</a></li> <li><a href="/wiki/Principe_de_Church-Turing-Deutsch" title="Principe de Church-Turing-Deutsch">Principe de Church-Turing-Deutsch</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/wiki/Algorithmique" title="Algorithmique">Algorithmique</a></th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Algorithmique" title="Algorithmique">Algorithmique</a></li> <li><a href="/wiki/Algorithme_glouton" title="Algorithme glouton">Algorithme glouton</a></li> <li><a href="/wiki/Algorithme_probabiliste" title="Algorithme probabiliste">Algorithme probabiliste</a></li> <li><a href="/wiki/Algorithme_g%C3%A9n%C3%A9tique" title="Algorithme génétique">Algorithme génétique</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_la_complexit%C3%A9_(informatique_th%C3%A9orique)" title="Théorie de la complexité (informatique théorique)">Complexité algorithmique</a></li> <li><a href="/wiki/Analyse_de_la_complexit%C3%A9_des_algorithmes" title="Analyse de la complexité des algorithmes">Analyse d'algorithme</a></li> <li><a href="/wiki/Diviser_pour_r%C3%A9gner_(informatique)" title="Diviser pour régner (informatique)">Diviser pour régner</a></li> <li><a href="/wiki/Heuristique_(math%C3%A9matiques)" title="Heuristique (mathématiques)">Heuristique</a></li> <li><a href="/wiki/Programmation_dynamique" title="Programmation dynamique">Programmation dynamique</a></li> <li><a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_algorithmique" title="Géométrie algorithmique">Géométrie algorithmique</a></li> <li><a href="/wiki/Algorithme_de_tri" title="Algorithme de tri">Algorithmes de tri</a></li> <li><a href="/wiki/Algorithmique_du_texte" title="Algorithmique du texte">Algorithmique du texte</a></li> <li><a href="/wiki/Exploration_de_donn%C3%A9es" title="Exploration de données">Exploration de données</a></li> <li><a href="/wiki/Science_des_donn%C3%A9es" title="Science des données">Science des données</a></li> <li><a href="/wiki/Apprentissage_profond" title="Apprentissage profond">Apprentissage profond</a></li> <li><a href="/wiki/Test_de_primalit%C3%A9" title="Test de primalité">Test de primalité</a></li> <li><a href="/wiki/Structure_de_donn%C3%A9es" title="Structure de données">Structure de données</a></li> <li><a href="/wiki/Arbre_enracin%C3%A9" title="Arbre enraciné">Arbre enraciné</a></li> <li><a href="/wiki/Programmation_concurrente" title="Programmation concurrente">Concurrence</a></li> <li><a href="/wiki/Parall%C3%A9lisme_(informatique)" title="Parallélisme (informatique)">Parallélisme</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Syntaxe</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/R%C3%A9%C3%A9criture_(informatique)" title="Réécriture (informatique)">Réécriture</a></li> <li><a href="/wiki/Compilateur" title="Compilateur">Compilation</a></li> <li><a href="/wiki/Expression_r%C3%A9guli%C3%A8re" title="Expression régulière">Expression régulière</a></li> <li><a href="/wiki/Grammaire_formelle" title="Grammaire formelle">Grammaire formelle</a></li> <li><a href="/wiki/Langage_rationnel" title="Langage rationnel">Langage rationnel</a></li> <li><a href="/wiki/Ensemble_rationnel" title="Ensemble rationnel">Ensemble rationnel</a></li> <li><a href="/wiki/Langage_formel" title="Langage formel">Théorie des langages</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_automates" title="Théorie des automates">Théorie des automates</a></li> <li><a href="/wiki/Automate_fini" title="Automate fini">Automate fini</a></li> <li><a href="/wiki/Automate_sur_les_mots_infinis" title="Automate sur les mots infinis">Automate sur les mots infinis</a></li> <li><a href="/wiki/Automate_d%27arbres" title="Automate d'arbres">Automate d'arbres</a></li> <li><a href="/wiki/Automate_%C3%A0_pile" title="Automate à pile">Automate à pile</a></li> <li><a href="/wiki/Hi%C3%A9rarchie_de_Chomsky" title="Hiérarchie de Chomsky">Hiérarchie de Chomsky</a></li> <li><a href="/wiki/Linguistique_informatique" title="Linguistique informatique">Linguistique informatique</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Sémantique</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Interpr%C3%A9tation_abstraite" title="Interprétation abstraite">Interprétation abstraite</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9thode_formelle_(informatique)" title="Méthode formelle (informatique)">Méthodes formelles</a></li> <li><a href="/wiki/V%C3%A9rification_de_mod%C3%A8les" title="Vérification de modèles">Vérification de modèles</a></li> <li><a href="/wiki/S%C3%A9mantique_des_langages_de_programmation" title="Sémantique des langages de programmation">Sémantique des langages de programmation</a></li> <li><a href="/wiki/S%C3%A9mantique_d%C3%A9notationnelle" title="Sémantique dénotationnelle">Sémantique dénotationnelle</a></li> <li><a href="/wiki/S%C3%A9mantique_axiomatique" title="Sémantique axiomatique">Sémantique axiomatique</a></li> <li><a href="/wiki/S%C3%A9mantique_op%C3%A9rationnelle" title="Sémantique opérationnelle">Sémantique opérationnelle</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/wiki/Logique_math%C3%A9matique" title="Logique mathématique">Logique mathématique</a></th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Assistant_de_preuve" title="Assistant de preuve">Assistant de preuve</a></li> <li><a href="/wiki/Calcul_des_pr%C3%A9dicats" title="Calcul des prédicats">Calcul des prédicats</a></li> <li><a href="/wiki/Correspondance_de_Curry-Howard" title="Correspondance de Curry-Howard">Correspondance de Curry-Howard</a></li> <li><a href="/wiki/Fonction_r%C3%A9cursive" title="Fonction récursive">Fonction récursive</a></li> <li><a href="/wiki/Lambda-calcul" title="Lambda-calcul">Lambda-calcul</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8mes_d%27incompl%C3%A9tude_de_G%C3%B6del" title="Théorèmes d'incomplétude de Gödel">Théorèmes d'incomplétude de Gödel</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_types" title="Théorie des types">Théorie des types</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/wiki/Math%C3%A9matiques_discr%C3%A8tes" title="Mathématiques discrètes">Mathématiques discrètes</a></th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">Combinatoire</a></li> <li><a href="/wiki/Algorithme_du_simplexe" title="Algorithme du simplexe">Algorithme du simplexe</a></li> <li><a href="/wiki/Optimisation_combinatoire" title="Optimisation combinatoire">Optimisation combinatoire</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_graphes" title="Théorie des graphes">Théorie des graphes</a></li> <li><a href="/wiki/Liste_des_algorithmes_de_la_th%C3%A9orie_des_graphes" title="Liste des algorithmes de la théorie des graphes">Algorithmes de la théorie des graphes</a></li> <li><a href="/wiki/Recherche_op%C3%A9rationnelle" title="Recherche opérationnelle">Recherche opérationnelle</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_la_d%C3%A9cision" title="Théorie de la décision">Théorie de la décision</a></li> <li><a href="/wiki/Analyse_num%C3%A9rique" title="Analyse numérique">Analyse numérique</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table> </div> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer skin-invert-image" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail des mathématiques"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/24px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/36px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg/48px-Racine_carr%C3%A9e_bleue.svg.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques" title="Portail:Mathématiques">Portail des mathématiques</a></span> </span></li> <li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer skin-invert-image" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Informatique_th%C3%A9orique" title="Portail de l'informatique théorique"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Max-cut.svg/30px-Max-cut.svg.png" decoding="async" width="30" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Max-cut.svg/45px-Max-cut.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Max-cut.svg/60px-Max-cut.svg.png 2x" data-file-width="200" data-file-height="160" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Informatique_th%C3%A9orique" title="Portail:Informatique théorique">Portail de l'informatique théorique</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Combinatoire&oldid=219953308">https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Combinatoire&oldid=219953308</a> ».</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Accueil" title="Catégorie:Accueil">Catégorie</a> : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Combinatoire" title="Catégorie:Combinatoire">Combinatoire</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Catégories cachées : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Article_contenant_un_appel_%C3%A0_traduction_en_anglais" title="Catégorie:Article contenant un appel à traduction en anglais">Article contenant un appel à traduction en anglais</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Math%C3%A9matiques/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Mathématiques/Articles liés">Portail:Mathématiques/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Sciences/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Sciences/Articles liés">Portail:Sciences/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Projet:Math%C3%A9matiques/Articles" title="Catégorie:Projet:Mathématiques/Articles">Projet:Mathématiques/Articles</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Informatique_th%C3%A9orique/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Informatique théorique/Articles liés">Portail:Informatique théorique/Articles liés</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Portail:Informatique/Articles_li%C3%A9s" title="Catégorie:Portail:Informatique/Articles liés">Portail:Informatique/Articles liés</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> La dernière modification de cette page a été faite le 2 novembre 2024 à 09:31.</li> <li id="footer-info-copyright"><span style="white-space: normal"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Citation_et_r%C3%A9utilisation_du_contenu_de_Wikip%C3%A9dia" title="Wikipédia:Citation et réutilisation du contenu de Wikipédia">Droit d'auteur</a> : les textes sont disponibles sous <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions</a> ; d’autres conditions peuvent s’appliquer. Voyez les <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/fr">conditions d’utilisation</a> pour plus de détails, ainsi que les <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Cr%C3%A9dits_graphiques" title="Wikipédia:Crédits graphiques">crédits graphiques</a>. En cas de réutilisation des textes de cette page, voyez <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Citer/Combinatoire" title="Spécial:Citer/Combinatoire">comment citer les auteurs et mentionner la licence</a>.<br /> Wikipedia® est une marque déposée de la <a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikimediafoundation.org/">Wikimedia Foundation, Inc.</a>, organisation de bienfaisance régie par le paragraphe <a href="/wiki/501c" title="501c">501(c)(3)</a> du code fiscal des États-Unis.</span><br /></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/fr">Politique de confidentialité</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:%C3%80_propos_de_Wikip%C3%A9dia">À propos de Wikipédia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Avertissements_g%C3%A9n%C3%A9raux">Avertissements</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//fr.wikipedia.org/wiki/Wikipédia:Contact">Contact</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Code de conduite</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Développeurs</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/fr.wikipedia.org">Statistiques</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Déclaration sur les témoins (cookies)</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//fr.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Combinatoire&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Version mobile</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-5ccf8d5c58-zrvm5","wgBackendResponseTime":210,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.512","walltime":"0.733","ppvisitednodes":{"value":5310,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":118494,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":18474,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":12,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":4,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":19167,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 453.517 1 -total"," 21.49% 97.452 1 Modèle:Références"," 11.10% 50.354 21 Modèle:Article_détaillé"," 10.31% 46.780 21 Modèle:Méta_bandeau_de_section"," 10.02% 45.454 1 Modèle:Portail"," 7.61% 34.499 1 Modèle:Voir_homonymes"," 7.53% 34.129 3 Modèle:Chapitre"," 7.31% 33.171 1 Modèle:Palette"," 7.08% 32.122 1 Modèle:Méta_bandeau_de_note"," 6.91% 31.342 1 Modèle:Autres_projets"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.133","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":6042210,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-59b954b7fb-gtqj4","timestamp":"20241206161255","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Combinatoire","url":"https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Combinatoire","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q76592","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q76592","author":{"@type":"Organization","name":"Contributeurs aux projets Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Fondation Wikimedia, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2004-05-08T13:21:34Z","dateModified":"2024-11-02T08:31:56Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/6\/6d\/Encyclopedie_volume_1-262.png","headline":"Branche des math\u00e9matiques \u00e9tudiant les combinaisons d'ensembles finis"}</script> </body> </html>