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interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfa" title="Función holomorfa (asturiano)" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Función holomorfa" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%BB%D1%8B_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Голоморфлы функция (baskir)" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Голоморфлы функция" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baskir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Холоморфна функция (búlgaro)" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Холоморфна функция" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3_holomorfa" title="Funció holomorfa (catalán)" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Funció holomorfa" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalán" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cbk-zam mw-list-item"><a href="https://cbk-zam.wikipedia.org/wiki/Holomorfo_funcion" title="Holomorfo funcion (Chavacano)" lang="cbk" hreflang="cbk" data-title="Holomorfo funcion" data-language-autonym="Chavacano de Zamboanga" data-language-local-name="Chavacano" class="interlanguage-link-target"><span>Chavacano de Zamboanga</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Holomorfn%C3%AD_funkce" title="Holomorfní funkce (checo)" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Holomorfní funkce" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="artículo destacado"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe_Funktion" title="Holomorphe Funktion (alemán)" lang="de" hreflang="de" data-title="Holomorphe Funktion" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemán" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9F%CE%BB%CF%8C%CE%BC%CE%BF%CF%81%CF%86%CE%B7_%CF%83%CF%85%CE%BD%CE%AC%CF%81%CF%84%CE%B7%CF%83%CE%B7" title="Ολόμορφη συνάρτηση (griego)" lang="el" hreflang="el" data-title="Ολόμορφη συνάρτηση" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="griego" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Holomorphic_function" title="Holomorphic function (inglés)" lang="en" hreflang="en" data-title="Holomorphic function" data-language-autonym="English" data-language-local-name="inglés" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Holomorfa_funkcio" title="Holomorfa funkcio (esperanto)" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Holomorfa funkcio" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Regulaarne_funktsioon" title="Regulaarne funktsioon (estonio)" lang="et" hreflang="et" data-title="Regulaarne funktsioon" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonio" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Funtzio_holomorfiko" title="Funtzio holomorfiko (euskera)" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Funtzio holomorfiko" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="euskera" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%D8%A7%D8%A8%D8%B9_%D9%87%D9%88%D9%84%D9%88%D9%85%D9%88%D8%B1%D9%81%DB%8C%DA%A9" title="تابع هولومورفیک (persa)" lang="fa" hreflang="fa" data-title="تابع هولومورفیک" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persa" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Holomorfinen_funktio" title="Holomorfinen funktio (finés)" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Holomorfinen funktio" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finés" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_holomorphe" title="Fonction holomorphe (francés)" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Fonction holomorphe" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francés" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_holomorfa" title="Función holomorfa (gallego)" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Función holomorfa" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="gallego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%94%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%9E%D7%95%D7%A8%D7%A4%D7%99%D7%AA" title="פונקציה הולומורפית (hebreo)" lang="he" hreflang="he" data-title="פונקציה הולומורפית" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebreo" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B9%E0%A5%8B%E0%A4%B2%E0%A5%8B%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%B0%E0%A5%8D%E0%A4%AB%E0%A4%BF%E0%A4%95_%E0%A4%AB%E0%A4%B2%E0%A4%A8" title="होलोमार्फिक फलन (hindi)" lang="hi" hreflang="hi" data-title="होलोमार्फिक फलन" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Holomorf_f%C3%BCggv%C3%A9nyek" title="Holomorf függvények (húngaro)" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Holomorf függvények" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="húngaro" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_olomorfa" title="Funzione olomorfa (italiano)" lang="it" hreflang="it" data-title="Funzione olomorfa" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E9%96%A2%E6%95%B0" title="正則関数 (japonés)" lang="ja" hreflang="ja" data-title="正則関数" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonés" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%B0%E1%83%9D%E1%83%9A%E1%83%9D%E1%83%9B%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%A4%E1%83%A3%E1%83%9A%E1%83%98_%E1%83%A4%E1%83%A3%E1%83%9C%E1%83%A5%E1%83%AA%E1%83%98%E1%83%90" title="ჰოლომორფული ფუნქცია (georgiano)" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ჰოლომორფული ფუნქცია" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="georgiano" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A0%95%EC%B9%99_%ED%95%A8%EC%88%98" title="정칙 함수 (coreano)" lang="ko" hreflang="ko" data-title="정칙 함수" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="artículo destacado"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Funzi%C3%BA_ulumorfa" title="Funziú ulumorfa (lombardo)" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Funziú ulumorfa" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombardo" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Holomorfin%C4%97_funkcija" title="Holomorfinė funkcija (lituano)" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Holomorfinė funkcija" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituano" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Holomorfe_functie" title="Holomorfe functie (neerlandés)" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Holomorfe functie" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandés" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Holomorf_funksjon" title="Holomorf funksjon (noruego nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Holomorf funksjon" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="noruego nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Foncion_olom%C3%B2rfa" title="Foncion olomòrfa (occitano)" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Foncion olomòrfa" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitano" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_holomorficzna" title="Funkcja holomorficzna (polaco)" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Funkcja holomorficzna" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_holomorfa" title="Função holomorfa (portugués)" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Função holomorfa" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugués" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Func%C8%9Bie_olomorf%C4%83" title="Funcție olomorfă (rumano)" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Funcție olomorfă" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumano" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Голоморфная функция (ruso)" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Голоморфная функция" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="ruso" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Funzioni_olomorfa" title="Funzioni olomorfa (siciliano)" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Funzioni olomorfa" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="siciliano" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Holomorphic_function" title="Holomorphic function (Simple English)" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Holomorphic function" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Holomorfn%C3%A1_funkcia" title="Holomorfná funkcia (eslovaco)" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Holomorfná funkcia" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Holomorfna_funkcija" title="Holomorfna funkcija (esloveno)" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Holomorfna funkcija" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Funksioni_holomorfik" title="Funksioni holomorfik (albanés)" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Funksioni holomorfik" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanés" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/Holomorfna_funkcija" title="Holomorfna funkcija (serbio)" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Holomorfna funkcija" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Analytisk_funktion" title="Analytisk funktion (sueco)" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Analytisk funktion" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%AE%E0%AF%81%E0%AE%B1%E0%AF%8D%E0%AE%B1%E0%AF%81%E0%AE%B0%E0%AF%81%E0%AE%B5%E0%AE%9A%E0%AF%8D_%E0%AE%9A%E0%AE%BE%E0%AE%B0%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AE%BF%E0%AE%AF%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="முற்றுருவச் சார்பியம் (tamil)" lang="ta" hreflang="ta" data-title="முற்றுருவச் சார்பியம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamil" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Holomorf_fonksiyon" title="Holomorf fonksiyon (turco)" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Holomorf fonksiyon" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Голоморфна функція (ucraniano)" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Голоморфна функція" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_ch%E1%BB%89nh_h%C3%ACnh" title="Hàm chỉnh hình (vietnamita)" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Hàm chỉnh hình" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E7%BA%AF%E5%87%BD%E6%95%B0" title="全纯函数 (chino)" lang="zh" hreflang="zh" data-title="全纯函数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chino" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E7%B4%94%E5%87%BD%E6%95%B8" title="全純函數 (cantonés)" lang="yue" hreflang="yue" data-title="全純函數" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonés" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a 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//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Gamma_abs_3D.png/440px-Gamma_abs_3D.png 2x" data-file-width="1280" data-file-height="1000" /></a><figcaption>Gráfico tridimensional del valor absoluto de la función gamma compleja</figcaption></figure> <p>Las <b>funciones holomorfas</b> son el principal objeto de estudio del <a href="/wiki/An%C3%A1lisis_complejo" title="Análisis complejo">análisis complejo</a>; son <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Función (matemáticas)">funciones</a> que se definen sobre un <a href="/wiki/Subconjunto" title="Subconjunto">subconjunto</a> del <a href="/wiki/N%C3%BAmero_complejo" title="Número complejo">plano complejo</a> <b><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"></span></b> y con valores en <b><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }"></span></b>, que son complejo-diferenciables en algún <a href="/wiki/Entorno_(matem%C3%A1tica)" title="Entorno (matemática)">entorno</a> de un punto de su dominio. En este caso se dice que la función es holomorfa en ese punto.<sup id="cite_ref-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-1"><span class="corchete-llamada">[</span>1<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Si la función es holomorfa en cada punto de su dominio, se dice que es holomorfa en su dominio. Esta condición es mucho más fuerte que la <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">diferenciabilidad en caso real</a> e implica que la función es <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_infinitamente_diferenciable" title="Función infinitamente diferenciable">infinitamente diferenciable</a> y que puede ser descrita mediante su <a href="/wiki/Serie_de_Taylor" title="Serie de Taylor">serie de Taylor</a>. </p><p>El término <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_anal%C3%ADtica" title="Función analítica">función analítica</a> se usa a menudo en vez del de "función holomorfa", especialmente para cuando se trata de la <a href="/wiki/Restricci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)" title="Restricción (matemáticas)">restricción</a> a los <a href="/wiki/N%C3%BAmero_real" title="Número real">números reales</a> de una función holomorfa. Una función que sea holomorfa sobre todo el <a href="/wiki/Plano_complejo" title="Plano complejo">plano complejo</a> se dice <b>función entera</b>. La frase "holomorfa en un punto <i>a</i>" significa no solo diferenciable en <i>a</i>, sino diferenciable en todo un <a href="/wiki/Disco_abierto" class="mw-redirect" title="Disco abierto">disco abierto</a> centrado en <i>a</i>, en el plano complejo.<sup id="cite_ref-2" class="reference separada"><a href="#cite_note-2"><span class="corchete-llamada">[</span>2<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>Las funciones holomorfas también se denominan a veces <i>funciones regulares</i>. Una función holomorfa cuyo dominio es todo el <a href="/wiki/Plano_complejo" title="Plano complejo">plano complejo</a> se denomina <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_entera" class="mw-redirect" title="Función entera">función entera</a>. La frase "holomorfa en un punto <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span>" significa no sólo diferenciable en <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span>, sino diferenciable en todas partes dentro de alguna vecindad de <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> en el plano complejo.<sup id="cite_ref-3" class="reference separada"><a href="#cite_note-3"><span class="corchete-llamada">[</span>3<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definición"><span id="Definici.C3.B3n"></span>Definición</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_holomorfa&action=edit&section=1" title="Editar sección: Definición"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Archivo:Non-holomorphic_complex_conjugate.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Non-holomorphic_complex_conjugate.svg/220px-Non-holomorphic_complex_conjugate.svg.png" decoding="async" width="220" height="332" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Non-holomorphic_complex_conjugate.svg/330px-Non-holomorphic_complex_conjugate.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Non-holomorphic_complex_conjugate.svg/440px-Non-holomorphic_complex_conjugate.svg.png 2x" data-file-width="92" data-file-height="139" /></a><figcaption>La función <span class="texhtml"><i>f</i>(<i>z</i>) = <i>z̅</i></span> no es diferenciable compleja en cero, porque como se ha visto anteriormente, el valor de <span class="texhtml">(<i>f</i>(<i>z</i>) - <i>f</i>(0)) / (<i>z</i> - 0)</span> varía dependiendo de la dirección desde la que se aproxima a cero. A lo largo del eje real, <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> es igual a la función <span class="texhtml"><i>g</i>(<i>z</i>) = <i>z</i></span>} y el límite es <span class="texhtml">1</span>, mientras que a lo largo del eje imaginario, <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> es igual a <span class="texhtml"><i>h</i>(<i>z</i>) = -<i>z</i></span>} y el límite es <span class="texhtml">-1</span>. Otras direcciones dan aún otros límites.</figcaption></figure> <p>Dada una función de valor complejo <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> de una sola variable compleja, la <b>derivada</b> de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> en un punto <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> de su dominio se define como el <a href="/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n" title="Límite de una función">límite</a>.<sup id="cite_ref-4" class="reference separada"><a href="#cite_note-4"><span class="corchete-llamada">[</span>4<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p><p>La definición/función es la siguiente: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada5047c995725b5bf07b9f37aa43204fa911645" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:26.52ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}"></span></dd></dl> </blockquote> <p>Este límite se toma aquí sobre todas las sucesiones de números complejos que se aproximen a <i>z</i><sub>0</sub>, y para todas esas sucesiones el cociente de diferencias tiene que dar el mismo número <i>f</i> '(<i>z</i><sub>0</sub>). </p><p>Intuitivamente, si <i>f</i> es complejo-diferenciable en <i>z</i><sub>0</sub> y nos aproximamos al punto <i>z</i><sub>0</sub> desde la dirección <i>r</i>, entonces las imágenes se acercarán al punto <i>f</i>(<i>z</i><sub>0</sub>) desde la dirección <i>f</i> '(<i>z</i><sub>0</sub>) <i>r</i>, donde el último producto es la multiplicación de números complejos. Este concepto de diferenciabilidad comparte varias propiedades con la <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">diferenciabilidad en caso real</a>: es <a href="/wiki/Transformaci%C3%B3n_lineal" class="mw-redirect" title="Transformación lineal">lineal</a> y obedece a las <a href="/wiki/Reglas_de_derivaci%C3%B3n" title="Reglas de derivación">reglas de derivación</a> del producto, del cociente y de la cadena. </p><p>Una función es <b>holomorfa</b> en un <a href="/wiki/Conjunto_abierto" title="Conjunto abierto">conjunto abierto</a> <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> si es <i>diferenciable compleja</i> en <i>cada</i> punto de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span>. Una función <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> es <i>holomorfa</i> en un punto <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> si es holomorfa en alguna <a href="/wiki/Vecindad_(matem%C3%A1tica)" class="mw-redirect" title="Vecindad (matemática)">vecindad</a> de <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span>.<sup id="cite_ref-5" class="reference separada"><a href="#cite_note-5"><span class="corchete-llamada">[</span>5<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Una función es <i>holomorfa</i> en algún conjunto no abierto <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">A</span> si es holomorfa en cada punto de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">A</span>. </p><p>Una función puede ser diferenciable compleja en un punto pero no holomorfa en ese punto. Por ejemplo, la función <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(z)=|z|^{2}=z{\overline {z}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>z</mi> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(z)=|z|^{2}=z{\overline {z}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4dea184d21fd56a2d9ba260ae13a44acd0ca21" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.105ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f(z)=|z|^{2}=z{\overline {z}}}"></span> es diferenciable compleja en <span class="texhtml">0</span>, pero no diferenciable compleja en otro lugar (véase las ecuaciones de Cauchy-Riemann, más adelante). Por lo tanto, es <i>no</i> holomorfa en <span class="texhtml">0</span>. </p><p>Si <i>f</i> es complejo-diferenciable y las derivadas son continuas en cada punto <i>z</i><sub>0</sub> en <i>U</i>, se dice que <i>f</i> es <i>holomorfa en U</i>. Es claro que, al igual que en el caso real, si <i>f</i> es holomorfa e inyectiva en <i>U</i> —con inversa continua— entonces <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5cfa2f5c08d6fe7d046b73faa6e3f213acc802" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.653ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f^{-1}}"></span> es holomorfa y su derivada vale: </p> <blockquote style="padding: 5px 10px; background-color: var(--background-color-base, #fff); color: var(--color-base, #202122); text-align: left; margin-left:30px; margin-bottom: 0.4em; margin-top:0.2em; min-width:50%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (f^{-1})'(z)={1 \over f'(f^{-1}(z))}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (f^{-1})'(z)={1 \over f'(f^{-1}(z))}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46dbe805183cb35bfaacdb7f76e893ef40b2e49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:23.345ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle (f^{-1})'(z)={1 \over f'(f^{-1}(z))}}"></span></dd></dl> </blockquote> <p>La relación entre la diferenciabilidad real y la diferenciabilidad compleja es la siguiente: Si una función compleja <span class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i> + <i>i y</i>) = <i>u</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) + <i>i  v</i>(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> es holomorfa, entonces <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">u</span> y <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">v</span> tienen primeras derivadas parciales con respecto a <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> y <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">y</span>, y satisfacen las <a href="/wiki/Ecuaciones_de_Cauchy-Riemann" title="Ecuaciones de Cauchy-Riemann">ecuaciones de Cauchy-Riemann</a>:<sup id="cite_ref-Mark_6-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-Mark-6"><span class="corchete-llamada">[</span>6<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="2em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mtext>y</mtext> </mstyle> </mrow> <mspace width="2em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>u</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>v</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ecb3961eaf84c8c1c4503048e25d3f21a5f1e54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:32.671ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{y}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}"></span></dd></dl> <p>o, equivalentemente, la <a href="/w/index.php?title=Derivada_de_Wirtinger&action=edit&redlink=1" class="new" title="Derivada de Wirtinger (aún no redactado)">derivada de Wirtinger</a> de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> con respecto a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {z}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {z}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c492a9c6194f497ee3e55ca21af397fe6a320e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.943ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\bar {z}},}"></span> el <a href="/wiki/Complejo_conjugado" class="mw-redirect" title="Complejo conjugado">complejo conjugado</a> de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47989a9b66a4ea8a0ec19e8159749fce8a9a8ca8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.735ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z,}"></span> es cero:<sup id="cite_ref-Gunning_7-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-Gunning-7"><span class="corchete-llamada">[</span>7<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>f</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793c48c1205a39f2d2e7c00cf2388a57528689da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:8.341ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,}"></span></dd></dl> <p>lo que equivale a decir que, aproximadamente, <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> es funcionalmente independiente de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {z}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {z}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c492a9c6194f497ee3e55ca21af397fe6a320e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.943ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\bar {z}},}"></span> el complejo conjugado de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">z</span>. </p><p>Si no se da continuidad, la inversa no es necesariamente cierta. Una simple inversa es que si <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">u</span> y <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">v</span> tienen primeras derivadas parciales <i>continuas</i> y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> es holomorfa. Un inverso más satisfactorio, que es mucho más difícil de demostrar, es el <a href="/w/index.php?title=Teorema_de_Looman-Menchoff&action=edit&redlink=1" class="new" title="Teorema de Looman-Menchoff (aún no redactado)">Teorema de Looman-Menchoff</a>: si <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> es continua, <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">u</span> y <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">v</span> tienen primeras derivadas parciales (pero no necesariamente continuas), y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> es holomorfa.<sup id="cite_ref-8" class="reference separada"><a href="#cite_note-8"><span class="corchete-llamada">[</span>8<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Terminología"><span id="Terminolog.C3.ADa"></span>Terminología</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_holomorfa&action=edit&section=2" title="Editar sección: Terminología"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>El término <i>holomorfo</i> fue introducido en 1875 por <a href="/w/index.php?title=Charles_Auguste_Briot&action=edit&redlink=1" class="new" title="Charles Auguste Briot (aún no redactado)">Charles Briot</a> y <a href="/w/index.php?title=Jean-Claude_Bouquet&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jean-Claude Bouquet (aún no redactado)">Jean-Claude Bouquet</a>, dos de los alumnos de <a href="/wiki/Augustin-Louis_Cauchy" class="mw-redirect" title="Augustin-Louis Cauchy">Augustin-Louis Cauchy</a>, y deriva del griego <a href="https://es.wiktionary.org/wiki/%E1%BD%85%CE%BB%CE%BF%CF%82" class="extiw" title="wikt:ὅλος">ὅλος</a> (<i>hólos</i>) que significa "todo", y <a href="https://es.wiktionary.org/wiki/%CE%BC%CE%BF%CF%81%CF%86%CE%AE" class="extiw" title="wikt:μορφή">μορφή</a> (<i>morphḗ</i>) que significa "forma" o "apariencia" o "tipo", en contraste con el término <i><a href="/wiki/Funci%C3%B3n_merom%C3%B3rfica" class="mw-redirect" title="Función meromórfica">meromórfica</a></i> derivado de <a href="https://es.wiktionary.org/wiki/%CE%BC%CE%AD%CF%81%CE%BF%CF%82" class="extiw" title="wikt:μέρος">μέρος</a> (<i>méros</i>) que significa "parte". Una función holomorfa se asemeja a una <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_entera" class="mw-redirect" title="Función entera">función entera</a> ("entera") en un <a href="/wiki/Dominio_(an%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico)" title="Dominio (análisis matemático)">dominio</a> del plano complejo mientras que una función meromorfa (definida como holomorfa excepto en ciertos <a href="/wiki/Polo_(an%C3%A1lisis_complejo)" title="Polo (análisis complejo)">polos</a> aislados), se asemeja a una fracción racional ("parte") de funciones enteras en un dominio del plano complejo.<sup id="cite_ref-9" class="reference separada"><a href="#cite_note-9"><span class="corchete-llamada">[</span>9<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ejemplos">Ejemplos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_holomorfa&action=edit&section=3" title="Editar sección: Ejemplos"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Todas las funciones <a href="/wiki/Polinomio" title="Polinomio">polinómicas</a> en <i>z</i> con <a href="/wiki/Coeficiente_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Coeficiente (matemáticas)">coeficientes</a> complejos son holomorfas sobre <b>C</b>, y también lo son las <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica" title="Función trigonométrica">funciones trigonométricas</a> de <i>z</i> y la <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial" title="Función exponencial">función exponencial</a>. (Las funciones trigonométricas están de hecho relacionadas estrechamente con esta última y pueden definirse a partir de ella usando la <a href="/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler" title="Fórmula de Euler">fórmula de Euler</a>). La rama principal de la función <a href="/wiki/Logaritmo" title="Logaritmo">logaritmo</a> es holomorfa sobre el conjunto <b>C</b> - {<i>z</i> ∈ <b>R</b> : z ≤ 0}. La función <a href="/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada" title="Raíz cuadrada">raíz cuadrada</a> se puede definir como : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {z}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln z}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>z</mi> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>z</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {z}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln z}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade102d8fba714b4c5924a324fa78b1a91e11612" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.857ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {z}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln z}}"></span> y es por tanto allá donde lo sea la función logaritmo ln(<i>z</i>). La función 1/<i>z</i> es holomorfa sobre {<i>z</i> : <i>z</i> ≠ 0}. Las funciones trigonométricas inversas tienen cortes y son holomorfas en todos los puntos excepto en estos cortes. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propiedades">Propiedades</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_holomorfa&action=edit&section=4" title="Editar sección: Propiedades"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Como la diferenciación compleja es lineal y cumple las mismas reglas del producto, del cociente y de <a href="/wiki/Regla_de_la_cadena" title="Regla de la cadena">la cadena</a> que en el caso real, se tiene que las sumas, productos, composiciones de funciones holomorfas son también holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas lo será donde el denominador sea distinto de cero. Esto es, si <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f,g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f,g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b6ab1762925585cd7605809caa8b1b5284177b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.429ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f,g}"></span> son holomorfas en un <a href="/wiki/Conjunto_abierto" title="Conjunto abierto">abierto</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"></span>, también lo son <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f+g,f-g,fg}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mo>−</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <mi>f</mi> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f+g,f-g,fg}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9068df024e01a9c0fc7c4d4b5970afe2df98d6f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.932ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f+g,f-g,fg}"></span> y <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\circ g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>∘</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\circ g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f61ca7838709fbae07dce9c0d513770f10cfae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.589ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\circ g}"></span>. Además, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f/g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f/g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c6b7962d3532e248f07cd42b1bdc9e007b137d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.557ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f/g}"></span> es holomorfa siempre y cuando <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}"></span> no tenga ceros en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>U</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}"></span>; en otro caso es <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_meromorfa" title="Función meromorfa">meromorfa</a>.</li></ul> <ul><li>Toda función holomorfa es infinitamente diferenciable en cada punto, y coincide con su propia <a href="/wiki/Serie_de_Taylor" title="Serie de Taylor">serie de Taylor</a>; esta serie convergerá sobre cada disco abierto que se encuentre dentro del dominio <i>U</i>. Es decir, toda <a href="/wiki/Analiticidad_de_las_funciones_holomorfas" title="Analiticidad de las funciones holomorfas">función holomorfa es analítica</a>. La serie de Taylor puede converger en un disco más grande; por ejemplo, la serie de Taylor para el logaritmo converge sobre cada disco que no contenga al 0, incluso en las cercanías de la línea real negativa.</li></ul> <ul><li>Si se identifica <b>C</b> con <b>R</b>², entonces las funciones holomorfas son las mismas que aquellas funciones de dos variables reales diferenciables y que cumplan las <a href="/wiki/Ecuaciones_de_Cauchy-Riemann" title="Ecuaciones de Cauchy-Riemann">ecuaciones de Cauchy-Riemann</a>, que son un par de <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales" title="Ecuación en derivadas parciales">ecuaciones diferenciales parciales</a>.</li></ul> <ul><li>Las funciones holomorfas son <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_conforme" class="mw-redirect" title="Función conforme">conformes</a> cerca de los puntos con derivada distinta de cero, en el sentido de que preservan ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas.</li></ul> <ul><li>Toda función holomorfa puede separarse en sus partes real e imaginaria <span class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i> + <i>i</i>  <i>y</i>) = <i>u</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) + <i>i</i> <i>v</i>(<i>x</i>, <i>y</i>)</span>}, y cada una de ellas es una <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_arm%C3%B3nica" title="Función armónica">función armónica</a> en <span class="texhtml"><b>R</b><sup>2</sup></span> (cada una satisface la <a href="/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Laplace" title="Ecuación de Laplace">ecuación de Laplace</a> <span class="texhtml">∇<sup>2</sup> <i>u</i> = ∇<sup>2</sup> <i>v</i> = 0</span>), siendo <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">v</span> el <a href="/wiki/Conjugado_arm%C3%B3nico" title="Conjugado armónico">conjugado armónico</a> de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">u</span>.<sup id="cite_ref-10" class="reference separada"><a href="#cite_note-10"><span class="corchete-llamada">[</span>10<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Recíprocamente, toda función armónica <span class="texhtml"><i>u</i>(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> sobre un <a href="/wiki/Espacio_simplemente_conexo" class="mw-redirect" title="Espacio simplemente conexo">dominio simplemente conexo</a> <span class="texhtml">Ω ⊂ <b>R</b><sup>2</sup></span> es la parte real de una función holomorfa: si <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">v</span> es el conjugado armónico de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">u</span>, único salvo por una constante, entonces <span class="texhtml"><i>f</i>(<i>x</i> + <i>i</i> <i>y</i>) = <i>u</i>(<i>x</i>, <i>y</i>) + <i>i</i> <i>v</i>(<i>x</i>, <i>y</i>)</span> es holomorfa.</li></ul> <ul><li>El <a href="/wiki/Teorema_integral_de_Cauchy" title="Teorema integral de Cauchy">teorema integral de Cauchy</a> afirma que los valores, dentro de un disco, de una función holomorfa, quedan determinados por los valores de la función en la frontera del disco.<sup id="cite_ref-Lang_11-0" class="reference separada"><a href="#cite_note-Lang-11"><span class="corchete-llamada">[</span>11<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mo>∮</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74ada839cb9e6c1600c322d1c35e28b141ccf31" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:14.579ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}"></span></dd></dl> <p>Aquí <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">γ</span> es cualquier<a href="/wiki/Longitud_de_arco" title="Longitud de arco"> camino rectificable</a> en un <a href="/wiki/Dominio_(an%C3%A1lisis_matem%C3%A1tico)" title="Dominio (análisis matemático)">dominio complejo</a> <a href="/wiki/Conjunto_simplemente_conexo" title="Conjunto simplemente conexo">simplemente conexo</a> <span class="texhtml"><i>U</i> ⊂ <b>C</b></span> cuyo punto inicial es igual a su punto final, y <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>U</i> → <b>C</b></span> es una función holomorfa. </p> <ul><li>La <a href="/wiki/F%C3%B3rmula_integral_de_Cauchy" title="Fórmula integral de Cauchy">fórmula integral de Cauchy</a> afirma que toda función holomorfa en el interior de un <a href="/wiki/Disco_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Disco (matemáticas)">disco</a> está completamente determinada por sus valores en la <a href="/wiki/Frontera_(topolog%C3%ADa)" title="Frontera (topología)">frontera</a> del disco.<sup id="cite_ref-Lang_11-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-Lang-11"><span class="corchete-llamada">[</span>11<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> Es más, tenemos una fórmula explícita de cómo la determina: supongamos que <span class="texhtml"><i>U</i> ⊂ <b>C</b></span> es un <a href="/wiki/Conjunto_abierto" title="Conjunto abierto">abierto</a> del plano complejo, <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>U</i> → <b>C</b></span> es una función holomorfa y el disco cerrado D = {z : |z − z<sub>0</sub>| ≤ r} está <a href="/wiki/Vecindad_(matem%C3%A1ticas)#Vecindad_de_un_conjunto" class="mw-redirect" title="Vecindad (matemáticas)">completamente contenido</a> en <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span>. Sea <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">γ</span> el círculo que forma la <a href="/wiki/Frontera_(topolog%C3%ADa)" title="Frontera (topología)">frontera</a> de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">D</span>. Entonces, para cada <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span> en el <a href="/wiki/Interior_(topolog%C3%ADa)" title="Interior (topología)">interior</a> de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">D</span>:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mo>∮</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/235f5e7157d06833c63bf2c34bb9c1377bfacdf0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:23.426ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz}"></span></dd></dl> <p>donde la integral de contorno se toma <a href="/w/index.php?title=Orientaci%C3%B3n_de_la_curva&action=edit&redlink=1" class="new" title="Orientación de la curva (aún no redactado)">en sentido contrario a las agujas del reloj</a>. </p> <ul><li>La derivada <span class="texhtml"><i>f</i>′(<i>a</i>)</span> puede escribirse como una integral de contorno<sup id="cite_ref-Lang_11-2" class="reference separada"><a href="#cite_note-Lang-11"><span class="corchete-llamada">[</span>11<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> utilizando la <a href="/wiki/F%C3%B3rmula_integral_de_Cauchy" title="Fórmula integral de Cauchy">fórmula integral de Cauchy</a>:</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>i</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mo>∮</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee78ff324941d876bd8a6bbd452c24ce1cb8ecc3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:27.663ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,}"></span></dd></dl> <p>para cualquier <a href="/wiki/Curva" title="Curva">bucle simple</a> que se enrolle positivamente una vez alrededor de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span>, y </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,d{\bar {z}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi>a</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mo>∮</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,d{\bar {z}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea97a19237837c73da4f2cf87b31540f473289af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:29.822ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,d{\bar {z}},}"></span></dd></dl> <p>para bucles infinitesimales positivos <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">γ</span> alrededor de <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span>. </p> <ul><li>En regiones donde la primera derivada no es cero, las funciones holomorfas son <a href="/wiki/Transformaci%C3%B3n_conforme" title="Transformación conforme">conformes</a>: preservan los ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas.<sup id="cite_ref-12" class="reference separada"><a href="#cite_note-12"><span class="corchete-llamada">[</span>12<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup></li></ul> <ul><li>Desde un punto de vista algebraico, el conjunto de funciones holomorfas sobre un conjunto abierto es un <a href="/wiki/Anillo_conmutativo" title="Anillo conmutativo">anillo conmutativo</a> y un<a href="/wiki/Espacio_vectorial" title="Espacio vectorial"> espacio vectorial complejo</a>. Además, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> es un <a href="/wiki/Dominio_de_integridad" title="Dominio de integridad"> dominio integral</a> si y sólo si el conjunto abierto <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> es conexo.<sup id="cite_ref-Gunning_7-1" class="reference separada"><a href="#cite_note-Gunning-7"><span class="corchete-llamada">[</span>7<span class="corchete-llamada">]</span></a></sup> De hecho, es un <a href="/wiki/Espacio_localmente_convexo" title="Espacio localmente convexo"> espacio vectorial topológico localmente convexo</a>, siendo la <a href="/wiki/Norma_(matem%C3%A1ticas)" class="mw-redirect" title="Norma (matemáticas)">seminorma</a> la <a href="/wiki/Elemento_supremo_e_%C3%ADnfimo" title="Elemento supremo e ínfimo"> suprema</a> en un <a href="/wiki/Espacio_compacto" title="Espacio compacto"> subconjunto compacto</a>.</li></ul> <ul><li>Desde una perspectiva geométrica, una función <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> es holomorfa en <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> si y sólo si su <a href="/wiki/Derivada_exterior" title="Derivada exterior">derivada exterior</a> <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">df</span> en una vecindad <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> de <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> es igual a <span class="texhtml"><i>f</i>′(<i>z</i>) <i>dz</i></span> para alguna función continua <span class="texhtml"><i>f</i>′</span>. Se deduce de</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">′</mi> </mrow> </msup> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-variant" mathvariant="normal">′</mi> </mrow> </msup> <mo>∧</mo> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309a722e513e6ff45226ed2a491645e09b03697f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.451ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz}"></span></dd></dl> <p>que <span class="texhtml"><i>df</i>′</span> también es proporcional a <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">dz</span>, lo que implica que la derivada <span class="texhtml"><i>f</i>′</span> es a su vez holomorfa y, por tanto, que <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> es infinitamente diferenciable. Análogamente, <span class="texhtml"><i>d</i>(<i>f dz</i>) = <i>f</i>′</span> <i>dz</i> ∧ <i>dz</i> = 0 implica que cualquier función <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">f</span> que sea holomorfa en la región simplemente conexa <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> es también integrable en <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span>. </p><p>(Para un camino <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">γ</span> de <span class="texhtml"><i>z</i><sub>0</sub></span> a <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">z</span> enteramente en <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span>, definir <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>z</mi> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ded7e228700cae794a25ee6b9e487a773ce72b3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:21.23ex; height:3.509ex;" alt="{\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }f\,dz;}"></span> a la luz del <a href="/wiki/Teorema_de_la_curva_de_Jordan" title="Teorema de la curva de Jordan">teorema de la curva de Jordan</a> y del <a href="/wiki/Teorema_de_Stokes" title="Teorema de Stokes">teorema de Stokes generalizado</a>, <span class="texhtml"><i>F</i><sub><i>γ</i></sub>(<i>z</i>)</span> es independiente de la elección particular de la trayectoria <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">γ</span>, y por tanto <span class="texhtml"><i>F</i>(<i>z</i>)</span> es una función bien definida sobre <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">U</span> teniendo <span class="texhtml"><i>F</i>(<i>z</i><sub>0</sub>) = <i>F</i><sub>0</sub></span> y <span class="texhtml"><i>dF</i> = <i>f dz</i></span>. ) </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Véase_también"><span id="V.C3.A9ase_tambi.C3.A9n"></span>Véase también</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_holomorfa&action=edit&section=5" title="Editar sección: Véase también"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Biholomorfismo" title="Biholomorfismo">Biholomorfismo</a></li> <li><a href="/wiki/Funci%C3%B3n_meromorfa" title="Función meromorfa">Función meromorfa</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Referencias">Referencias</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_holomorfa&action=edit&section=6" title="Editar sección: Referencias"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="listaref" style="list-style-type: decimal;"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation libro">«20 "Funciones Analíticas<span style="padding-right:0.2em;">"</span>». <i>VARIABLE COMPLEJA Y APLICACIONES</i> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en castellano (Existe versiones en otros idiomas))</span>. p. 64n. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/84-7615-730-4" title="Especial:FuentesDeLibros/84-7615-730-4">84-7615-730-4</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AFunci%C3%B3n+holomorfa&rft.atitle=VARIABLE+COMPLEJA+Y+APLICACIONES&rft.btitle=20+%22Funciones+Anal%C3%ADticas%22&rft.genre=bookitem&rft.isbn=84-7615-730-4&rft.pages=64n&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Analytic_function#Analytic_functions_of_one_complex_variable">Analytic functions of one complex variable</a></i>, Encyclopedia of Mathematics. (European Mathematical Society ft. Springer, 2015)</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="citation libro"><i>Función analítica</i>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AFunci%C3%B3n+holomorfa&rft.btitle=Funci%C3%B3n+anal%C3%ADtica&rft.genre=book&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span> <span style="display:none;font-size:100%" class="error citation-comment"><code>|fechaacceso=</code> requiere <code>|url=</code> (<a href="/wiki/Ayuda:Errores_en_las_referencias#accessdate_missing_url" title="Ayuda:Errores en las referencias">ayuda</a>)</span></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Lars_Ahlfors" title="Lars Ahlfors">Ahlfors, L.</a>, <i>Complex Analysis, 3 ed.</i> (McGraw-Hill, 1979).</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Peter Ebenfelt, Norbert Hungerbühler, Joseph J. Kohn, Ngaiming Mok, Emil J. Straube (2011) <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=3GeUgafFRgMC&q=holomorphic">Complex Analysis</a></i> Springer Science & Business Media</span> </li> <li id="cite_note-Mark-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Mark_6-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Markushevich, A. I., <i>Theory of Functions of a Complex Variable</i> (Prentice-Hall, 1965). [Tres volúmenes.]</span> </li> <li id="cite_note-Gunning-7"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Gunning_7-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Gunning_7-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFGunningRossi1965" class="citation libro">Gunning, Robert C.; Rossi, Hugo (1965). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=L0zJmamx5AAC"><i>Analytic Functions of Several Complex Variables</i></a>. Prentice-Hall series in Modern Analysis. Englewood Cliffs, N.J.: <a href="/w/index.php?title=Prentice-Hall&action=edit&redlink=1" class="new" title="Prentice-Hall (aún no redactado)">Prentice-Hall</a>. pp. xiv+317. <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9780821869536" title="Especial:FuentesDeLibros/9780821869536">9780821869536</a></small>. <small><a href="/wiki/Mathematical_Reviews" title="Mathematical Reviews">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0180696">0180696</a></small>. <small><a href="/wiki/Zentralblatt_MATH" title="Zentralblatt MATH">Zbl</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/search/?format=complete&q=an:0141.08601">0141.08601</a></small>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AFunci%C3%B3n+holomorfa&rft.au=Gunning%2C+Robert+C.&rft.au=Rossi%2C+Hugo&rft.aufirst=Robert+C.&rft.aulast=Gunning&rft.btitle=Analytic+Functions+of+Several+Complex+Variables&rft.date=1965&rft.genre=book&rft.isbn=9780821869536&rft.mr=0180696&rft.pages=xiv%2B317&rft.place=Englewood+Cliffs%2C+N.J.&rft.pub=Prentice-Hall&rft.series=Prentice-Hall+series+in+Modern+Analysis&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2Fbooks%3Fid%3DL0zJmamx5AAC&rft_id=info%3Azbl%2F0141.08601&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFGrayMorris1978" class="citation">Gray, J. D.; Morris, S. A. (1978), «When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?», <i>The American Mathematical Monthly</i> (April 1978) <b>85</b> (4): 246-256, <small><a href="/wiki/JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/2321164">2321164</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AFunci%C3%B3n+holomorfa&rft.atitle=When+is+a+Function+that+Satisfies+the+Cauchy-Riemann+Equations+Analytic%3F&rft.au=Gray%2C+J.+D.&rft.au=Morris%2C+S.+A.&rft.aufirst=J.+D.&rft.aulast=Gray&rft.date=1978&rft.genre=article&rft.issue=4&rft.jstor=2321164&rft.jtitle=The+American+Mathematical+Monthly&rft.pages=246-256&rft.volume=85&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>..</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text">Los términos originales en francés eran <i>holomorphe</i> y <i>méromorphe</i>.<span id="CITAREFBriotBouquet1875" class="citation libro"><a href="/w/index.php?title=Charles_Auguste_Briot&action=edit&redlink=1" class="new" title="Charles Auguste Briot (aún no redactado)">Briot, Charles Auguste</a>; <a href="/w/index.php?title=Jean-Claude_Bouquet&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jean-Claude Bouquet (aún no redactado)">Bouquet, Jean-Claude</a> (1875). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/thoriedesfonct00briouoft/page/14/">«§15 fonctions holomorphes»</a>. <i>Théorie des fonctions elliptiques</i> (2nd edición). Gauthier-Villars. pp. 14-15. «Cuando una función es continua, monótropa y tiene una derivada, cuando la variable se mueve en una cierta parte del plano, diremos que es <i>holomorfa</i> en esta parte del plano. Indicamos con esta denominación que es semejante a las funciones enteras que gozan de estas propiedades en toda la extensión del plano. [¶ Una fracción racional tiene como polos las raíces del denominador; es una función holomorfa en cualquier parte del plano que no contenga ninguno de sus polos. ¶ Cuando una función es holomorfa en una parte del plano, excepto en ciertos polos, decimos que es <i>meromorfa</i> en esa parte del plano, es decir, semejante a las fracciones racionales. [Cuando una función es continua, <a href="/wiki/Monodrom%C3%ADa" title="Monodromía">monotrópica</a>, y tiene una derivada, cuando la variable se mueve en cierta parte del plano, decimos que es <i>holomorfa</i> en esa parte del plano. Queremos decir con este nombre que se parece a <a href="/wiki/Funci%C3%B3n_entera" class="mw-redirect" title="Función entera">función enteras</a> que gozan de estas propiedades en toda la extensión del plano. [...] ¶ Una fracción racional admite como <a href="/w/index.php?title=Ceros_y_polos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ceros y polos (aún no redactado)">polos</a> los <a href="/w/index.php?title=Ceros_y_polos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ceros y polos (aún no redactado)">raíces</a> del denominador; es una función holomorfa en toda aquella parte del plano que no contiene ningún polo. ¶ Cuando una función es holomorfa en parte del plano, excepto en ciertos polos, decimos que es <i>meromorfa</i> en esa parte del plano, es decir se parece a las fracciones racionales.]»</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AFunci%C3%B3n+holomorfa&rft.atitle=Th%C3%A9orie+des+fonctions+elliptiques&rft.au=Bouquet%2C+Jean-Claude&rft.au=Briot%2C+Charles+Auguste&rft.aufirst=Charles+Auguste&rft.aulast=Briot&rft.btitle=%C2%A715+fonctions+holomorphes&rft.date=1875&rft.edition=2nd&rft.genre=bookitem&rft.pages=14-15&rft.pub=Gauthier-Villars&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fthoriedesfonct00briouoft%2Fpage%2F14%2F&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><br /> <span id="CITAREFHarknessMorley1893" class="citation libro">Harkness, James; <a href="/wiki/Frank_Morley" title="Frank Morley">Morley, Frank</a> (1893). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/treatiseontheory00harkrich/page/n176/">«5. Integration»</a>. <i>A Treatise on the Theory of Functions</i>. Macmillan. p. 161.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AFunci%C3%B3n+holomorfa&rft.atitle=A+Treatise+on+the+Theory+of+Functions&rft.au=Harkness%2C+James&rft.au=Morley%2C+Frank&rft.aufirst=James&rft.aulast=Harkness&rft.btitle=5.+Integration&rft.date=1893&rft.genre=bookitem&rft.pages=161&rft.pub=Macmillan&rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Ftreatiseontheory00harkrich%2Fpage%2Fn176%2F&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFEvans1998" class="citation"><a href="/wiki/Lawrence_C._Evans" title="Lawrence C. Evans">Evans, Lawrence C.</a> (1998), <i>Ecuaciones diferenciales parciales</i>, American Mathematical Society</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AFunci%C3%B3n+holomorfa&rft.au=Evans%2C+Lawrence+C.&rft.aufirst=Lawrence+C.&rft.aulast=Evans&rft.btitle=Ecuaciones+diferenciales+parciales&rft.date=1998&rft.genre=book&rft.pub=American+Mathematical+Society&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>.. </span> </li> <li id="cite_note-Lang-11"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Lang_11-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Lang_11-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Lang_11-2"><sup><i><b>c</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFLang2003" class="citation">Lang, Serge (2003), <i>Complex Analysis</i>, Springer Verlag GTM, <a href="/wiki/Springer_Verlag" class="mw-redirect" title="Springer Verlag">Springer Verlag</a></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AFunci%C3%B3n+holomorfa&rft.au=Lang%2C+Serge&rft.aufirst=Serge&rft.aulast=Lang&rft.btitle=Complex+Analysis&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.pub=Springer+Verlag&rft.series=Springer+Verlag+GTM&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-12">↑</a></span> <span class="reference-text"><span id="CITAREFRudin1987" class="citation"><a href="/wiki/Walter_Rudin" title="Walter Rudin">Rudin, Walter</a> (1987), <i>Real and complex analysis</i> (3rd edición), New York: McGraw–Hill Book Co., <small><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:FuentesDeLibros/978-0-07-054234-1" title="Especial:FuentesDeLibros/978-0-07-054234-1">978-0-07-054234-1</a></small>, <small><a href="/wiki/Mathematical_Reviews" title="Mathematical Reviews">MR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=924157">924157</a></small></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AFunci%C3%B3n+holomorfa&rft.au=Rudin%2C+Walter&rft.aufirst=Walter&rft.aulast=Rudin&rft.btitle=Real+and+complex+analysis&rft.date=1987&rft.edition=3rd&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-07-054234-1&rft.mr=924157&rft.place=New+York&rft.pub=McGraw%E2%80%93Hill+Book+Co.&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span>.</span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografía"><span id="Bibliograf.C3.ADa"></span>Bibliografía</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_holomorfa&action=edit&section=7" title="Editar sección: Bibliografía"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span id="Reference-Mathworld-Holomorphic_function" class="citation web"><a href="/wiki/Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Weisstein, Eric W</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/HolomorphicFunction.html">«Holomorphic function»</a>. En Weisstein, Eric W, ed. <i><a href="/wiki/MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></i> <span style="color:var(--color-subtle, #555 );">(en inglés)</span>. <a href="/wiki/Wolfram_Research" title="Wolfram Research">Wolfram Research</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3AFunci%C3%B3n+holomorfa&rft.atitle=Holomorphic+function&rft.au=Weisstein%2C+Eric+W&rft.aulast=Weisstein%2C+Eric+W&rft.genre=article&rft.jtitle=MathWorld&rft.pub=Wolfram+Research&rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FHolomorphicFunction.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li></ul> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r161257576">.mw-parser-output .mw-authority-control{margin-top:1.5em}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox table{margin:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox hr:last-child{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox+.mw-mf-linked-projects{display:none}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{display:flex;padding:0.5em;border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral,#eaecf0);color:var(--color-base,#202122)}.mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects ul li{margin-bottom:0}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#f8f9fa)}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#f8f9fa}.mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#eeeeff}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d);background-color:var(--background-color-neutral,#27292d);color:var(--color-base,#eaecf0)}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}@media(prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .mw-mf-linked-projects{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral,#27292d)!important;color:var(--color-base,#eaecf0)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#72777d)!important;background-color:var(--background-color-neutral-subtle,#202122)!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox-list{border-color:#202122!important}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .mw-authority-control .navbox th{background-color:#27292d!important}}</style><div class="mw-authority-control"><div role="navigation" class="navbox" aria-label="Navbox" style="width: inherit;padding:3px"><table class="hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width: 12%; text-align:center;"><a href="/wiki/Control_de_autoridades" title="Control de autoridades">Control de autoridades</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b>Proyectos Wikimedia</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q207476" class="extiw" title="wikidata:Q207476">Q207476</a></span></li> <li><b>Identificadores</b></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_Francia" title="Biblioteca Nacional de Francia">BNF</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119819963">119819963</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://data.bnf.fr/ark:/12148/cb119819963">(data)</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4025645-5">4025645-5</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85061536">sh85061536</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_la_Dieta" title="Biblioteca Nacional de la Dieta">NDL</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00570426">00570426</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_la_Rep%C3%BAblica_Checa" title="Biblioteca Nacional de la República Checa">NKC</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://aleph.nkp.cz/F/?func=find-c&local_base=aut&ccl_term=ica=ph321880">ph321880</a></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_de_Israel" title="Biblioteca Nacional de Israel">NLI</a>:</span> <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007562960505171">987007562960505171</a></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div><div class="mw-mf-linked-projects hlist"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikidata" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span> Datos:</span> <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q207476" class="extiw" title="wikidata:Q207476">Q207476</a></span></li></ul> </div></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtenido de «<a dir="ltr" href="https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Función_holomorfa&oldid=161755255">https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Función_holomorfa&oldid=161755255</a>»</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categor%C3%ADas" title="Especial:Categorías">Categorías</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Tipos_de_funciones" title="Categoría:Tipos de funciones">Tipos de funciones</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:An%C3%A1lisis_complejo" title="Categoría:Análisis complejo">Análisis complejo</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Funciones_anal%C3%ADticas" title="Categoría:Funciones analíticas">Funciones analíticas</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categorías ocultas: <ul><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:P%C3%A1ginas_con_referencias_sin_URL_y_con_fecha_de_acceso" title="Categoría:Wikipedia:Páginas con referencias sin URL y con fecha de acceso">Wikipedia:Páginas con referencias sin URL y con fecha de acceso</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_BNF" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores BNF">Wikipedia:Artículos con identificadores BNF</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_GND" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores GND">Wikipedia:Artículos con identificadores GND</a></li><li><a href="/wiki/Categor%C3%ADa:Wikipedia:Art%C3%ADculos_con_identificadores_LCCN" title="Categoría:Wikipedia:Artículos con identificadores LCCN">Wikipedia:Artículos con identificadores LCCN</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página se editó por última vez el 8 ago 2024 a las 17:10.</li> <li id="footer-info-copyright">El texto está disponible bajo la <a href="/wiki/Wikipedia:Texto_de_la_Licencia_Creative_Commons_Atribuci%C3%B3n-CompartirIgual_4.0_Internacional" title="Wikipedia:Texto de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional">Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0</a>; 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