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<span>Afficher / masquer la sous-section Introduction</span> </button> <ul id="toc-Introduction-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Étymologie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Étymologie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Étymologie</span> </div> </a> <ul id="toc-Étymologie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Définition_heuristique_d'un_système_chaotique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Définition_heuristique_d'un_système_chaotique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Définition heuristique d'un système chaotique</span> </div> </a> <ul id="toc-Définition_heuristique_d'un_système_chaotique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Qu'est-ce_que_la_«_théorie_du_chaos_»_?" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Qu'est-ce_que_la_«_théorie_du_chaos_»_?"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3</span> <span>Qu'est-ce que la « théorie du chaos » ?</span> </div> </a> <ul id="toc-Qu'est-ce_que_la_«_théorie_du_chaos_»_?-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Chronologie_de_la_théorie_du_chaos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Chronologie_de_la_théorie_du_chaos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.4</span> <span>Chronologie de la théorie du chaos</span> </div> </a> <ul id="toc-Chronologie_de_la_théorie_du_chaos-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Le_déterminisme_de_Laplace" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Le_déterminisme_de_Laplace"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.4.1</span> <span>Le déterminisme de Laplace</span> </div> </a> <ul id="toc-Le_déterminisme_de_Laplace-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-La_découverte_du_phénomène_de_sensibilité_aux_conditions_initiales_par_Henri_Poincaré" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#La_découverte_du_phénomène_de_sensibilité_aux_conditions_initiales_par_Henri_Poincaré"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.4.2</span> <span>La découverte du phénomène de sensibilité aux conditions initiales par Henri Poincaré</span> </div> </a> <ul id="toc-La_découverte_du_phénomène_de_sensibilité_aux_conditions_initiales_par_Henri_Poincaré-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Études_de_Mary_Lucy_Cartwright_dans_les_années_1930" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Études_de_Mary_Lucy_Cartwright_dans_les_années_1930"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.4.3</span> <span>Études de Mary Lucy Cartwright dans les années 1930</span> </div> </a> <ul id="toc-Études_de_Mary_Lucy_Cartwright_dans_les_années_1930-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Élaboration_de_la_théorie_du_chaos_dans_les_années_1970" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Élaboration_de_la_théorie_du_chaos_dans_les_années_1970"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.4.4</span> <span>Élaboration de la théorie du chaos dans les années 1970</span> </div> </a> <ul id="toc-Élaboration_de_la_théorie_du_chaos_dans_les_années_1970-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Le_déterminisme,_de_Laplace_à_Poincaré" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Le_déterminisme,_de_Laplace_à_Poincaré"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Le déterminisme, de Laplace à Poincaré</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Le_déterminisme,_de_Laplace_à_Poincaré-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Le déterminisme, de Laplace à Poincaré</span> </button> <ul id="toc-Le_déterminisme,_de_Laplace_à_Poincaré-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-La_stabilité_du_Système_solaire" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#La_stabilité_du_Système_solaire"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>La stabilité du Système solaire</span> </div> </a> <ul id="toc-La_stabilité_du_Système_solaire-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notion_de_système_dynamique_différentiel_conservatif" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Notion_de_système_dynamique_différentiel_conservatif"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Notion de système dynamique différentiel conservatif</span> </div> </a> <ul id="toc-Notion_de_système_dynamique_différentiel_conservatif-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Laplace,_ou_le_déterminisme_triomphant" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Laplace,_ou_le_déterminisme_triomphant"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.3</span> <span>Laplace, ou le déterminisme triomphant</span> </div> </a> <ul id="toc-Laplace,_ou_le_déterminisme_triomphant-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Le_théorème_de_Cauchy-Lipschitz" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Le_théorème_de_Cauchy-Lipschitz"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.4</span> <span>Le théorème de Cauchy-Lipschitz</span> </div> </a> <ul id="toc-Le_théorème_de_Cauchy-Lipschitz-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Poincaré_et_l'imprédictibilité" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Poincaré_et_l'imprédictibilité"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.5</span> <span>Poincaré et l'imprédictibilité</span> </div> </a> <ul id="toc-Poincaré_et_l'imprédictibilité-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Sensibilité_aux_conditions_initiales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Sensibilité_aux_conditions_initiales"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.5.1</span> <span>Sensibilité aux conditions initiales</span> </div> </a> <ul id="toc-Sensibilité_aux_conditions_initiales-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Postérité_des_travaux_de_Poincaré" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Postérité_des_travaux_de_Poincaré"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Postérité des travaux de Poincaré</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Postérité_des_travaux_de_Poincaré-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Postérité des travaux de Poincaré</span> </button> <ul id="toc-Postérité_des_travaux_de_Poincaré-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Poincaré_et_la_stabilité_du_Système_solaire" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Poincaré_et_la_stabilité_du_Système_solaire"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Poincaré et la stabilité du Système solaire</span> </div> </a> <ul id="toc-Poincaré_et_la_stabilité_du_Système_solaire-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-L'école_russe_des_années_1890-1950" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#L'école_russe_des_années_1890-1950"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>L'école russe des années 1890-1950</span> </div> </a> <ul id="toc-L'école_russe_des_années_1890-1950-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Liapounov_et_la_stabilité_du_mouvement" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Liapounov_et_la_stabilité_du_mouvement"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2.1</span> <span>Liapounov et la stabilité du mouvement</span> </div> </a> <ul id="toc-Liapounov_et_la_stabilité_du_mouvement-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-L'école_de_Gorki_:_1930-1940" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#L'école_de_Gorki_:_1930-1940"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2.2</span> <span>L'école de Gorki : 1930-1940</span> </div> </a> <ul id="toc-L'école_de_Gorki_:_1930-1940-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-L'oscillateur_de_Van_der_Pol" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#L'oscillateur_de_Van_der_Pol"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>L'oscillateur de Van der Pol</span> </div> </a> <ul id="toc-L'oscillateur_de_Van_der_Pol-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Émergence_et_développement_de_la_théorie_ergodique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Émergence_et_développement_de_la_théorie_ergodique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4</span> <span>Émergence et développement de la théorie ergodique</span> </div> </a> <ul id="toc-Émergence_et_développement_de_la_théorie_ergodique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Prédictibilité_et_calculabilité" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Prédictibilité_et_calculabilité"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.5</span> <span>Prédictibilité et calculabilité</span> </div> </a> <ul id="toc-Prédictibilité_et_calculabilité-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Décidabilité" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Décidabilité"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.6</span> <span>Décidabilité</span> </div> </a> <ul id="toc-Décidabilité-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Lorenz_et_la_météorologie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Lorenz_et_la_météorologie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.7</span> <span>Lorenz et la météorologie</span> </div> </a> <ul id="toc-Lorenz_et_la_météorologie-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Présentation" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Présentation"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.7.1</span> <span>Présentation</span> </div> </a> <ul id="toc-Présentation-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-La_métaphore_du_papillon" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#La_métaphore_du_papillon"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.7.2</span> <span>La métaphore du papillon</span> </div> </a> <ul id="toc-La_métaphore_du_papillon-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Stephen_Smale_:_topologie_et_stabilité_structurelle" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Stephen_Smale_:_topologie_et_stabilité_structurelle"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.8</span> <span>Stephen Smale : topologie et stabilité structurelle</span> </div> </a> <ul id="toc-Stephen_Smale_:_topologie_et_stabilité_structurelle-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-L'école_russe_des_années_1950-1980" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#L'école_russe_des_années_1950-1980"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.9</span> <span>L'école russe des années 1950-1980</span> </div> </a> <ul id="toc-L'école_russe_des_années_1950-1980-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Transition_d'une_dynamique_régulière_vers_le_chaos" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Transition_d'une_dynamique_régulière_vers_le_chaos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Transition d'une dynamique régulière vers le chaos</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Transition_d'une_dynamique_régulière_vers_le_chaos-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Transition d'une dynamique régulière vers le chaos</span> </button> <ul id="toc-Transition_d'une_dynamique_régulière_vers_le_chaos-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Cascade_de_doublements_de_période" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Cascade_de_doublements_de_période"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Cascade de doublements de période</span> </div> </a> <ul id="toc-Cascade_de_doublements_de_période-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Scénario_de_Ruelle-Takens" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Scénario_de_Ruelle-Takens"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Scénario de Ruelle-Takens</span> </div> </a> <ul id="toc-Scénario_de_Ruelle-Takens-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Scénario_de_Pomeau-Manneville" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Scénario_de_Pomeau-Manneville"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>Scénario de Pomeau-Manneville</span> </div> </a> <ul id="toc-Scénario_de_Pomeau-Manneville-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Quelques_exemples" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Quelques_exemples"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Quelques exemples</span> </div> </a> <ul id="toc-Quelques_exemples-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Applications" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Applications"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Applications</span> </div> </a> <ul id="toc-Applications-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliographie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliographie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Bibliographie</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Bibliographie-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Bibliographie</span> </button> <ul id="toc-Bibliographie-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Bibliothèque_virtuelle" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliothèque_virtuelle"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>Bibliothèque virtuelle</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliothèque_virtuelle-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ouvrages_de_vulgarisation" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Ouvrages_de_vulgarisation"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2</span> <span>Ouvrages de vulgarisation</span> </div> </a> <ul id="toc-Ouvrages_de_vulgarisation-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Textes_techniques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Textes_techniques"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.3</span> <span>Textes techniques</span> </div> </a> <ul id="toc-Textes_techniques-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Aspects_historiques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Aspects_historiques"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.4</span> <span>Aspects historiques</span> </div> </a> <ul id="toc-Aspects_historiques-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Notes et références</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Notes_et_références-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Notes et références</span> </button> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Notes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.1</span> <span>Notes</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8.2</span> <span>Références</span> </div> </a> <ul id="toc-Références-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Voir_aussi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Voir_aussi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Voir aussi</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Voir_aussi-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Voir aussi</span> </button> <ul id="toc-Voir_aussi-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Articles_connexes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Articles_connexes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.1</span> <span>Articles connexes</span> </div> </a> <ul id="toc-Articles_connexes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liens_externes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liens_externes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9.2</span> <span>Liens externes</span> </div> </a> <ul id="toc-Liens_externes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Basculer la table des matières</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Théorie du chaos</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Aller à un article dans une autre langue. Disponible en 67 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-67" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">67 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Chaosteorie" title="Chaosteorie – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Chaosteorie" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D9%81%D9%88%D8%B6%D9%89_%D8%A7%D9%84%D9%83%D9%88%D9%86" title="نظرية فوضى الكون – arabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="نظرية فوضى الكون" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ary mw-list-item"><a href="https://ary.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B6%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%B1%D9%88%D9%8A%D9%86%D8%A9" title="نضرية الروينة – arabe marocain" lang="ary" hreflang="ary" data-title="نضرية الروينة" data-language-autonym="الدارجة" data-language-local-name="arabe marocain" class="interlanguage-link-target"><span>الدارجة</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_caos" title="Teoría del caos – asturien" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Teoría del caos" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturien" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Xaos_n%C9%99z%C9%99riyy%C9%99si" title="Xaos nəzəriyyəsi – azerbaïdjanais" lang="az" hreflang="az" data-title="Xaos nəzəriyyəsi" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaïdjanais" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D0%BE%D1%81_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F%D2%BB%D1%8B" title="Хаос теорияһы – bachkir" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Хаос теорияһы" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="bachkir" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_%D1%85%D0%B0%D0%BE%D1%81%D0%B0" title="Теория на хаоса – bulgare" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Теория на хаоса" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bulgare" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%AC%E0%A6%BF%E0%A6%B6%E0%A7%83%E0%A6%99%E0%A7%8D%E0%A6%96%E0%A6%B2%E0%A6%BE_%E0%A6%A4%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%AC" title="বিশৃঙ্খলা তত্ত্ব – bengali" lang="bn" hreflang="bn" data-title="বিশৃঙ্খলা তত্ত্ব" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengali" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Teoria_del_caos" title="Teoria del caos – catalan" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Teoria del caos" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalan" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%AA%DB%8C%DB%86%D8%B1%DB%8C%DB%8C_%D8%B4%DB%8E%D9%88%D8%A7%D9%88%DB%8C" title="تیۆریی شێواوی – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="تیۆریی شێواوی" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Teorie_chaosu" title="Teorie chaosu – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Teorie chaosu" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D0%BE%D1%81_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B9%C4%95" title="Хаос теорийĕ – tchouvache" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Хаос теорийĕ" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="tchouvache" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Damcaniaeth_anhrefn" title="Damcaniaeth anhrefn – gallois" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Damcaniaeth anhrefn" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="gallois" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Kaosteori" title="Kaosteori – danois" lang="da" hreflang="da" data-title="Kaosteori" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="danois" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="bon article"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Chaosforschung" title="Chaosforschung – allemand" lang="de" hreflang="de" data-title="Chaosforschung" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%98%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%AF%CE%B1_%CF%84%CE%BF%CF%85_%CF%87%CE%AC%CE%BF%CF%85%CF%82" title="Θεωρία του χάους – grec" lang="el" hreflang="el" data-title="Θεωρία του χάους" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grec" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory" title="Chaos theory – anglais" lang="en" hreflang="en" data-title="Chaos theory" data-language-autonym="English" data-language-local-name="anglais" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/%C4%A4aosoteorio" title="Ĥaosoteorio – espéranto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Ĥaosoteorio" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_caos" title="Teoría del caos – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Teoría del caos" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Kaoseteooria" title="Kaoseteooria – estonien" lang="et" hreflang="et" data-title="Kaoseteooria" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonien" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Kaosaren_teoria" title="Kaosaren teoria – basque" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Kaosaren teoria" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basque" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%DB%8C%D9%87_%D8%A2%D8%B4%D9%88%D8%A8" title="نظریه آشوب – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="نظریه آشوب" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Kaaosteoria" title="Kaaosteoria – finnois" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Kaaosteoria" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finnois" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Anord" title="Anord – irlandais" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Anord" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gan mw-list-item"><a href="https://gan.wikipedia.org/wiki/%E6%B7%B7%E6%B2%8C%E7%90%86%E8%AB%96" title="混沌理論 – gan" lang="gan" hreflang="gan" data-title="混沌理論" data-language-autonym="贛語" data-language-local-name="gan" class="interlanguage-link-target"><span>贛語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_do_caos" title="Teoría do caos – galicien" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Teoría do caos" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicien" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%9B%D7%90%D7%95%D7%A1" title="תורת הכאוס – hébreu" lang="he" hreflang="he" data-title="תורת הכאוס" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hébreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%85%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AE_%E0%A4%B8%E0%A4%BF%E0%A4%A6%E0%A5%8D%E0%A4%A7%E0%A4%BE%E0%A4%A8%E0%A5%8D%E0%A4%A4" title="अक्रम सिद्धान्त – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="अक्रम सिद्धान्त" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Teorija_kaosa" title="Teorija kaosa – croate" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Teorija kaosa" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croate" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/K%C3%A1oszelm%C3%A9let" title="Káoszelmélet – hongrois" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Káoszelmélet" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongrois" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Teori_kekacauan" title="Teori kekacauan – indonésien" lang="id" hreflang="id" data-title="Teori kekacauan" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésien" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_del_caos" title="Teoria del caos – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Teoria del caos" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%AA%E3%82%B9%E7%90%86%E8%AB%96" title="カオス理論 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="カオス理論" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Kyeas_tiori" title="Kyeas tiori – créole jamaïcain" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Kyeas tiori" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="créole jamaïcain" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%98%BC%EB%8F%88_%EC%9D%B4%EB%A1%A0" title="혼돈 이론 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="혼돈 이론" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Chaoso_teorija" title="Chaoso teorija – lituanien" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Chaoso teorija" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituanien" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%95%E0%B4%AF%E0%B5%8B%E0%B4%B8%E0%B5%8D_%E0%B4%B8%E0%B4%BF%E0%B4%A6%E0%B5%8D%E0%B4%A7%E0%B4%BE%E0%B4%A8%E0%B5%8D%E0%B4%A4%E0%B4%82" title="കയോസ് സിദ്ധാന്തം – malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="കയോസ് സിദ്ധാന്തം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%B0%D0%BE%D1%81%D1%8B%D0%BD_%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BB" title="Хаосын онол – mongol" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Хаосын онол" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8B%E0%A4%B2%E0%A4%BE%E0%A4%B9%E0%A4%B2" title="कोलाहल – marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="कोलाहल" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Teori_kekacauan" title="Teori kekacauan – malais" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Teori kekacauan" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malais" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Chaostheorie" title="Chaostheorie – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Chaostheorie" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Kaosteori" title="Kaosteori – norvégien nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Kaosteori" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norvégien nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Kaosteori" title="Kaosteori – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Kaosteori" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%98%E0%A9%9C%E0%A8%AE%E0%A9%B1%E0%A8%B8_%E0%A8%B8%E0%A8%BF%E0%A8%A7%E0%A8%BE%E0%A8%82%E0%A8%A4" title="ਘੜਮੱਸ ਸਿਧਾਂਤ – pendjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਘੜਮੱਸ ਸਿਧਾਂਤ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendjabi" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pam mw-list-item"><a href="https://pam.wikipedia.org/wiki/Teoriang_chaos" title="Teoriang chaos – pampangan" lang="pam" hreflang="pam" data-title="Teoriang chaos" data-language-autonym="Kapampangan" data-language-local-name="pampangan" class="interlanguage-link-target"><span>Kapampangan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pdc mw-list-item"><a href="https://pdc.wikipedia.org/wiki/Chaos_Theory" title="Chaos Theory – pennsilfaanisch" lang="pdc" hreflang="pdc" data-title="Chaos Theory" data-language-autonym="Deitsch" data-language-local-name="pennsilfaanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Deitsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Chaos_(matematyka)" title="Chaos (matematyka) – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Chaos (matematyka)" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%DB%8C%DB%82_%D8%B4%D9%88%D8%A7%D8%B4" title="نظریۂ شواش – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="نظریۂ شواش" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_do_caos" title="Teoria do caos – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Teoria do caos" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Teoria_haosului" title="Teoria haosului – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Teoria haosului" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%85%D0%B0%D0%BE%D1%81%D0%B0" title="Теория хаоса – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Теория хаоса" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Tiur%C3%ACa_d%C3%BB_caos" title="Tiurìa dû caos – sicilien" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Tiurìa dû caos" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sicilien" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Teorija_kaosa" title="Teorija kaosa – serbo-croate" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Teorija kaosa" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbo-croate" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory" title="Chaos theory – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Chaos theory" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Te%C3%B3ria_chaosu" title="Teória chaosu – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Teória chaosu" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Teorija_kaosa" title="Teorija kaosa – slovène" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Teorija kaosa" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovène" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0_%D1%85%D0%B0%D0%BE%D1%81%D0%B0" title="Теорија хаоса – serbe" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Теорија хаоса" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbe" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Kaosteori" title="Kaosteori – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Kaosteori" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%92%E0%AE%B4%E0%AF%81%E0%AE%99%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AE%BF%E0%AE%A9%E0%AF%8D%E0%AE%AE%E0%AF%88_%E0%AE%95%E0%AF%8B%E0%AE%9F%E0%AF%8D%E0%AE%AA%E0%AE%BE%E0%AE%9F%E0%AF%81" title="ஒழுங்கின்மை கோட்பாடு – tamoul" lang="ta" hreflang="ta" data-title="ஒழுங்கின்மை கோட்பாடு" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamoul" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%A4%E0%B8%A9%E0%B8%8E%E0%B8%B5%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%B2%E0%B8%A1%E0%B8%AD%E0%B8%A5%E0%B8%A7%E0%B8%99" title="ทฤษฎีความอลวน – thaï" lang="th" hreflang="th" data-title="ทฤษฎีความอลวน" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thaï" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Kaos_teorisi" title="Kaos teorisi – turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Kaos teorisi" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%85%D0%B0%D0%BE%D1%81%D1%83" title="Теорія хаосу – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Теорія хаосу" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%DB%8C%DB%82_%D8%B4%D9%88%D8%A7%D8%B4" title="نظریۂ شواش – ourdou" lang="ur" hreflang="ur" data-title="نظریۂ شواش" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="ourdou" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_h%E1%BB%97n_lo%E1%BA%A1n" title="Lý thuyết hỗn loạn – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Lý thuyết hỗn loạn" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E6%B7%B7%E6%B2%8C%E7%90%86%E8%AE%BA" title="混沌理论 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="混沌理论" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B7%B7%E6%B2%8C%E7%90%86%E8%AE%BA" title="混沌理论 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="混沌理论" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E6%B7%B7%E6%B2%8C%E7%90%86%E8%AB%96" title="混沌理論 – cantonais" lang="yue" hreflang="yue" data-title="混沌理論" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q166314#sitelinks-wikipedia" 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class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:Citer&page=Th%C3%A9orie_du_chaos&id=216601931&wpFormIdentifier=titleform" title="Informations sur la manière de citer cette page"><span>Citer cette page</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FTh%25C3%25A9orie_du_chaos"><span>Obtenir l'URL raccourcie</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Sp%C3%A9cial:QrCode&url=https%3A%2F%2Ffr.wikipedia.org%2Fwiki%2FTh%25C3%25A9orie_du_chaos"><span>Télécharger le code QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Imprimer / exporter </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a 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id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q166314" title="Lien vers l’élément dans le dépôt de données connecté [g]" accesskey="g"><span>Élément Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">déplacer vers la barre latérale</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">masquer</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><div class="bandeau-container metadata homonymie hatnote"><div class="bandeau-cell bandeau-icone" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Aide:Homonymie" title="Aide:Homonymie"><img alt="Page d’aide sur l’homonymie" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/20px-Logo_disambig.svg.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/30px-Logo_disambig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/40px-Logo_disambig.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="375" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p>Pour les articles homonymes, voir <a href="/wiki/Chaos" class="mw-disambig" title="Chaos">Chaos</a>. </p> </div></div> <p class="mw-empty-elt"> </p> <table class="infobox_v2 infobox infobox--frwiki noarchive"> <tbody><tr> <td colspan="2" class="entete universite" style="background-color:#6495ED;color:black;">Théorie du chaos<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r160407116">.mw-parser-output .entete.universite{background-image:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/42/Picto_infobox_book.png")}</style> </td></tr> <tr><td colspan="3" style="text-align:center; line-height: 1.5em;"><span typeof="mw:File/Frameless"><a href="/wiki/Fichier:Double_pendule_(simulation_Algodoo%C2%A9).gif" class="mw-file-description"><img alt="Image illustrative de l’article Théorie du chaos" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Double_pendule_%28simulation_Algodoo%C2%A9%29.gif/280px-Double_pendule_%28simulation_Algodoo%C2%A9%29.gif" decoding="async" width="280" height="136" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8a/Double_pendule_%28simulation_Algodoo%C2%A9%29.gif/420px-Double_pendule_%28simulation_Algodoo%C2%A9%29.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8a/Double_pendule_%28simulation_Algodoo%C2%A9%29.gif 2x" data-file-width="533" data-file-height="258" /></a></span> <br />Illustration de la théorie du chaos : le <a href="/wiki/Pendule_double" title="Pendule double">pendule double</a> a un comportement déterministe (car répondant aux lois newtoniennes) mais imprédictible. La sensibilité aux conditions initiales provoque une divergence des mouvements des deux pendules, initialement quasiment identiques (le changement est ici provoqué par une <a href="/wiki/Stabilit%C3%A9_num%C3%A9rique" title="Stabilité numérique">instabilité numérique</a> survenant au cours de la résolution).</td></tr> <tr> <td colspan="2"><hr style="height:2px; background-color:#6495ED;" /></td></tr> <tr> <th scope="row">Définition </th> <td>La théorie du chaos étudie les systèmes dynamiques en cherchant à comprendre les conséquences des conditions initiales. </td> </tr> <tr> <th scope="row">Auteur(s) </th> <td><a href="/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a> et <a href="/wiki/Mary_Cartwright" title="Mary Cartwright">Mary Cartwright</a> </td> </tr> <tr> <th scope="row">Date d'apparition </th> <td><abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle"><span class="romain">XIX</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> – <abbr class="abbr" title="20ᵉ siècle"><span class="romain">XX</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle </td> </tr> <tr> <th scope="row">Pays </th> <td><span data-sort-value="Europe"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Blank_map_of_Europe_cropped.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Blank_map_of_Europe_cropped.svg/22px-Blank_map_of_Europe_cropped.svg.png" decoding="async" width="22" height="22" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Blank_map_of_Europe_cropped.svg/33px-Blank_map_of_Europe_cropped.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Blank_map_of_Europe_cropped.svg/44px-Blank_map_of_Europe_cropped.svg.png 2x" data-file-width="593" data-file-height="606" /></a></span> <a href="/wiki/Europe" title="Europe">Europe</a></span> </td> </tr> <tr> <td class="navigation-only" colspan="2" style="border-top: 2px #6495ED solid; font-size: 80%; background:inherit; text-align: right;"><span class="plainlinks" style="float:left;"><a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=0"><span class="infodoc">modifier</span></a></span> <span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Infobox_Concept_historique" title="Consultez la documentation du modèle"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/12px-Info_Simple.svg.png" decoding="async" width="12" height="12" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/18px-Info_Simple.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/24px-Info_Simple.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></td> </tr> </tbody></table> <p>La <b>théorie du chaos</b> est une théorie scientifique rattachée aux <a href="/wiki/Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a> et à la <a href="/wiki/Physique" title="Physique">physique</a> qui étudie le comportement des <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_dynamique" title="Système dynamique">systèmes dynamiques</a> <a href="/wiki/D%C3%A9terminisme" title="Déterminisme">déterministes</a> et <a href="/wiki/Sensibilit%C3%A9_aux_conditions_initiales" title="Sensibilité aux conditions initiales">sensibles aux conditions initiales</a>, un phénomène généralement illustré par l'<a href="/wiki/Effet_papillon" title="Effet papillon">effet papillon</a>. </p><p>Dans de nombreux systèmes dynamiques, des modifications infimes des conditions initiales entraînent des évolutions rapidement divergentes, rendant toute prédiction impossible à long terme. Bien que ce soient des <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_d%C3%A9terministe" title="Système déterministe">systèmes déterministes</a>, dont le comportement futur est déterminé par les <a href="/wiki/Condition_initiale" title="Condition initiale">conditions initiales</a>, sans aucune intervention du <a href="/wiki/Hasard" title="Hasard">hasard</a>, ils sont imprévisibles (au moins dans le détail) car on ne peut pas connaître les conditions initiales avec une précision infinie<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite_crochet">[</span>a<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Ce comportement paradoxal est connu sous le nom de <b>chaos déterministe</b><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, ou tout simplement de <b>chaos</b>. </p><p>Le comportement chaotique est à la base de nombreux <a href="/wiki/Syst%C3%A8me" title="Système">systèmes</a> naturels, tels que la météo ou le climat. Ce comportement peut être étudié grâce à l'analyse par des <a href="/wiki/Mod%C3%A8le_math%C3%A9matique" title="Modèle mathématique">modèles mathématiques</a> chaotiques, ou par des techniques analytiques de <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_r%C3%A9currence_de_Poincar%C3%A9" title="Théorème de récurrence de Poincaré">récurrence</a> et des <a href="/wiki/Application_de_Poincar%C3%A9" title="Application de Poincaré">applications de Poincaré</a>. La théorie du chaos a des applications en <a href="/wiki/M%C3%A9t%C3%A9orologie" title="Météorologie">météorologie</a>, <a href="/wiki/Climatologie" title="Climatologie">climatologie</a>, <a href="/wiki/Sociologie" title="Sociologie">sociologie</a>, <a href="/wiki/Physique" title="Physique">physique</a>, <a href="/wiki/Informatique" title="Informatique">informatique</a>, <a href="/wiki/Ing%C3%A9nierie" title="Ingénierie">ingénierie</a>, <a href="/wiki/Sciences_%C3%A9conomiques" class="mw-redirect" title="Sciences économiques">économie</a>, <a href="/wiki/Biologie" title="Biologie">biologie</a> et <a href="/wiki/Philosophie" title="Philosophie">philosophie</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Introduction">Introduction</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Introduction" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Introduction"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Étymologie"><span id=".C3.89tymologie"></span>Étymologie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Étymologie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Étymologie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La notion de <a href="/wiki/Chaos_(cosmogonie)" title="Chaos (cosmogonie)">chaos</a> renvoie à un <a href="/wiki/Concept_(philosophie)" title="Concept (philosophie)">concept</a> qui remonte à l'<a href="/wiki/Antiquit%C3%A9" title="Antiquité">Antiquité</a>, dans la perspective d'une explication du monde reposant sur le principe de l'harmonie et du <a href="/wiki/Cosmos_(philosophie)" title="Cosmos (philosophie)">cosmos</a>. C'est un concept de <a href="/wiki/Philosophie" title="Philosophie">philosophie</a> avant d'être un concept des mathématiques. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Définition_heuristique_d'un_système_chaotique"><span id="D.C3.A9finition_heuristique_d.27un_syst.C3.A8me_chaotique"></span>Définition heuristique d'un système chaotique</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Définition heuristique d'un système chaotique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Définition heuristique d'un système chaotique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_dynamique" title="Système dynamique">système dynamique</a> est dit <b>chaotique</b> si une portion « significative » de son <a href="/wiki/Espace_des_phases" title="Espace des phases">espace des phases</a> présente simultanément les deux caractéristiques suivantes : </p> <ul><li>le phénomène de <a href="/wiki/Sensibilit%C3%A9_aux_conditions_initiales" title="Sensibilité aux conditions initiales">sensibilité aux conditions initiales</a> ;</li> <li>une forte <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_ergodique" title="Théorie ergodique">récurrence</a>.</li></ul> <p>La présence de ces deux propriétés entraîne un comportement extrêmement désordonné, qualifié à juste titre de « chaotique ». Les systèmes chaotiques s'opposent notamment aux <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_int%C3%A9grable" title="Système intégrable">systèmes intégrables</a> de la <a href="/wiki/M%C3%A9canique_newtonienne" title="Mécanique newtonienne">mécanique classique</a>, qui furent longtemps les symboles d'une régularité toute puissante en <a href="/wiki/Physique_th%C3%A9orique" title="Physique théorique">physique théorique</a>. La dynamique <i>quasi périodique</i> d'un système intégrable semblait elle-même trouver son illustration parfaite dans les majestueux mouvements des planètes du <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_solaire" title="Système solaire">Système solaire</a> autour du Soleil ; aussi <a href="/wiki/Voltaire" title="Voltaire">Voltaire</a>, qui incita <a href="/wiki/%C3%89milie_du_Ch%C3%A2telet" title="Émilie du Châtelet">Émilie du Châtelet</a> à entreprendre la traduction des <i><a href="/wiki/Philosophiae_naturalis_principia_mathematica" class="mw-redirect" title="Philosophiae naturalis principia mathematica">Philosophiae naturalis principia mathematica</a></i> de <a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Newton</a>, parlait de Dieu comme du « Grand Horloger »… </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Qu'est-ce_que_la_«_théorie_du_chaos_»_?"><span id="Qu.27est-ce_que_la_.C2.AB_th.C3.A9orie_du_chaos_.C2.BB_.3F"></span>Qu'est-ce que la « théorie du chaos » ?</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Qu'est-ce que la « théorie du chaos » ?" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Qu'est-ce que la « théorie du chaos » ?"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Au cours de son histoire, la physique théorique s'était déjà trouvée confrontée à la description de <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_complexe" title="Système complexe">systèmes complexes</a> macroscopiques, comme un volume de gaz ou de liquide, mais la difficulté à décrire de tels systèmes semblait découler du très grand nombre de <a href="/wiki/Degr%C3%A9_de_libert%C3%A9_(physique_et_chimie)" class="mw-redirect" title="Degré de liberté (physique et chimie)">degrés de liberté</a> internes du système à l'échelle microscopique (atomes, molécules). La <a href="/wiki/Physique_statistique" title="Physique statistique">mécanique statistique</a> avait dans ce cas permis de rendre compte de façon satisfaisante des propriétés macroscopiques de ces systèmes à l'équilibre. Ce fut donc une grande surprise lorsqu'on s'aperçut à la fin du <a href="/wiki/XIXe_si%C3%A8cle" title="XIXe siècle"><abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle"><span class="romain">XIX</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle</a> qu'une dynamique d'une grande <a href="/wiki/Complexit%C3%A9" title="Complexité">complexité</a> pouvait résulter d'un système simple possédant un <i>très petit nombre de degrés de liberté</i><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite_crochet">[</span>b<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, pourvu qu'il possède cette propriété de sensibilité aux conditions initiales. </p><p>La théorie du chaos s'attache principalement à la description de ces systèmes à petit nombre de degrés de liberté, souvent très simples à définir, mais dont la dynamique nous apparaît comme très désordonnée<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite_crochet">[</span>c<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Chronologie_de_la_théorie_du_chaos"><span id="Chronologie_de_la_th.C3.A9orie_du_chaos"></span>Chronologie de la théorie du chaos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Chronologie de la théorie du chaos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Chronologie de la théorie du chaos"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Le_déterminisme_de_Laplace"><span id="Le_d.C3.A9terminisme_de_Laplace"></span>Le déterminisme de Laplace</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Le déterminisme de Laplace" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Le déterminisme de Laplace"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La question de départ était de prédire le mouvement de la Lune, question posée par les <a href="/wiki/Astronome" title="Astronome">astronomes</a>. <a href="/wiki/Pierre-Simon_de_Laplace" title="Pierre-Simon de Laplace">Pierre-Simon de Laplace</a> a émis l'hypothèse de la stabilité du Système solaire en utilisant la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_perturbations" title="Théorie des perturbations">théorie des perturbations</a> au premier ordre. Mais le développement perturbatif au premier ordre est insuffisant pour conclure définitivement. Un siècle après Laplace, <a href="/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a> s'est donc emparé du problème. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="La_découverte_du_phénomène_de_sensibilité_aux_conditions_initiales_par_Henri_Poincaré"><span id="La_d.C3.A9couverte_du_ph.C3.A9nom.C3.A8ne_de_sensibilit.C3.A9_aux_conditions_initiales_par_Henri_Poincar.C3.A9"></span>La découverte du phénomène de sensibilité aux conditions initiales par Henri Poincaré</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : La découverte du phénomène de sensibilité aux conditions initiales par Henri Poincaré" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : La découverte du phénomène de sensibilité aux conditions initiales par Henri Poincaré"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Le phénomène de sensibilité aux conditions initiales a été découvert dès la fin du <a href="/wiki/XIXe_si%C3%A8cle" title="XIXe siècle"><abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle"><span class="romain">XIX</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle</a> par Henri Poincaré, dans des travaux concernant le <a href="/wiki/Probl%C3%A8me_%C3%A0_N_corps" title="Problème à N corps">problème à N corps</a> en <a href="/wiki/M%C3%A9canique_c%C3%A9leste" title="Mécanique céleste">mécanique céleste</a> (notamment dans le volume 3 des <i>Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste</i>), puis par <a href="/wiki/Jacques_Hadamard" title="Jacques Hadamard">Jacques Hadamard</a> avec un modèle mathématique abstrait aujourd'hui baptisé « <a href="/wiki/Flot_g%C3%A9od%C3%A9sique" title="Flot géodésique">flot géodésique</a> sur une surface à <a href="/wiki/Courbure" title="Courbure">courbure</a> négative ». Cette découverte a entraîné un grand nombre de travaux importants, principalement dans le domaine des mathématiques. Ces travaux sont évoqués dans le paragraphe <i>Développements historiques</i> situé plus loin. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Études_de_Mary_Lucy_Cartwright_dans_les_années_1930"><span id=".C3.89tudes_de_Mary_Lucy_Cartwright_dans_les_ann.C3.A9es_1930"></span>Études de Mary Lucy Cartwright dans les années 1930</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Études de Mary Lucy Cartwright dans les années 1930" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Études de Mary Lucy Cartwright dans les années 1930"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Mary_Cartwright" title="Mary Cartwright">Mary Lucy Cartwright</a>, <a href="/wiki/Math%C3%A9maticien" title="Mathématicien">mathématicienne</a> <a href="/wiki/Royaume-Uni" title="Royaume-Uni">britannique</a> est également une pionnière de l’étude du chaos<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Élaboration_de_la_théorie_du_chaos_dans_les_années_1970"><span id=".C3.89laboration_de_la_th.C3.A9orie_du_chaos_dans_les_ann.C3.A9es_1970"></span>Élaboration de la théorie du chaos dans les années 1970</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Élaboration de la théorie du chaos dans les années 1970" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Élaboration de la théorie du chaos dans les années 1970"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Lorenz_attractor_boxed.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Lorenz_attractor_boxed.svg/220px-Lorenz_attractor_boxed.svg.png" decoding="async" width="220" height="254" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Lorenz_attractor_boxed.svg/330px-Lorenz_attractor_boxed.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Lorenz_attractor_boxed.svg/440px-Lorenz_attractor_boxed.svg.png 2x" data-file-width="2495" data-file-height="2880" /></a><figcaption><a href="/wiki/Attracteur_de_Lorenz" title="Attracteur de Lorenz">Attracteur étrange de Lorenz</a> (1963).</figcaption></figure> <p>Ce n’est véritablement que dans les <a href="/wiki/Ann%C3%A9es_1970" title="Années 1970">années 1970</a> que la théorie du chaos s'est progressivement imposée sur le devant de la scène scientifique, opérant une rupture <a href="/wiki/%C3%89pist%C3%A9mologie" title="Épistémologie">épistémologique</a> forte. Le terme suggestif de « chaos » n'a d'ailleurs été introduit qu'en 1975 par les deux mathématiciens Tien-Yien Li et James A. Yorke<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. <a href="/wiki/Otto_R%C3%B6ssler" title="Otto Rössler">Otto E. Rössler</a>, connu pour avoir découvert l'un des attracteurs chaotiques le plus étudié (et appelé aujourd'hui <a href="/wiki/Attracteur_de_R%C3%B6ssler" title="Attracteur de Rössler">attracteur de Rössler</a><sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>), utilisa le terme de « chaos » dans la plupart de ses articles dès 1976. Le caractère tardif de ce changement de paradigme s'explique aisément : la théorie du chaos doit en effet sa popularisation aux progrès fulgurants de l'<a href="/wiki/Informatique" title="Informatique">informatique</a> à partir des années 1960-70. Cette science nouvelle a en effet rendu accessible aux non-mathématiciens la visualisation directe de l'incroyable complexité de ces systèmes dynamiques, auparavant réservée aux seuls « initiés » capables d'absorber le formalisme mathématique idoine. </p><p>À titre d'illustration, la figure ci-contre est un exemple typique d'images produites par la théorie du chaos ; il s'agit ici d'un objet géométrique découvert par <a href="/wiki/Edward_Lorenz" title="Edward Lorenz">Lorenz</a> en 1963, et initialement baptisé « <a href="/wiki/Attracteur_de_Lorenz" title="Attracteur de Lorenz">attracteur étrange</a> » à la suite de l'introduction de ce concept par <a href="/wiki/David_Ruelle" title="David Ruelle">David Ruelle</a> et Floris Takens<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. (Cet objet sera commenté plus bas, au paragraphe : <i><a href="#Lorenz_et_la_météorologie">Lorenz et la météorologie</a></i>.) </p><p>La théorie du chaos est une <a href="/wiki/Th%C3%A9orie" title="Théorie">théorie</a> scientifique. Elle repose sur la représentation des solutions des équations différentielles dans l'espace des phases associé : représenter les solutions sous forme de trajectoire dans l'espace plutôt que l'une des variables en fonction du temps permet de révéler la structure sous-jacente : c'est ce qui conduit à affirmer que la théorie du chaos contribue à « trouver de l'ordre caché sous un désordre apparent »<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite_crochet">[</span>6<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. L'attracteur de Lorenz précédemment représenté est un exemple d'une évolution d'un système dans l'espace des phases. Au déterminisme laplacien permettant la prédiction sur des temps arbitrairement longs a succédé un déterminisme de nature fondamentalement différente. Il peut être approché de manière <a href="/wiki/Probabilit%C3%A9" title="Probabilité">probabiliste</a><sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite_crochet">[</span>7<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> et alors caractérisé par l'existence d'invariants prenant la forme de <a href="/wiki/Mesure_(math%C3%A9matiques)" title="Mesure (mathématiques)">mesures</a> de probabilités, de <a href="/wiki/Dimension_fractale" title="Dimension fractale">dimension fractale</a>… ou par une description topologique des <a href="/wiki/Attracteur" title="Attracteur">attracteurs</a><sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite_crochet">[</span>8<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Toutes les <a href="/wiki/Science" title="Science">sciences</a>, y compris <a href="/wiki/Sciences_sociales" title="Sciences sociales">sociales</a>, sont concernées<sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite_crochet">[</span>9<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite_crochet">[</span>10<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite_crochet">[</span>11<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-15" class="reference"><a href="#cite_note-15"><span class="cite_crochet">[</span>12<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> par ce changement de paradigme ; en particulier, cette théorie peut inclure l'organisation du vivant dans la nature<sup id="cite_ref-16" class="reference"><a href="#cite_note-16"><span class="cite_crochet">[</span>13<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Le_déterminisme,_de_Laplace_à_Poincaré"><span id="Le_d.C3.A9terminisme.2C_de_Laplace_.C3.A0_Poincar.C3.A9"></span>Le déterminisme, de Laplace à Poincaré</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Le déterminisme, de Laplace à Poincaré" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Le déterminisme, de Laplace à Poincaré"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_d%C3%A9terministe" title="Système déterministe">Système déterministe</a>.</div></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="La_stabilité_du_Système_solaire"><span id="La_stabilit.C3.A9_du_Syst.C3.A8me_solaire"></span>La stabilité du Système solaire</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : La stabilité du Système solaire" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : La stabilité du Système solaire"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Probl%C3%A8me_%C3%A0_N_corps" title="Problème à N corps">Problème à N corps</a>.</div></div> <p>Le point de départ de la théorie du chaos est le problème à « 3 corps » qui consiste à étudier le mouvement de trois corps en interaction gravitationnelle, comme le système : { Soleil - Terre - Lune }, supposé isolé du reste de l'univers. Le but de cette recherche est de déterminer si le <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_solaire" title="Système solaire">Système solaire</a> est « stable » sur le long terme, ou bien si l'un des corps risque un jour de percuter un autre corps, ou encore être éjecté du Système solaire vers l'infini. </p><p>Le problème à 3 corps est aussi vieux que la mécanique newtonienne : en effet, dès la naissance de cette théorie, son fondateur s'est intéressé au problème à trois corps dans le but de prédire le mouvement de la Lune. Tous les astronomes à sa suite ont abordé ce problème, dont <a href="/wiki/Pierre-Simon_de_Laplace" title="Pierre-Simon de Laplace">Laplace</a>, qui crut avoir prouvé la stabilité du Système solaire en utilisant la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_perturbations" title="Théorie des perturbations">théorie des perturbations</a> au premier ordre. Mais en réalité, le développement perturbatif au premier ordre est insuffisant pour conclure définitivement, et un siècle après Laplace, <a href="/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a> s'est donc emparé du problème. On examine ci-dessous l'évolution des idées qui distinguent la pensée de Laplace de celle de Poincaré. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notion_de_système_dynamique_différentiel_conservatif"><span id="Notion_de_syst.C3.A8me_dynamique_diff.C3.A9rentiel_conservatif"></span>Notion de système dynamique différentiel conservatif</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Notion de système dynamique différentiel conservatif" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Notion de système dynamique différentiel conservatif"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_dynamique" title="Système dynamique">Système dynamique</a>.</div></div> <p>Pour un système possédant <i>n</i> <a href="/wiki/Degr%C3%A9_de_libert%C3%A9_(m%C3%A9canique)" class="mw-redirect" title="Degré de liberté (mécanique)">degrés de libertés</a>, l'<a href="/wiki/Espace_des_phases" title="Espace des phases">espace des phases</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.453ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma }"></span> du système possède <i>2n</i> dimensions, de telle sorte que l'état complet <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)\in \Gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)\in \Gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e256b6bffaf307d73dbbdaa42696a565ed89047e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.272ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)\in \Gamma }"></span> du système à l'instant <i>t</i> est en général un <a href="/wiki/Vecteur" title="Vecteur">vecteur</a> à <i>2n</i> composantes. On considère alors typiquement un système différentiel du premier ordre du type<sup id="cite_ref-17" class="reference"><a href="#cite_note-17"><span class="cite_crochet">[</span>14<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : </p> <table align="center" border="0"> <tbody><tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}\ =\ f(x(t),t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mtext> </mtext> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}\ =\ f(x(t),t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5342f2eff918f700387e3bea66d32b51660c5968" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:19.23ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}\ =\ f(x(t),t)}"></span> </td></tr></tbody></table> <p>où la fonction <i>f</i> définit le système dynamique étudié (c'est en général également un vecteur à <i>n</i> dimensions, c’est-à-dire un ensemble de <i>n</i> fonctions scalaires). Ce système physique, supposé conservatif, est déterministe si et seulement si la dynamique du système associe à chaque condition initiale <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}"></span> <i>un et un seul état final</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)}"></span>. Il faut pour cela qu'il existe une application <a href="/wiki/Bijection" title="Bijection">bijective</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{t}:\Gamma \to \Gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{t}:\Gamma \to \Gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc63409973919858284eab76b7747afd5ca3875" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.668ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{t}:\Gamma \to \Gamma }"></span> de l'espace des phases sur lui-même telle que : </p> <table align="center" border="0"> <tbody><tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)\ =\ \phi _{t}(x_{0})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)\ =\ \phi _{t}(x_{0})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf627616772122571cbee7a25e78afc7e07848bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.643ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)\ =\ \phi _{t}(x_{0})}"></span> </td></tr></tbody></table> <p>Lorsque le temps <i>t</i> varie, cette bijection engendre un <i><a href="/wiki/Flot_(math%C3%A9matiques)" title="Flot (mathématiques)">flot</a></i> sur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.453ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma }"></span>, c’est-à-dire un <a href="/wiki/Sous-groupe_%C3%A0_un_param%C3%A8tre" title="Sous-groupe à un paramètre">groupe continu à un paramètre</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{t}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{t}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1775c8a44fcf88e28ff6a5ec758f22bec15b84e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.211ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{t}}"></span>. Cette modélisation mathématique correspond par exemple au <a href="/wiki/M%C3%A9canique_hamiltonienne" title="Mécanique hamiltonienne">flot hamiltonien</a> de la <a href="/wiki/M%C3%A9canique_newtonienne" title="Mécanique newtonienne">mécanique classique</a>, ainsi qu'au <a href="/wiki/Flot_g%C3%A9od%C3%A9sique" title="Flot géodésique">flot géodésique</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Laplace,_ou_le_déterminisme_triomphant"><span id="Laplace.2C_ou_le_d.C3.A9terminisme_triomphant"></span>Laplace, ou le déterminisme triomphant</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Laplace, ou le déterminisme triomphant" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Laplace, ou le déterminisme triomphant"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/D%C3%A9mon_de_Laplace" title="Démon de Laplace">Démon de Laplace</a>.</div></div> <p>Fort des succès obtenus en <a href="/wiki/M%C3%A9canique_c%C3%A9leste" title="Mécanique céleste">mécanique céleste</a>, <a href="/wiki/Pierre-Simon_de_Laplace" title="Pierre-Simon de Laplace">Laplace</a> écrit en 1814 dans l’introduction de son <i>Essai philosophique sur les probabilités</i><sup id="cite_ref-18" class="reference"><a href="#cite_note-18"><span class="cite_crochet">[</span>15<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : </p> <blockquote> <p>« Nous devons donc envisager l'état présent de l'univers comme l'effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui pour un instant donné connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ses données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé serait présent à ses yeux. </p><p>L'esprit humain offre, dans la perfection qu'il a su donner à l'Astronomie, une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en Mécanique et en Géométrie, jointes à celle de la pesanteur universelle, l'ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances, il est parvenu à ramener à des lois générales, les phénomènes observés, et à prévoir ceux que des circonstances données doivent faire éclore. Tous ces efforts dans la recherche de la vérité tendent à le rapprocher sans cesse de l'intelligence que nous venons de concevoir, mais dont il restera toujours infiniment éloigné. Cette tendance propre à l’espèce humaine est ce qui la rend supérieure aux animaux; et ses progrès en ce genre distinguent les nations et les siècles, et font leur véritable gloire. » </p> </blockquote> <p>Ce texte aujourd'hui célèbre est en réalité largement prophétique, au sens où Laplace ne possède pas le théorème général d'existence et d'unicité de la solution d'une équation différentielle, qui sera démontré ultérieurement, et fait l'objet du paragraphe suivant. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Le_théorème_de_Cauchy-Lipschitz"><span id="Le_th.C3.A9or.C3.A8me_de_Cauchy-Lipschitz"></span>Le théorème de Cauchy-Lipschitz</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Le théorème de Cauchy-Lipschitz" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Le théorème de Cauchy-Lipschitz"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Cauchy-Lipschitz" title="Théorème de Cauchy-Lipschitz">Théorème de Cauchy-Lipschitz</a>.</div></div> <p>C'est le mathématicien <a href="/wiki/Augustin_Louis_Cauchy" title="Augustin Louis Cauchy">Cauchy</a> qui énonce en 1820 le théorème général d'existence et d'unicité de la solution d'une équation différentielle. <a href="/wiki/Rudolf_Lipschitz" title="Rudolf Lipschitz">Lipschitz</a> lui donnera sa forme définitive en <a href="/wiki/1868_en_science" title="1868 en science">1868</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Poincaré_et_l'imprédictibilité"><span id="Poincar.C3.A9_et_l.27impr.C3.A9dictibilit.C3.A9"></span>Poincaré et l'imprédictibilité</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=15" title="Modifier la section : Poincaré et l'imprédictibilité" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=15" title="Modifier le code source de la section : Poincaré et l'imprédictibilité"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Environ un siècle après Laplace, Poincaré écrit dans l'introduction de son <i>Calcul des Probabilités</i><sup id="cite_ref-19" class="reference"><a href="#cite_note-19"><span class="cite_crochet">[</span>16<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-20" class="reference"><a href="#cite_note-20"><span class="cite_crochet">[</span>17<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> un texte dont la tonalité est fort différente de celui de son illustre prédécesseur. C'est entre 1880 et 1910, que Poincaré, qui cherche à prouver la stabilité du Système solaire, découvre un nouveau continent issu des équations de Newton et jusqu'alors inexploré. </p> <blockquote> <p>« Comment oser parler des lois du hasard ? Le hasard n'est-il pas l'antithèse de toute loi ? Ainsi s'exprime <a href="/wiki/Joseph_Bertrand" title="Joseph Bertrand">Bertrand</a>, au début de son <i>Calcul des probabilités</i>. La probabilité est opposée à la certitude ; c'est donc ce qu'on ignore et, par conséquent semble-t-il, ce qu'on ne saurait calculer. Il y a là une contradiction au moins apparente et sur laquelle on a déjà beaucoup écrit. </p><p>Et d'abord qu'est-ce que le hasard ? Les anciens distinguaient les phénomènes qui semblaient obéir à des lois harmonieuses, établies une fois pour toutes, et ceux qu'ils attribuaient au hasard ; c'étaient ceux qu'on ne pouvait prévoir parce qu'ils étaient rebelles à toute loi. Dans chaque domaine, les lois précises ne décidaient pas de tout, elles traçaient seulement les limites entre lesquelles il était permis au hasard de se mouvoir. […] </p><p>Pour trouver une meilleure définition du hasard, il nous faut examiner quelques-uns des faits qu'on s'accorde à regarder comme fortuits, et auxquels le calcul des probabilités paraît s'appliquer ; nous rechercherons ensuite quels sont leurs caractères communs. Le premier exemple que nous allons choisir est celui de l'équilibre instable ; si un cône repose sur sa pointe, nous savons bien qu'il va tomber, mais nous ne savons pas de quel côté ; il nous semble que le hasard seul va en décider. Si le cône était parfaitement symétrique, si son axe était parfaitement vertical, s'il n'était soumis à aucune autre force que la pesanteur, il ne tomberait pas du tout. Mais le moindre défaut de symétrie va le faire pencher légèrement d'un côté ou de l'autre, et dès qu'il penchera, si peu que ce soit, il tombera tout à fait de ce côté. Si même la symétrie est parfaite, une trépidation très légère, un souffle d'air pourra le faire incliner de quelques secondes d'arc ; ce sera assez pour déterminer sa chute et même le sens de sa chute qui sera celui de l'inclinaison initiale. » </p> </blockquote> <blockquote> <p>« Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. » </p> </blockquote> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Sensibilité_aux_conditions_initiales"><span id="Sensibilit.C3.A9_aux_conditions_initiales"></span>Sensibilité aux conditions initiales</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=16" title="Modifier la section : Sensibilité aux conditions initiales" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=16" title="Modifier le code source de la section : Sensibilité aux conditions initiales"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dans le paragraphe précédent, Poincaré met en exergue le phénomène connu aujourd'hui sous la dénomination de <b>sensibilité aux conditions initiales</b> : pour un système chaotique, une très petite erreur sur la connaissance de l'état initial <i>x<sub>0</sub></i> dans l'espace des phases va se trouver (presque toujours) rapidement amplifiée. </p><p>Quantitativement, la croissance de l'erreur est localement <i>exponentielle</i> pour les systèmes fortement chaotiques, baptisés selon la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_ergodique" title="Théorie ergodique">théorie ergodique</a> <i>K-systèmes</i> (le <i>K</i> est pour <a href="/wiki/Andre%C3%AF_Kolmogorov" title="Andreï Kolmogorov">Kolmogorov</a>), ainsi que pour les systèmes très fortement chaotiques, dits <i>B-systèmes</i> (le <i>B</i> est pour <a href="/wiki/Jacques_Bernoulli" title="Jacques Bernoulli">Bernoulli</a>)<sup id="cite_ref-21" class="reference"><a href="#cite_note-21"><span class="cite_crochet">[</span>18<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Cette amplification des erreurs rend rapidement totalement inopérant le pouvoir prédictif qui découle de l'unicité de la solution, assurée par Cauchy-Lipschitz. </p><p>Typiquement, pour un système chaotique, les erreurs croissent localement selon une loi du type <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle e^{\frac {t}{\tau }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>t</mi> <mi>τ</mi> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle e^{\frac {t}{\tau }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747064bfa12004980170c879e90a89e1e455213a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.842ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle e^{\frac {t}{\tau }}}"></span>, où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"></span> est un temps caractéristique du système chaotique, appelé parfois <a href="/wiki/Dur%C3%A9e_de_Liapounov" title="Durée de Liapounov">horizon de Liapounov</a><sup id="cite_ref-22" class="reference"><a href="#cite_note-22"><span class="cite_crochet">[</span>19<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Le caractère prédictible de l'évolution du système ne subsiste que pour les instants <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\ll \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mo>≪</mo> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\ll \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a090d2e0e4024dbbaf4b669a5a0669dcbccb43" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t\ll \tau }"></span>, pour lesquels l'exponentielle vaut approximativement 1, et donc tels que l'erreur garde sa taille initiale. En revanche, pour <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\gg \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>t</mi> <mo>≫</mo> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\gg \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6069a12911ef8a154303742fbe065c1c701f702a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t\gg \tau }"></span>, toute prédiction devient pratiquement impossible, bien que le théorème de Cauchy-Lipschitz reste vrai. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Postérité_des_travaux_de_Poincaré"><span id="Post.C3.A9rit.C3.A9_des_travaux_de_Poincar.C3.A9"></span>Postérité des travaux de Poincaré</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=17" title="Modifier la section : Postérité des travaux de Poincaré" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=17" title="Modifier le code source de la section : Postérité des travaux de Poincaré"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone"><span class="mw-valign-text-top noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Fairytale_warning.png" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/17px-Fairytale_warning.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/26px-Fairytale_warning.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/34px-Fairytale_warning.png 2x" data-file-width="64" data-file-height="64" /></a></span></div><div class="bandeau-cell">Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:EditPage/Th%C3%A9orie_du_chaos" title="Spécial:EditPage/Théorie du chaos">Votre aide</a> est la bienvenue ! <a href="/wiki/Aide:Comment_modifier_une_page" title="Aide:Comment modifier une page">Comment faire ?</a></div></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Poincaré_et_la_stabilité_du_Système_solaire"><span id="Poincar.C3.A9_et_la_stabilit.C3.A9_du_Syst.C3.A8me_solaire"></span>Poincaré et la stabilité du Système solaire</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=18" title="Modifier la section : Poincaré et la stabilité du Système solaire" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=18" title="Modifier le code source de la section : Poincaré et la stabilité du Système solaire"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Probl%C3%A8me_%C3%A0_N_corps" title="Problème à N corps">Problème à N corps</a>.</div></div> <p>Un siècle après Laplace, <a href="/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a> s'est attelé au problème de la stabilité du Système solaire. Entre 1880 et 1886, il commence par publier une série de mémoires intitulés : « <i>Sur les courbes définies par une équation différentielle</i> » qui donne naissance à l'analyse <i>qualitative</i> des équations différentielles. Poincaré y introduit notamment la notion capitale de <a href="/wiki/Portrait_de_phase" title="Portrait de phase">portrait de phase</a>, qui résume géométriquement l'aspect des solutions dans l'<a href="/wiki/Espace_des_phases" title="Espace des phases">espace des phases</a> du système. Puis, en 1890, il publie le fameux mémoire intitulé : « <i>Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique</i> », qui lui vaut le prix du roi Oscar, roi de Norvège et de Suède et passionné de mathématiques<sup id="cite_ref-23" class="reference"><a href="#cite_note-23"><span class="cite_crochet">[</span>20<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. L'histoire est célèbre<sup id="cite_ref-24" class="reference"><a href="#cite_note-24"><span class="cite_crochet">[</span>21<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : le mémoire lauréat comporte une erreur, détectée par le jeune mathématicien <a href="/wiki/Lars_Edvard_Phragm%C3%A9n" title="Lars Edvard Phragmén">Lars Edvard Phragmén</a> alors qu'il prépare le manuscrit pour l'imprimeur. Cette erreur oblige Poincaré à procéder à de profonds remaniements dans son mémoire, et aussi à rembourser les frais d'impression du premier mémoire, une somme supérieure de quelque mille couronnes au prix qu'il avait reçu. Mais cette erreur s'avère féconde, car en lieu et place de la stabilité du Système solaire, Poincaré découvre alors le chaos potentiel caché dans les équations de la dynamique. </p><p>Plus récemment, des calculs numériques effectués par l'astronome <a href="/wiki/Jacques_Laskar" title="Jacques Laskar">Jacques Laskar</a> en 1989-1990<sup id="cite_ref-25" class="reference"><a href="#cite_note-25"><span class="cite_crochet">[</span>22<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, puis confirmés par Sussman & Wisdom en 1992<sup id="cite_ref-26" class="reference"><a href="#cite_note-26"><span class="cite_crochet">[</span>23<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, montrent que le <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_solaire" title="Système solaire">Système solaire</a> est chaotique, avec un horizon de Liapounov de l'ordre de 200 millions d'années. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="L'école_russe_des_années_1890-1950"><span id="L.27.C3.A9cole_russe_des_ann.C3.A9es_1890-1950"></span>L'école russe des années 1890-1950</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=19" title="Modifier la section : L'école russe des années 1890-1950" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=19" title="Modifier le code source de la section : L'école russe des années 1890-1950"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Liapounov_et_la_stabilité_du_mouvement"><span id="Liapounov_et_la_stabilit.C3.A9_du_mouvement"></span>Liapounov et la stabilité du mouvement</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=20" title="Modifier la section : Liapounov et la stabilité du mouvement" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=20" title="Modifier le code source de la section : Liapounov et la stabilité du mouvement"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Le <time class="nowrap" datetime="1892-10-12" data-sort-value="1892-10-12">12 octobre 1892</time>, <a href="/wiki/Alexandre_Liapounov" title="Alexandre Liapounov">Alexandre Liapounov</a> soutient à l'<a href="/wiki/Universit%C3%A9_d%27%C3%89tat_de_Moscou" title="Université d'État de Moscou">université de Moscou</a> une thèse de doctorat intitulée : <i>Le Problème général de la stabilité du mouvement</i>. Il y introduit l'idée de mesurer la divergence possible entre deux orbites issues de conditions initiales voisines et définit la « <a href="/wiki/Stabilit%C3%A9_de_Liapounov" title="Stabilité de Liapounov">stabilité de Liapounov</a> ». Lorsque cette divergence croît <i>exponentiellement</i> avec le temps pour presque toutes les conditions initiales voisines d'un point donné, on a le phénomène de <a href="/wiki/Sensibilit%C3%A9_aux_conditions_initiales" title="Sensibilité aux conditions initiales">sensibilité aux conditions initiales</a>, idée à laquelle sont attachés les <a href="/wiki/Exposant_de_Liapounov" title="Exposant de Liapounov">exposants de Liapounov</a>, qui donnent une mesure quantitative de cette divergence exponentielle <i>locale</i><sup id="cite_ref-27" class="reference"><a href="#cite_note-27"><span class="cite_crochet">[</span>24<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="L'école_de_Gorki_:_1930-1940"><span id="L.27.C3.A9cole_de_Gorki_:_1930-1940"></span>L'école de Gorki : 1930-1940</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=21" title="Modifier la section : L'école de Gorki : 1930-1940" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=21" title="Modifier le code source de la section : L'école de Gorki : 1930-1940"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Alexandre_Andronov" title="Alexandre Andronov">Andronov</a> – <a href="/wiki/Lev_Pontriaguine" title="Lev Pontriaguine">Pontriaguine</a> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="L'oscillateur_de_Van_der_Pol"><span id="L.27oscillateur_de_Van_der_Pol"></span>L'oscillateur de Van der Pol</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=22" title="Modifier la section : L'oscillateur de Van der Pol" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=22" title="Modifier le code source de la section : L'oscillateur de Van der Pol"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Oscillateur_de_Van_der_Pol" title="Oscillateur de Van der Pol">Oscillateur de Van der Pol</a>.</div></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Émergence_et_développement_de_la_théorie_ergodique"><span id=".C3.89mergence_et_d.C3.A9veloppement_de_la_th.C3.A9orie_ergodique"></span>Émergence et développement de la théorie ergodique</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=23" title="Modifier la section : Émergence et développement de la théorie ergodique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=23" title="Modifier le code source de la section : Émergence et développement de la théorie ergodique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_ergodique" title="Théorie ergodique">Théorie ergodique</a>.</div></div> <div style="column-width:20em;column-gap:1em;" class="colonnes"> <ul><li><a href="/wiki/%C3%89mergence" title="Émergence">Émergence</a></li> <li><a href="/wiki/George_David_Birkhoff" title="George David Birkhoff">Birkhoff</a></li> <li><a href="/wiki/John_von_Neumann" title="John von Neumann">Von Neumann</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Bernard_Koopman&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bernard Koopman (page inexistante)">Koopman</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bernard_Koopman" class="extiw" title="en:Bernard Koopman"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Bernard Koopman »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Eberhard_Hopf" title="Eberhard Hopf">Hopf</a></li> <li><a href="/wiki/Gustav_Hedlund" class="mw-redirect" title="Gustav Hedlund">Hedlund</a></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Prédictibilité_et_calculabilité"><span id="Pr.C3.A9dictibilit.C3.A9_et_calculabilit.C3.A9"></span>Prédictibilité et calculabilité</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=24" title="Modifier la section : Prédictibilité et calculabilité" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=24" title="Modifier le code source de la section : Prédictibilité et calculabilité"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Norbert_Wiener" title="Norbert Wiener">Norbert Wiener</a> et <a href="/wiki/John_von_Neumann" title="John von Neumann">John von Neumann</a> se sont préoccupés pourtant de la possibilité de prédire par le calcul une situation future à partir d'un état présent. Si Wiener jugeait la tâche ardue, voire impossible puisque de « petites causes » qu'on omettrait nécessairement d'inclure dans le modèle peuvent produire de « grands effets » (il donna l'image du « flocon de neige déclenchant une avalanche »), Von Neumann y voyait une occasion exceptionnelle pour les nouveaux appareils que l'on n'avait pas encore baptisés <a href="/wiki/Ordinateur" title="Ordinateur">ordinateurs</a> : « Si un flocon de neige peut déclencher une avalanche », répondait-il à Wiener, « alors la prédiction par le calcul nous dira très exactement quel flocon de neige précis intercepter pour que l'avalanche ne se produise pas ! » Wiener se montra sceptique : un état hypercritique restait un état hypercritique, et supprimer ce flocon particulier ne ferait à son avis que « permettre à un autre de le remplacer dans cette fonction ». Selon lui, rien ne serait donc résolu (point de vue admis aujourd'hui). Les deux hommes ne poussèrent pas plus avant ce différend. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Décidabilité"><span id="D.C3.A9cidabilit.C3.A9"></span>Décidabilité</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=25" title="Modifier la section : Décidabilité" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=25" title="Modifier le code source de la section : Décidabilité"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les mathématiciens brésiliens <a href="/wiki/Francisco_D%C3%B3ria" title="Francisco Dória">Francisco Dória</a> et <a href="/w/index.php?title=Newton_da_Costa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Newton da Costa (page inexistante)">Newton da Costa</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Newton_da_Costa" class="extiw" title="en:Newton da Costa"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Newton da Costa »">(en)</span></a>) ont prouvé que la théorie du chaos est indécidable (preuve publiée en 1991)<sup id="cite_ref-Stewart_28-0" class="reference"><a href="#cite_note-Stewart-28"><span class="cite_crochet">[</span>25<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> et que si elle est correctement axiomatisée au sein de la théorie des ensembles classique, alors elle est incomplète dans la théorie des ensembles classique au sens de <a href="/wiki/Kurt_G%C3%B6del" title="Kurt Gödel">Gödel</a><sup id="cite_ref-29" class="reference"><a href="#cite_note-29"><span class="cite_crochet">[</span>26<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Le mathématicien <a href="/wiki/Morris_Hirsch" title="Morris Hirsch">Morris Hirsch</a> avait formulé le problème de la décision concernant les systèmes dynamiques chaotiques. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lorenz_et_la_météorologie"><span id="Lorenz_et_la_m.C3.A9t.C3.A9orologie"></span>Lorenz et la météorologie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=26" title="Modifier la section : Lorenz et la météorologie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=26" title="Modifier le code source de la section : Lorenz et la météorologie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_dynamique_de_Lorenz" title="Système dynamique de Lorenz">Système dynamique de Lorenz</a>.</div></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Présentation"><span id="Pr.C3.A9sentation"></span>Présentation</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=27" title="Modifier la section : Présentation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=27" title="Modifier le code source de la section : Présentation"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Attracteur_%C3%A9trange_de_Lorenz.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Attracteur_%C3%A9trange_de_Lorenz.png/255px-Attracteur_%C3%A9trange_de_Lorenz.png" decoding="async" width="255" height="207" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Attracteur_%C3%A9trange_de_Lorenz.png/383px-Attracteur_%C3%A9trange_de_Lorenz.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Attracteur_%C3%A9trange_de_Lorenz.png/510px-Attracteur_%C3%A9trange_de_Lorenz.png 2x" data-file-width="965" data-file-height="784" /></a><figcaption><a href="/wiki/Attracteur_de_Lorenz" title="Attracteur de Lorenz">Attracteur de Lorenz</a>.</figcaption></figure> <p>Bien que le caractère vraisemblablement chaotique de la <a href="/wiki/M%C3%A9t%C3%A9orologie" title="Météorologie">météorologie</a> fut pressenti par Henri Poincaré<sup id="cite_ref-31" class="reference"><a href="#cite_note-31"><span class="cite_crochet">[</span>d<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, le <a href="/wiki/M%C3%A9t%C3%A9orologie" title="Météorologie">météorologue</a> <a href="/wiki/Edward_Lorenz" title="Edward Lorenz">Edward Lorenz</a> est néanmoins considéré comme étant le premier à le mettre en évidence, en 1963<sup id="cite_ref-32" class="reference"><a href="#cite_note-32"><span class="cite_crochet">[</span>28<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Mathématiquement, le couplage de l'<a href="/wiki/Atmosph%C3%A8re_terrestre" title="Atmosphère terrestre">atmosphère</a> avec l'<a href="/wiki/Oc%C3%A9an" title="Océan">océan</a> est décrit par le système d'<a href="/wiki/%C3%89quation_aux_d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles" title="Équation aux dérivées partielles">équations aux dérivées partielles</a> couplées de <a href="/wiki/%C3%89quations_de_Navier-Stokes" title="Équations de Navier-Stokes">Navier-Stokes</a> de la <a href="/wiki/M%C3%A9canique_des_fluides" title="Mécanique des fluides">mécanique des fluides</a>. Ce système d'équations était beaucoup trop compliqué à résoudre numériquement pour les premiers ordinateurs existant au temps de Lorenz. Celui-ci eut donc l'idée de chercher un modèle très simplifié de ces équations pour étudier une situation physique particulière : le phénomène de <a href="/wiki/Convection" title="Convection">convection</a> de Rayleigh-Bénard. Il aboutit alors à un système dynamique différentiel possédant seulement <i>trois</i> degrés de liberté, beaucoup plus simple à intégrer numériquement que les équations de départ. Il observa alors, par pur hasard, qu'une modification minime des données initiales (de l'ordre de un pour mille) entraînait des résultats très différents. Lorenz venait de mettre en exergue la <a href="/wiki/Sensibilit%C3%A9_aux_conditions_initiales" title="Sensibilité aux conditions initiales">sensibilité aux conditions initiales</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="La_métaphore_du_papillon"><span id="La_m.C3.A9taphore_du_papillon"></span>La métaphore du papillon</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=28" title="Modifier la section : La métaphore du papillon" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=28" title="Modifier le code source de la section : La métaphore du papillon"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En 1972, Lorenz fait une conférence à l'<i>American Association for the Advancement of Science</i> intitulée<sup id="cite_ref-33" class="reference"><a href="#cite_note-33"><span class="cite_crochet">[</span>29<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>: « <i>Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas?</i> », qui se traduit en français par : </p> <blockquote> <p>« Prédictibilité : le battement d'ailes d'un papillon au Brésil provoque-t-il une tornade au Texas ? » </p> </blockquote> <p>Cette métaphore, devenue emblématique du phénomène de sensibilité aux conditions initiales, est souvent interprétée <i>à tort</i> de façon causale : ce serait le battement d'ailes du papillon qui déclencherait la tempête. Il n'en est rien ; Lorenz écrit en effet<sup id="cite_ref-34" class="reference"><a href="#cite_note-34"><span class="cite_crochet">[</span>30<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>: </p> <blockquote><div> <p>« De crainte que le seul fait de demander, suivant le titre de cet article, « un battement d'ailes de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ? », fasse douter de mon sérieux, sans même parler d'une réponse affirmative, je mettrai cette question en perspective en avançant les deux propositions suivantes : </p> <ul><li>si un seul battement d'ailes d'un papillon peut avoir pour effet le déclenchement d'une tornade, alors, il en va ainsi également de tous les battements précédents et subséquents de ses ailes, comme de ceux de millions d'autres papillons, pour ne pas mentionner les activités d'innombrables créatures plus puissantes, en particulier de notre propre espèce ;</li> <li>si le battement d'ailes d'un papillon peut déclencher une tornade, il peut aussi l'empêcher. »</li></ul> </div></blockquote> <p>Il serait plus juste de dire que la <i>différence de cause</i> (ici de conditions initiales) due à un battement d'ailes du papillon « induit » une <i>différence d'effet</i> qui est la tornade ; le battement d'ailes ne la provoque pas ! </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stephen_Smale_:_topologie_et_stabilité_structurelle"><span id="Stephen_Smale_:_topologie_et_stabilit.C3.A9_structurelle"></span>Stephen Smale : topologie et stabilité structurelle</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=29" title="Modifier la section : Stephen Smale : topologie et stabilité structurelle" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=29" title="Modifier le code source de la section : Stephen Smale : topologie et stabilité structurelle"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone"><span class="mw-valign-text-top noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Fairytale_warning.png" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/17px-Fairytale_warning.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/26px-Fairytale_warning.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/34px-Fairytale_warning.png 2x" data-file-width="64" data-file-height="64" /></a></span></div><div class="bandeau-cell">Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:EditPage/Th%C3%A9orie_du_chaos" title="Spécial:EditPage/Théorie du chaos">Votre aide</a> est la bienvenue ! <a href="/wiki/Aide:Comment_modifier_une_page" title="Aide:Comment modifier une page">Comment faire ?</a></div></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="L'école_russe_des_années_1950-1980"><span id="L.27.C3.A9cole_russe_des_ann.C3.A9es_1950-1980"></span>L'école russe des années 1950-1980</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=30" title="Modifier la section : L'école russe des années 1950-1980" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=30" title="Modifier le code source de la section : L'école russe des années 1950-1980"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_d%27Anosov" title="Système d'Anosov">Système d'Anosov</a> et <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_KAM" title="Théorème KAM">Théorème KAM</a>.</div></div> <p><a href="/wiki/Dmitri_Anossov" title="Dmitri Anossov">Anosov</a> – <a href="/wiki/Iakov_Sina%C3%AF" title="Iakov Sinaï">Sinaï</a> - <a href="/wiki/Vladimir_Arnold" title="Vladimir Arnold">Arnold</a> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Transition_d'une_dynamique_régulière_vers_le_chaos"><span id="Transition_d.27une_dynamique_r.C3.A9guli.C3.A8re_vers_le_chaos"></span>Transition d'une dynamique régulière vers le chaos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=31" title="Modifier la section : Transition d'une dynamique régulière vers le chaos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=31" title="Modifier le code source de la section : Transition d'une dynamique régulière vers le chaos"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Soit un système dynamique dépendant d'un paramètre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"></span> : </p> <table align="center" border="0"> <tbody><tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}\ =\ f_{r}(x(t),t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mtext> </mtext> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}\ =\ f_{r}(x(t),t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58837f27504c433a96d98f394484c10200268e5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.065ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}\ =\ f_{r}(x(t),t)}"></span> </td></tr></tbody></table> <p>Il arrive que la dynamique change de comportement lorsque le paramètre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"></span> varie. On a pu mettre en évidence trois grands scénarios de passage d'une dynamique régulière à une dynamique chaotique lors de la variation d'un paramètre. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Cascade_de_doublements_de_période"><span id="Cascade_de_doublements_de_p.C3.A9riode"></span>Cascade de doublements de période</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=32" title="Modifier la section : Cascade de doublements de période" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=32" title="Modifier le code source de la section : Cascade de doublements de période"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:LogisticMap_BifurcationDiagram.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/LogisticMap_BifurcationDiagram.png/170px-LogisticMap_BifurcationDiagram.png" decoding="async" width="170" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/LogisticMap_BifurcationDiagram.png/255px-LogisticMap_BifurcationDiagram.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/LogisticMap_BifurcationDiagram.png/340px-LogisticMap_BifurcationDiagram.png 2x" data-file-width="1838" data-file-height="1300" /></a><figcaption>Bifurcation vers le chaos par doublement de période.</figcaption></figure> <p><a href="/wiki/Mitchell_Feigenbaum" title="Mitchell Feigenbaum">Mitchell Feigenbaum</a> a redécouvert une route vers le chaos qui avait été étudiée dans les années 1960 par Myrberg. Aujourd'hui, cette route est appelée « <i>cascade de doublements de période</i> » pour décrire la transition entre un comportement périodique et un attracteur chaotique. Ce scénario est observé par exemple avec la <a href="/wiki/Suite_logistique" title="Suite logistique">suite logistique</a>, qui est définie par récurrence par une application du segment [0, 1] dans lui-même : </p> <table align="center" border="0"> <tbody><tr> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{n+1}\ =\ r\,x_{n}\ (1-x_{n})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mtext> </mtext> <mi>r</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{n+1}\ =\ r\,x_{n}\ (1-x_{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a233ff4119684cd8907438c1f796320e004d2d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.833ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{n+1}\ =\ r\,x_{n}\ (1-x_{n})}"></span> </td></tr></tbody></table> <p>où <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">n</span> = 0, 1, … dénote le temps discret, <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x</span> l'unique variable dynamique, et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leq r\leq 4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>r</mi> <mo>≤</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leq r\leq 4}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4116d62cb79ee2767a22559debb14ff5bef6d154" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.57ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0\leq r\leq 4}"></span> un paramètre<sup id="cite_ref-35" class="reference"><a href="#cite_note-35"><span class="cite_crochet">[</span>31<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. La dynamique de cette application présente un comportement très différent selon la valeur du paramètre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"></span> : </p> <ul><li>Pour <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leq r<3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>r</mi> <mo><</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leq r<3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a502478d2f01f05f241060e60ac64d57f8842da3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.57ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 0\leq r<3}"></span>, le système possède un point fixe attractif, qui devient instable lorsque <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=3}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2452d01ccc3bc930e3e2bff9fb18d2a425272ec9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r=3}"></span>.</li> <li>Pour <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3\leq r<3{,}57\dots <}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>3</mn> <mo>≤</mo> <mi>r</mi> <mo><</mo> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>57</mn> <mo>⋯</mo> <mo><</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\leq r<3{,}57\dots <}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7299c2f9628e312dc736847b7790a31fc7b280" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.106ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 3\leq r<3{,}57\dots <}"></span>, l'application possède un <a href="/wiki/Attracteur" title="Attracteur">attracteur</a> qui est une orbite périodique, de période <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8226f30650ee4fe4e640c6d2798127e80e9c160d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.381ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2^{n}}"></span> où <i>n</i> est un entier qui tend vers l'infini lorsque <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"></span> tend vers 3,57…</li> <li>Lorsque <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=3{,}57\dots <}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>57</mn> <mo>⋯</mo> <mo><</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=3{,}57\dots <}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7d131a62667dff44a47748516a9507374190dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.845ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r=3{,}57\dots <}"></span>, l'application possède un attracteur chaotique <a href="/wiki/Fractale" title="Fractale">fractal</a> découvert par le biologiste <a href="/wiki/Robert_May" title="Robert May">May</a> (1976)<sup id="cite_ref-36" class="reference"><a href="#cite_note-36"><span class="cite_crochet">[</span>32<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</li> <li>Le cas <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=4}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b0f4d0814f95038bbe2568d00fdea9a5324284" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r=4}"></span> avait été étudié dès 1947 par <a href="/wiki/Stanislaw_Ulam" title="Stanislaw Ulam">Ulam</a> et <a href="/wiki/John_von_Neumann" title="John von Neumann">von Neumann</a><sup id="cite_ref-37" class="reference"><a href="#cite_note-37"><span class="cite_crochet">[</span>33<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. À noter qu'on peut dans ce cas précis établir l'expression exacte de la mesure invariante <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_ergodique" title="Théorie ergodique">ergodique</a><sup id="cite_ref-38" class="reference"><a href="#cite_note-38"><span class="cite_crochet">[</span>34<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</li></ul> <p>Lorsque le paramètre <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> augmente, on obtient donc une succession de bifurcations entre les comportements périodiques et le chaos, résumée sur la figure ci-contre. </p> <div class="clear" style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Scénario_de_Ruelle-Takens"><span id="Sc.C3.A9nario_de_Ruelle-Takens"></span>Scénario de Ruelle-Takens</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=33" title="Modifier la section : Scénario de Ruelle-Takens" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=33" title="Modifier le code source de la section : Scénario de Ruelle-Takens"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Par quasi-périodicité… </p> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone"><span class="mw-valign-text-top noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Fairytale_warning.png" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/17px-Fairytale_warning.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/26px-Fairytale_warning.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/34px-Fairytale_warning.png 2x" data-file-width="64" data-file-height="64" /></a></span></div><div class="bandeau-cell">Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:EditPage/Th%C3%A9orie_du_chaos" title="Spécial:EditPage/Théorie du chaos">Votre aide</a> est la bienvenue ! <a href="/wiki/Aide:Comment_modifier_une_page" title="Aide:Comment modifier une page">Comment faire ?</a></div></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Scénario_de_Pomeau-Manneville"><span id="Sc.C3.A9nario_de_Pomeau-Manneville"></span>Scénario de Pomeau-Manneville</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=34" title="Modifier la section : Scénario de Pomeau-Manneville" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=34" title="Modifier le code source de la section : Scénario de Pomeau-Manneville"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone"><span class="mw-valign-text-top noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Fairytale_warning.png" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/17px-Fairytale_warning.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/26px-Fairytale_warning.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/34px-Fairytale_warning.png 2x" data-file-width="64" data-file-height="64" /></a></span></div><div class="bandeau-cell">Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:EditPage/Th%C3%A9orie_du_chaos" title="Spécial:EditPage/Théorie du chaos">Votre aide</a> est la bienvenue ! <a href="/wiki/Aide:Comment_modifier_une_page" title="Aide:Comment modifier une page">Comment faire ?</a></div></div> <p>Par intermittence… </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Quelques_exemples">Quelques exemples</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=35" title="Modifier la section : Quelques exemples" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=35" title="Modifier le code source de la section : Quelques exemples"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Transformation_du_boulanger" title="Transformation du boulanger">Transformation du boulanger</a>. La transformation du boulanger a de nombreuses variantes, qui toutes ont pour point commun de « faire remonter » très vite au niveau macroscopique d'infimes différences microscopiques, plus faible que la <a href="/wiki/Qualit%C3%A9_m%C3%A9trologique_d%27un_appareil_de_mesure#Résolution" title="Qualité métrologique d'un appareil de mesure">résolution</a> de l'instrument utilisé.</li> <li><a href="/wiki/Transformation_du_clich%C3%A9_Photomaton" title="Transformation du cliché Photomaton">Transformation du photomaton</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Applications">Applications</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=36" title="Modifier la section : Applications" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=36" title="Modifier le code source de la section : Applications"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Astrophysique" title="Astrophysique">Astrophysique</a> : <a href="/wiki/%C3%89toile_variable" title="Étoile variable">Étoiles variables</a> à <a href="/wiki/Courbe_de_lumi%C3%A8re" title="Courbe de lumière">Courbe de lumière</a> irrégulière, <i>Du chaos dans la musique des étoiles</i> <a rel="nofollow" class="external autonumber" href="http://xxx.lanl.gov/abs/nlin.CD/0109028">[1]</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89conomie_(discipline)" title="Économie (discipline)">Économie</a> : son modèle simplifié décrit les <a href="/wiki/Cycle_%C3%A9conomique" title="Cycle économique">cycles économiques</a><sup id="cite_ref-39" class="reference"><a href="#cite_note-39"><span class="cite_crochet">[</span>35<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-40" class="reference"><a href="#cite_note-40"><span class="cite_crochet">[</span>36<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-41" class="reference"><a href="#cite_note-41"><span class="cite_crochet">[</span>37<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, l'évolution de la <a href="/wiki/Bourse_(%C3%A9conomie)" title="Bourse (économie)">bourse</a> <sup id="cite_ref-42" class="reference"><a href="#cite_note-42"><span class="cite_crochet">[</span>38<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, du prix de l'<a href="/wiki/Or" title="Or">or</a> ou l'évolution d'une <a href="/wiki/Population" title="Population">population</a> donnée<sup id="cite_ref-43" class="reference"><a href="#cite_note-43"><span class="cite_crochet">[</span>39<span class="cite_crochet">]</span></a></sup></li> <li><a href="/wiki/Psychologie_du_d%C3%A9veloppement" title="Psychologie du développement">Psychologie du développement</a> : <a href="/wiki/Esther_Thelen" title="Esther Thelen">Esther Thelen</a> a décrit le développement des premières acquisitions motrices de l'enfant et ses premiers apprentissages implicites (acquisition de la <a href="/wiki/Marche_%C3%A0_pied" title="Marche à pied">marche</a>) en utilisant les modélisations issues des <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_syst%C3%A8mes_dynamiques" title="Théorie des systèmes dynamiques">théories des systèmes dynamiques</a> et théorie du chaos. Son approche était novatrice et a fortement influencé les modèles théoriques de la psychologie du développement après la publication de deux ouvrages de référence sur le sujet en 1993 et 1994 (co-auteur, Linda Smith) <sup id="cite_ref-44" class="reference"><a href="#cite_note-44"><span class="cite_crochet">[</span>40<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-45" class="reference"><a href="#cite_note-45"><span class="cite_crochet">[</span>41<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Ce champ d'investigation est la <i><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_developpementale_des_syst%C3%A8mes&action=edit&redlink=1" class="new" title="Théorie developpementale des systèmes (page inexistante)">théorie developpementale des systèmes</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/developmental_systems_theory" class="extiw" title="en:developmental systems theory"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « developmental systems theory »">(en)</span></a></i>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliographie">Bibliographie</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=37" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=37" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliothèque_virtuelle"><span id="Biblioth.C3.A8que_virtuelle"></span>Bibliothèque virtuelle</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=38" title="Modifier la section : Bibliothèque virtuelle" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=38" title="Modifier le code source de la section : Bibliothèque virtuelle"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/David_Ruelle" title="David Ruelle">David Ruelle</a>, <i>Chaos, imprédictibilité et hasard</i>, conférence de vulgarisation donnée en 2000 par l'auteur à l'Université de tous les savoirs, puis publiée dans : <i>Qu'est-ce que l'Univers ?</i> (éd. Y. Michaud), Odile Jacob (2000), 647-656. Texte complet disponible au format <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ihes.fr/~ruelle/PUBLICATIONS/129chaos.pdf">pdf</a>.</li> <li>Académie des sciences morales et politiques ; <i>Le chaos</i>, dans : <i>Implications philosophiques de la science contemporaine</i> (2001), groupe de travail présidé par <a href="/wiki/Bernard_d%27Espagnat" title="Bernard d'Espagnat">Bernard d'Espagnat</a> : <ul><li>François Lurcat, <i>Le chaos & l'occident</i>, format <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.asmp.fr/travaux/gpw/philosc/rapport1/lurcat.pdf">pdf</a>.</li> <li>Éric Bois, <i>De quelques enjeux philosophiques du phénomène du chaos</i>, format <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.asmp.fr/travaux/gpw/philosc/rapport1/bois.pdf">pdf</a>.</li> <li><i>Débat</i>, format <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.asmp.fr/travaux/gpw/philosc/rapport2/2-3_Debat.pdf">pdf</a>.</li></ul></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/w/index.php?title=Predrag_Cvitanovi%C4%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predrag Cvitanović (page inexistante)">Predrag Cvitanović</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Predrag_Cvitanovi%C4%87" class="extiw" title="en:Predrag Cvitanović"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Predrag Cvitanović »">(en)</span></a>, Roberto Artuso, Ronnie Mainieri et Gábor Vattay, <i>The Chaos Webbook</i>, (Version 11 - <time class="nowrap" datetime="2004-12" data-sort-value="2004-12">Décembre 2004</time>). Ouvrage de référence <a rel="nofollow" class="external text" href="http://chaosbook.org/">en ligne</a> écrit par Predrag Cvitanović (Niels Bohr Institute, Copenhague) et ses collaborateurs.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ouvrages_de_vulgarisation">Ouvrages de vulgarisation</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=39" title="Modifier la section : Ouvrages de vulgarisation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=39" title="Modifier le code source de la section : Ouvrages de vulgarisation"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Amy_Dahan" title="Amy Dahan">Amy Dahan</a>-Dalmedico, Jean-Luc Chabert et <a href="/wiki/Karine_Chemla" title="Karine Chemla">Karine Chemla</a> (sous la direction de), <i>Chaos & déterminisme</i>, Points Sciences, Le Seuil (1992), <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-02-015182-0" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-02-015182-0"><span class="nowrap">2-02-015182-0</span></a>)</small>. Un ouvrage collectif au format poche, divisé en trois parties : <i>Approches mathématiques</i>, <i>Physique & Calcul</i>, et <i>Quelques retours sur l'histoire et la philosophie</i>, écrits par quelques-uns des meilleurs spécialistes actuels du domaine.</li> <li>David Ruelle, <i>Hasard & Chaos</i>, Collection Opus 89, éditions Odile Jacob, 1991 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-7381-0665-X" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-7381-0665-X"><span class="nowrap">2-7381-0665-X</span></a>)</small>. Ouvrage d'introduction au chaos au format poche par un expert, professeur de physique théorique à l'<a href="/wiki/IHES" class="mw-redirect" title="IHES">IHES</a>.</li> <li><a href="/wiki/Pierre_Berg%C3%A9_(physicien)" title="Pierre Bergé (physicien)">Pierre Bergé</a>, <a href="/wiki/Yves_Pomeau" title="Yves Pomeau">Yves Pomeau</a> et Monique Dubois-Gance, <i>Des rythmes au chaos</i>, Collection Opus 64, Éditions Odile Jacob, 1997 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-7381-0524-6" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-7381-0524-6"><span class="nowrap">2-7381-0524-6</span></a>)</small>. Un autre ouvrage d'introduction au format poche, par des spécialistes français.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/w/index.php?title=Florin_Diacu&action=edit&redlink=1" class="new" title="Florin Diacu (page inexistante)">Florin Diacu</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Florin_Diacu" class="extiw" title="en:Florin Diacu"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Florin Diacu »">(en)</span></a> et <a href="/wiki/Philip_Holmes" title="Philip Holmes">Philip Holmes</a>, <i>Celestial Encounters - The Origin of Chaos</i>, Princeton University Press, 1996 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-691-00545-1" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-691-00545-1"><span class="nowrap">0-691-00545-1</span></a>)</small>. L'origine du "chaos" moderne se trouve dans les travaux pionniers d'Henri Poincaré réalisés à la fin du <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle"><span class="romain">XIX</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle à propos d'un vieux problème de mécanique newtonienne : le problème à N corps. Les auteurs, mathématiciens spécialistes du domaine, retracent l'histoire de ce problème et de ses développements de Poincaré à nos jours. Vulgarisation accessible à partir du premier cycle universitaire.</li> <li><a href="/wiki/Ivar_Ekeland" title="Ivar Ekeland">Ivar Ekeland</a>, <i>Le Chaos</i>, Dominos, Flammarion, 1995 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-08-035172-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-08-035172-9"><span class="nowrap">2-08-035172-9</span></a>)</small>. Un ouvrage vulgarisant les notions de la théorie du chaos.</li> <li><a href="/wiki/James_Gleick" title="James Gleick">James Gleick</a>, <i>La Théorie du chaos</i>, Albin Michel, 1989 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-226-03635-0" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-226-03635-0"><span class="nowrap">2-226-03635-0</span></a>)</small>. Réédité par Flammarion, 1991. <a href="/wiki/Best-seller" title="Best-seller">Bestseller</a>, a influencé les auteurs <a href="/wiki/Michael_Crichton" title="Michael Crichton">Michael Crichton</a> (<a href="/wiki/Jurassic_Park_(roman)" title="Jurassic Park (roman)">Jurassic Park</a>) et <a href="/wiki/Tom_Stoppard" title="Tom Stoppard">Tom Stoppard</a> (<a href="/wiki/Arcadia_(Stoppard)" title="Arcadia (Stoppard)">Arcadia</a>).</li> <li><a href="/wiki/Julien_Gargani" title="Julien Gargani">Julien Gargani</a>, <i> Poincaré, le hasard et l’étude des systèmes complexes</i>, L'Harmattan, 2012. un ouvrage d'histoire et philosophie des sciences.</li> <li><a href="/w/index.php?title=John_Briggs_(auteur)&action=edit&redlink=1" class="new" title="John Briggs (auteur) (page inexistante)">John Briggs</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/John_Briggs_(author)" class="extiw" title="en:John Briggs (author)"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « John Briggs (author) »">(en)</span></a> et <a href="/wiki/David_Peat" title="David Peat">David Peat</a>, <i>Un miroir turbulent</i>, Dunod, 1997 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-7296-0348-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-7296-0348-9"><span class="nowrap">978-2-7296-0348-9</span></a>)</small>. Un ouvrage de vulgarisation de la théorie du chaos.</li> <li><a href="/wiki/Vincent_Fleury" title="Vincent Fleury">Vincent Fleury</a>, <i>Arbres de pierre</i>, 1998. Ouvrage de vulgarisation qui part de l'histoire des dendrites pour introduire la <a href="/wiki/Morphogen%C3%A8se" title="Morphogenèse">morphogenèse</a> (sensible) et articuler les relations entre structures compactes et arborescentes.</li> <li><a href="/wiki/%C3%89tienne_Ghys" title="Étienne Ghys">Étienne Ghys</a>, <i>La Théorie du chaos</i>. Une conférence enregistrée pour rendre ce concept accessible à tous, une coédition De vive voix - Académie des sciences, 2011 (ce CD a reçu le prix Lire dans le noir du livre audio 2011).</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Textes_techniques">Textes techniques</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=40" title="Modifier la section : Textes techniques" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=40" title="Modifier le code source de la section : Textes techniques"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="ouvrage" id="AlligoodSauerYorke2000"><span class="ouvrage" id="Kathleen_T._AlligoodTim_D._SauerJames_A._Yorke2000"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Kathleen T. <span class="nom_auteur">Alligood</span>, Tim D. <span class="nom_auteur">Sauer</span> et James A. <span class="nom_auteur">Yorke</span>, <cite class="italique" lang="en">Chaos: An Introduction to Dynamical Systems</cite>, Springer Science & Business Media, <time class="nowrap" datetime="2000-09-27" data-sort-value="2000-09-27">27 septembre 2000</time> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-387-94677-1" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-387-94677-1"><span class="nowrap">978-0-387-94677-1</span></a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.it/books?id=48YHnbHGZAgC&redir_esc=y">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Chaos%3A+An+Introduction+to+Dynamical+Systems&rft.pub=Springer+Science+%26+Business+Media&rft.aulast=Alligood&rft.aufirst=Kathleen+T.&rft.au=Sauer%2C+Tim+D.&rft.au=Yorke%2C+James+A.&rft.date=2000-09-27&rft.isbn=978-0-387-94677-1&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Devaney, Robert L. (2003). An Introduction to Chaotic Dynamical Systems (2nd ed.). Westview Press. <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-8133-4085-2" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-8133-4085-2"><span class="nowrap">978-0-8133-4085-2</span></a>)</small>.</li> <li>Pierre Bergé, Yves Pomeau et Christian Vidal, <i>L'ordre dans le chaos - Vers une approche déterministe de la turbulence</i>, Hermann, 1988 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-7056-5980-3" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-7056-5980-3"><span class="nowrap">2-7056-5980-3</span></a>)</small>. Un ouvrage d'introduction au chaos par des experts français, accessible dès le premier cycle universitaire. <a href="/wiki/Prix_Henri-Poincar%C3%A9" title="Prix Henri-Poincaré">Prix Henri-Poincaré</a> 1990 de l'Académie des Sciences.</li> <li><a href="/wiki/Gilles_Deleuze" title="Gilles Deleuze">Gilles Deleuze</a>, <a href="/wiki/F%C3%A9lix_Guattari" title="Félix Guattari">Félix Guattari</a>, <i>Du chaos au cerveau</i> dans <i>Qu'est-ce que la philosophie?</i>, Paris, Les éditions de minuit, 1991</li> <li>Christophe Letellier, <i>Le Chaos dans la nature</i>, Vuibert, 2006 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-7117-9140-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-7117-9140-8"><span class="nowrap">2-7117-9140-8</span></a>)</small>. Un ouvrage d'introduction tant aux aspects historiques qu'aux concepts techniques par un expert français.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Thomas_Kibble" title="Thomas Kibble">T. W. B. Kibble</a> et F.H. Berkshire, <i>Classical Mechanics</i>, Prentice Hall, <abbr class="abbr" title="Quatrième">4<sup>e</sup></abbr> édition, 1997 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-582-25972-X" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-582-25972-X"><span class="nowrap">0-582-25972-X</span></a>)</small>. Un excellent cours d'introduction à la mécanique, des fondements newtoniens jusqu’aux formalismes plus avancés de Lagrange et de Hamilton. Kibble est professeur émérite de Physique Théorique de l'Imperial College de Londres. Pour cette <abbr class="abbr" title="Quatrième">4<sup>e</sup></abbr> édition (avec un coauteur), deux chapitres d'introduction aux idées de la théorie du chaos ont été inclus. Niveau : à partir du premier cycle universitaire. (N.B. : Il a existé une traduction française de l'édition précédente, publiée en son temps par Dunod.)</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Kathleen T. Alligood, Tim Sauer et <a href="/w/index.php?title=James_A._Yorke&action=edit&redlink=1" class="new" title="James A. Yorke (page inexistante)">James A. Yorke</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/James_A._Yorke" class="extiw" title="en:James A. Yorke"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « James A. Yorke »">(en)</span></a>, <i>Chaos: An Introduction to Dynamical Systems</i>, Springer-Verlag, 1997 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-387-94677-1" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-387-94677-1"><span class="nowrap">978-0-387-94677-1</span></a>)</small></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> David Ruelle, <i>Deterministic chaos: the science and the fiction</i>, Proceedings of the Royal Society London <b>A 427</b> (1990), 241-248</li> <li><a href="/wiki/Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Henri Poincaré</a>, <i>Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste</i>, 3 volumes, Éditions Gauthiers-Villars, 1892</li> <li><a href="/wiki/Jacques_Hadamard" title="Jacques Hadamard">Jacques Hadamard</a>, <i>Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques</i>, <a href="/wiki/Journal_de_math%C3%A9matiques_pures_et_appliqu%C3%A9es" title="Journal de mathématiques pures et appliquées">Journal de mathématiques pures et appliquées</a> <b>4</b> (1898), 27. Pour une revue plus récente, voir e.g. la référence suivante : <a href="/wiki/Pierre_Pansu" title="Pierre Pansu">Pierre Pansu</a>, <i>Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative</i>, <a href="/wiki/S%C3%A9minaire_Nicolas_Bourbaki" title="Séminaire Nicolas Bourbaki">Séminaire Bourbaki</a> <b>738</b> (1991) publié dans : Astérisque 201-203 (1991) 269-298.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Orlando, Giuseppe; Pisarchick, Alexander; Stoop, Ruedi (2021). Nonlinearities in Economics | SpringerLink. Dynamic Modeling and Econometrics in Economics and Finance. Vol. 29. doi:10.1007/978-3-030-70982-2. <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-3-030-70981-5" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-3-030-70981-5"><span class="nowrap">978-3-030-70981-5</span></a>)</small>. S2CID 239756912.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Vladimir_Arnold" title="Vladimir Arnold">Vladimir Arnold</a>, <i>Mathematical Methods of Classical Mechanics</i>, Springer-Verlag, <abbr class="abbr" title="Deuxième">2<sup>e</sup></abbr> édition, 1989 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-387-96890-3" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-387-96890-3"><span class="nowrap">0-387-96890-3</span></a>)</small>. Une synthèse de l'état de l'art en mécanique analytique (formalismes lagrangien & hamiltonien) avec l'accent mis sur l'interprétation géométrique de ces formalismes, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine. À partir du second cycle universitaire.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Vladimir Arnold, V.V. Kozlov et A.I. Neishtadt, <i>Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics</i>, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag (<abbr class="abbr" title="Deuxième">2<sup>e</sup></abbr> édition-1993). Une synthèse de l'état de l'art en mécanique céleste, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine (Arnold) et ses collaborateurs. À partir du second cycle universitaire.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Vladimir Arnold et André Avez, <i>Ergodic problems of classical mechanics</i>, Advanced Book Classics, Addison-Wesley, 1988. Réédition d'un ouvrage classique écrit en 1968.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> David Ruelle et Jean-Pierre Eckman, <i>Ergodic theory of chaos and strange attractors</i>, Review of Modern Physisc <b>57</b> (1985), 617-656</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Vladimir_Damgov" title="Vladimir Damgov">Vladimir Damgov</a>, <i>Nonlinear and parametric phenomena - Applications in radiophysical and mechanical systems</i>, World Scientific, Series on Nonlinear Sciences, 2004.</li> <li>René Lozi, <i>Can we trust in numerical computations of chaotic solutions of dynamical systems ?</i>, in <i>Topology and Dynamics of Chaos In Celebration of Robert Gilmore’s 70th Birthday</i>, World Scientific Series on Nonlinear Science, 84, 2013, pp.63-98</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Aspects_historiques">Aspects historiques</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=41" title="Modifier la section : Aspects historiques" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=41" title="Modifier le code source de la section : Aspects historiques"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/David_Aubin" title="David Aubin">David Aubin</a>, <i>A Cultural History of Catastrophes and Chaos: Around the Institut des Hautes Études Scientifiques, France 1958-1980</i>, <a href="/wiki/Philosophi%C3%A6_doctor" class="mw-redirect" title="Philosophiæ doctor">Ph.D.</a>, <a href="/wiki/Universit%C3%A9_de_Princeton" title="Université de Princeton">université de Princeton</a>, 1998, UMI #9817022 <small>[<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.jussieu.fr/~daubin/publis.html">lire en ligne</a>]</small> au format <a href="/wiki/Portable_Document_Format" title="Portable Document Format">pdf</a></li> <li><span class="ouvrage" id="DahanAubin2002"><span class="ouvrage" id="Amy_DahanDavid_Aubin2002"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Amy <span class="nom_auteur">Dahan</span> et David <span class="nom_auteur">Aubin</span>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Writing the History of Dynamical Systems and Chaos : Longue Durée and Revolution, Disciplines and Culture</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en"><a href="/wiki/Historia_Mathematica" title="Historia Mathematica">Historia Mathematica</a></span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 29,‎ <time>2002</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">273-339</span> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.jussieu.fr/~daubin/publis/Aubin-Dahan2002.pdf">lire en ligne</a> <abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF) d'Adobe">[PDF]</abbr>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Writing+the+History+of+Dynamical+Systems+and+Chaos+%3A+Longue+Dur%C3%A9e+and+Revolution%2C+Disciplines+and+Culture&rft.jtitle=Historia+Mathematica&rft.aulast=Dahan&rft.aufirst=Amy&rft.au=Aubin%2C+David&rft.date=2002&rft.volume=29&rft.pages=273-339&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.math.jussieu.fr%2F~daubin%2Fpublis%2FAubin-Dahan2002.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Dahan2000"><span class="ouvrage" id="Amy_Dahan2000">Amy <span class="nom_auteur">Dahan</span>, « <cite style="font-style:normal">Le chaos a-t-il engendré une révolution scientifique ?</cite> », <i><a href="/wiki/La_Recherche_(magazine)" title="La Recherche (magazine)">La Recherche</a></i>,‎ <time class="nowrap" datetime="2000-01" data-sort-value="2000-01">janvier 2000</time><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Le+chaos+a-t-il+engendr%C3%A9+une+r%C3%A9volution+scientifique+%3F&rft.jtitle=La+Recherche&rft.aulast=Dahan&rft.aufirst=Amy&rft.date=2000-01&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Dahan1997"><span class="ouvrage" id="Amy_Dahan1997">Amy <span class="nom_auteur">Dahan</span>, <cite style="font-style:normal">« Le difficile héritage de Henri Poincaré en systèmes dynamiques »</cite>, dans J. Greffe, G. Heinzmann et K. Lorenz, <cite class="italique">Henri Poincaré, science et philosophie</cite>, Berlin, Akademie Verlag et Paris, Blanchard, <time>1997</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">13-33</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Henri+Poincar%C3%A9%2C+science+et+philosophie&rft.atitle=Le+difficile+h%C3%A9ritage+de+Henri+Poincar%C3%A9+en+syst%C3%A8mes+dynamiques&rft.pub=Berlin%2C+Akademie+Verlag+et+Paris%2C+Blanchard&rft.aulast=Dahan&rft.aufirst=Amy&rft.date=1997&rft.pages=13-33&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span></li> <li><span class="ouvrage" id="Mousseau2008"><span class="ouvrage" id="Norman_Mousseau2008">Norman Mousseau, <cite style="font-style:normal">« De l'atome à la conscience : phénomènes d'émergence et complexité »</cite>, dans Solange Lefebvre, <cite class="italique">Raisons d'être : Le sens à l'épreuve de la science et de la religion</cite>, Montréal, Les Presses de l'Université de Montréal, <time>2008</time> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/9782760620605" title="Spécial:Ouvrages de référence/9782760620605"><span class="nowrap">9782760620605</span></a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=Raisons+d%27%C3%AAtre&rft.atitle=De+l%27atome+%C3%A0+la+conscience+%3A+ph%C3%A9nom%C3%A8nes+d%27%C3%A9mergence+et+complexit%C3%A9&rft.place=Montr%C3%A9al&rft.pub=Les+Presses+de+l%27Universit%C3%A9+de+Montr%C3%A9al&rft.stitle=Le+sens+%C3%A0+l%27%C3%A9preuve+de+la+science+et+de+la+religion&rft.aulast=Mousseau&rft.aufirst=Norman&rft.date=2008&rft.isbn=9782760620605&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=42" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=42" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div style="font-size:85%; padding-left:1.6em; margin:0.3em 0;"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé <span class="plainlinks">« <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory?oldid=708560074">Chaos theory</a> » <small>(<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory?action=history">voir la liste des auteurs</a>)</small></span>.</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notes">Notes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=43" title="Modifier la section : Notes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=43" title="Modifier le code source de la section : Notes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small lower-alpha" style=""><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text">Quand on procède au <a href="/wiki/Calcul_num%C3%A9rique" title="Calcul numérique">calcul numérique</a> des solutions d'un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_diff%C3%A9rentiel" title="Système différentiel">système différentiel</a> on peut imposer des <a href="/wiki/Condition_initiale" title="Condition initiale">conditions initiales</a> exactes (par exemple via des nombres entiers), mais s'il s'agit d'un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_dynamique" title="Système dynamique">système dynamique</a> sensible aux conditions initiales le résultat du calcul reste chaotique en raison des <a href="/wiki/Erreur_d%27arrondi" title="Erreur d'arrondi">erreurs d'arrondi</a>, qui ont le même effet que de petites variations des conditions initiales : le résultat des calculs sera reproductible sur un même ordinateur, mais pourrait être complètement différent d'un ordinateur à l'autre.</span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text">Pour un système dynamique différentiable inversible décrit par une équation différentielle (resp. l'itération d'une application suivant des temps discrets), <i>trois</i> (resp. deux) degrés de liberté suffisent. Pour un système dynamique décrit par l'itération d'une application différentiable non inversible suivant des temps discrets, un degré de liberté est suffisant. L'exemple paradigmatique est le doublement d'angle sur le cercle. Pour des dimensions inférieures, la classification de Poincaré des homéomorphismes du cercle et le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Poincar%C3%A9-Bendixson" title="Théorème de Poincaré-Bendixson">théorème de Poincaré-Bendixson</a> sur les difféomorphismes de surface interdisent la présence d'une dynamique chaotique.</span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text">Bien sûr, un système complexe peut aussi posséder une dynamique d'une grande complexité : mentionnons par exemple les <a href="/wiki/M%C3%A9t%C3%A9orologie" title="Météorologie">phénomènes météorologiques</a> ou l'<a href="/wiki/%C3%89conomie_(discipline)" title="Économie (discipline)">économie</a>.</span> </li> <li id="cite_note-31"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-31">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="citation">« Notre second exemple sera fort analogue au premier et nous l’emprunterons à la météorologie. Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec quelque certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblent-elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la pluie ou le beau temps, alors qu’ils jugeraient ridicule de demander une éclipse par une prière ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les régions où l’atmosphère est en équilibre instable. Les météorologistes voient bien que cet équilibre est instable, qu’un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d’état de le dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses ravages sur des contrées qu’il aurait épargnées. Si on avait connu ce dixième de degré, on aurait pu le savoir d’avance, mais les observations n’étaient ni assez serrées, ni assez précises, et c’est pour cela que tout semble dû à l’intervention du hasard. Ici encore nous retrouvons le même contraste entre une cause minime, inappréciable pour l’observateur, et des effets considérables, qui sont quelquefois d’épouvantables désastres. »</span><br /> Henri Poincaré, <i><a href="/wiki/Science_et_M%C3%A9thode" title="Science et Méthode">Science et Méthode</a></i><sup id="cite_ref-30" class="reference"><a href="#cite_note-30"><span class="cite_crochet">[</span>27<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>.</span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Références"><span id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Références</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=44" title="Modifier la section : Références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=44" title="Modifier le code source de la section : Références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Larousse"><span class="ouvrage" id="Éditions_Larousse">Éditions <span class="nom_auteur">Larousse</span>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.larousse.fr/encyclopedie/divers/chaos_d%C3%A9terministe/31790"><cite style="font-style:normal;">chaos déterministe - LAROUSSE</cite></a> », sur <span class="italique">www.larousse.fr</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2024-01-31" data-sort-value="2024-01-31">31 janvier 2024</time>)</small></span></span></span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-5">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Nina_(Editrice)_et_Gary_Williams_(Editeur)2010"><span class="ouvrage" id="Byers_Nina_(Editrice)_et_Gary_Williams_(Editeur)2010"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Byers Nina (Editrice) et Gary Williams (Editeur), <cite class="italique" lang="en">Out of the Shadows: Contributions of Twentieth-Century Women to Physics</cite>, Cambridge University Press, <time>2010</time>, 498 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0521169623" title="Spécial:Ouvrages de référence/0521169623"><span class="nowrap">0521169623</span></a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.goodreads.com/book/show/12932341-out-of-the-shadows?ac=1&from_search=true&qid=Jkm6gMEcMT&rank=2">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Out+of+the+Shadows%3A+Contributions+of+Twentieth-Century+Women+to+Physics&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft.au=Byers+Nina+%28Editrice%29+et+Gary+Williams+%28Editeur%29&rft.date=2010&rft.tpages=498&rft.isbn=0521169623&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-6">↑</a> </span><span class="reference-text">Cf. <span class="ouvrage" id="1975">Tien-Yien Li & James A. Yorke, « <cite style="font-style:normal">Period three implies chaos</cite> », <i>American Mathematical Monthly</i>, <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 82,‎ <time>1975</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">985-992</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Period+three+implies+chaos&rft.jtitle=American+Mathematical+Monthly&rft.issue=82&rft.date=1975&rft.pages=985-992&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-7">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="1976">Rössler Otto E., « <cite style="font-style:normal">A equation for continuous chaos</cite> », <i>Physics Letters A</i>, <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 57,‎ <time>1976</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">397-398</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=A+equation+for+continuous+chaos&rft.jtitle=Physics+Letters+A&rft.issue=57&rft.date=1976&rft.pages=397-398&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-8">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="1971">Ruelle David & Floris Takens, « <cite style="font-style:normal">On the nature of turbulence</cite> », <i>Communications in Mathematical Physics</i>, <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 20,‎ <time>1971</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">167-192</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=On+the+nature+of+turbulence&rft.jtitle=Communications+in+Mathematical+Physics&rft.issue=20&rft.date=1971&rft.pages=167-192&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-9">↑</a> </span><span class="reference-text">Cf. <span class="ouvrage" id="Ekeland1987"><span class="ouvrage" id="Ivar_Ekeland1987"><a href="/wiki/Ivar_Ekeland" title="Ivar Ekeland">Ivar <span class="nom_auteur">Ekeland</span></a>, <cite class="italique">Le Calcul, l'Imprévu : les figures du temps de Kepler à Thom.</cite>, Paris, <a href="/wiki/%C3%89ditions_du_Seuil" title="Éditions du Seuil">éditions du Seuil</a>, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Points Sciences », <time>1987</time>, 165 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-02-009557-2" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-02-009557-2"><span class="nowrap">2-02-009557-2</span></a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Le+Calcul%2C+l%27Impr%C3%A9vu&rft.place=Paris&rft.pub=%C3%A9ditions+du+Seuil&rft.stitle=les+figures+du+temps+de+Kepler+%C3%A0+Thom.&rft.aulast=Ekeland&rft.aufirst=Ivar&rft.date=1987&rft.tpages=165&rft.isbn=2-02-009557-2&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-10">↑</a> </span><span class="reference-text">Cf. <span class="ouvrage" id="PrigogineStengers1979"><span class="ouvrage" id="Ilya_PrigogineIsabelle_Stengers1979">Ilya <span class="nom_auteur">Prigogine</span> et Isabelle <span class="nom_auteur">Stengers</span>, <cite class="italique"><a href="/wiki/La_Nouvelle_Alliance_(essai)" class="mw-redirect" title="La Nouvelle Alliance (essai)">La Nouvelle Alliance. Métamorphose de la science</a></cite>, Paris, <a href="/wiki/%C3%89ditions_Gallimard" title="Éditions Gallimard">Gallimard</a>, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Folio-Essais, n°26 », <time>1979</time>, « Livre III »<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=La+Nouvelle+Alliance.+M%C3%A9tamorphose+de+la+science&rft.atitle=Livre+III&rft.place=Paris&rft.pub=Gallimard&rft.aulast=Prigogine&rft.aufirst=Ilya&rft.au=Stengers%2C+Isabelle&rft.date=1979&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-11">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Letellier2006"><span class="ouvrage" id="Christophe_Letellier2006">Christophe <span class="nom_auteur">Letellier</span>, <cite class="italique">Le chaos dans la nature,</cite>, Paris, <a href="/wiki/Vuibert" title="Vuibert">Vuibert</a>, <time>2006</time>, 276 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-7117-9140-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-7117-9140-8"><span class="nowrap">2-7117-9140-8</span></a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Le+chaos+dans+la+nature%2C&rft.place=Paris&rft.pub=Vuibert&rft.aulast=Letellier&rft.aufirst=Christophe&rft.date=2006&rft.tpages=276&rft.isbn=2-7117-9140-8&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-12">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="S.2014"><span class="ouvrage" id="Byrne,_David_S.2014">Byrne, David <span class="nom_auteur">S.</span>, <cite class="italique">Complexity Theory and the Social Sciences : The State of the Art</cite>, <a href="/wiki/Routledge" title="Routledge">Routledge</a>, <time>2014</time>, 297 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-415-69368-4" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-415-69368-4"><span class="nowrap">978-0-415-69368-4</span></a>, <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0415693683" title="Spécial:Ouvrages de référence/0415693683"><span class="nowrap">0415693683</span></a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/9780415693677" title="Spécial:Ouvrages de référence/9780415693677"><span class="nowrap">9780415693677</span></a>, <a href="/wiki/Online_Computer_Library_Center" title="Online Computer Library Center">OCLC</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://worldcat.org/fr/title/931022789">931022789</a></span>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Complexity+Theory+and+the+Social+Sciences&rft.pub=Routledge&rft.stitle=The+State+of+the+Art&rft.aulast=S.&rft.aufirst=Byrne%2C+David&rft.date=2014&rft.tpages=297&rft.isbn=978-0-415-69368-4&rft_id=info%3Aoclcnum%2F931022789&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-13">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="1996"><cite class="italique">Chaos Theory in the Social Sciences : Foundations and Applications</cite>, University of Michigan Press, <time>1996</time>, 349 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-472-10638-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-472-10638-7"><span class="nowrap">978-0-472-10638-7</span></a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/9780472022526" title="Spécial:Ouvrages de référence/9780472022526"><span class="nowrap">9780472022526</span></a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.3998/mpub.14623">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Chaos+Theory+in+the+Social+Sciences&rft.pub=University+of+Michigan+Press&rft.stitle=Foundations+and+Applications&rft.date=1996&rft.tpages=349&rft.isbn=978-0-472-10638-7&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span> </li> <li id="cite_note-14"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-14">↑</a> </span><span class="reference-text">Article de vulgarisation, en anglais, sur le sujet de la théorie du chaos en sciences sociales : "Social Sciences : Chaos Theory; An Overview, by Ashley Crossman, 2017 <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.thoughtco.com/chaos-theory-3026621">Lire en ligne</a></span> </li> <li id="cite_note-15"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-15">↑</a> </span><span class="reference-text">Alain Degenne. Les attracteurs. 2014. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-01081801">Lire en ligne</a></span> </li> <li id="cite_note-16"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-16">↑</a> </span><span class="reference-text">A. Hastings, C. L. Hom, S. Ellner, P. Truchin & H. C. J. Godfray, « <i>Chaos in ecology : is Mother Nature a strange attractor ?</i> », Annual Reviews of Ecology and Systematics, vol. 24, 1–33, 1993.</span> </li> <li id="cite_note-17"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-17">↑</a> </span><span class="reference-text">Rappelons qu'une équation différentielle d'ordre <i>n</i> peut toujours se ramener à un système de <i>n</i> équations différentielles couplées d'ordre un.</span> </li> <li id="cite_note-18"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-18">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Laplace1814"><span class="ouvrage" id="Pierre-Simon_Laplace1814">Pierre-Simon Laplace, <cite class="italique">Essai philosophiques sur les probabilités</cite>, Courcier, <time>1814</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=rDUJAAAAIAAJ&pg=PA2">lire en ligne</a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 2-3.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Essai+philosophiques+sur+les+probabilit%C3%A9s&rft.pub=Courcier&rft.aulast=Laplace&rft.aufirst=Pierre-Simon&rft.date=1814&rft.pages=2-3.&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span>, consulté le 27 juin 2013.</span> </li> <li id="cite_note-19"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-19">↑</a> </span><span class="reference-text">Henri Poincaré ; <i>Calcul des probabilités</i>, Gauthier-Villars (Paris - <abbr class="abbr" title="Deuxième">2<sup>e</sup></abbr> édition, 1912). Réimpression : Éditions Jacques Gabay (Paris-1987).</span> </li> <li id="cite_note-20"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-20">↑</a> </span><span class="reference-text"><abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr> <span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.univ-nancy2.fr/poincare/bhp/pdf/hp1912cp.pdf"><cite style="font-style:normal;">Calcul des Probabilités, p.1. p.4. et p.5.</cite></a> », sur <span class="italique">le Laboratoire d’Histoire des Sciences et de Philosophie, Archives Henri Poincaré, <a href="/wiki/Universit%C3%A9_de_Lorraine" title="Université de Lorraine">Université de Lorraine</a>, UMR 7117 CNRS</span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2013-06-28" data-sort-value="2013-06-28">28 juin 2013</time>)</small></span></span> </li> <li id="cite_note-21"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-21">↑</a> </span><span class="reference-text">On a l'implication : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\Longrightarrow K}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">⟹</mo> <mi>K</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\Longrightarrow K}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1b27f052a2dee25d4a1e9dd7d1b4b0dc0f940f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.926ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B\Longrightarrow K}"></span>, la réciproque étant fausse en général. Les systèmes <i>K</i> et <i>B</i> possèdent une <i><a href="/wiki/Entropie_de_Kolmogorov-Sinai" class="mw-redirect" title="Entropie de Kolmogorov-Sinai">entropie de Kolmogorov-Sinai</a></i> positive.</span> </li> <li id="cite_note-22"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-22">↑</a> </span><span class="reference-text">L'inverse du temps <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>τ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"></span> est appelé un <i><a href="/wiki/Exposant_de_Liapounov" title="Exposant de Liapounov">exposant de Liapounov</a></i>.</span> </li> <li id="cite_note-23"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-23">↑</a> </span><span class="reference-text">Le jury est composé de Weierstrass, Mittag-Lefflet et Hermite.</span> </li> <li id="cite_note-24"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-24">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="/wiki/June_Barrow-Green" title="June Barrow-Green">June Barrow-Green</a> ; <i>Poincaré & the three-body problem</i>, History of Mathematics (Vol. 11), American Mathematical Society & London Mathematical Society (1997).</span> </li> <li id="cite_note-25"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-25">↑</a> </span><span class="reference-text">Lire e.g. : Jacques Laskar ; <i>La stabilité du Système solaire</i>, dans : Amy Dahan Dalmedico, Jean-Luc Chabert & <a href="/wiki/Karine_Chemla" title="Karine Chemla">Karine Chemla</a> (sous la direction de) ; <i>Chaos & déterminisme</i>, Points Sciences, Le Seuil (1992), <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-02-015182-0" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-02-015182-0"><span class="nowrap">2-02-015182-0</span></a>)</small> ; et : Jacques Laskar ; <i>Chaos in the Solar System</i>, conférence plénière donnée à <i>TH2002</i> (Paris, juillet 2002). Format <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.imcce.fr/Equipes/ASD/preprints/prep.2003/th2002_laskar.pdf">pdf</a>.</span> </li> <li id="cite_note-26"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-26">↑</a> </span><span class="reference-text">G.J. Sussman & J. Wisdom ; <i>Chaotic evolution of the solar system</i>, Science <b>257</b> (1992), 56-62.</span> </li> <li id="cite_note-27"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-27">↑</a> </span><span class="reference-text">La divergence n'est en général exponentielle que localement. Rappelons en effet qu'un système chaotique possède le plus souvent un espace des phases <a href="/wiki/Compacit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Compacité (mathématiques)">compact</a>, propriété qui permet l'existence d'un phénomène de récurrence.</span> </li> <li id="cite_note-Stewart-28"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-Stewart_28-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="/wiki/Ian_Stewart_(math%C3%A9maticien)" title="Ian Stewart (mathématicien)">Ian Stewart</a>, «Deciding the undecidable," <i>Nature</i> vol. 352, pp. 664–665 (1991) et I. Stewart, <i>From Here to Infinity</i>, Oxford (1996).<div style="margin-left:2em; line-height:1.5;">Commentaires sur la preuve d'indécidabilité de la théorie du chaos.</div>.</span> </li> <li id="cite_note-29"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-29">↑</a> </span><span class="reference-text">NCA da Costa et FA Dória, "Undecidability and incompleteness in classical mechanics", <i>Int. J. Theor. Physics</i> vol. 30, pages 1041-1073 (1991). <div style="margin-left:2em; line-height:1.5;">Preuve que la théorie du chaos est indécidable et, si elle est axiomatisée dans la théorie des ensembles, incomplète au sens de <a href="/wiki/Kurt_G%C3%B6del" title="Kurt Gödel">Gödel</a></div></span> </li> <li id="cite_note-30"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-30">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/philo/textesph/Scienceetmethode.pdf"><cite style="font-style:normal;">Science et Méthode, p. 37</cite></a> » <abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF) d'Adobe">[PDF]</abbr>, sur <span class="italique">l’<a href="/wiki/Acad%C3%A9mie_de_Nancy-Metz" title="Académie de Nancy-Metz">Académie de Nancy-Metz</a></span> <small style="line-height:1em;">(consulté le <time class="nowrap" datetime="2013-06-27" data-sort-value="2013-06-27">27 juin 2013</time>)</small></span>.</span> </li> <li id="cite_note-32"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-32">↑</a> </span><span class="reference-text">Edward N. Lorenz, <i>Deterministic non-periodic flow</i>, Journal of the Atmospheric Sciences <b>20(2)</b> (1963), 130–141. Format <a rel="nofollow" class="external text" href="http://journals.ametsoc.org/doi/pdf/10.1175/1520-0469%281963%29020%3C0130%3ADNF%3E2.0.CO%3B2">pdf</a>.</span> </li> <li id="cite_note-33"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-33">↑</a> </span><span class="reference-text">Le titre n'est en fait pas de Lorenz, mais d'un autre météorologue, Philip Merilees, organisateur de la conférence ; Lorenz l'a découvert trop tard pour pouvoir en changer. Cf. Nicolas Witkowski : <i>La chasse à l'effet papillon</i>, Alliage <b>22</b> (1995), 46-53.</span> </li> <li id="cite_note-34"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-34">↑</a> </span><span class="reference-text">Edward N. Lorenz ; <i>Un battement d'ailes de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ?</i>, Alliage <b>22</b> (1993), 42-45. Traduction française du texte de la conférence de 1972, publié (en anglais) dans : <i>The essence of chaos</i>, The Jessie and John Danz Lecture Series, University of Washington Press (1993). Ce livre contient une série de conférences de vulgarisation données à l'université de Washington (Seattle) en 1990.</span> </li> <li id="cite_note-35"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-35">↑</a> </span><span class="reference-text">Lorsque le paramètre <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">r</span> devient <i>supérieur</i> à 4, l'application sort de l'intervalle [0, 1].</span> </li> <li id="cite_note-36"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-36">↑</a> </span><span class="reference-text">R. M. May, <i>Nature</i> <b>261</b> (1976), 459.</span> </li> <li id="cite_note-37"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-37">↑</a> </span><span class="reference-text">Stanislas Ulam & John Von Neumann, <i>Bulletin of the American Mathematical Society</i>, <b>53</b> (1947), 1120.</span> </li> <li id="cite_note-38"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-38">↑</a> </span><span class="reference-text">Pierre Collet & Jean-Pierre Eckmann, <i>Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems</i>, Birkhaüser, 1980.</span> </li> <li id="cite_note-39"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-39">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Tinbergen1939"><span class="ouvrage" id="Jan_Tinbergen1939"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Jan <span class="nom_auteur">Tinbergen</span>, <cite class="italique" lang="en">Statistical Testing of Business Cycle Theories: Part II: Business Cycles in the United States of America, 1919-1932</cite>, New York, Agaton Press, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Books (Jan Tinbergen) », <time class="nowrap" datetime="1939-01-01" data-sort-value="1939-01-01"><abbr class="abbr" title="premier">1<sup>er</sup></abbr> janvier 1939</time> <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="https://repub.eur.nl/pub/14937/">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Statistical+Testing+of+Business+Cycle+Theories%3A+Part+II%3A+Business+Cycles+in+the+United+States+of+America%2C+1919-1932&rft.place=New+York&rft.pub=Agaton+Press&rft.aulast=Tinbergen&rft.aufirst=Jan&rft.date=1939-01-01&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-40"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-40">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="OrlandoZimatore2017"><span class="ouvrage" id="Giuseppe_OrlandoGiovanna_Zimatore2017">Giuseppe <span class="nom_auteur">Orlando</span> et Giovanna <span class="nom_auteur">Zimatore</span>, « <cite style="font-style:normal">RQA correlations on real business cycles time series</cite> », <i>Indian Academy of Sciences – Conference Series</i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 1, <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 1,‎ <time class="nowrap" datetime="2017-12-18" data-sort-value="2017-12-18">18 décembre 2017</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">35–41</span> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.29195/iascs.01.01.0009">10.29195/iascs.01.01.0009</a></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ias.ac.in/describe/article/conf/001/01/0035-0041">lire en ligne</a>, consulté le <time class="nowrap" datetime="2022-12-21" data-sort-value="2022-12-21">21 décembre 2022</time>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=RQA+correlations+on+real+business+cycles+time+series&rft.jtitle=Indian+Academy+of+Sciences+%E2%80%93+Conference+Series&rft.issue=1&rft.aulast=Orlando&rft.aufirst=Giuseppe&rft.au=Zimatore%2C+Giovanna&rft.date=2017-12-18&rft.volume=1&rft.pages=35%E2%80%9341&rft_id=info%3Adoi%2F10.29195%2Fiascs.01.01.0009&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-41"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-41">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="OrlandoZimatore2018"><span class="ouvrage" id="Giuseppe_OrlandoGiovanna_Zimatore2018"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Giuseppe <span class="nom_auteur">Orlando</span> et Giovanna <span class="nom_auteur">Zimatore</span>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Recurrence quantification analysis of business cycles</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">Chaos, Solitons & Fractals</span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 110,‎ <time class="nowrap" datetime="2018-05" data-sort-value="2018-05">mai 2018</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">82–94</span> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1016/j.chaos.2018.02.032">10.1016/j.chaos.2018.02.032</a></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0960077918300924">lire en ligne</a>, consulté le <time class="nowrap" datetime="2022-12-21" data-sort-value="2022-12-21">21 décembre 2022</time>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Recurrence+quantification+analysis+of+business+cycles&rft.jtitle=Chaos%2C+Solitons+%26+Fractals&rft.aulast=Orlando&rft.aufirst=Giuseppe&rft.au=Zimatore%2C+Giovanna&rft.date=2018-05&rft.volume=110&rft.pages=82%E2%80%9394&rft_id=info%3Adoi%2F10.1016%2Fj.chaos.2018.02.032&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-42"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-42">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="OrlandoBufaloStoop2022"><span class="ouvrage" id="Giuseppe_OrlandoMichele_BufaloRuedi_Stoop2022"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Giuseppe <span class="nom_auteur">Orlando</span>, Michele <span class="nom_auteur">Bufalo</span> et Ruedi <span class="nom_auteur">Stoop</span>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Financial markets’ deterministic aspects modeled by a low-dimensional equation</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">Scientific Reports</span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 12, <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 1,‎ <time class="nowrap" datetime="2022-02-01" data-sort-value="2022-02-01"><abbr class="abbr" title="premier">1<sup>er</sup></abbr> février 2022</time>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 1693 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Serial_Number" title="International Standard Serial Number">ISSN</a> <span class="plainlinks noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://portal.issn.org/resource/issn/2045-2322">2045-2322</a></span>, <a href="/wiki/PubMed" title="PubMed">PMID</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/35105929">35105929</a></span>, <a href="/wiki/PubMed_Central" title="PubMed Central">PMCID</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC8807815">PMC8807815</a></span>, <a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1038/s41598-022-05765-z">10.1038/s41598-022-05765-z</a></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nature.com/articles/s41598-022-05765-z">lire en ligne</a>, consulté le <time class="nowrap" datetime="2023-03-19" data-sort-value="2023-03-19">19 mars 2023</time>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Financial+markets%E2%80%99+deterministic+aspects+modeled+by+a+low-dimensional+equation&rft.jtitle=Scientific+Reports&rft.issue=1&rft.aulast=Orlando&rft.aufirst=Giuseppe&rft.au=Bufalo%2C+Michele&rft.au=Stoop%2C+Ruedi&rft.date=2022-02-01&rft.volume=12&rft.pages=1693&rft.issn=2045-2322&rft_id=info%3Adoi%2F10.1038%2Fs41598-022-05765-z&rft_id=info%3Apmid%2F35105929&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATh%C3%A9orie+du+chaos"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-43"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-43">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="/wiki/Trinh_Xuan_Thuan" title="Trinh Xuan Thuan">Trinh Xuan Thuan</a>, <i>Le chaos et l'harmonie</i> : la fabrication du réel, Éditions <a href="/wiki/Gallimard" class="mw-redirect" title="Gallimard">Gallimard</a>, page 192.</span> </li> <li id="cite_note-44"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-44">↑</a> </span><span class="reference-text">Thelen, E. and Smith, L.B. (1994). <i>A Dynamic Systems Approach to the Development of Cognition and Action</i>. Cambridge, Mass.: MIT Press</span> </li> <li id="cite_note-45"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-45">↑</a> </span><span class="reference-text">Smith, L. B., & Thelen, E. E. (1993). A dynamic systems approach to development: Applications. In <i>This book grew out of a workshop," Dynamic Systems in Development," held for the Society for Research in Child Development in Kansas City, KS, Apr 1989.</i>. The MIT Press.</span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=45" title="Modifier la section : Voir aussi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=45" title="Modifier le code source de la section : Voir aussi"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=46" title="Modifier la section : Articles connexes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span 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href="/wiki/Exposant_de_Liapounov" title="Exposant de Liapounov">Exposant de Liapounov</a></li> <li><a href="/wiki/Fronti%C3%A8re_du_chaos" title="Frontière du chaos">Frontière du chaos</a></li> <li><a href="/wiki/Hasard" title="Hasard">Hasard</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9canique_hamiltonienne" title="Mécanique hamiltonienne">Mécanique hamiltonienne</a></li> <li><a href="/wiki/Mouvement_brownien" title="Mouvement brownien">Mouvement brownien</a></li> <li><a href="/wiki/Stabilit%C3%A9_de_Liapounov" title="Stabilité de Liapounov">Stabilité de Liapounov</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_syst%C3%A8mes_dynamiques" title="Théorie des systèmes dynamiques">Théorie des systèmes dynamiques</a></li> <li><a href="/wiki/Science_du_complexe" title="Science du complexe">Science du complexe</a></li></ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&veaction=edit&section=47" title="Modifier la section : Liens externes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Th%C3%A9orie_du_chaos&action=edit&section=47" title="Modifier le code source de la section : Liens externes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><div class="liste-horizontale"><span class="wd_identifiers"><a href="/wiki/Autorit%C3%A9_(sciences_de_l%27information)" title="Autorité (sciences de l'information)">Notices d'autorité</a><span class="noprint wikidata-linkback skin-invert"><span class="mw-valign-baseline noviewer" typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q166314?uselang=fr#identifiers" title="Voir et modifier les données sur Wikidata"><img alt="Voir et modifier les données sur Wikidata" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/15px-Blue_pencil.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/20px-Blue_pencil.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a></span></span></span> : <ul><li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119954481">BnF</a></span> (<span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb119954481">données</a></span>)</li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.loc.gov/authorities/sh85022562">LCCN</a></span></li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4009754-7">GND</a></span></li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007284937105171">Israël</a></span></li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://aut.nkp.cz/ph921688">Tchéquie</a></span></li> </ul></div></li> <li class="mw-empty-elt"></li> <li><div class="liste-horizontale"><span class="wd_identifiers">Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes<span class="noprint wikidata-linkback skin-invert"><span class="mw-valign-baseline noviewer" typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q166314?uselang=fr#identifiers" title="Voir et modifier les données sur Wikidata"><img alt="Voir et modifier les données sur Wikidata" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/15px-Blue_pencil.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/20px-Blue_pencil.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a></span></span></span> : <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/chaos-theory"><i>Britannica</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://denstoredanske.lex.dk//kaosteori/"><i>Den Store Danske Encyklopædi</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.treccani.it/enciclopedia/caos-e-complessita_(Enciclopedia-Italiana)/"><i>Enciclopedia italiana</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.larousse.fr/encyclopedie/divers/chaos_d%C3%A9terministe/31790"><i>Larousse</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://snl.no/kaosteori"><i>Store norske leksikon</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.universalis.fr/encyclopedie/chaos-physique/"><i>Universalis</i></a></li> </ul></div></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://just.loic.free.fr/">Découverte de la théorie du chaos de A à Z</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://vivienmallet.net/chaos/index/">Contrôle de systèmes chaotiques</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://chaos.aip.org/">La revue <i>Chaos</i>, une des revues scientifiques de référence (en anglais)</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89tienne_Ghys" title="Étienne Ghys">Étienne Ghys</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.bourbaphy.fr/ghys.pdf">L'attracteur de Lorenz, paradigme du chaos</a> » <abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr> <span style="font-size:88%">(5,5 <abbr class="abbr" title="mégaoctets">Mo</abbr>)</span></li> <li><a href="/w/index.php?title=Jos_Leys&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jos Leys (page inexistante)">Jos Leys</a>, <a href="/wiki/%C3%89tienne_Ghys" title="Étienne Ghys">Étienne Ghys</a> et <a href="/wiki/Aur%C3%A9lien_Alvarez" title="Aurélien Alvarez">Aurélien Alvarez</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.chaos-math.org/"><i>Chaos, une aventure mathématique</i></a></li></ul> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Analyse" title="Portail de l'analyse"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/Nuvola_apps_kmplot.svg/24px-Nuvola_apps_kmplot.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" 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