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class="vector-toc-link" href="#Outros_casos"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Outros casos</span> </div> </a> <ul id="toc-Outros_casos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Solução_de_uma_Equação_Diferencial_Ordinária" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Solução_de_uma_Equação_Diferencial_Ordinária"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Solução de uma Equação Diferencial Ordinária</span> </div> </a> <ul id="toc-Solução_de_uma_Equação_Diferencial_Ordinária-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Métodos_para_resolução_de_EDO" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Métodos_para_resolução_de_EDO"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Métodos para resolução de EDO</span> </div> </a> <ul id="toc-Métodos_para_resolução_de_EDO-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referências" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referências"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Referências</span> </div> </a> <ul id="toc-Referências-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ver_também" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ver_também"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Ver também</span> </div> </a> <ul id="toc-Ver_também-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ligações_externas" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Ligações_externas"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Ligações externas</span> </div> </a> <ul id="toc-Ligações_externas-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Conteúdo" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Alternar o índice" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Alternar o índice</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Equação diferencial ordinária</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Ir para um artigo noutra língua. Disponível em 49 línguas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-49" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">49 línguas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A9_%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84%D9%8A%D8%A9_%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%8A%D8%A9" title="معادلة تفاضلية عادية — árabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="معادلة تفاضلية عادية" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria" title="Ecuación diferencial ordinaria — asturiano" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Ecuación diferencial ordinaria" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Adi_diferensial_t%C9%99nlikl%C9%99r" title="Adi diferensial tənliklər — azerbaijano" lang="az" hreflang="az" data-title="Adi diferensial tənliklər" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbaijano" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a 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class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Oby%C4%8Dejn%C3%A1_diferenci%C3%A1ln%C3%AD_rovnice" title="Obyčejná diferenciální rovnice — checo" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Obyčejná diferenciální rovnice" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D0%BB%C4%83_%D0%B0%D1%85%D0%B0%D0%BB%D1%8C_%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BB%C4%83%D1%85" title="Дифференциаллă ахаль танлăх — chuvash" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Дифференциаллă ахаль танлăх" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="chuvash" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung — alemão" lang="de" hreflang="de" data-title="Gewöhnliche Differentialgleichung" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemão" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%AE%CE%B8%CE%B7%CF%82_%CE%B4%CE%B9%CE%B1%CF%86%CE%BF%CF%81%CE%B9%CE%BA%CE%AE_%CE%B5%CE%BE%CE%AF%CF%83%CF%89%CF%83%CE%B7" title="Συνήθης διαφορική εξίσωση — grego" lang="el" hreflang="el" data-title="Συνήθης διαφορική εξίσωση" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grego" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation" title="Ordinary differential equation — inglês" lang="en" hreflang="en" 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href="https://et.wikipedia.org/wiki/Harilik_diferentsiaalv%C3%B5rrand" title="Harilik diferentsiaalvõrrand — estónio" lang="et" hreflang="et" data-title="Harilik diferentsiaalvõrrand" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estónio" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Ekuazio_diferentzial_arrunt" title="Ekuazio diferentzial arrunt — basco" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Ekuazio diferentzial arrunt" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basco" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D9%87_%D8%AF%DB%8C%D9%81%D8%B1%D8%A7%D9%86%D8%B3%DB%8C%D9%84_%D9%85%D8%B9%D9%85%D9%88%D9%84%DB%8C" title="معادله دیفرانسیل معمولی — persa" lang="fa" hreflang="fa" data-title="معادله دیفرانسیل معمولی" 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href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria" title="Ecuación diferencial ordinaria — galego" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Ecuación diferencial ordinaria" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%90%D7%94_%D7%93%D7%99%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%9C%D7%99%D7%AA_%D7%A8%D7%92%D7%99%D7%9C%D7%94" title="משוואה דיפרנציאלית רגילה — hebraico" lang="he" hreflang="he" data-title="משוואה דיפרנציאלית רגילה" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebraico" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%BE%E0%A4%A7%E0%A4%BE%E0%A4%B0%E0%A4%A3_%E0%A4%85%E0%A4%B5%E0%A4%95%E0%A4%B2_%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A5%80%E0%A4%95%E0%A4%B0%E0%A4%A3" title="साधारण अवकल समीकरण — hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="साधारण अवकल समीकरण" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Obi%C4%8Dna_diferencijalna_jednad%C5%BEba" title="Obična diferencijalna jednadžba — croata" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Obična diferencijalna jednadžba" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6z%C3%B6ns%C3%A9ges_differenci%C3%A1legyenlet" title="Közönséges differenciálegyenlet — húngaro" lang="hu" 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href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%83%81%EB%AF%B8%EB%B6%84_%EB%B0%A9%EC%A0%95%EC%8B%9D" title="상미분 방정식 — coreano" lang="ko" hreflang="ko" data-title="상미분 방정식" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%B9%D0%BD_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB_%D1%82%D1%8D%D0%B3%D1%88%D0%B8%D1%82%D0%B3%D1%8D%D0%BB" title="Ердийн дифференциал тэгшитгэл — mongol" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Ердийн дифференциал тэгшитгэл" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Persamaan_pembezaan_biasa" title="Persamaan pembezaan biasa — malaio" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Persamaan pembezaan biasa" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malaio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe_zwyczajne" title="Równanie różniczkowe zwyczajne — polaco" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Równanie różniczkowe zwyczajne" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Ecua%C8%9Bie_diferen%C8%9Bial%C4%83_ordinar%C4%83" title="Ecuație diferențială ordinară — romeno" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Ecuație diferențială ordinară" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romeno" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a 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title="Obyčajná diferenciálna rovnica — eslovaco" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Obyčajná diferenciálna rovnica" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="eslovaco" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Ekuacioni_diferencial_i_zakonsh%C3%ABm" title="Ekuacioni diferencial i zakonshëm — albanês" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Ekuacioni diferencial i zakonshëm" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanês" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/Obi%C4%8Dna_diferencijalna_jedna%C4%8Dina" title="Obična diferencijalna jednačina — sérvio" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Obična diferencijalna jednačina" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="sérvio" 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href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B2%D0%B8%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Звичайні диференціальні рівняння — ucraniano" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Звичайні диференціальні рівняння" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Oddiy_differentsial_tenglama" title="Oddiy differentsial tenglama — usbeque" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Oddiy differentsial tenglama" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="usbeque" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_vi_ph%C3%A2n_th%C6%B0%E1%BB%9Dng" title="Phương trình vi phân thường — vietnamita" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Phương trình vi phân thường" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%B8%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B" title="常微分方程 — chinês" lang="zh" hreflang="zh" data-title="常微分方程" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinês" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%B8%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B" title="常微分方程 — cantonês" lang="yue" hreflang="yue" data-title="常微分方程" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonês" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q465274#sitelinks-wikipedia" title="Editar hiperligações interlínguas" class="wbc-editpage">Editar hiperligações</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaços nominais"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria" title="Ver a página de conteúdo [c]" accesskey="c"><span>Artigo</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a 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vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ocultar</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pt" dir="ltr"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r68971778">.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output 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class="box-Mais_notas plainlinks metadata ambox ambox-content ambox-Refimprove" role="presentation"><tbody><tr><td class="mbox-image"><div style="width:52px"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Ficheiro:Question_book-new.svg" class="mw-file-description"><img alt="Esta página cita fontes, mas não cobrem todo o conteúdo" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Question_book-new.svg/50px-Question_book-new.svg.png" decoding="async" width="50" height="39" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Question_book-new.svg/75px-Question_book-new.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Question_book-new.svg/100px-Question_book-new.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="399" /></a></span></div></td><td class="mbox-text"><div class="mbox-text-span">Esta página <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Livro_de_estilo/Cite_as_fontes" title="Wikipédia:Livro de estilo/Cite as fontes">cita fontes</a>, mas que <b><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:V" class="mw-redirect" title="Wikipédia:V">não cobrem</a> todo o conteúdo</b>.<span class="hide-when-compact"> Ajude a <a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Livro_de_estilo/Refer%C3%AAncias_e_notas_de_rodap%C3%A9" title="Wikipédia:Livro de estilo/Referências e notas de rodapé">inserir referências</a> (<small><i>Encontre fontes:</i> <span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://wikipedialibrary.wmflabs.org/">ABW</a>  •  <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.periodicos.capes.gov.br">CAPES</a>  •  <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?as_eq=wikipedia&as_epq=Equa%C3%A7%C3%A3o+diferencial+ordin%C3%A1ria">Google</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.google.com/search?hl=pt&tbm=nws&q=Equa%C3%A7%C3%A3o+diferencial+ordin%C3%A1ria&oq=Equa%C3%A7%C3%A3o+diferencial+ordin%C3%A1ria">N</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?&as_brr=0&as_epq=Equa%C3%A7%C3%A3o+diferencial+ordin%C3%A1ria">L</a> • <a rel="nofollow" class="external text" href="https://scholar.google.com/scholar?hl=pt&q=Equa%C3%A7%C3%A3o+diferencial+ordin%C3%A1ria">A</a>)</span></small>).</span> <small class="date-container"><i>(<span class="date">Novembro de 2013</span>)</i></small></div></td></tr></tbody></table> <p>Em <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica" title="Matemática">matemática</a> e em particular na <a href="/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica" title="Análise matemática">análise</a>, uma <b>equação diferencial ordinária</b> (ou <b>EDO</b>) é uma <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial" title="Equação diferencial">equação</a> que envolve as <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">derivadas</a> de uma função desconhecida de uma variável. Um exemplo simples de uma equação diferencial ordinária é </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'=f,\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'=f,\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5705855ee04cca541c2e92de7c114a4238ba53c8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.416ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f'=f,\,}"></span></dd></dl> <p>onde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"></span> é uma função desconhecida, e <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>f</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258eaada38956fb69b8cb1a2eef46bcb97d3126b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.005ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f'}"></span> a sua derivada. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definição"><span id="Defini.C3.A7.C3.A3o"></span>Definição</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&veaction=edit&section=1" title="Editar secção: Definição" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&action=edit&section=1" title="Editar código-fonte da secção: Definição"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Seja <i>y</i> uma função de <i>x</i> e que </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3314165f55325e6d187d07051cf3dc2df5449df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.562ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)}}"></span></dd></dl> <p>denote as suas <a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">derivadas</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\ {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ \dots ,\ {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\ {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ \dots ,\ {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60c164886ecf8abe31547be3c657f4865bffaa8c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:20.759ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\ {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ \dots ,\ {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}"></span>.</dd></dl> <p>Uma <b>equação diferencial ordinária</b> (EDO) é uma equação que envolve </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,\ y,\ y',\ y'',\ \dots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>y</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,\ y,\ y',\ y'',\ \dots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094b25d84781723106fb7e5914d8ee778f0e41cf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.197ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x,\ y,\ y',\ y'',\ \dots }"></span>.</dd></dl> <p>A <b>ordem</b> de uma equação diferencial é a ordem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> da maior derivada na equação. </p><p>Uma <b>solução</b> de uma EDO é uma função <i>y(x)</i> cujas derivadas satisfazem a equação. Não está garantido que tal função exista, e caso exista, normalmente ela não é única. </p><p>Quanto à <b>linearidade</b>: uma equação diferencial ordinária de ordem <b>n</b> pode ser vista como uma função </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)})=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)})=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14bca644a597e21d70e60143f480295d735f1189" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.926ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle F(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)})=0}"></span>. Dizemos que a equação diferencial é linear se <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}"></span> for linear em <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y,y'(x),\ \dots ,\ y^{(n)}(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y,y'(x),\ \dots ,\ y^{(n)}(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0b46ef1972636ce35fff1f9995e7d18d7a96f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.698ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle y,y'(x),\ \dots ,\ y^{(n)}(x)}"></span>. <sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span>[</span>1<span>]</span></a></sup></dd></dl> <p>Ao que se refere aos coeficientes, uma equação diferencial pode ter coeficientes constantes ou funções da variável independente. </p><p>Quando uma equação diferencial de ordem <i>n</i> tem a forma </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)})=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)})=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14bca644a597e21d70e60143f480295d735f1189" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.926ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle F(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)})=0}"></span></dd></dl> <p>é designada equação diferencial <b>implícita</b>, enquanto que a forma </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93378b7e799170bc29d51df9e535cd04ab88000b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.522ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle F(x,y,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}}"></span></dd></dl> <p>é designada equação diferencial <b>explícita</b>. </p><p>Uma equação diferencial é <b>autônoma</b> se não depender explicitamente de <i>x</i>, e <b>homogênea</b> se todos os termos da equação diferencial dependem exclusivamente de <i>x</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemplos_práticos"><span id="Exemplos_pr.C3.A1ticos"></span>Exemplos práticos</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&veaction=edit&section=2" title="Editar secção: Exemplos práticos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&action=edit&section=2" title="Editar código-fonte da secção: Exemplos práticos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Equações diferenciais são usadas muito frequentemente para descrever processos nos quais a mudança de uma medida ou dimensão é causada pelo próprio processo. </p><p>Historicamente, as primeiras equações diferenciais foram as relativas à aceleração igual ou desigual, que <a href="/wiki/Galileo_Galilei" class="mw-redirect" title="Galileo Galilei">Galileo Galilei</a> pôde medir, ainda que com métodos geométricos. </p><p><a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> e <a href="/wiki/Gottfried_Leibniz" title="Gottfried Leibniz">Gottfried Leibniz</a> introduziram o cálculo diferencial e, este último, as equações diferenciais como as conhecemos hoje. </p><p>Por exemplo na <a href="/wiki/F%C3%ADsica" title="Física">Física</a>, a lei da vida média prevê que o número de átomos que se decompõem por unidade de tempo numa massa de átomos instáveis dependem do total <i>N</i> dos átomos existentes (aqui é necessário considerar-se que, por ser <i>N</i> um número muito grande, pode-se considerar sua variação <i>contínua</i> e <i>determinística</i>; no caso de <i>N</i> ser um número pequeno deve-se considerar sua variação <i>discreta</i> e <i>estocástica</i>, e o método mais adequado é outro). </p><p>Desta forma, a diminuição do número de átomos é proporcional ao total de átomos: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N(t)=c\;N(t).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>c</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N(t)=c\;N(t).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2d284222eeb2c2594f7425a0c7870bb2457542" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:17.791ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N(t)=c\;N(t).}"></span></dd></dl> <p>Pelo cálculo da função <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(t)\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(t)\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce27cc92df89e22c480552c627ec462e72d7f148" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-right: -0.166ex; width:4.492ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(t)\!}"></span> nesta equação diferencial, torna-se possível determinar o número total de átomos a cada momento no tempo. </p><p>Um outro exemplo simples é o <a href="/wiki/Oscilador" class="mw-disambig" title="Oscilador">oscilador</a> inalterado harmónico com a equação diferencial </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\;a=m\;{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)=-k\;x(t).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\;a=m\;{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)=-k\;x(t).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b6c03f459cb5a8ad0688b259d0415fadf80900" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:29.089ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle m\;a=m\;{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)=-k\;x(t).}"></span></dd></dl> <p>A função procurada aqui é a função <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)\!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="negativethinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)\!}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3027df8625ea6470467f4231642f17f701a74dc9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-right: -0.166ex; width:3.758ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)\!}"></span>, cuja segunda derivada em relação ao tempo advém das leis do movimento. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Equações_diferenciais_específicas"><span id="Equa.C3.A7.C3.B5es_diferenciais_espec.C3.ADficas"></span>Equações diferenciais específicas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&veaction=edit&section=3" title="Editar secção: Equações diferenciais específicas" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&action=edit&section=3" title="Editar código-fonte da secção: Equações diferenciais específicas"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Equações_diferenciais_lineares"><span id="Equa.C3.A7.C3.B5es_diferenciais_lineares"></span>Equações diferenciais lineares</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&veaction=edit&section=4" title="Editar secção: Equações diferenciais lineares" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&action=edit&section=4" title="Editar código-fonte da secção: Equações diferenciais lineares"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hatnote"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span>Ver artigo principal: <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_linear" title="Equação diferencial linear">Equação diferencial linear</a></div> <p>Uma EDO é linear quando os termos envolvendo a função a ser determinada aparecem apenas de forma linear, ou seja, podemos escrever a EDO como </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{n}(x)y^{(n)}(x)+f_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\ldots +f_{1}(x)y'(x)+f_{0}(x)y(x)=q(x)\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{n}(x)y^{(n)}(x)+f_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\ldots +f_{1}(x)y'(x)+f_{0}(x)y(x)=q(x)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25b764b97fffa9bd2d88bc7598ed8747af13c4e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:70.511ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle f_{n}(x)y^{(n)}(x)+f_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\ldots +f_{1}(x)y'(x)+f_{0}(x)y(x)=q(x)\,}"></span></dd></dl> <p>Esta equação é de grau <i>n</i> quando a função <i>f<sub>n</sub>(x)</i> não é identicamente nula. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Outros_casos">Outros casos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&veaction=edit&section=5" title="Editar secção: Outros casos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&action=edit&section=5" title="Editar código-fonte da secção: Outros casos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_de_Bernoulli" title="Equação diferencial de Bernoulli">Equação diferencial de Bernoulli</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Clairaut" title="Equação de Clairaut">Equação de Clairaut</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_de_d%27Alembert" title="Equação diferencial de d'Alembert">Equação diferencial de d'Alembert</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_de_Euler" title="Equação diferencial de Euler">Equação diferencial de Euler</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Riccati" title="Equação de Riccati">Equação de Riccati</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Solução_de_uma_Equação_Diferencial_Ordinária"><span id="Solu.C3.A7.C3.A3o_de_uma_Equa.C3.A7.C3.A3o_Diferencial_Ordin.C3.A1ria"></span>Solução de uma Equação Diferencial Ordinária</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&veaction=edit&section=6" title="Editar secção: Solução de uma Equação Diferencial Ordinária" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&action=edit&section=6" title="Editar código-fonte da secção: Solução de uma Equação Diferencial Ordinária"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz a identidade da equação. A solução mais geral possível que admite uma equação diferencial é denominada solução geral enquanto que outra solução é chamada uma solução particular.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span>[</span>2<span>]</span></a></sup> </p><p><b>Exemplo</b> </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y'+y=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y'+y=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bca8a51680eef9baa5772335c49802bbaaadc13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.102ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y'+y=0}"></span> </p><p>Solução particular: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(x)=e^{-x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(x)=e^{-x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/455155040f09c695fe844acbc2807be1542922f9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.927ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y(x)=e^{-x}}"></span> </p><p>Solução geral: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y(x)=Ce^{-x}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>C</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y(x)=Ce^{-x}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e631cafe6eb7a5d989153b772c1b66c3fb91af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.694ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle y(x)=Ce^{-x}}"></span> (C constante) </p><p>As soluções se classificam em: </p> <ul><li><i>Solução geral</i> - apresenta <i>n</i> constantes independentes entre si (n=ordem da <b>EDO</b>). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C,2C,C^{2},\ln {C},...}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mi>C</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C,2C,C^{2},\ln {C},...}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d3d4c090f63efa705f14eed872a4d33bee9ef5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.49ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle C,2C,C^{2},\ln {C},...}"></span></li> <li><i>Solução particular</i> - obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou <a href="/wiki/Condi%C3%A7%C3%A3o_de_contorno" class="mw-redirect" title="Condição de contorno">condições de contorno</a>).<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span>[</span>3<span>]</span></a></sup></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Métodos_para_resolução_de_EDO"><span id="M.C3.A9todos_para_resolu.C3.A7.C3.A3o_de_EDO"></span>Métodos para resolução de EDO</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&veaction=edit&section=7" title="Editar secção: Métodos para resolução de EDO" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&action=edit&section=7" title="Editar código-fonte da secção: Métodos para resolução de EDO"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>A habilidade em encontrar soluções exatas em geral depende da habilidade em reconhecer certos tipos de <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial" title="Equação diferencial">equações diferenciais</a> e da aplicação de um método específico. Em outras palavras, o que funciona para um tipo de equações diferenciais não necessariamente se aplica a outro tipo.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span>[</span>4<span>]</span></a></sup> Os métodos mais conhecidos são: </p> <ul><li><a href="/wiki/M%C3%A9todo_do_Fator_Integrante" class="mw-redirect" title="Método do Fator Integrante">Método do Fator Integrante</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%B5es_Separ%C3%A1veis" class="mw-redirect" title="Equações Separáveis">Equações Separáveis</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9todo_da_varia%C3%A7%C3%A3o_de_par%C3%A2metros" title="Método da variação de parâmetros">Método da variação de parâmetros</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_exata" title="Equação diferencial exata">Equação diferencial exata</a></li> <li><a href="/wiki/Redu%C3%A7%C3%A3o_de_Ordem" class="mw-redirect" title="Redução de Ordem">Redução de Ordem</a></li> <li><a href="/wiki/Coeficientes_a_determinar" title="Coeficientes a determinar">Coeficientes a determinar</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%B5es_homog%C3%AAneas_de_primeira_ordem" class="mw-redirect" title="Equações homogêneas de primeira ordem">Equações homogêneas de primeira ordem</a></li> <li><a href="/wiki/Redut%C3%ADvel_%C3%A0_homog%C3%AAnea" title="Redutível à homogênea">Redutível à homogênea</a></li></ul> <p>Os métodos citados são todos analíticos, ou seja, a solução pode ser encontrada de forma explícita. Duas formas adicionais são aplicadas: </p> <ul><li><a href="/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_num%C3%A9rica" title="Integração numérica">Integração Numérica</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Estudos_qualitativos_(Equa%C3%A7%C3%B5es_Diferenciais)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Estudos qualitativos (Equações Diferenciais) (página não existe)">Estudos qualitativos</a>;</li></ul> <h2 id="Referências" style="cursor: help;" title="Esta seção foi configurada para não ser editável diretamente. Edite a página toda ou a seção anterior em vez disso."><span id="Refer.C3.AAncias"></span>Referências</h2> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite id="âncora" class="citation book">E. Boyce, William; Diprima, Richard C. (2006). <i>Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno</i> oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/978-85-216-1499-9" title="Especial:Fontes de livros/978-85-216-1499-9">978-85-216-1499-9</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEqua%C3%A7%C3%A3o+diferencial+ordin%C3%A1ria&rft.aufirst=William&rft.aulast=E.+Boyce&rft.btitle=Equa%C3%A7%C3%B5es+Diferenciais+Elementares+e+Problemas+de+Valores+de+Contorno&rft.date=2006&rft.edition=oitava&rft.genre=book&rft.isbn=978-85-216-1499-9&rft.place=Rio+de+Janeiro&rft.pub=LTC&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span> <span style="display:none;font-size:100%" class="error citation-comment">A referência emprega parâmetros obsoletos <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|coautor=</code> (<a href="/wiki/Ajuda:Erros_nas_refer%C3%AAncias#deprecated_params" title="Ajuda:Erros nas referências">ajuda</a>)</span></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://gradmat.ufabc.edu.br/disciplinas/listas/iedo/notasdeaulas/equacoes-diferenciais-ordinrias-rodney.pdf">«Equações Diferenciais Ordinárias»</a> <span style="font-size:85%;">(PDF)</span><span class="reference-accessdate">. Consultado em 15 de dezembro de 2017</span></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEqua%C3%A7%C3%A3o+diferencial+ordin%C3%A1ria&rft.btitle=Equa%C3%A7%C3%B5es+Diferenciais+Ordin%C3%A1rias&rft.genre=unknown&rft_id=http%3A%2F%2Fgradmat.ufabc.edu.br%2Fdisciplinas%2Flistas%2Fiedo%2Fnotasdeaulas%2Fequacoes-diferenciais-ordinrias-rodney.pdf&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/eq.php">«Equações Diferenciais»</a><span class="reference-accessdate">. Consultado em 26 de outubro de 2012</span></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEqua%C3%A7%C3%A3o+diferencial+ordin%C3%A1ria&rft.btitle=Equa%C3%A7%C3%B5es+Diferenciais&rft.genre=unknown&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.somatematica.com.br%2Fsuperior%2Fequacoesdif%2Feq.php&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://pt.scribd.com/doc/36925096/Aulas-4-e-5-Equacoes-Diferenciais-Separaveis">«Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis»</a><span class="reference-accessdate">. Consultado em 6 de novembro de 2012</span></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEqua%C3%A7%C3%A3o+diferencial+ordin%C3%A1ria&rft.btitle=Equa%C3%A7%C3%B5es+Diferenciais+de+Vari%C3%A1veis+Separ%C3%A1veis&rft.genre=unknown&rft_id=http%3A%2F%2Fpt.scribd.com%2Fdoc%2F36925096%2FAulas-4-e-5-Equacoes-Diferenciais-Separaveis&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ver_também"><span id="Ver_tamb.C3.A9m"></span>Ver também</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&veaction=edit&section=8" title="Editar secção: Ver também" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&action=edit&section=8" title="Editar código-fonte da secção: Ver também"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial" title="Equação diferencial">Equação diferencial</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_parcial" title="Equação diferencial parcial">Equação diferencial parcial</a></li> <li><a href="https://pt.wikibooks.org/wiki/M%C3%A9todos_num%C3%A9ricos/Equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais_ordin%C3%A1rias" class="extiw" title="b:Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias">Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias</a> (wikilivro)</li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais_estoc%C3%A1sticas" class="mw-redirect" title="Equações diferenciais estocásticas">Equações diferenciais estocásticas</a></li> <li><a href="/wiki/Sistemas_Din%C3%A2micos" class="mw-redirect" title="Sistemas Dinâmicos">Sistemas Dinâmicos</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ligações_externas"><span id="Liga.C3.A7.C3.B5es_externas"></span>Ligações externas</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&veaction=edit&section=9" title="Editar secção: Ligações externas" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&action=edit&section=9" title="Editar código-fonte da secção: Ligações externas"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://sites.google.com/site/equacoesdiferenciaisordinarias/">«CEFET/RJ matéria de E.D.O.»</a>. <sup><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Liga%C3%A7%C3%A3o_inativa" title="Wikipédia:Ligação inativa"><i>[ligação inativa]</i></a></sup></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEqua%C3%A7%C3%A3o+diferencial+ordin%C3%A1ria&rft.btitle=CEFET%2FRJ+mat%C3%A9ria+de+E.D.O.&rft.genre=unknown&rft_id=http%3A%2F%2Fsites.google.com%2Fsite%2Fequacoesdiferenciaisordinarias%2F&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160817114803/http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/edo/edogeral.htm">«EDO»</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3AEqua%C3%A7%C3%A3o+diferencial+ordin%C3%A1ria&rft.btitle=EDO&rft.genre=unknown&rft_id=https%3A%2F%2Fweb.archive.org%2Fweb%2F20160817114803%2Fhttp%3A%2F%2Fpessoal.sercomtel.com.br%2Fmatematica%2Fsuperior%2Fedo%2Fedogeral.htm&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li></ul> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Controle_de_autoridade" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th id="Controle_de_autoridade" scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;width: 12%; text-align:center;"><a href="/wiki/Ajuda:Controle_de_autoridade" title="Ajuda:Controle de autoridade">Controle de autoridade</a></th><td class="navbox-list navbox-odd plainlinks" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span style="white-space:nowrap;"><span typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Main_Page" title="Wikidata"><img alt="Wd" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png" decoding="async" width="20" height="11" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x" data-file-width="1050" data-file-height="590" /></a></span>: <span class="uid"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q465274" class="extiw" title="wikidata:Q465274">Q465274</a></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_Central_de_Floren%C3%A7a" title="Biblioteca Nacional Central de Florença">BNCF</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=45336">45336</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Encyclop%C3%A6dia_Britannica" title="Encyclopædia Britannica">EBID</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/ordinary-differential-equation">ID</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/*/https://www.jstor.org/topic/ordinary-differential-equations">ordinary-differential-equations</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_Nacional_da_Dieta" title="Biblioteca Nacional da Dieta">NDL</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00574993">00574993</a></span></span></span></li> <li><span style="white-space:nowrap;"><a href="/wiki/Biblioteca_T%C3%A9cnica_Nacional_de_Praga" title="Biblioteca Técnica Nacional de Praga">PSH</a>: <span class="uid"><span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://psh.techlib.cz/skos/PSH7578">7578</a></span></span></span></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Tópicos_sobre_análise" style="padding:3px"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-ver"><a href="/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o:An%C3%A1lise" title="Predefinição:Análise"><abbr title="Ver esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">v</abbr></a></li><li class="nv-discutir"><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o_Discuss%C3%A3o:An%C3%A1lise&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição Discussão:Análise (página não existe)"><abbr title="Discutir esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:An%C3%A1lise&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">e</abbr></a></li></ul></div><div id="Tópicos_sobre_análise" style="font-size:114%;margin:0 4em">Tópicos sobre <a href="/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica" title="Análise matemática">análise</a></div></th></tr><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><b><a href="/wiki/C%C3%A1lculo" class="mw-redirect" title="Cálculo">Cálculo</a></b>: <a href="/wiki/Integral" title="Integral">Integração</a></li> <li><a href="/wiki/Derivada" title="Derivada">Diferenciação</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial" title="Equação diferencial">Equações diferenciais</a> (<a class="mw-selflink selflink">ordinária</a> - <a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_parcial" title="Equação diferencial parcial">parcial</a>)</li> <li><a href="/wiki/Teorema_fundamental_do_c%C3%A1lculo" title="Teorema fundamental do cálculo">Teorema fundamental do cálculo</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_de_varia%C3%A7%C3%B5es" class="mw-redirect" title="Cálculo de variações">Cálculo de variações</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_vetorial" title="Cálculo vetorial">Cálculo vetorial</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial" title="Cálculo tensorial">Cálculo tensorial</a></li> <li><a href="/wiki/T%C3%A1bua_de_integrais" title="Tábua de integrais">Tábua de integrais</a></li> <li><a href="/wiki/Tabela_de_derivadas" title="Tabela de derivadas">Tabela de derivadas</a></li></ul> </div></td></tr><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_real" title="Análise real">Análise real</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_complexa" title="Análise complexa">Análise complexa</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_funcional" title="Análise funcional">Análise funcional</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_de_Fourier" title="Análise de Fourier">Análise de Fourier</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_harm%C3%B3nica" title="Análise harmónica">Análise harmônica</a></li> <li><a href="/wiki/Medida_(matem%C3%A1tica)" title="Medida (matemática)">Teoria da medida</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_de_representa%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria de representação">Teoria de representação</a></li> <li><a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)" title="Função (matemática)">Funções</a></li> <li><a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua" title="Função contínua">Função contínua</a></li> <li><a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_especial" title="Função especial">Funções especiais</a></li> <li><a href="/wiki/Limite" title="Limite">Limite</a></li> <li><a href="/wiki/S%C3%A9rie_(matem%C3%A1tica)" title="Série (matemática)">Séries</a></li> <li><a href="/wiki/Infinito" title="Infinito">Infinito</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Obtida de "<a dir="ltr" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Equação_diferencial_ordinária&oldid=68211458">https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Equação_diferencial_ordinária&oldid=68211458</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Especial:Categorias" title="Especial:Categorias">Categoria</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:Equa%C3%A7%C3%B5es_diferenciais" title="Categoria:Equações diferenciais">Equações diferenciais</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Categorias ocultas: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:!P%C3%A1ginas_que_usam_refer%C3%AAncias_com_par%C3%A2metros_obsoletas" title="Categoria:!Páginas que usam referências com parâmetros obsoletas">!Páginas que usam referências com parâmetros obsoletas</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:!Artigos_que_carecem_de_notas_de_rodap%C3%A9_desde_novembro_de_2013" title="Categoria:!Artigos que carecem de notas de rodapé desde novembro de 2013">!Artigos que carecem de notas de rodapé desde novembro de 2013</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:!Artigos_que_carecem_de_notas_de_rodap%C3%A9_sem_indica%C3%A7%C3%A3o_de_tema" title="Categoria:!Artigos que carecem de notas de rodapé sem indicação de tema">!Artigos que carecem de notas de rodapé sem indicação de tema</a></li><li><a href="/wiki/Categoria:!Artigos_com_liga%C3%A7%C3%B5es_inativas" title="Categoria:!Artigos com ligações inativas">!Artigos com ligações inativas</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Esta página foi editada pela última vez às 14h42min de 1 de julho de 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">Este texto é disponibilizado nos termos da licença <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pt">Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional (CC BY-SA 4.0) da Creative Commons</a>; pode estar sujeito a condições adicionais. Para mais detalhes, consulte as <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use">condições de utilização</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/pt-br">Política de privacidade</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Sobre">Sobre a Wikipédia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikip%C3%A9dia:Aviso_geral">Avisos gerais</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Código de conduta</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Programadores</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/pt.wikipedia.org">Estatísticas</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Declaração sobre ''cookies''</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//pt.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Versão móvel</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> </div> </div> </div> <div class="vector-settings" id="p-dock-bottom"> <ul></ul> </div><script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-f69cdc8f6-prwmm","wgBackendResponseTime":162,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.396","walltime":"0.636","ppvisitednodes":{"value":739,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":36177,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":488,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":11,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":7,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":0,"limit":20},"unstrip-size":{"value":14541,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":6,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 491.092 1 -total"," 45.68% 224.338 1 Predefinição:Controle_de_autoridade"," 30.91% 151.775 1 Predefinição:Mais_fontes"," 25.03% 122.902 1 Predefinição:Ambox"," 13.26% 65.110 1 Predefinição:Referências"," 8.43% 41.404 1 Predefinição:Citar_livro"," 7.72% 37.889 5 Predefinição:Citar_web"," 5.94% 29.162 2 Predefinição:Link"," 4.18% 20.522 1 Predefinição:Ligação_inativa"," 1.86% 9.150 1 Predefinição:Categorização_AD_e_AB_de_outras_wikis"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.265","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":5374652,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-5fb746f978-fmgpj","timestamp":"20241119133855","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Equa\u00e7\u00e3o diferencial ordin\u00e1ria","url":"https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q465274","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q465274","author":{"@type":"Organization","name":"Contribuidores dos projetos da Wikimedia"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Funda\u00e7\u00e3o Wikimedia, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2005-03-28T17:45:56Z","dateModified":"2024-07-01T14:42:42Z"}</script> </body> </html>