CINXE.COM

<!DOCTYPE html>    <html>  <head><script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/bundle-playback.js?v=7YQSqjSh" charset="utf-8"></script> <script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/wombat.js?v=txqj7nKC" charset="utf-8"></script> <script>window.RufflePlayer=window.RufflePlayer||{};window.RufflePlayer.config={"autoplay":"on","unmuteOverlay":"hidden"};</script> <script type="text/javascript" src="https://web-static.archive.org/_static/js/ruffle/ruffle.js"></script> <script type="text/javascript"> __wm.init("https://web.archive.org/web"); __wm.wombat("http://n-t.ru/tp/ns/up.htm","20210416170344","https://web.archive.org/","web","https://web-static.archive.org/_static/", "1618592624"); </script> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://web-static.archive.org/_static/css/banner-styles.css?v=p7PEIJWi" /> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="https://web-static.archive.org/_static/css/iconochive.css?v=3PDvdIFv" />  <title>Уравнение Пелля и уравнение y2 + 1 = 2x4. Cтатьи. Наука и техника</title> <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge,chrome=1"/> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1"> <meta name="SKYPE_TOOLBAR" content="SKYPE_TOOLBAR_PARSER_COMPATIBLE"/>  <meta property="og:title" content="Уравнение Пелля и уравнение y2 + 1 = 2x4"> <meta property="og:url" content="https://web.archive.org/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/ns/up.htm"> <meta property="og:image" content="https://web.archive.org/web/20210416170344im_/http://n-t.ru/n-t158.png"> <meta property="og:image:width" content="316"> <meta property="og:image:height" content="316"> <meta property="og:description" content="С помощью алгебраических чисел получены явные выражения и нелинейные рекуррентные соотношения для решений диофантовых уравнений y2 – 2x2 = ±1, что позволило с помощью оценки Лиувилля найти простое решение диофантова уравнения y2 + 1 = 2x4. В приложении показана возможность обобщения данного подхода. "> <link rel="icon" href="/web/20210416170344im_/http://n-t.ru/favicon.ico" type="image/x-icon"> <link href="/web/20210416170344cs_/http://n-t.ru/dz/nit.css" rel="stylesheet" type="text/css"> </head> <body> <script type="text/javascript"></script> <div id="fb-root"></div> <script>(function(d, s, id) { var js, fjs = d.getElementsByTagName(s)[0]; if (d.getElementById(id)) return; js = d.createElement(s); js.id = id; js.src = "//web.archive.org/web/20210416170344/http://connect.facebook.net/ru_RU/sdk.js#xfbml=1&version=v2.4&appId=1615304618725556"; fjs.parentNode.insertBefore(js, fjs); }(document, 'script', 'facebook-jssdk'));</script> <div class="vk vkm">  <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/"> <img class="il1" style="float: left;" src="/web/20210416170344im_/http://n-t.ru/dz/1024-logo.gif" border="0" width="208" height="72" alt="Перейти в начало сайта" title="Перейти в начало сайта"> <img class="il2" style="float: left;" src="/web/20210416170344im_/http://n-t.ru/dz/480-800-logo.gif" border="0" width="50" height="50" alt="Перейти в начало сайта" title="Перейти в начало сайта"> </a>  <div class="nv nm1">Электронная библиотека «Наука и техника»</div> <div class="nv nm2">n-t.ru: Наука и техника</div>  <div class="nv nv1"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/">Cтатьи</a> / <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/ns/">Наука сегодня</a></div> <div class="nv nv2"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/">Cтатьи</a> / <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/ns/">Наука сегодня</a></div> <div class="fp1"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20210416170344/http://n-t.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по n-t.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по n-t.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20210416170344/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20210416170344/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> </div> <div class="pl plm"> <div class="pll"> <p class="rz"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ns/" class="arz">Научные статьи</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ns/fz/" class="arb">Физика звёзд</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ns/fm/" class="arb">Физика микромира</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/nj/" class="arz">Журналы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/nj/pr/" class="arb">Природа</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/nj/nz/" class="arb">Наука и жизнь</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/nj/pl/" class="arb">Природа и люди</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/nj/tm/" class="arb">Техника – молодёжи</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/nl/" class="arz">Нобелевские лауреаты</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/nl/fz/" class="arb">Премия по физике</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/nl/hm/" class="arb">Премия по химии</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/nl/lt/" class="arb">Премия по литературе</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/nl/mf/" class="arb">Премия по медицине</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/nl/ek/" class="arb">Премия по экономике</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/nl/mr/" class="arb">Премия мира</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ri/" class="arz">Книги</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ri/gl/ek.htm" id="rb">В поисках «энергетической капсулы»</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ri/gn/kl.htm" id="rb">Как люди научились летать</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ri/mi/mv.htm" id="rb">Механизм ответственной власти</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ri/sr/pr.htm" id="rb">Парадокс XX века</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ri/mn/sc.htm" id="rb">Сын человеческий</a> </p><p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ri/kk/hm.htm" id="rb">Химия вокруг нас</a> </p> <p class="rz"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ii/" class="arz">Издания НиТ</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ii/ba/" class="arb">Батарейки и аккумуляторы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ii/os/" class="arb">Охранные системы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ii/ie/" class="arb">Источники энергии</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ii/st/" class="arb">Свет и тепло</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/" class="arz">Научно-популярные статьи</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/ns/" class="arb">Наука сегодня</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/ng/" class="arb">Научные гипотезы</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/to/" class="arb">Теория относительности</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/in/" class="arb">История науки</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/nr/" class="arb">Научные развлечения</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/ts/" class="arb">Техника сегодня</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/it/" class="arb">История техники</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/iz/" class="arb">Измерения в технике</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/ie/" class="arb">Источники энергии</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/rn/" class="arb">Наука и религия</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/mr/" class="arb">Мир, в котором мы живём</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/lt/" class="arb">Лит. творчество ученых</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/br/" class="arb">Человек и общество</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/ob/" class="arb">Образование</a></p> <p class="rb"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/rz/" class="arb">Разное</a></p> </div> <div class="plp plpm"> <h1>Уравнение Пелля и уравнение <i>y</i><sup>2</sup> + 1 = 2<i>x</i><sup>4</sup></h1> <p class="at"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ac/ap.htm#M03">Валерий МЕШКОВ</a></p> <p class="sm"> </p> <p class="sm">Полная версия статьи: <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/ns/up.doc">DOC</a> (309 кб).</p> <p class="sm"> </p> <p>В теории чисел наибольшие трудности представляет решение некоторых видов диофантовых уравнений. Одним из таких является уравнение Люнгрена, который в 1942 г. сам же нашел его решение. Однако оно было настолько сложным, что наиболее известный и авторитетный специалист в этой области покойный профессор Морделл утверждал: «Трудно вообразить более сложное решение, и можно только желать его упрощения».</p> <p>Последующие упрощения решения различными авторами все же использовали изощренные математические методы и сложные вычисления. При этом не учитывалось, что данное уравнение является частным случаем уравнения, которое связано с уравнением Пелля. В свою очередь, уравнение Пелля является одним из наиболее изученных диофантовых уравнений. Весьма подробное изложение истории исследования этого уравнения имеется во многих руководствах по теории чисел.</p> <p>Решения этого уравнения для рассматриваемого случая могут быть представлены с помощью алгебраических чисел в виде простых рекуррентных соотношений. На их основе далее были получены нелинейные рекуррентные соотношения. Уравнение Люнгрена накладывает дополнительные ограничения на эти решения, что позволяет найти его решение элементарными методами.</p> <p>Далее доказывается теорема о найденных решениях. При доказательстве используется давно известная оценка Лиувилля, эффективность применения которой, как правило, невелика. В рассматриваемом подходе она применяется к монотонным последовательностям иррациональных чисел, среди которых могут быть рациональные числа. Именно свойство монотонности приводит к эффективности оценки Лиувилля, что дает возможность получить искомое решение практически элементарными средствами.</p> <p>В приложении показано, как обобщается данный подход применительно к более общим диофантовым уравнениям.</p> <p> </p> <p class="data">Источники информации:</p> <ol class="sm"> <li>Эдвардс Г. Последняя Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. М.: Мир, 1980.</li> <li>Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.</li> <li>Steyner R., Tzanakis N. Simplifying the Solution of Ljungren's Equation. J. Number Theory 37 (1991), 123...132.</li> <li>Chen Jian Hva. Новое решение диофантова уравнения. J. Number Theory 48 (1994), 62...74.</li> </ol> <p> </p>  <div class="dk"> <div class="dp"> <p class="data nb">Дата публикации:</p> <p class="sm nb">3 мая 2006 года</p> </div> <div class="ev"> <p class="data">Электронная версия:</p> <p class="sm nb">© <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/">НиТ</a>. <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/">Cтатьи</a>, 1997</p> </div> </div> </div>  </div>  <div class="nk nkm"> <div class="fp2"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20210416170344/http://n-t.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по n-t.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по n-t.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20210416170344/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20210416170344/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #f0faff;"><div class="fp2"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/">В начало сайта</a> | <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ri/">Книги</a> | <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/tp/">Статьи</a> | <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/nj/">Журналы</a> | <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/nl/">Нобелевские лауреаты</a> | <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ii/">Издания НиТ</a> <br> <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ks.htm#n-t">Карта сайта</a> | <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/sp/">Cовместные проекты</a> | <a href="https://web.archive.org/web/20210416170344/http://smbr.n-t.ru/">Журнал «Сумбур»</a> </div></div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #fffceb; border-top: 1px solid #99D8FF;"><div class="fp2">© <a href="https://web.archive.org/web/20210416170344/http://n-t.ru/">МОО «Наука и техника»</a>, 1997...2021</div></div> <div style="padding: 4px 0 6px 0; background: #f0faff; border-top: 1px solid #99D8FF;"><div class="fp2"><a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/md.htm">Об организации</a> • <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ad.htm">Аудитория</a> • <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/ki.htm">Связаться с нами</a> • <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/rr.htm">Разместить рекламу</a> • <a href="/web/20210416170344/http://n-t.ru/pi.htm">Правовая информация</a> </div></div> </div> </body></html>