CINXE.COM

<!DOCTYPE html>    <html>  <head><script type="text/javascript" src="/_static/js/bundle-playback.js?v=HxkREWBo" charset="utf-8"></script> <script type="text/javascript" src="/_static/js/wombat.js?v=txqj7nKC" charset="utf-8"></script> <script>window.RufflePlayer=window.RufflePlayer||{};window.RufflePlayer.config={"autoplay":"on","unmuteOverlay":"hidden"};</script> <script type="text/javascript" src="/_static/js/ruffle/ruffle.js"></script> <script type="text/javascript"> __wm.init("https://web.archive.org/web"); __wm.wombat("http://ntbu.ru:80/lt/sfd.htm","20191117093632","https://web.archive.org/","web","/_static/", "1573983392"); </script> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="/_static/css/banner-styles.css?v=S1zqJCYt" /> <link rel="stylesheet" type="text/css" href="/_static/css/iconochive.css?v=3PDvdIFv" />  <title>Литературное творчество ученых. Научно-техническая библиотека универсальная</title> <meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge,chrome=1"/> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1"> <meta name="SKYPE_TOOLBAR" content="SKYPE_TOOLBAR_PARSER_COMPATIBLE"/>  <meta property="og:title" content="Саймон Флэгг и дьявол"> <meta property="og:url" content="https://web.archive.org/web/20191117093632/http://ntbu.ru/lt/sfd.htm"> <meta property="og:image" content="https://web.archive.org/web/20191117093632im_/http://ntbu.ru/logo316.png"> <meta property="og:image:width" content="316"> <meta property="og:image:height" content="316"> <meta property="og:description" content=""> <link rel="icon" href="/web/20191117093632im_/http://ntbu.ru/favicon.ico" type="image/x-icon"><link rel="shortcut icon" href="/web/20191117093632im_/http://ntbu.ru/favicon.ico" type="image/x-icon"> <link href="/web/20191117093632cs_/http://ntbu.ru/dz/ntbu.css" rel="stylesheet" type="text/css"> </head> <body> <script type="text/javascript"></script><div class="vk vkm">  <a href="/web/20191117093632/http://ntbu.ru/"> <img class="il1" style="float: left;" src="/web/20191117093632im_/http://ntbu.ru/dz/1024-logo.gif" border="0" width="192" height="72" alt="НТБУ: Научно-техническая библиотека универсальная" title="НТБУ: Научно-техническая библиотека универсальная"> <img class="il2" style="float: left;" src="/web/20191117093632im_/http://ntbu.ru/dz/480-800-logo.gif" border="0" width="50" height="50" alt="НТБУ: Научно-техническая библиотека универсальная" title="НТБУ: Научно-техническая библиотека универсальная"> </a>  <div class="nv nm1">Научно-техническая библиотека универсальная</div> <div class="nv nm2">ntbu.ru: НТБУ</div>  <div class="nv nv1"><a href="/web/20191117093632/http://ntbu.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20191117093632/http://ntbu.ru/lt/">Литературное творчество ученых</a></div> <div class="nv nv2"><a href="/web/20191117093632/http://ntbu.ru/">Начало сайта</a> / <a href="/web/20191117093632/http://ntbu.ru/lt/">Литературное творчество ученых</a></div> <div class="fp1"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20191117093632/http://ntbu.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по ntbu.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по ntbu.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20191117093632/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20191117093632/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> </div> <div class="pl plm"> <div class="pll pllm"> <p class="rz"><a href="/web/20191117093632/http://ntbu.ru/to/" class="arz">Теория относительности</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20191117093632/http://ntbu.ru/co/" class="arz">Человек и общество</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20191117093632/http://ntbu.ru/lt/" class="arz">Литературное творчество ученых</a></p> <p class="rz"><a href="/web/20191117093632/http://ntbu.ru/ob/" class="arz">Образование</a></p> </div> <div class="plp plpm"> <h1>Саймон Флэгг и дьявол</h1> <p class="at">Владимир ЛАТЫШЕВ</p> <p>Более 350 лет математики всего мира безуспешно ищут ответ на этот вопрос. Не находит его и дьявол. Изучив за 10 часов все без исключения разделы современной математики и потратив остальное время на собственные изыскания, он за 10 минут до истечения срока появляется с пачкой исписанных листков, швыряет их на пол и топчет ногами. И, признав свое поражение, исчезает... Однако спустя несколько минут появляется вновь и вместе с человеком начинает искать ответ на поставленный вопрос. Миссис Флэгг удаляется варить кофе. Что же было дальше?</p> <p>– Так какие же мысли у вас возникли?</p> <p>Саймон пододвинул к себе стопку измятых бумажек. Дьявол извлек из нее три листка и разложил в порядке очередности.</p> <p>– Понимаете, я думаю, что некоторые разделы математики нам не понадобятся и я зря потратил время на их изучение. Ферма был великий математик, но сама эта наука 350 лет назад была попроще, без всех этих новомодных штучек. Поэтому решение нужно искать в тех областях, которые были известны Ферма.</p> <p>– Дорогой... простите, как мне вас называть? Как-то неудобно...</p> <p>– Зовите меня Мефи. Так меня звали в школе.</p> <p>– Так вот, дорогой Мефи. Как вы уже, наверное, знаете, над теоремой ломали головы Эйлер, Дирихле, Лежандр, Ламе...</p> <p>– И все они искали в записях Ферма методы, которые он использовал. Их-то потом и применяли. Особенно постарался Куммер. Надо отдать ему должное – он немало сделал. Но вместе с тем, на мой взгляд, пустил всех последующих математиков по ложному следу. Но почему бы не предположить, что Ферма выбрал» совершенно оригинальный путь? Не зря же он написал на полях «Арифметики» Диофанта, что нашел «поистине чудесное доказательство»... Значит, оно было необычным для него самого.</p> <p>– Ну и что вы предлагаете?</p> <p>– Нам нужно доказать, что <i>x<sup>n</sup></i> + <i>y<sup>n</sup></i> ≠ <i>z<sup>n</sup></i> при <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>, <i>n</i> – целых положительных числах и <i>n</i> > 2.</p> <p>Предположим, что теорема неверна, то есть</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="5"> <tr><td align="center"><i>x<sup>n</sup></i> + <i>y<sup>n</sup></i> = <i>z<sup>n</sup></i></td><td align="right">(1)</td></tr> </table> <p>Представим (1) в виде:</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="5"> <tr><td align="center"><i>A</i><sup>2</sup> + <i>B</i><sup>2</sup> = <i>C</i><sup> 2</sup>,</td><td align="right">(2)</td></tr> </table> <p>где</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="5"> <tr><td align="center"><i>A</i> = <i>x<sup>n</sup></i><sup>/2</sup>, <i>B</i> = <i>y<sup>n</sup></i><sup>/2</sup>, <i>C</i> = <i>z<sup>n</sup></i><sup>/2</sup></td><td align="right">(3)</td></tr> </table> <p>Из (2) получим</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="5"> <tr><td align="center"><i>C<sup> </sup></i><sup>2</sup> – <i>B</i><sup>2</sup> = <i>A</i><sup>2</sup></td><td align="right">(4)</td></tr> </table> <p>И далее, разложив левую часть на множители:</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="5"> <tr><td align="center">(<i>C</i> – <i>B</i>) · (<i>C</i> + <i>B</i>) = <i>A</i><sup>2</sup></td><td align="right">(5)</td></tr> </table> <p>Равенство (2) есть формула Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами <i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i>.</p> <p>Теперь расширим условия теоремы. Предположим, что <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i> – любые положительные числа (не обязательно целые), но условие</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="5"> <tr><td align="center"><i>z</i> – <i>y</i> ≥ 1</td><td align="right">(6)</td></tr> </table> <p>сохраняется. Поскольку в теореме Ферма <i>z</i> и <i>y</i> целые числа, то оно для них справедливо.</p> <p>Теперь исследуем частный случай формулы (3) при <i>C</i> – <i>B</i> = 1 (как, например, в прямоугольном треугольнике со сторонами, равными 3, 4, 5). В этом случае стороны треугольника связаны соотношением</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="5"> <tr><td align="center"><i>А</i> = (<i>С</i> + <i>В</i>)<sup>1/2</sup> = (2 · <i>В</i> + 1)<sup>1/2</sup></td><td align="right">(7)</td></tr> </table> <p>Построим соответствующую кривую... Вам понятно, Саймон, что у нас получилось?</p> <p>– Ну разумеется! – вскричал Флэгг.– Для всех прямоугольных треугольников с вершиной на этой прямой <i>C</i> – <i>B</i> = 1. Но из условия (6) при <i>n</i> > 2 следует:</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="5"> <tr><td align="center"><i>C</i> – <i>B</i> = <i>z<sup>n</sup></i><sup>/2</sup> – <i>y<sup>n</sup></i><sup>/2</sup> = (<i>y</i> + 1)<i><sup>n</sup></i><sup>/2</sup> – <i>y<sup>n</sup></i><sup>/2</sup> > 1</td><td align="right">(8)</td></tr> </table> <p>Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение, что теорема Ферма для данного частного случая несправедлива, неверно...</p> <p>Дверь отворилась. В комнату вошла миссис Флэгг с подносом в руках. Разлив в чашки кофе и с интересом глянув на возбужденного дьявола, удалилась.</p> <p>Отхлебнув кофе, Саймон спросил:</p> <p>– Но как перейти к общему доказательству?</p> <p>– В том-то и дело... – Дьявол задумался. Вдруг лицо его озарилось догадкой.– Давайте-ка вернемся к нашему предположению, что есть такие числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>y</i><sub>1</sub>, <i>z</i><sub>1</sub>, для которых теорема Ферма неверна и, следовательно:</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="5"> <tr><td align="center"><i>x<sup>n</sup></i> + <i>y<sup>n</sup></i> = <i>z</i><sub>l</sub><i><sup>n</sup></i></td><td align="right">(la)</td></tr> </table> <p>Сделав опять подстановку (3), получим</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="5"> <tr><td align="center"><i>A</i><sub>1</sub><sup>2</sup> + <i>B</i><sub>1</sub><sup>2</sup> = <i>C</i><sub>1</sub><sup>2</sup></td><td align="right">(2a)</td></tr> </table> <p>Поскольку это все та же теорема Пифагора, приходится сделать вывод, что в координатах <i>A</i>, <i>B</i> можно построить такой треугольник с вершинами <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub>, который не подчиняется теореме Ферма – численные значения его сторон при подстановке (3) удовлетворяют уравнению (1). Но любой такой треугольник в координатах <i>A</i> и <i>B</i> является подобным треугольнику с вершинами <i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i> (назовем его первичным), который удовлетворяет нашей кривой. Его стороны отличаются от сторон первичного треугольника всего-навсего множителем <i>M</i>. – Дьявол молниеносно набросал второй рисунок.– Значит, можно записать (2а) в виде:</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="5"> <tr><td align="center">(<i>A</i> · <i>M</i>)<sup>2</sup> + (<i>B</i> · <i>M</i>)<sup>2</sup> = (<i>C</i> · <i>M</i>)<sup>2</sup></td><td align="right">(2b)</td></tr> </table> <p>Но тогда</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="5"> <tr><td align="center"><i>x</i><sub>1</sub><i><sup>n</sup></i><sup>/2</sup> = <i>x<sup>n</sup></i><sup>/2</sup> · <i>M</i> = (<i>x</i> · <i>m</i>)<i><sup>n</sup></i><sup>/2</sup></td><td rowspan="3" align="right">(9)</td></tr> <tr><td align="center"><i>y</i><sub>1</sub><i><sup>n</sup></i><sup>/2</sup><i>y<sup>n</sup></i><sup>/2</sup> · <i>M</i> = (<i>y</i> · <i>m</i>)<i><sup>n</sup></i><sup>/2</sup></td></tr> <tr><td align="center"><i>z</i><sub>1</sub><i><sup>n</sup></i><sup>/2</sup> = <i>z<sup>n</sup></i><sup>/2</sup> · <i>M</i> = (<i>z</i> · <i>m</i>)<i><sup>n</sup></i><sup>/2</sup></td></tr> </table> <p>И вместо (1a) получаем</p> <table width="100%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="5"> <tr><td align="center">(<i>x</i> · <i>m</i>)<i><sup>n</sup></i> = (<i>y</i> · <i>m</i>)<i><sup>n</sup></i> = (<i>z</i> · <i>m</i>)<i><sup>n</sup></i></td><td align="right">(1b)</td></tr> </table> <p>Сократив в этом соотношении обе части на <i>m</i> в степени <i>n</i>, получим (1). А несправедливость этого равенства мы уже доказали.</p> <p>Таким образом, теорема Ферма справедлива для любых целых положительных чисел и вообще для любых положительных чисел, для которых соблюдается условие (6).</p> <p>– Послушайте, дорогой Мефи! – вскричал Саймон.– Да ведь это же решение! И оно принадлежит вам! Оба вскочили. Появившаяся в этот момент с очередной порцией кофе миссис Флэгг побледнела. Дьявол бросил на нее быстрый взгляд и оскорбленно выпрямился.</p> <p>– Послушайте, Саймон! Если ваша супруга думает, что после нашей увлекательной беседы я еще способен вспомнить о каком-то там договоре...</p> <p> </p> <p class="data">См. также:</p> <ol class="sm"> <li>Перельман Я.И. <a href="https://web.archive.org/web/20191117093632/http://n-t.ru/tp/in/zt.htm">Заманчивая теорема</a>. <a href="https://web.archive.org/web/20191117093632/http://n-t.ru/">НиТ</a>, 1998.</li> <li>Петров В. <a href="https://web.archive.org/web/20191117093632/http://n-t.ru/tp/nf/vtf.htm">Великая теорема Ферма</a>. <a href="https://web.archive.org/web/20191117093632/http://n-t.ru/">НиТ</a>, 2002.</li> <li>Завальский Л. <a href="https://web.archive.org/web/20191117093632/http://n-t.ru/tp/in/on.htm">О необычности путей развития математики</a>. <a href="https://web.archive.org/web/20191117093632/http://n-t.ru/">НиТ</a>, 2003.</li> </ol>  <div class="dk"> <div class="dp"> <p class="data nb">Дата публикации:</p> <p class="sm nb">24 марта 1998 года</p> </div> <div class="ev"> <p class="data">Электронная версия:</p> <p class="sm nb">© <a href="/web/20191117093632/http://ntbu.ru/">НТБУ</a>. <a href="/web/20191117093632/http://ntbu.ru/lt/">Литературное творчество ученых</a>, 1999</p> </div> </div> </div> </div>  <div class="nk nkm"> <div class="fp2"><div class="ya-site-form ya-site-form_inited_no" onclick="return {'action':'https://web.archive.org/web/20191117093632/http://ntbu.ru/sy.htm','arrow':false,'bg':'transparent','fontsize':14,'fg':'#000000','language':'ru','logo':'rb','publicname':'Поиск по ntbu.ru','suggest':false,'target':'_self','tld':'ru','type':3,'usebigdictionary':true,'searchid':149297,'webopt':false,'websearch':false,'input_fg':'#a1aab3','input_bg':'#ffffff','input_fontStyle':'normal','input_fontWeight':'normal','input_placeholder':'Поиск по ntbu.ru:','input_placeholderColor':'#a1aab3','input_borderColor':'#B8D9B8'}"><form action="https://web.archive.org/web/20191117093632/http://yandex.ru/sitesearch" method="get" target="_self"><input type="hidden" name="searchid" value="149297"/><input type="hidden" name="l10n" value="ru"/><input type="hidden" name="reqenc" value=""/><input type="search" name="text" value=""/><input type="submit" value="Найти"/></form></div><style type="text/css">.ya-page_js_yes .ya-site-form_inited_no { display: none; }</style><script type="text/javascript">(function(w,d,c){var s=d.createElement('script'),h=d.getElementsByTagName('script')[0],e=d.documentElement;if((' '+e.className+' ').indexOf(' ya-page_js_yes ')===-1){e.className+=' ya-page_js_yes';}s.type='text/javascript';s.async=true;s.charset='utf-8';s.src=(d.location.protocol==='https:'?'https:':'http:')+'//web.archive.org/web/20191117093632/http://site.yandex.net/v2.0/js/all.js';h.parentNode.insertBefore(s,h);(w[c]||(w[c]=[])).push(function(){Ya.Site.Form.init()})})(window,document,'yandex_site_callbacks');</script></div> <div style="padding: 4px 0px 6px 0px; background: #f0faff; border-top: 1px solid #99d8ff;"><div class="fp2"><a href="/web/20191117093632/http://ntbu.ru/ob.htm">О библиотеке</a> • <a href="https://web.archive.org/web/20191117093632/http://n-t.ru/ki.htm">Связаться с нами</a> • <a href="https://web.archive.org/web/20191117093632/http://n-t.ru/rr.htm">Разместить рекламу</a> • <a href="https://web.archive.org/web/20191117093632/http://n-t.ru/pi.htm">Правовая информация</a> </div></div> <div style="padding: 4px 0px 6px 0px; background: #fffceb; border-top: 1px solid #99d8ff;"><div class="fp2">© <a href="https://web.archive.org/web/20191117093632/http://n-t.ru/">МОО «Наука и техника»</a>, 1997...2019</div></div> </div> </body></html>