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id="toc-関連項目-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-脚注" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#脚注"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>脚注</span> </div> </a> <ul id="toc-脚注-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-参考文献" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#参考文献"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>参考文献</span> </div> </a> <ul id="toc-参考文献-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-外部リンク" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#外部リンク"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>外部リンク</span> </div> </a> <ul id="toc-外部リンク-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div 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class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0&printable=yes" title="このページの印刷用ページ [p]" accesskey="p"><span>印刷用バージョン</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> 他のプロジェクト </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q1759811" title="関連付けられたデータリポジトリ項目へのリンク [g]" accesskey="g"><span>ウィキデータ項目</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="ページツール"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav 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aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="ja" dir="ltr"><p><b>ウィルソン素数</b>（ウィルソンそすう、<a href="/wiki/%E8%8B%B1%E8%AA%9E" title="英語">英</a>: <span lang="en">Wilson prime</span>）とは、<i>p</i><sup>2</sup> が (<i>p</i> − 1)! + 1 を<a href="/wiki/%E7%B4%84%E6%95%B0" title="約数">割り切る</a>ような<a href="/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="素数">素数</a> <i>p</i> である。ここで "!" は<a href="/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97" title="階乗">階乗</a>。任意の素数 <i>p</i> が (<i>p</i> − 1)! + 1 を割り切ることはわかっている（<a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86" title="ウィルソンの定理">ウィルソンの定理</a>）。名称は<a href="/wiki/%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89%E4%BA%BA" title="イングランド人">イングランド</a>の数学者<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ジョン・ウィルソン (数学者)」 (存在しないページ)">ジョン・ウィルソン</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/John_Wilson_(mathematician)" class="extiw" title="en:John Wilson (mathematician)">英語版</a>）</span></span>にちなむ。 </p><p>既知のウィルソン素数は 5, 13, 563 のみである（<a href="/wiki/%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%95%B4%E6%95%B0%E5%88%97%E5%A4%A7%E8%BE%9E%E5%85%B8" title="オンライン整数列大辞典">オンライン整数列大辞典</a>の数列 <a rel="nofollow" class="external text" href="//oeis.org/A007540">A007540</a>）。もしこれ以外のウィルソン素数が存在すれば、それは 2<span style="margin:0 .15em 0 .25em">×</span>10<sup><span class="nowrap"><span data-sort-value="7001130000000000000♠"></span>13</span></sup> より大きくなければならない<sup id="cite_ref-Search_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Search-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。ウィルソン素数は無限個存在し、さらに<a href="/wiki/%E5%8C%BA%E9%96%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="区間 (数学)">区間</a> [<i>x</i>, <i>y</i>] に約 log(log(<i>y</i>)/log(<i>x</i>)) 個存在すると<a href="/wiki/%E4%BA%88%E6%83%B3_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)" title="予想 (数学)">予想</a>されている<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p><p>新たなウィルソン素数を発見すべく、コンピュータによる探索が幾度か行われた<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Ibercivis&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Ibercivis」 (存在しないページ)">Ibercivis</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ibercivis" class="extiw" title="en:Ibercivis">英語版</a>）</span></span><a href="/wiki/%E5%88%86%E6%95%A3%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0" title="分散コンピューティング">分散コンピューティング</a>にはウィルソン素数の探索も含まれており<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>、また mersenneforum.org でも探索の連携が行われている<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="一般化"><span id=".E4.B8.80.E8.88.AC.E5.8C.96"></span>一般化</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&section=1" title="節を編集: 一般化"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="オーダー_n_のウィルソン素数"><span id=".E3.82.AA.E3.83.BC.E3.83.80.E3.83.BC_n_.E3.81.AE.E3.82.A6.E3.82.A3.E3.83.AB.E3.82.BD.E3.83.B3.E7.B4.A0.E6.95.B0"></span>オーダー <i>n</i> のウィルソン素数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&section=2" title="節を編集: オーダー n のウィルソン素数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>ウィルソンの定理はより一般に、任意の整数 <i>n</i> ≥ 1 と素数 <i>p</i> ≥ <i>n</i> に対し </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ ({\bmod {p}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>≡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ ({\bmod {p}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4328f606990210074f7fe3b3bfd088b3a373da9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.052ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ ({\bmod {p}})}"></span></dd></dl> <p>と表現できる（ <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p-n+k\equiv (-1)(n-k)\ ({\bmod {p}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mo>≡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mtext> </mtext> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p-n+k\equiv (-1)(n-k)\ ({\bmod {p}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b357f3c0bf88517824df4e1758b9c194181f634" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:33.92ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p-n+k\equiv (-1)(n-k)\ ({\bmod {p}})}"></span> だから）。オーダー <i>n</i> の一般化ウィルソン素数（generalized Wilson prime of order n）とは <i>p</i><sup>2</sup> が(<i>n</i> − 1)!(<i>p</i> − n)! − (− 1)<sup>n</sup> を割り切るような素数 <i>p</i> のことである。 </p><p>任意の自然数 <i>n</i> に対し、オーダー <i>n</i> の一般化ウィルソン素数は無限に存在すると予想されている。 </p> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th><i>n</i> </th> <th><i>p</i><sup>2</sup> が(<i>n</i> − 1)!(<i>p</i> − n)! − (− 1)<sup>n</sup> を<br />割り切るような素数 <i>p</i> </th> <th><a href="/wiki/OEIS" class="mw-redirect" title="OEIS">OEIS</a> </th></tr> <tr> <td>1 </td> <td>5, 13, 563, ... </td> <td><a rel="nofollow" class="external text" href="//oeis.org/A007540">A007540</a> </td></tr> <tr> <td>2 </td> <td>2, 3, 11, 107, 4931, ... </td> <td><a rel="nofollow" class="external text" href="//oeis.org/A079853">A079853</a> </td></tr> <tr> <td>3 </td> <td>7, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>4 </td> <td>10429, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>5 </td> <td>5, 7, 47, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>6 </td> <td>11, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>7 </td> <td>17, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>8 </td> <td>... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>9 </td> <td>541, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>10 </td> <td>11, 1109, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>11 </td> <td>17, 2713, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>12 </td> <td>... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>13 </td> <td>13, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>14 </td> <td>... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>15 </td> <td>349, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>16 </td> <td>31, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>17 </td> <td>61, 251, 479, ... </td> <td><a rel="nofollow" class="external text" href="//oeis.org/A152413">A152413</a> </td></tr> <tr> <td>18 </td> <td>13151527, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>19 </td> <td>71, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>20 </td> <td>59, 499, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>21 </td> <td>217369, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>22 </td> <td>... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>23 </td> <td>... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>24 </td> <td>47, 3163, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>25 </td> <td>... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>26 </td> <td>97579, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>27 </td> <td>53, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>28 </td> <td>347, ... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>29 </td> <td>... </td> <td> </td></tr> <tr> <td>30 </td> <td>137, 1109, 5179, ... </td> <td> </td></tr></tbody></table> <p>オーダー <i>n</i> の一般化ウィルソン素数の最小値を順に並べた数列は以下のとおりである。この次の項（<i>n</i> = 8）の値は 1.4×10<sup>7</sup> よりも大きいことが分かっている。 </p> <dl><dd>5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17, ... （<a rel="nofollow" class="external text" href="//oeis.org/A128666">A128666</a>）</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="ニアウィルソン素数"><span id=".E3.83.8B.E3.82.A2.E3.82.A6.E3.82.A3.E3.83.AB.E3.82.BD.E3.83.B3.E7.B4.A0.E6.95.B0"></span>ニアウィルソン素数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&section=3" title="節を編集: ニアウィルソン素数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" style="border:0px;text-align:right;" align="right"> <tbody><tr> <th><i>p</i></th> <th><i>B</i> </th></tr> <tr> <td>1282279</td> <td>+20 </td></tr> <tr> <td>1306817</td> <td>−30 </td></tr> <tr> <td>1308491</td> <td>−55 </td></tr> <tr> <td>1433813</td> <td>−32 </td></tr> <tr> <td>1638347</td> <td>−45 </td></tr> <tr> <td>1640147</td> <td>−88 </td></tr> <tr> <td>1647931</td> <td>+14 </td></tr> <tr> <td>1666403</td> <td>+99 </td></tr> <tr> <td>1750901</td> <td>+34 </td></tr> <tr> <td>1851953</td> <td>−50 </td></tr> <tr> <td>2031053</td> <td>−18 </td></tr> <tr> <td>2278343</td> <td>+21 </td></tr> <tr> <td>2313083</td> <td>+15 </td></tr> <tr> <td>2695933</td> <td>−73 </td></tr> <tr> <td>3640753</td> <td>+69 </td></tr> <tr> <td>3677071</td> <td>−32 </td></tr> <tr> <td>3764437</td> <td>−99 </td></tr> <tr> <td>3958621</td> <td>+75 </td></tr> <tr> <td>5062469</td> <td>+39 </td></tr> <tr> <td>5063803</td> <td>+40 </td></tr> <tr> <td>6331519</td> <td>+91 </td></tr> <tr> <td>6706067</td> <td>+45 </td></tr> <tr> <td>7392257</td> <td>+40 </td></tr> <tr> <td>8315831</td> <td>+3 </td></tr> <tr> <td>8871167</td> <td>−85 </td></tr> <tr> <td>9278443</td> <td>−75 </td></tr> <tr> <td>9615329</td> <td>+27 </td></tr> <tr> <td>9756727</td> <td>+23 </td></tr> <tr> <td>10746881</td> <td>−7 </td></tr> <tr> <td>11465149</td> <td>−62 </td></tr> <tr> <td>11512541</td> <td>−26 </td></tr> <tr> <td>11892977</td> <td>−7 </td></tr> <tr> <td>12632117</td> <td>−27 </td></tr> <tr> <td>12893203</td> <td>−53 </td></tr> <tr> <td>14296621</td> <td>+2 </td></tr> <tr> <td>16711069</td> <td>+95 </td></tr> <tr> <td>16738091</td> <td>+58 </td></tr> <tr> <td>17879887</td> <td>+63 </td></tr> <tr> <td>19344553</td> <td>−93 </td></tr> <tr> <td>19365641</td> <td>+75 </td></tr> <tr> <td>20951477</td> <td>+25 </td></tr> <tr> <td>20972977</td> <td>+58 </td></tr> <tr> <td>21561013</td> <td>−90 </td></tr> <tr> <td>23818681</td> <td>+23 </td></tr> <tr> <td>27783521</td> <td>−51 </td></tr> <tr> <td>27812887</td> <td>+21 </td></tr> <tr> <td>29085907</td> <td>+9 </td></tr> <tr> <td>29327513</td> <td>+13 </td></tr> <tr> <td>30959321</td> <td>+24 </td></tr> <tr> <td>33187157</td> <td>+60 </td></tr> <tr> <td>33968041</td> <td>+12 </td></tr> <tr> <td>39198017</td> <td>−7 </td></tr> <tr> <td>45920923</td> <td>−63 </td></tr> <tr> <td>51802061</td> <td>+4 </td></tr> <tr> <td>53188379</td> <td>−54 </td></tr> <tr> <td>56151923</td> <td>−1 </td></tr> <tr> <td>57526411</td> <td>−66 </td></tr> <tr> <td>64197799</td> <td>+13 </td></tr> <tr> <td>72818227</td> <td>−27 </td></tr> <tr> <td>87467099</td> <td>−2 </td></tr> <tr> <td>91926437</td> <td>−32 </td></tr> <tr> <td>92191909</td> <td>+94 </td></tr> <tr> <td>93445061</td> <td>−30 </td></tr> <tr> <td>93559087</td> <td>−3 </td></tr> <tr> <td>94510219</td> <td>−69 </td></tr> <tr> <td>101710369</td> <td>−70 </td></tr> <tr> <td>111310567</td> <td>+22 </td></tr> <tr> <td>117385529</td> <td>−43 </td></tr> <tr> <td>176779259</td> <td>+56 </td></tr> <tr> <td>212911781</td> <td>−92 </td></tr> <tr> <td>216331463</td> <td>−36 </td></tr> <tr> <td>253512533</td> <td>+25 </td></tr> <tr> <td>282361201</td> <td>+24 </td></tr> <tr> <td>327357841</td> <td>−62 </td></tr> <tr> <td>411237857</td> <td>−84 </td></tr> <tr> <td>479163953</td> <td>−50 </td></tr> <tr> <td>757362197</td> <td>−28 </td></tr> <tr> <td>824846833</td> <td>+60 </td></tr> <tr> <td>866006431</td> <td>−81 </td></tr> <tr> <td>1227886151</td> <td>−51 </td></tr> <tr> <td>1527857939</td> <td>−19 </td></tr> <tr> <td>1636804231</td> <td>+64 </td></tr> <tr> <td>1686290297</td> <td>+18 </td></tr> <tr> <td>1767839071</td> <td>+8 </td></tr> <tr> <td>1913042311</td> <td>−65 </td></tr> <tr> <td>1987272877</td> <td>+5 </td></tr> <tr> <td>2100839597</td> <td>−34 </td></tr> <tr> <td>2312420701</td> <td>−78 </td></tr> <tr> <td>2476913683</td> <td>+94 </td></tr> <tr> <td>3542985241</td> <td>−74 </td></tr> <tr> <td>4036677373</td> <td>−5 </td></tr> <tr> <td>4271431471</td> <td>+83 </td></tr> <tr> <td>4296847931</td> <td>+41 </td></tr> <tr> <td>5087988391</td> <td>+51 </td></tr> <tr> <td>5127702389</td> <td>+50 </td></tr> <tr> <td>7973760941</td> <td>+76 </td></tr> <tr> <td>9965682053</td> <td>−18 </td></tr> <tr> <td>10242692519</td> <td>−97 </td></tr> <tr> <td>11355061259</td> <td>−45 </td></tr> <tr> <td>11774118061</td> <td>−1 </td></tr> <tr> <td>12896325149</td> <td>+86 </td></tr> <tr> <td>13286279999</td> <td>+52 </td></tr> <tr> <td>20042556601</td> <td>+27 </td></tr> <tr> <td>21950810731</td> <td>+93 </td></tr> <tr> <td>23607097193</td> <td>+97 </td></tr> <tr> <td>24664241321</td> <td>+46 </td></tr> <tr> <td>28737804211</td> <td>−58 </td></tr> <tr> <td>35525054743</td> <td>+26 </td></tr> <tr> <td>41659815553</td> <td>+55 </td></tr> <tr> <td>42647052491</td> <td>+10 </td></tr> <tr> <td>44034466379</td> <td>+39 </td></tr> <tr> <td>60373446719</td> <td>−48 </td></tr> <tr> <td>64643245189</td> <td>−21 </td></tr> <tr> <td>66966581777</td> <td>+91 </td></tr> <tr> <td>67133912011</td> <td>+9 </td></tr> <tr> <td>80248324571</td> <td>+46 </td></tr> <tr> <td>80908082573</td> <td>−20 </td></tr> <tr> <td>100660783343</td> <td>+87 </td></tr> <tr> <td>112825721339</td> <td>+70 </td></tr> <tr> <td>231939720421</td> <td>+41 </td></tr> <tr> <td>258818504023</td> <td>+4 </td></tr> <tr> <td>260584487287</td> <td>−52 </td></tr> <tr> <td>265784418461</td> <td>−78 </td></tr> <tr> <td>298114694431</td> <td>+82 </td></tr> </tbody></table> <p>小さな <i>|B|</i> に対し<a href="/wiki/%E5%90%88%E5%90%8C%E5%BC%8F" class="mw-redirect" title="合同式">合同式</a> (<i>p</i> − 1)! ≡ −1 + <i>Bp</i> (mod <i>p</i><sup>2</sup>) を満たす素数 <i>p</i> を<b>ニアウィルソン素数</b>（near-Wilson prime）という。ニアウィルソン素数で <i>B</i> = 0 としたものがウィルソン素数である。本節の表は 10<sup><span class="nowrap"><span data-sort-value="7000600000000000000♠"></span>6</span></sup> から 4<span style="margin:0 .15em 0 .25em">×</span>10<sup><span class="nowrap"><span data-sort-value="7001110000000000000♠"></span>11</span></sup> までで <i>|B|</i> ≤ 100 となる全てのニアウィルソン素数を挙げたものである<sup id="cite_ref-Search_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-Search-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="ウィルソン数"><span id=".E3.82.A6.E3.82.A3.E3.83.AB.E3.82.BD.E3.83.B3.E6.95.B0"></span>ウィルソン数</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&section=4" title="節を編集: ウィルソン数"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>ウィルソン数</b>（Wilson number）は <i>W</i>(<i>n</i>) ≡ 0 (mod <i>n</i><sup>2</sup>) となる自然数 <i>n</i> である。ここで <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W(n)=e+\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>W</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>e</mi> <mo>+</mo> <munder> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-REL"> <mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits"> <mo movablelimits="true" form="prefix">gcd</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mo>≤</mo> <mi>k</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> </mrow> </mover> </mrow> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W(n)=e+\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}{k}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349719725a39af0d539b370981c2ccffa77e9311" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.171ex; width:22.406ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle W(n)=e+\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}{k}}"></span> であり、定数 <i>e</i> は <i>n</i> を法とする<a href="/wiki/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E6%A0%B9" class="mw-redirect" title="原始根">原始根</a>が存在するとき 1 , そうでないとき <i>e</i> = −1 とする<sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。全ての自然数 <i>n</i> に対し <i>W</i>(<i>n</i>) は <i>n</i> で割り切れる（この商を一般化<a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E5%95%86" title="ウィルソン商">ウィルソン商</a>という（<a rel="nofollow" class="external text" href="//oeis.org/A157249">A157249</a>））。ウィルソン数は </p> <dl><dd>1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158, ... （<a rel="nofollow" class="external text" href="//oeis.org/A157250">A157250</a>）</dd></dl> <p>と続く。ウィルソン数 <i>n</i> が素数であるとき、ウィルソン素数である。5<span style="margin:0 .15em 0 .25em">×</span>10<sup><span class="nowrap"><span data-sort-value="7000800000000000000♠"></span>8</span></sup> までに13個のウィルソン数が存在する<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>。 </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="関連項目"><span id=".E9.96.A2.E9.80.A3.E9.A0.85.E7.9B.AE"></span>関連項目</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&section=5" title="節を編集: 関連項目"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%92%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ヴィーフェリッヒ素数」 (存在しないページ)">ヴィーフェリッヒ素数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Wieferich_prime" class="extiw" title="en:Wieferich prime">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%AB%E2%80%93%E3%82%B9%E3%83%B3%E2%80%93%E3%82%B9%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ウォール–スン–スン素数」 (存在しないページ)">ウォール–スン–スン素数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Wall%E2%80%93Sun%E2%80%93Sun_prime" class="extiw" title="en:Wall–Sun–Sun prime">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9B%E3%83%AB%E3%83%A0%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="ウォルステンホルム素数">ウォルステンホルム素数</a></li> <li><a href="/wiki/PrimeGrid" title="PrimeGrid">PrimeGrid</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%90%88%E5%90%8C%E9%96%A2%E4%BF%82%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="「合同関係の一覧」 (存在しないページ)">合同関係の一覧</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_congruences" class="extiw" title="en:Table of congruences">英語版</a>）</span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="脚注"><span id=".E8.84.9A.E6.B3.A8"></span>脚注</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&section=6" title="節を編集: 脚注"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <ol class="references"> <li id="cite_note-Search-1">^ <a href="#cite_ref-Search_1-0"><sup><i><b>a</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Search_1-1"><sup><i><b>b</b></i></sup></a> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/pdf/1209.3436v2.pdf">A Search for Wilson primes</a> Retrieved on November 2, 2012.</span> </li> <li id="cite_note-2"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=WilsonPrime">The Prime Glossary: Wilson prime</a></span> </li> <li id="cite_note-3"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b> <span class="reference-text"><cite class="citation web" style="font-style:normal"><a href="/w/index.php?title=Richard_McIntosh&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Richard McIntosh」 (存在しないページ)">McIntosh, R.</a> (9 March 2004). “<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status">WILSON STATUS (Feb. 1999)</a>”. <i>E-Mail to <a href="/w/index.php?title=Paul_Zimmermann_(mathematician)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Paul Zimmermann (mathematician)」 (存在しないページ)">Paul Zimmermann</a></i>. <span title="">6 June 2011</span>閲覧。</cite></span> </li> <li id="cite_note-4"><b><a href="#cite_ref-4">^</a></b> <span class="reference-text"><i>A search for Wieferich and Wilson primes</i>, p 443</span> </li> <li id="cite_note-5"><b><a href="#cite_ref-5">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Paulo_Ribenboim&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Paulo Ribenboim」 (存在しないページ)">Ribenboim, P.</a>; Keller, W. (2006) (German). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/?id=-nEM9ZVr4CsC&pg=PA248&dq=die+welt+der+primzahlen+rodenkirch#v=onepage&q&f=false"><i>Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde</i></a>. Berlin Heidelberg New York: Springer. p. 241. <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r101121245">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:var(--color-success,#3a3);margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}</style><a href="/wiki/ISBN" title="ISBN">ISBN</a> <a href="/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%96%87%E7%8C%AE%E8%B3%87%E6%96%99/3-540-34283-4" title="特別:文献資料/3-540-34283-4">3-540-34283-4</a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="https://books.google.com/?id=-nEM9ZVr4CsC&pg=PA248&dq=die+welt+der+primzahlen+rodenkirch#v=onepage&q&f=false">https://books.google.com/?id=-nEM9ZVr4CsC&pg=PA248&dq=die+welt+der+primzahlen+rodenkirch#v=onepage&q&f=false</a></span></cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Die+Welt+der+Primzahlen%3A+Geheimnisse+und+Rekorde&rft.aulast=Ribenboim&rft.aufirst=P.&rft.au=Ribenboim%2C%26%2332%3BP.&rft.au=Keller%2C%26%2332%3BW.&rft.date=2006&rft.pages=p.%26nbsp%3B241&rft.place=Berlin+Heidelberg+New+York&rft.pub=Springer&rft.isbn=3-540-34283-4&rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.com%2F%3Fid%3D-nEM9ZVr4CsC%26pg%3DPA248%26dq%3Ddie%2Bwelt%2Bder%2Bprimzahlen%2Brodenkirch%23v%3Donepage%26q%26f%3Dfalse&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-6"><b><a href="#cite_ref-6">^</a></b> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ibercivis.net/index.php?module=public&section=channels&action=view&id_channel=2&id_subchannel=138">Ibercivis site</a></span> </li> <li id="cite_note-7"><b><a href="#cite_ref-7">^</a></b> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=16028">Distributed search for Wilson primes</a> (at mersenneforum.org)</span> </li> <li id="cite_note-8"><b><a href="#cite_ref-8">^</a></b> <span class="reference-text"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem#Gauss.27s_generalization" class="extiw" title="en:Wilson's theorem">Gauss's generalization of Wilson's theorem</a>を参照。<a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9" title="カール・フリードリヒ・ガウス">ガウス</a>はウィルソンの定理を一般化し、次を証明した。 <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac linethickness="0"> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo movablelimits="true" form="prefix">gcd</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </munderover> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mi>k</mi> <mtext> </mtext> <mo>≡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="0.444em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>if </mtext> </mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mn>2</mn> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>α</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thickmathspace" /> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mspace width="0.444em" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>mod</mi> <mspace width="0.333em" /> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext>otherwise</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7edade3b9490bad9ed671aa1f92f5721ec25cc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:47.935ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle \prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}"></span></dd></dl> ここで、<i>p</i> は奇数、α は正整数。剰余が −1 になるための必要十分条件は <i>m</i> を法とする原始根が存在することである。</span> </li> <li id="cite_note-9"><b><a href="#cite_ref-9">^</a></b> <span class="reference-text"><cite style="font-style:normal" class="citation journal">Agoh, Takashi; Dilcher, Karl; <a href="/w/index.php?title=Ladislav_Skula&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Ladislav Skula」 (存在しないページ)">Skula, Ladislav</a> (1998). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/journals/mcom/1998-67-222/S0025-5718-98-00951-X/S0025-5718-98-00951-X.pdf">“Wilson quotients for composite moduli”</a>. <i>Math. Comput.</i> <b>67</b> (222): 843–861. <a href="/wiki/Doi_(%E8%AD%98%E5%88%A5%E5%AD%90)" class="mw-redirect" title="Doi (識別子)">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1090%2FS0025-5718-98-00951-X">10.1090/S0025-5718-98-00951-X</a><span style="display:none;">. <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.ams.org/journals/mcom/1998-67-222/S0025-5718-98-00951-X/S0025-5718-98-00951-X.pdf">http://www.ams.org/journals/mcom/1998-67-222/S0025-5718-98-00951-X/S0025-5718-98-00951-X.pdf</a></span>.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Wilson+quotients+for+composite+moduli&rft.jtitle=Math.+Comput.&rft.aulast=Agoh&rft.aufirst=Takashi&rft.au=Agoh%2C%26%2332%3BTakashi&rft.au=Dilcher%2C%26%2332%3BKarl&rft.au=Skula%2C%26%2332%3BLadislav&rft.date=1998&rft.volume=67&rft.issue=222&rft.pages=843%E2%80%93861&rft_id=info:doi/10.1090%2FS0025-5718-98-00951-X&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.ams.org%2Fjournals%2Fmcom%2F1998-67-222%2FS0025-5718-98-00951-X%2FS0025-5718-98-00951-X.pdf&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></span> </li> </ol></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="参考文献"><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span>参考文献</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&section=7" title="節を編集: 参考文献"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite style="font-style:normal" class="citation journal">Beeger, N. 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(1963). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/journals/mcom/1963-17-082/S0025-5718-1963-0159780-0/S0025-5718-1963-0159780-0.pdf">“On the Congruences (<i>p</i> − 1)! ≡ −1 and 2<sup><i>p</i>−1</sup> ≡ 1 (mod <i>p</i><sup>2</sup>)”</a>. <i>Math. 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title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=On+the+Congruences+%28%27%27p%27%27%26nbsp%3B%E2%88%92%26nbsp%3B1%29%21+%E2%89%A1%26nbsp%3B%E2%88%921+and+2%3Csup%3E%27%27p%27%27%E2%88%921%3C%2Fsup%3E%26nbsp%3B%E2%89%A1%26nbsp%3B1%26nbsp%3B%28mod%26nbsp%3B%27%27p%27%27%3Csup%3E2%3C%2Fsup%3E%29&rft.jtitle=Math.+Comput.&rft.aulast=Pearson&rft.aufirst=Erna+H.&rft.au=Pearson%2C%26%2332%3BErna+H.&rft.date=1963&rft.volume=17&rft.pages=194%E2%80%93195&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.ams.org%2Fjournals%2Fmcom%2F1963-17-082%2FS0025-5718-1963-0159780-0%2FS0025-5718-1963-0159780-0.pdf&rfr_id=info:sid/ja.wikipedia.org:%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0"><span style="display: none;"> </span></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="外部リンク"><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E3.83.AA.E3.83.B3.E3.82.AF"></span>外部リンク</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&section=8" title="節を編集: 外部リンク"><span>編集</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=WilsonPrime">The Prime Glossary: Wilson prime</a></li> <li><span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Wilson_prime"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r101121245"><cite id="CITEREFWeisstein" class="citation web cs1 cs1-prop-foreign-lang-source">Weisstein, Eric W. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/WilsonPrime.html">"Wilson prime"</a>. <i>mathworld.wolfram.com</i> (英語).</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=unknown&rft.jtitle=mathworld.wolfram.com&rft.atitle=Wilson+prime&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft_id=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FWilsonPrime.html&rfr_id=info%3Asid%2Fja.wikipedia.org%3A%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BD%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0" class="Z3988"></span></span></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status">Status of the search for Wilson primes</a></li></ul> <div class="navbox" aria-labelledby="素数の分類" style="border-collapse:collapse;padding:3px"><table class="nowraplinks mw-collapsible autocollapse navbox-inner" style="background:transparent;color:inherit;min-width:100%;border-spacing:0px;border-collapse:separate"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div style="float:left;width:6em;text-align:left"><div class="noprint plainlinks navbar hlist" style="white-space:nowrap;font-size:60%;font-weight:normal;background-color:transparent;padding:0;color:#000;;border:none;"><ul style="display:inline"><li><a href="/wiki/Template:%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E" title="Template:素数の分類"><span title="このテンプレートを表示します" style="font-size:125%;;;border:none;">表</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Template%E2%80%90%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88:%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Template‐ノート:素数の分類」 (存在しないページ)"><span title="このテンプレートのノートを表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">話</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E&action=edit"><span title="このテンプレートを編集します。保存の前にプレビューを忘れずに。" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">編</span></a></li><li><a class="external text" href="https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=Template%3A%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E&action=history"><span title="このテンプレートの過去の版を表示します" style="font-size:125%;color:#002bb8;;;border:none;">歴</span></a></li></ul></div></div><div id="素数の分類" style="font-size:110%;margin:0 6em"><a href="/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="素数">素数</a>の分類</div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">生成式</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E6%95%B0" title="フェルマー数">フェルマー</a> (<span lang="en" class="texhtml">2<sup>2<sup><i>n</i></sup></sup> + 1</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A1%E3%83%AB%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%83%8C%E6%95%B0" title="メルセンヌ数">メルセンヌ</a> (<span lang="en" class="texhtml">2<sup><i>p</i></sup> − 1</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E4%BA%8C%E9%87%8D%E3%83%A1%E3%83%AB%E3%82%BB%E3%83%B3%E3%83%8C%E6%95%B0" title="二重メルセンヌ数">二重メルセンヌ</a> (<span lang="en" class="texhtml">2<sup>2<sup><i>p</i></sup>−1</sup> − 1</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AF%E3%82%B0%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%83%E3%83%95%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="ワグスタッフ素数">ワグスタッフ</a> (<span lang="en" class="texhtml">(2<sup><i>p</i></sup> + 1)/3</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B9%E6%95%B0" title="プロス数">プロス</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>k</i>·2<sup><i>n</i></sup> + 1</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="階乗素数">階乗</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>n</i>! ± 1</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E9%9A%8E%E4%B9%97%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="素数階乗素数">素数階乗</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>p<sub>n</sub></i># ± 1</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E9%9A%8E%E4%B9%97%E7%B4%A0%E6%95%B0#ユークリッド数" title="素数階乗素数">ユークリッド</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>p<sub>n</sub></i># + 1</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%94%E3%82%BF%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%82%B9%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="ピタゴラス素数">ピタゴラス</a> (<span lang="en" class="texhtml">4<i>n</i> + 1</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%94%E3%82%A2%E3%83%9D%E3%83%B3%E3%83%88%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="ピアポント素数">ピアポント</a> (<span lang="en" class="texhtml">2<sup><i>u</i></sup>·3<sup><i>v</i></sup> + 1</span>)</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Quartan%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Quartan素数」 (存在しないページ)">Quartan</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Quartan_prime" class="extiw" title="en:Quartan prime">英語版</a>）</span></span> (<span lang="en" class="texhtml"><i>x</i><sup>4</sup> + <i>y</i><sup>4</sup></span>)</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%BD%E3%83%AA%E3%83%8A%E3%82%B9%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ソリナス素数」 (存在しないページ)">ソリナス</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Solinas_prime" class="extiw" title="en:Solinas prime">英語版</a>）</span></span> (<span lang="en" class="texhtml">2<sup><i>a</i></sup> ± 2<sup><i>b</i></sup> ± 1</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AC%E3%83%B3%E6%95%B0" title="カレン数">カレン</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>n</i>·2<sup><i>n</i></sup> + 1</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%83%83%E3%83%80%E3%83%AB%E6%95%B0" title="ウッダル数">ウッダル</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>n</i>·2<sup><i>n</i></sup> − 1</span>)</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Cuban%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Cuban素数」 (存在しないページ)">Cuban</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cuban_prime" class="extiw" title="en:Cuban prime">英語版</a>）</span></span> (<span lang="en" class="texhtml">(<i>x</i><sup>3</sup> − <i>y</i><sup>3</sup>)/(<i>x</i> − <i>y</i>)</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AD%E3%83%A3%E3%83%AD%E3%83%AB%E6%95%B0" title="キャロル数">キャロル</a> (<span lang="en" class="texhtml">(2<sup><i>n</i></sup> − 1)<sup>2</sup> − 2</span>)</li> <li><a href="/wiki/Kynea%E6%95%B0" title="Kynea数">Kynea</a> (<span lang="en" class="texhtml">(2<sup><i>n</i></sup> + 1)<sup>2</sup> − 2</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89%E6%95%B0" title="レイランド数">レイランド</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>x<sup>y</sup></i> + <i>y<sup>x</sup></i></span>)</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B5%E3%83%BC%E3%83%93%E3%83%88%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「サービト数」 (存在しないページ)">サービト</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Thabit_number" class="extiw" title="en:Thabit number">英語版</a>）</span></span> (<span lang="en" class="texhtml">3·2<sup><i>n</i></sup> − 1</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0" title="ミルズの定数">ミルズ</a> (<span lang="en" class="texhtml">[<i>A</i>]<sup>3<sup><i>n</i></sup></sup></span>)</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Integer_sequence_prime&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Integer sequence prime」 (存在しないページ)">漸化式</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_sequence_prime" class="extiw" title="en:Integer sequence prime">英語版</a>）</span></span></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%9C%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%81%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="フィボナッチ素数">フィボナッチ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AA%E3%83%A5%E3%82%AB%E6%95%B0" title="リュカ数">リュカ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9A%E3%83%AB%E6%95%B0" title="ペル数">ペル</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E2%80%93%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%82%B9%E2%80%93%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%A0%E3%82%BA%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="ニューマン–シャンクス–ウィリアムズ素数">ニューマン–シャンクス–ウィリアムズ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%9A%E3%83%A9%E3%83%B3%E6%95%B0" title="ペラン数">ペラン</a></li> <li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%88%86%E5%89%B2" title="自然数の分割">分割</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E6%95%B0" title="ベル数">ベル</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A2%E3%83%84%E3%82%AD%E3%83%B3%E6%95%B0" title="モツキン数">モツキン</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">各種の性質</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%92%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ヴィーフェリッヒ素数」 (存在しないページ)">ヴィーフェリッヒ</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Wieferich_prime" class="extiw" title="en:Wieferich prime">英語版</a>）</span></span> (<span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%92%E5%AF%BE&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ヴィーフェリッヒ対」 (存在しないページ)">対</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Wieferich_pair" class="extiw" title="en:Wieferich pair">英語版</a>）</span></span>)</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%AB%E2%80%93%E5%AD%AB%E2%80%93%E5%AD%AB%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ウォール–孫–孫素数」 (存在しないページ)">ウォール–孫–孫</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Wall%E2%80%93Sun%E2%80%93Sun_prime" class="extiw" title="en:Wall–Sun–Sun prime">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%B3%E3%83%9B%E3%83%AB%E3%83%A0%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="ウォルステンホルム素数">ウォルステンホルム</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">ウィルソン</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%B9%B8%E9%81%8B%E6%95%B0" title="幸運数">幸運</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%BC%E3%83%81%E3%83%A5%E3%83%B3%E6%95%B0" title="フォーチュン数">フォーチュン</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%A9%E3%83%9E%E3%83%8C%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ラマヌジャン素数」 (存在しないページ)">ラマヌジャン</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_prime" class="extiw" title="en:Ramanujan prime">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%94%E3%83%A9%E3%82%A4%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="ピライ素数">ピライ</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="正則素数">正則</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E5%BC%B7%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「強素数」 (存在しないページ)">強</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Strong_prime" class="extiw" title="en:Strong prime">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="スターン素数">スターン</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Supersingular_%E7%B4%A0%E6%95%B0_(for_an_elliptic_curve)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Supersingular 素数 (for an elliptic curve)」 (存在しないページ)">Supersingular (楕円曲線)</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Supersingular_prime_(for_an_elliptic_curve)" class="extiw" title="en:Supersingular prime (for an elliptic curve)">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Supersingular_%E7%B4%A0%E6%95%B0_(moonshine_theory)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Supersingular 素数 (moonshine theory)」 (存在しないページ)">Supersingular (ムーンシャイン理論)</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Supersingular_prime_(moonshine_theory)" class="extiw" title="en:Supersingular prime (moonshine theory)">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E8%89%AF%E3%81%84%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="良い素数">良い</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%B9%E3%83%BC%E3%83%91%E3%83%BC%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="スーパー素数">スーパー</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%83%92%E3%83%83%E3%82%B0%E3%82%B9%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「ヒッグス素数」 (存在しないページ)">ヒッグス</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Higgs_prime" class="extiw" title="en:Higgs prime">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E9%AB%98%E5%BA%A6%E3%82%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%86%E3%82%A3%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%83%88%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「高度コトーティエント数」 (存在しないページ)">高度コトーティエント</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Highly_cototient_number" class="extiw" title="en:Highly cototient number">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">基数依存</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%83%8F%E3%83%83%E3%83%94%E3%83%BC%E6%95%B0" title="ハッピー数">ハッピー</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「二面素数」 (存在しないページ)">二面</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_prime" class="extiw" title="en:Dihedral prime">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9E%E6%96%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="回文素数">回文</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%A8%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%83%97" title="エマープ">エマープ</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%AC%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%88" title="レピュニット">レピュニット</a> (<span lang="en" class="texhtml">(10<sup><i>n</i></sup> − 1)/9</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E7%BD%AE%E6%8F%9B%E5%8F%AF%E8%83%BD%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="置換可能素数">置換可能</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Circular_prime&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Circular prime」 (存在しないページ)">Circular</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_prime" class="extiw" title="en:Circular prime">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%88%87%E3%82%8A%E6%8D%A8%E3%81%A6%E5%8F%AF%E8%83%BD%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="切り捨て可能素数">切り捨て可能</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Strobogrammatic_%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Strobogrammatic 素数」 (存在しないページ)">Strobogrammatic</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Strobogrammatic_prime" class="extiw" title="en:Strobogrammatic prime">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Minimal_prime_(recreational_mathematics)&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Minimal prime (recreational mathematics)」 (存在しないページ)">Minimal</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_prime_(recreational_mathematics)" class="extiw" title="en:Minimal prime (recreational mathematics)">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E5%BC%B1%E3%81%84%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="弱い素数">弱い</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%E3%83%95%E3%83%AB%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%A0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「フルサイクルプライム」 (存在しないページ)">フルサイクルプライム</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Unique_%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Unique 素数」 (存在しないページ)">Unique</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Unique_prime" class="extiw" title="en:Unique prime">英語版</a>）</span></span></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Primeval_%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Primeval 数」 (存在しないページ)">Primeval</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Primeval_number" class="extiw" title="en:Primeval number">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E6%95%B0#自己素数" title="自己数">自己</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%B9%E3%83%9E%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%83%81%E3%82%A7%E2%80%93%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%A9%E3%83%B3%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「スマランダチェ–ウェラン数」 (存在しないページ)">スマランダチェ–ウェラン</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Smarandache%E2%80%93Wellin_number" class="extiw" title="en:Smarandache–Wellin number">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">組</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E4%BA%92%E3%81%84%E3%81%AB%E7%B4%A0_(%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96)" title="互いに素 (整数論)">互いに素</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8F%8C%E5%AD%90%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="双子素数">双子</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>p</i>, <i>p</i> + 2</span>)</li> <li><a href="/w/index.php?title=Bi-twin_chain&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Bi-twin chain」 (存在しないページ)">Bi-twin chain</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>n</i> − 1, <i>n</i> + 1, 2<i>n</i> − 1, 2<i>n</i> + 1, …</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E4%B8%89%E3%81%A4%E5%AD%90%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="三つ子素数">三つ子</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>p</i>, <i>p</i> + 2</span> or <span lang="en" class="texhtml"><i>p</i> + 4, <i>p</i> + 6</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E5%9B%9B%E3%81%A4%E5%AD%90%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="四つ子素数">四つ子</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>p</i>, <i>p</i> + 2, <i>p</i> + 6, <i>p</i> + 8</span>)</li> <li><a href="/wiki/Prime_k-tuple" title="Prime k-tuple"><i>k</i>−Tuple</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%81%84%E3%81%A8%E3%81%93%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="いとこ素数">いとこ</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>p</i>, <i>p</i> + 4</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%BB%E3%82%AF%E3%82%B7%E3%83%BC%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="セクシー素数">セクシー</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>p</i>, <i>p</i> + 6</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E9%99%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="陳素数">陳</a></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%BD%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="ソフィー・ジェルマン素数">ソフィー・ジェルマン</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>p</i>, 2<i>p</i> + 1</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AB%E3%83%8B%E3%83%B3%E3%82%AC%E3%83%A0%E9%8E%96" title="カニンガム鎖">カニンガム鎖</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>p</i>, 2<i>p</i> ± 1, …</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E5%AE%89%E5%85%A8%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="安全素数">安全</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>p</i>, (<i>p</i> − 1)/2</span>)</li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%AE%97%E8%A1%93%E6%95%B0%E5%88%97%E3%81%AE%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「算術数列の素数」 (存在しないページ)">算術数列</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression" class="extiw" title="en:Primes in arithmetic progression">英語版</a>）</span></span> (<span lang="en" class="texhtml"><i>p</i> + <i>an</i>; <i>n</i> = 0, 1, …</span>)</li> <li><a href="/wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%A1%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="平衡素数">平衡</a> (<span lang="en" class="texhtml"><i>p</i> − <i>n</i>, <i>p</i>, <i>p</i> + <i>n</i></span>)</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">桁数</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%82%BF%E3%83%8B%E3%83%83%E3%82%AF%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="タイタニック素数">タイタニック</a> <small>(<span lang="en" class="texhtml">10<sup>3</sup></span>桁以上)</small></li> <li><a href="/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="巨大素数">巨大</a> <small>(<span lang="en" class="texhtml">10<sup>4</sup></span>桁以上)</small></li> <li><a href="/wiki/%E3%83%A1%E3%82%AC%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="メガ素数">メガ</a> <small>(<span lang="en" class="texhtml">10<sup>6</sup></span>桁以上)</small></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="複素数">複素数</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%82%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="「アイゼンシュタイン素数」 (存在しないページ)">アイゼンシュタイン素数</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_prime" class="extiw" title="en:Eisenstein prime">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E6%95%B4%E6%95%B0" title="ガウス整数">ガウス素数</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%E5%90%88%E6%88%90%E6%95%B0" title="合成数">合成数</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E6%93%AC%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="擬素数">擬素数</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A6%82%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="概素数">概素数</a></li> <li><a href="/wiki/%E5%8D%8A%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="半素数">半素数</a></li> <li><a href="/wiki/%E6%A5%94%E6%95%B0" title="楔数">楔数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Interprime&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Interprime」 (存在しないページ)">Interprime</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Interprime" class="extiw" title="en:Interprime">英語版</a>）</span></span></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">関連する話題</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E7%9A%84%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="確率的素数">確率的素数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=Industrial-grade_prime&action=edit&redlink=1" class="new" title="「Industrial-grade prime」 (存在しないページ)">Industrial-grade prime</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Industrial-grade_prime" class="extiw" title="en:Industrial-grade prime">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E9%81%95%E6%B3%95%E7%B4%A0%E6%95%B0" title="違法素数">違法素数</a></li> <li><span title="リンク先の項目はまだありません。新規の執筆や他言語版からの翻訳が望まれます。"><a href="/w/index.php?title=%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="「素数の公式」 (存在しないページ)">素数の公式</a><span style="font-size: 0.77em; font-weight: normal;" class="noprint">（<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes" class="extiw" title="en:Formula for primes">英語版</a>）</span></span></li> <li><a href="/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%96%93%E9%9A%94" title="素数の間隔">素数の間隔</a></li> <li>『<a href="/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E3%81%AA%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7" title="巨大な素数の一覧">巨大な素数の一覧</a>』</li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">最初の50個</th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><span lang="en" class="texhtml"><a href="/wiki/2" title="2">2</a></span></li> <li><span lang="en" class="texhtml"><a href="/wiki/3" title="3">3</a></span></li> <li><span lang="en" class="texhtml"><a href="/wiki/5" title="5">5</a></span></li> <li><span lang="en" class="texhtml"><a href="/wiki/7" title="7">7</a></span></li> <li><span lang="en" class="texhtml"><a href="/wiki/11" title="11">11</a></span></li> <li><span lang="en" class="texhtml"><a href="/wiki/13" title="13">13</a></span></li> <li><span lang="en" class="texhtml"><a href="/wiki/17" title="17">17</a></span></li> <li><span lang="en" class="texhtml"><a href="/wiki/19" title="19">19</a></span></li> <li><span lang="en" class="texhtml"><a href="/wiki/23" 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