Mécanique quantique

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 vector-feature-limited-width-content-enabled vector-feature-custom-font-size-clientpref-1 vector-feature-appearance-pinned-clientpref-1 vector-feature-night-mode-enabled skin-theme-clientpref-day vector-toc-available" lang="fr" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Mécanique quantique — Wikipédia</title> <script>(function(){var className="client-js vector-feature-language-in-header-enabled vector-feature-language-in-main-page-header-disabled vector-feature-sticky-header-disabled vector-feature-page-tools-pinned-disabled vector-feature-toc-pinned-clientpref-1 vector-feature-main-menu-pinned-disabled vector-feature-limited-width-clientpref-1 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class="vector-toc-numb">2</span> <span>Histoire</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Histoire-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Histoire</span> </button> <ul id="toc-Histoire-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Quelques_exemples_de_succès" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Quelques_exemples_de_succès"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Quelques exemples de succès</span> </div> </a> <ul id="toc-Quelques_exemples_de_succès-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Notions_fondamentales" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Notions_fondamentales"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Notions fondamentales</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Notions_fondamentales-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Notions fondamentales</span> </button> <ul id="toc-Notions_fondamentales-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-État_quantique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#État_quantique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>État quantique</span> </div> </a> <ul id="toc-État_quantique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Principe_de_superposition" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Principe_de_superposition"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Principe de superposition</span> </div> </a> <ul id="toc-Principe_de_superposition-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Règle_de_Born" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Règle_de_Born"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>Règle de Born</span> </div> </a> <ul id="toc-Règle_de_Born-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Grandeur_observable" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Grandeur_observable"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4</span> <span>Grandeur observable</span> </div> </a> <ul id="toc-Grandeur_observable-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Opérateurs_unitaires" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Opérateurs_unitaires"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.5</span> <span>Opérateurs unitaires</span> </div> </a> <ul id="toc-Opérateurs_unitaires-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Cas_général" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Cas_général"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.5.1</span> <span>Cas général</span> </div> </a> <ul id="toc-Cas_général-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Équation_de_Schrödinger" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Équation_de_Schrödinger"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.5.2</span> <span>Équation de Schrödinger</span> </div> </a> <ul id="toc-Équation_de_Schrödinger-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Impulsion_et_moment_cinétique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Impulsion_et_moment_cinétique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.5.3</span> <span>Impulsion et moment cinétique</span> </div> </a> <ul id="toc-Impulsion_et_moment_cinétique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Commutateur" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Commutateur"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.6</span> <span>Commutateur</span> </div> </a> <ul id="toc-Commutateur-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Fonction_d'onde" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Fonction_d'onde"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.7</span> <span>Fonction d'onde</span> </div> </a> <ul id="toc-Fonction_d'onde-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Matrice_densité" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Matrice_densité"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.8</span> <span>Matrice densité</span> </div> </a> <ul id="toc-Matrice_densité-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Exemples_notables_de_problèmes_quantiques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Exemples_notables_de_problèmes_quantiques"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Exemples notables de problèmes quantiques</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Exemples_notables_de_problèmes_quantiques-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Exemples notables de problèmes quantiques</span> </button> <ul id="toc-Exemples_notables_de_problèmes_quantiques-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Fermions_et_bosons" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Fermions_et_bosons"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.1</span> <span>Fermions et bosons</span> </div> </a> <ul id="toc-Fermions_et_bosons-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Oscillateur_harmonique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Oscillateur_harmonique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.2</span> <span>Oscillateur harmonique</span> </div> </a> <ul id="toc-Oscillateur_harmonique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Effet_tunnel" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Effet_tunnel"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.3</span> <span>Effet tunnel</span> </div> </a> <ul id="toc-Effet_tunnel-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Spin_de_l'électron" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Spin_de_l'électron"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.4</span> <span>Spin de l'électron</span> </div> </a> <ul id="toc-Spin_de_l'électron-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Atome_d'hydrogène" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Atome_d'hydrogène"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4.5</span> <span>Atome d'hydrogène</span> </div> </a> <ul id="toc-Atome_d'hydrogène-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Formulation_de_la_mécanique_quantique_par_intégrale_de_chemin" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Formulation_de_la_mécanique_quantique_par_intégrale_de_chemin"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Formulation de la mécanique quantique par intégrale de chemin</span> </div> </a> <ul id="toc-Formulation_de_la_mécanique_quantique_par_intégrale_de_chemin-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Mécanique_quantique_et_relativité" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Mécanique_quantique_et_relativité"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Mécanique quantique et relativité</span> </div> </a> <ul id="toc-Mécanique_quantique_et_relativité-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Les_inégalités_de_Heisenberg" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Les_inégalités_de_Heisenberg"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Les inégalités de Heisenberg</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Les_inégalités_de_Heisenberg-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Les inégalités de Heisenberg</span> </button> <ul id="toc-Les_inégalités_de_Heisenberg-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Inégalité_position-impulsion" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Inégalité_position-impulsion"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.1</span> <span>Inégalité position-impulsion</span> </div> </a> <ul id="toc-Inégalité_position-impulsion-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Inégalité_temps-énergie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Inégalité_temps-énergie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7.2</span> <span>Inégalité temps-énergie</span> </div> </a> <ul id="toc-Inégalité_temps-énergie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Intrication" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Intrication"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">8</span> <span>Intrication</span> </div> </a> <ul id="toc-Intrication-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Téléportation_quantique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Téléportation_quantique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">9</span> <span>Téléportation quantique</span> </div> </a> <ul id="toc-Téléportation_quantique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Liste_des_expériences" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Liste_des_expériences"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">10</span> <span>Liste des expériences</span> </div> </a> <ul id="toc-Liste_des_expériences-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Paradoxes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Paradoxes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11</span> <span>Paradoxes</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Paradoxes-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Paradoxes</span> </button> <ul id="toc-Paradoxes-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Chat_de_Schrödinger" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Chat_de_Schrödinger"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11.1</span> <span>Chat de Schrödinger</span> </div> </a> <ul id="toc-Chat_de_Schrödinger-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Paradoxe_EPR_et_expérience_d'Alain_Aspect" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Paradoxe_EPR_et_expérience_d'Alain_Aspect"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11.2</span> <span>Paradoxe EPR et expérience d'Alain Aspect</span> </div> </a> <ul id="toc-Paradoxe_EPR_et_expérience_d'Alain_Aspect-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Expérience_de_Marlan_Scully" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Expérience_de_Marlan_Scully"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11.3</span> <span>Expérience de Marlan Scully</span> </div> </a> <ul id="toc-Expérience_de_Marlan_Scully-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Contrafactualité" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Contrafactualité"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">11.4</span> <span>Contrafactualité</span> </div> </a> <ul id="toc-Contrafactualité-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Du_monde_quantique_au_monde_classique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Du_monde_quantique_au_monde_classique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">12</span> <span>Du monde quantique au monde classique</span> </div> </a> <ul id="toc-Du_monde_quantique_au_monde_classique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Applications" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Applications"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">13</span> <span>Applications</span> </div> </a> <ul id="toc-Applications-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Notes_et_références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes_et_références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">14</span> <span>Notes et références</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Notes_et_références-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Notes et références</span> </button> <ul id="toc-Notes_et_références-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Notes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Notes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">14.1</span> <span>Notes</span> </div> </a> <ul id="toc-Notes-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Références" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Références"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">14.2</span> <span>Références</span> </div> </a> <ul id="toc-Références-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Annexes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1"> <a class="vector-toc-link" href="#Annexes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15</span> <span>Annexes</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Annexes-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Afficher / masquer la sous-section Annexes</span> </button> <ul id="toc-Annexes-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Bibliographie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliographie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.1</span> <span>Bibliographie</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliographie-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Ouvrages_de_vulgarisation" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Ouvrages_de_vulgarisation"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.1.1</span> <span>Ouvrages de vulgarisation</span> </div> </a> <ul id="toc-Ouvrages_de_vulgarisation-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ouvrages_de_philosophie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Ouvrages_de_philosophie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.1.2</span> <span>Ouvrages de philosophie</span> </div> </a> <ul id="toc-Ouvrages_de_philosophie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ouvrages_d'initiation" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Ouvrages_d'initiation"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.1.3</span> <span>Ouvrages d'initiation</span> </div> </a> <ul id="toc-Ouvrages_d'initiation-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Ouvrages_destinés_à_l'apprentissage_de_la_discipline" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Ouvrages_destinés_à_l'apprentissage_de_la_discipline"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.1.4</span> <span>Ouvrages destinés à l'apprentissage de la discipline</span> </div> </a> <ul id="toc-Ouvrages_destinés_à_l'apprentissage_de_la_discipline-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Prévention_des_abus_d'interprétations" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Prévention_des_abus_d'interprétations"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.1.5</span> <span>Prévention des abus d'interprétations</span> </div> </a> <ul id="toc-Prévention_des_abus_d'interprétations-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Aspects_historiques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Aspects_historiques"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.1.6</span> <span>Aspects historiques</span> </div> </a> <ul id="toc-Aspects_historiques-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Sur_la_décohérence" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Sur_la_décohérence"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.1.7</span> <span>Sur la décohérence</span> </div> </a> <ul id="toc-Sur_la_décohérence-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliothèque_virtuelle" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliothèque_virtuelle"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.1.8</span> <span>Bibliothèque virtuelle</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliothèque_virtuelle-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Cours" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-4"> <a class="vector-toc-link" href="#Cours"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.1.8.1</span> <span>Cours</span> </div> </a> <ul id="toc-Cours-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Lectures_complémentaires" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Lectures_complémentaires"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.1.9</span> <span>Lectures complémentaires</span> </div> </a> <ul id="toc-Lectures_complémentaires-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Articles_connexes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Articles_connexes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.2</span> <span>Articles connexes</span> </div> </a> <ul id="toc-Articles_connexes-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Concepts_fondamentaux" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Concepts_fondamentaux"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.2.1</span> <span>Concepts fondamentaux</span> </div> </a> <ul id="toc-Concepts_fondamentaux-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Interprétation" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Interprétation"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.2.2</span> <span>Interprétation</span> </div> </a> <ul id="toc-Interprétation-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Problèmes,_paradoxes_et_expériences" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Problèmes,_paradoxes_et_expériences"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.2.3</span> <span>Problèmes, paradoxes et expériences</span> </div> </a> <ul id="toc-Problèmes,_paradoxes_et_expériences-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Mathématiques" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Mathématiques"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.2.4</span> <span>Mathématiques</span> </div> </a> <ul id="toc-Mathématiques-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Mécanique_quantique_relativiste" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Mécanique_quantique_relativiste"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.2.5</span> <span>Mécanique quantique relativiste</span> </div> </a> <ul id="toc-Mécanique_quantique_relativiste-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Informatique_quantique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Informatique_quantique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.2.6</span> <span>Informatique quantique</span> </div> </a> <ul id="toc-Informatique_quantique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Vide_quantique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Vide_quantique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.2.7</span> <span>Vide quantique</span> </div> </a> <ul id="toc-Vide_quantique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Divers" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Divers"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.2.8</span> <span>Divers</span> </div> </a> <ul id="toc-Divers-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Liens_externes" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Liens_externes"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.3</span> <span>Liens externes</span> </div> </a> <ul id="toc-Liens_externes-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Sur_la_téléportation_quantique" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Sur_la_téléportation_quantique"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.3.1</span> <span>Sur la téléportation quantique</span> </div> </a> <ul id="toc-Sur_la_téléportation_quantique-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bases_de_données_et_dictionnaires" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-3"> <a class="vector-toc-link" href="#Bases_de_données_et_dictionnaires"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">15.3.2</span> <span>Bases de données et dictionnaires</span> </div> </a> <ul id="toc-Bases_de_données_et_dictionnaires-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Sommaire" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Basculer la table des matières" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled 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Disponible en 135 langues." > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-135" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">135 langues</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Kwantummeganika" title="Kwantummeganika – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Kwantummeganika" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a 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title="میکانیکی کوانتۆم – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="میکانیکی کوانتۆم" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Kvantov%C3%A1_mechanika" title="Kvantová mechanika – tchèque" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Kvantová mechanika" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="tchèque" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BB%D0%B0_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Квантла механика – tchouvache" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Квантла механика" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="tchouvache" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li 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mekaniko" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="espéranto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Mecánica cuántica – espagnol" lang="es" hreflang="es" data-title="Mecánica cuántica" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="espagnol" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Kvantmehaanika" title="Kvantmehaanika – estonien" lang="et" hreflang="et" data-title="Kvantmehaanika" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estonien" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantiko" title="Mekanika kuantiko – basque" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Mekanika kuantiko" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="basque" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ext mw-list-item"><a href="https://ext.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Mecánica cuántica – estrémègne" lang="ext" hreflang="ext" data-title="Mecánica cuántica" data-language-autonym="Estremeñu" data-language-local-name="estrémègne" class="interlanguage-link-target"><span>Estremeñu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9_%DA%A9%D9%88%D8%A7%D9%86%D8%AA%D9%88%D9%85%DB%8C" title="مکانیک کوانتومی – persan" lang="fa" hreflang="fa" data-title="مکانیک کوانتومی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="persan" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Kvanttimekaniikka" title="Kvanttimekaniikka – finnois" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Kvanttimekaniikka" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finnois" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fiu-vro mw-list-item"><a href="https://fiu-vro.wikipedia.org/wiki/Kvantmekaaniga" title="Kvantmekaaniga – võro" lang="vro" hreflang="vro" data-title="Kvantmekaaniga" data-language-autonym="Võro" data-language-local-name="võro" class="interlanguage-link-target"><span>Võro</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Kwantenmechaanik" title="Kwantenmechaanik – frison septentrional" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Kwantenmechaanik" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="frison septentrional" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Meicnic_chandamach" title="Meicnic chandamach – irlandais" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Meicnic chandamach" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gcr mw-list-item"><a href="https://gcr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9kanik_kantik" title="Mékanik kantik – créole guyanais" lang="gcr" hreflang="gcr" data-title="Mékanik kantik" data-language-autonym="Kriyòl gwiyannen" data-language-local-name="créole guyanais" class="interlanguage-link-target"><span>Kriyòl gwiyannen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/Meacanaigs_quantumach" title="Meacanaigs quantumach – gaélique écossais" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Meacanaigs quantumach" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="gaélique écossais" class="interlanguage-link-target"><span>Gàidhlig</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica" title="Mecánica cuántica – galicien" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Mecánica cuántica" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicien" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gn mw-list-item"><a href="https://gn.wikipedia.org/wiki/Mek%C3%A1nika_ku%C3%A1ntika" title="Mekánika kuántika – guarani" lang="gn" hreflang="gn" data-title="Mekánika kuántika" data-language-autonym="Avañe'ẽ" data-language-local-name="guarani" class="interlanguage-link-target"><span>Avañe'ẽ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%9B%D7%A0%D7%99%D7%A7%D7%AA_%D7%94%D7%A7%D7%95%D7%95%D7%A0%D7%98%D7%99%D7%9D" title="מכניקת הקוונטים – hébreu" lang="he" hreflang="he" data-title="מכניקת הקוונטים" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hébreu" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BE_%E0%A4%AF%E0%A4%BE%E0%A4%A8%E0%A5%8D%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80" title="प्रमात्रा यान्त्रिकी – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="प्रमात्रा यान्त्रिकी" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hif mw-list-item"><a href="https://hif.wikipedia.org/wiki/Quantum_mechanics" title="Quantum mechanics – hindi fidjien" lang="hif" hreflang="hif" data-title="Quantum mechanics" data-language-autonym="Fiji Hindi" data-language-local-name="hindi fidjien" class="interlanguage-link-target"><span>Fiji Hindi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Kvantna_mehanika" title="Kvantna mehanika – croate" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Kvantna mehanika" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croate" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Kvantummechanika" title="Kvantummechanika – hongrois" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Kvantummechanika" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="hongrois" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%94%D5%BE%D5%A1%D5%B6%D5%BF%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%B4%D5%A5%D5%AD%D5%A1%D5%B6%D5%AB%D5%AF%D5%A1" title="Քվանտային մեխանիկա – arménien" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Քվանտային մեխանիկա" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="arménien" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hyw mw-list-item"><a href="https://hyw.wikipedia.org/wiki/%D5%94%D5%B8%D6%82%D5%A1%D5%B6%D5%BF%D5%A1%D5%B5%D5%AB%D5%B6_%D5%B4%D5%A5%D5%A3%D5%A1%D5%B6%D5%AB%D5%AF" title="Քուանտային մեգանիկ – arménien occidental" lang="hyw" hreflang="hyw" data-title="Քուանտային մեգանիկ" data-language-autonym="Արեւմտահայերէն" data-language-local-name="arménien occidental" class="interlanguage-link-target"><span>Արեւմտահայերէն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Mechanica_quantic" title="Mechanica quantic – interlingua" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Mechanica quantic" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="interlingua" class="interlanguage-link-target"><span>Interlingua</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantum" title="Mekanika kuantum – indonésien" lang="id" hreflang="id" data-title="Mekanika kuantum" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésien" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ig mw-list-item"><a href="https://ig.wikipedia.org/wiki/Quantum_mechanics" title="Quantum mechanics – igbo" lang="ig" hreflang="ig" data-title="Quantum mechanics" data-language-autonym="Igbo" data-language-local-name="igbo" class="interlanguage-link-target"><span>Igbo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Quantumala_mekaniko" title="Quantumala mekaniko – ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Quantumala mekaniko" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Skammtafr%C3%A6%C3%B0i" title="Skammtafræði – islandais" lang="is" hreflang="is" data-title="Skammtafræði" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandais" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Meccanica_quantistica" title="Meccanica quantistica – italien" lang="it" hreflang="it" data-title="Meccanica quantistica" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italien" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="量子力学 – japonais" lang="ja" hreflang="ja" data-title="量子力学" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonais" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-jam mw-list-item"><a href="https://jam.wikipedia.org/wiki/Kuantom_mikianix" title="Kuantom mikianix – créole jamaïcain" lang="jam" hreflang="jam" data-title="Kuantom mikianix" data-language-autonym="Patois" data-language-local-name="créole jamaïcain" class="interlanguage-link-target"><span>Patois</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%99%E1%83%95%E1%83%90%E1%83%9C%E1%83%A2%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98_%E1%83%9B%E1%83%94%E1%83%A5%E1%83%90%E1%83%9C%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%90" title="კვანტური მექანიკა – géorgien" lang="ka" hreflang="ka" data-title="კვანტური მექანიკა" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="géorgien" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kaa mw-list-item"><a href="https://kaa.wikipedia.org/wiki/Kvant_mexanika" title="Kvant mexanika – karakalpak" lang="kaa" hreflang="kaa" data-title="Kvant mexanika" data-language-autonym="Qaraqalpaqsha" data-language-local-name="karakalpak" class="interlanguage-link-target"><span>Qaraqalpaqsha</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kbp mw-list-item"><a href="https://kbp.wikipedia.org/wiki/%C3%91%CA%8B%C5%8B_ho%C9%96e" title="Ñʋŋ hoɖe – Kabiye" lang="kbp" hreflang="kbp" data-title="Ñʋŋ hoɖe" data-language-autonym="Kabɩyɛ" data-language-local-name="Kabiye" class="interlanguage-link-target"><span>Kabɩyɛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D1%82%D1%8B%D2%9B_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Кванттық механика – kazakh" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Кванттық механика" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazakh" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%95%E0%B3%8D%E0%B2%B5%E0%B2%BE%E0%B2%82%E0%B2%9F%E0%B2%AE%E0%B3%8D_%E0%B2%AD%E0%B3%8C%E0%B2%A4%E0%B2%B6%E0%B2%BE%E0%B2%B8%E0%B3%8D%E0%B2%A4%E0%B3%8D%E0%B2%B0" title="ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ – kannada" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="kannada" class="interlanguage-link-target"><span>ಕನ್ನಡ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%96%91%EC%9E%90%EC%97%AD%ED%95%99" title="양자역학 – coréen" lang="ko" hreflang="ko" data-title="양자역학" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coréen" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D1%82%D1%8B%D0%BA_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Кванттык механика – kirghize" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Кванттык механика" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="kirghize" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Mechanica_quantica" title="Mechanica quantica – latin" lang="la" hreflang="la" data-title="Mechanica quantica" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latin" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-li mw-list-item"><a href="https://li.wikipedia.org/wiki/Kwantummechanica" title="Kwantummechanica – limbourgeois" lang="li" hreflang="li" data-title="Kwantummechanica" data-language-autonym="Limburgs" data-language-local-name="limbourgeois" class="interlanguage-link-target"><span>Limburgs</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A0nega_quant%C3%ACstega" title="Mecànega quantìstega – lombard" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Mecànega quantìstega" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombard" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Kvantin%C4%97_mechanika" title="Kvantinė mechanika – lituanien" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Kvantinė mechanika" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="lituanien" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Kvantu_meh%C4%81nika" title="Kvantu mehānika – letton" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Kvantu mehānika" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="letton" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Квантна механика – macédonien" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Квантна механика" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macédonien" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%B5%E0%B4%BE%E0%B4%A3%E0%B5%8D%E0%B4%9F%E0%B4%82_%E0%B4%AC%E0%B4%B2%E0%B4%A4%E0%B4%A8%E0%B5%8D%E0%B4%A4%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%82" title="ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രം – malayalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ക്വാണ്ടം ബലതന്ത്രം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malayalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA" title="Квант механик – mongol" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Квант механик" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongol" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%81%E0%A4%82%E0%A4%9C_%E0%A4%AF%E0%A4%BE%E0%A4%AE%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80" title="पुंज यामिकी – marathi" lang="mr" hreflang="mr" data-title="पुंज यामिकी" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="marathi" class="interlanguage-link-target"><span>मराठी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Mekanik_kuantum" title="Mekanik kuantum – malais" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Mekanik kuantum" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malais" 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href="https://mzn.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D9%88%D8%A7%D9%86%D8%AA%D9%88%D9%85%DB%8C_%D9%81%DB%8C%D8%B2%DB%8C%DA%A9" title="کوانتومی فیزیک – mazandérani" lang="mzn" hreflang="mzn" data-title="کوانتومی فیزیک" data-language-autonym="مازِرونی" data-language-local-name="mazandérani" class="interlanguage-link-target"><span>مازِرونی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Quantenmechanik" title="Quantenmechanik – bas-allemand" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Quantenmechanik" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="bas-allemand" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ne mw-list-item"><a href="https://ne.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BE_%E0%A4%AF%E0%A4%BE%E0%A4%A8%E0%A5%8D%E0%A4%A4%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%80" title="प्रमात्रा यान्त्रिकी – népalais" lang="ne" hreflang="ne" data-title="प्रमात्रा यान्त्रिकी" data-language-autonym="नेपाली" data-language-local-name="népalais" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाली</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-new mw-list-item"><a href="https://new.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B5%E0%A4%BE%E0%A4%A8%E0%A5%8D%E0%A4%9F%E0%A4%AE_%E0%A4%AE%E0%A5%87%E0%A4%95%E0%A4%BE%E0%A4%A8%E0%A4%BF%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B8%E0%A5%8D" title="क्वान्टम मेकानिक्स् – newari" lang="new" hreflang="new" data-title="क्वान्टम मेकानिक्स्" data-language-autonym="नेपाल भाषा" data-language-local-name="newari" class="interlanguage-link-target"><span>नेपाल भाषा</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Kwantummechanica" title="Kwantummechanica – néerlandais" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Kwantummechanica" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="néerlandais" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Kvantemekanikk" title="Kvantemekanikk – norvégien nynorsk" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Kvantemekanikk" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norvégien nynorsk" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Kvantemekanikk" title="Kvantemekanikk – norvégien bokmål" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Kvantemekanikk" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norvégien bokmål" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Mecanica_quantica" title="Mecanica quantica – occitan" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Mecanica quantica" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="occitan" class="interlanguage-link-target"><span>Occitan</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%95%E0%A9%81%E0%A8%86%E0%A8%82%E0%A8%9F%E0%A8%AE_%E0%A8%AE%E0%A8%95%E0%A9%88%E0%A8%A8%E0%A8%BF%E0%A8%95%E0%A8%B8" title="ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ – pendjabi" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="pendjabi" class="interlanguage-link-target"><span>ਪੰਜਾਬੀ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Mechanika_kwantowa" title="Mechanika kwantowa – polonais" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Mechanika kwantowa" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polonais" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A0nica_qu%C3%A0ntica" title="Mecànica quàntica – piémontais" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Mecànica quàntica" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piémontais" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pnb mw-list-item"><a href="https://pnb.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D9%88%D8%A7%D9%86%D9%B9%D9%85_%D9%85%DA%A9%DB%8C%D9%86%DA%A9%D8%B3" title="کوانٹم مکینکس – Western Punjabi" lang="pnb" hreflang="pnb" data-title="کوانٹم مکینکس" data-language-autonym="پنجابی" data-language-local-name="Western Punjabi" class="interlanguage-link-target"><span>پنجابی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ps mw-list-item"><a href="https://ps.wikipedia.org/wiki/%DA%A9%D9%88%D8%A7%D9%86%D9%BC%D9%88%D9%85_%D9%85%DB%8C%D8%AE%D8%A7%D9%86%DB%8C%DA%A9" title="کوانټوم میخانیک – pachto" lang="ps" hreflang="ps" data-title="کوانټوم میخانیک" data-language-autonym="پښتو" data-language-local-name="pachto" class="interlanguage-link-target"><span>پښتو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_qu%C3%A2ntica" title="Mecânica quântica – portugais" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Mecânica quântica" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugais" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Mecanic%C4%83_cuantic%C4%83" title="Mecanică cuantică – roumain" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Mecanică cuantică" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="roumain" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="bon article"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Квантовая механика – russe" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Квантовая механика" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="russe" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-rue mw-list-item"><a href="https://rue.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%BA%D0%B0" title="Квантова механіка – ruthène" lang="rue" hreflang="rue" data-title="Квантова механіка" data-language-autonym="Русиньскый" data-language-local-name="ruthène" class="interlanguage-link-target"><span>Русиньскый</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%B9_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Квантовай физика – iakoute" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Квантовай физика" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="iakoute" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Micc%C3%A0nica_quant%C3%ACstica" title="Miccànica quantìstica – sicilien" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Miccànica quantìstica" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sicilien" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sco mw-list-item"><a href="https://sco.wikipedia.org/wiki/Quantum_mechanics" title="Quantum mechanics – écossais" lang="sco" hreflang="sco" data-title="Quantum mechanics" data-language-autonym="Scots" data-language-local-name="écossais" class="interlanguage-link-target"><span>Scots</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sd mw-list-item"><a href="https://sd.wikipedia.org/wiki/%DA%AA%D9%88%D8%A7%D9%86%D9%BD%D9%85_%D9%85%DA%AA%D9%8A%D9%86%DA%AA%D8%B3" title="ڪوانٽم مڪينڪس – sindhi" lang="sd" hreflang="sd" data-title="ڪوانٽم مڪينڪس" data-language-autonym="سنڌي" data-language-local-name="sindhi" class="interlanguage-link-target"><span>سنڌي</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Kvantna_mehanika" title="Kvantna mehanika – serbo-croate" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Kvantna mehanika" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbo-croate" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-shi mw-list-item"><a href="https://shi.wikipedia.org/wiki/Tamikanikt_tasmktant" title="Tamikanikt tasmktant – chleuh" lang="shi" hreflang="shi" data-title="Tamikanikt tasmktant" data-language-autonym="Taclḥit" data-language-local-name="chleuh" class="interlanguage-link-target"><span>Taclḥit</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%9A%E0%B7%8A%E0%B7%80%E0%B7%9C%E0%B6%B1%E0%B7%8A%E0%B6%A7%E0%B6%B8%E0%B7%8A_%E0%B6%BA%E0%B7%8F%E0%B6%B1%E0%B7%8A%E0%B6%AD%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BB_%E0%B7%80%E0%B7%92%E0%B6%AF%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B7%8F%E2%80%8D%E0%B7%80" title="ක්වොන්ටම් යාන්ත්‍ර විද්‍යා‍ව – cingalais" lang="si" hreflang="si" data-title="ක්වොන්ටම් යාන්ත්‍ර විද්‍යා‍ව" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="cingalais" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Quantum_mechanics" title="Quantum mechanics – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Quantum mechanics" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Kvantov%C3%A1_mechanika" title="Kvantová mechanika – slovaque" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Kvantová mechanika" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="slovaque" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Kvantna_mehanika" title="Kvantna mehanika – slovène" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Kvantna mehanika" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="slovène" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kuantike" title="Mekanika kuantike – albanais" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Mekanika kuantike" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albanais" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Квантна механика – serbe" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Квантна механика" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbe" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9kanika_kuantum" title="Mékanika kuantum – soundanais" lang="su" hreflang="su" data-title="Mékanika kuantum" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="soundanais" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Kvantmekanik" title="Kvantmekanik – suédois" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Kvantmekanik" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="suédois" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sw mw-list-item"><a href="https://sw.wikipedia.org/wiki/Umakanika_kwanta" title="Umakanika kwanta – swahili" lang="sw" hreflang="sw" data-title="Umakanika kwanta" data-language-autonym="Kiswahili" data-language-local-name="swahili" class="interlanguage-link-target"><span>Kiswahili</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/Kwantow%C5%8F_mechanika" title="Kwantowŏ mechanika – silésien" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Kwantowŏ mechanika" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="silésien" class="interlanguage-link-target"><span>Ślůnski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%95%E0%AF%81%E0%AE%B5%E0%AE%BE%E0%AE%A3%E0%AF%8D%E0%AE%9F%E0%AE%AE%E0%AF%8D_%E0%AE%87%E0%AE%AF%E0%AE%99%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AE%BF%E0%AE%AF%E0%AE%B2%E0%AF%8D" title="குவாண்டம் இயங்கியல் – tamoul" lang="ta" hreflang="ta" data-title="குவாண்டம் இயங்கியல்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamoul" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-te mw-list-item"><a href="https://te.wikipedia.org/wiki/%E0%B0%95%E0%B1%8D%E0%B0%B5%E0%B0%BE%E0%B0%82%E0%B0%9F%E0%B0%82_%E0%B0%AF%E0%B0%BE%E0%B0%82%E0%B0%A4%E0%B1%8D%E0%B0%B0%E0%B0%BF%E0%B0%95_%E0%B0%B6%E0%B0%BE%E0%B0%B8%E0%B1%8D%E0%B0%A4%E0%B1%8D%E0%B0%B0%E0%B0%82" title="క్వాంటం యాంత్రిక శాస్త్రం – télougou" lang="te" hreflang="te" data-title="క్వాంటం యాంత్రిక శాస్త్రం" data-language-autonym="తెలుగు" data-language-local-name="télougou" class="interlanguage-link-target"><span>తెలుగు</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tg mw-list-item"><a href="https://tg.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%B8_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D3%A3" title="Механикаи квантӣ – tadjik" lang="tg" hreflang="tg" data-title="Механикаи квантӣ" data-language-autonym="Тоҷикӣ" data-language-local-name="tadjik" class="interlanguage-link-target"><span>Тоҷикӣ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%81%E0%B8%A5%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%AD%E0%B8%99%E0%B8%95%E0%B8%B1%E0%B8%A1" title="กลศาสตร์ควอนตัม – thaï" lang="th" hreflang="th" data-title="กลศาสตร์ควอนตัม" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="thaï" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Mekanikang_quantum" title="Mekanikang quantum – tagalog" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Mekanikang quantum" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalog" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Kuantum_mekani%C4%9Fi" title="Kuantum mekaniği – turc" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Kuantum mekaniği" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turc" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%81%D1%8B" title="Квант механикасы – tatar" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Квант механикасы" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="tatar" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="article de qualité"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D1%96%D0%BA%D0%B0" title="Квантова механіка – ukrainien" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Квантова механіка" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukrainien" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D8%AF%D8%B1%DB%8C_%D9%85%DB%8C%DA%A9%D8%A7%D9%86%DB%8C%D8%A7%D8%AA" title="قدری میکانیات – ourdou" lang="ur" hreflang="ur" data-title="قدری میکانیات" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="ourdou" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Kvant_mexanika" title="Kvant mexanika – ouzbek" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Kvant mexanika" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="ouzbek" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vec mw-list-item"><a href="https://vec.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A0nega_cuant%C3%ACstega" title="Mecànega cuantìstega – vénitien" lang="vec" hreflang="vec" data-title="Mecànega cuantìstega" data-language-autonym="Vèneto" data-language-local-name="vénitien" class="interlanguage-link-target"><span>Vèneto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vep mw-list-item"><a href="https://vep.wikipedia.org/wiki/Kvantmehanik" title="Kvantmehanik – vepse" lang="vep" hreflang="vep" data-title="Kvantmehanik" data-language-autonym="Vepsän kel’" data-language-local-name="vepse" class="interlanguage-link-target"><span>Vepsän kel’</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/C%C6%A1_h%E1%BB%8Dc_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_t%E1%BB%AD" title="Cơ học lượng tử – vietnamien" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Cơ học lượng tử" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamien" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-war mw-list-item"><a href="https://war.wikipedia.org/wiki/Mekanika_kwantum" title="Mekanika kwantum – waray" lang="war" hreflang="war" data-title="Mekanika kwantum" data-language-autonym="Winaray" data-language-local-name="waray" class="interlanguage-link-target"><span>Winaray</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="量子力学 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="量子力学" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%A7%D7%95%D7%95%D7%90%D7%A0%D7%98%D7%9F-%D7%9E%D7%A2%D7%9B%D7%90%D7%A0%D7%99%D7%A7" title="קוואנטן-מעכאניק – yiddish" lang="yi" hreflang="yi" data-title="קוואנטן-מעכאניק" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="yiddish" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="bon article"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6" title="量子力学 – chinois" lang="zh" hreflang="zh" data-title="量子力学" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinois" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%B8" title="量子力學 – chinois littéraire" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="量子力學" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="chinois littéraire" class="interlanguage-link-target"><span>文言</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Li%C5%8Dng-ch%C3%BA_le%CC%8Dk-ha%CC%8Dk" title="Liōng-chú le̍k-ha̍k – minnan" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Liōng-chú le̍k-ha̍k" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnan" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%B8" title="量子力學 – cantonais" lang="yue" hreflang="yue" data-title="量子力學" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonais" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zu mw-list-item"><a href="https://zu.wikipedia.org/wiki/Ukuguxazela_kohoyana" title="Ukuguxazela kohoyana – zoulou" lang="zu" hreflang="zu" data-title="Ukuguxazela kohoyana" data-language-autonym="IsiZulu" data-language-local-name="zoulou" class="interlanguage-link-target"><span>IsiZulu</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q944#sitelinks-wikipedia" title="Modifier les liens interlangues" class="wbc-editpage">Modifier les liens</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Espaces de noms"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/M%C3%A9canique_quantique" title="Voir le contenu de la page [c]" 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</div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Outils de la page"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Apparence"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Apparence</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" 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alt="Page d’aide sur l’homonymie" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/20px-Logo_disambig.svg.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/30px-Logo_disambig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/Logo_disambig.svg/40px-Logo_disambig.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="375" /></a></span></div><div class="bandeau-cell" style="display:table-cell;padding-right:0.5em"> <p>Pour les articles homonymes, voir <a href="/wiki/Quantique" class="mw-disambig" title="Quantique">Quantique</a>. </p> </div></div> <div class="infobox_v3 infobox infobox--frwiki noarchive large"><div class="entete" style="background-color:#2B4B8D;color:#FFF"><div>Mécanique quantique</div></div><div><div class="images" style="padding:2px 0"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File/Frameless"><a href="/wiki/Fichier:Solvay_conference_1927.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6e/Solvay_conference_1927.jpg/260px-Solvay_conference_1927.jpg" decoding="async" width="260" height="188" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6e/Solvay_conference_1927.jpg/390px-Solvay_conference_1927.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6e/Solvay_conference_1927.jpg/520px-Solvay_conference_1927.jpg 2x" data-file-width="3000" data-file-height="2171" /></a></span></div><div class="legend">Le <a href="/wiki/Congr%C3%A8s_Solvay" title="Congrès Solvay">congrès Solvay</a> de 1927 à <a href="/wiki/Bruxelles" title="Bruxelles">Bruxelles</a> a réuni des physiciens connus de l'époque, au nombre desquels figurent la plupart des fondateurs de la mécanique quantique. De l'arrière vers l'avant et de gauche à droite : <a href="/wiki/Auguste_Piccard" title="Auguste Piccard">Auguste Piccard</a>, <a href="/wiki/%C3%89mile_Henriot_(chimiste)" title="Émile Henriot (chimiste)">Émile Henriot</a>, <a href="/wiki/Paul_Ehrenfest" title="Paul Ehrenfest">Paul Ehrenfest</a>, <a href="/wiki/%C3%89douard_Herzen" title="Édouard Herzen">Édouard Herzen</a>, <a href="/wiki/Th%C3%A9ophile_de_Donder" title="Théophile de Donder">Théophile de Donder</a>, <a href="/wiki/Erwin_Schr%C3%B6dinger" title="Erwin Schrödinger">Erwin Schrödinger</a>, <a href="/wiki/Jules-%C3%89mile_Verschaffelt" title="Jules-Émile Verschaffelt">Jules-Émile Verschaffelt</a>, <a href="/wiki/Wolfgang_Pauli" title="Wolfgang Pauli">Wolfgang Pauli</a>, <a href="/wiki/Werner_Heisenberg" title="Werner Heisenberg">Werner Heisenberg</a>, <a href="/wiki/Ralph_H._Fowler" title="Ralph H. Fowler">Ralph H. Fowler</a>, <a href="/wiki/L%C3%A9on_Brillouin" title="Léon Brillouin">Léon Brillouin</a>, <a href="/wiki/Peter_Debye" title="Peter Debye">Peter Debye</a>, <a href="/wiki/Martin_Knudsen" title="Martin Knudsen">Martin Knudsen</a>, <a href="/wiki/William_Lawrence_Bragg" title="William Lawrence Bragg">William Lawrence Bragg</a>, <a href="/wiki/Hendrik_Anthony_Kramers" title="Hendrik Anthony Kramers">Hendrik Anthony Kramers</a>, <a href="/wiki/Paul_Dirac" title="Paul Dirac">Paul Dirac</a>, <a href="/wiki/Arthur_Compton" title="Arthur Compton">Arthur Compton</a>, <a href="/wiki/Louis_de_Broglie" title="Louis de Broglie">Louis de Broglie</a>, <a href="/wiki/Max_Born" title="Max Born">Max Born</a>, <a href="/wiki/Niels_Bohr" title="Niels Bohr">Niels Bohr</a>, <a href="/wiki/Irving_Langmuir" title="Irving Langmuir">Irving Langmuir</a>, <a href="/wiki/Max_Planck" title="Max Planck">Max Planck</a>, <a href="/wiki/Marie_Curie" title="Marie Curie">Marie Curie</a> (<a href="/wiki/Liste_de_femmes_scientifiques" title="Liste de femmes scientifiques">seule femme</a>), <a href="/wiki/Hendrik_Antoon_Lorentz" class="mw-redirect" title="Hendrik Antoon Lorentz">Hendrik Antoon Lorentz</a>, <a href="/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a>, <a href="/wiki/Paul_Langevin" title="Paul Langevin">Paul Langevin</a>, <a href="/wiki/Charles-Eug%C3%A8ne_Guye" title="Charles-Eugène Guye">Charles-Eugène Guye</a>, <a href="/wiki/Charles_Thomson_Rees_Wilson" title="Charles Thomson Rees Wilson">Charles Thomson Rees Wilson</a>, <a href="/wiki/Owen_Willans_Richardson" title="Owen Willans Richardson">Owen Willans Richardson</a>.</div></div><table><tbody><tr class=""><th scope="row">Partie de</th><td class=""><div> <span class="wd_p279"><a href="/wiki/M%C3%A9canique_(science)" title="Mécanique (science)">Mécanique</a><span class="noprint wikidata-linkback skin-invert"><span class="mw-valign-baseline noviewer" typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q944?uselang=fr#P279" title="Voir et modifier les données sur Wikidata"><img alt="Voir et modifier les données sur Wikidata" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/15px-Blue_pencil.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/20px-Blue_pencil.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a></span></span></span></div></td></tr><tr class=""><th scope="row">Pratiqué par</th><td class=""><div> <span class="wd_p3095">Quantum theoretician <small>(<a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q114964328" class="extiw" title="d:Q114964328"><span class="indicateur-langue" title="Voir l'élément Wikidata correspondant">d</span></a>)</small><span class="noprint wikidata-linkback skin-invert"><span class="mw-valign-baseline noviewer" typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q944?uselang=fr#P3095" title="Voir et modifier les données sur Wikidata"><img alt="Voir et modifier les données sur Wikidata" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/15px-Blue_pencil.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/20px-Blue_pencil.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a></span></span></span></div></td></tr><tr class=""><th scope="row">Histoire</th><td class=""><div> <span class="wd_p2184"><a href="/wiki/Histoire_de_la_m%C3%A9canique_quantique" title="Histoire de la mécanique quantique">Histoire de la mécanique quantique</a><span class="noprint wikidata-linkback skin-invert"><span class="mw-valign-baseline noviewer" typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q944?uselang=fr#P2184" title="Voir et modifier les données sur Wikidata"><img alt="Voir et modifier les données sur Wikidata" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/15px-Blue_pencil.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/20px-Blue_pencil.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a></span></span></span></div></td></tr></tbody></table><p class="navbar noprint bordered navigation-not-searchable" style="border-top:1px solid #2B4B8D"><span class="plainlinks" style="text-align:left"><a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=0">modifier</a> - <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=0">modifier le code</a> - <a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q944" class="extiw" title="d:Q944">modifier Wikidata</a></span><span style="text-align:right"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Infobox_Discipline" title="Documentation du modèle"><img alt="Documentation du modèle" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/12px-Info_Simple.svg.png" decoding="async" width="12" height="12" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/18px-Info_Simple.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Info_Simple.svg/24px-Info_Simple.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></span></p></div> <p>La <b>mécanique quantique</b> est la branche de la <a href="/wiki/Physique_th%C3%A9orique" title="Physique théorique">physique théorique</a> qui a succédé à la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_quanta" title="Théorie des quanta">théorie des quanta</a> et à la <a href="/wiki/M%C3%A9canique_ondulatoire" title="Mécanique ondulatoire">mécanique ondulatoire</a> pour étudier et décrire les phénomènes fondamentaux à l'œuvre dans les <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_physique" title="Système physique">systèmes physiques</a>, plus particulièrement à l'échelle <a href="/wiki/Atome" title="Atome">atomique</a> et <a href="/wiki/Particule_subatomique" title="Particule subatomique">subatomique</a>. </p><p>Elle fut développée dans les <a href="/wiki/Ann%C3%A9es_1920" title="Années 1920">années 1920</a> par une dizaine de physiciens européens, pour résoudre des problèmes que la <a href="/wiki/Physique_classique" title="Physique classique">physique classique</a> échouait à expliquer, comme le <a href="/wiki/Rayonnement_du_corps_noir" title="Rayonnement du corps noir">rayonnement du corps noir</a>, l'<a href="/wiki/Effet_photo%C3%A9lectrique" title="Effet photoélectrique">effet photoélectrique</a>, ou l'existence des <a href="/wiki/Raies_spectrales" class="mw-redirect" title="Raies spectrales">raies spectrales</a>. Elle se montra féconde en résultats et en applications diverses : elle permit notamment d'élucider le mystère de la structure de l'<a href="/wiki/Atome" title="Atome">atome</a> et, plus globalement, elle s'avéra être le cadre général de description du comportement des <a href="/wiki/Particule_%C3%A9l%C3%A9mentaire" title="Particule élémentaire">particules élémentaires</a>, jusqu'à constituer le socle de la physique moderne. </p><p>La mécanique quantique comporte de profondes difficultés conceptuelles. Si son formalisme mathématique est d'une efficacité inégalée<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite_crochet">[</span>note 1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, son interprétation ne fait pas l'unanimité dans la communauté scientifique<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite_crochet">[</span>1<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Parmi ses concepts, on peut citer la <a href="/wiki/Dualit%C3%A9_onde_corpuscule" class="mw-redirect" title="Dualité onde corpuscule">dualité onde corpuscule</a>, la <a href="/wiki/Principe_de_superposition_quantique" title="Principe de superposition quantique">superposition quantique</a>, l'<a href="/wiki/Intrication_quantique" title="Intrication quantique">intrication quantique</a> ou encore la <a href="/wiki/Principe_de_localit%C3%A9_(physique)" title="Principe de localité (physique)">non-localité</a>. </p><p>L'expression <a href="/wiki/Physique_quantique" title="Physique quantique">physique quantique</a> désigne le corpus théorique plus étendu qui s'appuie sur la mécanique quantique pour décrire un ensemble plus vaste de phénomènes, dont les <a href="/wiki/Mod%C3%A8le_standard_(physique_des_particules)" class="mw-redirect" title="Modèle standard (physique des particules)">interactions fondamentales dans le modèle standard</a>. </p><p>Un quantomécanicien est un spécialiste de mécanique quantique et un quantochimiste un spécialiste de <a href="/wiki/Chimie_quantique" title="Chimie quantique">chimie quantique</a><sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite_crochet">[</span>2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Panorama_général"><span id="Panorama_g.C3.A9n.C3.A9ral"></span>Panorama général</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=1" title="Modifier la section : Panorama général" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=1" title="Modifier le code source de la section : Panorama général"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Introduction_%C3%A0_la_m%C3%A9canique_quantique" title="Introduction à la mécanique quantique">Introduction à la mécanique quantique</a>.</div></div> <p>Globalement, la mécanique quantique se démarque de la physique classique par deux aspects : des règles différentes quant à l'additivité des <a href="/wiki/Probabilit%C3%A9" title="Probabilité">probabilités</a><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite_crochet">[</span>3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, et l'existence de grandeurs physiques ne pouvant se manifester que par multiples de quantités fixes, appelés quanta, qui donnent leur nom à la théorie. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lois_de_probabilités"><span id="Lois_de_probabilit.C3.A9s"></span>Lois de probabilités</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=2" title="Modifier la section : Lois de probabilités" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=2" title="Modifier le code source de la section : Lois de probabilités"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dans la conception classique des lois de probabilité, lorsqu'un événement peut se produire de deux façons différentes incompatibles l'une avec l'autre, les probabilités s'additionnent. Tel n'est pas le cas en mécanique quantique, où la probabilité d'un évènement est liée à une <a href="/wiki/Amplitude_de_probabilit%C3%A9" title="Amplitude de probabilité">amplitude de probabilité</a> susceptible d'<a href="/wiki/Interf%C3%A9rence" title="Interférence">interférer</a>, y compris de façon destructive. </p><p>Cette propriété est illustrée par l'expérience des <a href="/wiki/Fentes_de_Young" title="Fentes de Young">fentes de Young</a>, considérée notamment par <a href="/wiki/Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard Feynman</a> comme la plus emblématique du comportement quantique de la matière. Dans son cours de mécanique quantique, Feynman consacre un long chapitre à son analyse détaillée. Cette expérience illustre aussi le concept de <a href="/wiki/Dualit%C3%A9_onde-corpuscule" title="Dualité onde-corpuscule">dualité onde-corpuscule</a>, à la base de l'interprétation standard de la théorie. </p><p>On considère actuellement qu'aux échelles macroscopiques, l'apparente non-observation de ce comportement probabiliste s'explique par un phénomène appelé <a href="/wiki/D%C3%A9coh%C3%A9rence" class="mw-redirect" title="Décohérence">décohérence</a>. Cependant d'autres explications existent, mais aucune ne fait l'unanimité : elles relèvent essentiellement de différences dans l'<a href="#Interprétation">interprétation de la mécanique quantique</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Existence_des_quanta">Existence des quanta</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=3" title="Modifier la section : Existence des quanta" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=3" title="Modifier le code source de la section : Existence des quanta"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La mécanique quantique tire son nom de l'existence de grandeurs ne pouvant se manifester que par multiples de quantités fixes, souvent liées à la <a href="/wiki/Constante_de_Planck" title="Constante de Planck">constante</a>, découverte par <a href="/wiki/Max_Planck" title="Max Planck">Max Planck</a>. Ces grandeurs sont par exemple l'<a href="/wiki/%C3%89nergie_(physique)" title="Énergie (physique)">énergie</a> ou le <a href="/wiki/Moment_cin%C3%A9tique" title="Moment cinétique">moment cinétique</a> des particules. </p><p>L'illustration la plus manifeste et la plus riche en conséquences de ce phénomène se trouve probablement dans la structure de l'atome et plus précisément dans l'organisation des <a href="/wiki/%C3%89lectron" title="Électron">électrons</a> autour du noyau. En effet, les électrons se répartissent en occupant les places laissées libres par les valeurs possibles des <a href="/wiki/Nombre_quantique" title="Nombre quantique">nombres quantiques</a> liés à leur énergie et leur moment cinétique. Cette organisation permet d'expliquer le comportement chimique et spectroscopique des <a href="/wiki/%C3%89l%C3%A9ment_chimique" title="Élément chimique">éléments naturels</a>. </p><p>L'existence des quanta n'est pas une propriété fondamentale de la mécanique quantique, car elle peut être démontrée à partir d'autres considérations, notamment relatives à la règle sur l'additivité des probabilités mentionnée plus haut. Cependant, elle constitue certainement l'un des aspects les plus caractéristiques de la mécanique quantique, car c'est elle qui se manifeste le plus aisément dans les équations, et c'est historiquement par cet aspect que la mécanique quantique fut découverte. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Histoire">Histoire</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=4" title="Modifier la section : Histoire" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=4" title="Modifier le code source de la section : Histoire"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Histoire_de_la_m%C3%A9canique_quantique" title="Histoire de la mécanique quantique">Histoire de la mécanique quantique</a>.</div></div> <p>C'est incontestablement la résolution du problème du <a href="/wiki/Rayonnement_du_corps_noir" title="Rayonnement du corps noir">rayonnement du corps noir</a> qui a marqué le début de la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_quantique" class="mw-redirect" title="Théorie quantique">théorie quantique</a>. Au début du <abbr class="abbr" title="20ᵉ siècle"><span class="romain">XX</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle, <a href="/wiki/Max_Planck" title="Max Planck">Max Planck</a> résout en effet ce problème en prenant l'hypothèse que l'énergie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"></span> des atomes ne peut s'échanger que par multiples d'une quantité particulière, proportionnelle à la fréquence <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ν</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.232ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \nu }"></span> du rayonnement et à une nouvelle constante <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"></span> appelée depuis <a href="/wiki/Constante_de_Planck" title="Constante de Planck">constante de Planck</a> et reconnue par la suite comme l'une des quatre <a href="/wiki/Constante_fondamentale" title="Constante fondamentale">constantes fondamentales</a> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=h\nu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mi>ν</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=h\nu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6c0386dc6d9530519404f95570fcc8548ed2326" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.445ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E=h\nu }"></span></dd></dl> <p>Cette idée de grandeurs énergétiques ne pouvant s'échanger que de façon discrète inspirera alors de nombreux physiciens, comme <a href="/wiki/Niels_Bohr" title="Niels Bohr">Niels Bohr</a>, qui s'en serviront notamment pour développer un modèle de la structure de l'atome. Plus généralement, ce fut le début de ce qu'on appela la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_quanta" title="Théorie des quanta">théorie des quanta</a>. </p><p>Peu de temps après la découverte de Planck, <a href="/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Albert Einstein</a>, à la suite notamment de son analyse de l'<a href="/wiki/Effet_photo-%C3%A9lectrique" class="mw-redirect" title="Effet photo-électrique">effet photo-électrique</a>, suggère que la quantité <i>h</i>ν est l'énergie d'une particule électromagnétique qui sera plus tard appelée <a href="/wiki/Photon" title="Photon">photon</a>. Cette réintroduction<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite_crochet">[</span>note 2<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> d'une conception corpusculaire de la lumière va inciter <a href="/wiki/Louis_de_Broglie" title="Louis de Broglie">Louis de Broglie</a> à proposer une relation analogue à celle de Planck, mais pour la quantité de mouvement : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}={\frac {h}{2\pi }}{\vec {k}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}={\frac {h}{2\pi }}{\vec {k}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee649c6a517b5f0ad57c19d78a414c49f57026e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; margin-left: -0.089ex; width:14.671ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}={\frac {h}{2\pi }}{\vec {k}}}"></span></dd></dl> <p>où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {k}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {k}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ccd4b98d198d6538010ae815ee1199baabd3493" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {k}}}"></span> est un <a href="/wiki/Vecteur_d%27onde" title="Vecteur d'onde">vecteur d'onde</a>. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }"></span> est la constante de Planck dite <a href="/wiki/Constante_de_Planck_r%C3%A9duite" class="mw-redirect" title="Constante de Planck réduite">réduite</a>. </p><p>Ce faisant, il est l'instigateur de la <a href="/wiki/Dualit%C3%A9_onde_corpuscule" class="mw-redirect" title="Dualité onde corpuscule">dualité onde corpuscule</a> qui incitera certains physiciens à rechercher une description ondulatoire de la matière. Parmi ceux-ci, <a href="/wiki/Erwin_Schr%C3%B6dinger" title="Erwin Schrödinger">Erwin Schrödinger</a> y parvient et obtient une équation différentielle, portant désormais son nom, qui permet de décrire précisément l'évolution quantique d'une particule. Cette équation prouva rapidement sa pertinence dans sa description du modèle de l'<a href="/wiki/Atome_d%27hydrog%C3%A8ne" title="Atome d'hydrogène">atome d'hydrogène</a>. </p><p>Parallèlement, <a href="/wiki/Werner_Heisenberg" title="Werner Heisenberg">Werner Heisenberg</a> avait développé une approche radicalement différente, qui s'appuyait sur des calculs matriciels directement inspirés de la <a href="/wiki/M%C3%A9canique_analytique" title="Mécanique analytique">mécanique analytique</a> classique. </p><p>Ces deux approches, ainsi que la confusion concernant le concept de dualité onde corpuscule, donnaient à la mécanique quantique naissante un besoin de clarification. Cette clarification intervint grâce aux travaux d'un physicien britannique, <a href="/wiki/Paul_Adrien_Dirac" class="mw-redirect" title="Paul Adrien Dirac">Paul Adrien Dirac</a>. </p><p>Dans un livre publié en 1930, intitulé <i>Principes de la mécanique quantique</i>, Dirac montre que les deux approches, celles de Schrödinger et d'Heisenberg, ne sont en fait que deux représentations d'une même <a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire" title="Algèbre linéaire">algèbre linéaire</a>. Dans cet ouvrage fondateur, Dirac extrait les lois proprement quantiques, en faisant abstraction des lois déjà imposées par la physique classique. Dirac donne alors une représentation axiomatique de la mécanique quantique, probablement inspirée des développements mathématiques de l'époque, notamment en ce qui concerne la <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_projective" title="Géométrie projective">géométrie projective</a><sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite_crochet">[</span>4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Le travail de Dirac avait été précédé quelques années auparavant par celui de <a href="/wiki/John_Von_Neumann" class="mw-redirect" title="John Von Neumann">John Von Neumann</a>, mais l'ouvrage de Von Neumann était beaucoup plus rigoureux sur le plan mathématique, de telle sorte qu'il plaisait surtout aux mathématiciens. Les physiciens lui ont préféré celui de Dirac et c'est donc essentiellement l'ouvrage de Dirac qui a laissé une postérité. Dans la préface d'une réédition de son livre, Von Neumann mentionne l'ouvrage de Dirac et le décrit comme <span class="citation">« une représentation de la mécanique quantique qui peut à peine être surpassée en termes de brièveté et d'élégance »</span>, mais ajoute tout de même dans le paragraphe suivant que sa méthode <span class="citation">« ne satisfait en aucune façon les exigences de la rigueur mathématique »</span><sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite_crochet">[</span>5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quelques_exemples_de_succès"><span id="Quelques_exemples_de_succ.C3.A8s"></span>Quelques exemples de succès</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=5" title="Modifier la section : Quelques exemples de succès" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=5" title="Modifier le code source de la section : Quelques exemples de succès"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-modere"><div class="bandeau-cell bandeau-icone"><span class="mw-valign-text-top noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Emojione_267B.svg" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Emojione_267B.svg/17px-Emojione_267B.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Emojione_267B.svg/26px-Emojione_267B.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Emojione_267B.svg/34px-Emojione_267B.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></div><div class="bandeau-cell">Cette section a besoin d'être <b><a href="/wiki/Aide:Recyclage" title="Aide:Recyclage">recyclée</a></b><small> (janvier 2022)</small>.<br /> Une réorganisation et une clarification du contenu sont nécessaires. <span class="navigation-only"><span class="noprint plainlinks"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:EditPage/M%C3%A9canique_quantique" title="Spécial:EditPage/Mécanique quantique">Améliorez-la</a></span> ou <a href="/wiki/Discussion:M%C3%A9canique_quantique" title="Discussion:Mécanique quantique">discutez des points à améliorer</a>.</span></div></div> <p>Historiquement, la théorie a d'abord permis de décrire correctement les structures électroniques des <a href="/wiki/Atome" title="Atome">atomes</a> et des <a href="/wiki/Mol%C3%A9cule" title="Molécule">molécules</a>, ainsi que leurs interactions avec un champ électromagnétique. Elle explique aussi le comportement de la matière condensée, dont : </p> <ul><li>la structure des <a href="/wiki/Cristal" title="Cristal">cristaux</a> et leurs <a href="/wiki/Phonon" title="Phonon">vibrations</a> ;</li> <li>les propriétés de <a href="/wiki/Conductivit%C3%A9_%C3%A9lectrique" title="Conductivité électrique">conductivité électrique</a> et de <a href="/wiki/Conduction_thermique" title="Conduction thermique">conduction thermique</a> des métaux grâce à la <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_bandes" title="Théorie des bandes">théorie des bandes</a> ;</li> <li>l'existence et les propriétés des <a href="/wiki/Semi-conducteur" title="Semi-conducteur">semi-conducteurs</a> ;</li> <li>l'<a href="/wiki/Effet_tunnel" title="Effet tunnel">effet tunnel</a> ;</li> <li>la <a href="/wiki/Cryptographie" title="Cryptographie">cryptographie</a> et le <a href="/wiki/Jeu_de_hasard" title="Jeu de hasard">jeu de hasard</a><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite_crochet">[</span>6<span class="cite_crochet">]</span></a></sup></li> <li>la <a href="/wiki/Supraconductivit%C3%A9" title="Supraconductivité">supraconductivité</a> et <a href="/wiki/Superfluidit%C3%A9" title="Superfluidité">superfluidité</a>.</li></ul> <p>La mécanique quantique a aussi résolu le <a href="/wiki/Paradoxe_de_Gibbs" title="Paradoxe de Gibbs">paradoxe de Gibbs</a> : en <a href="/wiki/Physique_statistique" title="Physique statistique">physique statistique</a> classique, des particules identiques sont considérées comme discernables, et l'<a href="/wiki/Entropie" class="mw-disambig" title="Entropie">entropie</a> n'est alors pas une <a href="/wiki/Grandeur_extensive" class="mw-redirect" title="Grandeur extensive">grandeur extensive</a>. L'accord entre la théorie et l'expérience fut rétabli en tenant compte du fait que des particules identiques sont <i>indiscernables</i> en mécanique quantique. </p><p>La <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_quantique_des_champs" title="Théorie quantique des champs">théorie quantique des champs</a>, généralisation relativiste de la mécanique quantique, permet quant à elle de décrire les phénomènes où le nombre total de particules n'est pas conservé : <a href="/wiki/Radioactivit%C3%A9" title="Radioactivité">radioactivité</a>, <a href="/wiki/Fission_nucl%C3%A9aire" title="Fission nucléaire">fission nucléaire</a> (c'est-à-dire la désintégration du <a href="/wiki/Noyau_atomique" title="Noyau atomique">noyau atomique</a>) et <a href="/wiki/Fusion_nucl%C3%A9aire" title="Fusion nucléaire">fusion nucléaire</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notions_fondamentales">Notions fondamentales</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=6" title="Modifier la section : Notions fondamentales" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=6" title="Modifier le code source de la section : Notions fondamentales"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Postulats_de_la_m%C3%A9canique_quantique" title="Postulats de la mécanique quantique">Postulats de la mécanique quantique</a>.</div></div> <p><a href="/wiki/Paul_Dirac" title="Paul Dirac">Paul Dirac</a> dégage les propriétés essentiellement quantiques des phénomènes physiques et les exprime à travers quelques <a href="/wiki/Postulats_de_la_m%C3%A9canique_quantique" title="Postulats de la mécanique quantique">postulats</a> et concepts qui sont à la base de la mécanique quantique. Elles sont présentées ici d'une façon moins formelle, plus propice à une compréhension générale. L'<a href="/wiki/Postulats_de_la_m%C3%A9canique_quantique" title="Postulats de la mécanique quantique">article détaillé</a> présente leur formulation de façon plus rigoureuse mais aussi plus abstraite. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="État_quantique"><span id=".C3.89tat_quantique"></span>État quantique</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=7" title="Modifier la section : État quantique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=7" title="Modifier le code source de la section : État quantique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/%C3%89tat_quantique" title="État quantique">État quantique</a>.</div></div> <p>En substance, un état quantique est ce qui quantifie ce que l'on peut savoir d'un système quantique. Il permet de calculer les probabilités et les valeurs moyennes mesurées des <a href="/wiki/Observable" title="Observable">observables</a> (position, quantité de mouvement, etc.). Les états quantiques sont décrits mathématiquement par un <a href="/wiki/Vecteur" title="Vecteur">vecteur</a> d'état dans un <a href="/wiki/Espace_de_Hilbert" title="Espace de Hilbert">espace de Hilbert</a>, représenté par une notation dédiée introduite par Dirac, dite <a href="/wiki/Notation_bra-ket" title="Notation bra-ket">notation bra-ket</a><sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite_crochet">[</span>7<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Un état quantique s'écrit alors sous la forme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\psi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.065ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }"></span>. L'évolution dans le temps de ce vecteur d'état est décrite mathématiquement par la <a href="/wiki/Fonction_d%27onde" title="Fonction d'onde">fonction d'onde</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Psi (t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ψ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Psi (t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc70cdfb4274988ac81c279cccf1eb47f3a20e6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.457ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Psi (t)}"></span>, gouvernée par l'<a href="/wiki/%C3%89quation_de_Schr%C3%B6dinger" title="Équation de Schrödinger">équation de Schrödinger</a>. </p><p>Ces deux représentations concernent les <a href="/wiki/%C3%89tat_quantique#État_pur" title="État quantique">états purs</a>, c'est-à-dire les états de systèmes quantiques simples idéalisés et isolés, où chaque composante peut être quantifiée et observée. Pour les <a href="/wiki/%C3%89tat_quantique#États_mixtes" title="État quantique">états mixtes</a>, représentant les états quantiques en interaction complexe avec un environnement ou un appareil de mesure, où les composantes sont trop nombreuses ou inaccessibles à l'observation, l'état quantique est plutôt représenté par une <a href="/wiki/Matrice_densit%C3%A9" title="Matrice densité">matrice densité</a><sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite_crochet">[</span>8<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Dans le cas de la notation bra-ket, on exprime l'état quantique en fonction des états propres, c'est dire les états pour lesquels on est sûr que si on effectuait une mesure d'une observable, on obtiendrait à coup sûr une valeur donnée. On utilise en général pour ces états le même symbole que celui utilisé pour identifier cette valeur. Par exemple, lorsqu'on est sûr que si on effectuait cette mesure, le résultat serait une valeur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"></span>, alors on note l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\alpha \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\alpha \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42032e642ee1c9d27adb318d34c7cc85f7a95d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.039ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\alpha \rangle }"></span>. Il existe en général un certain nombre (voire une infinité) d'états propres pour une observable donnée. Par exemple, si on s'intéresse au <a href="/wiki/Spin" title="Spin">spin</a> d'une particule de spin 1/2, on obtient deux états propres de direction opposée : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\uparrow \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo stretchy="false">↑</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\uparrow \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b194dca66d255bc2bac6210dc32be258cabcda3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.359ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\uparrow \rangle }"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\downarrow \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo stretchy="false">↓</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\downarrow \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51a318de9b686e27faa09b37d09980db1fd76a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.359ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\downarrow \rangle }"></span>. Pour l'observable de position, on obtient une infinité d'états propres correspondant à chacune de positions possibles <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |x_{1}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |x_{1}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76570e59743b162fe5529985fe79119d5c049717" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.935ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |x_{1}\rangle }"></span> ... <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |x_{\infty }\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |x_{\infty }\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3268d9facd9ba511be6e094b3a3c1982149af493" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.757ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |x_{\infty }\rangle }"></span>. </p><p>Ces états propres sont des vecteurs orthogonaux de l'espace vectoriel de Hilbert, et en forment une <a href="/wiki/Base_(alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire)" title="Base (algèbre linéaire)">base</a>, liée à une <a href="/wiki/Observable" title="Observable">observable</a> donnée. Un état quantique quelconque est alors exprimé comme une <a href="/wiki/Combinaison_lin%C3%A9aire" title="Combinaison linéaire">combinaison linéaire</a> de ces états propres, par exemple un état généralisé de spin 1/2 : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\nearrow \rangle =a|\uparrow \rangle +b|\downarrow \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo stretchy="false">↗</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo stretchy="false">↑</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo stretchy="false">↓</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\nearrow \rangle =a|\uparrow \rangle +b|\downarrow \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17815c6d1ba547ed42700c9de174d74b2377a5a9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.405ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\nearrow \rangle =a|\uparrow \rangle +b|\downarrow \rangle }"></span>, a et b étant des <a href="/wiki/Nombre_complexe" title="Nombre complexe">nombres complexes</a>. </p><p>Deux états quantiques quelconques distincts ne sont pas forcément <i>distinguables</i>, car il existe une probabilité que la mesure de deux états distincts donne la même valeur mesurée. Deux états quantiques sont dits <i>distinguables</i> lorsqu'il existe au moins un processus de mesure dans lequel on est absolument sûr que les deux états donnent des résultats différents<sup id="cite_ref-11" class="reference"><a href="#cite_note-11"><span class="cite_crochet">[</span>9<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Principe_de_superposition">Principe de superposition</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=8" title="Modifier la section : Principe de superposition" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=8" title="Modifier le code source de la section : Principe de superposition"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Le plus important postulat de la mécanique quantique est probablement le <a href="/wiki/Principe_de_superposition" title="Principe de superposition">principe de superposition</a><sup id="cite_ref-12" class="reference"><a href="#cite_note-12"><span class="cite_crochet">[</span>10<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Selon ce principe, si un système physique peut se trouver dans un état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\varphi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>φ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\varphi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b05bc04322b5f34a11c4d6985ac7e350d6f75e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.072ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\varphi \rangle }"></span>, et si de même il peut se trouver dans un état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\psi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.065ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }"></span>, alors il peut aussi se trouver dans un état linéairement composé : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha |\varphi \rangle +\beta |\psi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>φ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha |\varphi \rangle +\beta |\psi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238875035289bba7f178f89b3e58da73dd8efd13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.796ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha |\varphi \rangle +\beta |\psi \rangle }"></span></dd></dl> <p>où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }"></span> sont deux <a href="/wiki/Nombre_complexe" title="Nombre complexe">nombres complexes</a> quelconques. </p><p>Autrement dit, l'ensemble des états possibles d'un système physique est un <a href="/wiki/Espace_vectoriel" title="Espace vectoriel">espace vectoriel</a> (ou plus précisément un <a href="/wiki/Espace_de_Hilbert" title="Espace de Hilbert">espace de Hilbert</a>, comme mentionné plus haut), dont la dimension peut être quelconque. </p><p>Le point important est qu'un état superposé n'est pas un état traduisant une ignorance vis-à-vis de l'état « réel » du système, mais bien une indétermination intrinsèque au système, qui n'est ni dans l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\varphi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>φ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\varphi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b05bc04322b5f34a11c4d6985ac7e350d6f75e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.072ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\varphi \rangle }"></span>, ni dans l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\psi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ψ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\psi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc27f1893b769a08cd6b296e115a29e61cab675e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.065ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\psi \rangle }"></span>. Ce point souleva de nombreux questionnements dans la communauté scientifique. En particulier, le principe de superposition est à l'origine de ce qu'on appelle le <a href="/wiki/Probl%C3%A8me_de_la_mesure_quantique" title="Problème de la mesure quantique">problème de la mesure quantique</a>, que <a href="/wiki/Erwin_Schr%C3%B6dinger" title="Erwin Schrödinger">Schrödinger</a> popularisa en l'appliquant à un chat qui ne serait, selon le <a href="/wiki/Chat_de_Schr%C3%B6dinger" title="Chat de Schrödinger">paradoxe de Schrödinger</a>, ni mort, ni vivant. </p><p>Le principe de superposition fut aussi analysé et critiqué par Einstein qui, avec <a href="/wiki/Boris_Podolsky" title="Boris Podolsky">Boris Podolsky</a> et <a href="/wiki/Nathan_Rosen" title="Nathan Rosen">Nathan Rosen</a>, imagina une expérience, dite <a href="/wiki/Paradoxe_EPR" title="Paradoxe EPR">expérience EPR</a>, afin de le mettre en défaut. Une expérience comparable fut menée à la fin du <abbr class="abbr" title="20ᵉ siècle"><span class="romain">XX</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle par <a href="/wiki/Alain_Aspect" title="Alain Aspect">Alain Aspect</a>, qui confirma le principe de superposition. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Règle_de_Born"><span id="R.C3.A8gle_de_Born"></span>Règle de Born</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=9" title="Modifier la section : Règle de Born" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=9" title="Modifier le code source de la section : Règle de Born"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>La règle de Born, du nom du physicien <a href="/wiki/Max_Born" title="Max Born">Max Born</a>, est une interprétation probabiliste des coefficients linéaires du principe de superposition. Elle est d'ailleurs souvent appelée interprétation probabiliste<sup id="cite_ref-13" class="reference"><a href="#cite_note-13"><span class="cite_crochet">[</span>note 3<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Cette règle peut être illustrée en considérant par exemple le <a href="/wiki/Chat_de_Schr%C3%B6dinger" title="Chat de Schrödinger">chat de Schrödinger</a>, évoqué plus haut, et dont l'état quantique peut être écrit ainsi : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi \rangle =\alpha |\mathrm {mort} \rangle +\beta |\mathrm {vivant} \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">v</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">v</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi \rangle =\alpha |\mathrm {mort} \rangle +\beta |\mathrm {vivant} \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4681aacd77428f1a6c254de4467433be1a6170" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.174ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi \rangle =\alpha |\mathrm {mort} \rangle +\beta |\mathrm {vivant} \rangle }"></span></dd></dl> <p>Une expérience qui chercherait à déterminer si ce chat est mort ou vif ne donnerait aucun résultat avec certitude (dans le cas contraire le chat serait soit dans l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathrm {mort} \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathrm {mort} \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2baf172c1639e47c91aed2790b9d6fad1a65be9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.466ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\mathrm {mort} \rangle }"></span>, soit dans l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathrm {vivant} \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">v</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">v</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathrm {vivant} \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2450160ae848b760c6e230de14aa9ebf33212c5f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.013ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\mathrm {vivant} \rangle }"></span>). De façon simplifiée, il peut être dit que la règle de Born quantifie cette incertitude en stipulant que la probabilité de trouver le chat mort est égale au carré du module de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"></span>, divisé par la somme des carrés des modules de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }"></span>. </p><p>Plus généralement, pour un système dont le vecteur d'état est une combinaison linéaire d'états distinguables <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|i\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>i</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|i\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b13bb2de03c010ba50e358cfe4c181ac84e7f9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.538ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (|i\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"></span>, la probabilité pour que le résultat de la mesure définissant la distinguabilité soit le même que si le système avait été dans l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |i\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>i</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |i\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c9bee24e938877d1c7bc0099f6bd886c3f10a60" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.354ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |i\rangle }"></span> est : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}={\frac {|\alpha _{i}|^{2}}{\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}={\frac {|\alpha _{i}|^{2}}{\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435e878abac1884ede55b40700e3d590eda1bd76" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:14.628ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}={\frac {|\alpha _{i}|^{2}}{\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}}}}"></span>,</dd></dl> <p>où les <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1fb627423abe4988b7ed88d4920bf1ec074790" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.287ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{i}}"></span> sont les coefficients linéaires du vecteur d'état<sup id="cite_ref-14" class="reference"><a href="#cite_note-14"><span class="cite_crochet">[</span>note 4<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Pour simplifier les calculs, les vecteurs d'états sont en général normalisés afin que le dénominateur soit égal à un. Cela n'affecte en rien les calculs de probabilités. En pratique, la règle de Born s'écrit donc le plus souvent : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}=|\alpha _{i}|^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}=|\alpha _{i}|^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/415061f934c127966cda9063e30b9590107514cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.151ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}=|\alpha _{i}|^{2}}"></span>,</dd></dl> <p>ou encore : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}\propto |\alpha _{i}|^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∝</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}\propto |\alpha _{i}|^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437feb212e2a4d1579e05be841031fff658954f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.151ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}\propto |\alpha _{i}|^{2}}"></span>, où le coefficient de proportionnalité est sous-tendu par la relation de normalisation : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i}{\mathcal {P}}_{i}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i}{\mathcal {P}}_{i}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0d2556f8ee4fdd325451f2312fd5e0e1a135b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:10.42ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i}{\mathcal {P}}_{i}=1}"></span>,</dd></dl> <p>La règle de Born est l'un des postulats de la mécanique quantique les plus difficiles à appréhender. Il fait aussi l'objet de controverses, ne serait-ce que parce que son statut axiomatique est mis en doute par au moins deux interprétations : l'<a href="/wiki/Th%C3%A9orie_d%27Everett" title="Théorie d'Everett">interprétation des mondes multiples</a> et l'<a href="/wiki/Interpr%C3%A9tation_transactionnelle_de_la_m%C3%A9canique_quantique" title="Interprétation transactionnelle de la mécanique quantique">interprétation transactionnelle</a>. Selon ces deux interprétations, la règle de Born peut être déduite à partir de considérations mathématiques et physiques plus profondes<sup id="cite_ref-15" class="reference"><a href="#cite_note-15"><span class="cite_crochet">[</span>11<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Grandeur_observable">Grandeur observable</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=10" title="Modifier la section : Grandeur observable" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=10" title="Modifier le code source de la section : Grandeur observable"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Observable" title="Observable">Observable</a>.</div></div><div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-modere"><div class="bandeau-cell bandeau-icone"><span class="mw-valign-text-top noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Emojione_267B.svg" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Emojione_267B.svg/17px-Emojione_267B.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Emojione_267B.svg/26px-Emojione_267B.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Emojione_267B.svg/34px-Emojione_267B.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></div><div class="bandeau-cell">Cette section a besoin d'être <b><a href="/wiki/Aide:Recyclage" title="Aide:Recyclage">recyclée</a></b><small> (janvier 2022)</small>.<br /> Une réorganisation et une clarification du contenu sont nécessaires. <span class="navigation-only"><span class="noprint plainlinks"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:EditPage/M%C3%A9canique_quantique" title="Spécial:EditPage/Mécanique quantique">Améliorez-la</a></span> ou <a href="/wiki/Discussion:M%C3%A9canique_quantique" title="Discussion:Mécanique quantique">discutez des points à améliorer</a>.</span></div></div> <p>Lorsqu'à la suite d'une expérience, on est sûr d'obtenir toujours le même résultat de mesure <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"></span>, on dit que le système physique considéré est dans l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\alpha \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\alpha \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42032e642ee1c9d27adb318d34c7cc85f7a95d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.039ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\alpha \rangle }"></span>. Ceci ne signifie pas pour autant qu'on connait avec certitude le résultat d'une mesure effectuée avec un dispositif expérimental différent. En d'autres termes, la connaissance même totale de l'état d'un système ne garantit pas la connaissance parfaite de résultats de toute expérience faite sur lui. </p><p>Ainsi par exemple, si on mesure la position d'une particule dans l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |{\vec {r}}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |{\vec {r}}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d2dd64157a617cef53977c5110490ad75891fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.775ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |{\vec {r}}\rangle }"></span>, on est sûr qu'on obtiendra <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aec3c9ce13b53e9e24c98e7cce4212627884c91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.223ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}}"></span>, mais par contre il n'est <i>a priori</i> pas possible de savoir avec certitude ce que donnera le résultat de mesure d'impulsion, car sinon la particule serait aussi dans l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |{\vec {p}}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |{\vec {p}}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08b668737017b6a25df327e377335c35c8c2889" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.877ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |{\vec {p}}\rangle }"></span>, ce qui n'est pas le cas général et constitue donc une <a href="/wiki/Hypoth%C3%A8se_ad_hoc" title="Hypothèse ad hoc">hypothèse <i>ad hoc</i></a>. </p><p>Plus généralement, si pour un certain processus de mesure <i>A</i> on note <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec0bff8aad817d0fb4d081d02f1cd501f305068" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.023ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"></span> tous les états de résultat de mesure parfaitement déterminés, alors en vertu du principe de superposition, toutes les combinaisons linéaires possibles sont aussi des états possibles pour certains systèmes : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i}\phi _{i}|\alpha _{i}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i}\phi _{i}|\alpha _{i}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87d12fb83bece79b2ab4c21132a87cb0f4d01780" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.801ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i}\phi _{i}|\alpha _{i}\rangle }"></span></dd></dl> <p>Parmi ces combinaisons linéaires, certaines peuvent très bien être des états de mesure parfaitement déterminée pour un autre processus de mesure <i>B</i>. La question est donc de savoir quel peut être le résultat de mesure de <i>A</i> pour ces états « propres » à <i>B</i>. </p><p>L'interprétation probabiliste des coefficients linéaires suggère alors que le résultat de mesure, s'il n'est pas déterministe, sera tout de même statistiquement égal à l'<a href="/wiki/Esp%C3%A9rance_math%C3%A9matique" title="Espérance mathématique">espérance mathématique</a> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =\sum _{i}{\mathcal {P}}_{i}\,\alpha _{i}=\sum _{i}|\phi _{i}|^{2}\alpha _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">P</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\sum _{i}{\mathcal {P}}_{i}\,\alpha _{i}=\sum _{i}|\phi _{i}|^{2}\alpha _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db7d7d1f49e7947103c670c5c3e106f5a569efa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:27.081ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha =\sum _{i}{\mathcal {P}}_{i}\,\alpha _{i}=\sum _{i}|\phi _{i}|^{2}\alpha _{i}}"></span></dd></dl> <p>Cette expression est une <a href="/wiki/Forme_sesquilin%C3%A9aire" title="Forme sesquilinéaire">forme sesquilinéaire</a> des coefficients <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0182dbf29b54844c92fd9b0311778a02a38398ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.185ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi _{i}}"></span>. Dans le sous-espace vectoriel <a href="/wiki/Famille_g%C3%A9n%C3%A9ratrice" title="Famille génératrice">généré</a> par les <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0894b0cce03f69124a81e6f240e13af70918a098" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.839ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }"></span>, on peut donc écrire cette expression en utilisant un <a href="/wiki/Produit_scalaire" title="Produit scalaire">produit scalaire</a> dans lequel la base <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec0bff8aad817d0fb4d081d02f1cd501f305068" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.023ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"></span> est <a href="/wiki/Base_orthonorm%C3%A9e" title="Base orthonormée">orthonormée</a>. C'est le choix de ce produit scalaire qui donne un sens à la notation bra-ket : les vecteurs bra, notés « vers la gauche », sont alors les éléments de l'<a href="/wiki/Espace_dual" title="Espace dual">espace dual</a> de l'espace des états ket. On a alors la relation : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \alpha _{i}|\alpha _{j}\rangle =\delta _{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \alpha _{i}|\alpha _{j}\rangle =\delta _{ij}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fa1c146051687a4d914a6ee5b5115b00480ef08" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.749ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \langle \alpha _{i}|\alpha _{j}\rangle =\delta _{ij}}"></span></dd></dl> <p>où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta _{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta _{ij}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa75d04c11480d976e1396951e02cbb3c4f71568" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.51ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \delta _{ij}}"></span> est le <a href="/wiki/Symbole_de_Kronecker" class="mw-redirect" title="Symbole de Kronecker">symbole de Kronecker</a>. </p><p>L'expression de l'espérance mathématique peut alors s'écrire : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\sum _{i}\phi _{i}^{*}\phi _{i}\alpha _{i}\\&=\sum _{i,j}\phi _{i}^{*}\phi _{j}\alpha _{j}\delta _{ij}\\&=\sum _{i,j}\phi _{i}^{*}\phi _{j}\alpha _{j}\langle \alpha _{i}|\alpha _{j}\rangle \\&=\sum _{i,j}\langle \alpha _{i}|\phi _{i}^{*}\phi _{j}\alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle \\&=\sum _{j}\langle \phi |\phi _{j}\alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle \\&=\langle \phi |\sum _{j}\phi _{j}\alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle \end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>α</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msubsup> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∗</mo> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\sum _{i}\phi _{i}^{*}\phi _{i}\alpha _{i}\\&=\sum _{i,j}\phi _{i}^{*}\phi _{j}\alpha _{j}\delta _{ij}\\&=\sum _{i,j}\phi _{i}^{*}\phi _{j}\alpha _{j}\langle \alpha _{i}|\alpha _{j}\rangle \\&=\sum _{i,j}\langle \alpha _{i}|\phi _{i}^{*}\phi _{j}\alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle \\&=\sum _{j}\langle \phi |\phi _{j}\alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle \\&=\langle \phi |\sum _{j}\phi _{j}\alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle \end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e184ce3b0e085a779e3e325577c217b2f995f7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -17.171ex; width:23.612ex; height:35.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\sum _{i}\phi _{i}^{*}\phi _{i}\alpha _{i}\\&=\sum _{i,j}\phi _{i}^{*}\phi _{j}\alpha _{j}\delta _{ij}\\&=\sum _{i,j}\phi _{i}^{*}\phi _{j}\alpha _{j}\langle \alpha _{i}|\alpha _{j}\rangle \\&=\sum _{i,j}\langle \alpha _{i}|\phi _{i}^{*}\phi _{j}\alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle \\&=\sum _{j}\langle \phi |\phi _{j}\alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle \\&=\langle \phi |\sum _{j}\phi _{j}\alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle \end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>Le terme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c999634b93c9bf285b8651e56e40a641928289" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.346ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{j}|\alpha _{j}\rangle }"></span> suggère l'introduction de l'opérateur linéaire dont les <a href="/wiki/Vecteurs_propres" class="mw-redirect" title="Vecteurs propres">vecteurs propres</a> sont les <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec0bff8aad817d0fb4d081d02f1cd501f305068" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.023ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"></span> et dont les <a href="/wiki/Valeurs_propres" class="mw-redirect" title="Valeurs propres">valeurs propres</a> associées sont les <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1fb627423abe4988b7ed88d4920bf1ec074790" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.287ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{i}}"></span>, valeurs possibles des résultats de mesure. Cet opérateur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f595a6c73d1183d6a1b2ac21fe47ac28c1483821" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {A}}}"></span> est ce qu'on appelle l'<a href="/wiki/Observable" title="Observable">observable</a> associé au processus de mesure <i>A</i>. Ce n'est rien d'autre qu'un outil mathématique qui permet le calcul de l'espérance mathématique du résultat de mesure<sup id="cite_ref-16" class="reference"><a href="#cite_note-16"><span class="cite_crochet">[</span>12<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, espérance qui s'écrit alors : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =\langle \phi |{\hat {A}}|\phi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\langle \phi |{\hat {A}}|\phi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e812e5c1e5282fbe7d97065c0082d5701f302995" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.236ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \alpha =\langle \phi |{\hat {A}}|\phi \rangle }"></span></dd></dl> <p>L'intérêt d'une telle expression est qu'elle ne dépend plus explicitement de la base <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec0bff8aad817d0fb4d081d02f1cd501f305068" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.023ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (|\alpha _{i}\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"></span>. On gagne ainsi en abstraction et on simplifie les calculs par une <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_synth%C3%A9tique" title="Géométrie synthétique">approche synthétique</a> de la mécanique quantique, en opposition à l'approche dite <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_analytique" title="Géométrie analytique">analytique</a><sup id="cite_ref-17" class="reference"><a href="#cite_note-17"><span class="cite_crochet">[</span>note 5<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>À partir de considérations algébriques élémentaires, il est facile de se convaincre que l'observable <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f595a6c73d1183d6a1b2ac21fe47ac28c1483821" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {A}}}"></span> est un opérateur <a href="/wiki/Auto-adjoint" class="mw-redirect" title="Auto-adjoint">auto-adjoint</a> qui peut s'écrire en fonction de ses vecteurs propres et valeurs propres ainsi : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {A}}=\sum _{i}\alpha _{i}|\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {A}}=\sum _{i}\alpha _{i}|\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4be1a091748d444e687141ac2bd8d86e204d894" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:18.581ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {A}}=\sum _{i}\alpha _{i}|\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|}"></span></dd></dl> <p>Lorsqu'on dispose de suffisamment d'observables pour décrire tout résultat de mesure, on dit qu'on dispose d'un <a href="/wiki/Ensemble_complet_d%27observables_qui_commutent" title="Ensemble complet d'observables qui commutent">ensemble complet d'observables qui commutent</a>, et c'est dans l'<a href="/wiki/Espace_hermitien" title="Espace hermitien">espace hermitien</a> généré par les vecteurs propres de ces observables que l'on travaille. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Opérateurs_unitaires"><span id="Op.C3.A9rateurs_unitaires"></span>Opérateurs unitaires</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=11" title="Modifier la section : Opérateurs unitaires" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=11" title="Modifier le code source de la section : Opérateurs unitaires"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article connexe : <a href="/wiki/Groupe_de_Lie" title="Groupe de Lie">groupe de Lie</a>.</div></div> <p>Par construction, le produit scalaire dans l'espace <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}"></span> des états permet de calculer les probabilités de résultats de mesure. Il est alors facile de comprendre que les opérateurs linéaires qui conservent ce produit scalaire jouent un rôle très important en mécanique quantique. En algèbre linéaire, ces opérateurs qui conservent le produit scalaire sont appelés <a href="/wiki/Op%C3%A9rateur_unitaire" title="Opérateur unitaire">opérateurs unitaires</a>. Ils ont comme propriété essentielle d'être l'inverse de leur adjoint : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}={\hat {I}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}={\hat {I}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0c9d9860af727b443825cbb44e086b4f78fe3e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.147ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}={\hat {I}}}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Cas_général"><span id="Cas_g.C3.A9n.C3.A9ral"></span>Cas général</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=12" title="Modifier la section : Cas général" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=12" title="Modifier le code source de la section : Cas général"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Puisqu'il conserve le produit scalaire, un opérateur unitaire transforme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}"></span> en un espace <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0169061a154e354d2c6b3ef4bf2b986f31f5588" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.021ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}'}"></span> physiquement indiscernable car donnant exactement les mêmes probabilités de mesure. Inversement, il est raisonnable de supposer qu'un opérateur transformant l'espace d'états en un espace indiscernable est unitaire. </p><p>La considération de l'ensemble de tous les opérateurs unitaires sur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}"></span>, ainsi que d'un sous-ensemble qui puisse être paramétré de façon continue par un scalaire μ, permet alors d'approcher <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {U}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {U}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b536251ac73007654d586ca8d5b4682c8294082" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {U}}}"></span> au premier ordre en μ : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {U}}_{\mu }={\hat {I}}+\mu {\hat {G}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {U}}_{\mu }={\hat {I}}+\mu {\hat {G}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025303d8bac1727c411f366332297f51b944ead8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.695ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {U}}_{\mu }={\hat {I}}+\mu {\hat {G}}}"></span></dd></dl> <p>où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {G}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {G}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481aa9ebb6efdec53b01da30a4f1ca2ce77873c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {G}}}"></span> est un opérateur linéaire <i>a priori</i> quelconque qui peut, sans perdre en généralité, être écrit sous la forme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i{\hat {G}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i{\hat {G}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841f22e089af867656ee9baa889ad86d90f1a57d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.629ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i{\hat {G}}}"></span><sup id="cite_ref-18" class="reference"><a href="#cite_note-18"><span class="cite_crochet">[</span>note 6<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>En écrivant la relation d'unitarité de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {U}}_{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {U}}_{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1145edf1dbf7d34ee616ad45aded6c97d26fed6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.006ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {U}}_{\mu }}"></span>, il vient, en restant au premier ordre : </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}_{\mu }^{\dagger }{\hat {U}}_{\mu }&={\hat {I}}\\({\hat {I}}+i\mu {\hat {G}})^{\dagger }({\hat {I}}+i\mu {\hat {G}})&={\hat {I}}\\({\hat {I}}-i\mu {{\hat {G}}^{\dagger }})({\hat {I}}+i\mu {\hat {G}})&={\hat {I}}\\-i\mu {{\hat {G}}^{\dagger }}+i\mu {\hat {G}}&=0\\{\hat {G}}^{\dagger }&={\hat {G}}\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <msubsup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msubsup> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> </mrow> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}_{\mu }^{\dagger }{\hat {U}}_{\mu }&={\hat {I}}\\({\hat {I}}+i\mu {\hat {G}})^{\dagger }({\hat {I}}+i\mu {\hat {G}})&={\hat {I}}\\({\hat {I}}-i\mu {{\hat {G}}^{\dagger }})({\hat {I}}+i\mu {\hat {G}})&={\hat {I}}\\-i\mu {{\hat {G}}^{\dagger }}+i\mu {\hat {G}}&=0\\{\hat {G}}^{\dagger }&={\hat {G}}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38afa561985dea497bf47f79353626460a3d8152" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.338ex; width:27.043ex; height:19.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}_{\mu }^{\dagger }{\hat {U}}_{\mu }&={\hat {I}}\\({\hat {I}}+i\mu {\hat {G}})^{\dagger }({\hat {I}}+i\mu {\hat {G}})&={\hat {I}}\\({\hat {I}}-i\mu {{\hat {G}}^{\dagger }})({\hat {I}}+i\mu {\hat {G}})&={\hat {I}}\\-i\mu {{\hat {G}}^{\dagger }}+i\mu {\hat {G}}&=0\\{\hat {G}}^{\dagger }&={\hat {G}}\end{aligned}}}"></span> </p><p>C'est-à-dire que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {G}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {G}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481aa9ebb6efdec53b01da30a4f1ca2ce77873c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {G}}}"></span> est auto-adjoint. </p><p>En somme, lorsqu'il existe un paramètre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"></span> qui transforme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}"></span> de façon continue en un espace <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606b6a9345323d3f5e7f6c3508f1bb7873ef044d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.451ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mu }}"></span> physiquement indiscernable, alors il existe un opérateur unitaire <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {U}}_{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {U}}_{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1145edf1dbf7d34ee616ad45aded6c97d26fed6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.006ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {U}}_{\mu }}"></span> et une grandeur observable <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {G}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {G}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481aa9ebb6efdec53b01da30a4f1ca2ce77873c5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {G}}}"></span> tels que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {U}}_{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {U}}_{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1145edf1dbf7d34ee616ad45aded6c97d26fed6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.006ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {U}}_{\mu }}"></span> transforme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}"></span> en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606b6a9345323d3f5e7f6c3508f1bb7873ef044d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.451ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mu }}"></span> et : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {U}}_{\mu }={\hat {I}}+i\mu {\hat {G}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>I</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>μ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {U}}_{\mu }={\hat {I}}+i\mu {\hat {G}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f1923e18bb65da5e7840e2666fa0fd846a418e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.497ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {U}}_{\mu }={\hat {I}}+i\mu {\hat {G}}}"></span></dd></dl> <p>En assimilant <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c298ed828ff778065aeb5f0f305097f55bb9ae0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.311ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}}"></span> à <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063ea83686893d0468a32ec4da67ffb3d40d5c75" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.282ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}"></span>, et en notant <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi _{\mu }\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi _{\mu }\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f18b70d69eec771076def81e62b81106432f330" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.16ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle |\phi _{\mu }\rangle }"></span> le vecteur de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mu }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mu }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/606b6a9345323d3f5e7f6c3508f1bb7873ef044d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.451ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mu }}"></span> tel que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi _{\mu }\rangle ={\hat {U}}_{\mu }|\phi _{0}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>U</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi _{\mu }\rangle ={\hat {U}}_{\mu }|\phi _{0}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7981464899ca21866d260a86e43a757b4ef0f625" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.256ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle |\phi _{\mu }\rangle ={\hat {U}}_{\mu }|\phi _{0}\rangle }"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i{\hat {G}}|\phi _{0}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i{\hat {G}}|\phi _{0}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27fe4dc7950478620845b8c42c99d971682271dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.62ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle i{\hat {G}}|\phi _{0}\rangle }"></span> apparait comme le <a href="/wiki/Taux_d%27accroissement" class="mw-redirect" title="Taux d'accroissement">taux d'accroissement</a> de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi _{\mu }\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi _{\mu }\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f18b70d69eec771076def81e62b81106432f330" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.16ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle |\phi _{\mu }\rangle }"></span> pour une variation infinitésimale de μ au voisinage de zéro, de telle sorte qu'il peut être écrit : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -i{d \over d\mu }|\phi \rangle ={\hat {G}}|\phi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>μ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -i{d \over d\mu }|\phi \rangle ={\hat {G}}|\phi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000584c2c2cc9bde2731e5f76e9b22c7115f6f7d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.863ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle -i{d \over d\mu }|\phi \rangle ={\hat {G}}|\phi \rangle }"></span></dd></dl> <p>où la dépendance de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312d43de853a9e6ca74888e63394fc8081f56a43" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.937ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi \rangle }"></span> en <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"></span> est sous-entendue (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi \rangle =|\phi _{\mu }\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi \rangle =|\phi _{\mu }\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b48c7b05fdad4487e52b5573d1c6990dc98104" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.196ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle |\phi \rangle =|\phi _{\mu }\rangle }"></span>). </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Équation_de_Schrödinger"><span id=".C3.89quation_de_Schr.C3.B6dinger"></span>Équation de Schrödinger</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=13" title="Modifier la section : Équation de Schrödinger" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=13" title="Modifier le code source de la section : Équation de Schrödinger"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/%C3%89quation_de_Schr%C3%B6dinger" title="Équation de Schrödinger">équation de Schrödinger</a>.</div></div> <p>Les considérations précédentes peuvent être utilisées pour introduire l'équation de Schrödinger d'un point de vue théorique, grâce à un <a href="/wiki/Sym%C3%A9trie_(physique)" title="Symétrie (physique)">principe de symétrie</a> selon lequel les lois de la physique sont invariantes dans le temps. Une autre façon de dire cela est de dire qu'une expérience menée dans un espace d'états <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}(t_{1})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}(t_{1})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a85dbe37b606c6466117308e2726eea994f2bcaa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.014ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}(t_{1})}"></span> est indiscernable d'une expérience identique menée dans un espace d'états <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {E}}(t_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">E</mi> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {E}}(t_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e563fe8ab8da36b824b835366fb6ae018315cd6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.014ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {E}}(t_{2})}"></span>. On peut donc appliquer les résultats précédents en prenant t (ou -t) pour <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"></span> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\hbar {d \over dt}|\phi \rangle ={\hat {H}}|\phi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\hbar {d \over dt}|\phi \rangle ={\hat {H}}|\phi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e1a0b5ecf902d51f714dd0d47d3dc95b04b5ed4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.036ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle i\hbar {d \over dt}|\phi \rangle ={\hat {H}}|\phi \rangle }"></span></dd></dl> <p>Le facteur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hbar }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de68de3a92517953436c93b5a76461d49160cc41" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.306ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \hbar }"></span> est ici réintroduit pour satisfaire aux contraintes dimensionnelles ignorées jusqu'alors. L'expression détaillée de l'observable <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb06de5217295d7fbdbf68fb9c5309a513fc99e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}}"></span>, appelé <a href="/wiki/Op%C3%A9rateur_hamiltonien" title="Opérateur hamiltonien">hamiltonien</a> par analogie avec la <a href="/wiki/M%C3%A9canique_classique" class="mw-redirect" title="Mécanique classique">mécanique classique</a>, est le plus souvent obtenue à l'aide du <a href="/wiki/Principe_de_correspondance" title="Principe de correspondance">principe de correspondance</a>. </p><p>Cette formulation de l'équation de Schrödinger est assez différente de la formulation historique, et à ce titre elle est parfois appelée <i>équation de Schrödinger généralisée et dépendante du temps</i>. </p> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Impulsion_et_moment_cinétique"><span id="Impulsion_et_moment_cin.C3.A9tique"></span>Impulsion et moment cinétique</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=14" title="Modifier la section : Impulsion et moment cinétique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=14" title="Modifier le code source de la section : Impulsion et moment cinétique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Moment_cin%C3%A9tique_quantique" class="mw-redirect" title="Moment cinétique quantique">moment cinétique quantique</a>.</div></div> <p>Comme pour l'équation de Schrödinger, mais cette fois par application du principe selon lequel les lois de la physique sont invariantes dans l'espace, on introduit l'observable du <a href="/wiki/Impulsion_(physique)" class="mw-redirect" title="Impulsion (physique)">moment linéaire</a> (aussi appelée <i>impulsion</i>) et ses trois composantes spatiales : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -i\hbar {d \over dx}|\phi \rangle ={\hat {P}}_{x}|\phi \rangle ,\qquad -i\hbar {d \over dy}|\phi \rangle ={\hat {P}}_{y}|\phi \rangle ,\qquad -i\hbar {d \over dz}|\phi \rangle ={\hat {P}}_{z}|\phi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>,</mo> <mspace width="2em" /> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -i\hbar {d \over dx}|\phi \rangle ={\hat {P}}_{x}|\phi \rangle ,\qquad -i\hbar {d \over dy}|\phi \rangle ={\hat {P}}_{y}|\phi \rangle ,\qquad -i\hbar {d \over dz}|\phi \rangle ={\hat {P}}_{z}|\phi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b3ab8a2a58c4cab15979bb8c0f64f9a3a7c46b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:68.415ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle -i\hbar {d \over dx}|\phi \rangle ={\hat {P}}_{x}|\phi \rangle ,\qquad -i\hbar {d \over dy}|\phi \rangle ={\hat {P}}_{y}|\phi \rangle ,\qquad -i\hbar {d \over dz}|\phi \rangle ={\hat {P}}_{z}|\phi \rangle }"></span></dd></dl> <p>Le cas du <a href="/wiki/Moment_cin%C3%A9tique" title="Moment cinétique">moment cinétique</a> (parfois appelé de façon plus explicite <i>moment angulaire</i>) se traite de la même façon, mais pour les rotations dans l'espace. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Commutateur">Commutateur</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=15" title="Modifier la section : Commutateur" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=15" title="Modifier le code source de la section : Commutateur"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Intuitivement, le <a href="/wiki/Commutateur_(op%C3%A9rateur)" title="Commutateur (opérateur)">commutateur</a> de deux <a href="/wiki/Observable" title="Observable">observables</a> détermine s'il est possible de mesurer simultanément leur valeur<sup id="cite_ref-19" class="reference"><a href="#cite_note-19"><span class="cite_crochet">[</span>13<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>Le commutateur intervient dans l'expression des <a href="/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9s_de_Heisenberg" class="mw-redirect" title="Inégalités de Heisenberg">inégalités de Heisenberg</a> et du <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27Ehrenfest" title="Théorème d'Ehrenfest">théorème d'Ehrenfest</a>. </p><p>Étant donnés deux opérateurs <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f595a6c73d1183d6a1b2ac21fe47ac28c1483821" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {A}}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ffa3bc40e590b7dfa0cd144e13163abf26e5c38" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {B}}}"></span>, non nécessairement observables, on définit leur commutateur ainsi : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57394bd8df1218ed4fe4be88716d657ed3aee846" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.885ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}"></span></dd></dl> <p>Le commutateur est analogue au <a href="/wiki/Crochet_de_Poisson" title="Crochet de Poisson">crochet de Poisson</a> de la <a href="/wiki/M%C3%A9canique_hamiltonienne" title="Mécanique hamiltonienne">mécanique classique</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fonction_d'onde"><span id="Fonction_d.27onde"></span>Fonction d'onde</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=16" title="Modifier la section : Fonction d'onde" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=16" title="Modifier le code source de la section : Fonction d'onde"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Fonction_d%27onde" title="Fonction d'onde">Fonction d'onde</a>.</div></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-modere"><div class="bandeau-cell bandeau-icone"><span class="mw-valign-text-top noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Emojione_267B.svg" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Emojione_267B.svg/17px-Emojione_267B.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Emojione_267B.svg/26px-Emojione_267B.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Emojione_267B.svg/34px-Emojione_267B.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></div><div class="bandeau-cell">Cette section a besoin d'être <b><a href="/wiki/Aide:Recyclage" title="Aide:Recyclage">recyclée</a></b><small> (janvier 2022)</small>.<br /> Une réorganisation et une clarification du contenu sont nécessaires. <span class="navigation-only"><span class="noprint plainlinks"><a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:EditPage/M%C3%A9canique_quantique" title="Spécial:EditPage/Mécanique quantique">Améliorez-la</a></span> ou <a href="/wiki/Discussion:M%C3%A9canique_quantique" title="Discussion:Mécanique quantique">discutez des points à améliorer</a>.</span></div></div> <p>En pratique, l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312d43de853a9e6ca74888e63394fc8081f56a43" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.937ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi \rangle }"></span> est le plus souvent écrit dans une base <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|{\vec {r}}\rangle )_{{\vec {r}}\in \mathbf {R} ^{3}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|{\vec {r}}\rangle )_{{\vec {r}}\in \mathbf {R} ^{3}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752de444fd7370cbbf060e6bfdeaa099e6676aa2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:9.063ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (|{\vec {r}}\rangle )_{{\vec {r}}\in \mathbf {R} ^{3}}}"></span> d'états de position spatiale parfaitement déterminée : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi \rangle =\int _{{\vec {r}}\in \mathbf {R} ^{3}}\phi ({\vec {r}},t)|{\vec {r}}\rangle \mathrm {d} V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msub> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi \rangle =\int _{{\vec {r}}\in \mathbf {R} ^{3}}\phi ({\vec {r}},t)|{\vec {r}}\rangle \mathrm {d} V}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533f3bb6077119e040d1e4cd7fc4a4e16a127c8b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.34ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle |\phi \rangle =\int _{{\vec {r}}\in \mathbf {R} ^{3}}\phi ({\vec {r}},t)|{\vec {r}}\rangle \mathrm {d} V}"></span></dd></dl> <p>Ici l'intégration joue le rôle de la sommation utilisée plus haut notamment dans l'énoncé du principe de superposition, la différence étant qu'il s'agit d'une somme continue, c'est-à-dire de la somme d'une infinité de termes infiniment petits. </p><p>La fonction <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi ({\vec {r}},t)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi ({\vec {r}},t)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4638fa4351fd49f3bcb40e3b2acc1cd964e9c278" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.291ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \phi ({\vec {r}},t)}"></span> est appelée « fonction d'onde » et c'est sur elle que se font l'essentiel des calculs obtenus à partir de l'équation de Schrödinger. </p><p>L'écriture de l'équation de Schrödinger non plus en fonction de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312d43de853a9e6ca74888e63394fc8081f56a43" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.937ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi \rangle }"></span> mais de la fonction d'onde se fait en remplaçant chaque terme de l'hamiltonien par les expressions correspondantes dépendant de la fonction d'onde. Par exemple, l'impulsion <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {d \over dx}|\phi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {d \over dx}|\phi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1cb5551075b95b71a7e9535c3f2faf30c84abe5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:6.319ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {d \over dx}|\phi \rangle }"></span> s'écrit comme vu plus haut <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {d \over dx}{\hat {T}}(x)|\phi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {d \over dx}{\hat {T}}(x)|\phi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d58e407aa28bf952c05bc114a86f2c55ee4bf49" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:11.232ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {d \over dx}{\hat {T}}(x)|\phi \rangle }"></span> où <i>T</i>(<i>x</i>) est l'opérateur unitaire de translation de longueur <i>x</i> dans l'espace, c'est-à-dire tel que : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {T(x)}}|x'\rangle =|x'-x\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {T(x)}}|x'\rangle =|x'-x\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b45975983aa06e2dedd016313b32d6092db43f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.176ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {T(x)}}|x'\rangle =|x'-x\rangle }"></span>.</dd></dl> <p>Dès lors, il vient : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {d \over dx}|\phi \rangle ={d \over dx}{\hat {T}}(x)\int \phi (x')|x'\rangle dx'={d \over dx}\int \phi (x'){\hat {T}}(x)|x'\rangle dx'={d \over dx}\int \phi (x')|x'-x\rangle dx'}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∫</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∫</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>∫</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {d \over dx}|\phi \rangle ={d \over dx}{\hat {T}}(x)\int \phi (x')|x'\rangle dx'={d \over dx}\int \phi (x'){\hat {T}}(x)|x'\rangle dx'={d \over dx}\int \phi (x')|x'-x\rangle dx'}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df90cf820024ff52927ceac793f3ad62a420dae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:84.675ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {d \over dx}|\phi \rangle ={d \over dx}{\hat {T}}(x)\int \phi (x')|x'\rangle dx'={d \over dx}\int \phi (x'){\hat {T}}(x)|x'\rangle dx'={d \over dx}\int \phi (x')|x'-x\rangle dx'}"></span></dd></dl> <p>Par un changement de variable sous l'intégrale, et en se rappelant que l'équation est écrite au voisinage de <i>x</i> = 0, il découle<sup id="cite_ref-20" class="reference"><a href="#cite_note-20"><span class="cite_crochet">[</span>note 7<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {d \over dx}|\phi \rangle =\int {\partial \phi \over \partial x}(x)|x\rangle dx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>ϕ</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>x</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {d \over dx}|\phi \rangle =\int {\partial \phi \over \partial x}(x)|x\rangle dx}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd91a33f0c5232d3f117aa6d1875ab584ccfdc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.103ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {d \over dx}|\phi \rangle =\int {\partial \phi \over \partial x}(x)|x\rangle dx}"></span></dd></dl> <p>Autrement dit, l'opérateur d'impulsion agit sur le vecteur d'état en donnant un vecteur dont les coordonnées dans la représentation spatiale sont les dérivées de la fonction d'onde (à un facteur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\hbar }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d724d600903f701570a9f97c2a8378a6f3a80e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.109ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i\hbar }"></span> près ignoré ici). Ceci permet d'effectuer tous les calculs uniquement sur la fonction d'onde et ainsi de se ramener à la résolution d'une <a href="/wiki/%C3%89quation_aux_d%C3%A9riv%C3%A9es_partielles" title="Équation aux dérivées partielles">équation aux dérivées partielles</a>, c'est-à-dire à l'équation de Schrödinger sous une forme plus proche de sa forme historique : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\hbar {\partial \phi (t,{\vec {r}}) \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}\Delta \phi (t,{\vec {r}})+V(t,{\vec {r}})\phi (t,{\vec {r}})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>ϕ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\hbar {\partial \phi (t,{\vec {r}}) \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}\Delta \phi (t,{\vec {r}})+V(t,{\vec {r}})\phi (t,{\vec {r}})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c36c6dca223332c1ce9fec2a38daafe2dafe3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:43.552ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle i\hbar {\partial \phi (t,{\vec {r}}) \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}\Delta \phi (t,{\vec {r}})+V(t,{\vec {r}})\phi (t,{\vec {r}})}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Matrice_densité"><span id="Matrice_densit.C3.A9"></span>Matrice densité</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=17" title="Modifier la section : Matrice densité" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=17" title="Modifier le code source de la section : Matrice densité"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Matrice_densit%C3%A9" title="Matrice densité">matrice densité</a>.</div></div> <p>La règle de Born implique que le résultat d'une expérience peut être indéterminé même lorsque l'état du système est parfaitement déterminé. Cette indétermination est intrinsèque au système, et ce en un sens qui n'a pas d'équivalent classique. Cependant, une ignorance concernant l'état exact du système peut aussi justifier une description probabiliste au sens classique du terme, c'est-à-dire avec l'acceptation usuelle des lois de probabilités. </p><p>Ainsi, dans une base orthonormale d'états <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe78aae7ac03e9cfc121eb4917e6a1d15a441d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.737ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }"></span>, même si l'état exact est inconnu, il est tout de même possible de lui attribuer une distribution de probabilités <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (p_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (p_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782d5a23e9e3e2e7bcf96c1f0b8193c73c76e683" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.778ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (p_{i})}"></span>, où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}"></span> est la probabilité pour le système d'être dans l'état quantique <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe78aae7ac03e9cfc121eb4917e6a1d15a441d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.737ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }"></span>. La question est alors de savoir comment rendre compte de ce type de probabilité dans les calculs. </p><p>L'étude du système se réduit à celle de la mesure des observables disponibles, qui elle-même se réduit à la mesure de leur valeur moyenne qui s'écrit, pour une observable <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> et si le système est dans l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe78aae7ac03e9cfc121eb4917e6a1d15a441d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.737ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }"></span> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle A\rangle _{i}=\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle A\rangle _{i}=\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682f24250135196809a1e5ea7ea5d0edebfaafc4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.667ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle A\rangle _{i}=\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle }"></span></dd></dl> <p>Comme le système est dans un état inconnu, mais avec la distribution de probabilité <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (p_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (p_{i})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782d5a23e9e3e2e7bcf96c1f0b8193c73c76e683" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.778ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (p_{i})}"></span>, l'espérance mathématique devient : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{i}p_{i}\langle A\rangle _{i}=\sum _{i}p_{i}\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{i}p_{i}\langle A\rangle _{i}=\sum _{i}p_{i}\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25996cfff74acecb4744cfcba22174ee485cf4a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:34.74ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{i}p_{i}\langle A\rangle _{i}=\sum _{i}p_{i}\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle }"></span></dd></dl> <p>Cette expression est en quelque sorte une double espérance mathématique, prenant en compte à la fois les probabilités quantiques et classiques. Les termes <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle A\rangle _{i}=\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle A\rangle _{i}=\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682f24250135196809a1e5ea7ea5d0edebfaafc4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.667ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle A\rangle _{i}=\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle }"></span> sont en effet des espérances mathématiques, pour des distributions de probabilité associées au principe de superposition et à la règle de Born. L'expression <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i}p_{i}\langle A\rangle _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i}p_{i}\langle A\rangle _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511f359205ce49708eaed16f7b1285848fa89276" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:10.063ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i}p_{i}\langle A\rangle _{i}}"></span> est quant à elle une espérance mathématique associée à une distribution de probabilité traduisant une ignorance vis-à-vis de l'état réel du système, c'est-à-dire une distribution de probabilité classique. </p><p>L'espérance mathématique peut alors s'écrire : </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\langle A\rangle &=\sum _{i}p_{i}\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle \\&=\sum _{ij}p_{i}\langle \phi _{j}|A|\phi _{i}\rangle \delta _{ij}\\&=\sum _{ij}\langle \phi _{j}|Ap_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\phi _{j}\rangle \\&=\sum _{j}\langle \phi _{j}|A\left(\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\right)|\phi _{j}\rangle \\&=\sum _{j}\langle \phi _{j}|A\rho |\phi _{j}\rangle \\&=\mathrm {Tr} (A\rho )\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mi>A</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mi>δ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mi>ρ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">T</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mi>ρ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\langle A\rangle &=\sum _{i}p_{i}\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle \\&=\sum _{ij}p_{i}\langle \phi _{j}|A|\phi _{i}\rangle \delta _{ij}\\&=\sum _{ij}\langle \phi _{j}|Ap_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\phi _{j}\rangle \\&=\sum _{j}\langle \phi _{j}|A\left(\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\right)|\phi _{j}\rangle \\&=\sum _{j}\langle \phi _{j}|A\rho |\phi _{j}\rangle \\&=\mathrm {Tr} (A\rho )\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b830014b3c6c9e724142b7ce5a0f28c84489ff4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -16.671ex; width:37.834ex; height:34.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\langle A\rangle &=\sum _{i}p_{i}\langle \phi _{i}|A|\phi _{i}\rangle \\&=\sum _{ij}p_{i}\langle \phi _{j}|A|\phi _{i}\rangle \delta _{ij}\\&=\sum _{ij}\langle \phi _{j}|Ap_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\phi _{j}\rangle \\&=\sum _{j}\langle \phi _{j}|A\left(\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\right)|\phi _{j}\rangle \\&=\sum _{j}\langle \phi _{j}|A\rho |\phi _{j}\rangle \\&=\mathrm {Tr} (A\rho )\end{aligned}}}"></span> </p><p>L'expression <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ρ</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2acbe5f05f86cb83d96b97cf59a621e095b278d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:17.485ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}"></span> est ce qu'on appelle la <i>matrice densité</i> associée à la distribution de probabilités <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab39399bf5424f25d957cdc57c84a0622626d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.059ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}}"></span> dans la base <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe78aae7ac03e9cfc121eb4917e6a1d15a441d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.737ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi _{i}\rangle }"></span>. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Tr} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">T</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Tr} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5bad9608c98c03b423fa3a618b5a04c9ce5a39" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.59ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Tr} }"></span> est la <a href="/wiki/Trace_(alg%C3%A8bre)" title="Trace (algèbre)">trace</a>. </p><p>La matrice densité n'est, à l'instar des observables, qu'un outil mathématique qui permet le calcul des espérances mathématiques des résultats de mesure, mais contrairement aux observables, la matrice densité incorpore la prise en compte d'une possible ignorance de l'état exact du système. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples_notables_de_problèmes_quantiques"><span id="Exemples_notables_de_probl.C3.A8mes_quantiques"></span>Exemples notables de problèmes quantiques</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=18" title="Modifier la section : Exemples notables de problèmes quantiques" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=18" title="Modifier le code source de la section : Exemples notables de problèmes quantiques"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>En mécanique quantique, il existe quelques problèmes et sujets d'études qui sont désormais très bien analysés, et qui s'avèrent très utiles pour la compréhension d'autres systèmes. Ils font partie intégrante du corpus théorique et sont traités en détail dans tous les manuels. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fermions_et_bosons">Fermions et bosons</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=19" title="Modifier la section : Fermions et bosons" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=19" title="Modifier le code source de la section : Fermions et bosons"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Fichier:Laser_optique.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Laser_optique.jpg/220px-Laser_optique.jpg" decoding="async" width="220" height="194" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Laser_optique.jpg/330px-Laser_optique.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/99/Laser_optique.jpg/440px-Laser_optique.jpg 2x" data-file-width="510" data-file-height="450" /></a><figcaption>Les <a href="/wiki/Laser" title="Laser">lasers</a> fonctionnent grâce à la propension qu'ont les bosons à occuper le même état quantique.</figcaption></figure> <p>Les principes fondamentaux énoncés plus haut suffisent déjà à expliquer l'une des propriétés les plus importantes de la matière : la distinction entre <a href="/wiki/Boson" title="Boson">bosons</a> et <a href="/wiki/Fermion" title="Fermion">fermions</a>. </p><p>En effet, cette distinction découle essentiellement du caractère vectoriel de l'espace des états et de son interprétation probabiliste. Si on considère un système physique (ou plus simplement une particule) et que l'on note <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }"></span> son état, alors un système physique constitué de deux de ces particules s'écrira <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi _{1}\phi _{2}\rangle =|\phi _{1}\rangle |\phi _{2}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi _{1}\phi _{2}\rangle =|\phi _{1}\rangle |\phi _{2}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d0a383e5b18361d582be604f5e879c91b82ab0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.512ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi _{1}\phi _{2}\rangle =|\phi _{1}\rangle |\phi _{2}\rangle }"></span> en utilisant le <a href="/wiki/Produit_tensoriel" title="Produit tensoriel">produit tensoriel</a> des deux vecteurs. </p><p>La question qui se pose alors est celle de savoir comment se comporte le système si, par la pensée, on intervertit les rôles joués par les deux particules. Autrement dit, on s'interroge sur la relation entre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi _{1}\phi _{2}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi _{1}\phi _{2}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ad74f7abfb9b5e5044f04ed3e61c7490218511" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.431ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi _{1}\phi _{2}\rangle }"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi _{2}\phi _{1}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi _{2}\phi _{1}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200dfc2e0c06a2c8b926600d16bbcfe06993be8b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.431ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi _{2}\phi _{1}\rangle }"></span>. Ces deux systèmes étant parfaitement analogues, lorsque les particules sont considérées indiscernables, elles doivent se comporter de la même façon. Leur répartition de probabilité est donc la même et elles sont donc reliées par un scalaire <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }"></span> : </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi _{2}\phi _{1}\rangle =\alpha |\phi _{1}\phi _{2}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi _{2}\phi _{1}\rangle =\alpha |\phi _{1}\phi _{2}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a429eb5cd1c814bed93b5563e0335b56bed26ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.448ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi _{2}\phi _{1}\rangle =\alpha |\phi _{1}\phi _{2}\rangle }"></span> </p><p>Or, si on intervertit à nouveau les particules, on doit nécessairement réobtenir le système initial, de telle sorte que : </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ^{2}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ^{2}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b774631fbac70d792a47902c0ac7342dc99689de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.803ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha ^{2}=1}"></span> </p><p>Même parmi les nombres complexes, il n'existe que deux racines carrées de l'unité : 1 et -1. Cela implique qu'il ne peut exister que deux types bien distincts de particules, celles pour lesquelles <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d67a45a44be8b8f15e99b7def2b0cf0aba1717" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =1}"></span>, les <a href="/wiki/Boson" title="Boson">bosons</a>, et celles pour lesquelles <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5085949e2199a2ceb07209c41ab56928da5cce0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.557ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \alpha =-1}"></span>, les <a href="/wiki/Fermion" title="Fermion">fermions</a> (ces noms font référence aux physiciens qui ont découvert les statistiques associées : <a href="/wiki/Satyendranath_Bose" title="Satyendranath Bose">Satyendranath Bose</a> et <a href="/wiki/Enrico_Fermi" title="Enrico Fermi">Enrico Fermi</a>). </p><p>De cela il découle directement le <a href="/wiki/Principe_d%27exclusion_de_Pauli" title="Principe d'exclusion de Pauli">principe d'exclusion de Pauli</a>, auquel seuls les fermions obéissent. Considérons par exemple un fermion et imaginons deux particules de cette espèce dans exactement le même état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ϕ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }"></span>. </p><p>On a : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi \phi \rangle =|\phi _{2}\phi _{1}\rangle =-|\phi _{1}\phi _{2}\rangle =-|\phi \phi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi \phi \rangle =|\phi _{2}\phi _{1}\rangle =-|\phi _{1}\phi _{2}\rangle =-|\phi \phi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279af05d8b76d00979120d08977ea210c8e31b6b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi \phi \rangle =|\phi _{2}\phi _{1}\rangle =-|\phi _{1}\phi _{2}\rangle =-|\phi \phi \rangle }"></span> et donc : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi \phi \rangle =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi \phi \rangle =0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c655aa8c0fecfbbcb13cf74ff0c28a1d86841f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.583ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi \phi \rangle =0}"></span> </p><p>Autrement dit la probabilité pour que deux fermions soient dans le même état est toujours nulle. Une telle propriété est d'une importance considérable dans la nature. On lui doit par exemple en grande partie l'<a href="/w/index.php?title=Imp%C3%A9n%C3%A9trabilit%C3%A9_des_corps&action=edit&redlink=1" class="new" title="Impénétrabilité des corps (page inexistante)">impénétrabilité des corps</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Impenetrability" class="extiw" title="en:Impenetrability"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Impenetrability »">(en)</span></a> ou encore la stabilité de la matière<sup id="cite_ref-21" class="reference"><a href="#cite_note-21"><span class="cite_crochet">[</span>14<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>À l'inverse, les bosons ont tendance à se regrouper les uns avec les autres, car leurs amplitudes de probabilités interfèrent constructivement quand ils sont dans le même état. Ceci est la cause de nombreux phénomènes, comme l'<a href="/wiki/%C3%89mission_stimul%C3%A9e" title="Émission stimulée">émission stimulée</a>, à la base du fonctionnement des <a href="/wiki/Laser" title="Laser">lasers</a>. </p><p>Des considérations comparables aux calculs effectués plus haut permettent de comprendre qu'un nombre pair de fermions se comportent comme des bosons. Ceci est la cause de phénomènes comme la <a href="/wiki/Supraconductivit%C3%A9" title="Supraconductivité">supraconductivité</a>, où les électrons forment des <a href="/wiki/Paires_de_Cooper" class="mw-redirect" title="Paires de Cooper">paires de Cooper</a>. C'est aussi ce qui explique les différences de comportement entre les différents <a href="/wiki/Isotopes_de_l%27h%C3%A9lium" title="Isotopes de l'hélium">isotopes de l'hélium</a> : dans un atome d'<a href="/wiki/H%C3%A9lium_4" title="Hélium 4">hélium 4</a> (<sup>4</sup>He), chaque particule est présente en double (deux électrons, deux protons et deux neutrons, formant des paires de Cooper), ce qui fait de cet atome un boson. Ce qui n'est pas le cas dans l'atome d'<a href="/wiki/H%C3%A9lium_3" title="Hélium 3">hélium 3</a> (<sup>3</sup>He), qui n'a qu'un neutron, ce qui fait de cet atome un fermion ; qui peut s'associer à un autre atome d'hélium 3 pour former un boson d'une paire de Cooper. </p><p>Le caractère bosonique ou fermionique des particules est lié à leur <a href="/wiki/Spin" title="Spin">spin</a>, par ce qu'on appelle le <a href="/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_spin-statistique" title="Théorème spin-statistique">théorème spin-statistique</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Oscillateur_harmonique">Oscillateur harmonique</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=20" title="Modifier la section : Oscillateur harmonique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=20" title="Modifier le code source de la section : Oscillateur harmonique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Oscillateur_harmonique_quantique" title="Oscillateur harmonique quantique">oscillateur harmonique quantique</a>.</div></div> <p>Parmi les systèmes que l'on peut résoudre analytiquement en mécanique quantique, l'un d'entre eux a une importance particulière tant sur le plan historique que théorique. Il s'agit de l'<a href="/wiki/Oscillateur_harmonique" title="Oscillateur harmonique">oscillateur harmonique</a>. </p><p>En mécanique classique, l'oscillateur harmonique est un système de grande importance car il constitue une bonne approximation de n'importe quel système stable autour d'une position d'équilibre. Dans un <a href="/wiki/Syst%C3%A8me_d%27unit%C3%A9s" title="Système d'unités">système d'unités</a> adéquat, l'équation énergétique s'écrit : </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {{\hat {P}}^{2}}{2}}+{\frac {{\hat {X}}^{2}}{2}}=E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {{\hat {P}}^{2}}{2}}+{\frac {{\hat {X}}^{2}}{2}}=E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d2a155b01cfff62ca806ad97ac27c0f73b66aa6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.287ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {{\hat {P}}^{2}}{2}}+{\frac {{\hat {X}}^{2}}{2}}=E}"></span> </p><p>Où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {P}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {P}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a46a8cf7bc789e8c4f8de7ca0d9946a46fb8842" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.812ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {P}}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {X}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {X}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc59ad6d9a06d55b96b65beb0fdfc89acc1e40e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {X}}}"></span> sont respectivement l'impulsion et la position du mobile. </p><p>En mécanique quantique, l'équation est formellement la même, mais les grandeurs impliquées sont de nature différente. Au lieu d'être des scalaires réels dépendant du temps, l'impulsion et la position sont des opérateurs linéaires sur l'espace vectoriel des états. Ces grandeurs peuvent être manipulées de manière algébrique comme avec des scalaires normaux, à ceci près qu'il s'agit d'une algèbre non commutative. Il faut donc prêter attention aux <a href="/wiki/Commutateur_(op%C3%A9rateur)" title="Commutateur (opérateur)">commutateurs</a> entre les opérateurs concernés. En l'occurrence, le commutateur entre <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {P}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {P}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a46a8cf7bc789e8c4f8de7ca0d9946a46fb8842" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.812ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {P}}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {X}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {X}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc59ad6d9a06d55b96b65beb0fdfc89acc1e40e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {X}}}"></span> est : </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[{\hat {X}},{\hat {P}}\right]=i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[{\hat {X}},{\hat {P}}\right]=i}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde94b2c9d03c1ef0ba18373c4b6c3d2e6c1dab8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:10.922ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \left[{\hat {X}},{\hat {P}}\right]=i}"></span> </p><p>La résolution du système passe alors par une factorisation inspirée de l'<a href="/wiki/Identit%C3%A9_remarquable" title="Identité remarquable">identité remarquable</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b0a25cd25a8ae03d0ac171b4ed2b3d42472eef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.029ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}"></span>. En se rappelant que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{2}=-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{2}=-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e98a401d352e5037d5043028e2d7f449e83fa6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.926ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i^{2}=-1}"></span>, on introduit donc deux opérateurs (à un facteur de normalisation <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}/2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}/2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92e6060e3ae8823f355e4f7288d463621806295c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.423ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}/2}"></span> près) : </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {A}}={\hat {P}}+i{\hat {X}}\qquad {\hat {A}}^{\dagger }={\hat {P}}-i{\hat {X}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="2em" /> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>A</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>†</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>−</mo> <mi>i</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {A}}={\hat {P}}+i{\hat {X}}\qquad {\hat {A}}^{\dagger }={\hat {P}}-i{\hat {X}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18fcab1cd658330ddfd7a6ef353edcffe4e7b090" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:30.225ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {A}}={\hat {P}}+i{\hat {X}}\qquad {\hat {A}}^{\dagger }={\hat {P}}-i{\hat {X}}}"></span> </p><p>Pour des raisons qui apparaissent en cours de calcul (<abbr class="abbr" title="confer (reportez-vous à/comparez avec)">cf.</abbr> <a href="/wiki/Oscillateur_harmonique_quantique" title="Oscillateur harmonique quantique">article détaillé</a>), ces opérateurs sont appelés opérateurs respectivement de création et d'annihilation de quanta, ou encore <a href="/wiki/Op%C3%A9rateur_d%27%C3%A9chelle" title="Opérateur d'échelle">opérateurs d'échelle</a>. Ensuite, un raisonnement par récurrence permet de montrer le caractère quantifié des niveaux d'énergie possible, et de calculer leurs valeurs. Ces quanta sont l'analogue mécanique des photons, et à ce titre ils sont parfois appelés <a href="/wiki/Phonon" title="Phonon">phonons</a>. </p><p>Cette introduction d'opérateurs de création et d'annihilation est une technique assez emblématique de la physique quantique. On la retrouve par exemple dans la théorie du <a href="/wiki/Moment_cin%C3%A9tique_quantique" class="mw-redirect" title="Moment cinétique quantique">moment cinétique quantique</a> ou en <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_quantique_des_champs" title="Théorie quantique des champs">théorie quantique des champs</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Effet_tunnel">Effet tunnel</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=21" title="Modifier la section : Effet tunnel" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=21" title="Modifier le code source de la section : Effet tunnel"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Effet_tunnel" title="Effet tunnel">Effet tunnel</a>.</div></div> <p>L'effet tunnel désigne la propriété que possède un objet quantique de franchir une barrière de potentiel même si son énergie est inférieure à l'énergie minimale requise pour franchir cette barrière. C'est un effet purement quantique, qui ne peut pas s'expliquer par la mécanique classique. Pour une telle particule, la fonction d'onde, dont le carré du module représente la densité de probabilité de présence, ne s'annule pas au niveau de la barrière, mais s'atténue à l'intérieur de la barrière, pratiquement exponentiellement pour une barrière assez large. Si, à la sortie de la barrière de potentiel, la particule possède une probabilité de présence non nulle, elle peut traverser cette barrière. Cette probabilité dépend des états accessibles de part et d'autre de la barrière ainsi que de l'extension spatiale de la barrière. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spin_de_l'électron"><span id="Spin_de_l.27.C3.A9lectron"></span>Spin de l'électron</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=22" title="Modifier la section : Spin de l'électron" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=22" title="Modifier le code source de la section : Spin de l'électron"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/Spin" title="Spin">spin</a> et <a href="/wiki/Matrices_de_Pauli" title="Matrices de Pauli">matrices de Pauli</a>.</div></div> <p>Historiquement, le spin de l'électron est d'abord un phénomène expérimental observé notamment lors de l'<a href="/wiki/Exp%C3%A9rience_de_Stern_et_Gerlach" title="Expérience de Stern et Gerlach">expérience de Stern et Gerlach</a>. En substance, il apparaît comme une sorte de très faible <a href="/wiki/Moment_magn%C3%A9tique" title="Moment magnétique">moment magnétique</a> n'admettant que deux valeurs possibles, qui sont opposées et qui ne varient pas continûment selon l'axe de mesure. Il s'agit donc d'une grandeur qui ne respecte pas, du moins en apparence, les lois spatiales de la <a href="/wiki/Trigonom%C3%A9trie" title="Trigonométrie">trigonométrie</a>, tout en étant directionnelle. Ces observations assez curieuses n'ont pu être expliquées que par la mécanique quantique. </p><p>Le spin de l'électron est donc une grandeur <i>a priori</i> directionnelle qui ne peut prendre que deux valeurs de magnitude égale et de sens opposé. Les états quantiques correspondants sont alors en général notés <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |+\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |+\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f39109e5dd0d63a152bd539e71a233b78e23eb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |+\rangle }"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |-\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |-\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da62e696eae51c2d89944b647e24b41cafb2f1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |-\rangle }"></span><sup id="cite_ref-22" class="reference"><a href="#cite_note-22"><span class="cite_crochet">[</span>note 8<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Ces états dépendent d'un axe d'observation particulier, traditionnellement placé verticalement, c'est-à-dire selon l'axe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (O,z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>O</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (O,z)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0dcb45d7e5ac62206235786bcc9ee11e1b628b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.705ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (O,z)}"></span>. </p><p>Avec un choix d'unités adéquat, cela signifie que pour un électron dans l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |+\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |+\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f39109e5dd0d63a152bd539e71a233b78e23eb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |+\rangle }"></span>, la mesure du moment magnétique de spin selon <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (O,z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>O</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (O,z)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0dcb45d7e5ac62206235786bcc9ee11e1b628b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.705ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (O,z)}"></span> donnera à coup sûr +1 comme résultat de mesure. De la même façon un électron dans l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |-\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |-\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da62e696eae51c2d89944b647e24b41cafb2f1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |-\rangle }"></span> donnera nécessairement -1 comme résultat de mesure selon ce même axe. </p><p>Dès lors, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |+\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |+\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f39109e5dd0d63a152bd539e71a233b78e23eb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |+\rangle }"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |-\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |-\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da62e696eae51c2d89944b647e24b41cafb2f1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |-\rangle }"></span> forment la base d'un espace vectoriel de dimension deux, et l'observable associée à la mesure du spin selon l'axe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (O,z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>O</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (O,z)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0dcb45d7e5ac62206235786bcc9ee11e1b628b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.705ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (O,z)}"></span> s'écrit alors, en représentation matricielle : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d38cd3d93f465719c4a8c2458d6576aa20c50a57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.108ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}"></span></dd></dl> <p>(l'indice 3 est ici choisit car l'axe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (O,z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>O</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (O,z)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0dcb45d7e5ac62206235786bcc9ee11e1b628b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.705ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (O,z)}"></span> est traditionnellement le troisième axe du trièdre spatial) </p><p>Par application du principe de superposition, toute superposition linéaire de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |+\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |+\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f39109e5dd0d63a152bd539e71a233b78e23eb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |+\rangle }"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |-\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |-\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da62e696eae51c2d89944b647e24b41cafb2f1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |-\rangle }"></span> est aussi un état possible pour l'électron. Parmi ces combinaisons linéaires, il en est qui sont les vecteurs propres de deux matrices <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa0e56273a1cb32709b442e2421e9f947522b84" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.382ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{1}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4b9cd9efc54bcfd04e0a2231913c13f10798d9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.382ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{2}}"></span> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\mathrm {,} \quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mo>−</mo> <mi>i</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>i</mi> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\mathrm {,} \quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b4392c55ece020c4688483af9231993db5cc08" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:33.018ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\mathrm {,} \quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}"></span></dd></dl> <p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa0e56273a1cb32709b442e2421e9f947522b84" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.382ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{1}}"></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4b9cd9efc54bcfd04e0a2231913c13f10798d9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.382ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{2}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf20b7f333612db2c9f52e80f1b27eceb39e3e42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.382ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{3}}"></span> forment avec la matrice unité ce qu'on appelle les <a href="/wiki/Matrices_de_Pauli" title="Matrices de Pauli">matrices de Pauli</a>. </p><p>La considération d'un vecteur unitaire <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}=(n_{1},n_{2},n_{3})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}=(n_{1},n_{2},n_{3})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e0bd9aac9f7778460a1e55574a70a84e9d749b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.717ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}=(n_{1},n_{2},n_{3})}"></span> et de l'observable : <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma =\sigma _{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma =\sigma _{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470e6737a4a63008f235edae1f281d2e2163c89a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.601ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma =\sigma _{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}}"></span> permet alors de faire apparaître la valeur moyenne suivante de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>σ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }"></span> pour l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |+\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |+\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f39109e5dd0d63a152bd539e71a233b78e23eb5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |+\rangle }"></span> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\langle +|\sigma |+\rangle &=\langle +|\sigma _{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}|+\rangle \\&=\langle +|\sigma _{1}n_{1}|+\rangle +\langle +|\sigma _{2}n_{2}|+\rangle +\langle +|\sigma _{3}n_{3}|+\rangle \\&=0+0+n_{3}\\&=\cos(\theta )\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟨</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\langle +|\sigma |+\rangle &=\langle +|\sigma _{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}|+\rangle \\&=\langle +|\sigma _{1}n_{1}|+\rangle +\langle +|\sigma _{2}n_{2}|+\rangle +\langle +|\sigma _{3}n_{3}|+\rangle \\&=0+0+n_{3}\\&=\cos(\theta )\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3f846ce1f3103da1b03b8de7917a30a718bc4f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.505ex; width:52.229ex; height:12.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\langle +|\sigma |+\rangle &=\langle +|\sigma _{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}|+\rangle \\&=\langle +|\sigma _{1}n_{1}|+\rangle +\langle +|\sigma _{2}n_{2}|+\rangle +\langle +|\sigma _{3}n_{3}|+\rangle \\&=0+0+n_{3}\\&=\cos(\theta )\end{aligned}}}"></span></dd></dl> <p>où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> est l'angle éloignant <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {n}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49569db585c1b6306d5ffd91161775f67235fae0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {n}}}"></span> de l'axe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (O,z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>O</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (O,z)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0dcb45d7e5ac62206235786bcc9ee11e1b628b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.705ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (O,z)}"></span>. </p><p>Autrement dit, dès lors que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa0e56273a1cb32709b442e2421e9f947522b84" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.382ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{1}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4b9cd9efc54bcfd04e0a2231913c13f10798d9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.382ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{2}}"></span> sont associés aux observables liées à la mesure du spin selon les axes <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (O,x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>O</mi> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (O,x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4569e2c8a03ae3fc289ff4da97f5284874e1d49e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.946ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (O,x)}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (O,y)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>O</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (O,y)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/123ab281aec5d0c35ba8ffed6d90dec4041e4c2e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.772ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (O,y)}"></span>, alors les règles de trigonométries apparaissent, mais avec une signification probabiliste. C'est là un résultat typique de la mécanique quantique. </p><p>Le spin de l'électron joue un rôle très important en mécanique quantique, d'une part parce que c'est un phénomène qui n'a pas d'équivalent classique, et d'autre part parce que c'est l'un des systèmes quantiques les plus simples dans la mesure où il n'a que deux états (ou plus précisément, que son espace vectoriel est de dimension deux<sup id="cite_ref-23" class="reference"><a href="#cite_note-23"><span class="cite_crochet">[</span>note 9<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>). À ce titre il est souvent utilisé comme modèle d'étude pour des systèmes plus complexes, même lorsque le phénomène physique sous-jacent est complètement différent. L'exemple emblématique est le <a href="/wiki/Mod%C3%A8le_d%27Ising" title="Modèle d'Ising">modèle d'Ising</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Atome_d'hydrogène"><span id="Atome_d.27hydrog.C3.A8ne"></span>Atome d'hydrogène</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=23" title="Modifier la section : Atome d'hydrogène" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=23" title="Modifier le code source de la section : Atome d'hydrogène"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Atome_d%27hydrog%C3%A8ne" title="Atome d'hydrogène">atome d'hydrogène</a>.</div></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone"><span class="mw-valign-text-top noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Fairytale_warning.png" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/17px-Fairytale_warning.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/26px-Fairytale_warning.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/34px-Fairytale_warning.png 2x" data-file-width="64" data-file-height="64" /></a></span></div><div class="bandeau-cell">Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:EditPage/M%C3%A9canique_quantique" title="Spécial:EditPage/Mécanique quantique">Votre aide</a> est la bienvenue ! <a href="/wiki/Aide:Comment_modifier_une_page" title="Aide:Comment modifier une page">Comment faire ?</a></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formulation_de_la_mécanique_quantique_par_intégrale_de_chemin"><span id="Formulation_de_la_m.C3.A9canique_quantique_par_int.C3.A9grale_de_chemin"></span>Formulation de la mécanique quantique par intégrale de chemin</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=24" title="Modifier la section : Formulation de la mécanique quantique par intégrale de chemin" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=24" title="Modifier le code source de la section : Formulation de la mécanique quantique par intégrale de chemin"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Int%C3%A9grale_de_chemin" title="Intégrale de chemin">intégrale de chemin</a>.</div></div> <p><a href="/wiki/Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard Feynman</a>, dans sa thèse en 1942, introduit la notion d'<a href="/wiki/Int%C3%A9grale_de_chemin" title="Intégrale de chemin">intégrale de chemin</a> afin de présenter une nouvelle formulation de la mécanique quantique<sup id="cite_ref-24" class="reference"><a href="#cite_note-24"><span class="cite_crochet">[</span>15<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. Ces résultats ne seront publiés qu'en 1948<sup id="cite_ref-25" class="reference"><a href="#cite_note-25"><span class="cite_crochet">[</span>16<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> en raison de la seconde guerre mondiale. À terme, le but de cette approche serait de formuler une théorie de l'<a href="/wiki/%C3%89lectrodynamique_quantique" title="Électrodynamique quantique">électrodynamique quantique</a> en développant la quantification par intégrale de chemin. Si de nos jours on retient le formalisme Hamiltonien de la mécanique quantique pour traiter des problèmes classiques (au sens non relativiste), il s'avère que la formulation de Feynman est largement prédominante pour traiter les problèmes relativistes notamment en <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_quantique_des_champs" title="Théorie quantique des champs">théorie quantique des champs</a>, l'avantage provenant du fait que cette approche est non perturbatrice. </p><p>Par ailleurs, en 1953, Feynman appliqua son approche pour formuler la <a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_statistique_quantique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mécanique statistique quantique (page inexistante)">mécanique statistique quantique</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_statistical_mechanics" class="extiw" title="en:Quantum statistical mechanics"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Quantum statistical mechanics »">(en)</span></a> par intégrale de chemin (<a href="/wiki/Processus_de_Wiener" title="Processus de Wiener">intégrale de Wiener</a>, <a href="/w/index.php?title=Formule_de_Feynman-Kac&action=edit&redlink=1" class="new" title="Formule de Feynman-Kac (page inexistante)">formule de Feynman-Kac</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula" class="extiw" title="en:Feynman–Kac formula"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Feynman–Kac formula »">(en)</span></a>) et tenta d'expliquer la transition lambda dans l'hélium superfluide. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mécanique_quantique_et_relativité"><span id="M.C3.A9canique_quantique_et_relativit.C3.A9"></span>Mécanique quantique et relativité</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=25" title="Modifier la section : Mécanique quantique et relativité" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=25" title="Modifier le code source de la section : Mécanique quantique et relativité"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_quantique_des_champs" title="Théorie quantique des champs">Théorie quantique des champs</a>.</div></div> <p>La mécanique quantique est une théorie « non relativiste » : elle n'incorpore pas les principes de la <a href="/wiki/Relativit%C3%A9_restreinte" title="Relativité restreinte">relativité restreinte</a>. En appliquant les règles de la quantification canonique à la relation de dispersion relativiste, on obtient l'<a href="/wiki/%C3%89quation_de_Klein-Gordon" title="Équation de Klein-Gordon">équation de Klein-Gordon</a> (1926). Les solutions de cette équation présentent toutefois de sérieuses difficultés d'interprétation dans le cadre d'une théorie censée décrire « une » seule particule : on ne peut notamment pas construire une « densité de probabilité de présence » partout positive, car l'équation contient une dérivée temporelle seconde. Dirac cherchera alors une autre équation relativiste du « premier ordre en temps », et obtiendra l'<a href="/wiki/%C3%89quation_de_Dirac" title="Équation de Dirac">équation de Dirac</a>, qui décrit très bien les <a href="/wiki/Fermion" title="Fermion">fermions</a> de <a href="/wiki/Spin" title="Spin">spin</a> un-demi comme l'électron. </p><p>La <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_quantique_des_champs" title="Théorie quantique des champs">théorie quantique des champs</a> permet d'interpréter toutes les équations quantiques relativistes sans difficulté. </p><p>L'<a href="/wiki/%C3%89quation_de_Dirac" title="Équation de Dirac">équation de Dirac</a> incorpore naturellement l'<a href="/wiki/Invariance_de_Lorentz" title="Invariance de Lorentz">invariance de Lorentz</a> avec la mécanique quantique, ainsi que l'interaction avec le <a href="/wiki/Champ_(physique)" title="Champ (physique)">champ</a> <a href="/wiki/%C3%89lectromagn%C3%A9tisme" title="Électromagnétisme">électromagnétique</a> mais qui est traité encore de façon classique (on parle d'<a href="/w/index.php?title=Approximation_semi-classique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Approximation semi-classique (page inexistante)">approximation semi-classique</a>). Elle constitue la <a href="/wiki/M%C3%A9canique_quantique_relativiste" title="Mécanique quantique relativiste">mécanique quantique relativiste</a>. Mais du fait précisément de cette interaction entre les particules et le champ, il est alors nécessaire, afin d'obtenir une description cohérente de l'ensemble, d'appliquer la procédure de <a href="/wiki/Quantification_(physique)" title="Quantification (physique)">quantification</a> également au champ électromagnétique. Le résultat de cette procédure est l'<a href="/wiki/%C3%89lectrodynamique_quantique" title="Électrodynamique quantique">électrodynamique quantique</a> dans laquelle l'unité entre champ et particule est encore plus transparente puisque désormais la matière elle aussi est décrite par un champ. L'électrodynamique quantique est un exemple particulier de <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_quantique_des_champs" title="Théorie quantique des champs">théorie quantique des champs</a>. </p><p>D'autres théories quantique des champs ont été développées par la suite au fur et à mesure que les autres interactions fondamentales ont été découvertes (<a href="/wiki/Th%C3%A9orie_%C3%A9lectrofaible" class="mw-redirect" title="Théorie électrofaible">théorie électrofaible</a>, puis <a href="/wiki/Chromodynamique_quantique" title="Chromodynamique quantique">chromodynamique quantique</a>). </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Les_inégalités_de_Heisenberg"><span id="Les_in.C3.A9galit.C3.A9s_de_Heisenberg"></span>Les inégalités de Heisenberg</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=26" title="Modifier la section : Les inégalités de Heisenberg" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=26" title="Modifier le code source de la section : Les inégalités de Heisenberg"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Principe_d%27incertitude" title="Principe d'incertitude">Principe d'incertitude</a>.</div></div> <p>Les <a href="/wiki/Principe_d%27incertitude" title="Principe d'incertitude">relations d'incertitude de Heisenberg</a> traduisent l'impossibilité de préparer un état quantique correspondant à des valeurs précises de certains couples de grandeurs conjuguées. Ceci est lié au fait que les opérateurs quantiques associés à ces grandeurs classiques « ne <a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_commutative" title="Algèbre commutative">commutent</a> pas ». </p><p>Les inégalités de Heisenberg sont très fréquemment désignées par l'expression « principe d'incertitude ». <i>Stricto sensu</i>, cette appellation est trompeuse : ces inégalités ne sont pas un principe car elles sont parfaitement démontrées grâce à l'<a href="/wiki/Analyse_de_Fourier" class="mw-redirect" title="Analyse de Fourier">analyse de Fourier</a>, et elles ne concernent pas des incertitudes au sens commun du terme mais une indétermination intrinsèque, propre à la nature aléatoire de la mécanique quantique. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Inégalité_position-impulsion"><span id="In.C3.A9galit.C3.A9_position-impulsion"></span>Inégalité position-impulsion</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=27" title="Modifier la section : Inégalité position-impulsion" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=27" title="Modifier le code source de la section : Inégalité position-impulsion"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Considérons par exemple la position <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab34739435d9d9d99cddf4041740b107343b1398" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.717ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x\,}"></span> et l'impulsion <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{x}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{x}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1de999e88ce2b9b1f5c7554edb222cffe724265" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.818ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{x}\,}"></span> d'une particule. En utilisant les règles de la quantification canonique, il est facile de vérifier que les opérateurs de position et d'impulsion satisfont : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P_{x}}}]=i\hbar }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">[</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <msub> <mi>P</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>=</mo> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P_{x}}}]=i\hbar }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c53db8b29ed468ae61a3781f369f2a34883699" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.18ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P_{x}}}]=i\hbar }"></span></dd></dl> <p>La relation d'incertitude est définie à partir des <a href="/wiki/%C3%89cart_type" title="Écart type">écarts quadratiques moyens</a> de grandeurs conjuguées. Dans le cas de la position <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab34739435d9d9d99cddf4041740b107343b1398" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.717ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x\,}"></span> et de l'impulsion <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{x}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{x}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1de999e88ce2b9b1f5c7554edb222cffe724265" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.818ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{x}\,}"></span> d'une particule, elle s'écrit par exemple : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\Delta }x\,\cdot \,{\Delta }p_{x}\ {\geq }\ {\frac {\hbar }{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>⋅</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> </mrow> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>≥</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\Delta }x\,\cdot \,{\Delta }p_{x}\ {\geq }\ {\frac {\hbar }{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6730020a5208f662855e9e0046dc6840708f9561" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.109ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\Delta }x\,\cdot \,{\Delta }p_{x}\ {\geq }\ {\frac {\hbar }{2}}}"></span></dd></dl> <p>Plus l'état possède une distribution resserrée sur la position, plus sa distribution sur les valeurs de l'impulsion qui lui est associée est large. Cette propriété rappelle le cas des ondes, via un résultat de la <a href="/wiki/Transformation_de_Fourier" title="Transformation de Fourier">transformée de Fourier</a>, et exprime ici la dualité onde-corpuscule. Il est clair que ceci mène à une remise en cause de la notion classique de trajectoire comme chemin continu différentiable<sup id="cite_ref-26" class="reference"><a href="#cite_note-26"><span class="cite_crochet">[</span>note 10<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Inégalité_temps-énergie"><span id="In.C3.A9galit.C3.A9_temps-.C3.A9nergie"></span>Inégalité temps-énergie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=28" title="Modifier la section : Inégalité temps-énergie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=28" title="Modifier le code source de la section : Inégalité temps-énergie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Il existe également une relation d'incertitude portant sur l'énergie d'une particule et la variable temps. Ainsi, la durée <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta t\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>t</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta t\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f7d83f727a0b8da1174147a766e028e1f37325" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.163ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta t\,}"></span> nécessaire à la détection d'une particule d'énergie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9123abddc2ec35f72035ec59f443c79ee052c9ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.163ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E\,}"></span> à <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta E\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> <mi>E</mi> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta E\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38e455af954cefbe207d9a6db8c7004b125db04" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.099ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta E\,}"></span> près<sup id="cite_ref-27" class="reference"><a href="#cite_note-27"><span class="cite_crochet">[</span>note 11<span class="cite_crochet">]</span></a></sup> vérifie la relation : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\Delta }E\,\cdot \,{\Delta }t\ {\geq }\ {\frac {\hbar }{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> </mrow> <mi>E</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>⋅</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Δ</mi> </mrow> <mi>t</mi> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>≥</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\Delta }E\,\cdot \,{\Delta }t\ {\geq }\ {\frac {\hbar }{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8d62d5631a27c246ecd1051c6373734596162d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.052ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\Delta }E\,\cdot \,{\Delta }t\ {\geq }\ {\frac {\hbar }{2}}}"></span></dd></dl> <p>Cependant, la dérivation de cette inégalité énergie-temps est assez différente de celle des inégalités position-impulsion<sup id="cite_ref-28" class="reference"><a href="#cite_note-28"><span class="cite_crochet">[</span>17<span class="cite_crochet">]</span></a></sup><sup class="reference cite_virgule">,</sup><sup id="cite_ref-29" class="reference"><a href="#cite_note-29"><span class="cite_crochet">[</span>18<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p><p>En effet, si le hamiltonien est bien le générateur des translations dans le temps en <a href="/wiki/M%C3%A9canique_hamiltonienne" title="Mécanique hamiltonienne">mécanique hamiltonienne</a>, indiquant que temps et énergie sont conjuguées<sup id="cite_ref-30" class="reference"><a href="#cite_note-30"><span class="cite_crochet">[</span>note 12<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, <i>il n'existe pas d'opérateur temps</i> en mécanique quantique (« théorème » de Pauli), c'est-à-dire qu'on ne peut pas construire d'opérateur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {T}}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {T}}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfc29390cd4624308acbda717af118d5aceb31e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.161ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {T}}\,}"></span> qui obéirait à une relation de commutation canonique avec l'opérateur hamiltonien <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {H}}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {H}}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf63791d41ad67063aa2688f9c60be82011cad32" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.451ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {H}}\,}"></span> : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left[{\hat {H}},{\hat {T}}\right]\ =\ i\hbar \ {\hat {1}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>T</mi> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mtext> </mtext> <mi>i</mi> <mi class="MJX-variant">ℏ</mi> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left[{\hat {H}},{\hat {T}}\right]\ =\ i\hbar \ {\hat {1}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81407abe7e1656a86e01cf97a267fadc9c54458" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.565ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \left[{\hat {H}},{\hat {T}}\right]\ =\ i\hbar \ {\hat {1}}}"></span></dd></dl> <p>ceci pour une raison très fondamentale : la mécanique quantique a en effet été inventée pour que chaque système physique stable possède un « état fondamental d'énergie minimum ». L'argument de Pauli est le suivant : si l'opérateur temps existait, il posséderait un spectre continu. Or, l'opérateur temps, obéissant à la relation de commutation canonique, serait aussi le générateur des « translations en énergie ». Ceci entraîne alors que l'opérateur hamiltonien posséderait lui aussi un « spectre continu », en contradiction avec le fait que l'énergie de tout système physique stable se doit d'être <i>bornée inférieurement</i><sup id="cite_ref-31" class="reference"><a href="#cite_note-31"><span class="cite_crochet">[</span>19<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Intrication">Intrication</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=29" title="Modifier la section : Intrication" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=29" title="Modifier le code source de la section : Intrication"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Intrication_quantique" title="Intrication quantique">intrication quantique</a>.</div></div> <p>La notion d'intrication quantique intervient dès lors que deux systèmes <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.903ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5622de88a69f68340f8dcb43d0b8bd443ba9e13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.543ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {B}}}"></span> sont considérés dans leur ensemble comme formant un seul et unique système <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {S}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {S}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2302a18e269dbecc43c57c0c2aced3bfae15278d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.492ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {S}}}"></span>. Cette assertion peut être vérifiée par exemple dans le cas simple où les espaces d'état de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.903ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5622de88a69f68340f8dcb43d0b8bd443ba9e13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.543ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {B}}}"></span> ont pour bases les vecteurs propres <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|a_{i}\rangle )_{i=1..m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1..</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|a_{i}\rangle )_{i=1..m}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d8850bb1d23b0b9ef93dad99be74b3b255dcf6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.648ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (|a_{i}\rangle )_{i=1..m}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|b_{j}\rangle )_{j=1..n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1..</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|b_{j}\rangle )_{j=1..n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349f1bd34c369b1aefc579e655c7d64756b84b84" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.179ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (|b_{j}\rangle )_{j=1..n}}"></span> de deux observables <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"></span> agissant respectivement sur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.903ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5622de88a69f68340f8dcb43d0b8bd443ba9e13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.543ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {B}}}"></span>. </p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"></span> agissent nécessairement aussi sur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {S}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {S}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2302a18e269dbecc43c57c0c2aced3bfae15278d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.492ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {S}}}"></span> puisque <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {S}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {S}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2302a18e269dbecc43c57c0c2aced3bfae15278d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.492ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {S}}}"></span> est constitué de la réunion de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.903ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5622de88a69f68340f8dcb43d0b8bd443ba9e13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.543ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {B}}}"></span>. On peut donc noter <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|a_{i}b_{j}\rangle )_{i=1..m,j=1..n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1..</mn> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1..</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|a_{i}b_{j}\rangle )_{i=1..m,j=1..n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db09aa33ef3d8df22a9f5fd00b4df0ae08e7c2ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.692ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (|a_{i}b_{j}\rangle )_{i=1..m,j=1..n}}"></span> le vecteur d'état de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {S}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {S}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2302a18e269dbecc43c57c0c2aced3bfae15278d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.492ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {S}}}"></span> tel que dans cet état la mesure de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> donne à coup sûr <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.029ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i}}"></span> et la mesure de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"></span> donne à coup sûr <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa56eff4488494085785b7b0d6e2069bd45a3ce5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.907ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle b_{j}}"></span>. </p><p>D'après le principe de superposition, toutes les combinaisons linéaires des vecteurs d'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|a_{i}b_{j}\rangle )_{i=1..m,j=1..n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1..</mn> <mi>m</mi> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1..</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|a_{i}b_{j}\rangle )_{i=1..m,j=1..n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db09aa33ef3d8df22a9f5fd00b4df0ae08e7c2ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.692ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (|a_{i}b_{j}\rangle )_{i=1..m,j=1..n}}"></span> sont des états possibles du système. Or, il existe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle mn}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle mn}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348cd26a0b7a0034f57a951e2cf5f637dd47c1ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.435ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle mn}"></span> tels vecteurs, et donc l'espace vectoriel qu'ils engendrent est au moins de dimension <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle mn}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle mn}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348cd26a0b7a0034f57a951e2cf5f637dd47c1ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.435ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle mn}"></span>. Dans le cas général, cette dimension est supérieure à <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m+n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m+n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88528fefcfac1b22d2df9b71d0f4fc9e758f65ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.276ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m+n}"></span><sup id="cite_ref-32" class="reference"><a href="#cite_note-32"><span class="cite_crochet">[</span>note 13<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>, c'est-à-dire au nombre de degrés de libertés nécessaires pour décrire les systèmes <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.903ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5622de88a69f68340f8dcb43d0b8bd443ba9e13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.543ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {B}}}"></span> considérés séparément. </p><p>Il apparaît donc que dans le cas général la description complète des deux systèmes dans leur ensemble ne peut être réduite à celle des deux systèmes pris séparément. Autrement dit, il existe des états de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {S}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {S}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2302a18e269dbecc43c57c0c2aced3bfae15278d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.492ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {S}}}"></span> tels qu'il n'existe aucun état de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.903ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"></span> ni aucun état de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5622de88a69f68340f8dcb43d0b8bd443ba9e13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.543ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {B}}}"></span>, c'est-à-dire aucune combinaison linéaire des <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|a_{i}\rangle )_{i=1..m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1..</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|a_{i}\rangle )_{i=1..m}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5d8850bb1d23b0b9ef93dad99be74b3b255dcf6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.648ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (|a_{i}\rangle )_{i=1..m}}"></span> ni aucune combinaison linéaire des <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|b_{j}\rangle )_{j=1..n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1..</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|b_{j}\rangle )_{j=1..n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349f1bd34c369b1aefc579e655c7d64756b84b84" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.179ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (|b_{j}\rangle )_{j=1..n}}"></span> qui permettent d'obtenir les probabilités de résultats de mesure. De tels états de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {S}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {S}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2302a18e269dbecc43c57c0c2aced3bfae15278d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.492ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {S}}}"></span> sont alors dit <i>intriqués</i>. Un tel exemple d'état intriqué est : </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\varphi \rangle =|a_{1}b_{2}\rangle +|a_{2}b_{1}\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>φ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\varphi \rangle =|a_{1}b_{2}\rangle +|a_{2}b_{1}\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8129befda8d19586d0109e68d5b4c0f5831b2df1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.785ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\varphi \rangle =|a_{1}b_{2}\rangle +|a_{2}b_{1}\rangle }"></span></dd></dl> <p>Deux systèmes ou deux particules peuvent être intriqués dès qu'il existe une interaction entre eux. En conséquence, les états intriqués sont la règle plutôt que l'exception. Une mesure effectuée sur l'une des particules changera son état quantique selon le postulat quantique de la mesure. Du fait de l'intrication, cette mesure aura un effet instantané sur l'état de l'autre particule, même si la <a href="/wiki/Ligne_d%27univers" title="Ligne d'univers">ligne d'univers</a> qui relie les deux <a href="/wiki/%C3%89v%C3%A9nement_(espace-temps)" title="Événement (espace-temps)">évènements</a> « <i>mesure 1</i> » et « <i>mesure 2</i> » de l'<a href="/wiki/Espace-temps" title="Espace-temps">espace-temps</a> est une courbe de <a href="/wiki/Ligne_d%27univers" title="Ligne d'univers">genre espace</a> ! Par suite, le fait que la mécanique quantique tolère l'existence d'états intriqués, états ayant effectivement été observés en laboratoire et dont le comportement est en accord avec celui prévu par la mécanique quantique (voir l'<a href="/wiki/Exp%C3%A9rience_d%27Aspect" title="Expérience d'Aspect">expérience d'Aspect</a>), implique que la mécanique quantique est une <a href="/wiki/Principe_de_localit%C3%A9_(physique)" title="Principe de localité (physique)">théorie physique non locale</a>. La conjecture <a href="/wiki/ER%3DEPR" class="mw-redirect" title="ER=EPR">ER=EPR</a> interprète cette non-localité comme une propriété fondamentale de l'espace-temps, qui serait en substance généré par le phénomène d'intrication quantique. </p><p>Toutefois, il est incorrect d'assimiler l'intrication quantique à une transmission d'information plus rapide que la vitesse de la lumière (et donc une violation de la théorie de la relativité). La raison est que le résultat de la mesure relatif à la première particule est toujours aléatoire, dans le cas des états intriqués comme dans le cas des états non intriqués. Il est donc impossible de « transmettre » quelque information que ce soit, puisque la modification de l'état de l'autre particule, pour immédiate qu'elle soit, conduit à un résultat de la mesure relatif à la seconde particule qui est toujours aussi aléatoire que celui relatif à la première particule. Les corrélations entre les mesures des deux particules, bien que très réelles et mises en évidence dans de nombreux laboratoires de par le monde, resteront indétectables tant que les résultats des mesures ne seront pas comparés, ce qui implique nécessairement un échange d'information classique, respectueux de la Relativité (voir aussi le <a href="/wiki/Paradoxe_EPR" title="Paradoxe EPR">Paradoxe EPR</a>). </p><p>La <a href="/wiki/T%C3%A9l%C3%A9portation_quantique" title="Téléportation quantique">téléportation quantique</a> fait usage de l'intrication pour assurer le transfert de l'état quantique d'un système physique vers un autre système physique. Ce processus est le seul moyen connu de transférer parfaitement l'information quantique. Il ne peut dépasser la vitesse de la lumière et est également « désincarné », en ce sens qu'il n'y a pas de transfert de matière (contrairement au concept de <a href="/wiki/T%C3%A9l%C3%A9portation" title="Téléportation">téléportation</a> typiquement décrit en <a href="/wiki/Science-fiction" title="Science-fiction">science-fiction</a>). </p><p>Cet état ne doit pas être confondu avec l'état de « superposition ». Un même objet quantique peut avoir deux (ou plus) états « superposés ». Par exemple un même photon peut être dans l'état « polarité longitudinale » et « polarité transversale » simultanément. Le <a href="/wiki/Chat_de_Schr%C3%B6dinger" title="Chat de Schrödinger">chat de Schrödinger</a> est simultanément dans l'état « mort » et « vivant ». Un photon qui passe une lame semi-réfléchissante est dans l'état superposé « photon transmis » et « photon réfléchi ». C'est uniquement lors de l'acte de mesure que l'objet quantique possédera un état déterminé. </p><p>Dans le formalisme de la physique quantique, un état d'intrication de « plusieurs objets quantiques » est représenté par un <a href="/wiki/Produit_tensoriel" title="Produit tensoriel">produit tensoriel</a> des vecteurs d'état de chaque objet quantique. Un état de superposition ne concerne qu'« un seul objet quantique » (qui peut être une intrication), et est représenté par une <a href="/wiki/Combinaison_lin%C3%A9aire" title="Combinaison linéaire">combinaison linéaire</a> des différentes possibilités d'états de celui-ci. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Téléportation_quantique"><span id="T.C3.A9l.C3.A9portation_quantique"></span>Téléportation quantique</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=30" title="Modifier la section : Téléportation quantique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=30" title="Modifier le code source de la section : Téléportation quantique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/T%C3%A9l%C3%A9portation_quantique" title="Téléportation quantique">Téléportation quantique</a>.</div></div> <p>On ne peut déterminer l'état d'un système quantique qu'en l'observant, ce qui a pour effet de détruire l'état en question. Celui-ci peut en revanche, une fois connu, être en principe recréé ailleurs. En d'autres termes, la « duplication » n'est pas possible dans le monde quantique, seule l'est une « reconstruction en un autre endroit », voisine du concept de téléportation dans la <a href="/wiki/Science-fiction" title="Science-fiction">science-fiction</a>. </p><p>Élaborée théoriquement en 1993 par C.H. Bennett, G. Brassard, C. Crépeau, R. Jozsa, A. Peres, et W. Wootters dans l'article <i>Teleporting an unknown quantum state by dual classical and EPR channels</i>, de la <i>Physical Review Letter</i>, cette reconstruction a été réalisée expérimentalement en 1997, sur des photons, par l'équipe d'<a href="/wiki/Anton_Zeilinger" title="Anton Zeilinger">Anton Zeilinger</a> à Innsbruck, et plus récemment sur des atomes d'<a href="/wiki/Hydrog%C3%A8ne" title="Hydrogène">hydrogène</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Liste_des_expériences"><span id="Liste_des_exp.C3.A9riences"></span>Liste des expériences</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=31" title="Modifier la section : Liste des expériences" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=31" title="Modifier le code source de la section : Liste des expériences"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone"><span class="mw-valign-text-top noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Fichier:Fairytale_warning.png" class="mw-file-description"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/17px-Fairytale_warning.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/26px-Fairytale_warning.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Fairytale_warning.png/34px-Fairytale_warning.png 2x" data-file-width="64" data-file-height="64" /></a></span></div><div class="bandeau-cell">Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:EditPage/M%C3%A9canique_quantique" title="Spécial:EditPage/Mécanique quantique">Votre aide</a> est la bienvenue ! <a href="/wiki/Aide:Comment_modifier_une_page" title="Aide:Comment modifier une page">Comment faire ?</a></div></div> <p>De nombreuses expériences ont montré que les phénomènes décrits par la mécanique quantique, tels que le <a href="/wiki/Spin" title="Spin">spin</a> ou l'<a href="/wiki/Intrication_quantique" title="Intrication quantique">intrication quantique</a>, étaient bien réels. Parmi les plus célèbres, l'on peut notamment citer : </p> <ul><li>L'<a href="/wiki/Exp%C3%A9rience_de_Stern_et_Gerlach" title="Expérience de Stern et Gerlach">expérience de Stern et Gerlach</a></li> <li>L'<a href="/wiki/Exp%C3%A9rience_d%27Aspect" title="Expérience d'Aspect">expérience d'Aspect</a></li> <li>L'ensemble des <a href="/wiki/Exp%C3%A9riences_sur_les_in%C3%A9galit%C3%A9s_de_Bell" title="Expériences sur les inégalités de Bell">expériences sur les inégalités de Bell</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Paradoxes">Paradoxes</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=32" title="Modifier la section : Paradoxes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=32" title="Modifier le code source de la section : Paradoxes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Ces « paradoxes » nous questionnent sur l'interprétation de la mécanique quantique, et révèlent dans certains cas à quel point notre intuition peut se révéler trompeuse dans ce domaine qui ne relève pas directement de l'expérience quotidienne de nos sens. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Chat_de_Schrödinger"><span id="Chat_de_Schr.C3.B6dinger"></span>Chat de Schrödinger</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=33" title="Modifier la section : Chat de Schrödinger" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=33" title="Modifier le code source de la section : Chat de Schrödinger"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Chat_de_Schr%C3%B6dinger" title="Chat de Schrödinger">Chat de Schrödinger</a>.</div></div> <p>Ce paradoxe (1935) met en évidence les problèmes d'interprétation du postulat de <a href="/wiki/R%C3%A9duction_du_paquet_d%27onde" title="Réduction du paquet d'onde">réduction du paquet d'onde</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Paradoxe_EPR_et_expérience_d'Alain_Aspect"><span id="Paradoxe_EPR_et_exp.C3.A9rience_d.27Alain_Aspect"></span>Paradoxe EPR et expérience d'Alain Aspect</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=34" title="Modifier la section : Paradoxe EPR et expérience d'Alain Aspect" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=34" title="Modifier le code source de la section : Paradoxe EPR et expérience d'Alain Aspect"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/Paradoxe_EPR" title="Paradoxe EPR">Paradoxe EPR</a> et <a href="/wiki/Exp%C3%A9rience_d%27Aspect" title="Expérience d'Aspect">Expérience d'Aspect</a>.</div></div> <p>Ce paradoxe (1935) met en évidence la non-localité de la physique quantique, impliquée par les <a href="/wiki/Intrication_quantique" title="Intrication quantique">états intriqués</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Expérience_de_Marlan_Scully"><span id="Exp.C3.A9rience_de_Marlan_Scully"></span>Expérience de Marlan Scully</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=35" title="Modifier la section : Expérience de Marlan Scully" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=35" title="Modifier le code source de la section : Expérience de Marlan Scully"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Exp%C3%A9rience_de_Marlan_Scully" class="mw-redirect" title="Expérience de Marlan Scully">Expérience de Marlan Scully</a>.</div></div> <p>Cette expérience peut être interprétée comme une démonstration que les résultats d'une expérience enregistrée à un instant T dépendent objectivement d'une action effectuée à un temps ultérieur T+t. Selon cette interprétation, la non-localité des états intriqués ne serait pas seulement spatiale, mais également temporelle. </p><p>Toutefois, la <a href="/wiki/Causalit%C3%A9_(physique)" title="Causalité (physique)">causalité</a> n'est pas strictement violée car il n'est pas possible — pour des raisons fondamentales — de mettre en évidence, avant l'instant T+t, que l'état enregistré à l'instant T dépend d'un évènement ultérieur. Ce phénomène ne peut donc donner aucune information sur l'avenir. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Contrafactualité"><span id="Contrafactualit.C3.A9"></span>Contrafactualité</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=36" title="Modifier la section : Contrafactualité" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=36" title="Modifier le code source de la section : Contrafactualité"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Contrafactualit%C3%A9_(physique)" title="Contrafactualité (physique)">Contrafactualité (physique)</a>.</div></div> <p>Selon la mécanique quantique, des évènements qui « auraient pu se produire, mais qui ne se sont pas produits » influent sur les résultats de l'expérience. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Du_monde_quantique_au_monde_classique">Du monde quantique au monde classique</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=37" title="Modifier la section : Du monde quantique au monde classique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=37" title="Modifier le code source de la section : Du monde quantique au monde classique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Articles détaillés : <a href="/wiki/D%C3%A9coh%C3%A9rence" class="mw-redirect" title="Décohérence">Décohérence</a> et <a href="/wiki/Limite_classique" title="Limite classique">Limite classique</a>.</div></div> <p>Alors que les principes de la mécanique quantique s'appliquent <i>a priori</i> à tous les objets contenus dans l'univers (nous y compris), pourquoi continuons-nous à percevoir classiquement l'essentiel du monde <a href="/wiki/Macroscopique" class="mw-redirect" title="Macroscopique">macroscopique</a> ? En particulier, pourquoi les <a href="/wiki/Principe_de_superposition_quantique" title="Principe de superposition quantique">superpositions quantiques</a> ne sont-elles pas observables dans le monde macroscopique ? La théorie de la <a href="/wiki/D%C3%A9coh%C3%A9rence" class="mw-redirect" title="Décohérence">décohérence</a> explique leurs disparitions très rapides en raison du couplage inévitable entre le système quantique considéré et son environnement. </p><p>Cette théorie a reçu une confirmation expérimentale avec les études portant sur des systèmes <a href="/wiki/M%C3%A9soscopique" title="Mésoscopique">mésoscopiques</a> pour lesquels le temps de décohérence n'est pas trop court pour rester mesurable, par exemple un système de quelques photons dans une cavité<sup id="cite_ref-HarocheRaimondBrune1997_33-0" class="reference"><a href="#cite_note-HarocheRaimondBrune1997-33"><span class="cite_crochet">[</span>20<span class="cite_crochet">]</span></a></sup>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Applications">Applications</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=38" title="Modifier la section : Applications" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=38" title="Modifier le code source de la section : Applications"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Les applications de la mécanique quantique incluent les <a href="/wiki/Semi-conducteur" title="Semi-conducteur">semi-conducteurs</a>, le <a href="/wiki/Transistor" title="Transistor">transistor</a>, le <a href="/wiki/Laser" title="Laser">laser</a>, le <a href="/wiki/Microscope_%C3%A9lectronique" title="Microscope électronique">microscope électronique</a> et la <a href="/wiki/R%C3%A9sonance_magn%C3%A9tique_nucl%C3%A9aire" title="Résonance magnétique nucléaire">résonance magnétique nucléaire</a>. Une catégorie spéciale d'applications est dédiée aux phénomènes quantiques macroscopiques tels que la <a href="/wiki/Superfluidit%C3%A9" title="Superfluidité">superfluidité</a> de l'hélium ou la <a href="/wiki/Supraconductivit%C3%A9" title="Supraconductivité">supraconductivité</a>. L'étude des semi-conducteurs a mené à l'invention de la <a href="/wiki/Diode" title="Diode">diode</a>, du <a href="/wiki/Transistor" title="Transistor">transistor</a> et du <a href="/wiki/Circuit_int%C3%A9gr%C3%A9" title="Circuit intégré">circuit intégré</a>, éléments indispensables de l'<a href="/wiki/%C3%89lectronique_(technique)" title="Électronique (technique)">électronique</a> moderne. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références"><span id="Notes_et_r.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Notes et références</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=39" title="Modifier la section : Notes et références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=39" title="Modifier le code source de la section : Notes et références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notes">Notes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=40" title="Modifier la section : Notes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=40" title="Modifier le code source de la section : Notes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-1">↑</a> </span><span class="reference-text">Avec une précision de 13 décimales et une confiance de 40 sigmas dans certaines expériences, d'Alain Aspect entre autres. Ce formalisme a de plus conduit à prévoir l'existence de particules et de phénomènes qui ne furent observés que par la suite.</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-5">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> pensait que la lumière était constituée de particules, mais les travaux notamment de <a href="/wiki/Christian_Huygens" title="Christian Huygens">Christian Huygens</a> ont longtemps fait oublier cette idée</span> </li> <li id="cite_note-13"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-13">↑</a> </span><span class="reference-text">Cette appellation est un peu trompeuse car elle pourrait être confondue avec une <a href="#Interprétation">interprétation de la mécanique quantique</a>, ce qu'elle n'est pas vraiment</span> </li> <li id="cite_note-14"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-14">↑</a> </span><span class="reference-text">Une telle formulation s'avère néanmoins imprécise car son analyse détaillée montre qu'elle est inconsistante. En effet la considération d'un scalaire <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }"></span> quelconque et l'application au chat de Schrödinger de la règle de Born telle que nous venons de la formuler, en prenant <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =\lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04666d4a547706385c42bfca391b67ef9b5fedf2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.941ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =\lambda }"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60b5e78663eba7ba08e0dd4915251e6261f4f35c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.593ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta =0}"></span>, montre que le vecteur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi _{\lambda ,0}\rangle =\lambda |\mathrm {mort} \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>ϕ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>λ</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mi>λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi _{\lambda ,0}\rangle =\lambda |\mathrm {mort} \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6187116dddd76d2aa0b89c5922a8acab5cd1e0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.327ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle |\phi _{\lambda ,0}\rangle =\lambda |\mathrm {mort} \rangle }"></span> ainsi obtenu donne une probabilité certaine de trouver le chat mort, tout comme c'est le cas pour l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathrm {mort} \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathrm {mort} \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2baf172c1639e47c91aed2790b9d6fad1a65be9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.466ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\mathrm {mort} \rangle }"></span>, par hypothèse. Il est donc possible d'appliquer à nouveau la règle de Born en utilisant cette fois-ci non plus <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathrm {mort} \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathrm {mort} \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2baf172c1639e47c91aed2790b9d6fad1a65be9c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.466ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\mathrm {mort} \rangle }"></span>, mais <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda |\mathrm {mort} \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda |\mathrm {mort} \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2c01daff9d9d6018528f1df19f234a80a96557" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.821ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda |\mathrm {mort} \rangle }"></span>. Le vecteur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312d43de853a9e6ca74888e63394fc8081f56a43" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.937ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi \rangle }"></span> utilisé initialement s'écrit dans ce cas : <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\phi \rangle ={\alpha \over \lambda }\lambda |\mathrm {mort} \rangle +\beta |\mathrm {vivant} \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>ϕ</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>α</mi> <mi>λ</mi> </mfrac> </mrow> <mi>λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">o</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">v</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">v</mi> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> <mi mathvariant="normal">t</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\phi \rangle ={\alpha \over \lambda }\lambda |\mathrm {mort} \rangle +\beta |\mathrm {vivant} \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c79616b99144d4d653b3a222ac62c730bea4ff" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:28.366ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle |\phi \rangle ={\alpha \over \lambda }\lambda |\mathrm {mort} \rangle +\beta |\mathrm {vivant} \rangle }"></span></dd></dl> Une telle expression donne cette fois comme probabilité le module au carré de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha /\lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha /\lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f916c3578bc8a2ee9aff23f5a14572635355b810" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.005ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha /\lambda }"></span> divisé par la somme des carrés des modules de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha /\lambda }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>λ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha /\lambda }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f916c3578bc8a2ee9aff23f5a14572635355b810" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.005ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha /\lambda }"></span> et de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }"></span>, ce qui dans le cas général où <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda \neq 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>λ</mi> <mo>≠</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda \neq 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52dd4c53f516463bb89ff5966211b3f3c60e77d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.616ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \lambda \neq 1}"></span> est différent de la probabilité obtenue précédemment. Il a donc été obtenu, pour un même état quantique, deux probabilités différentes, d'où l'inconsistance de la définition. Une manière plus rigoureuse de formuler la règle de Born consiste donc à dire que pour toute famille de vecteurs orthogonaux <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|i\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>i</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|i\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b13bb2de03c010ba50e358cfe4c181ac84e7f9e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.538ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (|i\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"></span>, il existe au moins une famille de vecteurs <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|i'\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>i</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|i'\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e974daa52be8309f188057cae3de96883c16e350" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.223ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (|i'\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"></span> et de scalaires <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\lambda _{i})_{i\in \mathbf {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\lambda _{i})_{i\in \mathbf {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76a40b99c835a2e39f633dd04d5228bcb2ffc7dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.339ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\lambda _{i})_{i\in \mathbf {N} }}"></span> tels que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |i\rangle =\lambda _{i}|i'\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>i</mi> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>λ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>i</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |i\rangle =\lambda _{i}|i'\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f80660984916da6902826992d5d731da87800b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.646ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle |i\rangle =\lambda _{i}|i'\rangle }"></span> et tels que pour toute combinaison linéaire des <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|i'\rangle )_{i'\in \mathbf {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>i</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msup> <mi>i</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|i'\rangle )_{i'\in \mathbf {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f44603e3f95653ee607ccf0c129ab1dd6a17c2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.754ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (|i'\rangle )_{i'\in \mathbf {N} }}"></span>, la probabilité pour que le résultat de mesure soit le même que si le système avait été dans l'état <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |i'\rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>i</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |i'\rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dcd930ff9655ae94ceb0cbab43e66a16bc81aa6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.039ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle |i'\rangle }"></span> est : <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {|\alpha _{i}|^{2}}{\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {|\alpha _{i}|^{2}}{\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99988a28b128abb216a15fe8fd4806740953522b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:9.112ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {|\alpha _{i}|^{2}}{\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}}}}"></span>,</dd></dl> où les <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>α</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1fb627423abe4988b7ed88d4920bf1ec074790" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.287ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{i}}"></span> sont les coefficients linéaires du vecteur d'état dans la base <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (|i'\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <msup> <mi>i</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> <msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (|i'\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e974daa52be8309f188057cae3de96883c16e350" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.223ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (|i'\rangle )_{i\in \mathbf {N} }}"></span>.</span> </li> <li id="cite_note-17"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-17">↑</a> </span><span class="reference-text">Cette distinction entre <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_synth%C3%A9tique" title="Géométrie synthétique">géométrie synthétique</a> et <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_analytique" title="Géométrie analytique">géométrie analytique</a> est ici reprise depuis une remarque faite par <a href="/wiki/Chris_Doran" title="Chris Doran">Chris Doran</a> dans son ouvrage <i>Geometric Algebra for physicists</i> (chapitre cinq, premier paragraphe), même si elle avait initialement pour objet la théorie de la relativité et non la mécanique quantique. Il a été estimé que cette remarque est applicable et pertinente ici.</span> </li> <li id="cite_note-18"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-18">↑</a> </span><span class="reference-text">La lettre <i>G</i> est ici utilisée pour « générateur », en référence à la notion de « générateur infinitésimal » en <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_groupes" title="Théorie des groupes">théorie des groupes</a>, et en particulier des <a href="/wiki/Groupe_de_Lie" title="Groupe de Lie">groupes de Lie</a> qui ont un rôle fondamental en physique théorique</span> </li> <li id="cite_note-20"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-20">↑</a> </span><span class="reference-text">Le changement de variable <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x''=x'-x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>−</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x''=x'-x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74a1322191350927adc155b6945bad76931d444" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.75ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x''=x'-x}"></span> est effectué, suivi d'une dérivation par rapport à <i>x</i>, puis du remplacement de <i>x</i> par 0 et ensuite la variable muette <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x''}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mo>″</mo> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x''}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c56431607b889d0f2fff3c7120a466db5aa2e30" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.467ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x''}"></span> est renommée en <i>x</i>. Il convient de prendre garde au fait que dans l'égalité finalement obtenue, le <i>x</i> présent dans le membre de droite est une variable muette qui ne désigne pas la même chose que le <i>x</i> du membre de gauche.</span> </li> <li id="cite_note-22"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-22">↑</a> </span><span class="reference-text">La notation <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\uparrow \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo stretchy="false">↑</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\uparrow \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b194dca66d255bc2bac6210dc32be258cabcda3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.359ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\uparrow \rangle }"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\downarrow \rangle }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo stretchy="false">↓</mo> <mo fence="false" stretchy="false">⟩</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\downarrow \rangle }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51a318de9b686e27faa09b37d09980db1fd76a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.359ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\downarrow \rangle }"></span> existe aussi.</span> </li> <li id="cite_note-23"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-23">↑</a> </span><span class="reference-text">En toute rigueur cet espace est même de dimension un, compte tenu du <a href="/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_projective" title="Géométrie projective">caractère projectif</a> de l'espace des états quantiques. Le spin d'un électron est donc bien l'un des systèmes quantiques les plus simples qu'on puisse imaginer.</span> </li> <li id="cite_note-26"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-26">↑</a> </span><span class="reference-text">La notion de chemin a fait un retour spectaculaire en mécanique quantique en 1948 avec la formulation lagrangienne introduite par <a href="/wiki/Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Feynman</a>, basée sur le concept d'<a href="/wiki/Int%C3%A9grale_de_chemin" title="Intégrale de chemin">intégrale de chemin</a>.</span> </li> <li id="cite_note-27"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-27">↑</a> </span><span class="reference-text">Ce concept est primordial en <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_quantique_des_champs" title="Théorie quantique des champs">théorie quantique des champs</a>, théorie qui fait appel à la notion de <a href="/wiki/Particule_virtuelle" title="Particule virtuelle">particule virtuelle</a>.</span> </li> <li id="cite_note-30"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-30">↑</a> </span><span class="reference-text">De même que la composante <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2baa67995f175b293d47981d04ef254e187d461f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.446ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{i}\,}"></span> de l'impulsion est le générateur des translations d'espace dans la direction <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{i}\,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{i}\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4bbdc58171e5de384d14940c3a6d54bcb5a61f6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.516ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x^{i}\,}"></span>.</span> </li> <li id="cite_note-32"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-32">↑</a> </span><span class="reference-text">En fait, compte tenu de la condition de normalisation, il peut même être noté que le nombre de degrés de liberté de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {S}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">S</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {S}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2302a18e269dbecc43c57c0c2aced3bfae15278d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.492ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {S}}}"></span> est en fait <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle mn-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle mn-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f4982560bad003adb1d687646baa36e04b8cf6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.438ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle mn-1}"></span> et que le nombre de degrés de liberté de <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {A}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.903ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {A}}}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {B}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">B</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {B}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5622de88a69f68340f8dcb43d0b8bd443ba9e13" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.543ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {B}}}"></span> pris séparément est <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m-1+n-1=m+n-2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m-1+n-1=m+n-2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e682a5e883d79c5fa95407bb43138a39e518dc6a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:27.658ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle m-1+n-1=m+n-2}"></span>. Comme <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle mn-1>m+n-2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>></mo> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle mn-1>m+n-2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5505a8b683a7c16bba8b0afa8e5a564877c5fef7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.815ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle mn-1>m+n-2}"></span> dès lors que <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}"></span> et <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> sont chacun au moins égaux à 2, des états intriqués existent même pour des états quantiques de dimension 2, par exemple des spins d'électrons.</span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Références"><span id="R.C3.A9f.C3.A9rences"></span>Références</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=41" title="Modifier la section : Références" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=41" title="Modifier le code source de la section : Références"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="references-small decimal" style=""><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-2">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="SchlosshauerKoflerZeilinger2013"><span class="ouvrage" id="Maximilian_SchlosshauerJohannes_KoflerAnton_Zeilinger2013"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Maximilian <span class="nom_auteur">Schlosshauer</span>, Johannes <span class="nom_auteur">Kofler</span> et Anton <span class="nom_auteur">Zeilinger</span>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">A snapshot of foundational attitudes toward quantum mechanics</cite> », <i><span class="lang-en" lang="en">Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics</span></i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 44, <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 3,‎ <time>2013</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">222–230</span> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">DOI</a> <span class="plainlinks noarchive nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://dx.doi.org/10.1016/j.shpsb.2013.04.004">10.1016/j.shpsb.2013.04.004</a></span>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/1301.1069">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=A+snapshot+of+foundational+attitudes+toward+quantum+mechanics&rft.jtitle=Studies+in+History+and+Philosophy+of+Science+Part+B%3A+Studies+in+History+and+Philosophy+of+Modern+Physics&rft.issue=3&rft.aulast=Schlosshauer&rft.aufirst=Maximilian&rft.au=Kofler%2C+Johannes&rft.au=Zeilinger%2C+Anton&rft.date=2013&rft.volume=44&rft.pages=222%E2%80%93230&rft_id=info%3Adoi%2F10.1016%2Fj.shpsb.2013.04.004&rft_id=https%3A%2F%2Farxiv.org%2Fabs%2F1301.1069&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span></span> <dl><dd>Enquête statistique concernant la position des physiciens sur les fondements de la mécanique quantique.</dd></dl> </span></li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-3">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Daudel1971"><span class="ouvrage" id="Raymond_Daudel1971"><a href="/wiki/Raymond_Daudel" title="Raymond Daudel">Raymond Daudel</a>, <cite class="italique">Théorie quantique de la liaison chimique</cite>, <a href="/wiki/Presses_universitaires_de_France" title="Presses universitaires de France">Presses universitaires de France</a>, <time>1971</time>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 5<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Th%C3%A9orie+quantique+de+la+liaison+chimique&rft.pub=Presses+universitaires+de+France&rft.aulast=Daudel&rft.aufirst=Raymond&rft.date=1971&rft.pages=5&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span></span></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-4">↑</a> </span><span class="reference-text">Selon <span class="ouvrage" id="Aaronson"><span class="ouvrage" id="Scott_Aaronson"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Scott_Aaronson" title="Scott Aaronson">Scott Aaronson</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.scottaaronson.com/democritus/lec9.html"><cite style="font-style:normal;" lang="en">PHYS771 Lecture 9: Quantum</cite></a> »</span></span> : <dl><dd><span class="lang-en italique" lang="en">Quantum mechanics is what you would inevitably come up with if you started from probability theory, and then said, let's try to generalize it so that the numbers we used to call “probabilities” can be negative numbers.</span> (<span class="citation">« La mécanique quantique est ce qu'on obtient inévitablement en partant de la théorie des probabilités, et en cherchant à la généraliser afin que les nombres qu'on appelle « probabilités » puissent être négatifs. »</span>)</dd> <dd></dd></dl> </span></li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-6">↑</a> </span><span class="reference-text"> Selon <span class="ouvrage"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <cite style="font-style:normal" lang="en">« Classical Beauty »</cite>, dans Olivier Darrigol, <cite class="italique" lang="en">from c-numbers to q-numbers</cite>, University of California Press <small style="line-height:1em;">(<a rel="nofollow" class="external text" href="http://publishing.cdlib.org/ucpressebooks/view?docId=ft4t1nb2gv&chunk.id=d0e17419&toc.depth=1&toc.id=d0e17419&brand=ucpress">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=bookitem&rft.btitle=from+c-numbers+to+q-numbers&rft.atitle=Classical+Beauty&rft.pub=University+of+California+Press&rft_id=http%3A%2F%2Fpublishing.cdlib.org%2Fucpressebooks%2Fview%3FdocId%3Dft4t1nb2gv%26chunk.id%3Dd0e17419%26toc.depth%3D1%26toc.id%3Dd0e17419%26brand%3Ducpress&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span> : <dl><dd><span class="lang-en italique" lang="en">During this period (1921-1923) he was influenced by a very good teacher of mathematics, Peter Fraser, who imparted to him a love of projective geometry. For long Dirac admired the magical power of projective methods to justify at a glance theorems otherwise very difficult to prove. Late in his life he remembered having used these methods in much of his work, though only on the backstage of his research.</span> (<span class="citation">« Pendant cette période (1921-1923), il fut influencé par un très bon professeur de mathématiques, Peter Fraser, qui lui a transmis une passion pour les géométries projectives. Pendant longtemps Dirac admira le pouvoir magique des méthodes projectives, qui justifiaient en un instant des théorèmes qui seraient très difficiles à prouver autrement. Plus tard dans sa vie, il évoqua avoir utilisé ces méthodes dans une grande partie de son travail, mais seulement dans les coulisses de ses recherches. »</span>)</dd></dl> </span></li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-7">↑</a> </span><span class="reference-text">Von Neumann écrit, dans la préface de la réédition de 1955 <i>Fondements mathématiques de la mécanique quantique</i> (traduction de l'allemand vers l'anglais) : <dl><dd>« <span class="lang-en" lang="en">Dirac, in several papers, as well as in his recently published book, has given a representation of quantum mechanics which is scarcely to be surpassed in brevity and elegance, [..] The method of Dirac, mentioned above, [..] in no way satisfies the requirements of mathematical rigor -- not even if these are reduced in a natural and proper fashion to the extent common in theoretical physics.</span> »</dd></dl> </span></li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-8">↑</a> </span><span class="reference-text">« Les nouvelles applications de la physique quantique », David Larousserie, Sciences et Avenir, nº 742, décembre 2008, pages 48 à 61.</span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-9">↑</a> </span><span class="reference-text">Greenberger, Hentshel, Weinert, <i><span class="lang-en" lang="en">Compendium of Quantum Physics</span></i>, Springer 2009, p. 742.</span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-10">↑</a> </span><span class="reference-text">Roland Omnès, <i>Les indispensables de la Mécanique Quantique</i>, Odile Jacob, 2006, p. 86.</span> </li> <li id="cite_note-11"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-11">↑</a> </span><span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=a6ANMKRBjA8&t=3634">Extrait vidéo du cours de Susskind</a>, où le concept d'orthogonalité est expliqué : <dl><dd><span class="lang-en italique" lang="en">That's a postulate: the basic postulate is when things are measurably different, when two states are such, that you can cleanly tell the difference between them by an experiment, they are orthogonal.</span> (<span class="citation">« C'est un postulat : le postulat de base est que quand des choses sont mesurablement différentes, quand deux états sont ainsi, que vous pouvez nettement faire la différence entre eux par une expérience, ils sont orthogonaux. »</span>)</dd></dl> </span></li> <li id="cite_note-12"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-12">↑</a> </span><span class="reference-text">Dans <i>principes de la mécanique quantique</i>, Dirac écrit (chapitre 1, §2) : <dl><dd><span class="citation">« Quoique l'idée fondamentale, suivant laquelle une réalité physique peut être décrite par l'emploi simultané d'ondes et de particules reliées entre elles d'une façon bien curieuse, soit une idée d'une importance considérable et susceptible d'applications étendues, elle n'en est pas moins, cependant, qu'un simple cas particulier d'un principe beaucoup plus général, le <i>principe de superposition</i>. Celui-ci constitue l'idée fondamentale nouvelle de la mécanique quantique et forme le point initial à partir duquel celle-ci commence à s'écarter de la théorie classique »</span>.</dd></dl> </span></li> <li id="cite_note-15"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-15">↑</a> </span><span class="reference-text"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/arxiv-0906.2718">A formal proof of the Born rule from decision-theoretic assumptions</a>, David Wallace</span> </li> <li id="cite_note-16"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-16">↑</a> </span><span class="reference-text">Dans son cours de physique <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=CaTF4QZ94Fk&feature=player_detailpage#t=568s">disponible sur youtube</a>, <a href="/wiki/Leonard_Susskind" title="Leonard Susskind">Leonard Susskind</a> présente les postulats de la mécanique quantique ainsi : <dl><dd>« Voici ce qu'est la mécanique quantique : c'est une méthode de calcul de probabilités. […] Probabilités de quoi ? Probabilités de résultats de mesures, de valeurs de résultats de mesures. Et les choses que l'on mesure s'appellent des observables. »</dd></dl> </span></li> <li id="cite_note-19"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-19">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#Cohen">Cohen-Tannoudji</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 235</span> </li> <li id="cite_note-21"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-21">↑</a> </span><span class="reference-text"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://fisherp.scripts.mit.edu/wordpress/wp-content/uploads/2020/05/1.1705209.pdf">The stability of matter</a>, <a href="/wiki/Freeman_Dyson" title="Freeman Dyson">Freeman Dyson</a>, Journal of mathematical physics, 1967.</span> </li> <li id="cite_note-24"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-24">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Feynman"><span class="ouvrage" id="Richard_P_Feynman"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Richard P <span class="nom_auteur">Feynman</span>, <cite class="italique" lang="en">The principle of least action in quantum mechanics</cite>, <a href="/wiki/Universit%C3%A9_de_Princeton" title="Université de Princeton">université de Princeton</a>, thèse<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+principle+of+least+action+in+quantum+mechanics&rft.pub=universit%C3%A9+de+Princeton&rft.aulast=Feynman&rft.aufirst=Richard+P&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span></span> reproduite dans <span class="ouvrage" id="FeynmanBrown2005"><span class="ouvrage" id="Richard_P_FeynmanLaurie_M_Brown2005"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Richard P <span class="nom_auteur">Feynman</span> et Laurie M <span class="nom_auteur">Brown</span> (<abbr class="abbr" title="directeur de publication">dir.</abbr>), <cite class="italique" lang="en">World Scientific</cite>, <time>2005</time> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/981-256-380-6" title="Spécial:Ouvrages de référence/981-256-380-6"><span class="nowrap">981-256-380-6</span></a>)</small><span class="lang-en" lang="en">, « Feynman's thesis: a new approach to quantum theory »</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=World+Scientific&rft.atitle=Feynman%27s+thesis%3A+a+new+approach+to+quantum+theory&rft.aulast=Feynman&rft.aufirst=Richard+P&rft.au=Brown%2C+Laurie+M&rft.date=2005&rft.isbn=981-256-380-6&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-25"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-25">↑</a> </span><span class="reference-text"><span class="ouvrage" id="Feynman1948"><span class="ouvrage" id="Richard_P_Feynman1948">Richard P <span class="nom_auteur">Feynman</span>, <cite class="italique">Review of Modern Physics</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 20, <time>1948</time>, « Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics », <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 267<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Review+of+Modern+Physics&rft.atitle=Space-time+approach+to+non-relativistic+quantum+mechanics&rft.aulast=Feynman&rft.aufirst=Richard+P&rft.date=1948&rft.volume=20&rft.pages=267&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span></span>, reproduit dans <span class="ouvrage" id="Schwinger1958"><span class="ouvrage" id="Julian_Schwinger1958"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Julian <span class="nom_auteur">Schwinger</span> (<abbr class="abbr" title="directeur de publication">dir.</abbr>), <cite class="italique" lang="en">Selected papers on quantum electrodynamics</cite>, New York, <a href="/wiki/Dover_Publications" title="Dover Publications">Dover Publications</a>, <time>1958</time>, 424 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-486-60444-6" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-486-60444-6"><span class="nowrap">0-486-60444-6</span></a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=iwQES6cclB0C&printsec=frontcover">lire en ligne</a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Selected+papers+on+quantum+electrodynamics&rft.place=New+York&rft.pub=Dover+Publications&rft.aulast=Schwinger&rft.aufirst=Julian&rft.date=1958&rft.tpages=424&rft.isbn=0-486-60444-6&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span></span>, ainsi que dans <span class="ouvrage" id="Brown2005"><span class="ouvrage" id="Laurie_M_Brown2005">Laurie M <span class="nom_auteur">Brown</span> (<abbr class="abbr" title="directeur de publication">dir.</abbr>), <cite class="italique">World Scientific</cite>, <time>2005</time> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/981-256-380-6" title="Spécial:Ouvrages de référence/981-256-380-6"><span class="nowrap">981-256-380-6</span></a>)</small>, « Feynman's thesis: a new approach to quantum theory »<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=World+Scientific&rft.atitle=Feynman%27s+thesis%3A+a+new+approach+to+quantum+theory&rft.aulast=Brown&rft.aufirst=Laurie+M&rft.date=2005&rft.isbn=981-256-380-6&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-28"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-28">↑</a> </span><span class="reference-text">Pour une dérivation rigoureuse de l'inégalité énergie-temps, consulter par exemple <span class="ouvrage" id="Messiah1995"><span class="ouvrage" id="Albert_Messiah1995"><a href="/wiki/Albert_Messiah" title="Albert Messiah">Albert <span class="nom_auteur">Messiah</span></a>, <cite class="italique">Mécanique quantique</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 1, <a href="/wiki/%C3%89ditions_Dunod" title="Éditions Dunod">Dunod</a>, <time>1995</time> (<abbr class="abbr" title="première">1<sup>re</sup></abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> 1959) <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-10-007361-3" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-10-007361-3"><span class="nowrap">2-10-007361-3</span></a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> 114–17, 269–70<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=M%C3%A9canique+quantique&rft.pub=Dunod&rft.aulast=Messiah&rft.aufirst=Albert&rft.date=1995&rft.volume=1&rft.pages=114%E2%80%9317%2C+269%E2%80%9370&rft.isbn=2-10-007361-3&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-29"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-29">↑</a> </span><span class="reference-text">Pour l'oscillateur harmonique, <span class="ouvrage" id="Messiah1995"><span class="ouvrage" id="Albert_Messiah1995"><a href="/wiki/Albert_Messiah" title="Albert Messiah">Albert <span class="nom_auteur">Messiah</span></a>, <cite class="italique">Mécanique quantique</cite>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 1, <a href="/wiki/%C3%89ditions_Dunod" title="Éditions Dunod">Dunod</a>, <time>1995</time> (<abbr class="abbr" title="première">1<sup>re</sup></abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> 1959) <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-10-007361-3" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-10-007361-3"><span class="nowrap">2-10-007361-3</span></a>)</small>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 280<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=M%C3%A9canique+quantique&rft.pub=Dunod&rft.aulast=Messiah&rft.aufirst=Albert&rft.date=1995&rft.volume=1&rft.pages=280&rft.isbn=2-10-007361-3&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span></span>.</span> </li> <li id="cite_note-31"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-31">↑</a> </span><span class="reference-text">Concernant la validité de ce « théorème », lire les travaux d'Eric Galapon : <a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/quant-ph/9908033"><i>quant-ph/9908033</i></a> et <a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303106"><i>quant-ph/0303106</i></a>.</span> </li> <li id="cite_note-HarocheRaimondBrune1997-33"><span class="mw-cite-backlink noprint"><a href="#cite_ref-HarocheRaimondBrune1997_33-0">↑</a> </span><span class="reference-text"><a href="#HarocheRaimondBrune1997">Haroche, Raimond et Brune 1997</a>. </span> </li> </ol></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Annexes">Annexes</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=42" title="Modifier la section : Annexes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=42" title="Modifier le code source de la section : Annexes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r194021218">.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}</style><div class="autres-projets boite-grise boite-a-droite noprint js-interprojets"> <p class="titre">Sur les autres projets Wikimedia :</p> <ul class="noarchive plainlinks"> <li class="commons"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Quantum_mechanics?uselang=fr">Mécanique quantique</a>, sur <span class="project">Wikimedia Commons</span></li><li class="wikiversity"><a href="https://fr.wikiversity.org/wiki/D%C3%A9partement:M%C3%A9canique_quantique" class="extiw" title="v:Département:Mécanique quantique">Mécanique quantique</a>, <span class="nowrap">sur <span class="project">Wikiversity</span></span></li> </ul> </div> <div class="noprint boite-grise boite-a-droite" style="text-align:left;"> <div style="float:left;"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Circle-icons-frames.svg/45px-Circle-icons-frames.svg.png" decoding="async" width="45" height="45" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Circle-icons-frames.svg/68px-Circle-icons-frames.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Circle-icons-frames.svg/90px-Circle-icons-frames.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></span></span></div> <div style="margin-left:60px;">Une <a href="/wiki/Aide:Cat%C3%A9gorie" title="Aide:Catégorie">catégorie</a> est consacrée à ce sujet : <i><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:M%C3%A9canique_quantique" title="Catégorie:Mécanique quantique">Mécanique quantique</a></i>.</div> <div style="clear:left;"></div> </div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=43" title="Modifier la section : Bibliographie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=43" title="Modifier le code source de la section : Bibliographie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Ouvrages_de_vulgarisation">Ouvrages de vulgarisation</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=44" title="Modifier la section : Ouvrages de vulgarisation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=44" title="Modifier le code source de la section : Ouvrages de vulgarisation"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Amaury Mouchet, <i>L'étrange subtilité quantique</i>, Coll. « UniverSciences », <a href="/wiki/Dunod" class="mw-redirect" title="Dunod">Dunod</a>, 2010 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-10-054659-6" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-10-054659-6"><span class="nowrap">978-2-10-054659-6</span></a>)</small></li> <li><a href="/wiki/Banesh_Hoffmann" title="Banesh Hoffmann">Banesh Hoffmann</a> et Michel Paty, <i>L'étrange histoire des quanta</i>, Coll. « Points-Sciences » (<abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 26), <a href="/wiki/Le_Seuil" class="mw-redirect" title="Le Seuil">Le Seuil</a>, 1981 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-02-005417-5" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-02-005417-5"><span class="nowrap">2-02-005417-5</span></a>)</small></li> <li><a href="/wiki/Emilio_Segr%C3%A8" title="Emilio Segrè">Emilio Segrè</a>, <i>Les physiciens modernes et leurs découvertes - Des rayons X aux quarks</i>, <a href="/wiki/Librairie_Arth%C3%A8me_Fayard" title="Librairie Arthème Fayard">Fayard</a>, 1984 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-213-01383-1" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-213-01383-1"><span class="nowrap">978-2-213-01383-1</span></a>)</small>. — Une histoire vulgarisée qui couvre la période 1895-1983. L'auteur a reçu le <a href="/wiki/Prix_Nobel_de_physique" title="Prix Nobel de physique">prix Nobel de physique</a> 1959 pour la découverte expérimentale de l'<a href="/wiki/Antiproton" title="Antiproton">antiproton</a>.</li> <li><a href="/wiki/George_Gamow" title="George Gamow">George Gamow</a>, <i>Trente années qui ébranlèrent la physique (Histoire de la théorie quantique)</i>, 1968. Rééd. <a href="/w/index.php?title=%C3%89ditions_Jacques_Gabay&action=edit&redlink=1" class="new" title="Éditions Jacques Gabay (page inexistante)">Jacques Gabay</a>, 2000 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-87647-135-3" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-87647-135-3"><span class="nowrap">2-87647-135-3</span></a>)</small>.</li> <li>Stéphane Deligeorges (éd.), <i>Le monde quantique</i>, Coll. « Points-Sciences » (<abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 46), Le Seuil, 1984 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-02-008908-4" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-02-008908-4"><span class="nowrap">2-02-008908-4</span></a>)</small></li> <li>Emile Noël (éd.), <i>La matière aujourd'hui</i>, Coll. « Points-Sciences » (<abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 24), Le Seuil, 1981 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-02-005739-5" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-02-005739-5"><span class="nowrap">2-02-005739-5</span></a>)</small></li> <li><a href="/wiki/Serge_Haroche" title="Serge Haroche">Serge Haroche</a>, <i>Physique quantique</i>, Leçon inaugurale au <a href="/wiki/Coll%C3%A8ge_de_France" title="Collège de France">Collège de France</a>, coédition Collège de France/Fayard, 2004.</li> <li>Paul Guyot, <i>Physique et quanta</i>, Coll. « Points-Sciences » (<abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 55), Le Seuil, 2012 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-02-005739-5" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-02-005739-5"><span class="nowrap">2-02-005739-5</span></a>)</small>.</li> <li><a href="/wiki/%C3%89tienne_Klein" title="Étienne Klein">Étienne Klein</a>, <i>Petit voyage dans le monde des quanta</i>, Coll. « Champs » (<abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 557), <a href="/wiki/Groupe_Flammarion" title="Groupe Flammarion">Flammarion</a>, 2004 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-08-080063-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-08-080063-9"><span class="nowrap">2-08-080063-9</span></a>)</small></li> <li><a href="/wiki/Roland_Omn%C3%A8s" title="Roland Omnès">Roland Omnès</a>, <i>Les indispensables de la mécanique quantique</i>, Coll. « Sciences », <a href="/wiki/%C3%89ditions_Odile_Jacob" title="Éditions Odile Jacob">Odile Jacob</a>, 2006 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-7381-1820-2" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-7381-1820-2"><span class="nowrap">978-2-7381-1820-2</span></a>)</small></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Helge_Kragh" title="Helge Kragh">Helge S. Kragh</a>, <i>Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century</i>, <a href="/wiki/Princeton_University_Press" title="Princeton University Press">Princeton University Press</a>, 1999 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-691-01206-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-691-01206-7"><span class="nowrap">0-691-01206-7</span></a>)</small></li> <li><a href="/wiki/Sven_Ortoli" title="Sven Ortoli">Sven Ortoli</a> et Jean-Pierre Pharabod, <i>Le Cantique des quantiques : le monde existe-t-il ?</i>, <a href="/wiki/La_D%C3%A9couverte" title="La Découverte">La Découverte</a>, 2007 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-7071-5348-7" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-7071-5348-7"><span class="nowrap">978-2-7071-5348-7</span></a>)</small>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Ouvrages_de_philosophie">Ouvrages de philosophie</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=45" title="Modifier la section : Ouvrages de philosophie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=45" title="Modifier le code source de la section : Ouvrages de philosophie"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Karl_Popper" title="Karl Popper">Karl Popper</a>, <i>La théorie quantique et le schisme en physique</i>, éd. Hermann, 1996, <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-7056-6307-X" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-7056-6307-X"><span class="nowrap">2-7056-6307-X</span></a>)</small>. Traduit de <i>The postscript to The logic of scientific discovery. III, Quantum theory and the schism in physic</i> par Emmanuel Malolo Dissakè.</li> <li>Bernard d'Espagnat, <i>Le Réel voilé, Analyse des concepts quantiques</i>, Fayard, 1994</li> <li><span class="ouvrage" id="Bitbol1996"><span class="ouvrage" id="Michel_Bitbol1996"><a href="/wiki/Michel_Bitbol" title="Michel Bitbol">Michel Bitbol</a>, <cite class="italique">Mécanique quantique, une introduction philosophique</cite>, <abbr class="abbr" title="première">1<sup>re</sup></abbr> éd. 1996 <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:M%C3%A9canique_quantique,_une_introduction_philosophique_(Michel_Bitbol)" title="Référence:Mécanique quantique, une introduction philosophique (Michel Bitbol)">détail de l’édition</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=M%C3%A9canique+quantique%2C+une+introduction+philosophique&rft.aulast=Bitbol&rft.aufirst=Michel&rft.date=1996&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span></span></li> <li>Manuel Bächtold, <i>L'Interprétation de la mécanique quantique : une approche pragmatiste</i>, Hermann, 2009</li> <li><a href="/wiki/Bryce_DeWitt" title="Bryce DeWitt">Bryce DeWitt</a> and Neil Graham, <i><span class="lang-en" lang="en">The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics</span></i>, <span class="lang-en" lang="en">Princeton University Press</span>, 1973</li> <li>David Bohm et Basil Hiley, <i><span class="lang-en" lang="en">The Undivided Universe, An Ontological Interpretation of Quantum Mechanics</span></i>, Routledge, 1993</li> <li><span class="ouvrage" id="van_Fraassen1991"><span class="ouvrage" id="Bas_van_Fraassen1991"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Bas <span class="nom_auteur">van Fraassen</span>, <cite class="italique" lang="en">Quantum mechanics : an empiricist view</cite>, New York, Oxford University Press, <time class="nowrap" datetime="1991-09-26" data-sort-value="1991-09-26">26 septembre 1991</time>, 560 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-0-19-823980-2" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-0-19-823980-2"><span class="nowrap">978-0-19-823980-2</span></a>)</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Quantum+mechanics+%3A+an+empiricist+view&rft.place=New+York&rft.pub=Oxford+University+Press&rft.aulast=van+Fraassen&rft.aufirst=Bas&rft.date=1991-09-26&rft.tpages=560&rft.isbn=978-0-19-823980-2&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span></span></li> <li>R. I. G. Hughes, <i><span class="lang-en" lang="en">The Structure and Interpretation of Quantum Mechanics</span></i>, <span class="lang-en" lang="en">Harvard University Press</span>, 1992</li> <li>Roland Omnès, <i><span class="lang-en" lang="en">The Interpretation of Quantum Mechanics</span></i>, <span class="lang-en" lang="en">Princeton University Press</span>, 1994</li> <li><a href="/w/index.php?title=Robert_Griffiths_(physicist)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Robert Griffiths (physicist) (page inexistante)">Robert B. Griffiths</a>, <i><span class="lang-en" lang="en">Consistent Quantum Theory</span></i>, <span class="lang-en" lang="en">Cambridge University Press</span>, 2003 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-521-53929-3" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-521-53929-3"><span class="nowrap">0-521-53929-3</span></a>)</small></li> <li><a href="/wiki/John_Stewart_Bell" title="John Stewart Bell">John S. Bell</a>, <i><span class="lang-en" lang="en">Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Second Edition, Collected Papers on Quantum Philosophy</span></i>, <span class="lang-en" lang="en">Cambridge University Press</span>, 2004 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-521-52338-9" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-521-52338-9"><span class="nowrap">0-521-52338-9</span></a>)</small></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Ouvrages_d'initiation"><span id="Ouvrages_d.27initiation"></span>Ouvrages d'initiation</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=46" title="Modifier la section : Ouvrages d'initiation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=46" title="Modifier le code source de la section : Ouvrages d'initiation"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Accessibles au niveau d'un premier cycle universitaire. </p> <ul><li>Jean-Marc Lévy-Leblond & Françoise Balibar ; <i>Quantique : rudiments</i>, InterEditions/<a href="/wiki/%C3%89ditions_du_CNRS" class="mw-redirect" title="Éditions du CNRS">Éditions du CNRS</a> (1984). Réédité par Masson (1997) <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-225-85521-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-225-85521-8"><span class="nowrap">2-225-85521-8</span></a>)</small>, aujourd'hui racheté par Dunod : <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-225-85521-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-225-85521-8"><span class="nowrap">2-225-85521-8</span></a>)</small> Initiation à la physique quantique, accessible dès le premier cycle universitaire. Le bagage mathématique est restreint au minimum, l'accent étant porté sur la compréhension des phénomènes.</li> <li><span class="ouvrage"><a href="/wiki/Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Richard P. Feynman</a>, <a href="/wiki/Robert_B._Leighton" title="Robert B. Leighton">Robert B. Leighton</a> et <a href="/w/index.php?title=Matthew_Sands&action=edit&redlink=1" class="new" title="Matthew Sands (page inexistante)">Matthew Sands</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Matthew_Sands" class="extiw" title="en:Matthew Sands"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Matthew Sands »">(en)</span></a>, <cite class="italique">Le <a href="/wiki/Cours_de_physique_de_Feynman" class="mw-redirect" title="Cours de physique de Feynman">Cours de physique de Feynman</a></cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Le_cours_de_physique_de_Feynman" class="mw-redirect" title="Référence:Le cours de physique de Feynman">détail de l’édition</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Le+Cours+de+physique+de+Feynman&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span>, vol. 3 : <i>Mécanique quantique</i>, issu d'un enseignement donné à CalTech (Californian Institute of Technology, Pasadena), première parution aux États-Unis en 1963, éd. Dunod, <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-10-004934-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-10-004934-8"><span class="nowrap">2-10-004934-8</span></a>)</small>. Cours de niveau premier cycle universitaire, par le théoricien américain Richard Feynman, <a href="/wiki/Prix_Nobel_de_physique" title="Prix Nobel de physique">prix Nobel de physique</a> 1965. C'est une vision personnelle de la physique orientée vers la pédagogie : Feynman prend pour point de départ les amplitudes de transitions plutôt que la fonction d'onde <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Psi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ψ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Psi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5471531a3fe80741a839bc98d49fae862a6439a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Psi }"></span> (l'équation de Schrödinger ne faisant son apparition qu'au chapitre 16 à la page 320). Ces amplitudes constituent l'objet central de sa propre formulation en <a href="/wiki/Int%C3%A9grale_de_chemin" title="Intégrale de chemin">intégrale de chemins</a>. Cette approche peut dérouter l'étudiant ayant déjà suivi un cours d'initiation standard, l'aspect formel étant réduit. Texte très riche, la complexité de certains points est masquée par l'absence de formalisme mathématique.</li> <li>Max Born, <i>Structure atomique de la matière - Introduction à la physique quantique</i>, Collection U, Armand-Colin (<abbr class="abbr" title="Huitième">8<sup>e</sup></abbr> édition-1971). Un livre de référence par un professeur de physique théorique de l'université de Göttingen, prix Nobel de physique 1954 pour son interprétation statistique de la fonction d'onde de Schrödinger. Ce livre vaut pour certains détails historiques de première main.</li> <li>Bernard Cagnac & Jean-Claude Pebay-Peyroula, <i>Physique atomique - Tome 1 : expériences et principes fondamentaux</i>, Dunod (1975). <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-04-002555-3" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-04-002555-3"><span class="nowrap">2-04-002555-3</span></a>)</small>. Ce livre décrit précisément et en détail les aspects expérimentaux suivants : l'effet photoélectrique, les spectres optiques, l'expérience de Franck et Hertz, l'effet Compton, l'émission et l'absorption de photons, le laser, la dualité onde-corpuscule, les modèles atomique planétaires, ainsi que de nombreux aspects du magnétisme orbital et du magnétisme de spin, dont l'expérience de Stern et Gerlach.</li> <li>Edouard Chpolski, <i>Physique atomique</i> (2 vol.), Éditions Mir (1977). Un exposé des principes de la physique atomique, qui fournit de nombreux détails historiques.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Abraham Pais, <i>Inward Bound - Of Matter & Forces in the Physical World</i>, Oxford University Press (1986) <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-19-851997-4" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-19-851997-4"><span class="nowrap">0-19-851997-4</span></a>)</small> Écrite par un ancien assistant d'Einstein à Princeton, cette histoire des développements de la physique moderne démarre en 1895 avec la découverte expérimentale des rayons X, et se termine en 1983 lors de la découverte expérimentale au C.E.R.N. des bosons-vecteurs W et Z. L'auteur décrit avec beaucoup de détails l'évolution des idées, indiquant systématiquement les références des publications originales. Livre non traduit pour l'instant en français.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Ouvrages_destinés_à_l'apprentissage_de_la_discipline"><span id="Ouvrages_destin.C3.A9s_.C3.A0_l.27apprentissage_de_la_discipline"></span>Ouvrages destinés à l'apprentissage de la discipline</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=47" title="Modifier la section : Ouvrages destinés à l'apprentissage de la discipline" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=47" title="Modifier le code source de la section : Ouvrages destinés à l'apprentissage de la discipline"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Accessibles à partir du second cycle universitaire. </p> <ul><li>Constantin Piron, <i>Mécanique Quantique : bases et Applications</i>, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes (1998) <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-88074-399-0" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-88074-399-0"><span class="nowrap">2-88074-399-0</span></a>)</small>. Ce cours expose les bases de la théorie quantique et ses applications élémentaires sous une forme moderne, totalement renouvelée grâce aux travaux et aux découvertes faites ces trente dernières années, tant dans le domaine expérimental que dans le domaine théorique. Les concepts mathématiques sont introduits au fur et à mesure des besoins d'une manière élémentaire mais rigoureuse. Le tout est illustré par de nombreux exercices, avec corrigé.</li> <li>Michel Le Bellac, <i>Physique quantique</i>, <abbr class="abbr" title="collection">coll.</abbr> « Savoirs actuels », EDP Sciences/CNRS Éditions, 2003. <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-86883-655-0" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-86883-655-0"><span class="nowrap">2-86883-655-0</span></a> et <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-271-06147-4" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-271-06147-4"><span class="nowrap">2-271-06147-4</span></a>)</small>. Cet ouvrage aborde les aspects les plus récents de la théorie.</li> <li><span class="ouvrage" id="BasdevantDalibard"><span class="ouvrage" id="J._L._BasdevantJ._Dalibard">J. L. Basdevant et J. Dalibard, <cite class="italique">Mécanique quantique</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:M%C3%A9canique_quantique_(Basdevant)" title="Référence:Mécanique quantique (Basdevant)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=M%C3%A9canique+quantique&rft.aulast=Basdevant&rft.aufirst=J.+L.&rft.au=J.+Dalibard&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span></span>.</li> <li>Jean-Louis Basdevant, Jean Dalibard, <i>Problèmes quantiques</i>, éditions de l'École polytechnique, 2004 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2730211179" title="Spécial:Ouvrages de référence/2730211179"><span class="nowrap">2730211179</span></a>)</small>. Complément du volume de cours précédent, ce livre contient 19 problèmes, avec corrigés, sur une grande diversité d'exemples expérimentaux contemporains.</li> <li><span class="ouvrage" id="Cohen"><a href="/wiki/Claude_Cohen-Tannoudji" title="Claude Cohen-Tannoudji">C. Cohen-Tannoudji</a>, <a href="/wiki/Bernard_Diu" title="Bernard Diu">B. Diu</a> et <a href="/wiki/Franck_Lalo%C3%AB" title="Franck Laloë">F. Laloë</a>, <cite class="italique">Mécanique quantique</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:M%C3%A9canique_quantique_(Cohen-Tannoudji,_Diu,_Lalo%C3%AB)" title="Référence:Mécanique quantique (Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë)">détail de l’édition</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=M%C3%A9canique+quantique&rft.au=C.+Cohen-Tannoudji&rft.au=B.+Diu&rft.au=F.+Lalo%C3%AB&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span>. Traité en français, généralement donné comme référence aux étudiants du premier et second cycles universitaires.</li> <li><span class="ouvrage" id="Messiah"><span class="ouvrage" id="Albert_Messiah"><a href="/wiki/Albert_Messiah" title="Albert Messiah">Albert Messiah</a>, <cite class="italique">Mécanique quantique</cite> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:M%C3%A9canique_quantique_(Messiah)" title="Référence:Mécanique quantique (Messiah)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=M%C3%A9canique+quantique&rft.aulast=Messiah&rft.aufirst=Albert&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span></span>.</li> <li><span class="ouvrage" id="LandauLifchits"><span class="ouvrage" id="Lev_LandauEvgueni_Lifchits"><a href="/wiki/Lev_Landau" title="Lev Landau">Lev Landau</a> et <a href="/wiki/Evgueni_Lifchits" title="Evgueni Lifchits">Evgueni Lifchits</a>, <cite class="italique">Physique théorique</cite>, <abbr class="abbr" title="tome">t.</abbr> 3 : <i>Mécanique quantique</i> <small>[<a href="/wiki/R%C3%A9f%C3%A9rence:Physique_th%C3%A9orique_(Landau_et_Lifchitz)" title="Référence:Physique théorique (Landau et Lifchitz)">détail des éditions</a>]</small><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Physique+th%C3%A9orique&rft.aulast=Landau&rft.aufirst=Lev&rft.au=Evgueni+Lifchits&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span></span>. Écrit par un théoricien soviétique (en collaboration avec un de ses élèves) connu pour ses travaux en physique de l'état condensé, prix Nobel de physique 1962. Ouvrage complet.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Jun John Sakurai, <i>Modern Quantum Mechanics</i>, édition révisée, Addison-Wesley Publishing Company, 1994 <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-201-53929-2" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-201-53929-2"><span class="nowrap">0-201-53929-2</span></a>)</small>. Cet ouvrage d'un niveau avancé présente en particulier des sujets tels que les intégrales de chemin de Feynman, les mesures de corrélations, les inégalités de Bell, <abbr class="abbr" title="et cetera">etc.</abbr></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Peter_William_Atkins" title="Peter William Atkins">Peter Atkins</a>, <i>Molecular quantum mechanics</i>, Oxford University Press (<abbr class="abbr" title="Deuxième">2<sup>e</sup></abbr> édition-1983). Cours très pédagogique, par le célèbre professeur de chimie-physique de l'université d'Oxford.</li> <li>Alain Aspect, « Quelques tests expérimentaux des fondements de la mécanique quantique (en optique) », dans <i>Qu'est-ce que l'Univers ?</i>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 4 de l'Université de Tous les Savoirs (sous la direction d'Yves Michaux), Odile Jacob, 2001. Dualité onde-corpuscule, intrication quantique & paradoxe E.P.R., par un professeur d'optique à l'université de Paris-Sud (Orsay), auteur en 1982 d'une expérience testant les inégalités de Bell des corrélations E.P.R. (expérience en faveur des prédictions de la mécanique quantique. Cette expérience fut améliorée en 1998 par Anton Zeilinger et ses collaborateurs de l'université d'Innsbrück, Autriche).</li> <li>Anton Zeilinger, « La Téléportation », <i>Pour La Science</i>, <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 272, <time class="nowrap" datetime="2000-06" data-sort-value="2000-06">juin 2000</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">36-44</span>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Prévention_des_abus_d'interprétations"><span id="Pr.C3.A9vention_des_abus_d.27interpr.C3.A9tations"></span>Prévention des abus d'interprétations</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=48" title="Modifier la section : Prévention des abus d'interprétations" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=48" title="Modifier le code source de la section : Prévention des abus d'interprétations"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Accessible sans bagage physique préalable. </p> <ul><li>Richard Monvoisin ; <a rel="nofollow" class="external text" href="http://cortecs.org/cours/292-quantoc-lart-daccommoder-le-mot-quantique-a-toutes-les-sauces"><i>Quantox : l'art d'accommoder le mot quantique à toutes les sauces</i></a> - Bulletin de l'Union des Physiciens, Vol. 105 <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 935 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">679-700</span>, <time class="nowrap" datetime="2011-06" data-sort-value="2011-06">juin 2011</time>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Aspects_historiques">Aspects historiques</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=49" title="Modifier la section : Aspects historiques" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=49" title="Modifier le code source de la section : Aspects historiques"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>José Leite-Lopes et Bruno Escoubes, <i>Sources et évolution de la physique quantique - Textes fondateurs</i>, Masson (1995) <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-225-84607-3" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-225-84607-3"><span class="nowrap">2-225-84607-3</span></a>)</small>. Réédité par E.D.P. Sciences. <dl><dd>Donne une vue générale de l'évolution des idées, du <abbr class="abbr" title="19ᵉ siècle"><span class="romain">XIX</span><sup style="font-size:72%">e</sup></abbr> siècle à 1993, ainsi que la traduction française de quelques articles fondateurs.</dd></dl></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> John Archibald Wheeler et Wojciech Zurek, <i><span class="lang-en" lang="en">Quantum Theory and Measurement</span></i>, <span class="lang-en" lang="en">Princeton University Press</span>, 1983. <dl><dd>Un recueil classique d'articles sur le « problème de la mesure ».</dd></dl></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> B. L. van der Waerden (dir.), <i>Sources of quantum mechanics</i>, Dover Publications, Inc. (1967) <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/0-486-61881-1" title="Spécial:Ouvrages de référence/0-486-61881-1"><span class="nowrap">0-486-61881-1</span></a>)</small>. <dl><dd>Ce volume regroupe quelques-uns des articles pionniers de 1916 à 1926 (en traduction anglaise).</dd></dl></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Paul_Dirac" title="Paul Dirac">Paul A. Dirac</a>, <i>The principles of quantum mechanics</i>, Oxford Science Publication, Oxford University Press (<abbr class="abbr" title="Quatrième">4<sup>e</sup></abbr> édition-1958). <dl><dd>Le traité historique de base sur les principes de la mécanique quantique, par l'un de ses plus brillants inventeur, professeur de physique théorique à l'université de Cambridge, lauréat du prix Nobel de physique en 1933 (avec Erwin Schrödinger).</dd></dl></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Paul A. M. Dirac, <i><span class="lang-en" lang="en">Lectures on Quantum Mechanics</span></i>, Dover Publications, Inc (2001). <dl><dd>Quatre conférences faites à l'Université Yeshiva de New York en 1964.</dd></dl></li> <li>Erwin Schrödinger, <i>Mémoires sur la mécanique ondulatoire</i>, réédition des articles historiques par Jacques Gabay (1988).</li> <li>Werner Heisenberg, <i>Les Principes physiques de la théorie des quanta</i>, réédition du livre historique par Jacques Gabay (1989).</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Enrico Fermi, <i><span class="lang-en" lang="en">Notes on Quantum Mechanics</span></i>, <span class="lang-en" lang="en">the University of Chicago Press</span> (1961) ISBN.</li> <li>John Von Neumann, <i>Les Fondements mathématiques de la mécanique quantique</i>, Librairie Alcan (1946), réédité par Jacques Gabay (1988) ISBN. <dl><dd>Un ouvrage fondamental sur la structure mathématique de la théorie et les espaces de Hilbert.</dd></dl></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Jagdish Mehra et Helmut Rechenberg, <i><span class="lang-en" lang="en">The Historical Development of Quantum Theory</span></i>, Vol. 1-6, Springer-Verlag (New York-1978 à 2001). <dl><dd>Ouvrage de plus de 4 500 pages (6 volumes en 9 livres) sur le développement la mécanique quantique, principalement de 1900 à 1941 (un court texte est consacré aux avancées depuis 1941 jusqu'en 1999).</dd></dl></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Max Jammer, <i><span class="lang-en" lang="en">The Conceptual Development of Quantum Mechanics</span></i>, McGraw-Hill (New York-1966) ISBN.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Max Jammer, <i><span class="lang-en" lang="en">The Philosophy of Quantum Mechanics</span></i>, <span class="lang-en" lang="en">John Wiley & Sons</span> (New York-1974) ISBN.</li> <li>Franck Laloë, <i>Comprenons-nous vraiment la mécanique quantique ?</i>, Préface de <a href="/wiki/Claude_Cohen-Tannoudji" title="Claude Cohen-Tannoudji">Claude Cohen-Tannoudji</a>. <a href="/wiki/EDP_Sciences" title="EDP Sciences">EDP Sciences</a> (2011) <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/978-2-7598-0621-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/978-2-7598-0621-8"><span class="nowrap">978-2-7598-0621-8</span></a>)</small>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Sur_la_décohérence"><span id="Sur_la_d.C3.A9coh.C3.A9rence"></span>Sur la décohérence</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=50" title="Modifier la section : Sur la décohérence" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=50" title="Modifier le code source de la section : Sur la décohérence"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><span class="ouvrage" id="HarocheRaimondBrune1997"><span class="ouvrage" id="Serge_HarocheJean-Michel_RaimondMichel_Brune1997">Serge Haroche, Jean-Michel Raimond et Michel Brune, « <cite style="font-style:normal">Le chat de Schrödinger se prête à l'expérience - Voir en direct le passage du monde quantique au monde classique</cite> », <i>La Recherche</i>, <abbr class="abbr" title="numéro">n<sup>o</sup></abbr> 301,‎ <time class="nowrap" datetime="1997-09" data-sort-value="1997-09">septembre 1997</time>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 50<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Le+chat+de+Schr%C3%B6dinger+se+pr%C3%AAte+%C3%A0+l%27exp%C3%A9rience+-+Voir+en+direct+le+passage+du+monde+quantique+au+monde+classique&rft.jtitle=La+Recherche&rft.issue=301&rft.aulast=Haroche&rft.aufirst=Serge&rft.au=Jean-Michel+Raimond&rft.au=Michel+Brune&rft.date=1997-09&rft.pages=50&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AM%C3%A9canique+quantique"></span></span></span>.</li> <li>Serge Haroche, « Une exploration au cœur du monde quantique », dans : <i>Qu'est-ce que l'Univers ?</i>, Vol. 4 de l'Université de Tous les Savoirs (sous la direction d'Yves Michaux), Odile Jacob (2001) 571.</li> <li>Roland Omnès, <i>Comprendre la mécanique quantique</i>, EDP Sciences (2000) <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/2-86883-470-1" title="Spécial:Ouvrages de référence/2-86883-470-1"><span class="nowrap">2-86883-470-1</span></a>)</small>. <dl><dd>Par un professeur de physique théorique émérite de l'Université de Paris-Sud (Orsay), une discussion de l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique, du problème de la mesure et de la théorie des histoires consistantes de Griffiths et de la décohérence, par l'un de ses pionniers.</dd></dl></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> E. Joos, H. D. Zeh, C. Kiefer, D. Giulini, K. Kupsch, I. O. Stamatescu, <i><span class="lang-en" lang="en">Decoherence and the Appearance of a Classical World in Quantum Theory</span></i>, Springer-Verlag (1996). Deuxième édition (2003) <small style="line-height:1em;">(<a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Sp%C3%A9cial:Ouvrages_de_r%C3%A9f%C3%A9rence/3-540-00390-8" title="Spécial:Ouvrages de référence/3-540-00390-8"><span class="nowrap">3-540-00390-8</span></a>)</small>.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Gennaro Auletta, <i><span class="lang-en" lang="en">Foundation & Interpretation of Quantum Mechanics (in the light of a critical - historical analysis of the problems and of a synthesis of the results)</span></i>, <span class="lang-en" lang="en">World Scientific</span> (2001) ISBN. <dl><dd>Par un professeur de l'université de Rome, un ouvrage d'environ 1 000 pages sur les fondements conceptuels de la mécanique quantique des origines à nos jours — y compris les questions de décohérence —, mis en relation avec les avancées expérimentales les plus récentes.</dd></dl></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="/wiki/Fred_Alan_Wolf" title="Fred Alan Wolf">Fred Alan Wolf</a>, <i><span class="lang-en" lang="en">Parallel Universes: The Search for Other Worlds</span></i>, 1988.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Bibliothèque_virtuelle"><span id="Biblioth.C3.A8que_virtuelle"></span>Bibliothèque virtuelle</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=51" title="Modifier la section : Bibliothèque virtuelle" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=51" title="Modifier le code source de la section : Bibliothèque virtuelle"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading5"><h5 id="Cours">Cours</h5><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=52" title="Modifier la section : Cours" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=52" title="Modifier le code source de la section : Cours"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr> Franck Laloë, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.phys.ens.fr/cours/notes-de-cours/fl-mq/mq.PDF"><i>Comprenons-nous vraiment la mécanique quantique ?</i></a> : cours de Franck Laloë (Laboratoire Kastler-Brossel, ENS Ulm, Paris).</li> <li><abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr> Franck Laloë, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.phys.ens.fr/cours/notes-de-cours/fl-mq/mq-anglais.pdf"><i>Do we really understand quantum mechanics ?</i></a> : version anglaise augmentée du cours précédent sur le « paradoxe » E.P.R., le théorème de Bell, les intrications quantiques et la décohérence.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr> Claude Cohen-Tannoudji, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.phys.ens.fr/cours/notes-de-cours/cct-dea/index.html"><i>Compléments de mécanique quantique</i></a> : cours de Claude Cohen-Tannoudji (prix Nobel 1997) sur la formulation Lagrangienne de la mécanique quantique (Feynman-Dirac), et sur l'utilisation des fonctions de Green. Notes rédigées en 1966 par Serge Haroche.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr> Jean Dalibard, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.phys.ens.fr/cours/notes-de-cours/jd-dea/index.html"><i>Mécanique quantique avancée</i></a> : cours sur les systèmes de bosons et de fermions, la seconde quantification et l'espace de Fock, et la théorie des collisions.</li> <li><abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.phys.ens.fr/cours/college-de-france/index.html"><i>Claude Cohen-Tannoudji au Collège de France</i></a> : cours donnés depuis 1976 par Claude Cohen-Tannoudji (prix Nobel 1997 - chaire de physique atomique).</li> <li><abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.lkb.ens.fr/recherche/qedcav/college/college.html"><i>Serge Haroche au Collège de France</i></a> : cours donnés par Serge Haroche (chaire de physique quantique).</li> <li><abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr> Michel Le Bellac, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00092955/fr/"><i>Introduction à l'information quantique</i></a>. Cours de Michel Le Bellac (Institut Non Linéaire de Nice).</li> <li>Philippe Jacquier, <a rel="nofollow" class="external autonumber" href="http://www.phys.ens.fr/~jacquier/cours/M1">[1]</a> <i>Physique Quantique et Applications & Atomes et Molécules</i>. Cours de Master M1 donné à l'UPMC (Paris VI).</li> <li>Doron Cohen, <i><span class="lang-en" lang="en">Lecture Notes in Quantum Mechanics</span></i>, (2006). Excellente introduction, qui couvre de multiples aspects qu'on trouve rarement abordés à ce niveau. ArXiv : <a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/quant-ph/0605180">quant-ph/0605180</a>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Lectures_complémentaires"><span id="Lectures_compl.C3.A9mentaires"></span>Lectures complémentaires</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=53" title="Modifier la section : Lectures complémentaires" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=53" title="Modifier le code source de la section : Lectures complémentaires"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li>Roger Balian, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-spht.cea.fr/articles/t02/046/"><i>La physique quantique à notre échelle</i></a>. <dl><dd>texte d'une conférence donnée par l'auteur (Service de physique théorique du CEA, Saclay) le <time class="nowrap" datetime="2000-12-15" data-sort-value="2000-12-15">15 décembre 2000</time> à l'Académie des Sciences de Paris lors du colloque : <i>Les quanta : un siècle après Planck</i>. Publié par Michel Crozon & Yves Saquin (éditeurs), Physique et interrogations fondamentales - <i>Un siècle de quanta</i>, EDP Sciences (2003) <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">59-89</span>.</dd></dl></li> <li><abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr> Max Born, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://archive.numdam.org/article/AIHP_1930__1_3_205_0.pdf"><i>Quelques problèmes de mécanique quantique</i></a>, Annales de l'Institut Henri Poincaré 1 (3) (1930) <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">205-263</span>. <dl><dd>Après une introduction à la mécanique quantique, Max Born discute notamment le phénomène d'effet tunnel appliqué à la radioactivité alpha, poursuit par quelques applications à la cinétique des réactions chimiques, et aborde enfin le problème de la largeur des raies spectrales.</dd></dl></li> <li><abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr> P. A. M. Dirac, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://archive.numdam.org/article/AIHP_1930__1_4_357_0.pdf"><i>Quelques problèmes de mécanique quantique</i></a>, Annales de l'Institut Henri Poincaré 1 (4) (1930) <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">357-400</span>. <dl><dd>Paul Dirac y expose le formalisme de la physique statistique quantique d'une part, ainsi que l'équation quantique et relativiste de l'électron d'autre part (aujourd'hui appelée « équation de Dirac » en son honneur). Dirac identifie de façon erronée un « trou » de la mer de Dirac des états d'énergie négatives (issues des solutions de son équation) avec le proton. On sait aujourd'hui qu'il s'agit d'un <a href="/wiki/Positron" class="mw-redirect" title="Positron">positron</a>, antiparticule de l'électron.</dd></dl></li> <li><abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr> Edmond Bauer, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://archive.numdam.org/article/AIHP_1933__4_1_1_0.pdf"><i>Introduction à la théorie des groupes et à ses applications en physique quantique</i></a>, Annales de l'Institut Henri Poincaré 3 (4) (1933) <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> <span class="nowrap">1-170</span>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=54" title="Modifier la section : Articles connexes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=54" title="Modifier le code source de la section : Articles connexes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Concepts_fondamentaux">Concepts fondamentaux</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=55" title="Modifier la section : Concepts fondamentaux" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=55" title="Modifier le code source de la section : Concepts fondamentaux"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Quantum" title="Quantum">Quantum</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_des_quanta" title="Théorie des quanta">Théorie des quanta</a> <ul><li><a href="/wiki/Diagramme_d%27%C3%A9nergie" title="Diagramme d'énergie">Diagramme d'énergie</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Postulats_de_la_m%C3%A9canique_quantique" title="Postulats de la mécanique quantique">Postulats de la mécanique quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Les_trois_axiomes_de_la_m%C3%A9canique_quantique" title="Les trois axiomes de la mécanique quantique">Les trois axiomes de la mécanique quantique</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9canique_quantique_dans_l%27espace_des_phases" title="Mécanique quantique dans l'espace des phases">Mécanique quantique dans l'espace des phases</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_semi-classique" title="Physique semi-classique">Physique semi-classique</a></li> <li><a href="/wiki/Limite_classique" title="Limite classique">Limite classique</a></li> <li><a href="/wiki/Dualit%C3%A9_onde-corpuscule" title="Dualité onde-corpuscule">Dualité onde-corpuscule</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89tat_quantique" title="État quantique">État quantique</a> <ul><li><a href="/wiki/Chimie_quantique" title="Chimie quantique">Chimie quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Principe_de_superposition_quantique" title="Principe de superposition quantique">Principe de superposition quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Intrication_quantique" title="Intrication quantique">Intrication quantique</a> <ul><li><a href="/wiki/T%C3%A9l%C3%A9portation_quantique" title="Téléportation quantique">Téléportation quantique</a></li></ul></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Fonction_d%27onde" title="Fonction d'onde">Fonction d'onde</a></li> <li><a href="/wiki/Principe_d%27incertitude" title="Principe d'incertitude">Principe d'incertitude</a></li> <li><a href="/wiki/Principe_de_compl%C3%A9mentarit%C3%A9" title="Principe de complémentarité">Principe de complémentarité</a></li> <li><a href="/wiki/Interpr%C3%A9tations_de_la_m%C3%A9canique_quantique" class="mw-redirect" title="Interprétations de la mécanique quantique">Interprétations de la mécanique quantique</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Interprétation"><span id="Interpr.C3.A9tation"></span>Interprétation</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=56" title="Modifier la section : Interprétation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=56" title="Modifier le code source de la section : Interprétation"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Il existe de nombreuses <a href="/wiki/Interpr%C3%A9tations_de_la_m%C3%A9canique_quantique" class="mw-redirect" title="Interprétations de la mécanique quantique">interprétations de la mécanique quantique</a>, certaines étant en contradiction totale avec d'autres. Faute de conséquences observables de ces interprétations, il n'est pas possible de trancher en faveur de l'une ou de l'autre de ces interprétations. Seule exception, l'école de Copenhague dont le principe est justement de refuser toute interprétation des phénomènes. </p> <div class="NavFrame" style="clear:both; margin-bottom:1em; border-style:solid; background-color:var(--background-color-base, #fff);" title="[afficher]/[masquer]"> <div class="NavHead" style="text-align:center; min-height:1.6em; color:var(--color-emphasized, #000);">Diagramme des principales interprétations</div> <div class="NavContent" style="margin:0; color:var(--color-base, #202122); display:block; text-align:left;"> <table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="margin:1em 0em 1em 0em;text-align:center;" align="center" width="100%"> <tbody><tr> <td colspan="3"> </td> <th colspan="8">Arbre des solutions du problème de la mesure </th></tr> <tr> <td width="7%"> </td> <td width="7%"> </td> <td width="5%"> </td> <td width="7%"> </td> <td width="7%"> </td> <td width="3%"> </td> <td width="7%"> </td> <td width="7%"> </td> <td width="3%"> </td> <td width="7%"> </td> <td width="7%"> </td> <td width="5%"> </td> <td width="4%"> </td> <td width="4%"> </td> <td width="4%"> </td> <td width="4%"> </td> <td width="4%"> </td> <td width="4%"> </td></tr> <tr> <td colspan="6">  </td> <td colspan="2" rowspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#CFCFCF"><b><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_quantique" class="mw-redirect" title="Théorie quantique">Théorie quantique</a></b> </td></tr> <tr> <td colspan="16">  </td></tr> <tr> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td style="border-width:0px 2px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td></tr> <tr> <td style="border-width:0px 2px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 0px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 0px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 0px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 0px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 0px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 2px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 0px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 0px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 0px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 0px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 0px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 0px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 0px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 2px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td></tr> <tr> <td colspan="2" rowspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#DFDFDF">N'est pas censée représenter la réalité </td> <td rowspan="2"> </td> <td rowspan="2"> </td> <td>  </td> <td>  </td> <td colspan="2" rowspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#DFDFDF">Ne représente pas totalement la réalité </td> <td>  </td> <td>  </td> <td rowspan="2" colspan="2"> </td> <td rowspan="2"> </td> <td colspan="4" rowspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#DFDFDF">Représente totalement la réalité </td></tr> <tr> <td style="border-width:2px 0px 0px 2px;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 0px 0px 0px;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 0px 0px 0px;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:2px 2px 0px 0px;border-style:solid;border-color:#999;">  </td></tr> <tr> <td rowspan="2" style="border-width:0px 2px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td rowspan="2">  </td> <td rowspan="2">  </td> <td rowspan="2">  </td> <td rowspan="2" style="border-width:0px 0px 0px 2px;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td rowspan="2">  </td> <td rowspan="2" style="border-width:0px 2px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td rowspan="2">  </td> <td rowspan="2">  </td> <td rowspan="2" style="border-width:0px 2px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td rowspan="2">  </td> <td rowspan="2">  </td> <td rowspan="2">  </td> <td style="border-width:0px 0px 2px 0px;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:0px 2px 2px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:0px 0px 2px 0px;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td style="border-width:0px 0px 2px 0px;border-style:solid;border-color:#999;">  </td></tr> <tr> <td style="border-width:0px 0px 0px 2px;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td>  </td> <td>  </td> <td>  </td> <td style="border-width:0px 0px 0px 2px;border-style:solid;border-color:#999;">  </td></tr> <tr> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF"><a href="/wiki/Positivisme" title="Positivisme">Positivisme</a> </td> <td> </td> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF">Lois quantiques modifiées </td> <td> </td> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF">Influence de la conscience </td> <td> </td> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF">Ajout d'une variable supplémentaire : la position </td> <td> </td> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF"><a href="/wiki/D%C3%A9coh%C3%A9rence_quantique" title="Décohérence quantique">Décohérence quantique</a> </td> <td> </td> <td> </td> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF"><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_d%27Everett" title="Théorie d'Everett">Univers multiples</a> </td></tr> <tr> <td style="border-width:0px 2px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td style="border-width:0px 0px 0px 2px;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td> </td> <td style="border-width:0px 2px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td> </td> <td> </td> <td style="border-width:0px 2px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td style="border-width:0px 0px 0px 2px;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td>  </td> <td>  </td> <td>  </td> <td style="border-width:0px 0px 0px 2px;border-style:solid;border-color:#999;">  </td></tr> <tr> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF"><a href="/wiki/Stephen_Hawking" title="Stephen Hawking">Stephen Hawking</a><br /> <a href="/wiki/Niels_Bohr" title="Niels Bohr">Niels Bohr</a> </td> <td> </td> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF"><a href="/wiki/Roger_Penrose" title="Roger Penrose">Roger Penrose</a> </td> <td> </td> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF"><a href="/wiki/Eugene_Wigner" title="Eugene Wigner">Eugene Wigner</a> </td> <td> </td> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF"><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_De_Broglie-Bohm" title="Théorie de De Broglie-Bohm">Théorie de De Broglie-Bohm</a> </td> <td> </td> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF"><a href="/wiki/Roland_Omn%C3%A8s" title="Roland Omnès">Roland Omnès</a><br /><a href="/wiki/Murray_Gell-Mann" title="Murray Gell-Mann">Murray Gell-Mann</a><br /> <a href="/wiki/James_Hartle" title="James Hartle">James Hartle</a> </td> <td> </td> <td> </td> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF"><a href="/wiki/Hugh_Everett" title="Hugh Everett">Hugh Everett</a><br /><a href="/wiki/David_Deutsch" title="David Deutsch">David Deutsch</a> </td></tr> <tr> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td style="border-width:0px 2px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td> </td> <td> </td> <td style="border-width:0px 2px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td> </td> <td> </td> <td style="border-width:0px 2px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td style="border-width:0px 0px 0px 2px;border-style:solid;border-color:#999;">  </td></tr> <tr> <td colspan="2"> </td> <td> </td> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF"><a href="/wiki/Giancarlo_Ghirardi" title="Giancarlo Ghirardi">Giancarlo Ghirardi</a><br /><a href="/w/index.php?title=Alberto_Rimini&action=edit&redlink=1" class="new" title="Alberto Rimini (page inexistante)">Alberto Rimini</a><br /><a href="/wiki/Wilhelm_Eduard_Weber" title="Wilhelm Eduard Weber">Wilhelm Eduard Weber</a> </td> <td> </td> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF"><a href="/wiki/John_von_Neumann" title="John von Neumann">John von Neumann</a><br /><a href="/wiki/Fritz_London" title="Fritz London">Fritz London</a> et <a href="/wiki/Edmond_Bauer" title="Edmond Bauer">Edmond Bauer</a> </td> <td> </td> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF"><a href="/wiki/John_Stewart_Bell" title="John Stewart Bell">John Bell</a> </td> <td> </td> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF"><a href="/wiki/H._Dieter_Zeh" title="H. Dieter Zeh">H. Dieter Zeh</a><br /><a href="/wiki/Wojciech_Hubert_Zurek" title="Wojciech Hubert Zurek">Wojciech Zurek</a> </td> <td> </td> <td> </td> <td> </td></tr> <tr> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td> </td> <td style="border-width:0px 2px 0px 0;border-style:solid;border-color:#999;">  </td></tr> <tr> <td colspan="2"> </td> <td> </td> <td colspan="2"> </td> <td> </td> <td colspan="2" style="border:1px solid #999;" bgcolor="#EFEFEF"><a href="/wiki/Bernard_d%27Espagnat" title="Bernard d'Espagnat">Bernard d'Espagnat</a> <br /> <a href="/wiki/Olivier_Costa_de_Beauregard" title="Olivier Costa de Beauregard">Olivier Costa de Beauregard</a> </td></tr></tbody></table></div> <div class="NavEnd"> </div> </div> <ul><li><a href="/wiki/1924" title="1924">1924</a> : <a href="/wiki/Hypoth%C3%A8se_de_De_Broglie" class="mw-redirect" title="Hypothèse de De Broglie">Hypothèse de De Broglie</a></li> <li><a href="/wiki/1927" title="1927">1927</a> : <a href="/wiki/%C3%89cole_de_Copenhague_(physique)" title="École de Copenhague (physique)">École de Copenhague</a></li> <li><a href="/wiki/1927" title="1927">1927</a> : <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_l%27onde_pilote" title="Théorie de l'onde pilote">Théorie de l'onde pilote</a></li> <li><a href="/wiki/1952" title="1952">1952</a> : <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_De_Broglie-Bohm" title="Théorie de De Broglie-Bohm">Théorie de De Broglie-Bohm</a></li> <li><a href="/wiki/1957" title="1957">1957</a> : <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_d%27Everett" title="Théorie d'Everett">Théorie d'Everett</a> (univers multiples)</li> <li><a href="/wiki/1970" title="1970">1970</a> : <a href="/wiki/D%C3%A9coh%C3%A9rence_quantique" title="Décohérence quantique">Décohérence quantique</a></li> <li><a href="/wiki/1986" title="1986">1986</a> : <a href="/wiki/Interpr%C3%A9tation_transactionnelle_de_la_m%C3%A9canique_quantique" title="Interprétation transactionnelle de la mécanique quantique">Interprétation transactionnelle</a></li> <li><a href="/wiki/2015" title="2015">2015</a> : <a href="/wiki/Th%C3%A9orie_CSM" title="Théorie CSM">Théorie CSM</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Problèmes,_paradoxes_et_expériences"><span id="Probl.C3.A8mes.2C_paradoxes_et_exp.C3.A9riences"></span>Problèmes, paradoxes et expériences</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=57" title="Modifier la section : Problèmes, paradoxes et expériences" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=57" title="Modifier le code source de la section : Problèmes, paradoxes et expériences"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Probl%C3%A8me_de_la_mesure_quantique" title="Problème de la mesure quantique">Problème de la mesure quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Gravit%C3%A9_quantique" title="Gravité quantique">Gravité quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Contrafactualit%C3%A9_(physique)" title="Contrafactualité (physique)">Contrafactualité</a></li> <li><a href="/wiki/Paradoxes_de_la_m%C3%A9canique_quantique" title="Paradoxes de la mécanique quantique">Paradoxes de la mécanique quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Chat_de_Schr%C3%B6dinger" title="Chat de Schrödinger">Chat de Schrödinger</a></li> <li><a href="/wiki/Suicide_quantique" title="Suicide quantique">Suicide quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Paradoxe_EPR" title="Paradoxe EPR">Paradoxe EPR</a></li> <li><a href="/wiki/Exp%C3%A9rience_d%27Aspect" title="Expérience d'Aspect">Expérience d'Aspect</a></li> <li><a href="/wiki/Exp%C3%A9rience_de_la_gomme_quantique_%C3%A0_choix_retard%C3%A9" title="Expérience de la gomme quantique à choix retardé">Expérience de la gomme quantique à choix retardé</a></li> <li><a href="/wiki/Fentes_de_Young" title="Fentes de Young">Fentes de Young</a></li> <li><a href="/wiki/Exp%C3%A9rience_d%E2%80%99Afshar" class="mw-redirect" title="Expérience d’Afshar">Expérience d’Afshar</a></li> <li><a href="/wiki/Gomme_quantique" title="Gomme quantique">Gomme quantique</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Mathématiques"><span id="Math.C3.A9matiques"></span>Mathématiques</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=58" title="Modifier la section : Mathématiques" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=58" title="Modifier le code source de la section : Mathématiques"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Constante_de_Planck" title="Constante de Planck">Constante de Planck</a></li> <li><a href="/wiki/Constante_de_Planck_r%C3%A9duite" class="mw-redirect" title="Constante de Planck réduite">Constante de Planck réduite</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quation_de_Schr%C3%B6dinger" title="Équation de Schrödinger">Équation de Schrödinger</a></li> <li><a href="/wiki/Amplitude_de_probabilit%C3%A9" title="Amplitude de probabilité">Amplitude de probabilité</a></li> <li><a href="/wiki/Potentiel_quantique" title="Potentiel quantique">Potentiel quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Notation_bra-ket" title="Notation bra-ket">Notation bra-ket</a></li> <li><a href="/wiki/Espace_de_Hilbert" title="Espace de Hilbert">Espace de Hilbert</a></li> <li><a href="/wiki/Oscillateur_harmonique_quantique" title="Oscillateur harmonique quantique">Oscillateur harmonique quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Phase_g%C3%A9om%C3%A9trique" title="Phase géométrique">Phase géométrique</a></li> <li><a href="/wiki/Transform%C3%A9e_de_Wigner-Weyl" title="Transformée de Wigner-Weyl">Transformation de Weyl-Wigner</a></li> <li><a href="/wiki/Int%C3%A9grale_de_chemin" title="Intégrale de chemin">Intégrale de chemin</a></li> <li><a href="/wiki/Spin" title="Spin">Spin</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Mécanique_quantique_relativiste"><span id="M.C3.A9canique_quantique_relativiste"></span>Mécanique quantique relativiste</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=59" title="Modifier la section : Mécanique quantique relativiste" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=59" title="Modifier le code source de la section : Mécanique quantique relativiste"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/M%C3%A9canique_quantique_relativiste" title="Mécanique quantique relativiste">Mécanique quantique relativiste</a>.</div></div> <ul><li><a href="/wiki/Mod%C3%A8le_standard_(physique)" class="mw-redirect" title="Modèle standard (physique)">Modèle standard</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_quantique" title="Physique quantique">Physique quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_quantique_des_champs" title="Théorie quantique des champs">Théorie quantique des champs</a></li> <li><a href="/wiki/Principe_d%27exclusion_de_Pauli" title="Principe d'exclusion de Pauli">Principe d'exclusion de Pauli</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quation_de_Dirac" title="Équation de Dirac">Équation de Dirac</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_des_particules" title="Physique des particules">Physique des particules</a></li> <li><a href="/wiki/Diagramme_de_Feynman" title="Diagramme de Feynman">Diagramme de Feynman</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Informatique_quantique">Informatique quantique</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=60" title="Modifier la section : Informatique quantique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=60" title="Modifier le code source de la section : Informatique quantique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Informatique_quantique" title="Informatique quantique">Informatique quantique</a>.</div></div> <ul><li><a href="/wiki/Information_quantique" title="Information quantique">Information quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Ordinateur_quantique" title="Ordinateur quantique">Ordinateur quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Qubit" title="Qubit">Qubit</a></li> <li><a href="/wiki/G%C3%A9n%C3%A9rateur_de_nombres_al%C3%A9atoires" title="Générateur de nombres aléatoires">Générateur de nombres aléatoires au vrai hasard</a></li> <li><a href="/wiki/Cryptographie_quantique" title="Cryptographie quantique">Cryptographie quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Logique_quantique" title="Logique quantique">Logique quantique</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Vide_quantique">Vide quantique</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=61" title="Modifier la section : Vide quantique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=61" title="Modifier le code source de la section : Vide quantique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="bandeau-container bandeau-section metadata bandeau-niveau-information"><div class="bandeau-cell bandeau-icone-css loupe">Article détaillé : <a href="/wiki/Vide_quantique" title="Vide quantique">Vide quantique</a>.</div></div> <ul><li><a href="/wiki/%C3%89nergie_du_vide" title="Énergie du vide">Énergie du vide</a></li> <li><a href="/wiki/Effet_Casimir" title="Effet Casimir">Effet Casimir</a> <ul><li><a href="/wiki/D%C3%A9calage_de_Lamb" title="Décalage de Lamb">Décalage de Lamb</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%C3%89vaporation_des_trous_noirs" title="Évaporation des trous noirs">Évaporation des trous noirs</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Divers">Divers</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=62" title="Modifier la section : Divers" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=62" title="Modifier le code source de la section : Divers"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Chronologie_de_la_physique_microscopique" title="Chronologie de la physique microscopique">Chronologie de la physique microscopique</a></li> <li><a href="/wiki/Atome_d%27hydrog%C3%A8ne" title="Atome d'hydrogène">Atome d'hydrogène</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=63" title="Modifier la section : Liens externes" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=63" title="Modifier le code source de la section : Liens externes"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.e-scio.net/mecaq/index.php3">Scio : Introduction à la mécanique quantique, sans jargon technique</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.futura-sciences.com/comprendre/d/dossier188-1.php">Introduction à la physique quantique</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.quantum-physics.polytechnique.fr">Quantum Physics Online : introduction interactive à la mécanique quantique (applets Java)</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogue.polytechnique.fr/site.php?id=87">Cours de mécanique quantique (<abbr class="abbr" title="Première">1<sup>re</sup></abbr> année) à l'École polytechnique (vidéo)</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogue.polytechnique.fr/site.php?id=118">Cours de mécanique quantique (<abbr class="abbr" title="Deuxième">2<sup>e</sup></abbr> année) à l'École polytechnique (vidéo)</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.traduccionssimoneweil.cat/pdf/reflexionsapropositdelateoriadelsquanta.pdf">Réflexions à propos de la théorie des quanta (Simone Weil)</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : catalan">(ca)</abbr></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.toutestquantique.fr">Site web avec animations 3D des principes de base de la quantique et des exemples de recherches et d'applications</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Sur_la_téléportation_quantique"><span id="Sur_la_t.C3.A9l.C3.A9portation_quantique"></span>Sur la téléportation quantique</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=64" title="Modifier la section : Sur la téléportation quantique" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=64" title="Modifier le code source de la section : Sur la téléportation quantique"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cs.mcgill.ca/~crepeau/tele.html">Téléportation quantique sur le site de M. Crépeau</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.astrosurf.com/luxorion/quantique-teleportation.htm">La téléportation sur le site <i>Luxorion</i></a></li> <li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.research.ibm.com/quantuminfo/teleportation/">Téléportation quantique sur le site d'IBM</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Bases_de_données_et_dictionnaires"><span id="Bases_de_donn.C3.A9es_et_dictionnaires"></span>Bases de données et dictionnaires</h4><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&veaction=edit&section=65" title="Modifier la section : Bases de données et dictionnaires" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifier</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=M%C3%A9canique_quantique&action=edit&section=65" title="Modifier le code source de la section : Bases de données et dictionnaires"><span>modifier le code</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p class="mw-empty-elt"> </p> <ul><li class="mw-empty-elt"></li> <li><span class="liste-horizontale noarchive"><span class="wd_identifiers">Ressource relative à la recherche<span class="noprint wikidata-linkback skin-invert"><span class="mw-valign-baseline noviewer" typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q944?uselang=fr#identifiers" title="Voir et modifier les données sur Wikidata"><img alt="Voir et modifier les données sur Wikidata" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/15px-Blue_pencil.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/20px-Blue_pencil.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a></span></span></span> : <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://plato.stanford.edu/entries/qm/"><span class="lang-en" lang="en"><i>Stanford Encyclopedia of Philosophy</i></span></a></li> </ul></span></li> <li><span class="liste-horizontale noarchive"><span class="wd_identifiers">Ressource relative à la santé<span class="noprint wikidata-linkback skin-invert"><span class="mw-valign-baseline noviewer" typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q944?uselang=fr#identifiers" title="Voir et modifier les données sur Wikidata"><img alt="Voir et modifier les données sur Wikidata" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/15px-Blue_pencil.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/20px-Blue_pencil.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a></span></span></span> : <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://meshb.nlm.nih.gov/record/ui?ui=D011789"><span class="lang-en" lang="en">Medical Subject Headings</span></a></li> </ul></span> </li> <li><div class="liste-horizontale"><span class="wd_identifiers">Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes<span class="noprint wikidata-linkback skin-invert"><span class="mw-valign-baseline noviewer" typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q944?uselang=fr#identifiers" title="Voir et modifier les données sur Wikidata"><img alt="Voir et modifier les données sur Wikidata" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/15px-Blue_pencil.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/20px-Blue_pencil.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a></span></span></span> : <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/science/quantum-mechanics-physics"><i>Britannica</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://brockhaus.de/ecs/enzy/article/quantenmechanik"><i>Brockhaus</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://denstoredanske.lex.dk//kvantemekanik/"><i>Den Store Danske Encyklopædi</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.treccani.it/enciclopedia/meccanica-quantistica_(Enciclopedia-Italiana)/"><i>Enciclopedia italiana</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.enciclopedia.cat/EC-GEC-0193520.xml"><i>Gran Enciclopèdia Catalana</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ne.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/kvantmekanik"><i>Nationalencyklopedin</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://snl.no/kvantemekanikk"><i>Store norske leksikon</i></a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.treccani.it/enciclopedia/meccanica-quantistica"><i>Treccani</i></a></li> </ul></div></li> <li><div class="liste-horizontale"><span class="wd_identifiers"><a href="/wiki/Autorit%C3%A9_(sciences_de_l%27information)" title="Autorité (sciences de l'information)">Notices d'autorité</a><span class="noprint wikidata-linkback skin-invert"><span class="mw-valign-baseline noviewer" typeof="mw:File"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q944?uselang=fr#identifiers" title="Voir et modifier les données sur Wikidata"><img alt="Voir et modifier les données sur Wikidata" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png" decoding="async" width="10" height="10" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/15px-Blue_pencil.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/20px-Blue_pencil.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="600" /></a></span></span></span> : <ul><li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11938463d">BnF</a></span> (<span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://data.bnf.fr/ark:/12148/cb11938463d">données</a></span>)</li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.idref.fr/02731569X">IdRef</a></span></li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.loc.gov/authorities/sh85109469">LCCN</a></span></li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4047989-4">GND</a></span></li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00569870">Japon</a></span></li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://catalogo.bne.es/uhtbin/authoritybrowse.cgi?action=display&authority_id=XX4576425">Espagne</a></span></li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://olduli.nli.org.il/F/?func=find-b&local_base=NLX10&find_code=UID&request=987007550893405171">Israël</a></span></li> <li><span class="nowrap uid noarchive"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://aut.nkp.cz/ph115047">Tchéquie</a></span></li> </ul></div></li></ul> <p><br /> </p> <div class="navbox-container" style="clear:both;"> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_Branches_de_la_physique" title="Modèle:Palette Branches de la physique"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_Branches_de_la_physique&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%">Branches de la <a href="/wiki/Physique" title="Physique">physique</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Catégories</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Physique_appliqu%C3%A9e" title="Physique appliquée">Appliquée</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_exp%C3%A9rimentale" title="Physique expérimentale">Expérimentale</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_th%C3%A9orique" title="Physique théorique">Théorique</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/wiki/Champ_(physique)" title="Champ (physique)">Champs</a> et <a href="/wiki/Onde" title="Onde">ondes</a></th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Champ_gravitationnel" title="Champ gravitationnel">Champ gravitationnel</a></li> <li><a href="/wiki/Champ_%C3%A9lectromagn%C3%A9tique" title="Champ électromagnétique">Champ électromagnétique</a></li> <li><a href="/wiki/Champ_de_Higgs_%C3%A9lectrofaible" title="Champ de Higgs électrofaible">Champ de Higgs électrofaible</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_quantique_des_champs" title="Théorie quantique des champs">Théorie quantique des champs</a></li> <li><a href="/wiki/Principe_de_relativit%C3%A9" title="Principe de relativité">Relativité</a> <ul><li><a href="/wiki/Relativit%C3%A9_g%C3%A9n%C3%A9rale" title="Relativité générale">Générale</a></li> <li><a href="/wiki/Relativit%C3%A9_restreinte" title="Relativité restreinte">Restreinte</a></li></ul></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style=""><a href="/wiki/%C3%89nergie_(physique)" title="Énergie (physique)">Énergie</a> et <a href="/wiki/Mouvement_(m%C3%A9canique)" title="Mouvement (mécanique)">mouvement</a></th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/M%C3%A9canique_(science)" title="Mécanique (science)">Mécanique</a> <ul><li><a href="/wiki/M%C3%A9canique_newtonienne" title="Mécanique newtonienne">Classique</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9canique_c%C3%A9leste" title="Mécanique céleste">Céleste</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9canique_des_fluides" title="Mécanique des fluides">Fluides</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%A9canique_des_milieux_continus" title="Mécanique des milieux continus">Milieux continus</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Quantique</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Thermodynamique" title="Thermodynamique">Thermodynamique</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Spécialités</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Acoustique" title="Acoustique">Acoustique</a></li> <li><a href="/wiki/Astrophysique" title="Astrophysique">Astrophysique</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_atomique" title="Physique atomique">Atomique</a></li> <li><a href="/wiki/G%C3%A9nie_industriel" title="Génie industriel">Industrielle</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_de_la_mati%C3%A8re_condens%C3%A9e" title="Physique de la matière condensée">Matière condensée</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_nucl%C3%A9aire" title="Physique nucléaire">Nucléaire</a></li> <li><a href="/wiki/Optique_physique" title="Optique physique">Optique</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_des_particules" title="Physique des particules">Particules</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_du_solide" title="Physique du solide">Solide</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_statistique" title="Physique statistique">Statistique</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Autres sciences</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Physique_de_l%27atmosph%C3%A8re" title="Physique de l'atmosphère">Atmosphérique</a></li> <li><a href="/wiki/Biophysique" title="Biophysique">Biophysique</a></li> <li><a href="/wiki/Biom%C3%A9canique" title="Biomécanique">Biomécanique</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_m%C3%A9dicale" title="Physique médicale">Médicale</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89conophysique" title="Éconophysique">Éconophysique</a></li> <li><a href="/wiki/G%C3%A9ophysique" title="Géophysique">Géophysique</a></li> <li><a href="/wiki/Physico-chimie" title="Physico-chimie">Physico-chimie</a></li> <li><a href="/wiki/Physique_math%C3%A9matique" title="Physique mathématique">Mathématique</a></li> <li><a href="/wiki/Psychophysique" title="Psychophysique">Psychophysique</a></li></ul> </div></td> </tr> </tbody></table> <table class="navbox collapsible noprint autocollapse" style=""> <tbody><tr><th class="navbox-title" colspan="2" style=""><div style="float:left; width:6em; text-align:left"><div class="noprint plainlinks nowrap tnavbar" style="padding:0; font-size:xx-small; color:var(--color-emphasized, #000000);"><a href="/wiki/Mod%C3%A8le:Palette_M%C3%A9canique_quantique" title="Modèle:Palette Mécanique quantique"><abbr class="abbr" title="Voir ce modèle.">v</abbr></a> · <a class="external text" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mod%C3%A8le:Palette_M%C3%A9canique_quantique&action=edit"><abbr class="abbr" title="Modifier ce modèle. Merci de prévisualiser avant de sauvegarder.">m</abbr></a></div></div><div style="font-size:110%"><a class="mw-selflink selflink">Mécanique quantique</a></div></th> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Concepts fondamentaux</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Antiparticule" title="Antiparticule">Antiparticule</a> / <a href="/wiki/Particule_%C3%A9l%C3%A9mentaire" title="Particule élémentaire">Particule</a></li> <li><a href="/wiki/D%C3%A9coh%C3%A9rence_quantique" title="Décohérence quantique">Décohérence</a></li> <li><a href="/wiki/Dualit%C3%A9_onde-corpuscule" title="Dualité onde-corpuscule">Dualité</a></li> <li><a href="/wiki/Effet_tunnel" title="Effet tunnel">Effet tunnel</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89tat_quantique" title="État quantique">État quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Fonction_d%27onde" title="Fonction d'onde">Fonction d'onde</a></li> <li><a href="/wiki/Intrication_quantique" title="Intrication quantique">Intrication</a></li> <li><a href="/wiki/Nombre_quantique" title="Nombre quantique">Nombre quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Observable" title="Observable">Observable</a></li> <li><a href="/wiki/Principe_de_correspondance" title="Principe de correspondance">Principe de correspondance</a></li> <li><a href="/wiki/Principe_de_superposition_quantique" title="Principe de superposition quantique">Principe de superposition quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Principe_de_compl%C3%A9mentarit%C3%A9" title="Principe de complémentarité">Principe de complémentarité</a></li> <li><a href="/wiki/Principe_d%27incertitude" title="Principe d'incertitude">Principe d'incertitude</a></li> <li><a href="/wiki/R%C3%A9duction_du_paquet_d%27onde" title="Réduction du paquet d'onde">Réduction du paquet d'onde (Mesure)</a></li> <li><a href="/wiki/Spin" title="Spin">Spin</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Expériences</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Fentes_de_Young" title="Fentes de Young">Fentes de Young</a></li> <li><a href="/wiki/Exp%C3%A9rience_de_Davisson-Germer" title="Expérience de Davisson-Germer">Davisson et Germer</a></li> <li><a href="/wiki/Exp%C3%A9rience_de_Stern_et_Gerlach" title="Expérience de Stern et Gerlach">Stern et Gerlach</a></li> <li><a href="/wiki/Chat_de_Schr%C3%B6dinger" title="Chat de Schrödinger">Chat de Schrödinger</a></li> <li><a href="/wiki/Gomme_quantique" title="Gomme quantique">Gomme quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Exp%C3%A9rience_de_la_gomme_quantique_%C3%A0_choix_retard%C3%A9" title="Expérience de la gomme quantique à choix retardé">Gomme quantique à choix retardé</a></li> <li><a href="/wiki/Paradoxe_EPR" title="Paradoxe EPR">Paradoxe EPR</a></li> <li><a href="/wiki/Paradoxe_de_Wigner" title="Paradoxe de Wigner">Paradoxe de Wigner</a></li> <li><a href="/wiki/T%C3%A9l%C3%A9portation_quantique" title="Téléportation quantique">Téléportation quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Exp%C3%A9rience_d%27Aspect" title="Expérience d'Aspect">Aspect</a></li> <li><a href="/wiki/Exp%C3%A9rience_d%27Afshar" title="Expérience d'Afshar">Afshar</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Formalisme</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Notation_bra-ket" title="Notation bra-ket">Notation bra-ket</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quation_de_Schr%C3%B6dinger" title="Équation de Schrödinger">Équation de Schrödinger</a></li> <li><a href="/wiki/Matrice_densit%C3%A9" title="Matrice densité">Matrice densité</a></li> <li><a href="/wiki/Repr%C3%A9sentation_de_Schr%C3%B6dinger" title="Représentation de Schrödinger">Représentation de Schrödinger</a></li> <li><a href="/wiki/Repr%C3%A9sentation_de_Heisenberg" title="Représentation de Heisenberg">Représentation de Heisenberg</a></li> <li><a href="/wiki/Repr%C3%A9sentation_d%27interaction" title="Représentation d'interaction">Représentation d'interaction</a></li> <li><a href="/wiki/Alg%C3%A8bre_de_Jordan" title="Algèbre de Jordan">Algèbre de Jordan</a></li> <li><a href="/wiki/Diagramme_de_Feynman" title="Diagramme de Feynman">Diagramme de Feynman</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quation_de_Klein-Gordon" title="Équation de Klein-Gordon">Équation de Klein-Gordon</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quation_de_Dirac" title="Équation de Dirac">Équation de Dirac</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89quation_de_Rarita-Schwinger" title="Équation de Rarita-Schwinger">Équation de Rarita-Schwinger</a></li> <li><a href="/wiki/Matrice_de_Dirac" title="Matrice de Dirac">Matrice de Dirac</a></li> <li><a href="/wiki/Symbole_de_Levi-Civita" title="Symbole de Levi-Civita">Symbole de Levi-Civita</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Statistiques</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Statistique_de_Maxwell-Boltzmann" title="Statistique de Maxwell-Boltzmann">Maxwell-Boltzmann</a></li> <li><a href="/wiki/Particules_indiscernables" title="Particules indiscernables">Échange</a></li> <li><a href="/wiki/Statistique_de_Fermi-Dirac" title="Statistique de Fermi-Dirac">Fermi-Dirac</a></li> <li><a href="/wiki/Fermion" title="Fermion">Fermion</a></li> <li><a href="/wiki/Statistique_de_Bose-Einstein" title="Statistique de Bose-Einstein">Bose-Einstein</a></li> <li><a href="/wiki/Boson" title="Boson">Boson</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Théories avancées</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_quantique_des_champs" title="Théorie quantique des champs">Théorie quantique des champs</a></li> <li><a href="/wiki/Axiomes_de_Wightman" title="Axiomes de Wightman">Axiomes de Wightman</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89lectrodynamique_quantique" title="Électrodynamique quantique">Électrodynamique quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Chromodynamique_quantique" title="Chromodynamique quantique">Chromodynamique quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Gravit%C3%A9_quantique" title="Gravité quantique">Gravité quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Trou_noir_virtuel" title="Trou noir virtuel">Trou noir virtuel</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Interprétations</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Probl%C3%A8me_de_la_mesure_quantique" title="Problème de la mesure quantique">Problème de la mesure</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89cole_de_Copenhague_(physique)" title="École de Copenhague (physique)">École de Copenhague</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Interpr%C3%A9tation_d%27ensemble&action=edit&redlink=1" class="new" title="Interprétation d'ensemble (page inexistante)">Ensemble</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Ensemble_interpretation" class="extiw" title="en:Ensemble interpretation"><span class="indicateur-langue" title="Article en anglais : « Ensemble interpretation »">(en)</span></a></li> <li><a href="/wiki/Variable_cach%C3%A9e" title="Variable cachée">Variables cachées</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_de_De_Broglie-Bohm" title="Théorie de De Broglie-Bohm">Ontologique (Bohm-Hiley)</a></li> <li><a href="/wiki/Interpr%C3%A9tation_transactionnelle_de_la_m%C3%A9canique_quantique" title="Interprétation transactionnelle de la mécanique quantique">Transactionnelle</a></li> <li><a href="/wiki/Th%C3%A9orie_d%27Everett" title="Théorie d'Everett">Mondes multiples</a></li> <li><a href="/wiki/Histoires_consistantes" title="Histoires consistantes">Histoires consistantes</a></li> <li><a href="/wiki/Logique_quantique" title="Logique quantique">Logique quantique</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Physiciens</th> <td class="navbox-list" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Niels_Bohr" title="Niels Bohr">Bohr</a></li> <li><a href="/wiki/David_Bohm" title="David Bohm">Bohm</a></li> <li><a href="/wiki/Max_Born" title="Max Born">Born</a></li> <li><a href="/wiki/Louis_de_Broglie" title="Louis de Broglie">de Broglie</a></li> <li><a href="/wiki/Paul_Dirac" title="Paul Dirac">Dirac</a></li> <li><a href="/wiki/Albert_Einstein" title="Albert Einstein">Einstein</a></li> <li><a href="/wiki/Hugh_Everett" title="Hugh Everett">Everett</a></li> <li><a href="/wiki/Richard_Feynman" title="Richard Feynman">Feynman</a></li> <li><a href="/wiki/Werner_Heisenberg" title="Werner Heisenberg">Heisenberg</a></li> <li><a href="/wiki/Pascual_Jordan" title="Pascual Jordan">Jordan</a></li> <li><a href="/wiki/Ali_Moustafa_Mosharafa" title="Ali Moustafa Mosharafa">Mosharafa</a></li> <li><a href="/wiki/John_von_Neumann" title="John von Neumann">von Neumann</a></li> <li><a href="/wiki/Wolfgang_Pauli" title="Wolfgang Pauli">Pauli</a></li> <li><a href="/wiki/Roger_Penrose" title="Roger Penrose">Penrose</a></li> <li><a href="/wiki/Max_Planck" title="Max Planck">Planck</a></li> <li><a href="/wiki/Erwin_Schr%C3%B6dinger" title="Erwin Schrödinger">Schrödinger</a></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <th class="navbox-group" style="">Applications</th> <td class="navbox-list navbox-even" style=""><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Information_quantique" title="Information quantique">Information quantique</a> <ul><li><a href="/wiki/Ordinateur_quantique" title="Ordinateur quantique">Calculateur</a></li> <li><a href="/wiki/Code_quantique" title="Code quantique">Codes correcteurs quantiques</a></li> <li><a href="/wiki/Code_CSS" title="Code CSS">Code CSS</a></li> <li><a href="/wiki/Code_de_Steane" title="Code de Steane">Code de Steane</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Communication_quantique&action=edit&redlink=1" class="new" title="Communication quantique (page inexistante)">Communication</a></li> <li><a href="/wiki/Cryptographie_quantique" title="Cryptographie quantique">Cryptographie</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Chimie_quantique" title="Chimie quantique">Chimie quantique</a> <ul><li><a href="/wiki/Orbitale_atomique" title="Orbitale atomique">Orbitale atomique</a></li></ul></li></ul> </div></td> </tr> <tr> <td class="navbox-banner" style="" colspan="2"><div class="liste-horizontale"> <ul><li><a href="/wiki/Postulats_de_la_m%C3%A9canique_quantique" title="Postulats de la mécanique quantique">Postulats de la mécanique quantique</a></li> <li><a href="/wiki/Histoire_de_la_m%C3%A9canique_quantique" title="Histoire de la mécanique quantique">Histoire de la mécanique quantique</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table> </div> <ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Physique" title="Portail de la physique"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Circle-icons-physics-logo.svg/24px-Circle-icons-physics-logo.svg.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Circle-icons-physics-logo.svg/36px-Circle-icons-physics-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/Circle-icons-physics-logo.svg/48px-Circle-icons-physics-logo.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Physique" title="Portail:Physique">Portail de la physique</a></span> </span></li> <li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Portail:Sciences_quantiques" title="Portail des sciences quantiques"><img alt="icône décorative" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/HAtomOrbitals.png/24px-HAtomOrbitals.png" decoding="async" width="24" height="24" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/HAtomOrbitals.png/36px-HAtomOrbitals.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/HAtomOrbitals.png/48px-HAtomOrbitals.png 2x" data-file-width="316" data-file-height="316" /></a></span></span> <span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/Portail:Sciences_quantiques" title="Portail:Sciences quantiques">Portail des sciences quantiques</a></span> </span></li> </ul>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Ce document provient de « <a dir="ltr" href="https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mécanique_quantique&oldid=216666690">https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mécanique_quantique&oldid=216666690</a> ».</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Accueil" title="Catégorie:Accueil">Catégories</a> : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:M%C3%A9canique_quantique" title="Catégorie:Mécanique quantique">Mécanique quantique</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Th%C3%A9orie_scientifique" title="Catégorie:Théorie scientifique">Théorie scientifique</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Catégories cachées : <ul><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Page_utilisant_P279" title="Catégorie:Page utilisant P279">Page utilisant P279</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Page_utilisant_des_donn%C3%A9es_de_Wikidata_%C3%A0_traduire_de_l%27anglais" title="Catégorie:Page utilisant des données de Wikidata à traduire de l'anglais">Page utilisant des données de Wikidata à traduire de l'anglais</a></li><li><a href="/wiki/Cat%C3%A9gorie:Page_utilisant_P3095" title="Catégorie:Page 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