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id="toc-Tipos_de_morfismos-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Propriedade_universal" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Propriedade_universal"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Propriedade universal</span> </div> </a> <ul id="toc-Propriedade_universal-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Functor" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Functor"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Functor</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Functor-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Alternar a subsecção Functor</span> </button> <ul id="toc-Functor-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Transformação_natural" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Transformação_natural"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.1</span> <span>Transformação natural</span> </div> </a> <ul id="toc-Transformação_natural-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Adjunção" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Adjunção"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2.2</span> <span>Adjunção</span> </div> </a> <ul id="toc-Adjunção-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Aplicações" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Aplicações"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Aplicações</span> </div> </a> <ul id="toc-Aplicações-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Referências" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Referências"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Referências</span> </div> </a> <ul id="toc-Referências-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Bibliografia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Bibliografia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Bibliografia</span> </div> </a> <ul id="toc-Bibliografia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Conteúdo" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" 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Disponível em 49 línguas" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-49" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">49 línguas</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%81%D8%A6%D8%A9" title="نظرية الفئة — árabe" lang="ar" hreflang="ar" data-title="نظرية الفئة" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="árabe" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_categor%C3%ADes" title="Teoría de categoríes — asturiano" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Teoría de categoríes" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturiano" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8%D1%82%D0%B5" title="Теория на категориите — búlgaro" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Теория на категориите" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="búlgaro" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%95%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE%E0%A6%9F%E0%A6%BE%E0%A6%97%E0%A6%B0%E0%A6%BF_%E0%A6%A4%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%A4%E0%A7%8D%E0%A6%AC" title="ক্যাটাগরি তত্ত্ব — bengalês" lang="bn" hreflang="bn" data-title="ক্যাটাগরি তত্ত্ব" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalês" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_categories" title="Teoria de categories — catalão" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Teoria de categories" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="catalão" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Teorie_kategori%C3%AD" title="Teorie kategorií — checo" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Teorie kategorií" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="checo" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BD_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B9%C4%95" title="Категорисен теорийĕ — chuvash" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Категорисен теорийĕ" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="chuvash" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Theori_categori" title="Theori categori — galês" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Theori categori" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="galês" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Kategoriteori" title="Kategoriteori — dinamarquês" lang="da" hreflang="da" data-title="Kategoriteori" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="dinamarquês" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Kategorientheorie" title="Kategorientheorie — alemão" lang="de" hreflang="de" data-title="Kategorientheorie" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="alemão" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%98%CE%B5%CF%89%CF%81%CE%AF%CE%B1_%CE%BA%CE%B1%CF%84%CE%B7%CE%B3%CE%BF%CF%81%CE%B9%CF%8E%CE%BD" title="Θεωρία κατηγοριών — grego" lang="el" hreflang="el" data-title="Θεωρία κατηγοριών" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grego" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory" title="Category theory — inglês" lang="en" hreflang="en" data-title="Category 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href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Kategoriateoria" title="Kategoriateoria — finlandês" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Kategoriateoria" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="finlandês" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_cat%C3%A9gories" title="Théorie des catégories — francês" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Théorie des catégories" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francês" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_das_categor%C3%ADas" title="Teoría das categorías — galego" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Teoría das categorías" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galego" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%A7%D7%98%D7%92%D7%95%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%AA" title="תורת הקטגוריות — hebraico" lang="he" hreflang="he" data-title="תורת הקטגוריות" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebraico" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Teorija_kategorija" title="Teorija kategorija — croata" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Teorija kategorija" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="croata" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Kateg%C3%B3riaelm%C3%A9let" title="Kategóriaelmélet — húngaro" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Kategóriaelmélet" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="húngaro" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D5%A3%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1%D5%B6%D5%A5%D6%80%D5%AB_%D5%BF%D5%A5%D5%BD%D5%B8%D6%82%D5%A9%D5%B5%D5%B8%D6%82%D5%B6" title="Կատեգորիաների տեսություն — arménio" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Կատեգորիաների տեսություն" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="arménio" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Teori_kategori" title="Teori kategori — indonésio" lang="id" hreflang="id" data-title="Teori kategori" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonésio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/R%C3%ADkjafr%C3%A6%C3%B0i" title="Ríkjafræði — islandês" lang="is" hreflang="is" data-title="Ríkjafræði" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandês" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_delle_categorie" title="Teoria delle categorie — italiano" lang="it" hreflang="it" data-title="Teoria delle categorie" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="italiano" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96" title="圏論 — japonês" lang="ja" hreflang="ja" data-title="圏論" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japonês" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%99%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%94%E1%83%92%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%90%E1%83%97%E1%83%90_%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%90" title="კატეგორიათა თეორია — georgiano" lang="ka" hreflang="ka" data-title="კატეგორიათა თეორია" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="georgiano" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%94%EC%A3%BC%EB%A1%A0" title="범주론 — coreano" lang="ko" hreflang="ko" data-title="범주론" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="coreano" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Theoria_categoriarum" title="Theoria categoriarum — latim" lang="la" hreflang="la" data-title="Theoria categoriarum" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="latim" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Teori_kategori" title="Teori kategori — malaio" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Teori kategori" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malaio" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-my mw-list-item"><a href="https://my.wikipedia.org/wiki/%E1%80%80%E1%80%90%E1%80%BA%E1%80%90%E1%80%82%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%9B%E1%80%AE%E1%80%9E%E1%80%AE%E1%80%A1%E1%80%AD%E1%80%AF%E1%80%9B%E1%80%AE" title="ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ — birmanês" lang="my" hreflang="my" data-title="ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ" data-language-autonym="မြန်မာဘာသာ" data-language-local-name="birmanês" class="interlanguage-link-target"><span>မြန်မာဘာသာ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Categorietheorie_(wiskunde)" title="Categorietheorie (wiskunde) — neerlandês" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Categorietheorie (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="neerlandês" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Teoria_kategorii" title="Teoria kategorii — polaco" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Teoria kategorii" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="polaco" class="interlanguage-link-target"><span>Polski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Teoria_categoriilor" title="Teoria categoriilor — romeno" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Teoria categoriilor" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="romeno" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li 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data-title="Category theory" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Teorija_kategorij" title="Teorija kategorij — esloveno" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Teorija kategorij" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="esloveno" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0_%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0" title="Теорија категорија — sérvio" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Теорија категорија" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="sérvio" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Kategoriteori" title="Kategoriteori — sueco" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Kategoriteori" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="sueco" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Teorya_ng_kategorya" title="Teorya ng kategorya — tagalo" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Teorya ng kategorya" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalo" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Kategori_teorisi" title="Kategori teorisi — turco" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Kategori teorisi" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turco" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B9" title="Теорія категорій — ucraniano" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Теорія категорій" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ucraniano" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%DB%8C%DB%81_%D8%B2%D9%85%D8%B1%DB%81" title="نظریہ زمرہ — urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="نظریہ زمرہ" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/L%C3%BD_thuy%E1%BA%BFt_ph%E1%BA%A1m_tr%C3%B9" title="Lý thuyết phạm trù — vietnamita" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Lý thuyết phạm trù" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="vietnamita" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%8C%83%E7%95%B4%E8%AE%BA" title="范畴论 — chinês" lang="zh" hreflang="zh" data-title="范畴论" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chinês" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%AF%84%E7%96%87%E8%AB%96" title="範疇論 — cantonês" lang="yue" hreflang="yue" data-title="範疇論" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="cantonês" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q217413#sitelinks-wikipedia" title="Editar hiperligações interlínguas" class="wbc-editpage">Editar 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vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Teoria_das_categorias"><span>Ler</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&veaction=edit" title="Editar esta página [v]" accesskey="v"><span>Editar</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&action=edit" title="Editar o código-fonte desta página [e]" accesskey="e"><span>Editar código-fonte</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&action=history"><span>Ver histórico</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Geral </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a 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wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Category_theory" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q217413" title="Hiperligação para o elemento do repositório de dados [g]" accesskey="g"><span>Elemento Wikidata</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Ferramentas de página"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Aspeto"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Aspeto</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">mover para a barra lateral</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ocultar</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pt" dir="ltr"><p>Na <a href="/wiki/Matem%C3%A1tica" title="Matemática">matemática</a>, a <b>teoria das categorias</b> provê uma linguagem interdisciplinar capaz de delinear resultados e construções gerais, separando-os dos específicos a cada área, possibilitando a simplificação e clarificação de demonstrações. A teoria centra-se nos conceitos de <a href="/wiki/Categoria_(teoria_das_categorias)" title="Categoria (teoria das categorias)">categoria</a>, que é uma abstração do conceito de <a href="/wiki/Composi%C3%A7%C3%A3o_de_fun%C3%A7%C3%B5es" title="Composição de funções">composição de funções</a>, de <a href="/wiki/Functor" title="Functor">functor</a>, transformações entre categorias, e de <a href="/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_natural_(teoria_das_categorias)" title="Transformação natural (teoria das categorias)">transformação natural</a>, a qual provê um significado preciso para expressões como "natural" e "canônico".<sup id="cite_ref-riehlPref_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-riehlPref-1"><span>[</span>1<span>]</span></a></sup> </p><p>O conceito de categorias, functores e transformações naturais, em maior generalidade, foi introduzido por <a href="/wiki/Samuel_Eilenberg" title="Samuel Eilenberg">Samuel Eilenberg</a> e <a href="/wiki/Saunders_Mac_Lane" title="Saunders Mac Lane">Saunders Mac Lane</a>, em 1945, em seu artigo "<i>General Theory of Natural Equivalences</i>". Nos anos seguintes, a teoria das categorias foi empregada na <a href="/wiki/Topologia_alg%C3%A9brica" title="Topologia algébrica">topologia algébrica</a> e <a href="/wiki/%C3%81lgebra_homol%C3%B3gica" title="Álgebra homológica">álgebra homológica</a>, por <a href="/wiki/Norman_Steenrod" title="Norman Steenrod">Norman Steenrod</a>, <a href="/wiki/Alexander_Grothendieck" title="Alexander Grothendieck">Alexander Grothendieck</a> e outros. Em 1958, <a href="/w/index.php?title=Daniel_Kan&action=edit&redlink=1" class="new" title="Daniel Kan (página não existe)">Daniel Kan</a> descobre o conceito de <a href="/wiki/Adjun%C3%A7%C3%A3o_(teoria_das_categorias)" title="Adjunção (teoria das categorias)">functores adjuntos</a>, que, segundo Mac Lane, são "onipresentes na matemática".<sup id="cite_ref-maclaneNotasCat_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-maclaneNotasCat-2"><span>[</span>2<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-maclaneIntro_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-maclaneIntro-3"><span>[</span>3<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-maclaneNotasAdj_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-maclaneNotasAdj-4"><span>[</span>4<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-stanford_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-stanford-5"><span>[</span>5<span>]</span></a></sup> Desde então, houve diversos desenvolvimentos.<sup id="cite_ref-amsHistoriaCat_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-amsHistoriaCat-6"><span>[</span>6<span>]</span></a></sup> </p><p>Sendo de alto nível de abstração, é recomendada, antes do estudo de teoria das categorias, familiaridade de conceitos básicos de <a href="/wiki/%C3%81lgebra_linear" title="Álgebra linear">álgebra linear</a>, <a href="/wiki/%C3%81lgebra_abstrata" title="Álgebra abstrata">álgebra abstrata</a> e <a href="/wiki/Topologia_(matem%C3%A1tica)" title="Topologia (matemática)">topologia</a>, por exemplo.<sup id="cite_ref-riehlPref_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-riehlPref-1"><span>[</span>1<span>]</span></a></sup> </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Categoria">Categoria</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&veaction=edit&section=1" title="Editar secção: Categoria" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&action=edit&section=1" title="Editar código-fonte da secção: Categoria"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hatnote"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span>Ver artigo principal: <a href="/wiki/Categoria_(teoria_das_categorias)" title="Categoria (teoria das categorias)">Categoria (teoria das categorias)</a></div> <p>Uma <b>categoria</b> <span class="texhtml"><i>C</i></span> consiste nos seguintes elementos: </p> <ul><li>Uma coleção de <b>objetos</b> de <span class="texhtml"><i>C</i></span>.</li> <li>Para cada dupla <span class="texhtml"><i>a</i>, <i>b</i></span> de objetos, uma coleção de <b>setas</b> (ou <b>morfismos</b>) do <b>domínio</b> (ou <b>origem</b>) <span class="texhtml"><i>a</i></span> até o <b>contradomínio</b> (ou <b>destino</b>) <span class="texhtml"><i>b</i></span>, para as quais são usadas a notações <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>a</i> → <i>b</i></span> e <span class="texhtml"><i>f</i> ∈ hom<sub><i>C</i></sub>(<i>a</i>, <i>b</i>)</span>.</li> <li>Para cada objeto <span class="texhtml"><i>a</i></span>, uma seta de <span class="texhtml"><i>a</i></span> até <span class="texhtml"><i>a</i></span>, chamada <b>identidade</b> <span class="texhtml">1<sub><i>a</i></sub> : <i>a</i> → <i>a</i></span>.</li> <li>Para cada tripla de objetos <span class="texhtml"><i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i></span>, uma operação de <b>composição</b>, levando <dl><dd>cada seta <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>a</i> → <i>b</i></span> e cada seta <span class="texhtml"><i>g</i> : <i>b</i> → <i>c</i></span> a uma seta <span class="texhtml"><i>g</i> ∘ <i>f</i> : <i>a</i> → <i>c</i></span>.</dd></dl></li> <li>Devem ser satisfeitas as igualdades: <dl><dd>(Lei da identidade) Para todos objetos <span class="texhtml"><i>a</i>, <i>b</i></span> e todas as setas <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>a</i> → <i>b</i></span>, vale <span class="texhtml">1<sub><i>b</i></sub> ∘ <i>f</i> = <i>f</i> = <i>f</i> ∘ 1<sub><i>a</i></sub></span>.</dd> <dd>(Associatividade) Para todos objetos <span class="texhtml"><i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i>, <i>d</i></span> e todas as setas <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>a</i> → <i>b</i></span>, <span class="texhtml"><i>g</i> : <i>b</i> → <i>c</i></span> e <span class="texhtml"><i>h</i> : <i>c</i> → <i>d</i></span>, vale <span class="texhtml">(<i>h</i> ∘ <i>g</i>) ∘ <i>f</i> = <i>h</i> ∘ (<i>g</i> ∘ <i>f</i>)</span>.<sup id="cite_ref-maclaneDef_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-maclaneDef-7"><span>[</span>7<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-riehlDef_8-0" class="reference"><a href="#cite_note-riehlDef-8"><span>[</span>8<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-accDef_9-0" class="reference"><a href="#cite_note-accDef-9"><span>[</span>9<span>]</span></a></sup></dd></dl></li></ul> <p>Há, por exemplo, categorias: </p> <ul><li>cujos objetos são conjuntos, e cujos morfismos são funções entre conjuntos;</li> <li>cujos objetos são <a href="/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)" title="Grupo (matemática)">grupos</a>, e cujos morfismos são homomorfismos de grupos;</li> <li>cujos objetos são <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_topol%C3%B3gico" title="Espaço topológico">espaços topológicos</a>, e cujos morfismos são funções contínuas;</li> <li>cujos objetos são os elementos de um conjunto <a href="/wiki/Pr%C3%A9-ordem" title="Pré-ordem">pré-ordenado</a> fixo <span class="texhtml">(<i>P</i>, ≤)</span>, e tal que, para quaisquer objetos <span class="texhtml"><i>x</i>, <i>y</i> ∈ <i>P</i></span>, o número de morfismos <span class="texhtml"><i>x</i> → <i>y</i></span> é exatamente um se <span class="texhtml"><i>x</i> ≤ <i>y</i></span>, e zero se <span class="texhtml">¬ (<i>x</i> ≤ <i>y</i>)</span>.<sup id="cite_ref-maclaneExmCat1_10-0" class="reference"><a href="#cite_note-maclaneExmCat1-10"><span>[</span>10<span>]</span></a></sup></li> <li>cujos objetos são vértices de um <a href="/wiki/Grafo" class="mw-redirect" title="Grafo">grafo</a>, e cujos morfismos são caminhos nesse grafo.<sup id="cite_ref-maclaneExmCatLivre_11-0" class="reference"><a href="#cite_note-maclaneExmCatLivre-11"><span>[</span>11<span>]</span></a></sup></li></ul> <p>Nestes dois últimos exemplos, percebe-se que os objetos podem não ter "elementos", e os morfismos podem não ter relação com funções. </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Injective_object.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Injective_object.svg/220px-Injective_object.svg.png" decoding="async" width="220" height="182" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Injective_object.svg/330px-Injective_object.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Injective_object.svg/440px-Injective_object.svg.png 2x" data-file-width="86" data-file-height="71" /></a><figcaption>O diagrama acima é comutativo exatamente quando <span class="texhtml"><i>f</i> = <i>g</i> ∘ <i>h</i></span>.</figcaption></figure> <p>Para a representação de relações entre os morfismos, usam-se diagramas consistindo de alguns dos objetos e setas de uma categoria; uma sequência de setas, cada uma tendo destino coincidindo com a origem da seguinte, representa a composição de morfismos correspondentes. Um desses diagramas é chamado <a href="/wiki/Diagrama_comutativo" title="Diagrama comutativo">diagrama comutativo</a> quando quaisquer duas sequências de setas que iniciam num mesmo objeto, e que terminam também num mesmo objeto, têm composições iguais.<sup id="cite_ref-adamekDiagCom_12-0" class="reference"><a href="#cite_note-adamekDiagCom-12"><span>[</span>12<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-riehlDiagCom_13-0" class="reference"><a href="#cite_note-riehlDiagCom-13"><span>[</span>13<span>]</span></a></sup> </p><p><b>Dualizar</b> consiste em inverter o sentido de cada uma das setas em um diagrama; cada categoria tem uma <a href="/wiki/Categoria_(teoria_das_categorias)#Categoria_oposta" title="Categoria (teoria das categorias)">categoria oposta</a>. Desse modo, os teoremas e definições em teoria das categorias se organizam em duplas, um enunciado sendo obtido do outro trocando cada categoria pela oposta; por exemplo, um <a href="/wiki/Epimorfismo" class="mw-redirect" title="Epimorfismo">epimorfismo</a> é um <a href="/wiki/Monomorfismo" class="mw-redirect" title="Monomorfismo">monomorfismo</a> na categoria oposta, um <a href="/wiki/Coproduto" class="mw-redirect" title="Coproduto">coproduto</a> é um <a href="/wiki/Produto_categorial" title="Produto categorial">produto</a> na categoria oposta etc.<sup id="cite_ref-riehlDual_14-0" class="reference"><a href="#cite_note-riehlDual-14"><span>[</span>14<span>]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tipos_de_morfismos">Tipos de morfismos</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&veaction=edit&section=2" title="Editar secção: Tipos de morfismos" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&action=edit&section=2" title="Editar código-fonte da secção: Tipos de morfismos"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hatnote"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span>Ver artigo principal: <a href="/wiki/Categoria_(teoria_das_categorias)#Tipos_de_morfismos" title="Categoria (teoria das categorias)">Categoria (teoria das categorias)#Tipos de morfismos</a></div> <p>Como os objetos de uma categoria podem não ter "elementos", generalizações de conceitos como <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_injetiva" class="mw-redirect" title="Função injetiva">função injetiva</a> e <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_sobrejetiva" class="mw-redirect" title="Função sobrejetiva">função sobrejetiva</a> devem envolver somente setas, e pode haver mais de uma generalização possível. </p> <table class="floatright" width="33%" align="right" style="background-color:inherit;border-collapse:collapse;border-style:none;margin: .5em .75em;"> <tbody><tr> <td width="20" valign="top"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Teoria_das_categorias" title="Teoria das categorias"><img alt="Teoria das categorias" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Cquote1.png/20px-Cquote1.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Cquote1.png/30px-Cquote1.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6b/Cquote1.png 2x" data-file-width="40" data-file-height="30" /></a></span> </td> <td align="left" style="padding:0 10px">Como uma categoria consiste de setas, nossa disciplina também poderia ser descrita como aprender como viver sem elementos, usando setas em vez deles. </td> <td width="20" valign="bottom"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Teoria_das_categorias" title="Teoria das categorias"><img alt="Teoria das categorias" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Cquote2.png/20px-Cquote2.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Cquote2.png/30px-Cquote2.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Cquote2.png 2x" data-file-width="40" data-file-height="30" /></a></span> </td></tr> <tr> <td colspan="3" style="padding-top: 10px"><p style="font-size:85%;line-height:1em;text-align: right"><cite style="font-style:normal;">— <a href="/wiki/Saunders_Mac_Lane" title="Saunders Mac Lane">Saunders Mac Lane</a><sup id="cite_ref-maclanePrefCitaEls_15-0" class="reference"><a href="#cite_note-maclanePrefCitaEls-15"><span>[</span>15<span>]</span></a></sup></cite></p> </td></tr></tbody></table> <p>Como exemplo, generalizando o conceito de função injetiva, um morfismo <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>a</i> → <i>b</i></span> é chamado <a href="/wiki/Monomorfismo" class="mw-redirect" title="Monomorfismo">monomorfismo</a> se e só se </p> <dl><dd>para todo objeto <span class="texhtml"><i>c</i></span> e morfismos <span class="texhtml"><i>g</i>, <i>h</i> : <i>c</i> → <i>a</i></span> satisfazendo <span class="texhtml"><i>f</i> ∘ <i>g</i> = <i>f</i> ∘ <i>h</i></span>, vale <span class="texhtml"><i>g</i> = <i>h</i></span>.</dd></dl> <p>Na categoria dos conjuntos, na categoria dos grupos e na categoria dos espaços topológicos, os monomorfismos são exatamente as funções injetivas.<sup id="cite_ref-adamekMono_16-0" class="reference"><a href="#cite_note-adamekMono-16"><span>[</span>16<span>]</span></a></sup> Já um morfismo <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>a</i> → <i>b</i></span> é chamado <a href="/wiki/Se%C3%A7%C3%A3o_(teoria_das_categorias)" class="mw-redirect" title="Seção (teoria das categorias)">seção</a> se e só se existe <span class="texhtml"><i>g</i> : <i>b</i> → <i>a</i></span> tal que <span class="texhtml"><i>g</i> ∘ <i>f</i> = 1<sub><i>a</i></sub></span>. Toda seção é um monomorfismo, mas a recíproca pode falhar; com efeito, na categoria dos grupos abelianos, as seções são exatamente os homomorfismos de grupos abelianos <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>A</i> → <i>B</i></span> que são injetivos e tais que <span class="texhtml"><i>B</i></span> é a <a href="/wiki/Soma_direta" title="Soma direta">soma direta</a> da imagem de <span class="texhtml"><i>f</i></span> com algum subgrupo de <span class="texhtml"><i>B</i></span>.<sup id="cite_ref-adamekSecao_17-0" class="reference"><a href="#cite_note-adamekSecao-17"><span>[</span>17<span>]</span></a></sup> </p><p>Dualizando, um morfismo <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>b</i> → <i>a</i></span> é um <a href="/wiki/Epimorfismo" class="mw-redirect" title="Epimorfismo">epimorfismo</a> se e só se </p> <dl><dd>para todo objeto <span class="texhtml"><i>c</i></span> e morfismos <span class="texhtml"><i>g</i>, <i>h</i> : <i>a</i> → <i>c</i></span> satisfazendo <span class="texhtml"><i>g</i> ∘ <i>f</i> = <i>h</i> ∘ <i>f</i></span>, vale <span class="texhtml"><i>g</i> = <i>h</i></span>.</dd></dl> <p>Na categoria dos conjuntos, os epimorfismos são precisamente as funções sobrejetivas. Na categoria dos anéis, no entanto, a inclusão <span class="texhtml">ℤ → ℚ</span> é um epimorfismo não sobrejetivo.<sup id="cite_ref-adamekEpi_18-0" class="reference"><a href="#cite_note-adamekEpi-18"><span>[</span>18<span>]</span></a></sup> </p><p>Como outro exemplo, um <a href="/wiki/Isomorfismo_(teoria_das_categorias)" title="Isomorfismo (teoria das categorias)">isomorfismo</a> é um morfismo <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>a</i> → <i>b</i></span> tal que há <span class="texhtml"><i>g</i> : <i>b</i> → <i>a</i></span> satisfazendo <span class="texhtml"><i>g</i> ∘ <i>f</i> = 1<sub><i>a</i></sub></span> e <span class="texhtml"><i>f</i> ∘ <i>g</i> = 1<sub><i>b</i></sub></span>. Na categoria dos espaços topológicos, os isomorfismos são precisamente os <a href="/wiki/Homeomorfismo" title="Homeomorfismo">homeomorfismos</a>.<sup id="cite_ref-riehlAbsConCat_19-0" class="reference"><a href="#cite_note-riehlAbsConCat-19"><span>[</span>19<span>]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Propriedade_universal">Propriedade universal</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&veaction=edit&section=3" title="Editar secção: Propriedade universal" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&action=edit&section=3" title="Editar código-fonte da secção: Propriedade universal"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hatnote"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span>Ver artigo principal: <a href="/wiki/Propriedade_universal" title="Propriedade universal">Propriedade universal</a></div> <p>Construções como <a href="/wiki/Produto_cartesiano" title="Produto cartesiano">produto cartesiano</a>, <a href="/wiki/Soma_direta" title="Soma direta">soma direta</a>, e <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_funcional" title="Espaço funcional">espaço funcional</a> podem ser generalizadas para todas as categorias. Com exemplo, dados objetos <span class="texhtml"><i>a</i>, <i>b</i></span> numa categoria <span class="texhtml"><i>C</i></span>, um objeto <span class="texhtml"><i>a</i> × <i>b</i></span>, junto a morfismos <span class="texhtml"><i>p</i><sub><i>a</i></sub> : <i>a</i> × <i>b</i> → <i>a</i></span> e <span class="texhtml"><i>p</i><sub><i>b</i></sub> : <i>a</i> × <i>b</i> → <i>b</i></span>, forma um sistema de <a href="/wiki/Produto_categorial" title="Produto categorial">produto categorial</a> (binário) se e só se, para qualquer outro objeto <span class="texhtml"><i>c</i></span> e quaisquer morfismos <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>c</i> → <i>a</i></span> e <span class="texhtml"><i>g</i> : <i>c</i> → <i>b</i></span>, existe <i>único</i> morfismo <span class="texhtml"><i>h</i> : <i>c</i> → <i>a</i> × <i>b</i></span> tal que <span class="texhtml"><i>p</i><sub><i>a</i></sub> ∘ <i>h</i> = <i>f</i></span> e <span class="texhtml"><i>p</i><sub><i>b</i></sub> ∘ <i>h</i> = <i>g</i></span>. </p> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Prodcat.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Prodcat.png/220px-Prodcat.png" decoding="async" width="220" height="121" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Prodcat.png/330px-Prodcat.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Prodcat.png/440px-Prodcat.png 2x" data-file-width="690" data-file-height="379" /></a><figcaption>Diagrama representado o produto categorial.</figcaption></figure> <p>Dualmente, há o conceito de <a href="/wiki/Coproduto" class="mw-redirect" title="Coproduto">coproduto</a> (binário). Na categoria dos conjuntos, os produtos correspondem aos produtos cartesianos, e os coprodutos correspondem às uniões disjuntas. Na categoria dos grupos abelianos, os produtos e coprodutos binários coincidem, e são chamados de soma direta.<sup id="cite_ref-adamekProd_20-0" class="reference"><a href="#cite_note-adamekProd-20"><span>[</span>20<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-adamekCoprod_21-0" class="reference"><a href="#cite_note-adamekCoprod-21"><span>[</span>21<span>]</span></a></sup> </p><p>Uma <b>propriedade universal</b> é uma propriedade que envolve a existência de <i>único</i> morfismo que faz certo diagrama comutar. Maneiras de definir rigorosamente o conceito incluem <a href="/wiki/Functor_represent%C3%A1vel" title="Functor representável">functores representáveis</a> e <a href="/wiki/Limites_e_colimites" title="Limites e colimites">limites e colimites</a>.<sup id="cite_ref-riehlPropUniv_22-0" class="reference"><a href="#cite_note-riehlPropUniv-22"><span>[</span>22<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-riehlLim_23-0" class="reference"><a href="#cite_note-riehlLim-23"><span>[</span>23<span>]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Functor">Functor</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&veaction=edit&section=4" title="Editar secção: Functor" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&action=edit&section=4" title="Editar código-fonte da secção: Functor"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hatnote"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span>Ver artigo principal: <a href="/wiki/Functor" title="Functor">Functor</a></div> <table class="floatright" width="33%" align="right" style="background-color:inherit;border-collapse:collapse;border-style:none;margin: .5em .75em;"> <tbody><tr> <td width="20" valign="top"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Teoria_das_categorias" title="Teoria das categorias"><img alt="Teoria das categorias" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Cquote1.png/20px-Cquote1.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Cquote1.png/30px-Cquote1.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6b/Cquote1.png 2x" data-file-width="40" data-file-height="30" /></a></span> </td> <td align="left" style="padding:0 10px">[…] sempre que novos objetos abstratos são construídos de uma maneira especificada a partir de outros, é recomendado tratar a construção dos mapeamentos induzidos correspondentes nesses novos objetos como parte integral de sua definição. </td> <td width="20" valign="bottom"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Teoria_das_categorias" title="Teoria das categorias"><img alt="Teoria das categorias" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Cquote2.png/20px-Cquote2.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Cquote2.png/30px-Cquote2.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Cquote2.png 2x" data-file-width="40" data-file-height="30" /></a></span> </td></tr> <tr> <td colspan="3" style="padding-top: 10px"><p style="font-size:85%;line-height:1em;text-align: right"><cite style="font-style:normal;">— <a href="/wiki/Samuel_Eilenberg" title="Samuel Eilenberg">Samuel Eilenberg</a>, <a href="/wiki/Saunders_Mac_Lane" title="Saunders Mac Lane">Saunders Mac Lane</a><sup id="cite_ref-genTheoryFunctor_24-0" class="reference"><a href="#cite_note-genTheoryFunctor-24"><span>[</span>24<span>]</span></a></sup></cite></p> </td></tr></tbody></table> <p>Um functor é uma correspondência entre objetos de duas categorias que pode ser estendida a uma correspondência entre morfismos, de modo que sejam preservadas as identidades e as composições. Mais precisamente, dadas categorias <span class="texhtml"><i>C</i></span> e <span class="texhtml"><i>D</i></span>, um <b>functor</b> (covariante) de <span class="texhtml"><i>C</i></span> até <span class="texhtml"><i>D</i></span>, escrito <span class="texhtml"><i>F</i> : <i>C</i> → <i>D</i></span>, consiste </p> <ul><li>de uma atribuição, a cada objeto <span class="texhtml"><i>x</i> ∈ <i>C</i></span>, de um objeto <span class="texhtml"><i>F</i>(<i>x</i>) ∈ <i>D</i></span>,</li> <li>de uma atribuição, a cada morfismo <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>x</i> → <i>y</i></span>, de um morfismo <span class="texhtml"><i>F</i><sub><i>x</i>, <i>y</i></sub>(<i>f</i>) = <i>F</i>(<i>f</i>) : <i>F</i>(<i>x</i>) → <i>F</i>(<i>y</i>)</span>,</li></ul> <p>satisfazendo </p> <ul><li><span class="texhtml"><i>F</i>(1<sub><i>x</i></sub>) = 1<sub><i>F</i>(<i>x</i>)</sub></span> para cada objeto <span class="texhtml"><i>x</i> ∈ <i>C</i></span>,</li> <li><span class="texhtml"><i>F</i>(<i>g</i> ∘ <i>f</i>) = <i>F</i>(<i>g</i>) ∘ <i>F</i>(<i>f</i>)</span> para cada dupla de morfismos <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>x</i> → <i>y</i></span> e <span class="texhtml"><i>g</i> : <i>y</i> → <i>z</i></span>.</li></ul> <p>Exemplos de correspondências que podem ser estendidas a functores são: a correspondência entre cada conjunto <span class="texhtml"><i>A</i></span> e seu <a href="/wiki/Conjunto_de_partes" title="Conjunto de partes">conjunto de partes</a> <span class="texhtml">P(<i>A</i>)</span> (levando cada <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>A</i> → <i>B</i></span> à função <span class="texhtml"><i>f</i><sup>→</sup> = (<i>S</i> ⊆ <i>A</i>) ↦ {<i>f</i>(<i>x</i>) | <i>x</i> ∈ <i>S</i>}</span>, de <a href="/wiki/Conjunto_imagem" title="Conjunto imagem">imagens</a> de subconjuntos de <span class="texhtml"><i>A</i></span>); a correspondência entre cada <a href="/wiki/Anel_comutativo" title="Anel comutativo">anel comutativo</a> <span class="texhtml"><i>K</i></span> e seu grupo de matrizes invertíveis <span class="texhtml">GL<sub><i>n</i></sub>(<i>K</i>)</span> de ordem <span class="texhtml"><i>n</i></span>.<sup id="cite_ref-maclaneFunctor_25-0" class="reference"><a href="#cite_note-maclaneFunctor-25"><span>[</span>25<span>]</span></a></sup> </p><p>Noutros casos, há um <b>functor contravariante</b>, atribuindo um morfismo <span class="texhtml"><i>F</i>(<i>f</i>) : <i>F</i>(<i>y</i>) → <i>F</i>(<i>x</i>)</span> a cada morfismo <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>x</i> → <i>y</i></span>, e invertendo a ordem das composições. Exemplos de correspondências que podem ser estendidas a functores contravariantes são: a correspondência entre cada conjunto e seu conjunto de partes (levando cada <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>A</i> → <i>B</i></span> à função <span class="texhtml"><i>f</i><sup>←</sup> = (<i>T</i> ⊆ <i>B</i>) ↦ {<i>y</i> | <i>f</i>(<i>y</i>) ∈ <i>T</i>}</span>, de <a href="/wiki/Pr%C3%A9-imagem" class="mw-redirect" title="Pré-imagem">pré-imagens</a> de subconjuntos de <span class="texhtml"><i>B</i></span>); a correspondência entre cada <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial" title="Espaço vetorial">espaço vetorial</a> e seu <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_dual" title="Espaço dual">espaço dual</a>; a correspondência entre cada anel comutativo e seu espaço de <a href="/wiki/Ideal_primo" title="Ideal primo">ideais primos</a>.<sup id="cite_ref-riehlFunctor_26-0" class="reference"><a href="#cite_note-riehlFunctor-26"><span>[</span>26<span>]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Transformação_natural"><span id="Transforma.C3.A7.C3.A3o_natural"></span>Transformação natural</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&veaction=edit&section=5" title="Editar secção: Transformação natural" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&action=edit&section=5" title="Editar código-fonte da secção: Transformação natural"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hatnote"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span>Ver artigo principal: <a href="/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_natural_(teoria_das_categorias)" title="Transformação natural (teoria das categorias)">Transformação natural (teoria das categorias)</a></div> <table class="floatright" width="33%" align="right" style="background-color:inherit;border-collapse:collapse;border-style:none;margin: .5em .75em;"> <tbody><tr> <td width="20" valign="top"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Teoria_das_categorias" title="Teoria das categorias"><img alt="Teoria das categorias" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Cquote1.png/20px-Cquote1.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Cquote1.png/30px-Cquote1.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6b/Cquote1.png 2x" data-file-width="40" data-file-height="30" /></a></span> </td> <td align="left" style="padding:0 10px">Não é muito enganoso, pelo menos historicamente, dizer que categorias são o que deve ser definido para definir functores, e que functores são o que deve ser definido para definir transformações naturais. </td> <td width="20" valign="bottom"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Teoria_das_categorias" title="Teoria das categorias"><img alt="Teoria das categorias" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Cquote2.png/20px-Cquote2.png" decoding="async" width="20" height="15" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/33/Cquote2.png/30px-Cquote2.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Cquote2.png 2x" data-file-width="40" data-file-height="30" /></a></span> </td></tr> <tr> <td colspan="3" style="padding-top: 10px"><p style="font-size:85%;line-height:1em;text-align: right"><cite style="font-style:normal;">— <a href="/wiki/Peter_Freyd" title="Peter Freyd">Peter Freyd</a><sup id="cite_ref-freydIntro_27-0" class="reference"><a href="#cite_note-freydIntro-27"><span>[</span>27<span>]</span></a></sup></cite></p> </td></tr></tbody></table> <p>Intuitivamente, uma transformação natural é uma família de morfismos numa categoria dados simultaneamente por uma mesma definição, sem depender de escolhas "arbitrárias". Por exemplo, para cada <span class="texhtml"><i>V</i></span> espaço vetorial, há mapeamento linear <i>natural</i> <span class="texhtml"><i>e</i></span> de <span class="texhtml"><i>V</i></span> ao <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_dual" title="Espaço dual">dual</a> de seu dual, dado por <span class="texhtml"><i>e</i>(<i>v</i>) = <i>f</i> ↦ <i>f</i>(<i>v</i>)</span>. Mais precisamente, uma <b>transformação natural</b> entre functores <span class="texhtml"><i>F</i>, <i>G</i> : <i>C</i> → <i>D</i></span> é uma família de morfismos <span class="texhtml"><i>η</i><sub><i>X</i></sub> : <i>F</i>(<i>X</i>) → <i>G</i>(<i>X</i>)</span>, para cada <span class="texhtml"><i>X</i></span> objeto de <span class="texhtml"><i>C</i></span>, satisfazendo </p> <dl><dd>para qualquer morfismo <span class="texhtml"><i>f</i> : <i>X</i> → <i>Y</i></span>, <span class="texhtml"><i>η</i><sub><i>Y</i></sub> ∘ <i>F</i>(<i>f</i>) = <i>G</i>(<i>f</i>) ∘ <i>η</i><sub><i>X</i></sub></span>.<sup id="cite_ref-riehlNat_28-0" class="reference"><a href="#cite_note-riehlNat-28"><span>[</span>28<span>]</span></a></sup></dd></dl> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Ficheiro:Natural_Transformation_between_two_functors.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Natural_Transformation_between_two_functors.svg/330px-Natural_Transformation_between_two_functors.svg.png" decoding="async" width="330" height="142" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Natural_Transformation_between_two_functors.svg/495px-Natural_Transformation_between_two_functors.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Natural_Transformation_between_two_functors.svg/660px-Natural_Transformation_between_two_functors.svg.png 2x" data-file-width="360" data-file-height="155" /></a><figcaption>Diagrama comutativo da condição de naturalidade.</figcaption></figure> <p>Eis exemplos: </p> <ul><li>A projeção <span class="texhtml"><i>G</i> → <i>G</i>∕[<i>G</i>, <i>G</i>]</span> de cada grupo em sua abelianização (quociente pelo <a href="/wiki/Subgrupo_comutador" title="Subgrupo comutador">subgrupo comutador</a>) pode ser representada como uma transformação natural.<sup id="cite_ref-maclaneNat_29-0" class="reference"><a href="#cite_note-maclaneNat-29"><span>[</span>29<span>]</span></a></sup></li> <li>A <a href="/wiki/Dualidade_de_Pontryagin" title="Dualidade de Pontryagin">dualidade de Pontryagin</a> pode ser descrita como a existência de isomorfismo natural <span class="texhtml"><i>G</i> ≅ <i>G</i><sup>∧∧</sup></span>, para cada <span class="texhtml"><i>G</i></span> <a href="/wiki/Grupo_abeliano" title="Grupo abeliano">grupo abeliano</a> <a href="/wiki/Grupo_localmente_compacto" title="Grupo localmente compacto">localmente compacto</a>, onde <span class="texhtml"><i>H</i><sup>∧</sup></span> denota o grupo topológico dos homomorfismos contínuos de <span class="texhtml"><i>H</i></span> a <span class="texhtml">𝕋</span>, grupo multiplicativo dos complexos de valor absoluto um.<sup id="cite_ref-nlabPontr_30-0" class="reference"><a href="#cite_note-nlabPontr-30"><span>[</span>30<span>]</span></a></sup></li></ul> <p>Functores e transformações naturais permitem definir o conceito de <a href="/wiki/Equival%C3%AAncia_de_categorias" title="Equivalência de categorias">equivalência de categorias</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Adjunção"><span id="Adjun.C3.A7.C3.A3o"></span>Adjunção</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&veaction=edit&section=6" title="Editar secção: Adjunção" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&action=edit&section=6" title="Editar código-fonte da secção: Adjunção"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="hatnote"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png" decoding="async" width="17" height="17" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/26px-Magnifying_glass_01.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/34px-Magnifying_glass_01.svg.png 2x" data-file-width="663" data-file-height="659" /></span></span>Ver artigo principal: <a href="/wiki/Adjun%C3%A7%C3%A3o_(teoria_das_categorias)" title="Adjunção (teoria das categorias)">Adjunção (teoria das categorias)</a></div> <p>Uma <b>adjunção</b> entre functores <span class="texhtml"><i>F</i> : <i>C</i> → <i>D</i></span> e <span class="texhtml"><i>G</i> : <i>D</i> → <i>C</i></span> é uma família natural de isomorfismos, para quaisquer objetos <span class="texhtml"><i>c</i></span> de <span class="texhtml"><i>C</i></span> e <span class="texhtml"><i>d</i></span> de <span class="texhtml"><i>D</i></span>,<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hom _{D}(F(c),d)\cong \hom _{C}(c,G(d)).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>hom</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>D</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≅</mo> <msub> <mi>hom</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>C</mi> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>c</mi> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>d</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hom _{D}(F(c),d)\cong \hom _{C}(c,G(d)).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847d01631f7bfea5e306e76c7e34c74e6942537d" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.919ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \hom _{D}(F(c),d)\cong \hom _{C}(c,G(d)).}"></span>Neste caso, diz-se que <span class="texhtml"><i>F</i></span> é adjunto esquerdo e <span class="texhtml"><i>G</i></span> é adjunto direito. Exemplos de adjunções incluem: </p> <ul><li>Sendo <span class="texhtml"><i>C</i> = <b>Set</b></span> a categoria de conjuntos e <span class="texhtml"><i>D</i> = <i>K</i>-<b>Vet</b></span> a categoria de espaços vetoriais sobre um corpo fixo <span class="texhtml"><i>K</i></span>, a adjunção<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hom _{K-\mathbf {Vet} }(K[S],V)\cong \hom _{\mathbf {Set} }(S,G(V))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>hom</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>K</mi> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">V</mi> <mi mathvariant="bold">e</mi> <mi mathvariant="bold">t</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo>,</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≅</mo> <msub> <mi>hom</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">S</mi> <mi mathvariant="bold">e</mi> <mi mathvariant="bold">t</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>V</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hom _{K-\mathbf {Vet} }(K[S],V)\cong \hom _{\mathbf {Set} }(S,G(V))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/634cf17fb373e3e0c25121c98d8c0c348b50f23a" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.02ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \hom _{K-\mathbf {Vet} }(K[S],V)\cong \hom _{\mathbf {Set} }(S,G(V))}"></span>onde <span class="texhtml"><i>K</i>[<i>S</i>]</span> é um espaço vetorial de base indexada pelo conjunto <span class="texhtml"><i>S</i></span>, e <span class="texhtml"><i>G</i>(<i>V</i>)</span> é o conjunto de elementos do espaço vetorial <span class="texhtml"><i>V</i></span>.<sup id="cite_ref-riehlAdj_31-0" class="reference"><a href="#cite_note-riehlAdj-31"><span>[</span>31<span>]</span></a></sup></li> <li>Sendo <span class="texhtml"><i>C</i> = <b>Set</b></span> a categoria de conjuntos e <span class="texhtml"><i>D</i> = <b>Grp</b></span> a categoria de grupos, a adjunção<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hom _{\mathbf {Grp} }(F(S),H)\cong \hom _{\mathbf {Set} }(S,G(H))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>hom</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">G</mi> <mi mathvariant="bold">r</mi> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≅</mo> <msub> <mi>hom</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">S</mi> <mi mathvariant="bold">e</mi> <mi mathvariant="bold">t</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>H</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hom _{\mathbf {Grp} }(F(S),H)\cong \hom _{\mathbf {Set} }(S,G(H))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fff2b07534ab70c87cdf6aaa27786ecef4fac34" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:38.309ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \hom _{\mathbf {Grp} }(F(S),H)\cong \hom _{\mathbf {Set} }(S,G(H))}"></span>onde <span class="texhtml"><i>F</i>(<i>S</i>)</span> é o <a href="/wiki/Grupo_livre" title="Grupo livre">grupo livre</a> no conjunto <span class="texhtml"><i>S</i></span>, e <span class="texhtml"><i>G</i>(<i>H</i>)</span> é o conjunto de elementos do grupo <span class="texhtml"><i>H</i></span>.</li> <li>Sendo <span class="texhtml"><i>D</i> = <b>CompMet</b></span> a categoria dos <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_m%C3%A9trico" title="Espaço métrico">espaços métricos</a> <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_completo" title="Espaço completo">completos</a> (cujos morfismos são os mapeamentos <a href="/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_uniformemente_cont%C3%ADnua" class="mw-redirect" title="Função uniformemente contínua">uniformemente contínuos</a>) e <span class="texhtml"><i>C</i> = <b>Met</b></span> a categoria dos espaços métricos, a adjunção<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hom _{\mathbf {CompMet} }(K(M),N)\cong \hom _{\mathbf {Met} }(M,G(N))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>hom</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">C</mi> <mi mathvariant="bold">o</mi> <mi mathvariant="bold">m</mi> <mi mathvariant="bold">p</mi> <mi mathvariant="bold">M</mi> <mi mathvariant="bold">e</mi> <mi mathvariant="bold">t</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≅</mo> <msub> <mi>hom</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> <mi mathvariant="bold">e</mi> <mi mathvariant="bold">t</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>M</mi> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hom _{\mathbf {CompMet} }(K(M),N)\cong \hom _{\mathbf {Met} }(M,G(N))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e74e4a2f9a3908566eb22d75de3f7a51212032b8" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:46.28ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \hom _{\mathbf {CompMet} }(K(M),N)\cong \hom _{\mathbf {Met} }(M,G(N))}"></span>onde <span class="texhtml"><i>K</i>(<i>M</i>)</span> é a completação do espaço métrico <span class="texhtml"><i>M</i></span>, e <span class="texhtml"><i>G</i>(<i>N</i>) = <i>N</i></span>.<sup id="cite_ref-maclaneAdj_32-0" class="reference"><a href="#cite_note-maclaneAdj-32"><span>[</span>32<span>]</span></a></sup></li> <li>Sendo <span class="texhtml"><i>C</i> = <i>D</i> = <b>Ab</b></span> a categoria dos grupos abelianos, e sendo <span class="texhtml"><i>H</i></span> grupo abeliano fixo, a adjunção<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hom _{\mathbf {Ab} }(A\otimes H,B)\cong \hom _{\mathbf {Ab} }(A,\operatorname {Hom} (H,B))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>hom</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>⊗</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≅</mo> <msub> <mi>hom</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">A</mi> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>Hom</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>H</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hom _{\mathbf {Ab} }(A\otimes H,B)\cong \hom _{\mathbf {Ab} }(A,\operatorname {Hom} (H,B))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570d935a465dbb1ca152525a896abd1cd4e7624b" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.654ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \hom _{\mathbf {Ab} }(A\otimes H,B)\cong \hom _{\mathbf {Ab} }(A,\operatorname {Hom} (H,B))}"></span>onde <span class="texhtml">⊗</span> denota o <a href="/wiki/Produto_tensorial" title="Produto tensorial">produto tensorial</a> entre grupos abelianos, e <span class="texhtml">Hom(<i>H</i>, <i>B</i>)</span> denota o grupo abeliano de homomorfismos de grupo <span class="texhtml"><i>H</i> → <i>B</i></span>.<sup id="cite_ref-riehlAdj1_33-0" class="reference"><a href="#cite_note-riehlAdj1-33"><span>[</span>33<span>]</span></a></sup></li> <li>Sendo <span class="texhtml"><i>C</i> = <b>Top</b></span> a categoria dos espaços topológicos e <span class="texhtml"><i>D</i> = <b>CHaus</b></span> a categoria dos espaços <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_compacto" title="Espaço compacto">compactos</a> de <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Hausdorff" title="Espaço de Hausdorff">Hausdorff</a>, a adjunção<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \hom _{\mathbf {CHaus} }(F(X),K)\cong \hom _{\mathbf {Top} }(X,G(K))}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>hom</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">C</mi> <mi mathvariant="bold">H</mi> <mi mathvariant="bold">a</mi> <mi mathvariant="bold">u</mi> <mi mathvariant="bold">s</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>F</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≅</mo> <msub> <mi>hom</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">T</mi> <mi mathvariant="bold">o</mi> <mi mathvariant="bold">p</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>,</mo> <mi>G</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>K</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \hom _{\mathbf {CHaus} }(F(X),K)\cong \hom _{\mathbf {Top} }(X,G(K))}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c5d8aea08755291cb78f6372b92c1cc33c6699d" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:42.179ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \hom _{\mathbf {CHaus} }(F(X),K)\cong \hom _{\mathbf {Top} }(X,G(K))}"></span>onde <span class="texhtml"><i>F</i>(<i>X</i>)</span> é a <a href="/w/index.php?title=Compactifica%C3%A7%C3%A3o_de_Stone%E2%80%93%C4%8Cech&action=edit&redlink=1" class="new" title="Compactificação de Stone–Čech (página não existe)">compactificação de Stone–Čech</a> de <span class="texhtml"><i>X</i></span>, e <span class="texhtml"><i>G</i>(<i>K</i>) = <i>K</i></span>.<sup id="cite_ref-maclaneAdj1_34-0" class="reference"><a href="#cite_note-maclaneAdj1-34"><span>[</span>34<span>]</span></a></sup></li></ul> <p>Se um functor <span class="texhtml"><i>F</i> : <i>C</i> → <i>D</i></span> é adjunto esquerdo a <span class="texhtml"><i>G</i> : <i>D</i> → <i>C</i></span>, a composição <span class="texhtml"><i>G</i> ∘ <i>F</i> : <i>C</i> → <i>C</i></span> faz parte de uma <a href="/wiki/M%C3%B3nade_(teoria_das_categorias)" title="Mónade (teoria das categorias)">mônade</a> em <span class="texhtml"><i>C</i></span>.<sup id="cite_ref-riehlMon_35-0" class="reference"><a href="#cite_note-riehlMon-35"><span>[</span>35<span>]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Aplicações"><span id="Aplica.C3.A7.C3.B5es"></span>Aplicações</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&veaction=edit&section=7" title="Editar secção: Aplicações" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&action=edit&section=7" title="Editar código-fonte da secção: Aplicações"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Abaixo, seguem algumas aplicações elementares da teoria das categorias. </p> <ul><li>Functores são usados para expressar conceitos de <a href="/wiki/Topologia_alg%C3%A9brica" title="Topologia algébrica">topologia algébrica</a>; com efeito, foi nessa área que o conceito começou a ser reconhecido.<sup id="cite_ref-maclaneFunTopAlg_36-0" class="reference"><a href="#cite_note-maclaneFunTopAlg-36"><span>[</span>36<span>]</span></a></sup></li> <li>Os <a href="/wiki/Adjun%C3%A7%C3%A3o_(teoria_das_categorias)#Existência_de_adjuntos" title="Adjunção (teoria das categorias)">teoremas do functor adjunto</a> podem ser usados para demonstrar a existência (e propriedades) de <a href="/wiki/Grupo_livre" title="Grupo livre">grupos livres</a>, monoides livres, anéis livres etc. (mas não "corpos livres", que não existem), da <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93%C4%8Cech_compactification" class="extiw" title="en:Stone–Čech compactification">compactificação de Stone–Čech</a> e de "maiores <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_topol%C3%B3gico_quociente" title="Espaço topológico quociente">quocientes</a> de Hausdorff".<sup id="cite_ref-maclaneTeoFunAdj_37-0" class="reference"><a href="#cite_note-maclaneTeoFunAdj-37"><span>[</span>37<span>]</span></a></sup><sup id="cite_ref-riehlTeoFunAdj_38-0" class="reference"><a href="#cite_note-riehlTeoFunAdj-38"><span>[</span>38<span>]</span></a></sup></li> <li>Como adjuntos esquerdos são functores <a href="/wiki/Adjun%C3%A7%C3%A3o_(teoria_das_categorias)#Adjunção_e_limites" title="Adjunção (teoria das categorias)">cocontínuos</a>, <span class="texhtml"><i>F</i>(<i>A</i> ⨿ <i>B</i>) ≅ <i>F</i>(<i>A</i>) ∗ <i>F</i>(<i>B</i>)</span>, onde <span class="texhtml"><i>F</i>(_)</span> denota o <a href="/wiki/Grupo_livre" title="Grupo livre">grupo livre</a>, <span class="texhtml">⨿</span> denota a união disjunta, e <span class="texhtml">∗</span> denota o <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Free_product" class="extiw" title="en:Free product">produto livre</a> (<a href="/wiki/Coproduto" class="mw-redirect" title="Coproduto">coproduto</a> de grupos).</li> <li>Se <span class="texhtml"><i>M</i></span> é um <span class="texhtml">(<i>R</i>, <i>S</i>)-</span><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Bimodule" class="extiw" title="en:Bimodule">bimódulo</a>, o functor <span class="texhtml"><i>M</i> ⊗<sub><i>S</i></sub> _</span> é adjunto esquerdo, logo cocontínuo, e em particular é <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Exact_functor" class="extiw" title="en:Exact functor">functor exato</a> <i>direito</i> (não "exato esquerdo"); isto tem aplicações à <a href="/wiki/%C3%81lgebra_homol%C3%B3gica" title="Álgebra homológica">álgebra homológica</a>.<sup id="cite_ref-riehlFunCont_39-0" class="reference"><a href="#cite_note-riehlFunCont-39"><span>[</span>39<span>]</span></a></sup></li> <li>O grupo <span class="texhtml">ℤ<sub><i>p</i></sub></span> dos <a href="/wiki/Inteiro_p-%C3%A1dico" title="Inteiro p-ádico">inteiros <span class="texhtml"><i>p</i></span>-ádicos</a> pode ser descrito como o <a href="/wiki/Limites_e_colimites" title="Limites e colimites">limite</a> do functor representado diagramaticamente por<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cdots \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p^{2}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>⋯</mo> <mo stretchy="false">↠</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">↠</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">↠</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cdots \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p^{2}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc811276cbb936d5fa5c31dd89f4943c7ca15b1" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.321ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \cdots \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p^{2}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p}"></span>e o grupo <span class="texhtml">ℤ[<span style="display:-moz-inline-box; display:inline-box; display:inline-block; -moz-box-orient:vertical; font-size:80%; text-align:center; line-height:1; position:relative; top:.5em; margin-top:-.5em;"><span style="display:block;">1</span><span style="display:block; border-top:1px solid black;"><i>p</i></span></span>]∕ℤ</span> <a href="/wiki/Grupo_de_Pr%C3%BCfer" title="Grupo de Prüfer">de Prüfer</a> pode ser descrito como o <a href="/wiki/Limites_e_colimites" title="Limites e colimites">colimite</a> do functor representado diagramaticamente por<sup id="cite_ref-riehlPref_1-2" class="reference"><a href="#cite_note-riehlPref-1"><span>[</span>1<span>]</span></a></sup><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-display mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} /p\xrightarrow {[n]\mapsto [p\cdot n]} \mathbb {Z} /p^{2}\xrightarrow {[n]\mapsto [p\cdot n]} \mathbb {Z} /p^{3}\rightarrow \cdots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>p</mi> <mover> <mo>→</mo> <mpadded width="+0.611em" lspace="0.278em" voffset=".15em"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>p</mi> <mo>⋅</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mpadded> </mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mover> <mo>→</mo> <mpadded width="+0.611em" lspace="0.278em" voffset=".15em"> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">↦</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>p</mi> <mo>⋅</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mpadded> </mover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">Z</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">→</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} /p\xrightarrow {[n]\mapsto [p\cdot n]} \mathbb {Z} /p^{2}\xrightarrow {[n]\mapsto [p\cdot n]} \mathbb {Z} /p^{3}\rightarrow \cdots }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449f443b47c12dce0e7e762795a527359096f276" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-top: -0.346ex; width:38.779ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Z} /p\xrightarrow {[n]\mapsto [p\cdot n]} \mathbb {Z} /p^{2}\xrightarrow {[n]\mapsto [p\cdot n]} \mathbb {Z} /p^{3}\rightarrow \cdots }"></span></li> <li><a href="/wiki/M%C3%B3nade_(teoria_das_categorias)" title="Mónade (teoria das categorias)">Mônades</a> são usadas na linguagem de programação <a href="/wiki/Haskell_(linguagem_de_programa%C3%A7%C3%A3o)" title="Haskell (linguagem de programação)">Haskell</a> para modelar, por exemplo, a manipulação de estado global e o não determinismo.<sup id="cite_ref-40" class="reference"><a href="#cite_note-40"><span>[</span>40<span>]</span></a></sup></li> <li>Tom Leinster emprega teoria das categorias para construir um <a href="/wiki/Objeto_inicial" title="Objeto inicial">objeto inicial</a> numa categoria envolvendo <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Banach" title="Espaço de Banach">espaços de Banach</a>, dando, assim, uma caracterização alternativa do espaço <span class="texhtml">L<sup>1</sup>([0 … 1])</span> das funções <a href="/wiki/Integral_de_Lebesgue" title="Integral de Lebesgue">Lebesgue-integráveis</a> no intervalo <span class="texhtml">[0 … 1]</span>.<sup id="cite_ref-41" class="reference"><a href="#cite_note-41"><span>[</span>41<span>]</span></a></sup></li></ul> <h2 id="Referências" style="cursor: help;" title="Esta seção foi configurada para não ser editável diretamente. Edite a página toda ou a seção anterior em vez disso."><span id="Refer.C3.AAncias"></span>Referências</h2> <div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"><div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-riehlPref-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><i><b><a href="#cite_ref-riehlPref_1-0">a</a></b></i></sup> <sup><i><b><a href="#cite_ref-riehlPref_1-1">b</a></b></i></sup> <sup><i><b><a href="#cite_ref-riehlPref_1-2">c</a></b></i></sup></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFRIEHL2014">RIEHL 2014</a>, Prefácio)</span> </li> <li id="cite_note-maclaneNotasCat-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-maclaneNotasCat_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFMAC_LANE1998">MAC LANE 1998</a>, §I, notas)</span> </li> <li id="cite_note-maclaneIntro-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-maclaneIntro_3-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFMAC_LANE1998">MAC LANE 1998</a>, Introdução)</span> </li> <li id="cite_note-maclaneNotasAdj-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-maclaneNotasAdj_4-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFMAC_LANE1998">MAC LANE 1998</a>, §IV, notas)</span> </li> <li id="cite_note-stanford-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-stanford_5-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://plato.stanford.edu/entries/category-theory/">«Category Theory»</a>. <i>Stanford Encyclopedia of Philosophy</i><span class="reference-accessdate">. Consultado em 20 de abril de 2020</span></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3ATeoria+das+categorias&rft.atitle=Category+Theory&rft.genre=unknown&rft.jtitle=Stanford+Encyclopedia+of+Philosophy&rft_id=https%3A%2F%2Fplato.stanford.edu%2Fentries%2Fcategory-theory%2F&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-amsHistoriaCat-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-amsHistoriaCat_6-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFDUREN1988">DUREN 1988</a>, Concepts and Categories in Perspective by Saunders Mac Lane)</span> </li> <li id="cite_note-maclaneDef-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-maclaneDef_7-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFMAC_LANE">MAC LANE</a>, §I.1, §I.2)</span> </li> <li id="cite_note-riehlDef-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-riehlDef_8-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFRIEHL">RIEHL</a>, §1.1)</span> </li> <li id="cite_note-accDef-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-accDef_9-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFADÁMEK">ADÁMEK</a>, §I.3.1)</span> </li> <li id="cite_note-maclaneExmCat1-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-maclaneExmCat1_10-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFMAC_LANE1998">MAC LANE 1998</a>, §I.1, §I.2)</span> </li> <li id="cite_note-maclaneExmCatLivre-11"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-maclaneExmCatLivre_11-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFMAC_LANE1998">MAC LANE 1998</a>, §II.7)</span> </li> <li id="cite_note-adamekDiagCom-12"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-adamekDiagCom_12-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFADÁMEK2004">ADÁMEK 2004</a>, §I.3.4)</span> </li> <li id="cite_note-riehlDiagCom-13"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-riehlDiagCom_13-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFRIEHL2014">RIEHL 2014</a>, §1.6)</span> </li> <li id="cite_note-riehlDual-14"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-riehlDual_14-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFRIEHL2014">RIEHL 2014</a>, §1.2)</span> </li> <li id="cite_note-maclanePrefCitaEls-15"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-maclanePrefCitaEls_15-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFMAC_LANE1998">MAC LANE 1998</a>, Prefácio). Texto original: "Since a category consists of arrows, our subject could also be described as learning how to live without elements, using arrows instead."</span> </li> <li id="cite_note-adamekMono-16"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-adamekMono_16-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFADÁMEK2004">ADÁMEK 2004</a>, §II.7.32)</span> </li> <li id="cite_note-adamekSecao-17"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-adamekSecao_17-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFADÁMEK2004">ADÁMEK 2004</a>, §II.7.20)</span> </li> <li id="cite_note-adamekEpi-18"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-adamekEpi_18-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFADÁMEK2004">ADÁMEK 2004</a>, §II.7.40)</span> </li> <li id="cite_note-riehlAbsConCat-19"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-riehlAbsConCat_19-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFRIEHL2014">RIEHL 2014</a>, §1.1)</span> </li> <li id="cite_note-adamekProd-20"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-adamekProd_20-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFADÁMEK2004">ADÁMEK 2004</a>, §III.10.20)</span> </li> <li id="cite_note-adamekCoprod-21"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-adamekCoprod_21-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFADÁMEK2004">ADÁMEK 2004</a>, §III.10.67)</span> </li> <li id="cite_note-riehlPropUniv-22"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-riehlPropUniv_22-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFRIEHL2014">RIEHL 2014</a>, §2)</span> </li> <li id="cite_note-riehlLim-23"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-riehlLim_23-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFRIEHL2014">RIEHL 2014</a>, §3)</span> </li> <li id="cite_note-genTheoryFunctor-24"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-genTheoryFunctor_24-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFEILENBERG1945">EILENBERG 1945</a>, p. 236). Texto original: […] whenever new abstract objects are constructed in a specified way out of given ones, it is advisable to regard the construction of the corresponding induced mappings on these new objects as an integral part of their definition.</span> </li> <li id="cite_note-maclaneFunctor-25"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-maclaneFunctor_25-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFMAC_LANE1998">MAC LANE 1998</a>, §I.3)</span> </li> <li id="cite_note-riehlFunctor-26"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-riehlFunctor_26-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFRIEHL2014">RIEHL 2014</a>, §1.3)</span> </li> <li id="cite_note-freydIntro-27"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-freydIntro_27-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFFREYD1964">FREYD 1964</a>, Introdução). Texto original: It is not too misleading, at least historically, to say that categories are that one must define in order to define functors, and that functors are what one must define in order to define natural transformations.</span> </li> <li id="cite_note-riehlNat-28"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-riehlNat_28-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFRIEHL2014">RIEHL 2014</a>, §1.4)</span> </li> <li id="cite_note-maclaneNat-29"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-maclaneNat_29-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFMAC_LANE1998">MAC LANE 1998</a>, §I.4)</span> </li> <li id="cite_note-nlabPontr-30"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-nlabPontr_30-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://ncatlab.org/nlab/show/Pontrjagin+dual">«Pontrjagin dual – <i>n</i>Lab»</a><span class="reference-accessdate">. Consultado em 20 de abril de 2020</span></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3ATeoria+das+categorias&rft.btitle=Pontrjagin+dual+%93+nLab&rft.genre=unknown&rft_id=https%3A%2F%2Fncatlab.org%2Fnlab%2Fshow%2FPontrjagin%2Bdual&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-riehlAdj-31"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-riehlAdj_31-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFRIEHL2014">RIEHL 2014</a>, §4)</span> </li> <li id="cite_note-maclaneAdj-32"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-maclaneAdj_32-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFMAC_LANE1998">MAC LANE 1998</a>, §IV.2)</span> </li> <li id="cite_note-riehlAdj1-33"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-riehlAdj1_33-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFRIEHL2014">RIEHL 2014</a>, §4.3)</span> </li> <li id="cite_note-maclaneAdj1-34"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-maclaneAdj1_34-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFMAC_LANE1998">MAC LANE 1998</a>, §V.8)</span> </li> <li id="cite_note-riehlMon-35"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-riehlMon_35-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFRIEHL2014">RIEHL 2014</a>, §5.1)</span> </li> <li id="cite_note-maclaneFunTopAlg-36"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-maclaneFunTopAlg_36-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFMAC_LANE1998">MAC LANE 1998</a>, §I.3)</span> </li> <li id="cite_note-maclaneTeoFunAdj-37"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-maclaneTeoFunAdj_37-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFMAC_LANE1998">MAC LANE 1998</a>, §V.5, V.8)</span> </li> <li id="cite_note-riehlTeoFunAdj-38"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-riehlTeoFunAdj_38-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFRIEHL1998">RIEHL 1998</a>, §4.6)</span> </li> <li id="cite_note-riehlFunCont-39"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-riehlFunCont_39-0">↑</a></span> <span class="reference-text">(<a href="#CITEREFRIEHL1998">RIEHL 1998</a>, §4.5)</span> </li> <li id="cite_note-40"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-40">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation journal">Wadler, Philip (agosto de 2001). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/marktoberdorf/baastad.pdf">«Monads for functional programming»</a> <span style="font-size:85%;">(PDF)</span>. Departamento de ciência da computação, <a href="/wiki/Universidade_de_Gl%C3%A1sgua" class="mw-redirect" title="Universidade de Glásgua">Universidade de Glásgua</a><span class="reference-accessdate">. Consultado em 28 de fevereiro de 2020</span></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3ATeoria+das+categorias&rft.atitle=Monads+for+functional+programming&rft.aufirst=Philip&rft.aulast=Wadler&rft.date=2001-08&rft.genre=article&rft_id=https%3A%2F%2Fhomepages.inf.ed.ac.uk%2Fwadler%2Fpapers%2Fmarktoberdorf%2Fbaastad.pdf&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> <li id="cite_note-41"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-41">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation journal">Leinster, Tom (maio de 2006). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.maths.ed.ac.uk/~tl/glasgowpssl/">«A universal Banach space»</a><span class="reference-accessdate">. Consultado em 22 de abril de 2020</span></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3ATeoria+das+categorias&rft.atitle=A+universal+Banach+space&rft.aufirst=Tom&rft.aulast=Leinster&rft.date=2006-05&rft.genre=article&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.maths.ed.ac.uk%2F~tl%2Fglasgowpssl%2F&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bibliografia">Bibliografia</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&veaction=edit&section=8" title="Editar secção: Bibliografia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>editar</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Teoria_das_categorias&action=edit&section=8" title="Editar código-fonte da secção: Bibliografia"><span>editar código-fonte</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation book">ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://katmat.math.uni-bremen.de/acc"><i>Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats</i></a>. [S.l.: s.n.]</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3ATeoria+das+categorias&rft.au=HERRLICH%2C+Horst&rft.au=STRECKER%2C+George+E.&rft.aufirst=Ji%C5%99%C3&rft.aulast=AD%C3%81MEK&rft.btitle=Abstract+and+Concrete+Categories%3A+The+Joy+of+Cats&rft.date=2004&rft.genre=book&rft_id=http%3A%2F%2Fkatmat.math.uni-bremen.de%2Facc&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><cite class="citation book">MAC LANE, Saunders (1998). <i>Categories for the Working Mathematician</i>. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0-387-98403-8" title="Especial:Fontes de livros/0-387-98403-8">0-387-98403-8</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3ATeoria+das+categorias&rft.aufirst=Saunders&rft.aulast=MAC+LANE&rft.btitle=Categories+for+the+Working+Mathematician&rft.date=1998&rft.edition=2&rft.genre=book&rft.isbn=0-387-98403-8&rft.pub=Springer&rft.series=Graduate+Texts+in+Mathematics&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><cite class="citation book">RIEHL, Emily (2014). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.math.jhu.edu/~eriehl/context/"><i>Category Theory in Context</i></a>. [S.l.: s.n.]</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3ATeoria+das+categorias&rft.aufirst=Emily&rft.aulast=RIEHL&rft.btitle=Category+Theory+in+Context&rft.date=2014&rft.genre=book&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.math.jhu.edu%2F~eriehl%2Fcontext%2F&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><cite class="citation book">DUREN, Peter (1988). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ams.org/publicoutreach/math-history/hmath1-index"><i>AMS History of Mathematics, Volume 1: A Century of Mathematics in America, Part I</i></a>. [S.l.]: American Mathematical Society. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/Especial:Fontes_de_livros/0-8218-0124-4" title="Especial:Fontes de livros/0-8218-0124-4">0-8218-0124-4</a></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3ATeoria+das+categorias&rft.aufirst=Peter&rft.aulast=DUREN&rft.btitle=AMS+History+of+Mathematics%2C+Volume+1%3A+A+Century+of+Mathematics+in+America%2C+Part+I&rft.date=1988&rft.genre=book&rft.isbn=0-8218-0124-4&rft.pub=American+Mathematical+Society&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.ams.org%2Fpublicoutreach%2Fmath-history%2Fhmath1-index&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><cite class="citation journal">EILENBERG, Samuel; MAC LANE, Saunders (1945). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ams.org/journals/tran/1945-058-00/S0002-9947-1945-0013131-6/S0002-9947-1945-0013131-6.pdf">«General Theory of Natural Equivalences»</a> <span style="font-size:85%;">(PDF)</span>. <i>Transactions of the American Mathematical Society</i><span class="reference-accessdate">. Consultado em 20 de abril de 2020</span></cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3ATeoria+das+categorias&rft.atitle=General+Theory+of+Natural+Equivalences&rft.au=MAC+LANE%2C+Saunders&rft.aufirst=Samuel&rft.aulast=EILENBERG&rft.date=1945&rft.genre=article&rft.jtitle=Transactions+of+the+American+Mathematical+Society&rft_id=https%3A%2F%2Fwww.ams.org%2Fjournals%2Ftran%2F1945-058-00%2FS0002-9947-1945-0013131-6%2FS0002-9947-1945-0013131-6.pdf&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li> <li><cite class="citation book">FREYD, Peter (1964). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html"><i>Abelian Categories: An Introduction to the Theory of Functors</i></a>. Col: Harper's Series in Modern Mathematics. [S.l.]: Harper & Row</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fpt.wikipedia.org%3ATeoria+das+categorias&rft.aufirst=Peter&rft.aulast=FREYD&rft.btitle=Abelian+Categories%3A+An+Introduction+to+the+Theory+of+Functors&rft.date=1964&rft.genre=book&rft.pub=Harper+%26+Row&rft.series=Harper%27s+Series+in+Modern+Mathematics&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.tac.mta.ca%2Ftac%2Freprints%2Farticles%2F3%2Ftr3abs.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span></li></ul> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Tópicos_principais_sobre_álgebra" style="padding:3px"><table class="nowraplinks hlist collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-ver"><a href="/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o:%C3%81lgebra" title="Predefinição:Álgebra"><abbr title="Ver esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">v</abbr></a></li><li class="nv-discutir"><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o_Discuss%C3%A3o:%C3%81lgebra&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição Discussão:Álgebra (página não existe)"><abbr title="Discutir esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:%C3%81lgebra&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">e</abbr></a></li></ul></div><div id="Tópicos_principais_sobre_álgebra" style="font-size:114%;margin:0 4em">Tópicos principais sobre <a href="/wiki/%C3%81lgebra" title="Álgebra">álgebra</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Geral</th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_elementar" title="Álgebra elementar">Álgebra elementar</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_abstrata" title="Álgebra abstrata">Álgebra abstrata</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_comutativa" title="Álgebra comutativa">Álgebra comutativa</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_da_ordem" title="Teoria da ordem">Teoria da ordem</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Teoria das categorias</a></li> <li><a href="/wiki/K-Teoria_(matem%C3%A1tica)" class="mw-redirect" title="K-Teoria (matemática)">K-Teoria</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Estrutura_alg%C3%A9brica" title="Estrutura algébrica">Estruturas algébricas</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)" title="Grupo (matemática)">Grupo</a> – <a href="/wiki/Teoria_dos_grupos" title="Teoria dos grupos">Teoria dos grupos</a></li> <li><a href="/wiki/Anel_(matem%C3%A1tica)" title="Anel (matemática)">Anel</a> – <a href="/wiki/Teoria_dos_an%C3%A9is" title="Teoria dos anéis">Teoria dos anéis</a></li> <li><a href="/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica)" title="Corpo (matemática)">Corpo</a> – <a href="/wiki/Teoria_dos_corpos" title="Teoria dos corpos">Teoria dos corpos</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_universal" title="Álgebra universal">Álgebra universal</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%C3%81lgebra_linear" title="Álgebra linear">Álgebra linear</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)" title="Matriz (matemática)">Teoria de matrizes</a></li> <li><a href="/wiki/Vetor_(matem%C3%A1tica)" title="Vetor (matemática)">Vetor</a> – <a href="/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial" title="Espaço vetorial">Espaço vetorial</a></li> <li><a href="/wiki/Produto_interno" title="Produto interno">Produto interno</a> – <a href="/wiki/Produto_interno" title="Produto interno">Espaço com produto interno</a></li> <li><a href="/wiki/Espa%C3%A7o_de_Hilbert" title="Espaço de Hilbert">Espaço de Hilbert</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Tópicos_sobre_fundamentos_da_matemática" style="padding:3px"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2" style="background:#fdf;"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-ver"><a href="/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o:Fundamentos_da_matem%C3%A1tica" title="Predefinição:Fundamentos da matemática"><abbr title="Ver esta predefinição" style="background:#fdf;;;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">v</abbr></a></li><li class="nv-discutir"><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o_Discuss%C3%A3o:Fundamentos_da_matem%C3%A1tica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição Discussão:Fundamentos da matemática (página não existe)"><abbr title="Discutir esta predefinição" style="background:#fdf;;;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:Fundamentos_da_matem%C3%A1tica&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição" style="background:#fdf;;;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">e</abbr></a></li></ul></div><div id="Tópicos_sobre_fundamentos_da_matemática" style="font-size:114%;margin:0 4em">Tópicos sobre <a href="/wiki/Fundamentos_da_matem%C3%A1tica" title="Fundamentos da matemática">fundamentos da matemática</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="background:#fdf;;width:1%"><a href="/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica" title="Lógica matemática">Lógica matemática</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Axiomas_de_Peano" title="Axiomas de Peano">Axiomas de Peano</a></li> <li><a href="/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica" title="Indução matemática">Indução matemática</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_axiom%C3%A1tico" title="Sistema axiomático">Sistema axiomático</a></li> <li><a href="/wiki/Prova_matem%C3%A1tica" title="Prova matemática">Prova matemática</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_modelos" title="Teoria dos modelos">Teoria dos modelos</a></li> <li><a href="/wiki/Construtivismo_(matem%C3%A1tica)" title="Construtivismo (matemática)">Construtivismo</a></li> <li><a href="/wiki/L%C3%B3gica_modal" title="Lógica modal">Lógica modal</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Lista_de_t%C3%B3picos_da_l%C3%B3gica_matem%C3%A1tica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lista de tópicos da lógica matemática (página não existe)">Lista de tópicos da lógica matemática</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="background:#fdf;;width:1%"><a href="/wiki/Teoria_dos_conjuntos" title="Teoria dos conjuntos">Teoria dos conjuntos</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Conjunto" title="Conjunto">Conjunto</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_ing%C3%AAnua_dos_conjuntos" title="Teoria ingênua dos conjuntos">Teoria ingênua dos conjuntos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_conjuntos#Teoria_axiomática_dos_conjuntos" title="Teoria dos conjuntos">Teoria axiomática dos conjuntos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_de_conjuntos_de_Zermelo" title="Teoria de conjuntos de Zermelo">Teoria de conjuntos de Zermelo</a></li> <li><a href="/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel" title="Axiomas de Zermelo-Fraenkel">Axiomas de Zermelo-Fraenkel</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_descritiva_de_conjuntos" title="Teoria descritiva de conjuntos">Teoria descritiva de conjuntos</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Determin%C3%A2ncia&action=edit&redlink=1" class="new" title="Determinância (página não existe)">Determinância</a></li> <li><a href="/wiki/Paradoxo_de_Russell" title="Paradoxo de Russell">Paradoxo de Russell</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Lista_de_t%C3%B3picos_sobre_teoria_dos_conjuntos&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lista de tópicos sobre teoria dos conjuntos (página não existe)">Lista de tópicos sobre teoria dos conjuntos</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="background:#fdf;;width:1%"><a class="mw-selflink selflink">Teoria das categorias</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Categoria_(teoria_das_categorias)" title="Categoria (teoria das categorias)">Categoria</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_tipos" title="Teoria dos tipos">Teoria dos tipos</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Topos_(matem%C3%A1tica)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Topos (matemática) (página não existe)">Topos</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Gloss%C3%A1rio_de_teoria_das_categorias&action=edit&redlink=1" class="new" title="Glossário de teoria das categorias (página não existe)">Glossário de teoria das categorias</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Teoria_das_categorias" style="padding:3px"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-ver"><a href="/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o:Teoria_das_categorias" title="Predefinição:Teoria das categorias"><abbr title="Ver esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">v</abbr></a></li><li class="nv-discutir"><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o_Discuss%C3%A3o:Teoria_das_categorias&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição Discussão:Teoria das categorias (página não existe)"><abbr title="Discutir esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:Teoria_das_categorias&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">e</abbr></a></li></ul></div><div id="Teoria_das_categorias" style="font-size:114%;margin:0 4em"><a class="mw-selflink selflink">Teoria das categorias</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Categoria_(teoria_das_categorias)" title="Categoria (teoria das categorias)">Categoria</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Categoria_(teoria_das_categorias)#Categoria_oposta" title="Categoria (teoria das categorias)">Categoria oposta</a></li> <li><a href="/wiki/Categoria_(teoria_das_categorias)#Produto_de_categorias" title="Categoria (teoria das categorias)">Produto de categorias</a></li> <li><a href="/wiki/Subcategoria_(teoria_das_categorias)" title="Subcategoria (teoria das categorias)">Subcategoria</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Categoria_monoidal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Categoria monoidal (página não existe)">Categoria monoidal</a></li> <li><a href="/wiki/Topos" title="Topos">Topos</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Morfismo_(teoria_das_categorias)" title="Morfismo (teoria das categorias)">Morfismo</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Monomorfismo_(teoria_das_categorias)" title="Monomorfismo (teoria das categorias)">Monomorfismo</a></li> <li><a href="/wiki/Epimorfismo_(teoria_das_categorias)" title="Epimorfismo (teoria das categorias)">Epimorfismo</a></li> <li><a href="/wiki/Isomorfismo_(teoria_das_categorias)" title="Isomorfismo (teoria das categorias)">Isomorfismo</a></li> <li><a href="/wiki/Retra%C3%A7%C3%A3o_(teoria_das_categorias)" class="mw-redirect" title="Retração (teoria das categorias)">Retração</a></li> <li><a href="/wiki/Se%C3%A7%C3%A3o_(teoria_das_categorias)" class="mw-redirect" title="Seção (teoria das categorias)">Seção</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Idempotente_(teoria_das_categorias)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Idempotente (teoria das categorias) (página não existe)">Idempotente</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Functor" title="Functor">Functor</a></th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Funtores_plenos_e_fi%C3%A9is" title="Funtores plenos e fiéis">Functor fiel</a></li> <li><a href="/wiki/Funtores_plenos_e_fi%C3%A9is" title="Funtores plenos e fiéis">Functor pleno</a></li> <li><a href="/wiki/Transforma%C3%A7%C3%A3o_natural_(teoria_das_categorias)" title="Transformação natural (teoria das categorias)">Transformação natural entre functores</a></li> <li><a href="/wiki/Categoria_de_elementos" title="Categoria de elementos">Categoria de elementos</a></li> <li><a href="/wiki/Categoria_v%C3%ADrgula" title="Categoria vírgula">Categoria vírgula</a></li> <li><a href="/wiki/Equival%C3%AAncia_de_categorias" title="Equivalência de categorias">Equivalência de categorias</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Propriedade_universal" title="Propriedade universal">Propriedade universal</a></th><td class="navbox-list navbox-even hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Functor_represent%C3%A1vel" title="Functor representável">Functor representável</a></li> <li><a href="/wiki/Functor_represent%C3%A1vel#Elementos_universais" title="Functor representável">Elemento universal</a></li> <li><a href="/wiki/Functor_represent%C3%A1vel#Setas_universais" title="Functor representável">Seta universal</a></li> <li class="mw-empty-elt"></li></ul></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Limites_e_colimites" title="Limites e colimites">Limite</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <li><a href="/wiki/Limites_e_colimites#Cones" title="Limites e colimites">Cone até functor</a></li> <li><a href="/wiki/Objeto_terminal" class="mw-redirect" title="Objeto terminal">Objeto terminal</a></li> <li><a href="/wiki/Produto_categorial" title="Produto categorial">Produto</a></li> <li><a href="/wiki/Equalizador_(teoria_das_categorias)" title="Equalizador (teoria das categorias)">Equalizador</a></li> <li><a href="/wiki/Produto_fibrado" title="Produto fibrado">Produto fibrado</a></li> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Limites_e_colimites" title="Limites e colimites">Colimite</a></th><td class="navbox-list navbox-even" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Limites_e_colimites#Cones" title="Limites e colimites">Cone de functor</a></li> <li><a href="/wiki/Objeto_inicial" title="Objeto inicial">Objeto inicial</a></li> <li><a href="/wiki/Coproduto" class="mw-redirect" title="Coproduto">Coproduto</a></li> <li><a href="/wiki/Coequalizador_(teoria_das_categorias)" title="Coequalizador (teoria das categorias)">Coequalizador</a></li> <li><a href="/wiki/Soma_amalgamada" title="Soma amalgamada">Soma amalgamada</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/Adjun%C3%A7%C3%A3o_(teoria_das_categorias)" title="Adjunção (teoria das categorias)">Adjunção</a> e afins</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/Objeto_exponencial" title="Objeto exponencial">Objeto exponencial</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Functor_livre&action=edit&redlink=1" class="new" title="Functor livre (página não existe)">Functor livre</a></li> <li><a href="/wiki/Adjun%C3%A7%C3%A3o_(teoria_das_categorias)#Subcategoria_reflexiva" title="Adjunção (teoria das categorias)">Subcategoria reflexiva</a></li> <li><a href="/wiki/M%C3%B3nade_(teoria_das_categorias)" title="Mónade (teoria das categorias)">Mônade</a></li> <li><a href="/wiki/Extens%C3%A3o_de_Kan" title="Extensão de Kan">Extensão de Kan</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Áreas_da_matemática" style="padding:3px"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><div class="plainlinks hlist navbar mini"><ul><li class="nv-ver"><a href="/wiki/Predefini%C3%A7%C3%A3o:%C3%81reas_da_matem%C3%A1tica" title="Predefinição:Áreas da matemática"><abbr title="Ver esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">v</abbr></a></li><li class="nv-discutir"><a href="/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o_Discuss%C3%A3o:%C3%81reas_da_matem%C3%A1tica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Predefinição Discussão:Áreas da matemática (página não existe)"><abbr title="Discutir esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">d</abbr></a></li><li class="nv-editar"><a class="external text" href="https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Predefini%C3%A7%C3%A3o:%C3%81reas_da_matem%C3%A1tica&action=edit"><abbr title="Editar esta predefinição" style=";;background:none transparent;border:none;-moz-box-shadow:none;-webkit-box-shadow:none;box-shadow:none; padding:0;">e</abbr></a></li></ul></div><div id="Áreas_da_matemática" style="font-size:114%;margin:0 4em">Áreas da matemática</div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Áreas</th><td class="navbox-list navbox-odd hlist" style="text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid;width:100%;padding:0px"><div style="padding:0em 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%C3%81lgebra" title="Álgebra">Álgebra</a> (<a href="/wiki/%C3%81lgebra_elementar" title="Álgebra elementar">elementar</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_linear" title="Álgebra linear">linear</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_multilinear" title="Álgebra multilinear">multilinear</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_abstrata" title="Álgebra abstrata">abstrata</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%81lgebra_booleana" class="mw-redirect" title="Álgebra booleana">booleana</a>)</li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_matem%C3%A1tica" title="Análise matemática">Análise</a> (<a href="/wiki/An%C3%A1lise_real" title="Análise real">real</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_complexa" title="Análise complexa">complexa</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_funcional" title="Análise funcional">funcional</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_num%C3%A9rica" title="Análise numérica">numérica</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=An%C3%A1lise_matricial&action=edit&redlink=1" class="new" title="Análise matricial (página não existe)">matricial</a></li> <li><a href="/wiki/An%C3%A1lise_n%C3%A3o_padronizada" title="Análise não padronizada">não standard</a>)</li> <li><a href="/wiki/Aritm%C3%A9tica" title="Aritmética">Aritmética</a></li> <li><a href="/wiki/C%C3%A1lculo" class="mw-redirect" title="Cálculo">Cálculo</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Teoria das categorias</a></li> <li><a href="/wiki/Combinat%C3%B3ria" title="Combinatória">Combinatória</a> (<a href="/wiki/Combinat%C3%B3ria" title="Combinatória">finita</a></li> <li><a href="/wiki/Combinat%C3%B3ria_infinit%C3%A1ria" title="Combinatória infinitária">infinita</a>)</li> <li><a href="/wiki/Teoria_da_computa%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria da computação">Computação</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_conjuntos" title="Teoria dos conjuntos">Teoria dos conjuntos</a></li> <li><a href="/wiki/Regula%C3%A7%C3%A3o" title="Regulação">Teoria de controle</a></li> <li><a href="/wiki/Criptografia" title="Criptografia">Criptografia</a></li> <li><a href="/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial" title="Equação diferencial">Equações diferenciais</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria" title="Geometria">Geometria</a> (<a href="/wiki/Geometria_euclidiana" title="Geometria euclidiana">euclidiana</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_discreta" title="Geometria discreta">discreta</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_alg%C3%A9brica" title="Geometria algébrica">algébrica</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_diferencial" title="Geometria diferencial">diferencial</a></li> <li><a href="/wiki/Geometria_finita" title="Geometria finita">finita</a>)</li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_grafos" title="Teoria dos grafos">Teoria dos grafos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_da_informa%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria da informação">Teoria da informação</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_jogos" title="Teoria dos jogos">Teoria dos jogos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_de_Lie" title="Teoria de Lie">Teoria de Lie</a></li> <li><a href="/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica" title="Lógica matemática">Lógica matemática</a></li> <li><a href="/wiki/Estat%C3%ADstica" title="Estatística">Estatística matemática</a></li> <li><a href="/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1tica" title="Física matemática">Física matemática</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_da_medida" title="Teoria da medida">Teoria da medida</a></li> <li><a href="/wiki/Metamatem%C3%A1tica" title="Metamatemática">Metamatemática</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_modelos" title="Teoria dos modelos">Teoria dos modelos</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_dos_n%C3%BAmeros" title="Teoria dos números">Teoria dos números</a></li> <li><a href="/wiki/Otimiza%C3%A7%C3%A3o" title="Otimização">Otimização</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_das_probabilidades" title="Teoria das probabilidades">Teoria das probabilidades</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_de_representa%C3%A7%C3%A3o" title="Teoria de representação">Teoria de representação</a></li> <li><a href="/wiki/Sistema_din%C3%A2mico" title="Sistema dinâmico">Sistemas dinâmicos</a></li> <li><a href="/wiki/Topologia_(matem%C3%A1tica)" title="Topologia (matemática)">Topologia</a></li> <li><a href="/wiki/Trigonometria" title="Trigonometria">Trigonometria</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_das_singularidades" 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Creative Commons</a>; pode estar sujeito a condições adicionais. 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