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class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale"><span>Leggi</span></a></li><li id="ca-ve-edit" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&veaction=edit" title="Modifica questa pagina [v]" accesskey="v"><span>Modifica</span></a></li><li id="ca-edit" class="collapsible vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&action=edit" title="Modifica il wikitesto di questa pagina [e]" accesskey="e"><span>Modifica sorgente</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&action=history" title="Versioni precedenti di questa pagina [h]" 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vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale"><span>Leggi</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&veaction=edit" title="Modifica questa pagina [v]" accesskey="v"><span>Modifica</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&action=edit" title="Modifica il wikitesto di questa pagina [e]" accesskey="e"><span>Modifica sorgente</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&action=history"><span>Cronologia</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" 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id="siteSub" class="noprint">Wikibooks, manuali e libri di testo liberi.</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"><div class="subpages">< <bdi dir="ltr"><a href="/wiki/Analisi_matematica_I" title="Analisi matematica I">Analisi matematica I</a></bdi></div></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="it" dir="ltr"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r464529">.mw-parser-output .index-content{float:right;margin:0 0 5px 5px;font-size:90%;width:250px}.mw-parser-output .sommario-v-header{text-align:center;border-radius:.5em .5em 0 0;padding:5px}.mw-parser-output .sommario-v-title{font-size:150%;padding:10px}.mw-parser-output .sommario-v-content{padding:5px}.mw-parser-output .sommario-v-modify{text-align:right;font-size:.7em}.mw-parser-output .sommario-v-footer{padding:5px;border-radius:0 0 .5em .5em}.mw-parser-output .sommario-footer{padding:5px;border-radius:0 0 .5em 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<div class="sommario-v-content c-azzurro"> <ul><li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Premesse" title="Analisi matematica I/Premesse">Premesse</a></li></ul> <p><b>Principi di insiemistica e funzioni elementari</b> </p> <ol><li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Numeri_naturali" title="Analisi matematica I/Numeri naturali">Numeri naturali</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Numeri_interi" title="Analisi matematica I/Numeri interi">Numeri interi</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Numeri_razionali" title="Analisi matematica I/Numeri razionali">Numeri razionali</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Numeri_reali" title="Analisi matematica I/Numeri reali">Numeri reali</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Numeri_reali_(seconda_parte)" title="Analisi matematica I/Numeri reali (seconda parte)">Numeri reali (seconda parte)</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Numeri_complessi" title="Analisi matematica I/Numeri complessi">Numeri complessi</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Funzioni" title="Analisi matematica I/Funzioni">Funzioni</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Funzioni_circolari" title="Analisi matematica I/Funzioni circolari">Funzioni circolari</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Funzioni_radice,_esponenziale_e_logaritmica" title="Analisi matematica I/Funzioni radice, esponenziale e logaritmica">Funzioni radice, esponenziale e logaritmica</a></li></ol> <p><b>Le successioni e le serie numeriche in <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span></b> </p> <ol><li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Successioni" title="Analisi matematica I/Successioni">Successioni reali</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Limiti_di_successioni_reali" title="Analisi matematica I/Limiti di successioni reali">Limiti di successioni reali</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Teoremi_sulle_successioni" title="Analisi matematica I/Teoremi sulle successioni">Teoremi sulle successioni</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Algebra_dei_limiti_delle_successioni" title="Analisi matematica I/Algebra dei limiti delle successioni">Algebra dei limiti delle successioni</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Esistenza_del_limite_di_una_successione" title="Analisi matematica I/Esistenza del limite di una successione">Esistenza del limite di una successione</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Limiti_inferiori_e_superiori" title="Analisi matematica I/Limiti inferiori e superiori">Limiti inferiori e superiori</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Forme_indeterminate_di_successioni" title="Analisi matematica I/Forme indeterminate di successioni">Forme indeterminate di successioni</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Serie_numeriche" title="Analisi matematica I/Serie numeriche">Serie numeriche</a></li></ol> <p><b>Limiti di funzioni reali a una variabile reale</b> </p> <ol><li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Punti_di_accumulazione_e_chiusura_di_un_insieme" title="Analisi matematica I/Punti di accumulazione e chiusura di un insieme">Punti di accumulazione e chiusura di un insieme</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Compattezza_di_un_insieme&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Compattezza di un insieme (la pagina non esiste)">Compattezza di un insieme</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Definizione_di_limite_per_funzioni_reali_di_variabile_reale&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale (la pagina non esiste)">Definizione di limite per funzioni reali di variabile reale</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Esistenza_del_limite_per_funzioni_reali_di_variabile_reale&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale (la pagina non esiste)">Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Algebra_dei_limiti&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Algebra dei limiti (la pagina non esiste)">Algebra dei limiti</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Teorema_del_confronto_e_di_Cauchy&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Teorema del confronto e di Cauchy (la pagina non esiste)">Teorema del confronto e teorema di Cauchy</a></li></ol> <p><b>Monotonia, continuità, massimi, minimi e uniforme continuità</b> </p> <ol><li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Funzioni_monotone&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Funzioni monotone (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Funzioni monotone</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Funzioni_continue_reali_di_variabile_reale&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Funzioni continue reali di variabile reale</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Massimi_e_minimi_di_una_funzione_continua&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Massimi e minimi di una funzione continua</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Funzioni_uniformemente_continue&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Funzioni uniformemente continue</a></li></ol> <p><br /> <b>Calcolo differenziale in <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }"></span> e studio di funzioni</b> </p> <ol><li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Funzioni_derivabili_e_derivata_di_una_funzione&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Funzioni derivabili e derivata di una funzione</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Algebra_delle_derivate&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Algebra delle derivate (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Algebra delle derivate</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Teorema_di_Fermat,_di_Rolle,_di_Lagrange,_di_Cauchy&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Test_di_monotonia,_teorema_Darboux,_di_De_L%27Hopital&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Test di monotonia, teorema Darboux, di De L'Hopital</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Polinomi_di_Taylor&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Polinomi di Taylor (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Polinomi di Taylor</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Studio_di_funzioni_reali_a_valori_reali" title="Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali">Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Funzioni_convesse&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Funzioni convesse (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Funzioni convesse</a></li></ol> <p><b>Calcolo integrale secondo Riemann per funzioni reali di una variabile reale</b> </p> <ol><li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Integrale_di_Riemann&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Integrale di Riemann (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Integrale di Riemann</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Altri_criteri_di_integrabilit%C3%A0_secondo_Riemann&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Altri criteri di integrabilità secondo Riemann</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_degli_integrali_di_Riemann&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Calcolo degli integrali di Riemann</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Importanti_teoremi_del_calcolo_integrale&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Importanti teoremi del calcolo integrale</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Integrale_generalizzato&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Integrale generalizzato (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Integrale generalizzato</a></li></ol> <p><b>Successioni e serie di funzioni</b> </p> <ol><li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Successioni_di_funzioni&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Successioni di funzioni (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Successioni di funzioni</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Serie_di_funzioni&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Serie di funzioni (la pagina non esiste)">Analisi matematica I/Serie di funzioni</a></li></ol> <p><br /> </p><p><b>VECCHIO</b> <b>Elementi di base</b> </p> <ol><li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Insiemi" title="Analisi matematica I/Insiemi">Gli insiemi e i vari tipi di insiemi</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Note_storiche_sugli_insiemi" title="Analisi matematica I/Note storiche sugli insiemi">Note storiche sugli insiemi</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/I_numeri_reali" title="Analisi matematica I/I numeri reali">I numeri reali</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/I_numeri_complessi" title="Analisi matematica I/I numeri complessi">I numeri complessi</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Sommatorie&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Sommatorie (la pagina non esiste)">Sommatorie</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Progressione_geometrica&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Progressione geometrica (la pagina non esiste)">progressione geometrica</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Fattoriale_di_n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Fattoriale di n (la pagina non esiste)">fattoriale di n</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Formula_di_Newton&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Formula di Newton (la pagina non esiste)">formula di Newton</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Potenze_e_radicali&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Potenze e radicali (la pagina non esiste)">Potenze e radicali</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_Matematica_I/Esponenziali_e_Logaritmi&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi Matematica I/Esponenziali e Logaritmi (la pagina non esiste)">Esponenziali e logaritmi</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Insiemi_infiniti&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Insiemi infiniti (la pagina non esiste)">Insiemi infiniti</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Massimi_e_minimi&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Massimi e minimi (la pagina non esiste)">Massimi e minimi</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Funzioni" title="Analisi matematica I/Funzioni">Funzioni</a></li></ol> <p><b>Serie e successioni</b> </p> <ol><li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Successioni" title="Analisi matematica I/Successioni">Successioni: definizione</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Definizione_di_limite" title="Analisi matematica I/Definizione di limite">Limiti: definizione</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Successioni_monotone&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Successioni monotone (la pagina non esiste)">Successioni monotone</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_dei_limiti&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo dei limiti (la pagina non esiste)">Calcolo dei limiti</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Limite_di_successioni&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Limite di successioni (la pagina non esiste)">Limite di successioni</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Il_numero_di_Nepero_(e)" title="Analisi matematica I/Il numero di Nepero (e)">Il numero di Nepero (e)</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Confronti,_stime_asintotiche_e_gerarchia_degli_infiniti" title="Analisi matematica I/Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti">Confronti, stime asintotiche e gerarchia degli infiniti</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Limiti_notevoli&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Limiti notevoli (la pagina non esiste)">Limiti notevoli</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Serie_numeriche:_definizione&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Serie numeriche: definizione (la pagina non esiste)">Serie numeriche: definizione</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Serie_a_termini_non_negativi&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Serie a termini non negativi (la pagina non esiste)">Serie a termini non negativi</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Serie_a_termini_di_segno_variabile&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Serie a termini di segno variabile (la pagina non esiste)">Serie a termini di segno variabile</a></li></ol> <p><b>Funzioni di una variabile, limiti e continuità</b> </p> <ol><li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Limiti_di_funzioni_(a)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Limiti di funzioni (a) (la pagina non esiste)">Limiti di funzioni da R a R</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Limiti_di_funzioni_(b)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Limiti di funzioni (b) (la pagina non esiste)">Limiti di funzioni da R<sup>n</sup> a <b>R<sup>m</sup></b></a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Funzioni_numeriche_e_generalit%C3%A0&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Funzioni numeriche e generalità (la pagina non esiste)">Funzioni numeriche e generalità</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Grafico_di_una_funzione&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Grafico di una funzione (la pagina non esiste)">Grafico di una funzione</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Funzioni_limitate&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Funzioni limitate (la pagina non esiste)">Funzioni limitate</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Funzioni_simmetriche&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Funzioni simmetriche (la pagina non esiste)">Funzioni simmetriche, pari e dispari</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Funzioni_monotone&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Funzioni monotone (la pagina non esiste)">Funzioni monotone</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Funzioni_periodiche&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Funzioni periodiche (la pagina non esiste)">Funzioni periodiche</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Limiti,_continuit%C3%A0,_asintoti&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Limiti, continuità, asintoti (la pagina non esiste)">Limiti, continuità, asintoti</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Funzioni_elementari:_funzioni_potenza,_esponenziali_e_logaritmiche,_trigonometriche&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche (la pagina non esiste)">Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziali e logaritmiche, trigonometriche</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Funzioni_composte_e_inverse&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Funzioni composte e inverse (la pagina non esiste)">Funzioni composte e inverse (invertibili e non invertibili)</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Funzioni_trigonometriche_inverse&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Funzioni trigonometriche inverse (la pagina non esiste)">Funzioni trigonometriche inverse</a></li></ol> <p><b>Calcolo differenziale per funzioni di una variabile</b> </p> <ol><li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Calcolo_differenziale/Il_calcolo_differenziale" title="Analisi matematica I/Calcolo differenziale/Il calcolo differenziale">Introduzione</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_differenziale_per_funzioni_di_una_variabile/Il_rapporto_incrementale&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo differenziale per funzioni di una variabile/Il rapporto incrementale (la pagina non esiste)">Il rapporto incrementale</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_differenziale_per_funzioni_di_una_variabile/Derivata_di_una_funzione:_derivata_e_retta_tangente;_derivate_di_funzioni_elementari;_punti_angolosi,_cuspidi,_flessi_a_tangente_verticale&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo differenziale per funzioni di una variabile/Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale (la pagina non esiste)">Derivata di una funzione: derivata e retta tangente; derivate di funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_differenziale_per_funzioni_di_una_variabile/Regole_di_calcolo_delle_derivate:_algebra_delle_derivate;_derivate_di_una_funzione_composta;_derivata_di_funzione_inversa&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo differenziale per funzioni di una variabile/Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa (la pagina non esiste)">Regole di calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivate di una funzione composta; derivata di funzione inversa</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_differenziale_per_funzioni_di_una_variabile/Le_derivate_fondamentali&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo differenziale per funzioni di una variabile/Le derivate fondamentali (la pagina non esiste)">Le derivate fondamentali</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_differenziale_per_funzioni_di_una_variabile/Il_teorema_del_valor_medio_e_le_sue_conseguenze:_punti_stazionari,_massimi_e_minimi_locali;_teorema_del_valor_medio_e_test_di_monotonia&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo differenziale per funzioni di una variabile/Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia (la pagina non esiste)">Il teorema del valor medio e le sue conseguenze: punti stazionari, massimi e minimi locali; teorema del valor medio e test di monotonia;</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_differenziale_per_funzioni_di_una_variabile/Il_teorema_di_de_L%E2%80%99Hospital&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo differenziale per funzioni di una variabile/Il teorema di de L’Hospital (la pagina non esiste)">Il teorema di de L’Hospital</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_differenziale_per_funzioni_di_una_variabile/Calcolo_differenziale_e_approssimazioni:_differenziale_e_approssimazione_lineare&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo differenziale per funzioni di una variabile/Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare (la pagina non esiste)">Calcolo differenziale e approssimazioni: differenziale e approssimazione lineare</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_differenziale_per_funzioni_di_una_variabile/o_piccolo&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo differenziale per funzioni di una variabile/o piccolo (la pagina non esiste)">o piccolo</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_differenziale_per_funzioni_di_una_variabile/Significato_geometrico_della_derivata_seconda,_derivata_seconda,_concavit%C3%A0_e_convessit%C3%A0&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo differenziale per funzioni di una variabile/Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità (la pagina non esiste)">Significato geometrico della derivata seconda, derivata seconda, concavità e convessità</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_differenziale_per_funzioni_di_una_variabile/Formula_di_Taylor_del_secondo_ordine_%26_formula_di_Taylor_di_ordine_n&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo differenziale per funzioni di una variabile/Formula di Taylor del secondo ordine & formula di Taylor di 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href="/wiki/Analisi_matematica_I/Calcolo_integrale_per_funzioni_di_una_variabile/Propriet%C3%A0_dell%27integrale" title="Analisi matematica I/Calcolo integrale per funzioni di una variabile/Proprietà dell'integrale">Proprietà dell'integrale</a></li> <li><a href="/wiki/Analisi_matematica_I/Calcolo_integrale_per_funzioni_di_una_variabile/Il_teorema_fondamentale_del_calcolo_integrale" title="Analisi matematica I/Calcolo integrale per funzioni di una variabile/Il teorema fondamentale del calcolo integrale">Il teorema fondamentale del calcolo integrale</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_integrale_per_funzioni_di_una_variabile/Metodo_di_ricerca_della_primitiva&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo integrale per funzioni di una variabile/Metodo di ricerca della primitiva (la pagina non esiste)">Metodo di ricerca della primitiva</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_integrale_per_funzioni_di_una_variabile/Calcolo_di_integrali_indefiniti_e_definiti:_integrali_immediati,_per_scomposizione_e_per_sostituzione;_integrazione_per_parti&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo integrale per funzioni di una variabile/Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti (la pagina non esiste)">Calcolo di integrali indefiniti e definiti: integrali immediati, per scomposizione e per sostituzione; integrazione per parti</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_integrale_per_funzioni_di_una_variabile/Funzioni_integrabili&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo integrale per funzioni di una variabile/Funzioni integrabili (la pagina non esiste)">Funzioni integrabili</a></li> <li><a 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href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_integrale_per_funzioni_di_una_variabile/Ricerca_delle_primitive_per_alcune_classi_di_funzioni:_integrazione_di_una_funzione_razionale&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo integrale per funzioni di una variabile/Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale (la pagina non esiste)">Ricerca delle primitive per alcune classi di funzioni: integrazione di una funzione razionale</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Calcolo_integrale_per_funzioni_di_una_variabile/Integrazione_delle_funzioni_trigonometriche&action=edit&redlink=1" class="new" title="Analisi matematica I/Calcolo integrale per funzioni di una variabile/Integrazione delle funzioni trigonometriche (la pagina non esiste)">Integrazione delle funzioni trigonometriche</a></li></ol> <p class="sommario-v-modify plainlinks"><a class="external text" href="https://it.wikibooks.org/w/index.php?title=Template%3AAnalisi_matematica_I&action=edit">Modifica il sommario</a></p> </div> <div class="sommario-v-footer c-azzurro"> <div class="mw-inputbox-centered" style=""><form name="searchbox" class="searchbox mw-inputbox-form" action="/wiki/Speciale:Ricerca"><div class="cdx-text-input"><input class="mw-inputbox-input mw-searchInput searchboxInput cdx-text-input__input" name="search" placeholder="" size="24" dir="ltr" /></div><input type="hidden" value="Analisi matematica I" name="prefix" /><br /><input type="submit" name="fulltext" value="Cerca" class="cdx-button" /><input type="hidden" value="Search" name="fulltext" /></form></div></div></div> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Introduzione">Introduzione</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&veaction=edit&section=1" title="Modifica la sezione Introduzione" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&action=edit&section=1" title="Edit section's source code: Introduzione"><span>modifica sorgente</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Il <b>rapporto incrementale</b> è il primo strumento che useremo per studiare il comportamento di <i>crescita</i> o <i>decrescita</i> di una <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/funzione" class="extiw" title="w:funzione">funzione</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definizione">Definizione</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&veaction=edit&section=2" title="Modifica la sezione Definizione" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&action=edit&section=2" title="Edit section's source code: Definizione"><span>modifica sorgente</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r465526">.mw-parser-output .box-title{font-weight:bolder;color:#595959}.mw-parser-output .obiettivi-text{background-color:#f2f2f2;border:1px solid #d9d9d9;padding:15px;margin:-20px 0 10px 0;max-width:500px}.mw-parser-output .box-trama{border-left:3px solid #6699ff;background-color:#f2f2f2;padding:15px;margin:-20px 0 10px 0;font-size:.9em}.mw-parser-output .box-sfondo-grigio{background-color:#f2f2f2;border:1px solid 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class="mw-file-element" data-file-width="48" data-file-height="48" /></a></span> <span class="box-title">Definizione</span> </p> <div class="box-sfondo-grigio" style=""> <p>Il rapporto incrementale di una funzione reale di variabile reale <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3a10a3ad05781f5cf9c2d875a02227e21a8448" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.186ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }"></span> relativo ad un incremento <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\neq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944b0b20842d846cb96b36fe95d44dabbc6d19fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.6ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle h\neq 0}"></span> della variabile <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> è: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{h}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{h}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5220aa7ab40afbc37f4fb19035f394f843f73f3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:22.733ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle R_{h}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}"></span></dd></dl> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Significato_geometrico">Significato geometrico</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&veaction=edit&section=3" title="Modifica la sezione Significato geometrico" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&action=edit&section=3" title="Edit section's source code: Significato geometrico"><span>modifica sorgente</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Questo rapporto è il <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Coefficiente_angolare" class="extiw" title="w:Coefficiente angolare">coefficiente angolare</a> della retta passante per i punti del grafico della funzione corrispondenti ad <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"></span> e ad <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+h}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fada64bf0345b4e3b386457f437d96ee3560e6ef" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.509ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x+h}"></span>, cioè la <a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Retta_secante" class="extiw" title="w:Retta secante">retta secante</a> al grafico della funzione, ovvero, la tangente dell'angolo che forma la suddetta retta con l'asse delle ascisse. </p><p>Come dicevamo, il rapporto incrementale ci da un'informazione sulla crescita o sulla decrescita di questa funzione ed in particolare ci da un'indicazione su quanto velocemente questa è avvenuta. </p><p>Purtroppo questa informazione non sempre è significativa. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Esempio_1">Esempio 1</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&veaction=edit&section=4" title="Modifica la sezione Esempio 1" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&action=edit&section=4" title="Edit section's source code: Esempio 1"><span>modifica sorgente</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Studiamo ad esempio la funzione <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\alpha x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\alpha x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa65f0697bf36f4c4b6f60b34e66c2c8d0988ceb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.333ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\alpha x}"></span>. Il rapporto incrementale relativo ad un qualsiasi incremento <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\neq 0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>≠</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\neq 0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944b0b20842d846cb96b36fe95d44dabbc6d19fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.6ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle h\neq 0}"></span> e ad un qualsiasi x è </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\alpha (x+h)-\alpha x}{h}}={\frac {\alpha h}{h}}=\alpha .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>α</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>α</mi> <mi>h</mi> </mrow> <mi>h</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mi>α</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\alpha (x+h)-\alpha x}{h}}={\frac {\alpha h}{h}}=\alpha .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de0cf6f20d660ed580b60e190793ffbb2d9f6bb0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:27.294ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\alpha (x+h)-\alpha x}{h}}={\frac {\alpha h}{h}}=\alpha .}"></span></dd></dl> <p>In questo caso il rapporto incrementale ci da un'informazione molto dettagliata su come la funzione cresce. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Esempio_2">Esempio 2</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&veaction=edit&section=5" title="Modifica la sezione Esempio 2" class="mw-editsection-visualeditor"><span>modifica</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&action=edit&section=5" title="Edit section's source code: Esempio 2"><span>modifica sorgente</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Studiamo ora la funzione <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\sin(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\sin(x)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb1266b7f7718442e31e45eef3d81bef6a8b9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\sin(x)}"></span>. Sia <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0,h={\frac {\pi }{2}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0,h={\frac {\pi }{2}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00172942e4f81aca8634b6312faeb18dd4747b0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.23ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle x=0,h={\frac {\pi }{2}}}"></span>. Allora <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{h}={\frac {\sin({\frac {\pi }{2}})-\sin(0)}{\frac {\pi }{2}}}={\frac {2}{\pi }}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{h}={\frac {\sin({\frac {\pi }{2}})-\sin(0)}{\frac {\pi }{2}}}={\frac {2}{\pi }}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db59e1206d5d5858cfa9e056e45e9788b24d902" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:27.255ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle R_{h}={\frac {\sin({\frac {\pi }{2}})-\sin(0)}{\frac {\pi }{2}}}={\frac {2}{\pi }}}"></span>. </p><p>Sia ora <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0,h=\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0,h=\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1d6df4067e55d32471d7a7108203760dfbbada6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.394ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x=0,h=\pi }"></span>. </p><p>Allora <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{h}={\frac {\sin(\pi )-\sin(0)}{\pi }}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>h</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>π</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mi>π</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{h}={\frac {\sin(\pi )-\sin(0)}{\pi }}=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd987b1540cf1d700440e95727307488a5bb64d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:25.803ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle R_{h}={\frac {\sin(\pi )-\sin(0)}{\pi }}=0}"></span>. </p><p>Come si vede facilmente, l'informazione che ci viene data dal rapporto incrementale in questo caso è praticamente inutile. </p><p>Sarebbe molto più interessante avere un indicatore di come la funzione cresce o decresce istantaneamente. Grazie al concetto di limite possiamo introdurre un nuovo concetto, quello di derivata, che ci permette di avere un'informazione sul tasso di crescita "istantaneo" della funzione. </p>    </div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Estratto da "<a dir="ltr" href="https://it.wikibooks.org/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&oldid=359077">https://it.wikibooks.org/w/index.php?title=Analisi_matematica_I/Il_calcolo_differenziale/Il_rapporto_incrementale&oldid=359077</a>"</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Speciale:Categorie" title="Speciale:Categorie">Categoria</a>: <ul><li><a href="/wiki/Categoria:Analisi_matematica_I" title="Categoria:Analisi matematica I">Analisi matematica I</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Questa pagina è stata modificata per l'ultima volta il 12 feb 2019 alle 22:15.</li> <li id="footer-info-copyright">Il testo è disponibile secondo la <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.it">licenza Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo</a>; possono applicarsi condizioni ulteriori. 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