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<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-transitional.dtd"> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml"> <head profile="http://gmpg.org/xfn/11"> <meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8" /> <title>Principia » Pi et racine de 2 chez les babyloniens</title> <meta name="generator" content="WordPress 2.0.4" />  <link rel="stylesheet" href="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/themes/mistylook/style.css" type="text/css" media="screen" /> <link rel="alternate" type="application/rss+xml" title="Principia RSS Feed" href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/feed/" /> <link rel="pingback" href="http://cer1se.free.fr/principia/xmlrpc.php" /> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" title="RSD" href="http://cer1se.free.fr/principia/xmlrpc.php?rsd" /> <link rel="stylesheet" href="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/plugins/jspullquotes/jspullquotes.css" type="text/css" media="screen" /> <script type="text/javascript" src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/plugins/jspullquotes/jspullquotes.js"></script> <script type="text/javascript"> /* Start Of Javascript Generated By WP-UserOnline 2.05 */ /* <![CDATA[ */ if(site_url != 'http://cer1se.free.fr/principia' || ajax_url != '/principia/index.php') { var site_url = 'http://cer1se.free.fr/principia'; 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font-weight:bold; padding:5px"> <img src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/themes/mistylook/img/livre_sommaire.png" alt="image_livre" style="position:relative; bottom:-3px"/> Sommaire de l'article </div> <div id="sephi_child" style="position:absolute; margin-left:15px; font-size:90%; font-weight:bold; border:1px solid #e0e0e0; border-top:0px solid #FFFFFF; background-color:white; opacity:0.9; padding:10px 5px 10px 0px"> <div class="toc" style="font-size : 100%"> <ol style="list-style-type:none"><li><a href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/pi-et-racine-de-2-chez-les-babyloniens/#toc-une-premiere-approximation-de-pi">Une premi猫re approximation de pi</a></li> <li><a href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/pi-et-racine-de-2-chez-les-babyloniens/2/#toc-racine-de-2">Racine de 2</a></li></ol></div> </div> <script type="text/javascript"> at_attach("sephi_parent", "sephi_child", "hover", "y", "pointer"); </script>  <br /> <div style="min-height:115px; height:auto; _height:115px"> <p><a href="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/uploads/YBC_7289.jpg"><img src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/uploads/thumb-YBC_7289.png" border="0" alt="Tablette YBC 7289" title="Tablette YBC 7289" width="120" height="115" style="float:right; padding-left:10px"/></a></p> <p align="justify">Pour illustrer la grande richesse des math茅matiques babyloniennes, bien en avance sur leur temps, nous 茅tudions ici deux tablettes cun茅iformes o霉 apparaissent deux c茅l茅brit茅s num茅riques : <img src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/cache/tex_4f08e3dba63dc6d40b22952c7a9dac6d.gif" alt="\pi" /> et <img src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/cache/tex_dbf970b20271ad58feed105bf88fd19f.gif" alt="\sqrt2" />.</p> </div> <p align="justify" style="float:right"><a id="more-30"></a></p> <hr /> <p></p> <p align="justify">(<em>Pour savoir comment lire le syst猫me de num茅ration babylonien utilis茅 ici, se r茅f茅rer 脿 l’article <a href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/le-genie-de-la-numeration-babylonienne">Le g茅nie de la num茅ration babylonienne</a>.</em>)</p> <h2 id="toc-une-premiere-approximation-de-pi">Une premi猫re approximation de pi</h2> <p align="justify">La premi猫re approximation connue du nombre <img src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/cache/tex_4f08e3dba63dc6d40b22952c7a9dac6d.gif" alt="\pi" /> provient des Babyloniens. Consid茅rons la reproduction suivante d’une tablette de Suse :</p> <p align="center"><a href="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/uploads/Tablette_Suse.gif"><img src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/uploads/thumb-Tablette_Suse.gif" border="0" alt="Tablette de Suse" title="Tablette de Suse" width="79" height="200"/></a></p> <p align="justify">Il s’agit en fait d’une table donnant l’aire (colonne de gauche) d’une s茅rie de figures (colonne de droite). Un premier exemple est donn茅脿 la ligne 27 :</p> <blockquote> <p align="justify">2;37,30 IGIGUB SASAG 6</p> </blockquote> <p align="justify">qui signifie :</p> <blockquote> <p align="justify">2,625 est la constante du polygone r茅gulier 脿 6 c么t茅s</p> </blockquote> <p align="justify">La « constante » d茅signe ici l’aire et correspond (approximativement) 脿 celle d’un hexagone r茅gulier dont les c么t茅s sont de longueur 1.</p> <p align="justify">Regardons maintenant la deuxi猫me ligne :</p> <blockquote> <p align="justify">0;5 IGIGUB SAGAM</p> </blockquote> <p align="justify">qui signifie :</p> <blockquote> <p align="justify">1/12 est la constante du cercle</p> </blockquote> <p align="justify">Cette fois-ci, c’est le p茅rim猫tre du cercle qui est suppos茅 valoir 1. On en d茅duit donc la valeur du rayon :</p> <p align="center"><img src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/cache/tex_28f6f780b5aa54baa3f9e2bbac5e00b1.gif" alt="{2}\pi r = 1 \Rightarrow r = \frac1{2\pi}" /></p> <p align="justify">et l’aire vaut :</p> <p align="center"><img src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/cache/tex_ecac4a3fb74645c67b386fe21fac7161.gif" alt="\frac1{12} = \pi r^2 = \frac1{4\pi}" /></p> <p align="justify">On en tire que la valeur de <img src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/cache/tex_4f08e3dba63dc6d40b22952c7a9dac6d.gif" alt="\pi" /> est 3. C’est une approximation un peu grossi猫re, bien qu’on la retrouve aussi chez les Chinois et dans la Bible.</p> <p align="justify">On peut cependant jeter un oeil 脿 la ligne 30 :</p> <blockquote> <p align="justify">0;57,36 IGIGUB SASAR</p> </blockquote> <p align="justify">qui signifie :</p> <blockquote> <p align="justify">24/25 = 0,96 est la constante du cercle am茅lior茅</p> </blockquote> <p align="justify">Pour comprendre ce qu’est un « cercle am茅lior茅 », multiplions cette valeur par l’aire du cercle donn茅e 脿 la ligne 2 :</p> <p align="center"><img src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/cache/tex_b701ae8bd1b6c084fa6c38ae41350ef0.gif" alt="\frac1{12} \times \frac{24}{25} = \frac2{25}" /></p> <p align="justify">Si on suppose que cette derni猫re valeur est l’aire d’un cercle, on peut en d茅duire la valeur de <img src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/cache/tex_4f08e3dba63dc6d40b22952c7a9dac6d.gif" alt="\pi" /> qui est :</p> <p align="center"><img src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/cache/tex_e7a2738408083bb832bfbf568bebdcb7.gif" alt="\pi = \frac{25}8 = 3,125" /></p> <p align="justify">Voil脿 une bien meilleure approximation ! On comprend alors que la quantit茅 0;57,36 = 24/25 est le facteur de correction 脿 apporter 脿 l’aire du cercle donn茅e 脿 la ligne 2 pour obtenir une valeur plus pr茅cise, d’o霉 l’expression « cercle am茅lior茅 ».</p> <p align="justify">Cette approximation est assez remarquable pour l’茅poque, car il faudra attendre plus de 15 si猫cles et l’arriv茅e d’Archim猫de pour avoir une meilleure approximation.</p>  <p align="center"><strong>Pages : <a href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/pi-et-racine-de-2-chez-les-babyloniens/2/"></a> 1 <a href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/pi-et-racine-de-2-chez-les-babyloniens/2/">2 </a> <a href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/pi-et-racine-de-2-chez-les-babyloniens/2/">»</a></strong></p>  <hr />  <div class="related-posts"> <h3>Articles liés :</h3><ul> <li><a href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/le-genie-de-la-numeration-babylonienne/" title="Le g茅nie de la num茅ration babylonienne">Le g茅nie de la num茅ration babylonienne</a></li> <li><a href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/pythagore-et-lorigine-du-mot-mathematique/" title="Pythagore et l'origine du mot math茅matique">Pythagore et l'origine du mot math茅matique</a></li></ul> </div> <hr />   </div> <p class="postmetadata"> </p>   <p class="nocomments"><a href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/32/">R茅agir 脿 l'article</a></p> <div class="entry"> <p> <a href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/pi-et-racine-de-2-chez-les-babyloniens/trackback/">Trackback URI</a> | </p> </div> </div> <p align="center"></p> </div> <div id="sidebar"> <ul>  <li class="sidebox"> <h2>Cat茅gories</h2> <ul> <li><a href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/category/mathematiques/" title="Voir tous les articles class茅s dans Math茅matiques">Math茅matiques</a> (4) </li> <li><a href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/category/personnages/" title="Voir tous les articles class茅s dans Personnages">Personnages</a> (2) </li> <li><a href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/category/philo-des-sciences/" title="Voir tous les articles class茅s dans Philo des sciences">Philo des sciences</a> (6) </li> <li><a href="http://cer1se.free.fr/principia/index.php/category/physique/" title="Voir tous les articles class茅s dans Physique">Physique</a> (2) </li> </ul> </li>  </ul> </div> </div> </div><div id="footer"> <p><strong>Principia</strong> © 2024</p> <ul> <li><a href="http://cer1se.free.fr/principia/wp-login.php">Connexion</a> | </li> <li>Th猫me modifi茅脿 partir de <a href="http://wpthemes.info/misty-look/" title="Th猫me MistyLook de WPThemes.Info">MistyLook</a></li> <li><a href="http://validator.w3.org/check?uri=referer" title="Valid XHTML 1.0 Transitional"><img src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/uploads/badges/xhtml.png" alt="XHTML" /></a></li>  <li><a href="http://www.wordpress.org/" title="Powered by WordPress"><img src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/uploads/badges/wordpress.png" alt="WordPress" /></a></li> <li><a href="http://www.mozilla.org/products/firefox/" title="Get Firefox"><img src="http://cer1se.free.fr/principia/wp-content/uploads/badges/firefox.png" alt="Firefox" /></a></li> </ul> </div> </body> </html>