Wektor – Wikipedia, wolna encyklopedia

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class="vector-toc-list"> <li id="toc-Przykłady_jednowymiarowe" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przykłady_jednowymiarowe"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.1</span> <span>Przykłady jednowymiarowe</span> </div> </a> <ul id="toc-Przykłady_jednowymiarowe-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Fizyka_i_inżynieria" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Fizyka_i_inżynieria"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.2</span> <span>Fizyka i inżynieria</span> </div> </a> <ul id="toc-Fizyka_i_inżynieria-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przestrzeń_kartezjańska" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Przestrzeń_kartezjańska"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.3</span> <span>Przestrzeń kartezjańska</span> </div> </a> <ul id="toc-Przestrzeń_kartezjańska-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Wektory_euklidesowe_i_afiniczne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Wektory_euklidesowe_i_afiniczne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.4</span> <span>Wektory euklidesowe i afiniczne</span> </div> </a> <ul id="toc-Wektory_euklidesowe_i_afiniczne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Uogólnienia" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Uogólnienia"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">1.5</span> <span>Uogólnienia</span> </div> </a> <ul id="toc-Uogólnienia-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Reprezentacje" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Reprezentacje"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">2</span> <span>Reprezentacje</span> </div> </a> <ul id="toc-Reprezentacje-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Podstawowe_własności" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Podstawowe_własności"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3</span> <span>Podstawowe własności</span> </div> </a> <button aria-controls="toc-Podstawowe_własności-sublist" class="cdx-button cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only vector-toc-toggle"> <span class="vector-icon mw-ui-icon-wikimedia-expand"></span> <span>Przełącz podsekcję Podstawowe własności</span> </button> <ul id="toc-Podstawowe_własności-sublist" class="vector-toc-list"> <li id="toc-Równość" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Równość"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.1</span> <span>Równość</span> </div> </a> <ul id="toc-Równość-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Dodawanie_i_odejmowanie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Dodawanie_i_odejmowanie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.2</span> <span>Dodawanie i odejmowanie</span> </div> </a> <ul id="toc-Dodawanie_i_odejmowanie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Mnożenie_przez_skalar" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Mnożenie_przez_skalar"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.3</span> <span>Mnożenie przez skalar</span> </div> </a> <ul id="toc-Mnożenie_przez_skalar-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Długość" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Długość"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.4</span> <span>Długość</span> </div> </a> <ul id="toc-Długość-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Iloczyn_skalarny" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Iloczyn_skalarny"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.5</span> <span>Iloczyn skalarny</span> </div> </a> <ul id="toc-Iloczyn_skalarny-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Wektor_jednostkowy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Wektor_jednostkowy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.6</span> <span>Wektor jednostkowy</span> </div> </a> <ul id="toc-Wektor_jednostkowy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Wektor_zerowy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Wektor_zerowy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.7</span> <span>Wektor zerowy</span> </div> </a> <ul id="toc-Wektor_zerowy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Iloczyn_wektorowy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Iloczyn_wektorowy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.8</span> <span>Iloczyn wektorowy</span> </div> </a> <ul id="toc-Iloczyn_wektorowy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Iloczyn_mieszany" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Iloczyn_mieszany"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.9</span> <span>Iloczyn mieszany</span> </div> </a> <ul id="toc-Iloczyn_mieszany-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Różne_bazy_kartezjańskie" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Różne_bazy_kartezjańskie"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.10</span> <span>Różne bazy kartezjańskie</span> </div> </a> <ul id="toc-Różne_bazy_kartezjańskie-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Pozostałe_bazy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Pozostałe_bazy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.11</span> <span>Pozostałe bazy</span> </div> </a> <ul id="toc-Pozostałe_bazy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Pozostałe_wymiary" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-2"> <a class="vector-toc-link" href="#Pozostałe_wymiary"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">3.12</span> <span>Pozostałe wymiary</span> </div> </a> <ul id="toc-Pozostałe_wymiary-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </li> <li id="toc-Zobacz_też" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Zobacz_też"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">4</span> <span>Zobacz też</span> </div> </a> <ul id="toc-Zobacz_też-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Uwagi" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Uwagi"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">5</span> <span>Uwagi</span> </div> </a> <ul id="toc-Uwagi-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Przypisy" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Przypisy"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">6</span> <span>Przypisy</span> </div> </a> <ul id="toc-Przypisy-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> <li id="toc-Linki_zewnętrzne" class="vector-toc-list-item vector-toc-level-1 vector-toc-list-item-expanded"> <a class="vector-toc-link" href="#Linki_zewnętrzne"> <div class="vector-toc-text"> <span class="vector-toc-numb">7</span> <span>Linki zewnętrzne</span> </div> </a> <ul id="toc-Linki_zewnętrzne-sublist" class="vector-toc-list"> </ul> </li> </ul> </div> </div> </nav> </div> </div> <div class="mw-content-container"> <main id="content" class="mw-body"> <header class="mw-body-header vector-page-titlebar"> <nav aria-label="Spis treści" class="vector-toc-landmark"> <div id="vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown vector-page-titlebar-toc vector-button-flush-left" > <input type="checkbox" id="vector-page-titlebar-toc-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-titlebar-toc" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Przełącz stan spisu treści" > <label id="vector-page-titlebar-toc-label" for="vector-page-titlebar-toc-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--icon-only " aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-listBullet mw-ui-icon-wikimedia-listBullet"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">Przełącz stan spisu treści</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-titlebar-toc-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> </div> </div> </div> </nav> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Wektor</span></h1> <div id="p-lang-btn" class="vector-dropdown mw-portlet mw-portlet-lang" > <input type="checkbox" id="p-lang-btn-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-lang-btn" class="vector-dropdown-checkbox mw-interlanguage-selector" aria-label="Przejdź do artykułu w innym języku. Treść dostępna w 95 językach" > <label id="p-lang-btn-label" for="p-lang-btn-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet cdx-button--action-progressive mw-portlet-lang-heading-95" aria-hidden="true" ><span class="vector-icon mw-ui-icon-language-progressive mw-ui-icon-wikimedia-language-progressive"></span> <span class="vector-dropdown-label-text">95 języków</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Vektor_(Wiskunde)" title="Vektor (Wiskunde) – afrikaans" lang="af" hreflang="af" data-title="Vektor (Wiskunde)" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="afrikaans" class="interlanguage-link-target"><span>Afrikaans</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-als mw-list-item"><a href="https://als.wikipedia.org/wiki/Vektor" title="Vektor – szwajcarski niemiecki" lang="gsw" hreflang="gsw" data-title="Vektor" data-language-autonym="Alemannisch" data-language-local-name="szwajcarski niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Alemannisch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8C%A8%E1%88%A8%E1%88%AD" title="ጨረር – amharski" lang="am" hreflang="am" data-title="ጨረር" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="amharski" class="interlanguage-link-target"><span>አማርኛ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-smn mw-list-item"><a href="https://smn.wikipedia.org/wiki/Vektor" title="Vektor – inari" lang="smn" hreflang="smn" data-title="Vektor" data-language-autonym="Anarâškielâ" data-language-local-name="inari" class="interlanguage-link-target"><span>Anarâškielâ</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%AA%D8%AC%D9%87" title="متجه – arabski" lang="ar" hreflang="ar" data-title="متجه" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="arabski" class="interlanguage-link-target"><span>العربية</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Vector" title="Vector – asturyjski" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Vector" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="asturyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Asturianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Vektor_(h%C9%99nd%C9%99s%C9%99)" title="Vektor (həndəsə) – azerbejdżański" lang="az" hreflang="az" data-title="Vektor (həndəsə)" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="azerbejdżański" class="interlanguage-link-target"><span>Azərbaycanca</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-azb mw-list-item"><a href="https://azb.wikipedia.org/wiki/%DB%8C%D8%A4%D9%86%D8%A6%DB%8C_(%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%D9%87)" title="یؤنئی (هندسه) – South Azerbaijani" lang="azb" hreflang="azb" data-title="یؤنئی (هندسه)" data-language-autonym="تۆرکجه" data-language-local-name="South Azerbaijani" class="interlanguage-link-target"><span>تۆرکجه</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%B8%E0%A6%A6%E0%A6%BF%E0%A6%95_%E0%A6%B0%E0%A6%BE%E0%A6%B6%E0%A6%BF" title="সদিক রাশি – bengalski" lang="bn" hreflang="bn" data-title="সদিক রাশি" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="bengalski" class="interlanguage-link-target"><span>বাংলা</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-min-nan mw-list-item"><a href="https://zh-min-nan.wikipedia.org/wiki/Hi%C3%B2ng-li%C5%8Dng" title="Hiòng-liōng – minnański" lang="nan" hreflang="nan" data-title="Hiòng-liōng" data-language-autonym="閩南語 / Bân-lâm-gú" data-language-local-name="minnański" class="interlanguage-link-target"><span>閩南語 / Bân-lâm-gú</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)" title="Вектор (геометрия) – baszkirski" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Вектор (геометрия)" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="baszkirski" class="interlanguage-link-target"><span>Башҡортса</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%B0%D1%80_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D0%BA%D0%B0)" title="Вектар (матэматыка) – białoruski" lang="be" hreflang="be" data-title="Вектар (матэматыка)" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="białoruski" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be-x-old mw-list-item"><a href="https://be-tarask.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%8D%D0%BA%D1%82%D0%B0%D1%80" title="Вэктар – Belarusian (Taraškievica orthography)" lang="be-tarask" hreflang="be-tarask" data-title="Вэктар" data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Belarusian (Taraškievica orthography)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Вектор – bułgarski" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Вектор" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="bułgarski" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Euklidski_vektor" title="Euklidski vektor – bośniacki" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Euklidski vektor" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="bośniacki" class="interlanguage-link-target"><span>Bosanski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Vector_(matem%C3%A0tiques)" title="Vector (matemàtiques) – kataloński" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Vector (matemàtiques)" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="kataloński" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8)" title="Вектор (геометри) – czuwaski" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Вектор (геометри)" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="czuwaski" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Vektor" title="Vektor – czeski" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Vektor" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="czeski" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Fector" title="Fector – walijski" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Fector" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="walijski" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Vektor_(geometri)" title="Vektor (geometri) – duński" lang="da" hreflang="da" data-title="Vektor (geometri)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="duński" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Vektor" title="Vektor – niemiecki" lang="de" hreflang="de" data-title="Vektor" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="niemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Deutsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Vektor" title="Vektor – estoński" lang="et" hreflang="et" data-title="Vektor" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="estoński" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B5%CE%B9%CE%BF_%CE%B4%CE%B9%CE%AC%CE%BD%CF%85%CF%83%CE%BC%CE%B1" title="Ευκλείδειο διάνυσμα – grecki" lang="el" hreflang="el" data-title="Ευκλείδειο διάνυσμα" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="grecki" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_vector" title="Euclidean vector – angielski" lang="en" hreflang="en" data-title="Euclidean vector" data-language-autonym="English" data-language-local-name="angielski" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-myv mw-list-item"><a href="https://myv.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)" title="Вектор (геометрия) – erzja" lang="myv" hreflang="myv" data-title="Вектор (геометрия)" data-language-autonym="Эрзянь" data-language-local-name="erzja" class="interlanguage-link-target"><span>Эрзянь</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Vector" title="Vector – hiszpański" lang="es" hreflang="es" data-title="Vector" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="hiszpański" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Vektoro" title="Vektoro – esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Vektoro" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Bektore_(matematika)" title="Bektore (matematika) – baskijski" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Bektore (matematika)" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="baskijski" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%A8%D8%B1%D8%AF%D8%A7%D8%B1_%D8%A7%D9%82%D9%84%DB%8C%D8%AF%D8%B3%DB%8C" title="بردار اقلیدسی – perski" lang="fa" hreflang="fa" data-title="بردار اقلیدسی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="perski" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur_euclidien" title="Vecteur euclidien – francuski" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Vecteur euclidien" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="francuski" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Veicteoir" title="Veicteoir – irlandzki" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Veicteoir" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="irlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Gaeilge</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gd mw-list-item"><a href="https://gd.wikipedia.org/wiki/Bheactor" title="Bheactor – szkocki gaelicki" lang="gd" hreflang="gd" data-title="Bheactor" data-language-autonym="Gàidhlig" data-language-local-name="szkocki gaelicki" class="interlanguage-link-target"><span>Gàidhlig</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Vector" title="Vector – galicyjski" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Vector" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="galicyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9C%A0%ED%81%B4%EB%A6%AC%EB%93%9C_%EB%B2%A1%ED%84%B0" title="유클리드 벡터 – koreański" lang="ko" hreflang="ko" data-title="유클리드 벡터" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="koreański" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%A6%E0%A4%BF%E0%A4%B6_%E0%A4%B0%E0%A4%BE%E0%A4%B6%E0%A4%BF" title="सदिश राशि – hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="सदिश राशि" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="hindi" class="interlanguage-link-target"><span>हिन्दी</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Vektor" title="Vektor – chorwacki" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Vektor" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="chorwacki" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Vektoro" title="Vektoro – ido" lang="io" hreflang="io" data-title="Vektoro" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ido" class="interlanguage-link-target"><span>Ido</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Vektor_Euklides" title="Vektor Euklides – indonezyjski" lang="id" hreflang="id" data-title="Vektor Euklides" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="indonezyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/Vigur_(st%C3%A6r%C3%B0fr%C3%A6%C3%B0i)" title="Vigur (stærðfræði) – islandzki" lang="is" hreflang="is" data-title="Vigur (stærðfræði)" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="islandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Íslenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Vettore_(matematica)" title="Vettore (matematica) – włoski" lang="it" hreflang="it" data-title="Vettore (matematica)" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="włoski" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%A7%D7%98%D7%95%D7%A8_%D7%90%D7%95%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%93%D7%99" title="וקטור אוקלידי – hebrajski" lang="he" hreflang="he" data-title="וקטור אוקלידי" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="hebrajski" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%95%E1%83%94%E1%83%A5%E1%83%A2%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%98" title="ვექტორი – gruziński" lang="ka" hreflang="ka" data-title="ვექტორი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="gruziński" class="interlanguage-link-target"><span>ქართული</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Вектор – kazachski" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Вектор" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="kazachski" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ht mw-list-item"><a href="https://ht.wikipedia.org/wiki/Vekt%C3%A8" title="Vektè – kreolski haitański" lang="ht" hreflang="ht" data-title="Vektè" data-language-autonym="Kreyòl ayisyen" data-language-local-name="kreolski haitański" class="interlanguage-link-target"><span>Kreyòl ayisyen</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Vector_(mathematica)" title="Vector (mathematica) – łaciński" lang="la" hreflang="la" data-title="Vector (mathematica)" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="łaciński" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Vektors" title="Vektors – łotewski" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Vektors" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="łotewski" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Vektorius" title="Vektorius – litewski" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Vektorius" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="litewski" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Vettor_(matematega)" title="Vettor (matematega) – lombardzki" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Vettor (matematega)" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="lombardzki" class="interlanguage-link-target"><span>Lombard</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Vektor" title="Vektor – węgierski" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Vektor" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="węgierski" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk badge-Q17437796 badge-featuredarticle mw-list-item" title="medal"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Вектор – macedoński" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Вектор" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="macedoński" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%B8%E0%B4%A6%E0%B4%BF%E0%B4%B6%E0%B4%82_(%E0%B4%9C%E0%B5%8D%E0%B4%AF%E0%B4%BE%E0%B4%AE%E0%B4%BF%E0%B4%A4%E0%B4%BF)" title="സദിശം (ജ്യാമിതി) – malajalam" lang="ml" hreflang="ml" data-title="സദിശം (ജ്യാമിതി)" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="malajalam" class="interlanguage-link-target"><span>മലയാളം</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mt mw-list-item"><a href="https://mt.wikipedia.org/wiki/Vettur_ewklidju" title="Vettur ewklidju – maltański" lang="mt" hreflang="mt" data-title="Vettur ewklidju" data-language-autonym="Malti" data-language-local-name="maltański" class="interlanguage-link-target"><span>Malti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Vektor" title="Vektor – malajski" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Vektor" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="malajski" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Melayu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cdo mw-list-item"><a href="https://cdo.wikipedia.org/wiki/Hi%C3%B3ng-li%C3%B4ng" title="Hióng-liông – Mindong" lang="cdo" hreflang="cdo" data-title="Hióng-liông" data-language-autonym="閩東語 / Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄" data-language-local-name="Mindong" class="interlanguage-link-target"><span>閩東語 / Mìng-dĕ̤ng-ngṳ̄</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mn mw-list-item"><a href="https://mn.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%B8%D0%B9%D0%BD_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Евклидийн вектор – mongolski" lang="mn" hreflang="mn" data-title="Евклидийн вектор" data-language-autonym="Монгол" data-language-local-name="mongolski" class="interlanguage-link-target"><span>Монгол</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Vector_(wiskunde)" title="Vector (wiskunde) – niderlandzki" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Vector (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="niderlandzki" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB" title="空間ベクトル – japoński" lang="ja" hreflang="ja" data-title="空間ベクトル" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="japoński" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-frr mw-list-item"><a href="https://frr.wikipedia.org/wiki/Vektor" title="Vektor – północnofryzyjski" lang="frr" hreflang="frr" data-title="Vektor" data-language-autonym="Nordfriisk" data-language-local-name="północnofryzyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Nordfriisk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Vektor_(matematikk)" title="Vektor (matematikk) – norweski (bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Vektor (matematikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="norweski (bokmål)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk bokmål</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Vektor" title="Vektor – norweski (nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Vektor" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="norweski (nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mhr mw-list-item"><a href="https://mhr.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Вектор – Eastern Mari" lang="mhr" hreflang="mhr" data-title="Вектор" data-language-autonym="Олык марий" data-language-local-name="Eastern Mari" class="interlanguage-link-target"><span>Олык марий</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-om mw-list-item"><a href="https://om.wikipedia.org/wiki/Kalqabee" title="Kalqabee – oromo" lang="om" hreflang="om" data-title="Kalqabee" data-language-autonym="Oromoo" data-language-local-name="oromo" class="interlanguage-link-target"><span>Oromoo</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Vektor_(matematika)" title="Vektor (matematika) – uzbecki" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Vektor (matematika)" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="uzbecki" class="interlanguage-link-target"><span>Oʻzbekcha / ўзбекча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ps mw-list-item"><a href="https://ps.wikipedia.org/wiki/%D8%AF_%D8%A7%D9%82%D9%84%D9%8A%D8%AF%D8%B3_%D9%84%D9%88%D8%B1%DB%8C" title="د اقليدس لوری – paszto" lang="ps" hreflang="ps" data-title="د اقليدس لوری" data-language-autonym="پښتو" data-language-local-name="paszto" class="interlanguage-link-target"><span>پښتو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Vetor" title="Vetor – piemoncki" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Vetor" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="piemoncki" class="interlanguage-link-target"><span>Piemontèis</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nds mw-list-item"><a href="https://nds.wikipedia.org/wiki/Vekter" title="Vekter – dolnoniemiecki" lang="nds" hreflang="nds" data-title="Vekter" data-language-autonym="Plattdüütsch" data-language-local-name="dolnoniemiecki" class="interlanguage-link-target"><span>Plattdüütsch</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Vetor_(matem%C3%A1tica)" title="Vetor (matemática) – portugalski" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Vetor (matemática)" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="portugalski" class="interlanguage-link-target"><span>Português</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Vector_euclidian" title="Vector euclidian – rumuński" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Vector euclidian" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="rumuński" class="interlanguage-link-target"><span>Română</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)" title="Вектор (геометрия) – rosyjski" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Вектор (геометрия)" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="rosyjski" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sah mw-list-item"><a href="https://sah.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)" title="Вектор (геометрия) – jakucki" lang="sah" hreflang="sah" data-title="Вектор (геометрия)" data-language-autonym="Саха тыла" data-language-local-name="jakucki" class="interlanguage-link-target"><span>Саха тыла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Vektori" title="Vektori – albański" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Vektori" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="albański" class="interlanguage-link-target"><span>Shqip</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Vettura_euclideu" title="Vettura euclideu – sycylijski" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Vettura euclideu" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="sycylijski" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%BA%E0%B7%94%E0%B6%9A%E0%B7%8A%E0%B6%BD%E0%B7%92%E0%B6%A9%E0%B7%92%E0%B6%BA%E0%B7%8F%E0%B6%B1%E0%B7%94_%E0%B6%AF%E0%B7%9B%E0%B7%81%E0%B7%92%E0%B6%9A%E0%B6%BA" title="යුක්ලිඩියානු දෛශිකය – syngaleski" lang="si" hreflang="si" data-title="යුක්ලිඩියානු දෛශිකය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="syngaleski" class="interlanguage-link-target"><span>සිංහල</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Vector" title="Vector – Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Vector" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Vektor_(matematika)" title="Vektor (matematika) – słowacki" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Vektor (matematika)" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="słowacki" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenčina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Vektor_(matematika)" title="Vektor (matematika) – słoweński" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Vektor (matematika)" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="słoweński" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-szl mw-list-item"><a href="https://szl.wikipedia.org/wiki/Wekt%C5%AFr" title="Wektůr – śląski" lang="szl" hreflang="szl" data-title="Wektůr" data-language-autonym="Ślůnski" data-language-local-name="śląski" class="interlanguage-link-target"><span>Ślůnski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D8%A6%D8%A7%DA%95%D8%A7%D8%B3%D8%AA%DB%95%D8%A8%DA%95%DB%8C_%D8%A6%DB%8C%D9%82%D9%84%DB%8C%D8%AF%D8%B3%DB%8C" title="ئاڕاستەبڕی ئیقلیدسی – sorani" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ئاڕاستەبڕی ئیقلیدسی" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="sorani" class="interlanguage-link-target"><span>کوردی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Вектор – serbski" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Вектор" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="serbski" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Vektor" title="Vektor – serbsko-chorwacki" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Vektor" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="serbsko-chorwacki" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9ktor_(rohangan)" title="Véktor (rohangan) – sundajski" lang="su" hreflang="su" data-title="Véktor (rohangan)" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="sundajski" class="interlanguage-link-target"><span>Sunda</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Vektori" title="Vektori – fiński" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Vektori" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="fiński" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Vektor" title="Vektor – szwedzki" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Vektor" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="szwedzki" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Euclidyanong_bektor" title="Euclidyanong bektor – tagalski" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Euclidyanong bektor" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="tagalski" class="interlanguage-link-target"><span>Tagalog</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%A4%E0%AE%BF%E0%AE%9A%E0%AF%88%E0%AE%AF%E0%AE%A9%E0%AF%8D" title="திசையன் – tamilski" lang="ta" hreflang="ta" data-title="திசையன்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="tamilski" class="interlanguage-link-target"><span>தமிழ்</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A7%E0%B8%81%E0%B9%80%E0%B8%95%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C" title="เวกเตอร์ – tajski" lang="th" hreflang="th" data-title="เวกเตอร์" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="tajski" class="interlanguage-link-target"><span>ไทย</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Vekt%C3%B6r" title="Vektör – turecki" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Vektör" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="turecki" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tk mw-list-item"><a href="https://tk.wikipedia.org/wiki/Wektor_ululyklar" title="Wektor ululyklar – turkmeński" lang="tk" hreflang="tk" data-title="Wektor ululyklar" data-language-autonym="Türkmençe" data-language-local-name="turkmeński" class="interlanguage-link-target"><span>Türkmençe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D1%96%D0%B2_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Евклідів вектор – ukraiński" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Евклідів вектор" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="ukraiński" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%82%D9%84%DB%8C%D8%AF%D8%B3%DB%8C_%D8%B3%D9%85%D8%AA%DB%8C%DB%81" title="اقلیدسی سمتیہ – urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="اقلیدسی سمتیہ" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="urdu" class="interlanguage-link-target"><span>اردو</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Vect%C6%A1" title="Vectơ – wietnamski" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Vectơ" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="wietnamski" class="interlanguage-link-target"><span>Tiếng Việt</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F" title="向量 – wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="向量" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="wu" class="interlanguage-link-target"><span>吴语</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-yi mw-list-item"><a href="https://yi.wikipedia.org/wiki/%D7%95%D7%95%D7%A2%D7%A7%D7%98%D7%90%D7%A8" title="וועקטאר – jidysz" lang="yi" hreflang="yi" data-title="וועקטאר" data-language-autonym="ייִדיש" data-language-local-name="jidysz" class="interlanguage-link-target"><span>ייִדיש</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F" title="向量 – kantoński" lang="yue" hreflang="yue" data-title="向量" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="kantoński" class="interlanguage-link-target"><span>粵語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F" title="向量 – chiński" lang="zh" hreflang="zh" data-title="向量" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="chiński" class="interlanguage-link-target"><span>中文</span></a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><span class="wb-langlinks-edit wb-langlinks-link"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q44528#sitelinks-wikipedia" title="Edytuj linki pomiędzy wersjami językowymi" class="wbc-editpage">Edytuj linki</a></span></div> </div> </div> </div> </header> <div class="vector-page-toolbar"> <div class="vector-page-toolbar-container"> <div id="left-navigation"> <nav aria-label="Przestrzenie nazw"> <div id="p-associated-pages" class="vector-menu vector-menu-tabs mw-portlet mw-portlet-associated-pages" > <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Wektor" title="Zobacz stronę treści [c]" accesskey="c"><span>Artykuł</span></a></li><li id="ca-talk" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/wiki/Dyskusja:Wektor" rel="discussion" title="Dyskusja o zawartości tej strony [t]" accesskey="t"><span>Dyskusja</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown emptyPortlet" > <input type="checkbox" id="vector-variants-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-variants-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Zmień wariant języka" > <label id="vector-variants-dropdown-label" for="vector-variants-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button 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mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-history" class="vector-tab-noicon mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=history" title="Starsze wersje tej strony [h]" accesskey="h"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> </nav> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown vector-page-tools-dropdown" > <input type="checkbox" id="vector-page-tools-dropdown-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-vector-page-tools-dropdown" class="vector-dropdown-checkbox " aria-label="Narzędzia" > <label id="vector-page-tools-dropdown-label" for="vector-page-tools-dropdown-checkbox" class="vector-dropdown-label cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled cdx-button--weight-quiet" aria-hidden="true" ><span class="vector-dropdown-label-text">Narzędzia</span> </label> <div class="vector-dropdown-content"> <div id="vector-page-tools-unpinned-container" class="vector-unpinned-container"> <div id="vector-page-tools" class="vector-page-tools vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-page-tools-pinnable-header vector-pinnable-header-unpinned" data-feature-name="page-tools-pinned" data-pinnable-element-id="vector-page-tools" data-pinned-container-id="vector-page-tools-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-page-tools-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Narzędzia</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-page-tools.unpin">ukryj</button> </div> <div id="p-cactions" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-has-collapsible-items" title="Więcej opcji" > <div class="vector-menu-heading"> Działania </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-more-view" class="selected vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/wiki/Wektor"><span>Czytaj</span></a></li><li id="ca-more-ve-edit" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit" title="Edytuj tę stronę [v]" accesskey="v"><span>Edytuj</span></a></li><li id="ca-more-edit" class="collapsible vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit" title="Edycja kodu źródłowego strony [e]" accesskey="e"><span>Edytuj kod źródłowy</span></a></li><li id="ca-more-history" class="vector-more-collapsible-item mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=history"><span>Wyświetl historię</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-tb" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-tb" > <div class="vector-menu-heading"> Ogólne </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Linkuj%C4%85ce/Wektor" title="Pokaż listę wszystkich stron linkujących do tej strony [j]" accesskey="j"><span>Linkujące</span></a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Zmiany_w_linkowanych/Wektor" rel="nofollow" title="Ostatnie zmiany w stronach, do których ta strona linkuje [k]" accesskey="k"><span>Zmiany w linkowanych</span></a></li><li id="t-upload" class="mw-list-item"><a href="//pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Prześlij_plik" title="Prześlij pliki [u]" accesskey="u"><span>Prześlij plik</span></a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Specjalna:Strony_specjalne" title="Lista wszystkich stron specjalnych [q]" accesskey="q"><span>Strony specjalne</span></a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Wektor&oldid=75198361" title="Stały link do tej wersji tej strony"><span>Link do tej wersji</span></a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=info" title="Więcej informacji na temat tej strony"><span>Informacje o tej stronie</span></a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Cytuj&page=Wektor&id=75198361&wpFormIdentifier=titleform" title="Informacja o tym jak należy cytować tę stronę"><span>Cytowanie tego artykułu</span></a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Skr%C3%B3%C4%87_adres_URL&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FWektor"><span>Zobacz skrócony adres URL</span></a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Kod_QR&url=https%3A%2F%2Fpl.wikipedia.org%2Fwiki%2FWektor"><span>Pobierz kod QR</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-coll-print_export" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-coll-print_export" > <div class="vector-menu-heading"> Drukuj lub eksportuj </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:Ksi%C4%85%C5%BCka&bookcmd=book_creator&referer=Wektor"><span>Utwórz książkę</span></a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Specjalna:DownloadAsPdf&page=Wektor&action=show-download-screen"><span>Pobierz jako PDF</span></a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Wektor&printable=yes" title="Wersja do wydruku [p]" accesskey="p"><span>Wersja do druku</span></a></li> </ul> </div> </div> <div id="p-wikibase-otherprojects" class="vector-menu mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects" > <div class="vector-menu-heading"> W innych projektach </div> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Vectors" hreflang="en"><span>Wikimedia Commons</span></a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q44528" title="Link do powiązanego elementu w repozytorium danych [g]" accesskey="g"><span>Element Wikidanych</span></a></li> </ul> </div> </div> </div> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> </div> <div class="vector-column-end"> <div class="vector-sticky-pinned-container"> <nav class="vector-page-tools-landmark" aria-label="Narzędzia dla stron"> <div id="vector-page-tools-pinned-container" class="vector-pinned-container"> </div> </nav> <nav class="vector-appearance-landmark" aria-label="Wygląd"> <div id="vector-appearance-pinned-container" class="vector-pinned-container"> <div id="vector-appearance" class="vector-appearance vector-pinnable-element"> <div class="vector-pinnable-header vector-appearance-pinnable-header vector-pinnable-header-pinned" data-feature-name="appearance-pinned" data-pinnable-element-id="vector-appearance" data-pinned-container-id="vector-appearance-pinned-container" data-unpinned-container-id="vector-appearance-unpinned-container" > <div class="vector-pinnable-header-label">Wygląd</div> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-pin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.pin">przypnij</button> <button class="vector-pinnable-header-toggle-button vector-pinnable-header-unpin-button" data-event-name="pinnable-header.vector-appearance.unpin">ukryj</button> </div> </div> </div> </nav> </div> </div> <div id="bodyContent" class="vector-body" aria-labelledby="firstHeading" data-mw-ve-target-container> <div class="vector-body-before-content"> <div class="mw-indicators"> </div> <div id="siteSub" class="noprint">Z Wikipedii, wolnej encyklopedii</div> </div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="pl" dir="ltr"><div class="noprint noexcerpt disambig navigation-not-searchable" style="line-height:1.5em; padding: 3px 6px; background-color: var(--background-color-interactive-subtle, #f8f9fa); color: inherit; border-bottom: 1px solid var(--border-color-subtle, #c8ccd1); font-size: 95%; margin-bottom: 1em; display: flex; gap: 4px; align-items: center;"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Wikipedia:Strona_ujednoznaczniaj%C4%85ca" title="Inne znaczenia"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/25px-Disambig.svg.png" decoding="async" width="25" height="20" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/38px-Disambig.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/50px-Disambig.svg.png 2x" data-file-width="230" data-file-height="183" /></a></span><span>Ten artykuł dotyczy pojęcia nauk ścisłych. Zobacz też: <a href="/wiki/Wektor_(ujednoznacznienie)" class="mw-disambig" title="Wektor (ujednoznacznienie)">inne znaczenia tego wyrazu</a>.</span></div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Wektor_by_Zureks.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Wektor_by_Zureks.svg/250px-Wektor_by_Zureks.svg.png" decoding="async" width="250" height="250" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Wektor_by_Zureks.svg/375px-Wektor_by_Zureks.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Wektor_by_Zureks.svg/500px-Wektor_by_Zureks.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></a><figcaption>Ilustracja wektora</figcaption></figure> <p><b>Wektor</b><sup id="cite_ref-łac_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-łac-1">[a]</a></sup> – <a href="/wiki/Obiekt_matematyczny" title="Obiekt matematyczny">obiekt matematyczny</a> opisywany za pomocą wielkości: <i>modułu</i> (nazywanego też – zdaniem niektórych niepoprawnie – <i>długością</i><sup id="cite_ref-dłu_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-dłu-2">[b]</a></sup> lub <i>wartością</i><sup id="cite_ref-brzezowski_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-brzezowski-3">[c]</a></sup>), <i>kierunku</i> wraz ze <i>zwrotem</i> (określającym orientację wzdłuż danego kierunku); istotny przede wszystkim w <a href="/wiki/Matematyka" title="Matematyka">matematyce</a> elementarnej, <a href="/wiki/In%C5%BCynieria" title="Inżynieria">inżynierii</a> i <a href="/wiki/Fizyka" title="Fizyka">fizyce</a>. </p><p>Wiele <a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_algebraiczne" title="Działanie algebraiczne">działań algebraicznych</a> na <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczbach rzeczywistych</a> ma swoje odpowiedniki dla wektorów: mogą być one <a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawane</a>, <a href="/wiki/Odejmowanie" title="Odejmowanie">odejmowane</a>, <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie">mnożone</a> przez liczbę i <a href="/wiki/Inwersja_(geometria)" title="Inwersja (geometria)">odwracane</a>. Operacje te spełniają znane prawa algebraiczne: <a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienności</a>, <a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączności</a>, <a href="/wiki/Rozdzielno%C5%9B%C4%87" title="Rozdzielność">rozdzielności</a> (odejmowanie traktowane jest jako szczególny przypadek dodawania). Suma dwóch wektorów o tym samym początku może być znaleziona geometrycznie za pomocą <a href="/wiki/Regu%C5%82a_r%C3%B3wnoleg%C5%82oboku" title="Reguła równoległoboku">reguły równoległoboku</a>. Mnożenie przez liczbę, w tym kontekście nazywaną zwykle <i><a href="/wiki/Skalar_(matematyka)" title="Skalar (matematyka)">skalarem</a></i>, zmienia moduł wektora, tzn. rozciąga go lub ściska zachowując jego kierunek oraz jeżeli liczba jest dodatnia zachowuje zwrot, a gdy ujemna zmienia zwrot wektora. </p><p><a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_kartezja%C5%84skich" title="Układ współrzędnych kartezjańskich">Współrzędne kartezjańskie</a> są spójnym środkiem opisu wektorów i operacji na nich. Wektor staje się <a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana#Trójki,_czwórki,_…,_n-ki_uporządkowane" title="Para uporządkowana">ciągiem</a> liczb rzeczywistych nazywanymi <i>składowymi</i> skalarnymi. Dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez skalar są wykonywane składowa po składowej (zob. <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych" title="Przestrzeń współrzędnych">przestrzeń współrzędnych</a>). </p><p>Wektory odgrywają ważną rolę w <a href="/wiki/Fizyka" title="Fizyka">fizyce</a>: <a href="/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87" title="Prędkość">prędkość</a> oraz <a href="/wiki/Przyspieszenie" title="Przyspieszenie">przyspieszenie</a> poruszającego się obiektu oraz <a href="/wiki/Si%C5%82a" title="Siła">siła</a> działająca na ciało mogą być opisane za pomocą wektorów. Wiele innych <a href="/wiki/Wielko%C5%9B%C4%87_fizyczna" title="Wielkość fizyczna">wielkości fizycznych</a> może być rozpatrywanych jako wektory. Matematyczna reprezentacja wektora fizycznego zależy od <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych" title="Układ współrzędnych">układu współrzędnych</a> wykorzystanego do jego opisu. Inne obiekty podobne wektorom, które opisują wielkości fizyczne i ulegają przekształceniom w podobny sposób wraz ze zmianą układu współrzędnych to <a href="/wiki/Pseudowektor" title="Pseudowektor">pseudowektory</a> i <a href="/wiki/Tensor" title="Tensor">tensory</a>. </p> <meta property="mw:PageProp/toc" /> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ogólne"><span id="Og.C3.B3lne"></span>Ogólne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=1" title="Edytuj sekcję: Ogólne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=1" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Ogólne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Vector_AB_from_A_to_B.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Vector_AB_from_A_to_B.svg/220px-Vector_AB_from_A_to_B.svg.png" decoding="async" width="220" height="86" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Vector_AB_from_A_to_B.svg/330px-Vector_AB_from_A_to_B.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d1/Vector_AB_from_A_to_B.svg/440px-Vector_AB_from_A_to_B.svg.png 2x" data-file-width="342" data-file-height="134" /></a><figcaption>Wektor z <i>A</i> do <i>B</i></figcaption></figure> <p>Wielkościami charakteryzującymi wektory są: moduł (w matematyce liczba nieujemna, a w fizyce <a href="/wiki/Wymiar_wielko%C5%9Bci_fizycznej" title="Wymiar wielkości fizycznej">liczba nieujemna pomnożona przez jednostkę</a>) oraz kierunek wraz ze zwrotem. Graficznie przedstawia się je często jako <a href="/wiki/Odcinek" title="Odcinek">odcinek</a> o wyróżnionym kierunku, zwykle jako strzałkę, której długość symbolizuje moduł, kierunek odpowiada kierunkowi prostej zawierającej odcinek i zwrot, który wskazuje grot strzałki. </p><p>W <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa" title="Przestrzeń euklidesowa">przestrzeni euklidesowej</a> wektory można rozumieć dwojako: </p> <ul><li>jako dowolne odcinki (kierunek i moduł) z wyróżnioną kolejnością punktów końcowych (zwrot)<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4">[1]</a></sup>, takie wektory nazywa się <b>wektorami zaczepionymi</b>;</li> <li>jako sam kierunek wraz ze zwrotem oraz modułem, przy czym punkt początkowy (zaczepienia) nie jest istotny, wtedy mówi się o <b>wektorach swobodnych</b>.</li></ul> <p>Każdy wektor zaczepiony można przekształcić w wektor swobodny, „zapominając” o jego początku, a każdy wektor swobodny w zaczepiony, wskazując konkretny punkt zaczepienia wektora (kierunek, zwrot i moduł wyznaczają wtedy punkt końcowy). </p><p>Wektor o <i>początku</i> (<i>punkcie zaczepienia</i>) w <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> i <i>końcu</i> (<i>punkcie końcowym</i>) w <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"></span> oznacza się zwykle symbolem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b245e60e48c3c8f577aaf9512a1bdf3049cc6207" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.372ex; width:3.637ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}"></span> lub podobnymi. Wówczas długość odcinka opisuje moduł, a kierunek (ze zwrotem) wskazuje <a href="/wiki/Translacja_(matematyka)" title="Translacja (matematyka)">przesunięcie</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"></span> względem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2746026864cc5896e3e52443a1c917be2df9d8ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.39ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A,}"></span> czyli miarę tego, jak bardzo powinno się przesunąć punkt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2746026864cc5896e3e52443a1c917be2df9d8ea" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.39ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A,}"></span> aby „przenieść” (zgodnie z etymologią) go do punktu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eccf5bca7cdc1fa4439af2d31831db6bde00473" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.411ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B.}"></span> </p><p>Tak więc dwa wektory zaczepione <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b245e60e48c3c8f577aaf9512a1bdf3049cc6207" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.372ex; width:3.637ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}"></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>C</mi> <mi>D</mi> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9dfde5e96abe9f22be7fc04c5fdda1fd2351bfe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.398ex; width:3.821ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}"></span> dają ten sam wektor swobodny, jeżeli maja ten sam moduł oraz kierunek i zwrot, równoważnie: są one uważane za tożsame, jeżeli czworokąt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ABDC}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mi>B</mi> <mi>D</mi> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ABDC}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d772a527bb946a8e1587dcdae5557cbb54c8f7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.198ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ABDC}"></span> jest <a href="/wiki/R%C3%B3wnoleg%C5%82obok" title="Równoległobok">równoległobokiem</a>. Jeśli przestrzeń euklidesowa ma wyróżniony <a href="/wiki/Pocz%C4%85tek_(matematyka)" title="Początek (matematyka)">początek</a>, to wektor swobodny jest równoważny wektorowi zaczepionemu o tej samej wartości i kierunku (oraz zwrocie), jeżeli jego punkt zaczepienia jest początkiem przestrzeni. </p><p>Jeżeli obiekty tego rodzaju należy wyróżnić spośród <a href="/wiki/Wektor_(ujednoznacznienie)" class="mw-disambig" title="Wektor (ujednoznacznienie)">innych rodzajów wektorów</a>, to nazywane są one niekiedy wektorami <b>geometrycznymi</b>, <b>przestrzennymi</b> lub <b>euklidesowymi</b>. Pojęcie wektora uogólnia się na większą liczbę wymiarów i w bardziej abstrakcyjnych podejściach, które mają o wiele szersze zastosowania. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przykłady_jednowymiarowe"><span id="Przyk.C5.82ady_jednowymiarowe"></span>Przykłady jednowymiarowe</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=2" title="Edytuj sekcję: Przykłady jednowymiarowe" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=2" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przykłady jednowymiarowe"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><a href="/wiki/Si%C5%82a" title="Siła">Siła</a> określona jako „15 N w prawo” ma współrzędną 15 N, o ile wektor bazowy skierowany jest w prawo oraz −15 N, jeżeli wektor bazowy skierowany jest w lewo. Moduł wektora wynosi w obu przypadkach 15 N. <a href="/wiki/Przemieszczenie_(fizyka)" title="Przemieszczenie (fizyka)">Przemieszczenie</a> określone jako „4 m w prawo” ma współrzędną 4 m, jeśli wektor bazowy skierowany jest w prawo i −4 m, gdy wektor bazowy skierowany jest w lewo. W obu przypadkach długość wektora wynosi 4 m. <a href="/wiki/Praca_(fizyka)" title="Praca (fizyka)">Praca</a> wykonana przez siłę przy tym przemieszczeniu wynosi w obu przypadkach 60 J. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Fizyka_i_inżynieria"><span id="Fizyka_i_in.C5.BCynieria"></span>Fizyka i inżynieria</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=3" title="Edytuj sekcję: Fizyka i inżynieria" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=3" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Fizyka i inżynieria"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Wektory są podstawowymi pojęciami w naukach fizycznych. Mogą być wykorzystane do reprezentowania dowolnej wielkości mającej kierunek, takiej jak <a href="/wiki/Pr%C4%99dko%C5%9B%C4%87" title="Prędkość">prędkość</a>, której modułem jest <a href="/wiki/Szybko%C5%9B%C4%87" title="Szybkość">szybkość</a>. Przykładowo prędkość <i>5 metrów na sekundę w górę</i> może być przedstawiona jako wektor <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,5)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>5</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,5)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17b492d792d4a77f33e6dc41663435c7f115c70d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.168ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,5)}"></span> (w przestrzeni dwuwymiarowej, gdzie oś <i>y</i> skierowana jest w „górę”). Inną wielkością reprezentowaną przez wektor jest <a href="/wiki/Si%C5%82a" title="Siła">siła</a>, ponieważ ma moduł i kierunek (ze zwrotem). Wektory mogą również opisywać wiele innych wielkości fizycznych takich jak <a href="/wiki/Przemieszczenie_(fizyka)" title="Przemieszczenie (fizyka)">przemieszczenie</a>, <a href="/wiki/Przyspieszenie" title="Przyspieszenie">przyspieszenie</a>, <a href="/wiki/P%C4%99d_(fizyka)" title="Pęd (fizyka)">pęd</a> oraz <a href="/wiki/Moment_p%C4%99du" title="Moment pędu">kręt</a>. Inne wektory fizyczne, takie jak <a href="/wiki/Pole_elektryczne" title="Pole elektryczne">pole elektryczne</a>, czy <a href="/wiki/Pole_magnetyczne" title="Pole magnetyczne">magnetyczne</a>, są reprezentowane przez układ wektorów skojarzonych z każdym punktem przestrzeni fizycznej, to jest <a href="/wiki/Pole_wektorowe" title="Pole wektorowe">pole wektorowe</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Przestrzeń_kartezjańska"><span id="Przestrze.C5.84_kartezja.C5.84ska"></span>Przestrzeń kartezjańska</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=4" title="Edytuj sekcję: Przestrzeń kartezjańska" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=4" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przestrzeń kartezjańska"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa#Przestrzeń_kartezjańska" title="Przestrzeń euklidesowa">przestrzeń kartezjańska</a>.</i></div> <p>W <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_kartezja%C5%84skich" title="Układ współrzędnych kartezjańskich">układzie współrzędnych kartezjańskich</a> wektor może być przedstawiony poprzez wskazanie współrzędnych punktów początkowego i końcowego. Przykładowo, punkty <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=(1,0,0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=(1,0,0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1b6b2d125a4be3bcd3395fac11a0ee6f940909" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.206ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A=(1,0,0)}"></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B=(0,1,0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B=(0,1,0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5caba948aefea9d842082c8035dc2bdde727ac" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.227ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B=(0,1,0)}"></span> w przestrzeni określają wektor zaczepiony <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b245e60e48c3c8f577aaf9512a1bdf3049cc6207" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.372ex; width:3.637ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}"></span> wskazujący z punktu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee42176e76ae6b56d68c42ced807e08b962a2b54" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=1}"></span> na osi <i>x</i> do punktu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f53b404b1fdd041a589f1f2425e45a2edba110" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.416ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y=1}"></span> na osi <i>y</i>. </p><p>Zwykle we współrzędnych kartezjańskich rozważa się wektory swobodne. Jest on zwykle określany przez współrzędne punktu końcowego odpowiadającego mu wektora zaczepionego, którego punkt początkowy jest początkiem układu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O=(0,0,0).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O=(0,0,0).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a90c41632869dd01d9b9bf72612d629337418163" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.883ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle O=(0,0,0).}"></span> Na przykład wektor swobodny reprezentowany przez <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,0,0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,0,0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea6e8ece35797224448db97fa0ea17544a7f756" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.365ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,0,0)}"></span> jest wektorem długości jednostkowej wskazującym w kierunku dodatnim osi <i>x</i>. </p><p>Reprezentacja wektorów za pomocą współrzędnych umożliwia wyrażenie cech algebraicznych wektorów w dogodny liczbowy sposób. Przykładowo sumą wektorów <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,2,3)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,2,3)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff34b5be9a6d48a16cddd3cc59b7b8b98c6da0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.365ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,2,3)}"></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-2,0,4)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-2,0,4)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f913d4bf923b14fa0b43cbd7893f724a32ac41e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.173ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-2,0,4)}"></span> jest wektor </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,2,3)+(-2,0,4)=(1-2,2+0,3+4)=(-1,2,7).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>7</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,2,3)+(-2,0,4)=(1-2,2+0,3+4)=(-1,2,7).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21dd18fd2191ae63f8da99cde339b15df356dd12" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:54.767ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (1,2,3)+(-2,0,4)=(1-2,2+0,3+4)=(-1,2,7).}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wektory_euklidesowe_i_afiniczne">Wektory euklidesowe i afiniczne</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=5" title="Edytuj sekcję: Wektory euklidesowe i afiniczne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=5" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Wektory euklidesowe i afiniczne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>W geometrii i fizyce można czasami w naturalny sposób przypisać do wektora <i>długość</i> (moduł) oraz kierunek. Okazuje się, że pojęcie kierunku jest ściśle związane z pojęciem <i>kąta</i> między dwoma wektorami. Jeżeli określona jest długość wektorów, to można również określić <a href="/wiki/Iloczyn_skalarny" title="Iloczyn skalarny">iloczyn skalarny</a> – iloczyn dwóch wektorów o wartości skalarnej – który daje wygodną charakteryzację algebraiczną tak długości (pierwiastek z iloczynu skalarnego wektora przez siebie), jak i kąta (funkcja iloczynu skalarnego między dowolnymi dwoma wektorami). W trzech wymiarach można określić dodatkowo <a href="/wiki/Iloczyn_wektorowy" title="Iloczyn wektorowy">iloczyn wektorowy</a>, który dostarcza algebraicznej charakteryzacji <a href="/wiki/Pole_powierzchni" title="Pole powierzchni">pola</a> i <a href="/wiki/Orientacja_(geometria)" title="Orientacja (geometria)">orientacji</a> w przestrzeni <a href="/wiki/R%C3%B3wnoleg%C5%82obok" title="Równoległobok">równoległoboku</a> wyznaczonego za pomocą dwóch wektorów (będących jego bokami). </p><p>Nie zawsze jest jednak możliwe lub pożądane określenie długości wektora w naturalny sposób. Jest tak nawet w przypadku najprostszych uogólnień wektorów przestrzennych, tj. elementów abstrakcyjnych rzeczywistych <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa">przestrzeni liniowych/wektorowych</a> (które uogólniają pojęcie wektorów swobodnych) i <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_afiniczna" title="Przestrzeń afiniczna">przestrzeni afinicznych</a> (stanowiących uogólnienie wektorów zaczepionych). Odpowiednikiem długości wektora w przypadku przestrzeni wektorowych może być dowolna <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unormowana" title="Przestrzeń unormowana">norma</a> (lub <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unormowana#Pseudonorma._Przestrzeń_pseudounormowana" title="Przestrzeń unormowana">pseudonorma</a>, jak w przypadku <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Minkowskiego" class="mw-redirect" title="Przestrzeń Minkowskiego">przestrzeni Minkowskiego</a>) określona na tej przestrzeni. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Uogólnienia"><span id="Uog.C3.B3lnienia"></span>Uogólnienia</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=6" title="Edytuj sekcję: Uogólnienia" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=6" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Uogólnienia"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>W fizyce, jak i matematyce, wektor jest często utożsamiany z <a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana#Trójki,_czwórki,_…,_n-ki_uporządkowane" title="Para uporządkowana">krotką</a>, czyli listą liczb, która uzależniona jest od pewnego pomocniczego układu współrzędnych lub <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_odniesienia" title="Układ odniesienia">układu odniesienia</a> (ang. <i>reference frame</i>). Jeżeli współrzędne są przekształcane, np. poprzez obrót lub rozciąganie, to składowe wektora również ulegają przekształceniu. Sam wektor nie zmienia się, lecz zmienia się jego układ odniesienia, tak więc jego składowe (czyli miary wzięte względem danego układu odniesienia) również muszą się zmienić, aby odzwierciedlić wspomnianą zmianę. Wektor nazywany jest <i>kowariantym</i> bądź <i>kontrawariantnym</i> w zależności od wzajemnego wpływu na siebie przekształcenia składowych wektora oraz przekształcenia współrzędnych. Zobacz <a href="/w/index.php?title=Kowariancja_i_kontrawariancja_wektor%C3%B3w&action=edit&redlink=1" class="new" title="Kowariancja i kontrawariancja wektorów (strona nie istnieje)">kowariancja i kontrawariancja wektorów</a>. <a href="/wiki/Tensor" title="Tensor">Tensory</a> są kolejnym rodzajem wielkości zachowującym się w ten sposób; w rzeczywistości wektor jest szczególnym przypadkiem tensora. </p><p>W czystej matematyce wektor to dowolny element <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa">przestrzeni wektorowej (liniowej)</a> nad pewnym <a href="/wiki/Cia%C5%82o_(matematyka)" title="Ciało (matematyka)">ciałem</a>, który często przedstawiany jest jako <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych" title="Przestrzeń współrzędnych">wektor współrzędnych</a>. Wektory opisane w tym artykule są szczególnym przypadkiem tej definicji, ponieważ są kontrawariantne względem otaczającej przestrzeni. Pojęcie kontrawariancji ujmuje intuicję fizyczną stojącą za ideą wektora mającego „moduł i kierunek”. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Reprezentacje">Reprezentacje</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=7" title="Edytuj sekcję: Reprezentacje" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=7" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Reprezentacje"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Vector_from_A_to_B.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Vector_from_A_to_B.svg/220px-Vector_from_A_to_B.svg.png" decoding="async" width="220" height="88" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Vector_from_A_to_B.svg/330px-Vector_from_A_to_B.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Vector_from_A_to_B.svg/440px-Vector_from_A_to_B.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="204" /></a><figcaption>Strzałka wektora wskazująca z <i>A</i> do <i>B</i></figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Notation_for_vectors_in_or_out_of_a_plane.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Notation_for_vectors_in_or_out_of_a_plane.svg/220px-Notation_for_vectors_in_or_out_of_a_plane.svg.png" decoding="async" width="220" height="84" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Notation_for_vectors_in_or_out_of_a_plane.svg/330px-Notation_for_vectors_in_or_out_of_a_plane.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Notation_for_vectors_in_or_out_of_a_plane.svg/440px-Notation_for_vectors_in_or_out_of_a_plane.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="195" /></a><figcaption>Z lewej: wektor wskazujący za diagram, od widza. Z prawej: wektor wskazujący przed diagram, w kierunku widza. Można utożsamić odpowiednio z lotkami strzały i jej grotem.</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Plane_Cartesian_vector.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/Plane_Cartesian_vector.png/220px-Plane_Cartesian_vector.png" decoding="async" width="220" height="218" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/40/Plane_Cartesian_vector.png 1.5x" data-file-width="233" data-file-height="231" /></a><figcaption>Wektor na płaszczyźnie kartezjańskiej przedstawiający położenie punktu <i>A</i> o współrzędnych (2, 3).</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Spatial_vector.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/Spatial_vector.png/220px-Spatial_vector.png" decoding="async" width="220" height="220" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/Spatial_vector.png/330px-Spatial_vector.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/Spatial_vector.png/440px-Spatial_vector.png 2x" data-file-width="800" data-file-height="800" /></a><figcaption></figcaption></figure> <p>Wektory oznaczane są zwykle pogrubioną małą literą, np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d76b79e18147442c016d8d5f7e8117aa922f0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.946ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} ,}"></span> czasami dodatkowo pochyloną, np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}"></span> (dużymi literami oznacza się często <a href="/wiki/Macierz" title="Macierz">macierze</a>). Inne konwencje obejmują przypadki <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}}"></span> lub <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {a}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>a</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {a}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24aa3233925160a65c6078747b83f6a40aa6a393" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.534ex; margin-bottom: -0.804ex; width:1.879ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\underline {a}},}"></span> szczególnie przy piśmie odręcznym. Niekiedy korzysta się z <a href="/wiki/Tylda" title="Tylda">tyldy</a> (~) lub falistego podkreślenia pod symbolem, które są konwencją oznaczania pogrubienia. Jeżeli wektor reprezentuje skierowaną <a href="/wiki/Odleg%C5%82o%C5%9B%C4%87" title="Odległość">odległość</a> lub <a href="/wiki/Przemieszczenie_(fizyka)" title="Przemieszczenie (fizyka)">przemieszczenie</a> z punktu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"></span> (zob. rysunek), to oznacza się go czasami jako <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b245e60e48c3c8f577aaf9512a1bdf3049cc6207" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.372ex; width:3.637ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}"></span> lub <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\underline {AB}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow> <mi>A</mi> <mi>B</mi> </mrow> <mo>_</mo> </munder> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\underline {AB}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2623eb87cff22d0d783993311f1c2dd0b6711120" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.511ex; margin-bottom: -0.827ex; width:4.156ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\underline {AB}}.}"></span> Z symbolu daszka (^) korzysta się zwykle do oznaczenia <a href="/wiki/Wektor_jednostkowy" title="Wektor jednostkowy">wersorów</a> (wektorów jednostkowych, czyli wektorów o długości jednostkowej), np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {a}}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">a</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {a}}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6ebdb9c3469ad007fa6ffda8a0f7eac69f0c89" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.118ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {a}}}.}"></span> </p><p>Wektory przedstawia się zwykle na wykresach czy diagramach jako strzałki (skierowane <a href="/wiki/Odcinek" title="Odcinek">odcinki</a>), jak pokazano na rysunku. Tutaj punkt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}"></span> nazywany jest <i>początkiem</i>, <i>ogonem</i>, <i>podstawą</i>, <i>punktem zaczepienia</i> lub <i>punktem początkowym</i>; punkt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}"></span> nazywa się <i>głową</i>, <i>końcem</i>, <i>punktem końcowym</i>. Długość strzałki jest proporcjonalna do <a href="/w/index.php?title=Wielko%C5%9B%C4%87_(matematyka)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Wielkość (matematyka) (strona nie istnieje)">wielkości</a> wektora, a kierunek wskazywany przez strzałkę określa kierunek (i zwrot) wektora. </p><p>Niekiedy konieczne jest zaznaczenie wektora <a href="/wiki/Prostopad%C5%82o%C5%9B%C4%87" title="Prostopadłość">prostopadłego</a> do <a href="/wiki/P%C5%82aszczyzna" title="Płaszczyzna">płaszczyzny</a> dwuwymiarowego diagramu. Wektory te przedstawia się za pomocą małych okręgów. Okrąg z kropką w środku (Unicode U+2299 ⊙) oznacza wektor wskazujący przed diagram, w kierunku widza. Kółko z wpisanym w niego krzyżykiem (Unicode U+2297 ⊗) oznacza wektor wskazujący za diagram, w kierunku od widza. O symbolach tych można myśleć jak o oglądaniu ostrza <a href="/wiki/Grot_(bro%C5%84)" title="Grot (broń)">grotu</a> <a href="/wiki/Strza%C5%82a" title="Strzała">strzały</a> od przodu oraz oglądaniu <a href="/wiki/Statecznik_(lotnictwo)" title="Statecznik (lotnictwo)">lotki</a> strzały od tyłu. </p><p>Reprezentacja wektorowa bywa nieporęczna przy prowadzeniu obliczeń za pomocą wektorów. Wektory w <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span>-wymiarowej przestrzeni euklidesowej mogą być przedstawione w <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_kartezja%C5%84skich" title="Układ współrzędnych kartezjańskich">układzie współrzędnych kartezjańskich</a>. Punkt końcowy może być utożsamiony z uporządkowaną listą <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span> liczb rzeczywistych (<a href="/wiki/Para_uporz%C4%85dkowana#Trójki,_czwórki,_…,_n-ki_uporządkowane" title="Para uporządkowana"><i>n</i>-tką</a>). Przykładowo w dwóch wymiarach (zob. rysunek) wektor z początku <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O=(0,0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O=(0,0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1328e2cf9efc0499f8a8ed26f1c8e7929f90a0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.04ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle O=(0,0)}"></span> do punktu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=(2,3)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=(2,3)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218f08396455ae698aa400a9d1130c69db0a3174" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.01ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A=(2,3)}"></span> zapisuje się zwykle jako </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} =(2,3).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} =(2,3).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5001e44c736b0318f2649daae132396a64161f8e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.213ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} =(2,3).}"></span></dd></dl> <p>Domyślnie przyjmuje się, że punkt zaczepienia wektora pokrywa się w tym wypadku z początkiem, dlatego też wyraźne zaznaczenie punktu zaczepienia w <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {OA}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mrow> <mi>O</mi> <mi>A</mi> </mrow> <mo>→</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {OA}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539359d530829a937dd5af1779649b4b64e8c315" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-top: -0.372ex; width:3.646ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\overrightarrow {OA}}}"></span> uważa się za zbędne i rzadko się z niego korzysta. </p><p>W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej (lub <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}"></span>) wektory utożsamiane są z trójkami liczb odpowiadającym współrzędnym kartezjańskim punktu końcowego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b,c),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b,c),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c052387768871591c5823a1c4ae9c057e95676d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.758ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b,c),}"></span> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} =(a,b,c).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} =(a,b,c).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1698f73fdb8badd6d70eb134b634bc98f7e74ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.156ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} =(a,b,c).}"></span></dd></dl> <p>Liczby te układa się często w <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych" title="Przestrzeń współrzędnych">wektor kolumnowy</a> lub <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych" title="Przestrzeń współrzędnych">wektor wierszowy</a>, w szczególności jeżeli rozpatruje się dodatkowo <a href="/wiki/Macierz" title="Macierz">macierze</a>, np.: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69b6bf2538cb62c3c2011890058f9f9f75da9ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:10.127ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}},}"></span></dd> <dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>a</mi> </mtd> <mtd> <mi>b</mi> </mtd> <mtd> <mi>c</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1243ed725eb240f24b19de430f5be233688b8df9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.969ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}}.}"></span></dd></dl> <p>Innym sposobem zapisu wektora trójwymiarowego jest wprowadzenie trzech wektorów <a href="/wiki/Baza_standardowa" title="Baza standardowa">bazy standardowej</a>: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,0),\;\mathbf {e} _{2}=(0,1,0),\;\mathbf {e} _{3}=(0,0,1).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,0),\;\mathbf {e} _{2}=(0,1,0),\;\mathbf {e} _{3}=(0,0,1).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa3ac4311b8e42648f0d892ff20656bf1e7554c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.232ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,0),\;\mathbf {e} _{2}=(0,1,0),\;\mathbf {e} _{3}=(0,0,1).}"></span></dd></dl> <p>Mają one intuicyjną interpretację wektorów długości jednostkowej wskazujących odpowiednio w kierunku rosnącym osi <i>x</i>, <i>y</i> oraz <i>z</i> <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_kartezja%C5%84skich" title="Układ współrzędnych kartezjańskich">układu współrzędnych kartezjańskich</a>, czasami określa się je jako <a href="/wiki/Wektor_jednostkowy" title="Wektor jednostkowy">wersory</a> tych osi. Za ich pomocą można przedstawić dowolny wektor z <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}"></span> w postaci: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}+c\mathbf {e} _{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}+c\mathbf {e} _{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e8f403d1422aa1c8e61629109678f59cd6b71fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:60.717ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}+c\mathbf {e} _{3}.}"></span></dd></dl> <p>Niekiedy w nauczaniu początkowym fizyki te trzy szczególne wektory są oznaczane jako <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">i</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">j</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold-italic">k</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e426fdd5609e89cbe6e19c3d7ee5e29cc46872" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.509ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}}"></span> (bądź <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}},{\boldsymbol {\hat {y}}},{\boldsymbol {\hat {z}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">y</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">z</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}},{\boldsymbol {\hat {y}}},{\boldsymbol {\hat {z}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584dbeadb0450b204cc8d4f205363e0f92dc1eba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.587ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}},{\boldsymbol {\hat {y}}},{\boldsymbol {\hat {z}}}}"></span>), ale taki zapis koliduje z <a href="/wiki/Konwencja_sumacyjna_Einsteina" title="Konwencja sumacyjna Einsteina">konwencją sumacyjną</a> wykorzystywaną w wyższych matematyce i fizyce oraz inżynierii. </p><p>Wykorzystanie wersorów kartezjańskich, takich jak <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}},{\boldsymbol {\hat {y}}},{\boldsymbol {\hat {z}}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">x</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">y</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">z</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}},{\boldsymbol {\hat {y}}},{\boldsymbol {\hat {z}}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64f5d0b4234d6ec17c243af7d3dd2202dd306a4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.234ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {x}}},{\boldsymbol {\hat {y}}},{\boldsymbol {\hat {z}}},}"></span> jako <a href="/wiki/Baza_(przestrze%C5%84_liniowa)" title="Baza (przestrzeń liniowa)">bazy</a> w której wyrażony jest wektor nie jest obowiązkowe. Wektory można również przedstawić za pomocą <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_walcowych" title="Układ współrzędnych walcowych">walcowych</a> wektorów jednostkowych <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}},{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {z}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">θ</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">z</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}},{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {z}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3fcc3e8f624180244c26d1e4fd8baac4c7f4a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.597ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}},{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {z}}}}"></span> lub <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_sferycznych" title="Układ współrzędnych sferycznych">sferycznych</a> wektorów jednostkowych <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}},{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">θ</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">ϕ</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}},{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0c8dcb93b9150f82a11a7290a3a6cab94224d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.477ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}},{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}.}"></span> Dwa ostatnie sposoby są dogodniejsze podczas rozwiązywania problemów mających odpowiednio symetrię cylindryczną, bądź sferyczną. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Podstawowe_własności"><span id="Podstawowe_w.C5.82asno.C5.9Bci"></span>Podstawowe własności</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=8" title="Edytuj sekcję: Podstawowe własności" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=8" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Podstawowe własności"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>W tej sekcji wykorzystywany jest <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_kartezja%C5%84skich" title="Układ współrzędnych kartezjańskich">układ współrzędnych kartezjańskich</a> z wektorami bazowymi </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,0),\;\mathbf {e} _{2}=(0,1,0),\;\mathbf {e} _{3}=(0,0,1),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,0),\;\mathbf {e} _{2}=(0,1,0),\;\mathbf {e} _{3}=(0,0,1),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3241b460ec3de1aab9e05e626b9f10941267c4b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.232ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,0),\;\mathbf {e} _{2}=(0,1,0),\;\mathbf {e} _{3}=(0,0,1),}"></span></dd></dl> <p>przy czym przyjmuje się, że wszystkie wektory mają początek układu za wspólny punkt zaczepienia. Wektor <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> będzie zapisywany jako </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e82965180666305164f1fd99da5f36dad54e8e26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.416ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Równość"><span id="R.C3.B3wno.C5.9B.C4.87"></span>Równość</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=9" title="Edytuj sekcję: Równość" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=9" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Równość"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Dwa wektory są równe, jeżeli mają równe wartości i kierunki (wraz ze zwrotami). Równoważnie będą one równe, jeśli odpowiadające współrzędne tych wektorów będą równe. Tak więc dwa wektory </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e82965180666305164f1fd99da5f36dad54e8e26" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.416ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}.}"></span></dd></dl> <p>oraz </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+b_{3}\mathbf {e} _{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+b_{3}\mathbf {e} _{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83544fa746389294a413cbaafebe8f5dad13d91" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:23.905ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+b_{3}\mathbf {e} _{3}.}"></span></dd></dl> <p>są równe, jeżeli </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8c23bcbc01adf23055e4dcf3810716a7641063f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:29.663ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dodawanie_i_odejmowanie">Dodawanie i odejmowanie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=10" title="Edytuj sekcję: Dodawanie i odejmowanie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=10" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Dodawanie i odejmowanie"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Suma wektorów <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf4628a1adf07133a6009e4a78bdd990c6eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} }"></span> to wektor dany wzorem </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3682ea299d3f0678c45b23ac9c850c30221a502" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.846ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}.}"></span></dd></dl> <p>Dodawanie może być przedstawione graficznie jako umieszczenie punktu początkowego strzałki <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf4628a1adf07133a6009e4a78bdd990c6eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} }"></span> w punkcie końcowym strzałki <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d76b79e18147442c016d8d5f7e8117aa922f0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.946ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} ,}"></span> a następnie narysowanie strzałki od punktu początkowego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> do punktu końcowego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652a5dc713311d71cb31b29f4d2922b82bd62754" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} .}"></span> Narysowana strzałka przedstawia wektor <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca70df275a91f17675e75a9df0fc47186845cc0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.625ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} }"></span> jak pokazano niżej: </p> <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Vector_addition.svg" class="mw-file-description" title="Dodawanie dwóch wektorów a oraz b"><img alt="Dodawanie dwóch wektorów a oraz b" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/Vector_addition.svg/250px-Vector_addition.svg.png" decoding="async" width="250" height="132" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/Vector_addition.svg/375px-Vector_addition.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/Vector_addition.svg/500px-Vector_addition.svg.png 2x" data-file-width="445" data-file-height="235" /></a><figcaption>Dodawanie dwóch wektorów <b>a</b> oraz <b>b</b></figcaption></figure> <p>Ten sposób dodawania nazywana jest niekiedy <i>metodą równoległoboku</i>, ponieważ <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf4628a1adf07133a6009e4a78bdd990c6eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} }"></span> są bokami <a href="/wiki/R%C3%B3wnoleg%C5%82obok" title="Równoległobok">równoległoboku</a>, a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca70df275a91f17675e75a9df0fc47186845cc0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.625ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} }"></span> jest jedną z jego przekątnych. Jeżeli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf4628a1adf07133a6009e4a78bdd990c6eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} }"></span> są wektorami zaczepionymi o tym samym punkcie zaczepienia, to będzie on również punktem zaczepienia <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/772fea5ae8369a05769bd15ba72186f66fe2c7e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:6.272ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} .}"></span> Można sprawdzić geometrycznie, iż <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =\mathbf {b} +\mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =\mathbf {b} +\mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2539af241fa43bf51a385874c573ecd4a7075ed8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:14.349ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =\mathbf {b} +\mathbf {a} }"></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )+\mathbf {c} =\mathbf {a} +(\mathbf {b} +\mathbf {c} ).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )+\mathbf {c} =\mathbf {a} +(\mathbf {b} +\mathbf {c} ).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f232e28ecd95c1710a0bdc96c6b22a956ecbd2a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.671ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )+\mathbf {c} =\mathbf {a} +(\mathbf {b} +\mathbf {c} ).}"></span> </p><p>Różnica <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf4628a1adf07133a6009e4a78bdd990c6eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} }"></span> dana jest jako </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb76515e11d90d5c929eccdc1185530a18d6fee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.846ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}.}"></span></dd></dl> <p>Odejmowanie dwóch wektorów może być zdefiniowane geometrycznie w następujący sposób: aby odjąć <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf4628a1adf07133a6009e4a78bdd990c6eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} }"></span> od <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> należy umieścić początki <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf4628a1adf07133a6009e4a78bdd990c6eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} }"></span> w tym samym punkcie, a następnie narysować strzałkę od punktu końcowego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf4628a1adf07133a6009e4a78bdd990c6eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} }"></span> do punktu końcowego <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a7fcfa72e94a4b8de190981d0e0fedaf7e8318" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.946ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} .}"></span> Strzałka ta reprezentuje wektor <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8900c4894565a8b2df302c7a0eb16aff4d235c06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.625ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }"></span> jak pokazano niżej: </p> <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Vector_subtraction.svg" class="mw-file-description" title="Odejmowanie dwóch wektorów a orazb"><img alt="Odejmowanie dwóch wektorów a orazb" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Vector_subtraction.svg/125px-Vector_subtraction.svg.png" decoding="async" width="125" height="90" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Vector_subtraction.svg/188px-Vector_subtraction.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Vector_subtraction.svg/250px-Vector_subtraction.svg.png 2x" data-file-width="206" data-file-height="149" /></a><figcaption>Odejmowanie dwóch wektorów <b>a</b> oraz<b>b</b></figcaption></figure> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mnożenie_przez_skalar"><span id="Mno.C5.BCenie_przez_skalar"></span>Mnożenie przez skalar</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=11" title="Edytuj sekcję: Mnożenie przez skalar" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=11" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Mnożenie przez skalar"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Scalar_multiplication_by_r%3D3.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Scalar_multiplication_by_r%3D3.svg/220px-Scalar_multiplication_by_r%3D3.svg.png" decoding="async" width="220" height="122" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Scalar_multiplication_by_r%3D3.svg/330px-Scalar_multiplication_by_r%3D3.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Scalar_multiplication_by_r%3D3.svg/440px-Scalar_multiplication_by_r%3D3.svg.png 2x" data-file-width="622" data-file-height="345" /></a><figcaption>Mnożenie skalarne wektora o współczynniku 3 rozciąga wektor.</figcaption></figure> <p>Wektor może być również pomnożony lub prze<i>skalowany</i> za pomocą <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczby rzeczywistej</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10110093812676dd04a92ce4c8b75940c366330a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.695ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r.}"></span> W kontekście <a href="/wiki/Analiza_wektorowa" title="Analiza wektorowa">standardowej algebry wektorów</a> liczby te nazywane są często <b>skalarami</b> (od <i>skalowania</i>), aby odróżnić je od wektorów. Działanie mnożenia wektora przez skalar nazywane jest czasem <i>mnożeniem skalarnym</i>. Wektor wynikowy to </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+(ra_{3})\mathbf {e} _{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+(ra_{3})\mathbf {e} _{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6af27c3cb5dbb6d4a2d3a24156647daf72b9cd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.038ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+(ra_{3})\mathbf {e} _{3}.}"></span></dd></dl> <p>Intuicyjnie mnożenie przez skalar <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"></span> rozciąga wektor o współczynnik równy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10110093812676dd04a92ce4c8b75940c366330a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.695ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r.}"></span> Geometrycznie może to być przedstawione (przynajmniej w przypadku, gdy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"></span> jest całkowite) przez umieszczenie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"></span> kopii wektora w linii tak, by punkt końcowy jednego wektora był punktem początkowym kolejnego. </p><p>Jeżeli <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"></span> jest ujemne, to zmienia się kierunek (zwrot) wektora: obraca się on o kąt 180°. Niżej znajdują się dwa przykłady (dla <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa9dc9f52ab2212ef9945a9d17f5b6ded46c899" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.118ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle r=-1}"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=2}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c19b110d7eb52a69381b88554e63c8a2aef376c7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r=2}"></span>): </p> <figure class="mw-halign-center" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Scalar_multiplication_of_vectors2.svg" class="mw-file-description" title="Mnożenia skalarne 2a oraz –a wektora a"><img alt="Mnożenia skalarne 2a oraz –a wektora a" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Scalar_multiplication_of_vectors2.svg/250px-Scalar_multiplication_of_vectors2.svg.png" decoding="async" width="250" height="105" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Scalar_multiplication_of_vectors2.svg/375px-Scalar_multiplication_of_vectors2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Scalar_multiplication_of_vectors2.svg/500px-Scalar_multiplication_of_vectors2.svg.png 2x" data-file-width="617" data-file-height="258" /></a><figcaption>Mnożenia skalarne 2<b>a</b> oraz –<b>a</b> wektora <b>a</b></figcaption></figure> <p>Mnożenie przez skalar jest <a href="/wiki/Rozdzielno%C5%9B%C4%87" title="Rozdzielność">rozdzielne</a> względem dodawania wektorów następującym sensie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=r\mathbf {a} +r\mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=r\mathbf {a} +r\mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2521438a33427c262b5223584751fd1b9ed9a30" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.304ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=r\mathbf {a} +r\mathbf {b} }"></span> dla dowolnych wektorów <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6f1488994015f56ee267a2dfadf01a1d067e7d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.819ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }"></span> oraz wszystkich skalarów <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10110093812676dd04a92ce4c8b75940c366330a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.695ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r.}"></span></dd></dl> <p>Można pokazać, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =\mathbf {a} +(-1)\mathbf {b} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =\mathbf {a} +(-1)\mathbf {b} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab9d78394ef39a68dcce25215f888845c210e81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.776ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =\mathbf {a} +(-1)\mathbf {b} .}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Długość"><span id="D.C5.82ugo.C5.9B.C4.87"></span>Długość</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=12" title="Edytuj sekcję: Długość" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=12" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Długość"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p><b>Długość</b>, <b>moduł</b> lub <b><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unormowana" title="Przestrzeń unormowana">norma</a></b> wektora <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> oznaczana jest symbolem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|\mathbf {a} \|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\mathbf {a} \|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c387f35d8cbb9f86e31cf1db8e7d393b6324011" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.624ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|\mathbf {a} \|}"></span> lub rzadziej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\mathbf {a} |,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathbf {a} |,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e6085b4b31fc96a6d2b58d8dddd126e506754f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.24ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\mathbf {a} |,}"></span> której nie powinno się mieszać z <a href="/wiki/Warto%C5%9B%C4%87_bezwzgl%C4%99dna" title="Wartość bezwzględna">wartością bezwzględną</a> („normą” skalarną). Niekiedy nazywa się ją także niepoprawnie <b>wartością wektora</b><sup id="cite_ref-brzezowski_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-brzezowski-3">[c]</a></sup>. </p><p>Długość wektora <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> może być obliczona za pomocą <a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unormowana#Norma_euklidesowa" title="Przestrzeń unormowana">normy euklidesowej</a>, </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </msqrt> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8e49925b71305cd50d635964d3f85dc9c50e42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:22.226ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},}"></span></dd></dl> <p>co jest konsekwencją <a href="/wiki/Twierdzenie_Pitagorasa" title="Twierdzenie Pitagorasa">twierdzenia Pitagorasa</a>, ponieważ wektory bazowe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b830763a1f552a9c87e7a97e3fb34924c92f3ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.906ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}"></span> są <a href="/wiki/Ortogonalno%C5%9B%C4%87" title="Ortogonalność">ortogonalnymi</a> wektorami jednostkowymi. </p><p>Okazuje się, że jest ona równa pierwiastkowi kwadratowemu z <a href="/wiki/Iloczyn_skalarny" title="Iloczyn skalarny">iloczynu skalarnego</a> wektora przez siebie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </msqrt> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d38bf0a5e449e14dc174b0123576aa003733e03" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.584ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Iloczyn_skalarny">Iloczyn skalarny</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=13" title="Edytuj sekcję: Iloczyn skalarny" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=13" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Iloczyn skalarny"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Iloczyn_skalarny" title="Iloczyn skalarny">iloczyn skalarny</a>.</i></div> <p><b>Iloczyn skalarny</b> dwóch wektorów <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf4628a1adf07133a6009e4a78bdd990c6eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} }"></span> (czasami nazywany <b><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_unitarna" title="Przestrzeń unitarna">iloczynem wewnętrznym</a></b>) oznaczany symbolem <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494aed3b5e94f1c0ee071debc707d2700c0e0390" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.464ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }"></span> określony jest jako: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos \theta ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos \theta ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27298f0e659492196ee39081a119797e2de99da7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.62ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\cos \theta ,}"></span></dd></dl> <p>gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> jest rozwartością <a href="/wiki/K%C4%85t" title="Kąt">kąta</a> między <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf4628a1adf07133a6009e4a78bdd990c6eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} }"></span> (zob. <a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">funkcje trygonometryczne</a>, aby uzyskać wyjaśnienie cosinusa). Geometrycznie oznacza to, że <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf4628a1adf07133a6009e4a78bdd990c6eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} }"></span> są kreślone z tego samego punktu początkowego, a następnie długość <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> jest mnożona przez długość składowej <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf4628a1adf07133a6009e4a78bdd990c6eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} }"></span> wskazującej w tym samym kierunku, co <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a7fcfa72e94a4b8de190981d0e0fedaf7e8318" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.946ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} .}"></span> </p><p>Iloczyn skalarny może być zdefiniowany również jako suma iloczynów składowych każdego wektora jak następuje: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ce07b770fcc78bba136f6d7386d8255dfdc24a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.898ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wektor_jednostkowy">Wektor jednostkowy</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=14" title="Edytuj sekcję: Wektor jednostkowy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=14" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Wektor jednostkowy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Wersor" class="mw-redirect" title="Wersor">wersor</a>.</i></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Vector_normalization.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Vector_normalization.svg/220px-Vector_normalization.svg.png" decoding="async" width="220" height="388" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Vector_normalization.svg/330px-Vector_normalization.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Vector_normalization.svg/440px-Vector_normalization.svg.png 2x" data-file-width="85" data-file-height="150" /></a><figcaption>Normalizowanie wektora <b>a</b> do wektora jednostkowego <b>â</b></figcaption></figure> <p><b>Wektor jednostkowy</b> lub <b>wersor</b> to dowolny wektor o długości jeden; zwykle korzysta się z nich do wskazywania kierunku (zwrotu). Wektor dowolnej długości może być podzielony przez jego długość tak, by stał się wektorem jednostkowym. Operacja ta znana jest jako <b>normalizowanie</b> bądź <b>normalizacja</b> wektora. Wektor jednostkowy oznaczany jest często za pomocą daszka, np. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\hat {a}} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold">a</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\hat {a}} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344943f7f61fc644dd278ee3cdffab2a742d9d00" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.983ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\hat {a}} .}"></span> </p><p>Aby znormalizować wektor <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aae92640227eb675cc8926ba990450e4d0109e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.127ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}"></span> należy przeskalować go przez odwrotność jego długości <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|\mathbf {a} \|,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\mathbf {a} \|,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe7992fdff3a0b4c25668718bb2bee44b8cafbe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.271ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|\mathbf {a} \|,}"></span> tzn. </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {{\hat {a}}={\frac {\mathbf {a} }{\|\mathbf {a} \|}}={\frac {a_{1}}{\|\mathbf {a} \|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\|\mathbf {a} \|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\|\mathbf {a} \|}}\mathbf {e} _{3}} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold">a</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo mathvariant="bold">=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo mathvariant="bold">=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi mathvariant="bold">a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">1</mn> </mrow> </msub> <mo mathvariant="bold">+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi mathvariant="bold">a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">2</mn> </mrow> </msub> <mo mathvariant="bold">+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi mathvariant="bold">a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">3</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {{\hat {a}}={\frac {\mathbf {a} }{\|\mathbf {a} \|}}={\frac {a_{1}}{\|\mathbf {a} \|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\|\mathbf {a} \|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\|\mathbf {a} \|}}\mathbf {e} _{3}} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbea399e548a5437c9c3f9878b8489c2bda5bfa6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:39.342ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {{\hat {a}}={\frac {\mathbf {a} }{\|\mathbf {a} \|}}={\frac {a_{1}}{\|\mathbf {a} \|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\|\mathbf {a} \|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\|\mathbf {a} \|}}\mathbf {e} _{3}} }"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wektor_zerowy">Wektor zerowy</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=15" title="Edytuj sekcję: Wektor zerowy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=15" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Wektor zerowy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Wektor_zerowy" title="Wektor zerowy">wektor zerowy</a>.</i></div> <p><b>Wektor zerowy</b> to wektor o długości zero. Zapisany za pomocą współrzędnych ma postać <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,0,0).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,0,0).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b5c983e8388a9ad4a6dab868671f87a98f5bb1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.011ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,0,0).}"></span> Zapisuje się go zwykle jako <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {0}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {0}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5003dc2a834f77860154348072610fcbc2135e96" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.809ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {0}},}"></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {0} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {0} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e8c650763635a93ddc69768c3c0c100afe985d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.337ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {0} }"></span> lub po prostu <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e773e0593223c306a3e6852348177d1934962" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.809ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0.}"></span> W przeciwieństwie do pozostałych wektorów nie ma on kierunku i nie może być znormalizowany (to znaczy nie ma wektora jednostkowego, który byłby wielokrotnością wektora zerowego). Suma wektora zerowego i dowolnego wektora <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> wynosi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d76b79e18147442c016d8d5f7e8117aa922f0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.946ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} ,}"></span> tzn. <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {0} +\mathbf {a} =\mathbf {a} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn mathvariant="bold">0</mn> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {0} +\mathbf {a} =\mathbf {a} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb84cd64fa771b1b34681f80cf297c80d9f28aa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.521ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {0} +\mathbf {a} =\mathbf {a} .}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Iloczyn_wektorowy">Iloczyn wektorowy</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=16" title="Edytuj sekcję: Iloczyn wektorowy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=16" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Iloczyn wektorowy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Plik:Cross_product_vector.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Cross_product_vector.svg/220px-Cross_product_vector.svg.png" decoding="async" width="220" height="306" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Cross_product_vector.svg/330px-Cross_product_vector.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Cross_product_vector.svg/440px-Cross_product_vector.svg.png 2x" data-file-width="484" data-file-height="673" /></a><figcaption>Ilustracja iloczynu wektorowego.</figcaption></figure> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Iloczyn_wektorowy" title="Iloczyn wektorowy">iloczyn wektorowy</a>.</i></div> <p><b>Iloczyn wektorowy</b> (nazywany również <b>iloczynem zewnętrznym</b>, ang. <i>outer product</i>) ma sens jedynie w trzech wymiarach. Różni się on od iloczynu skalarnego głównie tym, że wynikiem iloczynu wektorowego dwóch wektorów jest wektor. Iloczyn wektorowy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf612179bab874c94c2ea2b4a541479534c3dacc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.625ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }"></span> jest wektorem prostopadłym tak do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d76b79e18147442c016d8d5f7e8117aa922f0d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.946ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} ,}"></span> jak i do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf4628a1adf07133a6009e4a78bdd990c6eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} }"></span> i jest zdefiniowany jako </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin(\theta )\,\mathbf {n} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo fence="false" stretchy="false">‖</mo> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>θ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin(\theta )\,\mathbf {n} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed83632b34b99ffc6a4df41549013ab3835b8b5b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.82ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin(\theta )\,\mathbf {n} ,}"></span></dd></dl> <p>gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }"></span> jest rozwartością kąta między <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3654ae7aa05aad4aa7a3432e5d4169dfb0be078" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.132ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} ,}"></span> a <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} }"></span> jest wektorem jednostkowym <a href="/wiki/Prostopad%C5%82o%C5%9B%C4%87" title="Prostopadłość">prostopadłym</a> jednocześnie do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3654ae7aa05aad4aa7a3432e5d4169dfb0be078" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.132ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} ,}"></span> który uzupełnia układ <a href="/wiki/Regu%C5%82a_prawej_d%C5%82oni" title="Reguła prawej dłoni">prawoskrętny</a>. Ograniczenie prawoskrętności jest niezbędne, ponieważ istnieją <i>dwa</i> wektory jednostkowe, które są równocześnie prostopadłe do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> i <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3654ae7aa05aad4aa7a3432e5d4169dfb0be078" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.132ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} ,}"></span> mianowicie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} }"></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\mathbf {n} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\mathbf {n} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15469c85652877df79b4172fc2459d9c09ae877" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:3.94ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle -\mathbf {n} .}"></span> </p><p>Iloczyn wektorowy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf612179bab874c94c2ea2b4a541479534c3dacc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.625ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }"></span> jest określony tak, by <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} \times \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} \times \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e25e767b931c5ee0db57da7bfdb7ab1787d66d2e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.478ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} \times \mathbf {b} }"></span> również były układem prawoskrętnym (jednakże <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf4628a1adf07133a6009e4a78bdd990c6eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} }"></span> nie muszą być koniecznie <a href="/wiki/Ortogonalno%C5%9B%C4%87" title="Ortogonalność">ortogonalne</a>). Jest to tzw. <a href="/wiki/Regu%C5%82a_prawej_d%C5%82oni" title="Reguła prawej dłoni">reguła prawej dłoni</a>. </p><p>Długość <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf612179bab874c94c2ea2b4a541479534c3dacc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.625ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }"></span> może być interpretowana jako pole równoległoboku o bokach <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652a5dc713311d71cb31b29f4d2922b82bd62754" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} .}"></span> </p><p>Iloczyn wektorowy może być zapisany jako </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {e} _{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {e} _{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb99c18992185e20ef21f0584ba7375ec1e0826" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:61.854ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {e} _{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{3}.}"></span></dd></dl> <p>Przy wolnym wyborze orientacji przestrzennej (tzn. zezwalając tak na prawoskrętne, jak i lewoskrętne układy współrzędnych) iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest <a href="/wiki/Pseudowektor" title="Pseudowektor">pseudowektorem</a>, a nie wektorem (zob. niżej). </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Iloczyn_mieszany">Iloczyn mieszany</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=17" title="Edytuj sekcję: Iloczyn mieszany" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=17" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Iloczyn mieszany"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="noprint relarticle mainarticle" style="margin:0.2em 0 0.5em 1.6em"><span class="nomobile navigation-not-searchable"><span class="notpageimage" typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/16px-Information_icon4.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/24px-Information_icon4.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Information_icon4.svg/32px-Information_icon4.svg.png 2x" data-file-width="620" data-file-height="620" /></span></span> </span><i>Osobny artykuł: <a href="/wiki/Iloczyn_mieszany" title="Iloczyn mieszany">iloczyn mieszany</a>.</i></div> <p><b>Iloczyn mieszany</b> w rzeczywistości nie jest nowym działaniem, lecz sposobem stosowania dwóch pozostałych operatorów mnożenia względem trzech wektorów. Iloczyn mieszany, oznaczany niekiedy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} ),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} ),}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a1f59d01b062b0d73986b8135fec94588e73e8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.719ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} ),}"></span> zdefiniowany jest jako: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a09148ee0ac82a548ea8c4a8ec8730a5a6c4f30" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.119ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}"></span></dd></dl> <p>Ma on trzy podstawowe zastosowania: </p> <ul><li>wartość bezwzględna tego iloczynu to objętość <a href="/wiki/R%C3%B3wnoleg%C5%82o%C5%9Bcian" title="Równoległościan">równoległościanu</a> o wierzchołkach określonych za pomocą jego czynników;</li> <li>jest on równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie trzy wektory są <a href="/wiki/Liniowa_niezale%C5%BCno%C5%9B%C4%87" title="Liniowa niezależność">liniowo zależne</a>, co można łatwo uzasadnić uwagą, iż trzy wektory które nie mają objętości, muszą leżeć na wspólnej płaszczyźnie;</li> <li>jest on dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie trzy wektory <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98735198279ea2237902abe353cfc8156f2eea0b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.041ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }"></span> są prawoskrętne.</li></ul> <p>Wyrażony za pomocą składowych (<i>względem prawoskrętnej bazy ortonormalnej</i>), myśląc o trzech wektorach ułożonych w wiersze (bądź kolumny, ale z zachowaniem kolejności), iloczyn mieszany jest po prostu <a href="/wiki/Wyznacznik" title="Wyznacznik">wyznacznikiem</a> 3×3-<a href="/wiki/Macierz" title="Macierz">macierzy</a> mającej trzy wektory wpisane w rzędy </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} )=\left|{\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}}\right|.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>(</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} )=\left|{\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}}\right|.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28a7a5a359c7c3764f4bdebc84e15ebb32e86454" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:28.814ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle (\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} )=\left|{\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}}\right|.}"></span></dd></dl> <p>Iloczyn mieszany jest <a href="/wiki/Przekszta%C5%82cenie_liniowe" title="Przekształcenie liniowe">liniowy</a> względem wszystkich trzech czynników i <a href="/w/index.php?title=Przekszta%C5%82cenie_antysymetryczne&action=edit&redlink=1" class="new" title="Przekształcenie antysymetryczne (strona nie istnieje)">antysymetryczny</a> w następującym sensie: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} )=(\mathbf {c} \;\mathbf {a} \;\mathbf {b} )=(\mathbf {b} \;\mathbf {c} \;\mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \;\mathbf {c} \;\mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \;\mathbf {a} \;\mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \;\mathbf {b} \;\mathbf {a} ).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">c</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">b</mi> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} )=(\mathbf {c} \;\mathbf {a} \;\mathbf {b} )=(\mathbf {b} \;\mathbf {c} \;\mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \;\mathbf {c} \;\mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \;\mathbf {a} \;\mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \;\mathbf {b} \;\mathbf {a} ).}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be7813869c8bb5897830b8ba12c0f85f452b823" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:63.998ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbf {a} \;\mathbf {b} \;\mathbf {c} )=(\mathbf {c} \;\mathbf {a} \;\mathbf {b} )=(\mathbf {b} \;\mathbf {c} \;\mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \;\mathbf {c} \;\mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \;\mathbf {a} \;\mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \;\mathbf {b} \;\mathbf {a} ).}"></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Różne_bazy_kartezjańskie"><span id="R.C3.B3.C5.BCne_bazy_kartezja.C5.84skie"></span>Różne bazy kartezjańskie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=18" title="Edytuj sekcję: Różne bazy kartezjańskie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=18" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Różne bazy kartezjańskie"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Wszystkie dotychczasowe przykłady obejmowały wektory wyrażone za pomocą tej samej bazy, mianowicie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d76b39c46b93adace646d3c1b35394efaa45914" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.553ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}.}"></span> Jednakże wektor może być przedstawiony za pomocą dowolnej liczby różnych baz, które nie muszą do siebie przystawać i nadal pozostaje on tym samym wektorem. Przykładowo dla określonego wcześniej wektora <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> jest </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}=u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>u</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>v</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>w</mi> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}=u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcd9af97a99139a34997287a6b2f4326af90aa7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:44.935ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}=u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3},}"></span></dd></dl> <p>gdzie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f50b727d7d4a9bf1764c6a9fedc98ea131ead3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.686ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}"></span> stanowią inną bazę ortonormalną niezgodną z <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d76b39c46b93adace646d3c1b35394efaa45914" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.553ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}.}"></span> Wartości <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u,v,w}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u,v,w}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cabca98f60f9ee828adb0d73276eb90eb2ee56" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.189ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u,v,w}"></span> są dobrane tak, by suma wektorów dawała w wyniku dokładnie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a7fcfa72e94a4b8de190981d0e0fedaf7e8318" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.946ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} .}"></span> </p><p>Napotkanie wektorów wyrażonych w różnych bazach nie należy do rzadkości (np. jedna baza jest przypisana do Ziemi, druga do poruszającego się pojazdu). Aby przeprowadzić wiele z określonych wyżej działań należy mieć wektory wyrażone w tej samej bazie. Jednym z prostszych sposobów przedstawienia wektora znanego w jednej bazie za pomocą innej jest wykorzystanie macierzy kolumnowych reprezentującej wektory w każdej z baz oraz trzeciej macierzy zawierającej informacje kojarzące ze sobą dwie bazy. Przykładowo, aby znaleźć wartości <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u,v,w}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>u</mi> <mo>,</mo> <mi>v</mi> <mo>,</mo> <mi>w</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u,v,w}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cabca98f60f9ee828adb0d73276eb90eb2ee56" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.189ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u,v,w}"></span> określające <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {a} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">a</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a957216653a9ee0d0133dcefd13fb75e36b8b9d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.299ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} }"></span> w bazie <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f50b727d7d4a9bf1764c6a9fedc98ea131ead3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.686ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}"></span> można skorzystać z <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie_macierzy" title="Mnożenie macierzy">mnożenia macierzy</a> postaci </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <mi>u</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>v</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>w</mi> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>12</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>13</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>22</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>23</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>31</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>32</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>33</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>[</mo> <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em"> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>]</mo> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f1ca6cb460c4e0157b8541bfcbaf540ef5f4ce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:32.544ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},}"></span></dd></dl> <p>gdzie każdy element macierzy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{ij}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a106b8753c0948250bbc2e03df3207799beaedb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.484ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle c_{ij}}"></span> jest <a href="/w/index.php?title=Cosinus_kierunkowy&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cosinus kierunkowy (strona nie istnieje)">cosinusem kierunkowym</a> wiążącym <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} _{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd5bc149c48fa682b5e529e6dd572fa4b1754bca" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.285ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} _{i}}"></span> z <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7742f3851d608848056eab437b32e8b753dd5b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.135ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}"></span><sup id="cite_ref-dynon16_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-dynon16-5">[2]</a></sup>. Pojęcie <i>cosinusa kierunkowego</i> odnosi się do <a href="/wiki/Funkcje_trygonometryczne" title="Funkcje trygonometryczne">cosinusa</a> kąta między dwoma wektorami jednostkowymi, który równy jest też ich <a href="#Iloczyn_skalarny">iloczynowi skalarnemu</a><sup id="cite_ref-dynon16_5-1" class="reference"><a href="#cite_note-dynon16-5">[2]</a></sup>. </p><p>Oznaczywszy <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b830763a1f552a9c87e7a97e3fb34924c92f3ba" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.906ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}"></span> zbiorczo jako bazę <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {e} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {e} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b904155833429dc023056b5b9609c4a679d7064" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.225ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {e} }"></span> oraz <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f50b727d7d4a9bf1764c6a9fedc98ea131ead3d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.686ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}"></span> jako bazę <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} }"></span> macierz zawierającą wszystkie współczynniki <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{ij}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>c</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{ij}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a106b8753c0948250bbc2e03df3207799beaedb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.484ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle c_{ij}}"></span> nazywa się <b><a href="/wiki/Macierz_przekszta%C5%82cenia_liniowego" title="Macierz przekształcenia liniowego">macierzą przejścia</a></b> z <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {e} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {e} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b904155833429dc023056b5b9609c4a679d7064" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.225ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {e} }"></span> do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} ,}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cf1bc7c486161e91d2f0128fafc315fad972d8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.132ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} ,}"></span> <b><a href="/wiki/Macierz_obrotu" title="Macierz obrotu">macierzą obrotu</a></b> od <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {e} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {e} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b904155833429dc023056b5b9609c4a679d7064" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.225ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {e} }"></span> do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} }"></span> (ponieważ można ją sobie wyobrażać jako „obrót” wektora z jednej bazy do innej) lub <b><a href="/w/index.php?title=Cosinus_kierunkowy&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cosinus kierunkowy (strona nie istnieje)">macierzą cosinusów kierunkowych</a></b> z <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {e} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {e} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b904155833429dc023056b5b9609c4a679d7064" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.225ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {e} }"></span> do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} }"></span><sup id="cite_ref-dynon16_5-2" class="reference"><a href="#cite_note-dynon16-5">[2]</a></sup> (ponieważ zawiera ona cosinusy kierunkowe). </p><p>Własnością macierzy obrotu jest to, że jej <a href="/wiki/Macierz_odwrotna" title="Macierz odwrotna">macierz odwrotna</a> jest równa do jej <a href="/wiki/Macierz_transponowana" title="Macierz transponowana">transpozycji</a>. Oznacza to, że macierz obrotu z <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {e} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {e} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b904155833429dc023056b5b9609c4a679d7064" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.225ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {e} }"></span> do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} }"></span> jest transpozycją macierzy obrotu z <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">n</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} }"></span> do <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {e} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {e} .}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2625d99624953d77e5afb41320598c5ca85c3a7f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.872ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {e} .}"></span> </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Pozostałe_bazy"><span id="Pozosta.C5.82e_bazy"></span>Pozostałe bazy</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=19" title="Edytuj sekcję: Pozostałe bazy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=19" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Pozostałe bazy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Baza zastosowanego wyżej <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_kartezja%C5%84skich" title="Układ współrzędnych kartezjańskich">układu współrzędnych kartezjańskich</a> jest <a href="/wiki/Baza_(przestrze%C5%84_liniowa)" title="Baza (przestrzeń liniowa)">bazą</a> <a href="/wiki/Ortonormalno%C5%9B%C4%87" title="Ortonormalność">ortonormalna</a>, tzn. wektory bazowe są <a href="/wiki/Ortogonalno%C5%9B%C4%87" title="Ortogonalność">ortogonalne</a>, a przy tym <a href="/wiki/Wektor_jednostkowy" title="Wektor jednostkowy">jednostkowe</a>. Powyższe wyniki przenoszą się również na pozostałe bazy ortonormalne, takie jak <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_walcowych" title="Układ współrzędnych walcowych">walcowa</a> o wektorach jednostkowych <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}},{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {z}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">θ</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">z</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}},{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {z}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3fcc3e8f624180244c26d1e4fd8baac4c7f4a6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.597ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}},{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {z}}}}"></span> lub <a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_sferycznych" title="Układ współrzędnych sferycznych">sferyczna</a> z wektorami jednostkowymi <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}},{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">r</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">θ</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="bold-italic">ϕ</mi> <mo mathvariant="bold" stretchy="false">^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}},{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0c8dcb93b9150f82a11a7290a3a6cab94224d5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.477ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}},{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}.}"></span> </p><p>Dodawanie, odejmowanie i mnożenie przez skalar również uogólniają się w naturalny sposób, o ile wektory bazowe są <a href="/wiki/Liniowa_niezale%C5%BCno%C5%9B%C4%87" title="Liniowa niezależność">liniowo niezależne</a>. W takich bazach można określić także iloczyn skalarny, jednak traci on swoją interpretację jako długość. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Pozostałe_wymiary"><span id="Pozosta.C5.82e_wymiary"></span>Pozostałe wymiary</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=20" title="Edytuj sekcję: Pozostałe wymiary" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=20" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Pozostałe wymiary"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>z wyjątkiem iloczynów wektorowego i mieszanego, powyższe wzory uogólniają się na dwa i więcej wymiarów. Na przykład dodawanie uogólnia się na dwa wymiary następująco: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2})+(b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2})=(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2},}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2})+(b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2})=(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2},}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb20070c772c2d25973bd656126e333e55506279" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:59.045ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2})+(b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2})=(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2},}"></span></dd></dl> <p>a na cztery wymiary: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{4})&+(b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+b_{3}\mathbf {e} _{3}+b_{4}\mathbf {e} _{4})\\&=(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}+(a_{4}+b_{4})\mathbf {e} _{4}\end{aligned}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>b</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{4})&+(b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+b_{3}\mathbf {e} _{3}+b_{4}\mathbf {e} _{4})\\&=(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}+(a_{4}+b_{4})\mathbf {e} _{4}\end{aligned}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9977d79830235fbdac7399dcf4533df16030034" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:86.662ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{4})&+(b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+b_{3}\mathbf {e} _{3}+b_{4}\mathbf {e} _{4})\\&=(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}+(a_{4}+b_{4})\mathbf {e} _{4}\end{aligned}}.}"></span></dd></dl> <p>Iloczyn wektorowy uogólnia się na <a href="/wiki/Forma_r%C3%B3%C5%BCniczkowa#Iloczyn_zewnętrzny_form._Algebra_Zewnętrzna" title="Forma różniczkowa">iloczyn zewnętrzny</a> (ang. <i>exterior product</i>), którego wynikiem jest <a href="/w/index.php?title=P-wektor&action=edit&redlink=1" class="new" title="P-wektor (strona nie istnieje)">biwektor</a>, który w ogólności nie jest wektorem. W dwóch wymiarach jest to po prostu skalar </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2})\wedge (b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2})=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">e</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∧</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>b</mi> 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</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357b31459161e1ce1077c98727711e023ef9d283" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.929ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2})\wedge (b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2})=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.}"></span></dd></dl> <p><a href="/w/index.php?title=Siedmiowymiarowy_iloczyn_wektorowy&action=edit&redlink=1" class="new" title="Siedmiowymiarowy iloczyn wektorowy (strona nie istnieje)">Siedmiowymiarowy iloczyn wektorowy</a> jest podobny do iloczynu wektorowego w tym, że jego wynik jest siedmiowymiarowym wektorem ortogonalnym do swoich dwóch argumentów. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zobacz_też"><span id="Zobacz_te.C5.BC"></span>Zobacz też</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=21" title="Edytuj sekcję: Zobacz też" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=21" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Zobacz też"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <table class="infobox noprint plainlinks"> <tbody><tr> <td style="text-align: center; font-weight: bold;">Informacje w <a href="/wiki/Wikipedia:Projekty_siostrzane" title="Wikipedia:Projekty siostrzane">projektach siostrzanych</a></td> </tr> <tr> <td><span style="margin:1px"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Commons-logo.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/13px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="13" height="17" class="mw-file-element" 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//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/WiktionaryPl_nodesc.svg/30px-WiktionaryPl_nodesc.svg.png 2x" data-file-width="122" data-file-height="117" /></a></span>  <b><a href="https://pl.wiktionary.org/wiki/wektor" class="extiw" title="wikt:wektor">Definicje słownikowe</a></b> w <a href="/wiki/Wikis%C5%82ownik" title="Wikisłownik">Wikisłowniku</a></td> </tr><tr> <td><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Wikiversity-logo-correct.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Wikiversity-logo-correct.svg/15px-Wikiversity-logo-correct.svg.png" decoding="async" width="15" height="12" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Wikiversity-logo-correct.svg/23px-Wikiversity-logo-correct.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Wikiversity-logo-correct.svg/30px-Wikiversity-logo-correct.svg.png 2x" data-file-width="1000" data-file-height="800" /></a></span>  <span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://en.wikiversity.org/wiki/Vectors?uselang=pl"><b>Materiały edukacyjne</b></a></span> w <a href="/wiki/Wikiwersytet" title="Wikiwersytet">Wikiwersytecie</a></td> </tr> </tbody></table><p><b>Przestrzenie</b> </p><ul><li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_afiniczna" title="Przestrzeń afiniczna">przestrzeń afiniczna</a> (odróżnia wektory od <a href="/wiki/Punkt_(geometria)" title="Punkt (geometria)">punktów</a>)</li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Banacha" title="Przestrzeń Banacha">przestrzeń Banacha</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_funkcyjna" title="Przestrzeń funkcyjna">przestrzeń funkcyjna</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_Hilberta" title="Przestrzeń Hilberta">przestrzeń Hilberta</a></li></ul> <p><b>Wielkości geometryczne:</b> </p> <ul><li><a href="/wiki/Czterowektor" title="Czterowektor">czterowektor</a> (w 4-wymiarowej <a href="/wiki/Czasoprzestrze%C5%84" title="Czasoprzestrzeń">czasoprzestrzeni</a>)</li> <li><a href="/wiki/Wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dne_krzywoliniowe" title="Współrzędne krzywoliniowe">kowariancja i kontrawariancja wektorów</a></li> <li><a href="/wiki/Tensor" title="Tensor">tensor</a></li> <li><a href="/wiki/Tensor_metryczny" title="Tensor metryczny">tensor metryczny</a></li> <li><a href="/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych" title="Układ współrzędnych">układ współrzędnych</a></li> <li><a href="/wiki/Wektor_normalny" title="Wektor normalny">wektor normalny</a></li> <li><a href="/wiki/Wektor_styczny" title="Wektor styczny">wektor styczny</a></li> <li><a href="/wiki/Wi%C4%85zka_wektorowa" title="Wiązka wektorowa">wiązka wektorowa</a></li> <li><a href="/wiki/Wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dne_krzywoliniowe" title="Współrzędne krzywoliniowe">współrzędne krzywoliniowe</a></li></ul> <p><b>Obiekty liczbowe</b> </p> <ul><li><a href="/wiki/Kwaterniony" title="Kwaterniony">kwaterniony</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczby zespolone</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Uwagi">Uwagi</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=22" title="Edytuj sekcję: Uwagi" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=22" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Uwagi"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection refsection-uwagi ll-script ll-script-uwagi"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-łac-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-łac_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Od <a href="/wiki/%C5%81acina" title="Łacina">łac.</a> [now.] <i>vector</i>, „niosący; ten, który niesie; nośnik”, od <i>vehere</i>, „nieść”; <i>via</i>, „droga”.</span> </li> <li id="cite_note-dłu-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-dłu_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Długość sugeruje jednostkę długości, podczas gdy wektor może mieć zupełnie inną jednostkę.</span> </li> <li id="cite_note-brzezowski-3"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-brzezowski_3-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-brzezowski_3-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">Wartość wektora to w matematyce po prostu wektor (np. funkcja o wartościach wektorowych), więc niektórzy dydaktycy postulują niestosowanie tej nomenklatury – zob. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ptf.agh.edu.pl/SN/brzezowski.pdf">opinię (punkt 9)</a> dra Sławomira Brzezowskiego z UJ, autora podręcznika fizyki do LO z klasy II.</span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Przypisy">Przypisy</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=23" title="Edytuj sekcję: Przypisy" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=23" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Przypisy"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="do-not-make-smaller refsection"><div class="mw-references-wrap"><ol class="references"> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text"><cite class="citation web open-access"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;4010387"><i>Wektor</i></a>, [w:] <i><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">Encyklopedia PWN</a></i> [online], <a href="/wiki/Wydawnictwo_Naukowe_PWN" title="Wydawnictwo Naukowe PWN">Wydawnictwo Naukowe PWN</a><span class="accessdate"> [dostęp 2021-07-21]</span><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft.gengre=unknown&rft.atitle=Wektor&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.jtitle=%5B%5BWydawnictwo+Naukowe+PWN%5D%5D&rft_id=https%3A%2F%2Fencyklopedia.pwn.pl%2Fhaslo%2F%3B4010387" style="display:none"> </span>.</cite></span> </li> <li id="cite_note-dynon16-5"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-dynon16_5-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-dynon16_5-1">b</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-dynon16_5-2">c</a></sup></span> <span class="reference-text"><cite class="citation book">1-6 Direction Cosines. W: Thomas R. Kane: <i>Dynamics Online</i>. Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc., 1996, s. 20–22.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Dynamics+Online&rft.atitle=1-6+Direction+Cosines&rft.aulast=Kane&rft.aufirst=Thomas+R.&rft.pub=OnLine+Dynamics%2C+Inc.&rft.place=Sunnyvale%2C+California&rft.pages=20%E2%80%9322"></span></cite></span> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Linki_zewnętrzne"><span id="Linki_zewn.C4.99trzne"></span>Linki zewnętrzne</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Wektor&veaction=edit&section=24" title="Edytuj sekcję: Linki zewnętrzne" class="mw-editsection-visualeditor"><span>edytuj</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Wektor&action=edit&section=24" title="Edytuj kod źródłowy sekcji: Linki zewnętrzne"><span>edytuj kod</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><cite class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20120801005307/http://wwwppd.nrl.navy.mil/nrlformulary/vector_identities.pdf">Tożsamości wektorowe</a>. wwwppd.nrl.navy.mil. [zarchiwizowane z <a rel="nofollow" class="external text" href="http://wwwppd.nrl.navy.mil/nrlformulary/vector_identities.pdf">tego adresu</a> (2012-08-01)].</cite> <span class="lang-list">(<abbr title="Treść w języku angielskim (English)">ang.</abbr>)</span> (<a href="/wiki/Portable_Document_Format" title="Portable Document Format">PDF</a>)</li></ul> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74983602">.mw-parser-output .navbox{border:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1);margin:auto;text-align:center;padding:3px;margin-top:1em;clear:both}.mw-parser-output table.navbox:not(.pionowy){width:100%}.mw-parser-output .navbox+.navbox{border-top:0;margin-top:0}.mw-parser-output .navbox.pionowy{width:250px;float:right;clear:right;margin:0 0 0.4em 1.4em}.mw-parser-output .navbox.pionowy .before,.mw-parser-output .navbox.pionowy .after{padding:0.5em 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.navbox>.mw-collapsible-content>.below,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox .opis{background-color:#303234}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a1,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a1 .opis{background:#715f00}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a2,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a2 .opis{background:#5f5f5f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .opis.a3,html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbox.medaliści .a3 .opis{background:#764617}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>.caption,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox>tbody>tr>th{background-color:#3a3c3e}html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbox .title,html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output 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class="new" title="Dyskusja szablonu:Algebra liniowa (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Algebra_liniowa&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Algebra_liniowa" title="Algebra liniowa">Algebra liniowa</a></div><div class="mw-collapsible-content"><div class="hlist navbox-above above"> <ul><li><a class="mw-selflink selflink">Wektor</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_liniowa" title="Przestrzeń liniowa">Przestrzeń liniowa</a></li> <li><a href="/wiki/Macierz" title="Macierz">Macierz</a></li></ul> </div><div class="flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">Wektory i działania<br />na nich</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Zwrot_wektora" title="Zwrot wektora">zwrot wektora</a></li> <li><a href="/wiki/Wektor_jednostkowy" title="Wektor jednostkowy">wektor jednostkowy</a></li> <li><a href="/wiki/Mno%C5%BCenie_przez_skalar" title="Mnożenie przez skalar">mnożenie przez skalar</a></li> <li><a href="/wiki/Iloczyn_wektorowy" title="Iloczyn wektorowy">iloczyn wektorowy</a></li> <li><a href="/wiki/Regu%C5%82a_%C5%9Bruby_prawoskr%C4%99tnej" title="Reguła śruby prawoskrętnej">reguła śruby prawoskrętnej</a></li> <li><a href="/wiki/Regu%C5%82a_prawej_d%C5%82oni" title="Reguła prawej dłoni">reguła prawej dłoni</a></li> <li><a href="/wiki/Symbol_Leviego-Civity" title="Symbol Leviego-Civity">symbol Leviego-Civity</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row">Układy wektorów<br />i ich macierze</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Liniowa_niezale%C5%BCno%C5%9B%C4%87" title="Liniowa niezależność">liniowa niezależność</a></li> <li><a href="/wiki/Macierz_zerowa" title="Macierz zerowa">macierz zerowa</a></li> <li><a href="/wiki/Macierz_jednostkowa" title="Macierz jednostkowa">macierz jednostkowa</a></li> <li><a href="/wiki/Macierz_skalarna" title="Macierz skalarna">macierz skalarna</a></li> <li><a href="/wiki/Macierz_diagonalna" title="Macierz diagonalna">macierz diagonalna</a></li> <li><a href="/wiki/Macierz_tr%C3%B3jk%C4%85tna" title="Macierz trójkątna">macierz trójkątna</a></li> <li><a href="/wiki/Macierz_schodkowa" title="Macierz schodkowa">macierz schodkowa</a></li> <li><a href="/wiki/Rz%C4%85d_macierzy" title="Rząd macierzy">rząd macierzy</a></li> <li><a href="/wiki/Operacje_elementarne" title="Operacje elementarne">operacje elementarne</a></li> <li><a href="/wiki/Macierze_podobne" title="Macierze podobne">macierze podobne</a></li> <li><a href="/wiki/Metoda_eliminacji_Gaussa" title="Metoda eliminacji Gaussa">metoda eliminacji Gaussa</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Kroneckera-Capellego" title="Twierdzenie Kroneckera-Capellego">twierdzenie Kroneckera-Capellego</a></li></ul> </td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row">Wyznaczniki i miara<br />układu wektorów</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Wyznacznik" title="Wyznacznik">wyznacznik</a></li> <li><a href="/wiki/Permutacja" title="Permutacja">permutacja</a></li> <li><a href="/wiki/Minor" title="Minor">minor</a></li> <li><a href="/wiki/Rozwini%C4%99cie_Laplace%E2%80%99a" title="Rozwinięcie Laplace’a">rozwinięcie Laplace’a</a></li> <li><a href="/wiki/Wzory_Cramera" title="Wzory Cramera">wzory Cramera</a></li> <li><a href="/wiki/Regu%C5%82a_Sarrusa" title="Reguła Sarrusa">reguła Sarrusa</a></li> <li><a href="/wiki/Iloczyn_mieszany" title="Iloczyn mieszany">iloczyn mieszany</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row">Przestrzenie liniowe</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa" title="Przestrzeń euklidesowa">przestrzeń euklidesowa</a></li> <li><a href="/wiki/Przyk%C5%82ady_przestrzeni_liniowych" title="Przykłady przestrzeni liniowych">przykłady przestrzeni liniowych</a></li> <li><a href="/wiki/Podprzestrze%C5%84_liniowa" title="Podprzestrzeń liniowa">podprzestrzeń liniowa</a></li> <li><a href="/wiki/Baza_(przestrze%C5%84_liniowa)" title="Baza (przestrzeń liniowa)">baza</a></li> <li><a href="/wiki/Baza_standardowa" title="Baza standardowa">baza standardowa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row">Iloczyny skalarne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Iloczyn_skalarny" title="Iloczyn skalarny">iloczyn skalarny</a></li> <li><a href="/wiki/Symbol_Kroneckera" title="Symbol Kroneckera">symbol Kroneckera</a></li> <li><a href="/wiki/Ortogonalno%C5%9B%C4%87" title="Ortogonalność">ortogonalność</a></li> <li><a href="/wiki/Ortonormalno%C5%9B%C4%87" title="Ortonormalność">ortonormalność</a></li> <li><a href="/wiki/Baza_ortonormalna" title="Baza ortonormalna">baza ortonormalna</a></li> <li><a href="/wiki/Ortogonalizacja_Grama-Schmidta" title="Ortogonalizacja Grama-Schmidta">ortogonalizacja Grama-Schmidta</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">Pojęcia zaawansowane</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Tensor" title="Tensor">tensor</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_bezw%C5%82adno%C5%9Bci_form_kwadratowych" title="Twierdzenie o bezwładności form kwadratowych">twierdzenie o bezwładności form kwadratowych</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row">Pozostałe pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Sto%C5%BCek_wypuk%C5%82y" title="Stożek wypukły">stożek wypukły</a></li> <li><a href="/wiki/Pseudoskalar" title="Pseudoskalar">pseudoskalar</a></li> <li><a href="/wiki/Pseudowektor" title="Pseudowektor">pseudowektor</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_ilorazowa_(algebra_liniowa)" title="Przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)">przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_afiniczna" title="Przestrzeń afiniczna">przestrzeń afiniczna</a></li></ul> </td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row">Powiązane dyscypliny</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Algebra_abstrakcyjna" title="Algebra abstrakcyjna">algebra abstrakcyjna</a></li> <li><a href="/wiki/Teoria_grup" title="Teoria grup">teoria grup</a></li> <li><a href="/wiki/Analiza_funkcjonalna" title="Analiza funkcjonalna">analiza funkcjonalna</a></li> <li><a href="/wiki/Analiza_numeryczna" title="Analiza numeryczna">analiza numeryczna</a></li> <li><a href="/wiki/Programowanie_liniowe" title="Programowanie liniowe">programowanie liniowe</a></li> <li><a href="/wiki/Mechanika_kwantowa" title="Mechanika kwantowa">mechanika kwantowa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row">Znani uczeni</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Girolamo_Cardano" title="Girolamo Cardano">Girolamo Cardano</a></li> <li><a href="/wiki/Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a></li> <li><a href="/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Gottfried Wilhelm Leibniz</a></li> <li><a href="/wiki/Gabriel_Cramer" title="Gabriel Cramer">Gabriel Cramer</a></li> <li><a href="/wiki/Augustin_Louis_Cauchy" title="Augustin Louis Cauchy">Augustin Louis Cauchy</a></li> <li><a href="/wiki/Arthur_Cayley" title="Arthur Cayley">Arthur Cayley</a></li> <li><a href="/wiki/James_Joseph_Sylvester" title="James Joseph Sylvester">James Joseph Sylvester</a></li> <li><a href="/wiki/Hermann_Grassmann" title="Hermann Grassmann">Hermann Grassmann</a></li> <li><a href="/wiki/Leopold_Kronecker" title="Leopold Kronecker">Leopold Kronecker</a></li> <li><a href="/wiki/Hermann_Weyl" title="Hermann Weyl">Hermann Weyl</a></li> <li><a href="/wiki/Saunders_Mac_Lane" title="Saunders Mac Lane">Saunders Mac Lane</a></li></ul> </td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Vector_space_illust.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Vector_space_illust.svg/120px-Vector_space_illust.svg.png" decoding="async" width="120" height="147" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Vector_space_illust.svg/180px-Vector_space_illust.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Vector_space_illust.svg/240px-Vector_space_illust.svg.png 2x" data-file-width="454" data-file-height="555" /></a></span> </p> </div></div></div></div> <div class="navbox do-not-make-smaller mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="pokaż" data-collapsetext="ukryj"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r74983602"><ul class="tnavbar noprint plainlinks hlist"><li><a href="/wiki/Szablon:Teoria_grup" title="Szablon:Teoria grup"><span title="Pokaż ten szablon">p</span></a></li><li><a href="/w/index.php?title=Dyskusja_szablonu:Teoria_grup&action=edit&redlink=1" class="new" title="Dyskusja szablonu:Teoria grup (strona nie istnieje)"><span title="Dyskusja na temat tego szablonu">d</span></a></li><li title="Możesz edytować ten szablon. Użyj przycisku podglądu przed zapisaniem zmian."><a class="external text" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Szablon:Teoria_grup&action=edit">e</a></li></ul><div class="navbox-title caption"><a href="/wiki/Teoria_grup" title="Teoria grup">Teoria grup</a></div><div class="mw-collapsible-content flex"><table class="navbox-main-content inner-standard"><tbody><tr class="a1"><th class="navbox-group opis" scope="row">podstawy</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_dwuargumentowe" title="Działanie dwuargumentowe">działanie dwuargumentowe</a></li> <li><a href="/wiki/%C5%81%C4%85czno%C5%9B%C4%87_(matematyka)" title="Łączność (matematyka)">łączność</a></li> <li><a href="/wiki/Element_neutralny" title="Element neutralny">element neutralny</a></li> <li><a href="/wiki/Element_odwrotny" title="Element odwrotny">element odwrotny</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_(matematyka)" title="Grupa (matematyka)">grupa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Przyk%C5%82ady_grup" title="Przykłady grup">przykłady</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a2_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">z <a href="/wiki/Dodawanie" title="Dodawanie">dodawaniem</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Liczby_ca%C5%82kowite" title="Liczby całkowite">liczby całkowite</a> <ul><li><a href="/wiki/Parzysto%C5%9B%C4%87_liczb" title="Parzystość liczb">liczby parzyste</a></li> <li><a href="/wiki/0" title="0">zero</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczby wymierne</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczby rzeczywiste</a></li> <li><a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczby zespolone</a></li> <li><a href="/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowa" title="Przestrzeń euklidesowa">przestrzeń kartezjańska</a></li> <li><a href="/wiki/Wielomian" title="Wielomian">wielomiany</a></li> <li><a class="mw-selflink selflink">wektory</a></li> <li><a href="/wiki/Arytmetyka_modularna" title="Arytmetyka modularna">całkowite reszty z dzielenia</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">z <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie" title="Mnożenie">mnożeniem</a><br />liczb</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li>niezerowe <a href="/wiki/Liczby_wymierne" title="Liczby wymierne">liczby wymierne</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">dodatnie</a> liczby wymierne</li> <li><a href="/wiki/1_(liczba)" title="1 (liczba)">jedynka</a></li></ul></li> <li>niezerowe <a href="/wiki/Liczby_rzeczywiste" title="Liczby rzeczywiste">liczby rzeczywiste</a> <ul><li><a href="/wiki/Znak_liczby" title="Znak liczby">dodatnie</a> liczby rzeczywiste</li></ul></li> <li>niezerowe <a href="/wiki/Liczby_zespolone" title="Liczby zespolone">liczby zespolone</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_okr%C4%99gu" title="Grupa okręgu">grupa okręgu</a></li> <li><a href="/wiki/Pierwiastek_z_jedynki" title="Pierwiastek z jedynki">pierwiastki z jedynki</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a2_3"><th class="navbox-group opis" scope="row">ze <a href="/wiki/Z%C5%82o%C5%BCenie_funkcji" title="Złożenie funkcji">składaniem<br />funkcji</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_bijekcji" title="Grupa bijekcji">grupa bijekcji</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_permutacji" title="Grupa permutacji">grupa permutacji</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_alternuj%C4%85ca" title="Grupa alternująca">grupa alternująca</a></li> <li><a href="/wiki/Funkcja_to%C5%BCsamo%C5%9Bciowa" title="Funkcja tożsamościowa">funkcja tożsamościowa</a></li></ul></li> <li>rzeczywiste <a href="/wiki/Funkcja_liniowa" title="Funkcja liniowa">funkcje liniowe</a></li> <li>rzeczywiste <a href="/wiki/Funkcja_homograficzna" title="Funkcja homograficzna">homografie</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_diedralna" title="Grupa diedralna">grupy diedralne</a></li></ul> </td></tr><tr class="a2_4"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Macierz_odwrotna" title="Macierz odwrotna">macierze odwracalne</a> z <a href="/wiki/Mno%C5%BCenie_macierzy" title="Mnożenie macierzy">mnożeniem macierzy</a> – <a href="/wiki/Pe%C5%82na_grupa_liniowa" title="Pełna grupa liniowa">pełne grupy liniowe</a></li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_pot%C4%99gowy" title="Zbiór potęgowy">zbiory potęgowe</a> z <a href="/wiki/R%C3%B3%C5%BCnica_symetryczna_zbior%C3%B3w" title="Różnica symetryczna zbiorów">różnicą symetryczną</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Homomorfizm" title="Homomorfizm">homomorfizmy</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Homomorfizm_grup" title="Homomorfizm grup">homomorfizm grup</a> <ul><li><a href="/wiki/Reprezentacja_grupy" title="Reprezentacja grupy">reprezentacja grupy</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/J%C4%85dro_(algebra)" title="Jądro (algebra)">jądro</a></li> <li><a href="/wiki/Monomorfizm" title="Monomorfizm">monomorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Epimorfizm" title="Epimorfizm">epimorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Izomorfizm" title="Izomorfizm">izomorfizm</a></li> <li><a href="/wiki/Endomorfizm" title="Endomorfizm">endomorfizm</a> <ul><li><a href="/wiki/Automorfizm" title="Automorfizm">automorfizm</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Podgrupa" title="Podgrupa">podgrupy</a></th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a4_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">ogólne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Warstwa_(teoria_grup)" title="Warstwa (teoria grup)">warstwa</a></li> <li><a href="/wiki/Indeks_podgrupy" title="Indeks podgrupy">indeks podgrupy</a></li> <li><a href="/wiki/Centralizator_i_normalizator" title="Centralizator i normalizator">centralizator i normalizator</a></li> <li><a href="/wiki/Iloczyn_kompleksowy" title="Iloczyn kompleksowy">iloczyn kompleksowy</a></li> <li><a href="/wiki/Podgrupa_torsyjna" title="Podgrupa torsyjna">podgrupa torsyjna</a></li> <li><a href="/wiki/Krata_podgrup" title="Krata podgrup">krata podgrup</a> <ul><li><a href="/wiki/Modularno%C5%9B%C4%87" title="Modularność">modularność</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a4_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Podgrupa_normalna" title="Podgrupa normalna">normalne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Kongruencja_(algebra)" title="Kongruencja (algebra)">kongruencja</a></li> <li><a href="/wiki/Zgodno%C5%9B%C4%87_relacji_z_dzia%C5%82aniem" title="Zgodność relacji z działaniem">zgodność relacji z działaniem</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_ilorazowa" title="Grupa ilorazowa">grupa ilorazowa</a></li></ul> </td></tr><tr class="a4_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Podgrupa_charakterystyczna" title="Podgrupa charakterystyczna">charakterystyczne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Komutant" title="Komutant">komutant</a></li> <li><a href="/wiki/Norma_(teoria_grup)" title="Norma (teoria grup)">norma</a></li> <li><a href="/wiki/Podgrupa_Frattiniego" title="Podgrupa Frattiniego">podgrupa Frattiniego</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a5"><th class="navbox-group opis" scope="row">dalsze pojęcia</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Przemienno%C5%9B%C4%87" title="Przemienność">przemienność</a></li> <li><a href="/wiki/Rz%C4%85d_(teoria_grup)" title="Rząd (teoria grup)">rząd grupy i jej elementu</a></li> <li><a href="/wiki/Iloczyny_grup" title="Iloczyny grup">iloczyny grup</a> <ul><li><a href="/wiki/Iloczyny_grup#Suma_prosta" title="Iloczyny grup">suma prosta</a></li> <li><a href="/wiki/Splot_(teoria_grup)" title="Splot (teoria grup)">splot</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Zbi%C3%B3r_generator%C3%B3w_grupy" title="Zbiór generatorów grupy">zbiór generatorów grupy</a></li> <li><a href="/wiki/Komutator_(matematyka)" title="Komutator (matematyka)">komutator</a></li> <li><a href="/wiki/Dzia%C5%82anie_grupy_na_zbiorze" title="Działanie grupy na zbiorze">działanie grupy na zbiorze</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6"><th class="navbox-group opis" scope="row">rodzaje grup</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a6_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Grupa_przemienna" title="Grupa przemienna">przemienne</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Sko%C5%84czenie_generowana_grupa_przemienna" title="Skończenie generowana grupa przemienna">skończenie generowane grupy przemienne</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_czw%C3%B3rkowa_Kleina" title="Grupa czwórkowa Kleina">grupy czwórkowe Kleina</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_cykliczna" title="Grupa cykliczna">grupy cykliczne</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_trywialna" title="Grupa trywialna">grupy trywialne</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Grupa_abelowa_wolna" title="Grupa abelowa wolna">grupa abelowa wolna</a></li></ul> </td></tr><tr class="a6_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">inne</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_addytywna" title="Grupa addytywna">addytywna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_algebraiczna" title="Grupa algebraiczna">algebraiczna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_charakterystycznie_prosta" title="Grupa charakterystycznie prosta">charakterystycznie prosta</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Coxetera" title="Grupa Coxetera">Coxetera</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_doskona%C5%82a" title="Grupa doskonała">doskonała</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Galois" title="Grupa Galois">Galois</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Hamiltona" title="Grupa Hamiltona">Hamiltona</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Hopfa" title="Grupa Hopfa">Hopfa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_Liego" title="Grupa Liego">Liego</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_lokalnie_sko%C5%84czona" title="Grupa lokalnie skończona">lokalnie skończona</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_multiplikatywna" title="Grupa multiplikatywna">multiplikatywna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_nilpotentna" title="Grupa nilpotentna">nilpotentna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_odbi%C4%87" title="Grupa odbić">odbić</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_pe%C5%82na" title="Grupa pełna">pełna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_podstawowa" title="Grupa podstawowa">podstawowa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_prosta" title="Grupa prosta">prosta</a></li> <li><a href="/wiki/P-grupa" title="P-grupa">p-grupa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_rozwi%C4%85zalna" title="Grupa rozwiązalna">rozwiązalna</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_superrozwi%C4%85zalna" title="Grupa superrozwiązalna">superrozwiązalna</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/Grupa_symetrii" title="Grupa symetrii">symetrii</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_torsyjna" title="Grupa torsyjna">torsyjna</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_wolna" title="Grupa wolna">wolna</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a7"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Twierdzenie" title="Twierdzenie">twierdzenia</a><br />o grupach</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a7_1"><th class="navbox-group opis" scope="row">skończonych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Lagrange%E2%80%99a_(teoria_grup)" title="Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)">Lagrange’a</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cayleya" title="Twierdzenie Cayleya">Cayleya</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Cauchy%E2%80%99ego_(teoria_grup)" title="Twierdzenie Cauchy’ego (teoria grup)">Cauchy’ego</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenia_Sylowa" title="Twierdzenia Sylowa">Sylowa</a></li> <li><a href="/wiki/Klasyfikacja_sko%C5%84czonych_grup_prostych" title="Klasyfikacja skończonych grup prostych">klasyfikacja skończonych grup prostych</a></li></ul> </td></tr><tr class="a7_2"><th class="navbox-group opis" scope="row">dowolnych</th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Twierdzenie_Jordana-H%C3%B6ldera" title="Twierdzenie Jordana-Höldera">Jordana-Höldera</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_Schreiera" title="Twierdzenie Schreiera">Schreiera</a></li> <li><a href="/wiki/Twierdzenie_o_odpowiednio%C5%9Bci" title="Twierdzenie o odpowiedniości">o odpowiedniości</a></li> <li><a href="/wiki/Lemat_Goursata" title="Lemat Goursata">lemat Goursata</a></li> <li><a href="/wiki/Lemat_Zassenhausa" title="Lemat Zassenhausa">lemat Zassenhausa</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr><tr class="a8"><th class="navbox-group opis" scope="row">grupy<br />z dodatkowymi<br /><a href="/wiki/Struktura_matematyczna" title="Struktura matematyczna">strukturami</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_z_operatorami" title="Grupa z operatorami">grupa z operatorami</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_uporz%C4%85dkowana" title="Grupa uporządkowana">grupa uporządkowana</a></li> <li><a href="/wiki/Grupa_topologiczna" title="Grupa topologiczna">grupa topologiczna</a> <ul><li><a href="/wiki/Grupa_dyskretna" title="Grupa dyskretna">grupa dyskretna</a></li></ul></li></ul> </td></tr><tr class="a9"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Uog%C3%B3lnienie" title="Uogólnienie">uogólnienia</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Monoid" title="Monoid">monoid</a></li> <li><a href="/wiki/P%C3%B3%C5%82grupa" title="Półgrupa">półgrupa</a></li> <li><a href="/wiki/Grupoid" title="Grupoid">grupoid</a></li> <li><a href="/wiki/Kategoria_(matematyka)" title="Kategoria (matematyka)">kategoria</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/Naukowiec" title="Naukowiec">uczeni</a> według<br />daty narodzin</th><td class="navbox-list spis"><table class="inner-standard"><tbody><tr class="a10_1"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XVIII_wiek" title="XVIII wiek">XVIII wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/wiki/Joseph_Louis_Lagrange" title="Joseph Louis Lagrange">Joseph Louis Lagrange</a></li> <li><a href="/wiki/Augustin_Louis_Cauchy" title="Augustin Louis Cauchy">Augustin Louis Cauchy</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10_2"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XIX_wiek" title="XIX wiek">XIX wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-even"> <ul><li><a href="/wiki/Niels_Henrik_Abel" title="Niels Henrik Abel">Niels Henrik Abel</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89variste_Galois" title="Évariste Galois">Évariste Galois</a></li> <li><a href="/wiki/Peter_Sylow" title="Peter Sylow">Peter Sylow</a></li> <li><a href="/wiki/Marie_Ennemond_Camille_Jordan" title="Marie Ennemond Camille Jordan">Marie Ennemond Camille Jordan</a></li> <li><a href="/wiki/Marius_Sophus_Lie" title="Marius Sophus Lie">Marius Sophus Lie</a></li> <li><a href="/wiki/%C3%89douard_Goursat" title="Édouard Goursat">Édouard Goursat</a></li> <li><a href="/wiki/Otto_Ludwig_H%C3%B6lder" title="Otto Ludwig Hölder">Otto Ludwig Hölder</a></li> <li><a href="/wiki/Heinz_Hopf" title="Heinz Hopf">Heinz Hopf</a></li></ul> </td></tr><tr class="a10_3"><th class="navbox-group opis" scope="row"><a href="/wiki/XX_wiek" title="XX wiek">XX wiek</a></th><td class="navbox-list spis hlist navbox-odd"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=Otto_Schreier&action=edit&redlink=1" class="new" title="Otto Schreier (strona nie istnieje)">Otto Schreier</a><sup>(<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Otto_Schreier" class="extiw" title="en:Otto Schreier">en</a>)</sup></li> <li><a href="/wiki/Hans_Julius_Zassenhaus" title="Hans Julius Zassenhaus">Hans Julius Zassenhaus</a></li></ul> </td></tr></tbody></table></td></tr></tbody></table><div class="navbox-after after"> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Plik:Circle_as_Lie_group.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/100px-Circle_as_Lie_group.svg.png" decoding="async" width="100" height="100" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/150px-Circle_as_Lie_group.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Circle_as_Lie_group.svg/200px-Circle_as_Lie_group.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span> </p> </div></div></div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r74016753">.mw-parser-output #normdaten>div+div{margin-top:0.5em}.mw-parser-output #normdaten>div>div{background:var(--background-color-neutral,#eaecf0);padding:.2em .5em}.mw-parser-output #normdaten ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output #normdaten ul li:first-child{padding-left:.5em;border-left:1px solid var(--border-color-base,#a2a9b1)}</style> <div id="normdaten" class="catlinks"><div class="normdaten-typ-fehlt"><div><a href="/wiki/Kontrola_autorytatywna" title="Kontrola autorytatywna">Kontrola autorytatywna</a> (<span class="description">pojęcie geometryczne</span>):</div><ul><li><a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://d-nb.info/gnd/4202708-1">4202708-1</a></span></li><li><a href="/wiki/Centralna_Biblioteka_Narodowa_we_Florencji" title="Centralna Biblioteka Narodowa we Florencji">BNCF</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://thes.bncf.firenze.sbn.it/termine.php?id=8106">8106</a></span></li></ul></div><div class="normdaten-andere"><div><a href="/wiki/Encyklopedia_internetowa" title="Encyklopedia internetowa">Encyklopedie internetowe</a>:</div> <ul><li><a href="/wiki/Encyklopedia_PWN_(internetowa)" title="Encyklopedia PWN (internetowa)">PWN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://encyklopedia.pwn.pl/haslo/;4010387.html">4010387</a></span></li> <li><a href="/wiki/Encyklopedia_Britannica" title="Encyklopedia Britannica">Britannica</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.britannica.com/topic/vector-physics">topic/vector-physics</a></span></li> <li><a href="/wiki/Store_norske_leksikon" title="Store norske leksikon">SNL</a>: <span class="uid"><a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=4342&url_prefix=https://snl.no/&id=vektor_-_matematikk%2C_fysikk%2C_teknikk">vektor_-_matematikk,_fysikk,_teknikk</a></span></li> <li><a href="/wiki/Den_Store_Danske_Encyklop%C3%A6di" title="Den Store Danske Encyklopædi">DSDE</a>: <span class="uid"><a class="external text" href="https://wikidata-externalid-url.toolforge.org/?p=8313&url_prefix=https://lex.dk/&id=vektor_-_matematisk_begreb">vektor_-_matematisk_begreb</a></span></li></ul> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Źródło: „<a dir="ltr" href="https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Wektor&oldid=75198361">https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Wektor&oldid=75198361</a>”</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Specjalna:Kategorie" title="Specjalna:Kategorie">Kategorie</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategoria:Wektory" title="Kategoria:Wektory">Wektory</a></li><li><a href="/wiki/Kategoria:Geometria" title="Kategoria:Geometria">Geometria</a></li></ul></div></div> </div> </main> </div> <div class="mw-footer-container"> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Tę stronę ostatnio edytowano 10 lis 2024, 08:08.</li> <li id="footer-info-copyright">Tekst udostępniany na licencji <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pl">Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach</a>, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. 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