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<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Oktaeder – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"57791ae9-0ae1-4524-a36a-a976ae179883","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Oktaeder","wgTitle":"Oktaeder","wgCurRevisionId":250060353,"wgRevisionId":250060353,"wgArticleId":3720,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Platonischer Körper"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Oktaeder","wgRelevantArticleId":3720,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":250060353,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q188884","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false}; 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border-bottom-width: 1px; font-size:95%; margin-bottom:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="Vorlage_Dieser_Artikel"><div class="noviewer noresize" style="display: table-cell; padding-bottom: 0.2em; padding-left: 0.25em; padding-right: 1em; padding-top: 0.2em; vertical-align: middle;" id="bksicon" aria-hidden="true" role="presentation"><span typeof="mw:File"><span><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/25px-Disambig-dark.svg.png" decoding="async" width="25" height="19" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/38px-Disambig-dark.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Disambig-dark.svg/50px-Disambig-dark.svg.png 2x" data-file-width="444" data-file-height="340" /></span></span></div> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div role="navigation"> Dieser Artikel beschreibt den Oktaeder allgemein, für die Zentralabituraufgabe in Nordrhein-Westfalen 2008 siehe <a href="/wiki/Oktaeder_des_Grauens" title="Oktaeder des Grauens">Oktaeder des Grauens</a>.</div> </div></div> <div class="float-right"> </div> <p><b>Oktaeder</b> bedeutet <i>Achtflächner</i> und bezeichnet in umfassender Bedeutung jedes Polyeder mit acht Seiten. Dazu zählen neben weitgehend unregelmäßigen Polyedern auch: </p> <ul><li>(regelmäßige) Siebeneck-Pyramide<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li> <li>(regelmäßiger) Sechseck-Pyramidenstumpf</li> <li>(regelmäßiges) Sechseckiges <a href="/wiki/Prisma_(Geometrie)" title="Prisma (Geometrie)">Prisma</a><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li> <li>(regelmäßiger) <a href="/wiki/Tetraederstumpf" title="Tetraederstumpf">Tetraederstumpf</a></li> <li>Viereck-<a href="/wiki/Doppelpyramide" title="Doppelpyramide">Doppelpyramide</a></li></ul> <ul class="gallery mw-gallery-traditional"> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Datei:01_Siebeneck-Pyramide.svg" class="mw-file-description" title="Siebeneck-Pyramide"><img alt="Siebeneck-Pyramide" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/01_Siebeneck-Pyramide.svg/120px-01_Siebeneck-Pyramide.svg.png" decoding="async" width="120" height="112" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/01_Siebeneck-Pyramide.svg/180px-01_Siebeneck-Pyramide.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/01_Siebeneck-Pyramide.svg/240px-01_Siebeneck-Pyramide.svg.png 2x" data-file-width="331" data-file-height="308" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Siebeneck-Pyramide</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Datei:01_Sechseck-Pyramidenstumpf.svg" class="mw-file-description" title="Sechseck-Pyramidenstumpf"><img alt="Sechseck-Pyramidenstumpf" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/01_Sechseck-Pyramidenstumpf.svg/120px-01_Sechseck-Pyramidenstumpf.svg.png" decoding="async" width="120" height="109" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/01_Sechseck-Pyramidenstumpf.svg/180px-01_Sechseck-Pyramidenstumpf.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/01_Sechseck-Pyramidenstumpf.svg/240px-01_Sechseck-Pyramidenstumpf.svg.png 2x" data-file-width="332" data-file-height="301" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Sechseck-Pyramidenstumpf</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Datei:Hexagonal_Prism_red_blue.svg" class="mw-file-description" title="Sechseckprisma"><img alt="Sechseckprisma" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/Hexagonal_Prism_red_blue.svg/120px-Hexagonal_Prism_red_blue.svg.png" decoding="async" width="120" height="109" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/Hexagonal_Prism_red_blue.svg/180px-Hexagonal_Prism_red_blue.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/Hexagonal_Prism_red_blue.svg/240px-Hexagonal_Prism_red_blue.svg.png 2x" data-file-width="311" data-file-height="282" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Sechseckprisma</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Datei:Truncatedtetrahedron.jpg" class="mw-file-description" title="Tetraederstumpf"><img alt="Tetraederstumpf" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Truncatedtetrahedron.jpg/120px-Truncatedtetrahedron.jpg" decoding="async" width="120" height="107" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Truncatedtetrahedron.jpg/180px-Truncatedtetrahedron.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Truncatedtetrahedron.jpg/240px-Truncatedtetrahedron.jpg 2x" data-file-width="867" data-file-height="773" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Tetraederstumpf</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Datei:Tetragonal_bipyramid.svg" class="mw-file-description" title="Viereck-Doppelpyramide"><img alt="Viereck-Doppelpyramide" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Tetragonal_bipyramid.svg/111px-Tetragonal_bipyramid.svg.png" decoding="async" width="111" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Tetragonal_bipyramid.svg/166px-Tetragonal_bipyramid.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Tetragonal_bipyramid.svg/222px-Tetragonal_bipyramid.svg.png 2x" data-file-width="740" data-file-height="800" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Viereck-Doppelpyramide</div> </li> </ul> <p>Ist das Viereck der Viereck-Doppelpyramide ein Quadrat und sind die Kanten zu den beiden anderen Ecken genauso lang wie die Seiten des Vierecks, so ergibt sich ein regelmäßiger Achtflächner aus kongruenten Seiten, gleichlangen Kanten und gleichen Winkeln in allen Ecken. Im allgemeinen Sprachgebrauch wird mit Oktaeder nur dieser regelmäßige Polyeder bezeichnet. </p><p>Dieser Artikel handelt im Folgenden vom Oktaeder als regelmäßiger Achtflächner. </p> <div style="clear:both;"></div> <table class="wikitable float-right"> <tbody><tr class="hintergrundfarbe6"> <th colspan="2">Oktaeder </th></tr> <tr> <td colspan="2" style="text-align:center"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><a href="/wiki/Datei:120px-Octahedron-slowturn.gif" class="mw-file-description" title="Animation"><img alt="Animation" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/41/120px-Octahedron-slowturn.gif" decoding="async" width="120" height="120" class="mw-file-element" data-file-width="120" data-file-height="120" /></a></span> </td></tr> <tr> <td>Art der Seitenflächen </td> <td style="text-align:center">gleichseitige Dreiecke </td></tr> <tr> <td>Anzahl der Flächen </td> <td style="text-align:center">8 </td></tr> <tr> <td>Anzahl der Ecken </td> <td style="text-align:center">6 </td></tr> <tr> <td>Anzahl der Kanten </td> <td style="text-align:center">12 </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Schl%C3%A4fli-Symbol" title="Schläfli-Symbol">Schläfli-Symbol</a> </td> <td style="text-align:center">{3,4} </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/Dualit%C3%A4t_(Mathematik)#Dualität_von_Polytopen" title="Dualität (Mathematik)">dual</a> zu </td> <td style="text-align:center"><a href="/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie)" title="Würfel (Geometrie)">Hexaeder (Würfel)</a> </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/K%C3%B6rpernetz" class="mw-redirect" title="Körpernetz">Körpernetz</a> </td> <td style="text-align:center"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Datei:Octahedron_flat.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Octahedron_flat.svg/80px-Octahedron_flat.svg.png" decoding="async" width="80" height="60" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Octahedron_flat.svg/120px-Octahedron_flat.svg.png 1.5x, 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style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="/wiki/Altgriechische_Sprache" title="Altgriechische Sprache">altgriechisch</a></span> <span lang="grc-Grek" class="Grek" style="font-style:normal">ὀκτάεδρος</span> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r183723573">.mw-parser-output .Latn{font-family:"Akzidenz Grotesk","Arial","Avant Garde Gothic","Calibri","Futura","Geneva","Gill Sans","Helvetica","Lucida Grande","Lucida Sans Unicode","Lucida Grande","Stone Sans","Tahoma","Trebuchet","Univers","Verdana"}</style><span class="Latn" lang="grc-Latn" style="font-weight:normal;font-style:italic">oktáedros</span>, deutsch <span lang="de" style="font-style:normal;font-weight:normal">‚achtseitig‘</span>)<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> ist einer der fünf <a href="/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper" title="Platonischer Körper">platonischen Körper</a>, genauer ein regelmäßiges <a href="/wiki/Polyeder" title="Polyeder">Polyeder</a> <i>(Vielflach</i>, <i>Vielflächner)</i> mit </p> <ul><li>8 <a href="/wiki/Kongruenz_(Geometrie)" title="Kongruenz (Geometrie)">kongruenten</a> <a href="/wiki/Gleichseitiges_Dreieck" title="Gleichseitiges Dreieck">gleichseitigen Dreiecken</a> als <a href="/wiki/Seitenfl%C3%A4che" class="mw-redirect" title="Seitenfläche">Seitenflächen</a></li> <li>12 gleich langen Kanten und</li> <li>6 Ecken, in denen jeweils vier Seitenflächen zusammentreffen</li></ul> <p>Es ist sowohl eine gleichseitige vierseitige <a href="/wiki/Doppelpyramide" title="Doppelpyramide">Doppelpyramide</a> mit <a href="/wiki/Quadratisch" class="mw-redirect" title="Quadratisch">quadratischer</a> Grundfläche – in seiner Eigenschaft als das regelmäßige <a href="/wiki/Kreuzpolytop" title="Kreuzpolytop">Kreuzpolytop</a> der dritten Dimension – als auch ein gleichseitiges <a href="/wiki/Antiprisma" title="Antiprisma">Antiprisma</a> mit einem <a href="/wiki/Gleichseitiges_Dreieck" title="Gleichseitiges Dreieck">gleichseitigen Dreieck</a> als <a href="/wiki/Grundfl%C3%A4che_(Geometrie)" title="Grundfläche (Geometrie)">Grundfläche</a>. </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Symmetrie"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Symmetrie</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Konstruktion"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Konstruktion</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-3"><a href="#Beziehungen_zu_anderen_Polyedern"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Beziehungen zu anderen Polyedern</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-4"><a href="#Formeln"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Formeln</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Flächen,_Winkel,_Radien,_Koordinaten"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">Flächen, Winkel, Radien, Koordinaten</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Punkte_des_Oktaeders"><span class="tocnumber">5.1</span> <span class="toctext">Punkte des Oktaeders</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Winkel"><span class="tocnumber">5.2</span> <span class="toctext">Winkel</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="#Um-,_In-_und_Kanten-Kugelradien"><span class="tocnumber">5.3</span> <span class="toctext">Um-, In- und Kanten-Kugelradien</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#Oberfläche,_Volumen"><span class="tocnumber">5.4</span> <span class="toctext">Oberfläche, Volumen</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#Raumwinkel_in_den_Ecken"><span class="tocnumber">5.5</span> <span class="toctext">Raumwinkel in den Ecken</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-11"><a href="#Definition_als_Menge_von_Punkten"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">Definition als Menge von Punkten</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#Verallgemeinerung"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">Verallgemeinerung</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-13"><a href="#Netze_des_Oktaeders"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">Netze des Oktaeders</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-14"><a href="#Graphen,_duale_Graphen,_Zyklen,_Färbungen"><span class="tocnumber">9</span> <span class="toctext">Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-15"><a href="#Raumfüllungen_mit_Oktaedern"><span class="tocnumber">10</span> <span class="toctext">Raumfüllungen mit Oktaedern</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-16"><a href="#Anwendungen"><span class="tocnumber">11</span> <span class="toctext">Anwendungen</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-17"><a href="#Siehe_auch"><span class="tocnumber">12</span> <span class="toctext">Siehe auch</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-18"><a href="#Weblinks"><span class="tocnumber">13</span> <span class="toctext">Weblinks</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-19"><a href="#Einzelnachweise"><span class="tocnumber">14</span> <span class="toctext">Einzelnachweise</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Symmetrie">Symmetrie</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Symmetrie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Symmetrie"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div style="float:right;"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:01_Oktaeder-Quadrate.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/01/01_Oktaeder-Quadrate.png/200px-01_Oktaeder-Quadrate.png" decoding="async" width="200" height="199" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/01/01_Oktaeder-Quadrate.png/300px-01_Oktaeder-Quadrate.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/01/01_Oktaeder-Quadrate.png/400px-01_Oktaeder-Quadrate.png 2x" data-file-width="546" data-file-height="544" /></a><figcaption>Drei senkrecht zueinander stehende Quadrate, die jeweils die Grundfläche einer Doppelpyramide bilden</figcaption></figure></div> <div style="float:right;"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:01_Oktaeder-Symmetrie.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/01_Oktaeder-Symmetrie.png/240px-01_Oktaeder-Symmetrie.png" decoding="async" width="240" height="202" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/01_Oktaeder-Symmetrie.png/360px-01_Oktaeder-Symmetrie.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/01_Oktaeder-Symmetrie.png/480px-01_Oktaeder-Symmetrie.png 2x" data-file-width="940" data-file-height="793" /></a><figcaption>Oktaeder mit Beispielen der Drehachsen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{4},C_{3},C_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{4},C_{3},C_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6642e401e64fbae656ecfe91efc164c33358b2ae" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.216ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{4},C_{3},C_{2}}" /></span> und zwei Symmetrieebenen (rot bzw. grün)</figcaption></figure></div> <p>Wegen seiner hohen <a href="/wiki/Symmetrie_(Geometrie)" title="Symmetrie (Geometrie)">Symmetrie</a> – alle <a href="/wiki/Ecke" title="Ecke">Ecken</a>, Kanten und <a href="/wiki/Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Flächen</a> sind untereinander gleichartig – ist das Oktaeder ein <a href="/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper" title="Platonischer Körper">reguläres Polyeder</a>. Es hat: </p> <ul><li>3 vierzählige <a href="/wiki/Drehachse" class="mw-redirect" title="Drehachse">Drehachsen</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{4}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{4}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59cf1a8e46030a81fc175be95561e4f161241a70" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{4}}" /></span> (durch gegenüberliegende Ecken)</li> <li>4 dreizählige Drehachsen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e9abeb5057b7afbf88e3169101849354f13c65" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{3}}" /></span> (durch die <a href="/wiki/Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkte</a> gegenüberliegender <a href="/wiki/Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Flächen</a>)</li> <li>6 zweizählige Drehachsen <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C_{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec545f7870665e1028b7492746848d149878808" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.716ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C_{2}}" /></span> (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)</li> <li>9 <a href="/wiki/Symmetrieebene" class="mw-redirect" title="Symmetrieebene">Symmetrieebenen</a> (3 Ebenen durch je vier Ecken (z. B. rot), 6 Ebenen durch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte (z. B. grün))</li> <li>14 <a href="/wiki/Drehspiegelung" title="Drehspiegelung">Drehspiegelungen</a> (6 um 90° mit den <a href="/wiki/Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebenen</a> durch je vier Ecken und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)</li></ul> <p>und ist </p> <ul><li><a href="/wiki/Punktsymmetrie" title="Punktsymmetrie">punktsymmetrisch</a> zum Mittelpunkt.</li></ul> <p>Insgesamt hat die <a href="/wiki/Symmetriegruppe" title="Symmetriegruppe">Symmetriegruppe</a> des Oktaeders – die <a href="/wiki/Oktaedergruppe" title="Oktaedergruppe">Oktaedergruppe</a> oder Würfelgruppe – 48 Elemente. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Konstruktion">Konstruktion</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Konstruktion" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Konstruktion"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:01_Oktaeder-Konstruktion.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/01_Oktaeder-Konstruktion.png/330px-01_Oktaeder-Konstruktion.png" decoding="async" width="330" height="331" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cd/01_Oktaeder-Konstruktion.png 1.5x" data-file-width="468" data-file-height="470" /></a><figcaption>Oktaeder, Konstruktionsskizze</figcaption></figure> <p><a href="/wiki/Euklid" title="Euklid">Euklid</a> beschreibt und beweist im dreizehnten Buch seines Werkes <a href="/wiki/Elemente_(Euklid)" title="Elemente (Euklid)"><i>Elemente</i></a>, unter Proposition 14, die Konstruktion des Oktaeders. </p> <div class="Vorlage_Zitat" style="margin:1em 40px;"> <div style="margin:1em 0;"><blockquote style="margin:0;"> <p>„Ein Oktaeder einer Kugel mit gegebenem Durchmesser einbeschreiben. Das Quadrat über dem Durchmesser der Kugel ist dann gleich dem doppelten Quadrat über der Kante des Oktaeders.“ </p> </blockquote> <blockquote style="margin:.5em 0 0 0;" lang="de-Latn"> <p>„Rudolf Haller“ </p> </blockquote></div><div class="cite" style="margin:-1em 0 1em 1em;">– <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r181095833">.mw-parser-output .Person{font-variant:small-caps}</style><span class="Person h-card">Euklid</span>: <cite style="font-style:normal">Stoicheia. Buch XIII.14.</cite><sup id="cite_ref-Haller_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-Haller-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></div></div> <p>Um den Aufwand zu minimieren, enthält die folgende <a href="/wiki/Sph%C3%A4rische_Geometrie" title="Sphärische Geometrie">sphärischen Darstellung</a> nur die Schritte, die für das Oktaeder vonnöten sind. Von Vorteil ist hierzu die Anwendung einer sogenannten <a href="/wiki/Dynamische_Geometrie" title="Dynamische Geometrie"><i>Dynamische-Geometrie-Software (DGS)</i></a>. </p><p>Gegeben sei eine <a href="/wiki/Umkugel" title="Umkugel">Umkugel</a>, z. B mit dem Radius gleich <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" /></span> und deren Mittelpunkt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle O}" /></span>. Beim Bestimmen der <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x-,\;y-}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi>y</mi> <mo>−</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x-,\;y-}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c153bad4326571f07ba948cb111658620bdc4b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.781ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x-,\;y-}" /></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z-}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>−</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z-}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9407be5420ab165f70f89789367bff6f72bb78f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.896ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z-}" /></span>Achsen eines kartesischen <a href="/wiki/Koordinatensystem" title="Koordinatensystem">Koordinatensystems</a> ergeben sich die Punkte <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,\;B\;C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi>B</mi> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,\;B\;C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf531d73a5e64f1d73810f5c96b10dc7163f9eb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.598ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A,\;B\;C}" /></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" /></span> auf der Oberfläche der Umkugel. </p><p>Vorab ist die Kantenlänge <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" /></span> des Oktaeders als Verbindung des Punktes <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" /></span> mit <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" /></span>, sprich <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |AC|=a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mi>C</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |AC|=a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec874a5eeddbee7d53d5c0845f288327dcd99a1c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.131ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |AC|=a}" /></span>, festzulegen.<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p><p>Für die eigentliche Konstruktion reichen vier Hauptschritte aus. Es beginnt mit dem Ziehen des ersten Kreises mit Richtung <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z-}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>−</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z-}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9407be5420ab165f70f89789367bff6f72bb78f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.896ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z-}" /></span>Achse um Mittelpunkt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>O</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.773ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle O}" /></span> und Radius <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |AO|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mi>O</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |AO|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4321e7feaf97d1397026e057de7aa2471a53b89a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.81ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |AO|}" /></span>. Anschließend wird der erste Eckpunkt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" /></span> beliebig auf dem Kreis positioniert. Der darauffolgende zweite (nicht eingezeichnete) Kreis mit Richtung parallel zur <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z-}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>−</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z-}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9407be5420ab165f70f89789367bff6f72bb78f4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.896ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z-}" /></span>Achse und Radius gleich der Kantenlänge <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |CF|}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> <mi>C</mi> <mi>F</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo stretchy="false">|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |CF|}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e4c7724b1a478b0445d6c80dbea0f3faa3a780e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.801ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |CF|}" /></span> um <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" /></span>, erzeugt die Eckpunkte <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" /></span> und <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>H</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" /></span>. Der dritte und letzte Kreis mit gleichem Radius und gleicher Richtung um <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" /></span> liefert den noch offenen Eckpunkt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>G</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" /></span>. Nach dem abschließenden Verbinden der betreffenden Eckpunkte ist das Oktaeder <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle EFGHCD}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mi>F</mi> <mi>G</mi> <mi>H</mi> <mi>C</mi> <mi>D</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle EFGHCD}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a8f71769a636c8293b0f8022c34c399166029f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.097ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle EFGHCD}" /></span> fertiggestellt. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beziehungen_zu_anderen_Polyedern">Beziehungen zu anderen Polyedern</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Beziehungen zu anderen Polyedern" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beziehungen zu anderen Polyedern"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div style="float:right;"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Sterntetraeder_im_W%C3%BCrfel.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Sterntetraeder_im_W%C3%BCrfel.svg/220px-Sterntetraeder_im_W%C3%BCrfel.svg.png" decoding="async" width="220" height="227" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Sterntetraeder_im_W%C3%BCrfel.svg/330px-Sterntetraeder_im_W%C3%BCrfel.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Sterntetraeder_im_W%C3%BCrfel.svg/440px-Sterntetraeder_im_W%C3%BCrfel.svg.png 2x" data-file-width="738" data-file-height="762" /></a><figcaption>Bild 2: Zwei regelmäßige Tetraeder in einem Würfel einbeschrieben ergeben ein Sterntetraeder</figcaption></figure></div><div style="float:right;"><figure class="mw-default-size mw-halign-left" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:01_Oktaeder-umschreibt_W%C3%BCrfel.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/01_Oktaeder-umschreibt_W%C3%BCrfel.svg/220px-01_Oktaeder-umschreibt_W%C3%BCrfel.svg.png" decoding="async" width="220" height="215" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/01_Oktaeder-umschreibt_W%C3%BCrfel.svg/330px-01_Oktaeder-umschreibt_W%C3%BCrfel.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/01_Oktaeder-umschreibt_W%C3%BCrfel.svg/440px-01_Oktaeder-umschreibt_W%C3%BCrfel.svg.png 2x" data-file-width="553" data-file-height="540" /></a><figcaption>Bild 1: Oktaeder (blau) mit <a href="/wiki/Dualit%C3%A4t_(Mathematik)#Dualität_von_Polytopen" title="Dualität (Mathematik)">dualem</a> <a href="/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie)" title="Würfel (Geometrie)">Würfel</a> (grün). Die <a href="/wiki/Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkte</a> (rot) der <a href="/wiki/Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Polygon" title="Regelmäßiges Polygon">regelmäßigen</a> <a href="/wiki/Dreieck" title="Dreieck">Dreiecke</a> sind die Ecken des Würfels.</figcaption></figure></div> <p>Das Oktaeder ist das zum Hexaeder (<a href="/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie)" title="Würfel (Geometrie)">Würfel</a>) <a href="/wiki/Dualit%C3%A4t_(Mathematik)#Dualität_von_Polytopen" title="Dualität (Mathematik)">duale</a> <a href="/wiki/Polyeder" title="Polyeder">Polyeder</a> (Bild 1) und umgekehrt. </p><p>Zwei <a href="/wiki/Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Tetraeder" class="mw-redirect" title="Regelmäßiges Tetraeder">regelmäßige Tetraeder</a> (siehe Bild 2: ein Tetraeder in Rottönen, das andere in Grüntönen) können in einem <a href="/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie)" title="Würfel (Geometrie)">Würfel</a> so einbeschrieben werden, dass die <a href="/wiki/Ecke" title="Ecke">Ecken</a> zugleich Würfelecken und die Kanten <a href="/wiki/Diagonale_(Geometrie)" title="Diagonale (Geometrie)">Diagonalen</a> der Würfelflächen sind. Die <a href="/wiki/Vereinigungsmenge" class="mw-redirect" title="Vereinigungsmenge">Vereinigungsmenge</a> ist ein <a href="/wiki/Sterntetraeder" title="Sterntetraeder">Sterntetraeder</a>. </p><p>Die <a href="/wiki/Dreidimensional" class="mw-redirect" title="Dreidimensional">dreidimensionale</a> <a href="/wiki/Schnittmenge" class="mw-redirect" title="Schnittmenge">Schnittmenge</a> der zwei Tetraeder (Bild 3) ist ein Oktaeder mit halber Seitenlänge. Setzt man auf die 8 <a href="/wiki/Seitenfl%C3%A4che" class="mw-redirect" title="Seitenfläche">Seitenflächen</a> des Oktaeders <a href="/wiki/Tetraeder" title="Tetraeder">Tetraeder</a> auf, entsteht ebenfalls ein Sterntetraeder. </p><p>Wird ein Oktaeder von einem <a href="/wiki/Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Tetraeder" class="mw-redirect" title="Regelmäßiges Tetraeder">regelmäßigen Tetraeder</a> umschrieben (Bild 4), sind die 6 <a href="/wiki/Ecke" title="Ecke">Ecken</a> des Oktaeders die <a href="/wiki/Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkte</a> der 6 Tetraederkanten und liegen 4 der 8 Oktaederflächen in den <a href="/wiki/Seitenfl%C3%A4che" class="mw-redirect" title="Seitenfläche">Seitenflächen</a> eines der beiden möglichen Tetraeder. Das Oktaeder entsteht also, wenn von einem Tetraeder mit doppelter Kantenlänge 4 Tetraeder mit derselben Seitenlänge abgeschnitten werden. </p><p>Mithilfe von Oktaeder und <a href="/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie)" title="Würfel (Geometrie)">Würfel</a> können zahlreiche <a href="/wiki/K%C3%B6rper_(Geometrie)" title="Körper (Geometrie)">Körper</a> konstruiert werden, die ebenfalls die <a href="/wiki/Oktaedergruppe" title="Oktaedergruppe">Oktaedergruppe</a> als <a href="/wiki/Symmetriegruppe" title="Symmetriegruppe">Symmetriegruppe</a> haben. So erhält man zum Beispiel </p> <ul><li>das <a href="/wiki/Oktaederstumpf" title="Oktaederstumpf">abgestumpfte Oktaeder</a> mit 8 <a href="/wiki/Sechseck" title="Sechseck">Sechsecken</a> und 6 <a href="/wiki/Quadrat" title="Quadrat">Quadraten</a></li> <li>das <a href="/wiki/Kuboktaeder" title="Kuboktaeder">Kuboktaeder</a> mit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14 <a href="/wiki/Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Flächen</a>, und 12 <a href="/wiki/Ecke" title="Ecke">Ecken</a></li> <li>den <a href="/wiki/Hexaederstumpf" title="Hexaederstumpf">abgestumpften Würfel</a> mit 8 <a href="/wiki/Dreieck" title="Dreieck">Dreiecken</a> und 6 <a href="/wiki/Achteck" title="Achteck">Achtecken</a></li></ul> <p>als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe <a href="/wiki/Archimedische_K%C3%B6rper" class="mw-redirect" title="Archimedische Körper">archimedische Körper</a>) und </p> <ul><li>das <a href="/wiki/Rhombendodekaeder" title="Rhombendodekaeder">Rhombendodekaeder</a> mit 8 + 6 = 14 Ecken und 12 <a href="/wiki/Raute" title="Raute">Rauten</a> als Flächen</li></ul> <p>als <a href="/wiki/Konvexe_H%C3%BClle" title="Konvexe Hülle">konvexe Hülle</a> einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem <a href="/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie)" title="Würfel (Geometrie)">Würfel</a>. </p> <div style="float:left;"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Oktaeder_im_Tetraeder.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Oktaeder_im_Tetraeder.svg/220px-Oktaeder_im_Tetraeder.svg.png" decoding="async" width="220" height="227" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Oktaeder_im_Tetraeder.svg/330px-Oktaeder_im_Tetraeder.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Oktaeder_im_Tetraeder.svg/440px-Oktaeder_im_Tetraeder.svg.png 2x" data-file-width="738" data-file-height="762" /></a><figcaption>Bild 3: Zwei <a href="/wiki/Tetraeder" title="Tetraeder">Tetraeder</a> im <a href="/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie)" title="Würfel (Geometrie)">Würfel</a> haben als <a href="/wiki/Dreidimensional" class="mw-redirect" title="Dreidimensional">dreidimensionale</a> <a href="/wiki/Schnittmenge" class="mw-redirect" title="Schnittmenge">Schnittmenge</a> ein Oktaeder mit halber Seitenlänge.</figcaption></figure></div><div style="float:left;"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:01_Tetraeder-umschreibt_Oktaeder.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/01_Tetraeder-umschreibt_Oktaeder.png/220px-01_Tetraeder-umschreibt_Oktaeder.png" decoding="async" width="220" height="224" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/01_Tetraeder-umschreibt_Oktaeder.png/330px-01_Tetraeder-umschreibt_Oktaeder.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/01_Tetraeder-umschreibt_Oktaeder.png/440px-01_Tetraeder-umschreibt_Oktaeder.png 2x" data-file-width="735" data-file-height="747" /></a><figcaption>Bild 4: Ein <a href="/wiki/Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Tetraeder" class="mw-redirect" title="Regelmäßiges Tetraeder">regelmäßiges Tetraeder</a> mit doppelter Seitenlänge umschreibt ein Oktaeder. Die 6 <a href="/wiki/Ecke" title="Ecke">Ecken</a> des Oktaeders sind dann die <a href="/wiki/Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkte</a> der 6 Tetraederkanten.</figcaption></figure></div> <div style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formeln">Formeln</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Formeln" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Formeln"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die folgende Tabelle ist eine Zusammenstellung von metrischen Eigenschaften eines regulären Oktaeders, die im nächsten Abschnitt hergeleitet werden. </p> <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th colspan="3" style="background:#C0C0FF">Größen eines Oktaeders mit Kantenlänge <i>a</i> </th></tr> <tr> <td class="hintergrundfarbe5"><b><a href="/wiki/Volumen" title="Volumen">Volumen</a></b> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{3}}\;a^{3}\approx 0{,}471\cdot a^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>≈</mo> <mn>0,471</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{3}}\;a^{3}\approx 0{,}471\cdot a^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b392acf0d10ec6bf83e79024376fdb0cf53857d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.108ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{3}}\;a^{3}\approx 0{,}471\cdot a^{3}}" /></span> </td> <td rowspan="11"> <p><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Datei:01_Oktaeder-Gr%C3%B6%C3%9Fen.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/01_Oktaeder-Gr%C3%B6%C3%9Fen.png/400px-01_Oktaeder-Gr%C3%B6%C3%9Fen.png" decoding="async" width="400" height="401" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/01_Oktaeder-Gr%C3%B6%C3%9Fen.png/600px-01_Oktaeder-Gr%C3%B6%C3%9Fen.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/01_Oktaeder-Gr%C3%B6%C3%9Fen.png 2x" data-file-width="640" data-file-height="642" /></a></span><br /><br /> </p> <dl><dd><dl><dd><dl><dd> ohne Raumwinkel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" /></span> in den Ecken</dd></dl></dd></dl></dd></dl> </td></tr> <tr> <td class="hintergrundfarbe5"><b><a href="/wiki/Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Oberflächeninhalt</a></b> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{O}=2{\sqrt {3}}\;a^{2}\approx 3{,}464\cdot a^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>O</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>≈</mo> <mn>3,464</mn> <mo>⋅</mo> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{O}=2{\sqrt {3}}\;a^{2}\approx 3{,}464\cdot a^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f894dcb87017930c944b213fc9145e1a40143ed1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.876ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle A_{O}=2{\sqrt {3}}\;a^{2}\approx 3{,}464\cdot a^{2}}" /></span> </td></tr> <tr> <td class="hintergrundfarbe5"><b><a href="/wiki/Umkugel" title="Umkugel">Umkugelradius</a></b> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{u}={\frac {a}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707\cdot a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>0,707</mn> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{u}={\frac {a}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707\cdot a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0c8105981e3455eb7111289df20732000756d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:20.558ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle r_{u}={\frac {a}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707\cdot a}" /></span> </td></tr> <tr> <td class="hintergrundfarbe5"><b><a href="/wiki/Kantenkugel" title="Kantenkugel">Kantenkugelradius</a></b> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{k}={\frac {a}{2}}=0{,}5\cdot a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{k}={\frac {a}{2}}=0{,}5\cdot a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bca3c06650eb9978c69a33c1f330e2df3419a15" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.281ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle r_{k}={\frac {a}{2}}=0{,}5\cdot a}" /></span> </td></tr> <tr> <td class="hintergrundfarbe5"><b><a href="/wiki/Inkugel" title="Inkugel">Inkugelradius</a></b> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{i}={\frac {a}{\sqrt {6}}}\approx 0{,}408\cdot a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <msqrt> <mn>6</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>0,408</mn> <mo>⋅</mo> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{i}={\frac {a}{\sqrt {6}}}\approx 0{,}408\cdot a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f4278330e4124e96f1e999efa3c93d9720a75da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:20.185ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle r_{i}={\frac {a}{\sqrt {6}}}\approx 0{,}408\cdot a}" /></span> </td></tr> <tr> <td class="hintergrundfarbe5"><b>Verhältnis von Volumen<br /> zu Umkugelvolumen</b> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {V}{V_{UK}}}={\frac {1}{\pi }}\approx 0{,}318}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>V</mi> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>U</mi> <mi>K</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>π</mi> </mfrac> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>0,318</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {V}{V_{UK}}}={\frac {1}{\pi }}\approx 0{,}318}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbad889c10e577020432ab15263921f27eb14e17" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.807ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {V}{V_{UK}}}={\frac {1}{\pi }}\approx 0{,}318}" /></span> </td></tr> <tr> <td class="hintergrundfarbe5"><b>Innenwinkel des<br /><a href="/wiki/Gleichseitiges_Dreieck#Berechnung_und_Konstruktion" title="Gleichseitiges Dreieck">gleichseitigen Dreiecks</a></b> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =60^{\circ }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <msup> <mn>60</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =60^{\circ }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8bb80edab58940ec048c39247408f7c58a06642" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.965ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \alpha =60^{\circ }}" /></span> </td></tr> <tr> <td class="hintergrundfarbe5"><b>Winkel zwischen<br />benachbarten Flächen</b> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =2\arctan {\sqrt {2}}\approx 109{,}47^{\circ }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>arctan</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>109</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <msup> <mn>47</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =2\arctan {\sqrt {2}}\approx 109{,}47^{\circ }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4702aa83c8c848fdad4f1c15214c11707504d7a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.543ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \beta =2\arctan {\sqrt {2}}\approx 109{,}47^{\circ }}" /></span> </td></tr> <tr> <td class="hintergrundfarbe5"><b>Winkel zwischen<br />Grundfläche<br /> und Seitenfläche</b> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma =\arctan {\sqrt {2}}\approx 54{,}73^{\circ }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> <mo>=</mo> <mi>arctan</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>54</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <msup> <mn>73</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma =\arctan {\sqrt {2}}\approx 54{,}73^{\circ }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd81675d06920888a50ededd9081eb6136a13e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.762ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma =\arctan {\sqrt {2}}\approx 54{,}73^{\circ }}" /></span> </td></tr> <tr> <td class="hintergrundfarbe5"><b><a href="/wiki/Raumwinkel" title="Raumwinkel">Raumwinkel</a> in den Ecken</b> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega =8\arctan {\sqrt {2}}-2\pi \approx 1{,}35935\,\mathrm {sr} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mi>arctan</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo>≈</mo> <mn>1,359</mn> <mn>35</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega =8\arctan {\sqrt {2}}-2\pi \approx 1{,}35935\,\mathrm {sr} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1737bc3804f7184a036b32422b180011964ad99" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:34.547ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \Omega =8\arctan {\sqrt {2}}-2\pi \approx 1{,}35935\,\mathrm {sr} }" /></span> </td></tr> <tr> <td class="hintergrundfarbe5"><b> <a href="/wiki/Sph%C3%A4rizit%C3%A4t_(Geologie)" title="Sphärizität (Geologie)">Sphärizität</a></b> </td> <td><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Psi ={\sqrt[{3}]{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}\approx 0{,}846}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ψ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mfrac> <mi>π</mi> <mrow> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </mroot> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>0,846</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Psi ={\sqrt[{3}]{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}\approx 0{,}846}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd6091178d05222773dcebb3b6028239f86919a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:20.722ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \Psi ={\sqrt[{3}]{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}\approx 0{,}846}" /></span> </td></tr></tbody></table> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Flächen,_Winkel,_Radien,_Koordinaten"><span id="Fl.C3.A4chen.2C_Winkel.2C_Radien.2C_Koordinaten"></span>Flächen, Winkel, Radien, Koordinaten</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Flächen, Winkel, Radien, Koordinaten" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Flächen, Winkel, Radien, Koordinaten"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Punkte_des_Oktaeders">Punkte des Oktaeders</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Punkte des Oktaeders" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Punkte des Oktaeders"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Oktaeder-20-10.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/Oktaeder-20-10.svg/260px-Oktaeder-20-10.svg.png" decoding="async" width="260" height="277" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/Oktaeder-20-10.svg/390px-Oktaeder-20-10.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/Oktaeder-20-10.svg/520px-Oktaeder-20-10.svg.png 2x" data-file-width="301" data-file-height="321" /></a><figcaption>Regul. Oktaeder</figcaption></figure> <p>Ein Oktaeder mit der Kantenlänge <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" /></span> kann man sich aus zwei quadratischen <a href="/wiki/Pyramide_(Geometrie)" title="Pyramide (Geometrie)">Pyramiden</a> mit der Quadratlänge und der <a href="/wiki/Pyramide_(Geometrie)#Geometrische_Eigenschaften" title="Pyramide (Geometrie)">Seitenkantenlänge</a> gleich <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" /></span> zusammengesetzt denken. Wendet man den Satz von Pythagoras auf die Höhe <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}" /></span>, eine halbe Diagonale der Grundfläche und eine Seitenkante an, ergibt sich </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h={\frac {a}{\sqrt {2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\frac {a}{\sqrt {2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac33131a1e4036c2218ff0ec15656ac1c71bd92" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:8.372ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle h={\frac {a}{\sqrt {2}}}}" /></span>.</dd></dl> <p>Damit lassen sich die Punkte eines regulären Oktaeders mit der Kantenlänge <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" /></span> in einem kartesischen Koordinatensystem so beschreiben: </p> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(\pm {\frac {a}{2}},\pm {\frac {a}{2}},0\right),\ \left(0,0,\pm {\frac {a}{\sqrt {2}}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>±</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mo>±</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mtext> </mtext> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>±</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(\pm {\frac {a}{2}},\pm {\frac {a}{2}},0\right),\ \left(0,0,\pm {\frac {a}{\sqrt {2}}}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba3a46f2fc6d5911f61c200924f9f8097e2dea7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:29.699ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left(\pm {\frac {a}{2}},\pm {\frac {a}{2}},0\right),\ \left(0,0,\pm {\frac {a}{\sqrt {2}}}\right)}" /></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Winkel">Winkel</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Winkel" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Winkel"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Aus der Zeichnung erkennt man, dass für den Winkel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" /></span> zwischen der Grundfläche und einer Seitenfläche <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \tan \gamma ={\frac {h}{\frac {a}{2}}}={\sqrt {2}}\ }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>tan</mi> <mo>⁡</mo> <mi>γ</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>h</mi> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mtext> </mtext> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \tan \gamma ={\frac {h}{\frac {a}{2}}}={\sqrt {2}}\ }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a3f4dbf1ca704a88522320ef6511e76b468a1e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:18.395ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \ \tan \gamma ={\frac {h}{\frac {a}{2}}}={\sqrt {2}}\ }" /></span> gilt. Also ist der </p> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Oktaeder-0-0.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Oktaeder-0-0.svg/260px-Oktaeder-0-0.svg.png" decoding="async" width="260" height="267" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Oktaeder-0-0.svg/390px-Oktaeder-0-0.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Oktaeder-0-0.svg/520px-Oktaeder-0-0.svg.png 2x" data-file-width="243" data-file-height="250" /></a><figcaption>Regul. Oktaeder: Eigenschaften</figcaption></figure> <ul><li><i>Winkel</i> zwischen der Grundfläche und einer Seitenfläche gleich</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma =\arctan {\sqrt {2}}\approx 54{,}73^{\circ }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> <mo>=</mo> <mi>arctan</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>54</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <msup> <mn>73</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma =\arctan {\sqrt {2}}\approx 54{,}73^{\circ }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd81675d06920888a50ededd9081eb6136a13e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.762ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma =\arctan {\sqrt {2}}\approx 54{,}73^{\circ }}" /></span></dd></dl> <p>und der </p> <ul><li><i>Winkel</i> zwischen zwei Seitenflächen ist</li></ul> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =2\gamma \approx 109{,}47^{\circ }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>γ</mi> <mo>≈</mo> <mn>109</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <msup> <mn>47</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =2\gamma \approx 109{,}47^{\circ }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6c87ce5f1d5c791c0bf8a97dc8a50549877c52" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.467ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \beta =2\gamma \approx 109{,}47^{\circ }}" /></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Um-,_In-_und_Kanten-Kugelradien"><span id="Um-.2C_In-_und_Kanten-Kugelradien"></span>Um-, In- und Kanten-Kugelradien</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Um-, In- und Kanten-Kugelradien" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Um-, In- und Kanten-Kugelradien"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die Kugel, die die Kanten des Oktaeders berührt, berührt das Basisquadrat der Pyramide von innen. Also ist der </p> <ul><li><i>Kantenkugelradius</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ r_{k}={\frac {a}{2}}=0{,}5\;a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>5</mn> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ r_{k}={\frac {a}{2}}=0{,}5\;a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ffd467f80293f9b04c2af1361f812ffb9956a1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.828ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \ r_{k}={\frac {a}{2}}=0{,}5\;a}" /></span></li></ul> <p>Die Umkugel geht durch alle Oktaederpunkte und es ist der </p> <ul><li><i>Umkugelradius</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ r_{u}=h={\frac {a}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}71\;a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>71</mn> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ r_{u}=h={\frac {a}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}71\;a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4881da9124a90eba89a4e751c79f32f1de42f31a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:23.38ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \ r_{u}=h={\frac {a}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}71\;a}" /></span></li></ul> <p>Der Inkugelradius ist (im Bild) der Abstand des Nullpunktes zur Gerade in der y-z-Ebene durch die Punkte <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(0,{\frac {a}{\sqrt {2}}}\right),\left({\frac {a}{2}},0\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(0,{\frac {a}{\sqrt {2}}}\right),\left({\frac {a}{2}},0\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9506aca23fa94b6c7f30abe6fed8dcc7fc310054" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:18.011ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left(0,{\frac {a}{\sqrt {2}}}\right),\left({\frac {a}{2}},0\right)}" /></span> . Sie hat die Gleichung <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2y+{\sqrt {2}}z-a=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2y+{\sqrt {2}}z-a=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a845e04cbaad8f338b6ad305baaa6fdeb1e7c46" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.676ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle 2y+{\sqrt {2}}z-a=0}" /></span>. Berechnet man den Abstand mit Hilfe der <a href="/wiki/Hessesche_Normalform" title="Hessesche Normalform">Hessesche Normalform</a> ergibt sich der </p> <ul><li><i>Innenkugelradius</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ r_{i}={\frac {a}{\sqrt {6}}}\approx 0{,}41\;a}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>a</mi> <msqrt> <mn>6</mn> </msqrt> </mfrac> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>0</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>41</mn> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <mi>a</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ r_{i}={\frac {a}{\sqrt {6}}}\approx 0{,}41\;a}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200d77c73b168f14a75b5f744582c13dda2dc2dd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:18.57ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \ r_{i}={\frac {a}{\sqrt {6}}}\approx 0{,}41\;a}" /></span></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Oberfläche,_Volumen"><span id="Oberfl.C3.A4che.2C_Volumen"></span>Oberfläche, Volumen</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Oberfläche, Volumen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Oberfläche, Volumen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die Oberfläche des Oktaeders ist die Summe der 8 Dreiecksflächen. Die Fläche eines regelmäßigen 3-Ecks ist <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{3}={\tfrac {\sqrt {3}}{4}}\;a^{2}\ }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> <mn>4</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mtext> </mtext> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{3}={\tfrac {\sqrt {3}}{4}}\;a^{2}\ }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d98e598fbe18af349302c778bb462483430ff1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:12.433ex; height:4.176ex;" alt="{\displaystyle A_{3}={\tfrac {\sqrt {3}}{4}}\;a^{2}\ }" /></span>. Damit ist die </p> <ul><li><i>Oberfläche</i> des Oktaeders: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ A_{O}=2{\sqrt {3}}\;a^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>O</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>3</mn> </msqrt> </mrow> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ A_{O}=2{\sqrt {3}}\;a^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7539c018393106aaee794859f1dd641cdb6776d6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.098ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ A_{O}=2{\sqrt {3}}\;a^{2}}" /></span>.</li></ul> <p>Das Volumen des Oktaeders ist die Summe der Volumina der 2 quadratischen Pyramiden. Das Volumen einer Pyramide ist <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {h}{3}}a^{2}={\tfrac {a^{3}}{3{\sqrt {2}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>h</mi> <mn>3</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {h}{3}}a^{2}={\tfrac {a^{3}}{3{\sqrt {2}}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c9b5aea5999f078efe7eb9c67856ef1cc163a2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.014ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {h}{3}}a^{2}={\tfrac {a^{3}}{3{\sqrt {2}}}}}" /></span> und das </p> <ul><li><i>Volumen</i> des Oktaeders ist <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ V={\frac {\sqrt {2}}{3}}\;a^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mtext> </mtext> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mspace width="thickmathspace"></mspace> <msup> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ V={\frac {\sqrt {2}}{3}}\;a^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5b474274be4a6cad5b70109b13b026859a190e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.33ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \ V={\frac {\sqrt {2}}{3}}\;a^{3}}" /></span>.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Raumwinkel_in_den_Ecken">Raumwinkel in den Ecken</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Raumwinkel in den Ecken" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Raumwinkel in den Ecken"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div style="float:right;"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:01_Oktaeder-Raumwinkel.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/01_Oktaeder-Raumwinkel.svg/240px-01_Oktaeder-Raumwinkel.svg.png" decoding="async" width="240" height="183" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/01_Oktaeder-Raumwinkel.svg/360px-01_Oktaeder-Raumwinkel.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/01_Oktaeder-Raumwinkel.svg/480px-01_Oktaeder-Raumwinkel.svg.png 2x" data-file-width="501" data-file-height="381" /></a><figcaption>Raumwinkel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" /></span> der Oktaederecke mithilfe der Einheitskugel</figcaption></figure></div> <p>Der Raumwinkel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" /></span> ist der Flächeninhalt des in dem Bild durch rote Punkte markierten sphärischen Vierecks der Einheitskugel in der Oktaederecke. Betrachtet man nur die obere Hälfte (Pyramide) des Oktaeders, so erhält man ein sphärisches Dreieck, dessen Winkel in den unteren Punkten jeweils gleich dem halben Winkel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" /></span> zwischen Seitenflächen des Okteders ist (siehe Bild oben). Der Winkel im oberen Punkt ist gleich dem Winkel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =2\gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =2\gamma }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/809a95ebaac7f36a4b2a86981a7e84647f54ee88" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.855ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \beta =2\gamma }" /></span>. Damit hat das <a href="/wiki/Kugeldreieck" title="Kugeldreieck">sphärische Dreieck den Flächeninhalt</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{3}=\gamma +\gamma +2\gamma -\pi =4\gamma -\pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>γ</mi> <mo>−</mo> <mi>π</mi> <mo>=</mo> <mn>4</mn> <mi>γ</mi> <mo>−</mo> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{3}=\gamma +\gamma +2\gamma -\pi =4\gamma -\pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912af411b09fe3e99751bd282e95305986ca8e87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.394ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A_{3}=\gamma +\gamma +2\gamma -\pi =4\gamma -\pi }" /></span>.</dd></dl> <p>Der Raumwinkel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega }" /></span> ist der Flächeninhalt des sphärischen Vierecks: </p> <div style="float:right;"><figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Raumw-oktaeder.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Raumw-oktaeder.svg/110px-Raumw-oktaeder.svg.png" decoding="async" width="110" height="55" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Raumw-oktaeder.svg/165px-Raumw-oktaeder.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Raumw-oktaeder.svg/220px-Raumw-oktaeder.svg.png 2x" data-file-width="144" data-file-height="72" /></a><figcaption>Raumwinkel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.09ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \theta }" /></span></figcaption></figure></div> <ul><li><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega =2A_{3}=8\gamma -2\pi =8\arctan {\sqrt {2}}-2\pi \approx 1{,}35935\,\mathrm {sr} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <msub> <mi>A</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mi>γ</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo>=</mo> <mn>8</mn> <mi>arctan</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mo>≈</mo> <mn>1,359</mn> <mn>35</mn> <mspace width="thinmathspace"></mspace> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">s</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega =2A_{3}=8\gamma -2\pi =8\arctan {\sqrt {2}}-2\pi \approx 1{,}35935\,\mathrm {sr} }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4ad6644a2750c4ddfbf16649e6359bf229580a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:52.464ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega =2A_{3}=8\gamma -2\pi =8\arctan {\sqrt {2}}-2\pi \approx 1{,}35935\,\mathrm {sr} }" /></span>.</li></ul> <p>Der Raumwinkel entspricht der Fläche eines <a href="/wiki/Kugelsegment" title="Kugelsegment">Kugelsegments</a> auf der Einheitskugel mit einem halben Öffnungswinkel <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta \approx 38{,}4^{\circ }}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>θ</mi> <mo>≈</mo> <mn>38</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <msup> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>∘</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta \approx 38{,}4^{\circ }}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90bb7c7123e70b8e7fe9c7338afe40b518d16afc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.377ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \theta \approx 38{,}4^{\circ }}" /></span>. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition_als_Menge_von_Punkten">Definition als Menge von Punkten</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=11" title="Abschnitt bearbeiten: Definition als Menge von Punkten" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=11" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Definition als Menge von Punkten"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Das Oktaeder kann als <a href="/wiki/Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Menge</a> von <a href="/wiki/Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkten</a> im <a href="/wiki/Dreidimensional" class="mw-redirect" title="Dreidimensional">dreidimensionalen</a> <a href="/wiki/Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen Raum</a> definiert werden, wo die <a href="/wiki/Summe" title="Summe">Summe</a> der <a href="/wiki/Absoluter_Betrag" class="mw-redirect" title="Absoluter Betrag">absoluten Beträge</a> der 3 <a href="/wiki/Koordinatensystem" title="Koordinatensystem">Koordinaten</a> im <a href="/wiki/Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesischen Koordinatensystem</a> höchstens so groß ist wie der <a href="/wiki/Umkugel" title="Umkugel">Umkugelradius</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{u}={\tfrac {a}{\sqrt {2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mi>a</mi> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{u}={\tfrac {a}{\sqrt {2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6fd6e3f37ea9c8bd54004b12a863c0a3074b40d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.347ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle r_{u}={\tfrac {a}{\sqrt {2}}}}" /></span>. Formal lässt sich diese Menge aufschreiben als </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid \left\|x\right\|_{1}\leq r_{u}\right\}=\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\mid \left\vert x_{1}\right\vert +\left\vert x_{2}\right\vert +\left\vert x_{3}\right\vert \leq r_{u}\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>∣</mo> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mi>x</mi> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∣</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid \left\|x\right\|_{1}\leq r_{u}\right\}=\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\mid \left\vert x_{1}\right\vert +\left\vert x_{2}\right\vert +\left\vert x_{3}\right\vert \leq r_{u}\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f3a687e34c716ecc751a715e73c9b81427fb80" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:62.001ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid \left\|x\right\|_{1}\leq r_{u}\right\}=\left\{(x_{1},x_{2},x_{3})\mid \left\vert x_{1}\right\vert +\left\vert x_{2}\right\vert +\left\vert x_{3}\right\vert \leq r_{u}\right\}}" /></span></dd></dl> <p>Dabei ist <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\|x\right\|_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mi>x</mi> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\|x\right\|_{1}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef6bfbad942345571fcabc0163b86fb6c02b088" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.709ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \left\|x\right\|_{1}}" /></span> die <a href="/wiki/Norm_(Mathematik)#Summennorm" title="Norm (Mathematik)">Betragssummennorm</a> oder 1-Norm des <a href="/wiki/Vektor" title="Vektor">Vektors</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" /></span>. Für das Innere des Oktaeders gilt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\|x\right\|_{1}<r_{u}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mi>x</mi> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo><</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\|x\right\|_{1}<r_{u}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f292200e2c123e3731c79c521af2afeccbb5f862" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.028ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \left\|x\right\|_{1}<r_{u}}" /></span> und für die Oberfläche gilt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\|x\right\|_{1}=r_{u}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mi>x</mi> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\|x\right\|_{1}=r_{u}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3306b6f4a064463968fdf26f059a6fe35b17264a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.028ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \left\|x\right\|_{1}=r_{u}}" /></span>. Nach dieser Definition ist der <a href="/wiki/Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkt</a> des Oktaeders der <a href="/wiki/Koordinatenursprung" class="mw-redirect" title="Koordinatenursprung">Koordinatenursprung</a> und seine <a href="/wiki/Ecke" title="Ecke">Ecken</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (r_{u},0,0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (r_{u},0,0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180b028f5f92a377c82e5e500c31932d6b6a32ee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.423ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (r_{u},0,0)}" /></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-r_{u},0,0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-r_{u},0,0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c6f6e3ab52dffba86eefdd36f86f3947845f81" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.231ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-r_{u},0,0)}" /></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,r_{u},0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,r_{u},0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0dfa3639731bdb769d5d6e4205186a42fb7fed1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.423ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,r_{u},0)}" /></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,-r_{u},0)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,-r_{u},0)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0baa0bc15f5837f3f2c0ef3103e4f9a4255c5ba2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.231ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,-r_{u},0)}" /></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,0,r_{u})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,0,r_{u})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53292375df7d925b5bee87ec52ead3c185e53a08" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.423ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,0,r_{u})}" /></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (0,0,-r_{u})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mo>−</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (0,0,-r_{u})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf52f9dd10dac2317092e6533eabd6412c0aa03" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.231ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (0,0,-r_{u})}" /></span> liegen auf den 3 Achsen des <a href="/wiki/Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesischen Koordinatensystems</a>. </p><p>Allgemeiner kann ein Oktaeder, das eine beliebige Lage im <a href="/wiki/Dreidimensional" class="mw-redirect" title="Dreidimensional">dreidimensionalen</a> <a href="/wiki/Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidischen Raum</a> hat, mithilfe von <a href="/wiki/Vektor" title="Vektor">Vektoren</a> definiert werden. Ist <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {m}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {m}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e08685bde682d6b67c3a22b026d16dbbf8dfcc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {m}}}" /></span> der <a href="/wiki/Ortsvektor" title="Ortsvektor">Ortsvektor</a> des <a href="/wiki/Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkts</a> und sind <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {u}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c41e9cf70c5e5b56e2128a136985a75f90ba43" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}}" /></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" /></span>, <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {w}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {w}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6c48cdaecf8d81481ea21b1d0c046bf34b68ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {w}}}" /></span> <a href="/wiki/Orthogonalit%C3%A4t" title="Orthogonalität">orthogonale</a> Richtungsvektoren, die den Mittelpunkt des Oktaeders mit 3 Ecken verbinden, also ein <a href="/wiki/Orthogonalsystem" title="Orthogonalsystem">Orthogonalsystem</a> des <a href="/wiki/Dreidimensional" class="mw-redirect" title="Dreidimensional">dreidimensionalen</a> <a href="/wiki/Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraums</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f936ddf584f8f3dd2a0ed08917001b7a404c10b5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}" /></span>, dann lässt sich die <a href="/wiki/Menge_(Mathematik)" title="Menge (Mathematik)">Menge</a> der <a href="/wiki/Punkt_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Punkt (Mathematik)">Punkte</a> des Oktaeders definieren als die Menge der Vektoren<sup id="cite_ref-6" class="reference"><a href="#cite_note-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{{\vec {m}}+t_{1}\cdot {\vec {u}}+t_{2}\cdot {\vec {v}}+t_{3}\cdot {\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid \left\|t\right\|_{1}\leq r_{u}\right\}=\left\{{\vec {m}}+t_{1}\cdot {\vec {u}}+t_{2}\cdot {\vec {v}}+t_{3}\cdot {\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid \left\vert t_{1}\right\vert +\left\vert t_{2}\right\vert +\left\vert t_{3}\right\vert \leq r_{u}\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>∣</mo> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mi>t</mi> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>m</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>u</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>v</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">→</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>∣</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <msub> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>u</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{{\vec {m}}+t_{1}\cdot {\vec {u}}+t_{2}\cdot {\vec {v}}+t_{3}\cdot {\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid \left\|t\right\|_{1}\leq r_{u}\right\}=\left\{{\vec {m}}+t_{1}\cdot {\vec {u}}+t_{2}\cdot {\vec {v}}+t_{3}\cdot {\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid \left\vert t_{1}\right\vert +\left\vert t_{2}\right\vert +\left\vert t_{3}\right\vert \leq r_{u}\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9aeaceb94b3c06b1699023c2b9d8d287cb8e92" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:104.54ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \left\{{\vec {m}}+t_{1}\cdot {\vec {u}}+t_{2}\cdot {\vec {v}}+t_{3}\cdot {\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid \left\|t\right\|_{1}\leq r_{u}\right\}=\left\{{\vec {m}}+t_{1}\cdot {\vec {u}}+t_{2}\cdot {\vec {v}}+t_{3}\cdot {\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid \left\vert t_{1}\right\vert +\left\vert t_{2}\right\vert +\left\vert t_{3}\right\vert \leq r_{u}\right\}}" /></span></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerung">Verallgemeinerung</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=12" title="Abschnitt bearbeiten: Verallgemeinerung" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=12" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Verallgemeinerung"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Die Analoga des Oktaeders in beliebiger <a href="/wiki/Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)">Dimension</a> <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /></span></i> werden als <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /></span>-dimensionale <a href="/wiki/Kreuzpolytop" title="Kreuzpolytop">Kreuzpolytope</a></i> bezeichnet und sind ebenfalls reguläre <a href="/wiki/Polytop_(Geometrie)" title="Polytop (Geometrie)">Polytope</a>. Das <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /></span></i>-dimensionale Kreuzpolytop hat <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e00466d2590e49181a6c9e0c5da6020ad93780" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.236ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot n}" /></span> Ecken und wird von <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8226f30650ee4fe4e640c6d2798127e80e9c160d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.381ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2^{n}}" /></span> <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}" /></span></i>-dimensionalen <a href="/wiki/Simplex_(Mathematik)" title="Simplex (Mathematik)">Simplexen</a> (als <i>Facetten</i>) begrenzt. Das <a href="/wiki/4D" title="4D">vierdimensionale</a> Kreuzpolytop hat 8 Ecken, 24 gleich lange Kanten, 32 <a href="/wiki/Gleichseitiges_Dreieck" title="Gleichseitiges Dreieck">gleichseitige Dreiecke</a> als <a href="/wiki/Seitenfl%C3%A4che" class="mw-redirect" title="Seitenfläche">Seitenflächen</a> und 16 <a href="/wiki/Tetraeder" title="Tetraeder">Tetraeder</a> als Facetten. Das <a href="/wiki/Eindimensional" class="mw-redirect" title="Eindimensional">eindimensionale</a> Kreuzpolytop ist eine <a href="/wiki/Strecke_(Geometrie)" title="Strecke (Geometrie)">Strecke</a>, das <a href="/wiki/Zweidimensional" class="mw-redirect" title="Zweidimensional">zweidimensionale</a> Kreuzpolytop ist das <a href="/wiki/Quadrat" title="Quadrat">Quadrat</a>, das <a href="/wiki/Dreidimensional" class="mw-redirect" title="Dreidimensional">dreidimensionale</a> Kreuzpolytop ist das Oktaeder. </p><p>Ein Modell für das <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /></span></i>-dimensionale Kreuzpolytop ist die <a href="/wiki/Einheitskugel" title="Einheitskugel">Einheitskugel</a> bezüglich der <a href="/wiki/Summennorm" title="Summennorm">Summennorm</a> </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\|x\right\|_{1}=\left\vert x_{1}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n}\right\vert }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mi>x</mi> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\|x\right\|_{1}=\left\vert x_{1}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n}\right\vert }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a6803e8780c50fe4056563524254731d1a958f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.731ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \left\|x\right\|_{1}=\left\vert x_{1}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n}\right\vert }" /></span> für <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e7f2af1b0157e7e1a241ea2b4345853bd437f86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.085ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}" /></span></dd></dl> <p>im <a href="/wiki/Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" /></span>. Und zwar ist das (abgeschlossene) Kreuzpolytop daher </p> <ul><li>die Menge</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \left\|x\right\|_{1}\leq 1\right\}=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid \left\vert x_{1}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n}\right\vert \leq 1\right\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>∣</mo> <msub> <mrow> <mo symmetric="true">‖</mo> <mi>x</mi> <mo symmetric="true">‖</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>∣</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \left\|x\right\|_{1}\leq 1\right\}=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid \left\vert x_{1}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n}\right\vert \leq 1\right\}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343c6601d2da56576887641a210a3602322ff571" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:59.763ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \left\|x\right\|_{1}\leq 1\right\}=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid \left\vert x_{1}\right\vert +\cdots +\left\vert x_{n}\right\vert \leq 1\right\}}" /></span>.</dd></dl></dd></dl> <ul><li>die <a href="/wiki/Konvexe_Menge" title="Konvexe Menge">konvexe</a> Hülle der <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cdot n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cdot n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e00466d2590e49181a6c9e0c5da6020ad93780" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.236ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2\cdot n}" /></span> Eckpunkte <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm e_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>±</mo> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm e_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45da41574edd0ba0fec53a5cd968221f8e764049" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.691ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \pm e_{i}}" /></span>, wobei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebdc3a9cb1583d3204eff8918b558c293e0d2cf3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.883ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle e_{i}}" /></span> die <a href="/wiki/Einheitsvektor" title="Einheitsvektor">Einheitsvektoren</a> sind.</li> <li>der <a href="/wiki/Schnittmenge" class="mw-redirect" title="Schnittmenge">Durchschnitt</a> der <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8226f30650ee4fe4e640c6d2798127e80e9c160d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.381ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 2^{n}}" /></span> Halbräume, die durch die <a href="/wiki/Hyperebene" title="Hyperebene">Hyperebenen</a> der Form</li></ul> <dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm x_{1}\pm \cdots \pm x_{n}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo>±</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>±</mo> <mo>⋯</mo> <mo>±</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm x_{1}\pm \cdots \pm x_{n}=1}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bd6593b867a665c1010059752c8f8cf54514e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.405ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \pm x_{1}\pm \cdots \pm x_{n}=1}" /></span></dd></dl></dd> <dd>bestimmt werden und den Ursprung enthalten.</dd></dl> <p>Das <a href="/wiki/Volumen" title="Volumen">Volumen</a> des <i><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" /></span></i>-dimensionalen <a href="/wiki/Kreuzpolytop" title="Kreuzpolytop">Kreuzpolytops</a> beträgt <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {(2\cdot r)^{n}}{n!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {(2\cdot r)^{n}}{n!}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cd938b6f1b06a069fa303898fc855938635ec95" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:5.101ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {(2\cdot r)^{n}}{n!}}}" /></span>, wobei <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r>0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r>0}" /></span> der <a href="/wiki/Radius" title="Radius">Radius</a> der <a href="/wiki/Kugel" title="Kugel">Kugel</a> um den <a href="/wiki/Koordinatenursprung" class="mw-redirect" title="Koordinatenursprung">Koordinatenursprung</a> bezüglich der Summennorm ist. Die Beziehung lässt sich mittels <a href="/wiki/Rekursion" title="Rekursion">Rekursion</a> und dem <a href="/wiki/Satz_von_Fubini" title="Satz von Fubini">Satz von Fubini</a> beweisen.<sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7"><span class="cite-bracket">[</span>7<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Netze_des_Oktaeders">Netze des Oktaeders</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=13" title="Abschnitt bearbeiten: Netze des Oktaeders" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=13" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Netze des Oktaeders"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Das Oktaeder hat elf <a href="/wiki/Netz_(Geometrie)" title="Netz (Geometrie)">Netze</a><sup id="cite_ref-8" class="reference"><a href="#cite_note-8"><span class="cite-bracket">[</span>8<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>. Das heißt, es gibt elf Möglichkeiten, ein hohles Oktaeder durch Aufschneiden von 5 Kanten aufzuklappen und in der <a href="/wiki/Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a> auszubreiten. Die anderen 7 Kanten verbinden jeweils die 8 <a href="/wiki/Gleichseitiges_Dreieck" title="Gleichseitiges Dreieck">gleichseitigen Dreiecke</a> des Netzes. Um ein Oktaeder so zu färben, dass keine benachbarten <a href="/wiki/Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Flächen</a> dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 2 Farben. </p> <div class="tleft" style="clear:none;"><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Octahedron_flat.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Octahedron_flat.svg/265px-Octahedron_flat.svg.png" decoding="async" width="265" height="199" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Octahedron_flat.svg/398px-Octahedron_flat.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Octahedron_flat.svg/530px-Octahedron_flat.svg.png 2x" data-file-width="362" data-file-height="272" /></a><figcaption>Ein <a href="/wiki/Netz_(Geometrie)" title="Netz (Geometrie)">Netz</a> des Oktaeders</figcaption></figure></div> <div class="tleft" style="clear:none;"><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Octaedro_desarrollo.gif" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Octaedro_desarrollo.gif/200px-Octaedro_desarrollo.gif" decoding="async" width="200" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Octaedro_desarrollo.gif/300px-Octaedro_desarrollo.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fc/Octaedro_desarrollo.gif 2x" data-file-width="400" data-file-height="400" /></a><figcaption><a href="/wiki/Animation" title="Animation">Animation</a> eines Oktaedernetzes</figcaption></figure></div> <div style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Graphen,_duale_Graphen,_Zyklen,_Färbungen"><span id="Graphen.2C_duale_Graphen.2C_Zyklen.2C_F.C3.A4rbungen"></span>Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=14" title="Abschnitt bearbeiten: Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=14" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:01_Hexaeder_umschreibt_Oktaeder.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/01_Hexaeder_umschreibt_Oktaeder.png/260px-01_Hexaeder_umschreibt_Oktaeder.png" decoding="async" width="260" height="256" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/01_Hexaeder_umschreibt_Oktaeder.png/390px-01_Hexaeder_umschreibt_Oktaeder.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/01_Hexaeder_umschreibt_Oktaeder.png/520px-01_Hexaeder_umschreibt_Oktaeder.png 2x" data-file-width="1083" data-file-height="1067" /></a><figcaption>Färbungen veranschaulicht<br />Oktaeder einbeschrieben vom dualen <a href="/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie)" title="Würfel (Geometrie)">Würfel</a></figcaption></figure> <p>Das Oktaeder hat einen ihm zugeordneten ungerichteten <a href="/wiki/Planarer_Graph" title="Planarer Graph">planaren Graphen</a> mit 6 <a href="/wiki/Knoten_(Graphentheorie)" title="Knoten (Graphentheorie)">Knoten</a>, 12 <a href="/wiki/Kante_(Graphentheorie)" title="Kante (Graphentheorie)">Kanten</a> und 8 Gebieten, der 4-<a href="/wiki/Regul%C3%A4rer_Graph" title="Regulärer Graph">regulär</a> ist, d. h. von jedem Knoten gehen 4 Kanten aus, sodass der <a href="/wiki/Grad_(Graphentheorie)" title="Grad (Graphentheorie)">Grad</a> für alle Knoten gleich 4 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue <a href="/wiki/Geometrisch" class="mw-redirect" title="Geometrisch">geometrische</a> Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Oktaedergraphen entsprechen den Ecken des Würfel. </p><p>Die <a href="/wiki/Knoten_(Graphentheorie)" title="Knoten (Graphentheorie)">Knoten</a> des Oktaedergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 3 ist. Außerdem können die <a href="/wiki/Kante_(Graphentheorie)" title="Kante (Graphentheorie)">Kanten</a> mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 3 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die <a href="/wiki/Kantenf%C3%A4rbung" title="Kantenfärbung">Kantenfärbung</a> gleich 4 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen). </p><p>Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die <a href="/wiki/Fl%C3%A4che_(Graphentheorie)" class="mw-redirect" title="Fläche (Graphentheorie)">Flächen</a> oder Gebiete zu bestimmen, ist der <a href="/wiki/Dualer_Graph" class="mw-redirect" title="Dualer Graph">duale Graph</a> (Würfelgraph) mit 8 <a href="/wiki/Knoten_(Graphentheorie)" title="Knoten (Graphentheorie)">Knoten</a>, 12 <a href="/wiki/Kante_(Graphentheorie)" title="Kante (Graphentheorie)">Kanten</a> und 6 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Oktaedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe <a href="/wiki/Bijektive_Funktion" title="Bijektive Funktion">bijektive Funktion</a> und Abbildung oben). Die Knoten des Würfelgraphen können mit 2 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, sodass die chromatische Zahl des Würfelgraphen gleich 2 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 2 ist, sind 2 Farben für eine solche Flächenfärbung des Oktaeders oder eine Färbung der Gebiete des Oktaedergraphen nötig.<sup id="cite_ref-9" class="reference"><a href="#cite_note-9"><span class="cite-bracket">[</span>9<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="tleft" style="clear:none;"><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:01_Octahedral_graph_vertex_coloring.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/01_Octahedral_graph_vertex_coloring.svg/230px-01_Octahedral_graph_vertex_coloring.svg.png" decoding="async" width="230" height="195" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/01_Octahedral_graph_vertex_coloring.svg/345px-01_Octahedral_graph_vertex_coloring.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/01_Octahedral_graph_vertex_coloring.svg/460px-01_Octahedral_graph_vertex_coloring.svg.png 2x" data-file-width="549" data-file-height="465" /></a><figcaption><a href="/wiki/Knotenf%C3%A4rbung" class="mw-redirect" title="Knotenfärbung">Knotenfärbung</a> des Oktaedergraphen</figcaption></figure></div> <div class="tleft" style="clear:none;"><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:01_Octahedral_graph_edge_coloring.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/01_Octahedral_graph_edge_coloring.svg/230px-01_Octahedral_graph_edge_coloring.svg.png" decoding="async" width="230" height="195" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/01_Octahedral_graph_edge_coloring.svg/345px-01_Octahedral_graph_edge_coloring.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/86/01_Octahedral_graph_edge_coloring.svg/460px-01_Octahedral_graph_edge_coloring.svg.png 2x" data-file-width="549" data-file-height="465" /></a><figcaption><a href="/wiki/Kantenf%C3%A4rbung" title="Kantenfärbung">Kantenfärbung</a> des Oktaedergraphen</figcaption></figure></div> <div class="tleft" style="clear:none;"><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:01_Octahedral_graph_dual_face_coloring.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/01_Octahedral_graph_dual_face_coloring.svg/230px-01_Octahedral_graph_dual_face_coloring.svg.png" decoding="async" width="230" height="195" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/01_Octahedral_graph_dual_face_coloring.svg/345px-01_Octahedral_graph_dual_face_coloring.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/01_Octahedral_graph_dual_face_coloring.svg/460px-01_Octahedral_graph_dual_face_coloring.svg.png 2x" data-file-width="549" data-file-height="465" /></a><figcaption>Flächenfärbung des Oktaedergraphen mit <a href="/wiki/Dualit%C3%A4t_(Mathematik)" title="Dualität (Mathematik)">dualer</a> Knotenfärbung des Würfelgraphen</figcaption></figure></div> <div style="clear:both;"></div> <p>Die 5 aufgeschnittenen <a href="/wiki/Kante_(Graphentheorie)" title="Kante (Graphentheorie)">Kanten</a> jedes <a href="/wiki/Netz_(Geometrie)" title="Netz (Geometrie)">Netzes</a> (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken (<a href="/wiki/Knoten_(Graphentheorie)" title="Knoten (Graphentheorie)">Knoten</a>) einen <a href="/wiki/Spannbaum" title="Spannbaum">Spannbaum</a> des Oktaedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (<a href="/wiki/Bijektive_Funktion" title="Bijektive Funktion">bijektive</a>) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Oktaedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als <a href="/wiki/Dualer_Graph" class="mw-redirect" title="Dualer Graph">dualen Graphen</a> jeweils einem Baum mit 8 Knoten und 7 Kanten und dem maximalen Knotengrad 3. Jede Fläche des Oktaeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt nicht jede <a href="/wiki/Graphentheoretisch" class="mw-redirect" title="Graphentheoretisch">graphentheoretische</a> Konstellation (siehe <a href="/wiki/Isomorphie_von_Graphen" title="Isomorphie von Graphen">Isomorphie von Graphen</a>) solcher Bäume vor, aber einige mehrfach. </p><p>Der Oktaedergraph besitzt 32 <a href="/wiki/Hamiltonkreisproblem" title="Hamiltonkreisproblem">Hamiltonkreise</a> und 1488 <a href="/wiki/Eulerkreisproblem" title="Eulerkreisproblem">Eulerkreise</a>.<sup id="cite_ref-10" class="reference"><a href="#cite_note-10"><span class="cite-bracket">[</span>10<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> </p> <div class="tleft" style="clear:none;"><figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:01_Octahedral_graph-Hamilton_circle.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/01_Octahedral_graph-Hamilton_circle.svg/230px-01_Octahedral_graph-Hamilton_circle.svg.png" decoding="async" width="230" height="195" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/01_Octahedral_graph-Hamilton_circle.svg/345px-01_Octahedral_graph-Hamilton_circle.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/01_Octahedral_graph-Hamilton_circle.svg/460px-01_Octahedral_graph-Hamilton_circle.svg.png 2x" data-file-width="392" data-file-height="332" /></a><figcaption>Oktaedergraph mit einem der 32 Hamiltonkreise</figcaption></figure></div> <div style="clear:both;"></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Raumfüllungen_mit_Oktaedern"><span id="Raumf.C3.BCllungen_mit_Oktaedern"></span>Raumfüllungen mit Oktaedern</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=15" title="Abschnitt bearbeiten: Raumfüllungen mit Oktaedern" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=15" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Raumfüllungen mit Oktaedern"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Der <a href="/wiki/Dreidimensional" class="mw-redirect" title="Dreidimensional">dreidimensionale</a> <a href="/wiki/Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">euklidische Raum</a> kann lückenlos mit <a href="/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper" title="Platonischer Körper">platonischen Körpern</a> oder <a href="/wiki/Archimedischer_K%C3%B6rper" title="Archimedischer Körper">archimedischen Körpern</a> gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden kann. Solche dreidimensionalen <a href="/wiki/Parkettierung" title="Parkettierung">Parkettierungen</a> werden <i><a href="/wiki/Raumf%C3%BCllung" title="Raumfüllung">Raumfüllung</a></i> genannt. Die folgenden Raumfüllungen enthalten Oktaeder: </p> <ul class="gallery mw-gallery-traditional"> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Datei:HC_P1-P3.png" class="mw-file-description" title="Raumfüllung mit Oktaeder und Tetraeder"><img alt="Raumfüllung mit Oktaeder und Tetraeder" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/HC_P1-P3.png/98px-HC_P1-P3.png" decoding="async" width="98" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/HC_P1-P3.png/148px-HC_P1-P3.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/HC_P1-P3.png/197px-HC_P1-P3.png 2x" data-file-width="840" data-file-height="1024" /></a></span></div> <div class="gallerytext">Raumfüllung mit Oktaeder und <a href="/wiki/Tetraeder" title="Tetraeder">Tetraeder</a></div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Datei:HC_A3-P3.png" class="mw-file-description" title="Raumfüllung mit Kuboktaeder und Oktaeder"><img alt="Raumfüllung mit Kuboktaeder und Oktaeder" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/HC_A3-P3.png/96px-HC_A3-P3.png" decoding="async" width="96" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/HC_A3-P3.png/144px-HC_A3-P3.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/22/HC_A3-P3.png/192px-HC_A3-P3.png 2x" data-file-width="768" data-file-height="960" /></a></span></div> <div class="gallerytext"><a href="/wiki/Raumf%C3%BCllung" title="Raumfüllung">Raumfüllung</a> mit <a href="/wiki/Kuboktaeder" title="Kuboktaeder">Kuboktaeder</a> und Oktaeder</div> </li> <li class="gallerybox" style="width: 155px"> <div class="thumb" style="width: 150px; height: 150px;"><span typeof="mw:File"><a href="/wiki/Datei:HC_A2-P3.png" class="mw-file-description" title="Raumfüllung mit Hexaederstumpf und Oktaeder"><img alt="Raumfüllung mit Hexaederstumpf und Oktaeder" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/HC_A2-P3.png/90px-HC_A2-P3.png" decoding="async" width="90" height="120" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/HC_A2-P3.png/135px-HC_A2-P3.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/28/HC_A2-P3.png/180px-HC_A2-P3.png 2x" data-file-width="720" data-file-height="960" /></a></span></div> <div class="gallerytext"><a href="/wiki/Raumf%C3%BCllung" title="Raumfüllung">Raumfüllung</a> mit <a href="/wiki/Hexaederstumpf" title="Hexaederstumpf">Hexaederstumpf</a> und Oktaeder</div> </li> </ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=16" title="Abschnitt bearbeiten: Anwendungen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=16" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Anwendungen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Alaunoktaeder.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Alaunoktaeder.jpg/220px-Alaunoktaeder.jpg" decoding="async" width="220" height="158" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Alaunoktaeder.jpg/330px-Alaunoktaeder.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Alaunoktaeder.jpg/440px-Alaunoktaeder.jpg 2x" data-file-width="880" data-file-height="632" /></a><figcaption>Oktaedrische Alaunkristalle</figcaption></figure> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Gerades-Oktaeder-Ger%C3%BCst.JPG" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/8/8a/Gerades-Oktaeder-Ger%C3%BCst.JPG/220px-Gerades-Oktaeder-Ger%C3%BCst.JPG" decoding="async" width="220" height="186" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/8/8a/Gerades-Oktaeder-Ger%C3%BCst.JPG/330px-Gerades-Oktaeder-Ger%C3%BCst.JPG 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/8/8a/Gerades-Oktaeder-Ger%C3%BCst.JPG/440px-Gerades-Oktaeder-Ger%C3%BCst.JPG 2x" data-file-width="2424" data-file-height="2048" /></a><figcaption>Gerades Oktaeder-Gerüst um einen Zylinder</figcaption></figure> <p>In der <a href="/wiki/Chemie" title="Chemie">Chemie</a> können sich bei der Vorhersage von <a href="/wiki/Molek%C3%BClstruktur" class="mw-redirect" title="Molekülstruktur">Molekülgeometrien</a> nach dem <a href="/wiki/VSEPR-Modell" title="VSEPR-Modell">VSEPR-Modell</a> oktaedrische <a href="/wiki/Molek%C3%BCl" title="Molekül">Moleküle</a> ergeben. Auch in <a href="/wiki/Kristallstruktur" title="Kristallstruktur">Kristallstrukturen</a>, wie der <a href="/wiki/Kubisch-fl%C3%A4chenzentriertes_Gitter" class="mw-redirect" title="Kubisch-flächenzentriertes Gitter">kubisch flächenzentrierten</a> <a href="/wiki/Natriumchlorid-Struktur" title="Natriumchlorid-Struktur">Natriumchlorid-Struktur</a> (Koordinationszahl 6), taucht das Oktaeder in der <a href="/wiki/Elementarzelle" title="Elementarzelle">Elementarzelle</a> auf, genauso in der <a href="/wiki/Komplexchemie" title="Komplexchemie">Komplexchemie</a>, falls sich 6 <a href="/wiki/Ligand" title="Ligand">Liganden</a> um ein <a href="/wiki/Zentralatom" class="mw-redirect" title="Zentralatom">Zentralatom</a> lagern. </p><p>Einige in der Natur vorkommende <a href="/wiki/Mineral" title="Mineral">Minerale</a>, z. B. das <a href="/wiki/Alaun" class="mw-redirect" title="Alaun">Alaun</a> und auch <a href="/wiki/Diamant" title="Diamant">Diamant</a>, <a href="/wiki/Kristallisieren" class="mw-redirect" title="Kristallisieren">kristallisieren</a> in oktaedrischer Form aus. </p><p>In Rollenspielen werden oktaedrische <a href="/wiki/Spielw%C3%BCrfel#Formen" title="Spielwürfel">Spielewürfel</a> verwendet und dort als „W8“, also als Würfel mit 8 Flächen, bezeichnet. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=17" title="Abschnitt bearbeiten: Siehe auch" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=17" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Siehe auch"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Oktaederzahl" title="Oktaederzahl">Oktaederzahlen</a></li> <li><a href="/wiki/Diederwinkel" title="Diederwinkel">Diederwinkel</a></li> <li><a href="/wiki/Polyeder" title="Polyeder">Polyeder</a></li> <li><a href="/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper" title="Platonischer Körper">Platonischer Körper</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=18" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=18" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/12px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="12" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/18px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/24px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></span></span></div><b><span class="plainlinks"><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Octahedron?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Oktaeder</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/16px-Wiktfavicon_en.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/24px-Wiktfavicon_en.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Wiktfavicon_en.svg/32px-Wiktfavicon_en.svg.png 2x" data-file-width="16" data-file-height="16" /></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Oktaeder" class="extiw" title="wikt:Oktaeder">Wiktionary: Oktaeder</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div> <ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://opera-platonis.de/euklid/Buch13.pdf#page=12&zoom=90,-510,43">Euklid: Stoicheia. Buch XIII.14. Oktaeder einer Kugel ...</a></li> <li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathematische-basteleien.de/oktaeder.htm"><i>Oktaeder</i>.</a> – Mathematische Basteleien</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&veaction=edit&section=19" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Oktaeder&action=edit&section=19" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite">Heim, Gunter: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.rhetos.de/html/lex/siebeneckpyramide.htm"><i>Rhetos Lexikon der Mathematik.</i></a><span class="Abrufdatum"> Abgerufen am 13. Juli 2023</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AOktaeder&rft.title=Rhetos+Lexikon+der+Mathematik&rft.description=Rhetos+Lexikon+der+Mathematik&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.rhetos.de%2Fhtml%2Flex%2Fsiebeneckpyramide.htm&rft.creator=Heim%2C+Gunter"> </span></span> </li> <li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite">Heim, Gunter: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.rhetos.de/html/lex/sechseckprisma.htm"><i>Rhetos Lexikon der Mathematik.</i></a><span class="Abrufdatum"> Abgerufen am 13. Juli 2023</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AOktaeder&rft.title=Rhetos+Lexikon+der+Mathematik&rft.description=Rhetos+Lexikon+der+Mathematik&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.rhetos.de%2Fhtml%2Flex%2Fsechseckprisma.htm&rft.creator=Heim%2C+Gunter"> </span></span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/Wilhelm_Pape" title="Wilhelm Pape">Wilhelm Pape</a>, Max Sengebusch (Bearb.): <cite style="font-style:italic">Handwörterbuch der griechischen Sprache</cite>. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://images.zeno.org/Pape-1880/K/big/Pape-1880----02-0317.png">zeno.org</a> [abgerufen am 12. März 2020]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Oktaeder&rft.au=Wilhelm+Pape%2C+Max+Sengebusch+%28Bearb.%29&rft.btitle=Handw%C3%B6rterbuch+der+griechischen+Sprache&rft.date=1914&rft.edition=3.+Auflage%2C+6.+Abdruck&rft.genre=book&rft.place=Braunschweig&rft.pub=Vieweg+%26+Sohn" style="display:none"> </span></span> </li> <li id="cite_note-Haller-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Haller_4-0">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.opera-platonis.de/euklid/Buch13.pdf#page=14&zoom=auto,-12,787">Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.14., S. 14</a></span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.opera-platonis.de/euklid/Buch13.pdf#page=24&zoom=auto,-93,32">Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.18., S. 24</a></span> </li> <li id="cite_note-6"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-6">↑</a></span> <span class="reference-text">Susumu Onaka, Department of Materials Science and Engineering, Tokyo Institute of Technology: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.researchgate.net/publication/233180064_Simple_equations_giving_shapes_of_various_convex_polyhedra_The_regular_polyhedra_and_polyhedra_composed_of_crystallographically_low-index_planes">Simple equations giving shapes of various convex polyhedra: the regular polyhedra and polyhedra composed of crystallographically low-index plane</a></span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-7">↑</a></span> <span class="reference-text">Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert, Günter M. Ziegler, Technische Universität Berlin: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://page.math.tu-berlin.de/~henk/preprints/henk%20richter-gebert%20ziegler&basic%20properties%20of%20convex%20polytopes.pdf">Basic properties of convex polytopes</a></span> </li> <li id="cite_note-8"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-8">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite">Eric Weisstein: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/RegularOctahedron.html"><i>Regular Oktahedron.</i></a> Netze. In: <i>MathWorld Wolfram.</i> A Wolfram Web Resource,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 27. Juni 2020</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AOktaeder&rft.title=Regular+Oktahedron&rft.description=Regular+Oktahedron&rft.identifier=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FRegularOctahedron.html&rft.creator=Eric+Weisstein&rft.publisher=A+Wolfram+Web+Resource"> </span></span> </li> <li id="cite_note-9"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-9">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite">Mike Zabrocki: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://garsia.math.yorku.ca/~zabrocki/math3260w03/hw3sln.pdf#page=3&zoom=90,-162,755"><i>HOMEWORK #3 SOLUTIONS - MATH 3260.</i></a> (PDF) York University, Mathematics and Statistics, Toronto, 2003, <span style="white-space:nowrap;">S. 3</span>,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 31. Mai 2020</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AOktaeder&rft.title=HOMEWORK+%233+SOLUTIONS+-+MATH+3260&rft.description=HOMEWORK+%233+SOLUTIONS+-+MATH+3260&rft.identifier=http%3A%2F%2Fgarsia.math.yorku.ca%2F%7Ezabrocki%2Fmath3260w03%2Fhw3sln.pdf%23page%3D3%26zoom%3D90%2C-162%2C755&rft.creator=Mike+Zabrocki&rft.publisher=York+University%2C+Mathematics+and+Statistics%2C+Toronto&rft.date=2003"> </span></span> </li> <li id="cite_note-10"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-10">↑</a></span> <span class="reference-text"><span class="cite">Eric Weisstein: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/OctahedralGraph.html"><i>Octahedral Graph.</i></a> In: <i>MathWorld Wolfram.</i> A Wolfram Web Resource,<span class="Abrufdatum"> abgerufen am 27. Juni 2020</span>.</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AOktaeder&rft.title=Octahedral+Graph&rft.description=Octahedral+Graph&rft.identifier=https%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FOctahedralGraph.html&rft.creator=Eric+Weisstein&rft.publisher=A+Wolfram+Web+Resource"> </span></span> </li> </ol> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r248673343">.mw-parser-output div.NavFrame{border-width:1px;border-style:solid;border-left-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);border-right-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);border-top-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);border-bottom-color:var(--dewiki-rahmenfarbe1);clear:both;font-size:95%;margin-top:1.5em;min-height:0;padding:2px;text-align:center}.mw-parser-output div.NavPic{float:left;padding:2px}.mw-parser-output div.NavHead{background-color:var(--dewiki-hintergrundfarbe5);font-weight:bold}.mw-parser-output div.NavFrame:after{clear:both;content:"";display:block}.mw-parser-output div.NavFrame+div.NavFrame,.mw-parser-output div.NavFrame+link+div.NavFrame,.mw-parser-output div.NavFrame+style+div.NavFrame{margin-top:-1px}.mw-parser-output .NavToggle{float:right;font-size:x-small}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .NavPic span[typeof="mw:File"] img{background-color:#c8ccd1}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .NavPic span[typeof="mw:File"] img{background-color:#c8ccd1}}</style><div class="NavFrame navigation-not-searchable" role="navigation"> <div class="NavHead"><a href="/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper" title="Platonischer Körper">Platonische Körper</a></div> <div class="NavContent"> <p><a href="/wiki/Tetraeder" title="Tetraeder">Tetraeder</a> · <a href="/wiki/W%C3%BCrfel_(Geometrie)" title="Würfel (Geometrie)">Würfel</a> · <a class="mw-selflink selflink">Oktaeder</a> · <a href="/wiki/Dodekaeder" title="Dodekaeder">Dodekaeder</a> · <a href="/wiki/Ikosaeder" title="Ikosaeder">Ikosaeder</a> </p> </div> </div> <div class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 navigation-not-searchable normdaten-typ-s" style="border-style: solid; 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lang="bg" hreflang="bg" data-title="Октаедър" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Bulgarisch" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Oct%C3%A0edre" title="Octàedre – Katalanisch" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Octàedre" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="Katalanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Català</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ce mw-list-item"><a href="https://ce.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B0%D1%80%D1%85%D3%80%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B3" title="БархӀсонарниг – Tschetschenisch" lang="ce" hreflang="ce" data-title="БархӀсонарниг" data-language-autonym="Нохчийн" data-language-local-name="Tschetschenisch" class="interlanguage-link-target"><span>Нохчийн</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-co mw-list-item"><a href="https://co.wikipedia.org/wiki/Uttaedru" title="Uttaedru – Korsisch" lang="co" hreflang="co" data-title="Uttaedru" data-language-autonym="Corsu" data-language-local-name="Korsisch" class="interlanguage-link-target"><span>Corsu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Osmist%C4%9Bn" title="Osmistěn – Tschechisch" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Osmistěn" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Tschechisch" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%82%D0%B0%D1%8D%D0%B4%D1%80" title="Октаэдр – Tschuwaschisch" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Октаэдр" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="Tschuwaschisch" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Oktaeder" title="Oktaeder – Dänisch" lang="da" hreflang="da" data-title="Oktaeder" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="Dänisch" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9F%CE%BA%CF%84%CE%AC%CE%B5%CE%B4%CF%81%CE%BF" title="Οκτάεδρο – Griechisch" lang="el" hreflang="el" data-title="Οκτάεδρο" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="Griechisch" class="interlanguage-link-target"><span>Ελληνικά</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Octahedron" title="Octahedron – Englisch" lang="en" hreflang="en" data-title="Octahedron" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Englisch" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Okedro" title="Okedro – Esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Okedro" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="Esperanto" class="interlanguage-link-target"><span>Esperanto</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Octaedro" title="Octaedro – Spanisch" lang="es" hreflang="es" data-title="Octaedro" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="Spanisch" class="interlanguage-link-target"><span>Español</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Oktaeeder" title="Oktaeeder – Estnisch" lang="et" hreflang="et" data-title="Oktaeeder" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="Estnisch" class="interlanguage-link-target"><span>Eesti</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Oktaedro" title="Oktaedro – Baskisch" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Oktaedro" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="Baskisch" class="interlanguage-link-target"><span>Euskara</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%87%D8%B4%D8%AA%E2%80%8C%D9%88%D8%AC%D9%87%DB%8C" title="هشت‌وجهی – Persisch" lang="fa" hreflang="fa" data-title="هشت‌وجهی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Persisch" class="interlanguage-link-target"><span>فارسی</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Oktaedri" title="Oktaedri – Finnisch" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Oktaedri" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Finnisch" class="interlanguage-link-target"><span>Suomi</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Octa%C3%A8dre" title="Octaèdre – Französisch" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Octaèdre" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Französisch" class="interlanguage-link-target"><span>Français</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Octaedro" title="Octaedro – Galicisch" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Octaedro" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="Galicisch" class="interlanguage-link-target"><span>Galego</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he badge-Q70894304 mw-list-item" title=""><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%AA%D7%9E%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%9F" title="תמניון – Hebräisch" lang="he" hreflang="he" data-title="תמניון" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Hebräisch" class="interlanguage-link-target"><span>עברית</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Oktaedar" title="Oktaedar – Kroatisch" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Oktaedar" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="Kroatisch" class="interlanguage-link-target"><span>Hrvatski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Okta%C3%A9der" title="Oktaéder – Ungarisch" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Oktaéder" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="Ungarisch" class="interlanguage-link-target"><span>Magyar</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy badge-Q70893996 mw-list-item" title=""><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%95%D5%AF%D5%BF%D5%A1%D5%A7%D5%A4%D6%80" title="Օկտաէդր – Armenisch" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Օկտաէդր" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="Armenisch" class="interlanguage-link-target"><span>Հայերեն</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Oktahedron" title="Oktahedron – Indonesisch" lang="id" hreflang="id" data-title="Oktahedron" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="Indonesisch" class="interlanguage-link-target"><span>Bahasa Indonesia</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Ottaedro" title="Ottaedro – Italienisch" lang="it" hreflang="it" data-title="Ottaedro" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="Italienisch" class="interlanguage-link-target"><span>Italiano</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AB%E9%9D%A2%E4%BD%93" title="八面体 – Japanisch" lang="ja" hreflang="ja" data-title="八面体" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Japanisch" class="interlanguage-link-target"><span>日本語</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%82%D0%B0%D1%8D%D0%B4%D1%80" title="Октаэдр – Kasachisch" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Октаэдр" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="Kasachisch" class="interlanguage-link-target"><span>Қазақша</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8C%94%EB%A9%B4%EC%B2%B4" title="팔면체 – Koreanisch" lang="ko" hreflang="ko" data-title="팔면체" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Koreanisch" class="interlanguage-link-target"><span>한국어</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%82%D0%B0%D1%8D%D0%B4%D1%80" title="Октаэдр – Kirgisisch" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Октаэдр" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="Kirgisisch" class="interlanguage-link-target"><span>Кыргызча</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Octahedron" title="Octahedron – Latein" lang="la" hreflang="la" data-title="Octahedron" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="Latein" class="interlanguage-link-target"><span>Latina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Oktaedras" title="Oktaedras – Litauisch" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Oktaedras" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="Litauisch" class="interlanguage-link-target"><span>Lietuvių</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Oktaedrs" title="Oktaedrs – Lettisch" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Oktaedrs" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="Lettisch" class="interlanguage-link-target"><span>Latviešu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D1%80" title="Октаедар – Mazedonisch" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Октаедар" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="Mazedonisch" class="interlanguage-link-target"><span>Македонски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Achtvlak" title="Achtvlak – Niederländisch" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Achtvlak" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Niederländisch" class="interlanguage-link-target"><span>Nederlands</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Oktaeder" title="Oktaeder – Norwegisch (Nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Oktaeder" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Norwegisch (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target"><span>Norsk nynorsk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Oktaeder" title="Oktaeder – Norwegisch (Bokmål)" lang="nb" 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Pannonisch-Russinisch" lang="rsk" hreflang="rsk" data-title="Октаедер" data-language-autonym="Руски" data-language-local-name="Pannonisch-Russinisch" class="interlanguage-link-target"><span>Руски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%82%D0%B0%D1%8D%D0%B4%D1%80" title="Октаэдр – Russisch" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Октаэдр" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Russisch" class="interlanguage-link-target"><span>Русский</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Ottaedru" title="Ottaedru – Sizilianisch" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Ottaedru" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="Sizilianisch" class="interlanguage-link-target"><span>Sicilianu</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Oktaedar" title="Oktaedar – Serbokroatisch" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Oktaedar" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Serbokroatisch" class="interlanguage-link-target"><span>Srpskohrvatski / српскохрватски</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Octahedron" title="Octahedron – einfaches Englisch" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Octahedron" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="einfaches Englisch" class="interlanguage-link-target"><span>Simple English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Oktaeder" title="Oktaeder – Slowenisch" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Oktaeder" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Slowenisch" class="interlanguage-link-target"><span>Slovenščina</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D1%80" title="Октаедар – Serbisch" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Октаедар" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Serbisch" class="interlanguage-link-target"><span>Српски / srpski</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Oktaeder" title="Oktaeder – Schwedisch" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Oktaeder" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="Schwedisch" class="interlanguage-link-target"><span>Svenska</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Sekiz_y%C3%BCzl%C3%BC" title="Sekiz yüzlü – Türkisch" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Sekiz yüzlü" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="Türkisch" class="interlanguage-link-target"><span>Türkçe</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tt mw-list-item"><a href="https://tt.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%82%D0%B0%D1%8D%D0%B4%D1%80" title="Октаэдр – Tatarisch" lang="tt" hreflang="tt" data-title="Октаэдр" data-language-autonym="Татарча / tatarça" data-language-local-name="Tatarisch" class="interlanguage-link-target"><span>Татарча / tatarça</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%B5%D0%B4%D1%80" title="Октаедр – Ukrainisch" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Октаедр" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="Ukrainisch" class="interlanguage-link-target"><span>Українська</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Oktaedr" title="Oktaedr – Usbekisch" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Oktaedr" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="Usbekisch" 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