Arithmetisches Mittel

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Arithmetisches Mittel – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"e817098a-f61e-4da0-840f-b182a900577c","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Arithmetisches_Mittel","wgTitle":"Arithmetisches Mittel","wgCurRevisionId":249688686,"wgRevisionId":249688686,"wgArticleId":57626,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"], "wgCategories":["Mittelwert"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Arithmetisches_Mittel","wgRelevantArticleId":57626,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgRedirectedFrom":"Gewichtetes_arithmetisches_Mittel","wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":249688686,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":30000,"wgInternalRedirectTargetUrl":"/wiki/Arithmetisches_Mittel#Gewichtetes_arithmetisches_Mittel","wgRelatedArticlesCompat":[], "wgCentralAuthMobileDomain":false,"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q19033","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.cite.styles":"ready","ext.math.styles":"ready", "skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.action.view.redirect","ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface", "ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=de&modules=codex-search-styles%7Cext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.styles.legacy%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector"> <script async="" src="/w/load.php?lang=de&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=de&modules=ext.gadget.NavFrame%2CciteRef%2CdefaultPlainlinks%2CdewikiCommonHide%2CdewikiCommonLayout%2CdewikiCommonStyle&only=styles&skin=vector"> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=de&modules=site.styles&only=styles&skin=vector"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.4"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/01_Arithmetisches_Mittel.svg/1200px-01_Arithmetisches_Mittel.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="1200"> <meta property="og:image:height" content="730"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/01_Arithmetisches_Mittel.svg/800px-01_Arithmetisches_Mittel.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="800"> <meta property="og:image:height" content="486"> <meta property="og:image" content="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/01_Arithmetisches_Mittel.svg/640px-01_Arithmetisches_Mittel.svg.png"> <meta property="og:image:width" content="640"> <meta property="og:image:height" content="389"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Arithmetisches Mittel – Wikipedia"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//de.m.wikipedia.org/wiki/Arithmetisches_Mittel#Gewichtetes_arithmetisches_Mittel"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Seite bearbeiten" href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Wikipedia (de)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//de.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://de.wikipedia.org/wiki/Arithmetisches_Mittel#Gewichtetes_arithmetisches_Mittel"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Atom-Feed für „Wikipedia“" href="/w/index.php?title=Spezial:Letzte_%C3%84nderungen&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin-vector-legacy mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Arithmetisches_Mittel rootpage-Arithmetisches_Mittel skin-vector action-view"><div id="mw-page-base" class="noprint"></div> <div id="mw-head-base" class="noprint"></div> <div id="content" class="mw-body" role="main"> <a id="top"></a> <div id="siteNotice"></div> <div class="mw-indicators"> </div> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Arithmetisches Mittel</h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle">(Weitergeleitet von <a href="/w/index.php?title=Gewichtetes_arithmetisches_Mittel&redirect=no" class="mw-redirect" title="Gewichtetes arithmetisches Mittel">Gewichtetes arithmetisches Mittel</a>)</div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Zur Navigation springen</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Zur Suche springen</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Frameless"><a href="/wiki/Datei:01_Arithmetisches_Mittel.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/01_Arithmetisches_Mittel.svg/330px-01_Arithmetisches_Mittel.svg.png" decoding="async" width="330" height="201" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/01_Arithmetisches_Mittel.svg/495px-01_Arithmetisches_Mittel.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/01_Arithmetisches_Mittel.svg/660px-01_Arithmetisches_Mittel.svg.png 2x" data-file-width="426" data-file-height="259" /></a><figcaption></figcaption></figure> Das arithmetische Mittel, auch arithmetischer Mittelwert genannt (umgangssprachlich auch Durchschnitt), ist der gebräuchlichste <a href="/wiki/Mittelwert" title="Mittelwert">Mittelwert</a>. Er wird berechnet, indem die <a href="/wiki/Summe" title="Summe">Summe</a> der betrachteten Zahlen durch ihre Anzahl <a href="/wiki/Division_(Mathematik)" title="Division (Mathematik)">geteilt</a> wird. Wie andere Mittelwerte beschreibt er das Zentrum einer Verteilung durch eine Zahl. Das arithmetische Mittel ist ein wichtiger <a href="/wiki/Lageparameter_(Deskriptive_Statistik)" class="mw-redirect" title="Lageparameter (Deskriptive Statistik)">Lageparameter</a> in der <a href="/wiki/Statistik" title="Statistik">Statistik</a>. Das arithmetische Mittel einer <a href="/wiki/Stichprobe" title="Stichprobe">Stichprobe</a> wird auch empirischer Mittelwert genannt.<a href="#cite_note-1">[1]</a> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Definition">1 Definition</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-2"><a href="#Arithmetisches_Mittel_bei_Häufigkeitsdaten">1.1 Arithmetisches Mittel bei Häufigkeitsdaten</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#Arithmetisches_Mittel_bei_Schichtenbildung">1.2 Arithmetisches Mittel bei Schichtenbildung</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Rekursive_Darstellung_des_arithmetischen_Mittels">1.3 Rekursive Darstellung des arithmetischen Mittels</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Eigenschaften">2 Eigenschaften</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#Ersatzwerteigenschaft">2.1 Ersatzwerteigenschaft</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Schwerpunkteigenschaft">2.2 Schwerpunkteigenschaft</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="#Optimalitätseigenschaft">2.3 Optimalitätseigenschaft</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#Lineare_Transformationseigenschaft">2.4 Lineare Transformationseigenschaft</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#Dreiecksungleichungen">2.5 Dreiecksungleichungen</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-11"><a href="#Beispiele">3 Beispiele</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-12"><a href="#Einfache_Beispiele">3.1 Einfache Beispiele</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-13"><a href="#Durchschnittspreis">3.2 Durchschnittspreis</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-14"><a href="#Anwendungsbeispiel">3.3 Anwendungsbeispiel</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-15"><a href="#Gewichtetes_arithmetisches_Mittel">4 Gewichtetes arithmetisches Mittel</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-16"><a href="#Deskriptive_Statistik">4.1 Deskriptive Statistik</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-17"><a href="#Wahrscheinlichkeitsrechnung">4.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung</a> <ul> <li class="toclevel-3 tocsection-18"><a href="#Stichprobenmittel">4.2.1 Stichprobenmittel</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-19"><a href="#Inverse_Varianzgewichtung">4.2.2 Inverse Varianzgewichtung</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-20"><a href="#Unabhängig_und_identisch_verteilte_Zufallsvariablen">4.2.3 Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen</a></li> <li class="toclevel-3 tocsection-21"><a href="#Gewichtetes_arithmetisches_Mittel_als_Erwartungswert">4.2.4 Gewichtetes arithmetisches Mittel als Erwartungswert</a></li> </ul> </li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-22"><a href="#Beispiele_für_gewichtete_Mittelwerte">5 Beispiele für gewichtete Mittelwerte</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-23"><a href="#Der_Mittelwert_einer_Funktion">6 Der Mittelwert einer Funktion</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-24"><a href="#Quasi-arithmetischer_Mittelwert_(f-Mittel)">7 Quasi-arithmetischer Mittelwert (f-Mittel)</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-25"><a href="#Siehe_auch">8 Siehe auch</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-26"><a href="#Weblinks">9 Weblinks</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-27"><a href="#Einzelnachweise">10 Einzelnachweise</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Definition" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Definition">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Das arithmetische Mittel einer Stichprobe mit Beobachtungswerten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8694289524164f895d6665f163e14c4dc5ec648d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.528ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}"> ist definiert als die <a href="/wiki/Merkmalssumme" title="Merkmalssumme">Summe der Beobachtungswerte</a> geteilt durch die Anzahl der Beobachtungen:<a href="#cite_note-2">[2]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}:={\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}:={\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0db99339fb9c294445ca834dfcc52711b6df577" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:36.174ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}:={\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}">.</dd></dl> Das Symbol <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.445ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}}"> spricht man als „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> quer“. Wird das arithmetische Mittel nicht gewichtet (siehe Abschnitt <a href="#Gewichtetes_arithmetisches_Mittel">Gewichtetes arithmetisches Mittel</a>), dann wird es auch als einfaches arithmetisches Mittel oder ungewichtetes arithmetisches Mittel bezeichnet. Zum Beispiel ist das arithmetische Mittel der beiden Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 2}"> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1+2}{2}}=1{,}5}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>5</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1+2}{2}}=1{,}5}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2dd225dfb8a032441fd01e2cdb5cf7ab760f068" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.615ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1+2}{2}}=1{,}5}">.</dd></dl> Das arithmetische Mittel beschreibt das Zentrum einer Verteilung durch eine Zahl und stellt somit einen <a href="/wiki/Lageparameter_(deskriptive_Statistik)" title="Lageparameter (deskriptive Statistik)">Lageparameter</a> dar. Das arithmetische Mittel ist sinnvoll für beliebige metrische Merkmale definiert. Im Allgemeinen ist es für qualitative Merkmale nicht geeignet, jedoch liefert es für dichotome Merkmale mit zwei Kategorien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{1}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{1}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/484a4883bb85f16fbeb4390c60e856b343676dbd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.526ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{1}=0}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{2}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{2}=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7779e6bb994f6f7d43006846f17a2ca16224c4b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.526ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{2}=1}"> eine sinnvolle Interpretation. In diesem Fall ist das arithmetische Mittel identisch mit der relativen Häufigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{2}=f(k_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>k</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{2}=f(k_{2})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0775191105fe2dccc90136e3d70c69f4bb4eb4d0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.645ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f_{2}=f(k_{2})}">.<a href="#cite_note-3">[3]</a> Gelegentlich wird zur Bezeichnung des arithmetischen Mittels auch das <a href="/wiki/Durchmesserzeichen" title="Durchmesserzeichen">Durchschnittszeichen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varnothing }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi class="MJX-variant">∅</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varnothing }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00595c5e33692e724937fdcc8870496acce1ac74" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varnothing }"> verwendet. Das arithmetische Mittel ist im Gegensatz zum empirischen Median anfällig gegenüber Ausreißern (siehe <a href="/wiki/Median" title="Median">Median</a>). Das arithmetische Mittel kann als „Mittelpunkt“ der Messwerte interpretiert werden. Es gibt allerdings keine Auskunft darüber, wie stark die Messwerte um das arithmetische Mittel streuen. Dieses Problem kann mit der Einführung der „mittleren quadratischen Abweichung“ vom arithmetischen Mittel, der <a href="/wiki/Empirische_Varianz" title="Empirische Varianz">empirischen Varianz</a>, behoben werden. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Arithmetisches_Mittel_bei_Häufigkeitsdaten">Arithmetisches Mittel bei Häufigkeitsdaten</h3>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Arithmetisches Mittel bei Häufigkeitsdaten" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Arithmetisches Mittel bei Häufigkeitsdaten">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Für <a href="/wiki/H%C3%A4ufigkeitsdaten" title="Häufigkeitsdaten">Häufigkeitsdaten</a> mit den Ausprägungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2efca2bb1f437e5c2c4f8990e079047baedff34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.099ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}}"> und den dazugehörigen <a href="/wiki/Absolute_H%C3%A4ufigkeit" title="Absolute Häufigkeit">absoluten Häufigkeiten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H_{1},H_{2},\ldots ,H_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H_{1},H_{2},\ldots ,H_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b1c859ca1750224fa1250ade3f5e7062e9bf4b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.203ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H_{1},H_{2},\ldots ,H_{k}}"> ergibt sich das arithmetische Mittel als<a href="#cite_note-4">[4]</a><a href="#cite_note-5">[5]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}(a_{1}H_{1}+a_{2}H_{2}+\ldots +a_{k}H_{k})={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{k}{a_{j}H_{j}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}(a_{1}H_{1}+a_{2}H_{2}+\ldots +a_{k}H_{k})={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{k}{a_{j}H_{j}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99039665283d801e82c41bc550d786afe5873531" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:50.144ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}(a_{1}H_{1}+a_{2}H_{2}+\ldots +a_{k}H_{k})={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{k}{a_{j}H_{j}}}"></dd></dl> mit <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=\sum _{j=1}^{k}{H_{j}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>H</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=\sum _{j=1}^{k}{H_{j}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebad81774735c44197d677a258cb9fb54ba4b5b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:11.076ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle n=\sum _{j=1}^{k}{H_{j}}}">.</dd></dl> Das arithmetische Mittel lässt sich auch mithilfe der relativen Häufigkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9bd277ee91a34dd36ca7c22f94885243ca17f42" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.426ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{k}}"> berechnen:<a href="#cite_note-L._Fahrmeir,_R._Künstler_u._a._2016-6">[6]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}=a_{1}h_{1}+a_{2}h_{2}+\ldots +a_{k}h_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}=a_{1}h_{1}+a_{2}h_{2}+\ldots +a_{k}h_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1eca2f6834a3449c459520e900fa9d93f0c68b0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:29.888ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}=a_{1}h_{1}+a_{2}h_{2}+\ldots +a_{k}h_{k}}">.</dd></dl> Die Ausprägungen werden also mit den relativen Häufigkeiten gewichtet und aufsummiert. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Arithmetisches_Mittel_bei_Schichtenbildung">Arithmetisches Mittel bei Schichtenbildung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Arithmetisches Mittel bei Schichtenbildung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Arithmetisches Mittel bei Schichtenbildung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Bei einer <a href="/wiki/Geschichtete_Zufallsstichprobe" title="Geschichtete Zufallsstichprobe">geschichteten Stichprobe</a> lässt sich das arithmetische Mittel für die Gesamterhebung aus den arithmetischen Mitteln in den Schichten berechnen: Ist eine Erhebungsgesamtheit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"> vom Umfang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}"> Schichten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>E</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b667a722f5227daf72f588708a5ae3d99f7584" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.44ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}}"> mit jeweiligen Umfängen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316a1579aa7abcd630533df4f6f91e1f7e11a1ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.479ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r}}"> und arithmetischen Mitteln <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}_{1},{\overline {x}}_{2},\ldots ,{\overline {x}}_{r}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}_{1},{\overline {x}}_{2},\ldots ,{\overline {x}}_{r}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de47d17cac3937e93d6b353530d89d4285a7995" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.628ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}_{1},{\overline {x}}_{2},\ldots ,{\overline {x}}_{r}}"> zerlegt, so gilt für das arithmetische Mittel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.445ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}}"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}"><a href="#cite_note-L._Fahrmeir,_R._Künstler_u._a._2016-6">[6]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}(n_{1}{\overline {x}}_{1}+n_{2}{\overline {x}}_{2}+\cdots +n_{r}{\overline {x}}_{r})={\frac {n_{1}}{n}}\cdot {\overline {x}}_{1}+{\frac {n_{2}}{n}}\cdot {\overline {x}}_{2}+\cdots +{\frac {n_{r}}{n}}\cdot {\overline {x}}_{r}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}(n_{1}{\overline {x}}_{1}+n_{2}{\overline {x}}_{2}+\cdots +n_{r}{\overline {x}}_{r})={\frac {n_{1}}{n}}\cdot {\overline {x}}_{1}+{\frac {n_{2}}{n}}\cdot {\overline {x}}_{2}+\cdots +{\frac {n_{r}}{n}}\cdot {\overline {x}}_{r}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2eff7e6f57dd12ff0649ca3e3312aa46c253552" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:71.081ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}(n_{1}{\overline {x}}_{1}+n_{2}{\overline {x}}_{2}+\cdots +n_{r}{\overline {x}}_{r})={\frac {n_{1}}{n}}\cdot {\overline {x}}_{1}+{\frac {n_{2}}{n}}\cdot {\overline {x}}_{2}+\cdots +{\frac {n_{r}}{n}}\cdot {\overline {x}}_{r}}">.</dd></dl> Das arithmetische Mittel der Gesamterhebung ist also das <a href="#Gewichtetes_arithmetisches_Mittel">gewichtete arithmetische Mittel</a> der Mittelwerte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}_{1},{\overline {x}}_{2},\ldots ,{\overline {x}}_{r}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}_{1},{\overline {x}}_{2},\ldots ,{\overline {x}}_{r}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de47d17cac3937e93d6b353530d89d4285a7995" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.628ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}_{1},{\overline {x}}_{2},\ldots ,{\overline {x}}_{r}}">, wobei die Gewichte die relativen Größen der Schichten in der Erhebnungsgesamtheit widerspiegeln. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rekursive_Darstellung_des_arithmetischen_Mittels">Rekursive Darstellung des arithmetischen Mittels</h3>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Rekursive Darstellung des arithmetischen Mittels" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Rekursive Darstellung des arithmetischen Mittels">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Bei der Betrachtung <a href="/wiki/Station%C3%A4rer_stochastischer_Prozess" title="Stationärer stochastischer Prozess">stationärer stochastischer Prozesse</a>, bei denen die Daten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2b88c64c76a03611549fb9b4cf4ed060b56002" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.418ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{k}}"> in einer zeitlich geordneten Reihenfolge erfasst werden, bietet es sich an, eine <a href="/wiki/Rekursion" title="Rekursion">Rekursions-Formel</a> zur Berechnung des arithmetischen Mittelwertes zu verwenden. Diese lässt sich direkt anhand der Grundformel des arithmetischen Mittelwertes herleiten. Wie in der angegebenen Formel ersichtlich werden für kleine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> die Daten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2b88c64c76a03611549fb9b4cf4ed060b56002" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.418ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{k}}"> stärker gewichtet und für große <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> der zuvor berechnete arithmetische Mittelwert. Der Vorteil der Rekursions-Formel ist, dass die Daten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2b88c64c76a03611549fb9b4cf4ed060b56002" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.418ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{k}}"> nicht gespeichert werden müssen, was sich z. B. bei Anwendungen auf einem <a href="/wiki/Mikrocontroller" title="Mikrocontroller">Microcontroller</a> anbietet. <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}_{n+1}={\frac {n}{n+1}}\cdot {\overline {x}}_{n}+{\frac {1}{n+1}}\cdot x_{n+1},\quad {\overline {x}}_{0}=x_{0},\quad n=0,1,2,...}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}_{n+1}={\frac {n}{n+1}}\cdot {\overline {x}}_{n}+{\frac {1}{n+1}}\cdot x_{n+1},\quad {\overline {x}}_{0}=x_{0},\quad n=0,1,2,...}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4eed87cf2eb8ba42ee1f1354b743ce145bb6c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:62.331ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}_{n+1}={\frac {n}{n+1}}\cdot {\overline {x}}_{n}+{\frac {1}{n+1}}\cdot x_{n+1},\quad {\overline {x}}_{0}=x_{0},\quad n=0,1,2,...}"></dd></dl> Ein erster Schritt, diese rekursive Variante des arithmetischen Mittelwertes auch für zeitvariable stochastische Prozesse verwendbar zu machen, ist die Einführung eines sogenannten Vergessens-Faktors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }">. Zeitvariabel bedeutet hier, dass der tatsächliche Erwartungswert in Abhängigkeit der Zeit variiert. Typischerweise ist davon auszugehen, dass die <a href="/wiki/Scharmittelwert" class="mw-redirect" title="Scharmittelwert">Scharmittelwerte</a> den zeitlichen Mittelwerten entsprechen. Die Einführung des Vergessens-Faktors führt dazu, dass die Rekursions-Gleichung auf solche Änderungen reagieren kann. Eine Möglichkeit ist z. B. eine prozentuale Gewichtung des Grenzwertes für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\rightarrow \infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\rightarrow \infty }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9702f04f2d0e5b887b99faeeffb0c4cfd8263eee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.333ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle n\rightarrow \infty }">: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}_{n+1}={\frac {\gamma \cdot n}{n+1}}\cdot {\overline {x}}_{n}+\left((1-\gamma )+{\frac {1}{n+1}}\right)\cdot x_{n+1},\quad {\overline {x}}_{0}=x_{0},\quad n=0,1,2,...\;,\quad \gamma \lesssim 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>γ</mi> <mo>≲</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}_{n+1}={\frac {\gamma \cdot n}{n+1}}\cdot {\overline {x}}_{n}+\left((1-\gamma )+{\frac {1}{n+1}}\right)\cdot x_{n+1},\quad {\overline {x}}_{0}=x_{0},\quad n=0,1,2,...\;,\quad \gamma \lesssim 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cadf677f9d9ec58404c351ed1eb2d8e6ab1559b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:85.579ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}_{n+1}={\frac {\gamma \cdot n}{n+1}}\cdot {\overline {x}}_{n}+\left((1-\gamma )+{\frac {1}{n+1}}\right)\cdot x_{n+1},\quad {\overline {x}}_{0}=x_{0},\quad n=0,1,2,...\;,\quad \gamma \lesssim 1}"></dd></dl> Zur Umgehung der rationalen Terme in Abhängigkeit von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">, lässt sich diese Gleichung auch direkt im Grenzwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\rightarrow \infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\rightarrow \infty }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9702f04f2d0e5b887b99faeeffb0c4cfd8263eee" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.333ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle n\rightarrow \infty }"> wie folgt angeben: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}_{n+1}=\gamma \cdot {\overline {x}}_{n}+(1-\gamma )\cdot x_{n+1},\quad {\overline {x}}_{0}=x_{0},\quad n=0,1,2,...\;,\quad \gamma \lesssim 1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>γ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mo>,</mo> <mspace width="1em" /> <mi>γ</mi> <mo>≲</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}_{n+1}=\gamma \cdot {\overline {x}}_{n}+(1-\gamma )\cdot x_{n+1},\quad {\overline {x}}_{0}=x_{0},\quad n=0,1,2,...\;,\quad \gamma \lesssim 1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171fb11379cf8e42733ad080657c90e35ec91e55" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:68.113ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}_{n+1}=\gamma \cdot {\overline {x}}_{n}+(1-\gamma )\cdot x_{n+1},\quad {\overline {x}}_{0}=x_{0},\quad n=0,1,2,...\;,\quad \gamma \lesssim 1}"></dd></dl> Ob diese Vorgehensweise in einer bestimmten Anwendung praktikabel ist, gilt es natürlich zu klären. Zu beachten ist, dass sich durch die Verwendung des Grenzwertes ein anderes „Einschwingverhalten“ ergibt. Von systemtheoretischer (bzw. regelungstechnischer) Warte aus betrachtet, wird eine solche Rekursionsgleichung auch als zeitdiskretes <a href="/wiki/PT1-Glied" title="PT1-Glied">PT1-Glied</a> bezeichnet. In der praktischen Umgangssprache würde man den Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }">, so wie er hier beschrieben ist, als „Fummel-Faktor“ bezeichnen, was zum Vorschein bringen soll, dass dieser zunächst einmal nicht optimal gewählt ist. Weiterführend zu diesem Thema sind das <a href="/wiki/Kalman-Filter" title="Kalman-Filter">Kalman-Filter</a>, das <a href="/wiki/Wiener-Filter" title="Wiener-Filter">Wiener-Filter</a>, der <a href="/wiki/RLS-Algorithmus" title="RLS-Algorithmus">rekursive Least-Square-Algorithmus</a>, das <a href="/wiki/Maximum-Likelihood-Methode" title="Maximum-Likelihood-Methode">Maximum-Likelihood-Verfahren</a> und generell <a href="/wiki/Optimalfilter" title="Optimalfilter">Optimalfilter</a> zu nennen. <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Recursive_Arithmetic_Mean_Example_new.png" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/Recursive_Arithmetic_Mean_Example_new.png/521px-Recursive_Arithmetic_Mean_Example_new.png" decoding="async" width="521" height="335" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/Recursive_Arithmetic_Mean_Example_new.png/782px-Recursive_Arithmetic_Mean_Example_new.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/Recursive_Arithmetic_Mean_Example_new.png/1042px-Recursive_Arithmetic_Mean_Example_new.png 2x" data-file-width="3054" data-file-height="1962" /></a><figcaption>Vergleich der rekursiven arithmetischen Mittelwerte mit und ohne Vergessensfaktor bei einem einfachen zeitvariablen stochastischen Prozess</figcaption></figure> Nebenstehend ist exemplarisch das Verhalten der hier angegebenen Rekursions-Gleichungen, bei einem einfachen instationären, stochastischen Prozess (bereichsweise <a href="/wiki/Normalverteilung" title="Normalverteilung">normalverteilt</a>) zu sehen. Im Verlaufe der Zeit weisen der Erwartungswert sowie die Varianz der Zufalls-Daten ein sprunghaftes Verhalten auf. Die einfache Rekursionsgleichung ohne Vergessensfaktor (Arithmetic Mean 1) reagiert nur sehr träge auf das Verhalten des Datensatzes. Wohingegen die Rekursionsgleichungen mit Vergessensfaktor (Arithmetic Mean 2 & 3, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma =0{,}988}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>γ</mi> <mo>=</mo> <mn>0,988</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma =0{,}988}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e48e6feae245a788f347df1509ac200226214d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.657ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \gamma =0{,}988}">) deutlich schneller reagieren. Es fällt weiterhin auf, dass die Algorithmen mit Vergessensfaktor zu einem etwas größeren Rauschen führen. In diesem Beispiel sollte jedoch klar sein, dass die schnellere Reaktionszeit Vorrang hat. Die Ergebnisse „Arithmetic Mean 2“ und „Arithmetic Mean 3“ unterscheiden sich hier nur sehr gering voneinander. Je nach Datensatz, vor allem je nach Menge an Daten, kann dies deutlich anders aussehen. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Eigenschaften" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Eigenschaften">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ersatzwerteigenschaft">Ersatzwerteigenschaft</h3>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Ersatzwerteigenschaft" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Ersatzwerteigenschaft">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Direkt aus der Definition des arithmetischen Mittels folgt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{x_{i}}=n{\overline {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{x_{i}}=n{\overline {x}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1306ef15f9602837b4fe26f7d8133e8afe1efc38" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:11.809ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{x_{i}}=n{\overline {x}}}">.</dd></dl> Wenn man das arithmetische Mittel mit dem <a href="/wiki/Stichprobenumfang" class="mw-redirect" title="Stichprobenumfang">Stichprobenumfang</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> multipliziert, dann erhält man die <a href="/wiki/Merkmalssumme" title="Merkmalssumme">Merkmalssumme</a>.<a href="#cite_note-7">[7]</a> Diese Rechenregel wird als Ersatzwerteigenschaft oder Hochrechnungseigenschaft bezeichnet und oft bei mathematischen Beweisen verwendet. Sie kann wie folgt interpretiert werden: Die Summe aller <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> Einzelwerte kann man sich ersetzt denken durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> gleiche Werte von der Größe des arithmetischen Mittels. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Schwerpunkteigenschaft">Schwerpunkteigenschaft</h3>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Schwerpunkteigenschaft" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Schwerpunkteigenschaft">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Die Abweichungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb0577728049599bceabd5ed148f426e9d44308" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.948ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \nu _{i}}"> der Messwerte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}"> vom Mittelwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa4039bbc2a0048c3a3c02e5fd24390cab0dc97" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.445ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}}"> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{i}=x_{i}-{\overline {x}}\quad i=1,\ldots ,n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mspace width="1em" /> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{i}=x_{i}-{\overline {x}}\quad i=1,\ldots ,n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8967f261500a5de3698317a9660128ac4cbc64fa" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.42ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \nu _{i}=x_{i}-{\overline {x}}\quad i=1,\ldots ,n}"></dd></dl> werden auch als „scheinbare Fehler“ bezeichnet. Die Schwerpunkteigenschaft (auch Nulleigenschaft genannt) besagt, dass die Summe der scheinbaren Fehler bzw. die Summe der Abweichungen aller beobachteten Messwerte vom arithmetischen Mittel gleich Null ist, also <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\nu _{i}=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo movablelimits="false">∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>ν</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\nu _{i}=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07633dd5c01703547369882ad840df5e20832d5e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:27.916ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\nu _{i}=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)=0}"> beziehungsweise im Häufigkeitsfall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)f_{i}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)f_{i}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8092140ae25d182d4ccf02181ae109d986649783" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:18.553ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)f_{i}=0}">.</dd></dl> Dies lässt sich mithilfe der Ersatzwerteigenschaft wie folgt zeigen: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}-\sum _{i=1}^{n}{\overline {x}}=n{\overline {x}}-n{\overline {x}}=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}-\sum _{i=1}^{n}{\overline {x}}=n{\overline {x}}-n{\overline {x}}=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ca0ae1431bda9bd2222b8a955394cb28a82f27" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:44.841ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}-\sum _{i=1}^{n}{\overline {x}}=n{\overline {x}}-n{\overline {x}}=0}"></dd></dl> Die Schwerpunkteigenschaft spielt für das Konzept der <a href="/wiki/Anzahl_der_Freiheitsgrade_(Statistik)" title="Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)">Freiheitsgrade</a> eine große Rolle. Aufgrund der Schwerpunkteigenschaft des arithmetischen Mittels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo movablelimits="false">∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)=0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56cbf7e950fdc80205af4f0a6f1b69b035cb0a2f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:19.012ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \sum \nolimits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)=0}"> ist die letzte Abweichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(x_{n}-{\overline {x}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(x_{n}-{\overline {x}}\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b68f0d5dcd8a2e6d1f6d4e2ec9ad9e5a84ed3fc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.642ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left(x_{n}-{\overline {x}}\right)}"> bereits durch die ersten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df88c6333caaf6471cf277f24b802ff9931b133e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-1)}"> bestimmt. Folglich variieren nur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df88c6333caaf6471cf277f24b802ff9931b133e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-1)}"> Abweichungen frei und man mittelt deshalb, z. B. bei der empirischen Varianz, indem man durch die <a href="/wiki/Anzahl_der_Freiheitsgrade_(Statistik)" title="Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)">Anzahl der Freiheitsgrade</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df88c6333caaf6471cf277f24b802ff9931b133e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.207ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (n-1)}"> dividiert.<a href="#cite_note-8">[8]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Optimalitätseigenschaft">Optimalitätseigenschaft</h3>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Optimalitätseigenschaft" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Optimalitätseigenschaft">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Empirische_Risikominimierung" title="Empirische Risikominimierung">Empirische Risikominimierung</a></div> In der <a href="/wiki/Statistik" title="Statistik">Statistik</a> ist man oft daran interessiert die <a href="/wiki/Summe_der_Abweichungsquadrate" title="Summe der Abweichungsquadrate">Summe der Abweichungsquadrate</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}"> von einem Zentrum zu minimieren. Wenn man das Zentrum durch einen Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}"> auf der horizontalen Achse festlegen will, der die Summe der quadratischen Abweichungen <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q(z;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-z\right)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q(z;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-z\right)^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ded3c06e8d712e285c9c850bfe62cf4d3e2bc5fe" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:31.642ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle Q(z;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-z\right)^{2}}"></dd></dl> zwischen Daten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737e02a5fbf8bc31d443c91025339f9fd1de1065" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.11ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}"> und Zentrum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}"> minimiert, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z={\overline {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z={\overline {x}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2a1da7c3abc83c90c411ebe47c3ebdc51f37da" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.631ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle z={\overline {x}}}"> der minimierende Wert. Dieses Resultat kann durch einfaches Ableiten der Zielfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}"> gezeigt werden: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial \,Q(z;x_{1},\ldots ,x_{n})/\partial \,z=-2\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-z)\;{\overset {\mathrm {!} }{=}}\;0\Rightarrow z={\overline {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>Q</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>!</mo> </mrow> </mover> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">⇒</mo> <mi>z</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial \,Q(z;x_{1},\ldots ,x_{n})/\partial \,z=-2\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-z)\;{\overset {\mathrm {!} }{=}}\;0\Rightarrow z={\overline {x}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41550d8a89c78922daccd62462ecd11d11cafe1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:52.725ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \partial \,Q(z;x_{1},\ldots ,x_{n})/\partial \,z=-2\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-z)\;{\overset {\mathrm {!} }{=}}\;0\Rightarrow z={\overline {x}}}">.</dd></dl> Dies ist ein Minimum, da die zweite Ableitung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>Q</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}"> gleich 2, also größer als 0 ist, was eine hinreichende Bedingung für ein Minimum ist. Daraus ergibt sich die folgende Optimalitätseigenschaft (auch Minimierungseigenschaft genannt): <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}<\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-z\right)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo><</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}<\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-z\right)^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f4dae6d52b191a6d906110356bc87a33ad35e11" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:28.782ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}<\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-z\right)^{2}}"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\neq {\overline {x}}\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>≠</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\neq {\overline {x}}\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf42084f9bcdfbaf7e7d303d5033b32c5a60494c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.276ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z\neq {\overline {x}}\;}"><a href="#cite_note-ReferenceA-9">[9]</a> oder anders ausgedrückt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;{\underset {z\in \mathbb {R} }{\rm {arg\,min}}}\,\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-z\right)^{2}={\overline {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">a</mi> <mi mathvariant="normal">r</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mi mathvariant="normal">i</mi> <mi mathvariant="normal">n</mi> </mrow> <mrow> <mi>z</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mrow> </munder> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;{\underset {z\in \mathbb {R} }{\rm {arg\,min}}}\,\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-z\right)^{2}={\overline {x}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5c959030a984b4f0ef67c1f7d5e86ca84fb11d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:26.125ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \;{\underset {z\in \mathbb {R} }{\rm {arg\,min}}}\,\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-z\right)^{2}={\overline {x}}}">.<a href="#cite_note-10">[10]</a></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lineare_Transformationseigenschaft">Lineare Transformationseigenschaft</h3>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Lineare Transformationseigenschaft" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Lineare Transformationseigenschaft">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Je nach <a href="/wiki/Skalenniveau" title="Skalenniveau">Skalenniveau</a> ist das arithmetische Mittel <a href="/wiki/%C3%84quivarianter_Sch%C3%A4tzer" title="Äquivarianter Schätzer">äquivariant</a> gegenüber speziellen Transformationen. Werden die Beobachtungswerte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}"> linear in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{i}=a+b\cdot x_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{i}=a+b\cdot x_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30bbfc058a168265a4ca7f3354b96275b2b3d79" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.914ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle y_{i}=a+b\cdot x_{i}}">transformiert, so gilt für das arithmetische Mittel der transformierten y-Werte<a href="#cite_note-ReferenceA-9">[9]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {y}}=a+b\cdot {\overline {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {y}}=a+b\cdot {\overline {x}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00812db513c3b86891072fab1ac7dddcb5b78081" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.571ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {y}}=a+b\cdot {\overline {x}}}">,</dd></dl> da <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(a+b\cdot x_{i})=a+b\cdot {\overline {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>y</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>y</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(a+b\cdot x_{i})=a+b\cdot {\overline {x}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39c528893e8d930f3bfd67d54ca6e47534185d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:43.725ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(a+b\cdot x_{i})=a+b\cdot {\overline {x}}}">.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dreiecksungleichungen">Dreiecksungleichungen</h3>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Dreiecksungleichungen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Dreiecksungleichungen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel" title="Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel">Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel</a></div> Für das arithmetische Mittel gilt die folgende <a href="/wiki/Dreiecksungleichung" title="Dreiecksungleichung">Dreiecksungleichung</a>: Das arithmetische Mittel von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> positiven Merkmalsausprägungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}>0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>></mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}>0}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ca010976c6eb10a9e66a4ec495766452bfe828" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.39ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{i}>0}"> ist größer oder gleich dem <a href="/wiki/Geometrisches_Mittel" title="Geometrisches Mittel">geometrischen Mittel</a> dieser Merkmalsausprägungen, also <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo>≥</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mroot> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mo>…</mo> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </mroot> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f3f9ea4b0c449de2affd74fe3b9fddd1d24cb6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:39.507ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}}">.</dd></dl> Die Gleichheit ist nur gegeben, wenn alle Merkmalsausprägungen gleich sind. Weiterhin gilt für den <a href="/wiki/Absolutbetrag" class="mw-redirect" title="Absolutbetrag">Absolutbetrag</a> des arithmetischen Mittels mehrerer Merkmalsausprägungen, dass er kleiner oder gleich dem <a href="/wiki/Quadratisches_Mittel" title="Quadratisches Mittel">quadratischen Mittel</a> ist: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}\right|\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}{n}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>|</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}\right|\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}{n}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fffd39b632ad0ebe8f8a49ba38731a0c1691f43" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:45.509ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle \left|{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}\right|\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}{n}}}}">.<a href="#cite_note-11">[11]</a></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=11" title="Abschnitt bearbeiten: Beispiele" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=11" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiele">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einfache_Beispiele">Einfache Beispiele</h3>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=12" title="Abschnitt bearbeiten: Einfache Beispiele" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=12" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einfache Beispiele">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li>Das arithmetische Mittel aus 50 und 100 ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad {\overline {x}}={\frac {50+100}{2}}=75}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>50</mn> <mo>+</mo> <mn>100</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>75</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad {\overline {x}}={\frac {50+100}{2}}=75}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099a31f680224cdeeb3816d8d1f859ca061f0903" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.778ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \quad {\overline {x}}={\frac {50+100}{2}}=75}">.</li> <li>Das arithmetische Mittel aus 8, 5 und −1 ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \quad {\overline {x}}={\frac {8+5+\left(-1\right)}{3}}=4}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <mo>+</mo> <mn>5</mn> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>4</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \quad {\overline {x}}={\frac {8+5+\left(-1\right)}{3}}=4}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476b9433c18358139bcaf5ea309a3111e7120560" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.748ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \quad {\overline {x}}={\frac {8+5+\left(-1\right)}{3}}=4}">.</li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Durchschnittspreis">Durchschnittspreis</h3>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=13" title="Abschnitt bearbeiten: Durchschnittspreis" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=13" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Durchschnittspreis">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Ein kleiner Lebensmittel-Laden möchte alle Sorten Kartoffeln zum gleichen Preis verkaufen. Die Kartoffeln kosten je nach Sorte und Menge unterschiedlich viel. Um den durchschnittlichen Preis der Kartoffeln zu berechnen, wird die Methode der Berechnung des <a href="#Arithmetisches_Mittel_bei_Häufigkeitsdaten">arithmetischen Mittels für Häufigkeitsdaten</a> verwendet. Dabei sind die unterschiedlichen Mengen die absoluten Häufigkeiten und die unterschiedlichen Preise die Häufigkeiten, für die der Mittelwert berechnet wird. <table class="wikitable"> <caption>Beispiel für einen Durchschnittspreis </caption> <tbody><tr> <th>Sorte</th> <th><a href="/wiki/Adretta" title="Adretta">Adretta</a> (mk)</th> <th><a href="/wiki/Agata_(Kartoffel)" title="Agata (Kartoffel)">Agata</a> (vfk)</th> <th><a href="/wiki/Linda_(Kartoffel)" title="Linda (Kartoffel)">Linda</a> (fk)</th> <th>insgesamt </th></tr> <tr style="text-align:right"> <td>Menge</td> <td>25 kg</td> <td>25 kg</td> <td>100 kg</td> <td>150 kg </td></tr> <tr style="text-align:right"> <td>pro kg</td> <td>1,80 €</td> <td>2,00 €</td> <td>2,20 €</td> <td>2,10 € </td></tr></tbody></table> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{150\ \mathrm {kg} }}\cdot \left(25\ \mathrm {kg} \cdot 1{,}80\ \mathrm {\euro} +25\ \mathrm {kg} \cdot 2{,}00\ \mathrm {\euro} +100\ \mathrm {kg} \cdot 2{,}20\ \mathrm {\euro} \right)={\frac {1}{150}}\cdot \left(45\ \mathrm {\euro} +50\ \mathrm {\euro} +220\ \mathrm {\euro} \right)={\frac {315\ \mathrm {\euro} }{150}}=2{,}10\ \mathrm {\euro} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>150</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>25</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>80</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>€</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mn>25</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>00</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>€</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mn>100</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>20</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>€</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>150</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>45</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>€</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mn>50</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>€</mo> </mrow> </mrow> <mo>+</mo> <mn>220</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>€</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>315</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>€</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mn>150</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>10</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>€</mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{150\ \mathrm {kg} }}\cdot \left(25\ \mathrm {kg} \cdot 1{,}80\ \mathrm {\euro} +25\ \mathrm {kg} \cdot 2{,}00\ \mathrm {\euro} +100\ \mathrm {kg} \cdot 2{,}20\ \mathrm {\euro} \right)={\frac {1}{150}}\cdot \left(45\ \mathrm {\euro} +50\ \mathrm {\euro} +220\ \mathrm {\euro} \right)={\frac {315\ \mathrm {\euro} }{150}}=2{,}10\ \mathrm {\euro} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368255bed0addb6cd0a1f41b520a09f5fbb58195" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:112.789ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{150\ \mathrm {kg} }}\cdot \left(25\ \mathrm {kg} \cdot 1{,}80\ \mathrm {\euro} +25\ \mathrm {kg} \cdot 2{,}00\ \mathrm {\euro} +100\ \mathrm {kg} \cdot 2{,}20\ \mathrm {\euro} \right)={\frac {1}{150}}\cdot \left(45\ \mathrm {\euro} +50\ \mathrm {\euro} +220\ \mathrm {\euro} \right)={\frac {315\ \mathrm {\euro} }{150}}=2{,}10\ \mathrm {\euro} }"></dd></dl> Der Lebensmittel-Laden kann also alle 150 kg Kartoffeln zu 2,10 € pro kg verkaufen und erzielt damit den gleichen Umsatz (315 €) als wenn er die unterschiedlichen Preise für jede Sorte genommen hätte. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anwendungsbeispiel">Anwendungsbeispiel</h3>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=14" title="Abschnitt bearbeiten: Anwendungsbeispiel" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=14" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Anwendungsbeispiel">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Ein Auto fährt eine Stunde lang 100 km/h und die darauf folgende Stunde 200 km/h. Mit welcher konstanten Geschwindigkeit muss ein anderes Auto fahren, um denselben Weg ebenfalls in zwei Stunden zurückzulegen? Der Weg <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb8baad278d51283e0ef3c99898d583cf2c8a8fd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.145ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{1}}">, den das erste Auto insgesamt zurückgelegt hat, beträgt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{1}=100\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} +200\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>100</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mn>200</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{1}=100\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} +200\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5479876e066d368323218f00a0dc0f4232cdd846" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.886ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle s_{1}=100\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} +200\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} }"></dd></dl> und der des zweiten Autos <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{2}=v_{2}\cdot 2\ \mathrm {h} ,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{2}=v_{2}\cdot 2\ \mathrm {h} ,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7351a79ee119a1d17216f938de1de9b106be59bf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.787ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle s_{2}=v_{2}\cdot 2\ \mathrm {h} ,}"></dd></dl> wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb04c423c2cb809c30cac725befa14ffbf4c85f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.182ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{2}}"> die Geschwindigkeit des zweiten Autos ist. Aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{1}=s_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>s</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{1}=s_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92206953980d130b6e9971f025de8e6293dbaf19" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.388ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle s_{1}=s_{2}}"> ergibt sich <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{2}\cdot 2\ \mathrm {h} =100\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} +200\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mn>100</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mn>200</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{2}\cdot 2\ \mathrm {h} =100\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} +200\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f707983633923320b4fda37ab8af8d42ca79c005" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.638ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v_{2}\cdot 2\ \mathrm {h} =100\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} +200\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} }"></dd></dl> und damit <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{2}={\frac {100\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} +200\ \mathrm {km/h} \cdot 1\mathrm {h} }{2\ \mathrm {h} }}={\frac {100\ \mathrm {km} +200\ \mathrm {km} }{2\ \mathrm {h} }}=150\ \mathrm {km/h} .}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>v</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>100</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mn>200</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>100</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> <mo>+</mo> <mn>200</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>150</mn> <mtext> </mtext> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">h</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{2}={\frac {100\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} +200\ \mathrm {km/h} \cdot 1\mathrm {h} }{2\ \mathrm {h} }}={\frac {100\ \mathrm {km} +200\ \mathrm {km} }{2\ \mathrm {h} }}=150\ \mathrm {km/h} .}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8f25a5f4a4d6b92011b3a46b7d980ca52adb6c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:71.848ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle v_{2}={\frac {100\ \mathrm {km/h} \cdot 1\ \mathrm {h} +200\ \mathrm {km/h} \cdot 1\mathrm {h} }{2\ \mathrm {h} }}={\frac {100\ \mathrm {km} +200\ \mathrm {km} }{2\ \mathrm {h} }}=150\ \mathrm {km/h} .}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gewichtetes_arithmetisches_Mittel">Gewichtetes arithmetisches Mittel</h2>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=15" title="Abschnitt bearbeiten: Gewichtetes arithmetisches Mittel" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=15" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Gewichtetes arithmetisches Mittel">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Es lässt sich auch ein gewichtetes arithmetisches Mittel definieren (auch als gewogenes arithmetisches Mittel bezeichnet). Es erweitert den Anwendungsbereich des einfachen arithmetischen Mittels auf Werte mit unterschiedlicher <a href="/wiki/Gewichtung" title="Gewichtung">Gewichtung</a>. Ein Beispiel ist die Berechnung einer Schulnote, in die mündliche und schriftliche Leistungen unterschiedlich stark einfließen. Bei Anwendung der <a href="/wiki/Richmannsche_Mischungsregel" title="Richmannsche Mischungsregel">Richmannsche Mischungsregel</a> zur Bestimmung der Mischtemperatur zweier Körper aus gleichem Material wird ebenfalls ein gewichtetes arithmetisches Mittel berechnet. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Deskriptive_Statistik">Deskriptive Statistik</h3>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=16" title="Abschnitt bearbeiten: Deskriptive Statistik" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=16" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Deskriptive Statistik">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Das gewichtete Mittel wird beispielsweise verwendet, wenn man Mittelwerte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934969f39154ba3a3fc47ffb3b164e02f1d74120" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.244ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}_{i}}">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i=1,\dots ,n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i=1,\dots ,n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f269b2f3b2f87fec0168426652a5ea80b56112" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.636ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle i=1,\dots ,n}"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> <a href="/wiki/Stichprobe" title="Stichprobe">Stichproben</a> der gleichen <a href="/wiki/Grundgesamtheit" title="Grundgesamtheit">Grundgesamtheit</a> mit verschiedenen Stichprobenumfängen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe22f0329d3ecb2e1880d44d191aba0e5475db68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.464ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle w_{i}}"> miteinander kombinieren will: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot {\overline {x}}_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mrow> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot {\overline {x}}_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a17de032b312edca6eb822a1980cd4470912618" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:17.508ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot {\overline {x}}_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}">.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wahrscheinlichkeitsrechnung">Wahrscheinlichkeitsrechnung</h3>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=17" title="Abschnitt bearbeiten: Wahrscheinlichkeitsrechnung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=17" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Wahrscheinlichkeitsrechnung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Stichprobenmittel">Stichprobenmittel</h4>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=18" title="Abschnitt bearbeiten: Stichprobenmittel" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=18" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Stichprobenmittel">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="/wiki/Stichprobenmittel" title="Stichprobenmittel">Stichprobenmittel</a></div> Die konkreten Merkmalausprägungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8694289524164f895d6665f163e14c4dc5ec648d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.528ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}"> lassen sich als <a href="/wiki/Realisierung_(Stochastik)" title="Realisierung (Stochastik)">Realisierungen</a> von <a href="/wiki/Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariablen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67872301909a9d739e265252ad0c7339cead069" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.312ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}"> auffassen. Jeder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}">-Wert stellt somit nach der Ziehung der Stichprobe eine Realisierung der jeweiligen Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.724ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{i}}"> dar. Das arithmetische Mittel dieser Zufallsvariablen <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bba8c8160cf89fc97efe65f1c8c47126eded5c1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.314ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}"></dd></dl> wird auch als <a href="/wiki/Stichprobenmittel" title="Stichprobenmittel">Stichprobenmittel</a> bezeichnet und ist ebenfalls eine Zufallsvariable. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Inverse_Varianzgewichtung">Inverse Varianzgewichtung</h4>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=19" title="Abschnitt bearbeiten: Inverse Varianzgewichtung" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=19" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Inverse Varianzgewichtung">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Sind die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.724ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{i}}"> unabhängig verteilte Zufallsvariablen (d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70b2694445a5901b24338a2e7a7e58f02a72a32" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.979ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1}}"> ist eine Zufallsvariable mit den Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{11},\dots ,X_{1n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>11</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{11},\dots ,X_{1n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9ce5503d2d83a82652ee7bd38f779af0d6216e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.943ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{11},\dots ,X_{1n}}"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad47c14b8a092f182512e76c96638aea6e3bea1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.979ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{2}}"> ist eine Zufallsvariable mit den Zufallsvariablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{21},\dots ,X_{2m}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>21</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{21},\dots ,X_{2m}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8f70dd8ec9e68bb46794fc5a65c4ec27741baf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.4ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{21},\dots ,X_{2m}}">) mit gemeinsamem Erwartungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"> aber unterschiedlichen Varianzen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{i}^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{i}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598d48f2fb8e418938d86428befb815f50096bdd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.385ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{i}^{2}}">, so hat der gewichtete Mittelwert ebenfalls Erwartungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"> und seine Varianz beträgt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{\overline {x}}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\overline {x}}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859c052ba1a6382bcb54301992e5a62ea28427ec" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:17.596ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\overline {x}}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}}}">.</dd></dl> Wählt man als Gewicht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w_{i}=1/\sigma _{i}^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{i}=1/\sigma _{i}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5acd18d23834012961b73ef7b1445e161a46172b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.272ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle w_{i}=1/\sigma _{i}^{2}}">, so vereinfacht sich die Varianz zu <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{\overline {x}}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{4}}}\sigma _{i}^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msubsup> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mfrac> </mrow> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mfrac> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\overline {x}}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{4}}}\sigma _{i}^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27de40b6b7efa3a8bdd597960203b93355c17010" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.338ex; width:48.397ex; height:11.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\overline {x}}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{4}}}\sigma _{i}^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}}}">.</dd></dl> Aus der <a href="/wiki/Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung" title="Cauchy-Schwarzsche Ungleichung">Cauchy-Schwarzschen Ungleichung</a> folgt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>≥</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27e59a883f278d117193e8ab2e347462c39d478" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:38.89ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}">.</dd></dl> Die Wahl der Gewichte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w_{i}=1/\sigma _{i}^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{i}=1/\sigma _{i}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5acd18d23834012961b73ef7b1445e161a46172b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.272ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle w_{i}=1/\sigma _{i}^{2}}"> oder eine Wahl proportional dazu minimiert also die Varianz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{\overline {x}}^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\overline {x}}^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9521b11812460b9328236a83ef4d8dacb12978" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.593ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\overline {x}}^{2}}"> des gewichteten Mittels. Mit dieser Formel lassen sich die Gewichte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe22f0329d3ecb2e1880d44d191aba0e5475db68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.464ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle w_{i}}"> abhängig von der Varianz des jeweiligen Wertes, der dementsprechend den Mittelwert mehr oder weniger stark beeinflusst, zweckmäßig wählen. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Unabhängig_und_identisch_verteilte_Zufallsvariablen">Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen</h4>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=20" title="Abschnitt bearbeiten: Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=20" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae25602d4b1df2584ef4dd94474b2db32c4e970e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.299ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}"> <a href="/wiki/Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariablen</a>, die <a href="/wiki/Unabh%C3%A4ngig_und_identisch_verteilte_Zufallsvariablen" title="Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen">unabhängig und identisch verteilt</a> mit <a href="/wiki/Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"> und <a href="/wiki/Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianz</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a5c55e536acf250c1d3e0f754be5692b843ef5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.385ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}}"> sind, so hat der Stichprobenmittel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {X}}:={\frac {1}{n}}\sum \nolimits _{i=1}^{n}X_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo movablelimits="false">∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {X}}:={\frac {1}{n}}\sum \nolimits _{i=1}^{n}X_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2020baf054adb7b1627e15f79de708f1ca80049b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.861ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {X}}:={\frac {1}{n}}\sum \nolimits _{i=1}^{n}X_{i}}"> ebenfalls den Erwartungswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }">, aber die kleinere Varianz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Var({\overline {X}})=\sigma ^{2}/n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> <mi>a</mi> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>X</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Var({\overline {X}})=\sigma ^{2}/n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441f4708ff77eecae59766e1cec51d1a9d6bfac1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.047ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle Var({\overline {X}})=\sigma ^{2}/n}"> (siehe <a href="/wiki/Standardfehler" title="Standardfehler">Standardfehler</a>). Hat also eine Zufallsvariable endlichen Erwartungswert und endliche Varianz, so folgt aus der <a href="/wiki/Tschebyscheff-Ungleichung" class="mw-redirect" title="Tschebyscheff-Ungleichung">Tschebyscheff-Ungleichung</a>, dass das arithmetische Mittel einer Stichprobe gegen den Erwartungswert der Zufallsvariablen <a href="/wiki/Stochastische_Konvergenz" class="mw-redirect" title="Stochastische Konvergenz">stochastisch konvergiert</a>. Das arithmetische Mittel ist daher nach vielen Kriterien eine geeignete Schätzung für den Erwartungswert der Verteilung, aus der die Stichprobe stammt. Sind die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.724ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{i}}"> speziell Stichprobenmittelwerte vom Umfang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f87f905ba5a4d8c691ccaecd65fc47bd007ba4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.194ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle n_{i}}"> aus derselben Grundgesamtheit, so hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>X</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.724ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{i}}"> die Varianz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma ^{2}/n_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>σ</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma ^{2}/n_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04572ceecdb1066d4fd57769d17a3187d67e88f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.742ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma ^{2}/n_{i}}">, also ist die Wahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w_{i}=n_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{i}=n_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2a07739300a7d60a5ae58611bb8ee8091fdc06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.757ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle w_{i}=n_{i}}"> optimal. <div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Gewichtetes_arithmetisches_Mittel_als_Erwartungswert">Gewichtetes arithmetisches Mittel als Erwartungswert</h4>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=21" title="Abschnitt bearbeiten: Gewichtetes arithmetisches Mittel als Erwartungswert" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=21" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Gewichtetes arithmetisches Mittel als Erwartungswert">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Im Falle einer diskreten Zufallsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> mit abzählbar endlichem <a href="/wiki/Tr%C3%A4ger_(Ma%C3%9Ftheorie)" title="Träger (Maßtheorie)">Träger</a> ergibt sich der Erwartungswert der Zufallsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} (X)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">E</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (X)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/734c66846ec383f7e00c23ae4f4155f3cdc8c0fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.372ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (X)}"> als <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} (X)=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\ldots +p_{n}x_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">E</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (X)=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\ldots +p_{n}x_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38f6eaba66be0a0bfc7051500bb52d10c36cf01f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.866ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (X)=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\ldots +p_{n}x_{n}}">.</dd></dl> Hierbei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}=P(X=x_{i})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}=P(X=x_{i})}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2a0a8c4cb54423a3af350ccc3bd98d248e3047" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:15.92ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p_{i}=P(X=x_{i})}"> die <a href="/wiki/Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a>, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>X</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}"> den Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}"> annimmt. Dieser Erwartungswert kann als ein gewichtetes Mittel der Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8694289524164f895d6665f163e14c4dc5ec648d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.528ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}"> mit den Wahrscheinlichkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{i}\;(i=1,\ldots ,n)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace width="thickmathspace" /> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{i}\;(i=1,\ldots ,n)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4997579f5a1052daf94109ce5038de5b266de20e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:16.149ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p_{i}\;(i=1,\ldots ,n)}"> interpretiert werden. Bei Gleichverteilung gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{1}=p_{2}=\ldots =p_{n}=1/n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>…</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>p</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{1}=p_{2}=\ldots =p_{n}=1/n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6dadfa488e89fe536ce7548e2b1a4b044da035c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:25.761ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p_{1}=p_{2}=\ldots =p_{n}=1/n}"> und somit wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} (X)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">E</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (X)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/734c66846ec383f7e00c23ae4f4155f3cdc8c0fb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.372ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (X)}"> zum arithmetischen Mittel der Werte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}"><a href="#cite_note-12">[12]</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{n}}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\overline {x}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">E</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>X</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{n}}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\overline {x}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae786534b8b8339711afff220c533ac0a0eb7e3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:47.202ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{n}}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\overline {x}}}">.</dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele_für_gewichtete_Mittelwerte">Beispiele für gewichtete Mittelwerte</h2>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=22" title="Abschnitt bearbeiten: Beispiele für gewichtete Mittelwerte" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=22" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Beispiele für gewichtete Mittelwerte">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Ein Bauer stellt im Nebenerwerb 100 kg Butter her. 10 kg kann er für 10 €/kg verkaufen, weitere 10 kg für 6 €/kg und den Rest muss er für 3 €/kg abgeben. Zu welchem (gewichteten) Durchschnittspreis hat er seine Butter verkauft? Lösung: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\rm {10\;kg\cdot 10\;\mathrm {\euro} /kg+10\;kg\cdot 6\;\mathrm {\euro} /kg+80\;kg\cdot 3\;\mathrm {\euro} /kg}}{\rm {10\;kg+10\;kg+80\;kg}}}={\rm {4\;\mathrm {\euro} /kg}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mo>⋅</mo> <mn>10</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>€</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mo>+</mo> <mn>10</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mo>⋅</mo> <mn>6</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>€</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mo>+</mo> <mn>80</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>€</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>10</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mo>+</mo> <mn>10</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> <mo>+</mo> <mn>80</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> <mspace width="thickmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>€</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mi mathvariant="normal">k</mi> <mi mathvariant="normal">g</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\rm {10\;kg\cdot 10\;\mathrm {\euro} /kg+10\;kg\cdot 6\;\mathrm {\euro} /kg+80\;kg\cdot 3\;\mathrm {\euro} /kg}}{\rm {10\;kg+10\;kg+80\;kg}}}={\rm {4\;\mathrm {\euro} /kg}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38930f8279dbd0943f51036fd6d5ff6106ba648c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:59.002ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\rm {10\;kg\cdot 10\;\mathrm {\euro} /kg+10\;kg\cdot 6\;\mathrm {\euro} /kg+80\;kg\cdot 3\;\mathrm {\euro} /kg}}{\rm {10\;kg+10\;kg+80\;kg}}}={\rm {4\;\mathrm {\euro} /kg}}}">. Der mit der jeweils verkauften Menge gewichtete Durchschnittspreis entspricht also dem fixen Preis, zu dem die Gesamtmenge verkauft werden müsste, um den gleichen <a href="/wiki/Erl%C3%B6s" title="Erlös">Erlös</a> zu erzielen wie beim Verkauf von Teilmengen zu wechselnden Preisen. Das arithmetische Mittel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}_{1}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}_{1}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f25160e1530518622efa5529131bbcbaf4c4959" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.499ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}_{1}}"> der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{1}=3}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>3</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{1}=3}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3144f2fd433498d4d1be038e4c7bce04381059b7" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.71ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n_{1}=3}"> Zahlen 1, 2 und 3 beträgt 2, das arithmetische Mittel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}_{2}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}_{2}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd2e7c67be36cd0d2bd9162789a3177aeff5e79" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.499ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}_{2}}"> der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n_{2}=2}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>2</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{2}=2}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50bec23f479f1625a73c1a4d3722f7960f7def0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.71ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle n_{2}=2}"> Zahlen 4 und 5 beträgt 4,5. Das arithmetische Mittel aller 5 Zahlen ergibt sich als mit dem Stichprobenumfang gewichteter Mittelwert der Teilmittelwerte: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {n_{1}{\overline {x}}_{1}+n_{2}{\overline {x}}_{2}}{n_{1}+n_{2}}}={\frac {3{\frac {1+2+3}{3}}+2{\frac {4+5}{2}}}{3+2}}={\frac {6+9}{3+2}}=3={\frac {1+2+3+4+5}{5}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mn>5</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>6</mn> <mo>+</mo> <mn>9</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>3</mn> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>+</mo> <mn>5</mn> </mrow> <mn>5</mn> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {n_{1}{\overline {x}}_{1}+n_{2}{\overline {x}}_{2}}{n_{1}+n_{2}}}={\frac {3{\frac {1+2+3}{3}}+2{\frac {4+5}{2}}}{3+2}}={\frac {6+9}{3+2}}=3={\frac {1+2+3+4+5}{5}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bea132d1f3cb648b3f7727d7ab0d4d43bc1a40e2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:71.949ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {n_{1}{\overline {x}}_{1}+n_{2}{\overline {x}}_{2}}{n_{1}+n_{2}}}={\frac {3{\frac {1+2+3}{3}}+2{\frac {4+5}{2}}}{3+2}}={\frac {6+9}{3+2}}=3={\frac {1+2+3+4+5}{5}}.}"></dd></dl> Liegen die Beobachtungen als klassierte Häufigkeit vor, kann man das arithmetische Mittel näherungsweise als gewichtetes Mittel bestimmen, wobei die Klassenmitten als Wert und der Klassenumfang als Gewicht zu wählen sind. Sind beispielsweise in einer Schulklasse ein Kind in der Gewichtsklasse 20 bis 25 kg, 7 Kinder in der Gewichtsklasse 25 bis 30 kg, 8 Kinder in der Gewichtsklasse 30 bis 35 kg und 4 Kinder in der Gewichtsklasse 35 bis 40 kg, so lässt sich das Durchschnittsgewicht als <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1\cdot 22{,}5+7\cdot 27{,}5+8\cdot 32{,}5+4\cdot 37{,}5}{1+7+8+4}}={\frac {625}{20}}=31{,}25}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mn>22</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>5</mn> <mo>+</mo> <mn>7</mn> <mo>⋅</mo> <mn>27</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>5</mn> <mo>+</mo> <mn>8</mn> <mo>⋅</mo> <mn>32</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>5</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <mn>37</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>7</mn> <mo>+</mo> <mn>8</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>625</mn> <mn>20</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>31</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>25</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1\cdot 22{,}5+7\cdot 27{,}5+8\cdot 32{,}5+4\cdot 37{,}5}{1+7+8+4}}={\frac {625}{20}}=31{,}25}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bbfd4ea89eedf66c36d86695d4692b30ff87e9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:53.077ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1\cdot 22{,}5+7\cdot 27{,}5+8\cdot 32{,}5+4\cdot 37{,}5}{1+7+8+4}}={\frac {625}{20}}=31{,}25}"></dd></dl> abschätzen. Um die Güte dieser Schätzung zu ermitteln, muss man dann den minimal / maximal möglichen Mittelwert ermitteln, indem man pro Intervall die kleinsten / größten Werte zugrunde legt. Damit ergibt sich dann, dass der tatsächliche Mittelwert zwischen 28,75 kg und 33,75 kg liegt. Der Fehler der Schätzung 31,25 beträgt also maximal ±2,5 kg oder ±8 %. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Der_Mittelwert_einer_Funktion">Der Mittelwert einer Funktion</h2>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=23" title="Abschnitt bearbeiten: Der Mittelwert einer Funktion" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=23" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Der Mittelwert einer Funktion">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Als Mittelwert einer <a href="/wiki/Riemann-Integral" class="mw-redirect" title="Riemann-Integral">Riemann-integrierbaren</a> Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>:</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> <mo stretchy="false">→</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ab61178bf5349838758ffe3d96135406ed0245" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }"> wird die Zahl <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {f}}:={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {f}}:={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6fb599f6a478e96b531ccf683e5fed88a8eae87" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.736ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {f}}:={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}"></dd></dl> definiert. Die Bezeichnung „Mittelwert“ ist insofern gerechtfertigt, als für eine äquidistante Zerlegung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}\}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo fence="false" stretchy="false">{</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo fence="false" stretchy="false">}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}\}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1465ea67773bc3ef3922441bf20a54cf025d497" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.271ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}\}}"> des Intervalls mit der Schrittweite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h={\tfrac {b-a}{n}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h={\tfrac {b-a}{n}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcfd2767a84c86fff60f1d0e8837839a10b32bd9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.127ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle h={\tfrac {b-a}{n}}}"> das arithmetische Mittel <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m_{n}(f):={\frac {1}{n}}(f(x_{1})+f(x_{2})+\ldots +f(x_{n}))={\frac {1}{b-a}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>m</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mo>…</mo> <mo>+</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m_{n}(f):={\frac {1}{n}}(f(x_{1})+f(x_{2})+\ldots +f(x_{n}))={\frac {1}{b-a}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})h}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5ff345ea7314a428f138e81793eadb2d12b0b8" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:61.933ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle m_{n}(f):={\frac {1}{n}}(f(x_{1})+f(x_{2})+\ldots +f(x_{n}))={\frac {1}{b-a}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})h}"></dd></dl> gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {f}}\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {f}}\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af2f022c36464e093cdc77fbcd92bb96265984e5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\overline {f}}\;}"> konvergiert.<a href="#cite_note-Heuser_1-13">[13]</a> Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1754a429c1438384f5271fe6065a5aee70952e8b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.924ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\;}"> <a href="/wiki/Stetig" class="mw-redirect" title="Stetig">stetig</a>, so besagt der <a href="/wiki/Mittelwertsatz_der_Integralrechnung" title="Mittelwertsatz der Integralrechnung">Mittelwertsatz der Integralrechnung</a>, dass es ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi \in [a,b]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ξ</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi \in [a,b]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc05d1fb45b90e25c99bc6a57473d508d3e9c23" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.426ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \xi \in [a,b]}"> gibt mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\xi )={\overline {f}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>ξ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\xi )={\overline {f}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d495cff824fd2ddfb3bdaf7c4d9dc4969ba1f006" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.701ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle f(\xi )={\overline {f}}}">, die Funktion nimmt also an mindestens einer Stelle ihren Mittelwert an. Der Mittelwert einer Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}"> mit der Gewichtung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w(x)\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w(x)\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8b72a717e8c2313382b37a955427b90f9cd3e6" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.448ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w(x)\;}">(wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w(x)>0\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w(x)>0\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed5da87f71ce9339c5d4425ab62519a65733fd1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.709ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle w(x)>0\;}"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in [a,b]}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo stretchy="false">]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in [a,b]}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.725ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in [a,b]}">) ist <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {f}}={\frac {\int _{a}^{b}f(t)w(t)\,\mathrm {d} t}{\int _{a}^{b}w(t)\,\mathrm {d} t}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>a</mi> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>b</mi> </mrow> </msubsup> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {f}}={\frac {\int _{a}^{b}f(t)w(t)\,\mathrm {d} t}{\int _{a}^{b}w(t)\,\mathrm {d} t}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f8757f0bade5abaec5e32ca3ae64a9c474726ad" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.505ex; width:19.018ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle {\overline {f}}={\frac {\int _{a}^{b}f(t)w(t)\,\mathrm {d} t}{\int _{a}^{b}w(t)\,\mathrm {d} t}}}">.</dd></dl> Für <a href="/wiki/Lebesgue-Integral" title="Lebesgue-Integral">Lebesgue-Integrale</a> im <a href="/wiki/Ma%C3%9Ftheorie" title="Maßtheorie">Maßraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo>,</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</mi> </mrow> </mrow> <mo>,</mo> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cabc7dd1ffb04becc182e5356682ec027db7211" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.86ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}"> mit einem endlichen <a href="/wiki/Ma%C3%9F_(Mathematik)" title="Maß (Mathematik)">Maß</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu (\Omega )<\infty }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo><</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu (\Omega )<\infty }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885316f6322dd3829578fd2ae8572e6be0b4f9d2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.311ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu (\Omega )<\infty }"> lässt sich der Mittelwert einer Lebesgue-integrierbaren Funktion als <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {f}}:={\frac {1}{\mu (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>:=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {f}}:={\frac {1}{\mu (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fb58e7cb2134073ff0716875cd52e70e1a630ab" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:25.078ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {f}}:={\frac {1}{\mu (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)}"></dd></dl> definieren. Handelt es sich um einen <a href="/wiki/Wahrscheinlichkeitsraum" title="Wahrscheinlichkeitsraum">Wahrscheinlichkeitsraum</a>, gilt also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu (\Omega )=1\;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mspace width="thickmathspace" /> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu (\Omega )=1\;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e1f2da54f883a39abdc7c761b84d7070aa7192" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.795ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu (\Omega )=1\;}">, so nimmt der Mittelwert die Form <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {f}}:=\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>f</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mo>:=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">Ω</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>μ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {f}}:=\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84278a16decfd68ec68998d13b96e5431e17d0e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.966ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {f}}:=\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)}"></dd></dl> an; das entspricht genau dem <a href="/wiki/Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}">. Der Mittelwert einer Funktion hat in Physik und Technik erhebliche Bedeutung insbesondere bei <a href="/wiki/Periodische_Funktion" title="Periodische Funktion">periodischen Funktionen</a> der Zeit, siehe <a href="/wiki/Gleichwert" title="Gleichwert">Gleichwert</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Quasi-arithmetischer_Mittelwert_(f-Mittel)">Quasi-arithmetischer Mittelwert (f-Mittel)</h2>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=24" title="Abschnitt bearbeiten: Quasi-arithmetischer Mittelwert (f-Mittel)" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=24" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Quasi-arithmetischer Mittelwert (f-Mittel)">Quelltext bearbeiten</a>]</div> Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> eine auf einem reellen <a href="/wiki/Intervall_(Mathematik)" title="Intervall (Mathematik)">Intervall</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}"> <a href="/wiki/Streng_monotone_Funktion" class="mw-redirect" title="Streng monotone Funktion">streng monotone</a> <a href="/wiki/Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetige</a> (und daher invertierbare) <a href="/wiki/Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> und seien <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w_{i},0\leq w_{i}\leq 1,\sum _{i}w_{i}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{i},0\leq w_{i}\leq 1,\sum _{i}w_{i}=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3b8d3dd52b86f2dc1753d8cf864485276c62f1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:25.984ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle w_{i},0\leq w_{i}\leq 1,\sum _{i}w_{i}=1}"></dd></dl> Gewichtsfaktoren. Dann ist für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}\in I}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>∈</mo> <mi>I</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}\in I}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9a0d02b0646f158ca9c30d3073a7e1359b07bc" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.142ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x_{i}\in I}"> das mit den Gewichten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w_{i}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe22f0329d3ecb2e1880d44d191aba0e5475db68" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.464ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle w_{i}}"> gewichtete quasi-arithmetische Mittel definiert als <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}_{f}=f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>w</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}_{f}=f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d802ddbd83e802dd27799bc47231be44bb42509b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:24.824ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}_{f}=f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})\right)}">.</dd></dl> Offensichtlich gilt <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \min(x_{i})\leq {\overline {x}}_{f}\leq \max(x_{i}).}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo movablelimits="true" form="prefix">min</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>≤</mo> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">max</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \min(x_{i})\leq {\overline {x}}_{f}\leq \max(x_{i}).}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf696a1881568577e86038aafcdd3664ab8590b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:25.503ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \min(x_{i})\leq {\overline {x}}_{f}\leq \max(x_{i}).}"></dd></dl> Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f690285952308aa49e3c6aac892df31cad6d1b06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.846ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x}"> erhält man das arithmetische, für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\log(x)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>log</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\log(x)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa7e3824407252dc7cca7e2be5f1c5030cf6466" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.627ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)=\log(x)}"> das <a href="/wiki/Geometrisches_Mittel" title="Geometrisches Mittel">geometrische Mittel</a> und für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x^{k}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{k}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d06fbb411aa7e2e54dc079a3a3d660092237bd" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.934ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{k}}"> das <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}">-<a href="/wiki/Potenzmittel_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Potenzmittel (Mathematik)">Potenzmittel</a>. Dieser Mittelwert lässt sich auf das gewichtete quasi-arithmetische Mittel einer Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> verallgemeinern, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}"> in einem die <a href="/wiki/Bildmenge" class="mw-redirect" title="Bildmenge">Bildmenge</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}"> umfassenden Intervall streng monoton und stetig sei: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {x}}_{f}=f^{-1}\left({\frac {\int f(x(t))w(t)\,\mathrm {d} t}{\int w(t)\,\mathrm {d} t}}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi>x</mi> <mo accent="false">¯</mo> </mover> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>f</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo>∫</mo> <mi>f</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> <mrow> <mo>∫</mo> <mi>w</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">d</mi> </mrow> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {x}}_{f}=f^{-1}\left({\frac {\int f(x(t))w(t)\,\mathrm {d} t}{\int w(t)\,\mathrm {d} t}}\right)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18167d6c63c63cadee749f98229811ee826e559f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:29.941ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\overline {x}}_{f}=f^{-1}\left({\frac {\int f(x(t))w(t)\,\mathrm {d} t}{\int w(t)\,\mathrm {d} t}}\right)}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=25" title="Abschnitt bearbeiten: Siehe auch" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=25" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Siehe auch">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/Harmonisches_Mittel" title="Harmonisches Mittel">Harmonisches Mittel</a></li> <li><a href="/wiki/Quadratisches_Mittel" title="Quadratisches Mittel">Quadratisches Mittel</a></li> <li><a href="/wiki/H%C3%B6lder-Mittel" title="Hölder-Mittel">Hölder-Mittel</a></li> <li><a href="/wiki/Klassenspiegel" title="Klassenspiegel">Klassenspiegel</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=26" title="Abschnitt bearbeiten: Weblinks" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=26" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Weblinks">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/16px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/24px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/32px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Stochastik:_Statistik:_Arithmetisches_Mittel_zweier_Zahlen" class="extiw" title="b:Beweisarchiv: Stochastik: Statistik: Arithmetisches Mittel zweier Zahlen">Wikibooks: Beweis zum Arithmetischen Mittel zweier Zahlen</a></div> <div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/16px-Wikibooks-logo.svg.png" decoding="async" width="16" height="16" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/24px-Wikibooks-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Wikibooks-logo.svg/32px-Wikibooks-logo.svg.png 2x" data-file-width="300" data-file-height="300" /></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematrix:_Kompass/_Statistik_und_Wahrscheinlichkeitsrechnung/_Lageparameter" class="extiw" title="b:Mathematrix: Kompass/ Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung/ Lageparameter">Wikibooks: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle scriptlevel="1"> <mtable rowspacing=".2em" columnspacing="0.333em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">M</mi> <mi mathvariant="bold">A</mi> <mi mathvariant="bold">T</mi> <mi mathvariant="bold">H</mi> <mi mathvariant="bold">E</mi> </mrow> <mi>μ</mi> <mi>α</mi> <mi>T</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="double-struck">R</mi> </mrow> <mi>i</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mstyle> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c71cd325b35ecc71be7a5be416a9097488a0bed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.342ex; margin-bottom: -0.33ex; width:13.904ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}">: Mathematik für die Schule</a> – Lageparameter</div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2>[<a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit&section=27" title="Abschnitt bearbeiten: Einzelnachweise" class="mw-editsection-visualeditor">Bearbeiten</a> | <a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit&section=27" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Einzelnachweise">Quelltext bearbeiten</a>]</div> <ol class="references"> <li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="/wiki/Karl_Bosch_(Statistiker)" title="Karl Bosch (Statistiker)">Karl Bosch</a>: <cite style="font-style:italic">Elementare Einführung in die angewandte Statistik</cite>. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, S. 13.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Arithmetisches+Mittel&rft.au=Karl+Bosch&rft.btitle=Elementare+Einf%C3%BChrung+in+die+angewandte+Statistik&rft.date=2005&rft.edition=8.&rft.genre=book&rft.pages=13&rft.place=Wiesbaden&rft.pub=Vieweg" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Marco Burkschat, Erhard Cramer, Udo Kamps: <cite style="font-style:italic">Beschreibende Statistik. Grundlegende Methoden der Datenanalyse</cite>. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2012, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783642300127" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-642-30012-7</a>, S. 74.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Arithmetisches+Mittel&rft.au=Marco+Burkschat%2C+Erhard+Cramer%2C+Udo+Kamps&rft.btitle=Beschreibende+Statistik.+Grundlegende+Methoden+der+Datenanalyse&rft.date=2012&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.isbn=9783642300127&rft.pages=74&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg&rft.pub=Springer" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a href="/wiki/Ludwig_Fahrmeir" title="Ludwig Fahrmeir">Ludwig Fahrmeir</a>, Rita Künstler, <a href="/wiki/Iris_Pigeot" title="Iris Pigeot">Iris Pigeot</a>, <a href="/wiki/Gerhard_Tutz" title="Gerhard Tutz">Gerhard Tutz</a>: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662503713" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-662-50371-3</a>, S. 49. </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <a href="/wiki/Lothar_Sachs" title="Lothar Sachs">Lothar Sachs</a>: <cite style="font-style:italic">Angewandte Statistik</cite>. Planung und Auswertung, Methoden und Modelle. 4. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1974, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3540064435" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-06443-5</a>, S. 60.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Arithmetisches+Mittel&rft.au=Lothar+Sachs&rft.btitle=Angewandte+Statistik&rft.date=1974&rft.edition=4.&rft.genre=book&rft.isbn=3540064435&rft.pages=60&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg+%2F+New+York&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Lothar Sachs: <cite style="font-style:italic">Statistische Methoden</cite>. Ein Soforthelfer. 3., neubearbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1976, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/354007824X" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-540-07824-X</a>, S. 28.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Arithmetisches+Mittel&rft.au=Lothar+Sachs&rft.btitle=Statistische+Methoden&rft.date=1976&rft.edition=3.%2C+neubearbeitete&rft.genre=book&rft.isbn=354007824X&rft.pages=28&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg+%2F+New+York&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none">  </li> <li id="cite_note-L._Fahrmeir,_R._Künstler_u._a._2016-6">↑ <a href="#cite_ref-L._Fahrmeir,_R._Künstler_u._a._2016_6-0">a</a> <a href="#cite_ref-L._Fahrmeir,_R._Künstler_u._a._2016_6-1">b</a> Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662503713" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-662-50371-3</a>, S. 50. </li> <li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Horst Degen, Peter Lorscheid: Statistik-Lehrbuch: mit Wirtschafts- und Bevölkerungsstatistik. S. 42. </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662503713" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-662-50371-3</a>, S. 65. </li> <li id="cite_note-ReferenceA-9">↑ <a href="#cite_ref-ReferenceA_9-0">a</a> <a href="#cite_ref-ReferenceA_9-1">b</a> Ludwig Fahrmeir, Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. 8., überarb. und erg. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662503713" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3-662-50371-3</a>, S. 54. </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arg \min(\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>arg</mi> <mo>⁡</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">min</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arg \min(\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb434d86e8dbcc6f54670256921ea811a756892d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.955ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \arg \min(\cdot )}"> bezeichnet analog zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \arg \max(\cdot )}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>arg</mi> <mo>⁡</mo> <mo movablelimits="true" form="prefix">max</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \arg \max(\cdot )}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a5ad811c5c5032c3299acb87d4ff7aed9dbe7e1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.406ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \arg \max(\cdot )}">(<a href="/wiki/Arg_max" title="Arg max">Argument des Maximums</a>) das Argument des Minimums </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew u. a.: <a href="/wiki/Taschenbuch_der_Mathematik" title="Taschenbuch der Mathematik">Taschenbuch der Mathematik</a>. 2. Auflage. 1995, S. 19 ff. </li> <li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew u. a.: Taschenbuch der Mathematik. 2. Auflage. 1995, S. 629. </li> <li id="cite_note-Heuser_1-13"><a href="#cite_ref-Heuser_1_13-0">↑</a> H. Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage. Teubner, Stuttgart 1990, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3519122316" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-519-12231-6</a>. </li> </ol> <div class="hintergrundfarbe1 rahmenfarbe1 navigation-not-searchable normdaten-typ-s" style="border-style: solid; border-width: 1px; clear: left; margin-bottom:1em; margin-top:1em; padding: 0.25em; overflow: hidden; word-break: break-word; word-wrap: break-word;" id="normdaten"> <div style="display: table-cell; vertical-align: middle; width: 100%;"> <div> Normdaten (Sachbegriff): <a href="/wiki/Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4143009-8">4143009-8</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://lobid.org/gnd/4143009-8">lobid</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://swb.bsz-bw.de/DB=2.104/SET=1/TTL=1/CMD?retrace=0&trm_old=&ACT=SRCHA&IKT=2999&SRT=RLV&TRM=4143009-8">OGND</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://prometheus.lmu.de/gnd/4143009-8">AKS</a>) </div> </div></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&oldid=249688686#Gewichtetes_arithmetisches_Mittel">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&oldid=249688686#Gewichtetes_arithmetisches_Mittel</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorie</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Mittelwert" title="Kategorie:Mittelwert">Mittelwert</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Meine Werkzeuge </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Nicht angemeldet</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n">Diskussionsseite</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y">Beiträge</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Arithmetisches+Mittel" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. Es ist jedoch nicht zwingend erforderlich.">Benutzerkonto erstellen</a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Anmelden&returnto=Arithmetisches+Mittel" title="Anmelden ist zwar keine Pflicht, wird aber gerne gesehen. [o]" accesskey="o">Anmelden</a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > Namensräume </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Arithmetisches_Mittel" title="Seiteninhalt anzeigen [c]" accesskey="c">Artikel</a></li><li id="ca-talk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Diskussion:Arithmetisches_Mittel" rel="discussion" title="Diskussion zum Seiteninhalt [t]" accesskey="t">Diskussion</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-variants-label" > <label id="p-variants-label" class="vector-menu-heading " > Deutsch </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation"> <nav id="p-views" class="mw-portlet mw-portlet-views vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-views-label" > <h3 id="p-views-label" class="vector-menu-heading " > Ansichten </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/Arithmetisches_Mittel">Lesen</a></li><li id="ca-ve-edit" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&veaction=edit" title="Diese Seite mit dem VisualEditor bearbeiten [v]" accesskey="v">Bearbeiten</a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=edit" title="Den Quelltext dieser Seite bearbeiten [e]" accesskey="e">Quelltext bearbeiten</a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=history" title="Frühere Versionen dieser Seite [h]" accesskey="h">Versionsgeschichte</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Weitere Optionen" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > Weitere </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Suche</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Wikipedia durchsuchen" aria-label="Wikipedia durchsuchen" autocapitalize="sentences" title="Durchsuche die Wikipedia [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Spezial:Suche"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Suche nach Seiten, die diesen Text enthalten" value="Suchen"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Gehe direkt zu der Seite mit genau diesem Namen, falls sie vorhanden ist." value="Artikel"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/Wikipedia:Hauptseite" title="Hauptseite"></a> </div> <nav id="p-navigation" class="mw-portlet mw-portlet-navigation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-navigation-label" > <h3 id="p-navigation-label" class="vector-menu-heading " > Navigation </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Hauptseite" title="Hauptseite besuchen [z]" accesskey="z">Hauptseite</a></li><li id="n-topics" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Portal:Wikipedia_nach_Themen">Themenportale</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Zuf%C3%A4llige_Seite" title="Zufällige Seite aufrufen [x]" accesskey="x">Zufälliger Artikel</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-Mitmachen" class="mw-portlet mw-portlet-Mitmachen vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-Mitmachen-label" > <h3 id="p-Mitmachen-label" class="vector-menu-heading " > Mitmachen </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-Artikel-verbessern" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Beteiligen">Artikel verbessern</a></li><li id="n-Neuerartikel" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Hilfe:Neuen_Artikel_anlegen">Neuen Artikel anlegen</a></li><li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Autorenportal" title="Info-Zentrum über Beteiligungsmöglichkeiten">Autorenportal</a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Hilfe:%C3%9Cbersicht" title="Übersicht über Hilfeseiten">Hilfe</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Letzte_%C3%84nderungen" title="Liste der letzten Änderungen in Wikipedia [r]" accesskey="r">Letzte Änderungen</a></li><li id="n-contact" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Wikipedia:Kontakt" title="Kontaktmöglichkeiten">Kontakt</a></li><li id="n-sitesupport" class="mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_de.wikipedia.org&uselang=de" title="Unterstütze uns">Spenden</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-tb" class="mw-portlet mw-portlet-tb vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-tb-label" > <h3 id="p-tb-label" class="vector-menu-heading " > Werkzeuge </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Linkliste/Arithmetisches_Mittel" title="Liste aller Seiten, die hierher verlinken [j]" accesskey="j">Links auf diese Seite</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:%C3%84nderungen_an_verlinkten_Seiten/Arithmetisches_Mittel" rel="nofollow" title="Letzte Änderungen an Seiten, die von hier verlinkt sind [k]" accesskey="k">Änderungen an verlinkten Seiten</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Spezialseiten" title="Liste aller Spezialseiten [q]" accesskey="q">Spezialseiten</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&oldid=249688686" title="Dauerhafter Link zu dieser Seitenversion">Permanenter Link</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&action=info" title="Weitere Informationen über diese Seite">Seiteninformationen</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Zitierhilfe&page=Arithmetisches_Mittel&id=249688686&wpFormIdentifier=titleform" title="Hinweise, wie diese Seite zitiert werden kann">Artikel zitieren</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:URL-K%C3%BCrzung&url=https%3A%2F%2Fde.wikipedia.org%2Fwiki%2FArithmetisches_Mittel%23Gewichtetes_arithmetisches_Mittel">Kurzlink</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:QrCode&url=https%3A%2F%2Fde.wikipedia.org%2Fwiki%2FArithmetisches_Mittel%23Gewichtetes_arithmetisches_Mittel">QR-Code herunterladen</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-coll-print_export" class="mw-portlet mw-portlet-coll-print_export vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-coll-print_export-label" > <h3 id="p-coll-print_export-label" class="vector-menu-heading " > Drucken/exportieren </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:DownloadAsPdf&page=Arithmetisches_Mittel&action=show-download-screen">Als PDF herunterladen</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&printable=yes" title="Druckansicht dieser Seite [p]" accesskey="p">Druckversion</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-wikibase-otherprojects" class="mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-wikibase-otherprojects-label" > <h3 id="p-wikibase-otherprojects-label" class="vector-menu-heading " > In anderen Projekten </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Arithmetic_mean" hreflang="en">Commons</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q19033" title="Link zum verbundenen Objekt im Datenrepositorium [g]" accesskey="g">Wikidata-Datenobjekt</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > In anderen Sprachen </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D8%AA%D9%88%D8%B3%D8%B7_%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%D9%8A" title="متوسط حسابي – Arabisch" lang="ar" hreflang="ar" data-title="متوسط حسابي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="Arabisch" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Media_aritm%C3%A9tica" title="Media aritmética – Asturisch" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Media aritmética" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="Asturisch" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/%C6%8Fd%C9%99di_orta" title="Ədədi orta – Aserbaidschanisch" lang="az" hreflang="az" data-title="Ədədi orta" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="Aserbaidschanisch" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%8F%D1%80%D1%8D%D0%B4%D0%BD%D1%8F%D0%B5_%D0%B0%D1%80%D1%8B%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%8B%D1%87%D0%BD%D0%B0%D0%B5" title="Сярэдняе арыфметычнае – Belarussisch" lang="be" hreflang="be" data-title="Сярэдняе арыфметычнае" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="Belarussisch" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82" title="Средноаритметична стойност – Bulgarisch" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Средноаритметична стойност" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Bulgarisch" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Aritmeti%C4%8Dka_sredina" title="Aritmetička sredina – Bosnisch" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Aritmetička sredina" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="Bosnisch" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Mitjana_aritm%C3%A8tica" title="Mitjana aritmètica – Katalanisch" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Mitjana aritmètica" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="Katalanisch" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D8%A7%D9%88%DB%95%D9%86%D8%AF%DB%8C_%DA%98%D9%85%DB%8E%D8%B1%DB%95%DB%8C%DB%8C" title="ناوەندی ژمێرەیی – Zentralkurdisch" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="ناوەندی ژمێرەیی" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="Zentralkurdisch" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Aritmetick%C3%BD_pr%C5%AFm%C4%9Br" title="Aritmetický průměr – Tschechisch" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Aritmetický průměr" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Tschechisch" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%C4%83%D0%BB%D0%BB%D0%B0_%D0%B2%C4%83%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8" title="Арифметикăлла вăтамми – Tschuwaschisch" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Арифметикăлла вăтамми" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="Tschuwaschisch" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_mean" title="Arithmetic mean – Englisch" lang="en" hreflang="en" data-title="Arithmetic mean" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Englisch" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Aritmetika_meznombro" title="Aritmetika meznombro – Esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Aritmetika meznombro" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="Esperanto" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Media_aritm%C3%A9tica" title="Media aritmética – Spanisch" lang="es" hreflang="es" data-title="Media aritmética" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="Spanisch" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Aritmeetiline_keskmine" title="Aritmeetiline keskmine – Estnisch" lang="et" hreflang="et" data-title="Aritmeetiline keskmine" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="Estnisch" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Batezbesteko_aritmetiko_sinple" title="Batezbesteko aritmetiko sinple – Baskisch" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Batezbesteko aritmetiko sinple" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="Baskisch" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%85%DB%8C%D8%A7%D9%86%DA%AF%DB%8C%D9%86_%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%DB%8C" title="میانگین حسابی – Persisch" lang="fa" hreflang="fa" data-title="میانگین حسابی" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="Persisch" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Aritmeettinen_keskiarvo" title="Aritmeettinen keskiarvo – Finnisch" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Aritmeettinen keskiarvo" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="Finnisch" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Moyenne_arithm%C3%A9tique" title="Moyenne arithmétique – Französisch" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Moyenne arithmétique" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="Französisch" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ga mw-list-item"><a href="https://ga.wikipedia.org/wiki/Me%C3%A1n_uimhr%C3%ADocht%C3%BAil" title="Meán uimhríochtúil – Irisch" lang="ga" hreflang="ga" data-title="Meán uimhríochtúil" data-language-autonym="Gaeilge" data-language-local-name="Irisch" class="interlanguage-link-target">Gaeilge</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Media_aritm%C3%A9tica" title="Media aritmética – Galicisch" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Media aritmética" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="Galicisch" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%9E%D7%95%D7%A6%D7%A2_%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%A0%D7%99" title="ממוצע חשבוני – Hebräisch" lang="he" hreflang="he" data-title="ממוצע חשבוני" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="Hebräisch" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%B8%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A8%E0%A5%8D%E0%A4%A4%E0%A4%B0_%E0%A4%AE%E0%A4%BE%E0%A4%A7%E0%A5%8D%E0%A4%AF" title="समान्तर माध्य – Hindi" lang="hi" hreflang="hi" data-title="समान्तर माध्य" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="Hindi" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Aritmeti%C4%8Dka_sredina" title="Aritmetička sredina – Kroatisch" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Aritmetička sredina" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="Kroatisch" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Sz%C3%A1mtani_k%C3%B6z%C3%A9p" title="Számtani közép – Ungarisch" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Számtani közép" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="Ungarisch" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%84%D5%AB%D5%BB%D5%AB%D5%B6_%D5%A9%D5%BE%D5%A1%D5%A2%D5%A1%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6" title="Միջին թվաբանական – Armenisch" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Միջին թվաբանական" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="Armenisch" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Rata-rata_aritmetika" title="Rata-rata aritmetika – Indonesisch" lang="id" hreflang="id" data-title="Rata-rata aritmetika" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="Indonesisch" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E5%B9%B3%E5%9D%87" title="算術平均 – Japanisch" lang="ja" hreflang="ja" data-title="算術平均" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="Japanisch" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8B%D2%9B_%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0_%D1%88%D0%B0%D0%BC%D0%B0" title="Арифметикалық орта шама – Kasachisch" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Арифметикалық орта шама" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="Kasachisch" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-km mw-list-item"><a href="https://km.wikipedia.org/wiki/%E1%9E%98%E1%9E%92%E1%9F%92%E1%9E%99%E1%9E%98%E1%9E%93%E1%9E%96%E1%9F%92%E1%9E%9C%E1%9E%93%E1%9F%92%E1%9E%92" title="មធ្យមនព្វន្ធ – Khmer" lang="km" hreflang="km" data-title="មធ្យមនព្វន្ធ" data-language-autonym="ភាសាខ្មែរ" data-language-local-name="Khmer" class="interlanguage-link-target">ភាសាខ្មែរ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%B0%EC%88%A0_%ED%8F%89%EA%B7%A0" title="산술 평균 – Koreanisch" lang="ko" hreflang="ko" data-title="산술 평균" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="Koreanisch" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ky mw-list-item"><a href="https://ky.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8B%D0%BA_%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%BE_%D1%81%D0%B0%D0%BD" title="Арифметикалык орто сан – Kirgisisch" lang="ky" hreflang="ky" data-title="Арифметикалык орто сан" data-language-autonym="Кыргызча" data-language-local-name="Kirgisisch" class="interlanguage-link-target">Кыргызча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Valor_medius_arithmeticus" title="Valor medius arithmeticus – Latein" lang="la" hreflang="la" data-title="Valor medius arithmeticus" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="Latein" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Aritmetinis_vidurkis" title="Aritmetinis vidurkis – Litauisch" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Aritmetinis vidurkis" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="Litauisch" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Aritm%C4%93tiskais_vid%C4%93jais" title="Aritmētiskais vidējais – Lettisch" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Aritmētiskais vidējais" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="Lettisch" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BA%D0%B0_%D1%81%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Аритметичка средина – Mazedonisch" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Аритметичка средина" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="Mazedonisch" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Min_aritmetik" title="Min aritmetik – Malaiisch" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Min aritmetik" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="Malaiisch" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Rekenkundig_gemiddelde" title="Rekenkundig gemiddelde – Niederländisch" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Rekenkundig gemiddelde" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="Niederländisch" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Aritmetisk_middeltal" title="Aritmetisk middeltal – Norwegisch (Nynorsk)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Aritmetisk middeltal" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="Norwegisch (Nynorsk)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Aritmetisk_gjennomsnitt" title="Aritmetisk gjennomsnitt – Norwegisch (Bokmål)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Aritmetisk gjennomsnitt" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="Norwegisch (Bokmål)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/%C5%9Arednia_arytmetyczna" title="Średnia arytmetyczna – Polnisch" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Średnia arytmetyczna" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="Polnisch" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Media_aritm%C3%A9tica" title="Media aritmética – Piemontesisch" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Media aritmética" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piemontesisch" class="interlanguage-link-target">Piemontèis</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9dia_aritm%C3%A9tica" title="Média aritmética – Portugiesisch" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Média aritmética" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="Portugiesisch" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Medie_aritmetic%C4%83" title="Medie aritmetică – Rumänisch" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Medie aritmetică" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="Rumänisch" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%B5_%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5" title="Среднее арифметическое – Russisch" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Среднее арифметическое" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="Russisch" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sd mw-list-item"><a href="https://sd.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%D9%8A_%D8%B3%D8%B1%D8%A7%D8%B3%D8%B1%D9%8A" title="حسابي سراسري – Sindhi" lang="sd" hreflang="sd" data-title="حسابي سراسري" data-language-autonym="سنڌي" data-language-local-name="Sindhi" class="interlanguage-link-target">سنڌي</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Aritmeti%C4%8Dka_sredina" title="Aritmetička sredina – Serbokroatisch" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Aritmetička sredina" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="Serbokroatisch" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B7%83%E0%B6%B8%E0%B7%8F%E0%B6%B1%E0%B7%8A%E0%B6%AD%E0%B6%BB_%E0%B6%B8%E0%B6%B0%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B6%B1%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BA%E0%B6%BA" title="සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය – Singhalesisch" lang="si" hreflang="si" data-title="සමාන්තර මධ්‍යන්‍යය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="Singhalesisch" class="interlanguage-link-target">සිංහල</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Aritmetick%C3%BD_priemer" title="Aritmetický priemer – Slowakisch" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Aritmetický priemer" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="Slowakisch" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Aritmeti%C4%8Dna_sredina" title="Aritmetična sredina – Slowenisch" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Aritmetična sredina" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="Slowenisch" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Mesi_aritmetik" title="Mesi aritmetik – Albanisch" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Mesi aritmetik" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="Albanisch" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/Aritmeti%C4%8Dka_sredina" title="Aritmetička sredina – Serbisch" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Aritmetička sredina" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="Serbisch" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-su mw-list-item"><a href="https://su.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_mean" title="Arithmetic mean – Sundanesisch" lang="su" hreflang="su" data-title="Arithmetic mean" data-language-autonym="Sunda" data-language-local-name="Sundanesisch" class="interlanguage-link-target">Sunda</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Aritmetiskt_medelv%C3%A4rde" title="Aritmetiskt medelvärde – Schwedisch" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Aritmetiskt medelvärde" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="Schwedisch" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A1%E0%B8%B1%E0%B8%8A%E0%B8%8C%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95" title="มัชฌิมเลขคณิต – Thailändisch" lang="th" hreflang="th" data-title="มัชฌิมเลขคณิต" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="Thailändisch" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Aritmetik_ortalama" title="Aritmetik ortalama – Türkisch" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Aritmetik ortalama" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="Türkisch" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uk mw-list-item"><a href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%94_%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5" title="Середнє арифметичне – Ukrainisch" lang="uk" hreflang="uk" data-title="Середнє арифметичне" data-language-autonym="Українська" data-language-local-name="Ukrainisch" class="interlanguage-link-target">Українська</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A7%D8%A8%D8%A7%D8%AA%DB%8C_%D8%A7%D9%88%D8%B3%D8%B7" title="حساباتی اوسط – Urdu" lang="ur" hreflang="ur" data-title="حساباتی اوسط" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="Urdu" class="interlanguage-link-target">اردو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/O%CA%BBrta_arifmetik" title="Oʻrta arifmetik – Usbekisch" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Oʻrta arifmetik" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="Usbekisch" class="interlanguage-link-target">Oʻzbekcha / ўзбекча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Trung_b%C3%ACnh_c%E1%BB%99ng" title="Trung bình cộng – Vietnamesisch" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Trung bình cộng" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="Vietnamesisch" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%95%B0" title="算术平均数 – Wu" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="算术平均数" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="Wu" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%95%B0" title="算术平均数 – Chinesisch" lang="zh" hreflang="zh" data-title="算术平均数" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="Chinesisch" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%BC" title="算術平均值 – Kantonesisch" lang="yue" hreflang="yue" data-title="算術平均值" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="Kantonesisch" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q19033#sitelinks-wikipedia" title="Links auf Artikel in anderen Sprachen bearbeiten" class="wbc-editpage">Links bearbeiten</a></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Diese Seite wurde zuletzt am 23. Oktober 2024 um 22:21 Uhr bearbeitet.</li> <li id="footer-info-copyright"><div id="footer-info-copyright-stats" class="noprint"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://pageviews.wmcloud.org/?pages=Arithmetisches_Mittel&project=de.wikipedia.org">Abrufstatistik</a> · <a rel="nofollow" class="external text" href="https://xtools.wmcloud.org/authorship/de.wikipedia.org/Arithmetisches_Mittel?uselang=de">Autoren</a> </div><div id="footer-info-copyright-separator"> </div><div id="footer-info-copyright-info"> Der Text ist unter der Lizenz <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">„Creative-Commons Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen“</a> verfügbar; Informationen zu den Urhebern und zum Lizenzstatus eingebundener Mediendateien (etwa Bilder oder Videos) können im Regelfall durch Anklicken dieser abgerufen werden. Möglicherweise unterliegen die Inhalte jeweils zusätzlichen Bedingungen. Durch die Nutzung dieser Website erklären Sie sich mit den <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/de">Nutzungsbedingungen</a> und der <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Privacy_policy/de">Datenschutzrichtlinie</a> einverstanden. Wikipedia® ist eine eingetragene Marke der Wikimedia Foundation Inc.</div></li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy/de">Datenschutz</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/Wikipedia:%C3%9Cber_Wikipedia">Über Wikipedia</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/Wikipedia:Impressum">Impressum</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Verhaltenskodex</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Entwickler</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/de.wikipedia.org">Statistiken</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Stellungnahme zu Cookies</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//de.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Arithmetisches_Mittel&mobileaction=toggle_view_mobile#Gewichtetes_arithmetisches_Mittel" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Mobile Ansicht</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.log.warn("This page is using the deprecated ResourceLoader module \"codex-search-styles\".\n[1.43] Use a CodexModule with codexComponents to set your specific components used: https://www.mediawiki.org/wiki/Codex#Using_a_limited_subset_of_components");mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-f7b5ccf54-fgp89","wgBackendResponseTime":164,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.241","walltime":"0.478","ppvisitednodes":{"value":1716,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":12121,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":1529,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":10,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":3,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":16166,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":1,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 121.664 1 -total"," 38.73% 47.123 4 Vorlage:Literatur"," 30.42% 37.007 1 Vorlage:Normdaten"," 24.94% 30.349 1 Vorlage:Wikidata-Registrierung"," 16.15% 19.643 2 Vorlage:Wikibooks"," 4.29% 5.214 3 Vorlage:Hauptartikel"," 2.51% 3.057 1 Vorlage:Hinweisbaustein"," 1.39% 1.691 2 Vorlage:WikiLayout"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.044","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":2823512,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.eqiad.main-fdc978966-4klf5","timestamp":"20241119115321","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"Arithmetisches Mittel","url":"https:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Arithmetisches_Mittel#Gewichtetes_arithmetisches_Mittel","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q19033","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q19033","author":{"@type":"Organization","name":"Autoren der Wikimedia-Projekte"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"Wikimedia Foundation, Inc.","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2003-01-28T19:58:44Z","image":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/c\/c9\/01_Arithmetisches_Mittel.svg","headline":"gebr\u00e4uchlichster Mittelwert"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

Arithmetisches Mittel – Wikipedia