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Approximation – Wikipedia

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="de" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Approximation – Wikipedia</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )dewikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t.",".\t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","Januar","Februar","März","April","Mai","Juni","Juli","August","September","Oktober","November","Dezember"],"wgRequestId":"3fba78ae-3788-46f6-aeef-e9e6818ace2a","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Approximation","wgTitle":"Approximation","wgCurRevisionId":224262758,"wgRevisionId":224262758,"wgArticleId":136255,"wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":[ "Numerische Mathematik","Funktionalanalysis","Theoretische Informatik"],"wgPageViewLanguage":"de","wgPageContentLanguage":"de","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Approximation","wgRelevantArticleId":136255,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":1}}},"wgStableRevisionId":224262758,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0,"wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"de","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"de"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":10000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader" :false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q27058","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.gadget.citeRef":"ready","ext.gadget.defaultPlainlinks":"ready","ext.gadget.dewikiCommonHide":"ready","ext.gadget.dewikiCommonLayout":"ready","ext.gadget.dewikiCommonStyle":"ready","ext.gadget.NavFrame":"ready","ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready", "ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.createNewSection","ext.gadget.WikiMiniAtlas","ext.gadget.OpenStreetMap","ext.gadget.CommonsDirekt","ext.gadget.donateLink","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init","ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); 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der Begriff wird in der <a href="/wiki/Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> allerdings als <b>Näherungsverfahren</b> noch präzisiert. </p><p>Aus mathematischer Sicht existieren verschiedene Gründe, Näherungen zu untersuchen. Die heutzutage häufigsten sind: </p> <ul><li>Das approximative Lösen einer <a href="/wiki/Gleichung" title="Gleichung">Gleichung</a>. Ist eine analytisch exakte Lösung der Gleichung nicht verfügbar, so will man auf einfachem Wege eine Näherung der Lösung finden.</li> <li>Die approximative Darstellung von <a href="/wiki/Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktionen</a> oder <a href="/wiki/Zahl" title="Zahl">Zahlen</a>. Ist ein <i>explizit</i> gegebenes mathematisches Objekt nur schwer handhabbar, dann ist eine Approximation aus einfachen Gebilden wünschenswert.</li> <li>Die approximative Rekonstruktion unbekannter Funktionen aus unvollständigen Daten. Liegt die Information der unbekannten Funktion nur in diskreter Form, als Funktionswerte über gewissen Stützstellen vor, so ist eine geschlossene Darstellung, die Funktionswerte auf einem Kontinuum definiert, wünschenswert.</li></ul> <p>Vielfach liegt einer numerischen Methode die Idee zugrunde, eine komplizierte (und oft nur implizit bekannte) Funktion durch eine gut zu handhabende Funktionen näherungsweise darzustellen. Die Approximationstheorie ist somit integraler Bestandteil der modernen angewandten Mathematik. Sie liefert ein theoretisches Fundament für viele neue und etablierte computergestützte Lösungsverfahren. </p> <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="de" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Inhaltsverzeichnis</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Arten_der_Approximation"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">Arten der Approximation</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-2"><a href="#Zahlen"><span class="tocnumber">1.1</span> <span class="toctext">Zahlen</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#Geometrische_Objekte"><span class="tocnumber">1.2</span> <span class="toctext">Geometrische Objekte</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Funktionen"><span class="tocnumber">1.3</span> <span class="toctext">Funktionen</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#Ordnung_der_Approximation"><span class="tocnumber">1.4</span> <span class="toctext">Ordnung der Approximation</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#Wichtige_Approximationssätze"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">Wichtige Approximationssätze</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Approximationstheorie_und_Funktionalanalysis"><span class="tocnumber">2.1</span> <span class="toctext">Approximationstheorie und Funktionalanalysis</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="#Zahlentheorie"><span class="tocnumber">2.2</span> <span class="toctext">Zahlentheorie</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-9"><a href="#Theoretische_Informatik"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">Theoretische Informatik</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-10"><a href="#Literatur"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">Literatur</span></a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Arten_der_Approximation">Arten der Approximation</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;veaction=edit&amp;section=1" title="Abschnitt bearbeiten: Arten der Approximation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;action=edit&amp;section=1" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Arten der Approximation"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zahlen">Zahlen</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;veaction=edit&amp;section=2" title="Abschnitt bearbeiten: Zahlen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;action=edit&amp;section=2" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Zahlen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Eine der alltäglichsten Formen der Approximation ist die Darstellung einer <a href="/wiki/Irrationale_Zahl" title="Irrationale Zahl">irrationalen Zahl</a> als eine Zahl mit einer endlichen Anzahl an <a href="/wiki/Dezimalstelle" class="mw-redirect" title="Dezimalstelle">Nachkommastellen</a> sowie das <a href="/wiki/Rundung" title="Rundung">Runden</a> einer Zahl auf eine Zahl mit weniger Nachkommastellen, also die Berechnung eines <a href="/wiki/N%C3%A4herungswert" title="Näherungswert">Näherungswertes</a>. Zum Beispiel: </p> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1{,}41421356\approx 1{,}41}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> </msqrt> </mrow> <mo>&#x2248;<!-- ≈ --></mo> <mn>1,414</mn> <mn>21356</mn> <mo>&#x2248;<!-- ≈ --></mo> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>,</mo> </mrow> <mn>41</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1{,}41421356\approx 1{,}41}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe81271dc6a16a94e6a642b5492e4795f641a5c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:24.538ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1{,}41421356\approx 1{,}41}"></span></dd></dl> <p>Die weitaus meisten Computerprogramme arbeiten mit <a href="/wiki/Gleitkommazahl" title="Gleitkommazahl">Gleitkommazahlen</a> nach dem Standard <a href="/wiki/IEEE_754" title="IEEE 754">IEEE 754</a>, bei dem Zahlen mit endlich vielen Stellen dargestellt werden, was bei irrationalen Zahlen und periodischen Brüchen in jedem Fall eine Rundung erfordert. Die Genauigkeit der Darstellung im Computer wird dabei durch den gewählten <a href="/wiki/Datentyp" title="Datentyp">Datentyp</a> festgelegt. </p><p>Mit der Approximation irrationaler Zahlen durch <a href="/wiki/Rationale_Zahlen" class="mw-redirect" title="Rationale Zahlen">rationale</a> beschäftigt sich die Theorie der <a href="/wiki/Diophantische_Approximation" title="Diophantische Approximation">diophantischen Approximation</a>. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geometrische_Objekte">Geometrische Objekte</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;veaction=edit&amp;section=3" title="Abschnitt bearbeiten: Geometrische Objekte" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;action=edit&amp;section=3" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Geometrische Objekte"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/Datei:Archimedes_pi.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Archimedes_pi.svg/440px-Archimedes_pi.svg.png" decoding="async" width="440" height="147" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Archimedes_pi.svg/660px-Archimedes_pi.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Archimedes_pi.svg/880px-Archimedes_pi.svg.png 2x" data-file-width="750" data-file-height="250" /></a><figcaption>Annäherung an einen Kreis durch Fünfecke, Sechsecke und Achtecke</figcaption></figure> <p>In der <a href="/wiki/Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> lassen sich komplizierte Objekte oft durch <a href="/wiki/Polygon" title="Polygon">Polygone</a> nähern. So berechnete zum Beispiel <a href="/wiki/Archimedes" title="Archimedes">Archimedes</a> eine Näherung für die <a href="/wiki/Kreiszahl" title="Kreiszahl">Kreiszahl</a> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>&#x03C0;<!-- π --></mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }"></span>, indem er einen <a href="/wiki/Kreis_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Kreis (Geometrie)">Kreis</a> durch <a href="/wiki/Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Polygon" title="Regelmäßiges Polygon">regelmäßige Polygone</a> mit immer mehr Ecken annäherte. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Funktionen">Funktionen</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;veaction=edit&amp;section=4" title="Abschnitt bearbeiten: Funktionen" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;action=edit&amp;section=4" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Funktionen"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Von besonderem Interesse ist die Näherung von Funktionen, beispielsweise für Näherungslösungen nicht exakt lösbarer <a href="/wiki/Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichungen</a>. Eine häufige Form der Approximation ist diejenige mit <a href="/wiki/Polynom" title="Polynom">Polynomen</a>, da diese in vielen Fällen bequem <a href="/wiki/Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">differenzierbar</a>, <a href="/wiki/Integralrechnung" title="Integralrechnung">integrierbar</a> und berechenbar sind. Die <a href="/wiki/Taylorreihe" title="Taylorreihe">Taylorreihenentwicklung</a> liefert eine lokale Approximation durch Polynome. Von großer praktischer Bedeutung ist auch die <a href="/wiki/Fourieranalyse" class="mw-redirect" title="Fourieranalyse">Fourieranalyse</a>, bei der <a href="/wiki/Periodizit%C3%A4t_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Periodizität (Mathematik)">periodische</a> Funktionen in <a href="/wiki/Reihe_(Mathematik)" title="Reihe (Mathematik)">unendlichen Reihen</a> von <a href="/wiki/Sinus_und_Kosinus" title="Sinus und Kosinus">Sinus- und Kosinusfunktionen</a> entwickelt werden. Etwa bei der <a href="/wiki/Methode_der_finiten_Elemente" class="mw-redirect" title="Methode der finiten Elemente">Methode der finiten Elemente</a> sind stückweise polynomiale Approximationen, bekannt unter der Bezeichnung „<a href="/wiki/Spline" title="Spline">Splines</a>“, von überragender Bedeutung. </p><p>Viele dieser Näherungsverfahren haben ihr theoretisches Fundament in dem (nach <a href="/wiki/Marshall_Harvey_Stone" title="Marshall Harvey Stone">Marshall Harvey Stone</a> und <a href="/wiki/Karl_Weierstra%C3%9F" title="Karl Weierstraß">Karl Weierstraß</a> benannten) <a href="/wiki/Satz_von_Stone-Weierstra%C3%9F" title="Satz von Stone-Weierstraß">Satz von Stone-Weierstraß</a>, aus dem nicht zuletzt folgt, dass man jede <a href="/wiki/Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetige Funktion</a> auf einem <a href="/wiki/Intervall_(Mathematik)" title="Intervall (Mathematik)">kompakten reellen Intervall</a> beliebig genau gleichmäßig durch Polynome approximieren kann und dass ebenso jede im <a href="/wiki/K%C3%B6rper_der_reellen_Zahlen" class="mw-redirect" title="Körper der reellen Zahlen">Körper der reellen Zahlen</a> periodische stetige Funktion beliebig genau gleichmäßig durch <a href="/wiki/Trigonometrische_Funktion" title="Trigonometrische Funktion">trigonometrische Funktionen</a> angenähert werden kann. </p><p>Von zentraler Bedeutung bei Approximationen ist der Begriff der <a href="/wiki/Norm_(Mathematik)" title="Norm (Mathematik)">Norm</a>, siehe auch <a href="/wiki/Verlustfunktion_(Statistik)" title="Verlustfunktion (Statistik)">Verlustfunktion (Statistik)</a>. Diese dient dazu, verschiedene Approximationen quantitativ zu vergleichen. Im Allgemeinen fällt die Näherungslösung für verschiedene Normen unterschiedlich aus. Wichtig ist es, den Fehler, der durch die Approximation entsteht, abschätzen zu können, um deren Qualität zu beurteilen. Dies ist nicht immer einfach und eine wichtige Aufgabe der Approximationstheorie. </p><p>Klassische Beispiele sind hier zum einen die <a href="/wiki/Pafnuti_Lwowitsch_Tschebyschow" title="Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow">Tschebyschow</a>-Approximation, bei der stetige reelle oder komplexe Funktionen bezüglich der <a href="/wiki/Supremumsnorm" title="Supremumsnorm">Supremumsnorm</a> approximiert werden, sowie die <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2317aaca1ecee4b8ccf667bc1001059eae5850" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.642ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle L^{p}}"></span>-Approximation, bei der <a href="/wiki/Lp-Raum" title="Lp-Raum">L<sup>p</sup>-Funktionen</a> bezüglich der <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{p}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>L</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>p</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{p}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2317aaca1ecee4b8ccf667bc1001059eae5850" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.642ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle L^{p}}"></span>-Norm approximiert werden. Bei der Lösung partieller Differentialgleichungen spielt die Approximation in Normen eines <a href="/wiki/Sobolevraum" class="mw-redirect" title="Sobolevraum">Sobolevraums</a> eine wichtige Rolle. </p><p>Ein Beispiel für die Näherung von Funktionen ist die <a href="/wiki/Kleinwinkeln%C3%A4herung" title="Kleinwinkelnäherung">Kleinwinkelnäherung</a>, bei der die Sinusfunktion durch ihren Winkel und die Kosinusfunktion durch die Konstante 1 ersetzt wird. Sie ist bei kleinen Winkeln gültig und wird zum Beispiel zur Lösung des <a href="/wiki/Mathematisches_Pendel" title="Mathematisches Pendel">mathematischen Pendels</a> angewendet. </p> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Ordnung_der_Approximation">Ordnung der Approximation</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;veaction=edit&amp;section=5" title="Abschnitt bearbeiten: Ordnung der Approximation" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;action=edit&amp;section=5" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Ordnung der Approximation"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Ein Maß für die Güte der Approximation einer Funktion ist die Ordnung. Approximiert man eine Funktion in einem kleinen Intervall der Länge <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>h</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h}"></span>, so ist eine Approximation <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"></span>-ter Ordnung eine solche, bei der der Fehler in einer gewissen Norm von der Größenordnung <a href="/wiki/Landau-Symbole" title="Landau-Symbole"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {O}}\left(h^{n+1}\right)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>h</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {O}}\left(h^{n+1}\right)}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027b0516f76db779c3345b1bbb0417e96c8bb67f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.025ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {O}}\left(h^{n+1}\right)}"></span></a> ist. Eine Näherung erster Ordnung wird <i>lineare Approximation</i> genannt, eine Näherung zweiter Ordnung <i>quadratische Approximation</i>. </p><p>In der Physik ist oft eine lineare Näherung zur Behandlung eines bestimmten Problems ausreichend, sofern das Problem damit hinreichend adäquat modelliert bzw. hinreichend genau bewältigt werden kann. Terme höherer Ordnung sind etwa dann von Bedeutung, wenn ein Problem mit linearen Methoden nicht hinreichend adäquat modelliert oder unter Verwendung linearer Methoden nicht hinreichend genau gelöst werden kann, wie dies beispielsweise im rechnerischen Umgang mit sogenannten <a href="/wiki/Reales_Gas" title="Reales Gas">realen Gasen</a> der Fall ist, welche sich bekanntermaßen nichtlinear verhalten und deren Verhalten dann durch Näherungsfunktionen, sogenannte <a href="/wiki/Virialentwicklung" class="mw-redirect" title="Virialentwicklung">Virialentwicklungen</a>, approximiert werden kann. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Wichtige_Approximationssätze"><span id="Wichtige_Approximationss.C3.A4tze"></span><span id="Approximationssatz"></span> Wichtige Approximationssätze</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;veaction=edit&amp;section=6" title="Abschnitt bearbeiten: Wichtige Approximationssätze" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;action=edit&amp;section=6" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Wichtige Approximationssätze"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Approximationstheorie_und_Funktionalanalysis">Approximationstheorie und Funktionalanalysis</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;veaction=edit&amp;section=7" title="Abschnitt bearbeiten: Approximationstheorie und Funktionalanalysis" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;action=edit&amp;section=7" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Approximationstheorie und Funktionalanalysis"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Approximationssatz_f%C3%BCr_kompakte_Operatoren" class="mw-redirect" title="Approximationssatz für kompakte Operatoren">Approximationssatz für kompakte Operatoren</a></li> <li><a href="/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fig_konvexer_Raum#Der_Approximationssatz" title="Gleichmäßig konvexer Raum">Approximationssatz für gleichmäßig konvexe Räume</a></li> <li><a href="/wiki/Approximationssatz_f%C3%BCr_reelle_unit%C3%A4re_R%C3%A4ume" class="mw-redirect" title="Approximationssatz für reelle unitäre Räume">Approximationssatz für reelle unitäre Räume</a></li> <li><a href="/wiki/Approximationssatz_von_Carleman" title="Approximationssatz von Carleman">Approximationssatz von Carleman</a></li> <li><a href="/wiki/Korowkin-Approximation" title="Korowkin-Approximation">Approximationssatz von Korowkin</a></li> <li><a href="/wiki/Runge-Theorie" title="Runge-Theorie">Approximationssatz von Runge</a></li> <li><a href="/wiki/Approximationssatz_von_Walsh" title="Approximationssatz von Walsh">Approximationssatz von Walsh</a></li> <li><a href="/wiki/Satz_von_Mergelyan" title="Satz von Mergelyan">Satz von Mergelyan</a></li> <li><a href="/wiki/Satz_von_M%C3%BCntz-Sz%C3%A1sz" title="Satz von Müntz-Szász">Satz von Müntz-Szász</a></li> <li><a href="/wiki/Satz_von_Stone-Weierstra%C3%9F" title="Satz von Stone-Weierstraß">Satz von Stone-Weierstraß</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zahlentheorie">Zahlentheorie</h3><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;veaction=edit&amp;section=8" title="Abschnitt bearbeiten: Zahlentheorie" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;action=edit&amp;section=8" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Zahlentheorie"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Approximationssatz_von_Kronecker" title="Approximationssatz von Kronecker">Approximationssatz von Kronecker</a></li> <li><a href="/wiki/Transzendente_Zahl" title="Transzendente Zahl">Approximationssatz von Liouville</a></li> <li><a href="/wiki/Dirichletscher_Approximationssatz" title="Dirichletscher Approximationssatz">Dirichletscher Approximationssatz</a></li> <li><a href="/wiki/P-adische_Zahl#Approximationssatz" title="P-adische Zahl">Näherungssatz für p-adische Zahlen</a></li> <li><a href="/wiki/Satz_von_Hurwitz_(Zahlentheorie)" title="Satz von Hurwitz (Zahlentheorie)">Satz von Hurwitz</a></li> <li><a href="/wiki/Satz_von_Thue-Siegel-Roth" title="Satz von Thue-Siegel-Roth">Satz von Thue-Siegel-Roth</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Theoretische_Informatik">Theoretische Informatik</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;veaction=edit&amp;section=9" title="Abschnitt bearbeiten: Theoretische Informatik" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;action=edit&amp;section=9" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Theoretische Informatik"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <p>Auch in der theoretischen Informatik spielen Approximationen eine Rolle. Es gibt <a href="/wiki/NP-Vollst%C3%A4ndigkeit" title="NP-Vollständigkeit">NP-vollständige</a> Optimierungsprobleme, bei denen es nicht möglich ist, eine exakte Lösung effizient zu berechnen. Man kann hier <a href="/wiki/Approximationsalgorithmus" title="Approximationsalgorithmus">Approximationsalgorithmen</a> verwenden, um eine Annäherung zu berechnen. Ein Beispiel ist das <a href="/wiki/Rucksackproblem" title="Rucksackproblem">Rucksackproblem</a>, bei dem es ab einer gewissen Problemgröße sehr viel Rechenaufwand braucht, eine optimale Lösung zu berechnen, wo aber gute Approximationsalgorithmen existieren, mit denen man effizient approximative Lösungen berechnen kann. </p> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;veaction=edit&amp;section=10" title="Abschnitt bearbeiten: Literatur" class="mw-editsection-visualeditor"><span>Bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-divider"> | </span><a href="/w/index.php?title=Approximation&amp;action=edit&amp;section=10" title="Quellcode des Abschnitts bearbeiten: Literatur"><span>Quelltext bearbeiten</span></a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></div> <ul><li><a href="/wiki/Lothar_Collatz" title="Lothar Collatz">Lothar Collatz</a>, <a href="/wiki/Werner_Krabs" title="Werner Krabs">Werner Krabs</a>: <i>Approximationstheorie. Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen.</i> Teubner, Stuttgart 1973, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3519020416" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-519-02041-6</a>.</li> <li>Armin Iske: <i>Approximation (Masterclass).</i> Springer Spektrum, 2018, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9783662554647" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-3662554647</a>.</li> <li><a href="/wiki/G%C3%BCnter_Meinardus" title="Günter Meinardus">Günter Meinardus</a>&#58; <cite style="font-style:italic">Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung</cite> (=&#160;<cite style="font-style:italic">Springer Tracts in Natural Philosophy</cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em">&#160;</span>4</span>). <a href="/wiki/Springer_Science%2BBusiness_Media" title="Springer Science+Business Media">Springer Verlag</a>, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&amp;co4=AND&amp;co5=AND&amp;co6=AND&amp;co7=AND&amp;dr=all&amp;pg4=AUCN&amp;pg5=TI&amp;pg6=PC&amp;pg7=ALLF&amp;pg8=ET&amp;review_format=html&amp;s4=Meinardus&amp;s5=&amp;s6=&amp;s7=&amp;s8=All&amp;sort=Newest&amp;vfpref=html&amp;yearRangeFirst=&amp;yearRangeSecond=&amp;yrop=eq&amp;r=60&amp;mx-pid=176272">MR0176272</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&amp;rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Approximation&amp;rft.au=G%C3%BCnter+Meinardus&amp;rft.btitle=Approximation+von+Funktionen+und+ihre+numerische+Behandlung&amp;rft.date=1964&amp;rft.genre=book&amp;rft.place=Berlin%2C+G%C3%B6ttingen%2C+Heidelberg%2C+New+York&amp;rft.pub=Springer+Verlag&amp;rft.series=Springer+Tracts+in+Natural+Philosophy" style="display:none">&#160;</span></li> <li><a href="/w/index.php?title=Manfred_W._M%C3%BCller&amp;action=edit&amp;redlink=1" class="new" title="Manfred W. Müller (Seite nicht vorhanden)">Manfred W. Müller</a>: <i>Approximationstheorie.</i> Akademische Verlags-Gesellschaft, Wiesbaden 1978, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/3400003751" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 3-400-00375-1</a>.</li> <li><a href="/wiki/Michael_J._D._Powell" title="Michael J. D. Powell">M. J. D. Powell</a>: <i>Approximation Theory and Methods.</i> Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1981, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0521224721" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-521-22472-1</a>.</li> <li><a href="/wiki/Robert_Schaback" title="Robert Schaback">R. Schaback</a>: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.math.uni-bielefeld.de/JB_DMV/JB_DMV_088_2.pdf">Numerische Approximation.</a> (PDF; 7,3&#160;MB)</i> In: <i>Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.</i> 88, Nr. 2, 1986, <span class="plainlinks-print"><a href="/wiki/Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a>&#160;<span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220012-0456%22&amp;key=cql">0012-0456</a></span></span>, S. 51–81.<a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&amp;co4=AND&amp;co5=AND&amp;co6=AND&amp;co7=AND&amp;dr=all&amp;pg4=AUCN&amp;pg5=TI&amp;pg6=PC&amp;pg7=ALLF&amp;pg8=ET&amp;review_format=html&amp;s4=Schaback%2C%20Robert&amp;s5=Numerische&amp;s6=&amp;s7=&amp;s8=All&amp;sort=Newest&amp;vfpref=html&amp;yearRangeFirst=&amp;yearRangeSecond=&amp;yrop=eq&amp;r=1&amp;mx-pid=838860">=&gt; MR0838860</a></li> <li><a href="/wiki/Holger_Wendland_(Mathematiker)" title="Holger Wendland (Mathematiker)">Holger Wendland</a>: <i>Scattered Data Approximation.</i> Cambridge University Press, 2010, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/9780521131018" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 978-0521131018</a>.</li> <li><a href="/wiki/Eberhard_Zeidler_(Mathematiker)" title="Eberhard Zeidler (Mathematiker)">Eberhard Zeidler</a>&#58; <cite style="font-style:italic">Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: Fixed-Point Theorems</cite>. Translated by Peter R. Wadsack. Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1986, <a href="/wiki/Spezial:ISBN-Suche/0387909141" class="internal mw-magiclink-isbn">ISBN 0-387-90914-1</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&amp;co4=AND&amp;co5=AND&amp;co6=AND&amp;co7=AND&amp;dr=all&amp;pg4=AUCN&amp;pg5=TI&amp;pg6=PC&amp;pg7=ALLF&amp;pg8=ET&amp;review_format=html&amp;s4=Zeidler&amp;s5=Nonlinear&amp;s6=&amp;s7=&amp;s8=All&amp;sort=Newest&amp;vfpref=html&amp;yearRangeFirst=&amp;yearRangeSecond=&amp;yrop=eq&amp;r=4&amp;mx-pid=816732">MR0816732</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&amp;rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Approximation&amp;rft.au=Eberhard+Zeidler&amp;rft.btitle=Nonlinear+Functional+Analysis+and+its+Applications+I%3A+Fixed-Point+Theorems&amp;rft.date=1986&amp;rft.genre=book&amp;rft.isbn=0387909141&amp;rft.place=New+York%2C+Berlin%2C+Heidelberg%2C+Tokyo&amp;rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none">&#160;</span></li></ul></div><!--esi <esi:include src="/esitest-fa8a495983347898/content" /> --><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&amp;type=1x1&amp;usesul3=0" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Abgerufen von „<a dir="ltr" href="https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Approximation&amp;oldid=224262758">https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Approximation&amp;oldid=224262758</a>“</div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/Wikipedia:Kategorien" title="Wikipedia:Kategorien">Kategorien</a>: <ul><li><a href="/wiki/Kategorie:Numerische_Mathematik" title="Kategorie:Numerische Mathematik">Numerische Mathematik</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Funktionalanalysis" title="Kategorie:Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a></li><li><a href="/wiki/Kategorie:Theoretische_Informatik" title="Kategorie:Theoretische Informatik">Theoretische Informatik</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Navigationsmenü</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > <span class="vector-menu-heading-label">Meine Werkzeuge</span> </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item"><span title="Benutzerseite der IP-Adresse, von der aus du Änderungen durchführst">Nicht angemeldet</span></li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Diskussionsseite" title="Diskussion über Änderungen von dieser IP-Adresse [n]" accesskey="n"><span>Diskussionsseite</span></a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/Spezial:Meine_Beitr%C3%A4ge" title="Eine Liste der Bearbeitungen, die von dieser IP-Adresse gemacht wurden [y]" accesskey="y"><span>Beiträge</span></a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&amp;returnto=Approximation" title="Wir ermutigen dich dazu, ein Benutzerkonto zu erstellen und dich anzumelden. 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data-language-autonym="Беларуская (тарашкевіца)" data-language-local-name="Weißrussisch (Taraschkewiza)" class="interlanguage-link-target"><span>Беларуская (тарашкевіца)</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F" title="Апроксимация – Bulgarisch" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Апроксимация" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="Bulgarisch" class="interlanguage-link-target"><span>Български</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-br mw-list-item"><a href="https://br.wikipedia.org/wiki/Tostadur" title="Tostadur – Bretonisch" lang="br" hreflang="br" data-title="Tostadur" data-language-autonym="Brezhoneg" data-language-local-name="Bretonisch" class="interlanguage-link-target"><span>Brezhoneg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Aproximace" title="Aproximace – Tschechisch" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Aproximace" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="Tschechisch" class="interlanguage-link-target"><span>Čeština</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BF%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8" title="Аппроксимаци – Tschuwaschisch" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Аппроксимаци" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="Tschuwaschisch" class="interlanguage-link-target"><span>Чӑвашла</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cy mw-list-item"><a href="https://cy.wikipedia.org/wiki/Brasamcan" title="Brasamcan – Walisisch" lang="cy" hreflang="cy" data-title="Brasamcan" data-language-autonym="Cymraeg" data-language-local-name="Walisisch" class="interlanguage-link-target"><span>Cymraeg</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Approksimation" title="Approksimation – Dänisch" lang="da" hreflang="da" data-title="Approksimation" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="Dänisch" class="interlanguage-link-target"><span>Dansk</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en mw-list-item"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Approximation" title="Approximation – Englisch" lang="en" hreflang="en" data-title="Approximation" data-language-autonym="English" data-language-local-name="Englisch" class="interlanguage-link-target"><span>English</span></a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Proksimuma_kalkulado" title="Proksimuma kalkulado – Esperanto" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Proksimuma kalkulado" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="Esperanto" 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