Факторіал — Вікіпедія

<!DOCTYPE html> <html class="client-nojs" lang="uk" dir="ltr"> <head> <meta charset="UTF-8"> <title>Факторіал — Вікіпедія</title> <script>(function(){var className="client-js";var cookie=document.cookie.match(/(?:^|; )ukwikimwclientpreferences=([^;]+)/);if(cookie){cookie[1].split('%2C').forEach(function(pref){className=className.replace(new RegExp('(^| )'+pref.replace(/-clientpref-\w+$|[^\w-]+/g,'')+'-clientpref-\\w+( |$)'),'$1'+pref+'$2');});}document.documentElement.className=className;}());RLCONF={"wgBreakFrames":false,"wgSeparatorTransformTable":[",\t."," \t,"],"wgDigitTransformTable":["",""],"wgDefaultDateFormat":"dmy","wgMonthNames":["","січень","лютий","березень","квітень","травень","червень","липень","серпень","вересень","жовтень","листопад","грудень"],"wgRequestId":"8324949e-3f3e-46e1-95e3-7449910bd665","wgCanonicalNamespace":"","wgCanonicalSpecialPageName":false,"wgNamespaceNumber":0,"wgPageName":"Факторіал","wgTitle":"Факторіал","wgCurRevisionId":43618583,"wgRevisionId":43618583,"wgArticleId":3139, "wgIsArticle":true,"wgIsRedirect":false,"wgAction":"view","wgUserName":null,"wgUserGroups":["*"],"wgCategories":["Сторінки з використанням розширення JsonConfig","Помилки CS1: Сторінки з посиланнями на джерела з пустими невідомими параметрами","Елементарна математика","Унарні операції","Факторіали і біноміальні коефіцієнти"],"wgPageViewLanguage":"uk","wgPageContentLanguage":"uk","wgPageContentModel":"wikitext","wgRelevantPageName":"Факторіал","wgRelevantArticleId":3139,"wgIsProbablyEditable":true,"wgRelevantPageIsProbablyEditable":true,"wgRestrictionEdit":[],"wgRestrictionMove":[],"wgNoticeProject":"wikipedia","wgCiteReferencePreviewsActive":true,"wgFlaggedRevsParams":{"tags":{"accuracy":{"levels":3}}},"wgStableRevisionId":43618583,"wgMediaViewerOnClick":true,"wgMediaViewerEnabledByDefault":true,"wgPopupsFlags":0, "wgVisualEditor":{"pageLanguageCode":"uk","pageLanguageDir":"ltr","pageVariantFallbacks":"uk"},"wgMFDisplayWikibaseDescriptions":{"search":true,"watchlist":true,"tagline":true,"nearby":true},"wgWMESchemaEditAttemptStepOversample":false,"wgWMEPageLength":40000,"wgRelatedArticlesCompat":[],"wgEditSubmitButtonLabelPublish":true,"wgULSPosition":"interlanguage","wgULSisCompactLinksEnabled":true,"wgVector2022LanguageInHeader":false,"wgULSisLanguageSelectorEmpty":false,"wgWikibaseItemId":"Q120976","wgCheckUserClientHintsHeadersJsApi":["brands","architecture","bitness","fullVersionList","mobile","model","platform","platformVersion"],"GEHomepageSuggestedEditsEnableTopics":true,"wgGETopicsMatchModeEnabled":false,"wgGEStructuredTaskRejectionReasonTextInputEnabled":false,"wgGELevelingUpEnabledForUser":false};RLSTATE={"ext.globalCssJs.user.styles":"ready","site.styles":"ready","user.styles":"ready","ext.globalCssJs.user":"ready","user":"ready","user.options":"loading","ext.math.styles":"ready", "ext.cite.styles":"ready","skins.vector.styles.legacy":"ready","ext.flaggedRevs.basic":"ready","mediawiki.codex.messagebox.styles":"ready","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript":"ready","codex-search-styles":"ready","ext.uls.interlanguage":"ready","wikibase.client.init":"ready","ext.wikimediaBadges":"ready"};RLPAGEMODULES=["ext.cite.ux-enhancements","mediawiki.page.media","site","mediawiki.page.ready","mediawiki.toc","skins.vector.legacy.js","ext.centralNotice.geoIP","ext.centralNotice.startUp","ext.flaggedRevs.advanced","ext.gadget.CurIDLink","ext.gadget.collapserefs","ext.gadget.showContributorContent","ext.gadget.switcher","ext.gadget.edittop","ext.gadget.new-section","ext.gadget.newTopicOnTop","ext.gadget.MonobookToolbarStandard","ext.gadget.ProtectionIndicator","ext.gadget.Statistics","ext.gadget.interwiki-langlist","ext.urlShortener.toolbar","ext.centralauth.centralautologin","mmv.bootstrap","ext.popups","ext.visualEditor.desktopArticleTarget.init", "ext.visualEditor.targetLoader","ext.echo.centralauth","ext.eventLogging","ext.wikimediaEvents","ext.navigationTiming","ext.uls.compactlinks","ext.uls.interface","ext.cx.eventlogging.campaigns","ext.checkUser.clientHints","ext.growthExperiments.SuggestedEditSession","wikibase.sidebar.tracking"];</script> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.loader.impl(function(){return["user.options@12s5i",function($,jQuery,require,module){mw.user.tokens.set({"patrolToken":"+\\","watchToken":"+\\","csrfToken":"+\\"}); }];});});</script> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=codex-search-styles%7Cext.cite.styles%7Cext.flaggedRevs.basic%7Cext.math.styles%7Cext.uls.interlanguage%7Cext.visualEditor.desktopArticleTarget.noscript%7Cext.wikimediaBadges%7Cmediawiki.codex.messagebox.styles%7Cskins.vector.styles.legacy%7Cwikibase.client.init&only=styles&skin=vector"> <script async="" src="/w/load.php?lang=uk&modules=startup&only=scripts&raw=1&skin=vector"></script> <meta name="ResourceLoaderDynamicStyles" content=""> <link rel="stylesheet" href="/w/load.php?lang=uk&modules=site.styles&only=styles&skin=vector"> <meta name="generator" content="MediaWiki 1.44.0-wmf.5"> <meta name="referrer" content="origin"> <meta name="referrer" content="origin-when-cross-origin"> <meta name="robots" content="max-image-preview:standard"> <meta name="format-detection" content="telephone=no"> <meta name="viewport" content="width=1120"> <meta property="og:title" content="Факторіал — Вікіпедія"> <meta property="og:type" content="website"> <link rel="preconnect" href="//upload.wikimedia.org"> <link rel="alternate" media="only screen and (max-width: 640px)" href="//uk.m.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB"> <link rel="alternate" type="application/x-wiki" title="Редагувати" href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit"> <link rel="apple-touch-icon" href="/static/apple-touch/wikipedia.png"> <link rel="icon" href="/static/favicon/wikipedia.ico"> <link rel="search" type="application/opensearchdescription+xml" href="/w/rest.php/v1/search" title="Вікіпедія (uk)"> <link rel="EditURI" type="application/rsd+xml" href="//uk.wikipedia.org/w/api.php?action=rsd"> <link rel="canonical" href="https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB"> <link rel="license" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk"> <link rel="alternate" type="application/atom+xml" title="Вікіпедія — Atom-стрічка" href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F&feed=atom"> <link rel="dns-prefetch" href="//meta.wikimedia.org" /> <link rel="dns-prefetch" href="//login.wikimedia.org"> </head> <body class="skin-vector-legacy mediawiki ltr sitedir-ltr mw-hide-empty-elt ns-0 ns-subject mw-editable page-Факторіал rootpage-Факторіал skin-vector action-view"><div id="mw-page-base" class="noprint"></div> <div id="mw-head-base" class="noprint"></div> <div id="content" class="mw-body" role="main"> <a id="top"></a> <div id="siteNotice"></div> <div class="mw-indicators"> </div> <h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Факторіал</h1> <div id="bodyContent" class="vector-body"> <div id="siteSub" class="noprint">Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.</div> <div id="contentSub"><div id="mw-content-subtitle"></div></div> <div id="contentSub2"></div> <div id="jump-to-nav"></div> <a class="mw-jump-link" href="#mw-head">Перейти до навігації</a> <a class="mw-jump-link" href="#searchInput">Перейти до пошуку</a> <div id="mw-content-text" class="mw-body-content"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="uk" dir="ltr"><table class="wikitable" style="margin:0 0 0 1em; text-align:right; float:right;"> <caption>Обрані числа із факторіальної <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Послідовність">послідовності</a> (послідовність <a href="//oeis.org/A000142" class="extiw" title="oeis:A000142">A000142</a> з <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F_%D1%86%D1%96%D0%BB%D0%BE%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%85_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9" title="Інтерактивна енциклопедія цілочислових послідовностей">Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел</a>, OEIS); значення наведені в науковій нотації округлені до наведеної точності </caption> <tbody><tr> <th>n </th> <th>n! </th></tr> <tr> <td>0</td> <td>1 </td></tr> <tr> <td>1</td> <td>1 </td></tr> <tr> <td>2</td> <td>2 </td></tr> <tr> <td>3</td> <td>6 </td></tr> <tr> <td>4</td> <td>24 </td></tr> <tr> <td>5</td> <td>120 </td></tr> <tr> <td>6</td> <td>720 </td></tr> <tr> <td>7</td> <td>5040 </td></tr> <tr> <td>8</td> <td>40320 </td></tr> <tr> <td>9</td> <td>362880 </td></tr> <tr> <td>10</td> <td>3628800 </td></tr> <tr> <td>11</td> <td>39916800 </td></tr> <tr> <td>12</td> <td>479001600 </td></tr> <tr> <td>13</td> <td>6227020800 </td></tr> <tr> <td>14</td> <td>87178291200 </td></tr> <tr> <td>15</td> <td>1307674368000 </td></tr> <tr> <td>16</td> <td>20922789888000 </td></tr> <tr> <td>17</td> <td>355687428096000 </td></tr> <tr> <td>18</td> <td>6402373705728000 </td></tr> <tr> <td>19</td> <td>121645100408832000 </td></tr> <tr> <td>20</td> <td>2432902008176640000 </td></tr> <tr> <td>25 </td> <td style="text-align:left">1.551121004×1025 </td></tr> <tr> <td>50 </td> <td style="text-align:left">3.041409320×1064 </td></tr> <tr> <td>70 </td> <td style="text-align:left">1.197857167×10100 </td></tr> <tr> <td>100 </td> <td style="text-align:left">9.332621544×10157 </td></tr> <tr> <td>450 </td> <td style="text-align:left">1.733368733×101000 </td></tr> <tr> <td>1000 </td> <td style="text-align:left">4.023872601×102567 </td></tr> <tr> <td>3249 </td> <td style="text-align:left">6.412337688×1010000 </td></tr> <tr> <td>10000 </td> <td style="text-align:left">2.846259681×1035659 </td></tr> <tr> <td>25206 </td> <td style="text-align:left">1.205703438×10100000 </td></tr> <tr> <td>100000 </td> <td style="text-align:left">2.824229408×10456573 </td></tr> <tr> <td>205023 </td> <td style="text-align:left">2.503898932×101000004 </td></tr> <tr> <td>1000000 </td> <td style="text-align:left">8.263931688×105565708 </td></tr> <tr> <td><a href="/wiki/%D0%93%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB" title="Гугол">10100</a></td> <td>1010101.9981097754820 </td></tr></tbody></table> Факторіал <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Натуральне число">натурального числа</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> — <a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Добуток">добуток</a> натуральних чисел від одиниці до <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> включно, позначається <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}">!. <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ ...\ \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mtext> </mtext> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mtext> </mtext> <mo>⋅</mo> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ ...\ \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e851faa652561d055bc42c632dad374218cd34" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:25.418ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ ...\ \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i}">.</div> За означенням <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0!=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0!=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22956a0fa255c6c9562eab440f8c23c2954a6cf4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.07ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0!=1}">, згідно з конвенцією для <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Порожній добуток">порожнього добутку</a>.<a href="#cite_note-FOOTNOTEGrahamKnuthPatashnik1988111-1">[1]</a>. При великих <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> наближене значення факторіала можна обчислити за <a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D1%96%D1%80%D0%BB%D1%96%D0%BD%D0%B3%D0%B0_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0" class="mw-redirect" title="Стірлінга формула">формулою Стірлінга</a>. Факторіал <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> дорівнює кількості <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B8" class="mw-redirect" title="Перестановки множини">перестановок з <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}"> елементів</a>. <div id="toc" class="toc" role="navigation" aria-labelledby="mw-toc-heading"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="uk" dir="ltr"><h2 id="mw-toc-heading">Зміст</h2><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#Історія">1 Історія</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-2"><a href="#Визначення">2 Визначення</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#Факторіал_нуля">2.1 Факторіал нуля</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#Факторіал_не_цілого_числа">2.2 Факторіал не цілого числа</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#Факторіали_деяких_чисел">3 Факторіали деяких чисел</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#Властивості">4 Властивості</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#Рекурентна_формула">4.1 Рекурентна формула</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="#Комбінаторна_інтерпретація">4.2 Комбінаторна інтерпретація</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#Зв'язок_з_гамма-функцією">4.3 Зв'язок з гамма-функцією</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#Формула_Стірлінга">4.4 Формула Стірлінга</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-11"><a href="#Подвійний_факторіал">5 Подвійний факторіал</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#Застосування">6 Застосування</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-13"><a href="#Швидкість_зростання_функції_і_апроксимація_для_великих_n">7 Швидкість зростання функції і апроксимація для великих n</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-14"><a href="#Розширення_факторіалу_до_не_цілих_значень_аргумента">8 Розширення факторіалу до не цілих значень аргумента</a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-15"><a href="#Гамма_і_пі_функції">8.1 Гамма і пі функції</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-16"><a href="#Застосування_гамма-функції">8.2 Застосування гамма-функції</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-17"><a href="#Факторіал_у_комплексній_площині">8.3 Факторіал у комплексній площині</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-18"><a href="#Наближення_факторіалу">8.4 Наближення факторіалу</a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-19"><a href="#Від'ємні_цілі_аргументи">8.5 Від'ємні цілі аргументи</a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-20"><a href="#Див._також">9 Див. також</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-21"><a href="#Примітки">10 Примітки</a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-22"><a href="#Література">11 Література</a></li> </ul> </div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Історія">Історія</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=1" title="Редагувати розділ: Історія" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=1" title="Редагувати вихідний код розділу: Історія">ред. код</a>]</div> Індійські науковці використовували факторіали для підрахунку перестановок ще в 12-му столітті.<a href="#cite_note-2">[2]</a> В 1677, <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B1%D1%96%D0%B0%D0%BD_%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D0%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Фабіан Стедмен (ще не написана)">Фабіан Стедмен</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Fabian_Stedman" class="extiw" title="en:Fabian Stedman">[en]</a> описав застосування факторіалів для узгодження <a href="/w/index.php?title=%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B7%D0%B2%D1%96%D0%BD&action=edit&redlink=1" class="new" title="Передзвін (ще не написана)">передзвону</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/change_ringing" class="extiw" title="en:change ringing">[en]</a>, музичного мистецтва із використанням багатьох підібраних налаштованих дзвонів.<a href="#cite_note-FOOTNOTEStedman16776—9-3">[3]</a> Після описання рекурсивного методу, Стедмен приводить визначення факторіалу. <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81" class="mw-redirect" title="Математичний запис">Математичний запис</a> n! було запропонована французьким математиком <a href="/w/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D1%96%D1%81%D1%82%D1%96%D0%B0%D0%BD_%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BF&action=edit&redlink=1" class="new" title="Крістіан Крамп (ще не написана)">Крістіаном Крампом</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Christian_Kramp" class="extiw" title="en:Christian Kramp">[en]</a> у 1808.<a href="#cite_note-4">[4]</a> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Визначення">Визначення</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=2" title="Редагувати розділ: Визначення" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=2" title="Редагувати вихідний код розділу: Визначення">ред. код</a>]</div> Функція факторіалу визначається добутком <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot n,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mo>…</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋅</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot n,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6493d123debb2873544bd8952fa4f3b0c4a0ed" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.881ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot n,}"></dd></dl> для початкового цілого числа n ≥ 1. Цей добуток можна представити у <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F#Нотація_із_великим_Пі" title="Множення">нотації великим Пі для добутку</a> наступним чином <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!=\prod _{i=1}^{n}i.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>i</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!=\prod _{i=1}^{n}i.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef981720e98c24f3bb9810e863f4fb260114d5f2" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:9.946ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle n!=\prod _{i=1}^{n}i.}"></dd></dl> Із цих формул можна отримати наступне <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B5_%D1%81%D0%BF%D1%96%D0%B2%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Рекурентне співвідношення">рекурентне співвідношення</a>: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6cf1e3408f6d530538425116de7c795dbc9472e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.714ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!.}"></dd></dl> Наприклад, маємо наступне: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}5!&=5\cdot 4!\\6!&=6\cdot 5!\\50!&=50\cdot 49!\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mn>5</mn> <mo>!</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>5</mn> <mo>⋅</mo> <mn>4</mn> <mo>!</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>6</mn> <mo>!</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>6</mn> <mo>⋅</mo> <mn>5</mn> <mo>!</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>50</mn> <mo>!</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mn>50</mn> <mo>⋅</mo> <mn>49</mn> <mo>!</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}5!&=5\cdot 4!\\6!&=6\cdot 5!\\50!&=50\cdot 49!\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf04161f9fbda7d1c2e3bbea118e4a38d6600137" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:13.797ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}5!&=5\cdot 4!\\6!&=6\cdot 5!\\50!&=50\cdot 49!\end{aligned}}}"></dd></dl> і так далі. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Факторіал_нуля">Факторіал нуля</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=3" title="Редагувати розділ: Факторіал нуля" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=3" title="Редагувати вихідний код розділу: Факторіал нуля">ред. код</a>]</div> Для того, щоб рекурентне співвідношення могло поширюватися на випадок n = 0, необхідним є визначити, що <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0!=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0!=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22956a0fa255c6c9562eab440f8c23c2954a6cf4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.07ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0!=1}"></dd></dl> Так що <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1!=1\cdot 0!=1.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>1</mn> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mn>0</mn> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mn>1.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1!=1\cdot 0!=1.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d375b4b9ff0cf3185deff1384a67ad8b1de42a5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.466ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1!=1\cdot 0!=1.}"></dd></dl> Існує ряд незалежних причин, чому це визначення вважають гармонійним. Це є наступні твердження: <ul><li>У випадку n = 0, у визначенні n! як добутку припускає порожній добуток без чисел взагалі, і тому це є прикладом більш ширшої конвенції того що добуток без множників дорівнює мультиплікативній одиниці (див. <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%96%D0%B9_%D0%B4%D0%BE%D0%B1%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%BA" title="Порожній добуток">порожній добуток</a>).</li> <li>Існує лише єдина перестановка нульової кількості об'єктів (оскільки нема чого переставляти, єдиною можливою перестановкою залишається <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0#Тотожна_перестановка" title="Перестановка">тотожна</a>, яка нічого не робить).</li> <li>Це дозволяє утворити багато рівнянь з <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбінаторика">комбінаторики</a>, що будуть дійсними для всіх заданих розмірів. Кількість різних способів вибрати 0 елементів із <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%BD%D1%8F_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Порожня множина">порожньої множини</a> задається <a href="/wiki/%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D0%B5%D1%84%D1%96%D1%86%D1%96%D1%94%D0%BD%D1%82" title="Біноміальний коефіцієнт">біноміальним коефіцієнтом</a></li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\binom {0}{0}}={\frac {0!}{0!0!}}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mn>0</mn> <mn>0</mn> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>0</mn> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> <mo>!</mo> <mn>0</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\binom {0}{0}}={\frac {0!}{0!0!}}=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10ad24caaa199b1691e3fad16d9777757d85df9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.398ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\binom {0}{0}}={\frac {0!}{0!0!}}=1}">.</dd></dl></dd> <dd>В більш загальному випадку, кількість різних способів впорядкувати всі n елементи із множини з n елементів дорівнюватиме <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\binom {n}{n}}={\frac {n!}{n!0!}}=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mi>n</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mn>0</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\binom {n}{n}}={\frac {n!}{n!0!}}=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f316eb3047bf89abdf5dd628642918464b45c31e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.862ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\binom {n}{n}}={\frac {n!}{n!0!}}=1}">.</dd></dl></dd></dl> <ul><li>Це дозволяє мати компактний вираз багатьох формул, таких як <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Показникова функція">показникова функція</a>, що задає степеневий ряд:</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2b1a7071d25d71cdd3b9e75ab6795938428d94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:13.128ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}"></dd></dl></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Факторіал_не_цілого_числа">Факторіал не цілого числа</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=4" title="Редагувати розділ: Факторіал не цілого числа" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=4" title="Редагувати вихідний код розділу: Факторіал не цілого числа">ред. код</a>]</div> Функцію факторіалу також можна визначити для не цілих чисел з використанням більш складних математичних понять (за допомогою <a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Гамма-функція">гамма-функції</a> n! = Γ(n + 1)). Це більш загальне визначення використовується в інженерних <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%BE%D1%80" title="Калькулятор">калькуляторах</a> і в математичному програмному забезпеченні такому як <a href="/wiki/Maple" title="Maple">Maple</a>, <a href="/wiki/Mathematica" title="Mathematica">Mathematica</a> або <a href="/wiki/APL" title="APL">APL</a>. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Факторіали_деяких_чисел">Факторіали деяких чисел</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=5" title="Редагувати розділ: Факторіали деяких чисел" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=5" title="Редагувати вихідний код розділу: Факторіали деяких чисел">ред. код</a>]</div> 0! = 1 1! = 1 2! = 1·2 = 2 3! = 1·2·3 = 6 4! = 1·2·3·4 = 24 5! = 1·2·3·4·5 = 120 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720 7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040 8! = 1·2·3·4·5·6·7·8 = 40320 9! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9 = 362880 10! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10 = 3628800 <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Властивості">Властивості</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=6" title="Редагувати розділ: Властивості" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=6" title="Редагувати вихідний код розділу: Властивості">ред. код</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Рекурентна_формула">Рекурентна формула</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=7" title="Редагувати розділ: Рекурентна формула" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=7" title="Редагувати вихідний код розділу: Рекурентна формула">ред. код</a>]</div> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!={\begin{cases}1&n=0,\\n\cdot (n-1)!&n>0.\end{cases}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mo>{</mo> <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>n</mi> <mo>⋅</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mtd> <mtd> <mi>n</mi> <mo>></mo> <mn>0.</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!={\begin{cases}1&n=0,\\n\cdot (n-1)!&n>0.\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/061936c90772779b902414ec897902cc4b61ca06" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:27.187ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle n!={\begin{cases}1&n=0,\\n\cdot (n-1)!&n>0.\end{cases}}}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Комбінаторна_інтерпретація">Комбінаторна інтерпретація</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=8" title="Редагувати розділ: Комбінаторна інтерпретація" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=8" title="Редагувати вихідний код розділу: Комбінаторна інтерпретація">ред. код</a>]</div> В <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбінаторика">комбінаториці</a> факторіал натурального числа n інтерпретується як кількість перестановок (упорядкування) множини з n елементів. Наприклад, для множини {A, B, C, D} з 4-х елементів існує 4! = 24 перестановки: <pre>ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA </pre> Комбінаторна інтерпретація факторіала слугує обґрунтуванням тотожності 0! = 1, оскільки порожня множина може бути впорядкованою лише одним способом. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Зв'язок_з_гамма-функцією">Зв'язок з гамма-функцією</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=9" title="Редагувати розділ: Зв'язок з гамма-функцією" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=9" title="Редагувати вихідний код розділу: Зв'язок з гамма-функцією">ред. код</a>]</div> Факторіал є пов'язаним з <a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Гамма-функція">гамма-функцією</a> від цілого аргументу співвідношенням: <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b392e2ad60237c0560a6d82a6548cdf2b4399cb9" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.8ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}">.</div> Таким чином, гамма-функцію розглядають як узагальнення факторіалу для додатних дійсних чисел. Шляхом <a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Аналітичне продовження">аналітичного продовження</a> її також поширюють на всю <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0" title="Комплексна площина">комплексну площину</a>, виключаючи <a href="/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%B2%D0%B0_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0" title="Особлива точка">особливі точки</a>. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Формула_Стірлінга">Формула <a href="/wiki/%D0%94%D0%B6%D0%B5%D0%B9%D0%BC%D1%81_%D0%A1%D1%82%D1%96%D1%80%D0%BB%D1%96%D0%BD%D2%91" class="mw-redirect" title="Джеймс Стірлінґ">Стірлінга</a></h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=10" title="Редагувати розділ: Формула Стірлінга" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=10" title="Редагувати вихідний код розділу: Формула Стірлінга">ред. код</a>]</div> <a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%A1%D1%82%D1%96%D1%80%D0%BB%D1%96%D0%BD%D2%91%D0%B0" class="mw-redirect" title="Формула Стірлінґа">Формула Стірлінґа</a> — одна з найвідоміших <a href="/wiki/%D0%90%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Апроксимація">наближених</a> формул для обчислення факторіала: <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879}{209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\left(n^{-7}\right)\right),}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>12</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>288</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>139</mn> <mrow> <mn>51840</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>571</mn> <mrow> <mn>2488320</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>163879</mn> <mrow> <mn>209018880</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>5</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>5246819</mn> <mrow> <mn>75246796800</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>6</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879}{209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\left(n^{-7}\right)\right),}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd340b24e32f9c8dfc52e5ab1bb1a23a26facb88" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:112.762ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879}{209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\left(n^{-7}\right)\right),}"></div> В багатьох випадках для наближеного значення факторіала досить розглядати лише головний член формули Стірлінга: <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>≈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7136fede6a5ec27a99e73f47a17234df0f4bd94" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.19ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}"></div> при цьому можна стверджувати, що <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo><</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>/</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>12</mn> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dccfce03095a19639d4cb79a7335903410893061" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:39.207ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}}"></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Подвійний_факторіал">Подвійний факторіал</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=11" title="Редагувати розділ: Подвійний факторіал" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=11" title="Редагувати вихідний код розділу: Подвійний факторіал">ред. код</a>]</div> Подвійний факторіал числа n позначається n!! і визначається як добуток всіх послідовних парних (якщо n парне) або непарних (якщо n непарне) натуральних чисел до n включно. Таким чином, <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k=\prod _{i=1}^{k}2i=2^{k}k!}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>⋅</mo> <mn>4</mn> <mo>⋅</mo> <mn>6</mn> <mo>⋯</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </munderover> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mi>k</mi> <mo>!</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k=\prod _{i=1}^{k}2i=2^{k}k!}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/472ef2fdb59cc4256f05c5dcafdaba11d5884e86" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:36.919ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle (2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k=\prod _{i=1}^{k}2i=2^{k}k!}"></div> <div class="center" style="width:auto; margin-left:auto; margin-right:auto;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2k-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)=\prod _{i=1}^{k}2i-1={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>⋅</mo> <mn>3</mn> <mo>⋅</mo> <mn>5</mn> <mo>⋯</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </munderover> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mi>k</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2k-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)=\prod _{i=1}^{k}2i-1={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf35f2c53f6bc73864a478bfefab0fcf05dc079" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:52.294ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle (2k-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)=\prod _{i=1}^{k}2i-1={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}}"></div> За означенням <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0!!=1}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mn>0</mn> <mo>!</mo> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0!!=1}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d76cc1cbbe956bc23fea02d7e7be73dfcf4a93d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.717ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0!!=1}">. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Застосування">Застосування</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=12" title="Редагувати розділ: Застосування" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=12" title="Редагувати вихідний код розділу: Застосування">ред. код</a>]</div> Хоча функція факторіалу має свої корені у <a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Комбінаторика">комбінаториці</a>, формули, в яких зустрічається факторіал, є в різноманітних галузях математики. <ul><li>Існує n! різних способів впорядкування n різних об'єктів у послідовність, <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0" title="Перестановка">перестановок</a> цих об'єктів.<a href="#cite_note-5">[5]</a><a href="#cite_note-ConwayGuy1998-6">[6]</a></li> <li>Часто факторіали присутні у <a href="/wiki/%D0%94%D1%80%D1%96%D0%B1" title="Дріб">знаменнику</a> формули, аби врахувати факт, що впорядкування ігнорується. Класичним прикладом є підрахунок k-<a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_(%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Комбінація (комбінаторика)">комбінацій</a> (підмножини із k елементів) із множини з n елементів. Таку комбінацію можна обравши k-перестановок: послідовно обираючи і убираючи один елемент з множини, k разів, для загального числа з</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-0)(n-1)(n-2)\cdots \left(n-(k-1)\right)={\tfrac {n!}{(n-k)!}}=n^{\underline {k}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>0</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋯</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>k</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-0)(n-1)(n-2)\cdots \left(n-(k-1)\right)={\tfrac {n!}{(n-k)!}}=n^{\underline {k}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884b3a94c2d347a60f672dbdd2e7cf192c4ca985" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:52.562ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle (n-0)(n-1)(n-2)\cdots \left(n-(k-1)\right)={\tfrac {n!}{(n-k)!}}=n^{\underline {k}}}"></dd></dl></dd> <dd>можливостей. Однак це підраховує k-комбінацій у заданому порядку, що в даному підрахунку потрібно ігнорувати; оскільки кожну k-комбінацію можна отримати k! різними способами, таким чином правильною кількістю k-комбінацій є <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={\binom {n}{k}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋯</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>⋯</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>k</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </msup> <mrow> <mi>k</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mi>k</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={\binom {n}{k}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ce987c7e34c964992f560ba3591855beecca4d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:60.077ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={\binom {n}{k}}.}"></dd></dl></dd> <dd>Це число відоме як<a href="#cite_note-Knuth1997-7">[7]</a> <a href="/wiki/%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D0%B5%D1%84%D1%96%D1%86%D1%96%D1%94%D0%BD%D1%82" title="Біноміальний коефіцієнт">біноміальний коефіцієнт</a>, оскільки він також є коефіцієнтом xk у (1 + x)n. Терм <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n^{\underline {k}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>k</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n^{\underline {k}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22044e187e6ff485eef6d4eb217641fcc9b9e7d4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.485ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle n^{\underline {k}}}"> часто називають <a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%96_%D0%B7%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%8E%D1%87%D0%B8%D0%B9_%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB%D0%B8&action=edit&redlink=1" class="new" title="Спадний і зростаючий факторіали (ще не написана)">спадним факторіалом</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Falling_and_rising_factorials" class="extiw" title="en:Falling and rising factorials">[en]</a>.</dd></dl> <ul><li>Факторіали зустрічаються в <a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0" title="Алгебра">алгебрі</a> з різних обставин, або у якості вищезгаданих коефіцієнтів <a href="/wiki/%D0%91%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0" title="Біном Ньютона">біному Ньютона</a>, або для <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%94_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Середнє значення">усереднення</a> за <a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0" title="Перестановка">перестановками</a> для <a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="Симетризація (ще не написана)">симетризації</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/symmetrization" class="extiw" title="en:symmetrization">[en]</a> певних операцій.</li> <li>Факторіали також зустрічаються у <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%82%D0%B0_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Диференціальне та інтегральне числення">численні</a>; наприклад, вони зустрічаються у знаменниках термів в <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0" title="Теорема Тейлора">формулі Тейлора</a>,<a href="#cite_note-8">[8]</a> де вони застосовуються як компенсуючі терми завдяки тому, що n-а <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Похідна">похідна</a> функції xn є еквівалентною n!.</li> <li>Факторіали також широко використовуються у <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%B9%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D1%96%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9" title="Теорія ймовірностей">теорії ймовірностей</a>.<a href="#cite_note-9">[9]</a></li> <li>Факторіали можуть бути корисними для здійснення перетворень виразів. Наприклад, число з k-перестановок із n можна записати як</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n^{\underline {k}}={\frac {n!}{(n-k)!}}\,;}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>k</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n^{\underline {k}}={\frac {n!}{(n-k)!}}\,;}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e7792ed95bfa44f3e97f8dfb2c2089e5c6e2c4" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:15.356ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle n^{\underline {k}}={\frac {n!}{(n-k)!}}\,;}"></dd></dl></dd> <dd>хоча цей вираз є неефективний для розрахунку цього числа, він може використовуватися для доведення властивості симетричності<a href="#cite_note-ConwayGuy1998-6">[6]</a><a href="#cite_note-Knuth1997-7">[7]</a> біноміальних коефіцієнтів: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={\frac {n^{\underline {n-k}}}{(n-k)!}}={\binom {n}{n-k}}\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mi>k</mi> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mi>k</mi> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </msup> <mrow> <mi>k</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mi>k</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <munder> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mo>_</mo> </munder> </mrow> </msup> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo> </mrow> <mfrac linethickness="0"> <mi>n</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={\frac {n^{\underline {n-k}}}{(n-k)!}}={\binom {n}{n-k}}\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b06a8e5d204b91d0a76e301587a89f36e7105f3" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:49.768ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={\frac {n^{\underline {n-k}}}{(n-k)!}}={\binom {n}{n-k}}\,.}"></dd></dl></dd></dl> <ul><li>За допомогою <a href="/w/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BF%D1%96%D0%BD%D1%8C&action=edit&redlink=1" class="new" title="Закон про степінь (ще не написана)">закону про степінь</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/power_rule" class="extiw" title="en:power rule">[en]</a> можна показати, що функція факторіалу є</li></ul> <dl><dd><dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!=D^{n}\,x^{n}={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\,x^{n}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <msup> <mi>x</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!=D^{n}\,x^{n}={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\,x^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9c6cb5810bb6c5226c9bfc683c29b8afd00242" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:21.852ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle n!=D^{n}\,x^{n}={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\,x^{n}}"></dd></dl></dd> <dd>де Dn xn є <a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" class="mw-redirect" title="Нотація для диференціювання">нотацією Ейлера</a> для nї <a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%B0" title="Похідна">похідної</a> функції xn.<a href="#cite_note-10">[10]</a></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Швидкість_зростання_функції_і_апроксимація_для_великих_n"><span id=".D0.A8.D0.B2.D0.B8.D0.B4.D0.BA.D1.96.D1.81.D1.82.D1.8C_.D0.B7.D1.80.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8F_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D1.96.D1.97_.D1.96_.D0.B0.D0.BF.D1.80.D0.BE.D0.BA.D1.81.D0.B8.D0.BC.D0.B0.D1.86.D1.96.D1.8F_.D0.B4.D0.BB.D1.8F_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D0.BA.D0.B8.D1.85_n">Швидкість зростання функції і апроксимація для великих n</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=13" title="Редагувати розділ: Швидкість зростання функції і апроксимація для великих n" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=13" title="Редагувати вихідний код розділу: Швидкість зростання функції і апроксимація для великих n">ред. код</a>]</div> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Log-factorial.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Log-factorial.svg/300px-Log-factorial.svg.png" decoding="async" width="300" height="240" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Log-factorial.svg/450px-Log-factorial.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Log-factorial.svg/600px-Log-factorial.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="480" /></a><figcaption>Графік натурального логарифму від факторіалу</figcaption></figure> Із збільшенням n, факторіал n! зростає швидше за усі <a href="/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD" title="Многочлен">поліноміальні</a> та <a href="/wiki/%D0%95%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B5_%D0%B7%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" class="mw-redirect" title="Експонентне зростання">експоненційні функції</a> (але повільніше ніж <a href="/w/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="Подвійна експоненційна функція (ще не написана)">подвійні експоненційні функції</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/double_exponential_function" class="extiw" title="en:double exponential function">[en]</a>) із n. Більшість апроксимацій для n! основані на наближенні її <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC" title="Натуральний логарифм">натурального логарифма</a> <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln n!=\sum _{x=1}^{n}\ln x\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln n!=\sum _{x=1}^{n}\ln x\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/160285ae941d3a0ad13e60266fce449b7ff47d6f" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:15.899ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \ln n!=\sum _{x=1}^{n}\ln x\,.}"></dd></dl> Графік функції f(n) = ln n! показано на малюнку праворуч. Він має приблизно лінійний вигляд для всіх розумних значень n, але це інтуїтивне сприйняття є хибним. Найпростішу апроксимацію для ln n! можна отримати обмеживши суму за допомогою <a href="/wiki/%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB" title="Інтеграл">інтегралу</a> зверху і знизу наступним чином: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{1}^{n}\ln x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\ln x\leq \int _{0}^{n}\ln(x+1)\,dx}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>≤</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>x</mi> <mo>≤</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{1}^{n}\ln x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\ln x\leq \int _{0}^{n}\ln(x+1)\,dx}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c09a2efe1f5c3b44882bb127c2584d2d111d62" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:40.337ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \int _{1}^{n}\ln x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\ln x\leq \int _{0}^{n}\ln(x+1)\,dx}"></dd></dl> що дає нам наступну оцінку <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \ln n!\leq (n+1)\ln \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>≤</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>≤</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \ln n!\leq (n+1)\ln \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8d2c5ee02f70bf461489ac4646a8c0a13f7a37" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:47.52ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \ln n!\leq (n+1)\ln \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1\,.}"></dd></dl> Оскільки ln n! ∼ n ln n (див. <a href="/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%9B%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D1%83" title="Нотація Ландау">Нотація великого O</a>). Цей результат відіграє важливу роль в аналізі <a href="/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%81%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%8C" title="Теорія складності обчислень">розрахункової складності</a> <a href="/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Алгоритм сортування">алгоритмів сортування</a> (див. <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC%D0%B8" title="Сортування порівняннями">сортування порівняннями</a>). Із тих обмежень для ln n!, що отримані вище ми маємо <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e\leq n!\leq \left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}e\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>e</mi> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>≤</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>e</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e\leq n!\leq \left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}e\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21cd15c182539fa277b70a5d28abeea7ed491bcf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:30.638ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e\leq n!\leq \left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}e\,.}"></dd></dl> Іноді більш практичним є використання слабших, але простіших оцінок. Використавши вищенаведену формулу легко показати, що для всіх n ми маємо (<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r42786477">.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}</style>n/3)n < n!, а для всіх n ≥ 6 ми маємо n! < (<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">n/2)n. <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Mplwp_factorial_gamma_stirling.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Mplwp_factorial_gamma_stirling.svg/300px-Mplwp_factorial_gamma_stirling.svg.png" decoding="async" width="300" height="200" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Mplwp_factorial_gamma_stirling.svg/450px-Mplwp_factorial_gamma_stirling.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Mplwp_factorial_gamma_stirling.svg/600px-Mplwp_factorial_gamma_stirling.svg.png 2x" data-file-width="600" data-file-height="400" /></a><figcaption>Порівняння апроксимації Стірлінґа із факторіалом</figcaption></figure> Для великих n ми маємо кращу оцінку для числа n! якщо використати <a href="/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%A1%D1%82%D1%96%D1%80%D0%BB%D1%96%D0%BD%D2%91%D0%B0" class="mw-redirect" title="Формула Стірлінґа">апроксимацію Стірлінґа</a>: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>∼</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ab9e6deea6a3b744564d481e08e9181fc1fcbb" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:18.224ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\,.}"></dd></dl> Цей вираз отримано із асимптотичного ряду для логарифма, а n факторіал знаходиться між цією і наступною апроксимацією: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n}}\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo><</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo><</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>12</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n}}\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d41944bca1f274e438d120e51b0aa9d4c4e83e" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:37.659ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\frac {1}{12n}}\,.}"></dd></dl> Інше наближення для ln n! запропонував <a href="/wiki/%D0%A1%D1%80%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B2%D0%B0%D1%81%D0%B0_%D0%A0%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D1%83%D0%B4%D0%B6%D0%B0%D0%BD" title="Срініваса Рамануджан">Срініваса Рамануджан</a> (<a href="#CITEREFRamanujan1988">Ramanujan, 1988</a>) <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\ln n!&\approx n\ln n-n+{\frac {\ln {\Bigl (}n{\bigl (}1+4n(1+2n){\bigr )}{\Bigr )}}{6}}+{\frac {\ln \pi }{2}}\\[6px]\Longrightarrow \;n!&\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{8n^{2}}}\right)^{\frac {1}{6}}\,.\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="0.9em 0.3em" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>≈</mo> <mi>n</mi> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mo> </mrow> </mrow> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo> </mrow> </mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo> </mrow> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mi>π</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo stretchy="false">⟹</mo> <mspace width="thickmathspace" /> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>≈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>8</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>6</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\ln n!&\approx n\ln n-n+{\frac {\ln {\Bigl (}n{\bigl (}1+4n(1+2n){\bigr )}{\Bigr )}}{6}}+{\frac {\ln \pi }{2}}\\[6px]\Longrightarrow \;n!&\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{8n^{2}}}\right)^{\frac {1}{6}}\,.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/538ef73c0c665aceac78fd440768dcb18cba6110" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.505ex; width:55.293ex; height:16.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\ln n!&\approx n\ln n-n+{\frac {\ln {\Bigl (}n{\bigl (}1+4n(1+2n){\bigr )}{\Bigr )}}{6}}+{\frac {\ln \pi }{2}}\\[6px]\Longrightarrow \;n!&\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{8n^{2}}}\right)^{\frac {1}{6}}\,.\end{aligned}}}"></dd></dl> Обидва останні наближення мають відносну похибку, що має порядок в <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">1/n3, але апроксимація Рамануджана майже в чотири рази точніша. Однак, якщо ми використаємо два терми корекції (як у апроксимації Рамануджана) відносна похибка матиме порядок <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">1/n5: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \left({{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}}\right)\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>≈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mn>2</mn> <mi>π</mi> <mi>n</mi> </msqrt> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>e</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>12</mn> <mi>n</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>360</mn> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \left({{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}}\right)\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d729a9397210df4e8db875473cc799f012f6233c" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:39.753ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \left({{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}}\right)\,.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Розширення_факторіалу_до_не_цілих_значень_аргумента"><span id=".D0.A0.D0.BE.D0.B7.D1.88.D0.B8.D1.80.D0.B5.D0.BD.D0.BD.D1.8F_.D1.84.D0.B0.D0.BA.D1.82.D0.BE.D1.80.D1.96.D0.B0.D0.BB.D1.83_.D0.B4.D0.BE_.D0.BD.D0.B5_.D1.86.D1.96.D0.BB.D0.B8.D1.85_.D0.B7.D0.BD.D0.B0.D1.87.D0.B5.D0.BD.D1.8C_.D0.B0.D1.80.D0.B3.D1.83.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0">Розширення факторіалу до не цілих значень аргумента</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=14" title="Редагувати розділ: Розширення факторіалу до не цілих значень аргумента" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=14" title="Редагувати вихідний код розділу: Розширення факторіалу до не цілих значень аргумента">ред. код</a>]</div> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Гамма_і_пі_функції">Гамма і пі функції</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=15" title="Редагувати розділ: Гамма і пі функції" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=15" title="Редагувати вихідний код розділу: Гамма і пі функції">ред. код</a>]</div> <figure typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Factorial_Interpolation.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Factorial_Interpolation.svg/320px-Factorial_Interpolation.svg.png" decoding="async" width="320" height="240" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Factorial_Interpolation.svg/480px-Factorial_Interpolation.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Factorial_Interpolation.svg/640px-Factorial_Interpolation.svg.png 2x" data-file-width="720" data-file-height="540" /></a><figcaption>Гамма функція інтерполює функцію факторіала для не цілих значень. Основна ідея полягає в <a href="/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B5_%D1%81%D0%BF%D1%96%D0%B2%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Рекурентне співвідношення">рекурентному співвідношенні</a>, що узагальнене до неперервної області.</figcaption></figure> <div class="noprint" style="padding-left:20px">Докладніше: <a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Гамма-функція">Гамма-функція</a></div> Окрім невід'ємних цілих, факторіал також можна визначити для нецілих значень, але це потребуватиме застосування більш складних методів <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7" title="Математичний аналіз">математичного аналізу</a>. Однією функцією, що «збігається» зі значеннями факторіалу (але із зсувом на 1 в аргументі), що часто використовується для його розрахунку, називається <a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Гамма-функція">гамма-функцією</a>, і позначається як Γ(z). Вона визначена для всіх комплексних чисел z крім не від'ємних цілих, і при додатній дійсній частині z задається наступним чином <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ea55efd18ad4c12f0b773b35efc8516847db82" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.782ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\,.}"></dd></dl> Вона пов'язана із факторіала, таким чином, що для будь-якого натурального числа n <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c51b907009ab1f1a707ba0253ccd66cad9b34d" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.834ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\,.}"></dd></dl> Оригінальна формула яку запропонував <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4_%D0%95%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80" title="Леонард Ейлер">Ейлер</a> для гамма-функції мала наступний вигляд <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">→</mo> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munder> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>n</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d95a36afd634d090227d1cc74411af1236cd09" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.838ex; width:23.51ex; height:10.343ex;" alt="{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}.}"></dd></dl> Іншою функцією що використовується, яка також «збігається» у своїх значеннях до факторіала (але без зсуву аргументів), є функція, яку запропонував <a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB_%D0%A4%D1%80%D1%96%D0%B4%D1%80%D1%96%D1%85_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81" title="Карл Фрідріх Гаусс">Карл Фрідріх Гаусс</a>, називається пі функцією, позначається як Π(z) для дійсних чисел z ≥ 0. Вона визначається наступним чином <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>t</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−</mo> <mi>t</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2034e537b0970f5a32d6f43cacc1ad39da9574" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.971ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\,.}"></dd></dl> Якщо виразити через гамма-функцію, то пі функція зв'язана з нею наступним чином <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/344367eced253d4cc081c0a37223936059060c18" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.126ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)\,.}"></dd></dl> <figure class="mw-default-size mw-halign-right" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Generalized_factorial_function.svg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Generalized_factorial_function.svg/350px-Generalized_factorial_function.svg.png" decoding="async" width="350" height="221" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Generalized_factorial_function.svg/525px-Generalized_factorial_function.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Generalized_factorial_function.svg/700px-Generalized_factorial_function.svg.png 2x" data-file-width="500" data-file-height="315" /></a><figcaption>Функція факторіалу, узагальнена для всіх дійсних чисел крім від'ємних цілих. Наприклад, 0! = 1! = 1, (−<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">1/2)! = √π, <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">1/2! = <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">√π/2.</figcaption></figure> Пі функція повністю поширює факторіал до наступного: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n!=\Pi (n)\quad {\text{ для }}n\in \mathbf {N} \,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="1em" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtext> для </mtext> </mrow> <mi>n</mi> <mo>∈</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="bold">N</mi> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n!=\Pi (n)\quad {\text{ для }}n\in \mathbf {N} \,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0791aeaa052f5082d001521f88ea8d6c13c15cc5" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:25.182ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle n!=\Pi (n)\quad {\text{ для }}n\in \mathbf {N} \,.}"></dd></dl> Крім того, пі функція задовольняє тому ж правилу рекурентності що і факторіал, але для кожного комплексного значення z для якого вона визначена <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>z</mi> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67fbf125086c6e4ed0dc737cfc1ff8ddfb11ae67" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.504ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)\,.}"></dd></dl> Насправді, це більше не є рекурентним відношенням, а є <a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B5_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Функційне рівняння">функціональним рівнянням</a>. Якщо виразити його в термінах гамма-функції, то це функціональне рівняння прийме вигляд: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/529e5a287b8a8fcfb021de7f96eaacdfa586abf0" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.844ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,.}"></dd></dl> Оскільки за допомогою пі функції факторіал поширено для кожного комплексного значення z де він визначений, можна записати наступне: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z!=\Pi (z)}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z!=\Pi (z)}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4e80900d0fa1bc489ea56bf05a7fbe15a5847de" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.474ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z!=\Pi (z)}"></dd></dl> Значення цих функцій для <a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%BF%D1%96%D0%B2%D1%86%D1%96%D0%BB%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Напівціле число">напівцілих</a> значень таким чином визначаються однією із них; матимемо <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\left(-{\frac {1}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\,,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\left(-{\frac {1}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\,,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b6395521650b9b935230fe93f665bf57a3cec1" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:38.09ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\left(-{\frac {1}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\,,}"></dd></dl> звідки випливає, що для n ∈ N, <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)\\[5pt]={}&{\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2}}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}}{\sqrt {\pi }}\,.\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="0.8em 0.3em" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)\\[5pt]={}&{\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2}}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}}{\sqrt {\pi }}\,.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073bf6ce7a3fbee30bd905a7c75e13b7ce9a80df" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.671ex; width:51.038ex; height:14.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)\\[5pt]={}&{\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2}}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}}{\sqrt {\pi }}\,.\end{aligned}}}"></dd></dl> Наприклад, <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \left({\frac {9}{2}}\right)={\frac {7}{2}}!=\Pi \left({\frac {7}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {7}{2}}{\sqrt {\pi }}={\frac {8!}{4^{4}4!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {7!}{2^{7}3!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {105}{16}}{\sqrt {\pi }}\approx 11.631\,728\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>9</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>7</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>7</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>7</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>8</mn> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mn>4</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>4</mn> </mrow> </msup> <mn>4</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mn>7</mn> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>7</mn> </mrow> </msup> <mn>3</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>105</mn> <mn>16</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>≈</mo> <mn>11.631</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>728</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \left({\frac {9}{2}}\right)={\frac {7}{2}}!=\Pi \left({\frac {7}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {7}{2}}{\sqrt {\pi }}={\frac {8!}{4^{4}4!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {7!}{2^{7}3!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {105}{16}}{\sqrt {\pi }}\approx 11.631\,728\ldots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bda7e6192a3d5ed13e6ef8da06501973b35ca7b" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:92.739ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \left({\frac {9}{2}}\right)={\frac {7}{2}}!=\Pi \left({\frac {7}{2}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot {\frac {5}{2}}\cdot {\frac {7}{2}}{\sqrt {\pi }}={\frac {8!}{4^{4}4!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {7!}{2^{7}3!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {105}{16}}{\sqrt {\pi }}\approx 11.631\,728\ldots }"></dd></dl> Також маємо, що для n ∈ N, <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}-n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}-n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2}{1-2k}}={\frac {\left(-4\right)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>4</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}-n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}-n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2}{1-2k}}={\frac {\left(-4\right)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6f95bad77594f19043cb753b1e58e566407797a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:76.994ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}-n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}-n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{\frac {2}{1-2k}}={\frac {\left(-4\right)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\,.}"></dd></dl> Наприклад, <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {5}{2}}\right)=\left(-{\frac {7}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {7}{2}}\right)={\frac {2}{-1}}\cdot {\frac {2}{-3}}\cdot {\frac {2}{-5}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\left(-4\right)^{3}3!}{6!}}{\sqrt {\pi }}=-{\frac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}\approx -0.945\,308\ldots }"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>5</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>7</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>7</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mrow> <mo>−</mo> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mrow> <mo>−</mo> <mn>5</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mn>4</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mn>3</mn> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mn>6</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>8</mn> <mn>15</mn> </mfrac> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>π</mi> </msqrt> </mrow> <mo>≈</mo> <mo>−</mo> <mn>0.945</mn> <mspace width="thinmathspace" /> <mn>308</mn> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {5}{2}}\right)=\left(-{\frac {7}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {7}{2}}\right)={\frac {2}{-1}}\cdot {\frac {2}{-3}}\cdot {\frac {2}{-5}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\left(-4\right)^{3}3!}{6!}}{\sqrt {\pi }}=-{\frac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}\approx -0.945\,308\ldots }</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1446116e6bd8c44f61cae9fe36a661691d127382" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:97.012ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {5}{2}}\right)=\left(-{\frac {7}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {7}{2}}\right)={\frac {2}{-1}}\cdot {\frac {2}{-3}}\cdot {\frac {2}{-5}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\left(-4\right)^{3}3!}{6!}}{\sqrt {\pi }}=-{\frac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}\approx -0.945\,308\ldots }"></dd></dl> Пі функція, звичайно, не є єдиним способом розширити факторіал до вигляду функції визначеної для майже всіх комплексних значень, і навіть не є єдиною функцією, що є <a href="/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Аналітична функція">аналітичною</a> у області її визначення. Однак зазвичай її розглядають як найбільш природний спосіб поширити значення факторіала до комплексної функції. Наприклад, <a href="/wiki/%D0%91%D0%BE%D1%80-%D0%9C%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0" class="mw-redirect" title="Бор-Молерупова теорема">Бор-Молерупова теорема</a> стверджує, що гамма-функція, що приймає значення 1 при 1, задовольняє функціональному рівнянню Γ(n + 1) = nΓ(n), є <a href="/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D0%BD%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Мероморфна функція">мероморфною</a> для комплексних чисел, і є <a href="/wiki/%D0%9B%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%BE_%D0%BE%D0%BF%D1%83%D0%BA%D0%BB%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Логарифмічно опукла функція">логарифмічно опуклою функцією</a> у додатній частині осі дійсних чисел. Подібне твердження є дійсним так само і для пі функції, при використанні функціонального рівняння Π(n) = nΠ(n − 1). Однак, існують комплексні функції, які імовірно простіші з точки зору теорії аналітичних функцій і які також інтерполюють значення факторіала. Наприклад, <a href="/w/index.php?title=%D0%93%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%93%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D1%80%D0%B4%D0%B0&action=edit&redlink=1" class="new" title="Гамма функція Гадамарда (ще не написана)">гамма функція Гадамарда</a><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard%27s_gamma_function" class="extiw" title="en:Hadamard's gamma function">[en]</a> (<a href="#CITEREFHadamard1894">Hadamard, 1894</a>) яка, на відміну від гамма-функції є <a href="/wiki/%D0%A6%D1%96%D0%BB%D0%B0_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Ціла функція">цілою функцією</a>.<a href="#cite_note-11">[11]</a> Ейлер також розробив збіжну апроксимацію добутків для нецілих факторіалів, яку можна розглядати еквівалентною формулою для гамма функції, наведеної вище: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}n!=\Pi (n)&=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n}\!\!{\frac {k}{n+k}}\\&=\left[\left({\frac {2}{1}}\right)^{n}{\frac {1}{n+1}}\right]\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}{\frac {2}{n+2}}\right]\left[\left({\frac {4}{3}}\right)^{n}{\frac {3}{n+3}}\right]\cdots \end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Π</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∏</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>k</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mspace width="negativethinmathspace" /> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>k</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd /> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mn>1</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>4</mn> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>3</mn> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mo>⋯</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}n!=\Pi (n)&=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n}\!\!{\frac {k}{n+k}}\\&=\left[\left({\frac {2}{1}}\right)^{n}{\frac {1}{n+1}}\right]\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}{\frac {2}{n+2}}\right]\left[\left({\frac {4}{3}}\right)^{n}{\frac {3}{n+3}}\right]\cdots \end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1664509f7b6a686c0aa4ffd5b2b28f27bb4bbf0a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.171ex; width:63.802ex; height:13.343ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}n!=\Pi (n)&=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n}\!\!{\frac {k}{n+k}}\\&=\left[\left({\frac {2}{1}}\right)^{n}{\frac {1}{n+1}}\right]\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}{\frac {2}{n+2}}\right]\left[\left({\frac {4}{3}}\right)^{n}{\frac {3}{n+3}}\right]\cdots \end{aligned}}}"></dd></dl> Однак, ця функція не має практичного застосування для розрахунку пі функції або гама функції, <a href="/wiki/%D0%A8%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BA%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B7%D0%B1%D1%96%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" title="Швидкість збіжності">швидкість її збіжності</a> дуже мала. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Застосування_гамма-функції">Застосування гамма-функції</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=16" title="Редагувати розділ: Застосування гамма-функції" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=16" title="Редагувати вихідний код розділу: Застосування гамма-функції">ред. код</a>]</div> <a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%27%D1%94%D0%BC" title="Об'єм">Об'єм</a> <a href="/wiki/%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D0%BC%D1%96%D1%80%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%83" title="Розмірність простору">n-вимірної</a> <a href="/wiki/%D0%93%D1%96%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Гіперсфера">гіперсфери</a> радіусом R дорівнює <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n}\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>V</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>π</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mrow> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n}\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c565327a6bcfec9d02bab4e6a13365490273776" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:20.32ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n}\,.}"></dd></dl> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Факторіал_у_комплексній_площині">Факторіал у комплексній площині</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=17" title="Редагувати розділ: Факторіал у комплексній площині" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=17" title="Редагувати вихідний код розділу: Факторіал у комплексній площині">ред. код</a>]</div> <figure class="mw-default-size" typeof="mw:File/Thumb"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Factorial05.jpg" class="mw-file-description"><img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Factorial05.jpg/400px-Factorial05.jpg" decoding="async" width="400" height="315" class="mw-file-element" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Factorial05.jpg/600px-Factorial05.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/Factorial05.jpg 2x" data-file-width="760" data-file-height="598" /></a><figcaption>Амплітуда і фаза факторіалу комплексного аргумента</figcaption></figure> Представлення за допомогою гамма-функції дозволяє розраховувати факторіал для комплексного аргументу. Ізолінії амплітуди і фази для факторіала показані на зображенні праворуч. Нехай <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f=\rho e^{i\varphi }=(x+{\rm {i}}y)!=\Gamma (x+iy+1)\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>ρ</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> <mi>φ</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">i</mi> </mrow> </mrow> <mi>y</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mi mathvariant="normal">Γ</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>i</mi> <mi>y</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=\rho e^{i\varphi }=(x+{\rm {i}}y)!=\Gamma (x+iy+1)\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201a58d29a822a84c7286337726f04780334d424" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.589ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f=\rho e^{i\varphi }=(x+{\rm {i}}y)!=\Gamma (x+iy+1)\,.}"></dd></dl> Показано декілька рівнів для сталого модуля (амплітуди) ρ і сталої фази φ. Сітка покриває діапазон значень −3 ≤ x ≤ 3, −2 ≤ y ≤ 2, з одиничним кроком. Виділена жирним лінія показує рівень φ = ±π. Тонкі лінії показують проміжні рівні при сталій амплітуді і сталій фазі. В полюсах для кожного від'ємного цілого, фаза і амплітуда не визначені. Ізолінії стають густішими в околі сингулярностей здовж від'ємних цілих значень аргументу. Для |z| < 1, можна застосувати розкладання в <a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0" title="Ряд Тейлора">ряд Тейлора</a>: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z!=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}z^{n}\,.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>z</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi mathvariant="normal">∞</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>g</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>z</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z!=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}z^{n}\,.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da976acd9c4902f8e90e94c7bc323e266de6ebf" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.246ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle z!=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}z^{n}\,.}"></dd></dl> Перші коефіцієнти цього розкладання будуть наступними <table class="wikitable"> <tbody><tr> <th>n </th> <th>gn </th> <th>наближення </th></tr> <tr> <td>0 </td> <td>1 </td> <td>1 </td></tr> <tr> <td>1 </td> <td>−γ </td> <td>−0.5772156649 </td></tr> <tr> <td>2 </td> <td><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">π2/12 + <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">γ2/2 </td> <td>0.9890559955 </td></tr> <tr> <td>3 </td> <td>−<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">ζ(3)/3 − <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">π2/12 − <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">γ3/6 </td> <td>−0.9074790760 </td></tr></tbody></table> де γ це <a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%95%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0%E2%80%94%D0%9C%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%BE%D0%BD%D1%96" class="mw-redirect" title="Стала Ейлера—Маскероні">Стала Ейлера—Маскероні</a>, а ζ(z) це <a href="/wiki/%D0%94%D0%B7%D0%B5%D1%82%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_%D0%A0%D1%96%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0" title="Дзета-функція Рімана">Дзета-функція Рімана</a>. <a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%27%D1%8E%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D1%97_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8" title="Система комп'ютерної алгебри">Системи комп'ютерної алгебри</a>, на кшталт <a href="/w/index.php?title=SageMath&action=edit&redlink=1" class="new" title="SageMath (ще не написана)">SageMath</a> можуть генерувати багато термів такого ряду. <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Наближення_факторіалу">Наближення факторіалу</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=18" title="Редагувати розділ: Наближення факторіалу" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=18" title="Редагувати вихідний код розділу: Наближення факторіалу">ред. код</a>]</div> Для великих значень аргументу, факторіал можна наблизити за допомогою інтегрування <a href="/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Дигамма-функція">дигамма-функції</a>, використавши представлення у формі <a href="/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%BD%D1%86%D1%8E%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B4%D1%80%D1%96%D0%B1" title="Ланцюговий дріб">ланцюгового дробу</a>. Це наближення запропонував <a href="/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%81_%D0%96%D0%BE%D0%B0%D0%BD%D0%BD_%D0%A1%D1%82%D1%96%D0%BB%D1%82%D1%8C%D1%94%D1%81" class="mw-redirect" title="Томас Жоанн Стілтьєс">Т. Ж. Стілтьєс</a> (1894). Маючи z! = eP(z) де P(z) є <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(z)=p(z)+{\frac {\ln 2\pi }{2}}-z+\left(z+{\frac {1}{2}}\right)\ln(z)\,,}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>P</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mn>2</mn> <mi>π</mi> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>−</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡</mo> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mspace width="thinmathspace" /> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(z)=p(z)+{\frac {\ln 2\pi }{2}}-z+\left(z+{\frac {1}{2}}\right)\ln(z)\,,}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51085898423d2f4ec1341aba3566193bc382194a" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:42.681ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle P(z)=p(z)+{\frac {\ln 2\pi }{2}}-z+\left(z+{\frac {1}{2}}\right)\ln(z)\,,}"></dd></dl> Стілтьєс запропонував ланцюговий дріб для p(z): <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p(z)={\cfrac {a_{0}}{z+{\cfrac {a_{1}}{z+{\cfrac {a_{2}}{z+{\cfrac {a_{3}}{z+\ddots }}}}}}}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>p</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>z</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msub> <mi>a</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mstyle> </mrow> <mrow> <mpadded width="0" height="8.6pt" depth="3pt"> <mrow /> </mpadded> <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mo>⋱</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p(z)={\cfrac {a_{0}}{z+{\cfrac {a_{1}}{z+{\cfrac {a_{2}}{z+{\cfrac {a_{3}}{z+\ddots }}}}}}}}}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95b9ebace47362c4d4efe38c0a7a1174c418732" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -15.338ex; margin-left: -0.089ex; width:29.292ex; height:19.509ex;" alt="{\displaystyle p(z)={\cfrac {a_{0}}{z+{\cfrac {a_{1}}{z+{\cfrac {a_{2}}{z+{\cfrac {a_{3}}{z+\ddots }}}}}}}}}"></dd></dl> Перші декілька коефіцієнтів an виглядатимуть наступним чином:<a href="#cite_note-dlmf5.10-12">[12]</a> <dl><dd><table class="wikitable"> <tbody><tr> <th>n </th> <th>an </th></tr> <tr> <td>0 </td> <td><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">1/12 </td></tr> <tr> <td>1 </td> <td><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">1/30 </td></tr> <tr> <td>2 </td> <td><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">53/210 </td></tr> <tr> <td>3 </td> <td><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">195/371 </td></tr> <tr> <td>4 </td> <td><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">22999/22737 </td></tr> <tr> <td>5 </td> <td><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">29944523/19733142 </td></tr> <tr> <td>6 </td> <td><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r42786477">109535241009/48264275462 </td></tr></tbody></table></dd></dl> Існує невірне уявлення про те, що рівняння ln z! = P(z) або ln Γ(z + 1) = P(z) є вірним для будь-яких комплексних значень z ≠ 0. Насправді, відношення задане через логарифм є дійсним лише на певному відрізку значень z в околі осі дійсних значень, де −π < Im(Γ(z + 1)) < π. Чим більшою є дійсна частина аргументу тим меншою має бути уявна частина. Однак, обернене відношення, z! = eP(z), є вірним для всієї комплексної площини значень крім z = 0. Збіжність буде слабшою в околі від'ємної частини осі дійсних значень; також важко мати хорошу збіжність будь-якого наближення біля точок сингулярностей. Коли |Im z|>2 або Re z > 2, шести коефіцієнтів буде вдосталь для розрахунку факторіалу комплексного числа із подвійною точністю. Для більшої точності знадобиться розрахувати більшу кількість коефіцієнтів за допомогою раціональної схеми QD (QD алгоритм Рутісгаузера).<a href="#cite_note-13">[13]</a> <div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Від'ємні_цілі_аргументи">Від'ємні цілі аргументи</h3>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=19" title="Редагувати розділ: Від'ємні цілі аргументи" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=19" title="Редагувати вихідний код розділу: Від'ємні цілі аргументи">ред. код</a>]</div> Відношення n! = n × (n − 1)! дозволяє розрахувати факторіал заданого цілого числа у випадку не великих значень. Це співвідношення можна переписати таким чином, аби мати можливість розрахувати факторіал для відносно великих цілих чисел: <dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n-1)!={\frac {n!}{n}}.}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n-1)!={\frac {n!}{n}}.}</annotation> </semantics> </math><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30055c3c1b436afdcfbd751b3f4b79cf27b2e92" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.477ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle (n-1)!={\frac {n!}{n}}.}"></dd></dl> Однак використати цю рекурсію не можливо, якщо необхідно розрахувати факторіал для від'ємного цілого числа; якщо використати цю формулу для розрахунку (−1)! ми отримаємо операцію <a href="/wiki/%D0%94%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BD%D0%B0_%D0%BD%D1%83%D0%BB%D1%8C" title="Ділення на нуль">Ділення на нуль</a>, і таким чином це не дозволяє розрахувати факторіал для будь-якого цілого від'ємного числа. Аналогічно тому, <a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Гамма-функція">гамма-функція</a> також є невизначеною для нуля або від'ємних цілих, хоча вона є визначеною для всіх інших комплексних чисел. <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Див._також">Див. також</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=20" title="Редагувати розділ: Див. також" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=20" title="Редагувати вихідний код розділу: Див. також">ред. код</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F" title="Факторизація">Факторизація</a></li></ul> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Примітки">Примітки</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=21" title="Редагувати розділ: Примітки" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=21" title="Редагувати вихідний код розділу: Примітки">ред. код</a>]</div> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43816068">.mw-parser-output .reflist{margin-bottom:0.5em;list-style-type:decimal}@media screen{.mw-parser-output .reflist{font-size:90%}}.mw-parser-output .reflist .references{font-size:100%;margin-bottom:0;list-style-type:inherit}.mw-parser-output .reflist-columns-2{column-width:30em}.mw-parser-output .reflist-columns-3{column-width:25em}.mw-parser-output .reflist-columns{margin-top:0.3em}.mw-parser-output .reflist-columns ol{margin-top:0}.mw-parser-output .reflist-columns li{page-break-inside:avoid;break-inside:avoid-column}.mw-parser-output .reflist-upper-alpha{list-style-type:upper-alpha}.mw-parser-output .reflist-upper-roman{list-style-type:upper-roman}.mw-parser-output .reflist-lower-alpha{list-style-type:lower-alpha}.mw-parser-output .reflist-lower-greek{list-style-type:lower-greek}.mw-parser-output .reflist-lower-roman{list-style-type:lower-roman}</style><div class="reflist" style="list-style-type: decimal;"> <div class="mw-references-wrap mw-references-columns"><ol class="references"> <li id="cite_note-FOOTNOTEGrahamKnuthPatashnik1988111-1"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEGrahamKnuthPatashnik1988111_1-0">↑</a> <a href="#CITEREFGrahamKnuthPatashnik1988">Graham, Knuth та Patashnik, 1988</a>, с. 111. </li> <li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43245077">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free.id-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited.id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration.id-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription.id-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ref-lang{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}.mw-parser-output .cs1-ref-lg{font-style:normal;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#252525;text-decoration:inherit;text-decoration-color:#252525}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-free a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-limited a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-registration a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .id-lock-subscription a,body:not(.skin-timeless):not(.skin-minerva) .mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background-size:contain;padding:0 1em 0 0}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:var(--color-error,#d33)}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#085;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}@media screen{.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#dadad6;text-decoration-color:#dadad6}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .cs1-maint{color:#18911f}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .cs1-ref-lg-text{color:#dadad6;text-decoration-color:#dadad6}}</style><cite class="citation journal cs1"><a href="/w/index.php?title=Norman_L._Biggs&action=edit&redlink=1" class="new" title="Norman L. Biggs (ще не написана)">Biggs, Norman L.</a> (May 1979). The roots of combinatorics. Historia Mathematica. 6 (2): 109—136. <a href="/wiki/%D0%A6%D0%B8%D1%84%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80_%D0%BE%D0%B1%27%D1%94%D0%BA%D1%82%D0%B0" title="Цифровий ідентифікатор об'єкта">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1016%2F0315-0860%2879%2990074-0">10.1016/0315-0860(79)90074-0</a>. <a href="/wiki/ISSN" title="ISSN">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://search.worldcat.org/issn/0315-0860">0315-0860</a> — через ScienceDirect.</cite> </li> <li id="cite_note-FOOTNOTEStedman16776—9-3"><a href="#cite_ref-FOOTNOTEStedman16776—9_3-0">↑</a> <a href="#CITEREFStedman1677">Stedman, 1677</a>, с. 6—9. </li> <li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <a href="#CITEREFHiggins2008">Higgins, 2008</a>, с. 12 </li> <li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation book cs1"><a href="/w/index.php?title=Eugenia_Cheng&action=edit&redlink=1" class="new" title="Eugenia Cheng (ще не написана)">Cheng, Eugenia</a> (9 березня 2017). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/beyondinfinityex0000chen">Beyond Infinity: An expedition to the outer limits of the mathematical universe</a> (англ.). Profile Books. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/9781782830818" title="Спеціальна:Джерела книг/9781782830818"><bdi>9781782830818</bdi></a>.</cite> </li> <li id="cite_note-ConwayGuy1998-6">↑ <a href="#cite_ref-ConwayGuy1998_6-0">а</a> <a href="#cite_ref-ConwayGuy1998_6-1">б</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation book cs1"><a href="/wiki/%D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%BD_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D0%B9" title="Джон Конвей">Conway, John H.</a>; <a href="/wiki/Richard_K._Guy" class="mw-redirect" title="Richard K. Guy">Guy, Richard</a> (16 березня 1998). The Book of Numbers (англ.). Springer Science & Business Media. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/9780387979939" title="Спеціальна:Джерела книг/9780387979939"><bdi>9780387979939</bdi></a>.</cite> </li> <li id="cite_note-Knuth1997-7">↑ <a href="#cite_ref-Knuth1997_7-0">а</a> <a href="#cite_ref-Knuth1997_7-1">б</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation book cs1"><a href="/wiki/Donald_Knuth" class="mw-redirect" title="Donald Knuth">Knuth, Donald E.</a> (4 липня 1997). The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms (англ.). Addison-Wesley Professional. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/9780321635747" title="Спеціальна:Джерела книг/9780321635747"><bdi>9780321635747</bdi></a>.</cite> </li> <li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/">18.01 Single Variable Calculus, Lecture 37: Taylor Series</a>. MIT OpenCourseWare. Fall 2006. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20190527112906/https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/">Архів</a> оригіналу за 27 травня 2019. Процитовано 3 травня 2017.</cite> <code class="cs1-code">{{<a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:Cite_web" title="Шаблон:Cite web">cite web</a>}}</code>: Cite має пустий невідомий параметр: <code class="cs1-code">|df=</code> (<a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%B8_CS1#param_unknown_empty" title="Довідка:Помилки CS1">довідка</a>) </li> <li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation book cs1"><a href="/w/index.php?title=Mehran_Kardar&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mehran Kardar (ще не написана)">Kardar, Mehran</a> (25 червня 2007). Chapter 2: Probability. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/statisticalphysi00kard_125">Statistical Physics of Particles</a> (English) . Cambridge University Press. с. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/statisticalphysi00kard_125/page/n46">35</a>–56. <a href="/wiki/International_Standard_Book_Number" class="mw-redirect" title="International Standard Book Number">ISBN</a> <a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%94%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3/9780521873420" title="Спеціальна:Джерела книг/9780521873420"><bdi>9780521873420</bdi></a>.</cite> </li> <li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/">18.01 Single Variable Calculus, Lecture 4: Chain rule, higher derivatives</a>. MIT OpenCourseWare. Fall 2006. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20190527112906/https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/">Архів</a> оригіналу за 27 травня 2019. Процитовано 3 травня 2017.</cite> <code class="cs1-code">{{<a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:Cite_web" title="Шаблон:Cite web">cite web</a>}}</code>: Cite має пустий невідомий параметр: <code class="cs1-code">|df=</code> (<a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%B8_CS1#param_unknown_empty" title="Довідка:Помилки CS1">довідка</a>) </li> <li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation web cs1">Luschny, Peter. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20090818171719/http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardsGammaFunction.html">Hadamard versus Euler – Who found the better Gamma function?</a>. Архів <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardsGammaFunction.html">оригіналу</a> за 18 серпня 2009.</cite> </li> <li id="cite_note-dlmf5.10-12"><a href="#cite_ref-dlmf5.10_12-0">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation web cs1"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://dlmf.nist.gov/5.10">5.10</a>. Digital Library of Mathematical Functions. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20100529224939/http://dlmf.nist.gov/5.10">Архів</a> оригіналу за 29 травня 2010. Процитовано 17 жовтня 2010.</cite> <code class="cs1-code">{{<a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:Cite_web" title="Шаблон:Cite web">cite web</a>}}</code>: Cite має пустий невідомий параметр: <code class="cs1-code">|df=</code> (<a href="/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%B8_CS1#param_unknown_empty" title="Довідка:Помилки CS1">довідка</a>) </li> <li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43245077"><cite class="citation web cs1">Luschny, Peter. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20110514230817/http://www.luschny.de/math/factorial/approx/continuedfraction.html">On Stieltjes' Continued Fraction for the Gamma Function</a>. Архів <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.luschny.de/math/factorial/approx/continuedfraction.html">оригіналу</a> за 14 травня 2011.</cite> </li> </ol></div></div> <div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Література">Література</h2>[<a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit&section=22" title="Редагувати розділ: Література" class="mw-editsection-visualeditor">ред.</a> | <a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&section=22" title="Редагувати вихідний код розділу: Література">ред. код</a>]</div> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A4%D1%96%D1%85%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%86_%D0%93%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B9_%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87" title="Фіхтенгольц Григорій Михайлович">Григорій Михайлович Фіхтенгольц</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://nebayduzhi-math.azurewebsites.net">Курс диференціального та інтегрального числення</a>. — 2024. — 2403 с.<style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43693355">.mw-parser-output .ref-info{font-size:85%;cursor:help;margin-left:0.2em;color:var(--color-subtle,#54595d)}</style>(укр.)</li></ul> <div class="navbox-styles"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43815798">.mw-parser-output .hlist dl,.mw-parser-output .hlist ol,.mw-parser-output .hlist ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt,.mw-parser-output .hlist li{margin:0;display:inline}.mw-parser-output .hlist.inline,.mw-parser-output .hlist.inline dl,.mw-parser-output .hlist.inline ol,.mw-parser-output .hlist.inline ul,.mw-parser-output .hlist dl dl,.mw-parser-output .hlist dl ol,.mw-parser-output .hlist dl ul,.mw-parser-output .hlist ol dl,.mw-parser-output .hlist ol ol,.mw-parser-output .hlist ol ul,.mw-parser-output .hlist ul dl,.mw-parser-output .hlist ul ol,.mw-parser-output .hlist ul ul{display:inline}.mw-parser-output .hlist .mw-empty-li{display:none}.mw-parser-output .hlist dt::after{content:": "}.mw-parser-output .hlist dd::after,.mw-parser-output .hlist li::after{content:" · ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li:last-child::after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child::before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child::after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child::after{content:")";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li::before{content:" "counter(listitem)"\a0 "}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child::before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child::before{content:" ("counter(listitem)"\a0 "}</style><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43353293">.mw-parser-output .navbox{box-sizing:border-box;border:1px solid #a2a9b1;width:100%;clear:both;font-size:88%;text-align:center;padding:1px;margin:1em auto 0}.mw-parser-output .navbox .navbox{margin-top:0}.mw-parser-output .navbox+.navbox,.mw-parser-output .navbox+.navbox-styles+.navbox{margin-top:-1px}.mw-parser-output .navbox-inner,.mw-parser-output .navbox-subgroup{width:100%}.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-title,.mw-parser-output .navbox-abovebelow{padding:0.25em 1em;line-height:1.5em;text-align:center}.mw-parser-output .navbox-group{white-space:nowrap;text-align:right}.mw-parser-output .navbox,.mw-parser-output .navbox-subgroup{background-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list{line-height:1.5em;border-color:#fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-list-with-group{text-align:left;border-left-width:2px;border-left-style:solid}.mw-parser-output tr+tr>.navbox-abovebelow,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-group,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-image,.mw-parser-output tr+tr>.navbox-list{border-top:2px solid #fdfdfd}.mw-parser-output .navbox-title{background-color:#ccf}.mw-parser-output .navbox-abovebelow,.mw-parser-output .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-title{background-color:#ddf}.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-group,.mw-parser-output .navbox-subgroup .navbox-abovebelow{background-color:#e6e6ff}.mw-parser-output .navbox-even{background-color:#f7f7f7}.mw-parser-output .navbox-odd{background-color:transparent}.mw-parser-output .navbox .hlist td dl,.mw-parser-output .navbox .hlist td ol,.mw-parser-output .navbox .hlist td ul,.mw-parser-output .navbox td.hlist dl,.mw-parser-output .navbox td.hlist ol,.mw-parser-output .navbox td.hlist ul{padding:0.125em 0}.mw-parser-output .navbox .navbar{display:block;font-size:100%}.mw-parser-output .navbox-title .navbar{float:left;text-align:left;margin-right:0.5em}body.skin--responsive .mw-parser-output .navbox-image img{max-width:none!important}@media print{body.ns-0 .mw-parser-output .navbox{display:none!important}}</style></div><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Математичні_знаки" style="padding:3px"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r43094501">.mw-parser-output .navbar{display:inline;font-size:88%;font-weight:normal}.mw-parser-output .navbar-collapse{float:left;text-align:left}.mw-parser-output .navbar-boxtext{word-spacing:0}.mw-parser-output .navbar ul{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:inherit}.mw-parser-output .navbar-brackets::before{margin-right:-0.125em;content:"[ "}.mw-parser-output .navbar-brackets::after{margin-left:-0.125em;content:" ]"}.mw-parser-output .navbar li{word-spacing:-0.125em}.mw-parser-output .navbar a>span,.mw-parser-output .navbar a>abbr{text-decoration:inherit}.mw-parser-output .navbar-mini abbr{font-variant:small-caps;border-bottom:none;text-decoration:none;cursor:inherit}.mw-parser-output .navbar-ct-full{font-size:114%;margin:0 7em}.mw-parser-output .navbar-ct-mini{font-size:114%;margin:0 4em}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .navbar li a abbr{color:var(--color-base)!important}}</style><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-переглянути"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B8" title="Шаблон:Математичні знаки"><abbr title="Переглянути цей шаблон">п</abbr></a></li><li class="nv-обговорити"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%83:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B8" title="Обговорення шаблону:Математичні знаки"><abbr title="Обговорити цей шаблон">о</abbr></a></li><li class="nv-редагувати"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:EditPage/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B8" title="Спеціальна:EditPage/Шаблон:Математичні знаки"><abbr title="Редагувати цей шаблон">р</abbr></a></li></ul></div><div id="Математичні_знаки" style="font-size:114%;margin:0 4em"><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D1%86%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%B2" title="Таблиця математичних символів">Математичні знаки</a></div></th></tr><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BB%D1%8E%D1%81" title="Плюс">Плюс</a> (+)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D1%96%D0%BD%D1%83%D1%81" title="Мінус">Мінус</a> (−)</li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Знак множення">Знак множення</a> (· або ×)</li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D0%B4%D1%96%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Знак ділення">Знак ділення</a> (: або /)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D1%8E%D1%81" title="Обелюс">Обелюс</a> (÷)</li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8F" title="Знак кореня">Знак кореня</a> (√)</li> <li><a class="mw-selflink selflink">Факторіал</a> (!)</li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0" title="Знак інтеграла">Знак інтеграла</a> (∫)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%B0" title="Набла">Набла</a> (∇)</li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" title="Знак рівності">Знак рівності</a> (=, ≈, ≡ та інші)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Нерівність">Знаки нерівності</a> (≠, >, < та інші)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Пропорційність (математика)">Пропорційність</a> (∝)</li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D1%83%D0%B6%D0%BA%D0%B8" title="Дужки">Дужки</a> (( ), [ ], ⌈ ⌉, ⌊ ⌋, { }, ⟨ ⟩)</li> <li><a href="/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0" title="Вертикальна риска">Вертикальна риска</a> (|)</li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BA%D1%96%D1%81%D0%BD%D0%B0_%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0" title="Скісна риска">Скісна риска, слеш</a> (/)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%BA%D1%96%D1%81%D0%BD%D0%B0_%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0" title="Обернена скісна риска">Обернена скісна риска, бекслеш</a> (\)</li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B2%D0%BE%D0%BB_%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96" title="Символ нескінченності">Знак нескінченності</a> (∞)</li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B2%D0%BE%D0%BB_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D1%83%D1%81%D0%B0" title="Символ градуса">Знак градуса</a> (°)</li> <li><a href="/wiki/%D0%A8%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%85_(%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA)" title="Штрих (знак)">Штрих</a> (′, ″, ‴, ⁗)</li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D1%96%D1%80%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0" title="Зірочка">Зірочка</a> (*)</li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D1%81%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B0" title="Знак відсотка">Відсоток</a> (%)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%BB%D0%B5" title="Проміле">Проміле</a> (‰)</li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B4%D0%B0" title="Тильда">Тильда</a> (~)</li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%B5%D1%82" title="Карет">Карет</a> (^)</li> <li><a href="/wiki/%D0%A6%D0%B8%D1%80%D0%BA%D1%83%D0%BC%D1%84%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81" title="Циркумфлекс">Циркумфлекс</a> (ˆ)</li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D0%BF%D0%BB%D1%8E%D1%81-%D0%BC%D1%96%D0%BD%D1%83%D1%81" title="Знак плюс-мінус">Плюс-мінус</a> (±)</li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D0%BF%D0%BB%D1%8E%D1%81-%D0%BC%D1%96%D0%BD%D1%83%D1%81#Знак_мінус-плюс" title="Знак плюс-мінус">Знак мінус-плюс</a> (∓)</li> <li><a href="/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%81%D1%8F%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D1%96%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D1%87" title="Десятковий розділювач">Десятковий розділювач</a> (, або .)</li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B2%D0%BE%D0%BB_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Символ завершення доведення">Символ завершення доведення</a> (∎)</li></ul> </div></td></tr><tr><td colspan="2" class="navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Математика">Математика</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%86%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D1%8C" title="Історія математичних позначень">Історія математичних позначень</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div> <div class="navbox-styles"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43353293"></div><div role="navigation" class="navbox" aria-labelledby="Послідовності_й_ряди" style="padding:3px"><table class="nowraplinks collapsible autocollapse navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="col" class="navbox-title" colspan="2"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43815798"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r43094501"><div class="navbar plainlinks hlist navbar-mini"><ul><li class="nv-переглянути"><a href="/wiki/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%B8" title="Шаблон:Послідовності й ряди"><abbr title="Переглянути цей шаблон">п</abbr></a></li><li class="nv-обговорити"><a href="/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%88%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD%D1%83:%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%B8" title="Обговорення шаблону:Послідовності й ряди"><abbr title="Обговорити цей шаблон">о</abbr></a></li><li class="nv-редагувати"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:EditPage/%D0%A8%D0%B0%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BD:%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%B8" title="Спеціальна:EditPage/Шаблон:Послідовності й ряди"><abbr title="Редагувати цей шаблон">р</abbr></a></li></ul></div><div id="Послідовності_й_ряди" style="font-size:114%;margin:0 4em"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Послідовність">Послідовності</a> й <a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)" title="Ряд (математика)">ряди</a></div></th></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Послідовність">Послідовності</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"></div><table class="nowraplinks navbox-subgroup" style="border-spacing:0"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;text-align:left">Базові</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%96%D1%8F" title="Арифметична прогресія">Арифметична прогресія</a> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A3%D0%B7%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%96%D1%8F" title="Узагальнена арифметична прогресія">узагальнена арифметична</a></li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%96%D1%8F" title="Геометрична прогресія">Геометрична прогресія</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%BE-%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%96%D1%8F" title="Арифметико-геометрична прогресія">Арифметико-геометрична прогресія</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%96%D1%8F&action=edit&redlink=1" class="new" title="Гармонійна прогресія (ще не написана)">Гармонійна прогресія</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D1%96%D0%B3%D1%83%D1%80%D0%BD%D1%96_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0" title="Фігурні числа">Фігурні числа</a> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE" title="Квадратне число">квадрати</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D1%83%D0%B1_(%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0)" title="Куб (алгебра)">куби</a></li></ul></li> <li><a class="mw-selflink selflink">Факторіали</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%96_2" title="Степені 2">Степені 2</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D1%96_10" title="Степені 10">Степені 10</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%;text-align:left">Загальні</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C#Числова_послідовність" title="Послідовність">Числова послідовність</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Фундаментальна послідовність">Фундаментальна послідовність</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B0_%D1%80%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Лінійна рекурентна послідовність">Лінійна рекурентна послідовність</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Періодична послідовність">Періодична послідовність</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%A4%D1%96%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D1%96" title="Послідовність Фібоначчі">Числа Фібоначчі</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%B4_%D0%91%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Код Баркера">Код Баркера</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B4%D0%B5_%D0%91%D1%80%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0" title="Послідовність де Брейна">Послідовність де Брейна</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table><div></div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Ряди, основне</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%B0_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D1%83" class="mw-redirect" title="Сума ряду">Сума ряду</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%88%D0%BE%D0%BA_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D1%83" title="Залишок ряду">Залишок ряду</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A3%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D0%B7%D0%B1%D1%96%D0%B6%D0%BD%D1%96%D1%81%D1%82%D1%8C" title="Умовна збіжність">Умовна збіжність</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%97%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%96%D0%B6%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4" title="Знакопереміжний ряд">Знакопереміжний ряд</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%9C%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D1%83" title="Мультисекція ряду">Мультисекція ряду</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Числові ряди</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%93%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4" title="Гармонічний ряд">Гармонічний ряд</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86%D0%B0" title="Ряд Лейбніца">Ряд Лейбніца</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%96%D0%B2" title="Ряд обернених квадратів">Ряд обернених квадратів</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%BE%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%B4%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB" title="Ряд обернених до простих чисел">Ряд обернених до простих чисел</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%94%D1%96%D1%80%D1%96%D1%85%D0%BB%D0%B5" title="Ряд Діріхле">Ряд Діріхле</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0" title="Ряд Меркатора">Ряд Меркатора</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%96" title="Ряд Гранді">Ряд Гранді</a></li> <li><a href="/wiki/1_%E2%88%92_2_%2B_3_%E2%88%92_4_%2B_%E2%80%A6" title="1 − 2 + 3 − 4 + …">1 − 2 + 3 − 4 + …</a></li> <li><a href="/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF" title="1 + 2 + 3 + 4 + ⋯">1 + 2 + 3 + 4 + ⋯</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%"><a href="/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4" title="Функціональний ряд">Функціональні ряди</a></th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-odd hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0" title="Ряд Тейлора">Ряд Тейлора</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%9B%D0%BE%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B0" title="Ряд Лорана">Ряд Лорана</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A4%D1%83%D1%80%27%D1%94" title="Ряд Фур'є">Ряд Фур'є</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D1%80%D1%8F%D0%B4" title="Тригонометричний ряд">Тригонометричний ряд</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%92%D1%96%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0" title="Ряд Вінера">Ряд Вінера</a></li></ul> </div></td></tr><tr><th scope="row" class="navbox-group" style="width:1%">Інші види рядів</th><td class="navbox-list-with-group navbox-list navbox-even hlist" style="width:100%;padding:0"><div style="padding:0 0.25em"> <ul><li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%9B%D1%96%D1%83%D0%B2%D1%96%D0%BB%D0%BB%D1%8F_%E2%80%94_%D0%9D%D0%B5%D0%B9%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0" title="Ряд Ліувілля — Неймана">Ряд Ліувілля — Неймана</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%9D%D0%B5%D0%B9%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0" title="Ряд Неймана">Ряд Неймана</a></li> <li><a href="/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%9F%D1%8E%D1%97%D0%B7%D0%BE" title="Ряд Пюїзо">Ряд Пюїзо</a></li></ul> </div></td></tr></tbody></table></div></div><noscript><img src="https://login.wikimedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1&useformat=desktop" alt="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;"></noscript> <div class="printfooter" data-nosnippet="">Отримано з <a dir="ltr" href="https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Факторіал&oldid=43618583">https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Факторіал&oldid=43618583</a></div></div> <div id="catlinks" class="catlinks" data-mw="interface"><div id="mw-normal-catlinks" class="mw-normal-catlinks"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%97" title="Спеціальна:Категорії">Категорії</a>: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0" title="Категорія:Елементарна математика">Елементарна математика</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A3%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%96_%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97" title="Категорія:Унарні операції">Унарні операції</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB%D0%B8_%D1%96_%D0%B1%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D0%BA%D0%BE%D0%B5%D1%84%D1%96%D1%86%D1%96%D1%94%D0%BD%D1%82%D0%B8" title="Категорія:Факторіали і біноміальні коефіцієнти">Факторіали і біноміальні коефіцієнти</a></li></ul></div><div id="mw-hidden-catlinks" class="mw-hidden-catlinks mw-hidden-cats-hidden">Приховані категорії: <ul><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8_%D0%B7_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_JsonConfig" title="Категорія:Сторінки з використанням розширення JsonConfig">Сторінки з використанням розширення JsonConfig</a></li><li><a href="/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%B8_CS1:_%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8_%D0%B7_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC%D0%B8_%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%B6%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BB%D0%B0_%D0%B7_%D0%BF%D1%83%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%B8_%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%BC%D0%B8_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8" title="Категорія:Помилки CS1: Сторінки з посиланнями на джерела з пустими невідомими параметрами">Помилки CS1: Сторінки з посиланнями на джерела з пустими невідомими параметрами</a></li></ul></div></div> </div> </div> <div id="mw-navigation"> <h2>Навігаційне меню</h2> <div id="mw-head"> <nav id="p-personal" class="mw-portlet mw-portlet-personal vector-user-menu-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-personal-label" > <h3 id="p-personal-label" class="vector-menu-heading " > Особисті інструменти </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="pt-anonuserpage" class="mw-list-item">Ви не увійшли до системи</li><li id="pt-anontalk" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D0%BE%D1%94_%D0%BE%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Обговорення редагувань з цієї IP-адреси [n]" accesskey="n">Обговорення</a></li><li id="pt-anoncontribs" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9C%D1%96%D0%B9_%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%BA" title="Список редагувань, зроблених з цієї IP-адреси [y]" accesskey="y">Внесок</a></li><li id="pt-createaccount" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BF%D0%B8%D1%81&returnto=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB" title="Пропонуємо створити обліковий запис і увійти в систему; однак, це не обов'язково">Створити обліковий запис</a></li><li id="pt-login" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D1%85%D1%96%D0%B4&returnto=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB" title="Заохочуємо Вас увійти в систему, але це необов'язково. [o]" accesskey="o">Увійти</a></li> </ul> </div> </nav> <div id="left-navigation"> <nav id="p-namespaces" class="mw-portlet mw-portlet-namespaces vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-namespaces-label" > <h3 id="p-namespaces-label" class="vector-menu-heading " > Простори назв </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-nstab-main" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB" title="Вміст статті [c]" accesskey="c">Стаття</a></li><li id="ca-talk" class="new mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F:%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit&redlink=1" rel="discussion" class="new" title="Обговорення сторінки (ще не написана) [t]" accesskey="t">Обговорення</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-variants" class="mw-portlet mw-portlet-variants emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-variants-label" > <input type="checkbox" id="p-variants-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-variants" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-variants-label" > <label id="p-variants-label" class="vector-menu-heading " > українська </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> </div> <div id="right-navigation"> <nav id="p-views" class="mw-portlet mw-portlet-views vector-menu-tabs vector-menu-tabs-legacy vector-menu" aria-labelledby="p-views-label" > <h3 id="p-views-label" class="vector-menu-heading " > Перегляди </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="ca-view" class="selected mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB">Читати</a></li><li id="ca-ve-edit" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&veaction=edit" title="Редагувати цю сторінку [v]" accesskey="v">Редагувати</a></li><li id="ca-edit" class="collapsible mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=edit" title="Редагувати вихідний код сторінки [e]" accesskey="e">Редагувати код</a></li><li id="ca-history" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=history" title="Журнал змін сторінки [h]" accesskey="h">Переглянути історію</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-cactions" class="mw-portlet mw-portlet-cactions emptyPortlet vector-menu-dropdown vector-menu" aria-labelledby="p-cactions-label" title="Більше опцій" > <input type="checkbox" id="p-cactions-checkbox" role="button" aria-haspopup="true" data-event-name="ui.dropdown-p-cactions" class="vector-menu-checkbox" aria-labelledby="p-cactions-label" > <label id="p-cactions-label" class="vector-menu-heading " > Більше </label> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> </ul> </div> </nav> <div id="p-search" role="search" class="vector-search-box-vue vector-search-box-show-thumbnail vector-search-box-auto-expand-width vector-search-box"> <h3 >Пошук</h3> <form action="/w/index.php" id="searchform" class="vector-search-box-form"> <div id="simpleSearch" class="vector-search-box-inner" data-search-loc="header-navigation"> <input class="vector-search-box-input" type="search" name="search" placeholder="Пошук у Вікіпедії" aria-label="Пошук у Вікіпедії" autocapitalize="sentences" title="Шукати у Вікіпедії [f]" accesskey="f" id="searchInput" > <input type="hidden" name="title" value="Спеціальна:Пошук"> <input id="mw-searchButton" class="searchButton mw-fallbackSearchButton" type="submit" name="fulltext" title="Знайти сторінки, що містять зазначений текст" value="Знайти"> <input id="searchButton" class="searchButton" type="submit" name="go" title="Перейти до сторінки, що має точно таку назву (якщо вона існує)" value="Перейти"> </div> </form> </div> </div> </div> <div id="mw-panel" class="vector-legacy-sidebar"> <div id="p-logo" role="banner"> <a class="mw-wiki-logo" href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку"></a> </div> <nav id="p-navigation" class="mw-portlet mw-portlet-navigation vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-navigation-label" > <h3 id="p-navigation-label" class="vector-menu-heading " > Навігація </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-mainpage-description" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Перейти на головну сторінку [z]" accesskey="z">Головна сторінка</a></li><li id="n-currentevents" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB:%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D1%96%D1%97" title="Список поточних подій">Поточні події</a></li><li id="n-recentchanges" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F" title="Список останніх змін у цій вікі [r]" accesskey="r">Нові редагування</a></li><li id="n-newpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8">Нові сторінки</a></li><li id="n-randompage" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%92%D0%B8%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0" title="Переглянути випадкову сторінку [x]" accesskey="x">Випадкова стаття</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-Участь" class="mw-portlet mw-portlet-Участь vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-Участь-label" > <h3 id="p-Участь-label" class="vector-menu-heading " > Участь </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="n-portal" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D0%BB_%D1%81%D0%BF%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%82%D0%B8" title="Про проєкт, про те, що Ви можете зробити, і що де шукати">Портал спільноти</a></li><li id="n-tavern" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9A%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D0%BF%D0%B0" title="Місце для обговорення більшості питань">Кнайпа</a></li><li id="n-help" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BA%D0%B0" title="Довідка з проєкту">Довідка</a></li><li id="n-sitesupport" class="mw-list-item"><a href="//donate.wikimedia.org/wiki/Special:FundraiserRedirector?utm_source=donate&utm_medium=sidebar&utm_campaign=C13_uk.wikipedia.org&uselang=uk" title="Підтримайте проєкт">Пожертвувати</a></li><li id="n-Сторінка-для-медіа" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%A1%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D0%B4%D1%96%D0%B0">Сторінка для медіа</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-tb" class="mw-portlet mw-portlet-tb vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-tb-label" > <h3 id="p-tb-label" class="vector-menu-heading " > Інструменти </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="t-whatlinkshere" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%81%D1%8E%D0%B4%D0%B8/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB" title="Перелік усіх сторінок, які посилаються на цю сторінку [j]" accesskey="j">Посилання сюди</a></li><li id="t-recentchangeslinked" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9F%D0%BE%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%B0%D0%BD%D1%96_%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB" rel="nofollow" title="Останні зміни на сторінках, на які посилається ця сторінка [k]" accesskey="k">Пов'язані редагування</a></li><li id="t-specialpages" class="mw-list-item"><a href="/wiki/%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B8" title="Перелік спеціальних сторінок [q]" accesskey="q">Спеціальні сторінки</a></li><li id="t-permalink" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&oldid=43618583" title="Постійне посилання на цю версію цієї сторінки">Постійне посилання</a></li><li id="t-info" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=info" title="Додаткові відомості про цю сторінку">Інформація про сторінку</a></li><li id="t-cite" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%A6%D0%B8%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B0&page=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&id=43618583&wpFormIdentifier=titleform" title="Інформація про те, як цитувати цю сторінку">Цитувати сторінку</a></li><li id="t-urlshortener" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%25A4%25D0%25B0%25D0%25BA%25D1%2582%25D0%25BE%25D1%2580%25D1%2596%25D0%25B0%25D0%25BB">Отримати вкорочену URL-адресу</a></li><li id="t-urlshortener-qrcode" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:QrCode&url=https%3A%2F%2Fuk.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25D0%25A4%25D0%25B0%25D0%25BA%25D1%2582%25D0%25BE%25D1%2580%25D1%2596%25D0%25B0%25D0%25BB">Завантажити QR-код</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-coll-print_export" class="mw-portlet mw-portlet-coll-print_export vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-coll-print_export-label" > <h3 id="p-coll-print_export-label" class="vector-menu-heading " > Друк/експорт </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li id="coll-create_a_book" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0&bookcmd=book_creator&referer=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB">Створити книгу</a></li><li id="coll-download-as-rl" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A1%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0:DownloadAsPdf&page=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&action=show-download-screen">Завантажити як PDF</a></li><li id="t-print" class="mw-list-item"><a href="/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&printable=yes" title="Версія цієї сторінки для друку [p]" accesskey="p">Версія до друку</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-wikibase-otherprojects" class="mw-portlet mw-portlet-wikibase-otherprojects vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-wikibase-otherprojects-label" > <h3 id="p-wikibase-otherprojects-label" class="vector-menu-heading " > В інших проєктах </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-commons mw-list-item"><a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Factorial_(function)" hreflang="en">Вікісховище</a></li><li class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikifunctions mw-list-item"><a href="https://www.wikifunctions.org/wiki/Z13667" hreflang="en">Вікіфункції</a></li><li id="t-wikibase" class="wb-otherproject-link wb-otherproject-wikibase-dataitem mw-list-item"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q120976" title="Посилання на пов’язаний елемент сховища даних [g]" accesskey="g">Елемент Вікіданих</a></li> </ul> </div> </nav> <nav id="p-lang" class="mw-portlet mw-portlet-lang vector-menu-portal portal vector-menu" aria-labelledby="p-lang-label" > <h3 id="p-lang-label" class="vector-menu-heading " > Іншими мовами </h3> <div class="vector-menu-content"> <ul class="vector-menu-content-list"> <li class="interlanguage-link interwiki-af mw-list-item"><a href="https://af.wikipedia.org/wiki/Fakulteit_(wiskunde)" title="Fakulteit (wiskunde) — африкаанс" lang="af" hreflang="af" data-title="Fakulteit (wiskunde)" data-language-autonym="Afrikaans" data-language-local-name="африкаанс" class="interlanguage-link-target">Afrikaans</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-am mw-list-item"><a href="https://am.wikipedia.org/wiki/%E1%8D%8B%E1%8A%AD%E1%89%B6%E1%88%AA%E1%8B%AB%E1%88%8D" title="ፋክቶሪያል — амхарська" lang="am" hreflang="am" data-title="ፋክቶሪያል" data-language-autonym="አማርኛ" data-language-local-name="амхарська" class="interlanguage-link-target">አማርኛ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ar mw-list-item"><a href="https://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%A7%D9%85%D9%84%D9%8A" title="عاملي — арабська" lang="ar" hreflang="ar" data-title="عاملي" data-language-autonym="العربية" data-language-local-name="арабська" class="interlanguage-link-target">العربية</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ast mw-list-item"><a href="https://ast.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial — астурійська" lang="ast" hreflang="ast" data-title="Factorial" data-language-autonym="Asturianu" data-language-local-name="астурійська" class="interlanguage-link-target">Asturianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-az mw-list-item"><a href="https://az.wikipedia.org/wiki/Faktorial" title="Faktorial — азербайджанська" lang="az" hreflang="az" data-title="Faktorial" data-language-autonym="Azərbaycanca" data-language-local-name="азербайджанська" class="interlanguage-link-target">Azərbaycanca</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ba mw-list-item"><a href="https://ba.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB" title="Факториал — башкирська" lang="ba" hreflang="ba" data-title="Факториал" data-language-autonym="Башҡортса" data-language-local-name="башкирська" class="interlanguage-link-target">Башҡортса</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-be mw-list-item"><a href="https://be.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%8B%D1%8F%D0%BB" title="Фактарыял — білоруська" lang="be" hreflang="be" data-title="Фактарыял" data-language-autonym="Беларуская" data-language-local-name="білоруська" class="interlanguage-link-target">Беларуская</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bg mw-list-item"><a href="https://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BB" title="Факториел — болгарська" lang="bg" hreflang="bg" data-title="Факториел" data-language-autonym="Български" data-language-local-name="болгарська" class="interlanguage-link-target">Български</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bn mw-list-item"><a href="https://bn.wikipedia.org/wiki/%E0%A6%97%E0%A7%8C%E0%A6%A3%E0%A6%BF%E0%A6%95" title="গৌণিক — бенгальська" lang="bn" hreflang="bn" data-title="গৌণিক" data-language-autonym="বাংলা" data-language-local-name="бенгальська" class="interlanguage-link-target">বাংলা</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-bs mw-list-item"><a href="https://bs.wikipedia.org/wiki/Faktorijel" title="Faktorijel — боснійська" lang="bs" hreflang="bs" data-title="Faktorijel" data-language-autonym="Bosanski" data-language-local-name="боснійська" class="interlanguage-link-target">Bosanski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ca mw-list-item"><a href="https://ca.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial — каталонська" lang="ca" hreflang="ca" data-title="Factorial" data-language-autonym="Català" data-language-local-name="каталонська" class="interlanguage-link-target">Català</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ckb mw-list-item"><a href="https://ckb.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%A7%DA%A9%D8%AA%DB%86%D8%B1%DB%8C%DB%8E%D9%84" title="فاکتۆریێل — центральнокурдська" lang="ckb" hreflang="ckb" data-title="فاکتۆریێل" data-language-autonym="کوردی" data-language-local-name="центральнокурдська" class="interlanguage-link-target">کوردی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cs mw-list-item"><a href="https://cs.wikipedia.org/wiki/Faktori%C3%A1l" title="Faktoriál — чеська" lang="cs" hreflang="cs" data-title="Faktoriál" data-language-autonym="Čeština" data-language-local-name="чеська" class="interlanguage-link-target">Čeština</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-cv mw-list-item"><a href="https://cv.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB" title="Факториал — чуваська" lang="cv" hreflang="cv" data-title="Факториал" data-language-autonym="Чӑвашла" data-language-local-name="чуваська" class="interlanguage-link-target">Чӑвашла</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-da mw-list-item"><a href="https://da.wikipedia.org/wiki/Fakultet_(matematik)" title="Fakultet (matematik) — данська" lang="da" hreflang="da" data-title="Fakultet (matematik)" data-language-autonym="Dansk" data-language-local-name="данська" class="interlanguage-link-target">Dansk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-de mw-list-item"><a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)" title="Fakultät (Mathematik) — німецька" lang="de" hreflang="de" data-title="Fakultät (Mathematik)" data-language-autonym="Deutsch" data-language-local-name="німецька" class="interlanguage-link-target">Deutsch</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-el mw-list-item"><a href="https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%B1%CF%81%CE%B1%CE%B3%CE%BF%CE%BD%CF%84%CE%B9%CE%BA%CF%8C" title="Παραγοντικό — грецька" lang="el" hreflang="el" data-title="Παραγοντικό" data-language-autonym="Ελληνικά" data-language-local-name="грецька" class="interlanguage-link-target">Ελληνικά</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-en badge-Q17437798 badge-goodarticle mw-list-item" title="добра стаття"><a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial — англійська" lang="en" hreflang="en" data-title="Factorial" data-language-autonym="English" data-language-local-name="англійська" class="interlanguage-link-target">English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eo mw-list-item"><a href="https://eo.wikipedia.org/wiki/Faktorialo" title="Faktorialo — есперанто" lang="eo" hreflang="eo" data-title="Faktorialo" data-language-autonym="Esperanto" data-language-local-name="есперанто" class="interlanguage-link-target">Esperanto</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-es mw-list-item"><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial — іспанська" lang="es" hreflang="es" data-title="Factorial" data-language-autonym="Español" data-language-local-name="іспанська" class="interlanguage-link-target">Español</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-et mw-list-item"><a href="https://et.wikipedia.org/wiki/Faktoriaal" title="Faktoriaal — естонська" lang="et" hreflang="et" data-title="Faktoriaal" data-language-autonym="Eesti" data-language-local-name="естонська" class="interlanguage-link-target">Eesti</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-eu mw-list-item"><a href="https://eu.wikipedia.org/wiki/Faktorial" title="Faktorial — баскська" lang="eu" hreflang="eu" data-title="Faktorial" data-language-autonym="Euskara" data-language-local-name="баскська" class="interlanguage-link-target">Euskara</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fa mw-list-item"><a href="https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%81%D8%A7%DA%A9%D8%AA%D9%88%D8%B1%DB%8C%D9%84" title="فاکتوریل — перська" lang="fa" hreflang="fa" data-title="فاکتوریل" data-language-autonym="فارسی" data-language-local-name="перська" class="interlanguage-link-target">فارسی</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fi mw-list-item"><a href="https://fi.wikipedia.org/wiki/Kertoma" title="Kertoma — фінська" lang="fi" hreflang="fi" data-title="Kertoma" data-language-autonym="Suomi" data-language-local-name="фінська" class="interlanguage-link-target">Suomi</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-fr mw-list-item"><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Factorielle" title="Factorielle — французька" lang="fr" hreflang="fr" data-title="Factorielle" data-language-autonym="Français" data-language-local-name="французька" class="interlanguage-link-target">Français</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-gl mw-list-item"><a href="https://gl.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial — галісійська" lang="gl" hreflang="gl" data-title="Factorial" data-language-autonym="Galego" data-language-local-name="галісійська" class="interlanguage-link-target">Galego</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-he mw-list-item"><a href="https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A2%D7%A6%D7%A8%D7%AA_(%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94)" title="עצרת (מתמטיקה) — іврит" lang="he" hreflang="he" data-title="עצרת (מתמטיקה)" data-language-autonym="עברית" data-language-local-name="іврит" class="interlanguage-link-target">עברית</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hi mw-list-item"><a href="https://hi.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AE%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4" title="क्रमगुणित — гінді" lang="hi" hreflang="hi" data-title="क्रमगुणित" data-language-autonym="हिन्दी" data-language-local-name="гінді" class="interlanguage-link-target">हिन्दी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hr mw-list-item"><a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Faktorijel" title="Faktorijel — хорватська" lang="hr" hreflang="hr" data-title="Faktorijel" data-language-autonym="Hrvatski" data-language-local-name="хорватська" class="interlanguage-link-target">Hrvatski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hu mw-list-item"><a href="https://hu.wikipedia.org/wiki/Faktori%C3%A1lis" title="Faktoriális — угорська" lang="hu" hreflang="hu" data-title="Faktoriális" data-language-autonym="Magyar" data-language-local-name="угорська" class="interlanguage-link-target">Magyar</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-hy mw-list-item"><a href="https://hy.wikipedia.org/wiki/%D5%96%D5%A1%D5%AF%D5%BF%D5%B8%D6%80%D5%AB%D5%A1%D5%AC" title="Ֆակտորիալ — вірменська" lang="hy" hreflang="hy" data-title="Ֆակտորիալ" data-language-autonym="Հայերեն" data-language-local-name="вірменська" class="interlanguage-link-target">Հայերեն</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ia mw-list-item"><a href="https://ia.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial — інтерлінгва" lang="ia" hreflang="ia" data-title="Factorial" data-language-autonym="Interlingua" data-language-local-name="інтерлінгва" class="interlanguage-link-target">Interlingua</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-iba mw-list-item"><a href="https://iba.wikipedia.org/wiki/Faktorial" title="Faktorial — ібанська" lang="iba" hreflang="iba" data-title="Faktorial" data-language-autonym="Jaku Iban" data-language-local-name="ібанська" class="interlanguage-link-target">Jaku Iban</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-id mw-list-item"><a href="https://id.wikipedia.org/wiki/Faktorial" title="Faktorial — індонезійська" lang="id" hreflang="id" data-title="Faktorial" data-language-autonym="Bahasa Indonesia" data-language-local-name="індонезійська" class="interlanguage-link-target">Bahasa Indonesia</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-io mw-list-item"><a href="https://io.wikipedia.org/wiki/Faktorialo" title="Faktorialo — ідо" lang="io" hreflang="io" data-title="Faktorialo" data-language-autonym="Ido" data-language-local-name="ідо" class="interlanguage-link-target">Ido</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-is mw-list-item"><a href="https://is.wikipedia.org/wiki/A%C3%B0feldi" title="Aðfeldi — ісландська" lang="is" hreflang="is" data-title="Aðfeldi" data-language-autonym="Íslenska" data-language-local-name="ісландська" class="interlanguage-link-target">Íslenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-it mw-list-item"><a href="https://it.wikipedia.org/wiki/Fattoriale" title="Fattoriale — італійська" lang="it" hreflang="it" data-title="Fattoriale" data-language-autonym="Italiano" data-language-local-name="італійська" class="interlanguage-link-target">Italiano</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ja mw-list-item"><a href="https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97" title="階乗 — японська" lang="ja" hreflang="ja" data-title="階乗" data-language-autonym="日本語" data-language-local-name="японська" class="interlanguage-link-target">日本語</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ka mw-list-item"><a href="https://ka.wikipedia.org/wiki/%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%97%E1%83%94%E1%83%9B%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%98%E1%83%99%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98_%E1%83%A4%E1%83%90%E1%83%A5%E1%83%A2%E1%83%9D%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%98" title="მათემატიკური ფაქტორიალი — грузинська" lang="ka" hreflang="ka" data-title="მათემატიკური ფაქტორიალი" data-language-autonym="ქართული" data-language-local-name="грузинська" class="interlanguage-link-target">ქართული</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kk mw-list-item"><a href="https://kk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB" title="Факториал — казахська" lang="kk" hreflang="kk" data-title="Факториал" data-language-autonym="Қазақша" data-language-local-name="казахська" class="interlanguage-link-target">Қазақша</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-kn mw-list-item"><a href="https://kn.wikipedia.org/wiki/%E0%B2%95%E0%B3%8D%E0%B2%B0%E0%B2%AE%E0%B2%97%E0%B3%81%E0%B2%A3%E0%B2%BF%E0%B2%A4" title="ಕ್ರಮಗುಣಿತ — каннада" lang="kn" hreflang="kn" data-title="ಕ್ರಮಗುಣಿತ" data-language-autonym="ಕನ್ನಡ" data-language-local-name="каннада" class="interlanguage-link-target">ಕನ್ನಡ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ko mw-list-item"><a href="https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%84%EC%8A%B9_(%EC%88%98%ED%95%99)" title="계승 (수학) — корейська" lang="ko" hreflang="ko" data-title="계승 (수학)" data-language-autonym="한국어" data-language-local-name="корейська" class="interlanguage-link-target">한국어</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-la mw-list-item"><a href="https://la.wikipedia.org/wiki/Factorialis" title="Factorialis — латинська" lang="la" hreflang="la" data-title="Factorialis" data-language-autonym="Latina" data-language-local-name="латинська" class="interlanguage-link-target">Latina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lmo mw-list-item"><a href="https://lmo.wikipedia.org/wiki/Fatorial" title="Fatorial — ломбардська" lang="lmo" hreflang="lmo" data-title="Fatorial" data-language-autonym="Lombard" data-language-local-name="ломбардська" class="interlanguage-link-target">Lombard</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lt mw-list-item"><a href="https://lt.wikipedia.org/wiki/Faktorialas" title="Faktorialas — литовська" lang="lt" hreflang="lt" data-title="Faktorialas" data-language-autonym="Lietuvių" data-language-local-name="литовська" class="interlanguage-link-target">Lietuvių</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-lv mw-list-item"><a href="https://lv.wikipedia.org/wiki/Faktori%C4%81ls" title="Faktoriāls — латиська" lang="lv" hreflang="lv" data-title="Faktoriāls" data-language-autonym="Latviešu" data-language-local-name="латиська" class="interlanguage-link-target">Latviešu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mk mw-list-item"><a href="https://mk.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B5%D0%BB" title="Факториел — македонська" lang="mk" hreflang="mk" data-title="Факториел" data-language-autonym="Македонски" data-language-local-name="македонська" class="interlanguage-link-target">Македонски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ml mw-list-item"><a href="https://ml.wikipedia.org/wiki/%E0%B4%95%E0%B5%8D%E0%B4%B0%E0%B4%AE%E0%B4%97%E0%B5%81%E0%B4%A3%E0%B4%BF%E0%B4%A4%E0%B4%82" title="ക്രമഗുണിതം — малаялам" lang="ml" hreflang="ml" data-title="ക്രമഗുണിതം" data-language-autonym="മലയാളം" data-language-local-name="малаялам" class="interlanguage-link-target">മലയാളം</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-mr mw-list-item"><a href="https://mr.wikipedia.org/wiki/%E0%A4%95%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%AE%E0%A4%97%E0%A5%81%E0%A4%A3%E0%A4%BF%E0%A4%A4" title="क्रमगुणित — маратхі" lang="mr" hreflang="mr" data-title="क्रमगुणित" data-language-autonym="मराठी" data-language-local-name="маратхі" class="interlanguage-link-target">मराठी</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ms mw-list-item"><a href="https://ms.wikipedia.org/wiki/Faktorial" title="Faktorial — малайська" lang="ms" hreflang="ms" data-title="Faktorial" data-language-autonym="Bahasa Melayu" data-language-local-name="малайська" class="interlanguage-link-target">Bahasa Melayu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nl mw-list-item"><a href="https://nl.wikipedia.org/wiki/Faculteit_(wiskunde)" title="Faculteit (wiskunde) — нідерландська" lang="nl" hreflang="nl" data-title="Faculteit (wiskunde)" data-language-autonym="Nederlands" data-language-local-name="нідерландська" class="interlanguage-link-target">Nederlands</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-nn mw-list-item"><a href="https://nn.wikipedia.org/wiki/Fakultet_i_matematikk" title="Fakultet i matematikk — норвезька (нюношк)" lang="nn" hreflang="nn" data-title="Fakultet i matematikk" data-language-autonym="Norsk nynorsk" data-language-local-name="норвезька (нюношк)" class="interlanguage-link-target">Norsk nynorsk</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-no mw-list-item"><a href="https://no.wikipedia.org/wiki/Fakultet_(matematikk)" title="Fakultet (matematikk) — норвезька (букмол)" lang="nb" hreflang="nb" data-title="Fakultet (matematikk)" data-language-autonym="Norsk bokmål" data-language-local-name="норвезька (букмол)" class="interlanguage-link-target">Norsk bokmål</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-oc mw-list-item"><a href="https://oc.wikipedia.org/wiki/Factoriala" title="Factoriala — окситанська" lang="oc" hreflang="oc" data-title="Factoriala" data-language-autonym="Occitan" data-language-local-name="окситанська" class="interlanguage-link-target">Occitan</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pa mw-list-item"><a href="https://pa.wikipedia.org/wiki/%E0%A8%95%E0%A9%8D%E0%A8%B0%E0%A8%AE%E0%A8%97%E0%A9%81%E0%A8%A3%E0%A8%BF%E0%A8%A4" title="ਕ੍ਰਮਗੁਣਿਤ — панджабі" lang="pa" hreflang="pa" data-title="ਕ੍ਰਮਗੁਣਿਤ" data-language-autonym="ਪੰਜਾਬੀ" data-language-local-name="панджабі" class="interlanguage-link-target">ਪੰਜਾਬੀ</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pl mw-list-item"><a href="https://pl.wikipedia.org/wiki/Silnia" title="Silnia — польська" lang="pl" hreflang="pl" data-title="Silnia" data-language-autonym="Polski" data-language-local-name="польська" class="interlanguage-link-target">Polski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pms mw-list-item"><a href="https://pms.wikipedia.org/wiki/Fatorial" title="Fatorial — Piedmontese" lang="pms" hreflang="pms" data-title="Fatorial" data-language-autonym="Piemontèis" data-language-local-name="Piedmontese" class="interlanguage-link-target">Piemontèis</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-pt mw-list-item"><a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Fatorial" title="Fatorial — португальська" lang="pt" hreflang="pt" data-title="Fatorial" data-language-autonym="Português" data-language-local-name="португальська" class="interlanguage-link-target">Português</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ro mw-list-item"><a href="https://ro.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial — румунська" lang="ro" hreflang="ro" data-title="Factorial" data-language-autonym="Română" data-language-local-name="румунська" class="interlanguage-link-target">Română</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ru mw-list-item"><a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB" title="Факториал — російська" lang="ru" hreflang="ru" data-title="Факториал" data-language-autonym="Русский" data-language-local-name="російська" class="interlanguage-link-target">Русский</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-scn mw-list-item"><a href="https://scn.wikipedia.org/wiki/Fatturiali" title="Fatturiali — сицилійська" lang="scn" hreflang="scn" data-title="Fatturiali" data-language-autonym="Sicilianu" data-language-local-name="сицилійська" class="interlanguage-link-target">Sicilianu</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sh mw-list-item"><a href="https://sh.wikipedia.org/wiki/Faktorijel" title="Faktorijel — сербсько-хорватська" lang="sh" hreflang="sh" data-title="Faktorijel" data-language-autonym="Srpskohrvatski / српскохрватски" data-language-local-name="сербсько-хорватська" class="interlanguage-link-target">Srpskohrvatski / српскохрватски</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-si mw-list-item"><a href="https://si.wikipedia.org/wiki/%E0%B6%9A%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BB%E0%B6%B8%E0%B7%8F%E0%B6%BB%E0%B7%9D%E0%B6%B4%E0%B7%92%E0%B6%AD%E0%B6%BA" title="ක්‍රමාරෝපිතය — сингальська" lang="si" hreflang="si" data-title="ක්‍රමාරෝපිතය" data-language-autonym="සිංහල" data-language-local-name="сингальська" class="interlanguage-link-target">සිංහල</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-simple mw-list-item"><a href="https://simple.wikipedia.org/wiki/Factorial" title="Factorial — Simple English" lang="en-simple" hreflang="en-simple" data-title="Factorial" data-language-autonym="Simple English" data-language-local-name="Simple English" class="interlanguage-link-target">Simple English</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sk mw-list-item"><a href="https://sk.wikipedia.org/wiki/Faktori%C3%A1l" title="Faktoriál — словацька" lang="sk" hreflang="sk" data-title="Faktoriál" data-language-autonym="Slovenčina" data-language-local-name="словацька" class="interlanguage-link-target">Slovenčina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sl mw-list-item"><a href="https://sl.wikipedia.org/wiki/Fakulteta_(funkcija)" title="Fakulteta (funkcija) — словенська" lang="sl" hreflang="sl" data-title="Fakulteta (funkcija)" data-language-autonym="Slovenščina" data-language-local-name="словенська" class="interlanguage-link-target">Slovenščina</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sq mw-list-item"><a href="https://sq.wikipedia.org/wiki/Faktoriali" title="Faktoriali — албанська" lang="sq" hreflang="sq" data-title="Faktoriali" data-language-autonym="Shqip" data-language-local-name="албанська" class="interlanguage-link-target">Shqip</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sr mw-list-item"><a href="https://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B5%D0%BB" title="Факторијел — сербська" lang="sr" hreflang="sr" data-title="Факторијел" data-language-autonym="Српски / srpski" data-language-local-name="сербська" class="interlanguage-link-target">Српски / srpski</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-sv mw-list-item"><a href="https://sv.wikipedia.org/wiki/Fakultet_(matematik)" title="Fakultet (matematik) — шведська" lang="sv" hreflang="sv" data-title="Fakultet (matematik)" data-language-autonym="Svenska" data-language-local-name="шведська" class="interlanguage-link-target">Svenska</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ta mw-list-item"><a href="https://ta.wikipedia.org/wiki/%E0%AE%A4%E0%AF%8A%E0%AE%9F%E0%AE%B0%E0%AF%8D_%E0%AE%AA%E0%AF%86%E0%AE%B0%E0%AF%81%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AE%AE%E0%AF%8D" title="தொடர் பெருக்கம் — тамільська" lang="ta" hreflang="ta" data-title="தொடர் பெருக்கம்" data-language-autonym="தமிழ்" data-language-local-name="тамільська" class="interlanguage-link-target">தமிழ்</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-th mw-list-item"><a href="https://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%81%E0%B8%9F%E0%B8%81%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%A5" title="แฟกทอเรียล — тайська" lang="th" hreflang="th" data-title="แฟกทอเรียล" data-language-autonym="ไทย" data-language-local-name="тайська" class="interlanguage-link-target">ไทย</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tl mw-list-item"><a href="https://tl.wikipedia.org/wiki/Paktoryal" title="Paktoryal — тагальська" lang="tl" hreflang="tl" data-title="Paktoryal" data-language-autonym="Tagalog" data-language-local-name="тагальська" class="interlanguage-link-target">Tagalog</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-tr mw-list-item"><a href="https://tr.wikipedia.org/wiki/Fakt%C3%B6riyel" title="Faktöriyel — турецька" lang="tr" hreflang="tr" data-title="Faktöriyel" data-language-autonym="Türkçe" data-language-local-name="турецька" class="interlanguage-link-target">Türkçe</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-ur mw-list-item"><a href="https://ur.wikipedia.org/wiki/%D8%B9%D8%A7%D9%85%D9%84%DB%8C%DB%81" title="عاملیہ — урду" lang="ur" hreflang="ur" data-title="عاملیہ" data-language-autonym="اردو" data-language-local-name="урду" class="interlanguage-link-target">اردو</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-uz mw-list-item"><a href="https://uz.wikipedia.org/wiki/Faktorial" title="Faktorial — узбецька" lang="uz" hreflang="uz" data-title="Faktorial" data-language-autonym="Oʻzbekcha / ўзбекча" data-language-local-name="узбецька" class="interlanguage-link-target">Oʻzbekcha / ўзбекча</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-vi mw-list-item"><a href="https://vi.wikipedia.org/wiki/Giai_th%E1%BB%ABa" title="Giai thừa — вʼєтнамська" lang="vi" hreflang="vi" data-title="Giai thừa" data-language-autonym="Tiếng Việt" data-language-local-name="вʼєтнамська" class="interlanguage-link-target">Tiếng Việt</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-wuu mw-list-item"><a href="https://wuu.wikipedia.org/wiki/%E9%98%B6%E4%B9%98" title="阶乘 — китайська уська" lang="wuu" hreflang="wuu" data-title="阶乘" data-language-autonym="吴语" data-language-local-name="китайська уська" class="interlanguage-link-target">吴语</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh mw-list-item"><a href="https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%98" title="階乘 — китайська" lang="zh" hreflang="zh" data-title="階乘" data-language-autonym="中文" data-language-local-name="китайська" class="interlanguage-link-target">中文</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-classical mw-list-item"><a href="https://zh-classical.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%98" title="階乘 — Literary Chinese" lang="lzh" hreflang="lzh" data-title="階乘" data-language-autonym="文言" data-language-local-name="Literary Chinese" class="interlanguage-link-target">文言</a></li><li class="interlanguage-link interwiki-zh-yue mw-list-item"><a href="https://zh-yue.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%98" title="階乘 — кантонська" lang="yue" hreflang="yue" data-title="階乘" data-language-autonym="粵語" data-language-local-name="кантонська" class="interlanguage-link-target">粵語</a></li> </ul> <div class="after-portlet after-portlet-lang"><a href="https://www.wikidata.org/wiki/Special:EntityPage/Q120976#sitelinks-wikipedia" title="Редагувати міжмовні посилання" class="wbc-editpage">Редагувати посилання</a></div> </div> </nav> </div> </div> <footer id="footer" class="mw-footer" > <ul id="footer-info"> <li id="footer-info-lastmod"> Цю сторінку востаннє відредаговано о 17:41, 3 жовтня 2024.</li> <li id="footer-info-copyright">Текст доступний на умовах ліцензії <a rel="nofollow" class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.uk">Creative Commons Attribution-ShareAlike</a>; також можуть діяти додаткові умови. Детальніше див. <a class="external text" href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Policy:Terms_of_Use/uk">Умови використання</a>.</li> </ul> <ul id="footer-places"> <li id="footer-places-privacy"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy">Політика конфіденційності</a></li> <li id="footer-places-about"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D1%80%D0%BE">Про Вікіпедію</a></li> <li id="footer-places-disclaimers"><a href="/wiki/%D0%92%D1%96%D0%BA%D1%96%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F:%D0%92%D1%96%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%B4_%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%96%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96">Відмова від відповідальності</a></li> <li id="footer-places-contact"><a href="//uk.wikipedia.org/wiki/Вікіпедія:Зворотний_зв%27язок">Зворотний зв'язок</a></li> <li id="footer-places-wm-codeofconduct"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct">Кодекс поведінки</a></li> <li id="footer-places-developers"><a href="https://developer.wikimedia.org">Розробники</a></li> <li id="footer-places-statslink"><a href="https://stats.wikimedia.org/#/uk.wikipedia.org">Статистика</a></li> <li id="footer-places-cookiestatement"><a href="https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement">Куки</a></li> <li id="footer-places-mobileview"><a href="//uk.m.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB&mobileaction=toggle_view_mobile" class="noprint stopMobileRedirectToggle">Мобільний вигляд</a></li> </ul> <ul id="footer-icons" class="noprint"> <li id="footer-copyrightico"><a href="https://wikimediafoundation.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/static/images/footer/wikimedia-button.svg" width="84" height="29" alt="Wikimedia Foundation" loading="lazy"></a></li> <li id="footer-poweredbyico"><a href="https://www.mediawiki.org/" class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--size-large cdx-button--fake-button--enabled"><img src="/w/resources/assets/poweredby_mediawiki.svg" alt="Powered by MediaWiki" width="88" height="31" loading="lazy"></a></li> </ul> </footer> <script>(RLQ=window.RLQ||[]).push(function(){mw.log.warn("This page is using the deprecated ResourceLoader module \"codex-search-styles\".\n[1.43] Use a CodexModule with codexComponents to set your specific components used: https://www.mediawiki.org/wiki/Codex#Using_a_limited_subset_of_components");mw.config.set({"wgHostname":"mw-web.codfw.main-7fc47fc68d-nw2pp","wgBackendResponseTime":181,"wgPageParseReport":{"limitreport":{"cputime":"0.566","walltime":"0.844","ppvisitednodes":{"value":3988,"limit":1000000},"postexpandincludesize":{"value":91994,"limit":2097152},"templateargumentsize":{"value":7708,"limit":2097152},"expansiondepth":{"value":16,"limit":100},"expensivefunctioncount":{"value":9,"limit":500},"unstrip-depth":{"value":1,"limit":20},"unstrip-size":{"value":70114,"limit":5000000},"entityaccesscount":{"value":0,"limit":400},"timingprofile":["100.00% 549.911 1 -total"," 23.23% 127.753 1 Шаблон:Фіхтенгольц.укр"," 22.61% 124.342 1 Шаблон:Reflist"," 17.46% 96.031 1 Шаблон:Ref-uk"," 17.13% 94.191 1 Шаблон:Ref-lang"," 15.01% 82.557 3 Шаблон:Navbox"," 14.82% 81.475 1 Шаблон:Математичні_знаки"," 13.21% 72.637 44 Шаблон:Val"," 12.46% 68.501 1 Шаблон:Cite_journal"," 6.96% 38.290 19 Шаблон:Sfrac"]},"scribunto":{"limitreport-timeusage":{"value":"0.278","limit":"10.000"},"limitreport-memusage":{"value":18510660,"limit":52428800}},"cachereport":{"origin":"mw-web.codfw.main-7fc47fc68d-tl5w6","timestamp":"20241128180140","ttl":2592000,"transientcontent":false}}});});</script> <script type="application/ld+json">{"@context":"https:\/\/schema.org","@type":"Article","name":"\u0424\u0430\u043a\u0442\u043e\u0440\u0456\u0430\u043b","url":"https:\/\/uk.wikipedia.org\/wiki\/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB","sameAs":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q120976","mainEntity":"http:\/\/www.wikidata.org\/entity\/Q120976","author":{"@type":"Organization","name":"\u0423\u0447\u0430\u0441\u043d\u0438\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0456\u0432 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430"},"publisher":{"@type":"Organization","name":"\u0424\u043e\u043d\u0434 \u0412\u0456\u043a\u0456\u043c\u0435\u0434\u0456\u0430","logo":{"@type":"ImageObject","url":"https:\/\/www.wikimedia.org\/static\/images\/wmf-hor-googpub.png"}},"datePublished":"2004-04-09T09:33:40Z"}</script> </body> </html>

CINXE.COM

Факторіал — Вікіпедія